1. 3 ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ

Transcript

1 ΜΕΡΟΣ 1.3 ΘΕΩΡΗΜ ΤΟΥ ΘΛΗ ΘΕΩΡΗΜ ΤΟΥ ΘΛΗ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜ Όταν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, τότε τα τμήματα που ορίζουν στη μία είναι ανάλογα προς τα αντίστοιχα τμήματα της άλλης. Δηλαδή όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα έχουμε: ε ε ε 1 ν είναι ε 1 //ε 2 //ε 3 τότε ε 2 ε 3 ΜΕΣΗ ΣΥΝΕΠΕΙ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΤΟΣ Κάθε ευθεία παράλληλη προς μια πλευρά ενός τριγώνου χωρίζει τις άλλες πλευρές του τριγώνου σε ίσους λόγους. ν ΚΛ// τότε Κ Λ Κ Λ x Κ Λ Και αν τότε ΚΛ// Κ Λ Κ Λ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΤΝΟΗΣΗΣ 1. ν, ΕΖ, ΗΘ, Δ είναι παράλληλες, να συμπληρώσετε τις ισότητες Ζ ΖΘ Θ α) β) γ) Θ Ζ ΠΝΤΗΣΗ Ζ Ε α) Θ 3 ΗΔ 6 1 2, β) ΖΘ Ζ ΗΕ ΕΔ , γ) Θ Η Δ 7 13

2 428 ΜΕΡΟΣ 1.3 ΘΕΩΡΗΜ ΤΟΥ ΘΛΗ 2. ν ΔΕ //, να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες : Δ Δ Ε α) β) Ε Δ Ε γ) Δ Ε δ ) Δ Ε ΠΝΤΗΣΗ α) Η α είναι Σωστή (Σ), σύμφωνα με το θεώρημα του Θαλή. Δ Ε β) Η β είναι Λάθος (Λ), το σωστό είναι. Δ Ε γ) Η γ είναι Λάθος (Λ), το σωστό είναι Δ Ε δ) Η δ είναι Σωστή (Σ), σύμφωνα με το θεώρημα του Θαλή. 3. Ένας μαθητής ισχυρίστηκε ότι στο διπλανό τραπέζιο Δ η ΕΖ είναι παράλληλη στις βάσεις του. Είχε δίκιο ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. επομέ- ΠΝΤΗΣΗ E 4 EΔ και. Επειδή είναι BZ 5 Z νως οι ευθείες δεν είναι παράλληλες. 4. Στο διπλανό σχήμα είναι ε 1 // ε 2 // ε 3. Να υπολογίσετε τους λόγους Ο Ο α) β ) γ) δ) Ο Ο E ΕΔ BZ Ζ

3 ΜΕΡΟΣ 1.3 ΘΕΩΡΗΜ ΤΟΥ ΘΛΗ 429 ΠΝΤΗΣΗ Ο Ο' 4 ' ' 2 1 α) 2, β ) ' ' 2 Ο Ο' 6 3 ' ' 7 δ) ' ' 2 5. Στο διπλανό σχήμα είναι // ε // Δ. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε λόγο της στήλης τον ίσο του αριθμό από τη στήλη. Ο Ο' 3, γ) Ο Ο' 4, Στήλη Στήλη Κ 2 α. 1. Κ 3 1 Κ 2. β γ. Κ 4. 3 ΠΝΤΗΣΗ Κ Κ 3 1 α., β. Κ ΚΔ 6 2 α β γ Κ ΚΔ 6 Δ Δ 9, γ. 3 Κ Κ 3 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΛΗΜΤ ΣΚΗΣΗ 1 Στο τραπέζιο Δ η ΕΖ είναι παράλληλη στις βάσεις του. Να υπολογίσετε τo ευθύγραμμo τμήμα Ζ. Επειδή ΕΔ Δ Ε 18cm 6cm 12cm.Επομένως είναι :

4 430 ΜΕΡΟΣ 1.3 ΘΕΩΡΗΜ ΤΟΥ ΘΛΗ Ζ Ε Ζ 6cm Ζ 1 ή ή Ζ ΕΔ 14cm 12cm 14cm 2 ότι: 2(Ζ) 14cm ή Ζ 7cm. ΣΚΗΣΗ 2 Στο τραπέζιο Δ η ΕΖ είναι παράλληλη στις βάσεις του. Να υπολογίσετε τα ευθύγραμμα τμήματα Ζ και Ζ.. πό την σχέση αυτή προκύπτει Εφαρμόζοντας το θεώρημα του Θαλή έχουμε : Ε Ζ 4 Ζ ή ή 10(Ζ) 32 ή Ζ 3,2, Ζ-Ζ8-3,24,8 Δ 10 8 ΣΚΗΣΗ 3 Στο τρίγωνο είναι ΔΕ //. Nα υπολογίσετε τo x. Εφαρμόζοντας το θεώρημα του Θαλή έχουμε : Δ Ε x 18 ή ή x ή x Δ Ε 8 x ΣΚΗΣΗ 4 O Στο διπλανό σχήμα είναι ε 1 // ε 2 Να υπολογίσετε τα ευθύγραμμα τμήματα Ο και ΕΖ. 21 A B Δ 18 Ε Ζ ε 1 ε 2

5 ΜΕΡΟΣ 1.3 ΘΕΩΡΗΜ ΤΟΥ ΘΛΗ 431 Εφαρμόζοντας το θεώρημα του Θαλή έχουμε : 21 Ο 18. Τότε : ΕΖ 21 Ο 210 ή 14 (Ο) 210 ή Ο και ή 21 (ΕΖ) 252 ή ΕΖ ΕΖ 21 ΣΚΗΣΗ 5 Ο Ο Δ ΟΕ ΕΖ ή Στο τρίγωνο είναι ΔΕ //, EZ // AB. Να υπολογίσετε τo x. Επειδή το τετράπλευρο ΔΕΖ έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες είναι παραλληλόγραμμο, επομένως Δ ΕΖ 4. Έχουμε τώρα : AΔ Ε 5 x ή ή 4x 30 ή x 30 7, 5. Δ Ε ΣΚΗΣΗ 6 Στο διπλανό σχήμα είναι // ΚΛ // Δ Να υπολογίσετε τα ευθύγραμμα τμήματα ΟΚ και Κ. πό την παραλληλία των και ΚΛ προκύπτει ότι : Ο ΟΛ ή, ή 12 (ΟΚ) 180 ή ΟΚ 15 Ο ΟΚ 18 ΟΚ 12 Παρόμοια είναι : ΟΛ ΛΔ ή, ή 10 (Κ) 90 ή Κ 9 ΟΚ Κ 15 Κ 10

6 432 ΜΕΡΟΣ 1.3 ΘΕΩΡΗΜ ΤΟΥ ΘΛΗ ΣΚΗΣΗ 7 Στο διπλανό σχήμα είναι ΕΖ // Δ και ΕΗ //. Να υπολογίσετε τα x, y. Επειδή Ζ Δ ΖΔ είναι Ζ 18 x.πό την παραλληλία των ΖΕ Ζ Ε 18 x 8 και Δ έχουμε : ή ή ΖΔ Ε x 12 8x 12(18 x) ή 8x x ή 8x + 12x 216 ή x 216 ή x 10, Παρόμοια από την παραλληλία των ΗΕ και έχουμε : Η Ε y 8 72 ή,ή 12y 72 ή y 6. Η Ε ΣΚΗΣΗ 8 Κάποιος συναρμολόγησε μια πτυσσόμενη σιδερώστρα, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα και διαπίστωσε ότι η σανίδα δεν ήταν οριζόντια. Πού έγινε το λάθος; ια να είναι η σανίδα οριζόντια πρέπει να είναι //Δ,δηλαδή να ισχύει η Ο Ο 34 cm 28 cm αναλογία ή ή ή η ο- Ο ΟΔ 68 cm 65 cm ποία είναι λάθος, άρα δεν ισχύει η παραπάνω αναλογία και η δεν είναι παράλληλη με την Δ.

7 ΜΕΡΟΣ 1.3 ΘΕΩΡΗΜ ΤΟΥ ΘΛΗ 433 ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΤΙΚ ΘΕΜΤ Ζ 1. α) Να υπολογίσετε το λόγο. β) Να τοποθετήσετε στη ένα σημείο Μ και στη ένα σημείο Ν ώστε Μ Ν 2. 7 Ε Ζ α) Είναι Ζ Ε 4. 7 β) Όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα παίρνουμε ένα σημείο Μ πάνω στην έτσι ώστε Μ2 και από το σημείο αυτό φέρνουμε παράλληλη προς την που τέμνει την στο σημείο Ν και με τη βοήθεια του θεωρήματος του Θαλή έχουμε Μ Ν 2 7 Μ Ε Ν Ζ 2. Είναι ΕΖ//. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Ε Ζ

8 434 ΜΕΡΟΣ 1.3 ΘΕΩΡΗΜ ΤΟΥ ΘΛΗ Ε Ζ Είναι 1 οπότε ΕΖ// (από γνωστή πρόταση) Ε Ζ 3. ν οι κύκλοι του σχήματος έχουν το ίδιο κέντρο Κ, να δείξετε ότι //Δ. Κ Δ Κ Κ ρ Είναι όπου ρ, R είναι οι ακτίνες του μικρού και του μεγάλου ΚΔ Κ R κύκλου αντίστοιχα. Οπότε //Δ (από γνωστή πρόταση).