Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας Α Λύκειου

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας Α Λύκειου"

Ἠώς Ηλιόπουλος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Περιδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας Α Λύκειυ Γιάννης Κυριαζής Κωστά Βακαλόπυλς Άσκηση Θεωρύμε τρίγωνα και για τα πία ισχύει ότι: α) B ˆ B ˆ β) Γ ˆ Γ ˆ γ) r=r, όπυ r,r ι περίμετρι των δυ τριγώνων. Να δείξετε ότι είναι ίσα. Απόδειξη: Στην της ΓΒ πρς τ Β θεωρύμε σημεί Δ, τέτι ώστε ΒΔ=ΑΒ=γ και στην πρέκταση της ΒΓ, πρς τ Γ σημεί Ε, τέτι ώστε ΓΕ=ΑΓ=β. Αντίστιχα στην πρέκταση της Β Γ σημεία Δ και Ε, τέτια ώστε Β Δ =Α Β =γ και Γ Ε =Α Γ =β. Επμένως ΑΔ=Α Δ () και ΑΕ=Α Ε () μόλγα στιχεία των ίσων τριγώνων τραβδ=τρ.α Β Δ γιατί:. ˆ ˆ Βˆ Β ˆ A A ή.. ΑΔ=Α Δ από τη σχέση () 3. ˆ ˆ Βˆ Β ˆ Δ Δ ή μισά ίσων γωνιών Κριτήρι Γ Π ΓΑΒ=Α Β ή γ=γ (3) Όμια τρ.αγε=τρ Α Γ Ε πότε ΑΓ=Α Γ ή β=β (4) Επίσης A ˆ A ˆ (5) κατ ανάγκη Από 3,4,5τρ.ΑΒΓ=τρ.Α Β Γ σύμφωνα με κριτήρι Π Γ Π. Άσκηση Δίνεται ευθύγραμμ τμήμα ΑΒ, τυχαί σημεί αυτύ Μ και παράλληλες ημιευθείες Αx και Βψ στ ίδι ημιεπίπεδ. Στην Αx θεωρύμε σημεί Δ, τέτι ώστε ΑΔ=ΑΜ () και στην Βψ σημεί Ε τέτι ώστε ΒΕ=ΒΜ (). α) Να δείξετε ότι ΔΜΕ ˆ 90 β) Αν κ είναι τ μέσ της ΔΕ να δείξετε επίσης ότι: AKB ˆ 90 Είναι φανερό ότι ΔΕ=r=r =Δ Ε. Στ ισσκελές τρ. ΑΒΔ ˆB εξωτερική πότε ˆΒ Bˆ Δˆ Εˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Δ Δ Δ Δ. Με ανάλγ τρόπ πρκύπτει ότι ˆ ˆ ˆ B ˆ Γ ˆΓ Δ, E και Ê. Τότε όμως: τρ. ΑΔΕ= τρ. Α Δ Ε γιατί:. ˆ ˆ Βˆ Β ˆ Δ Δ ή.. ΔΕ=Δ Ε ή τ=τ υπόθεση 3. ˆ ˆ Γˆ Γ ˆ E E ή μισά ίσων γωνιών Κριτήρι Γ Π Γ Απόδειξη: Συντμότερα: 80 Α 80 Β Α Β 80 ω φ

2 β) Έστω Σ τ μέσ τυ ΑΒ. Στ τραπέζι ΑΔΕΒ ΚΣ διάμεσς. Από θεώρημα έχυμε ΚΣ//ΑΔ//ΒΕ και, ΑΔ ΒΕ ΑΜ ΒΜ ΑΒ KΣ Κ,Σ ΚΣ. o Τότε όμως AKB ˆ 90 αφύ στ τρ. ΑΚΒ η διάμεσς ΚΣ είναι ίση με τ μισό της αντίστιχης πλευράς ΑΒ. Άσκηση 3 Δίνεται τρ. ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ ι διχτόμι αυτύ ΑΔ και ΓΕ πυ τέμννται στ Ι (έγκεντρ). Να δείξετε ότι: ˆΑ α) BIΓ ˆ 90 Βˆ Γˆ β) AΔΒ ˆ 90 γ) Αν τρ. ΑΒΓ αμβλυγώνι στ Β και ισχύει ότι Bˆ Γˆ 90 ()να απδειχθεί ότι η διχτόμς ΑΔ σχηματίζει με τη βάση ΒΓ γωνία 45. Απόδειξη α) Από τ τρ.βιγ έχυμε ότι: ˆ ˆ ˆ Βˆ Γˆ B BIΓ Γ 80 ΒΙΓ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Α Β Γ Β Γ ˆΑ BIΓ 90 BIΓ ˆ 90. Περιδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ o B Γ ˆ o B Γ AΔΒ 90 AΔΒ 90 ˆ ˆ ˆ o B Γ AΔΒ 90. γ) Από τ β) ερώτημα έχυμε ότι ˆ ˆ o ˆ o B Γ ˆ o 90 AΔΒ 90 AΔΒ 90 ˆ o o ˆ AΔΒ AΔΒ 45. Άσκηση 4 Θεωρύμε ισσκελές τρ. ΑΒΓΑ Β=Αγ με γωνία κρυφής Â 0. Στ εσωτερικό τυ τριγώνυ φέρυμε ευθύγραμμα τμήματα ΒΔ (Δ σημεί της ΑΓ) και ΓΕ (Ε σημεί της ΑΒ) τέτια ώστε AΒΔ ˆ 0 και AΓΕ ˆ 30 Να υπλγισθεί η γωνία AΔΕ ˆ xˆ Σημείωμα: Η άσκηση αυτή είχε πρταθεί τη δεκαετία τυ 980 από τ συνάδελφ κ. Νίκ Κισκύρα στη μνήμη τυ πίυ αφιερώνεται. Απάντηση Φέρυμε DZ//BΓ βηθητική. Τότε τ ΔΖΒΓ ισσκελές τραπέζι με ΒΖ=ΓΔ και επμένως ίσες διαγώνιυς ΒΔ=ΓΖ. β) AΔΒ ˆ εξωτερική τυ τρ. ΑΔΓ επμένως: ˆΑ AΔΒ ˆ Αˆ ˆ ˆ ˆ Γ ΑΔΒ Γ ˆ ˆ ˆ ˆ o o Α Γ Γ AΔΒ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ o Α B Γ Α Γ Γ AΔΒ 90 Από τα ίσα τρίγωνα Δ ΒΓ και ZΒΓ πρκύπτει ότι: ΔΒΓ ˆ ΖΓΒ ˆ 60 πότε τρ. ΚΒΓ ισόπλευρ όπως επίσης και τ τρ. ΚΔΖ. BEΓ ˆ Εξωτερική τυ τρ. ΕΑΓ επμένως ˆ ˆ ˆ BEΓ Α ΑΓΕ

3 Τότε όμως BEΓ ˆ ΒΓΕ ˆ 50 δηλ. τρ. ΒΕΓ ισσκελές με ΒΕ=ΒΓ () και ΒΓ=ΚΓ=ΚΒ () πλευρές τυ ισόπλευρυ τρ. ΚΒΓ. Από () και () ΒΕ=ΒΚτρ.ΒΕΚ ισσκελές με γωνία κρυφής 0 πότε ˆ o EKB 80 EKZ ˆ 80 o 60 o 80 o 40 o.. Άρα o o o Αλλά και EZK ˆ αφύ είναι εξωτερική γωνία στ τρ. ΑΖΓ. Τότε όμως τρ. ΕΖΚ ισσκελές με ΕΖ=ΕΚ (3)τρ.ΕΖΔ=τρ.ΕΔΚ γιατί. ΔΕ=ΔΕ κινή. ΕΖ=ΕΚ από σχέση (3) 3. ΔΖ=ΔΚ πλευρές τυ ισόπλευρυ τρ.κδζ, (Κριτήρι 3 Π Π Π) ΖΔΚ ˆ 60 Άρα EΔΖ ˆ ΕΔΚ ˆ 30 πότε ˆ ˆ ˆ ΑΔΕ ΑΔΖ ΖΔΕ Άσκηση 5 Δίνεται ρθγώνι τρ. ΑΒΓ. Αν ΑΔ είναι τ ύψς τυ ΑΕ η διχτόμς και ΑΜ η διάμεσς να δείξετε ότι: α) ΑΕ η διχτόμς της ΔΑΜ ˆ β) Αν ΒΓ ΔΜ τότε 4 ˆΓ 30 Απόδειξη Α) Στ ρθγώνι τρ. ΑΒΓΑ Μ είναι διάμεσς πρς την υπτείνυσα ΒΓ. Από θεώρημα έχυμε: BΓ AM ΜΒ ΜΓ () Περιδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. ΒΓ ΒΓ ΑΜ ΔΜ ΔΜ ΑΜ. 4 ΑΜ Στ ρθ. Τρ.ΔΑΜ ισχύει ΔΜ. Από θεώρημα έχυμε MAΔ ˆ 30 επμένως ˆ ΔΜΑ 60. Όμως εξωτερική τυ τρ. ΜΓΑ πότε ΔΜΑ ˆ ωˆ ωˆ ωˆ ωˆ 30 Γˆ 30 εδ. Άσκηση 6 Δίδεται ρθγώνι ΑΒΓΔ. Στ σημεί Δ υψώνυμε κάθετη επί την ΔΒ πυ τέμνει την ΑΒ στ Ζ. Φέρυμε τη διχτόμ ΔΕ της AΔΒ ˆ και κατασκευάζυμε τ παραλληλόγραμμ ΕΔΖΗ. Να δείξετε ότι: α) τρ.εδζ ισσκελές. β) Αν ΔΖ ΑΖ=ΓΔ τότε τ ΔΕΗΖ είναι ρόμβς. Απόδειξη. α) AΔΕ ˆ ΕΔΒ ˆ ωˆ, ΔΕ διχτόμς ABΔ ˆ ΑΔΖ ˆ φˆ ξείες με πλευρές κάθετες ZEΔ ˆ εξωτερική τυ τρ.εβδ επμένως: ZEΔ ˆ ΕΔΒ ˆ ΕΒΔ ˆ ωˆ φ. ˆ Τότε όμως τρ. ΜΑΓ ισσκελές με MΓΑ ˆ ΜΑΓ ˆ ωˆ όπως επίσης και τ τρ. ΜΑΒ με MBA ˆ MAB ˆ φˆ. Όμως Γˆ ΔΑΒ ˆ ωˆ ξείες με πλευρές κάθετες και (ΑΕ διχτόμς). Τότε όμως ˆ ˆ EAΔ EAμ 45 ωˆ διαφρές ίσων γωνιών πότε ΑΕ διχτόμς της ΔΑΜ ˆ. β) Από υπόθεση έχυμε: 3 Τότε ΖΔΕ ˆ ΖΕΔ ˆ ωˆ φ. ˆ Άρα τρ.ζδε ισσκελές με ΖΔ=ΖΕ. β) Έστω ότι ΔΖ ΑΖ=ΓΔΔΖ=ΓΔ+ΑΖ ΒΖ ΔΖ=ΒΖ ΔΖ. ΒΖ Στ ρθ. τρ. ΖΔΒ ισχύει ΔΖ. Από θεώρημα ˆφ 30 πότε BZΔ ˆ 60. Επμένως τ ισσκελές τρ. ΔΕΖ είναι ισόπλευρ. Τότε όμως ΖΔ=ΔΕ πότε ΕΔΖΗ ρόμβς αφύ είναι παραλληλόγραμμ με δυ διαδχικές πλευρές ίσες.

4 Άσκηση 7 Σε κάθε τρ. ΑΒΓ να δείξετε ότιβ>γμ β <μ γ Απόδειξη τ ευθύ: Περιδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. πρβλές των ευθυγράμμων τμημάτων ΑΓ και ΒΔ στην ευθεία ΓΔ είναι ίσες. Έστω Α και Β ι πρβλές των Α και Β στη ΔΓ. Αν Ο η πρβλή τυ κέντρυ τυ κύκλυ στην ΔΓ και Ο ανήκει στις πρβλές των ΑΓ και ΒΔ (σχ ) θα δείξυμε ότι: ΓΑ ΔΒ. Τ τρ. ΑΒΜ και τ τρ.αμγ έχυν:.αμ=αμ κινή πλευρά. ΜΓ=ΜΓ Μ μέσ ΒΓ 3. ΑΒ<ΑΓ ή γ<β υπόθεση Από εφαρμγή ανιστικών σχέσεων τριγώνυ έχυμε M ˆ ˆ M () Τ τρ. ΒΘΜ και τ τρ. ΘΓΜ έχυν:. ΘΜ=ΘΜ κινή πλευρά. ΜΓ=ΜΓ Μ μέσ ΒΓ 3. M ˆ ˆ M από σχέση () Από την ίδια εφαρμγή πρκύπτει ότι ΒΘ<ΘΓ (Θ βαρύκεντρ) μβ μγ μβ μγ εδ. 3 3 Τ αντίστρφ απδεικνύεται με ανάλγ τρόπ. Στις ασκήσεις πυ ακλυθύν μπρείτε να παρακλυθήσετε την εξέλιξη των απδείξεων μερικών «Επώνυμων» πρτάσεων όπως είναι η ευθεία SIMSON, η ευθεία EULER και κύκλς τυ EULER. Πριν από την τελική άσκηση πυ διατυπώνεται η κάθε μια πρόταση από αυτές, πρηγύνται όσες ασκήσεις πρτάσεις συμβάλυν στην απόδειξή τυς. Υπάρχυν επίσης και μερικές ασκήσεις εφαρμγές τυς. Όλες όμως ι ασκήσεις απτελύν και αυττελείς πρτάσεις με τις πίες μπρείτε να κάνετε μια πλύ καλή επανάληψη ειδικά στα τελευταία κεφάλαια της ύλης σας όπως είναι τα κεφάλαια 5 και 6 τυ σχλικύ σας βιβλίυ. Καλό διάβασμα λιπόν. Άσκηση Δίνεται κύκλς Ο διαμέτρυ ΑΒ και χρδή ΓΔ πυ τέμνει την ΑΒ. Να δείξετε ότι ι Όμως: Ο τ μέσ της ΓΔ(ΟΟ απόστημα στη χρδή ΓΔ) Οπότε:Ο Γ=Ο Δ() Αρκεί λιπόν να απδείξυμε ότι:ο Α =Ο Β () Πράγματι: Στ τραπέζι ΑΑ ΒΒ τ Ο είναι μέσ της διαγωνίυ ΑΒ και τ ΟΟ παράλληλ στις βάσεις ΑΑ και ΒΒ (ως κάθετα στην ίδια ευθεία). Άρα θα τμήσει στ μέσ και την Α Β. Επμένως: Ο Α =Ο Β () Πρσθέτντας κατά μέλη τς () και () έχυμε: Ο Α +Ο Γ=Ο Β +Ο ΔΓΑ =ΔΒ. Αν Ο η πρβλή τυ κέντρυ τυ κύκλυ στη ΓΔ και Ο δεν ανήκει στις πρβλές των ΑΓ και ΒΔ θα δείξυμε ότι:γα =ΔΒ. Πάλι όμως ισχύει ότι: Ο Γ=Ο Δ() και Ο Α =Ο Β () 4

5 Αφαιρώντας κατά μέλη τις () και () έχυμε: Ο Γ Ο Α =Ο Δ Ο Β ΓΑ =ΔΒ. Στην περίπτωση πυ είναι ΓΔ ΑΒ, τότε η πρβλή των ΑΓ και ΔΒ στην ΓΔ είναι τα τμήματα Ο Γ και Ο Δ, όπυ Ο τ σημεί τμής της ΓΔ με την ΑΒ, Όμως Ο Γ=Ο Δ αφύ ΟΟ τ απόστημα της ΓΔ. Άσκηση 3 Έστω τρίγων ΑΒΓ και Μ τυχαί σημεί της περιγεγραμμένης περιφέρειας τυ τριγώνυ αυτύ. Αν Α και Β ι πρβλές τυ σημείυ Μ στις πλευρές ΒΓ και ΑΓ αντίστιχα να δείξετε ότι η πρβλή της πλευράς ΑΒ στην ευθεία Α Β ισύται με τ μήκς Α Β. Έστω Κ, Λ ι πρβλές των σημείων Α, Β στην ευθεία Α Β. Πρέπει να απδείξυμε ότι: ΚΛ=Β Α. Περιδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Τ τετράπλευρ είναι επίσης εγγράψιμ με τη ΜΒ διάμετρό τυ. Οπότε ι πρβλές των ΒΑ και ΜΓ στην Α Γ είναι ίσες σύμφωνα με την άσκηση άρα Γ Μ =ΛΑ (). Από () και () πρκύπτει ότι ΚΒ =ΛΑ ΚΒ +Β Λ=Β Λ+ΛΑ ΚΛ=Β Α Άσκηση 4 Απδείξτε ότι τ συμμετρικό τυ ρθκέντρυ Η ενός τριγώνυ ΑΒΓ ως πρς τ μέσ της πλευράς ΒΓ, βρίσκεται στην περιγεγραμμένη περιφέρεια τυ τριγώνυ. Απόδειξη Έστω τρίγων ΑΒΓ, Η τ ρθόκεντρ, Μ τ μέσ της πλευράς ΒΓ και Α τ συμμετρικό τυ Η ως πρς τ Μ. Τ τετράπλευρ ΒΗΓΑ ι διαγώνιι διχτμύνται. Άρα είναι παραλληλόγραμμ. Επμένως ΓΑ //ΒΗ Όμως BH ΑΓ (ύψς) Άρα ΓA ΑΓ δηλαδή ˆ ΑΓΑ 90 Όμια ΒΑ //ΓΗ πότε ΑBΑ ˆ 90. Όπως είδαμε στην άσκηση η ευθεία Α Β θα τμήσει την ΑΒ στην πρβλή τυ Μ στην ΑΒ έστω Γ ( ευθεία SIMSON). Άρα MΓ ΑΒ. Τ τετράπλευρ ΑΓ ΜΒ είναι εγγράψιμ και η ΑΜ διάμετρός τυ. Αν Μ η πρβλή τυ Μ στην ευθεία Α Β (έστω ευθεία(ε)) σύμφωνα με την άσκηση θα ισχύει: Γ Μ =ΚΒ () ( Οι πρβλές των ΜΓ και ΑΒ στη χρδή Γ Β ) 5 Επμένως τ τετράπλευρ ΑΒΑ Γ είναι εγγράψιμ δηλ. περιγεγραμμένς κύκλς τυ τριγώνυ ΑΒΓ διέρχεται από τ Α. Άσκηση 5 Απδείξτε ότι τ περίκεντρ Ο ενός τριγώνυ απέχει από κάθε πλευρά όσ τ μισό της απόστασης τυ ρθόκεντρυ από την απέναντι κρυφή της πλευράς αυτής. Έστω τρίγων ΑΒΓ και Ο τ κέντρ τυ περιγεγραμμένυ κύκλυ τυ. Αν OM BΓ και Η τ ρθόκεντρ τότε θα απδείξυμε ότι: AH OM.

6 Περιδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Μια ριακή θέση τυ Μ είναι τ ρθόκεντρ Η. Τότε τ μέσ της ΟΗ είναι τ κέντρ τυ Κύκλυ Euler, πότε θα ισχύσει: Ο Κ=Ο Ν. Παρατηρύμε ότι αν ΡΝ=ΡΚ τα σημεία Ρ και Ο θα ανήκυν τότε στη μεσκάθετ τυ ΚΝ. Επειδή τ Ο ανήκει στη μεσκάθετ τυ ΝΚ αρκεί να δείξυμε ότι και τ Ρ ανήκει σ αυτήν. Όμως τ τμήμα ΡΟ ενώνει τα μέσα των ΟΜ και ΟΗ στ τρίγων ΟΜΗ. Άρα ΡΟ //ΗΜ. Όμως HM BΓ και ΝΚ//ΒΓ. Άρα: PO NK. Άρα η ΡΟ είναι μεσκάθετς τυ Ν. Άρα ΡΝ=ΡΚ. Σύμφωνα με την άσκηση 4 τ συμμετρικό τυ ρθόκεντρυ Η ως πρς τ μέσ Μ της πλευράς ΒΤ, τ σημεί Α είναι σημεί τυ περιγεγραμμένυ κύκλυ και μάλιστα με διάμετρ ΑΑ. Άρα η ΑΑ διέρχεται από τ κέντρ τυ κύκλυ. Στ τρίγων ΑΗΑ τα Μ και Ο ενώνυν τα μέσα των ΗΑ και ΑΑ. Άρα θα ισχύει: AH OM Άσκηση 7 Να δείξετε ότι: «Κάθε ισσκελές τραπέζι είναι εγγράψιμ» Πότε είναι περιγράψιμ; Απόδειξη. Έστω ισσκελές τραπέζι ΑΒΓΣ (ΑΔ=ΒΓ) Ισχύει A ˆ B ˆ και ˆΓ Δˆ. Άρα A ˆ Γ ˆ Β ˆ Δ ˆ. Επμένως τ τραπέζι είναι εγγράψιμ. Αν ΜΝ η διάμεσς τυ τραπεζίυ τότε ΑΒΓΔ περιγράψιμ ΑΒ+ΓΔ+=ΑΔ+ΒΓΜΝ=ΑΔΜΝ=ΑΔ. Άσκηση 0 Δίνεται τρίγων ΑΒΓ, τ περίκεντρ Ο, τ ύψς ΑΔ και έστω τυχαί σημεί τυ ύψυς ΑΔ. Αν Ρ τ μέσ τυ ΟΜ και Κ, Ν τα μέσα των πλευρών ΑΓ και ΑΒ αντίστιχα δείξτε ότι: ΡΝ=ΡΚ 6

Σχετικά έγγραφα

αποδείξεις µερικών θεωρηµάτων της γεωµετρίας α λυκείου 1

αποδείξεις µερικών θεωρηµάτων της γεωµετρίας α λυκείου 1 απδείξεις µερικών θεωρηµάτων της γεωµετρίας α λυκείυ www.sonom.gr αν δύ χρδές ενός κύκλυ είναι ίσες τότε και τα απστήµατά τυς και αντιστρόφως αν τα απστήµατα δύ χρδών ενός κύκλυ τότε και ι χρδές είναι