Γράφημα ; Γειτονικές είναι κορυφές που ενώνονται με ακμή

Transcript

1 Γραφήματα

2 Θεωρία γραφημάτων Παλιό αντικείμενο 18 ος αιώνας Leonhard Euler (Ελβετός μαθηματικός): πρόβλημα γεφυρών της πόλης Königsberg Με πολλές σύγχρονες εφαρμογές Μελέτη ιδιοτήτων ηλεκτρονικών κυκλωμάτων Μελέτη χημικών συνθέσεων Mελέτη RNA/DNA Μελέτη δομών Παγκοσμίου Ιστού (World Wide Web WWW) Μελέτη διασύνδεσης υπολογιστικών συστημάτων Εύρεση συντομότερης διαδρομής μεταξύ πόλεων σε συγκοινωνιακό δίκτυο Χρονικός προγραμματισμός διαγωνισμών Ανάθεση καναλιών/συχνοτήτων

3 Γράφημα ; Διακριτή δομή Προσδιορίζει τις σχέσεις μεταξύ αντικειμένων μιας συλλογής Αποτελείται από κορυφές (vertices) ή κόμβους (nodes) και ακμές (edges) Γειτονικές είναι κορυφές που ενώνονται με ακμή

4 Τα γραφήματα ως μοντέλα: Για αναπαράσταση: Ανταγωνισμού διαφορετικών ειδών σε ένα οικολογικό περιβάλλον Ποιος επηρεάζει ποιον σε έναν οργανισμό Αποτελεσμάτων αθλητικών πρωταθλημάτων Για λύση προβλημάτων όπως: Υπολογισμός πλήθους διαφορετικών συνδυασμών πτήσεων μεταξύ δύο πόλεων σε αεροπορικό δίκτυο Προσδιορισμό του αν μπορούμε να περάσουμε από όλους τους δρόμους μιας πόλης χωρίς να περάσουμε δύο φορές από τον ίδιο δρόμο Εύρεση πλήθους χρωμάτων που απαιτούνται για να χρωματιστούν οι περιοχές χάρτη

5 Τύποι γραφημάτων Διαφορετικοί τύποι γραφημάτων ανάλογα με το είδος και το πλήθος των ακμών που συνδέουν ζεύγος κορυφών Βεβαρυμένα γραφήματα δηλ., γραφήματα με βάρη σε ακμές ή/και κορυφές χρησιμοποιούνται για αναπαράσταση και λύση ποικίλων προβλημάτων

6 Απλά γραφήματα Απλό γράφημα G=(V,E) Θέση υπολογιστή Κορυφή (Vertex) Τηλεφωνική γραμμή μεταξύ υπολογιστών Ακμή (μη κατευθυνόμενη) (Edge) Αμφίδρομες τηλεφωνικές γραμμές Κάθε ακμή συνδέει δύο ξεχωριστές κορυφές

7 Πολυγραφήματα Πολυγράφημα G=(V,E) Θέση υπολογιστή Κορυφή (Vertex) Πολλαπλές τηλεφωνικές γραμμές μεταξύ υπολογιστών Ακμές (μη κατευθυνόμενες) Αμφίδρομες τηλεφωνικές γραμμές Δύο κορυφές μπορεί να συνδέονται με παραπάνω από μία ακμές Μεγάλη δικτυακή κίνηση Κάθε απλό γράφημα είναι και πολυγράφημα Δεν ισχύει το αντίστροφο

8 Ψευδογραφήματα Ψευδογράφημα G=(V,E) Θέση υπολογιστή Κορυφή (Vertex) Πολλαπλές τηλεφωνικές γραμμές μεταξύ υπολογιστών Ακμές (μη κατευθυνόμενες) Αμφίδρομες τηλεφωνικές γραμμές Δίκτυο υπολογιστών με πολλαπλές γραμμές Δύο κορυφές μπορεί να συνδέονται με παραπάνω από μία ακμές Μεγάλη δικτυακή κίνηση Μπορεί να υπάρχουν βρόχοι Για διαγνωστικούς λόγους Δίκτυο υπολογιστών με διαγνωστικές γραμμές Στα πολυγραφήματα δεν επιτρέπονται βρόχοι Επιτρέπονται στα ψευδογραφήματα

9 Κατεύθυνση στις ακμές; Συμμετρική σχέση μεταξύ των άκρων της ακμής Ηακμήαπλάτασυνδέει Μη συμμετρική σχέση μεταξύ των άκρων ακμών κατευθυνόμενες ακμές κατευθυνόμενα γραφήματα

10 Κατευθυνόμενα γραφήματα Κατευθυνόμενα γραφήματα G=(V,E) Θέση υπολογιστή Κορυφή (Vertex) Πολλαπλές τηλεφωνικές γραμμές μεταξύ υπολογιστών Ακμές (κατευθυνόμενες) Κατευθυνόμενες τηλεφωνικές γραμμές Κάποιος υπολογιστής μπορεί να δέχεται μόνο δεδομένα και να μην επιτρέπεται να στείλει Στα κατευθυνόμενα γραφήματα επιτρέπονται βρόχοι αλλά όχι πολλαπλές ακμές (ίδιας κατεύθυνσης) μεταξύ κορυφών

11 Κατευθυνόμενα πολυγραφήματα Κατευθυνόμενα πολυγραφήματα G=(V,E) Θέση υπολογιστή Κορυφή (Vertex) Πολλαπλές τηλεφωνικές γραμμές μεταξύ υπολογιστών Πολλαπλές ακμές (κατευθυνόμενες) Κατευθυνόμενες τηλεφωνικές γραμμές Στα κατευθυνόμενα πολυγραφήματα επιτρέπονται πολλαπλές ακμές μεταξύ κορυφών

12 Είδη γραφημάτων: σύνοψη

13 Μοντέλα γραφημάτων Γράφημα επικάλυψης περιβάλλοντος στην οικολογία είδος Ακμή = τα είδη ανταγωνίζονται (κάποιοι από τους διατροφικούς τους πόρους είναι ίδιοι)

14 Μοντέλα γραφημάτων Γράφημα γνωριμιών Για την αναπαράσταση σχέσεων μεταξύ ανθρώπων, όπως π.χ., αν γνωρίζονται άτομα Ακμή = τα άτομα γνωρίζονται

15 Μοντέλα γραφημάτων Γράφημα επίδρασης Σε μελέτες συμπεριφοράς παρατηρείται ότι κάποια άτομα μπορούν να επηρεάσουν άλλα άτομα Ακμή = το άτομο στην αρχή επηρεάζει το άτομο στο τέλος

16 Μοντέλα γραφημάτων Γράφημα του Hollywood Κορυφές ηθοποιοί Ακμή μεταξύ κορυφών οι αντίστοιχοι ηθοποιοί έχουν παίξει μαζί σε ταινία Internet Movie Database, 11/2001: κορυφές > ακμές

17 Μοντέλα γραφημάτων Αθλητικά πρωταθλήματα με αποκλεισμό του ηττημένου Κάθε ομάδα παίζει με άλλη ομάδα μόνο μία φορά Κορυφές ομάδες Κατευθυνόμενη ακμή μεταξύ κορυφών Α, Β ηομάδαα νίκησε την ομάδα Β

18 Μοντέλα γραφημάτων Γραφήματα συνεργασίας Κατασκευή μοντέλου για συνεργατική συγγραφή επιστημονικών εργασιών Κορυφές συγγραφείς Ακμή μεταξύ κορυφών οι αντίστοιχοι συγγραφείς έχουν γράψει μαζί επιστημονική εργασία > κορυφές > ακμές

19 Μοντέλα γραφημάτων Γραφήματα (τηλεφωνικών) κλήσεων Κορυφές τηλεφωνικοί αριθμοί (κατευθυνόμενη) Ακμή μεταξύ κορυφών τηλεφωνική κλήση

20 Μοντέλα γραφημάτων Το γράφημα του Παγκόσμιου Ιστού Κορυφές ιστοσελίδες (κατευθυνόμενη) Ακμή μεταξύ κορυφών Α και Β υπάρχει σύνδεσμος από την ιστοσελίδα Α στην ιστοσελίδα Β Τέτοια γραφήματα χρησιμοποιούν οι μηχανές αναζήτησης για δημιουργία ευρετηρίων ιστοσελίδων

21 Μοντέλα γραφημάτων Γραφήματα προτεραιότητας και ταυτόχρονη επεξεργασία Κορυφές εργασίες (κατευθυνόμενη) Ακμή μεταξύ κορυφών Α και Β η εργασία Α πρέπει να πραγματοποιηθεί πριν την εργασία Β

22 Γραφήματα ως μοντέλα δικτύων το Internet (Arpanet) το Δεκέμβριο του 70 με μόνο 13 sites

23 Γραφήματα ως μοντέλα δικτύων το Internet (Arpanet) το Δεκέμβριο του 70 με μόνο 13 sites

24 Γραφήματα ως μοντέλα δικτύων Χρησιμότητα γραφημάτων: αποτελούν μαθηματικά μοντέλα για δικτυακές δομές Εμφανίζονται σε διάφορες περιοχές όταν είναι χρήσιμη η αναπαράσταση του πώς είναι φυσικά ή λογικά συνδεδεμένα αντικείμενα σε μια δικτυακή δομή Δίκτυα επικοινωνιών (π.χ., Arpanet) Κόμβοι = υπολογιστικές συσκευές που ανταλλάσσουν μηνύματα Ακμές = άμεσοι σύνδεσμοι που μεταδίδουν μηνύματα Κοινωνικά δίκτυα Κόμβοι = άτομα ή ομάδες ατόμων Ακμές = αναπαριστούν κάποιας μορφής κοινωνική αλληλεπίδραση Δίκτυα πληροφοριών Κόμβοι = πηγές πληροφοριών π.χ., σελίδες Web ήαρχεία Ακμές = λογικοί σύνδεσμοι π.χ., hyperlinks, citations, cross references

25 Γραφήματα ως μοντέλα δικτύων Δίκτυα μεταφορών: κόμβοι = προορισμοί, ακμές = απευθείας συνδέσεις

26 Γραφήματα ως μοντέλα δικτύων Δίκτυα εξαρτήσεων: κόμβοι = εργασίες, ακμές = υποδείξεις ότι κάποια εργασία πρέπει να προηγηθεί κάποιας άλλης, π.χ., αποδοτική χρονοδρομολόγηση σε πολύπλοκα συστήματα λογισμικού, βιομηχανικές διαδικασίες

27 Γραφήματα ως μοντέλα δικτύων Κατασκευαστικά δίκτυα: κόμβοι = αρμοί, ακμές = φυσικές διασυνδέσεις

28 Ασκήσεις

29

30 Ασκήσεις Απλό γράφημα Ψευδογράφημα Κατευθυνόμενο γράφημα Κατευθυνόμενο πολυγράφημα Απομακρύνω βρόχους και πολλαπλές ακμές

31 Ασκήσεις

32

33 Ασκήσεις 6

34 Ασκήσεις

35 Βασική ορολογία Μη κατευθυνόμενο γράφημα Γειτονικές κορυφές u,v: υπάρχει ακμή (u,v) μεταξύ τους Ηακμή(u,v) είναι προσκείμενη στις κορυφές u και v Ηακμή(u,v) συνδέει τις κορυφές u και v Οι κορυφές u και v είναι τελικά σημεία της ακμής (u,v) Βαθμός κορυφής v: πλήθος ακμών που πρόσκεινται στην κορυφή v Συμβολίζουμε deg(v) Κορυφές με βαθμό 0: απομονωμένες Κορυφές με βαθμό 1: εκκρεμείς

36 Παράδειγμα

37 Το Θεώρημα της Χειραψίας Τι θα έχουμε αν προσθέσουμε τους βαθμούς όλων των κορυφών ενός γραφήματος; Ακμή με δύο σημεία χειραψία με δύο χέρια ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΧΕΙΡΑΨΙΑΣ: Έστω G=(V,E) μη κατευθυνόμενο γράφημα με e ακμές. Τότε 2e = deg( v) v V Ισχύει ακόμα και αν υπάρχουν πολλαπλές ακμές και βρόχοι Κάθε ακμή συνεισφέρει 2 στο άθροισμα αφού προσπίπτει σε δύο ακριβώς κορυφές. Το άθροισμα των βαθμών των κορυφών μη κατευθυνόμενου γραφήματος είναι άρτιος αριθμός.

38 Το Θεώρημα της Χειραψίας Πόσες ακμές υπάρχουν σε γράφημα με 10 κορυφές, που κάθε μία είναι βαθμού 6; Το άθροισμα των βαθμών των κορυφών είναι 6*10=60 Επειδή ισούται με το διπλάσιο του πλήθους των ακμών: 2*e=60 e=30

39 Ειδικά απλά γραφήματα

43 Διμερή γραφήματα Οι κορυφές διαμερίζονται σε δύο υποσύνολα Ακμές υπάρχουν μόνο μεταξύ κορυφών σε διαφορετικά υποσύνολα

44 Παράδειγμα Είναι διμερή τα παρακάτω γραφήματα; Διμερές Μη διμερές

45 Πλήρη διμερή γραφήματα Κ m,n Οι κορυφές διαμερίζονται σε δύο υποσύνολα Α και Β με m και n κορυφές, αντίστοιχα Ακμές υπάρχουν μόνο μεταξύ κορυφών των υποσυνόλων Α και Β Υπάρχει ακμή μεταξύ κάθε κορυφής του Α προς όλες τις κορυφές του Β και κάθε κορυφής του Β προς όλες τις κορυφές του Α

46 Εφαρμογές ειδικών τύπων Τοπικά δίκτυα γραφημάτων Διασύνδεση μίνι υπολογιστών και προσωπικών υπολογιστών με περιφερειακές συσκευές (εκτυπωτές, plotters, κτλ) Τοπολογία αστέρα Τοπολογία δακτυλίου Υβριδική τοπολογία

47 Ασκήσεις

48 Μονοπάτια, Κύκλοι Πρακτική σημασία Αποτελεσματική σχεδίαση οδεύσεων για Παράδοση αλληλογραφίας Συλλογή απορριμμάτων Διαγνωστικά σε δίκτυα υπολογιστών Μονοπάτι = ακολουθία διαδοχικών ακμών σε γράφημα Κύκλος: μονοπάτι στο οποίο η αρχική και η τελική κορυφή είναι η ίδια Απλό: μονοπάτι που δεν περιέχει την ίδια ακμή δύο φορές Μήκος μονοπατιού: πλήθος ακμών του Μονοπάτι με μήκος 0 περιέχει μία μόνο κορυφή

49 Μονοπάτια (Paths) Συχνά αντικείμενα διανύουν τις ακμές ενός γραφήματος πηγαίνοντας από κόμβο σε κόμβο Επιβάτες ακολουθούν σειρά αεροπορικών πτήσεων Πληροφορία περνάει από άτομο σε άτομο σε ένα κοινωνικό δίκτυο Χρήστης ή λογισμικό επισκέπτεται σειρά Web σελίδων ακολουθώντας links Μονοπάτι σε ένα γράφημα είναι ακολουθία κόμβων με την ιδιότητα ότι κάθε διαδοχικό ζευγάρι κόμβων στην ακολουθία συνδέεται με ακμή Πολλές φορές σκεφτόμαστε ως μονοπάτι όχιμόνοτουςκόμβουςαλλάκαιτις ακμές της ακολουθίας Γενικά σε ένα μονοπάτι κόμβοι μπορεί να επαναλαμβάνονται Μονοπάτια που δεν περιέχουν επαναλήψεις κόμβων λέγονται απλά

50 Κύκλοι (Cycles) Ειδική περίπτωση μη απλού μονοπατιού με τη μορφή δακτυλίου Κύκλος = μονοπάτι με τουλάχιστον 3 ακμές στο οποίο ο πρώτος και ο τελευταίος κόμβος είναι ο ίδιος αλλά όλοι οι υπόλοιποι κόμβοι είναι διακριτοί Υπάρχουν πολλοί κύκλοι στο Arpanet Σχεδιάστηκε έτσι ώστε κάθε ακμή να ανήκει σε κάποιον κύκλο Αν κάποια ακμή γινόταν μη λειτουργική πάλι θα υπήρχε τρόπος επικοινωνίας ανάμεσα σε οποιουσδήποτε δύο κόμβους

51 Κύκλοι (Cycles) Σε δίκτυα επικοινωνιών και μεταφορών οι κύκλοι εισάγουν πλεονασμό (redundancy) Κύκλοι υπάρχουν και στα κοινωνικά δίκτυα Μια στενή φίλη συμμαθήτρια της ξαδέρφης του συζύγου μου είναι συνάδελφος του αδερφού μου Οκύκλοςείναι: εγώ, ο σύζυγος, η ξαδέρφη του, η φίλη συμμαθήτριά της, ο συνάδελφός της (ο αδερφόςμου), εγώ εγώ οσυνάδελφόςτης = αδερφό μου o σύζυγος ηξαδέρφητου ησυμμαθήτριάτης

52 Μονοπάτια σε γραφήματα a,d,c,f,e: μονοπάτι d,e,c,a: όχι μονοπάτι b,c,f,e,b: κύκλος με μήκος 4 a,b,e,d,a,b: όχι απλό μονοπάτι μήκους 5

53 Απλά μονοπάτια σε γραφήματα: εφαρμογές Μονοπάτια σε γραφήματα γνωριμιών Υπάρχει απλό μονοπάτι μεταξύ ανθρώπων Α και Β αν υπάρχει αλυσίδα ανθρώπων που συνδέει τους Α και Β Άνθρωποι γειτονικοί στην αλυσίδα = γνωρίζονται Six degrees of separation (facebook): κάθε ζεύγος ανθρώπων στον κόσμο συνδέεται με μια μικρή αλυσίδα ανθρώπων με μήκος το πολύ 6 Πείραμα Milgram

54 Απλά μονοπάτια σε γραφήματα: εφαρμογές Μονοπάτια σε γραφήματα συνεργασίας Κορυφές που αναπαριστούν συγγραφείς Α και Β συνδέονται με μονοπάτι όταν υπάρχει ακολουθία συγγραφέων που ξεκινάει από την κορυφή Α και καταλήγει στη Β ώστε οι συγγραφείς που ορίζουν κάθε ακμή να έχουν γράψει μαζί επιστημονική εργασία Μαθηματικοί/Επιστήμονες Υπολογιστών: αριθμός Erdös ενός επιστήμονα Ε = μήκος μικρότερου απλού μονοπατιού μεταξύ του Ε και του Paul Erdös

55

56 Απλά μονοπάτια σε γραφήματα: εφαρμογές Μονοπάτια στο γράφημα του Hollywood Κορυφές που αναπαριστούν ηθοποιούς Α και Β συνδέονται με μονοπάτι όταν υπάρχει ακολουθία ηθοποιών που ξεκινάει από την κορυφή Α και καταλήγει στη Β ώστε οι ηθοποιοί που ορίζουν κάθε ακμή να έχουν παίξει μαζί σε ταινία Ηθοποιοί Hollywood: αριθμός Bacon ενός ηθοποιού Α = μήκος μικρότερου απλού μονοπατιού μεταξύ του Α και του Kevin Bacon

57 Συνεκτικότητα (Connectivity) Σε ένα γράφημα, υπάρχει μονοπάτι από κάθε κόμβο σε κάθε άλλον κόμβο; ΝΑΙ: συνεκτικό γράφημα Π.χ., Arpanet Τα περισσότερα δίκτυα επικοινωνιών και μεταφορών πρέπει να είναι συνεκτικά Αποσκοπούν στη μεταφορά κίνησης μεταξύ των κόμβων τους Δεν υπάρχει πάντα απαίτηση για συνεκτικότητα Σε ένα κοινωνικό δίκτυο μπορεί κάλλιστα να μην υπάρχει τρόπος επικοινωνίας μεταξύ δύο ατόμων

58 Συνεκτικότητα σε μη κατευθυνόμενα γραφήματα Συνεκτικό γράφημα: υπάρχει απλό μονοπάτι μεταξύ οποιωνδήποτε δύο (διαφορετικών) κορυφών του συνεκτικό Μη συνεκτικό

59 Συνεκτικότητα σε μη κατευθυνόμενα γραφήματα Μη συνεκτικό γράφημα είναι ένωση δύο ή περισσότερων συνεκτικών υπογραφημάτων (= συνεκτικών συνιστωσών) που ανά ζεύγη δεν έχουν κοινές κορυφές

60 Συνεκτικότητα σε κατευθυνόμενα γραφήματα Ισχυρά συνεκτικό κατευθυνόμενο γράφημα: αν a και b κορυφές του γραφήματος, υπάρχει διαδρομή από την a στη b και από τη b στην a Ασθενώς συνεκτικό κατευθυνόμενο γράφημα: αν a και b κορυφές του γραφήματος, υπάρχει διαδρομή από την a στη b ισχυρά συνεκτικό ασθενώς συνεκτικό

61 Μη συνεκτικότητα Γράφημα συνεργασίας για το Κέντρο Βιολογικών Ερευνών Structural Genomics of Pathogenic Protozoa (SGPP) Κόμβοι = ερευνητές Ακμές = οι ερευνητές έχουν κοινά papers Αποτελείται από 3 συνιστώσες

62 Μη συνεκτικά γραφήματα Μη συνεκτικό γράφημα εμφανίζεται χωρισμένο σε «κομμάτια» που είναι ομάδες κόμβων Κάθε τέτοια ομάδα ή συνεκτική συνιστώσα είναι συνεκτικό γράφημα δεν υπάρχουν επικαλύψεις μεταξύ διαφορετικών ομάδων

63 Συνεκτικές συνιστώσες (Connected components) Συνεκτική συνιστώσα ενός γραφήματος είναι υποσύνολο κόμβων τέτοιο ώστε: Υπάρχει μονοπάτι μεταξύ οποιωνδήποτε δύο κόμβων σε κάθε υποσύνολο «Η συνιστώσα είναι όντως συνεκτική εσωτερικά» Κάθε υποσύνολο δεν ανήκει σε κάποιο μεγαλύτερο σύνολο με την ιδιότητα ότι υπάρχει μονοπάτι μεταξύ οποιωνδήποτε δύο κόμβων στο σύνολο «Η συνιστώσα είναι όντως αυτόνομο κομμάτι του γραφήματος κι όχι μέρος ενός μεγαλύτερου κομματιού»

64 Συνεκτικές συνιστώσες (Connected components) Όχι συνεκτική συνιστώσα αφού είναι μέρος μεγαλύτερου «κομματιού» Συνεκτική συνιστώσα

65 Συνεκτικές συνιστώσες (Connected components) Διάσπαση γραφήματος σε συνεκτικές συνιστώσες περιγραφή της δομής του Σε κάθε συνεκτική συνιστώσα μπορεί να υπάρχει πλουσιότερη δομή που είναι σημαντική για την κατανόηση των χαρακτηριστικών του δικτύου

66 Συνεκτικές συνιστώσες (Connected components) Διάσπαση γραφήματος σε συνεκτικές συνιστώσες περιγραφή της δομής του Σε κάθε συνεκτική συνιστώσα μπορεί να υπάρχει πλουσιότερη δομή που είναι σημαντική για την κατανόηση των χαρακτηριστικών του δικτύου Εξέχων κόμβος στο κέντρο και πυκνές συμπαγείς ομάδες συνδεδεμένες με τον κόμβοαυτόαλλάόχιμεταξύτους ημεγαλύτερησυνεκτικήσυνιστώσαθααποδομούτανσε3 διακριτές συνιστώσες αν απομακρυνόταν ο εξέχων κόμβος Αναλύοντας γραφήματα ως προς τις πυκνές, συνεκτικές περιοχές τους και τα όριά τους αποτελεί εξαιρετική προσέγγιση για την κατανόηση της δομής του δικτύου

67 Απόσταση σε γραφήματα 1 η ενδιαφέρουσα ερώτηση: υπάρχει μονοπάτι μεταξύ δύο κόμβων; 2 η ενδιαφέρουσα ερώτηση: τι μήκος έχει ένα τέτοιο μονοπάτι; Είναι σημαντικό να γνωρίζουμε αν η διακίνηση εντός ενός δικτύου γίνεται σύντομα (λίγα hops) ήαργά(πολλά hops) Μεταφορές Επικοινωνία στο Internet Εξάπλωση ειδήσεων ή ασθενειών Μήκος μονοπατιού = πλήθος βημάτων από την αρχή μέχρι το τέλος του = αριθμός ακμών που περιέχει 1 3

68 Απόσταση σε γραφήματα Χρησιμοποιώντας το μήκος μονοπατιού έχουμε εκτίμηση για το αν σε ένα γράφημα δύο κόμβοι είναι κοντά ή μακρυά Απόσταση δύο κόμβων σε γράφημα = μήκος του συντομότερου μονοπατιού ανάμεσά τους Π.χ., απόσταση των κόμβων LINC και SRI = 3 Αφού δεν υπάρχουν μονοπάτια μήκους 1 ή 2 ανάμεσά τους 3

69 Αναζήτηση κατά πλάτος (Breadth First Search BFS) Για πολύπλοκα γραφήματα χρειάζεται συστηματικός τρόπος καθορισμού αποστάσεων μεταξύ κόμβων τους Ο πιο προφανής και πιο αποδοτικός τρόπος μοιάζει με το πώς εντοπίζουμε αποστάσεις σε ένα δίκτυο φίλων Αρχικά, οι προσωπικοί μας φίλοι είναι σε απόσταση 1 από εμάς Μετά, εντοπίζουμε όλους τους φίλους των φίλων μας (που δεν είναι δικοί μας φίλοι) αυτοί είναι σε απόσταση 2 από εμάς Μετά, εντοπίζουμε όλους τους φίλους των φίλων των φίλων μας (που δεν είναι σε απόσταση 1 ή 2 από εμάς) αυτοί είναι σε απόσταση 3 από εμάς (...) Συνεχίζουμε, ψάχνοντας σε διαδοχικά επίπεδα καθένα από τα οποία απέχει +1 από εμάς Κάθε νέο επίπεδο περιέχει όλους τους κόμβους που Δεν έχουν ανακαλυφθεί ήδη σε προηγούμενα επίπεδα Συνδέονται με ακμή με κάποιον κόμβο προηγούμενου επιπέδου

70 Αναζήτηση κατά πλάτος (Breadth First Search BFS) Εσείς Απόσταση 1 Οι φίλοι σας Απόσταση 2 Οι φίλοι των φίλων σας Απόσταση 3 Οι φίλοι των φίλων των φίλων σας Κόμβοι που δεν έχουμε ανακαλύψει ακόμα με ακμές προς κόμβους προηγούμενων επιπέδων

71 Αναζήτηση κατά πλάτος (Breadth First Search BFS) Η τεχνική αυτή καλείται Αναζήτηση κατά Πλάτος ή Breadth First Search ή BFS Ξεκινώντας από κάποια κορυφή του γραφήματος ψάχνουμε απομακρυνόμενοι ανακαλύπτοντας νωρίτερα τις κοντινότερες κορυφές BFS: τεχνική για οργάνωση της δομής γραφημάτων Οι κόμβοι τοποθετούνται ανάλογα με την απόστασή τους από κάποιον δοσμένο αρχικό κόμβο

72 Αναζήτηση κατά πλάτος (Breadth First Search BFS) Απόσταση 1 Απόσταση 2 Απόσταση 3

73 The Small World Phenomenon Εξετάζοντας δίκτυα φιλίας διαπιστώνουμε ότι Υπάρχουν μονοπάτια που μας συνδέουν με πολλά άλλα άτομα Τα μονοπάτια αυτά είναι εξαιρετικά σύντομα Φανταστείτε ένα φίλο σας που μεγάλωσε σε άλλη χώρα Ακολουθήστε το μονοπάτι που περνάει από το φίλο σας αυτόν και προχωράει στους γονείς του και μετά στους φίλους των γονιών του Σε 3 μόνο βήματα έχετεμεταφερθείσεκάποιαάλληάκρητουκόσμου, σε διαφορετική γενιά, σε ανθρώπους σχεδόν ξένους προς εσάς Η ιδέα αυτή καλείται small world phenomenon: ο κόσμοςδείχνει «μικρός» αν σκεφτούμε πόσο σύντομα μονοπάτια φίλων μας συνδέουν με σχεδόν κάθε άλλο άτομο Για την ιδέα αυτή χρησιμοποιείται συνήθως και η φράση six degrees of separation που προέρχεται από ομώνυμο έργο του John Guare και συγκεκριμένα από την εξής φράση ενός από τους πρωταγωνιστές του: I read somewhere that everybody on this planet is separated by only six other people. Sixdegrees of separationbetween us and everyone else on this planet.

74 The Small World Phenomenon Η πρώτη σχετική πειραματική μελέτη έγινε από το Stanley Milgram και συνεργάτες του τη δεκαετία του 1960 Χωρίς την τεράστια ποσότητα πληροφορίας που διαθέτουμε σήμερα από τα κοινωνικά δίκτυα και με χρηματοδότηση μόνο $680, πειραματίστηκε για το αν όντως οι άνθρωποι συνδέονται σε ένα παγκόσμιο δίκτυο μέσω μικρών αλυσίδων φίλων Ζήτησε από 296 τυχαία επιλεγμένους αποστολείς να προωθήσουν μια επιστολή σε κάποιον άγνωστο παραλήπτη, έναν χρηματιστή που ζούσε σε κάποιο προάστιο της Βοστώνης Έδωσε στους αποστολείς κάποιες προσωπικές πληροφορίες για τον παραλήπτη συμπεριλαμβανομένων ταχυδρομικής διεύθυνσης και επαγγέλματος Τους ζήτησε να προωθήσουν την επιστολή σε κάποιον γνωστό τους με το ίδιο μικρό όνομα με τον παραλήπτη και να του ζητήσουν να κάνει το ίδιο Στόχος ήταν η επιστολή να παραδοθεί το συντομότερο δυνατόν Η επιστολή πέρασε από μια αλυσίδα ανθρώπων και κατέληξε στον παραλήπτη

75 The Small World Phenomenon 64 αλυσίδες επιτυχείς Άξονας x: πλήθος ενδιάμεσων ατόμων Άξονας y: πλήθος αλυσίδων με ίδιο πλήθος ενδιάμεσων Σχήμα: κατανομή μήκους αντίστοιχων μονοπατιών Μέσο μήκος = 6

76 The Small World Phenomenon Παρατήρηση 1: το πείραμα δεν αποτελεί απόδειξη για το six degrees of separation between us and everyone else on this planet Τα μονοπάτια ήταν προς ένα, σχετικά εύκολο παραλήπτη Πολλές επιστολές δεν παραδόθηκαν Απόπειρες για επανάληψη του πειράματος ήταν ανεπιτυχείς λόγω έλλειψης συμμετοχής Παρατήρηση 2: πόσο χρήσιμα είναι τελικά αυτά τα σύντομα μονοπάτια σε μια κοινωνία; Ακόμα κι αν μπορούμε να επικοινωνήσουμε με κάποιο άτομο μέσω μικρής αλυσίδας φίλων, πόσο χρήσιμο μας είναι κάτι τέτοιο; Σημαίνει άραγε ότι είμαστε και «κοινωνικά» κοντάσετέτοιαάτομαπαραλήπτες; Απάντηση του Milgram από την αρχική του εργασία: Αν φανταστούμε κάθε άτομο σαν το κέντρο του δικού του κοινωνικού μικρό κόσμου τότε 6 μικρά βήματα σημαίνουν 6 κόσμους μακρυά

77 The Small World Phenomenon Το πείραμα του Milgram συνέβαλε σημαντικά στην κατανόηση των κοινωνικών δικτύων Το συνολικό συμπέρασμα του Milgram είναι πλέον γενικά αποδεκτό Στα κοινωνικά δίκτυα υπάρχουν όντως πολύ σύντομα μονοπάτια μεταξύ αυθαίρετων ζευγών ατόμων Ακόμα κι αν η απόσταση μήκους 6 που μας χωρίζει από διοικούντες ή πολιτικούς δεν συνεπάγεται ανάλογη ανταμοιβή σε καθημερινή βάση η ύπαρξη όλων αυτών των πολύ σύντομων μονοπατιών δείχνει Την ενδεχόμενη ταχύτητα εξάπλωσης σεμιακοινωνίαπληροφοριών, ασθενειών και όσων μεταδίδονται Τις δυνατότητες πρόσβασης που παρέχουν τα κοινωνικά δίκτυα σε ευκαιρίες και άτομα με πολύ διαφορετικά χαρακτηριστικά

78 Κεντρικές κορυφές (Pivotal nodes ) Μια κορυφή X είναι κεντρική (pivotal) για ζεύγος διακριτών κορυφών Y και Z αν η X βρίσκεται σε κάθε συντομότερο μονοπάτι μεταξύ των Y και Z και η X είναι διαφορετική και από την Y και από την Z

82 Κορυφές φύλακες (gatekeepers) Μια κορυφή X είναι φύλακας (gatekeeper) αν για κάποιες άλλες δύο κορυφές Y και Z, κάθε μονοπάτι από την Y στην Z περνάει από την κορυφή X

83 Κορυφές φύλακες (gatekeepers) Μια κορυφή X είναι φύλακας (gatekeeper) αν για κάποιες άλλες δύο κορυφές Y και Z, κάθε μονοπάτι από την Y στην Z περνάει από την κορυφή X

84 Κορυφές φύλακες (gatekeepers) Μια κορυφή X είναι φύλακας (gatekeeper) αν για κάποιες άλλες δύο κορυφές Y και Z, κάθε μονοπάτι από την Y στην Z περνάει από την κορυφή X Ο ορισμός δίνει μια αίσθηση καθολικότητας Απαιτεί να λάβουμε υπόψιν μονοπάτια στο συνολικό γράφημα για να αποφασίσουμε αν κάποια κορυφή φύλακας (gatekeeper)

85 Κορυφές τοπικοί φύλακες (local gatekeepers) Μια πιο τοπική εκδοχή του ορισμού προϋποθέτει τον έλεγχο μόνο των γειτόνων μιας κορυφής Μια κορυφή X είναι τοπικός φύλακας (local gatekeeper) αν υπάρχουν δύο γειτονικές κορυφές της X, έστω Y και Z, που δεν συνδέονται με ακμή Για να είναι η X τοπικός φύλακας (local gatekeeper) θα πρέπει να υπάρχουν δύο κορυφές Y και Z που να έχουν ακμή προς την X, αλλά όχι μεταξύ τους

86 Κορυφές τοπικοί φύλακες (local gatekeepers) Μια κορυφή X είναι τοπικός φύλακας (local gatekeeper) ανυπάρχουνδύογειτονικές κορυφές της X, έστω Y και Z, που δεν συνδέονται με ακμή

87 Κορυφές τοπικοί φύλακες (local gatekeepers) Μια κορυφή X είναι τοπικός φύλακας (local gatekeeper) ανυπάρχουνδύογειτονικές κορυφές της X, έστω Y και Z, που δεν συνδέονται με ακμή

88 Συνολική μονάδα μέτρησης της απόστασης κορυφών γραφήματος;; Διάμετρος (diameter) Η μέγιστη απόσταση μεταξύ κάθε ζεύγους κορυφών στο γράφημα Μέση απόσταση (average distance) Η μέση απόσταση υπολογισμένη για όλα τα ζεύγη κορυφών στο γράφημα Φυσικά μέτρα για το πόσο συμπαγές είναι ένα γράφημα

89 Διάμετρος Μέση απόσταση (Diameter Average distance) AB=1 AC=1 AD=1 AE=1 AF=1 BC=2 BD=1 BE=2 BF=2 CD=1 CE=2 CF=2 DE=2 DF=2 EF=1

90 Διάμετρος Μέση απόσταση (Diameter Average distance) AB=1 AC=1 AD=1 AE=1 AF=1 BC=2 BD=1 BE=2 BF=2 CD=1 CE=2 CF=2 DE=2 DF=2 EF=1 Διάμετρος=2 Μέση απόσταση = 22/15= Πόσα ζεύγη κορυφών υπάρχουν;;; C(6,2)

91 Διάμετρος Μέση απόσταση (Diameter Average distance) Διάμετρος=2 Μέση απόσταση = 44/36=1.2222

92 Μονοπάτια και κύκλοι Euler Πόλη Königsberg, Πρωσσία (σημερινό Kaliningrad, Ρωσική Δημοκρατία) γέφυρες Ποταμός Pregel Νησί Kneiphof Γινόταν να ξεκινήσουν από ένα σημείο, να περάσουν από όλες τις γέφυρες ακριβώς μία φορά και να επιστρέψουν στην αφετηρία;

93 Μονοπάτια και κύκλοι Euler Υπάρχει απλός κύκλος στο παρακάτω πολυγράφημα που να περιέχει κάθε ακμή; Γινόταν να ξεκινήσουν από ένα σημείο, να περάσουν από όλες τις γέφυρες ακριβώς μία φορά και να επιστρέψουν στην αφετηρία;

94 Μονοπάτι Euler Ηγνωστή«μονοκονδυλιά» Σύντομες, κατατοπιστικές λεπτομέρειες για άτομα που ενδιαφέρονται περαιτέρω.

95 Ασκήσεις ΝΑΙ ΟΧΙ ΌΧΙ κύκλο, ΝΑΙ μονοπάτι ΟΧΙ ΝΑΙ ΌΧΙ κύκλο, ΝΑΙ μονοπάτι Υπάρχει κύκλος Euler στα παραπάνω γραφήματα;

96 Ικανή και αναγκαία συνθήκη για ύπαρξη κύκλου Euler Κάθε κορυφή έχει άρτιο βαθμό υπάρχει κύκλος Euler στο γράφημα Υπάρχει κύκλος Euler κάθε κορυφή έχει βαθμό 2 (δηλαδή άρτιο) Κάθε κορυφή έχει άρτιο βαθμό κατασκευάζω τον κύκλο Euler ξεκινώντας από αυθαίρετη κορυφή και χρησιμοποιώντας πεπερασμένο πλήθος ακμών Αφού κάθε κορυφή έχει άρτιο βαθμό το μονοπάτι μπορεί πάντα να εισέρχεται και να εξέρχεται από κάθε ακμή Μπορεί να προκύψουν μονοπάτια που χρησιμοποιούν (ΟΚ) ή δεν χρησιμοποιούν όλες τις ακμές του γραφήματος Μπορώ να τα ενώσω

97 Ασκήσεις Υπάρχει κύκλος Euler στα παραπάνω γραφήματα;

98 Ικανή και αναγκαία συνθήκη για ύπαρξη μονοπατιού Euler Υπάρχουν μόνο 2 κορυφές περιττού βαθμού υπάρχει μονοπάτι Euler στο γράφημα Υπάρχει μονοπάτι (αλλά όχι κύκλος) Euler ηπρώτηκαι η τελευταία κορυφή έχουν περιττό βαθμό και όλες οι άλλες κορυφές έχουν άρτιο βαθμό (=2) Υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές u,v μεπεριττόβαθμό προσθέτουμε την ακμή (u,v) στο αρχικό γράφημα και πλέον όλες οι κορυφές έχουν άρτιο βαθμό υπάρχει κύκλος Euler με διαγραφή της ακμής (u,v) προκύπτει μονοπάτι Euler

99 Άσκηση Σε ποια από τα παρακάτω γραφήματα υπάρχει μονοπάτι Euler;

100 Τελικά, τι έγινε στο Königsberg; Στο πολυγράφημα υπάρχουν 4 κορυφές περιττού βαθμού δεν υπάρχει μονοπάτι Euler Δε γινόταν να ξεκινήσουν από ένα σημείο, να περάσουν από όλες τις γέφυρες ακριβώς μία φορά και να επιστρέψουν στην αφετηρία

101 Μονοπάτια και κύκλοι Euler: πρακτικές εφαρμογές Αναζήτηση μονοπατιού ή κύκλου που διέρχεται μία μόνο φορά από κάθε δρόμο σε μια γειτονιά Το πρόβλημα του Κινέζου ταχυδρόμου [Guan Meigu, 1962] από κάθε σύνδεση σε δίκτυο ΔΕΗ, ΔΕΥΑ, από κάθε ζεύξη σε δίκτυο επικοινωνιών Μοριακή Βιολογία: μονοπάτια Euler χρησιμοποιούνται στην ακολουθία του DNA

102 Μονοπάτια και κύκλοι Hamilton Σε ένα γράφημα, υπάρχει μονοπάτι ή κύκλος που να περιέχει κάθε κορυφή μόνο μία φορά; Γρίφος του Είκοσι (Icosian Puzzle) [Sir William Rowan Hamilton, 1857]

103 Γρίφος του Είκοσι Δωδεκάεδρο: πολύεδρο με πλευρές 12 κανονικά πεντάγωνα 20 κορυφές του δωδεκάεδρου: 20 διαφορετικές πόλεις του κόσμου Σκοπός: να ξεκινήσουμε από μία πόλη και να ταξιδέψουμε κατά μήκος των ακμών του δωδεκάεδρου περνώντας μία φορά από κάθε μία από τις υπόλοιπες 19 πόλεις και να επιστρέψουμε στην αφετηρία

104 Γρίφος του Είκοσι Αντί να δουλεύω στο πραγματικό δωδεκάεδρο ασχολούμαι με ένα ισοδύναμο γράφημα με τις ίδιες κορυφές και ακμές (ισομορφικό) που προκύπτει αν «πατήσω» το δωδεκάεδρο ώστε να γίνει επίπεδο Μια λύση σημειώνεται με μπλε στο σχήμα

105 Άσκηση Ποιο από τα παρακάτω γραφήματα έχει κύκλο η μονοπάτι Hamilton; ΝΑΙ ΌΧΙ κύκλο ΝΑΙ μονοπάτι ΟΧΙ

106 Πώς καταλαβαίνουμε αν θα βρούμε κύκλο Hamilton σε ένα γράφημα; Αν στο γράφημα υπάρχει κορυφή βαθμού 1 δεν υπάρχει κύκλος Hamilton Για κορυφή με βαθμό 2, οι ακμές που πρόσκεινται σε αυτή είναι τμήμα κάποιου κύκλου Hamilton Κύκλος Hamilton δεμπορείναπεριέχειάλλον μικρότερο κύκλο Hamilton

107 Άσκηση Στο γράφημα Κn υπάρχει κύκλος Hamilton; Kn: πλήρες γράφημα με n κορυφές Ναι Ξεκινάμε από οποιαδήποτε κορυφή Επισκεπτόμαστε τις υπόλοιπες ακολουθιακά με τυχαία σειρά Επιστρέφουμε στην αρχική Αυτό είναι εφικτό αφού υπάρχουν ακμές από κάθε κορυφή σε κάθε άλλη

108 Το πρόβλημα εύρεσης κύκλου Hamilton σε γράφημα είναι δύσκολο Δεν έχουμε έξυπνο τρόπο να το λύνουμε γρήγορα Το καλύτερο που μπορούμε να κάνουμε για να το λύσουμε είναι να ψάξουμε μία μία τις κορυφές του γραφήματος

109 Μονοπάτια και κύκλοι Hamilton: πρακτικές εφαρμογές Επίσκεψη μία μόνο φορά σε κάθε διασταύρωση δρόμου σε μία πόλη κάθε σημείο διασταύρωσης σωληνώσεων σε δίκτυο π.χ., ύδρευσης κάθε κόμβο σε δίκτυο επικοινωνιών Πρόβλημα Περιοδεύοντος Πωλητή: βρες το συντομότερο δρομολόγιο που πρέπει να ακολουθήσει ένας πωλητής που ταξιδεύει για να επισκεφθεί μια ομάδα πόλεων Το πρόβλημα ανάγεται σε εύρεση κύκλου Hamilton σε πλήρες γράφημα έτσι ώστε το συνολικό βάρος των ακμών του να γίνεται ελάχιστο

110 Γραφήματα με βάρη στις ακμές Πολλά προβλήματα μοντελοποιούνται με γραφήματα με ανάθεση βαρών στις ακμές τους Τα βάρη μπορεί να απεικονίζουν απόσταση, χρόνο, χρηματικό κόστος

113 Πρόβλημα συντομότερης διαδρομής Πολλά προβλήματα μοντελοποιούνται με γραφήματα με ανάθεση βαρών στις ακμές τους Τα βάρη μπορεί να απεικονίζουν απόσταση, χρόνο, χρηματικό κόστος Ένα ενδιαφέρον πρόβλημα αφορά στον προσδιορισμό του συντομότερου μονοπατιού σε τέτοια γραφήματα Το μήκος πλέον δεν είναι το πλήθος των ακμών του μονοπατιού αλλά το άθροισμα των βαρών των ακμών του Αλγόριθμος του Dijsktra [1959] για συνεκτικά, απλά, μη κατευθυνόμενα γραφήματα Ένα άλλο ενδιαφέρον πρόβλημα αφορά στον εντοπισμό του συντομότερου κύκλου που ξεκινάει από αυθαίρετη κορυφή του γραφήματος, περνάει από όλες τις κορυφές του γραφήματος μία μόνο φορά και καταλήγει στην αρχική Πρόβλημα Περιοδεύοντος Πωλητή

114 Επίπεδα γραφήματα Μπορούν να σχεδιαστούν στο επίπεδο χωρίς διασταύρωση των ακμών τους Μη επίπεδο γράφημα

115 Επίπεδα γραφήματα Μπορούν να σχεδιαστούν στο επίπεδο χωρίς διασταύρωση των ακμών τους Επίπεδα γραφήματα

116 Χρωματισμός γραφημάτων Πρακτικό πρόβλημα: χρωματισμός χαρτών Περιοχές με κοινά σύνορα πρέπει να λαμβάνουν διαφορετικά χρώματα Αναπαράσταση με γραφήματα Περιοχές κορυφές Περιοχές με κοινά σύνορα συνδέονται με ακμή Δυικό γράφημα του χάρτη

117 Χρωματισμός γραφημάτων Χρωματισμός γραφήματος: ανάθεσε χρώματα στις κορυφές του έτσι ώστε γειτονικές να μη λαμβάνουν το ίδιο χρώμα Χρωματικός αριθμός: ελάχιστος αριθμός χρωμάτων που απαιτείται για το χρωματισμό ενός γραφήματος

118 Το θεώρημα των 4 χρωμάτων Οχρωματικόςαριθμόςεπίπεδου γραφήματος δεν είναι μεγαλύτερος από 4 Τέθηκε σαν εικασία αρχικά το 1850 Αποδείχθηκε από τους Appel και Haken το 1976 Βασίζεται σε ανάλυση περιπτώσεων που έγινε με χρήση Η/Υ Αν η απόδειξη ήταν λάθος θα έπρεπε να βρεθεί 1 αντιπαράδειγμα σε 2000 περιπτώσεις που δε βρέθηκε

119 Άσκηση Ποιοι είναι οι χρωματικοί αριθμοί των παρακάτω γραφημάτων;

120 Άσκηση Ποιοι είναι οι χρωματικοί αριθμοί των παρακάτω γραφημάτων;

121 Άσκηση Ποιος είναι ο χρωματικός αριθμός του πλήρους γραφήματος με n κορυφές, Kn; n: γιατί όλες οι κορυφές είναι γειτονικές μεταξύ τους Το Kn δεν είναι επίπεδο όταν n 5

122 Άσκηση Ποιος είναι ο χρωματικός αριθμός του διμερούς γραφήματος K3,4; Κάθε μέρος μπορεί να χρωματιστεί με το ίδιο χρώμα Κάθε γράφημα που μπορεί να χρωματιστεί με 2 χρώματα είναι διμερές

123 Χρωματισμός γραφημάτων Το πρόβλημα είναι δύσκολο Δεν έχουμε τρόπο να το λύσουμε γρήγορα Το καλύτερο που μπορούμε να κάνουμε είναι να ψάχνουμε μία μία τις κορυφές Έχει ποικίλες πρακτικές εφαρμογές

124 Χρονοπρογραμματισμός εξετάσεων Πώς μπορούν να προγραμματιστούν οι τελικές εξετάσεις ώστε κανένας φοιτητής να μην έχει 2 εξετάσεις την ίδια μέρα; Απεικονίζουμε το πρόβλημα με ένα γράφημα Κορυφές: μαθήματα Ακμές: κάποιος φοιτητής πρέπει να παρακολουθεί και τα δύο μαθήματα Κάθε χρονικό διάστημα εξέτασης: διαφορετικό χρώμα Χρονοπρογραμματισμός εξετάσεων χρωματισμός του γραφήματος

125 Χρονοπρογραμματισμός εξετάσεων

126 Ανάθεση συχνοτήτων σε τηλεοπτικούς σταθμούς Στους σταθμούς ανατίθενται τα κανάλια 2 έως 12 έτσι ώστε να μην υπάρχουν σταθμοί σε απόσταση 150 χλμ που να λειτουργούν στο ίδιο κανάλι Απεικονίζουμε το πρόβλημα με ένα γράφημα Κορυφές: σταθμοί Ακμές: σταθμοί βρίσκονται εντός απόστασης 150 χλμ Κανάλια: διαφορετικά χρώματα Ανάθεση καναλιών χρωματισμός του γραφήματος

127

128

129 3 αν n άρτιος, 4 αν n περιττός

130 3 αν n άρτιος, 4 αν n περιττός Εναλλακτικός χρωματισμός

131

132

133 e 6 a 4 b 4 c 4 f 4 h 4 i 4 d 2 g 2 j 2

134 Επικοινωνία Κύκλωμα Οικονομικά Μεταφορές Συστήματα λογισμικού Internet Παιχνίδια Κοινωνικά δίκτυα Δίκτυα αλληλεπίδρασης πρωτεϊνών Γενετικά δίκτυα Νευρωνικά δίκτυα Μεταδοτική ασθένεια Δίκτυα ηλεκτρικής ενέργειας Χημικές ενώσεις Γράφημα Μηχανική κατασκευή Υδραυλική κατασκευή Χρονοδρομολόγηση Τηλέφωνα, υπολογιστές Πύλες, Καταχωρητές, Επεξεργαστές Αρμοί Δεξαμενές, Αντλίες Μετοχές, Χρηματικές μονάδες Διασταυρώσεις, Αεροδρόμια Εργασίες Συναρτήσεις Ιστοσελίδες Θέσεις στην επιφάνεια (π.χ., στη σκακιέρα) Άτομα, Ηθοποιοί, Τρομοκράτες Πρωτεΐνες Γονίδια Νευρώνες Άτομα Σταθμοί μετάδοσης Μόρια Κορυφές Ακμές Καλώδια οπτικής ίνα Καλώδια Σκοινιά, ελατήρια, δέσμες Σωληνώσεις Συναλλαγές Αυτοκινητόδρομοι, Πτήσεις Περιορισμοί προτεραιότητας Κλήσεις συναρτήσεων Υπερσύνδεσμοι Κινήσεις σύμφωνες με κανόνες Φιλία, Ταινίες, Σύνδεσμοι Αλληλεπιδράσεις Αλληλεπιδράσεις βάσει κανόνων Συνάψεις Μολύνσεις Καλώδια Χημικοί δεσμοί