Transcript

1 ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Κλασικές και Στατιστικές Συγκλίσεις σε Τοπολογικούς Χώρους ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Γεώργιος Α. Πρίνος Επιβλέπων: Δημήτριος Γεωργίου Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών Πάτρα Ιούνιος 2016

2

3 ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Κλασικές και Στατιστικές Συγκλίσεις σε Τοπολογικούς Χώρους ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Γεώργιος Α. Πρίνος Επιβλέπων: Δημήτριος Γεωργίου Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών Εγκρίθηκε από την τριμελή εξεταστική επιτροπή την 14η Ιουνίου Δημήτριος Γεωργίου Γεώργιος Ελευθεράκης Σοφία Ζαφειρίδου Καθηγητής Λέκτορας Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Πατρών Πανεπιστημίου Πατρών Πανεπιστημίου Πατρών Πάτρα Ιούνιος

4 Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Γεώργιος Α. Πρίνος c Με την επιφύλαξη παντός δικαιώματος. 4

5 Περίληψη Η σύγκλιση ακολουθιών αποτελεί μια από τις πιο σημαντικές έννοιες στην τοπολογία και ιδιαίτερα στις περιοχές αυτής που αφορούν την Ανάλυση. Ωστόσο, παρά το σπουδαίο τους ρόλο, αδυνατούν να περιγράψουν σημαντικές τοπολογικές ιδιότητες. Σ αυτή τη διπλωματική εργασία καταδεικνύουμε την αδυναμία αυτή. Δίνουμε το χαρακτηρισμό της κατηγορίας των τοπολογικών χώρων που μπορεί να καθοριστεί πλήρως από τη γνώση των συγκλινουσών ακολουθιών του και αποδεικνύουμε ότι αποτελούν πηλίκα μετρικών χώρων. Τα δίκτυα και φίλτρα ορίζονται ακολούθως, με σκοπό να ξεπεραστούν οι ανεπάρκειες των ακολουθιών. Δείχνουμε πώς επεκτείνουν την έννοια της σύγκλισης και επιτρέπουν την γενίκευση ορισμένων από τα θεωρήματα που αληθεύουν σε μετρικούς χώρους, σε αυθαίρετους τοπολογικούς χώρους. Αναφέρουμε το βασικό αποτέλεσμα του J. Kelley για τις κλάσεις σύγκλισης δικτύων. Στη συνέχεια δίνουμε τον ορισμό της ασυμπτωτικής (φυσικής) πυκνότητας ενός υποσυνόλου των φυσικών και αποδεικνύουμε τις βασικές ιδιότητές της. Δείχνουμε πώς με τη βοήθεια αυτής, η σύγκλιση μιας ακολουθίας μπορεί να επεκταθεί στην στατιστική σύγκλιση ακολουθίας στους πραγματικούς, σε μετρικούς και γενικότερα τοπολογικούς χώρους. Τέλος ορίζουμε και μελετάμε την έννοια της I-σύγκλισης για ακολουθίες και δίκτυα, όπου I ένα ιδεώδες. Λέξεις Κλειδιά: Ακολουθιακός, Δίκτυο, Φίλτρο, s-σύγκλιση, I-σύγκλιση 5

6 Summary The convergence of sequences is one of the most significant concepts in topology, particularly in areas which relate to Analysis. Despite their important role, they are unable to describe major topological properties. In this master thesis we demonstrate this weakness. We characterize the class of topological spaces which can be specified completely by the knowledge of convergent sequences and prove that they are quotients of metric spaces. Nets and filters are defined as follows in order to overcome the shortcomings of sequences. We show how they extend the notion of convergence and allow the generalization of some of the theorems which are true for metric spaces, to arbitrary topological spaces. We report the main result of J. Kelley for convergence classes of nets. Then we define the asymptotic (natural) density of a subset of naturals and prove their basic properties. We show how to this assistance, the convergence of a sequence can be extended to statistical convergence of a sequence in reals, in metric and in general topological spaces. Finally we define and study the concept of I-convergence for sequences and nets, where I is an ideal. Key Words: Sequential, Net, Filter, s-convergence, I-convergence 6

7 Πρόλογος Η παρούσα διπλωματική εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια του Μεταπτυχιακού Προγράμματος Σπουδών του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Πατρών, υπό την επίβλεψη του κ. Δημήτρη Γεωργίου Καθηγητή Πανεπιστημίου Πατρών. Αποφασιστικό ρόλο στην περάτωσή της έπαιξαν η συνεχής καθοδήγηση και οι πολύτιμες υποδείξεις του, γι αυτό και τον ευχαριστώ θερμά. Επίσης ένα μεγάλο ευχαριστώ οφείλω στη μητέρα μου, που χωρίς τη στήριξή της σε κάθε επίπεδο, θα ήταν αδύνατο να ολοκληρώσω τις σπουδές μου. 7

8 Στις ανιψιές μου Χρυσάνθη και Ευγενία

9 Βασικοί Συμβολισμοί A ή cl(a): η κλειστή θήκη (ή κλειστότητα) του συνόλου A seqcl(a): η ακολουθιακή κλειστή θήκη (ή ακολουθιακή κλειστότητα) του συνόλου A A d : το σύνολο των οριακών σημείων του συνόλου A Bd(A): το σύνολο των συνοριακών σημείων του συνόλου A P(A): το δυναμοσύνολο του συνόλου A χ A : η χαρακτηριστική συνάρτηση του συνόλου A : η συμμετρική διαφορά N (x): η οικογένεια γειτονιών στο σημείο x U(x): η βάση γειτονιών στο σημείο x adh(f): το σύνολο των σημείων προσκόλλησης του φίλτρου F d(a)(d(a), d(a)): η ασυμπτωτική (άνω, κάτω) πυκνότητα του συνόλου A N δ(a)(δ(a), δ(a)): η λογαριθμική (άνω, κάτω) πυκνότητα του συνόλου A N lim sup(lim inf): ανώτερο (κατώτερο) όριο st lim sup(st lim inf): στατιστικό ανώτερο (κατώτερο) όριο 9

10 10

11 Περιεχόμενα Εισαγωγή 13 ΜΕΡΟΣ Α Κεφάλαιο 1 Ακολουθιακοί χώροι Σύγκλιση ακολουθιών σε τοπολογικούς χώρους Οι ακολουθίες δεν επαρκούν Ανοικτά υποσύνολα και ακολουθιακά ανοικτά υποσύνολα Οι ακολουθιακοί χώροι ως πηλίκα μετρικών χώρων Frechet-Urysohn χώροι Κεφάλαιο 2 Δίκτυα και φίλτρα Κατευθυνόμενα σύνολα και δίκτυα Υποδίκτυα και σύγκλιση Κλάσεις σύγκλισης Συνέχεια και συμπάγεια Καθολικά δίκτυα Φίλτρα Σύγκλιση φίλτρων Υπερφίλτρα ΜΕΡΟΣ Β Κεφάλαιο 3 Ασυμπτωτική (φυσική) πυκνότητα Η έννοια της ασυμπτωτικής πυκνότητας

12 3.2 Ασυμπτωτική πυκνότητα και μέτρο πυκνότητας Άλλες πυκνότητες Κεφάλαιο 4 Στατιστική σύγκλιση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών Στατιστική σύγκλιση ακολουθίας στο R Στατιστικώς Cauchy ακολουθία στο R Στατιστικό οριακό σημείο και σημείο επαφής Στατιστικά limit superior και limit inferior σημεία Κεφάλαιο 5 Στατιστική σύγκλιση σε μετρικούς και τοπολογικούς χώρους Στατιστική σύγκλιση ακολουθίας σε μετρικό χώρο Στατιστικά φραγμένη ακολουθία σε μετρικό χώρο Οι s και s -συγκλίσεις ακολουθίας σε τοπολογικό χώρο Στατιστικά οριακά σημεία και στατιστικά σημεία επαφής σε τοπολογικό χώρο Κεφάλαιο 6 I-σύγκλιση και I -σύγκλιση για ακολουθίες και δίκτυα Η I-σύγκλιση σε μετρικούς χώρους Η I -σύγκλιση σε μετρικούς χώρους Οι I και I -συγκλίσεις σε τοπολογικούς χώρους Βιβλιογραφία 131 Ευρετήριο

13 Εισαγωγή Η σύγκλιση των ακολουθιών αποτελεί μια από τις πιο βασικές και πιο διαισθητικές έννοιες της τοπολογίας. Ωστόσο οι ακολουθίες σημείων σε γενικούς τοπολογικούς χώρους δεν κωδικοποιούν πλήρως σημαντικά τοπολογικά χαρακτηριστικά, όπως ακριβώς συμβαίνει για παράδειγμα σε μετρικούς χώρους. Είναι γνωστό ότι για μια απεικόνιση f : X Y μεταξύ μετρικών χώρων, οι ακόλουθες δύο συνθήκες είναι ισοδύναμες: Η f είναι συνεχής. Για κάθε ακολουθία στον X, που συγκλίνει στο x X, η σύνθεση της f με την ακολουθία αυτή, συγκλίνει στο f(x) Y. Είναι αλήθεια, ότι η πρώτη συνθήκη συνεπάγεται την δεύτερη και σε γενικότερους τοπολογικούς χώρους, αλλά όχι το αντίστροφο. Ωστόσο αν θεωρήσουμε χώρους, όπου το πλήθος των βασικών γειτονιών ενός σημείου δεν υπερβαίνει το πλήθος των όρων της ακολουθίας, τότε αποκαθίσταται η ισοδυναμία τους (ουσιαστικά θα δούμε ότι αυτό συμβαίνει για μια κάπως ευρύτερη κλάση χώρων). Φαίνεται λοιπόν ότι οι ακολουθίες είναι ανεπαρκείς για το έργο της περιγραφής της τοπολογίας γενικότερα. Ωστόσο πρέπει να μας ανησυχεί αυτό; Πολλές ιδιότητες των μετρικών χώρων αδυνατούν να γενικευθούν σε τοπολογικούς χώρους και αυτό είναι που κάνει τη μελέτη των τοπολογικών χώρων τόσο ενδιαφέρουσα. Υπάρχουν περισσότεροι από ένας τρόποι που μπορούμε να ανταποκριθούμε. Μια δυνατότητα είναι να δεχτούμε ότι οι ακολουθίες δεν μπορούν να κάνουν τα πάντα και στη συνέχεια να δούμε τι μπορούν να κάνουν και πότε. Ενα φυσικό πρόβλημα το οποίο διαμορφώνεται σ αυτή την περίπτωση είναι το εξής: «να χαρακτηριστεί η κλάση των τοπολογικών χώρων, που μπορούν να καθοριστούν πλήρως, από τη γνώση των συγκλινουσών ακολουθιών τους». Το πρόβλημα αυτό θεωρήθηκε από τους V. Ponomarev [61] το 1960 και A. Arhangel skiĭ [2] το 1963, οι οποίοι έδωσαν χαρακτηρισμούς για τις κλάσεις των πρώτων-αριθμησίμων χώρων και Hausdorff Frechet-Urysohn χώρων αντίστοιχα. Η λύση στο πρόβλημα του χαρακτηρισμού της κλάσης αυτής (των ακολουθιακών χώρων) δόθηκε από τον S. Franklin [22] το Ο Franklin έδειξε ότι: ένας χώρος είναι ακολουθιακός, αν και μόνο αν, είναι το πηλίκο κάποιου μετρικού χώρου. Αξίζει να σημειωθεί, ότι παρά το γεγονός ότι οι ακολουθιακοί χώροι και 13

14 οι χώροι Frechet-Urysohn εμφανίστηκαν αρκετά νωρίς στη γενική τοπολογία, για πρώτη φορά εξετάστηκαν ενδελεχώς από τον Franklin [22, 23]. Επιπλέον, κατά μία έννοια που αναπτύχθηκε από τον R. Dudley [18], η προκύπτουσα θεωρία της ακολουθιακής σύγκλισης είναι κατάλληλη για σχεδόν όλη την ανάλυση σήμερα (συμπεριλαμβανομένης και της θεωρίας κατανομών). Θα πρέπει επίσης να αναφερθεί ότι ένα μεγάλο έργο για τους ακολουθιακούς χώρους έχει γίνει από την Τσεχοσλοβάκικη σχολή, με επικεφαλής τον E. Cech και στη συνέχεια από τον J. Novak. Μια άλλη προσέγγιση είναι να σταματήσουμε να σκεφτόμαστε τη σύγκλιση σε όρους ακολουθιών και να τις αντικαταστήσει μια γενικότερη θεωρία σύγκλισης, που θα είναι ε- παρκής σε κάθε τοπολογικό χώρο. Αυτό γίνεται στις δίδυμες θεωρίες των δικτύων και των φίλτρων. Δίκτυα και φίλτρα ορίστηκαν για να ξεπεραστούν οι ανεπάρκειες των ακολουθιών. Μπορούν να πάνε βαθύτερα, επεκτείνοντας της έννοια της σύγκλισης στο σημείο, που να εξασφαλίζεται ότι όλες οι σημαντικές έννοιες της τοπολογίας, μπορούν να χαρακτηριστούν με όρους που αφορούν τη σύγκλιση αυτών των αντικειμένων. Με την εισαγωγή της έννοιας του δικτύου, η έννοια της ακολουθίας γενικεύεται, έτσι ώστε να επιβεβαιώσει την ισοδυναμία των δύο συνθηκών στο αρχικό παράδειγμα (με την «ακολουθία» να αντικαθίσταται από το «δίκτυο» στην δεύτερη). Η ανάπτυξη της θεωρίας σύγκλισης μέσω δικτύων έχει μια περίπλοκη ιστορία. Σε κάποια μορφή, η έννοια αναπτύχθηκε για πρώτη φορά από τον E. Moore το 1910, στις διαλέξεις του [53] και στη συνέχεια, το 1915 στην εργασία του [54]. Αυτή η μελέτη της μη διατεταγμένης αθροιστικότητας των ακολουθιών οδήγησε τον Moore αργότερα σε μια πληρέστερη θεωρία της σύγκλισης [55], γραμμένη από κοινού με το φοιτητή του H. Smith, το Οι Moore και Smith ενδιαφέρονταν κυρίως για εφαρμογές της ανάλυσης. Η έμφαση της εργασίας τους ήταν σε μια ενιαία έννοια του ορίου, από την οποία όλες οι διάφορες περίπλοκες εμφανίσεις οριακών διαδικασιών, που συναντά κανείς στην ανάλυση, μπορεί να προκύψουν. Ετσι η θεωρία τους περιορίστηκε σε «ακολουθίες Moore-Smith» (δηλαδή δίκτυα) με τιμές στο R, C ή κάποιο χώρο Banach. Το 1937 ο G. Birkhoff [7] εφάρμοσε τη θεωρία των Moore-Smith στη γενική τοπολογία, για να περιγράψει τη σύγκλιση σε γενικούς τοπολογικούς χώρους από την άποψη των δικτύων. Ωστόσο, η θεωρία του ήταν περιορισμένη και περίπλοκη, επειδή ένα ακατάλληλο αντίστοιχο της υπακολουθίας χρησιμοποιήθηκε σ αυτήν. Το 1940 ο J. Tukey έκανε εκτεταμένη χρήση της θεωρίας στη μονογραφία του [74]. Η μονογραφία του Tukey είναι συστηματική και θεμελιώδης, ωστόσο χρησιμοποιεί μια γλώσσα η οποία δεν φαίνεται να έπεισε και πολλούς να τη μιλούν. Ο Tukey εργάστηκε με αντικείμενα, που ήταν γενικεύσεις των ακολουθιών, που τα ονόμασε phalanxes. Η ορθή περιγραφή της σύγκλισης σε γενικούς 14

15 τοπολογικούς χώρους, από την άποψη των δικτύων δόθηκε από τον J. Kelley το 1950 στην εργασία του [38] και στο βιβλίο του General Topology (1955). Ο Kelley απλοποίησε και επέκτεινε τα αποτελέσματα των Birkhoff και Tukey, σχετικά με τη Moore-Smith σύγκλιση. Εκτός από την χρήση του όρου «δίκτυο» για πρώτη φορά, είναι ο πρώτος που αναγνωρίζει το υποδίκτυο, ως ουσιαστική έννοια της θεωρίας. Εδειξε ότι, υπό κατάλληλες προϋποθέσεις, η γνώση της πληροφορίας του ποια δίκτυα συγκλίνουν και σε ποια σημεία του τοπολογικού χώρου, είναι αρκετή για να ανακτηθεί μονοσήμαντα η τοπολογία του. Εισάγει την έννοια του καθολικού δικτύου και την εφαρμόζει, για να δώσει μια σύντομη απόδειξη του θεωρήματος συμπάγειας του Tychonoff. Μια ισοδύναμη θεωρία της σύγκλισης, χρησιμοποιώντας αντικείμενα που ονομάζονται φίλτρα προέκυψε στη δεκαετία του τριάντα από την ομάδα Bourbaki στη Γαλλία. Η έννοια της σύγκλισης, όσον αφορά τα φίλτρα, σκιαγραφήθηκε για πρώτη φορά από τον H. Cartan (φίλτρα εμφανίστηκαν για πρώτη φορά στον F. Riesz το 1908). Πράγματι, το 1937 ο Cartan είχε την έμπνευση της ιδέας κατά τη διάρκεια μιας ανάπαυλας σε ένα Seminaire Bourbaki. Οι ιδέες του βρίσκονται στα [13, 14]. Κατόρθωσε να πείσει τους άλλους της ομάδας των Bourbaki για τη σημασία αυτής της ιδέας, με αποτέλεσμα το βιβλίο Topologie Generale (1940) των Bourbaki, να εισάγει τα φίλτρα νωρίς και να τα χρησιμοποιεί συστηματικά. Η ισοδυναμία των δύο θεωριών σημειώθηκε, από τον R. Bartle [5], καθώς και από τους G. Bruns και J. Schmidt [10], το Η ιδέα του καθολικού δικτύου από τον Kelley παρακινείται από εκείνη του υπερφίλτρου του Cartan. Αξίζει να σημειώσουμε ότι παρά το γεγονός, ότι οι δύο θεωρίες είναι αποδεδειγμένα ι- σοδύναμες, εντούτοις ορισμένες έννοιες εμφανίζονται περισσότερο φυσικές στη μία, από την ομόλογή τους στην άλλη. Για παράδειγμα οι έννοιες του ορίου και του οριακού σημείου φαίνονται πιο φυσικές για τα δίκτυα, απ ότι στα φίλτρα. Από την άλλη πλευρά, η έννοια του υποφίλτρου ορίζεται πιο εύκολα, από την αντίστοιχη έννοια του υποδικτύου. Στην σύγκλιση ακολουθιών στην κλασική ανάλυση, «σχεδόν όλοι» οι όροι μιας ακολουθίας, πρέπει να ανήκουν σε μια αυθαίρετα μικρή γειτονιά του ορίου. Η κύρια ιδέα της στατιστικής σύγκλισης είναι να χαλαρώσει αυτή τη συνθήκη και να απαιτήσει την εγκυρότητα της, μόνο για την «πλειονότητα» των στοιχείων. Με άλλα λόγια τα «περισσότερα στοιχεία της ακολουθίας συγκλίνουν» και δεν μας νοιάζει τι συμβαίνει με τα υπόλοιπα. Η έννοια της στατιστικής σύγκλισης ακολουθιών πραγματικών αριθμών εισήχθη για πρώτη φορά από τον H. Fast [21] και τον H. Steinhaus [71] (βλ. επίσης [66]) και βασίζεται στην έννοια της ασυμπτωτικής πυκνότητας ενός συνόλου A N. Ωστόσο, η πρώτη ιδέα της στατιστικής 15

16 σύγκλισης εμφανίστηκε (με το όνομα σχεδόν σύγκλιση) στην πρώτη έκδοση (Βαρσοβία, 1935) της μονογραφίας [76] του A. Zygmund. Ο I. Schoenberg [66] έδωσε κάποιες βασικές ιδιότητες της στατιστικής σύγκλισης και επίσης, μελέτησε την έννοια ως αθροιστική μέθοδο. Στα [24, 25], ο J. Fridy εισάγει την έννοια της στατιστικά Cauchy ακολουθίας και των στατιστικών οριακών σημείων. Συγκρίνει τη στατιστική σύγκλιση, ως αθροιστική μέθοδο, με εκείνη της γενικής μεθόδου πινάκων. Η σχέση της με άλλες αθροιστικές μεθόδους εξετάζεται στο [16], από τον J. Connor. Ο T. Salat [63], μελετά τα σύνολα των φραγμένων και μη, στατιστικά συγκλινουσών ακολουθιών στο R. Η στατιστική σύγκλιση επεκτείνεται σε μετρικούς χώρους (βλ. για παράδειγμα το [42]). Οι G.D. Maio και L.D. Kocinac [50] ορίζουν την στατιστική σύγκλιση σε τοπολογικούς και uniform χώρους. Παρά το γεγονός ότι η έννοια της στατιστικής σύγκλισης, έχει κάνει την εμφάνισή της περισσότερο από μισό αιώνα πριν, μόνο πρόσφατα έχει γίνει περιοχή ενεργού έρευνας και εφαρμόζεται σε διάφορους τομείς, όπως η θεωρία μέτρου, η θεωρία πιθανοτήτων, η θεωρία αριθμών, οι τριγωνομετρικές σειρές, οι τοπικά κυρτοί χώροι, οι πυκνότητες υποσυνόλων των φυσικών αριθμών, η Stone-Chech συμπαγοποίηση των φυσικών αριθμών, οι Banach χώροι, η ασαφής θεωρία συνόλων κ.τ.λ. (αναφορές στη βιβλιογραφία μπορεί να βρει κανείς στο [1]). Αυτό οφείλεται στο ότι είναι αρκετά αποτελεσματική, ιδιαίτερα όταν το κλασικό όριο ακολουθίας αποτυγχάνει. Πρόσφατες μελέτες δείχνουν ότι η έννοια της στατιστικής σύγκλισης παρέχει σημαντική συμβολή στην βελτίωση της κλασικής ανάλυσης. Η έννοια της I-σύγκλισης μιας ακολουθίας πραγματικών αριθμών εισήχθη για πρώτη φορά στο [41] και βασίζεται στην έννοια του ιδεώδους ενός υποσυνόλου φυσικών αριθμών. Στη συνέχεια επεκτάθηκε σε μετρικούς χώρους [43], σταθμικούς γραμμικούς χώρους [65], πεπερασμένης διάστασης χώρους [60] και σε τοπολογικούς χώρους [48]. Η I-σύγκλιση αποτελεί γενίκευση της συνήθους σύγκλισης και της στατιστικής σύγκλισης των ακολουθιών. Στο [49] οι B. K. Lahiri και P. Das επεκτείνουν την ιδέα της I-σύγκλισης σε δίκτυα. Η διπλωματική αυτή εργασία χωρίζεται σε δύο μέρη. Το πρώτο μέρος αριθμεί δύο κεφάλαια και το δεύτερο μέρος τέσσερα κεφάλαια. Στο πρώτο κεφάλαιο δίνουμε αρχικά την έννοια της συγκλίνουσας ακολουθίας και του οριακού σημείου, σε αυθαίρετους τοπολογικούς χώρους. Διατυπώνουμε ικανές συνθήκες, ώστε να εξασφαλίζεται μια ανάλογη θεωρία σύγκλισης με αυτήν των μετρικών χώρων και σε τοπολογικούς χώρους: το αξίωμα Hausdorff εξασφαλίζει την μοναδικότητα του ορίου, καθώς βασική είναι και η ύπαρξη μιας αριθμήσιμης βάσης γειτονιών, σε κάθε σημείο του χώρου. Ωστόσο διαπιστώνουμε ότι η θεωρία αυτής της σύγκλισης είναι ανεπαρκής στο να περιγράψει σημαντικές τοπολογικές έννοιες, όπως για παράδειγμα η κλειστότητα και η συ- 16

17 νέχεια, σε γενικότερους χώρους. Ακολούθως ορίζουμε το ακολουθιακά ανοικτό και κλειστό υποσύνολο, με σκοπό το χαρακτηρισμό στη συνέχεια, της κλάσης των χώρων (ακολουθιακοί χώροι), στους οποίους η τοπολογία μπορεί να περιγραφεί κάνοντας χρήση των συγκλινουσών ακολουθιών. Αποδεικνύουμε ότι κάθε πρώτος-αριθμήσιμος χώρος (άρα και μετρικός) είναι ακολουθιακός. Εισάγουμε τον τελεστή ακολουθιακής κλειστότητας. Δείχνουμε ότι ένας χώρος είναι ακολουθιακός, αν και μόνο αν, είναι το πηλίκο κάποιου μετρικού χώρου. Τέλος ορίζουμε τους χώρους Frechet-Urysohn και διατυπώνουμε το συσχετισμό αυτών και των ακολουθιακών χώρων με την έννοια της ακολουθιακής τάξης. Στο δεύτερο κεφάλαιο επεκτείνουμε την έννοια της σύγκλισης σε δίκτυα και φίλτρα. Μελετάμε σε κάποιο βαθμό και τις δύο αυτές έννοιες, με τη σειρά που αναφέρονται. Αρχικά ορίζουμε το κατευθυνόμενο σύνολο, το δίκτυο και το συγκλίνων δίκτυο, σε αυθαίρετο τοπολογικό χώρο. Διατυπώνουμε χαρακτηρισμούς της κλειστής θήκης και κατ επέκταση του κλειστού-ανοικτού συνόλου σε όρους σύγκλισης δικτύων. Δείχνουμε ότι η μοναδικότητα του ορίου είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη, ώστε ένας χώρος να είναι Hausdorff. Ορίζουμε το υποδίκτυο και το οριακό σημείο δικτύου. Στη συνέχεια δίνουμε αξιωματικό χαρακτηρισμό της σύγκλισης δικτύων, με τη βοήθεια των κλάσεων σύγκλισης του Kelley. Τυπικά μιλώντας, υποθέτουμε ότι μας δίνεται ένα σύνολο X και μια κλάση C, που αποτελείται από διατεταγμένα ζεύγη (S, s), όπου S είναι ένα δίκτυο στο X και s σημείο του X. Διατυπώνουμε προϋποθέσεις, που αν τεθούν στην κλάση C, θα εγγυηθούν την ύπαρξη μιας μοναδικής τοπολογίας τ στο X τέτοιας ώστε: (S, s) C, τότε και μόνο τότε, όταν το δίκτυο S συγκλίνει στο σημείο s, σε σχέση με την τοπολογία τ. Επειτα, χαρακτηρίζουμε τη συνέχεια και τη συμπάγεια σε όρους σύγκλισης δικτύων. Ορίζουμε τα καθολικά δίκτυα και αποδεικνύουμε, με τη βοήθεια αυτών, το θεώρημα συμπάγειας του Tychonoff. Ακολουθούν οι έννοιες του φίλτρου, της βάσης, της υποβάσης, του συγκλίνοντος φίλτρου, του λεπτότερου φίλτρου και του οριακού σημείου φίλτρου. Χαρακτηρίζουμε το ανοικτό σύνολο και το σημείο επαφής υποσυνόλου, σε όρους σύγκλισης των φίλτρων. Αναπτύσουμε τον δυϊσμό των εννοιών δικτύων και φίλτρων (σημειώνουμε τον κανονικό τρόπο μετάβασης από δίκτυα σε φίλτρα και το αντίστροφο). Χαρακτηρίζουμε τη συνέχεια σε όρους φίλτρων, ορίζουμε τα υπερφίλτρα και τέλος χαρακτηρίζουμε την συμπάγεια. Στο τρίτο κεφάλαιο ορίζουμε την ασυμπτωτική (φυσική) πυκνότητα για ένα υποσύνολο του συνόλου των φυσικών αριθμών. Αποδεικνύουμε τις βασικές ιδιότητές της. Δείχνουμε πως μπορεί αυτή να επεκταθεί σε μέτρο πυκνότητας με τη βοήθεια των υπερφίλτρων. Τέλος αναφέρουμε άλλες πυκνότητες. 17

18 Στο τέταρτο κεφάλαιο ορίζουμε την στατιστική σύγκλιση ακολουθίας πραγματικών α- ριθμών, με τη βοήθεια της ασυμπτωτικής πυκνότητας. Διατυπώνουμε αναγκαία και ικανή συνθήκη, ώστε μια ακολουθία πραγματικών αριθμών να συγκλίνει στατιστικά. Δίνουμε α- ριθμητικές ιδιότητες της στατιστικής σύγκλισης, ανάλογες της συνήθους σύγκλισης. Αποδεικνύουμε ότι το σύνολο όλων των φραγμένων και στατιστικά συγκλινουσών ακολουθιών πραγματικών αριθμών, είναι γραμμικός υπόχωρος του γραμμικού σταθμικού χώρου όλων των φραγμένων ακολουθιών πραγματικών αριθμών (με στάθμη x = sup x n ). Στη συνέχεια διατυπώνουμε την έννοια της στατιστικώς Cauchy ακολουθίας και δείχνουμε ότι n N είναι ισοδύναμη με αυτή της στατιστικά συγκλίνουσας ακολουθίας. Ακολούθως ορίζουμε το στατιστικό οριακό σημείο, το στατιστικό σημείο επαφής, τα στατιστικά limit superior και limit inferior σημεία, μιας ακολουθίας πραγματικών αριθμών. Αποδεικνύουμε ιδιότητες. Στο πέμπτο κεφάλαιο επεκτείνουμε την έννοια της στατιστικά συγκλίνουσας ακολουθίας σε μετρικούς χώρους. Διατυπώνουμε ικανή συνθήκη έτσι ώστε μια υπακολουθία, μιας στατιστικά συγκλίνουσας ακολουθίας, να συγκλίνει στατιστικά στο ίδιο όριο. Στη συνέχεια αποδεικνύουμε ότι υπάρχει μια ένα-προς-ένα αντιστοιχία, μεταξύ των μετρικοποιήσιμων τοπολογιών στο X και των υποσυνόλων, του συνόλου X των ακολουθιών στο X, με στοιχεία όλες τις στατιστικά συγκλίνουσες ακολουθίες. Ακολούθως δίνουμε την έννοια της στατιστικά φραγμένης ακολουθίας και αναφέρουμε ιδιότητες. Εισάγουμε και μελετάμε τη στατιστική σύγκλιση σε (Hausdorff) τοπολογικούς χώρους. Ξεχωρίζουμε δύο διαφορετικά είδη στατιστικών συγκλίσεων: τις s- και s -συγκλίσεις. Διαπιστώνουμε ότι αυτές οι συγκλίσεις είναι ταυτόσημες σε πρώτους-αριθμήσιμους χώρους. Επεκτείνουμε τις έννοιες του στατιστικού οριακού σημείου και του στατιστικού σημείου επαφής, μιας ακολουθίας πραγματικών αριθμών (βλ. προηγούμενο κεφάλαιο), για ακολουθίες σε τοπολογικούς χώρους. Τέλος δίνουμε αποτελέσματα που καταδεικνύουν την τοπολογική φύση της σύγκλισης αυτής. Στο έκτο κεφάλαιο ορίζουμε αρχικά το ιδεώδες (γνήσιο, μη τετριμμένο, αποδεκτό και maximal), ενός μη κενού συνόλου X. Σημειώνουμε τη δυϊκή σχέση, μεταξύ των εννοιών του γνησίου ιδεώδους και του φίλτρου, ενός συνόλου. Δίνουμε την έννοια της I-συγκλίνουσας ακολουθίας σε μετρικούς χώρους, βασιζόμενοι στην έννοια του ιδεώδους ενός υποσυνόλου των φυσικών αριθμών. Επιβεβαιώνουμε ότι η I-σύγκλιση αποτελεί γενίκευση της συνήθους σύγκλισης και της στατιστικής σύγκλισης των ακολουθιών. Στη συνέχεια αποδεικνύουμε ιδιότητες αριθμητικές και μη, ανάλογες με τη συνήθη σύγκλιση. Ακολούθως ορίζουμε την I -σύγκλιση ακολουθιών σε μετρικούς χώρους. Διατυπώνουμε αναγκαία και ικανή συνθήκη, για το ιδεώδες I, ώστε οι I- και I -συγκλίσεις είναι ισοδύναμες. Τέλος επεκτείνουμε τις συγκλίσεις αυτές για δίκτυα σε αυθαίρετους τοπολογικούς χώρους. Συσχετίζουμε, το νέο αυτό 18

19 είδος σύγκλισης, με την κλασική σύγκλιση δικτύων και αποδεικνύουμε βασικές ιδιότητες. 19

20 ΜΕΡΟΣ Α

21 Κεφάλαιο 1 Ακολουθιακοί χώροι Στο κεφάλαιο αυτό ορίζουμε την σύγκλιση ακολουθιών σε αυθαίρετους τοπολογικούς χώρους και τονίζουμε τους περιορισμούς της. Στη συνέχεια χαρακτηρίζουμε (αυτός είναι και ο βασικός στόχος) την ευρύτερη εκείνη κλάση τοπολογικών χώρων, στους οποίους η τοπολογία μπορεί να περιγραφεί κάνοντας χρήση των συγκλινουσών ακολουθιών. 1.1 Σύγκλιση ακολουθιών σε τοπολογικούς χώρους Η έννοια της συγκλίνουσας ακολουθίας σε μετρικούς χώρους επεκτείνεται με φυσικό τρόπο και σε τοπολογικούς χώρους. Ωστόσο η γενίκευση αυτή, όπως θα διαπιστώσουμε, δεν γίνεται χωρίς κόστος. Ορισμός Εστω X τοπολογικός χώρος και A υποσύνολο του X. Μια ακολουθία (x n ) n N σημείων στο χώρο X θα λέγεται ότι βρίσκεται τελικά στο A, αν υπάρχει n 0 N τέτοιο ώστε, για κάθε n n 0 να έχουμε x n A. Με άλλα λόγια το A περιέχει όλους τους όρους της ακολουθίας, εκτός ίσως ενός πεπερασμένου πλήθους εξ αυτών. Ορισμός Μια ακολουθία (x n ) n N σημείων σε ένα τοπολογικό χώρο X θα λέγεται ότι συγκλίνει στο σημείο x X, αν για κάθε γειτονιά U του σημείου x, η (x n ) n N βρίσκεται τελικά στη U. Θα γράφουμε ότι lim n x n = x ή x n x. Ορισμός Εστω (x n ) n N μια ακολουθία σημείων σε ένα τοπολογικό χώρο X. Ενα σημείο x X θα ονομάζεται οριακό σημείο της (x n ) n N, αν κάθε γειτονιά U του x περιέχει άπειρο πλήθος όρων της ακολουθίας. 21

22 Είναι σαφές ότι μπορούμε να αντικαταστήσουμε τη «γειτονιά» με τη «βασική γειτονιά» στον ορισμό 1.1.2, χωρίς αυτό να αλλοιώνει το νόημά του. Επίσης ο ορισμός συμφωνεί με το γνωστό ορισμό σύγκλισης ακολουθίας σε μετρικούς χώρους. Σε γενικούς τοπολογικούς χώρους το όριο μιας ακολουθίας, εφόσον υπάρχει, μπορεί να μην είναι μοναδικό (βλ. παραδείγματα που ακολουθούν). Ειδικότερα, αν δύο σημεία ενός χώρου X είναι τοπολογικά δυσδιάκριτα, με άλλα λόγια αν έχουν τις ίδιες ακριβώς γειτονιές, οποιαδήποτε ακολουθία που συγκλίνει στο ένα σημείο θα πρέπει ταυτόχρονα να συγκλίνει και στο άλλο. Παράδειγμα Αν το X είναι είναι μη κενό σύνολο εφοδιασμένο με την τετριμμένη τοπολογία τ = {, X} τότε οποιαδήποτε ακολουθία στο X είναι συγκλίνουσα και όριο είναι οποιοδήποτε σημείο του X. Παράδειγμα Μια ακολουθία (x n ) n N είναι τελικά σταθερή αν υπάρχει x X και n 0, τέτοιο ώστε x n = x, για κάθε n n 0. Λέμε επίσης ότι το x είναι η τελική τιμή της ακολουθίας. Σε κάθε τοπολογικό χώρο μια τελικά σταθερή ακολουθία συγκλίνει προς την τελική τιμή της. Ωστόσο, μια τέτοια ακολουθία μπορεί να έχει και άλλα όρια, όπως στο παραπάνω παράδειγμα. Στην περίπτωση ενός τοπολογικού χώρου X με τη διακριτική τοπολογία τ = P(X), η ακολουθία συγκλίνει στο x, αν και μόνο αν, είναι τελικά σταθερή και x είναι η τελική της τιμή. Παράδειγμα Εστω ότι στο X = R δίνεται η τοπολογία τ των πεπερασμένων συμπληρωμάτων, δηλαδή τ = {A X: A = ή X \ A πεπερασμένο}. Τότε η ακολουθία (x n ) n N με x n = n για κάθε n N συγκλίνει στο 1. Αν όμως δώσουμε στο X την τοπολογία τ των αριθμησίμων συμπληρωμάτων, δηλαδή τ = {A X: A = ή X \ A αριθμήσιμο }, τότε η (x n ) n N δεν συγκλίνει στο 1. Πράγματι το σύνολο R \ {2, 3,... } είναι γειτονιά του 1, αλλά η ακολουθία δεν βρίσκεται τελικά σ αυτή. Παράδειγμα Εστω X = R με την τοπολογία τ που επάγεται σ αυτό από την διαμέριση P = {[4k 2, 4k + 2) : k Z}, δηλαδή τα μέλη της διαμέρισης αποτελούν βάση της τ. Τότε η ακολουθία (x n ) n N με x n = ( 1) n για κάθε n N, συγκλίνει σε κάθε σημείο του διαστήματος [ 2, 2). Παράδειγμα Για X = R, θεωρούμε την τοπολογία του συγκεκριμένου σημείου τ P με P = 0 (είναι η τοπολογία όπου τα σύνολα που θεωρούνται ανοιχτά είναι το κενό ή αυτά που περιέχουν ένα συγκεκριμένο σημείο του X). Στη συνέχεια, οι μόνες ακολουθίες (x n ) n N που συγκλίνουν στο P = 0, είναι οι ακολουθίες οι οποίες είναι τελικά σταθερές (και 22

23 ίσες με το μηδέν), δηλαδή υπάρχει κάποιο n 0 N, τέτοιο ώστε για όλα τα n n 0 έχουμε x n = 0. Παράδειγμα Εστω X = R R με την τοπολογία γινόμενο. Αν f R R, η συλλογή όλων των συνόλων U(f, F, ɛ), όπου F πεπερασμένο υποσύνολο του R και ɛ > 0, της μορφής U(f, F, ɛ) = {g R R : f(x) g(x) < ɛ για κάθε x F }, είναι βάση γειτονιών της f, στον X (βλ. [75]). Η ακολουθία (f n ) n N συγκλίνει στην f, αν και μόνο αν, η ακολουθία (f n (x)) n N συγκλίνει στο f(x), για κάθε x R. Πράγματι αν f n f, τότε ισοδύναμα η f n προσεγγίζει την f σε κάθε πεπερασμένο σύνολο, ισοδύναμα f n (x) f(x), για κάθε x R. Στην περίπτωση που ο X είναι ένας χώρος Hausdorff τότε τα όρια των ακολουθιών, εφόσον αυτά υπάρχουν, είναι μοναδικά. Θεώρημα Εστω X ένας χώρος Hausdorff και (x n ) n N είναι μια συγκλίνουσα ακολουθία στο X. Τότε το όριο της (x n ) n N είναι μοναδικό. Απόδειξη Ας υποθέσουμε ότι η (x n ) n N έχει δύο διακεκριμένα όρια τα x και y. Δεδομένου ότι ο X είναι Hausdorff, μπορούμε να βρούμε ξένες γειτονιές U x και U y των x και y αντίστοιχα. Εστω n x N τέτοιο ώστε x n U x για όλα τα n n x και n y N τέτοιο ώστε x n U y για όλα τα n n y. Στη συνέχεια, για όλα τα n max{n x, n y } έχουμε ότι x n U x U y που είναι αντίφαση, δεδομένου ότι U x U y =. Το αντίστροφο του θεωρήματος δεν αληθεύει γενικά. Δηλαδή, υπάρχουν παραδείγματα τοπολογικών χώρων που δεν είναι χώροι Hausdorff και παραταύτα κάθε συγκλίνουσα ακολουθία τους έχει ένα μοναδικό όριο. Ενα τέτοιο παράδειγμα είναι και το επόμενο. Παράδειγμα Εστω X = R με την τοπολογία των αριθμησίμων συμπληρωμάτων. Θα δείξουμε πρώτα ότι κάθε συγκλίνουσα ακολουθία (x n ) n N σημείων του X έχει ένα μοναδικό όριο. Πράγματι έστω ότι η ακολουθία (x n ) n N συγκλίνει σε δύο διαφορετικά σημεία a και b. Θεωρούμε το ανοικτό σύνολο U a = R \ {x k : x k a}. Είναι σαφές ότι a U a και έτσι πρέπει να υπάρχει κάποιο n a N τέτοιο ώστε x n U a για όλα τα n n a. Αλλά τότε x n = a για όλα τα n n a, αφού x n U a {x n : x n N} = {a}. Με παρόμοιο επιχείρημα δείχνουμε ότι για κάποιο n b N έχουμε x n = b για κάθε n n b. Αλλά τότε x n = a και x n = b για κάθε n max{n a, n b } το οποίο είναι αδύνατο δεδομένου ότι a b. Από την άλλη, ο X δεν είναι χώρος Hausdorff δεδομένου ότι κάθε δύο μη κενά ανοικτά σύνολα έχουν μη τετριμμένη τομή (διαφορετικά η ένωση των αριθμησίμων συμπληρωμάτων τους θα ήταν 23

24 το R, άτοπο). Πρόταση Σε κάθε τοπολογικό χώρο X, μια ακολουθία (x n ) n N συγκλίνει στο x, αν και μόνο αν, κάθε υπακολουθία της (x nk ) k N συγκλίνει στο x. Απόδειξη Αν κάθε υπακολουθία της (x n ) n N συγκλίνει στο x, τότε προφανώς και η α- κολουθία (x n ) n N συγκλίνει στο x, δεδομένου ότι είναι υπακολουθία του εαυτού της. Για να αποδείξουμε την άλλη κατεύθυνση, ας υποθέσουμε ότι η (x n ) n N συγκλίνει στο x, και (x nk ) k N να είναι οποιαδήποτε υπακολουθία της. Εστω U είναι τυχαία γειτονιά του x. Τότε, υπάρχει m N έτσι ώστε x n U, για κάθε n m. Αλλά n k k, για κάθε k N, έτσι n k m όποτε k m. Ως εκ τούτου x nk U, για κάθε k m. Ετσι η (x nk ) k N συγκλίνει στο x. Ορισμός Εστω X τοπολογικός χώρος και x X. Μια αριθμήσιμη βάση στο σημείο x είναι ένα αριθμήσιμο σύνολο {U n : n N} από γειτονιές του x, τέτοιο ώστε για κάθε γειτονιά V του x υπάρχει n N, τέτοιο ώστε U n V. Ενας τοπολογικός χώρος X είναι πρώτος-αριθμήσιμος, αν κάθε σημείο του έχει αριθμήσιμη βάση. Αξίζει να σημειωθεί ότι υπάρχει μια φθίνουσα ακολουθία U 1 U 2... βασικών γειτονιών σε κάθε σημείο του πρώτου-αριθμησίμου χώρου X. Αυτό συμβαίνει διότι, δοσμένης μιας αριθμήσιμης βάσης γειτονιών {B n } n=1, σε ένα σημείο x στον X, μπορούμε να ορίσουμε U n = B 1 B 2 B n. Πρόταση Κάθε μετρικός χώρος είναι πρώτος-αριθμήσιμος. Απόδειξη Προφανώς η οικογένεια ανοικτών σφαιρών {B ( x, 1 n) : n N} είναι μια αριθμήσιμη βάση στο τυχαίο σημείο x του μετρικού χώρου. Πρόταση Εστω X ένας πρώτος-αριθμήσιμος χώρος και K X. Τότε x K, αν και μόνο αν, υπάρχει ακολουθία με όρους στο K, που να συγκλίνει στο x. Απόδειξη Ας υποθέσουμε ότι (x n ) n N είναι μια ακολουθία από στοιχεία του K που συγκλίνει στο x. Στη συνέχεια, κάθε γειτονιά U του x περιέχει κάποιο όρο x n, έτσι x K. Αντίστροφα, ας υποθέσουμε x K. Αφού ο X είναι πρώτος-αριθμήσιμος, μπορούμε να επιλέξουμε μια φθίνουσα ακολουθία U 1 U 2... βασικών γειτονιών του x. Για κάθε n = 1, 2,... έχουμε U n K, έτσι επιλέγουμε x n U n K και η (x n ) n N είναι μια ακολουθία από στοιχεία του K που συγκλίνει στο x. Πόρισμα Εστω X είναι ένας πρώτος-αριθμήσιμος χώρος και K X. Το K είναι 24

25 κλειστό, αν και μόνο αν, για κάθε ακολουθία (x n ) n N στο K, που συγκλίνει στο x X, έχουμε x K. Απόδειξη Εστω K κλειστό και (x n ) n N ακολουθία στο K, που συγκλίνει στο x X. Τότε x K = K. Αντίστροφα, ας υποθέσουμε ότι για κάθε ακολουθία (x n ) n N στο K, που συγκλίνει στο x X, έχουμε x K. Από την πρόταση προκύπτει ότι K K. Ως εκ τούτου K = K, δηλαδή το K είναι κλειστό. Πόρισμα Εστω X είναι ένας πρώτος-αριθμήσιμος χώρος και A X. Τότε το A είναι ανοικτό, αν και μόνο αν, για κάθε ακολουθία (x n ) n N, που συγκλίνει στο x A, έχουμε ότι η (x n ) n N βρίσκεται τελικά στο A. Απόδειξη Υποθέτουμε ότι το A είναι ανοικτό και η (x n ) n N είναι μια ακολουθία στον X, που συγκλίνει στο x A. Τότε αφού το A είναι γειτονιά του x, από τον ορισμό της σύγκλισης, η (x n ) n N θα βρίσκεται τελικά στο A. Αντίστροφα, ας υποθέσουμε ότι για κάθε ακολουθία (x n ) n N, που συγκλίνει στο x A, έχουμε ότι η (x n ) n N βρίσκεται τελικά στο A. Θεωρούμε μια ακολουθία (y n ) n N στο X \ A, που συγκλίνει στο x X. Αν x A, τότε εξ υποθέσεως θα πρέπει η (y n ) n N να βρίσκεται τελικά στο A, άτοπο. Άρα x X \ A. Από το πόρισμα , αυτό σημαίνει ότι το X \ A είναι κλειστό. Άρα το A είναι ανοικτό. Πόρισμα Εστω f : X Y είναι απεικόνιση μεταξύ των τοπολογικών χώρων X και Y, με X να είναι ένας πρώτος-αριθμήσιμος χώρος. Τότε η f είναι συνεχής, αν και μόνο αν, η f διατηρεί τη σύγκλιση των ακολουθιών (δηλαδή όταν x n x στον X, τότε και f(x n ) f(x) στον Y ). Απόδειξη Ας υποθέσουμε ότι η f είναι συνεχής και x n x. Εστω V είναι οποιαδήποτε γειτονιά του f(x). Τότε η f 1 (V ) είναι μια γειτονιά του x. Ετσι υπάρχει n 0 N, τέτοιο ώστε για κάθε n n 0 έχουμε x n f 1 (V ). Επομένως f(x n ) V, για κάθε n n 0. Ως εκ τούτου, f(x n ) f(x). Αντίστροφα ας υποθέσουμε ότι όταν x n x, τότε και f(x n ) f(x). Για να δείξουμε ότι η f είναι συνεχής, αρκεί για κάθε K X, να έχουμε f(k) f(k). Εστω x K, τότε υπάρχει ακολουθία (y n ) n N στο K, που συγκλίνει στο x. Από την υπόθεση θα πρέπει f(y n ) f(x). Ομως η (f(y n )) n N είναι ακολουθία στο f(k). Άρα f(x) f(k). Πρόταση Ενας πρώτος-αριθμήσιμος χώρος στον οποίο κάθε ακολουθία συγκλίνει σε ένα το πολύ σημείο του είναι Hausdorff. Απόδειξη Ας υποθέσουμε ότι δεν είναι Hausdorff. Τότε υπάρχουν διακριτά σημεία x και y, έτσι ώστε κάθε γειτονιά του x τέμνει κάθε γειτονιά του y. Εστω μια φθίνουσα ακολουθία U 1 U 2... βασικών γειτονιών του x και μια φθίνουσα ακολουθία V 1 V 2... βασικών 25

26 γειτονιών του y. Από την υπόθεση, για όλα τα n, υπάρχει x n U n V n. Τότε x n x και x n y, άτοπο. Πρόταση Εστω (x n ) n N μια ακολουθία σε έναν πρώτο-αριθμήσιμο χώρο. Τότε το x είναι ένα οριακό σημείο της ακολουθίας, αν και μόνο αν, υπάρχει μια υπακολουθία (x nk ) k N της (x n ) n N, που συγκλίνει στο x. Απόδειξη Εστω μια φθίνουσα ακολουθία U 1 U 2... βασικών γειτονιών του x. Θεωρούμε x 1 U 1. Για κάθε k = 2, 3,... επιλέγουμε διαδοχικά έναν δείκτη n k > n k 1, έτσι ώστε x nk U k. Τότε x nk x. Το αντίστροφο προκύπτει άμεσα από τον ορισμό του οριακού σημείου. 1.2 Οι ακολουθίες δεν επαρκούν Στην προηγούμενη παράγραφο διαπιστώσαμε ότι η ακολουθιακή σύγκλιση σε πρώτουςαριθμήσιμους χώρους μπορεί να περιγράψει βασικές τοπολογικές έννοιες. Ωστόσο αν κάποιος προσπαθήσει να αποδείξει ανάλογα αποτελέσματα με αυτά της προηγούμενης παραγράφου σε γενικούς χώρους, προβλήματα ανακύπτουν. Για παράδειγμα η βασική πρόταση δεν είναι γενικά αληθής, όπως τα ακόλουθα παραδείγματα δείχνουν. Παράδειγμα Εστω X = R R ο χώρος του παραδείγματος Θεωρούμε το σύνολο A R R, όπου A = {f R R : f(x) = 0 μόνο για πεπερασμένο πλήθος x και f(x) = 1 αλλού } και έστω g R R με g(x) = 0, για κάθε x R. Για κάθε U(g, F, ɛ) βασική γειτονιά της g έχουμε U(g, F, ɛ) = {h R R : h(y) g(y) < ɛ αν y F }, όπου F πεπερασμένο υποσύνολο του R και ɛ > 0. Ομως η U(g, F, ɛ) τέμνει το A στην συνάρτηση h, όπου h(x) = 0 για κάθε x F και h(x) = 1 αλλού. Ετσι g A. Ωστόσο αν θεωρήσουμε μια ακολουθία (f n ) n N στο A, όπου (από τον ορισμό του A) f n (x) = 0 μόνο σε ένα πεπερασμένο σύνολο A n, τότε κάθε συνάρτηση, που είναι όριο της ακολουθίας, μπορεί να μηδενίζεται το πολύ στο αριθμήσιμο σύνολο n=1a n. Η g δεν πληροί τη συνθήκη αυτή και άρα δεν υπάρχει ακολουθία στο A που να συγκλίνει στη g. Παράδειγμα Εστω X = R ο χώρος του παραδείγματος Δοσμένης μιας ακολουθίας (x n ) n N, το συμπλήρωμα του συνόλου των όρων της ακολουθίας {x n, n N}, 26

27 είναι ανοικτό σε αυτό το χώρο. Κατά συνέπεια, δεν υπάρχει ρητός αριθμός που να είναι όριο ακολουθίας με όρους στο R \ Q. Ωστόσο, κάθε ρητός αριθμός είναι σημείο επαφής του R \ Q, αφού το R \ Q τέμνει κάθε μη κενό ανοικτό σύνολο. Επίσης, το κριτήριο της συνέχειας στο πόρισμα , για πρώτους-αριθμήσιμους χώρους, δεν αληθεύει. Πράγματι ας υποθέσουμε ότι μια ακολουθία (x n ) n N στο R συγκλίνει σε ένα σημείο x. Είδαμε στο παράδειγμα , ότι η ακολουθία πρέπει να είναι τελικά σταθερή και ίση με x. Επομένως, κάθε συγκλίνουσα ακολουθία στον X, είναι τελικά σταθερή. Άρα η ταυτοτική απεικόνιση X R (με τη συνήθη τοπολογία) διατηρεί τις συγκλίνουσες ακολουθίες, αν και δεν είναι συνεχής. Παράδειγμα Εστω ότι X = βn είναι η συμπαγοποίηση Stone-Cech των φυσικών αριθμών (βλ. [20]). Οι μόνες ακολουθίες που συγκλίνουν είναι εκείνες οι οποίες είναι τελικά σταθερές. Εστω x βn \ N. Επειδή το N είναι πυκνό στο βn, βλέπουμε ότι x N = βn. Ωστόσο, δεν υπάρχει ακολουθία στο N, που να συγκλίνει στο x. Υποθέτουμε τώρα ότι Y είναι το σύνολο όλων των σημείων του βn με τη διακριτή τοπολογία. Τότε η τοπολογία για το Υ είναι αυστηρά λεπτότερη από την τοπολογία στο βn, έτσι η ταυτοτική απεικόνιση βn Y δεν είναι συνεχής. Δεδομένου ότι οι μόνες συγκλίνουσες ακολουθίες στο βn είναι οι τελικά σταθερές, βλέπουμε ότι η ταυτοτική διατηρεί τις συγκλίνουσες ακολουθίες. Σημειώνουμε ότι σε μετρικούς χώρους είναι γνωστό ότι οι έννοιες της συμπάγειας και της ακολουθιακής συμπάγειας είναι ισοδύναμες. Ομως στο προηγούμενο παράδειγμα ο χώρος βn είναι συμπαγής, αλλά δεν είναι ακολουθιακά συμπαγής (θεωρούμε την x n = 1, 2,... ). 1.3 Ανοικτά υποσύνολα και ακολουθιακά ανοικτά υποσύνολα Πώς μπορούμε να ερμηνεύσουμε τη δήλωση ότι «οι ακολουθίες περιγράφουν την τοπολογία» ενός χώρου X; Ο συνήθης ορισμός της «τοπολογίας» είναι ότι η τοπολογία για το X, είναι η οικογένεια των ανοικτών υποσυνόλων του X. Ως εκ τούτου, η πιο φυσική ερμηνεία στη δήλωση αυτή είναι ότι μπορούμε να δώσουμε μια αναγκαία και ικανή συνθήκη, ώστε ένα υποσύνολο του X να είναι ανοικτό, σε όρους σύγκλισης ακολουθιών. Είδαμε ότι οι πρώτοι-αριθμήσιμοι χώροι έχουν την επόμενη ιδιότητα: (1) Ενα υποσύνολο A του χώρου X είναι ανοικτό, αν και μόνο αν, για κάθε ακολουθία στον 27

28 X, που συγκλίνει σε ένα σημείο του A, έχουμε ότι η ακολουθία βρίσκεται τελικά στο A. Στην πορεία θα ορίσουμε τους ακολουθιακούς χώρους να είναι αυτοί ακριβώς οι χώροι, που έχουν την παραπάνω ιδιότητα. Ωστόσο, υπάρχουν και άλλοι τρόποι για να καθορίσει κανείς μια τοπολογία στο X, εκτός από τον προσδιορισμό των ανοικτών υποσυνόλων. Θα μπορούσαμε για παράδειγμα να καθορίσουμε τα κλειστά σύνολα στο X. Στην περίπτωση αυτή σημειώνουμε ότι πρώτοι αριθμήσιμοι-χώροι έχουν, όπως είδαμε και την ακόλουθη ιδιότητα: (2) Ενα υποσύνολο K του χώρου X είναι κλειστό, αν και μόνο αν, για κάθε ακολουθία στο K, που συγκλίνει σε ένα σημείο του X, έχουμε ότι το το σημείο αυτό ανήκει στο K. Οι ιδιότητες (1) και (2) όπως θα δούμε, είναι ισοδύναμες για γενικούς χώρους. Ορισμός Εστω X τοπολογικός χώρος. (1) Το υποσύνολο A του X θα λέγεται ακολουθιακά ανοικτό, αν και μόνο αν, για κάθε ακολουθία στον X, που συγκλίνει σε σημείο του A, έχουμε ότι βρίσκεται τελικά στο A. (2) Το υποσύνολο K του X θα λέγεται ακολουθιακά κλειστό, αν και μόνο αν, για κάθε ακολουθία στο K, που συγκλίνει σε ένα σημείο του X, τότε το σημείο αυτό ανήκει στο σύνολο K. Προφανώς σε κάθε πρώτο-αριθμήσιμο χώρο X, οι δύο έννοιες του ανοικτού και ακολουθιακά ανοικτού υποσυνόλου, είναι ισοδύναμες. Πρόταση Εστω X τοπολογικός χώρος. Το συμπλήρωμα ενός ακολουθιακά ανοικτού υποσυνόλου του X είναι ακολουθιακά κλειστό και αντίστροφα. Απόδειξη Εστω A X ακολουθιακά ανοικτό. Αν μια ακολουθία στο X \ A συγκλίνει σε ένα σημείο x του X και υποθέσουμε ότι x A, τότε η ακολουθία θα βρίσκεται τελικά στο A, που είναι άτοπο. Άρα X \A ακολουθιακά κλειστό. Εστω K X ακολουθιακά κλειστό. Αν μια ακολουθία (x n ) n N στον X συγκλίνει σε ένα σημείο x του X \ K και υποθέσουμε ότι η (x n ) δεν βρίσκεται τελικά στο X \ K, τότε θα υπάρχει υπακολουθία της (y k ) k N = (x nk ) k N που θα βρίσκεται στο K. Ομως η (y k ) k N συγκλίνει στο σημείο x και επομένως το x πρέπει να είναι σημείο του K, άτοπο. Άρα X \ K ακολουθιακά ανοικτό. Πρόταση Εστω X τοπολογικός χώρος. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (1) Κάθε ακολουθιακά ανοικτό υποσύνολο του X είναι ανοικτό 28

29 (2) Κάθε ακολουθιακά κλειστό υποσύνολο του X είναι κλειστό. Απόδειξη (1) (2) Αν το K είναι ακολουθιακά κλειστό τότε από την πρόταση έχουμε ότι το X \ K είναι ακολουθιακά ανοικτό, άρα και ανοικτό. Επομένως K κλειστό. (2) (1) Ομοια. Πρόταση Εστω X τοπολογικός χώρος και A X. Αν το A είναι ανοικτό, τότε το A είναι ακολουθιακά ανοικτό. Απόδειξη Η απόδειξη για πρώτους-αριθμήσιμους χώρους, εξακολουθεί να ισχύει και για κάθε τοπολογικό χώρο X. Πόρισμα Εστω X τοπολογικός χώρος και K X. Αν το K είναι κλειστό, τότε το K είναι ακολουθιακά κλειστό. Απόδειξη Αν το K είναι κλειστό τότε X \ K ανοικτό, άρα και ακολουθιακά ανοικτό. Συνεπώς το K είναι ακολουθιακά κλειστό. Θα σκεφτεί κανείς ότι το αντίστροφο θα μπορούσε επίσης να αληθεύει σε κάθε τοπολογικό χώρο. Οταν αυτό συμβαίνει, καλούμε το χώρο ακολουθιακό. Ορισμός Ενας τοπολογικός χώρος καλείται ακολουθιακός όταν οποιοδήποτε ακολουθιακά ανοικτό υποσύνολό του είναι και ανοικτό. Ισοδύναμα, όταν οποιοδήποτε ακολουθιακά κλειστό υποσύνολό του είναι και κλειστό. Πρόταση Κάθε πρώτος-αριθμήσιμος χώρος X (και ως εκ τούτου κάθε μετρικός χώρος) είναι ακολουθιακός. Απόδειξη Άμεσο. Πρόταση Κάθε κλειστός υπόχωρος F ενός ακολουθιακού χώρου X, είναι επίσης ακολουθιακός χώρος. Απόδειξη Εστω A ένα ακολουθιακά κλειστό υποσύνολο του F. Θα δείξουμε ότι το A είναι κλειστό στο F. Ας υποθέσουμε ότι (x n ) n N είναι μια ακολουθία στο A που συγκλίνει σε κάποιο σημείο x X. Η (x n ) n N είναι επίσης ακολουθία στο F και ο F είναι κλειστός στον X, έτσι x F. Δεδομένου ότι το A είναι ακολουθιακά κλειστό στο F, προκύπτει ότι x A. Ετσι, το A είναι ακολουθιακά κλειστό στον X (καθώς και στο F ) και δεδομένου ότι ο X είναι ακολουθιακός, το A είναι κλειστό στον X. Αλλά A F, έτσι A = A F. Ως εκ τούτου το A είναι κλειστό στο F. 29

30 Στους ακολουθιακούς χώρους X οι ακολουθίες μπορούν να «ορίσουν» τη συνέχεια των απεικονίσεων από τον X σε ένα άλλο τοπολογικό χώρο Y. Πρόταση Εστω X ακολουθιακός τοπολογικός χώρος. Για κάθε τοπολογικό χώρο Y η απεικόνιση f : X Y είναι συνεχής, αν και μόνο αν, η f διατηρεί τη σύγκλιση των ακολουθιών, δηλαδή όταν x n x στον X τότε και f(x n ) f(x) στον Y. Απόδειξη Εστω η συνεχής απεικόνιση f : X Y και (x n ) n N ακολουθία στον X τέτοια ώστε x n x. Εστω μια γειτονιά U του f(x). Επειδή η f είναι συνεχής η f 1 (U) είναι γειτονιά του x. Ετσι υπάρχει n 0 N τέτοιο ώστε, για κάθε n n 0 έχουμε x n f 1 (U). Αλλά τότε για κάθε n n 0 έχουμε f(x n ) U, που σημαίνει f(x n ) f(x). Μένει να δείξουμε ότι αν η απεικόνιση f διατηρεί τη σύγκλιση, τότε η f είναι συνεχής. Ας υποθέσουμε ότι η f δεν είναι συνεχής. Τότε υπάρχει ένα ανοικτό U Y τέτοιο ώστε το f 1 (U) δεν είναι ανοικτό στον X. Καθώς ο X είναι ακολουθιακός, το f 1 (U), δεν είναι, επίσης ακολουθιακά ανοικτό, έτσι υπάρχει μια ακολουθία (x n ) n N στο X \ f 1 (U), που συγκλίνει σε σημείο x f 1 (U). Ωστόσο η (f(x n )) n N είναι μια ακολουθία στο κλειστό σύνολο Y \ U, έτσι δεν μπορεί να έχει το f(x) ως όριο. Ετσι η f δεν διατηρεί την σύγκλιση των ακολουθιών, όπως απαιτείται. Ωστόσο κάθε χώρος δεν είναι πάντα ακολουθιακός. Πράγματι υπάρχει τοπολογικός χώρος που δεν είναι ακολουθιακός και καθένα από τα παραδείγματα της παραγράφου 1.2 αποτελεί μια απόδειξη του ισχυρισμού αυτού. Ενδεικτικά αναφέρουμε το ακόλουθο. Παράδειγμα Εστω X = R, ο χώρος των παραδειγμάτων και Είδαμε ότι μια ακολουθία σημείων του χώρου συγκλίνει, αν και μόνο αν, είναι τελικά σταθερή. Κατά συνέπεια, μια συγκλίνουσα ακολουθία σε σημείο ενός υποσυνόλου A του X, βρίσκεται τελικά στο A. Ετσι κάθε υποσύνολο του X είναι ακολουθιακά ανοικτό. Αλλά το X είναι μη αριθμήσιμο, οπότε δεν είναι κάθε υποσύνολό του ανοικτό. Ετσι ο χώρος X δεν είναι ακολουθιακός. Αν και δεν είναι κάθε τοπολογικός χώρος ακολουθιακός, ο τελεστής ακολουθιακής κλειστότητας ορίζεται για κάθε τοπολογικό χώρο. Ορισμός Εστω X τοπολογικός χώρος και A X. Η ακολουθιακή κλειστότητα του συνόλου A ορίζεται ως ακολούθως seqcl(a) = {x X : υπάρχει ακολουθία (a n ) n N σημείων του A, τέτοια ώστε a n x}. 30

31 Η απεικόνιση seqcl : P(X) P(X) με A seqcl(a) καλείται τελεστής ακολουθιακής κλειστότητας. Πρόταση Ο τελεστής ακολουθιακής κλειστότητας μοιράζεται τις ακόλουθες ιδιότητες με το συνήθη τελεστή κλειστότητας: (1) seqcl( ) =, (2) A seqcl(a) A και (3) seqcl(a B) = seqcl(a) seqcl(b). Απόδειξη (1) Άμεσο. (2) Εστω x A. Τότε για τη σταθερή ακολουθία στο A με x n = x, για κάθε n έχουμε x n x. Άρα x seqcl(a). Εστω τώρα x seqcl(a). Υπάρχει ακολουθία (x n ) n N στο A με x n x. Ομως η (x n ) n N βρίσκεται τελικά σε κάθε γειτονιά U του x, άρα υπάρχει x n U A. Επομένως x A. (3) Εστω x seqcl(a B). Υπάρχει ακολουθία (x n ) n N στο A B με x n x. Άρα υπάρχει υπακολουθία της (x nk ) k N είτε στο A ή στο B με x nk x. Επομένως x seqcl(a) ή x seqcl(b). Αντίστροφα αν x seqcl(a) seqcl(b) τότε αν υποθέσουμε ότι x seqcl(a), υπάρχει ακολουθία (x n ) n N στο A A B με x n x. Επομένως x seqcl(a B). Α- νάλογα αν x seqcl(b). Ωστόσο, η επανάληψη του τελεστή ακολουθιακής κλειστότητας, μιλώντας γενικά, δίνει ένα νέο σύνολο: το σύνολο seqcl(seqcl(a)) μπορεί να διαφέρει από το σύνολο seqcl(a), δηλαδή είναι δυνατό να έχουμε seqcl(a) seqcl(seqcl(a)) (βλ. [4]). Πρόταση Εστω X τοπολογικός χώρος. Το A X είναι ακολουθιακά κλειστό, αν και μόνο αν, A = seqcl(a). Απόδειξη Εστω A είναι ακολουθιακά κλειστό. Εχουμε ότι A seqcl(a). Θα δείξουμε ότι και seqcl(a) A. Εστω x seqcl(a). Υπάρχει ακολουθία (x n ) n N στο A με x n x. Εξ υποθέσεως x A. Αντίστροφα τώρα έστω A = seqcl(a) και (x n ) n N ακολουθία στο A με x n x. Επειδή x seqcl(a), έχουμε και x A. Επομένως A ακολουθιακά κλειστό. Πρόταση Ενας χώρος X είναι ακολουθιακός, αν και μόνο αν, seqcl(a) \ A για κάθε μη κλειστό υποσύνολο A. Απόδειξη Εστω ότι ο X είναι ακολουθιακός. Υποθέτουμε ότι υπάρχει μη κλειστό A X τέτοιο ώστε seqcl(a) \ A =. Τότε όμως seqcl(a) = A. Ετσι A ακολουθιακά κλειστό άρα 31

32 και κλειστό, άτοπο. Αντίστροφα έστω seqcl(a) \ A για κάθε μη κλειστό υποσύνολο A. Αν ο X δεν είναι ακολουθιακός, υπάρχει ακολουθιακά κλειστό A X που δεν είναι κλειστό. Τότε όμως seqcl(a) = A. Άρα seqcl(a) \ A =, άτοπο. 1.4 Οι ακολουθιακοί χώροι ως πηλίκα μετρικών χώρων Εστω f μια απεικόνιση από ένα τοπολογικό χώρο X, σε ένα σύνολο Y (συνήθως επί). Τότε η τοπολογία πηλίκο για το Y, (σε σχέση με την f και την τοπολογία του X) είναι η οικογένεια: U = {U Y : το f 1 (U) είναι ανοικτό στον X}. Αν το Y έχει την τοπολογία πηλίκο, τότε το Y καλείται χώρος πηλίκο και η f απεικόνιση πηλίκο. Πράγματι επειδή η αντίστροφη εικόνα, μέσω της f, μιας τομής (ένωσης) μελών της U, είναι η τομή (ένωση) των αντίστροφων εικόνων των μελών, η U είναι μια τοπολογία για το Y. Επίσης αν ένα υποσύνολο U του Y είναι ανοικτό, ως προς μια τοπολογία σε σχέση με την οποία η f είναι συνεχής, τότε το f 1 (U) είναι ανοικτό στον X. Ετσι, η τοπολογία πηλίκο είναι η μεγαλύτερη (λεπτότερη) τοπολογία για το Y, έτσι ώστε η απεικόνιση f να είναι συνεχής. Εστω τώρα X, Y τοπολογικοί χώροι και μια επί απεικόνιση f : X Y. Αν η f είναι τέτοια ώστε: το U Y είναι ανοικτό στον Y, αν και μόνο αν, το f 1 (U) είναι ανοικτό στον X, τότε ο Y έχει την τοπολογία πηλίκο και η f είναι απεικόνιση πηλίκο. Εστω X είναι ένας τοπολογικός χώρος και μια σχέση ισοδυναμίας στον X. Θεωρούμε το σύνολο πηλίκο των κλάσεων ισοδυναμίας X/ και την κανονική προβολή π : X X/. Εφοδιάζουμε το σύνολο πηλίκο X/, με την τοπολογία πηλίκο, ως προς την π. Αν η επί απεικόνιση f : X Y, είναι απεικόνιση πηλίκο, τότε μπορούμε να θεωρήσουμε τον Y ως ένα πηλίκο του X. Πράγματι, αν ορίσουμε μια σχέση ισοδυναμίας στο X τέτοια ώστε x y, αν και μόνο αν, f(x) = f(y), δηλαδή οι κλάσεις ισοδυναμίας είναι οι ίνες της f (όλα τα f 1 (x) με x X). Τότε η απεικόνιση X/ Y με [x] f(x), όπου [x] η κλάση ισοδυναμίας του x, είναι ομοιομορφισμός. Είμαστε τώρα έτοιμοι να αποδείξουμε ότι οι ακολουθιακοί χώροι είναι ακριβώς τα πηλίκα των μετρικών χώρων. Για το λόγο αυτό θα χρειαστούμε τις εξής δύο προτάσεις. Πρόταση Εστω ότι ο X είναι ένας τοπολογικός χώρος και ας υποθέσουμε ότι 32

33 X = a A X a, όπου X a είναι ένας ανοικτός μετρικοποιήσιμος υπόχωρος του X, για κάθε a A και X a X b = για a b. Τότε ο X είναι μετρικοποιήσιμος. Απόδειξη Εστω d a η μετρική, που είναι συμβατή με την τοπολογία του υποχώρου X a και τέτοια ώστε η διάμετρος του X a να είναι μικρότερη από 1. Ορίζουμε την συνάρτηση d : X R από την σχέση: { da (x, y), αν x και y ανήκουν στον ίδιο υπόχωρο X d(x, y) = a 1, διαφορετικά Επειδή τα X a, a A είναι ανά δύο ξένα μεταξύ τους, η d είναι καλά ορισμένη. Μπορούμε επίσης θεωρώντας περιπτώσεις να δείξουμε εύκολα ότι d είναι μια μετρική στον X. Θα δείξουμε ότι κάθε ανοικτό U στην τοπολογία του X είναι ανοικτό στην τοπολογία που επάγεται από την d. Εστω x U. Τότε υπάρχει a A, τέτοιο ώστε x X a X. Στη συνέχεια, U X a είναι ανοικτό στο X a και ως εκ τούτου, υπάρχει 0 < ɛ < 1 τέτοιο ώστε U X a {y X a : d a (x, y) < ɛ} = {y X : d(x, y) < ɛ}. Ετσι U {y X : d(x, y) < ɛ}. Θα δείξουμε ότι κάθε ανοικτό στην τοπολογία που επάγεται από την d είναι και ανοικτό στην τοπολογία του X. Εστω x X και {y X : d(y, x) < ɛ} μια ανοικτή σφαίρα του x. Υπάρχει a A, τέτοιο ώστε x X a X. Μπορούμε να υποθέσουμε 0 < ɛ < 1. Τότε η {y X : d(x, y) < ɛ} = {y X a : d a (x, y) < ɛ} περιέχει ένα σύνολο U που είναι ανοικτό στον X a. Αφού ο X a είναι ανοικτός στον X, το U θα είναι επίσης ανοικτό στον X. Ετσι, η τοπολογία που επάγεται από την d είναι συμβατή με την τοπολογία του X. Πρόταση Εστω f : X Y απεικόνιση πηλίκο, όπου X ακολουθιακός τοπολογικός χώρος και Y τοπολογικός χώρος. Τότε ο Y είναι ακολουθιακός χώρος. Απόδειξη Εστω U Y είναι ακολουθιακά ανοικτό. Για να δείξουμε ότι το U είναι και ανοικτό στο Υ, θα πρέπει να δείξουμε ότι το f 1 (U) είναι ανοικτό στον X. Δεδομένου ότι ο X είναι ακολουθιακός, αρκεί να δείξουμε ότι το f 1 (U) είναι ακολουθιακά ανοικτό. Ετσι θεωρούμε μια ακολουθία (x n ) n N σημείων του X, που να συγκλίνει στο x f 1 (U). Τότε από τη συνέχεια της f η ακολουθία (f(x n )) n N σημείων του Y, συγκλίνει στο f(x) U. Δεδομένου όμως ότι το U είναι ακολουθιακά ανοικτό, η (f(x n )) n N βρίσκεται τελικά στο U. Αλλά τότε η (x n ) n N βρίσκεται τελικά στο f 1 (U). Ορισμός Εστω {X i : i I} είναι μια οικογένεια τοπολογικών χώρων έτσι ώστε X i X j = για κάθε i j. Το τοπολογικό άθροισμα των X i, i I είναι το σύνολο T = {X i : i I} με την ακόλουθη τοπολογία: το U T είναι ανοικτό στο T, αν και μόνο αν, το U X i είναι ανοικτό στο X i για κάθε i I. 33