ΚΥΚΛΩΜΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΔΡΟΜΟΥ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΤΗΣ BCC (1) (Υπολογισμός Συνδρόμου)

Transcript

1 ΚΥΚΛΩΜΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΔΡΟΜΟΥ... Πύλη Ανασύζευξη πριν την ολίσθηση g g g -k- + s o + s S -k- Πύλη Διάνυσμα λήψης R(x) Κύκλωμα ανάλογο με αυτό του κωδικοποιητή Βήματα:. iitializatio s i = πύλη off, πύλη o είσοδος R(x). πύλη o, πύλη off έξοδος συνδρόμου S(x) Σύνδρομο εξόδου ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΤΗΣ BCC () (Υπολογισμός Συνδρόμου) Κώδικας (7,) Πολυώνυμο Γεννήτορας: g(x)=+x+x R(x) Διάνυσμα Λήψης + + s o s s Σε βήματα S=(R(x),g(x))Mod R(x)=C(x)+E(x) S=MOD(E(x),g(x)) S(x) Έξοδος Συνδρόμου

2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΤΗ ΓΙΑ B.C.C. () Σύνδεση ανατροφοδότησης Είσοδος + + Καταχωρητής συνδρόμου Φωρατής ίχνους σφάλματος (κύκλωμα συνδυαστικής λογικής) S out S i S i Είσοδος διανυσματος λήψης Απομονωτής καταχωρητής (Buffer) S out + Διoρθωμένο διάνυσμα ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΤΗ ΓΙΑ B.C.C. () έξοδος φωρατή = : Το M.S.B. Του περιεχομένου του buffer είναι λανθασμένο. Σύνδρομο Σφάλμα στην υψηλότερη τάξη θέσης x - Στο τέλος, αν S ανιχνεύθηκε μη διορθώσιμο ίχνος σφάλματος Χρήση Κυκλώματος για οποιονδήποτε B.C.C. Πολυπλοκότητα = f (Κυκλ.Συνδυαστικής Λογικής) Ειδικές Κατηγορίες B.C.C. Που απλοποιούν τα κυκλώματα αντάλλαγμα: μείωση απόδοσης του κώδικα

3 . ΚΥΚΛΙΚΟΙ ΚΩΔΙΚΕΣ BCH (Bose Chauduri - Hoqueghem) Πλέον διαδεδομένοι και γνωστοί κυκλικοί κώδικες Απαιτούν χρήση μοντέρνας άλγεβρας ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ (που δείχνουν την ισχύ των κωδίκων αυτών) m,t θετικά & ακέραια με t< m- κώδικας BCH με: μήκος blok: = m- bits ελέγχου(ισοτιμίας): -k m t ελάχιστη απόσταση: d mi t+ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ Χρήση software για υλοποίηση επαναληπτικών διαδικασιών (αντί για hardware). ΚΩΔΙΚΕΣ ΓΙΑ ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ ΠΛΕΙΟΨΗΦΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Υποκατηγορία των κυκλικών κωδίκων < υποκατηγορία των BCH Κατώτεροι από τους BCH (ικανότητα διόρθωσης) ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ Υλοποίηση με απλά κυκλώματα

4 . ΕΠΙΒΡΑΧΥΜΕΝΟΙ ΚΥΚΛΙΚΟΙ ΚΩΔΙΚΕΣ (Ε.Κ.Κ.) Τα g(x) διαιρέτες του x + Το x + έχει σχετικά λίγους διαιρέτες λίγοι Κ.Κ. Για δοσμένο Επιβραχυμένη μορφή με τα τελευταία i ψηφία = (-i)-άδες: ο δέκτης προσθέτει στο τέλος i μηδενικά Ο (Ε.Κ.Κ.) (Κ.Κ.) από τον οποίο προκύπτει ίδιες d mi ίδια ικανότητα διόρθωσης λειτουργίες κωδικοποίησης, υπολογισμού συνδρόμου κ.λ.π. ίδιες με Κ.Κ. ΚΩΔΙΚΕΣ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ ΚΑΤΑΙΓΙΣΜΟΥ () Κρουστικός θόρυβος Σφάλματα θορύβου σε καταιγισμούς Κώδικες τυχαίων σφαλμάτων αναποτελεσματικοί για καταιγιστικά σφάλματα Καταιγισμός μήκους q (α) Διάνυσμα του οποίου οι επηρεασμένες από τον θόρυβο συνιστώσες περιορίζονται σε q διαδοχικές θέσεις ψηφίων από τα οποία το πρώτο και το τελευταίο είναι μη μηδενικά. Ε = ( ) q (β) Όταν q διαδοχικά bits τηςκωδικήςλέξηςμπορείναεπηρεασθούναπότον κρουστικό θόρυβο. V = ( ) q q

5 ΚΩΔΙΚΕΣ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ ΚΑΤΑΙΓΙΣΜΟΥ () Διορθωτικός κώδικας σφαλμάτων καταιγισμού q: Κώδικας που είναι ικανός να διορθώσει όλα τα σφάλματα ενός καταιγισμού μήκους q ή λιγότερου. Κώδικας ικανότητας διόρθωσης q σφαλμάτων καταιγισμού Θέλουμε κώδικα (,k) με όσο το δυνατόν μικρότερο πλεονασμό (-k) Ψηφία ελέγχου της ισοτιμίας: -k q Το ανώτερο όριο της ικανότητας διόρθωσης l σφαλμάτων καταιγισμού είναι: l q (-k)/ Απόδοση διόρθωσης κώδικα σφαλμάτων καταιγισμού: z = (q)/(-k) ΚΩΔΙΚΕΣ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ ΚΑΤΑΙΓΙΣΜΟΥ () Εύρεση κωδίκων: Τυχαίου σφάλματος: Με αναλυτική τεχνική Σφαλμάτων καταιγισμού: Με διαδικασίες αναζήτησης με τη βοήθεια Η/Υ. Πίνακας αποδοτικών τέτοιων κωδίκων Κώδικας ανίχνευσης σφαλμ. καταιγισμού -k d d μήκος καταιγισμού

6 ΜΕΡΙΚΟΙ ΚΥΚΛΙΚΟΙ ΚΑΙ ΕΠΙΒΡΑΧΥΜΕΝΟΙ ΚΥΚΛΙΚΟΙ ΚΩΔΙΚΕΣ ΔΙΟΡΘΩΣΗΣ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ ΚΑΤΑΙΓΙΣΜΟΥ -k-l Κώδικας (,k) Ικανότητα l διόρθωσης καταιγισμού Πολυώνυμα-γεννήτορες* -k-l Κώδικας (,k) Ικανότητα l διόρθωσης καταιγισμού Πολυώνυμα-γεννήτορες* (7,) (,9) (9,) (7,7) (,) (8,) (,) (6,8) (9,9) (,) (7,) (8,9) (8,7) (67,) (,88) (96,79) (,) (6,) (8,7) (,9) (69,) (6,6) (,) (6,) (9,77) (,99) (,) ΚΩΔΙΚΕΣ ΔΙΟΡΘΩΣΗΣ ΚΑΤΑΙΓΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΥΧΑΙΩΝ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ () Μέθοδος της Σύμπλεξης (Iterlaig) είναι η πιο αποτελεσματική Δοσμένου ενός κυκλικού κώδικα (,k), κατασκευάζεται ένας Κ.Κ.Σύμπλεξης (λ,λk) ως εξής:. Διευθέτηση λ διανυσμάτων αρχικού κώδ. (,k) σε λ σειρές μιας ορθογώνιας διάταξης.. Μετάδοση της διάταξης στο κανάλι στήλη προς στήλη. Καταιγισμός μήκους λ θα επηρεάσει όχι περισσότερα από ένα ψηφίο σε κάθε σειρά. 6

7 ΚΩΔΙΚΕΣ ΔΙΟΡΘΩΣΗΣ ΚΑΤΑΙΓΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΥΧΑΙΩΝ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ () Ικανότητα διόρθωσης Αρχικός Κώδικας (,k) Κώδικας Σύμπλεξης (λ,λk) i) Απλά σφάλματα Απλούς καταιγισμούς μήκους λ ii) t σφάλματα Οποιοδήποτε συνδυασμό t καταιγισμών μήκους λ Επίδοση του Κ.Κ.Σ.(λ,λk) απέναντι στα καθαρά τυχαία σφάλματα: ίδια με αυτή του B.C.C.(,k) ΚΩΔΙΚΕΣ ΔΙΟΡΘΩΣΗΣ ΚΑΤΑΙΓΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΥΧΑΙΩΝ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ () Κώδικας BCH (,7) και d mi = g(x) = x 8 + x + x + x + Να κατασκευασθεί Κ.Κ.Σ.(7,) (λ,λk) = (7,) λ = t = [(d mi -)/] = Ικανότητα διόρθωσης καταιγισμού l = λ t = 7

8 ΚΩΔΙΚΕΣ ΔΙΟΡΘΩΣΗΣ ΚΑΤΑΙΓΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΥΧΑΙΩΝ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ () Ισχύει Ο κώδικας σύμπλεξης (λ,λk) είναι επίσης κυκλικός με γενήτορα το g(x λ ). π.χ: αν g(x) = + x + x Σε Κ.Κ.Σ. Με λ = : g (x) = + x +x g(x λ ) Η αποκωδικοποίηση γίνεται με αντικατάσταση των F-F του (,k) από registers των λ F-F (αντικατάσταση με λ βαθμίδες) Τεχνική Σύμπλεξης: Αποτελεσματικό εργαλείο για την εύρεση μακρών ισχυρών κωδίκων, από βραχείς άριστους κώδικες. ΣΥΓΚΕΡΑΣΤΙΚΟΙ ΚΩΔΙΚΕΣ () Παράδειγμα κώδικα (,,) d i d i- d i- k N (,, ) k,, N N: Μήκος εξαναγκασμού (Costrait legth) Ψηφία μηνύματος Ρυθμός r b D + D D + + C = D D D C = D C = D D C C C Μεταγωγέας Έξοδος Ρυθμός r b 8

9 ΣΥΓΚΕΡΑΣΤΙΚΟΙ ΚΩΔΙΚΕΣ () T b T b T b T b T b Χρόνος Περιεχόμενο Καταχωρητή Έξοδος 9 bits επηρεασμένα από d 9 bits από d 9 bits από d ΣΥΓΚΕΡΑΣΤΙΚΟΙ ΚΩΔΙΚΕΣ () Παράδειγμα κώδικα (,,) (,k,n) blok i blok i- D D D D C C C Μήκος Εξαναγκασ. = 6 bits Έξοδος Ρυθμός (/) r b 9

10 ΣΥΓΚΕΡΑΣΤΙΚΟΙ ΚΩΔΙΚΕΣ () b b b b b b 6 Για μήνυμα T b T b 6T b Χρόνος 6 bits από blok? 6 bits από blok ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΓΚΕΡΑΣΤΙΚΩΝ ΚΩΔΙΚΩΝ Μέθοδος Εξαντλητικής αναζήτησης d i- d i- d i A d i- = d i- = C B ΚΩΔΙΚΟ ΔΕΝΤΡΟ (d i-, d i- ) = (, ) κόμβο εκκίνησης το ο bit μηνύματος επηρεάζει τα κωδικά μπλοκ που παράχθηκαν από τον κόμβο εκκίνησης και από τους δύο επόμενους κόμβους Κωδ. λέξεις των 9 bits που επηρεάζονται από το d i

11 ΚΩΔΙΚΑ ΔΕΝΤΡΑ ΣΥΜΦΩΝΑ (d i-,d i- )(). d i- d i- di d i+ d i+ ΚΩΔΙΚΑ ΔΕΝΤΡΑ ΣΥΜΦΩΝΑ (d i-,d i- )(). d i- d i- di d i+ d i+

12 ΚΩΔΙΚΑ ΔΕΝΤΡΑ ΣΥΜΦΩΝΑ (d i-,d i- )(). d i- d i- di d i+ d i+ ΚΩΔΙΚΑ ΔΕΝΤΡΑ ΣΥΜΦΩΝΑ (d i-,d i- )(). d i- d i- di d i+ d i+

13 ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΓΚΕΡΑΣΤΙΚΩΝ ΚΩΔΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΕΣ Κώδικες Μπλοκ. Η ακολουθία μηνύματος διαιρείται πρώτα σε μπλοκ και μετά κωδικοποιείται. Πιο κατάλληλοι για Ανίχνευση Σφαλμάτων Συγκεραστικοί Κώδικες. Κυρίως για Διόρθωση Σφαλμάτων. Η ακολουθία μηνύματος εισέρχεται κατά συνεχή τρόπο ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΚΗ ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ Ξαναδοκιμασμένες διαδρομές Ολικός αριθμός σφαλμάτων Ε(j) Λάθος διαδρομή Σωστή διαδρομή (P e )(j)()=e(j) Στάθμη απόκλισης απορριπτική στάθμη P e :Πιθανότητα να είναι λάθος το λαμβανόμενο bit Σωστή διαδρομή Aριθμός αποκωδικοποιημένων bits μηνύματος

14 ΕΠΙΔΟΣΗ ΣΥΓΚΕΡΑΣΤΙΚΩΝ ΚΩΔΙΚΩΝ Κώδ.Μπλοκ: Ανίχνευση Καταλληλότητα Ανιχν. Διορθ.: Κώδ.Μπλοκ: Διόρθωση ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ (συγκεραστικοί κώδικες έναντι κωδίκων μπλοκ). Μικρή καθυστέρηση αποκωδικοποίησης (μικρά μπλοκ). Μικρότερες ανάγκες αποθήκευσης (μικρά μπλοκ). Η απώλεια του συγχρονισμού δεν είναι σοβαρό πρόβλημα ΟΜΟΙΟΤΗΤΕΣ (συγκεραστικοι κώδικες κώδικες μπλοκ). Υλοποίηση: Ολισθητές καταχωρητές + Αθροιστές modulo-. Διορθώνουν τυχαία & καταιγιστικά σφάλματα ΕΠΙΔΟΣΗ ΚΩΔΙΚΩΝ ΜΠΛΟΚ ΣΕ ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ () Σύγκριση συστημάτων με ή χωρίς κώδικα Και στα δύο συστήματα: Μέση ισχύς σήματος: S av ίδια Ρυθμός μετάδοσης bits μηνύματος ίδιος Φασματική πυκνότητα ισχύος θορύβου ίδια Διάρκεια μετάδοσης ενός μπλοκ k ψηφίων μηνύματος T w = k/r b r > r b p r > p rb T < T b r b, r = r b (/k) στο Κ.Σ., r =r b στο Α.Σ. q u p e bit καναλιού για Α.Σ. q p e»» για Κ.Σ.

15 ΕΠΙΔΟΣΗ ΚΩΔΙΚΩΝ ΜΠΛΟΚ ΣΕ ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ () Pu be p e αποκωδικοποίηση ενός bit μηνύματος για Α.Σ. P be p e»»»» για Κ.Σ. Pu p e αποκωδικοποίησης μιας λέξης από bit μηνύματος, Α.Σ. P p e»»»»»», K.Σ. t Ικανότητα διόρθωσης σφάλματος του κώδικα p = ΑΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ p u be = q u p = p( και τα k bits σωστά) k u k u ( qu ) p = ( qu ), αν kqu << p kqu u ΕΠΙΔΟΣΗ ΚΩΔΙΚΩΝ ΜΠΛΟΚ ΣΕ ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ () ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΜΕΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Μία λέξη από k ψηφία μηνύματος θα αποκωδικοποιηθεί λάθος, όταν περισσότερα από t σφάλματα στην κωδική λέξη των bits. p = = p[ ( t + ) ή περισσότερα σφάλματα] i i () i q ( q ) = p(,i) i= t+ i= t+ t+ t ( + ) << p(,i) p ( ) q ( q ) p,i t+ Διωνυμική κατανομή

16 ΕΠΙΔΟΣΗ ΚΩΔΙΚΩΝ ΜΠΛΟΚ ΣΕ ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ () Άρα: Η πλειοψηφία των σφαλμάτων αποκωδικοποίησης οφείλεται σε t+ λαθεμένα bits στην Κ.Λ. των bits. Λαθεμένα bits μηνύματος / λέξη: (t+) (k/) Μέσοςρυθμόςσφαλμ. Bits μηνύματος: r p b be = p r w ( t + ) k r rw = r = rb k p be t + = p ΕΠΙΔΟΣΗ ΚΩΔΙΚΩΝ ΜΠΛΟΚ ΣΕ ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ () Παράδειγμα: Σε δυαδικό συμμετρικό κανάλι, η πιθανότητα σφάλματος δίνεται από τον τύπο: p e = Q([S av /r ] / ) Σύγκριση πιθανοτήτων σφαλμ. bit και λέξης σε Α.Σ. και Κ.Σ. Με κώδικα (,7) BCC που διορθώνει μέχρι σφάλματα. = k=7 t= / S av S qu = Q, q = Q r b r u u Α.Σ. pbe = qu, p = Κ.Σ. p = ( ) q ( q ) pbe = p t + pbe = p av b ( q ) 7 7 u / 6

17 ΕΠΙΔΟΣΗ ΚΩΔΙΚΩΝ ΜΠΛΟΚ ΣΕ ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ (6) Πιθανότητα σφάλματος q u u p q q > q u Για S av /r b > u p < p Υποβιβασμός του r b μείωση της p - p S av /r b ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΜΕ ΔΙΑΚΟΠΗ ΚΑΙ ΑΝΑΜΟΝΗ Δ Επανεκπομπή Μπλοκ Μπλοκ Μπλοκ Μπλοκ Τα μπλοκ εκπομπής t o ACK Μπλοκ Μπλοκ (Λάθος) t o +Δ t o +t +Δ ACK ACK Μπλοκ Μπλοκ t Τα μπλοκ λήψης 7

18 ΕΠΙΔΟΣΗ ΚΩΔΙΚΩΝ ΜΠΛΟΚ ΣΕ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ () Κανάλι Επιστροφής r = f (συστήματος επανεκπομπής) και όχι r =(/k) r b,όπως πριν ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗΣ Διακοπής & Αναμονής Συνεχούς Επανεκπομπής ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΙΑΚΟΠΗΣ & ΑΝΑΜΟΝΗΣ ρυθμός bit καναλιού (r =?) Για μετάδοση Ν μπλοκ Χρόνος Τ Ν =Ν [(/r )+ Δ] Λαθεμένα: Ν P Αποδεκτά: N (-P ) ΕΠΙΔΟΣΗ ΚΩΔΙΚΩΝ ΜΠΛΟΚ ΣΕ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ () χρόνος μετάδοσης των αποδεκτών bits N P ( P ) r b = P k r rb = + Δ r = ( P ) ( να είναι λάθος t + bits ή περισσότ. στη λέξη) i i= t+ k + Δ r TN = N r i i t+ t () q ( q ) ( ) ( q ) ( q ) t+ r q, για q <. 8

19 ΜΕΘΟΔΟΣ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ (Cotiuous Method) Χρόνος Μεταδιδομενο μπλοκ Λαμβανομενα ACK/NACK Λαμβανομενο μπλοκ Καθυστέρηση προς τη μία φορά (= μπλοκ για το παράδειγμα) Οπισθοδρόμηση κατά μπλοκ και επανεκπομπή ACK ACK NACK NACK NACK NACK NACK 6 7 Ανίχνευση σφάλματος στο μπλοκ αυτό, οπότε ο δέκτης στέλνει NACK. Οδέκτης στέλνει αυτόματα NACK γι αυτά τα μπλοκ αφού θα ξαναεκπεμφθούν k rb = r p = t+ t ( ) q ( q ) t+ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΜΕ ΤΙΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ Σύστημα επικοινωνίας έχει τα εξής χαρακτηριστικά: r b =. bits/se k = bits (μήκος λέξης σε Α.Σ.) Ρυθμός bit καναλιού μεταβλητό ως 8. bits/se q = Q(S av /r ) / καναλιού S av / =. Δ = mse, καθυστ. βρόγχου α) Pu στην ακωδ. μετάδοση β) P για κωδ. BCH (7,) t διόρθ. γ) P»» (7,), ανίχν. t με μέθοδο Διακοπής-Αναμ. δ) P για κωδ.(7,), ανιχν. t μέθοδος συνεχούς μετάδοσης α) r = r b =. bits/se q u = Q( ) / = - pu = (-q u ) pu =,7 συνάρτηση Erf 9

20 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 9.9 () 7 b) r = rb = = k q = Q p p k ) rb q = Q = ( 8) = 7 ( ) q ( q ) ( + Δ r ) 7 ( 7,87) =,7 p = ( ) q ( q ) 7 6 ( ) q ( q ) p = 8.67 r d) Συν.Μετάδοση r = rb k = q = p =,69 7 7r = 7 7 +,r r =., q = r =. bits/se