Βασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων

Transcript

1 Η έννοια του Πειράµατος Τύχης. 9 3 Το σύνολο των πιθανών εκβάσεων ενός πειράµατος τύχης καλείται δειγµατοχώρος ήδειγµατικόςχώρος (sample space)καισυµβολίζεταιµεωήµε S.Έναστοιχείοω ή s του δειγµατικού χώρου Ω ή S καλείται δειγµατικό στοιχείο. Ένας δειγµατοχώρος είναι διακριτός αν το πλήθος των στοιχείων του είναι πεπερασµένο ή άπειρο αλλά αριθµήσιµο, διαφορετικά ο δειγµατοχώρος είναι µη διακριτός. Ένα γεγονός ή ενδεχόµενο είναι ένα υποσύνολο του δειγµατοχώρου. Για διακριτούς δειγµατοχώρουc, κάθε υποσύνολο του δειγµατοχώρου είναι ένα γεγονός. Ένα γεγονός το οποίο περιέχει ένα µόνο στοιχείο του Ω καλείται απλό ή στοιχειώδες γεγονός. 6

2 Η έννοια της Πιθανότητας Υπάρχουν πολλές επαναλαµβανόµενες καταστάσεις στη φύση για τις οποίες µπορούµε να προβλέψουµε από προηγούµενη εµπειρία τι θα συµβεί κατά µέσον όρο, αλλά όχι ακριβώς τι θα συµβεί. Σε τέτοιες περιπτώσεις λέµε ότι οι εµφανίσεις είναι τυχαίες. Προδιαγράφουµε ένα στοιχειώδες πείραµα τύχης. Καθορίζουµε όλες τις πιθανές εκβάσεις του στοιχειώδους πειράµατος τύχης. Επαναλαµβάνουµε το στοιχειώδες πείραµα πολλές φορές κάτω από οµοιόµορφες συνθήκες (φαινοµενικά τουλάχιστον) και παρατηρούµε τις εκβάσεις του πειράµατος. Ονοµάζουµεσχετικήσυχνότητατουγεγονότος A σε δοκιµέςτολόγο A Όπου A είναι η φορές που εµφανίστηκε το γεγονός A στις επαναλήψεις του πειράµατος τύχης. Οι σχετικές συχνότητες πραγµατοποίησης των ενδεχοµένων ενός πειράµατος σταθεροποιούνται γύρω από κάποιους αριθµούς (όχι πάντοτε ίδιους), καθώς ο αριθµός των δοκιµών ενός πειράµατος επαναλαµβάνεται απεριόριστα (στατιστική οµαλότητα ή νόµος των µεγάλων αριθµών). -

3 Εµπειρική Πιθανότητα Στο απλό γεγονός A αντιστοιχίζουµε ένα µη αρνητικό πραγµατικό αριθµό A) που ονοµάζεται πιθανότητα εµφάνισης (probability of occurrece) και ορίζεται ως Η εµπειρική πιθανότητα είναι A) = lim α) µη αρνητική A) για κάθε γεγονός A, β) νορµαλισµένη Ω) =, γ) πεπερασµένως προσθετική A + B) = A) + B) για οποιαδήποτε ξένα γεγονόταακαιβ. Κλασικός Ορισµός Πιθανότητας Ο κλασικός ορισµός της πιθανότητας είναι: A A) Αριθµός ευνοϊκών αποτελεσµάτων Ολικός αριθµός αποτελεσµάτων Θα πρέπει ο δειγµατοληπτικός χώρος να είναι διακριτός και τα απλά ενδεχόµενα να είναι ισοπίθανα. -3

4 Σεπείραµατύχηςυπάρχουν Nπιθανέςεκβάσεις A, A,, A Ν, πουείναιαµοιβαία αποκλειόµενες (mutually exclusive), δηλαδή, η εµφάνιση οποιασδήποτε έκβασης αποκλείει την εµφάνιση όλων των άλλων. Για όλα της δυνατές εκβάσεις ισχύει N = A ) = Η από κοινού πιθανότητα εµφάνισης δύο γεγονότων Α και Β είναι AB A, B) = lim Όπου ΑΒ είναι η φορές που εµφανίστηκε το συνδυασµένο γεγονός (Α,Β) στις επαναλήψεις του πειράµατος τύχης. Ο λόγος AB A παριστάνει τη σχετική συχνότητα της εµφάνισης του γεγονότος B δοθέντος ότι έχει εµφανιστεί το γεγονός A. Για µεγάλο πλήθος επαναλήψεων του πειράµατος τύχης ο λόγος AB A ορίζει την πιθανότητα εµφάνισης του γεγονότος B δοθέντος ότι έχει εµφανιστεί το γεγονός A. Η πιθανότητα αυτή αναφέρεται ως υποσυνθήκη πιθανότητα και συµβολίζεται ως B A), δηλαδή, B A) = lim AB A -4

5 Για µη διακριτούς δειγµατοχώρους, δεν είναι δυνατό να εκχωρήσουµε σε κάθε υποσύνολο του δειγµατοχώρου Ω µία πιθανότητα χωρίς να θυσιάσουµε θεµελιώδεις διαισθητικές ιδιότητες της πιθανότητας. Για να ξεπεράσουµε τη δυσκολία αυτή, ορίζουµε ως σ-πεδίο B στο δειγµατοχώρο Ω µία συλλογή από υποσύνολα του Ω τέτοια ώστε να ικανοποιούνται οι ακόλουθες συνθήκες Ω B Αν ένα υποσύνολο (γεγονός) E B τότε c E B Αν Ei B για όλα τα i, τότε U i = Ei B Ορίζουµε ένα µέτρο πιθανότητας στο B ως µία συνάρτηση η οποία αντιστοιχίζειµηαρνητικέςτιµέςγιαόλαταγεγονότα Eστο Bέτσιώστενα ικανοποιούνται οι ακόλουθες συνθήκες -5

6 Βασικά αξιώµατα της πιθανότητας. Η πιθανότητα όλου του δειγµατοχώρου Ω (δηλαδή του βέβαιου ενδεχόµενου) είναι ίσηµεένα.. Η πιθανότητα ενός ενδεχόµενου E περιορίζεται στο διάστηµα [, ] ( ), E ( Ω) E 3. Για ασυµβίβαστα (ή αµοιβαίως αποκλειόµενα) γεγονότα (δηλαδή, γεγονότα για τα οποία για όλα τα όπου είναι το κενό σύνολο), έχουµε E i Ω ( ) E = ) U E j = E i= i E i= i, E, 3 i j E,K Η τριάδα (Ω, B, ) ονοµάζεται χώρος πιθανότητας. -6

7 Όπου ( E E Ιδιότητες των πιθανοτήτων Α. Προσθετικόςνόµοςτωνπιθανοτήτων. Γιαδύοοποιαδήποτεενδεχόµενα E και E ισχύει ( E E ) = E ) + E ) E ) E ) είναι η συνδυασµένη πιθανότητα, δηλαδή, η πιθανότητα να εµφανισθούντα E και E µαζί (joit probability). Β. Γιατατυχαίαενδεχόµενα E, E, E γιαταοποία ισχύει E i E j = για i j και Ε Ε K Ε ( Ε) = Ε S) = [ Ε ( Ε Ε K Ε )] [( Ε Ε ) ( Ε Ε ) ( Ε )] = K Ε ( Ε Ε ) + Ε Ε ) + + Ε Ε ) = K = Ω Ταενδεχόµενα E, E,, E λέµεότιείναιαµοιβαίααποκλειόµεναήασυµβίβαστα ανάδύοκαιπλήρη. -7

8 Γ. Αν E E =Ω και E E =, τότετο E c λέγεται συµπληρωµατικότου C C ενδεχόµενου E, δηλώνει το γεγονός να µη συµβεί το E και ισχύει C ( E ) = E). ΓιαδύοενδεχόµεναΕ καιε µε E ισχύουν E E ) ( ) και E E ) ( E ) ( ) ( E ( E Ε. Η πιθανότητα του Ε µε την προϋπόθεση ότι πραγµατοποιήθηκε το Ε, λέγεται δεσµευµένη ή υπό συνθήκη πιθανότητα (coditioal probability), συµβολίζεται µε E E ) καιορίζεταιως ( E E ) = ( E), ), E ( E E ) αλλιώς ύοενδεχόµεναε καιε λέγονταιστατιστικάανεξάρτηταόταν ( E E ) = E ) ) ήόταν E E ) = ( ) E ( E -8

9 . Ο πολλαπλασιαστικός νόµος των πιθανοτήτων E E) = E E) ( E) = ( E E ( E. ( E E ) = ( E E E E ) 3. Για ένα σύνολο Ε, Ε,, Ε από αµοιβαία αποκλειόµενα πλήρη ενδεχόµενα ισχύει το θεώρηµα ολικής πιθανότητας { } i i E = m ( A) = A E ) E ) = Τα γεγονότα αποτελούν µία διαµέριση του δειγµατοχώρου Ω. καιοκανόναςτου Bayes ( E A) = m = ( A E ) E ) ( A E ) E ) -9

10 Μία πηγή πληροφορίας παράγει τα σύµβολα και µε πιθανότητες,6 και,4 αντίστοιχα. Η έξοδος της πηγής µεταδίδεται µέσα από κανάλι που έχει πιθανότητα σφάλµατος (µετατρέπειένα σε ήένα σε ίσηµε,. = είσ =,6 εξ = =,9 = εξ = ; είσ = =,4 εξ = =,9 = εξ = ; Η πιθανότητες ( και συνήθως αναφέρονται ως a priori probabilities. Επίσης οι πιθανότητες ( εξ = και εξ = τυπικά είναι γνωστές πριν την πραγµατοποίηση του πειράµατος. A) Η πιθανότητα η έξοδος του καναλιού να είναι δίνεται = N = A B ) B = + =,9,6+,,4=,58 Η πιθανότητα η έξοδος του καναλιού να είναι δίνεται = + =,,6+,9,4=,4 ) -

11 = είσ =,6 εξ = =,9 εξ = =,58 είσ = =,4 εξ = =,9 εξ = =,4 A B) B) ( B A) = A) Ηπιθανότηταηείσοδοςτουκαναλιούναείναι είναιυπότηνπροϋπόθεσηότιηέξοδος είναι δίνεται,9,6 = =,93,58 ) = ) = ) = ) ) ) ),9,4 =,4 ),,6 =,4 ),,4 =,58,857,43,69 Ηπιθανότητες ( ), όπου =, και =,, συνήθωςαναφέρονταιως a posteriori probabilities αφού γίνονται γνωστές µετά την πραγµατοποίηση πειραµάτων. -

12 = είσ =,6 εξ = =,9 εξ = =,58 είσ = =,4 εξ = =,9 εξ = =,4 Η πιθανότητα εσφαλµένης µετάδοσης είναι e = = + είσ =,,4+,,6=, Ή αν χρησιµοποιήσουµε το διάγραµµα έχουµε = είσ =,6,93 εξ = =,58 είσ = =,4,857 εξ = =,4 e = = + εξ = (,93,58+ (,857),4=,69,58+,43,4=, -