Αδύνατη εξίσωση (Impossible equation) Αντιστρόφως ανάλογα ποσά Αδύνατο ενδεχόμενο Αξιοσημείωτες ταυτότητες (notable identities)

Transcript

1

2 Αδύνατη εξίσωση (Impossible equation) Αδύνατο ενδεχόμενο Αδύνατο σύστημα (Impossible system) Άθροισμα όμοιων μονώνυμων Ακέραια αλγεβρική παράσταση (integers algebric expression ) Ακέραιο μέρος (integer part) Ακέραιο πολυώνυμο (integer polonium) Ακέραιοι αριθμοί (integer numbers) Ακμή του πολυέδρου Ακολουθία Φιμπονάτσι (Fibonacci sequence) Άκρα του ευθύγραμμου τμήματος (Α,Β) Ακτίνα της σφαίρας (raduis sphere) Ακτίνα του κύκλου (raduis) Ακτίνιο (radian) Αλγεβρική παράσταση (algebric expression) Αμβλεία γωνιά (obtuse angle) Αμβλυγώνιο τρίγωνο (obtuse triangle) Αναγωγή ομοίων όρων Ανάγωγο κλάσμα (irreducible fraction) Ανάλογα ευθύγραμμα τμήματα Ανάλογα ποσά (corresponding amounts) Αναλογία Ανάπτυγμα κυλίνδρου Ανάπτυγμα κώνου Ανάπτυγμα Πυραμίδας Αντιδιαμετρικά σημεία Αντίθετα Διανύσματα Αντίθετα μονώνυμα Αντίθετοι Αριθμοί (inverse numbers) Αντικείμενες ημιευθείες Αντιμεταθετική Ιδιότητα Αντίστοιχα στοιχεία Αντίστοιχη επίπεδη δίεδρης Αντίστροφοι αριθμοί (Inverse number) Αντιστρόφως ανάλογα ποσά Αξιοσημείωτες ταυτότητες (notable identities) Αξίωμα Άξονας συμμετρίας:(axis of symmetry) Άξονας(Axis) Αόριστη εξίσωση: (Indefinite equation) Αόριστο σύστημα: (Indefinite system) Απαγωγή σε άτοπο Απλή τεθλασμένη γραμμή: Απλό πολύεδρο (Simple polyhedra) Απόδειξη:(Proof) Απολλώνιος κύκλος:(apollonian circle) πόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού:(absolute value of a real number) Απόσταση ασύμβατων ευθειών: (Perpedicular distance) Απόσταση παράλληλων επιπέδων:(distance of parallel planes) Απόσταση σημείου από επίπεδο: (Distance from a point to a plane) Απόσταση σημείου:(point of distance) Απόστημα κανονικής πυραμίδας: (Abscess normal pyramid) Απόστημα κανονικού πολυγώνου:(abcess of a regular polygon) Απόστημα:(Abscess) Αριθμητής:(Numerator) Αριθμητική τιμή παράστασης:(arithmetic representations) Αρμονική τετράδα: Αρνητικοί αριθμοί:(negative numbers) Άρρητος αριθμός:(irrational number) Άρτιος αριθμός :(Even number) Αρχή ημιευθείας: (Ray principle) Αρχή Μαθηματικής Επαγωγής(Mathematic eduction) Ασύμβατες ευθείες: (Incompatible lines) Ασυμβίβαστα ενδεχόμενα: (Incompatible Contingencies) Ασύμμετρα ευθύγραμμα τμήματα: Αφαίρεση Διανυσμάτων (Subtraction of vectors) Αφαίρεση: (Substraction)

3 Βαθμός μονωνύμου: (Degree of monomial) Βαθμός Πολυωνύμου:(Degree of polynomial) Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες (Basic trigonometric identities) Βασικό σύνολο(basic set) Βασικοί τριγωνομετρικοί αριθμοί(basic trigonometric ratios) Βέβαιο ενδεχόμενο (Certain possibility)

4 Γραμμική Διοφαντική Εξίσωση(Linear Diophantine Equation) Γραμμικός Συνδυασμός Διανυσμάτων(Vector Linear Combination) Γωνία(angle) Γωνία διανυσμάτων(angle vectors) Γωνία δίεδρη(dihedral angle) Γωνία δυο ασύμβατων (Angle of two incompatible) Γωνία δύο επιπέδων (Angle of two levels) Γωνία δύο τεμνουσών(two Angle of subtended) Γωνία ευθείας και επιπέδου(angle of line and level) Γωνία των δύο κύκλων (Angle of two circles) Γωνία χορδής και εφαπτομένης(angle of chord and tangent) Γωνίες εκτός Γωνίες εναλλάξ (alternate angles) Γωνίες εντός

5 Δειγματικός χώρος (sample space) Δεκαδικό κλάσμα (decimal fraction) Διαβήτης(diabetes) Διάγραμμα venn (diagram venn) Διαγώνια επίπεδα πολύεδρου(diagonal levels polyhedron) Διαγώνιοι πολύεδρου(polyhedron diagonals) Διαίρεση (division) Διαιρετέος(dividend) Διαιρέτης(divisor) Διακεντρική ευθεία Διάκεντρος(centreline to centreline) Διάμεσος Τραπεζίου(median of trapezoid) Διάμεσος τριγώνου(median of triangle ) Διάμετρος κύκλου (diameter of circle) Διάνυσμα(vector) Διάνυσμα Θέσεως(position vector) Διάνυσμα Κάθετο σε ευθεία Διάνυσμα Παράλληλο σε ευθεία(vector Parallel in line) Διανυσματική Ακτίνα Μέσου Τμήματος Διανυσματικά μεγέθη(vector sizes) Διαστάσεις ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου (Dimensions rectangular parallelepiped) Διάταξη αριθμών Δίεδρη αμβλεία γωνία(dihedral angle obtuse) Διχοτόμος (bisector)

6 Ευθεία Ευθεία γωνία Ευθεία κάθετη σε επίπεδο Ευθεία παράλληλη σε επίπεδο Ευθεία πλάγια σε επίπεδο Ευκλείδεια Διαίρεση Εφαπτομένη Εφεξής γωνίες Εφεξής δίεδρες

7

8 Ημιεπίπεδο Ημιευθεία

9 Θεμελιώδες Θεώρημα Αριθμητικής

10 Ίσα μονώνυμα Ίσα πολυώνυμα Ίσα σύνολα Ισοπίθανα αποτελέσματα ενός δειγματικού χώρου Ισόπλευρο τρίγωνο Ισοσκελές τρίγωνο Ισοσκελής κόλουρη πυραμίδα

11 Κανονικό πολύεδρο Κατακορυφήν Γωνίες ( congruent angles) Κατακορυφήν δίεδρες ( congruent dihedral ) Κενό σύνολο ( empty set ) Κεντρική γωνία ν-γώνου (central angle of polygon) Κέντρο κανονικού πολυγώνου (center of regular polygon) Κέντρο παραλληλογράμμου (center of rectangular) Κέντρο σφαίρας (center of sphere) Κλασικός ορισμός πιθανότητας (classical definition of probability) Κλασματικές εξισώσεις ( fractional equations ) Κλειστή τεθλασμένη γραμμή Κοινή εφαπτομένη δυο κύκλων (common tangent of two circles) Κοινό μέτρο ευθυγράμμων τμημάτων ( common measure of line segments) Κόλουρη πυραμίδα ( truncated pyramid ) Κόλουρος Κώνος ( truncated cone ) Κορυφή παραβολής ( vertex of parable ) Κορυφή πολυέδρου (vertex of polyhedron ) Κορυφή Τρίεδρης ( trihedral vertex ) Κορυφή ( Vertex ) Κυκλικός τομέας ( circular sector ) Κύκλος ( circle ) Κύλινδρος (cylinder) Κύριο μέρος μονωνύμου ( main part of monomial ) Κυρτή γωνία ( convex angle ) Κώνος (cone)

12 Λόγος ομοιότητας ευθυγράμμων τμημάτων: Λύση εξίσωσης Γραμμής

13 Μ.Κ.Δ. Αριθμών σε Κανονική Μορφή Μέγεθος Μέγιστος κύκλος σφαίρας Μέθοδος αντίθετων συντελεστών Μέθοδος αντικατάστασης Μέθοδος συμπλήρωσης τετραγώνων Μέση ανάλογος Μέσο διανύσματος Μέσο ευθ. Τμήματος Μέσο τόξου Μέσοι όροι αναλογίας Μεσοκάθετο επίπεδο Μεσοπαράλληλο επίπεδο Μεσοπαράλληλος Μέσος όρος Μεταβλητή (Στατιστική) Μέτρο Αθροίσματος Διανυσμάτων Μέτρο γωνίας Μέτρο Διανύσματος Μέτρο ή μήκος τμήματος Μέτρο Τόξου Μη κυρτή γωνία Μη κυρτή τεθλασμένη γραμμή Μηδενική γωνία Μηδενικό διάνυσμα Μηδενικό πολυώνυμο Μήκος Μήκος ευθυγράμμου τμήματος Μοίρα Μονάδες μέτρησης Μονώνυμο

14

15

16 Όγκος κόλουρης πυραμίδας και κόλουρου κώνου Όμοια μονώνυμα Όμοια σχήματα Ομόκεντροι κύκλοι Ομόρροπα διανύσματα Οξεία γωνία Οξεία δίεδρη Οξυγώνιο τρίγωνο Ορθή γωνία Ορθό παραλληλεπίπεδο Ορθό πρίσμα Ορθογώνιες Ευθείες Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο Ορθογώνιο τρίγωνο Ορθογώνιοι κύκλοι Ορθόκεντρο Τριγώνου Ορισμός Πολλαπλασιασμού Αριθμού με Διάνυσμα Ορθή προβολή (προβολή) σχήματος σε επίπεδο

17 Παραβολή Παραγοντοποίηση αλγεβρικής παράστασης Παράκεντρο Παράλληλα επίπεδα Παράλληλα ή συγγραμμικά διανύσματα Παραλληλεπίπεδο Παράλληλη ευθεία σε επίπεδο: Παραλληλόγραμμο Παράπλευρες ακμές πρίσματος Παράπλευρες ακμές Πυραμίδας: Παράπλευρη επιφάνεια κώνου Παράπλευρη επιφάνεια πρίσματος Παράπλευρη επιφάνεια πυραμίδος Παράπλευρη (κυρτής) επιφάνειας κυλίνδρου Παραπληρωματικές Γωνίες Παραπληρωματικές δίεδρες Πείραμα Τύχης Πεντάγωνο Περιγεγραμμένο τετράπλευρο Περιγεγραμμένος κύκλοε Περιγράψιμο Τετράπλευρο Περίκεντρο Περίκεντρο Τριγώνου Περίμετρος Περιττός Αριθμός Πίνακας Κατανομών Συχνοτήτων Πίνακας Τιμών Συνάρτησης Πλάγια Ευθεία Σε Επίπεδο Πληθυσμός Πολύγωνο Πολυεδρική γωνία Πολυώνυμο Ποσά αντιστρόφως ανάλογα Πραγματικοί αριθμοί Πρίσμα Πρισματική επιφάνεια Προβολή Προβολή Διανύσματος σε Διάνυσμα Πρόσημα τριγωνομετρικών αριθμών Πρόσθεση Διανυσμάτων Πρωτοβάθμια εξίσωση Πρώτος Αριθμός/Πρώτοι μεταξύ τους αριθμοί Πυθαγόρειο θεώρημα Πυραμίδα

18 Ραβδόγραμμα Ρητή αλγεβρική παράσταση Ρητοί αριθμοί Ρόμβος

19 Σημεία Σημείο Τομής (Ίχνος) Ευθείας Και Επιπέδου Σκαληνό Τρίγωνο Στρογγυλοποίηση Συζυγή Αρμονικά Συμπλήρωμα Τετραγώνου Συνημίτονο Γωνιάς Συνημίτονο Γωνίας Διανύσματος Σύνθετο Κλάσμα Σύνθετος Αριθμός Συνθήκες Καθετότητας και Παραλληλίας Ευθειών Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων Συντελεστής Διεύθυνσης Διανύσματος Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείας Ή Κλίση Ευθείας Συντεταγμένες Συντεταγμένες Γραμμικού Συνδυασμού Διανυσμάτων Συντεταγμένες Διανύσματος Με Γνωστά Άκρα Συντεταγμένες Μέσου Τμήματος Συχνότητα της Τιμής μιας Μεταβλητής Σφαίρα Σχετική Συχνότητα Τιμής I X μιας Μεταβλητής

20 Τόξο Κύκλου Τραπέζιο Τριγωνική ανισότητα Τρίγωνο Τρίγωνο θέσης Τρίεδρη γωνία Τυποποιημένη μορφή αριθμού

21 Υποδιαστολή Υπόλοιπο Υποτείνουσα Ύψος Ύψος κυλίνδρου Ύψος κώνου

22 Φορέας Φορέας διανύσματος Φυσικός αριθμός

23 Χορδή σφαίρας Χορδή τόξου Χρυσή τομή Χώρος

24

25

26 Αδύνατη εξίσωση Αδύνατη ονομάζεται μια εξίσωση (όπως η 0 x = 6) η οποία δεν επαληθεύεται για καμιά τιμή του x, δηλαδή δεν έχει λύση. Αδύνατο ενδεχόμενο Αδύνατο ονομάζεται το ενδεχόμενο που δεν πραγματοποιείται ποτέ και ταυτίζεται με το κενό σύνολο Αδύνατο σύστημα Αδύνατο ονομάζεται το σύστημα των εξισώσεων το οποίο δεν έχει λύση. Ειδικότερα αν σχεδιάσουμε τις γραφικές παραστάσεις των δύο γραμμικών εξισώσεων στο ίδιο σύστημα αξόνων αυτές οι ευθείες θα είναι παράλληλες, δηλαδή δεν θα έχουν κανένα κοινό σημείο.

27 . Άθροισμα ομοίων μονωνύμων Το άθροισμα όμοιων μονωνύμων είναι ένα μονώνυμο όμοιο με αυτά, που έχει συντελεστή το άθροισμα των συντελεστών τους. Για να προσθέσουμε μονώνυμα πρέπει πρώτα να είναι όμοια μεταξύ τους αλλιώς δεν εκτελείται η πρόσθεση ανάμεσα τους. Στη συνέχεια προσθέτουμε τους συντελεστές. Αφήνουμε το κύριο μέρος ίδιο. Ακέραια αλγεβρική παράσταση Ακέραια αλγεβρική παράσταση ονομάζεται η παράσταση στην οποία μεταξύ των μεταβλητών της σημειώνονται μόνο οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και οι εκθέτες των μεταβλητών της είναι φυσικοί αριθμοί. Ακέραιο μέρος Ακέραιο μέρος ενός δεκαδικού αριθμού είναι το μέρος του αριθμού που βρίσκεται αριστερά από την υποδιαστολή. Σε κάθε δεκαδικό αριθμό διακρίνουμε το ακέραιο μέρος και το δεκαδικό μέρος τα οποία διαχωρίζονται με υποδιαστολή.

28 Ακέραιο πολυώνυμο Ονομάζουμε ακέραιο πολυώνυμο του x κάθε έκφραση της μορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 ϵz και νϵν. Ακέραιοι αριθμοί Ακέραιοι αριθμοί είναι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς αριθμούς (πχ -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 ) Ακμή του πολυέδρου Οι έδρες του πολυέδρου αποτελούν την επιφάνεια του πολυέδρου. Η κάθε πλευρά των εδρών ανήκει σε δύο ακριβώς έδρες και λέγεται ακμή του πολυέδρου.

29 Ακολουθία Φιμπονάτσι Στα Μαθηματικά, οι Αριθμοί Φιμπονάτσι είναι οι αριθμοί της παρακάτω ακέραιης ακολουθίας: Εξ ορισμού, οι πρώτοι δύο αριθμοί Φιμπονάτσι είναι το 0 και το 1, και κάθε επόμενος αριθμός είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων. Σε μαθηματικούς όρους, η ακολουθία F n των αριθμών Φιμπονάτσι ορίζεται από τον αναδρομικό τύπο: με και Η Ακολουθία Φιμπονάτσι ονομάστηκε έτσι από τον Λεονάρντο της Πίζας, γνωστό και ως Φιμπονάτσι. Το βιβλίο του Φιμπονάτσι, το 1202, με τίτλο Liber Abaci, εισήγαγε την ακολουθία στα Μαθηματικά της Δυτικής Ευρώπης, αν και η ακολουθία είχε περιγραφεί πιο πριν από τους Ινδούς. Η ακολουθία μπορεί να επεκταθεί και σε αρνητικό δείκτη χρησιμοποιώντας αναδιαταγμένη την αναδρομική σχέση: Οπότε η πλήρης ακολουθία είναι η εξής: F 8 F 7 F 6 F 5 F 4 F 3 F 2 F 1 F 0 F 1 F 2 F 3 F 4 F 5 F 6 F 7 F Ο λόγος δύο διαδοχικών αριθμών της ακολουθίας τείνει προς την Χρυσή Τομή ή Χρυσή Αναλογία, ή Χρυσό Αριθμό Φ =

30 Άκρα ευθύγραμμου τμήματος (ΑΒ) Τα Α και Β ονομάζονται άκρα του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ Α Β Ακτίνα της σφαίρας Οποιοδήποτε ευθύγραμμο τμήμα από το κέντρο Ο της σφαίρας μέχρι ένα σημείο πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας, ταυτίζεται με την ρ. (ΟΒ = ρ)

31 Ακτίνα του κύκλου Οποιοδήποτε ευθύγραμμο τμήμα, το οποίο ξεκινάει από το κέντρο του κύκλου και καταλήγει σε οποιοδήποτε σημείο πάνω στην περίμετρο του κύκλου. Ακτίνιο (rad) Μονάδα μέτρησης της γωνίας, επίπεδη γωνία η οποία όταν γίνει επίκεντρη ορίζει τόξο, σε οποιοδήποτε κύκλο, με μήκος ίσο με την ακτίνα του.

32 Αλγεβρική παράσταση Αλγεβρική ονομάζεται η παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών και μεταβλητών. Αμβλεία γωνία Οποιαδήποτε κυρτή γωνία μεγαλύτερη από ορθή γωνία (90 ο ). Αμβλυγώνιο τρίγωνο Το τρίγωνο που έχει μια αμβλεία γωνία και δυο οξείες. Αναγωγή ομοίων όρων Αναγωγή ομοίων όρων ονομάζεται η αντικατάσταση των ομοίων όρων με το άθροισμα τους σε μια αλγεβρική παράσταση Ανάγωγο κλάσμα Ονομάζεται το κλάσμα εκείνο που δεν μπορεί να απλοποιηθεί, δηλαδή το κλάσμα του οποίου ο αριθμητής και ο παρονομαστής έχουν ΜΚΔ έχουν τη μονάδα.

33 Ανάλογα ευθύγραμμα τμήματα Δύο ευθύγραμμα τμήματα α, γ λέγονται προς δύο άλλα ευθύγραμμα τμήματα β, δ όταν ο λόγος του α προς το β ισούται με το λόγο του γ προς το δ, δηλαδή όταν ισχύει: αβ = γδ. Τα α, δ λέγονται άκροι όροι, ενώ τα β, γ μέσοι όροι της αναλογίας. Ανάλογα ποσά Δύο ποσά χ,y ονομάζονται ανάλογα όταν ο λόγος τους παραμένει σταθερός δηλαδή x / y = α, α 0 Αναλογία Αναλογία ονομάζεται η ισότητα δύο λόγων. Οι α, β, γ και δ λέγονται όροι της αναλογίας Οι α και δ λέγονται άκροι όροι της αναλογίας Οι β και γ λέγονται μέσοι όροι της αναλογίας Οι α και γ λέγονται ηγούμενοι όροι της αναλογίας Οι β και δ λέγονται επόμενοι όροι της αναλογίας Αν είναι και β x x τότε το χ λέγεται μέσος ανάλογος των α

34 Ανάπτυγμα κυλίνδρου Το ανάπτυγμα ενός κυλίνδρου είναι ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με πλάτος όσο το μήκος της περιφέρειας της κλειστής καμπύλης από την οποία προήλθε ο κύλινδρος και μήκος όσο το ύψος κυλίνδρου.

35 Ανάπτυγμα Πυραμίδας Το ανάπτυγμα της επιφάνειας κανονικής ν-γωνικής πυραμίδας στο επίπεδο της βάσης, αποτελείται από το κανονικό πολύγωνο της βάσης και από τα ν ισοσκελή τρίγωνα των παράπλευρων εδρών τοποθετημένα αστεροειδώς στις πλευρές της βάσης. Από το ανάπτυγμα υπολογίζεται η παράπλευρη και η ολική επιφάνεια κανονικής ν-γωνικής πυραμίδας. Η παράπλευρη επιφάνεια Ε π είναι το άθροισμα των εμβαδών των ν ισοσκελών τριγώνων που αποτελούν τις παράπλευρες έδρες της πυραμίδας, ενώ το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας Ε ο είναι το άθροισμα της παράπλευρης επιφάνειας και της βάσης. Το ανάπτυγμα πυραμίδας κατασκευάζεται επίσης, όταν χρειάζεται να κατασκευαστεί πρακτικά η πυραμίδα. Αντιδιαμετρικά σημεία Τα άκρα μιας διαμέτρου λέγονται αντιδιαμετρικά σημεία του κύκλου. Αντίθετα διανύσματα Για να είναι αντίθετα δύο ή περισσότερα διανύσματα, πρέπει να έχουν ίσα μέτρα και αντίθετη κατεύθυνση (δηλαδή ίδια φορά και αντίθετη διεύθυνση). Αντίθετα μονώνυμα Αντίθετα ονομάζονται τα όμοια μονώνυμα που έχουν αντίθετους συντελεστές. Παράδειγμα: τα μονώνυμα 2x 3 y και -2x 3 y είναι αντίθετα.

36 Αντίθετοι Αριθμοί Είναι οι αριθμοί που έχουν άθροισμα 0. Οι αντίθετοι αριθμοί έχουν αντίθετα πρόσημα και την ίδια απόλυτη τιμή. Αντικείμενες ημιευθείες Δυο ημιευθείες Ax, Ay με μόνο κοινό σημείο την αρχή τους Α, όταν έχουν το ίδιο φορέα λέγονται αντικείμενες Αντιμεταθετική Ιδιότητα Είναι η ιδιότητα που μπορούμε να αλλάζουμε τη σειρά των δύο προσθετέων/παραγόντων ενός αθροίσματος/γινομένου ( / ). Αντίστοιχα στοιχεία Των σχημάτων ονομάζονται στα ίσα σχήματα, τα στοιχεία που συμπίπτουν, δηλαδή οι κορυφές, οι πλευρές και οι γωνίες.

37 Αντίστοιχη επίπεδη δίεδρης Η τομή μιας δίεδρης γωνίας με επίπεδο κάθετο στην ακμή της είναι μια επίπεδη γωνία στο κάθετο επίπεδο, η οποία λέγεται αντίστοιχη επίπεδη της δίεδρης Αντίστροφοι αριθμοί Αντίστροφοι ονομάζονται δύο μη μηδενικοί αριθμοί με γινόμενο 1. Αντιστρόφως ανάλογα ποσά Είναι δύο μεγέθη στην περίπτωση τέτοια ώστε: όταν το ένα μέγεθος πολλαπλασιάζεται επί έναν αριθμό το άλλο διαιρείται με τον ίδιο αριθμό.

38 Αξιοσημείωτες ταυτότητες Ταυτότητα ονομάζεται κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της. α) Τετράγωνο αθροίσματος: (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2 β) Τετράγωνο διαφοράς: (α - β) 2 = α 2-2αβ + β 2 γ) Κύβος αθροίσματος διαφοράς: (α + β) 3 = α 3 + 3α 2 β + 3αβ 2 + β 3 (α - β) 3 = α 3-3α 2 β + 3αβ 2 - β 3 δ) Γινόμενο αθροίσματος επί διαφορά: (α + β)(α - β) = α 2 - β 2 ε) Διαφορά κύβων - Άθροισμα κύβων: (α β)(α 2 + αβ +β 2 ) = α 3 β 3 (α + β)(α 2 - αβ +β 2 ) = α 3 + β 3 Αξίωμα Αξίωμα είναι κάθε ισχυρισμός που δεχόμαστε ως αληθή χωρίς απόδειξη.

39 Άξονας συμμετρίας: (Axis of symmetry) Αν δυο σημεία είναι συμμετρικά ως προς μια ευθεία, τότε η ευθεία αυτή λέγεται άξονας συμμετρίας των δυο σημείων. Άξονας: (Axis) Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία O και I, έτσι ώστε το διάνυσμα να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία Ox. Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή το Ο και μοναδιαίο διάνυσμα το και τον συμβολίζουμε με x'x. Η ημιευθεία Ox λέγεται θετικός ημιάξονας Ox, ενώ η Ox' λέγεται αρνητικός ημιάξονας Ox'.

40

41

42 (ν-εδρο): το πεπερασμένο σχήμα του χώρου, το οποίο περικλείεται από ν επίπεδα πολυγωνικά σχήματα, που λέγονται έδρες του πολυέδρου. Απόδειξη: (Proof) Είναι μια σειρά από συλλογιστικά στοιχεία που κάνουν φανερή την αλήθεια ενός πράγματος. Για παράδειγμα, η απόδειξη είναι η επιβεβαίωση ότι το σχήμα που κατασκευάστηκε έχει ως στοιχεία τα δεδομένα.

43 Απολλώνιος κύκλος: (Apollonian circle) Είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που αποστάσεις τους από δυο ορισμένα σημεία Α και Β του επιπέδου έχουν γνωστό λόγο μ/ν 1 Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού: (Absolute value of a real number) Θεωρούμε έναν αριθμό α που παριστάνεται με το σημείο Α πάνω σε έναν άξονα. Απόλυτη τιμή του αριθμού α ονομάζεται η απόσταση του σημείου Α από την αρχή Ο, δηλαδή το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΟΑ και την συμβολίζεται με α.

44 Απόσταση ασύμβατων ευθειών: (Perpedicular distance) Απόσταση των ασύμβατων ευθειών λέγεται το μήκος του τμήματος της κοινής καθέτου δύο ασύμβατων ευθειών, που περιλαμβάνεται μεταξύ τους. Απόσταση παράλληλων επιπέδων: (Distance of parallel planes) Απόσταση δυο παραλλήλων επιπέδων λέγεται η απόσταση ενός σημείου του ενός επιπέδου από το άλλο.

45 Απόσταση σημείου από επίπεδο: (Distance from a point to a plane) Απόσταση σημείου Α από επίπεδο π λέγεται το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΑ, όπου Α η προβολή του Α στο επίπεδο

46 Απόστημα κανονικού πολυγώνου: (Abcess of a regular polygon) Η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου ενός κανονικού πολυγώνου λέγεται απόστημα του πολυγώνου. (Κάθε κανονικό πολύγωνο έχει έναν περιγεγραμμένο και έναν εγγεγραμμένο κύκλο που έχουν κοινό κέντρο). Απόστημα κανονικής πυραμίδας: (Abscess normal pyramid) Απόστημα ή παράπλευρο ύψος μιας κανονικής πυραμίδας είναι το ύψος κάθε παράπλευρης έδρας της που άγεται από την κορυφή της πυραμίδας. (Μία πυραμίδα λέγεται κανονική αν η βάση της είναι κανονικό πολύγωνο και η προβολή της κορυφής της στο επίπεδο της βάσης είναι το κέντρο του κανονικού πολυγώνου. Σε μια κανονική πυραμίδα, οι παράπλευρες έδρες της είναι ισοσκελή τρίγωνα, ίσα μεταξύ τους).

47 Αριθμητής: (Numerator) Αριθμητής ενός κλάσματος είναι ο ακέραιος αριθμός που εμφανίζεται πάνω από την γραμμή του κλάσματος. Αριθμητική τιμή παράστασης: (Arithmetic representations) Τιμή της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται το αποτέλεσμα που προκύπτει μετά από την εκτέλεση όλων των πράξεων που υπάρχουν σε μια αριθμητική παράσταση.

48 Αρμονική τετράδα: Τα τέσσερα σημεία (Α,Β) και (Γ,Δ) λέμε ότι αποτελούν αρμονική τετράδα αν τα Α και Β είναι συζυγή αρμονικά των Γ και Δ και τα Γ και Δ είναι συζυγή αρμονικά των Α και Β. ΓΑ/ΓΒ=ΔΑ/ΔΒ ή ΑΓ/ΑΔ=ΒΓ/ΒΔ Αρνητικοί αριθμοί: (Negative numbers) Είναι οι αριθμοί που είναι μικρότεροι του 0. Άρρητος αριθμός: (Irrational number) Άρρητος αριθμός ονομάζεται κάθε αριθμός ο οποίος δεν είναι δυνατό να εκφραστεί ως κλάσμα δυο ακέραιων, μη μηδενικών αριθμών (μ/ν, όπου μ και ν είναι μη μηδενικοί ακέραιοι αριθμοί).

49 Άρτιος αριθμός : (Even number) Ονομάζεται ο ακέραιος αριθμός που διαιρείται με το 2. Αρχή ημιευθείας: (Ray principle) Έστω μια χ χ ευθεία και σημείο της Α. Το σημείο αυτό χωρίζει την ευθεία σε δυο μέρη τα οποία συμβολίζουμε Αχ και Αχ και τα ονομάζουμε ημιευθείες με αρχή το σημείο Α. Αρχή Μαθηματικής Επαγωγής: (Mathematic eduction) Έστω P(ν) ένας ισχυρισμός που αναφέρεται στους θετικούς ακεραίους. Αν (i) ο ισχυρισμός είναι αληθής για τον ακέραιο 1, δηλαδή ο P(1) είναι αληθής, και (ii) η αλήθεια του P(v) συνεπάγεται την αλήθεια του P(v+1) για κάθε ν τότε ο ισχυρισμός P(v) αληθεύει για όλους τους θετικούς ακεραίους ν.

50 Ασύμβατες ευθείες: (Incompatible lines) Δύο ευθείες λέγονται ασύμβατες, αν δεν υπάρχει επίπεδο που να περιέχει και τις δύο. Ασυμβίβαστα ενδεχόμενα: (Incompatible Contingencies) Ασυμβίβαστα ονομάζονται δύο ενδεχόμενα Α και Β, όταν Α Β =,δηλαδή όταν η τομή τους δίνει το κενό σύνολο. Δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα λέγονται επίσης ξένα μεταξύ τους ή αμοιβαίως αποκλειόμενα. Ασύμμετρα ευθύγραμμα τμήματα: Δύο ευθύγραμμα τμήματα που δεν είναι σύμμετρα, λέγονται ασύμμετρα και ο λόγος τους είναι ένας άρρητος αριθμός.

51 Αφαίρεση Διανυσμάτων:(Subtraction of vectors) Η διαφορά του διανύσματος από το διάνυσμα ορίζεται ως άθροισμα των διανυσμάτων και. Αφαίρεση: (Substraction) Είναι η πράξη με την οποία, όταν δίνονται δυο αριθμοί, Μ (μειωτέος) και Α (αφαιρετέος) βρίσκουμε έναν Δ (διαφορά), ο οποίος όταν προστεθεί στο Α δίνει Μ. Στους φυσικούς αριθμούς ο αφαιρετέος Α πρέπει να είναι πάντα μικρότερος ή ίσος του μειωτέου Μ. Δ=Μ-Α

52 Βαθμός μονωνύμου: (Degree of monomial) Ο εκθέτης μιας μεταβλητής ενός μονωνύμου ονομάζεται βαθμός του μονωνύμου ως προς τη μεταβλητή αυτή, ενώ το άθροισμα των εκθετών όλων των μεταβλητών του μονωνύμου ονομάζεται βαθμός του μονωνύμου ως προς όλες τις μεταβλητές του Βέβαιο ενδεχόμενο: (Certain possibility) Βέβαιο ονομάζεται το ενδεχόμενο που αντιστοιχεί στο δειγματικό χώρο (Ω) και πραγματοποιείται σε κάθε εκτέλεση του περάματος.

53 Βαθμός Πολυωνύμου: (Degree of polynomial) Ο μεγαλύτερος από τους εκθέτες των όρων ενός πολυωνύμου ονομάζεται βαθμός του πολυωνύμου ως προς μία ή περισσότερες μεταβλητές του. Ο βαθμός του πολυωνύμου P(x) συμβολίζεται με degp(x) και δεν ορίζεται αν το πολυώνυμο είναι μηδενικό. Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες: (Basic trigonometric identities) 2 2 x x 1 x x x x x x εφχ * σφχ =1 2 x = 2 x 2 1 x 1 2 x = 2 1 x

54 Βασικό σύνολο: (Basic set) Σύνολο ονομάζεται κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα αντικείμενα αυτά, που αποτελούν το σύνολο, ονομάζονται στοιχεία ή μέλη του συνόλου. Βασικοί τριγωνομετρικοί αριθμοί: (Basic trigonometric ratios) Γωνία ω Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Σε μοίρες Σε rad Ημω συνω Εφω Σφω Δεν ορίζεται 30 π/6 ½ 45 π/ π/3 1/2 90 π/2 1 0 Δεν ορίζεται 0

55 Γραμμική Διοφαντική Εξίσωση(Linear Diophantine Equation) Έστω η εξίσωση αx +βy = γ, όπου α, β, γ ακέραιοι με. Αν αναζητούμε ακέραιες λύσεις της εξίσωσης αυτής, δηλαδή ζεύγη ακεραίων (x,y) που την επαληθεύουν, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε μια γραμμική διοφαντική εξίσωση. Η γραμμική διοφαντική εξίσωση αx +βy = γ έχει λύση, αν και μόνο αν ο μέγιστος κοινός διαιρέτης δ των α,β διαιρεί το γ. Αν η εξίσωση αυτή έχει μια λύση (x0,y0), τότε έχει άπειρες λύσεις (x,y), που δίνονται από τους τύπους x = x0 + t, y= y0 - t, όπου t Z

56 Γραμμικός Συνδυασμός Διανυσμάτων(Vector Linear Combination) Γενικά, ονομάζεται γραμμικός συνδυασμός δύο διανυσμάτων και κάθε διάνυσμα της μορφής v, όπου, R Ανάλογα ορίζεται και ο γραμμικός συνδυασμός τριών ή περισσότερων διανυσμάτων. Γωνία(angle) Από τυχαίο σημείο Ο ενός επιπέδου φέρουμε δύο ημιευθείες Οx και Οy οι οποίες δεν έχουν τον ίδιο φορέα. Έστω σημεία Α, Β των ημιευθειών Ox, Oy αντίστοιχα. Το σχήμα που αποτελείται από τα κοινά σημεία των ημιεπιπέδων (Ox, B) και (Oy, A) λέγεται κυρτή γωνία με κορυφή Ο και πλευρές Οx και Οy.

57 Γωνία διανυσμάτων(angle vectors) Την κυρτή γωνία,που ορίζουν οι ημιευθείες ΟΑ και ΟΒ, την ονομάζουμε γωνία των διανυσμάτων και τη συμβολίζουμε με ή Γωνία δίεδρη(dihedral angle) Η γωνία που σχηματίζουν δύο τεμνόμενα επίπεδα. Η τομή των επίπεδων, που είναι ευθεία, ονομάζεται ακμή της δίεδρης γωνίας και τα επίπεδα λέγονται έδρες της γωνίας. Αν φέρουμε ένα επίπεδο κάθετο σ` ένα τυχαίο σημείο της ακμής μιας δίεδρης γωνίας, τότε οι δύο ημιευθείες που σχηματίζονται από την τομή των τριών επιπέδων, σχηματίζουν από την τομή των τριών επιπέδων που ονομάζεται αντίστοιχη επίπεδη γωνία δίεδρης. Αν αυτή η γωνία είναι ορθή, τότε τα επίπεδα που σχηματίζουν τη δίεδρη είναι κάθετα.

58 Γωνία δυο ασύμβατων (Angle of two incompatible) Θεωρούμε δύο ασύμβατες ευθείες ε και ξ.από τυχαίο σημείο Ε της ευθείας ε κατασκευάζουμε την ευθεία ε', παράλληλη της ξ. Οι ευθείες ε και ε', τέμνονται στο σημείο Ε, άρα είναι συνεπίπεδες. Η γωνία ω που σχηματίζουν οι ευθείες ε και ε' λέγεται γωνία των δύο ασύμβατων ευθειών ε και ξ. Γωνία δύο επιπέδων (Angle of two levels) λέγεται η αντίστοιχη επίπεδη της δίεδρης των δύο επιπέδων.

59 Γωνία δύο τεμνουσών(two Angle of subtended) Μία γωνία που η κορυφή της ανήκει στο εσωτερικό ή στο εξωτερικό κύκλου και οι πλευρές της είναι τέμνουσες του κύκλου λέγεται γωνία δύο τεμνουσών και εκφράζεται ως συνάρτηση των εγγεγραμμένων γωνιών, που σχηματίζουν οι πλευρές της με τον κύκλο. Γωνία ευθείας και επιπέδου(angle of line and level) λέγεται η γωνία που σχηματίζει η ευθεία με την προβολή της στο επίπεδο.

60 Γωνία των δύο κύκλων (Angle of two circles): οι εφαπτόμενες των δύο κύκλων σε καθένα από τα κοινά σημεία τους σχηματίζουν ίσες γωνίες. Καθεμία από τις γωνίες αυτές λέγεται γωνία των δύο κύκλων. Γωνία χορδής και εφαπτομένης(angle of chord and tangent) : Δίνεται μία κυρτή γωνία xay και ένας κύκλος (Ο,R). Οι σχετικές θέσεις τους καθορίζονται από τη θέση της κορυφής της και των πλευρών της: Αν η κορυφή είναι σημείο του κύκλου,η μία της πλευρά είναι τέμνουσα και η άλλη εφαπτομένη του κύκλου, τότε η γωνία λέγεται γωνία χορδής και εφαπτομένης.

61 Γωνίες εκτός : Ας θεωρήσουμε δύο ευθείες ε1 και ε2 του επιπέδου, οι οποίες τέμνονται από τρίτη ευθεία ε3. Γωνίες εκτός : οι γωνίες α, β, η, θ λέγονται "εκτός". Ας θεωρήσουμε δύο ευθείες ε1 και ε2 του επιπέδου, οι οποίες τέμνονται από τρίτη ευθεία ε3. Γωνίες εναλλάξ (alternate angles) : δύο γωνίες που η μια σχηματίζεται από την ε1 και ε3 και η άλλη που σχηματίζεται από την ε2 και ε3 και βρίσκονται εκατέρωθεν της ε3 λέγονται "εναλλάξ".

62 Γωνίες εντός Ας θεωρήσουμε δύο ευθείες ε1 και ε2 του επιπέδου, οι οποίες τέμνονται από τρίτη ευθεία ε3. Γωνίες εντός : Οι γωνίες γ, δ, ε, ζ που βρίσκονται μεταξύ των ε1, ε2 λέγονται "εντός". (angles on the same parts) Ας θεωρήσουμε δύο ευθείες ε1 και ε2 του επιπέδου, οι οποίες τέμνονται από τρίτη ευθεία ε3. Γωνίες επί τα αυτά μέρη(angles on the same parts) : Δύο γωνίες που βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της τέμνουσας ε3 λέγονται "επί τα αυτά μέρη

63 Δειγματικός χώρος (sample space) Δειγματικός χώρος λέγεται το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων, δηλαδή όλων των αποτελεσμάτων που μπορούν να εμφανιστούν σε ένα πείραμα τύχης και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Ω. Αν δηλαδή ω1,ω2,...,ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης, τότε ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω={ω1,ω2,...,ωκ}.

64 Δεκαδικό κλάσμα (decimal fraction) είναι το κλάσμα που έχει παρονομαστή μια δύναμη του 10 Παράδειγμα Διαβήτης(diabetes) Ο διαβήτης είναι το βασικότερο γεωμετρικό όργανο μετά τον κανόνα για την χάραξη σχημάτων ή για μετρήσεις. Οι διαβήτες χρησιμοποιούνται κυρίως στην γεωμετρία και στην ναυσιπλοΐα, αλλά έχουν και άλλες εφαρμογές.

65 Διάγραμμα venn (diagram venn) Διάγραμμα Venn είναι μια απεικόνιση συνόλων. Σε κάθε διάγραμμα Venn υπάρχουν: ένα ορθογώνιο που συμβολίζει το μεγαλύτερο δυνατό σύνολο που μπορούμε να θεωρήσουμε, ανάλογα με το τί θέλουμε να δείξουμε και συμβολίζεται συνήθως με Ω ή U. Κλειστές γραμμές, συνήθως καμπύλες και κύκλοι, όπου η επιφάνεια που περικλείουν συμβολίζει το ίδιο το σύνολο. η κάθε επιφάνεια που ορίζεται από οποιοδήποτε συνδυασμό γραμμών συμβολίζει ένα σύνολο. Μερικές φορές σε ένα διάγραμμα Venn συμβολίζονται μερικά στοιχεία συνόλων με κουκίδες, τα οποία μπορεί να συνοδεύονται από το αντίστοιχο σύμβολο του στοιχείου που απεικονίζουν. Όλα τα στοιχεία ενός διαγράμματος Venn βρίσκονται μέσα στο ορθογώνιο.

66 Διαγώνια επίπεδα πολύεδρου(diagonal levels polyhedron) Απλό πολύεδρο ή πολύεδρο ή ν-εδρο λέγεται το πεπερασμένο σχήμα του χώρου, το οποίο περικλείεται από ν επίπεδα πολυγωνικά σχήματα, που λέγονται έδρες του πολυέδρου. Ανά δύο οι κορυφές του πολυέδρου που δεν ανήκουν στην ίδια έδρα ορίζουν ευθύγραμμα τμήματα που λέγονται διαγώνιοι του πολυέδρου. Επίσης, ανά τρεις οι κορυφές του πολυέδρου που δεν ανήκουν στην ίδια έδρα ορίζουν επίπεδα που λέγονται διαγώνια επίπεδα του πολυέδρου

67 διαγώνιοι πολύεδρου(polyhedron diagonals) Απλό πολύεδρο ή πολύεδρο ή ν-εδρο λέγεται το πεπερασμένο σχήμα του χώρου, το οποίο περικλείεται από ν επίπεδα πολυγωνικά σχήματα, που λέγονται έδρες του πολυέδρου Ανά δύο οι κορυφές του πολυέδρου που δεν ανήκουν στην ίδια έδρα ορίζουν ευθύγραμμα τμήματα που λέγονται διαγώνιοι του πολυέδρου

68 Διαίρεση (division) είναι η πράξη κατά την οποία πολλαπλασιάζεται ο διαιρετέος με τον αντίστροφο του διαιρέτη. 1 Διαιρετέος(dividend) (Δ) στη διαίρεση δυο αριθμών ονομάζεται ο αριθμός ο οποίος διαιρείται. Διαιρέτης(divisor) (δ) στη διαίρεση δύο αριθμών ονομάζεται ο αριθμός ο οποίος διαιρεί τον διαιρετέο.

69 Διακεντρική ευθεία είναι η ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο εκτός του κύκλου και κέντρο του. Έστω ένας κύκλος (Ο, ρ) και ένα εξωτερικό του σημείο Ρ. Από το Ρ φέρονται δύο εφαπτόμενες του κύκλου. Αν Α, Β είναι τα σημεία επαφής αυτών με τον κύκλο, τότε τα τμήματα ΡΑ και ΡΒ λέγονται εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου από το σημείο Ρ και η ευθεία ΡΟ διακεντρική ευθεία του σημείου Ρ. Διάκεντρος(centreline to centreline) ευθύγραμμο τμήμα που ορίζεται από τα κέντρα δύο κύκλων του ίδιου επιπέδου ή δύο σφαιρών.

70 Διάμεσος Τραπεζίου(median of trapezoid) διάμεσος ενός τραπεζίου διέρχεται από τα μέσα των διαγωνίων του και το τμήμα που αποκόπτεται από αυτές ισούται με την ημιδιαφορά των βάσεων. Το ΘΗ είναι παράλληλο με τις βάσεις ως τμήμα της διαμέσου του τραπεζίου.

71 Διάμεσος τριγώνου(median of triangle ) Στη γεωμετρία, η διάμεσος ενός τριγώνου είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα το οποίο ενώνει μία κορυφή του τριγώνου με το μέσο της αντίθετης πλευράς. Κάθε τρίγωνο έχει ακριβώς τρείς διαμέσους: μία από κάθε κορυφή προς την αντίθετη πλευρά. Στην περίπτωση των ισοσκελών και ισόπλευρων τριγώνων, η διάμεσος διχοτομεί οποιαδήποτε γωνία μιας κορυφής, της οποίας οι δύο προσκείμενες πλευρές της είναι ίσες. Διάμετρος κύκλου (diameter of circle) : Μια χορδή που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου λέγεται διάμετρος του κύκλου.

72 Διάνυσμα(vector) Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα.

73 Διάνυσμα Θέσεως(position vector) Έστω Ο ένα σταθερό σημείο του χώρου. Τότε για κάθε σημείο Μ του χώρου ορίζεται το διάνυσμα, το οποίο λέγεται διάνυσμα θέσεως του Μ ή διανυσματική ακτίνα του Μ. Το σημείο Ο, που είναι η κοινή αρχή όλων των διανυσματικών ακτινών των σημείων του χώρου, λέγεται σημείο αναφοράς στο χώρο. Αν Ο είναι ένα σημείο αναφοράς, τότε για οποιοδήποτε διάνυσμα και επομένως: έχουμε ab

74 Διάνυσμα Κάθετο σε ευθεία(vector Vertical in line) Η ευθεία με εξίσωση Ax +By + Γ =0 είναι κάθετη στο διάνυσμα. Διάνυσμα Παράλληλο σε ευθεία(vector Parallel in line) Η ευθεία με εξίσωση Ax +By + Γ =0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα

75 Διανυσματική Ακτίνα Μέσου Τμήματος Ας πάρουμε ένα διάνυσμα και ένα σημείο αναφοράς Ο. Για τη διανυσματική ακτίνα του μέσου Μ του τμήματος ΑΒ έχουμε: Επομένως και Άρα

76 Διανυσματικά μεγέθη(vector sizes) Είναι τα μεγέθη που για να τα προσδιορίσουμε, εκτός από το μέτρο τους και τη μονάδα μέτρησης, χρειαζόμαστε τη διεύθυνση και τη φορά τους Διαστάσεις ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου (Dimensions rectangular parallelepiped): λέγονται τα μήκη των τριών ακμών που έχουν κοινό το ένα άκρο τους. Διάταξη αριθμών ονομάζεται η καθορισμένη σειρά με την οποία κατατάσσουμε τους αριθμούς στην ευθεία των πραγματικών.

77 Δίεδρη αμβλεία γωνία(dihedral angle obtuse) η αντίστοιχη επίπεδη γωνία της δίεδρης γωνίας, άνω των 90ο (αμβλεία).

78 Διχοτόμος (bisector): Η διχοτόμος ευθεία ή απλά διχοτόμος μιας γωνίας στην ευκλείδεια γεωμετρία είναι μια ημιευθεία που ξεκινά από την κορυφή της γωνίας, βρίσκεται στο εσωτερικό της και την χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες.

79 Ευκλείδεια Διαίρεση (Euclidean Division): Αν α και β ακέραιοι με β 0, τότε υπάρχουν μοναδικοί ακέραιοι κ και υ, τέτοιοι, 0 υ ώστε α =κβ + υ, Η διαδικασία εύρεσης των κ, υ λέγεται ευκλείδεια ή αλγοριθμική διαίρεση του α με τον β. Το κ λέγεται πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης αυτής. Όταν το υπόλοιπο μιας ευκλείδειας διαίρεσης είναι ίσο με το 0, η διαίρεση λέγεται τέλεια.

80 Ευθεία (line): Ευθεία είναι γραμμή, απείρου μήκους και μηδενικού πάχους, χωρίς αρχή και τέλος και απολύτως ίσια. (Η ευκλείδεια γεωμετρία δεν δίνει ορισμό της ευθείας, αλλά τη θεωρεί αρχική έννοια, όπως και το σημείο και το επίπεδο). Β Α

81 Ευθεία γωνία (Straight Angle): Ευθεία γωνία ονομάζουμε τη γωνία στην οποία οι ημιευθείες που την σχηματίζουν είναι μεταξύ τους αντικείμενες.

82

83 Εφαπτομένη (tangent): Εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου ονομάζουμε το πηλίκο της απέναντι κάθετης πλευράς προς την προσκείμενη κάθετη πλευρά της γωνίας ω. Εφαπτομένη κύκλου ονομάζεται κάθε ευθεία που έχει ένα μοναδικό σημείο με τον κύκλο.

84 Εφεξής γωνίες (adjacent angles): Δύο γωνίες λέγονται εφεξής αν έχουν κοινή κορυφή, μία πλευρά κοινή και τις μη κοινές τους πλευρές εκατέρωθεν της κοινής. Εφεξής δίεδρες γωνίες(adjacent dihedral angles): Δύο δίεδρες γωνίες, που έχουν κοινή ακμή, μία έδρα κοινή και τις άλλες εκατέρωθεν της κοινής, λέγονται εφεξής.

85 Ημιευθεία (half line) Ημιευθεία χαρακτηρίζεται το μέρος μιας ευθείας που έχει αρχή ένα σημείο αυτής και εκτείνεται προς τη μια κατεύθυνση αυτής απεριόριστα. Σε μία ημιευθεία, για παράδειγμα, Οχ το σημείο Ο ονομάζεται αρχή της ημιευθείας. Είδη ημιευθειών (kinds of half lines) Ημιευθεία της οποίας η αρχή της, Ο, ανήκει σ αυτήν (βρίσκεται επ αυτής) ονομάζεται κλειστή ημιευθεία. Ημιευθεία της οποίας η αρχή της, O, δεν ανήκει σ αυτήν ονομάζεται ανοικτή ημιευθεία. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η ευθεία αυτή (χχ ) χωρίζεται σε δύο ημιευθείες Οχ και Οχ που ονομάζονται αντικείμενες ημιευθείες. (Half plane)

86 Θεμελιώδες Θεώρημα Αριθμητικής Οι πρώτοι αριθμοί αποτελούν τα δομικά υλικά με τα οποία, μέσω του πολλαπλασιασμού κατασκευάζουμε τους άλλους φυσικούς αριθμούς. Αν ένας πρώτος p διαιρεί το γινόμενο α β δύο ακέραιων, τότε διαιρεί έναν, τουλάχιστον, από τους ακεραίους αυτούς

87 (even monomials) Ίσα Πολυώνυμα (even polynomials) Ίσα λέγονται δύο πολυώνυμα όταν είναι του ίδιου βαθμού και οι αντίστοιχοι συντελεστές τους είναι ίσοι.

88 Ίσα Σύνολα (even sets) Ίσα λέγονται δύο σύνολα Α και Β, όταν έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία, δηλαδή: «Δύο σύνολα Α και Β λέγονται ίσα, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β και αντιστρόφως κάθε στοιχείο του Β είναι και στοιχείο του Α». Στην περίπτωση αυτή γράφουμε Α = Β. Είναι: Α Β = {x Ω x Α ή x Β} Ισοσκελές τρίγωνο (isosceles triangle) Είναι το τρίγωνο που έχει δύο πλευρές του ίσες. Ισόπλευρο τρίγωνο (equilateral triangle) Είναι το τρίγωνο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες.

89 Ισοπίθανα αποτελέσματα ενός δειγματικού χώρου (mutually exclusive) Λέμε ότι τα δυνατά αποτελέσματα του δειγματικού χώρου είναι ισοπίθανα όταν όλα τα στοιχεία του συνόλου του δειγματικού χώρου έχουν την ίδια δυνατότητα επιλογής, δηλαδή ένα στοιχείο του συνόλου του δειγματικού χώρου επιλέγεται στην τύχη και δεν έχει κανένα πλεονέκτημα έναντι των άλλων. Σ ένα πείραμα τύχης με ισοπίθανα αποτελέσματα πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α ονομάζεται ο αριθμός : P (Α) = πλήθος ευνοϊκών περιπτώσεων/πλήθος δυνατών περιπτώσεων= Ν(Α)/Ν(Ω) Η πιθανότητα κάθε ενδεχομένου Α είναι αριθμός μεγαλύτερος ή ίσος από το 0 και μικρότερος ή ίσος από το 1, αφού το πλήθος των ευνοϊκών περιπτώσεων είναι μικρότερο ή ίσο από το πλήθος των δυνατών περιπτώσεων. Δηλαδή ισχύει 0 P ( Α ) 1. Από τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας προκύπτουν: P (Ω) = = 1 και P ( ) = = 0

90 Ισοσκελής Κόλουρη Πυραμίδα (Frustum of Isosceles Pyramid) Ισοσκελής λέγεται η κόλουρη πυραμίδα που κατασκευάζεται από κανονική πυραμίδα και οι παράπλευρες έδρες της είναι ισοσκελή τραπέζια.

91 Κάθετη τομή πρίσματος (Cross section of a solid) Αν το επίπεδο τέμνει κάθετα τις ακμές ενός πρίσματος, τότε η τομή αυτή λέγεται κάθετη τομή. Κάθετος ή κάθετη ευθεία (Perpendicular lines) Ονομάζεται η ευθεία που σχηματίζει ορθή γωνία με κάποιο άλλο σχήμα, ή η κατακόρυφη ευθεία. Συμβολίζεται με. Καθετότητα ευθείας και επίπεδο (Perpendicular line towards a plain) Μια ευθεία ε λέγεται κάθετη σε ένα επίπεδο π, αν είναι κάθετη σε κάθε ευθεία του επιπέδου που διέρχεται από το ίχνος της (γράφουμε ε π ). Αν η ευθεία δεν είναι κάθετη, λέγεται πλάγια.

92 Κανονικά πολύγωνα (Regular Polygon) Τα πολύγωνα που έχουν όλες τις γωνίες και τις πλευρές τους ίσες μεταξύ τους. Το σχήμα αυτό είναι ένα κανονικό εξάγωνο, γιατί κάθε γωνία του είναι 120ο και κάθε πλευρά του 3 εκ. Κανονική πυραμίδα (Regular Pyramid) Μια πυραμίδα λέγεται κανονική, αν η βάση της είναι κανονικό πολύγωνο και η προβολή της κορυφής της στη βάση είναι το κέντρο του κανονικού πολυγώνου. Σε οποιαδήποτε κανονική πυραμίδα οι παράπλευρες έδρες είναι ίσα μεταξύ τους ισοσκελή τρίγωνα (ΚΑΒ, ΚΒΓ, ΚΓΔ, ΚΔΕ, ΚΕΖ, ΚΖΑ). Αντίστροφα, αν οι παράπλευρες έδρες μίας πυραμίδας είναι ίσα μεταξύ τους ισοσκελή τρίγωνα, τότε η πυραμίδα είναι κανονική.

93 Κανονικό Πολύεδρο (Regular Polyhedron) Ένα κυρτό πολύεδρο είναι το πολύεδρο στο οποίο μια ακμή μεταξύ δυο κορυφών περνά μόνο από τα σημεία που είτε βρίσκονται σε έδρα του πολυέδρου είτε στο εσωτερικό του. Ένα "κυρτό πολύεδρο" ονομάζεται κανονικό όταν και μόνον όταν οι έδρες αυτού είναι κυρτά κανονικά πολύγωνα ίσα μεταξύ τους. Δηλαδή κανονικό πολύγωνο είναι ένα στερεό που έχει ίσες έδρες, ίσες ακμές, ίσες στερεές γωνίες κι επιπλέον εγγράφεται σε σφαίρα. Σε αντίθεση με τα άπειρα κανονικά πολύγωνα, υπάρχουν μόνο πέντε είδη (τύποι) κανονικών πολυέδρων, τα οποία καλούνται και "Πλατωνικά Στερεά".

94 Κανονικό τετράεδρο (Regular 4 sided figure) Το κανονικό τετράεδρο είναι το Πλατωνικό στερεό που έχει τέσσερις έδρες. Με άλλα λόγια είναι ένα τρισδιάστατο γεωμετρικό σχήμα, το οποίο οριοθετείται από τέσσερα κανονικά πολύγωνα, και συγκεκριμένα από τέσσερα ίδια ισόπλευρα τρίγωνα.το τετράεδρο ως γεωμετρικό στερεό έχει τέσσερις έδρες, έξι ακμές και τέσσερις κορυφές. Καρτεσιανές συντεταγμένες (Cartesian coordinates) Στα μαθηματικά, το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων είναι ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιείται για να προσδιορίσει ένα σημείο στο επίπεδο.

95 Καρτεσιανό επίπεδο (Cartesian plain) Πάνω σε ένα επίπεδο σχεδιάζουμε δύο κάθετους άξονες και με κοινή αρχή και μοναδιαία διανύσματα τα i και j. Λέμε τότε ότι έχουμε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο ή απλούστερα ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο ή ακόμα ένα καρτεσιανό επίπεδο και το συμβολίζουμε με Oxy.

96 Κατακορυφήν Γωνίες ( congruent angles) Δύο γωνίες λέγονται κατακορυφήν, αν έχουν κοινή κορυφή και οι πλευρές της μίας είναι προεκτάσεις των πλευρών της άλλης. Κατακορυφήν δίεδρες ( congruent dihedral ) Τα αντικείμενα ημιεπίπεδα, σ' και τ' μιας δίεδρης γωνίας ε(σ,τ) σχηματίζουν μία δίεδρη γωνία, με την ίδια ακμή ε, που λέγεται κατακορυφήν της αρχικής και συμβολίζεται με ε(σ',τ'). Κενό σύνολο ( empty set ) Κενό σύνολo ονομάζεται ένα και μόνο ένα σύνολο που δεν περιέχει κανένα στοιχείο. Είναι δηλαδή: ={}. Το κενό σύνολο έχει το παρακάτω διάγραμμα Venn:

97 Κεντρική γωνία ν-γώνου ( central angle of polygon ) Aς θεωρήσουμε ένα κανονικό πολύγωνο με ν πλευρές (κανονικό ν-γωνο) εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, ρ). Για να χωρίσουμε τον κύκλο σε ν ίσα τόξα, θεωρούμε ν διαδοχικές επίκεντρες γωνίες. Καθεμία από τις γωνίες αυτές λέγεται κεντρική γωνία του κανονικού ν-γώνου. Επομένως: η κεντρική γωνία ω ενός κανονικού ν-γώνου είναι ίση με: Κέντρο κανονικού πολυγώνου ( center of regular polygon ) Λέγεται το κοινό κέντρο του εγγεγραμμένου και περιγεγραμμένου κύκλου στο πολύγωνο. Κέντρο παραλληλογράμμου ( center of rectangular ) Το σημείο τομής των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου λέγεται κέντρο του παραλληλογράμμου.

98 Κέντρο σφαίρας (center of sphere) Το σημείο Ο ονομάζεται και κέντρο της σφαίρας. Κλασικός ορισμός πιθανότητας ( classical definition of probability ) Αν ένα στοιχείο του συνόλου του δειγματικού χώρου επιλέγεται στην τύχη και δεν έχει κανένα πλεονέκτημα έναντι των άλλων, τότε όλα τα στοιχεία του συνόλου του δειγματικού χώρου έχουν την ίδια δυνατότητα επιλογής και λέμε ότι τα δυνατά αποτελέσματα του δειγματικού χώρου είναι ισοπίθανα. Σ ένα πείραμα τύχης με ισοπίθανα αποτελέσματα πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α ονομάζεται ο αριθμός : P (Α) = πλήθος δυνατών περιπτώσεων /πλήθος ευνοϊκών περιπτώσεων = Ν (Α) / Ν (Β) Η πιθανότητα κάθε ενδεχομένου Α είναι αριθμός μεγαλύτερος ή ί-σος από το 0 και μικρότερος ή ίσος από το 1, αφού το πλήθος των ευνοϊκών περιπτώσεων είναι μικρότερο ή ίσο από το πλήθος των δυνατών περιπτώσεων. Δηλαδή ισχύει : 0 P ( Α ) 1. Από τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας προκύπτουν: P (Ω) = Ν (Ω) / Ν (Ω) = 1 P ( ) = Ν ( ) / Ν (Ω) = 0

99 Κλασματικές εξισώσεις ( fractional equations ) Ονομάζουμε κλασματική κάθε εξίσωση που έχει άγνωστο στον παρονομαστή. Κλειστή τεθλασμένη γραμμή Μια τεθλασμένη γραμμή, της οποίας τα άκρα ταυτίζονται π.χ. η ΑΒΓΔ, όπου το Α ταυτίζεται με το Ε. Κοινή εφαπτομένη δυο κύκλων (common tangent of two circles ) Ας θεωρήσουμε δύο κύκλους (K1) και (Κ2). Μία ευθεία που εφάπτεται και στους δύο κύκλους λέγεται κοινή εφαπτομένη τους. Μία κοινή εφαπτομένη δύο κύκλων (σχ.30) χαρακτηρίζεται ως εξωτερική, όπως η ε1, όταν οι κύκλοι είναι προς το ίδιο μέρος της και ως εσωτερική, όπως η ε2, όταν οι κύκλοι βρίσκονται εκατέρωθεν αυτής.

100 Κοινή χορδή ( common chord ) Δύο τεμνόμενοι κύκλοι έχουν δύο κοινά σημεία. Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ που ενώνει τα κοινά σημεία λέγεται κοινή χορδή των δύο κύκλων. Κοινό μέτρο ευθυγράμμων τμημάτων ( common measure of line segments ) Έστω δύο μη μηδενικά ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ. Αν υπάρχει ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ και φυσικοί αριθμοί μ, ν τέτοιοι ώστε να ισχύει: ΑΒ = ν ΚΛ και ΓΔ = μ ΚΛ τα δύο ευθύγραμμα τμήματα λέγονται σύμμετρα. Το ΚΛ λέγεται κοινό μέτρο των ΑΒ και ΓΔ. Κόλουρη πυραμίδα ( truncated pyramid ) Το σχήμα που θα προκύψει αν κόψουμε παράλληλα προς τη βάση, την κορυφή της πυραμίδας.

101 Κόλουρος Κώνος ( truncated cone ) Το σχήμα που θα προκύψει αν κόψουμε παράλληλα προς τη βάση την κορυφή του κώνου. 1 Τύπος για τον όγκο: π * ύψος( ρ ^2 + ρ^2 + ρ * ρ) 3 Κορυφή παραβολής ( vertex of parable ) Το μέγιστο ή ελάχιστο σημείο της καμπύλης. Αν Α είναι η προβολή της εστίας Ε στη διευθετούσα δ, τότε το μέσο Κ του ΕΑ είναι προφανώς σημείο της παραβολής και λέγεται κορυφή της.

102 Κορυφή πολυέδρου (vertex of polyhedron ) Το σημείο τομής δύο ακμών ενός πολυέδρου λέγεται κορυφή του. Κορυφή πυραμίδας ( vertex of pyramid ) Το κοινό σημείο Κ των παράπλευρων εδρών λέγεται κορυφή της πυραμίδας. Κορυφή Τρίεδρης ( trihedral vertex ) Το σημείο τομής των τριών ακμών είναι η κορυφή της τρίεδρης γωνίας.

103 Κορυφή ( Vertex ) H κορυφή ορίζει ένα σύνολο ιδιοτήτων που σχετίζονται με ένα μοναδικό σημείο στο χώρο. Σε ένα στατικό περιβάλλον η κορυφή συνήθως περιλαμβάνει συντεταγμένες Θέσης, Κάθετου Διανύσματος. Κύβος ( cube ) Στη στερεομετρία ορίζεται ως κύβος το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με τετράγωνες έδρες. Ο κύβος (ή κανονικό εξάεδρο) είναι ένα από τα Πλατωνικά στερεά. Έχει έξι έδρες, οι οποίες είναι ίσες, οχτώ κορυφές και δώδεκα ακμές. Κυκλικό τμήμα ( circular portion ) Κυκλικό τμήμα είναι η περιοχή του κυκλικού τομέα που ορίζεται από την αντίστοιχη χορδή ΑΒ και το τόξο ΑΒ.

104 Κυκλικός δίσκος Το σύνολο των εσωτερικών σημείων του κύκλου ονομάζεται εσωτερικό του κύκλου και ο κύκλος μαζί με την επιφάνεια που «κλείνει» μέσα του, το εσωτερικό του, δηλαδή, ονομάζεται κυκλικός δίσκος. Κυκλικός τομέας ( circular sector ) Κυκλικός τομέας λέγεται κάθε γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από τα κοινά σημεία ενός κυκλικού δίσκου και μίας επίκεντρης γωνίας του, όπως είναι το γραμμοσκιασμένο σύνολο του σχήματος. Κύκλος ( circle ) Κύκλος ή περιφέρεια με κέντρο Κ και ακτίνα ρ, είναι το γεωμετρικό σχήμα που απαρτίζεται από τα σημεία του επιπέδου που ισαπέχουν από το Κ απόσταση ρ. Συμβολίζουμε C(Κ,ρ). Εναλλακτικά, ο κύκλος ορίζεται ως ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από ένα δεδομένο σημείο. Κάθε σημείο Μ του επιπέδου του κύκλου C(Κ,ρ) για το οποίο ισχύει ΜΚ < ρ, λέγεται εσωτερικό σημείο του κύκλου.

105 Κύλινδρος (cylinder) 0 κύλινδρος είναι ένα γεωμετρικό στερεό με μια καμπύλη επιφάνεια και δύο παράλληλες βάσεις σε σχήμα κυκλικού δίσκου. Ένας κύλινδρος αποτελείται από δύο ίσους και παράλληλους κυκλικούς δίσκους, που είναι οι βάσεις του, και την παράπλευρη επιφάνεια που, αν την ξετυλίξουμε, θα δούμε ότι έχει σχήμα ορθογωνίου. Η απόσταση των δύο βάσεων λέγεται ύψος του κυλίνδρου. Κύριο μέρος μονωνύμου ( main part of monomial ) Το τμήμα του μονωνύμου που περιέχει τις μεταβλητές. Η μοναδική σταθερά που προκύπτει από το μονώνυμο λέγεται συντελεστής του μονωνύμου. Το υπόλοιπο τμήμα λέγεται κύριο μέρος του μονωνύμου.

106 Κυρτή γωνία ( convex angle ) Μία γωνία στην οποία οι πλευρές είναι αντικείμενες ημιευθείες λέγεται ευθεία γωνία. Με άλλα λόγια κάθε ευθεία με ένα σημείο της μπορεί να θεωρηθεί ως ευθεία γωνία. Κώνος (cone) Κώνος λέγεται το στερεό σχήμα που παράγεται από την περιστροφή ενός ορθογωνίου τριγώνου ΚΟΑ γύρω από μία κάθετη πλευρά του ΚΟ.

107 Λόγος ομοιότητας ευθυγράμμων τμημάτων Δύο σχήματα λέγονται όμοια αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. Λόγος των ομόλογων πλευρών δυο ευθυγράμμων τμημάτων λέγεται ο λόγος ομοιότητας των σχημάτων αυτών και συμβολίζεται με λ. Η ομοιότητα μεταξύ δυο ευθυγράμμων σχημάτων συμβολίζεται με Λύση γραμμικής εξίσωσης ( solution of linear equation ) Λύση μιας γραμμικής εξίσωσης αχ + βψ = γ ονομάζεται κάθε ζεύγος αριθμών (χ,ψ) που την επαληθεύει

108 Μέγιστη τιμή συνάρτησης ή μέγιστο συνάρτησης (maximum value of a function) Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, λέμε ότι παρουσιάζει στο όταν: x) f ( x ), για κάθε. f x A ( o xo Α Ολικό (μέγιστο), Μ.Κ.Δ. Αριθμών (greatest common divisor) Ο Μ.Κ.Δ. θετικών ακεραίων, είναι ίσος με το γινόμενο των κοινών τους παραγόντων και με τον κάθε παράγοντα υψωμένο στο μικρότερο εμφανιζόμενο εκθέτη. Μέγιστος κύκλος σφαίρας (maximum circle of sphere) Μέγιστος κύκλος ονομάζεται η τομή της σφαίρας και ενός επιπέδου το οποίο περνάει από το κέντρο της σφαίρας. Η διάμετρος κάθε μέγιστου κύκλου είναι και διάμετρος της σφαίρας. Τα τόξα των μέγιστων κύκλων αποτελούν τη συντομότερη διαδρομή ανάμεσα σε δύο σημεία στην επιφάνεια μιας σφαίρας. Μέθοδος αντίθετων συντελεστών (method of opposite rates) Με τη μέθοδο αυτή επιδιώκουμε να εμφανίσουμε στις δύο εξισώσεις αντίθετους συντελεστές για έναν από τους αγνώστους, έτσι ώστε να τον απαλείψουμε κατόπιν με πρόσθεση κατά μέλη. Συγκεκριμένα, το αρχικό σύστημα, δίνει, μετά από τον πολλαπλασιασμό της πρώτης εξίσωσης με (a') και της δεύτερης με (-a'), το ισοδύναμο σύστημα, Η πρόσθεση κατά μέλη δίνει Με την ίδια διαδικασία όπως και στην προηγούμενη μέθοδο προσδιορίζουμε και τον άλλο άγνωστο:

109 Μέθοδος αντικατάστασης (replacement method) Επιλέγουμε την πιο "απλή" οπτικά εξίσωση (δηλαδή με τους μικρότερους συντελεστές αγνώστων) και απομονώνουμε τον έναν από τους δύο αγνώστους στο ένα μέλος: Αυτό που βρίσκουμε το βάζουμε στην άλλη εξίσωση αντί του αγνώστου και προκύπτει μία πρωτοβάθμια εξίσωση, με έναν άγνωστο μόνο, τον y, ο οποίος υπολογίζεται με απλές αλγεβρικές πράξεις, και βρίσκεται να ισούται με: Τα a, b, c, a', b, c, είναι όλα γνωστοί σταθεροί αριθμοί, δηλαδή το y θα είναι και αυτό πλέον αριθμός. Βάζοντας την τιμή του y στην πρώτη εξίσωση, υπολογίζουμε τέλος και το x: Για να έχουν νόημα οι παραπάνω υπολογισμοί, πρέπει οι παρονομαστές που προέκυψαν στο τέλος να μην είναι μηδέν. Διακρίνουμε λοιπόν τις παρακάτω τρεις περιπτώσεις: (α) Αν, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση: και (β) Αν και είτε είτε, τότε το σύστημα είναι αδύνατο. Επίσης, όταν όλοι οι συντελεστές είναι μηδέν και τουλάχιστον ένας από τους σταθερούς όρους δεν είναι μηδέν, το σύστημα είναι πάλι αδύνατο. (γ) Αν, και, τότε το σύστημα είναι αόριστο.

110 Μέθοδος συμπλήρωσης τετραγώνων (completing the square) Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με 4α: Προσθέτουμε και στα δύο μέλη το: Μέση ανάλογος(average ratio) Στην αναλογία α/β = β/γ οι μέσοι όροι είναι ίσοι. Αυτή η αναλογία λέγεται συνεχής και το β λέγεται μέση ανάλογος. Μέσοι όροι αναλογίας(median) Στην αναλογία αβ = βγ οι μέσοι όροι είναι ίσοι. Ο β λέγεται μέση ανάλογος των α και γ. Το β λέγεται επίσης γεωμετρικός μέσος των α και γ. Μεσοκάθετο επίπεδο(biscector of plane) Το επίπεδο που είναι κάθετο στο μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος λέγεται μεσοκάθετο επίπεδο του ευθύγραμμου τμήματος.

111 Μεσοπαράλληλο επίπεδο (locus) O γεωμετρικός τόπος των σημείων του χώρου που ισαπέχουν από δυο παράλληλα επίπεδα είναι το μεσοπαράλληλο επίπεδο. Μεσοπαράλληλος (intermediate parallel line) Μεσοπαράλληλη ευθεία ή απλά μεσοπαράλληλη δύο παραλλήλων ευθειών στην Ευκλείδεια Γεωμετρία είναι η παράλληλη του ευθεία που διέρχεται από το μέσο των τμημάτων με άκρα πάνω στις ευθείες. Μέσο Τμήματος (mid point) Το Μέσο (επίσης γνωστό ως μέση τιμή κλάσης σε σχέση με το ιστόγραμμα) είναι το μέσο σημείο ενός ευθυγράμμου τμήματος. Βρίσκεται σε ίση απόσταση και από τα δύο άκρα σημεία.

112 Μέσο Διανύσματος (midpoint of vector) Αν διάνυσμα, τότε το μέσο Μ του, είναι το σημείο για το οποίο ισχύει: Μέσο τόξου Μέσο ενός τόξου Α Β είναι σημείο Μ στο εσωτερικό τέτοιο ώστε τα τόξα Α Μ και Μ Β να είναι ίσα. Κάθε τόξο έχει ένα και μοναδικό μέσο. Α Μ Ο Β

113 Μέσος όρος-μέση τιμή μεταβλητής (mean) Στη στατιστική η μέση τιμή μιας μεταβλητής ενός συνόλου ν παρατηρήσεων είναι ο αριθμός που προκύπτει εάν προστεθούν όλες οι τιμές των παρατηρήσεων και διαιρεθούν με το πλήθος της ν. Μεταβλητή (variable) Μια ποσότητα που παίρνει διαφορετικές τιμές, μη σταθερά. Οι μεταβλητές συμβολίζονται με γράμματα της αλφαβήτου. Μέτρο αθροίσματος διανυσμάτων (magnitude adding vectors) Αν a και διανύσματα, τότε μέτρο του αθροίσματος είναι, για το οποίο ισχύει Μέτρο γωνίας (measure of an angle) Το 1/360 του τόξου ενός κύκλου, συμβολίζεται με μια μοίρα. Για κάθε τόξο υπάρχει ένας θετικός αριθμός, όχι απαραίτητα φυσικός, που εκφράζει πόσες φορές το τόξο περιέχει τη μοίρα ή μέρη αυτής. Ο αριθμός αυτός λέγεται μέτρο του τόξου. Ως μέτρο της γωνίας ορίζεται το μέτρο του αντίστοιχου τόξου της, δηλαδή του τόξου που θα βαίνει η γωνία, όταν θα γίνει επίκεντρη.

114 Μέτρο ή μήκος τμήματος Μέτρο ή μήκος ευθυγράμμου τμήματος είναι ο λόγος του προς ένα άλλο ευθύγραμμο τμήμα που παίρνουμε ως μονάδα μέτρησης. Μέτρο Τόξου Μέτρο τόξου τ λέγεται κάποιος μη αρνητικός αριθμός με τον οποίο πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το τόξο 1ο για να προκύψει το τ. Μη κυρτή γωνία Αν το μέτρο μιας γωνίας είναι μεγαλύτερο των 90 μοιρών και μικρότερο των 180 μοιρών, τότε η γωνία λέγεται μη κυρτή γωνία. Μη κυρτή τεθλασμένη γραμμή Είναι αυτή η γραμμή αυτή που δεν είναι κυρτή και είναι τεθλασμένη.

115 Μηδενική γωνία (zero degrees angle) Μια γωνία το εσωτερικό της οποίας δεν περιέχει κανένα σημείο λέγεται μηδενική γωνία. Μηδενικό διάνυσμα (zero vector) Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος συμπίπτουν, τότε το διάνυσμα ονομάζεται μηδενικό διάνυσμα και έχει μέτρο ίσο με το 0. Μηδενικό πολυώνυμο (zero polynomial) Το σταθερό πολυώνυμο που είναι ίσο με 0. Μήκος ευθυγράμμου τμήματος (distance) Μήκος ενός ευθύγραμμου τμήματος ονομάζεται η απόσταση μεταξύ των δύο άκρων του. Το μήκος είναι μη αρνητικό μέγεθος. Για τον ορισμό του μήκους, χρειάζεται οπωσδήποτε μία μονάδα μέτρησης, δηλαδή να προσδιοριστεί ένα ευθύγραμμο τμήμα που έχει μήκος ίσο με 1 (μοναδιαίο). Ένα τμήμα με το οποίο συγκρίνουμε όλα τα ευθύγραμμα τμήματα λέγεται μονάδα μήκους. Για δύο οποιαδήποτε ευθύγραμμα τμήματα ΓΔ και ΑΒ, υπάρχει ένας θετικός αριθμός ρ (όχι απαραίτητα φυσικός), ώστε ΓΔ =ρ ΑΒ. Έτσι, αν θεωρήσουμε ως μονάδα μήκους το ΑΒ, τότε ο αριθμός ρ λέγεται μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΓΔ. Μοίρα (degree) Μονάδα μέτρησης μια επίπεδης γωνίας. Μια μοίρα είναι το 1/360 μιας πλήρης γωνίας Η μοίρα (πλήρως: μοίρα ενός τόξου, μοίρα τόξου), που συνήθως συμβολίζονται με (το σύμβολο των μοιρών), είναι μονάδα μέτρησης μιας επίπεδης γωνίας, που αναπαριστά μιας πλήρους περιστροφής. Μια μοίρα είναι ισοδύναμη με π/180 rad. Η μοίρα υποδιαιρείται σε 60 λεπτά (60') και κάθε λεπτό σε 60 δεύτερα ή δευτερόλεπτα (60'').