Χ. Α. Αλεξόπουλος. Τµήµα Μηχ. Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήµιο Πατρών

Transcript

1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΑ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ Χ. Α. Αλεξόπουλος Τµήµα Μηχ. Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήµιο Πατρών Πάτρα 2014

2 Αφιερωµένο σε δύο εκλεκτούς ανθρώπους, πανεπιστηµιακούς δασκάλους και φίλους, τον Θόδωρο Παπαθεοδώρου και ηµήτρη Χριστοδουλάκη των οποίων η µνήµη θα µείνει άσβεστη

3 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βοήθηµα αυτό γράφτηκε για να υποστηρίξει το µάθηµα «Αριθµητική Ανάλυση και Περιβάλλοντα Υλοποίησης» που διδάσκεται στο πρώτο έτος του τµήµατος Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής του Πανεπιστηµίου Πατρών. Αποσκοπεί αφ ενός, να δώσει στον αναγνώστη-φοιτητή τα βασικά θεωρητικά εφόδια της Αριθµητικής Ανάλυσης, αλλά και συγχρόνως να παρουσιάσει τη γενική µεθοδολογία την οποία οφείλει αυτός να ακολουθήσει, προκειµένου να υλοποιήσει βασικές αριθµητικές µεθόδους σε πεδία εφαρµογών του ενδιαφέροντός του. Στο πρώτο µέρος του βοηθήµατος αυτού παρουσιάζονται βασικά θέµατα της κλασικής ύλης της Αριθµητικής Ανάλυσης. Περιλαµβάνονται µέθοδοι για επίλυση µη γραµµικών εξισώσεων, µέθοδοι για επίλυση γραµµικών συστηµάτων, επαναληπτικές µέθοδοι επίλυσης γραµµικών συστηµάτων και η βασική θεωρία του προβλήµατος της προσέγγισης και παρεµβολής. Έχει καταβληθεί προσπάθεια για σύνδεση του θεωρητικού πλαισίου των αριθµητικών µεθόδων που παρουσιάζονται, µε παραδείγµατα και εφαρµογές, διατυπώσεις αλγορίθµων και προγράµµατα σε όλη την ύλη του βιβλίου. Προχωρηµένα θέµατα δεν καλύπτονται, αφού κύρια εµπίπτουν στο πιο προχωρηµένο αντικείµενο του «Επιστηµονικού Υπολογισµού». Για τα θέµατα αυτά, όπως και για τις µεθόδους της αριθµητικής παραγώγισης και ολοκλήρωσης, ο αναγνώστης παραπέµπεται στην σχετική βιβλιογραφία. Τα παραδείγµατα του βιβλίου έχουν επαληθευτεί σε περιβάλλον Matlab. Οι κύριοι αλγόριθµοι έχουν υλοποιηθεί στη γλώσσα Matlab και παρουσιάζονται στα πλαίσια ειδικών παραδειγµάτων εντός των σχετικών παραγράφων. Θα ήθελα να ευχαριστήσω όσους βοήθησαν µε οποιοδήποτε τρόπο στην ολοκλήρωση, επαλήθευση, διόρθωση και εκτύπωση του υλικού του βιβλίου. Χ. Α. Αλεξό ουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήµιο Πατρών Μάιος 2014

4 Περιεχόµενα Ι. Πρόλογος Κεφ. Ι Ανα αράσταση Αριθµών και Σφάλµατα 1.1 Ανα αράσταση Ακεραίων I Ανα αράσταση Πραγµατικών I Αριθµητική Κινητής Υ οδιαστολής I Σφάλµατα και Υ ολογιστική Ακρίβεια I Μετάδοση Σφαλµάτων I Εκτιµήσεις Σφάλµατος I Ευσταθείς Αριθµητικοί Αλγόριθµοι I Σύγκλιση Ε αναλη τικών Αλγορίθµων I-13 I Σύνοψη και Βιβλιογραφία I-18 Κεφ. ΙΙ Προσέγγιση Λύσεων Μη Γραµµικών Εξισώσεων 2.1 Μέθοδος ιχοτόµησης II-1 II Εντο ισµός Ριζών II-6 II Γενική Ε αναλη τική Μέθοδος II Σύγκλιση II Εκτίµηση Σφάλµατος και Σύγκλιση II-10 II Μέθοδος Regula Falsi II-15 II Ε αναλη τική Μέθοδος Newton-Raphson II εύτερης Τάξης Newton-Raphson (Halley) II-24 II Μέθοδος της Χορδής II-26 II Υ ολογισµός Ριζών Πολυωνύµου - Μέθοδος Newton-Horner II-27 II Μέθοδος Muller II-34 II Σύνοψη και Βιβλιογραφία II-38 Κεφ. ΙΙΙ - Ε ίλυση Γραµµικών Συστηµάτων µε Α αλοιφή 3.1 Εισαγωγή ΙΙΙ Στοιχειώδεις Μετασχηµατισµοί Γραµµών και Μητρώων ΙΙΙ Στοιχειώδη Μητρώα Α αλοιφής ΙΙΙ Μεταθέσεις και Μεταθετικά Μητρώα ΙΙΙ Μέθοδος Α αλοιφής Gauss ΙΙΙ Α αλοιφή στα m n Γραµµικά Συστήµατα Μια Σύνοψη ΙΙΙ Μέθοδοι Οδήγησης ΙΙΙ-11 II-1

5 3.3.3 Ανάλυση Αλγορίθµου Gauss ΙΙΙ Υ ολογισµός Ορίζουσας και Αντιστρόφου ΙΙΙ-19 ΙΙΙ Σύνοψη και Βιβλιογραφία ΙΙΙ-22 Κεφ. ΙV - Μητρώα Ειδικών Μορφών και ιασ άσεις 4.1 Παραγοντο οίηση LU IV ιάσ αση LU Μέθοδος Grout IV Θετικά Ορισµένα Μητρώα IV Κανονικές Τετραγωνικές Μορφές IV Μητρώα µε διαγώνια κυριαρχία IV Συµµετρικά και Ερµιτιανά Θετικά Ορισµένα Μητρώα IV Συµ ληρωµατικά Κριτήρια για θ.ο. Μητρώα IV Θετικά Ορισµένα Ερµιτιανά Μητρώα IV Συµ εράσµατα για τη ιασ ασιµότητα IV ιάσ αση Choleski IV Ταινιακά Μητρώα IV-38 IV Σύνοψη και Βιβλιογραφία IV-42 Κεφ. V - Ανάλυση Σφάλµατος στα Γραµµικά Συστήµατα - Νόρµες 5.1. Ευκλείδειοι Χώροι - Εσωτερικό Γινόµενο και Μέτρο V Καθετότητα V Νόρµα ιανύσµατος V Νόρµες Μητρώων V Φυσικές Νόρµες V Συνήθεις Φυσικές Νόρµες V Άλλες Νόρµες V Ανάλυση Σφάλµατος και είκτης Κατάστασης (?) V Ευστάθεια Γραµµικών Συστηµάτων (?) V-21 V Σύνοψη και Βιβλιογραφία V-25 Κεφ. VI - Ε αναλη τικές Μέθοδοι Για Γραµµικά Συστήµατα 6.1 Γενική Ε αναλη τική Μέθοδος VI Ανάλυση Σφάλµατος VI Ε ανάληψη Jacobi VI Ε ανάληψη Gauss-Seidel VI Σύγκλιση VI-15 VI Σύνοψη και Βιβλιογραφία VI-17 Κεφ. VII - Υ ολογισµός Ιδιοτιµών 7.1 Μέθοδος υνάµεων 7.2 Βελτιωµένη Μέθοδος υνάµεων 7.3 Σύνοψη και Βιβλιογραφία

6 Κεφ. VIII Προσέγγιση και Παρεµβολή 8.1 Το ρόβληµα της Παρεµβολής 8.2 Πολυωνυµική Παρεµβολή 8.3 Παρεµβολή σε ένα σηµείο µε Πολυώνυµα Taylor 8.4 Πολυώνυµο Lagrange 8.5 Πολυώνυµο Newton και ιαιρεµένες ιαφορές 8.6 Εφαρµογή της µορφής Newton στο γενικευµένο Πρόβληµα Παρεµβολής 8.7 Παρεµβολή Hermite 8.8 Αστάθεια της Πολυωνυµικής Παρεµβολής Η συνάρτηση του Runge 8.9 Προσέγγιση µε Πολυώνυµα Chebyshev 8.10 Παρεµβολή µε Τµηµατικά Πολυώνυµα Γραµµικές Συναρτήσεις Splines Τετραγωνικές Συναρτήσεις Splines Κυβικά Τµηµατικά Πολυώνυµα Hermite Κυβικές Συναρτήσεις Splines Υλο οίηση των κυβικών Splines ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ 1. Ιδιοτιµές και Ερµιτιανά Μητρώα Μια σύνοψη Ευρετήριο