Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 9 η : Σχεδίαση ελεγκτών με το γεωμετρικό τόπο ριζών. Παναγιώτης Σεφερλής

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 9 η : Σχεδίαση ελεγκτών με το γεωμετρικό τόπο ριζών. Παναγιώτης Σεφερλής"

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9 η : Σχεδίαση ελεγκτών με το γεωμετρικό τόπο ριζών Παναγιώτης Σεφερλής Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Common. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Γεωμετρικός τόπος ριζών Στόχοι της ενότητας Ιδιότητες και προσδιορισμός γεωμετρικού τόπου ριζών δυναμικού συστήματος κλειστού βρόχου. Σχεδίαση ελεγκτών με το γεωμετρικό τόπο ριζών. 4

5 Γεωμετρικός τόπος ριζών Περίληψη της ενότητας Κανόνες κατασκευής γεωμετρικού τόπου ριζών. Αντιστοίχηση προδιαγραφών δυναμικής συμπεριφοράς με τμήματα του ΓΤΡ. Επιλογή κατάλληλων παραμέτρων για τον ελεγκτή με τοποθέτηση των πόλων στον επιθυμητό χώρο. Μέθοδοι σχεδίασης ελεγκτών με τον ΓΤΡ. 5

6 Γεωμετρικός τόπος ριζών Ο γεωμετρικός τόπος ριζών δείχνει τη θέση των πόλων του κλειστού βρόχου καθώς το κέρδος του ελεγκτή, Κ, αυξάνεται από Κ= +. Η σχεδίαση ελεγκτών με το ΓΤΡ είναι μια τεχνική τοποθέτησης των πόλων του συστήματος κλειστού βρόχου για την επίτευξη της επιθυμητής συμπεριφοράς. Εύκολη και γραφική μέθοδος για τη σχεδίαση ελεγκτών. Κύρια μειονεκτήματα: α. Δεν αντιμετωπίζει συστήματα με καθυστέρηση χρόνου. β. Είναι χρήσιμη μόνο σε συστήματα μιας μεταβλητής εισόδου μιας μεταβλητής εξόδου (ΜΕΜΕ). 6

7 Γεωμετρικός τόπος ριζών D() G d () R() + E() U() + G C () G v () G P () - + Υ m () G S () Υ() Έστω G()=G v ()G p ()G () και G c ()=K με συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου. Y R KGv G 1 KG p Χαρακτηριστικό πολυώνυμο 1 z z zm p p p K 1 1 n 7

8 Γεωμετρικός τόπος ριζών j p p p z z z K n m q p p p z z z K arg p p p z z z K n m n m Επομένως ένα σημείο επί του γεωμετρικού τόπου ριζών ικανοποιεί τις ακόλουθες σχέσεις για το μέτρο και το όρισμα της χαρακτηριστικής εξίσωσης. 8

9 K arg p arg 1 1 Γεωμετρικός τόπος ριζών Αναλυτικότερα για κάθε σημείο του ΓΤΡ ισχύουν οι σχέσεις: 1 z z 1 p p arg p arg p 18 q36 1 z arg z p z m n arg z m n 5 Root Locu 4 3 Imaginary Axi Αυτόματος Real Έλεγχος Axi 9

10 Γεωμετρικός τόπος ριζών 5 Root Locu 4 3 Imaginary Axi χ χ ο χ p 1, p 3 z 1 p Real Axi Σχέση μέτρου: Κ -z 1 /( -p 1 -p -p 3 -p 4 )=1 Σχέση ορίσματος: θ z1 -(θ p1 +θ p +θ p3 +θ p4 )=18 1

11 Κανόνες κατασκευής ΓΤΡ Βήμα 1: Καταστρώνουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο 1+ΚG()=. Βήμα : Παραγοντοποιούμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο. K 1 z z zm p p p 1 1 Βήμα 3: Τοποθετούμε τους πόλους και τα μηδενικά του ανοικτού βρόχου στο μιγαδικό επίπεδο. Ο ΓΤΡ ξεκινά από τους πόλους για Κ= και καταλήγει στα μηδενικά του ανοικτού βρόχου για Κ +. p p p K z z z 1 n 1 m Αν τα μηδενικά είναι λιγότερα από τους πόλους, τότε τα τμήματα του ΓΤΡ τείνουν στο άπειρο (μηδενικό στο άπειρο). n 11

12 Κανόνες κατασκευής ΓΤΡ Βήμα 4: Τα τμήματα του πραγματικού άξονα στο μιγαδικό επίπεδο ανήκουν στο ΓΤΡ αν το πλήθος των πόλων και μηδενικών επί του πραγματικού άξονα στα δεξιά του τμήματος είναι περιττός. Παράδειγμα K 1 4 πόλοι μηδενικό τμήματα ΓΤΡ 1

13 Κανόνες κατασκευής ΓΤΡ Βήμα 5: Το πλήθος των ανεξάρτητων κλάδων του ΓΤΡ ισούται με το πλήθος των πόλων της συνάρτησης μεταφοράς ανοικτού βρόχου. Βήμα 6: Τα τμήματα του ΓΤΡ είναι συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα του μιγαδικού επίπεδου. Βήμα 7: Οι κλάδοι που κατευθύνονται σε μηδενικά στο άπειρο οδεύουν κατά μήκος ασύμπτωτων με κέντρο συμμετρίας σ Α και γωνία ως προς τον πραγματικό άξονα φ Α. σ φ A A p j zi j1 n m i1 n m q 1 18 n m q, 1,,, n m 1 13

14 Κανόνες κατασκευής ΓΤΡ Παράδειγμα K ασύμπτωτες πόλοι μηδενικό σ φ φ φ A A A A o o o o q o o q 1 q

15 Κανόνες κατασκευής ΓΤΡ K Root Locu 4 3 Imaginary Axi χ χ o χ Real Axi h=tf([1 1],[ ]); rlocu(h) 15

16 Κανόνες κατασκευής ΓΤΡ Βήμα 8: Το σημείο τομής του ΓΤΡ με τον φανταστικό άξονα προσδιορίζεται με το κριτήριο Routh-Hurwitz. Βήμα 9: Το σημείο που αφήνει ο ΓΤΡ τον πραγματικό άξονα (σημείο θλάσης) ορίζεται από τη σχέση: d d p p pn z z z 1 1 Οι γωνίες των εφαπτόμενων του ΓΤΡ στο σημείο θλάσης είναι ίσες, προφανώς συνολικά 36 ο. m 16

17 Παράδειγμα Κανόνες κατασκευής ΓΤΡ K σ φ φ A A A Ασύμπτωτες: o 18 3 o 18 9 o 7 q o 4 q 1 d d Σημείο θλάσης:

18 Κανόνες κατασκευής ΓΤΡ K Root Locu 6 4 Imaginary Axi - -4 χ χ o χ h=tf([1 1],[1 5 6 ]); rlocu(h) Real Axi 18

19 Κανόνες κατασκευής ΓΤΡ Βήμα 1: Η γωνία υπό την οποία αναχωρεί ο ΓΤΡ από ένα πόλο ισούται με τη διαφορά μεταξύ της συνολικής γωνίας που προκύπτει εξ αιτίας των υπολοίπων πόλων και μηδενικών και της απαίτησης των 18(q+1) λόγω του κριτηρίου φάσης. Διάνυσμα αποχώρησης θ θ 4 -(θ 1 +θ +θ 3 )=18±q36 θ 4 -(9+θ +θ 3 )=18 θ =9+(θ4-θ 3 ) θ 3 θ 4 θ 1 19

20 Κανόνες κατασκευής ΓΤΡ Βήμα 11: Προσδιορισμός του ΓΤΡ καθώς το μεταβάλλεται με βάση τη σχέση του ορίσματος arg(g())=18 o ±q36 o. Βήμα 1: Προσδιορισμός του κέρδους Κ για μια συγκεκριμένη ρίζα με βάση τη σχέση του μέτρου Κ G() =1.

21 Παράδειγμα Κανόνες κατασκευής ΓΤΡ 1 K Κλάδος του ΓΤΡ. Τοποθέτηση πόλων και μηδενικών. Πόλοι:, -4, -4±4j 1

22 Κανόνες κατασκευής ΓΤΡ K j 4 4 j Ένα τμήμα του ΓΤΡ βρίσκεται στον πραγματικό άξονα. Ο ΓΤΡ έχει 4 ανεξάρτητους κλάδους (#πόλων-#μηδενικών=4). Οι κλάδοι τείνουν στο άπειρο κατά την κατεύθυνση 4 ασύμπτωτων. σ φ A A q o o 3, 135 o, 5 o, 315 o q, 1,, 3

23 Κανόνες κατασκευής ΓΤΡ Εφαρμογή κριτηρίου Routh-Hurwitz για τον υπολογισμό του σημείου τομής με τον φανταστικό άξονα για το χαρακτηριστικό πολυώνυμο: K b 1 K K 1 c 1 K b 1 =(1 x 64 18)/1=53.33 c 1 =(53.33 x 18 1 K)/53.33 Σημείο τομής Κ= (για ευστάθεια πρέπει Κ<568.89). Με το βοηθητικό πολυώνυμο (το πολυώνυμο που προηγείται της γραμμής που μηδενίζεται το στοιχείο της πρώτης στήλης): Κ = ( )= Υπολογίζουμε τις ρίζες ±3.66j. 3

24 Κανόνες κατασκευής ΓΤΡ Σημείο θλάσης: K d d Γωνία αναχώρησης: θ 1 θ θ 3 =18 θ 1 =-135 θ 3 =135 ο 4

25 Κανόνες κατασκευής ΓΤΡ 1 Root Locu 8 Imaginary Axi χ χ χ χ Real Axi K g=tf([1],[ ]); rlocu(g)

26 Κανόνες κατασκευής ΓΤΡ Root Locu Κυρίαρχοι (επικρατούντες) πόλοι. Imaginary Axi K Real Axi 18 g= tf([1],[ ]); rlocu(g) [K,pole]=rlocfind(g) k = e+ pole = e e+i e e+i e e+i e e+i 6

27 Παράδειγμα Κανόνες κατασκευής ΓΤΡ K Κλάδοι του ΓΤΡ Τοποθέτηση πόλων και μηδενικών. Μηδενικά: -1 Πόλοι: 1,, -±3.464j 7

28 Κανόνες κατασκευής ΓΤΡ K j j 1 Ο ΓΤΡ έχει 3 ανεξάρτητους κλάδους (#πόλων-#μηδενικών=3) Ένα τμήμα του ΓΤΡ βρίσκεται στον πραγματικό άξονα. Οι κλάδοι τείνουν στο άπειρο κατά την κατεύθυνση 3 ασύμπτωτων. σ φ A A q 1 o o , 18 o, 3 o q, 1, 8

29 Κανόνες κατασκευής ΓΤΡ Εφαρμογή κριτηρίου Routh-Hurwitz για τον υπολογισμό του σημείου τομής με τον φανταστικό άξονα στο χαρακτηριστικό πολυώνυμο: K 3 3 K-16 b 1 K 1 c 1 d K 16 K b 1 =(5-K)/3 c 1 =(-K +59K-83)/(5-K) d 1 =K Για ευστάθεια 3.3<=Κ<=35.7. Από βοηθητικό πολυώνυμο (5-Κ)/3 + K =. =±.56j για Κ=35.7. =±1.56j για Κ=3.3. 9

30 Κανόνες κατασκευής ΓΤΡ Σημείο θλάσης: K d d ,. 45,. 76 j. 16 Τα σημεία =-.6 και =.45 ανήκουν σε τμήμα του πραγματικού άξονα που είναι κλάδος του ΓΤΡ και συνεπώς είναι σημεία θλάσης (σημείο εγκατάλειψης ή σημείο εισόδου του πραγματικού άξονα). 3

31 Κανόνες κατασκευής ΓΤΡ 8 Root Locu 6 Imaginary Axi χ χ ο χ χ Real Axi num=[1 1]; den=conv([1-1],[1 4 16]); den=conv(den,[1 ]); g=tf(num,den); rlocu(g) 31

32 Κανόνες κατασκευής ΓΤΡ Παράδειγμα 1 K 1 8 Κλάδοι του ΓΤΡ. Τοποθέτηση πόλων και μηδενικών. Πόλοι:, ±j, -8. Μηδενικά: - (διπλό). 3

33 Κανόνες κατασκευής ΓΤΡ 8 1 j j K , q, q φ j j σ o o o A A Ο ΓΤΡ έχει ανεξάρτητους κλάδους (#πόλων-#μηδενικών=). Δυο τμήματα του ΓΤΡ βρίσκονται στον πραγματικό άξονα. Δυο πόλοι (, -8) τείνουν στα δυο μηδενικά στο (-). Δυο κλάδοι τείνουν στο άπειρο κατά την κατεύθυνση ασύμπτωτων. 33

34 Κανόνες κατασκευής ΓΤΡ Εφαρμογή κριτηρίου Routh-Hurwitz για τον υπολογισμό του σημείου τομής με τον φανταστικό άξονα για το χαρακτηριστικό πολυώνυμο Κ 4K Κ b 1 b 1 c 1 d K 8 4K 4K b 1 =4K/8 b =4K c 1 =(K-8) d 1 =4K Για ευστάθεια πρέπει c 1 >= (K-8)>= K>=14. Από βοηθητικό πολυώνυμο 4Κ/8 + 4K =. =±.884j για Κ=14. 34

35 Κανόνες κατασκευής ΓΤΡ Σημείο θλάσης: ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ. Γωνία αναχώρησης από πόλους ±j θ z +θ z -(θ p1 +θ p +θ p3 +θ p4 )=18 ο θ p =46 ο θ p θ p4 θ z θ p1 θ p3 θ z =6.57 = tan -1 (1/) θ p1 =9 θ p3 =9 θ p4 =7.13 = tan -1 (1/8) 35

36 Κανόνες κατασκευής ΓΤΡ 5 Root Locu 15 Imaginary Axi χ ο χ Real Axi num=[1 4 ]; den=conv([1 8],[1 1]); g=tf(num,den); rlocu(g) 36

37 Σχεδίαση αντισταθμιστών με το ΓΤΡ Αντισταθμιστές προήγησης φάσης. G c K Το μέτρο του μηδενικού είναι μικρότερο από το μέτρο του πόλου. c z p z p p z Μετακινεί το ΓΤΡ προς τα αριστερά με αποτέλεσμα να: Βελτιώνει το περιθώριο ευστάθειας. Επιταχύνει την απόκριση του συστήματος. Ενδεχομένως να αυξάνει το σφάλμα σε μόνιμη κατάσταση. 37

38 Σχεδίαση αντισταθμιστών με το ΓΤΡ Αντισταθμιστές προήγησης φάσης. σ A n p j zi j1 Το σημείο συμμετρίας των ασύμπτωτων του ΓΤΡ μετακινείται προς τα αριστερά στο μιγαδικό επίπεδο επειδή αυξάνεται ο αριθμητής, λόγω του μεγαλύτερου σε απόλυτη τιμή πόλου, ενώ ο παρονομαστής παραμένει αμετάβλητος (προσθήκη ενός πόλου και μηδενικού αντίστοιχα). Ως αποτέλεσμα, ο ΓΤΡ θα μετακινηθεί προς τα αριστερά, μακρύτερα από το όριο της ευστάθειας, προς ταχύτερα δυναμικά χαρακτηριστικά. m i1 n m 38

39 Σχεδίαση αντισταθμιστών με το ΓΤΡ Αντισταθμιστές καθυστέρησης φάσης. G c K c z p Το μέτρο του πόλου είναι μικρότερο από το μέτρο του μηδενικού. z p z p Μετακινεί το ΓΤΡ προς τα δεξιά με αποτέλεσμα να: Μειώνει το περιθώριο ευστάθειας. Επιβραδύνει την απόκριση του συστήματος. Ωστόσο μειώνει το σφάλμα σε μόνιμη κατάσταση (π.χ. ολοκληρωτής). 39

40 Σχεδίαση αντισταθμιστών προήγησης με το ΓΤΡ Μεθοδολογία Bihop & Dorf, κεφ. 1.5 Σύγχρονα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου, Εκδ. Τζιόλα, 5 Βήμα 1. Συσχέτιση των προδιαγραφών του συστήματος με τη θέση των επιθυμητών κυρίαρχων πόλων. Βήμα. Σχεδίαση του ΓΤΡ του μη-αντισταθμισμένου συστήματος. Βήμα 3. Έλεγχος αν οι επιθυμητοί πόλοι ανήκουν στο ΓΤΡ (αν ναι, τότε επιλέγεται μόνο το κατάλληλο κέρδος Κ δε χρειάζεται αντισταθμιστής). Βήμα 4. Τοποθέτηση του μηδενικού του αντισταθμιστή στον πραγματικό άξονα ακριβώς κάτω από τη θέση του επιθυμητού πόλου του αντισταθμισμένου συστήματος ή στα αριστερά των πρώτων δυο πραγματικών πόλων. 4

41 Σχεδίαση αντισταθμιστών προήγησης με το ΓΤΡ Βήμα 5. Προσδιορισμός της θέσης του πόλου ώστε να ικανοποιείται η σχέση του ορίσματος για τους επιθυμητούς πόλους. Βήμα 6. Υπολογισμός του κέρδους του συστήματος στη θέση της επιθυμητής ρίζας από τη σχέση του μέτρου. Βήμα 7. Υπολογισμός της σταθεράς σφάλματος. Βήμα 8. Επανάληψη των βημάτων 4-7 αν η σταθερά σφάλματος δεν είναι ικανοποιητική. 41

42 Σχεδίαση αντισταθμιστών προήγησης με το ΓΤΡ Παράδειγμα GH K Προδιαγραφές: Χρόνος αποκατάστασης, Τ 4. Ποσοστό υπερύψωσης σε βηματική απόκριση 35%. Τ =4/(ζω n ) 4 ζω n 1. Από σχετικό διάγραμμα ζ.3. Επιλέγονται ως ρίζες του αντισταθμισμένου συστήματος οι r 1, =-1 ± j που ικανοποιούν τις προδιαγραφές. 4

43 Σχεδίαση αντισταθμιστών προήγησης με το ΓΤΡ Χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού βρόχου: 1 GH1 Ο ΓΤΡ είναι ο φανταστικός άξονας. Άρα χρειάζεται αντιστάθμιση αφού oι επιθυμητές ρίζες δεν ανήκουν στο ΓΤΡ του μη αντισταθμισμένου συστήματος. K 43

44 Σχεδίαση αντισταθμιστών προήγησης με το ΓΤΡ Θέτουμε ένα μηδενικό του αντισταθμιστή ακριβώς κάτω από τον επιθυμητό πόλο, δηλαδή =-z=-1. Εφαρμόζουμε το κριτήριο του ορίσματος για την Επιθυμητός πόλος. επιθυμητή ρίζα: θ p3 =18 θ p3 =36.86 o θ p1, =116.5 θ p3 Από τη γωνία θ p3 υπολογίζουμε τη θέση του πόλου του αντισταθμιστή p= 3.6. G c K

45 Σχεδίαση αντισταθμιστών προήγησης με το ΓΤΡ 4 3 Root Locu ΓΤΡ αντισταθμισμένου συστήματος. Imaginary Axi 1-1 χ ο χ - -3 σ φ A A GH G c q 1 o o o 18 9, 7 q, K Real Axi Υπολογισμός παραμέτρου Κ στον επιθυμητό πόλο από τον κανόνα του μέτρου, Κ = (.3) (3.5) / =

46 Σχεδίαση αντισταθμιστών προήγησης με το ΓΤΡ Έλεγχος σφάλματος σε μόνιμη κατάσταση. Σύστημα τύπου, άρα το σφάλμα θέσης και ταχύτητας είναι μηδέν. Το σφάλμα επιτάχυνσης υπολογίζεται ως: e lim 1 G K a lim G K a lim K

47 Σχεδίαση αντισταθμιστών προήγησης με το ΓΤΡ Παράδειγμα GH K Προδιαγραφές: Συντελεστής απόσβεσης κύριων ριζών, ζ=.45. Χρόνος αποκατάστασης Τ =1. Σφάλμα μόνιμης κατάστασης σε μεταβολή κλίσης = 5%. Κ v =A/e =A/(.5A)= Τ =4/(ζω n ) 1 ζω n 4 Επιλέγεται ω n =9. Επιλέγονται ως πόλοι του αντισταθμισμένου συστήματος οι r 1, = ζ ω n ± ω n (1-ζ ) = -4 ± j 8. 47

48 Σχεδίαση αντισταθμιστών προήγησης με το ΓΤΡ Χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού βρόχου: 1 GH 1 K Σχεδιάζεται ο ΓΤΡ του μη αντισταθμισμένου συστήματος. Άρα χρειάζεται αντιστάθμιση, αφού οι επιθυμητές ρίζες δεν ανήκουν στο ΓΤΡ του μη αντισταθμισμένου συστήματος. 48

49 Σχεδίαση αντισταθμιστών προήγησης με το ΓΤΡ Θέτουμε ένα μηδενικό του αντισταθμιστή ακριβώς κάτω από τον επιθυμητό πόλο, δηλαδή =-z=-4. Εφαρμόζουμε το κριτήριο του ορίσματος στον επιθυμητό πόλο: θ p3 =18 θ p3 =5 o Επιθυμητός πόλος. θ p3 θ p =14 θ p1 =116 Από τη γωνία υπολογίζουμε τη θέση του πόλου του αντισταθμιστή p= 1.6. G c K

50 Σχεδίαση αντισταθμιστών προήγησης με το ΓΤΡ 5 Root Locu 15 Imaginary Axi χ χ χ ο σ φ A A GH q G c o o, 7 o q, 1 K Real Axi Υπολογισμός παραμέτρου Κ στην επιθυμητή ρίζα από τον κανόνα του μέτρου: Κ = 9 (8.5) (1.4) / 8 =

51 Σχεδίαση αντισταθμιστών προήγησης με το ΓΤΡ Έλεγχος σφάλματος σε μόνιμη κατάσταση. Σύστημα τύπου 1, άρα το σφάλμα θέσης σε βηματική μεταβολή είναι μηδέν. Το σφάλμα ταχύτητας υπολογίζεται ως: e lim 1 G K v limg K v lim Η σταθερά σφάλματος ταχύτητας του αντισταθμισμένου συστήματος είναι μικρότερη από την απαίτηση των προδιαγραφών. 51

52 Σχεδίαση αντισταθμιστών προήγησης με το ΓΤΡ Sytem: dcl Peak amplitude: 1.3 Overhoot (%): At time (ec):.369 Step Repone 1. Amplitude Sytem: dcl Settling Time (ec): d = tf([ ],[ ]); dcl=minreal(d/(1+d)); tep(dcl) Time (ec) Απόκριση σε βηματική μεταβολή του αντισταθμισμένου συστήματος. 5

53 Σχεδίαση αντισταθμιστών προήγησης με το ΓΤΡ 1.8 Step Repone Amplitude Time (ec) Απόκριση σε βηματική μεταβολή του αντισταθμισμένου συστήματος. Απόκριση σε βηματική μεταβολή του μη αντισταθμισμένου συστήματος. 53

54 Σχεδίαση αντισταθμιστών προήγησης με το ΓΤΡ Linear Simulation Reult Amplitude d = tf([ ],[ ]); dcl=minreal(d/(1+d)); t=[:.:]; u=t; lim(dcl,u,t) Time (ec) Απόκριση σε μεταβολή κλίσης του αντισταθμισμένου συστήματος. 54

55 Σχεδίαση αντισταθμιστών προήγησης με το ΓΤΡ Linear Simulation Reult Amplitude Time (ec) Απόκριση σε μεταβολή κλίσης του αντισταθμισμένου συστήματος. Απόκριση σε μεταβολή κλίσης του μη αντισταθμισμένου συστήματος. 55

56 Σχεδίαση αντισταθμιστών ολοκλήρωσης με ΓΤΡ Αντισταθμιστές ολοκλήρωσης. G c K c z Ο πόλος τοποθετείται στην αρχή των αξόνων, p. z p Μετακινεί το ΓΤΡ προς τα δεξιά με αποτέλεσμα να: Μειώνει το περιθώριο ευστάθειας. Επιβραδύνει την απόκριση του συστήματος. Μειώνει το σφάλμα σε μόνιμη κατάσταση. 56

57 Σχεδίαση αντισταθμιστών ολοκλήρωσης με ΓΤΡ Ελεγκτής PI. G c K c 1 1 K τi c τ I 1 τ I Bihop & Dorf, κεφ. 1.6 Σύγχρονα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Εκδ. Τζιόλα, 5. Πόλος στην αρχή των αξόνων μηδενικό στο -1/τ Ι. z p Μεθοδολογία. Ορίζουμε την επιθυμητή θέση των πόλων με βάση τις προδιαγραφές. Προσδιορίζουμε τη θέση του μηδενικού έτσι ώστε το κριτήριο του ορίσματος να ισχύει για την επιθυμητή ρίζα. 57

58 Σχεδίαση αντισταθμιστών ολοκλήρωσης με ΓΤΡ Παράδειγμα GH K Προδιαγραφές: Ποσοστό υπερύψωσης < 1%. Μηδενικό σφάλμα σε βηματική μεταβολή. G c K c 1 1 K τi c τ 1 τ I 1 τ Από το επιθυμητό ποσοστό υπερύψωσης ζ >.6 επιλέγουμε το πραγματικό μέρος των ριζών να είναι ζω n =.75 που οδηγεί σε χρόνο αποκατάστασης Τ =4/(ζω n ) =5.3. Επιλέγουμε ως πόλους του αντισταθμισμένου συστήματος τις r 1, = ζω n ± ω n (1-ζ ) = -.75 ± j I K τ c I I 58

59 Σχεδίαση αντισταθμιστών ολοκλήρωσης με ΓΤΡ Χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού βρόχου: 1 GH 1 K K τ c 1 I τ I Επιλέγεται μια ρίζα στη γραμμή για ζ=.6 στη θέση =-.75±j. Υπολογίζουμε τη θέση του μηδενικού με βάση το κριτήριο του ορίσματος. θ z -( ) = 18 θ z =87.68 ο Θέση μηδενικού z =.71. Κέρδος στην επιθυμητή ρίζα. Κ=1.5 (1.3) 1.6/1. =.8 59

60 Σχεδίαση αντισταθμιστών ολοκλήρωσης με ΓΤΡ Aντισταθμισμένο σύστημα. G c GH KK τ I c Επιλέγεται μια ρίζα στη γραμμή για ζ=.6 στη θέση =-.75±j. Υπολογίζουμε τη θέση του μηδενικού με βάση το κριτήριο του ορίσματος. θ z -( ) = 18 θ z =87.68 ο Θέση μηδενικού z =.71. Κέρδος στην επιθυμητή ρίζα. Κ=1.5 (1.3) 1.6/1. =.8 6

61 Σχεδίαση αντισταθμιστών ολοκλήρωσης με ΓΤΡ 4 Root Locu 3 Imaginary Axi χ ο χ χ Real Axi ΓΤΡ αντισταθμισμένου συστήματος. 61

62 Σχεδίαση αντισταθμιστών ολοκλήρωσης με ΓΤΡ 1. Step Repone 1.4 Sytem: pcl Peak amplitude: 1.15 Overhoot (%): 14.8 At time (ec):.85 1 Amplitude Time (ec) Απόκριση σε βηματική μεταβολή του αντισταθμισμένου συστήματος. Επιλέχθηκε ζ=.6 (οριακά για την προδιαγραφή του ΠΥ). Το σύστημα κλειστού βρόχου δεν είναι αμιγώς ης τάξης. Επανάληψη διεργασίας με επιλογή επιθυμητών ριζών με ζ >.6. 6

63 Σχεδίαση αντισταθμιστών με το ΓΤΡ Αντισταθμιστές καθυστέρησης φάσης. G c K Το μέτρο του πόλου είναι μικρότερο από το μέτρο του μηδενικού. c z p z p z p Μετακινεί το ΓΤΡ προς τα δεξιά με αποτέλεσμα να: Μειώνει το περιθώριο ευστάθειας. Επιβραδύνει την απόκριση του συστήματος. Μειώνει το σφάλμα σε μόνιμη κατάσταση (αυξάνονται οι σταθερές σφάλματος κατά z /p >1). 63

64 Σχεδίαση αντισταθμιστών καθυστέρησης ΓΤΡ Μεθοδολογία Bihop & Dorf, κεφ. 1.7 Σύγχρονα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου, Εκδ. Τζιόλα, 5. Βήμα 1. Σχεδίαση του ΓΤΡ του μη-αντισταθμισμένου συστήματος. Βήμα. Καθορισμός των προδιαγραφών της μεταβατικής συμπεριφοράς και επισήμανση των κατάλληλων θέσεων των κυρίαρχων ριζών στον ΓΤΡ του μη αντισταθμισμένου συστήματος. Βήμα 3. Υπολογισμός του κέρδους βρόχου στη θέση της επιθυμητής ρίζας και επομένως και της σταθεράς σφάλματος. Βήμα 4. Σύγκριση της σταθεράς σφάλματος του μηαντισταθμισμένου συστήματος με την επιθυμητή και υπολογισμός της απαραίτητης αύξησης που επιβάλλεται να προκύψει από το λόγο μέτρου, α, πόλου-μηδενικού του αντισταθμιστή. 64

65 Σχεδίαση αντισταθμιστών καθυστέρησης ΓΤΡ Βήμα 5. Γνωρίζοντας το λόγο μέτρου πόλου-μηδενικού του αντισταθμιστή υπολογίζουμε την κατάλληλη θέση του πόλου και του μηδενικού ώστε ο ΓΤΡ του αντισταθμισμένου συστήματος να συνεχίζει να διέρχεται από την επιθυμητή ρίζα. Τοποθέτηση του πόλου και του μηδενικού κοντά στην αρχή των αξόνων σε σύγκριση με το ω n. Συνίσταται όπως η διαφορά της γωνίας του πόλου και του μηδενικού με την επιθυμητή ρίζα να μην υπερβαίνει τις ο. 65

66 Σχεδίαση αντισταθμιστών καθυστέρησης ΓΤΡ Παράδειγμα GH K Προδιαγραφές: Συντελεστής απόσβεσης κύριων ριζών, ζ=.45. Σταθερά σφάλματος ταχύτητας K v =. 66

67 Σχεδίαση αντισταθμιστών καθυστέρησης ΓΤΡ Χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού βρόχου: 1 GH 1 K Σχεδιάζεται ο ΓΤΡ του μη αντισταθμισμένου συστήματος. Επιλέγεται μια ρίζα στη γραμμή για ζ=.45 στη θέση =-1±j. Υπολογίζουμε το κέρδος στην επιθυμητή ρίζα. Κ=(.4) =5. Επομένως Κ v =K/=.5. Άρα ο απαιτούμενος λόγος ενίσχυσης της σταθεράς σφάλματος ταχύτητας είναι: (z/p)=a K v =lim 5/((+)) a= a=8. Επιλέγεται z=-.1 και p=-.1/8. 67

68 Σχεδίαση αντισταθμιστών καθυστέρησης ΓΤΡ Συνάρτηση μεταφοράς αντισταθμισμένου συστήματος: 5. 1 G c GH Root Locu Imaginary Axi χ ο χ Real Axi 68

69 Σχεδίαση αντισταθμιστών καθυστέρησης ΓΤΡ GH G c G c GH Αντισταθμιστής προήγησης. Αντισταθμιστής καθυστέρησης. 1.4 Step Repone 1. 1 Amplitude Time (ec) 69

70 Σχεδίαση αντισταθμιστών καθυστέρησης ΓΤΡ GH G c G c GH Αντισταθμιστής προήγησης. Αντισταθμιστής καθυστέρησης. 1 Ramp repone 1 Output magnitude Time, ec 7

71 Επίτευξη μαθησιακών στόχων Στο τέλος αυτής της ενότητας ο/η εκπαιδευόμενος/η θα πρέπει να μπορεί να: Κατανοεί τις ιδιότητες του γεωμετρικού τόπου ριζών ενός συστήματος κλειστού βρόχου. Αναγνωρίζει από το γεωμετρικό τόπο ριζών το εύρος των τιμών του κέρδους για τις οποίες το σύστημα κλειστού βρόχου παρουσιάζει συγκεκριμένη δυναμική συμπεριφορά. Σχεδιάζει το γεωμετρικό τόπο ριζών με χρήση του MATLAB. 71

72 Επίτευξη μαθησιακών στόχων Στο τέλος αυτής της ενότητας ο/η εκπαιδευόμενος/η θα πρέπει να μπορεί να: Σχεδιάζει ένα αντισταθμιστή προήγησης φάσης με το γεωμετρικό τόπο ριζών. Σχεδιάζει ένα αντισταθμιστή καθυστέρησης φάσης με το γεωμετρικό τόπο ριζών. 7

73 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Δρ Παπαδόπουλος Αθανάσιος Δρ Αγγελική Μονέδα Θεσσαλονίκη, Μάιος 14

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια 6 Nicol Tptouli Ευστάθεια και θέση πόλων Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 4 η : ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ 7 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ Δρ. Γιωργος Μαϊστρος Παράγοντας ης τάξης (+jωτ) Αντιστοιχεί σε πραγματικό πόλο: j j j Έτσι το μέτρο: ιαγράμματα χρήση ασυμπτώτων τομή τους

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 3 η : ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σχεδίαση µε το Γεωµετρικό Τόπο Ριζών

Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σχεδίαση µε το Γεωµετρικό Τόπο Ριζών ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σχεδίαση µε το Γεωµετρικό Τόπο Ριζών ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος []: Εφαρµογές, Κεφάλαιο 9: Ενότητες 9.-9.4

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ Σημαντική πληροφορία για τη συμπεριφορά και την ευστάθεια ενός γραμμικού συστήματος, παίρνεται, μελετώντας την απόκρισή του

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου 2013-14 (Ιούνιος 2014)

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου 2013-14 (Ιούνιος 2014) Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου 201314 (Ιούνιος 2014) ΘΕΜΑ 1 Ο (3,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό λειτουργικό διάγραμμα που περιγράφει ένα αναγνωριστικό αυτοκινούμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 3: Αριθμητικά Περιγραφικά Μέτρα Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση Μεικτών VLSI Κυκλωμάτων Ενότητα 9: Ευστάθεια και Αντιστάθμιση Συχνότητας

Σχεδίαση Μεικτών VLSI Κυκλωμάτων Ενότητα 9: Ευστάθεια και Αντιστάθμιση Συχνότητας Σχεδίαση Μεικτών VLSI Κυκλωμάτων Αγγελική Αραπογιάννη Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Σύστημα αρνητικής ανάδρασης Y X s H(s) 1 H(s) Συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου Ταλαντωτής

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση Ηλεκτρονικών Κυκλωμάτων RF

Σχεδίαση Ηλεκτρονικών Κυκλωμάτων RF ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Σχεδίαση Ηλεκτρονικών Κυκλωμάτων F Ενότητα: Φίλτρα και Επαναληπτικές Ασκήσεις Στυλιανός Μυτιληναίος Τμήμα Ηλεκτρονικής, Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τίτλος Μαθήματος

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τίτλος Μαθήματος ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Τίτλος Μαθήματος Ενότητα : Μετασχηματισμός LAPLACE (Laplace Tranform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών

Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών Ενότητα 1: Εισαγωγή Βασικές Αρχές Επ. Καθηγήτρια Τζόγια Χ. Καππάτου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΣΤΟΝ Η/Υ. Ενότητα 2: Εντολές σχεδίασης Rectangle, Circle, εντολές επεξεργασίας Offset, Trim, Erase.

ΣΧΕΔΙΟ ΣΤΟΝ Η/Υ. Ενότητα 2: Εντολές σχεδίασης Rectangle, Circle, εντολές επεξεργασίας Offset, Trim, Erase. ΣΧΕΔΙΟ ΣΤΟΝ Η/Υ Ενότητα 2: Εντολές σχεδίασης Rectangle, Circle, εντολές επεξεργασίας Offset, Trim, Erase. Παπαδόπουλος Χρήστος Τμήμα Διαχείρισης Εκκλησιαστικών Κειμηλίων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης

Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 9Α: ΕΛΛΗΝΙΚΟΣ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΟΣ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ (ΕΑΚ, 2003) Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες / Εργαστήριο

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες / Εργαστήριο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες / Εργαστήριο Εργαστηριακή Άσκηση 3: Εισαγωγή στη διαμόρφωση συχνότητας (FΜ) Προσομοίωση σε Η/Υ Δρ.

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 5: Όρια και Συνέχεια Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ.

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Φυσικής Εργαστήριο Ηλεκτρονικής ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Κ. Ψυχαλίνος Πάτρα 005 . METAΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE. Ορισμοί Μετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο συχνότητας.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τεχνικό Σχέδιο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τεχνικό Σχέδιο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Τεχνικό Σχέδιο Ενότητα 4.4: Μεθοδολογία Παράστασης Τομών Επιφανειών Στερεών Σωμάτων (Συμπαγών και μη Συμπαγών) Σταματίνα Γ. Μαλικούτη

Διαβάστε περισσότερα

11 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

11 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 11 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα: Μ/Σ FOURIER Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Εξεταστικής Περιόδου Σεπτεμβρίου 2014

Λύσεις θεμάτων Εξεταστικής Περιόδου Σεπτεμβρίου 2014 Λύσεις θεμάτων Εξεταστικής Περιόδου Σεπτεμβρίου 204 ΘΕΜΑ Ο (2,0 μονάδες) Η διαδικασία διεύθυνσης ενός αυτοκινήτου κατά την οδήγησή του μπορεί να περιγραφεί με ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου κλειστού βρόχου.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Non Linear Equations (2)

Non Linear Equations (2) Non Linear Equations () Τρίτη, 17 Φεβρουαρίου 015 5:14 μμ 15.0.19 Page 1 15.0.19 Page 15.0.19 Page 3 15.0.19 Page 4 15.0.19 Page 5 15.0.19 Page 6 15.0.19 Page 7 15.0.19 Page 8 15.0.19 Page 9 15.0.19 Page

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Ανάλυσης Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας

Εργαστήριο Ανάλυσης Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας Εργαστήριο Ανάλυσης Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας Ενότητα: Άσκηση 6: Αντιστάθμιση γραμμών μεταφοράς με σύγχρονους αντισταθμιστές Νικόλαος Βοβός, Γαβριήλ Γιαννακόπουλος, Παναγής Βοβός Τμήμα Ηλεκτρολόγων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 3: Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Ενότητα 2: Όργανα Μετρήσεων Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Αριστείδης Νικ. Παυλίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών και Βιομηχανικού Σχεδιασμού ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID. Ελεγκτής τριών όρων Η συνάρτηση μεταφοράς του PID ελεγκτή είναι η ακόλουθη:

ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID. Ελεγκτής τριών όρων Η συνάρτηση μεταφοράς του PID ελεγκτή είναι η ακόλουθη: ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID Εισαγωγή Αυτό το βοήθημα θα σας δείξει τα χαρακτηριστικά καθενός από τους τρεις ελέγχους ενός PID ελεγκτή, του αναλογικού (P), του ολοκληρωτικού (I) και του διαφορικού (D) ελέγχου, καθώς και

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονομία. Ενότητα 3: Ελαστικότητα Ζήτησης και Προσφοράς. Δριτσάκη Χάιδω Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μικροοικονομία. Ενότητα 3: Ελαστικότητα Ζήτησης και Προσφοράς. Δριτσάκη Χάιδω Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μικροοικονομία Ενότητα 3: Ελαστικότητα Ζήτησης και Προσφοράς Δριτσάκη Χάιδω Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΙΣΜΑΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΠΟΛΙΤΙΚΗ. Ενότητα 3: Αγορά Χρήματος και επιτόκια. Γεώργιος Μιχαλόπουλος Τμήμα Λογιστικής-Χρηματοοικονομικής

ΝΟΜΙΣΜΑΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΠΟΛΙΤΙΚΗ. Ενότητα 3: Αγορά Χρήματος και επιτόκια. Γεώργιος Μιχαλόπουλος Τμήμα Λογιστικής-Χρηματοοικονομικής Ενότητα 3: Αγορά Χρήματος και επιτόκια Τμήμα Λογιστικής-Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier. Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier. Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Τηλεπικοινωνίες Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρικά Κινητήρια Συστήματα

Ηλεκτρικά Κινητήρια Συστήματα Ηλεκτρικά Κινητήρια Συστήματα Ενότητα 2:Συγκρότηση ενός Ηλεκτρικού Κινητήριου Συστήματος είδη φορτίων Επαμεινώνδας Μητρονίκας Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση Ανθρώπινων Πόρων Ενότητα 1: Περίοδοι οργάνωσης και διοίκησης επιχειρήσεων

Διοίκηση Ανθρώπινων Πόρων Ενότητα 1: Περίοδοι οργάνωσης και διοίκησης επιχειρήσεων Διοίκηση Ανθρώπινων Πόρων Ενότητα 1: Περίοδοι οργάνωσης και διοίκησης επιχειρήσεων Δρ. Σερδάρης Παναγιώτης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 3: Θεώρημα των Gauss Markov. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 3: Θεώρημα των Gauss Markov. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 3: Θεώρημα των Gauss Markov Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2014 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2014 1 / 42 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 1

Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 1 Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 1 Ενότητα 3: Άλγεβρα Βοole και Λογικές Πράξεις Δρ. Φραγκούλης Γεώργιος Τμήμα Ηλεκτρολογίας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ (Προγραμματισμός & MATLAB)

1 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ (Προγραμματισμός & MATLAB) ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΕ Η/Υ 1 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ (Προγραμματισμός & MATLAB) Ν.Δ. Λαγαρός Μ. Φραγκιαδάκης Α. Στάμος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 3: Κλασικά Υποδείγματα της Διεθνούς Οικονομικής Θεωρίας (Heckscher-Ohlin model) Γρηγόριος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Ηλεκτροτεχνικών Εφαρμογών

Εργαστήριο Ηλεκτροτεχνικών Εφαρμογών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Εργαστήριο Ηλεκτροτεχνικών Εφαρμογών Ενότητα: Χωρητική Αντιστάθμιση Ισχύος Γεώργιος Χ. Ιωαννίδης Τμήμα Ηλεκτρολογίας Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Παράλληλης και Κατανεμημένης Επεξεργασίας

Συστήματα Παράλληλης και Κατανεμημένης Επεξεργασίας Συστήματα Παράλληλης και Κατανεμημένης Επεξεργασίας Ενότητα: ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ No:08 Δρ. Μηνάς Δασυγένης mdasyg@ieee.org Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Εργαστήριο Ψηφιακών Συστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ

ΤΕΙ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ ΤΕΙ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Τ.Ε Πτυχιακή εργασία ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΘΕΣΗΣ ΓΡΑΦΙΔΑΣ ΕΚΤΥΠΩΤΗ ΕΚΠΟΝΗΣΗ: ΚΟΛΙΩΤΣΑ ΜΑΡΙΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΤΣΙΡΙΓΩΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αρµονική Απόκριση & ιαγράµµατα Bode

Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αρµονική Απόκριση & ιαγράµµατα Bode ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Συστηµάτν Αυτοµάτου Ελέγχου: Αρµονική Απόκριση & ιαγράµµατα Bode 6 Ncolas Tsaatsouls Εισαγγή ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

Αλληλεπίδραση Ανθρώπου- Υπολογιστή & Ευχρηστία

Αλληλεπίδραση Ανθρώπου- Υπολογιστή & Ευχρηστία Αλληλεπίδραση Ανθρώπου- Υπολογιστή & Ευχρηστία Ενότητα 6: Η Τεχνολογία Λογισμικού στην Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή Σαπρίκης Ευάγγελος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

ΜΑΘΗΜΑ: ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΑΡΙΣΤΕΙΔΗΣ Νικ. ΠΑΥΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ: ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ Τ.Ε. 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 11: Λογική πρώτης τάξης. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 11: Λογική πρώτης τάξης. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 11: Λογική πρώτης τάξης Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Η/Υ 1 (Εργαστήριο)

Προγραμματισμός Η/Υ 1 (Εργαστήριο) Προγραμματισμός Η/Υ 1 (Εργαστήριο) Ενότητα 1: Εισαγωγή στη C - Αλγόριθμοι Καθηγήτρια Εφαρμογών: Τσαγκαλίδου Ροδή Τμήμα: Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση ανθρωπίνων Πόρων. Ενότητα 2: Προγραμματισμός Ανθρώπινου Δυναμικού Δρ. Καταραχιά Ανδρονίκη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διοίκηση ανθρωπίνων Πόρων. Ενότητα 2: Προγραμματισμός Ανθρώπινου Δυναμικού Δρ. Καταραχιά Ανδρονίκη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Διοίκηση ανθρωπίνων Πόρων Ενότητα 2: Προγραμματισμός Ανθρώπινου Δυναμικού Δρ. Καταραχιά Ανδρονίκη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ. Ενότητα 10: Το πρόβλημα της ανεργίας. Γεώργιος Μιχαλόπουλος Τμήμα Λογιστικής-Χρηματοοικονομικής

ΜΑΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ. Ενότητα 10: Το πρόβλημα της ανεργίας. Γεώργιος Μιχαλόπουλος Τμήμα Λογιστικής-Χρηματοοικονομικής Ενότητα 10: Το πρόβλημα της ανεργίας Τμήμα Λογιστικής-Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x Λύση (ΘΕΜΑ ο ) Γ. Έστω οι συναρτήσεις : h ln με D 0, h f με D, h h h με 3 0, 0, ln h h D D / h D δηλαδή h3 h h ή D 0, h h h με 4 f,, h 3 D D / h D δηλαδή h4 h h ή D, Έτσι η εξίσωση h ln h f h 4 ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση.

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. 12ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. Το όργανο μέτρησης του βάρους ενός σώματος είναι : α) το βαρόμετρο, β) η ζυγαριά, γ) το δυναμόμετρο, δ) ο αδρανειακός ζυγός.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Αριθμητική Επίλυση Δυναμικών Συστημάτων στο Περιβάλλον MATLAB και Simulink

Δυναμική Μηχανών I. Αριθμητική Επίλυση Δυναμικών Συστημάτων στο Περιβάλλον MATLAB και Simulink Δυναμική Μηχανών I 5 6 Αριθμητική Επίλυση Δυναμικών Συστημάτων στο Περιβάλλον MATLAB και Simulink 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονομία. Ενότητα 6: Θεωρία Κόστους Παραγωγής. Δριτσάκη Χάιδω Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μικροοικονομία. Ενότητα 6: Θεωρία Κόστους Παραγωγής. Δριτσάκη Χάιδω Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μικροοικονομία Ενότητα 6: Θεωρία Κόστους Παραγωγής Δριτσάκη Χάιδω Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 7: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)()=- για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f()=, β) η f αντιστρέφεται, γ) f - ()=-f(), є R., δ ) να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Τοπική μονοτονία Αν μια συνεχής συνάρτηση έχει γνήσια θετική αρνητική παράγωγο

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικό Τεχνικό Σχέδιο

Ειδικό Τεχνικό Σχέδιο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ειδικό Τεχνικό Σχέδιο Ενότητα 5.4: Κατακόρυφες επικοινωνίες στα κτίρια Δρ Σταματίνα Γ. Μαλικούτη Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Τ.Ε.

Διαβάστε περισσότερα

Χρηματοοικονομική Ι. Ενότητα 7: Μετοχικοί τίτλοι. Ιωάννης Ταμπακούδης. Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι

Χρηματοοικονομική Ι. Ενότητα 7: Μετοχικοί τίτλοι. Ιωάννης Ταμπακούδης. Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι Χρηματοοικονομική Ι Ενότητα 7: Μετοχικοί τίτλοι Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών. Ενότητα 10: ΚΛΙΜΑΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ Λοΐζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας

Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών. Ενότητα 10: ΚΛΙΜΑΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ Λοΐζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 10: ΚΛΙΜΑΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ Λοΐζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Εργαστήριο

Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Εργαστήριο Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Εργαστήριο Ενότητα: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΑΠΟΣΦΑΛΜΑΤΩΣΗΣ Δρ. Μηνάς Δασυγένης mdasyg@ieee.org Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Εργαστήριο Ψηφιακών Συστημάτων και Αρχιτεκτονικής

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η χρονική απόκριση μπορεί να ληφθεί από αναλυτικά μέσα όπως η μέθοδος μετασχηματισμού Laplace, εναλλακτικά δε μπορεί να χρησιμοποιηθεί εξομοίωση από Η/Υ. Η προσέγγιση

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικό Τεχνικό Σχέδιο

Ειδικό Τεχνικό Σχέδιο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ειδικό Τεχνικό Σχέδιο Ενότητα 4.7.1: Κτίρια κατοικιών με φέροντα οργανισμό από οπλισμένο σκυρόδεμα Δρ Σταματίνα Γ. Μαλικούτη Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Μικροοικονομική. Ενότητα 11 : Κόστος παραγωγής Καραμάνης Κωνσταντίνος

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Μικροοικονομική. Ενότητα 11 : Κόστος παραγωγής Καραμάνης Κωνσταντίνος 1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Μικροοικονομική Ενότητα 11 : Κόστος παραγωγής Καραμάνης Κωνσταντίνος 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Λογιστικής και χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Σχήμα Χαμηλοδιαβατά φίλτρα:

Σχήμα Χαμηλοδιαβατά φίλτρα: ΦΙΛΤΡΑ 6.. ΦΙΛΤΡΑ Το φίλτρο είναι ένα σύστημα του οποίου η απόκριση συχνότητας παίρνει σημαντικές τιμές μόνο για συγκεκριμένες ζώνες του άξονα συχνοτήτων. Στο Σχήμα 6.6 δείχνουμε την απόκριση συχνότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 7. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 7. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 7 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Επανάληψη 1 ου μέρους μαθήματος: Μοντελοποίηση & Κατάστρωση Δυναμικών Εξισώσεων Εισαγωγή 2 ου μέρους μαθήματος:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση και Διοίκηση Πωλήσεων

Οργάνωση και Διοίκηση Πωλήσεων Οργάνωση και Διοίκηση Πωλήσεων Ενότητα 7: ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΔΥΝΑΜΗΣ ΠΩΛΗΤΩΝ Αθανασιάδης Αναστάσιος Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και Οικονομία Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima

Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima Το Maxima είναι ένα πρόγραμμα για την εκτέλεση μαθηματικών υπολογισμών, συμβολικών μαθηματικών χειρισμών, αριθμητικών υπολογισμών και γραφικών παραστάσεων. Το Maxima λειτουργεί

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό Ενότητα 3 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων Ι. Ψαρομήλιγκος Χ. Κυτάγιας Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Εκτίμηση Περιβαλλοντικών Επιπτώσεων

Εκτίμηση Περιβαλλοντικών Επιπτώσεων Εκτίμηση Περιβαλλοντικών Επιπτώσεων Ενότητα 6: Ειδική Οικολογική Αξιολόγηση Καθηγητής Α. Κούγκολος Δρ Στ. Τσιτσιφλή Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Ενότητα 9: ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΙΣΧΥΟΣ Αριστείδης Νικ. Παυλίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών και Βιομηχανικού Σχεδιασμού ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Ανάλυσης Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας

Εργαστήριο Ανάλυσης Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας Εργαστήριο Ανάλυσης Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας Ενότητα: Άσκηση 5: Η σύγχρονη μηχανή (γεννήτρια/κινητήρας ) Νικόλαος Βοβός, Γαβριήλ Γιαννακόπουλος, Παναγής Βοβός Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση και Διοίκηση Πωλήσεων

Οργάνωση και Διοίκηση Πωλήσεων Οργάνωση και Διοίκηση Πωλήσεων Ενότητα 4: Η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΠΩΛΗΣΕΩΝ Αθανασιάδης Αναστάσιος Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και Οικονομία Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

M m l B r mglsin mlcos x ml 2 1) Να εισαχθεί το µοντέλο στο simulink ορίζοντας από πριν στο MATLAB τις µεταβλητές Μ,m,br

M m l B r mglsin mlcos x ml 2 1) Να εισαχθεί το µοντέλο στο simulink ορίζοντας από πριν στο MATLAB τις µεταβλητές Μ,m,br ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ένα σύστηµα εκκρεµούς όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα: Πάνω στη µάζα Μ επιδρά µια οριζόντια δύναµη F l την οποία και θεωρούµε σαν είσοδο στο σύστηµα. Έξοδος του συστήµατος θεωρείται η απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά Συστήματα

Υπολογιστικά Συστήματα Υπολογιστικά Συστήματα Ενότητα 4: Visual Basic for Applications (VBA) Δομές Επανάληψης και Επιλογής Σαπρίκης Ευάγγελος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Σημαντικές παρατηρήσεις

Σημαντικές παρατηρήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Διαφορικός Λογισμός Σημαντικές παρατηρήσεις Φυλλάδιο Φυλλάδι555 5 ο ο Η έννοια της παραγώγου Να υπάρχει διάστημα της μορφής ή ή α,,β

Διαβάστε περισσότερα