Glava 6. Odredjivanje koeficijenta površinskog napona. 6.1 Uvod

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Glava 6. Odredjivanje koeficijenta površinskog napona. 6.1 Uvod"

Transcript

1 Glava 6 Odredjivanje koeficijenta površinskog napona 6.1 Uvod Energija čestica na površini tečnosti je obično veća od njihove energije unutar tečnosti. Zbog toga svaka tečnost nastoji da što više smanji svoju površinu i ovu tendenciju nazivamo površinski napon. 1 Izmedju molekula tečnosti postoji interakcija. Sile izmedju molekula koje pripadaju istoj tečnosti se zovu kohezione sile, dok se sile izmedju molekula iz posmatrane tečnosti i čestica izvan nje zovu adhezione sile. Kada je rastojanje izmedju dva molekula veće od nekog karakterističnog rastojanja r 0 ovi molekuli se privlače, dok se u suprotnom odbijaju. Interakcija izmedju molekula se veoma brzo menja sa njihovim rastojanjem r. Za r > r 0, tj kada se molekuli privlače, sila opada sa nekim dosta visokim stepenom n rastojanja r: F 1/r n ; za van der Waals sile je npr n = 7. Za r < r 0, tj kada se molekuli odbijaju, sila još brže raste sa smanjenjem rastojanja - za van der Waals sile je npr F 1/r 13. Pri uobičajenim pritiscima prosečno rastojanje izmedju molekula u tečnosti je veće od karakterističnog rastojanja, te preovladjuju privlačne sile. Unutar tečnosti molekuli su sa svih strana okruženi drugim molekulima te je prosečna rezultujuća sila medjumolekulskih interakcija jednaka nuli, slika 6.1. Okruženje molekula na površini tečnosti nije simetrično te se na njih javlja sila usmerena ka unutrašnjosti tečnosti. Stoga je pri pomeranju 1 Površinski napon se javlja ne samo kod tečnosti već i kod čvrstih tela. 1

2 2 GLAVA 6. POVRŠINSKI NAPON molekula iz zapremine tečnosti na njenu površinu potrebno utrošiti neki rad. Slika 6.1: Molekul (A) na površini i u zapremini (B) tečnosti. Neka se izotermski (i kvazi-statički) površina tečnosti poveća za S pri neizmenjenoj zapremini. Tom prilikom se utroši rad A koji je proporcionalan sa S zato što je broj molekula prenesenih iz zapremine na površinu tečnosti proporcionalan sa S. Koeficijent proporcionalnosti γ A S (6.1) je veličina koja se naziva koeficijent površinskog napona. Da bi smo što lakše pokazali postojanje napona na površini tečnosti posmatrajmo žičani ram izmedju čijih stranica je formirana opna, slika 6.2; opna ima dve površi (prednju i zadnju) izmedju kojih je tečnost. Kako opna nastoji da smanji svoju površinu i kako je desna stranica rama dužine l pomična, na nju se mora delovati nekom silom F da bi bila u ravnoteži. Ova sila uravnotežava ukupnu silu 2F pn, gde je F pn sila koja se usled površinskog napona u tečnosti javlja na jednoj liniji kontakta površine tečnosti sa ramom. 2 Sila F pn je tangencijalna na površinu tečnosti i normalna na kontaktnu liniju tečnosti sa ramom. Ako se pomična stranica rama pod dejstvom (infinitezimalno uvećane) sile F pomeri udesno za dx izvršiće se rad A = F dx, a površina svake strane opne povećati za S = ldx, te će ukupno povećanje površine iznositi S = 2 S = 2ldx. Odavde nalazimo da je F pn = 2γl, 2 Pošto opna ima dve površi i svaka od njih jednu kontaktnu liniju i pošto su obe strane opne ekvivalentne to su i sile na obe kontaktne lnije iste te je F = 2F pn.

3 6.1. UVOD 3 tj da je sila površinskog napona proporcionalan dužini kontaktne linije sa koeficijentom površkog napona kao konstantom proporcionalnosti. Slika 6.2: Žicani ram izmedju čijih stranica je opna od tečnosti. Koeficijent površinskog napona zavisi od vrste tečnosti i vrste sredine sa kojom je tečnost u kontaktu. Za datu tečnost ova veličina zavisi od njenog stanja, prvenstveno od temperature. Važno: naročito mnogo koeficijent površinskog napona zavisi od prisustva nečistoća. Čak i vrlo male količine nečistoća mnogu znatno da promene površinski napon. SI jedinica za koeficijent površinskog napona je N/m, ali se njegove vrednosti u praksi obično navode u 1000 puta manjim jedinicama - mn/m (milinjutn po metru) Zavisnost koeficijenta površinskog napona od temperature Koeficijent površinskog napona γ je po Etvešovoj formuli 3 linearna funkcija temperature γ = k(t T c )/V 2/3, (6.2) gde je T apsolutna temperatura, T c kritična temperatura, a V molarna zapremina (tj zapremina po jednom molu) posmatrane tečnosti, dok je Etvešova 3 Loránd Eötvös madjarski fizičar čuven po seriji eksperimenata ( ) kojima je dokazana ekvivalencija gravitacione i inertne mase.

4 4 GLAVA 6. POVRŠINSKI NAPON konstanta k = 2, J/(K mol 2/3 ) ista za sve tečnosti. Formula (6.2) je, kako se lako vidi, u skladu sa činjenicom da se površinki napon javlja samo ispod kritične temperature, dok je na višim temperaturama jednak nuli. 4 Napomenimo i da su osim formula, koje su poput (6.2) formule opšteg karaktera, u upotrebi i posebne empirijske formule kao što je formula za koeficijent površinskog napona vode ( ) µ [ ( )] Tc T Tc T γ = B 1 + b, T c u kojoj je B = 235, N/m, b = 0, 625, µ = 1, 256 i T c = 647, 096 K Koeficijent površinskog napona binarnih rastvora Binarnim rastvorom zovemo smešu dve tečnosti, označimo ih sa A i B, koje se rastvaraju jedna u drugoj. Neka su γ A i γ B koeficijenti površinskih napona ovih tečnosti i neka je, odredjenosti radi, γ A < γ B. Neka u rastvoru imamo n A molova tečnosti A i n B molova tečnosti B. Veličine x A n A /(n A + n B ), odnosno x B n B /(n A + n B ), zovemo molarni udeo tečnosti A, odnosno tečnost B; očigledno vredi: x A + x B = 1. Najjednostavnije predvidjanje kako koeficijent površinskog napona rastvora zavisi od njegovog sastava je dato Raulovim pravilom za idealne smeše: 5 T c γ = γ A x A + γ B x B. (6.3) Ovo pravilo može poslužiti samo za grubu procenu jer se u gotovo svim situacijama javljaju znatna odstupanja. Osnovni razlog odstupanja je da je 4 Postoje i složenije formule, npr Guggenheim-Katayama formula: γ = γ 0 (1 T T c ) n, u kojoj je γ 0 koeficijent površinskog napona na temperaturi apsolutne nule (za van der Waals fluide je γ 0 = k 3 P c T 2 c, gde je konstanta k ista za sve van der Waals fluide), dok je n karakteristični eksponent, koji za organske tečnosti iznosi 11/9. 5 Franois-Marie Raoult ( ), francuski hemičar koji je, izmedju ostalog, dao pravilo da je veličina izmerena na smeši linearna kombinacija istih tih veličina za komponente sa molarnim udelima kao koeficijentima linearne kombinacije; npr pritisak pare smeše je p = p A x A + p B x B, gde su p A i p B pritisci pare za komponente smeše A i B. Rauolovo pravilo važi samo za tzv idealne smeše. Kod većine realnih smeša javljaju se odstupanja te se Raulovo pravilo može iskoristiti samo za grubu procenu.

5 6.1. UVOD 5 površinski sloj rastvora znatno bogatiji komponentom rastvora koja ima niži površinski napon nego ostatak rastvora jer se na taj način ostvaruje niža ukupna energija sistema, slika 6.3. Slika 6.3: Koncentracija molekula rastvorene supstance uz površinu i u zapremini rastvora. U odnosu na rastvarač, koeficijent površinskog napona rastvorene supestance je viši (levo), odnosno niži (desno). Imajući navedeno u vidu može se dati jednostavna modifikacija Raulovog pravila za koeficijent površinskog napona rastvora po kojem je γ = γ A y A + γ B y B, (6.4) gde su y A i y B molarni udeli komponenata A i B u površinskom sloju rastvora. Kao i za x A i x B, za njih vredi y A + y B = 1, ali je odnos y A /y B na površini rastvora veći od odnosa x A /x B u ostatku rastvora. Ono što je esencijalno je da u slučaju smeša relativno sličnih tečnosti količnik ova dva odnosa S = y A/y B, (6.5) x A /x B ne zavisi od sastava rastvora, te se može iskoristiti za predikciju koeficijenta površinskog napona: odnosno γ = Sγ Ax A + γ B x B Sx A + x B (6.6) γ = γ B + (Sγ A γ B )x A, (6.7) 1 + (S 1)x A gde je koeficijent površinskog napona rastvora dat u funkciji molarnog udela komponente A kao jedine nezavisne veličine (jer je x B = 1 x A ). Ovaj izraz se može napisati u obliku γ γ A γ B γ = 1 S ( ) 1 1 x A, (6.8) po kojem je veličina (γ γ A )/(γ B γ) linearna funkcija veličine 1/x A 1.

6 6 GLAVA 6. POVRŠINSKI NAPON Merenje koeficijenta površinskog napona metodom otkidanja prestena (du Noüy metod) Metod otkidanja prstena (du Noüy, ) je jedan od standardnih metoda za merenje koeficijenta površinskog napona. Iako manje tačan od drugih metoda (npr kapilarnog 7 koji se smatra referentnim), ovaj metod je dosta brz, te se zato često koristi kada je potrebno brzo izmeriti koeficijent površinskog napona a da rezultati merenja ne moraju imati referentnu tačnost. U metodi otkidanja prstena se meri sila potrebna da se otkine prsten potopljen u ispitivanu tečnost, slika 6.4. Slika 6.4: Shema metoda otkidanja prstena; θ je kontaktni ugao izmedju tečnosti i prstena. Predstavljen je prsten sa pravougaonim presekom kakav je na aparturi u studentskoj laboratoriji. U originalnoj metodi prsten ima kružni poprečni presek. Sila usled površinskog napona se javlja na kontaktnoj liniji prstena sa tečnošću. Za idealan prsten to su dve koncentrične kružnice u istoj horizontalnoj ravni: spoljašnje sa prečnikom D s i unutrašnja sa prečnikom D u. Stoga je ukupna dužina kontaktne linije prstena i tečnosti l = π(d s + D u ). 6 Čita se - di Noj. 7 Do godine rezultati merenja ovim metodom se nisu slagali sa rezultatima drugih metoda pa se nisu ni navodili u referentnim tablicama.

7 6.1. UVOD 7 Sila površinskog napona na svaki segment ove linije je usmerena pod uglom θ u odnosu na vertikalu, gde je θ kontaktni ugao izmedju prstena i tečnosti. Na taj način je ukupna sila površinskog napona na prsten jednaka i usmerena je vertikalno naniže. F pn = γπ(d s + D u ) cos θ (6.9) Slika 6.5: Vremenska zavisnost sile F izmedju prstena i površine tečnosti tokom različitih faza otkidanja prstena; pozitivna smer za F je vertikalno naviše. (1) - prsten u vazduhu, F = 0. (2) - prsten uz samu površ tečnosti; sila F > 0 je mala i potiče od adhezije izmedju prstena i tečnosti. (3) - tokom potiskivanja prstena u tečnost potrebna je mala sila F < 0 da bi se savladao površinski napon. (4) - prsten je potpuno potpljen u tečnost; mala sila F > 0 potiče od površinskog napona na držačima prstena. (5) i (6) - tokom podizanja prstena sila F raste sve dok ne dostigne maksimum (7). Nakon toga se tokom kidanja dodirne linije prstena i tečnosti smanjuje te pada na nulu (8) kada je prsten otkinut i visoko iznad tečnosti. U metodi otkidanja prstena na prsten deluje sila F vertikalno naviše. Ova sila, slika 6.5, se menja tokom otkidanja i ima najveća vrednost u trenutku kada kontaktna linija prsten-tečnost počne da se kida. Ta najveća vrednost se zove sila otkidanja prstena i to je veličina koja se meri u metodi.

8 8 GLAVA 6. POVRŠINSKI NAPON Sila otkidanja prstena F je nešto manja od sile površinskog napona F pn računatoj po formuli (6.9). Detaljne studije, u koje se ne možemo upuštati, su pokazale da je količnik C F pn F veličina koja zavisi od odnosa prečnika i debljine prstena, kao i od odnosa R 3 (ρ ρ )g/f, gde je R srednji poluprečnik prstena, g je ubrzanje Zemljine teže, dok su ρ i ρ gustine tečnosti i njene zasićene pare. Stoga formula za koeficijent površinskog napona odredjen metodom otkidanja prstena glasi: γ = F π(d s + D u ) cos θ C. (6.10) Sile otkidanja prstena su tipično male (reda mn) i za njihovo merenje se može koristiti torziona vaga. Ona se sastoji od ravnokrake poluge povezane sa torzionom niti, vidi sliku 6.8 a). Kada se poluga nagne za ugao ϕ, za isti ugao se uvrne i torziona nit te na polugu deluje restitucionim torzionim momentom M = kϕ koji nastoji da vrati nit u nedeformisano stanje (otud znak minus). Zato ako poluga zaklapa ugao α u odnosu na horizontalu i na jedan njen kraj deluje sila F pod uglom β u odnosu na g, tada će torziona nit biti u ravnoteži kada se uvrne za ugao ϕ za koji je kϕ = F l p cos(α β), gde je l p rastojanje od centra poluge do napadne tačke sile F. Pri merenju sila torzionom vagom se nastoji da je α = β = 0; tada je kϕ = F l p, što znači da je ugao uvrtanja niti proporcionalan sili F priloženoj na kraj poluge, te se merenje sile F svodi na merenje ugla uvrtanja torzione nite ϕ. Slika 6.6: Kontaktni ugao izmedju prstena (PHYWE torziona vaga) i vode. Navedimo na kraju da kontaktni ugao θ zavisi od materijala prstena i vrste tečnosti. Za prsten od platine (profesionalne aparature) je θ 0. U PHYWE aparaturi je prsten, da bi bio jeftiniji, izradjen od legiranog čelika i za kontakt prsten-voda iznosi oko 13, 5, slika 6.6.

9 6.2. OPIS APARATURE Opis aparature Aparatura za merenje koeficijenta površinskog napona metodom otkidanja prstena je prikazana na slici 6.7. Slika 6.7: Aparatura za merenje površinskog napona. (1) - PHYWE torziona vaga za merenje površinskog napona; (2) - sud za tečnost kojoj se meri površinski napon; (3) - vodeno kupatilo; (4) - termometri za merenje temperatura u (2) i (3); (5) - bokali, crveni za toplu i plavi za hladnu vodu; (6) - špricevi i (12) crevo za presipanje vode u kupatilo špricem; (7) - menzura za alkohol u kojoj se čisti prsten aprature; - flaše sa destilovanom vodom (8) i 96% alkholom (9); (10) - pomoćni sud za odlaganje vode; (11) - postolje za kupatilo i (13) - postolje i nosač torzione vage.

10 10 GLAVA 6. POVRŠINSKI NAPON Postavka aparature (torzione vage) pre merenja Na samom početku eksperimenta je potrebno utvrditi da li je aparatura postavljena u radni položaj; ako ne, izvršiti postavku uz nadzor nastavnika ili stručnog saradnika po sledećoj proceduri: 1. Proveriti da li aparatura (torziona vaga) stoji stabilno na stolu; ako ne, obezbediti stabilnost rotacijom zavrtnja na nožicama postolja aparature (13), slika 6.7. Slika 6.8: a) Kraci torzione vage: (1) - kraci; (2) - točak za podešavanje horizontalnosti krakova; (3) - markeri horizontalnog položaja kazaljke; (4) - štitnik krakova; (5) - torziona nit; (6) - veza krakova i torzione niti. b) - Skala aparature pokazuje silu u mn (najmanji podelak na skali odgovara sili od 0,1mN): (1) - kazaljka skale; čitljivost skale je povećana na 0,025nN nonijusnom podelom (2) od 4 podeoka na plastičnom štitniku kazaljke; (3) - točak za okretanje kazaljke skale; 2. Proveriti libelom da li je štitnik krakova (4), slika 6.8 a), horizontalan; ako ne, postaviti ga u horizontalni položaj pažljivim pomeranjem aparature u zavrtnjima kojima je torziona vaga pričvršćena na nosač. 3. Okačiti suv prsten na levi krak torzione vage (1), slika 6.8 a). 4. Postaviti kazaljku skale (1), slika 6.8 b), na nulu. 5. Proveriti da li kraci vage stoje horizontalno; ako ne, podesiti ih okretanjem točka za podešavanje horizontalnosti krakova (2), slika 6.8 a). Kraci torzione vage stoje horizontalno kada se nalaze unutar polja ograničenih markerima (3), slika 6.8 a), na štitniku krakova.

11 6.2. OPIS APARATURE 11 Kraci torzione vage su pričvršćeni za torzionu nit (5), slika 6.8 a), u tački (6). Okretanjem točka za podešavanje položaja krakova (2), slika 6.8 a), se uvrće (kraći) deo torzione niti izmedju krakova i točka za nivelisanje krekova (2). Okretanjem točka skale (1), slika 6.8 b), se uvrće duži deo torzione niti izmedju krakova i skale aparature Procedura merenja koeficijenta površinskog napona 1. Nasuti sud (2), slika 6.7, tečnošću kojoj se meri koeficijent površinskog napona; debljina tečnosti u sudu treba da bude izmedju 1 i 1,5cm. 2. Poklopiti sud poklopcem. Prsten aparature provući kroz levak i otvor na sudu i ostaviti da visi u vazduhu (tj ne potapati ga); konac na koji je prsten okačen ne sme da dodiruje zidove levka; ako da, pomeriti levak. 3. Visina prstena u vazduhu treba da bude izmedju 1 i 2 cm iznad nivoa tečnosti: ako nije, podesiti visinu aparature polako je pomerajući u zavrtnjima na njenom nosaču. 4. Sačekati 2-3 minuta da se u sudu (poklopljenom poklopcem i levkom) formira vazduh zasićen parom ispitivane tečnosti Potpuno potopiti prsten u tečnost. 6. Pažljivo okretati točak skale (3), slika 6.8 b) u smeru kazaljke na satu. Okretanjem točka se uvrće torziona nit (5); kada je nit uvrnuta, na krakove vage u istom smeru deluje torzioni moment niti koji nastoji da smanji uvrtanje niti, tj da obrne levi krak nagore. Usled toga se konac zateže i uravnotežava preostale momente sila momentom svoje sile zatezanja F. Ova sila se prenosi na prsten i podiže ga. Kazaljka na skali (1), slika 6.8 b), pokazuje ugao uvrtanja torzione niti koji je proporcionalan intenzitetu sile F na koju je izbaždarena skala aparature. 7. Dok je sila F mala, prsten je potopljen u tečnost a levi kraj torzione vage spušten. Kada sila dovoljno poraste (tj kada okretanjem točka na skali dovoljno uvrnete torzionu nit) levi krak počinje da se podiže i prilazi polju izmedju izmedju dva markera (3), slika 6.8, za horizontalni 8 Trebalo bi čekati desetak puta duže što nije izvodljivo u studentskom eksperimentu.

12 12 GLAVA 6. POVRŠINSKI NAPON položaj kraka. Daljim okretanjem točka na skali sila F će toliko porasti da će se prsten otkinuti a levi krak naglo podići nagore. 8. Kad god levi krak nije horizontalan, proporcionalnost pokazivanja kazaljke i sile na prsten je narušena. Stoga podizanjem podloge kupatila (ovo radimo okretanjem šrafova a libelom pratimo da podloga ostaje horizontalna) nastojimo da održavamo polugu horizontalnom. 9. U neposrednoj blizini tačke otkidanja pomeranje kazaljke na skali i podizanje podloge šrafovima radi postavljanja poluge u horizontalan položaj mora biti veoma fino. Ovime obezbedjujemo da je u trenutku otkidanja poluga bila horizontalna, te je pokazivanje kazaljke valjano. 10. Kada je prsten blizu otkidanja površina tečnosti i prsten moraju biti mirni; u suprotnom, prsten će se otkinuti pri manjoj sili. 6.3 Eksperiment Zadatak 1 - odredjivanje koeficijenta površinskog napona za smešu vode i etil alkohola na sobnoj temperaturi Pripremna faza merenja: 1. Ako u kupatilu ima vode isprazniti ga. 2. Potapanjem u menzuru, očistiti prsten alkoholom, osušiti ga na vazduhu 9 i okačiti na aparaturu. Ponovo proveriti da li je torziona vaga uravnotežena kada je kazaljka skale na nuli; ako ne, uravnotežiti je. 3. Dobro isprati sud za ispitivanu tečnost (2), slika 6.7, prvo običnom pa zatim destilovanom vodom. 4. Napuniti ovaj sud sa 100ml destilovane vode; zapreminu destilovane vode odmeriti špricem. 5. Postaviti sud sa destilovanom vodom u (prazno) kupatilo i poklopiti ga. 9 Ne duvajte vazduh da bi ste ga brže osušili; u vazduhu iz usta ima mnogo organskih materija koje će se nataložiti na prstenu.

13 6.3. EKSPERIMENT Spustiti prsten aparature kroz levak i otvor poklopca; zatvoriti otvor levkom pazeći da konac ne dodiruje zidove levka. 7. Proveriti libelom da li postolje kupatila (11), slika 6.7, stoji horizontalno; ako ne, nivelisati ga šrafovima na koje se postolje oslanja. Merna faza: 1. Izmeriti koeficijent površinskog napona za destilovanu vodu (bez alkohola). Silu otkidanja izmeriti tri puta i upisati rezultate u Excel tabelu. 10 Ako koristite templejt upišite rezultate u listu Water-Ethanol mixture. Upišite i vrednost temperature vode. Važno: upisujete samo vrednosti za tri merenja sile otkidanja u mn (redom u kolone mer. 1, mer. 2 i mer. 3) i temperaturu u koloni Trastvor [C]; ostale vrednosti Excel sam računa: Srednju silu Fsr računa po formuli: =(Fn+Gn+Hn)/3 gde je n=2,3,... redni broj vrste u kojoj se upisuju rezultati. Slika 6.9: naponom. Excel tabela za upis podataka u eksperimentu sa površinskim Molarni udeo Xa zapremine Va [ml] 96% alkohola u Vw [ml] zapremini vode Excel računa po formuli: =1/( *Dn/Cn) 10 Na raspolaganju vam je Excel tabela PN Template.xls koju pre koričćenja treba da preimenujete.

14 14 GLAVA 6. POVRŠINSKI NAPON gde je n=3,4,... dok je u vrsti 2 upisano 0 (nema formule). Ova formula se dobija iz izraza za molarni udeo alkohola x A [ x A = 1 + V ( ma 1 p + V )] 1 W, (6.11) pv mw V A u rastvoru u kojem je zapremina V A 100p procentnog alkohola pomešana sa zapreminom V W vode; V ma = 58, 3904 cm 3 je molarna zapremina (čistog) alkohola, a V mw = 18, 0677 cm 3 molarna zapremina vode, obe na 25 C. Za 96% alkohol koji se koristi je p = 0, 96. Važno: u listi BasicData su navedeni pomenuti podaci kao i svi ostali relavantni podaci (npr sve dimenzije prstena) za eksperiment. Koeficijent površinskog napona γ Excel računa po formuli =0.875*En/( *COS(RADIANS(13.5))) gde je n=2,3,... redni broj vrste, a En vrednost srednje sile otkidanja u mn; ovo u stvari formula (6.10) u kojoj se koristi izmerena vrednost spoljašnjeg+unutrašnjeg obima prstena (=0,12235m), zatim izmereni kontaktni ugao izmedju prestena i vode (=13.5 ), kao i korekcioni faktor za naš prsten C = 0, Dodavati malim špricem alkohol u rastvor tako da zapremina 96% alkohola u rastvoru iznosi redom 5, 10, 15, 20, 30, 40 i 50 ml. 12 Svaki put nakon što dodate alkohol sačekajte 2-3 minuta, pa zatim izmerite koeficijent površinskog napona rastvora. 3. Na kraju izmerite površinski napon za 96% alkohol (bez vode). Obrada podataka: 1. Nacrtati grafik zavisnosti koeficijenta površinskog napona rastvora alkoholvoda u funkciji molarnog udela alkohola x. 11 Ova vrednost je uzeta na osnovu Harkins-Jordan podataka; videti: W. D Harkins and H. F. Jordan, J. Am. Chem. Soc., 52,1751 (1930). 12 Da bi ste dobili zapremine alkohola od 5, 10, 15 i 20 ml, četiri puta za redom dodajete po 5ml alkohola; zatim tri puta dodajete po 10 ml alkohola i tako dobijate zapremine 30, 40 i 50 ml alkohola u rastvoru.

15 6.3. EKSPERIMENT Linearizovati podatke u skladu sa izrazom (6.8). Uzeti da je komponenta A etil alkohol, a komponenta B voda. Uzeti da su γ A i γ B izmereni koeficijenti površinskog napona za 96% alkohol i destilovanu vodu (bez alkohola). 3. Nacrtati linearizovane podatke i fitovanjem ovih podataka na pravu liniju odrediti veličinu S i proceniti njenu grešku Zadatak 2 - odredjivanje koeficijenta površinskog napona za vodu u funkciji temperature Pripremna faza merenja: 1. Očistiti prsten alkoholom, osušiti ga i okačiti na aparaturu. Proveriti da li je torziona vaga uravnotežena. 2. Dobro isprati sud za ispitivanu tečnost destilovanom vodom. 3. Napuniti ovaj sud destilovanom vodom iz flaše; njen nivo u sudu treba da je na 1 do 1,5cm od dna suda; polopiti sud poklopcem. 4. Isprazniti kupatilo i postaviti sud sa destilovanom vodom u njega. 5. Napuniti crveni bokal vrućom vodom iz bojlera (temperatura treba da je preko 80 C). 6. Naliti vruću vodu u kupatilo do 1cm ispod vrha; ako sud sa destilovanom vodom počne da pliva isprazniti nešto vruće vode iz kupatila špricom. 7. Postaviti termometre: jedan u kupatilo, a drugi uz površ destilovane vode tako da vrh njegove sonde bude u vodi. 8. Pratiti porast temperature na oba termometra (temperatura destilovane vode će biti niža od temperature vode u kupatilu). Sačekati dok temperatura destilovane vode ne poraste na oko 70 C. Ako temperatura destilovane vode ne uspeva da se povisi do 70 C, izvući par puta špricom vodu iz kupatila pa dopuniti kupatilo vrućom vodom iz crvenog balona. Ponavljati ovo sve dok se ne dostigne željena temperatura destilovane vode.

16 16 GLAVA 6. POVRŠINSKI NAPON 9. Spustiti prsten aparature kroz levak i otvor poklopca; zatvoriti otvor levkom pazeći da konac ne dodiruje zidove levka. 10. Merenje koeficijenta površinskog napona započeti kada destilovana voda približno dostigne željenu početnu temperaturu. Merna faza: Izmeriti koeficijent površinskog napona destilovane vode redom na temperaturama od 70 C, 60 C,..., 20 C i 10 C. Temperaturu u kupatilu smanjivati svaki put za po 10 C tako što iz njega izvučete jednu (ili koliko treba) zapremina špriceva vode i dopunite vodu u kupatilu istom zapreminom hladne vode uzete iz suda sa mešavinom leda i vode. Vodu u kupatilu menjate tako što priključite špric na crevo (12), slika 6.7. Svaki put kad promenite temperaturu sačekajte 2-3 minuta da se u sudu formira zasićena vodena para. Na svakoj temperaturi merite silu otkidanja po tri puta i unesite rezultate merenja u listu Water vs Temperature Excel tabele. Napomena: tokom merenja na izabranoj temperaturi, temperatura destilovane vode se menja zato što kupatilo (jednostavnosti radi) nije termostatirano; ako se temperatura promeni za više od 2 C izmeniti malo vode u kupatilu dok se temperatura ne vrati u dozvoljene granice. 13 Obrada podataka: 1. Nacrtati grafik zavisnosti koeficijenta površinskog napona vode u funkciji temperature. 2. Uz pomoć Etvešove formule (6.2) proceniti kritičnu temperaturu vode T c. 14 Napomena: koeficijent površinskog napona vode mnogo zavisi od čistoće vode. Prisustvo male količine nečistoća, naročito onih organskog porekla, znatno snižava izmerene vrednosti. Zato ne treba očekivati da se u studentskom eksperimentu dobiju vrednosti bliske tabličnim koje su dobijene za potpuno čistu destilovanu vodu pri veoma strogim ostalim uslovima merenja. 13 Površinski napon se malo menja sa temperaturom te se toleriše promena temperature destilovane vode za 1 do 2 C tokom merenja. 14 Etvešova formula primenjena na tablične podatke daje kritičnu temparaturu od 450 C, što se znatno razlikuje od prave vrednosti = 374 C.

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II 1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele: Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile POVOĐENJE TOČKA Dejstvo bočne sile pravac kretanja pod uglom u odnosu na pravac uzdužne ravni pneumatika BOČNA SILA PAVAC KETANJA PAVAC UZDUŽNE AVNI PNEUMATIKA

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA. IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile POVOĐENJE TOČKA Dejstvo bočne sile pravac kretanja pod uglom u odnosu na pravac uzdužne ravni pneumatika BOČNA SILA PAVAC KETANJA PAVAC UZDUŽNE AVNI PNEUMATIKA

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

I Pismeni ispit iz matematike 1 I

I Pismeni ispit iz matematike 1 I I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

3525$&8158&1(',=$/,&(6$1$92-1,095(7(120

3525$&8158&1(',=$/,&(6$1$92-1,095(7(120 Srednja masinska skola OSOVE KOSTRUISAJA List1/8 355$&8158&1(',=$/,&(6$1$9-1,095(7(10 3ROD]QLSRGDFL maksimalno opterecenje Fa := 36000 visina dizanja h := 440 mm Rucna sila Fr := 350 1DYRMQRYUHWHQR optereceno

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA.   Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Pregled pojmova veličina i njihovih jedinica koje se koriste pri osnovnim izračunavanjima u hemiji dat je u Tabeli 1. Tabela 1. Veličine i njihove jedinice

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Mašinsko učenje. Regresija.

Mašinsko učenje. Regresija. Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja: Anene Transformacija EM alasa u elekrični signal i obrnuo Osnovne karakerisike anena su: dijagram zračenja, dobiak (Gain), radna učesanos, ulazna impedansa,, polarizacija, efikasnos, masa i veličina, opornos

Διαβάστε περισσότερα

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1 Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα