II. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τους ισχυρισμούς της ομάδας Α με τον ισοδύναμό του ισχυρισμό της ομάδας Β.

Transcript

1 Εισαγωγικό κεφάλαιο Ερωτήσεις κατανόησης (σελ. ) I. Σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α και β. Διαφορετικά να κυκλώσετε το γράμμα ψ α (ψ) α α (ψ) α α (Α) 4. α 5. α > 6. α < > 4 < 4 (ψ) (Α) (ψ) < 4 α < (Α) > 4 α > (ψ) 9. α < και β < α.β < 6 (ψ) II. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τους ισχυρισμούς της ομάδας Α με τον ισοδύναμό του ισχυρισμό της ομάδας Β. Α ΟΜΑΔΑ Β ΟΜΑΔΑ. ( ) 0 A 0 και. ( ) 0 Β Γ ή 4 και < 0 Δ 0 5. ( ) 0 και ( ) 0 Ε 0 ή 6. 4 και > 0 Ζ

2 Ερωτήσεις κατανόησης (σελ. 8) I.. Στους παρακάτω πίνακες να συμπληρώσετε με το σύμβολο εκείνα τα τετραγωνάκια των οποίων ο αντίστοιχος αριθμός ανήκει στο αντίστοιχο σύνολο.. Πως ονομάζονται οι αριθμοί για τους οποίους έχουν συμπληρωθεί τα τετραγωνάκια μόνο της τελευταίας γραμμής ;. Να χρησιμοποιήσετε τα διαγράμματα του Venn για να παραστήσετε τις διαδοχικές σχέσεις εγκλεισμού των συνόλων Ν, Ζ,Q και R και να τοποθετήσετε σε αυτά τους αριθμούς αυτούς..,5 0 0 /5 π, 0/ N Z Q R. Oνομάζονται πραγματικοί.. R Q, /5 Z,5 N 0/5 0-5 π

3 II. Σε καθεμιά από τις παρακάτω ερωτήσεις να συμπληρώσετε τις ισότητες.. Αν Α {N διαιρέτης του 6} και Β {N διαιρέτης του 4}, τότε : α) Α Β {,,, 4, 6, 8,, 4} β) Α Β {,, 4, 8}. Ας θεωρήσουμε ως βασικό σύνολο το σύνολο Ω των γραμμάτων του ελληνικού αλφαβήτου και τα υποσύνολά του Α {Ω φωνήεν} και Β {Ω σύμφωνο}. Τότε : α) Α Β Ω β) Α Β γ) Α Β δ) Β Α III. Σε καθεμιά από τις παρακάτω ερωτήσεις να βάλετε σε κύκλους τις σωστές απαντήσεις :. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Τότε : α) Α Α Β β) Β Α Β γ) Α Β Α (σωστό) δ) Α Β Β (σωστό). Έστω δύο σύνολα Α και Β. Τότε : α) Α Α Β (σωστό) β) Α Β Β γ) Α Β Α IV. Σε καθεμιά από τις παρακάτω ερωτήσεις να συμπληρώσετε τις ισότητες.. Έστω Ω ένα βασικό σύνολο, το κενό σύνολο και Α Ω. Τότε : α) Ω β) Ω γ) (Α ) Α

4 . Έστω Α Β. Τότε : α) Α Β Α β) Α Β Β.. Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα Α' ΟΜΑΔΑΣ. Έστω α, μ, κ τα αποτελέσματα η μπάλα να είναι άσπρη, μαύρη και κόκκινη αντιστοίχως. Έχουμε: Αποτέλεσμα (α, α) (α,μ) (α, κ) (μ,α) (μ,μ) (μ,κ) (κ,α) (κ,μ) (κ,κ) Ω {(α, α), (α, μ), (α, κ), (μ, α), (μ, μ), (μ, κ), (κ, α), (κ, μ), κ, κ)} i {(κ, α), (κ, μ), (κ, κ)} ii {(α, α), (μ, μ), κ, κ)}.. Αποτέλεσμα (α, μ) (α, κ) (μ, α) (μ, κ) (κ, α) (κ, μ)

5 Ω {(α, μ), (α, κ), (μ, α), (μ, κ), (κ, α), (κ, μ)} i {(κ α) (κ μ),} ii Ø. Ω {(Κύπρος, αεροπλάνο), (Μακεδονία, αυτοκίνητο), (Μακεδονία, τρένο), (Μακεδονία, αεροπλάνο)}. i Α {(Κύπρος, αεροπλάνο), (Μακεδονία, αεροπλάνο)}. 4. Αν συμβολίσουμε καθεμία από τις επιλογές με το αρχικό της γράμμα, έχουμε το παρακάτω δεντροδιάγραμμα: (κ,μ,π) (κ,μ,τ) (κ,μ,ζ) (κ,ρ,π) (κ,ρ,τ) (κ,ρ,ζ) (κ,χ,π) (κ,χ,τ) (κ,χ,ζ) (φ,μ,π) (φ,μ,τ) (φ,μ,ζ) (φ,ρ,π) (φ,ρ,τ) (φ,ρ,ζ) (φ,χ,π) (φ,χ,τ) (φ,χ,ζ) Το σύνολο που έχει ως στοιχεία τις 8 τριάδες της στήλης "αποτέλεσμα" αποτελεί το δειγματικό χώρο του πειράματος: i Α {(κ, μ, π), (κ, ρ, π), (κ, χ, π), (φ, μ, π), (φ, ρ, π), (φ, χ, π)} iiβ {(κ, μ, π), (κ, μ, τ), (κ, μ, ζ), (κ, ρ, π), (κ, ρ, π), (κ, ρ, ζ), (κ, χ, π), (κ, χ, τ), (κ, χ, ζ)} iv)α Β {(κ, μ, π), (κ, ρ, π), (κ, χ, π)}

6 v) Γ {(κ ρ, π), (κ ρ, τ), (κ ρ, ζ), (φ, ρ, π), (φ, ρ, τ), (φ, ρ, ζ) (Α Β) Γ {(κ, ρ, π)}. 5. Ω {(0, α), (0, β), (0, γ), (0, δ), (, α), (, β), (, γ), (, δ)} i Α {(0, γ), (0, δ)} iiβ {(0, α), (0, β), (, α), (, β)} iv)γ {(, α), (, β), (, γ), (, δ)}. 6. Α {}, Β {,4,6}, Α Β Ø, άρα τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα. i Επειδή υπάρχουν και Έλληνες καθολικοί, αυτό σημαίνει ότι Α Β 0, δηλαδή τα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα. iiεπειδή υπάρχουν γυναίκες άνω των 0, που να είναι 0 χρόνια παντρεμένες, αυτό σημαίνει ότι Α Β 0, άρα τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα. ο παιδί ο παιδί ο παιδί Αποτέλεσμα α ααα κ αακ α ακα κ ακκ α καα κ κακ α κκα κ κκκ Ω {ααα, αακ, ακα, ακκ, καα, κακ, κκα, κκκ}.

7 Β' ΟΜΑΔΑΣ ο παιχνίδι ο παιχνίδι Αποτέλεσμα α β α β αα αβα αββ βαα βαβ ββ. ο παιχνίδι Ω { αα, αβα, αββ, βαα, βαβ, ββ}.. Τα αποτελέσματα της ρίψης δύο ζαριών φαίνονται στον παρακάτω πίνακα διπλής εισόδου. η ρίψη η ρίψη (, ) (, ) (, ) (, 4) (, 5) (, 6) (, ) (, ) (, ) (, 4) (, 5) (, 6) (, ) (, ) (, ) (, 4) (, 5) (, 6) 4 (4, ) (4, ) (4, ) (4, 4) (4, 5) (4, 6) 5 (5, ) (5, ) (5, ) (5, 4) (5, 5) (5, 6) 6 (6, ) (6, ) (6, ) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

8 Άρα Α {(,), (,), (,), (4,), (4,), (4,), (5,), (5,), (5,), (5,4), (6,), (6,), (6,), (6,4), (6,5)}. Β {(,), (,), (,5), (,), (,4), (,6), (,), (,), (,5), (4,), (4,4), (4,6), (5,), (5,), (5,5), (6,), (6,4), (6,6)}. Γ {(,), (,), (,), (,4), (,), (,), (,), (4,)}. Α Β {(,), (4,), (5,), (5,), (6,), (6,4)}. Α Γ {(,), (,), (4,)}. (Α Β) Γ {(,)}... Έννοια της πιθανότητας Α'ΟΜΑΔΑΣ. Η τράπουλα έχει 4 πεντάρια και επομένως η ζητούμενη πιθανότητα είναι ίση με i Το ενδεχόμενο είναι το αντίθετο του ενδεχομένου του προηγούμενου ερωτήματος. Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι ίση με. Αν Γ το αποτέλεσμα "γράμματα" και Κ το αποτέλεσμα "κεφαλή", ο δειγμα-τικός χώρος του πειράματος είναι Ω {ΚΓ, ΓΚ, ΚΚ, ΓΓ} και υπάρχει μια ευνοϊκή περίπτωση η ΓΓ. Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι.. Το κουτί έχει συνολικά μπάλες. Οι μαύρες μπάλες είναι 5. Άρα η πιθανότητα να είναι η μπάλα μαύρη, είναι 5/40 iυπάρχουν 0 άσπρες και 5 μαύρες μπάλες. Άρα η ζητούμενη πιθανότητα

9 ii Το να μην είναι η μπάλα ούτε κόκκινη ούτε πράσινη, σημαίνει ότι μπορεί να είναι άσπρη ή μαύρη. Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι ίση με / Η τάξη έχει συνολικά μαθητές. Για να έχει η οικογένεια ενός μαθητή παιδιά, πρέπει ο μαθητής αυτός να έχει δηλώσει ότι έχει αδέλφια. Επειδή 9 μαθητές δήλωσαν ότι έχουν αδέλφια, η ζητούμενη πιθανότητα είναι 9/0. 5. Έχουμε Ω {0,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}, Α {, 5, 8} και Β {, 6, 0}. Επομένως Ρ(Α) /. i Έχουμε Ρ(Β) /, άρα Ρ(Β') -/ 8/ 6. Αν Α, Π και Ν είναι τα ενδεχόμενα να κερδίσουν ο Λευτέρης, ο Παύλος και ο Νίκος αντιστοίχως, τότε Ρ(Α) 0/00, Ρ(Π) 0/00 και Ρ(Ν).40/00 Επειδή τα ενδεχόμενα είναι ασυμβίβαστα έχουμε: Ρ(ΑUΠ) Ρ(Α) + Ρ(Π) δηλαδή 50%. iρ(αuν)' - Ρ(ΑUΝ) - Ρ(Α) - Ρ(Ν) 0%. 7. Έχουμε διαδοχικά Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) Ρ(ΑUΒ) 8. Έχουμε διαδοχικά Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) Ρ(ΑU Β) ή Ρ(Β)

10 9. Έχουμε διαδοχικά Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) Ρ(ΑUΒ) Ρ(Α) - 0, 0,6 Ρ(Α) 0,8 P(Α) 0,4.

11

12

13

14 4. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 5 5 A OΜΑΔΑΣ. Δίνεται η παράσταση Α [ y 4 y ] : y Να δείξετε ότι Α 9 9 y i Να βρείτε την τιμή της παράστασης για 00 και y 00 Α [ y 4 y ] : y [ 4 y y : 9 y y ] : y 9 6 y 9 y 9 9 y i Α ( y 9 9 ) Να βρείτε την τιμή της παράστασης A 7 και y,5. A y 7 : y 7 y y y : y, για 0,4 y y y 0 y 0 0, 4.,5 4

15 5 0. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις : i ii 999 (00 999)( ) , 4,,46 i (00 )(00 + ) ii 7, 4,,46 (7,4,)(7, 4,),46.,46,46 4. Να δείξετε ότι (α + β ) (α β) 4αβ i Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης :

16 6 (α + β) (α β ) + + ( + ) i Εφαρμόζουμε την (α + β ) (α β) Να αποδείξετε ότι (α )(α + ) i Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης : (α )(α + ) i (,65 ) 0,65.,65 ( ) + Από το (, για α,65 θα έχουμε (,65) (,65 )(,65 + ) (,65) 0,65.,65 6. Να δείξετε ότι η διαφορά των τετραγώνων δύο διαδοχικών φυσικών αριθμών (του μικρότερου από το μεγαλύτερο) ισούται με το άθροισμά τους. Έστω ν, ν + δύο διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί. Είναι (ν + ) + ν + ν + ν + ν

17 7 Αν ν φυσικός αριθμός, να δείξετε ότι ο αριθμός + πολλαπλάσιο του Β OΜΑΔΑΣ ( + + 4).7 + είναι Να απλοποιήσετε την παράσταση ( ) ( ) ( ) α + ( ). i Να απλοποιήσετε την παράσταση ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ). Να απλοποιήσετε την παράσταση ( ) ( ) ( ) ( ) [( )( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7

18 8 i Να απλοποιήσετε την παράσταση.. ( )( ). ( )( ). Να απλοποιήσετε την παράσταση ( + y ( + y ( + y ) y ). y ( + y) ( + y) y y y y ). y ( + y) y y y i Να απλοποιήσετε την παράσταση y y. y y y y. y y y y. y y y y y. y y y y y y. y ( y )( y ) y y y. y y y y y y y y 8

19 9 4. Να δείξετε ότι y y : y y y y : y y ( y)( y y ) ( y)( y) y y y. y y y y y : y 5. Έστω α, β και γ τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ. Να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις : Αν i Αν α β β γ γ α (Ιδιότητα αναλογιών) είναι και α β και β γ i α β β γ γ α α β β γ και β γ γ α α β γ και β γ γ (β γ) α β γ και β γ γ β + γ α β γ και β γ α β γ και β γ α γ γ και β γ α γ και β γ 9

20 0 6. Να δείξετε ότι, αν ένα ορθογώνιο έχει περίμετρο L 4α και εμβαδόν Ε, τότε το ορθογώνιο αυτό είναι τετράγωνο με πλευρά ίση με α. Αν, y οι διαστάσεις του ορθογωνίου. Τότε + y 4α και y 7. + y α και y y α και y y α και (α ) y α και α y y α και 0 Να δείξετε ότι : α + y α και 0 (α ) y α και 0 α y α και α y α α και α y α Αν α ρητός και β άρρητος, τότε α + β άρρητος i και α Αν α ρητός με α 0 και β άρρητος, τότε α.β άρρητος Με τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο, έχουμε Έστω ότι ο αριθμός α + β είναι ρητός. Τότε και ο (α + β) α β (διαφορά ρητών) θα είναι ρητός, που είναι άτοπο αφού β άρρητος i Έστω ότι ο αριθμός α.β είναι ρητός. Τότε και ο άρρητος. β ως πηλίκο ρητών θα είναι ρητός, που είναι άτοπο αφού β 0

21 . α > β <> α β > 0 (ισχύει και αντίστροφα) A OΜΑΔΑΣ. Να αποδείξετε ότι Αρκεί να δειχθεί ότι ».. 0» 0 που ισχύει.i Να αποδείξετε ότι Αρκεί να δειχθεί ότι»» 0 0 α 0 <>α 0» 0 που ισχύει. α + β 0 <> α 0 και β 0. Να αποδείξετε ότι + α + 0. Πότε ισχύει η ισότητα; + α + ( α +) + (α ) + 0 αφού και οι δύο παράγοντες είναι υψωμένοι σε άρτια δύναμη άρα θετικοί. Για να είναι μηδέν θα πρέπει: + α + 0 (α ) + 0 α 0 και β 0 α και β 0

22 . Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς και y περιπτώσεις : σε καθεμιά από τις παρακάτω Αν ( ) + (y + ) 0 i Αν + y + 4y ( ) + (y + ) 0 0 και y + 0 i + y + 4y και y + y + 4y α + β 0 <> α 0 και β 0 4. ( + ) + ( y + 4y + 4) 0 ( ) + (y + ) 0 0 και y + 0 και y Αν 4,5 < < 4,6 και 5, < y < 5,4, να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή καθεμιάς από τις παραστάσεις + y i y ii y iv) + y Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε : 4,5 + 5, < + y < 4,6 + 5,4 9,8 < + y < 0 Μπορούμε να πολλαπλασιάζουμε (επί -) κατά μέλη ομοιόστροφες ανισότητες, εφ όσον όλα τα μέλη είναι θετικά. (α > 0 και β > 0) > α + β > 0 (όχι αντίστροφα) i 5, < y < 5,4 5, > y > 5,4 5,4 < y < 5, () όμως 4,5 < < 4,6 () () + () : 0,9 < y < 0,7

23 Για α, β θετικούς και α, β και αρνητικό α -ν ακέραιο ν ισχύει η ισοδυναμία: α > β ii α -ν < β -ν 5, < y < 5,4 ().() : 4, <. y iv) 5, > y > 5, > y > < y < 0 5 4,5 < < 4,6 (4,5 ) < 5, < y < 5,4 (5, ) < < 4, () < y < 46 5 < (4,6 ) 0,5 < y < (5,4 ) 8,09 < Μπορούμε να πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη ομοιόστροφες ανισότητες, εφ όσον όλα τα μέλη είναι θετικά. <,6 (4) y < 9,6 (5) (4) + (5) : 48,4 < + y < 50, Για α, β θετικούς και α, β και θετικό ακέραιο ν ισχύει η ισοδυναμία: α > β α ν > β ν 5. Το πλάτος και το μήκος y ενός ορθογωνίου ικανοποιούν τις ανισότητες < < και < y < 5. Αν αυξήσουμε το πλάτος κατά 0, και ελαττώσουμε το μήκος κατά 0,, να βρείτε τις δυνατές τιμές : της περιμέτρου i του εμβαδού του νέου ορθογωνίου Οι διαστάσεις του νέου ορθογωνίου είναι + 0, y 0, < < + 0, < + 0, < + 0,, < + 0, <, () 4,4 < ( + 0,) < 6,4 () < y < 5 0, < y 0, < 5 0,,9 < y 0, < 4,9 () 5,8 < (y 0,) < 9,8 (4) () + (4) : 0, < περίμετρος < 6,

24 4 i (). () :,.,9 < ( + 0,)( y 0,) <,. 4,9 6,8 < εμβαδόν < 5,68 6. Αν 0 α < β, να δείξετε ότι < < α( + β) < β( + α) α + αβ < β + βα α < β που ισχύει 7. Να βρείτε το λάθος στους παρακάτω συλλογισμούς : Έστω > 5. Τότε > 5 > 5 5 < 0 5 > 5 5 > 5 (5 ) > (5 + )(5 ) > > 5 Οπότε, από (5 ) > (5 + )(5 ) < 5 + και όχι > 5 + Β OΜΑΔΑΣ. Δίνονται ένα κλάσμα αποδείξετε ότι : με θετικούς όρους και ένας θετικός αριθμός γ. Να Αν <, τότε > i Αν >, τότε < 4

25 5 > > (α + γ)β > α(β + γ) αβ + γβ > αβ + αγ γβ > αγ β > α που ισχύει α, β ομόσημοι <> α.β > 0 <> > 0 α, β ετερόσημοι<>α.β < 0 i < (α + γ)β < α(β + γ) αβ + γβ < αβ + αγ γβ < αγ β < α < που ισχύει.. Αν α > > β, να αποδείξετε ότι α + β > +αβ. Αρκεί να δειχθεί ότι > 0» > 0» > 0 () Η υπόθεση > > > και >. > 0 και > 0 > 0 Αν α, β θετικοί αριθμοί, να δείξετε ότι (α + β) 4 Αρκεί να δειχθεί ότι 4 (Ε.Κ.Π αβ > 0, αφού α,β > 0) 5

26 που ισχύει. 4. Να αποδείξετε ότι : 0 i που ισχύει i που ισχύει. A. Ομάδας. Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς απόλυτες τιμές. i 4 ii + 4 iv) 6

27 7 π i 4 - π (π 4) 4 π Όταν θέλουμε να γράψουμε μία αλγεβρική παράσταση χωρίς απόλυτες τιμές τότε διακρίνουμε περιπτώσεις για τις παραστάσεις που βρίσκονται μέσα στα απόλυτα. Όταν αυτές είναι θετικές βγαίνουν από το απόλυτο όπως είναι, όταν είναι αρνητικές με αντίθετο πρόσημο από αυτό που έχουν. π 4 ii ( π) + 4 π + π + 4 π + 4 ( π) ( 4 π) + π π π -7 iv) ( π) + 4 π - π + 4 π 7 - π ( π) (4 π ) - π π - ( ) ( ) όπως παραπάνω. Αν < < 4, να γράψετε χωρίς την απόλυτη τιμή την παράσταση + 4 < > 0 < 4 4 < 0 4 ( 4) + 4. Άρα Nα γράψετε χωρίς την απόλυτη τιμή την παράσταση 4, όταν < i > 4 < < 0 ( ) + < < 4 4 > Άρα 4 + (4 )

28 8 i > 4 4 < 0 4 (4 ) 4 + > 4 > > 0 Άρα 4 ( 4 + ) Αν α β, να βρείτε την τιμή της παράστασης 5. Αν 0 και y 0, να βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρει η παράσταση Α + y y Όταν, y θετικοί : Α + y y + Όταν, y αρνητικοί : Α y + y Όταν θετικός, y αρνητικός : Α + y y 0 Όταν αρνητικός, y θετικός : Α + y y Η διάμετρος ενός δίσκου μετρήθηκε και βρέθηκε,7dm. Το λάθος της μέτρησης είναι το πολύ 0,005dm. Αν D είναι η πραγματική διάμετρος του κύκλου, τότε : Να εκφράσετε την παραπάνω παραδοχή με τη βοήθεια της έννοιας της απόστασης. 8

29 9 i Να βρείτε μεταξύ ποιων ορίων βρίσκεται η τιμή D. d( D,,7 ) 0,005 i d( D,,7 ) 0,005 D,7 0, ,005 D,7 0,005 0,005 +,7 D 0,005 +,7,65 D,75 Αν δύο σημεία Α και Β έχουν πάνω σε ένα άξονα τετμημένες α και β αντίστοιχα τότε η απόστασή τους είναι d(a,b) α-β ή d(a,b) β-α Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα, όπως δείχνει η πρώτη γραμμή του. ΠΙΝΑΚΑΣ Απόλυτη τιμή Απόσταση Διάστημα ή ένωση 4 d,4 [, 6] 4 d(, ) < 4 ( 7, ) διαστημάτων 4 d(, 4) > (, ) (6, + ) 4 d(, ) 4 (, 7] [, + ) 5 d(, 5) < (4, 6) < > d(, ) > (, ) (, + ) 5 d(, 5) (, 4] [6, + ) d(, ) [, ] < d(, 0) < (, ) d(, ) [ 5, ] d(, 0) (, ] [, + ) > d(, ) > (, 5) (, + ) 9

30 0 Αναλυτικά οι πράξεις επιλεγμένων περιπτώσεων 4 αυτό γράφεται και : - 4 < + < 4 ή -4 - < + < 4- ή - 7 < < -7 Άρα (- 7, ) 4 αυτό γράφεται και : ή ή - 7 Άρα (-, - 7] [,+ ) -7 Β. Ομάδας. Να αποδείξετε ότι + ( ) ( ) + (Τριγωνική ανισότητα). Αν α > β, να δείξετε ότι : α > β α β > 0 α β i i ( ) 0

31 . Τι σημαίνει για τους αριθμούς και y : Η ισότητα + y 0 i Η ανισότητα + y > 0 Η ισότητα + y 0 ισχύει μόνο όταν 0 και y 0 Διότι, αν ένας τουλάχιστον από τους, y ήταν 0, (έστω 0), θα ήταν > 0 οπότε + y > 0, που είναι άτοπο i Η ανισότητα + y > 0 ισχύει μόνο όταν 0 ή y 0 Διότι, αν ήταν 0 και y 0 θα ήταν + y 0, που είναι άτοπο 4. Έστω 0 < α < β. Να διατάξετε από τον μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αριθμούς,, i Να δείξετε ότι στον πραγματικό άξονα ο αριθμός βρίσκεται πλησιέστερα στο, από ότι ο αριθμός 0 < α < β i Από ( έχουμε < και <. Άρα < < < 0 και > 0 και

32 Αρκεί να αποδείξουμε < < + < + < 0 < + 0 < και ισχύει. 5. Αν < 0, και y 4 < 0,, να εκτιμήσετε την τιμή της περιμέτρου των παρακάτω σχημάτων : y y o y < 0, 0, < < 0, 0, < < + 0,,9 < <, () y 4 < 0, 0, < y 4 < 0, 4 0, < y < 4 + 0,,8 < y < 4, () Περίμετρος + y () 7,6 < y < 8,4 () () + () : 9,5 < + y < 0,5

33 Περίμετρος 4 + y () 7,6 < 4 < 8,4 (4) () + (4) : 5, < 4 + y < 6,8 Περίμετρος π () π.,9 < π < π.,,8π < π < 4,π.4 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Ομάδας. Να υπολογίσετε τις ρίζες : 00, 000, , i 4, 8, 4 6, 5 ii 0,0, 0,00, 4 0,000, 5 0, , , i , ii 4, 8, , 5 5 0, , 0, ,

34 4 4 0, , 5 0, ,. Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς ριζικά i ( 4) i ( 4) 4 4 π ( 0) ii ( ) iv) και 4 Για α 0, ii ( 0) 0 0 ( ) iv) 4. Να αποδείξετε ότι

35 5 4. Να αποδείξετε ότι ( 5 )( 5 + ) 8 ( 5 )( 5 + ) ( 5 ) ( 5 ( + ) 5 8 ) 5. Να αποδείξετε ότι : ( 8 8 )( ) 4 i i

36 6 6. Να αποδείξετε ότι :.. i και, i Να αποδείξετε ότι : i 5 4. και i Να αποδείξετε ότι : Όταν έχουμε να πολλαπλασιάσουμε ρίζεις διαφορετικής τάξης,αφού βρούμε το Ε.Κ.Π της τάξης των ριζών,τις μετάτρέπουμε στην ίδια τάξη και εφαρμόζουμε τις ιδιότητες. 4. i

37 7 ii i ii με μετατροπή σε δυνάμεις i ii Να αποδείξετε ότι :

38 i i Μια συνηθισμένη πρακτική είναι να πολλαπλασιάζουμε και να διαιρούμε αριθμητή και παρονομαστή με κατάλληλο αριθμό π.χ. τη συζυγή παράσταση του παρονομαστή. (Συζυγής παράσταση του αθροίσματος α+β είναι ο αριθμός α-β 0. Να μετατρέψετε τις παρακάτω παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητούς παρανομαστές : 4 5 i ii (5 ) (5 )(5 ) 4(5 ) 5 4(5 ) (5 ) i ( 7 5 ) ( 7 5 )( 7 5 ) 8( 7 5 ) 7 5 4( 7 5) ii ( 7 6 ) ( 7 6 )( 7 6 )

39 9. Να αποδείξετε ότι : i αφού αναλύσετε τα υπόριζα σε γινόμενα πρώτων παραγόντων., i ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 8 4 ( ) Β Ομάδας. Να αποδείξετε ότι i Αν α, β > 0 να αποδείξετε ότι ( ) + ( )( ) ( )( ) i ( )( ) ( )( ).. 9

40 40 ( )( ) ( ) ( ) +. Να βρείτε τα αναπτύγματα των 7, i Να αποδείξετε ότι i έχουμε 7 0 και 7 0. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι ρητός. i Αν α θετικός ρητός, να αποδείξετε ότι ο είναι ρητός + i που είναι ρητός που είναι ρητός, σαν άθροισμα ρητών 40

41 4 4. Να αποδείξετε ότι i i (4 4 ) (4 4 ) ( )( ) Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο οι κάθετες πλευρές του είναι ΑΒ και ΑΓ Να υπολογίσετε την υποτείνουσα ΒΓ του τριγώνου. i Με τη βοήθεια της τριγωνικής ανισότητας, να αποδείξετε ότι < + ii Για μη αρνητικούς αριθμούς α και β, να αποδείξετε ότι +. Πότε ισχύει η ισότητα; Πυθαγόρειο : Β Α + Α Άρα ΒΓ + 4

42 4 i Είναι ΒΓ < ΑΒ + ΑΓ < +. ii + ( ) ( + ) που ισχύει ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Ι. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ, δ. Διαφορετικά να κυκλώσετε το γράμμα Ψ.. (α β και γ δ ) α + γ β + δ Α Ψ. Αν α α β τότε α β Α. (α + β) α + β Α 4. Το άθροισμα α + β δύο άρρητων αριθμών α και β είναι άρρητος Α 5. Το γινόμενο α β δύο άρρητων αριθμών α και β είναι άρρητος Α Ψ Ψ Ψ Ψ 6. Αν α > β και γ < δ τότε α γ > β δ Ψ Α 7. Αν α > α β τότε α > β Α Ψ 8. Αν τότε α > β Α Ψ 9. Αν α > β και α β τότε α > 0 Ψ Α 4

43 4 0. Αν α > τότε α > Α Ψ. Αν α < β < 0 τότε α > β Α Ψ. Αν α > και β > τότε αβ > 6 Α. Αν α < και β < τότε αβ < 6 Α Ψ Ψ 4. 4α 0αβ + 5β 0 Ψ Α 5. (α ) + (α+) > 0 Ψ Α 6. (α ) + (α+) > 0 Α Ψ 7. (α + β) + (α β) 0 α β 0 Ψ Α 8. Αν αβ > 0 τότε α + β α + β Ψ Α 9. Αν α β τότε α Α Ψ 0. α Α Ψ Α. Αν α 0 τότε α Ψ. Αν α β 0 τότε πάντα Ψ Α. Αν β 0 τότε Α Ψ 4. α + β Α Ψ 4

44 Αν α 0 τότε πάντα Ψ Α 6. Πάντα ισχύει 4 Α Ψ > 5 5 Ψ Α 8. > Α Ψ ΙΙ. Να επιλέξτε την σωστή απάντηση σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις. Αν < < 5 τότε η παράσταση + 5 είναι ίση με Α) 7 Β) 7 Γ) Δ) 0 0. Αν 0 < < 0 τότε η τιμή της παράστασης + είναι ίση με : 0 0 Α) Β) - Γ)0 Δ) 0. Αν 6 0, και τότε : Α) α < β < γ Β) α < γ < β Γ) γ < α < β Δ) β < γ < α 4. Ο αριθμός είναι ίσος με : 4 Α) + 5 Β) + 5 Γ) + 5 Δ) ΙΙΙ. Στον παρακάτω άξονα τα σημεία Ο, Ι, Α και Β παριστάνουν τους αριθμούς 0,, α, και β αντιστοίχως, με 0 < α < και β >, ενώ τα σημεία Γ, Δ, Ε, Ζ, Η και Θ παριστάνουν τους αριθμούς,, α, β, α, και β, όχι όμως με τη σειρά που αναγράφονται. Να αντιστοιχίσετε τα σημεία Γ, Δ, Ε, Ζ, Η και Θ με τους αριθμούς που παριστάνουν. 44

45 45 X 0 Ο Γ Δ α Α Ε Ι Ζ β Β Η Θ Χ Γ Δ Ε Ζ Η Θ α α β β. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 8 85 A Ομάδας. Να λύσετε την εξίσωση 4 ( ) ( ) i Να λύσετε την εξίσωση

46 46.ii Να λύσετε την εξίσωση iv) Να λύσετε την εξίσωση,,5,5 8,6,,5,5 8,6,,,5,5 8,6,,5 8,6,,5,7 9,9 9,9 99, 7 7. Να λύσετε την εξίσωση ( ) ( ) 4 ( ) ( ) i Να λύσετε την εξίσωση αδύνατη (5 ) ταυτότητα Να λύσετε την εξίσωση (λ ) λ, για τις διάφορες τιμές του λ. 46

47 47 Όταν λ 0, δηλαδή όταν λ. Η εξίσωση 0 0 ταυτότητα, ρίζα της είναι κάθε Όταν λ 0, δηλαδή όταν λ..i Η εξίσωση Να λύσετε την εξίσωση (λ ) λ, για τις διάφορες τιμές του λ. Όταν λ 0, δηλαδή όταν λ. Η εξίσωση ( ) 0 αδύνατη Όταν λ 0, δηλαδή όταν λ..ii Η εξίσωση Να λύσετε την εξίσωση λ(λ ) λ, για τις διάφορες τιμές του λ. Όταν λ(λ ) 0, δηλαδή όταν λ 0 ή λ 0 λ 0 ή λ. α) Για λ 0, η εξίσωση 0(0 ) 0 0 αδύνατη β) Για λ, η εξίσωση ( ) 0 0 ταυτότητα, ρίζα της είναι κάθε Όταν λ(λ ) 0, δηλαδή όταν λ 0 και λ 0.iv) η εξίσωση ( ) Να λύσετε την εξίσωση λ(λ ) λ 0 και λ + λ, για τις διάφορες τιμές του λ. Όταν λ(λ ) 0, δηλαδή όταν λ 0 ή λ 0 λ 0 ή λ. α) Για λ 0, η εξίσωση 0(0 ) ταυτότητα, ρίζα της 47

48 48 είναι κάθε β) Για λ, η εξίσωση ( ) + 0 αδύνατη Όταν λ(λ ) 0, δηλαδή όταν λ 0 και λ 0 λ 0 και λ η εξίσωση ( ) ( ) ( ) 4. Στο διπλανό ορθογώνιο τραπέζιο να βρεθεί η θέση του σημείου Μ στην ΑΔ, ώστε για τα εμβαδά (ΜΔΓ), (ΜΑΒ) και (ΜΒΓ) να ισχύει : i Εμβαδόν του τραπεζίου ΑΒΓΔ Άρα 0m m Επειδή η () 0 0 0m EE

49 i 5 m Από κεφάλαιο 4000 ένα μέρος του κατατέθηκε προς 5 % και το υπόλοιπο σε μια άλλη τράπεζα προς %. Ύστερα από χρόνο εισπράχθηκαν συνολικά 75 τόκοι.. Ποιο ποσό τοκίστηκε προς 5% και ποιο προς %; Έστω το κεφάλαιο που κατατέθηκε με επιτόκιο 5%, οπότε 4000 θα είναι το κεφάλαιο που κατατέθηκε με επιτόκιο % Οι τόκοι που απέδωσε το ο είναι Οι τόκοι που απέδωσε το ο είναι Το άθροισμα των τόκων είναι 75. Άρα

50 Επομένως 750 τοκίστηκαν με 5 % και τοκίστηκαν με %. 6. Να επιλυθούν οι παρακάτω τύποι ως προς την αναφερόμενη μεταβλητή : v v 0 + αt, α 0 (ως προς t) v v 0 + αt αt v v 0 t i Περιορισμός : R, R, R 0 v v 0 i R R + R (ως προς R ) R R + R R R R R + R R R R R R R R ( R R) R R R () Όταν R R 0, δηλαδή όταν R R η εξίσωση () 0 R R R 0 ή R 0 που είναι άτοπο Όταν R R 0, δηλαδή όταν R R 7. η εξίσωση () R Να λύσετε την εξίσωση R RR R ( 4) + ( 4) + ( 4) 0 ( 4) + ( 4) + ( 4) 0 ( 4)( + + ) 0 ( 4)( + ) ή ( + ) 0 7.i 4 ή ή 50

51 5 Να λύσετε την εξίσωση ( ) ( )(4 + ) 0 ( ) ( )(4 + ) 0 ( ) + ( )(4 + ) 0 ( )( ) 0 ( ) ( + ) 0 0 ή + 0 ή ή 8. Να λύσετε την εξίσωση ( ) + ( ) + 8.i 0 0 ( )( + ) ( ) 0 Να λύσετε την εξίσωση ( + ) + ( + ) + 9. ( ) [( + ) ] 0 ( )( + ) 0 ( ) 0 0 ή 0 ή ( + ) + ( + )( ) 0 ( + )( + + ) 0 ( + ) 0 Να λύσετε την εξίσωση ( ) + 0 ή 0 0 ή

52 5 ( ) 9.i ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 ή 0 0 ή 0 ή Να λύσετε την εξίσωση ( 4)( ) ( )( ) ( 4)( ) ( )( ) ( )( + )( ) ( )( + )( ) 0 0. Να λύσετε την εξίσωση i Να λύσετε την εξίσωση ( )( ) 0 ( )( )[ + ( + )] 0 ( )( )( + ) 0 ( )( ) ή 0 ή ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 0 ή ή 0 ή ή ( )( ) 0 ( ) ( )( ) 0 ( )[ ( )] 0 ( )( + ) 0 ( )( ) 0 0 ή ( ) 0 5

53 5. Να λύσετε την εξίσωση Πεδίο ορισμού : 0 και 0 ή 0 ή 0 και ( ) 0 και 0 Η εξίσωση ( ).i ( ) ( ) 0 ( )( 0 ή Να λύσετε την εξίσωση Πεδίο ορισμού : Η εξίσωση ) 0 ή 0 ή ή λόγω του π.ο και + 0 ( )( + ) 0 και ( ) 0 0 και + 0 και + ( )( ) ( ) 0 + ( ) αδύνατη. 5

54 54 Να λύσετε την εξίσωση + Πεδίο ορισμού: Ε.Κ.Π ( )( + ) 0 Η εξίσωση και + 0 και αδύνατη.i Να λύσετε την εξίσωση Πεδίο ορισμού: Ε.Κ.Π ( + ) 0 Η εξίσωση 4 0 και και 4 ( ) ( + ) , ταυτότητα, με και 0.ii Να λύσετε την εξίσωση 4 Πεδίο ορισμού: E.K.Π ( )( + ) 0 0 και + 0 και 54

55 55 Η εξίσωση ( )( ).iv) Να λύσετε την εξίσωση 0 αδύνατη Πεδίο ορισμού: Ε.Κ.Π ( )( + ) 0 Η εξίσωση 0 και + 0 και ( ) ( )( ), ταυτότητα, με και. Να βρείτε τρεις διαδοχικούς ακέραιους τέτοιους ώστε το άθροισμά τους να ισούται με το γινόμενό τους. Έστω,, + οι ζητούμενοι ( )( + ) ( ) 0 ( ) 0 ( 4) 0 ( )( + ) 0 0 ή 0 ή ή ή Για 0, οι ζητούμενοι αριθμοί είναι, 0, Για, οι ζητούμενοι αριθμοί είναι,, Για, οι ζητούμενοι αριθμοί είναι,, 4. 55

56 56 Να λύσετε την εξίσωση ή 5 8 ή 4 ή 4.i Να λύσετε την εξίσωση ή 4 ( ) ή 4 + ή 5 ή 5 4.ii Να λύσετε την εξίσωση Πεδίο ορισμού: Επειδή 0 θα είναι και 0 ή ( ) 4.iv) ή + ή απορρίπτεται Να λύσετε την εξίσωση ή δεκτή Πεδίο ορισμού: Επειδή 0 θα είναι και 0 56

57 57 ή ( ) ή + ή ή απορρίπτονται και οι δύο ρίζες (αδύνατη) 5. Να λύσετε την εξίσωση ή 5.i Να λύσετε την εξίσωση αδύνατη 6. Να λύσετε την εξίσωση 4 Πεδίο ορισμού: ή ή ή ή 5 57

58 58 6.i Να λύσετε την εξίσωση 0 B Ομάδας. ( ) 0 0 ή 0 0 ή 0 ή ή ή ή ή Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( + α ) ( β ) α(α + β) έχει πάντα λύση, οποιοιδήποτε και αν είναι οι πραγματικοί αριθμοί α, β. ( + α ) ( β ) α(α + β) + α + ( β + ) + αβ + α + + β + αβ Όταν α + β 0, η () (α + β) + αβ + (α + β) (α + β) (), η λύση της Όταν α + β 0, η () 0 0 που έχει άπειρες λύσεις Άρα η εξίσωση έχει πάντα λύση..i Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αν είναι οι πραγματικοί αριθμοί α, β. Πεδίο ορισμού : α, β 0 α β έχει πάντα λύση, οποιοιδήποτε και 58

59 59 α β (α β) (α β) (α + β) () Όταν α β 0, η () α + β, η λύση της Όταν α + β 0, η () 0 0 που έχει άπειρες λύσεις.. Ποιοι περιορισμοί πρέπει να ισχύουν για τα α, β εξίσωση ;, ώστε να έχει λύση η Κατ αρχήν πρέπει α και β 0 β α αβ (β α) αβ () Όταν β α 0, δηλαδή όταν β α, η () η λύση της Όταν β α 0, δηλαδή όταν β α,. η () 0 Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη. 0, από τον περιορισμό. Πόσο καθαρό οινόπνευμα πρέπει να προσθέσει ένας φαρμακοποιός σε 00ml διάλυμα οινοπνεύματος περιεκτικότητας 5%, για να πάρει διάλυμα οινοπνεύματος περιεκτικότητας %; Τα 00 ml οινόπνευμα περιεκτικότητας 5% περιέχουν ml οινόπνευμα. Έστω ότι πρέπει να προσθέσει ml καθαρό οινόπνευμα. Το μίγμα, που θα προκύψει, θα είναι + 00 ml και θα περιέχει + 0 ml καθαρό οινόπνευμα Αλλά τα +00 ml μίγμα θα είναι % περιεκτικότητας σε οινόπνευμα, άρα το μίγμα θα περιέχει 00 ml καθαρό οινόπνευμα

60 60 Θα έχουμε, λοιπόν την εξίσωση ml Ένα αυτοκίνητο Α κινείται με ταχύτητα 00 km/h. Ένα δεύτερο αυτοκίνητο Β που κινείται με 0 km/h προσπερνάει το Α. Σε πόσα λεπτά τα δύο αυτοκίνητα θα απέχουν km ; Έστω ότι σε t ώρες, μετά την προσπέραση τα δύο αυτοκίνητα θα απέχουν km. Το αυτοκίνητο Α θα έχει διανύσει διάστημα Το αυτοκίνητο Β θα έχει διανύσει διάστημα S A 00t km. S B 0t km. Οπότε 5. S B S A km 0t 00t 0t t 0 h 60 min min 0 Να λύσετε την εξίσωση για όλες τις τιμές του α. Πεδίο ορισμού : Ε.Κ.Π ( α)( + α) 0 α 0 και + α 0 α και α Η εξίσωση ( )( ) ( ) 60

61 6 + α + α () Όταν α 0, η () Όταν α 0, η () 0 0 ταυτότητα, έχει λύση κάθε με α και α 6. Να λύσετε την εξίσωση Πεδίο ορισμού : 0 Η εξίσωση + 4 ( )( ) Να λύσετε την εξίσωση ή 4 ή ή αδύνατη ή 8. Να λύσετε την εξίσωση 5 Πεδίο ορισμού: Πρέπει + 0 ( ) 0, που ισχύει για κάθε 6

62 6 Η εξίσωση ( ) ή ( 5) 4 ή + 5 ή 4 6 ή. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 87 A Oμάδας. Να λύσετε τις εξισώσεις i ii i ii

63 6 Να λύσετε τις εξισώσεις i + i ii ( 5) ( ) 5 ii ( ) 7. Να λύσετε τις εξισώσεις i ii i ii ή 8 4 ή 6 ή 4. Να λύσετε τις εξισώσεις i i ( 8) ή ή ή ( + ) 0 ii

64 64 ii ή ή ή + 0 ( ) 0 ή ( + 6) 0 0 ή Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει όγκο 8 Να βρείτε τις διαστάσεις του παραλληλεπιπέδου. m και διαστάσεις, και Επομένως οι διαστάσεις είναι,, 9 6. Να λύσετε τις εξισώσεις ( + ) 64 i ii ( ) 4 7( ) 0 ( + ) 64 ( + ) i (5) ( ) ii 5 5 ( ) 4-7( ) 0 ( ) [( ) - 7] 0 0 ή ( )

65 65 ή ( ) 7 ή ( ) ή ή 4. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 9 96 A Ομάδας. Να λύσετε τις εξισώσεις i Δ 5 4, i Δ 6 6 0, ii Δ < 0,. Να λύσετε τις εξισώσεις αδύνατη ii ή ή (διπλή ρίζα) 65

66 66,69 0 i 0,5 0 ii + 7 0,69 0 i,69 (, ), ή, 0,5 0 (0,5 ) 0 0 ή 0,5 0 ii Η εξίσωση γράφεται Δ < 0, αδύνατη 0 ή 0,5 0 ή. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση λ + (λ ) 0, λ 0 έχει πραγματικές ρίζες. Δ 4 + 4λ(λ ) λ 4( λ +) 4(λ ) 0. Άρα, η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα (όταν Δ 0) ή δύο πραγματικές ρίζες (όταν Δ < 0).i Να αποδείξετε ότι η εξίσωση α + (α + β) + β 0, α 0 ρίζες. Δ (α + β) 4αβ έχει πραγματικές + (α β ) 0. 66

67 67 Άρα, η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα (όταν Δ 0) ή δύο πραγματικές ρίζες (όταν Δ < 0) 4. Να βρείτε τις τιμές του μ, για τις οποίες η εξίσωση μ + + μ 0, μ 0 έχει διπλή ρίζα. Καταρχήν θα πρέπει να είναι μ 0, ώστε η εξίσωση να είναι ου να υπάρχει η δυνατότητα να έχει διπλή ρίζα. H εξίσωση έχει διπλή ρίζα Δ 0 4 4μμ μ ή μ βαθμού και έτσι 5. Αν α β, να δείξετε ότι είναι αδύνατη στο R η εξίσωση ( + ) + (α + β) + 0. Να εξετάσετε την περίπτωση που είναι α β Η περίπτωση α β Όταν + 0, δηλαδή όταν ένας τουλάχιστον από τους α, β 0, η εξίσωση είναι ου Δ 4( ) 8 ( + ) 4( + + βαθμού, οπότε ) ( + ) 4( ) < 0, αφού α β Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη Όταν + 0, δηλαδή όταν α 0 και β 0, αντικαθιστώντας η εξίσωση γίνεται 0 που είναι αδύνατη. 67

68 68 Η περίπτωση α β Αν μεν α β 0, όπως είδαμε η εξίσωση γίνεται 0 που είναι αδύνατη Αν δε α β 0, με αντικατάσταση η εξίσωση γίνεται ( + ) + ( + ) , ου βαθμού αφού α 0 Δ 4 4 0, άρα η εξίσωση μία διπλή ρίζα. 6. Να βρείτε την εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς και i και ii 5 6 και S + 5, P. 6, η εξίσωση είναι i S +, P., η εξίσωση είναι + 0 ii + 0 S , P (5 6 )(5 + 6 ) 5 4 H εξίσωση είναι Να βρείτε δύο αριθμούς, εφόσον υπάρχουν, που να έχουν άθροισμα και γινόμενο 5 68

69 69 i άθροισμα 9 και γινόμενο 0 Οι ζητούμενοι αριθμοί θα είναι οι ρίζες της εξίσωσης όπου S και P 5 Δ , 8 i 5, Οι ζητούμενοι αριθμοί θα είναι οι ρίζες της εξίσωσης όπου S 9 και P 0 S + P 0, 5 0 S + P 0, Δ , , Να λύσετε τις εξισώσεις ( 5 + ) i + ( ) 0 S 5 + και P 5 5 Οι ρίζες της εξίσωσης είναι 5, i Δ ( ) ( + ) ( ) ( ) ή ή ή 69

70 70 9. Να λύσετε την εξίσωση +, για τις διάφορες τιμές των α, β Δ 4 4( - ) ή 0. Να βρείτε τις δύο πλευρές ενός ορθογωνίου με περίμετρο 68 cm και διαγώνιο 6 cm. Έστω, y οι πλευρές του ορθογωνίου. + y 68 και + y 6 + y 4 y 4 και και + y (4 ) 676 Δ ή 4 4 Από την εξίσωση y 4 θα έχουμε y 0 ή 4. Άρα οι πλευρές του ορθογωνίου είναι 4 και 0 4 ή 0. Να λύσετε τις εξισώσεις i ii

71 Δ 49 48, 7 i 4 ή 4 ή 4 ή ή Δ , ii 5 ή 5 5 ή 7 απορρίπτεται αφού Δ , ή 6 ή 6 ή ή. Να λύσετε την εξίσωση ( ) ( ) Δ ,. 46 ή 5 απορρίπτεται αφού 0. ή Να λύσετε την εξίσωση 5 Περιορισμός : 0 Θέτω ή y (), οπότε η εξίσωση γίνεται Δ 5 4, y 5 ή Για y, η () y 5y

72 7 + Δ 9 4 5, 5 Για y, η () Δ 4 4 0, Να λύσετε την εξίσωση Πεδίο ορισμού: 0 και + 6 Δ + 4 5, ( + ) ( + ) 6 + 6( + + ) ή 4.i Να λύσετε την εξίσωση Πεδίο ορισμού : Είναι + + ( ) 0 E.K.Π ( ) 0 0 και 7

73 7 + + Δ + 8 9, 5. Να λύσετε την εξίσωση ( 0 ( ) + ( ) ή απορρίπτεται, άρα ) Δ , ή 4 ή 0 απορρίπτεται 5. i Να λύσετε την εξίσωση ( ) + 0 Δ , ή απορρίπτεται 4 ή 5. i Να λύσετε την εξίσωση ( ) Δ , ή απορρίπτονται αφού 0 Β Oμάδας. Δίνεται η εξίσωση + 4 0, με 0. Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι Δ 4. 7

74 74 i Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι και Δ ( ) 4 ( i 4 ) ( ). Δίνεται η εξίσωση (5 ) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι Δ ( + ) i Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι και Δ (5 ) 4(6 ) ( + ) i 5 ( 5 ( ) ή 5 ( ) 5 ή 5 ή 4 74

75 75. Να βρείτε τις τιμές του α + ( 9) + ή Η εξίσωση έχει διπλή ρίζα Δ 0 για τις οποίες η εξίσωση έχει διπλή ρίζα. ( 9 ) 8( + + 4) Δ , ή 7 4. Αν ο αριθμός ρ είναι η ρίζα της εξίσωσης α + β +γ 0, με α.γ 0, να δείξετε ότι ο αριθμός είναι η ρίζα της εξίσωσης γ + β + α 0. ρ ρίζα της εξίσωσης α + β +γ 0 α + βρ + γ 0 (διαιρώντας και τα δύο μέλη με ) α + β + γ 0 Οπότε ο αριθμός α + β + γ 0 επαληθεύει την εξίσωση α + βρ + γ 0, άρα είναι και ρίζα της. 5. Να λύσετε την εξίσωση + +, 0 Πεδίο ορισμού : 0 75

76 Δ ( ) ( ) ( + ) ( ) ή ή 5.i Να λύσετε την εξίσωση + +, α, β 0 Πεδίο ορισμού : β + β + Δ ( + ( ( ) 4 ) + + ( ) + ( β ( + ) 4 ) ( ) + β 0 ) ( ) ή ή ή β 76

77 77 6. Δίνεται η εξίσωση + λ 8 0. Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε λ. i Αν η μια ρίζα της εξίσωσης ισούται με το τετράγωνο της άλλης, τότε να βρεθούν οι ρίζες και η τιμή του λ. Δ 4 + > 0 για κάθε λ, i άρα η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε λ. Έστω, οι ρίζες της εξίσωσης με () Αλλά + λ () και 8 () από Vieta () ( ) 8 8 () ( ) 4 () + 4 λ λ λ 7. Να εξετάσετε αν υπάρχουν διαδοχικοί ακέραιοι που να είναι μήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου. Έστω,, + διαδοχικοί ακέραιοι, μήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου. Πυθαγόρειο : ( + ) + ( ) ( 4) αφού Επομένως υπάρχουν διαδοχικοί ακέραιοι, μήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου, και είναι οι 4, 4, 4 +, δηλαδή οι, 4, 5 8. Η σημαία του διπλανού σχήματος έχει διαστάσεις 4m και m αντιστοίχως. Να βρείτε το πλάτος d d O Μ Z I 77

78 78 d του σταυρού, αν γνωρίζουμε ότι το εμβαδόν του είναι ίσο με το εμβαδόν του υπόλοιπου μέρους της σημαίας. Πεδίο ορισμού : 0 < d < εμβαδόν του σταυρού εμβαδόν οριζόντιας λωρίδας + εμβαδόν κατακόρυφης λωρίδας εμβαδόν του τετραγώνου ΖΙΜΟ πλευράς d 4d + d d 7d d () Ωστόσο το εμβαδόν του σταυρού εμβαδόν του υπόλοιπου μέρους της σημαίας εμβαδόν του σταυρού εμβαδού της όλης σημαίας 4. 6 () Από τις (), () 7d d 6 d 7d Δ , d 7 5 ή 6 απορρίπτεται, άρα d 9. Μια κατασκευαστική εταιρεία διαθέτει δύο μηχανήματα Α και Β. Το μηχάνημα Β χρειάζεται ώρες περισσότερο από ότι χρειάζεται το μηχάνημα Α για να τελειώσει ένα συγκεκριμένο έργο. Ο χρόνος που απαιτείται για να τελειώσει το έργο, αν χρησιμοποιηθούν και τα δύο μηχανήματα μαζί είναι 8 ώρες. Να βρείτε το χρόνο που θα χρειαζόταν το κάθε μηχάνημα για να τελειώσει το έργο αυτό αν εργαζόταν μόνο του. Αν t είναι o χρόνος που χρειάζεται το μηχάνημα Α για να τελειώσει ένα συγκεκριμένο έργο, ο αντίστοιχος χρόνος για το είναι t +. Σε ώρα, το Α θα εκτελέσει το του έργου. t του έργου και το Β θα εκτελέσει το t 78

79 79 Σε 8 ώρες, που τα δυο μαζί τελειώσουν το έργο, 8. t του έργου και το Β θα εκτελέσει το 8. Άρα θα έχουμε 8. t + 8. t 8(t + ) + 8t t(t + ) 8t t t 4t 96 0 Δ t + t t το Α θα εκτελέσει το του έργου. t ή 8 απορρίπτεται αφού t 0 0. Είναι γνωστό ότι μια ρίζα της εξίσωσης Να βρείτε το α και να λύσετε την εξίσωση. Η ρίζα επαληθεύει την εξίσωση. Άρα Η εξίσωση γίνεται ( Δ , ) ή α 0 είναι ο αριθμός α α 0 α 9 9 ή ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Ι. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α, β και γ. Διαφορετικά να κυκλώσετε το γράμμα Ψ.. Η εξίσωση (α ) α(α ) 0 έχει μοναδική λύση την α Α. Η εξίσωση ( + )( + ) 0 είναι αδύνατη Ψ Α Ψ 79

80 80. Η εξίσωση ( )( ) 0 έχει δύο πραγματικές ρίζες Α Ψ 4. Η εξίσωση ( )( + ) 0 έχει δύο πραγματικές ρίζες Ψ Α 5. Η εξίσωση έχει μοναδική λύση Α Ψ 6. Η εξίσωση έχει μοναδική λύση Ψ Α 7. Αν οι συντελεστές α και γ της εξίσωσης α + β + γ 0 Ψ Α είναι ετερόσημοι, τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες 8. Αν δύο εξισώσεις ου βαθμού έχουν ίδιες ρίζες, τότε οι Ψ συντελεστές των ομοίων δυνάμεων του είναι ίσοι Α 9. Η εξίσωση α + α 0 έχει δύο ρίζες Α πραγματικές και άνισες 0. Η εξίσωση 4α + 4α 0 με α 0 έχει Α δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. Η εξίσωση α α + 0 με α 0 δεν έχει Ψ Ψ Ψ πραγματικές ρίζες Α. Η εξίσωση + αχ + α 0 Α Ψ δεν έχει πραγματικές ρίζες. Η εξίσωση ( ) 0 με α 0, έχει δύο Ψ Α πραγματικές ρίζες άνισες και αντίστροφες 4. Οι εξισώσεις 0 και Α έχουν τις ίδιες ρίζες Ψ 5. Οι εξισώσεις 5 και ( + χ + ) 5( ) Α Ψ έχουν τις ίδιες ρίζες 6. Υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί και ψ με άθροισμα Α Ψ S 0 και γινόμενο Ρ 6 80

81 8 7. Υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί και ψ με άθροισμα Ψ Α S 0 και γινόμενο Ρ 5 8. Υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί και ψ με άθροισμα Α Ψ S και γινόμενο Ρ ΙΙ. Να εντοπίσετε το λάθος στους παρακάτω ισχυρισμούς :. Η εξίσωση ( )( + ) ( )( + ) γράφεται ισοδύναμα : ( )( + ) ( )( + ) 4 4 Όμως και ο αριθμός επαληθεύει την δοθείσα εξίσωση. Απάντηση : Η πρώτη ισοδυναμία δεν ισχύει, αφού έγινε απλοποίηση με το + το οποίο δεν είναι 0 για κάθε.. Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα : ή + ή Όμως καμία από τις τιμές αυτές δεν επαληθεύει την εξίσωση Απάντηση : Δεν ισχύει η πρώτη ισοδυναμία αφού θα πρέπει να είναι 0 4. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 7 8 A Oμάδας. Να λύσετε την ανίσωση + 4 < < 6 6( ) + ( + ) < 8

82 < 0 < < 0.i Να λύσετε την ανίσωση.ii Να λύσετε την ανίσωση > > ( ) + + > 4 < > 4 0. > 0 > αδύνατη + 5 < 0 5 5( ) + ( ) < < 4 0. < 4 αληθεύει για κάθε. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες συναληθεύουν οι ανισώσεις < + 5 και + < + 5 < 6 < Συναλήθευση <. Να εξετάσετε αν συναληθεύουν οι ανισώσεις : > + και 8

83 8 > + > + > Οι ανισώσεις δε συναληθεύουν - 4. Να βρείτε τα για τα οποία συναληθεύουν οι ανισώσεις : > και 4 + < 0 8 > 6 + > 8 7 > > < < 0 < 7 < 7 Συναλήθευση < < Οι ακέραιοι που ανήκουν στο διάστημα, 7 7 είναι οι 0,,. 5. Να λύσετε τις ανισώσεις : < i 4 ii < 5 < < < i ii 5 8

84 84 < 5 5 < + < 5 5 < < 5 6 < < 4 < < 6. Να λύσετε τις ανισώσεις : i > 4 ii 5 < ή > i > 4 < 4 ή > 4 ii < ή > ή ή 4 ή 7. Να λύσετε τις εξισώσεις : 6 6 i i ( ) 0 84

85 85 8. Να λύσετε την ανίσωση < < ( 4) + 0 < + 0 < + 0 < < 8.i Να λύσετε την ανίσωση > < < < < > ( + ) 4 > ( ) + 4 > > 9. Να λύσετε την ανίσωση ( ) Να βρείτε την ανίσωση της μορφής 0 < ρ, που έχει ως λύσεις τους αριθμούς του διαστήματος ( 7, ). 85

86 86 ( 7, ) 7 < < () 0 < ρ 0 ρ < < 0 + ρ () Από τις (), () θα πρέπει ( ) : 4 ( ) : < ρ γίνεται ( ) < 5 Η 0 < 5. Η σχέση που συνδέει τους βαθμούς Κελσίου o F είναι η o C με τους βαθμούς Φαρενάϊτ F 9 C +. Στη διάρκεια μιας νύχτας η θερμοκρασία σε μια πόλη 5 κυμάνθηκε από 4 ο F μέχρι 50 ο F. Να βρείτε το διάστημα μεταβολής της θερμοκρασίας σε ο C. Από τις υποθέσεις δίνεται 4 F < C C C 8 5 C 0 Β Oμάδας. Να βρείτε τις τιμές για τις οποίες ισχύει : 4 6 i

87 i Να βρείτε τις τιμές για τις οποίες ισχύει : 4 i 5 4 ή () () Συναλήθευση των (), () 4 ή i ή 5 ή 7 () (4) 87

88 88 Συναλήθευση των (), (4) ή Έστω Α και Β τα σημεία που παριστάνουν σε έναν άξονα τους αριθμούς - και 5 και Μ το μέσο του τμήματος ΑΒ. Ποιος αριθμός αντιστοιχεί στο σημείο Μ; i Να διατυπώσετε γεωμετρικά το ζητούμενο της ανίσωσης 5 και ii να βρείτε τις λύσεις της. Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά τα συμπεράσματά σας. Α(-) M K() Β(5) Στο μέσο Μ αντιστοιχεί ο αριθμός i 5 Έστω Κ() το σημείο στο οποίο αντιστοιχεί η τυχαία λύση της ανίσωσης 5 d(, 5) d(, ) ii (KA) (KB το Κ βρίσκεται δεξιά του μέσου Μ 5 5 ( 5) ( + )

89 89 Έστω Α και Β τα σημεία που παριστάνουν σε έναν άξονα τους αριθμούς και 7 και Μ το μέσο του τμήματος ΑΒ. Ποιος αριθμός αντιστοιχεί στο σημείο Μ; i Να διατυπώσετε γεωμετρικά το ζητούμενο της εξίσωσης ii και να βρείτε τις λύσεις της. Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά τα συμπεράσματά σας, αφού προηγουμένως συντάξετε πίνακα προσήμου των παραστάσεων και 7. Α() M K() Β(7) Στο μέσο Μ αντιστοιχεί ο αριθμός i 7 Έστω Κ() το σημείο στο οποίο αντιστοιχεί η τυχαία λύση της εξίσωσης d(, ) + d(, 7) 6 Όταν < (ΚΑ) + (ΚΒ) 6 (αλλά (ΑΒ) 7 6) (ΚΑ) + (ΚΒ) (ΑΒ) το Κ ανήκει στο τμήμα ΑΒ ( ) + [ ( 7)] 6 Όταν < ii άτοπο, αφού < ( ) + [ ( 7)] 6 Όταν , που ισχύει για κάθε < 7 89

90 ( ) + ( 7) , που ισχύει για 7 Τελικά 7 4. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Ομάδας. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα: + i Δ ( ) > 0 Ρίζες: Άρα ( ). ή +.( )( ) ( )( ) ή i Δ ( ) 4.. ( ) > 0 Ρίζες: ( ) ή Άρα ( ) ( )( + ).i Να απλοποιήσετε την παράσταση: Πεδίο ορισμού: 0 ή 90

91 9 Για το τριώνυμο Α + Δ ( ) > 0 Ρίζες: Άρα ( ). ή +.( )( ) ( )( ) ή Για το τριώνυμο Π Δ ( ) 4.. ( ) > 0 Ρίζες: ( ) ή 5 ή Άρα ( ) ( )( + ) Από το π.ο ( ) 0 0 και + 0 και έχουμε ( )( ) ( )( ).ii Να απλοποιήσετε την παράσταση: ( 7)( ) ( ) Όπως στη (, θα είναι 49 ( 7)( 7) 7 με περιορισμό 7 και 7.iii Να απλοποιήσετε την παράσταση: Πεδίο ορισμού: Για το τριώνυμο Α

92 9 Δ ( ) Διπλή ρίζα Άρα ) ( Για το τριώνυμο Π 5 + Δ ( 5) > 0 Ρίζες: ( 5) ή 4 4 ή Άρα ( ) ( )( ) Το π.ο θα είναι ( ) 0 0 και 0 οπότε Για τις διάφορες τιμές του ( ) ( )( ) 5 i Δ ( ) 4.. ( 5) > 0 Ρίζες: ( ) 64. και, να βρείτε το πρόσημο των τριωνύμων 8 5 ή Πρόσημο του τριωνύμου i 4 + i Δ ( 4)

93 9 Διπλή ρίζα 4. 4 Πρόσημο του τριωνύμου / ii Δ ( 4) < 0 Πρόσημο του τριωνύμου Για τις διάφορες τιμές του, να βρείτε το πρόσημο των τριωνύμων + 4 i ii + Δ 4 4( ). ( ) 6 4 > 0 Ρίζες: 4 4 ( ) 4 ή Πρόσημο του τριωνύμου i Δ 6 4( 9). ( ) Διπλή ρίζα 6 ( 9) Πρόσημο του τριωνύμου /

94 94 ii Δ 4. ( )( ) < 0 Πρόσημο του τριωνύμου Να λύσετε τις ανισώσεις : 5 0 i Ρίζες του τριωνύμου ( 4) είναι 0 ή 4 Πρόσημο του τριωνύμου [0, 4] i + 4 Ρίζες του τριωνύμου Δ 4. ( 4) > : 5. Πρόσημο του τριωνύμου ή [ 4, ] 6. Να λύσετε τις ανισώσεις : 94

95 95 > 0 i 5 < 0 Δ > 0, ρίζες του τριωνύμου : ή Πρόσημο του τριωνύμου > 0 < ή > (, ) (, + ) i Δ > 0, ρίζες του τριωνύμου 5 : 7 4 Πρόσημο του τριωνύμου 5/ ή 5 < 0 < < 5, 5 7. Να λύσετε τις ανισώσεις : + 4 > > 4 i > ( ) > 0 με i ( ) 0 95

96 96 8. Να λύσετε τις ανισώσεις : i + 0 > 0 Δ 9 0 < 0 το τριώνυμο είναι ομόσημο του α, δηλαδή θετικό για κάθε, άρα η ανίσωση είναι αδύνατη. i Δ < 0 το τριώνυμο είναι ομόσημο του α, δηλαδή θετικό για κάθε, άρα η ανίσωση αληθεύει για κάθε. 9. Να λύσετε την ανίσωση 4 ( 4 + ) > 0 4 ( 4 + ) > < 0 Δ 6 4 > 0, ρίζες του τριωνύμου Πρόσημο του τριωνύμου : ή 4 + < 0 < < (, ) 0. Να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες ισχύει < < 4 < < 4 και 4 < 4 < < 4 > 0 96

97 97 Δ > 0, ρίζες του τριωνύμου 4 Πρόσημο του τριωνύμου ή > 0 < ή > () 4 < < 6 < 4 4 < < 4 () Συναλήθευση των (), () 4 < < ή < < Να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες συναληθεύουν οι ανισώσεις < 0 και Για την ανίσωση > < 0 Δ > 0, ρίζες του τριωνύμου 6 4 Πρόσημο του τριωνύμου ή < 0 < < 5 () Για την ανίσωση > 0 Δ 5 4, ρίζες του τριωνύμου 5 ή Πρόσημο του τριωνύμου

98 > 0 < ή > () Συναλήθευση των (), () < < ή < < 5 5 Β Ομάδας. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τις παραστάσεις: i + και Να απλοποιήσετε την παράσταση Για την παράσταση + Είναι τριώνυμο ως προς α (αντί ) Δ 4.. ( ) Ρίζες του τριωνύμου Άρα + (α β)(α + β) () 6 ή Για την παράσταση 6 Είναι τριώνυμο ως προς α (αντί ) Δ 4.. ( 6 ) Ρίζες του τριωνύμου ή Άρα 6 (α β)(α + β) () i Πεδίο ορισμού: 6 0 α β και α β 6 (), ( ) ( )( ) ( )( ). 98

99 99 Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο + (β α) αβ Δ (β α ) + 8αβ 4 4αβ + + 8αβ 4 + 4αβ + (β + α) 0, ( ) 4 Άρα ( ) 4 ή ( ) 4 ή (β α) αβ ή β ( + β) ( α) ( + β). Να απλοποιήσετε την παράσταση Για τον αριθμητή που γράφεται (α β) - αβ Δ (α β ) + 4αβ αβ + + 4αβ Άρα + αβ + ( ) (α + β ) 0 ( ) (α β) αβ ( α)( + β) () ή ή ( ) α ή β Για τον παρανομαστή Δ α ή α 99

100 00 Άρα α + ( α)( α) () Πεδίο ορισμού: α + 0 α και α (), ( ) 4. Δίνεται η εξίσωση λ + λ + λ + 5 0, λ τις οποίες η εξίσωση :. Να βρείτε τις τιμές του λ για έχει ρίζες ίσες i έχει ρίζες άνισες ii είναι αδύνατη Για λ 0 η εξίσωση γίνεται 5 0 αδύνατη () Για λ 0 η εξίσωση είναι ου βαθμού έχει ρίζες ίσες Δ 0 i 9 4λ(λ + 5) λ 0 5 0λ 0 4λ 0 λ(λ 4) 0 έχει ρίζες άνισες Δ > 0 λ 4 0 αφού λ 0 λ 4 9 4λ(λ + 5) > λ > 0 5 0λ > 0 4λ > 0 λ(λ 4) > 0 λ < 0 ή λ > 4 00

101 0 Πρόσημο του τριωνύμου 4λ λ λ ii είναι αδύνατη Δ < 0 9 4λ(λ + 5) < λ < 0 5 0λ < 0 4λ < 0 λ(λ 4) < 0 0 < λ < 4 () Από τις (), () η εξίσωση είναι αδύνατη για 0 λ < 4 5. Να βρείτε τις τιμές του αληθεύει για κάθε. + λ + λ > 0 αληθεύει για κάθε το τριώνυμο Δ < 0 9 για τις οποίες η ανίσωση + λ + λ > 0 + λ + λ είναι ομόσημο του α για κάθε 4λ < 0 Πρόσημο του τριωνύμου 9-4λ λ(9λ 4) < 0 0 < λ < 4 9 λ 0 4/ λ Δίνεται το τριώνυμο (λ + ) λ + λ, λ. Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να λύσετε την ανίσωση Δ < 0 i Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η ανίσωση (λ + ) αληθεύει για κάθε. λ + λ < 0, λ 0

102 0 Δ 4 4(λ + ). λ 4 4λ 8 4λ Δ < 0 8 4λ < 0 + λ > 0 Πρόσημο του τριωνύμου + λ λ(λ + ) > 0 λ < ή λ > 0 λ 0 4/ λ i (λ + ) λ + λ < 0 αληθεύει για κάθε [το τριώνυμο (λ + ) λ + λ είναι ομόσημο του α λ + για κάθε και λ + < 0 ] Δ < 0 και λ + < 0 [λ < ή λ > 0 ] και λ < Συναλήθευση λ < Στο διπλανό σχήμα, το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο Δ Ζ Γ πλευράς ΑΒ και το Μ είναι ένα σημείο της διαγωνίου ΑΓ. Να βρείτε τις θέσεις του σημείου Μ πάνω στη διαγώνιο ΑΓ για τις οποίες το Η Μ Θ άθροισμα των εμβαδών των σκιασμένων τετραγώνων είναι μικρότερο του 5. Α Ε Β Έστω ΑΕ. Τότε ΕΒ ΜΘ. Άθροισμα των εμβαδών : Τ + ( ) Θέλουμε < < 0 () 0

103 0 Δ 6 4 > 0, ρίζες Η () < < 6 4 ή Εύρεση των ζητούμενων θέσεων του Μ. Πάνω στην πλευρά ΑΒ τοποθετούμε τα σημεία, έτσι ώστε Α και Α. Από τα, φέρνουμε κάθετες στην ΑΒ, οι οποίες τέμνουν τη διαγώνιο ΑΓ σε σημεία,. Οι ζητούμενες θέσεις του Μ είναι τα εσωτερικά σημεία του τμήματος. 8. Να αποδείξετε ότι + > 0 για όλα τα, με, 0. i Να καθορίσετε το πρόσημο της παράστασης Α + για τις διάφορες τιμές των, 0. Πρόκειται για τριώνυμο ως προς α (αντί ) Δ i 4 < 0 το Α + + είναι ομόσημο του α, (άρα θετικό) για κάθε, 0. Επειδή ο αριθμητής είναι θετικός, το πρόσημο του κλάσματος θα είναι ίδιο με το πρόσημο του παρανομαστή. Επομένως : αν, ομόσημοι, τότε Α > 0 αν, ετερόσημοι, τότε Α < 0. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 4 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Ι. 0

104 04 Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Αν η ανίσωση + + γ 0 είναι αδύνατη τότε Α) γ > Β) γ Γ) γ < Δ) γ ). Αν η ανίσωση + γ > 0 αληθεύει για κάθε, τότε Α) γ < Β) γ Γ) γ > Δ) γ. Αν η ανίσωση + λ λ 0 αληθεύει για κάθε, τότε Α) λ > 0 Β) λ< 0 Γ) λ Δ) λ 0 4. Η εξίσωση αληθεύει αν και μόνο αν : Α) < Β) > 5 Γ) 5 Δ) < < 5 5. Η εξίσωση : A) είναι αδύνατη Β) έχει μοναδική λύση την Γ) έχει άπειρες λύσεις Δ) είναι ταυτότητα ΙΙ. Σε καθεμιά από τις παρακάτω ερωτήσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής.. Η ανίσωση + λ + λ > 0, λ 0 αληθεύει Α Ψ για κάθε. Η ανίσωση λ + 4λ + 5 0, λ 0 αληθεύει Α Ψ για κάθε. Οι ανισώσεις ( ) 0 και 0 έχουν τις Α Ψ ίδιες λύσεις 4. Οι ανισώσεις ( ) 0 και 0 έχουν τις Ψ ίδιες λύσεις Α 5. Οι ανισώσεις 0 και > + έχουν τις Α Ψ ίδιες λύσεις 04

105 05 6. Οι ανισώσεις ( ) 0 και 0 έχουν τις Α Ψ ίδιες λύσεις 7. Οι ανισώσεις ( ) 0 και ( )( ) 0 έχουν τις Α Ψ ίδιες λύσεις 8. Οι ανισώσεις 0 και ( )( ) 0 έχουν τις ίδιες λύσεις 9. Οι ανισώσεις 0 και ( )( ) < 0 έχουν τις ίδιες λύσεις 0. Οι ανισώσεις και ( +) < ( )( + ) < 0 έχουν τις ίδιες λύσεις Α Α Α Ψ Ψ Ψ ΙΙΙ. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τα τριώνυμα της ομάδας Α στην ισοδύναμη μορφή του από την ομάδα Β Α ΟΜΑΔΑ Β ΟΜΑΔΑ A ( )( ) + B ( )( ) + Γ ( )( ) Δ ( )( ) IV. Να εντοπίσετε το λάθος στους παρακάτω συλλογισμούς. Η ανίσωση ( 6)( ) > 0 ισοδύναμα γράφεται : ( 6)( ) > 0 6 > 0 και > 0 > και > > Όμως ο αριθμός 0 αν και είναι μικρότερος του επαληθεύει την ανίσωση Απάντηση : Η πρώτη ισοδυναμία δεν είναι σωστή αφού μπορεί να είναι 05

106 06 «ή 6 < 0 και < 0» 4. Η ανίσωση γράφεται ισοδύναμα : 4 < 4 4 <0 < < Όμως ο αριθμός αν και είναι μεταξύ του και του δεν επαληθεύει την ανίσωση Απάντηση: Η πρώτη ισοδυναμία δεν είναι σωστή, ισχύει μόνο αν > 0 θα πρέπει να εξεταστεί και η περίπτωση < 0. Η ανίσωση ( + ) ( ) 0 γράφεται ισοδύναμα ( + ) ( ) 0 0 Επειδή ο αριθμός επαληθεύει την δοθείσα ανίσωση Απάντηση : Δεν ισχύει η πρώτη ισοδυναμία, αφού γίνεται απλοποίηση με το ( + ), το οποίο μπορεί να είναι ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΗΛΙΚΟ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 7 8 A Ομάδας. Να βρείτε το πρόσημο του γινομένου Ρ() ( )( )( + ) 0 Για το τριώνυμο Δ > 0 Ρίζες : και 06

107 07 > 0 < ή > Για το τριώνυμο + Δ 4 < 0 Άρα + > 0 για κάθε Πίνακας προσήμου / P() Να βρείτε το πρόσημο του γινομένου Ρ() ( + 4)( + )( + + ) Για το τριώνυμο + 4 Για το τριώνυμο Για το τριώνυμο Δ > 0 Ρίζες : και + 4 > 0 < < + Δ 9 8 > 0 Ρίζες : και + > 0 < ή > + + Δ 4 < 0 Άρα + + > 0 για κάθε Πίνακας προσήμου P()

108 08. Να λύσετε την ανίσωση ( )( + )( 9) > 0 > 0 > + > 0 9 > 0 < ή > Πίνακας προσήμου Γινόμενο Άρα < < ή > 4. Να λύσετε την ανίσωση ( )( + 6)( + ) > 0 > 0 < + 6 > 0 ( + ) > 0 ( + ) > 0 < ή > 0 + > 0 Πίνακας προσήμου Γινόμενο Άρα ή 5. 08

109 09 Να λύσετε την ανίσωση ( Για την ανίσωση > 0 )( + + ) 0 + < 0 Δ > 0 Ρίζες : και Άρα < < Για την ανίσωση + + > 0 ( + ) > 0 Πίνακας προσήμου Γινόμενο Άρα ή ή 6. Να λύσετε την ανίσωση ( )( + )( ) > 0 Για την ανίσωση > 0 > Για την ανίσωση + > 0 Δ > 0 Ρίζες 5 ή 4 Οπότε + > 0 < ή > Για την ανίσωση > 0 + < 0 Δ 8 7 < 0 Οπότε < 0 για κάθε Πίνακας προσήμου /

110 Γινόμενο Άρα < ή < < 7. Να λύσετε τις ανισώσεις 0 Περιορισμός : + 0 > 0 ( )( + ) < ή > i Πεδίο ορισμού : 0 0 ( + )( ) 0 < 8. Να λύσετε την ανίσωση Πεδίο ορισμού : Δ > 0 Ρίζες και Άρα και 0 ( )( + ) 0 Για το τριώνυμο Δ > 0 Ρίζες και > 0 < ή > Για το τριώνυμο + 0

111 + > 0 < ή > Πίνακας προσήμου Γινόμενο Άρα < ή < Β Ομάδας. Να λύσετε τις ανισώσεις > 4 i 5 4 Πεδίο ορισμού : 0 > 4 4 > > 0 7 > 0 ( + 7)( ) > 0 < < 7 i Πεδίο ορισμού :

112 ( + )( + 5) 0 ή > 5. Να λύσετε την ανίσωση 0 Πεδίο ορισμού : ( )( - ) 0 Για την ανίσωση > 0 > 0 Για την ανίσωση - > 0 Δ > 0 Ρίζες 7 > 0 < ή > 4 Πίνακας προσήμου, Γινόμενο Άρα ή < 4. Να λύσετε τις ανισώσεις 5 i

113 Πεδίο ορισμού : ( 5 0 και 0) ( 5 και ) ( 5)( ) ( 5)( ) ( )( 5) ( 5)( ) 0 0 ( )( 5)( 5)( ) 0 5/ 5 + γινόμ Άρα < < 5 ή 5 i Πεδίο ορισμού : ( 0 και + 0) ( και ) 6 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 0 ( )( )( )( + ) 0

114 4 / + γινόμενο Άρα < ή ή 4. Να λύσετε την ανίσωση Περιορισμός : 0 > > < - ή > + < 0 ή - > 0 < 0 ή < 0 ή > 0 ( + ) < 0 ή ( ) < 0 < < 0 ή 0 < < > 0 5. Μία εταιρεία παράγει ηλεκτρικούς λαμπτήρες. Για ένα συγκεκριμένο τύπο λαμπτήρων το τμήμα έρευνας αγοράς της εταιρείας εκτιμά ότι αν η τιμή πώλησης των λαμπτήρων είναι ευρώ ανά λαμπτήρα, τότε το εβδομαδιαίο κόστος Κ και τα αντίστοιχα έσοδα Ε (σε χιλιάδες ευρώ) δίνονται από τους τύπους Κ 7 και Ε 5. Να βρείτε τις τιμές πώλησης των λαμπτήρων για τις οποίες η εταιρεία έχει κέρδος. Για να έχει κέρδος, πρέπει : Ε > Κ 5 > < 0 () Δ Ρίζες 6 8 6, + 4

115 5 () < < + σε ευρώ 6. Ένα φάρμακο είναι αποτελεσματικό αν η συγκέντρωσή του στο κυκλοφορικό σύστημα υπερβαίνει μία ορισμένη τιμή, που καλείτε ελάχιστο θεραπευτικό επίπεδο. Υποθέτουμε ότι η συγκέντρωση σ ενός φαρμάκου, t ώρες ύστερα από τη λήψη του, δίνεται από τον τύπο σ 0t t 4 mgr/lt. Αν για το συγκεκριμένο φάρμακο το ελάχιστο θεραπευτικό επίπεδο είναι 4 mgr/lt, να βρείτε πότε η συγκέντρωσή του θα ξεπεράσει το επίπεδο σ. Θα πρέπει 0t t 4 > 4 5t t 4 5t > > (Ε.Κ.Π t + 4 t 5t + 4 < 0 < t < 4 t + 4 > 0) 5. πρόοδοι 6. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 0 0 A Oμάδας. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων f() i f() 6 4 ii f() iv) f() Πρέπει 0. Άρα f A,, i Πρέπει

116 6 Άρα f 0 και και 4. A,0 0, 44, ii Είναι 0 για κάθε. Άρα A f R iv) Πρέπει 0 0. Άρα A f 0,.. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων f() + i f() ii f() 4 4 iv) f() Πρέπει 0 και 0 i και Άρα A [, ] f Πρέπει 4 0 ή Άρα A,, f ii Πρέπει Δ 6 4, ρίζες Άρα, οπότε A [, ] f iv) Πρέπει 0 και 0 4 ή 0 και 0 και Άρα f A [0, ), 6

117 7. Δίνεται η συνάρτηση f(), αν < 0 +, αν 0 Να βρείτε τις τιμές f ( 5), f(0) και f(6) 5 < 0, άρα f f > 0, άρα f Η συνάρτηση f ορίζεται ως εξής : «Σκέψου έναν φυσικό αριθμό, πρόσθεσε σ αυτόν το, πολλαπλασίασε το άθροισμα με 4 και στο γινόμενο πρόσθεσε το τετράγωνο του αριθμού». Να βρείτε τον τύπο της f και στη συνέχεια τις τιμές της για 0,, και. Tι παρατηρείτε; i Να βρείτε τους φυσικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει f() 6, f() 49, f() 00 και f() 44 Έστω ο φυσικός αριθμός που σκέφθηκα. Με πρόσθεση του προκύπτει +. Με πολλαπλασιασμό του αθροίσματος με το 4 προκύπτει 4( + ). Με πρόσθεση του Άρα f() 4( + ) + f() f() ( + ) προκύπτει 4( + ) +. i f() 6 ( + ) f() 49 ( + ) f() 00 ( + ) f() 44 ( + )

118 8 5. Δίνονται οι συναρτήσεις : f() i g() 6 4 Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ισχύει ii h() f() 7 i g() ii h() 5 A,, f f() i A,0 0, 44, g g() ii A h R ( 4) A g, άρα δεν υπάρχει τέτοια τιμή του. h() ή 8

119 9 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A Oμάδας σελ 57. Να σημειώσετε σε ένα καρτεσιανό επίπεδο τα σημεία : Α(, ), Β(, 4), Ο(0, 0), Γ(, 0), Δ(0, 5) και Ε(, ) Απάντηση y 4 B A - - O Γ 5 Ε - -4 Δ 9

120 0. Ένα σημείο Μ(, y) κινείται μέσα στο ορθογώνιο ΑΒΓΔ του διπλανού σχήματος. Ποιοι περιορισμοί ισχύουν για τα, y; Απάντηση 5 και y 6 y 6 O Α Β M(,y) Δ Γ 5. Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου Α(, ), ως προς τον άξονα i ως προς τον άξονα yy ii ως προς τη διχοτόμο της γωνίας ˆ Oy iv) ως προς την αρχή Ο των αξόνων. Απάντηση A (, ) i A (, ) ii A (, ) iv) A (, ) 4 4. Να βρείτε τις αποστάσεις των σημείων : (, ) και (, 4) Ο(0, 0) και Α(4, ) i Α(, ) και Β(, 4) ii Α(, ) και Β(, ) iv) Α(, ) και Β(, 4) 4 0 0) (ΟΑ) i (ΑΒ) 0

121 ii (ΑΒ) iv) (ΑΒ) 5. Να δείξετε ότι : Τα σημεία Α(, ), Β(4, ) και Γ(, 5) είναι κορυφές ισοσκελούς i τριγώνου. Τα σημεία Α(, ), Β(, ) και Γ(4, ) είναι κορυφές ορθογωνίου τριγώνου Άρα (ΑΒ) (ΑΓ) i ( ) 4 ( ) 4 ( ) ) Επομένως το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο Α. 6. Να σχεδιάσετε το πολύγωνο με κορυφές τα σημεία : Α(, 5), Β(5, ), Γ(, ), Δ(, ) και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι αυτό είναι ρόμβος. (ΑΒ) y Α (ΒΓ) Δ 4 - Ο 5 Β

122 (ΓΔ) (ΔΑ) Άρα (ΑΒ) (ΒΓ) (ΓΔ) (ΔΑ) ΑΒΓΔ ρόμβος 7. Σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε την τιμή του k για την οποία το σημείο Μ ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. f() + k, M(, 6) i g() k, M(-, 8) ii h() k, M(, 8) f() 6 i + k k 6 k g( ) 8 ii k( ) 8 8k 8 k h() 8 k 8 k 8 k 4 8. Σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε τις συντεταγμένες των κοινών σημείων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τους άξονες. f() 4 i g() ( )( ) ii h() ( ) iv) q() + + v) φ() v ψ() 4 D f R Για 0 έχουμε f άρα η C τέμνει τον άξονα yy f στο σημείο 0, 4

123 Για f 0 έχουμε άρα η C τέμνει τον άξονα στο σημείο f 4,0 i D g R Για 0 έχουμε g(0) (0 )(0 ) 6 Για άρα η g 0 έχουμε ( )( ) 0 C τέμνει τον άξονα yy στο σημείο (0, 6) g 0 ή 0 ή άρα η C τέμνει τον άξονα στα σημεία g,0 και (, 0) ii D h R Για 0 έχουμε h(0) (0 ) Για iv) άρα η h 0 έχουμε ( ) 0 άρα η C τέμνει τον άξονα yy στο σημείο (0, ) h 0 C τέμνει τον άξονα στο σημείο f,0 D q R Για 0 έχουμε q(0) Για v) άρα η q 0 έχουμε άρα η C τέμνει τον άξονα yy στο σημείο (0, ) q Δ 4 < 0 C δεν έχει κοινά σημεία με τον άξονα q Πρέπει 0 άρα D [, + )

124 4 Ο δε μπορεί να πάρει την τιμή μηδέν, άρα η C δεν έχει κοινό σημείο με τον άξονα yy Για φ 0 έχουμε 0 v 0 0 άρα η C τέμνει τον άξονα στο σημείο,0 Πρέπει ή Άρα D (, ] [, + ) Ο δε μπορεί να πάρει την τιμή μηδέν, άρα η C δεν έχει κοινό σημείο με τον άξονα yy Για ψ 0 έχουμε ή άρα η C τέμνει τον άξονα στα σημεία,0 και (, 0) 9. Δίνεται η συνάρτηση f(). Να βρείτε : Τα σημεία τομής της C μες τους άξονες. f i Τις τετμημένες των σημείων της C που βρίσκονται πάνω από τον άξονα. f D f R Για 0 έχουμε f(0) Για f 0 έχουμε 0 άρα η C τέμνει τον άξονα yy στο σημείο f 0, 0 4

125 5 i Πρέπει f() > 0 0. ή άρα η C τέμνει τον άξονα στα σημεία f,0 και (, 0) > 0 > Δίνονται οι συναρτήσεις f() Τα κοινά σημεία των C, f > < ή > και g() 6. Να βρείτε : C g i Τις τετμημένες των σημείων της C που βρίσκονται κάτω από τη f C g D f R και D g R Πρέπει f() g() ή 5 f() g(). 6 και f(5) g(5) Τα κοινά σημεία των i C, f Πρέπει f() < g() 6. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y a+β C είναι (, ) (5, 4) g < < 0 < < ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

126 6 A Ομάδας. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις : φ(), f() + και g() Γνωρίζουμε ότι η C αποτελείτε από τις διχοτόμους της ης και ης γωνίας των αξόνων. Η C f προκύπτει από την ανοδική 4 y C f C φ C g κατακόρυφη μετατόπιση της C κατά μονάδες. Η C g προκύπτει από την καθοδική -5 O 5 - κατακόρυφη μετατόπιση της C κατά μονάδες. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις : φ(), h() και q() Γνωρίζουμε ότι η C αποτελείτε από τις διχοτόμους της ης των αξόνων. Η και ης γωνίας C h προκύπτει από την αριστερά y 4 C h C φ C q -5 O 5 οριζόντια μετατόπιση της C κατά μονάδες. Η C q προκύπτει από τη δεξιά οριζόντια μετατόπιση της C κατά μονάδες.. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις : φ(), F() + και G() 6

127 7 Γνωρίζουμε ότι η C αποτελείτε από τις διχοτόμους της ης και ης γωνίας 4 y C F των αξόνων. Η C F προκύπτει από την αριστερά C φ C G οριζόντια κατά μονάδες και ανοδική κατακόρυφη κατά μονάδα μετατόπιση της C. O - 5 Η C G προκύπτει από τη δεξιά οριζόντια κατά μονάδες και καθοδική κατακόρυφη κατά μονάδα μετατόπιση της C. 4. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης φ που αποτελείται από τη διχοτόμο C φ y της δεύτερης γωνίας των αξόνων και από το ημικύκλιο που ανήκει στο ο τεταρτημόριο και έχει διάμετρο O A που ορίζουν τα σημεία Ο(0, 0) και Α(, 0). Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις : f() φ() + και g() φ() i h() φ( + ) και q() φ( ) ii F() φ( + ) + και G() φ( ) C f y Η C f προκύπτει από την ανοδική κατακόρυφη μετατόπιση της C C φ κατά μονάδες. Η C g προκύπτει από την καθοδική C g O A κατακόρυφη μετατόπιση της C - 7

128 8 κατά μονάδες. i Η C h προκύπτει από την αριστερά οριζόντια μετατόπιση της C κατά μονάδες. Η C q προκύπτει από τη δεξιά οριζόντια μετατόπιση της C κατά μονάδες. C h C φ y C q O A 5 ii Η C F προκύπτει από την αριστερά οριζόντια κατά μονάδες και ανοδική κατακόρυφη κατά μονάδες μετατόπιση της C. Η C G προκύπτει από τη δεξιά οριζόντια κατά μονάδες και καθοδική κατακόρυφη κατά μονάδα μετατόπιση της C. 4 y C F C φ O A 5 C G - 5. Δίνεται η συνάρτηση φ(). Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f της οποίας η γραφική παράσταση προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις της 8

129 9 γραφικής παράστασης της φ : κατά μονάδες προς τα δεξιά και κατά μονάδα προς τα πάνω. i κατά μονάδες προς τα δεξιά και κατά μονάδες προς τα κάτω. ii κατά μονάδες προς τα αριστερά και κατά μονάδα προς τα πάνω. iv) κατά μονάδες προς τα αριστερά και κατά μονάδες προς τα κάτω. δεξιά ( ) και πάνω Α() ( ) + Α() ( ) i δεξιά ( ) και κάτω Β() ( ) Β() ( ) ii αριστερά ( ) και πάνω Γ() ( ) + Γ() ( ) iv) αριστερά ( ) και κάτω Δ() ( ) Δ() ( ) 6.5 ΜΟΝΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΊΕΣ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 8 84 A Ομάδας. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι : α) γνησίως αύξουσα και β) γνησίως φθίνουσα y y y O - O O y f() -4-9

130 0 y g() y h() Το πεδίο ορισμού και των τριών συναρτήσεων είναι το. f γν. φθίνουσα στο (, ] και γν.αύξουσα στο, + g γν.αύξουσα στο διάστημα, 0, γν. φθίνουσα στο [0, ] και γνησίως αύξουσα στο, + h γν. φθίνουσα στο διάστημα,, γν. αύξουσα στο [, 0], γν. φθίνουσα στο [0, ] και γνησίως αύξουσα στο, +. Να προσδιορίσετε τα ολικά ακρότατα των συναρτήσεων της προηγούμενης άσκησης, καθώς και τις θέσεις των ακροτάτων αυτών. Το πεδίο ορισμού και των τριών συναρτήσεων είναι το. Η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0 και είναι min f() f() Η g δεν παρουσιάζει ολικά ακρότατα Η h παρουσιάζει ελάχιστο στο και στο και είναι min f() f( ) f(). Να δείξετε ότι : Η συνάρτηση f() παρουσιάζει ελάχιστο για. i Η συνάρτηση g() παρουσιάζει μέγιστο για. D f R Αρκεί να αποδείξουμε ότι f() f() για κάθε

131 ( ) 0 που ισχύει i D g R Αρκεί να αποδείξουμε ότι g() g() για κάθε ( ) που ισχύει Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες και ποιες είναι περιττές : f () i f () + ii f () iv) f 4 () 5 v) f 5 () v f 6 () Το πεδίο ορισμού των δοσμένων συναρτήσεων, εκτός της f 5, είναι το. Οπότε, για κάθε ισχύει και. 4 f ( ) ( ) + 5 ( ) f () άρα f άρτια i f ( ) + + f () άρα f άρτια ii Είναι f ( ) 0 και f () Άρα f ( ) f (), άρα f ούτε άρτια ούτε περιττή iv) f 4 ( ) ( ) ( ) ( 5 ) 5

132 v) + 5 ( 5 ) () άρα f 4 περιττή Πεδίο ορισμού είναι το Α (, ) (, + ). Για κάθε A δεν ισχύει και Α, αφού Α και Α. Άρα f 5 ούτε άρτια ούτε περιττή. v f 6 ( ) 5. ( ) f 6 (), άρα f 6 περιττή. ( ) Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες και ποιες είναι περιττές : () f 4 f i f () ii f () iv) f 4 () Πεδίο ορισμού A (, 0) (0, + ) v) f 5 () v f 6 () Άρα για κάθε A ισχύει και A i ( ) () οπότε f άρτια f f Πρέπει 0, επομένως A [, + ) Επειδή το A δεν είναι συμμετρικό ως προς την αρχή Ο, η f δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή ii A και βέβαια συμμετρικό ως προς την αρχή Ο. f (-) iv) ( ) ( ) ( ) f () Άρα f περιττή.

133 Πεδίο ορισμού A 4 (, 0) (0, + ) Άρα για κάθε A 4 ισχύει και A 4 ( ) f 4 ( ) f 4 () Άρα f 4 περιττή v) A 5 και βέβαια συμμετρικό ως προς την αρχή Ο. f 5 ( ) f 5 () Οπότε f 5 άρτια v Πρέπει 0, άρα A 6 [, ] συμμετρικό ως προς την αρχή Ο f 6 ( ) ( ) f 6 () Οπότε f 6 άρτια 6. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω γραμμές είναι γραφικές παραστάσεις άρτιας και ποιες περιττής συνάρτησης. y y y O y f() y g() y h() O O H f είναι συμμετρική ως προς κέντρο Ο, άρα είναι περιττή. H g είναι συμμετρική ως προς τον άξονα yy, άρα είναι άρτια H h δεν είναι συμμετρική ούτε ως προς τον άξονα yy ούτε ως προς κέντρο την αρχή Ο, άρα δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή. 7. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω γραμμές είναι γραφικές παραστάσεις άρτιας και ποιες περιττής συνάρτησης.

134 4 y y y O y f() y g() y h() O O - - H f είναι συμμετρική ως προς τον άξονα yy, άρα είναι άρτια H g είναι συμμετρική ως προς κέντρο το Ο, άρα είναι περιττή. H h δεν είναι συμμετρική ούτε ως προς τον άξονα yy ούτε ως προς κέντρο την αρχή Ο, άρα δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή. 8. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω γραμμές ώστε να παριστάνουν γραφικές παραστάσεις α) Άρτιας συνάρτησης και β) Περιττής συνάρτησης α) y y y O C O C C O β) y O y y C C C O O - 4

135 5 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 6 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Ι. Σε καθεμιά από τις παρακάτω ερωτήσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής.. Υπάρχει συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση Α διέρχεται από τα σημεία Α(, ) και Β(, ). Οι ευθείες ψ α και ψ + τέμνονται Α Ψ Ψ. Αν μία συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, τότε Ψ Α η f είναι γνησίως φθίνουσα 4. Μία γνησίως μονότονη συνάρτηση έχει το πολύ μία ρίζα Ψ Α 5. Υπάρχει γνησίως μονότονη συνάρτηση που διέρχεται Α από τα σημεία Α(, ), Β(, ), Γ(, ) 6. Αν μία συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα Α και έχει ρίζα τον αριθμό, τότε θα ισχύει f (0) < 0 Ψ Ψ 7. Αν μία συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη και η γραφική της Α Ψ παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(, ) και Β(, 5), τότε η f είναι γνησίως αύξουσα 8. Αν η μέγιστη τιμή μίας συνάρτησης f είναι ίση με, Ψ τότε η εξίσωση f () είναι αδύνατη Α 9. Η συνάρτηση f : [, ] με f () Α είναι άρτια Ψ 0. Αν μία συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή και έχει ρίζα τον αριθμό ρ, τότε θα έχει ρίζα και τον ρ Α Ψ. Αν μία συνάρτηση f είναι άρτια, τότε Α Ψ η f δεν είναι γνησίως μονότονη. Αν μία συνάρτηση f είναι άρτια, τότε Α Ψ 5

136 6 η f είναι περιττή ΙΙ. Να επιλέξετε την σωστή απάντηση για την παρακάτω συνάρτηση f. Η συνάρτηση f, της οποίας η γραφική παράσταση προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις της γραφικής παράστασης της συνάρτησης φ() 4, μιας οριζόντιας κατά μονάδα προς τα αριστερά και μιας κατακόρυφης κατά μονάδες προς τα πάνω, έχει τύπο : Α) f() ( ) 4 + B) f() ( ) 4 Γ f() ( + ) 4 + Δ) f() (+) 4 7. ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f() α Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 9 9 A Ομάδας. Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής του διπλανού σχήματος. Επειδή είναι παραβολή με ελάχιστο θα έχει εξίσωση της μορφής f Αφού διέρχεται από το σημείο (, ), f 0 0,, 0. y O θα επαληθεύεται απαυτό : Άρα. f.. Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις φ() 0,5, f() 0,5 + και g() 0,5 6

137 7 i ψ() 0,5, h() 0,5 και q() 0,5 + Η C είναι γνωστή από τη θεωρία. y 6 4 C f Η C f προκύπτει από τη μετατόπιση της C φ C κατά μονάδες προς τα πάνω. O Η C g προκύπτει από τη μετατόπιση της - C g C κατά μονάδες προς τα κάτω. y i Η C είναι γνωστή από τη θεωρία. C q Η C h προκύπτει από τη μετατόπιση της O C κατά μονάδες προς τα κάτω. - C ψ -4 C h Η C q προκύπτει από τη μετατόπιση της C κατά μονάδες προς τα πάνω. -6. Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις φ() 0,5, f() 0,5 ( ) και g() 0,5 ( + ) i ψ() 0,5, h() 0,5 ( ) και q() 0,5 ( + ) Η C είναι γνωστή από τη θεωρία. 4 y C g C φ C f -5 O 5 7

138 8 Η C f προκύπτει από τη μετατόπιση της C κατά μονάδες προς τα δεξιά. Η C g προκύπτει από τη μετατόπιση της C κατά μονάδες προς τα αριστερά. i Η C είναι γνωστή από τη θεωρία. y O -5 5 Η C h προκύπτει από τη μετατόπιση της - C h C κατά μονάδες προς τα δεξιά. -4 C ψ Η C q προκύπτει από τη μετατόπιση της -6 C q 4. C κατά μονάδες προς τα αριστερά. Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f() και g() και με τη βοήθεια αυτών να λύσετε τις ανισώσεις i Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά τα προηγούμενα συμπεράσματα. και > Έστω Α, Β τα σημεία τομής των δύο συναρτήσεων. Οι τετμημένες των Α, Β είναι και αντίστοιχα. Λ y y Από τυχαίο σημείο Μ() του άξονα, φέρνουμε κατακόρυφη ευθεία, που τέμνει Κ A B y τη C g στο Κ και τη C f στο Λ. Τότε είναι (ΜΚ) g() και (ΜΛ) f(). Μ() - O 8

139 9 Η ανίσωση γράφεται f() g() (ΜΛ) (ΜΚ) () Οι τιμές του για τις οποίες ισχύει η () είναι. Ομοίως, οι τιμές του για τις οποίες ισχύει > δηλαδή (ΜΛ) > (ΜΚ), είναι < ή > i. > > < ή > B Ομάδας. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f() y Η συνάρτηση γράφεται f() ( ), 0., 0 y, > 0 f(), 0, 0 O y -, < 0 -. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(), 0, 0 και με τη βοήθεια αυτής να βγάλετε τα συμπεράσματα τα σχετικά με τη μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης f. Η f είναι γν.φθίνουσα στο διάστημα (, ] y y -, < 0 y, > 0 O 9

140 40 και γν.αύξουσα στο διάστημα [0, + ) Παρουσιάζει ελάχιστο, το f(0) 0.. Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : f(), g() h() στο διάστημα [0, +)., και φ() Να διατάξετε από τη μικρότερη στη μεγαλύτερη τις τιμές,, και των συναρτήσεων f, g, h και φ : α) για 0 < < και β) για > O y y y y A(, ) i Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά τα συμπεράσματα στα οποία καταλήξατε προηγουμένως. Από το τυχαίο σημείο Μ() του άξονα φανταζόμαστε κατακόρυφη ευθεία ε. y α) Όταν είναι 0 < <, η ε διαδοχικά θα τμήσει τη,,,. Άρα θα είναι < < < β) Όταν είναι >, η ε διαδοχικά θα τμήσει τη,, i Άρα θα είναι < < α) Όταν είναι 0 < < < < < που ισχύει (διαιρέσαμε με ) < < που ισχύει (διαιρέσαμε με ),. < β) Όταν είναι > < < < < που ισχύει (υψώσαμε στο τετράγωνο) < που ισχύει < που ισχύει 4. < < που ισχύει B y A 40

141 4 Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισόπλευρο. Να βρεθεί η τετμημένη του σημείο Α. Έστω > 0 η τετμημένη του Α Α(, ) Λόγω συμμετρίας, - θα είναι η τετμημένη του Β και άρα Β(, ( ) ) B(, ) (AB) (AO) ( ) ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f() A Ομάδας. Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής του διπλανού σχήματος. Επειδή είναι υπερβολή που ανήκει στα ο ο τεταρτημόριο, θα έχει εξίσωση της μορφής f, 0. Αφού διέρχεται από το σημείο (, ), θα επαληθεύεται από αυτό :. Άρα. f y O y f() Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις A(, ) 4

142 4 φ(), f() + και g() i ψ(), h() και q() + Η C είναι γνωστή από τη θεωρία. y 4 C f Η C f προκύπτει από τη μετατόπιση της C κατά μονάδες προς τα πάνω. O - -4 C φ C g 5 Η C g προκύπτει από τη μετατόπιση της -6 C κατά μονάδες προς τα κάτω. y i Η C είναι γνωστή από τη θεωρία. 6 4 C q Η C h προκύπτει από τη μετατόπιση της C κατά μονάδες προς τα κάτω. O C ψ - Η C q προκύπτει από τη μετατόπιση της -4 C h C κατά μονάδες προς τα πάνω.. Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις φ(), f() και g() i ψ(), h() και q() Η C είναι γνωστή από τη θεωρία. C g 6 4 O y C φ C f 4

143 4 Η C f προκύπτει από τη μετατόπιση της C κατά μονάδες προς τα δεξιά. Η C g προκύπτει από τη μετατόπιση της C κατά μονάδες προς τα αριστερά. y i 6 Η C είναι γνωστή από τη θεωρία. 4 Η C h προκύπτει από τη μετατόπιση της C κατά μονάδες προς τα δεξιά. C q - O C ψ C h Η C q προκύπτει από τη μετατόπιση της -4 C κατά μονάδες προς τα αριστερά Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f() και g() και με τη βοήθεια αυτών να λύσετε τις ανισώσεις και > i Να επιβεβαιώσετε και αλγεβρικά τα παραπάνω συμπεράσματα. Το σημεία τομής των δύο συναρτήσεων y C f A(. ) Κ Λ C g 4 O M()

144 44 είναι το Α(, ). Από τυχαίο σημείο Μ() του άξονα, φέρνουμε κατακόρυφη ευθεία, που τέμνει τη C g στο Κ και τη C f στο Λ. Τότε είναι (ΜΚ) g() και (ΜΛ) f(). Η ανίσωση γράφεται f() g() (ΜΛ) (ΜΚ) () Οι τιμές του για τις οποίες ισχύει η () είναι < 0 ή. Ομοίως, οι τιμές του για τις οποίες ισχύει i > δηλαδή (ΜΛ) > (ΜΚ), είναι 0 < < και ( ) 0 0 και < 0 ή 0 (ο εκτός των ριζών) Ομοίως, > 0 < < 5. Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f() και g() και με τη βοήθεια αυτών να λύσετε τις ανισώσεις και > i Να επιβεβαιώσετε και αλγεβρικά τα παραπάνω συμπεράσματα. C g y C f A(. ) Λ Κ 44

145 45 Το σημεία τομής των δύο συναρτήσεων είναι το Α(, ). Από τυχαίο σημείο Μ() του άξονα, φέρνουμε κατακόρυφη ευθεία, που τέμνει τη C g στο Κ και τη C f στο Λ. Τότε είναι (ΜΚ) g() και (ΜΛ) f(). Η ανίσωση γράφεται f() g() (ΜΛ) (ΜΚ) () Οι τιμές του για τις οποίες ισχύει η () είναι < 0 ή. Ομοίως, οι τιμές του για τις οποίες ισχύει i > δηλαδή (ΜΛ) > (ΜΚ), είναι 0 < < και ( ) 0 0 και ( )( + + ) 0 () Είναι Δ 4 < 0, άρα + + > 0 Οπότε, () 0 και ( ) 0 Ομοίως, > 6. < 0 ή 0 < < Οι κάθετες πλευρές ΑΒ και ΑΓ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ μεταβάλλονται έτσι, ώστε το εμβαδόν του να παραμένει σταθερό και ίσο με τετραγωνικές μονάδες. Να εκφράσετε το μήκος y της ΑΓ συναρτήσει του μήκους της ΑΒ και στη συνέχεια να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση αυτή. Είναι Ε y y 4 y 4 45 O

146 46 y 4 με, y > 0 Έτσι ορίζεται η συνάρτηση y f() 4 με > 0, της οποίας η γραφική παράσταση είναι ο κλάδος του ου τεταρτημορίου της υπερβολής f() 4 7. ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f() α +β+γ A Ομάδας. Να γράψετε τη συνάρτηση f() στη μορφή f() α( p) + q και στη συνέχεια να βρείτε με ποια οριζόντια και ποια κατακόρυφη μετατόπιση η γραφική παράσταση της συνάρτησης g() θα συμπέσει με τη γραφική παράσταση της f. i Να κάνετε το ίδιο και για τη συνάρτηση f() + 8 9, θεωρώντας ως g την g() Από τη θεωρία είναι f() 4 () 4. και () f() ( ) Οριζόντια μετατόπιση της C g : μονάδα δεξιά 46

147 47 Κατακόρυφη μετατόπιση της i C g : μονάδες πάνω. 8 ( ) και ( )( 9) 4.( ) () f() ( ) Οριζόντια μετατόπιση της C g : μονάδες δεξιά Κατακόρυφη μετατόπιση της C g : μονάδα πάνω.. Να βρείτε τη μέγιστη ή ελάχιστη τιμή των συναρτήσεων α) f() 6 + και β) g() 5 + α) f min β) 4 4 ( 6) f ma ( 5) q Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις 49 α) f() και β) g() α) Πεδίο ορισμού D f 4. Δ , Γν.φθίνουσα στο διάστημα (, ] Γν.αύξουσα στο διάστημα [, + ) Ελάχιστο για, το f( ) - K(-, -) y O 47

148 48 Άξονας συμμετρίας η ευθεία β) Πεδίο ορισμού D f 8 ( ) Δ 8 4( )( 9) , ( ) Γν.αύξουσα στο διάστημα (, ] Γν.φθίνουσα στο διάστημα [, + ) Ελάχιστο για, το f() Άξονας συμμετρίας η ευθεία 4. - y O Λ(, -) Στα παρακάτω σχήματα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις επτά τριωνύμων, δηλαδή συναρτήσεων της μορφής y α + β + γ. Να συμπληρώσετε τις στήλες του πίνακα που ακολουθεί με το πρόσημο των συντελεστών και της διακρίνουσας των αντίστοιχων τριωνύμων. f f f f 4 f 5 48

149 49 f 6 f 7 Τριώνυμο f f f f 4 f 5 f 6 f 7 α β γ Δ Β Ομάδας. Δίνεται η παραβολή y οποίες η παραβολή : Εφάπτεται του άξονα i Έχει τον yy άξονα συμμετρίας + (k + ) + k. Να καθορίσετε τις τιμές του k, για τις ii Έχει για κορυφή ένα σημείο με τεταγμένη 4. Ποια είναι η τετμημένη της κορυφής; Εφάπτεται του άξονα Δ 0 (k + ) 4k 0 49

150 50 i Έχει τον yy άξονα συμμετρίας ii k + k + 4k 0 k k + 0 (k ) 0 k 0 β 0 Έχει για κορυφή ένα σημείο με τεταγμένη 4. k + 0 k Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση ενός τριωνύμου P() α + β + γ. Να βρείτε : Το πρόσημο του α. i Το πρόσημο της διακρίνουσας Δ και 4 4 Δ 6 ii Τους συντελεστές του τριωνύμου, αν δίνεται ότι β 6. Θα είναι α < 0 αφού το τριώνυμο έχει μέγιστο i (k + ) 4k 6 k + k + 4k 6 k k (k ) 6 k 4 ή k 4 k 5 ή k y 4 O Θα είναι Δ > 0 αφού το τριώνυμο έχει δύο άνισες ρίζες ( και 5) ii Είναι P() 0 α. + β. + γ 0 α γ 0 γ α 6 () y P() 5 50

151 5 P(5) 0 α. () γ β. 5 + γ 0 5α γ 0 ( ) 5α + 0 α 6 0 4α 4 α. Οι διαστάσεις, y ενός ορθογωνίου μεταβάλλονται, έτσι ώστε η περίμετρός του να παραμένει σταθερή και ίση με 0 μ. Να εκφράσετε το y συναρτήσει του και στη συνέχεια να βρείτε τον τύπο E f() που δίνει το εμβαδόν του ορθογωνίου συναρτήσει του. i Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν μεγιστοποιείται για 5 και να βρείτε τη μέγιστη τιμή του. + y 0 + y 0 y 0 με 0 < < 0 E y (0 ) + 0 Άρα f() + 0 με 0 < < 0 i Επειδή α < 0, το τριώνυμο f() + 0 θα έχει μέγιστο για 0 5 ( ) Είναι δε f ma f(5) Ένα σημείο Μ κινείται πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ 6cm. Με πλευρές τα ΜΑ και Γ Δ ΜΒ κατασκευάζουμε ισόπλευρα τρίγωνα. Για ποια θέση του Μ το άθροισμα των εμβαδών των δύο τριγώνων είναι ελάχιστο; Α Μ Β Έστω (ΑΜ), τότε (ΜΒ) 6 5