ΓΕΩΡΓΙΟΣ Ε. ΣΤΑΥΡΟΥΛΑΚΗΣ ΜΑΡΙΑ Ε. ΣΤΑΥΡΟΥΛΑΚΗ ΑΛΙΚΗ Δ. ΜΟΥΡΑΝΤΟΒΑ

Transcript

1 ΓΕΩΡΓΙΟΣ Ε. ΣΤΑΥΡΟΥΛΑΚΗΣ ΜΑΡΙΑ Ε. ΣΤΑΥΡΟΥΛΑΚΗ ΑΛΙΚΗ Δ. ΜΟΥΡΑΝΤΟΒΑ

2 Υπολογιστική Μηχανική Συγγραφή Γεώργιος Ε. Σταυρουλάκης Μαρία Ε. Σταυρουλάκης Αλίκη Δ. Μουράντοβα Κριτικός αναγνώστης Ευριπίδης Μυστακίδης Συντελεστές έκδοσης Γλωσσική Επιμέλεια: Βασίλειος Παππάς Επιμέλεια Εξωφύλλου: Ευσταθία Ταυλοπούλου και Ματθαίος Αλιώπης Ιστοσελίδα με συνοδευτικό υλικό: ISBN: Copyright ΣΕΑΒ, 2015 Το παρόν έργο αδειοδοτείται υπό τους όρους της άδειας Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση - Όχι Παράγωγα Έργα 3.0. Για να δείτε ένα αντίγραφο της άδειας αυτής επισκεφτείτε τον ιστότοπο ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΩΝ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΩΝ Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ηρώων Πολυτεχνείου 9, Ζωγράφου

3 ii Πρόλογος Η συνεχής ανάπτυξη των υπολογιστών και των προγραμμάτων που τους συνοδεύουν, καθιστούν ολοένα και πιό προσιτή τη χρήση φιλικών προς το χρήστη και ισχυρών υπολογιστικών εργαλείων. Η χρήση του εικονικού εργαστηρίου που προσφέρει η υπολογιστική μηχανική είναι ήδη για πολλούς πραγματικότητα. Ο κύκλος των ενδιαφερομένων για τις υπολογιστικές μεθόδους περιλαμβάνει, εκτός απο τις κλασικές ομάδες των σχεδιαστών πολιτικών και μηχανολόγων μηχανικών, τους αρχιτέκτονες, τους μηχανικούς υλικών και παραγωγής, τους σχεδιαστές βιομηχανικών προϊόντων, τους ασχολούμενους με την εμβιομηχανική και τα εφαρμοσμένα μαθηματικά και πολλούς άλλους. Η υπολογιστική μηχανική αναπτύχθηκε ραγδαία κατά τις τελευταίες δεκαετίες. Η ύπαρξη πολλών καλών βιβλίων στη διεθνή βιβλιογραφία, εμπορικών και ελεύθερα διαθέσιμων προγραμμάτων υπολογιστή με τα αντίστοιχα εγχειρίδια χρήσεως, και εκπαιδευτικού υλικού στο διαδίκτυο, κάνει δύσκολη τη συγγραφή ενός ακόμα διδακτικού βιβλίου. Προσπαθήσαμε να συγκεντρώσουμε στο παρόν ηλεκτρονικό βιβλίο μερικές βασικές γνώσεις σχετικές με την υπολογιστική μηχανική, με σκοπό να συνοδεύσουμε τον ενδιαφερόμενο φοιτητή κατά τα πρώτα βήματα του ταξιδιού του. Προσπαθήσαμε να κρατήσουμε το μέγεθος του βιβλίου μικρό, αποφεύγοντας τεχνικές λεπτομέρειες οι οποίες είναι ευρύτατα διαθέσιμες από διάφορες πηγές. Η επιλογή της περιορισμένης βιβλιογραφίας που παραθέτουμε είναι ενδεικτική και δεν καλύπτει με κανένα τρόπο την εκτεταμένη διαθέσιμη βιβλιογραφία. Σκοπεύουμε μέσα από την ιστοσελίδα που συνοδεύει το βιβλίο να διαθέτουμε συμπληρωματικό υλικό και παραπομπές. Με την ελπίδα ότι το παρόν σύγγραμμα θα βοηθήσει στην ακόμα μεγαλύτερη διάδοση της υπολογιστικής μηχανικής στη χώρα μας, το παραδίδουμε στην κρίση των αναγνωστών. Πολλοί δάσκαλοι, συνάδελφοι, συνεργάτες και φοιτητές επηρέασαν την πορεία μας και εμμέσως συνέβαλαν στη συγγραφή του παρόντος βιβλίου. Ιδιαίτερες ευχαριστίες οφείλουμε στον διδάκτορα πολιτικό μηχανικό, καθηγητή του Πανεπιστημίου Θεσσαλίας κύριο Ευριπίδη Μυστακίδη, που συνέβαλε ως κριτικός αναγνώστης στη βελτίωση της ποιότητας του συγγράμματος, στον διδάκτορα πολιτικό μηχανικό κύριο Γεώργιο Δροσόπουλο για τη βοήθειά του στο κομμάτι των μη γραμμικών προβλημάτων, τον διδάκτορα μηχανικό κύριο Ευάγγελο Λιαράκο που συνέβαλε με την παραχώρηση ορισμένων παραδειγμάτων, στην διπλωματούχο Αρχιτέκτονα με ΜΔΕ κυρία Ευσταθία Ταυλοπούλου, και τον φοιτητή της Σχολής Μηχανικών Παραγωγής και Διοίκησης κύριο Ματθαίο Αλιώπη, οι οποίοι διαμόρφωσαν το εξώφυλλο και στον φιλόλογο κύριο Βασίλειο

4 Παππά για τη γλωσσική επιμέλεια. Οι συγγραφείς Γεώργιος Ε. Σταυρουλάκης, Μαρία Ε. Σταυρουλάκη, Αλίκη Δ. Μουράντοβα iii

5 iv

6 Περιεχόμενα 1 Προσομοίωση φυσικών φαινομένων Άλγεβρα Πινάκων Το σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων Ορισμοί και συμβολισμοί Μετασχηματισμός συντεταγμένων Τανυστές Βαθμωτό, διανυσματικό και τανυστικό πεδίο Θεώρημα απόκλισης Εξισώσεις ελαστικότητας Τανυστής τάσης Τανυστής παραμόρφωσης Γενικευμένος καταστατικός νόμος υλικού Ισότροπος ελαστικός καταστατικός νόμος Οι εξισώσεις ισορροπίας των τάσεων Επίπεδη ένταση Εξισώσεις ισορροπίας τρισδιάστατου συνεχούς Εξισώσεις ισορροπίας για μονοδιάστατα προβλήματα Ράβδος Συνοριακές συνθήκες Βιβλιογραφία 31 2 Αριθμητική προσέγγιση Αρχές μεταβολών Η μέθοδος Ritz Προβολές τύπου Galerkin Γενική περιγραφή της μεθόδου spectral Μέθοδοι πεπερασμένων στοιχειων v

7 vi ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 2.2 Πεπερασμένες διαφορές Δίκτυα και συναρτήσεις δικτύων Η μέθοδος απαλοιφής Προσέγγιση μέσω της μεθόδου διαφορών της Laplacian Βιβλιογραφία 55 3 Γραμμική θεωρία, στατικά προβλήματα Μέθοδος δυσκαμψίας Ορισμός του Μητρώου Δυσκαμψίας Παράδειγμα μιας διάταξης ελατηρίου Συρραφή του Μητρώου Ολικής Δυσκαμψίας Συνοριακές Συνθήκες Προσέγγιση δυναμικής ενέργειας Κατάστρωση εξισώσεων ισορροπίας Δημιουργία μητρώου δυσκαμψίας στοιχείου ράβδου σε τοπικές συντεταγμένες Επιλογή των προσεγγιστικών συναρτήσεων για μετατοπίσεις Αλλαγή συστήματος συντεταγμένων σε διδιάστατα προβλήματα Ολικός πίνακας δυσκαμψίας Υπολογισμός της Τάσης για μια Ράβδο στο Επίπεδο x y Παράδειγμα επίλυσης δικτυώματος Πίνακας μετασχηματισμού και δυσκαμψίας για 3-δ ράβδο Δυναμική ενεργειακή προσέγγιση για να καθορίσουμε τις στοιχειώδεις εξισώσεις ράβδου Παραδείγματα δικτυωμάτων Κατάστρωση εξισώσεων πεπερασμένου στοιχείου δοκού Βιβλιογραφία Δυναμικά προβλήματα Δυναμική συμπεριφορά κατασκευών Δυναμική ανάλυση κατασκευών Συστήματα πολλών βαθμών ελευθερίας. Πολυβάθμιος ταλαντωντής Αριθμητική ολοκλήρωση των εξισώσεων κίνησης

8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ vii Βιβλιογραφία Προβλήματα Δύο και Tριών Διαστάσεων Προβλήματα επίπεδης έντασης και παραμόρφωσης Επίπεδη ένταση και επίπεδη παραμόρφωση Διδιάστατη ένταση και παραμόρφωση Το τριγωνικό στοιχείο σταθερής έντασης Το τριγωνικό στοιχείο γραμμικής παραμόρφωσης Πλάκες σε κάμψη Υποθέσεις της θεωρίας πλάκας σε κάμψη Μητρώο δυσκαμψίας για στοιχείο πλάκας σε κάμψη Τρισδιάστατη ανάλυση τάσεων Τετραεδρικό στοιχείο Παραδείγματα επίπεδων δίσκων Βιβλιογραφία Mη γραμμικά φαινόμενα Μη γραμμικά προβλήματα στη μηχανική Μη γραμμική ελαστικότητα Επίλυση του συστήματος μη γραμμικών εξισώσεων Μέθοδος άμεσης επανάληψης H πλήρης μέθοδος Newton-Raphson Η τροποποιημένη μέθοδος Newton-Raphson Κριτήρια σύγκλισης Ελαστοπλαστικότητα Συνθήκη διαρροής Νόμος πλαστικής ροής Νόμος κράτυνσης Ελαστοπλαστικό μέτρο υλικού Οι εξισώσεις του υλικού Παραδείγματα ελαστοπλαστικής ανάλυσης με πεπερασμένα στοιχεία Βιβλιογραφία 273 Αʹ Προγράμματα 275 Βʹ Προσομοίωση διακριτοποίηση 279

9 viii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Βιβλιογραφία 281 Ευρετήριο 282

10 Κεφάλαιο 1 Μαθηματική προσομοίωση φυσικών φαινομένων Σ αυτό το κεφάλαιο θα παρουσιάσουμε μαθηματικές έννοιες και μαθηματικά μοντέλα που χρησιμεύουν για την περιγραφή φυσικών φαινομένων. Ένα παράδειγμα είναι η μηχανική παραμορφώσιμου σώματος και συγκεκριμένα η ελαστικότητα που περιγράφεται μέσω του γραμμικού καταστατικού νόμου υλικού, των εξισώσεων ισορροπίας μεταξύ δυνάμεων και τάσεων, του συμβιβαστού των παραμορφώσεων και μετακινήσεων και τελικά τις συνοριακές συνθήκες που ολοκληρώνουν την περιγραφή του προβλήματος συνοριακών τιμών. Το κεφάλαιο αρχίζει με επανάληψη βασικών εννοιών, όπως οι ορισμοί και οι ιδιότητες των πινάκων (ορισμός πίνακα ή μητρώου, πράξεων πινάκων, αντίστροφοι πίνακες κ.τ.λ.) και των διανυσμάτων. Παρουσιάζονται αναλυτικές (ευθείες) και επαναληπτικές αριθμητικές μεθόδους για την επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων (κανόνας Cramer, αντίστροφη μέθοδος, μέθοδος απαλοιφής Gauss). Ορίζονται επίσης οι τανυστές (ορισμός των τάσεων και των παραμορφώσεων) και δίδονται οι εξισώσεις της Θεωρίας Ελαστικότητας, ως παράδειγμα από τη θεωρία του συνεχούς μέσου (διαφορικές σχέσεις ισορροπίας, συνοριακές συνθήκες ([5], [3] και [4]) Παρουσιάζεται επίσης η γραφή των μερικών διαφορικών εξισώσεων / συστημάτων μ.δ.ε. για μονοδιάστατα προβλήματα (βαθμωτά και διανυσματικά πεδία, ράβδος, δοκός, δίσκος). Για περισσότερες πληροφορίες παραπέμπουμε τον αναγνώστη στα ακόλουθα συγγράμματα (για εφαρμογές γραμμικής άλγεβρας, [1] και [2] για τη θεωρία παραμορφώσιμου σώματος [6]). 1

11 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ 1.1 Άλγεβρα Πινάκων Πρώτα Θα ξεκινήσουμε με τον ορισμό των διανυσμάτων και πινάκων (οι οποίοι σε ορισμένες πηγές ονομάζονται και μητρώα). Το διάνυσμα είναι ευθύγραμμο τμήμα με μήκος και κατεύθυνση, όπως απεικονίζεται σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο Σχήμα 1.1. To Σχήμα 1.1 δείχνει τη θέση μιας a z z e z e y a P a 3 x 3 a P a y y e 3 e 2 a 2 x 2 e x ax x e 1 a 1 x 1 Σχήμα 1.1: Διάνυσμα σε καρτεσιανό, ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. δύναμης τοποθετημένης σε ένα σημείο P ή δύναμη. Τα διανύσματα e x, e y και e z η e 1, e 2 και e 3 είναι τα μοναδιαία διανύσματα βάσης, e x = (1, 0, 0) T, e y = (0, 1, 0), e z = (0, 0, 1) T με e x = e y = e x = 1 (το ίδιο για τις e 1, e 2 και e 3 ), υποδηλώνει το μήκος. Για το διάνυσμα a έχουμε a = a x e x + a y e y + a z e z η a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3, όπου a x, a y, και a z η a 1, a 2, και a 3 είναι συντεταγμένες τους. Οι συντεταγμένες a 1, a 2 και a 3 (το ίδιο για τις a x, a y και a z ) μπορούν να γραφούν ως a = a 1 a 2 a 3 = (a 1, a 2, a 3 ) T με την ευκλείδεια νόρμα a = a a a 2 3.

12 1.1. ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ 3 Γενικά, το διάνυσμα a περιγράφεται για δεδομένο σύστημα αναφοράς από το διατεταγμένο σύνολο αριθμών a 1 a = a 2... = (a 1, a 2,..., a n ) T, a n όπου n είναι η διάσταση του διανύσματος. Ο πίνακας A (m x n) είναι μια ορθογώνια διάταξη αριθμών σε m γραμμές και n στήλες, A = a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn. (1.1) Στο πίνακα (1.1) tο a ij είναι το στοιχείο του πίνακα Α στην γραμμμή i και στη στήλη j. Το διάνυσμα είναι ένας πίνακας στήλη (η γραμμή). Ειδικές περιπτώσεις: Αν ο αριθμός των γραμμών είναι ίσος με τον αριθμό των στηλών, δηλαδή m = n, έχουμε ένα τετραγωνικό πίνακα. Όταν m = 1, έχουμε ένα πίνακα γραμμή και για n = 1 έναν πίνακα στήλη, αντίστοιχα. Ο συμμετρικός πίνακας είναι τετραγωνικός πίνακας που τα στοιχεία κάτω και πάνω από την κύρια διαγώνια είναι τα ίδια, a ij = a ji. Ο διαγώνιος πίνακας είναι ο πίνακας που έχει μηδενικά στοιχεία εκτός από τα διαγώνια. Ο διαγώνιος πίνακας με μονάδες σε όλα του τα στοιχεία είναι ο μοναδιαίος πίνακας που συμβολίζεται με το σύμβολο I, I = Όθεν AI = IA = A.

13 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ Ιδιότητες: Πολλαπλασιασμός ενός πίνακα C με έναν αριθμό (βαθμωτό μέγεθος) k θα είναι ένας πίνακας A = kc για τον οποίο τα στοιχεία υπολογίζονται ως: Ομοίως για διανύσματα, a i = kc i. a ij = kc ij. Η προσθήκη/αφαίρεση των μητρών είναι προσθήκη/αφαίρεση των αντίστοιχων στοιχείων τους. Δηλαδή, C = A ± B σημαίνειι c ij = a ij ± b ij. Οι πίνακες θα πρέπει να είναι της ίδιας τάξεως (m x n). Ομοίως για διανύσματα. Βαθμωτό/εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι c = a b = n a i b i, i=1 όπου n είναι ορισμός των στοιχείων. Εξωτερικό (διανυσματικό) γινόμενο, παράδειγμα για το διάνυσμα με τρία στοιχεία (n = 3) είναι e 1 e 2 e 3 a 2 b 3 a 3 b 2 c = a b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = a 3 b 1 a 1 b 3, a 1 b 2 a 2 b 1 c i = 3 ε ijk a j b k j,k=1 με το σύμβολο της μετάθεσης 1 i, j, k ζυγή μετάθεση (π.χ. 231) 1 i, j, k μονή μετάθεση (π.χ. 321) ε ijk = 0 i, j, k δεν έχουμε μετάθεση, δηλαδή δύο ή περισσότεροι δείκτες έχουν την ίδια αξία. (1.2)

14 1.1. ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ 5 Μερικοί κανόνες για το εξωτερικό (διανυσματικό) γινόμενο είναι οι ακόλουθοι a b = (b a) (c a) b = a (c b) = c(a b) (a + b) c = a c + b c a (b c) = (a c) b (a b) c. Το εσωτερικό γινόμενο δεν έχει την αντιμεταθετική ιδιότητα. Γινόμενο δυο πινάκων A και B είναι ένας πίνακας C με στοιχεία που υπολογίζονται ως n c ij = a ie b ej. Αν ο πίνακας A είναι (m x n) τότε ο Β πρέπει να έχει n γραμμές. e=1 Παρατηρήσεις σχετικά με τους ειδικούς πίνακες: Το σύμβολο ανταλλαγής (μετάθεσης, βλ. (1.2)) ε ijk = 1 (i j)(j k)(k i) 2 το δέλτα του Kronecker δ ij = { 1 αν i = j 0 αν i j έτσι ( λ 0 0 ) λδ ij 0 λ λ για i, j = 1, 2, 3 δ ij a i = a j, δ ij D jk = D ik. Γινόμενο δυο μοναδιαίων πινάκων e i e j = δ ij (ορθογώνια βάση) Διάσπαση πινάκων A ij = 1 2 (A 1 ij + A ji ) + }{{} 2 (A ij A ji ) }{{} συμμετρική Αντι-συμμετρική/συμμετρική

15 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ Ορισμοί: Ο ανάστροφος πίνακας A T είναι ο πίνακας που [a ij ] = [a ji ] T. Δηλαδή όταν έχουμε αντικατάσταση σειρών και στηλών. Εάν A είναι (m x n) τότε A T, είναι (n x m). Ο συμμετρικός πίνακας είναι ίσος με τον ανάστροφο του, A=A T. Ο αντίστροφος πίνακας A 1 ορίζεται ως εξής: AA 1 = A 1 A = I. Η τεχνική για την εύρεση του A 1 δίδεται στο επόμενο σημείο. Η ορίζουσα είναι η τιμή (μέτρο) ενός τετραγωνικού πίνακα και μπορεί να υπολογιστεί από τα στοιχεία του μητρώου μέσω ενός τύπου. Η ορίζουσα συμβολίζεται ως A. Παράδειγμα για τον (2 2) πίνακα η ορίζουσα ορίζεται ως a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 και για τον (3 3) πίνακα η ορίζουσα ορίζεται ως a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a = a 22 a a 31 a 32 a 33 a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 21 a 32 a 13 a 13 a 31 a 22 a 11 a 32 a 23 a 12 a 21 a 33 Ο ίδιος κανόνας μπορεί να εφαρμοστεί για τον πίνακα (n x n) ([1], [2] κλπ). Για να βρούμε τον αντίστροφο πίνακα A 1 θα πρέπει να βρούμε την ορίζουσα του πίνακα A και τους παράγοντες του A. Οι παράγοντες του a ij δίνονται C ij = ( 1) i+j d, όπου ο πίνακας d είναι η ελάσσων ορίζουσα που προκύπτει από τον πίνακα a ij διαγράφοντας τη i γραμμή και j στήλη. Τότε τα στοιχεία του αντίστροφου πίνακα Â = A 1 ορίζονται ως â ij = C ji A,

16 1.2. ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 7 όπου â ij είναι τα στοιχεία του αντίστροφου πίνακα ˆΑ. Διαφόριση ενός πίνακα-συνάρτηση A της μεταβλητής x είναι [ ] d dx [A] = daij dx που λέγεται εφαπτομενικός πίνακας. Ολοκλήρωση ενός πίνακα-συνάρτηση A της μεταβλητής x είναι [ ] [A]dx = a ij dx. 1.2 Το σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων Σε αυτό το τμήμα θα παραθέσουμε βασικές μεθόδους για την επίλυση συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων. Λεπτομέρειες μπορούν να βρεθούν σε συγγράμματα γραμμικής άλγεβρας και αριθμητικών μαθηματικών ([1], [2] κ.τ.λ.). Υποθέτουμε ότι έχουμε το ακόλουθο σύστημα Ax = b, (1.3) όπου A είναι γνωστής πίνακας, b είναι γνωστό διάνυσμα και x είναι η άγνωστη. Με τη μορφή δεικτών (1.3) γράφεται ως: n a ij x j = b i. j=1 Ο Κανόνας του Cramer. Ο πίνακας [C (i) ] ορίζεται από τον πίνακα A με αντικατάσταση της στήλης i με τη σταθερά b. Τότε η λύση των (1.3) είναι x i = C(i) A. Παράδειγμα θεωρούμε το ακόλουθο σύστημα x 1 + 3x 2 2x 3 = 2, 2x 1 4x 2 + 2x 3 = 1, 4x 2 + x 3 = 3.

17 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ Σε μορφή πίνακα έχουμε Η λύση είναι: Αντιστροφή Μέθοδος. (1.3) έχουμε Όθεν δηλαδή x 1 = C(1) A x 2 = C(2) A x 3 = C(3) A x 1 x 2 x 3 2 = 1. (1.4) = = = 4.1, = = 1.1, = = Με χρήση των αντιστρόφων μητρώων για το σύστημα A 1 Ax = A 1 b. Ix = A 1 b x = A 1 b. Για το παράδειγμα (1.4) έχουμε x x 2 = = x 3

18 1.2. ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 9 Η απαλοιφή Gauss. τη γενική μορφή: Ένα σύστημα n εξισώσεων με n άγνωστους γράφεται με a 11 a a 1n x 1 b 1 a 21 a a 2n x 2 b 2 = a n1 a n2... a nn x n b n Βήματα Απαλοιφής Gauss: Απαλείφουμε τον συντελεστή του x 1 σε όλες τις εξισώσεις εκτός της αρχικής. Επιλέγουμε τον a 11 ως το οδηγό στοιχείο. Εκτελούμε τα ακόλουθα βήματα. Προσθέτουμε την πρώτη γραμμή πολλαπλασιασμένη με την τιμή a 21 /a 11 στη δεύτερη γραμμή. Προσθέτουμε τα a 31 /a 11 της πρώτης γραμμής στην τρίτη γραμμή. Συνεχίζουμε αυτή τη διαδικασία έως τη n-ιοστή σειρά a 11 a a 1n x 1 b 1 0 a a 2n x 2 b 2 = a n2... a nn x n b n Απαλείφουμε τον συντελεστή του x 2 σε όλες τις εξισώσεις εκτός της αρχικής. Επιλέγουμε τον a 22 ως το οδηγό στοιχείο. Προσθέτουμε το a 32 /a 22 της πρώτης γραμμής στη δεύτερη γραμμή. Προσθέτουμε τα a 42 /a 22 της πρώτης γραμμής στη τρίτη γραμμή. Συνεχίζουμε αυτή τη διαδικασία έως τη n-ιοστή σειρά. a 11 a 12 a a 1n x 1 b 1 0 a 22 a a 2n x 2 b 0 0 a a 2 3n x 3 = b a n3... a nn x n b n

19 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ Η διαδικασία επαναλαμβάνεται για τις υπόλοιπες γραμμές ώσπου να προκύψει ένα τριγωνικό σύστημα εξισώσεων. a 11 a 12 a 13 a a 1n x 1 b 1 0 a 22 a 23 a a 2n x 2 b 0 0 a 33 a a 3n x 3 2 b a a 3 4n x = 4 b a n 1 nn x n Η λύση με αντικατάσταση είναι x n = bn 1 n a n 1 nn, x i = 1 a i 1 ii ( b i 1 i n r=i+1 Παράδειγμα Θεωρούμε το σύστημα x x 2 = Βήμα 1: Βήμα 2: x Η λύση με αντικατάσταση θα είναι x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 9 = = x 3 = 3, x 2 = 2, x 1 = 1. b n 1 n a i 1 ir x r ). 1.3 Ορισμοί και συμβολισμοί Σε αυτό το τμήμα δίνουμε βολικούς συμβολισμούς που χρησιμοποιούνται στη μηχανική για διανύσματα και πίνακες. Αν χρησιμοποιήσουμε το σύστημα συντεταγμένων με βάση τα μοναδιαία διανύσματα (e 1, e 2, e 3 ), τα στοιχεία για

20 1.4. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ 11 ένα διάνυσμα a θα είναι a i και για έναν πίνακα A θα είναι A ij με i = 1, 2,..., m και j = 1, 2,...n. Όταν ένας δείκτης εμφανίζεται δύο φορές, κάνουμε τη σύμβαση ότι εννοείται πρόσθεση με την τιμή του δείκτη να παίρνει όλες τις τιμές που μπορεί (σύμβαση επαναλαμβανόμενου δείκτη του Einstein). Στο φυσικό χώρο το εύρος τιμών που δέχονται οι δείκτες είναι 1, 2, 3 και A ii = m A ii = A 11 + A A mm i=1 a i b i = a 1 b 1 + a 2 b a m b m, A ij b j = A i1 b 1 + A i2 b A ik b k, που i είναι ελεύθερος δείκτης και j είναι ένας βοηθητικός δείκτης. Ωστόσο, αυτό δεν συμβαίνει σε ένα σύμβολο πρόσθεσης ή αφαίρεσης, δηλαδή αν a i + b i η a i b j. Επιπλέον, 3 a i = a 1 a 2 a 3, i=1 ή a i x j = a i,j, a i,i = a 1 x 1 + a 2 x A ij x j = A i1 x 1 + A i2 x = A ij,j. Αυτό μερικές φορές ονομάζεται και κόμμα σύμβασης. 1.4 Μετασχηματισμός συντεταγμένων Δύο συστήματα συντεταγμένων, όπου το ένα έχει περιστραφεί σε σχέση με το άλλο, εμφανίζονται στο Σχήμα 1.2. Η αλλαγή συστήματος συντεταγμένων περιγράφεται από τις ακόλουθες γραμμικές σχέσεις x 1 = α 11 x 1 + α 12 x 2 + α 13 x 3 = α 1j x j x 2 = α 2j x j x 3 = α 3j x j x i = α ij x j (1.5)

21 12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ x 3 x 3 x 2 x 2 x 1 Σχήμα 1.2: Αρχικοί (x 1, x 2, x 3 ) και περιστραμμένοι (x 1, x 2, x 3) άξονες του μετασχηματισμένου συστήματος συντεταγμένων. x 1 με τους σταθερούς (σταθεροί μόνο για καρτεσιανό σύστημα αναφοράς) συντελεστές α ij = cos(x i, x j ) = x j }{{} x i κατεύθυνση συνημίτονο Στο συμβολισμό πινάκων για (1.5) έχουμε x = }{{} R x. πίνακας περιστροφής R ij = x i,j = cos(e i, e j ) = e i e j. Έτσι, οι τονούμενες συντεταγμένες μπορεί να εκφρασθούν ως συνάρτηση των μη τονούμενων. x i = x i(x i ) x = x (x). Εάν το J = R δεν μηδενίζεται, αυτός ο μετασχηματισμός διαθέτει ένα μοναδικό αντίστροφο x i = x i (x i) x = x(x ). Η ποσότητα J είναι η Ιακωβιανή του μετασχηματισμού. 1.5 Τανυστές Ο τανυστής τάξης n είναι ένα σύνολο N n ποσοτήτων που μετατρέπονται από το ένα σύστημα x i στο άλλο x i με τη χρήση του

22 1.6. ΒΑΘΜΩΤΟ, ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΚΑΙ ΤΑΝΥΣΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ 13 n τάξη κανόνα μετασχηματισμού 0 βαθμωτό a a(x i) = a(x i ) 1 διάνυσμα x i x i = α ij x j 2 τανυστής T ij T ij = α ik α jl T kl Ο τανυστής αντιπροσωπεύει μια ποσότητα με φυσική σημασία. Η ποσότητα αυτή υπάρχει ανεξάρτητα από το σύστημα αναφοράς που χρησιμοποιούμε. Ο πίνακας (ή μητρώο) ποσοτικοποιεί τον τανυστή σε σχέση με ένα συγκεκριμένο σύστημα αναφοράς. Οι τιμές αυτού του πίνακα εξαρτώνται από το συγκεκριμένο σύστημα συντεταγμένων και τροποποιούνται με συστηματικό τρόπο αν αλλάξει το σύστημα αναφοράς. Μπορεί να αποδειχθεί ότι έτσι A = RAR T. Περαιτέρω, ένα διάνυσμα μετασχηματίζεται από x i = α ij x j η x j = α ij x i η οποία είναι έγκυρη μόνο αν x j = α ij α il x l α ij α il = δ jl. Κάθε μετασχηματισμός που ικανοποιεί αυτήν την συνθήκη λέγεται ότι είναι ένας ορθογωνικός μετασχηματισμός. Οι τανυστές που ικανοποιούν ορθογώνιο μετασχηματισμό λέγονται καρτεσιανοί τανυστές. Οι τανυστές εκφράζουν φυσικές ποσότητες και ενώ οι τιμές που παίρνουν σε διαφορετικά συστήματα αναφοράς διαφέρουν, οι ποσότητες που εκφράζουν έχουν ορισμένα αναλλοίωτα χαρακτηριστικά μεγέθη. Ένα διάνυσμα, για παράδειγμα, μπορεί να έχει διαφορετικές συντεταγμένες σε διαφορετικά συστήματα αναφοράς, έχει όμως πάντα ίδιο μήκος (αναλλοίωτη ποσότητα). Ομοίως οι τανυστές τάσης και παραμόρφωσης διαθέτουν αναλλοίωτα χαρακτηριστικά, όπως θα δούμε και παρακάτω. 1.6 Βαθμωτό, διανυσματικό και τανυστικό πεδίο Το τανυστικό πεδίο αναφέται με τον τανυστή T(x, t) για κάθε ζευγάρι (x, t), όπου x συμβολίζει το διάνυσμα θέσης και μεταβάλλεται σε μια συγκεκριμένη

23 14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ περιοχή του χώρου και ο χρόνος t μεταβάλλεται μέσα σε ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα. Το τανυστικό πεδίο λέγεται συνεχές (διαφορίσιμο), εάν οι συνιστώσες του T(x, t) είναι συνεχείς (διαφορίσιμες) συναρτήσεις των x και t. Αν ο τανυστής T δεν εξαρτάται από τον χρόνο, το τανυστικό πεδίο λέγεται ότι είναι σταθερό (steady), δηλαδή T = T(x). Για το βαθμωτό, διανυσματικό και τανυστικό πεδίο τα ακόλουθα σύμβολα χρησιμοποιούνται. 1. Βαθμωτό πεδίο: Φ = Φ(x i, t), Φ = Φ(x, t), 2. Διανυσματικό πεδίο: v i = v i (x i, t), v = v(x, t), 3. Τανυστικό πεδίο: T ij = T ij (x i, t), T = T(x, t). Ο διαφορικός τελεστής ονομάζεται del ή Nabla τελεστής (gradient) και ορίζεται από = e i. x i Ο διαφορικός τελεστής ονομάζεται ή Laplacian (αρμονική) τελεστής και ορίζεται από = =. x i x i Μερικοί διαφορικές τελεστές σε διανύσματα ή σε βαθμωτά πεδία είναι οι ακόλουθοι: grad Φ = Φ = Φ,i e i (αποτέλεσμα: διάνυσμα) div v = v = v i,i (αποτέλεσμα: βαθμωτό) curl v = v = ε ijk v k,j (αποτέλεσμα: διάνυσμα) Παρόμοιοι κανόνες υπάρχουν για τανυστές / διανύσματα. 1.7 Θεώρημα απόκλισης Για ένα χωρίο V με σύνορο το A, ο παρακάτω ολοκληρωτικός μετασχηματισμός ισχύει για τον τανυστή πρώτης τάξεως g divgdv = gdv = n gda, V V A g i,i dv = g i n i da V A

24 1.8. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 15 και για τον τανυστή σ σ ji,j dv = σ ji n j da, divσdv = V σdv = A σnda. V V A Με n = n i e i συμβολίζεται το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα στο σύνορο A. 1.8 Εξισώσεις ελαστικότητας Στην παράγραφο αυτή θα παρουσιαστούν συνοπτικά οι εξισώσεις της θεωρίας ελαστικότητας για παραμορφώσιμο συνεχές σώμα ([3], [4], [5]). Η μηχανική καταπόνηση είναι η περισσότερο γνωστή περίπτωση φυσικού προβλήματος που περιγράφεται με μερικές διαφορικές εξισώσεις και ιστορικά χρησιμοποιήθηκε ως παράδειγμα εφαρμογής αριθμητικών μεθόδων για την προσέγγιση της λύσεως, είτε με τη μορφή της μητρωϊκής στατικής είτε με τη μορφή των πεπερασμένων στοιχείων. Στη θεωρία του συνεχούς ελαστικού σώματος ζητείται το διανυσματικό πεδίο μετακινήσεων, το οποίο παράγει ένα πεδίο παραμορφώσεων, κάτω από τους περιορισμούς της θεωρίας του συνεχούς, έτσι ώστε οι τάσεις που δημιουργούνται από τις παραμορφώσεις μέσω του καταστατικού νόμου (νόμου μηχανικής απόκρισης του υλικού) να ευρίσκονται σε ισορροπία με τις εξωτερικά επιβαλλόμενες μαζικές δυνάμεις. Το πρόβλημα συνοριακών τιμών συμπληρώνεται από τις συνοριακές συνθήκες, στηρίξεις ή φορτίσεις σε καθορισμένα τμήματα του εξωτερικού συνόρου του χωρίου Τανυστής τάσης Σε κάθε στοιχειώδες κομμάτι του συνεχούς αναπτύσσονται τάσεις, οι οποίες περιγράφουν την εντατική κατάσταση στη συγκεκριμένη θέση. Οι τάσεις μετράνε τη δύναμη στη μονάδα της επιφάνειας και περιγράφουν τόσο αξονική (θλιπτική ή εφελκυστική), όσο και διατμητική καταπόνηση. Οι τάσεις εκφράζονται από τον τανυστή σ του οποίου η τιμή σε καθορισμένο ορθογώνιο σύστημα

25 16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ σ 13 σ 33 σ 31 σ 32 σ 11 σ 12 σ21 t 3 σ 23 σ 22 t 1 t 2 Σχήμα 1.3: Οι συνιστώσες του τανυστή τάσεων και οι διανυσματικές δυνάμεις πάνω στις πλευρές του στοιχειώδους εξαπλεύρου. αναφοράς περιγράφεται από τον πίνακα με τα εννέα στοιχεία σ 11 σ 12 σ 13 σ xx σ xy σ xz σ x τ xy τ xz σ = σ 21 σ 22 σ 23 σ yx σ yy σ yz τ yx σ y τ yz, (1.6) σ 31 σ 32 σ 33 σ zx σ zy σ zz τ zx τ zy σ z όπου σ 11, σ 22, και σ 33 είναι οι κάθετες τάσεις, και σ 12, σ 13, σ 21, σ 23, σ 31, και σ 32 είναι οι διατμητικές τάσεις. Ο πρώτος δείκτης i σε κάθε στοιχείο σ ij καθορίζει την πλευρά και ο δεύτερος δείκτης j την κατεύθυνση (κάθετα ή εφαπτομενικά) της τάσης (πρβλ. Σχήμα 1.3). Από τον τανυστή τάσης μπορεί να εξαχθεί το διάνυσμα της δύναμης που μεταφέρεται μέσω μιας δοσμένης επιφάνειας, ως t i = σ i1 e 1 + σ i2 e 2 + σ i3 e 3 σ ij e j. όπως φαίνεται και στο Σχήμα 1.3. Από τα παραπάνω είναι κατανοητό ότι οι τάσεις περιγράφουν την εμφάνιση σε μια επίπεδη τομή (επίπεδο) μιας κάθετης συνιστώσας (κάθετη τάση) και δύο εφαπτομενικών συνιστωσών (διατμητικές τάσεις). Ο πρώτος δείκτης i δείχνει ότι η τάση δρα στο κάθετο επίπεδο στον x i -άξονα, και ο δεύτερος δείκτης j δείχνει την κατεύθυνση της τάσης. Μια συνιστώσα της τάσης έχει θετικό πρόσημο εάν έχει τη φορά των θετικών αξόνων και εάν το επίπεδο πάνω στο οποίο επενεργεί έχει κάθετη ίδιας φοράς με τη θετική φορά του άξονα συντεταγμένων. Σε περίπτωση που υπάρχουν μόνο κάθετες τάσεις, τότε ο πίνακας (1.6)

26 1.8. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 17 γίνεται διαγώνιος σ σ = 0 σ σ 33 Ο τανυστής τάσης για συνηθισμένα υλικά είναι συμμετρικός σ ij = σ ji. Μια συνηθισμένη απλοποίηση, ιδιαίτερα σε εγχειρίδια μηχανικών, χρησιμοποιεί τη συμμετρία του τανυστή τάσεων κατά Caushy για να εκφράσει τα στοιχεία του τανυστή στο διάνυσμα με έξι στοιχεία της μορφής (συμβολισμός κατά Voigt): σ = [ σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 σ 5 σ 6 ] T [ σ11 σ 22 σ 33 σ 23 σ 13 σ 12 ] T. Η γραφή αυτή χρησιμοποιείται ευρέως στη βιβλιογραφία συνεχούς σώματος και σε προγράμματα υπολογιστή. Θα πρέπει πάντως να σημειωθεί ότι ο τανυστής τάσης είναι τανυστής δεύτερης τάξης και υπακούει σε αυστηρούς κανόνες όταν αλλάξει το σύστημα των συντεταγμένων, ενώ η απλοποιημένη διανυσματική γραφή Voigt θέλει περισσότερη προσοχή όταν χρησιμοποιείται, διότι δεν διαθέτει την τανυστική ιδιότητα Τανυστής παραμόρφωσης Η επιβολή δύναμης σε παραμορφώσιμο σώμα προκαλεί τις μετακινήσεις καθενός σημείου του σώματος. Το σώμα παραμένει συνεχές μετά την παραμόρφωσή του (δεν σχίζεται, δεν υπάρχει επικάλυψη δύο διαφορετικών σημείων). Η παραμόρφωση είναι ένα τοπικό μέγεθος που μετράει τις σχετικές χωρικές μεταβολές του διανυσματικού πεδίου μετακινήσεων. Η παραμόρφωση σχετίζεται με την αλλαγή του σχήματος (μήκους και γωνιών σε ένα στοιχειώδες τετράπλευρο ή εξάπλευρο στον διδιάστατο ή τρισδιάστατο χώρο αντίστοιχα) και όχι με την απόλυτη μετακίνηση. Ο τανυστής παραμόρφωσης περιγράφει την κατάσταση παραμόρφωσης στη συγκεκριμένη θέση. Σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ο τανυστής περιγράφεται από ένα πίνακα με διαστάσεις 3 3, ε 1 1 ε 1 2 ε 1 3 ε = ε 2 1 ε 2 2 ε 2 3 ε 3 1 ε 3 2 ε 3 3 Ας θεωρήσουμε την απαραμόρφωτη και παραμορφωμένη κατάσταση ενός συνεχούς, π.χ. στη χρονική στιγμή t = 0 και t = t f, αντιστοίχως (Σχήμα 1.4).

27 18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ Με παραμόρ. Χωρίς παραμόρ. x 3 X 3 P (x) u p(x) x 2 X 2 x t = 0 X t = t f x 1 X 1 Σχήμα 1.4: Παραμόρφωση συνεχούς σώματος Για την περιγραφή της παραμόρφωσης χρησιμοποιούμε δύο συστήματα καρτεσιανών συντεταγμένων x και X, τα οποία καλούνται υλικό (αρχικό) σύστημα συντεταγμένων και χωρικό (τελικό) σύστημα συντεταγμένων και σχετίζονται με το απαραμόρφωτο και παραμορφωμένο σώμα, αντίστοιχα. Η θέση κάθε σημείου μπορεί να αποδοθεί με τις υλικές συντεταγμένες (περιγραφή Lagrange) P = P(x, t) ή τις χωρικές συντεταγμένες (περιγραφή Euler) p = p(x, t). Υλικές συντεταγμένες χρησιμοποιούνται συνήθως στη μηχανική του παραμορφώσιμου στερεού, ενώ στη ρευστομηχανική χρησιμοποιούνται οι χωρικές συντεταγμένες. Γενικά κάθε σημείο μπορεί να περιγραφεί με ή με τη σχέση X = X(x, t) x = x(x, t) ενώ η απεικόνιση από το ένα σύστημα στο άλλο περιγράφεται από την Ιακωβιανή J = X i x j = X i,j. Συνεπώς το διαφορικό της απόστασης ορίζεται με τον ακόλουθο τρόπο dx i = X i x j dx j,

28 1.8. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 19 όπου ( ) συμβολίζει μια καθορισμένη απόσταση. Από το σχήμα προκύπτει το διάνυσμα μετακίνησης u = X x u i = X i x i. Παρατήρηση: Η Lagrangian ή υλική διατύπωση περιγράφει τη μετακίνηση ενός σημείου, ενώ η Eulerian ή χωρική διατύπωση περιγράφει τη διέλευση ενός σημείου από μια καθορισμένη θέση στο χώρο. Ο τανυστής παραμόρφωσης κατά Green ορίζεται ως ε L jk = 1 2 [(u i,j + δ ij )(u i,k + δ ik ) δ jk ] = 1 2 [u i,ju i,k + u i,j δ ik + δ ij u i,k + δ jk δ jk ] = 1 2 [u k,j + u j,k + u i,j u i,k ] ενώ ο τανυστής παραμόρφωσης κατά Almansi όπου ή ε E jk = 1 2 [δ jk (δ ij u i,j )(δ ik u i,k )] = 1 2 [u k,j + u j,k u i,j u i,k ], u i x k = X i x k x i x k = X i,k δ ik X i,k = u i,k + δ ik u i X k = X i X k x i X k = δ ik x i,k x i,k = δ ik u i,k. Καθένας ορισμός του τανυστή παραμόρφωσης είναι κατάλληλος για διαφορετικές εφαρμογές. Με την υπόθεση μικρών μετακινήσεων και παραμορφώσεων ισχύει u i,j u k,l u i,j και οι δύο παραπάνω ορισμοί συμπίπτουν ε ij = ε L ij = ε E ij = 1 2 (u i,j + u j,i ),

29 20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ όπου ε ij είναι ο γραμμικός ή σημειακός τανυστής παραμόρφωσης (βλέπε Σχήμα 5.5). Η παραδοχή είναι ισοδύναμη με την παραδοχή μικρών μετακινήσεων ε 2 ε, που οδηγεί στη σχέση 2ε(e) = 2e T E L e = 2e T E E e. Για μικρές μετακινήσεις και παραμορφώσεις δεν υπάρχει ανάγκη να γίνει διαχωρισμός μεταξύ του συστήματος συντεταγμένων που χρησιμοποιείται. Τα διαγώνια στοιχεία του τανυστή παραμόρφωσης είναι οι κύριες παραμορφώσεις και τα υπόλοιπα οι διατμητικές παραμορφώσεις. Οι διατμητικές παραμορφώσεις είναι ίσες με ε ij = 1 2 (u i,j + u j,i ) = 1 2 γ ij, δηλαδή το μισό από τις συνηθισμένες διατμητικές παραμορφώσεις, σύμφωνα με τον ορισμό που είναι περισσότερο οικείος σε μηχανικούς γ ij. Παρόλα αυτά σε περίπτωση χρήσεως των τελευταίων ορισμών της διατμητικής παραμόρφωσης (ορισμός μηχανικών ), χάνεται η τανυστική ιδιότητα, που ισχύει μόνο για το ε 11 ε 12 ε 13 ε = ε 12 ε 22 ε 23. ε 13 ε 23 ε 33 Ο τανυστής παραμόρφωσης είναι εξ ορισμού συμμετρικός. 1.9 Γενικευμένος καταστατικός νόμος υλικού του Hook για συνεχή σώματα Η γραμμική σχέση μεταξύ τάσεων και παραμορφώσεων σε ένα μονοδιάστατο συνεχές (μία ράβδο, ένα σχοινί) ονομάζεται νόμος του Hook. Η γενίκευσή της, δηλαδή η γραμμική σχέση μεταξύ τάσεων και παραμορφώσεων μέσα σε ένα συνεχές ελαστικό και παραμορφώσιμο σώμα, ονομάζεται γενικευμένος νόμος του Hooke. Ο νόμος Hooke για συνεχή μέσα έχει τη μορφή σ = Cε, όπου C είναι ένας τανυστής τέταρτης τάξης (με άλλα λόγια, μια γραμμική απεικόνιση μεταξύ τανυστών δεύτερης τάξης) ο οποίος συνήθως καλείται τανυστής ακαμψίας ή ελαστικότητας. Μια άλλη γραφή είναι η ε = Sσ,

30 1.9. ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΣ ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ ΥΛΙΚΟΥ 21 όπου S είναι ένας τανυστής συμμόρφωσης. Λεπτομερέστερα, τα στοιχεία του νόμου του Hooke γράφονται ως σ ij = 3 k=1 l=1 3 C i j k l ε k l, όπου οι δείκτες i και j είναι ίσοι με 1, 2, ή 3. Συνεπώς, χρησιμοποιώντας συμβολισμό με δείκτες έχουμε σ ij = C ijkl ε kl. Ο τανυστής ακαμψίας C (πίνακας) είναι ένας τανυστής τέταρτης τάξης που περιγράφει τη γραμμικά ελαστική μηχανική συμπεριφορά του υλικού. Είναι ιδιότητα του υλικού και συχνά εξαρτάται από τη θερμοκρασία, πίεση, μικροδομή και άλλες παραμέτρους. Στην πιο γενική περίπτωση ενός υλικού με διαφορετική μηχανική συμπεριφορά σε διαφορετικές διευθύνσεις, ο τανυστής C ijkl έχει 81 στοιχεία. Τα 81 στοιχεία μειώνονται σε 36 ανεξάρτητες ελαστικές σταθερές, αν ληφθεί υπόψη η συμμετρία των τανυστών τάσης και παραμόρφωσης. Με τη χρήση του συμπυκνωμένου συμβολισμού και ο νόμος του Hooke γράφεται σ = (σ 11 σ 22 σ 33 σ 12 σ 23 σ 31 ) T ε = (ε 11 ε 22 ε 33 2ε 12 2ε 23 2ε 31 ) T σ K = C KL ε L, K, L = 1, 2,..., 6, όπου K και L περιγράφουν τους διπλούς δείκτες: 1 ˆ= 11, 2 ˆ= 22, 3 ˆ= 33, 4 ˆ= 12, 5 ˆ= 23, 6 ˆ= 31. Από τον ορισμό της ενέργειας παραμόρφωσης προκύπτει η συμμετρία του τανυστή υλικού C ijkl = C klij or C KL = C LK και οδηγεί στο συμπέρασμα ότι μόνο 21 ανεξάρτητες μεταβλητές υπάρχουν στη γενική περίπτωση C 11 C 12 C 13 C 14 C 15 C 16 C 22 C 23 C 24 C 25 C 26 σ = C 33 C 34 C 35 C 36 C 44 C 45 C 46 ε. συμ. C 55 C 56 C 66

31 22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ Το υλικό αυτό ονομάζεται ανισότροπο. Τα περισσότερα υλικά που χρησιμοποιούνται σε τεχνικές εφαρμογές έχουν ιδιότητες συμμετρίας γύρω από ένα ή περισσότερους άξονες. Εάν για παράδειγμα το επίπεδο x 2 x 3 είναι επίπεδο συμμετρίας, η φορά του άξονα x 1 μπορεί να αντιστραφεί (Σχήμα 1.5), x 3 x 3 x 3 x 2 x 1 x 1 x 1 x 2 x 2 (αʹ) Αρχικό σύστημα συντεταγμένων (βʹ) Ένα επίπεδο συμμετρίας (γʹ) Δύο επίπεδα συμμετρίας Σχήμα 1.5: Συστήματα συντεταγμένων για διάφορα επίπεδα συμμετρίας και οδηγεί στον μετασχηματισμό x = x Με τη χρήση των ιδιοτήτων μετασχηματισμού για τανυστές σ ij = α ik α jl σ kl και προκύπτει σ 11 σ 22 σ 33 σ 12 = σ 23 σ 31 σ 11 σ 22 σ 33 σ 12 σ 23 σ 31 ε ij = α ik α jl ε kl = C ε 11 ε 22 ε 33 2ε 12 2ε 23 2ε 31 ε 11 ε 22 = C ε 33 2ε 12. 2ε 23 2ε 31

32 1.9. ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΣ ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ ΥΛΙΚΟΥ 23 Η παραπάνω σχέση μπορεί να αναδιαταχθεί ως ακολούθως, C 11 C 12 C 13 C 14 C 15 C 16 C 22 C 23 C 24 C 25 C 26 σ = C 33 C 34 C 35 C 36 C 44 C 45 C 46 ε συμ. C 55 C 56 C 66 αλλά εφόσον οι σταθερές δεν μεταβάλλονται με τον μετασχηματισμό C 14, C 16,! C 24, C 26, C 34, C 36, C 45, C 56 = 0 αφήνει 21 8 = 13 ανεξάρτητες σταθερές. Το υλικό αυτό ονομάζεται μονοκλινές. Η περίπτωση τριών επιπέδων συμμετρίας οδηγεί σε ένα ορθότροπο που περιγράφεται με τις ακόλουθες σχέσεις C 11 C 12 C C 22 C σ = C C ε συμ. C 55 0 C 66 και τη χρήση μόνο 9 ανεξάρτητων σταθερών. Παραπέρα απλοποίηση επιτυγχάνεται για την περίπτωση ενός υλικού που έχει τις ίδιες ιδιότητες σε οποιαδήποτε κατεύθυνση, δηλαδή μπορεί να αλλάξει η θέση των αξόνων ή και να στραφούν. Το υλικό που προκύπτει, και περιγράφεται από δύο ανεξάρτητες σταθερές, είναι το γνωστό ισότροπο υλικό. Συνοψίζουμε με την παράθεση των πινάκων ελαστικών σταθερών για μερικές επιλεγμένες κατηγορίες υλικών. Ανισότροπα υλικά (γενικότερη περίπτωση): 21 σταθερές C 11 C 12 C 13 C 14 C 15 C 16 C 22 C 23 C 24 C 25 C 26 C 33 C 34 C 35 C 36 C 44 C 45 C 46 συμ. C 55 C 56 C 66

33 24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ Ορθότροπα υλικά: 9 σταθερές Ισότροπα υλικά: 2 σταθερές C 11 C 12 C C 22 C C C συμ. C 55 0 C 66 C 11 C 12 C C 11 C C συμ C 12 ) C 12 ) C 12 ) Ισότροπος ελαστικός καταστατικός νόμος Τα ισότροπα υλικά χαρακτηρίζονται από ιδιότητες που είναι ανεξάρτητες της κατεύθυνσης. Οι φυσικές εξισώσεις που περιγράφουν θα πρέπει συνεπώς να είναι ανεξάρτηττες του επιλεχθέντος συστήματος συντεταγμένων. Ο τανυστής παραμόρφωσης είναι συμμετρικός. Εφόσον το ίχνος κάθε τανυστή είναι ανεξάρτητο του συστήματος συντεταγμένων, η πληρέστερη διάσπαση ενός συμμετρικού τανυστή είναι η γραφή του ως άθροισμα ενός σταθερού τανυστή και ενός συμμετρικού τανυστή με μηδενικό ίχνος ([4]). Χρησιμοποιώντας τις δύο σταθερές του Lamé τις λ, µ στη σχέση τάσεωνπαραμορφώσεων γράφεται 2µ + λ λ λ µ + λ λ σ = 2µ + λ µ 0 0 συμ. 2µ 0 2µ ε 11 ε 22 ε 33 ε 12 ε 23 ε 31 ή με χρήση δεικτών και των τανυστών τάσης και παραμόρφωσης σ ij = 2µε ij + λδ ij ε kk (1.7)

34 1.9. ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΣ ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ ΥΛΙΚΟΥ 25 ή και αντίστροφα ε ij = σ ij 2µ λδ ijσ kk 2µ(2µ + 3λ). Εναλλακτικά μπορεί να χρησιμοποιηθεί διαφορετικό ζευγάρι τιμών: το μέτρο διάτμησης (shear modulus) µ = G = E 2(1 + ν), (1.8) λ = νe (1 + ν)(1 2ν), (1.9) το μέτρο του Young E = µ(2µ + 3λ) µ + λ, ο λόγος διόγκωσης ή λόγος του Poisson ν = λ 2(µ + λ), το μέτρο bulk K = E 3(1 2ν) = 3λ + 2µ 3. Η χρήση της εξίσωσης (1.9) καθορίζει το επιτρεπτό εύρος τιμών 1 < ν < 0.5, εάν το λ παραμένει πεπερασμένο. Το αποτέλεσμα αυτό ισχύει για ιστότροπα ελαστικά υλικά και διαφοροποιείται αναλόγως για ανισότροπα. Με χρήση των ορισμών (1.8), (1.9), ο νόμος του Hooke (1.7) για ισότροπα υλικά μπορεί να γραφεί ως σ 11 σ 22 σ 33 σ 23 = σ 13 σ 12 1 ν ν ν ν 1 ν ν E ν ν 1 ν (1 + ν)(1 2ν) 1 2ν ν ν ε 11 ε 22 ε 33 2ε 23 2ε 13 2ε 12.

35 26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ Σε αντίστροφη μορφή η σχέση είναι: ε 11 ε 11 1 ν ν ε 22 ε 22 ε 33 2ε 23 = ε 33 γ 23 = 1 ν 1 ν ν ν E (1 + ν) 0 0 2ε 13 γ (1 + ν) 0 2ε 12 γ (1 + ν) Οι παραδοχές απλοποίησης του τρισδιάστατου προβλήματος σε διδιάστατο εισάγουν μικρές τροποποιήσεις στις σχέσεις της ελαστικότητας. Για συνθήκες επίπεδης έντασης σ 31 = σ 13 = σ 32 = σ 23 = σ 33 = 0 ο νόμος του Hooke παίρνει τη μορφή και ο αντίστροφος τη μορφή ε 11 ε 22 = 1 E 2ε 12 1 ν 0 σ 11 σ 22 = E ν ν σ ν 2 ε 11 ε 22 2ε 12 1 ν 0 ν (1 + ν) σ 11 σ 22 σ Οι εξισώσεις ισορροπίας των τάσεων Ας υποθέσουμε μικρό κομμάτι του υλικού, Dx, Dy, Dz, αποκομμένο από ένα γραμμικό ελαστικό σώμα. Ας υποθέσουμε ότι σε κάθε θέση επιβάλλεται η κατανεμημένη δύναμη με συνιστώσες X b, στη x κατεύθυνση, Για μονοδιάστατο πρόβλημα ισχύει η απλοποίηση σ 22 = σ 12 = σ 21 = 0 and σ 33 = σ 13 = σ 23 = 0. Η σχέση ισορροπίας για τη μοναδική συνιστώσα του τανυστή τάσεως σ x = σ 11 γράφεται.. σ 11 σ 22 σ 33 σ 23 σ 13 σ 12 σ x x + X b = 0. (1.10) Πολλά προβλήματα αντιμετωπίζονται επιτυχώς ως τρισδιάστατα. Γενικώς ισχύουν οι ακόλουθες περιπτώσεις. 1. Η γεωμετρική μορφή είναι επίπεδος δίσκος με το επιβαλλόμενο φορτίο εντός του επιπέδου του δίσκου, ομοιόμορφα κατανεμημένο στο πάχος του δίσκου. Αυτό είναι το μοντέλο της επίπεδης έντασης (Σχ. 1.6).

36 1.10. ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ 27 x 2 x 2 φόρτιση x 1 x 3 Σχήμα 1.6: Επίπεδη ένταση: γεωμετρική μορφή και φόρτιση 2. Η γεωμετρική μορφή είναι ένας πρισματικός κύλινδρος με τη μία διάσταση πολύ μεγαλύτερη των υπολοίπων. Τα φορτία είναι ομοιόμορφα κατανεμημένα κατά μήκος της μεγάλης διεύθυνσης. Θεωρούμε μια φέτα από τον πρισματικό κύλινδρο. Η περίπτωση αυτή είναι η επίπεδη παραμόρφωση (Σχ. 1.7). x 2 φόρτιση x 1 x 3 Σχήμα 1.7: Επίπεδη παραμόρφωση: γεωμετρική μορφή και φόρτιση Κάθε μια από τις παραπάνω υποθέσεις οδηγεί σε διαφορετικό διδιάστατο μοντέλο.

37 28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ Επίπεδη ένταση Οι υποθέσεις οδηγούν σε μηδενισμό των συνιστωσών της τάσης κατά την κάθετη στο επίπεδο x 3 διεύθυνση σ 33 = σ 13 = σ 23! = 0 ενώ επιπλέον ισχύει σ = σ(x 1, x 2 ). Το σύστημα των δύο εξισώσεων ισορροπίας που προκύπτει έχει τη μορφή σ x x + τ xy y + X b = 0, τ xy x + σ y y + Y b = Εξισώσεις ισορροπίας τρισδιάστατου συνεχούς Σε τρεις διαστάσεις, υπό την επίδραση δύναμης Z b στην z κατεύθυνση οι εξισώσεις ισορροπίας γράφονται σ x x + τ xy y + τ xz z + X b = 0, τ xy x + σ y y + τ yz z + Y b = 0, τ xz x + τ yz y + σ z z + Z b = 0. Οι τάσεις εμφανίζονται σχηματικά στο Σχήμα 1.3, με χρήση του εναλλακτικού συμβολισμού x 1, x 2, x 3 στη θέση των x, y, z για τους τρεις άξονες του συστήματος αναφοράς. Υπενθυμίζονται εδώ οι σχέσεις μεταξύ παραμορφώσεων και μετακινήσεων ε x = u x, γ xy = u y + v x ε y = v y, γ xz = u z + w x ε z = w z, γ yz = w y + v z, όπου (x, y, z) είναι οι συνιστώσες του διανύσματος θέσης X και (u, v, w) οι συνιστώσες του διανύσματος μετακίνησης u.

38 1.11. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΙΑ ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Εξισώσεις ισορροπίας για μονοδιάστατα προβλήματα Στην παράγραφο αυτή παρουσιάζονται μονοδιάστατα προβλήματα εξισώσεων ισορροπίας, όπως αυτά που εμφανίζονται σε ράβδους, δοκούς. Στην περίπτωση αυτή ισχύει η εξίσωση (1.10) Ράβδος Θεωρούμε ράβδο που υπόκειται σε αξονική καταπόνηση T λόγω κατανεμημένης μαζικής φόρτισης F. Η ράβδος έχει μήκος L, διατομή A και μέτρο ελαστικότητας E. Από την Παράγραφο 1.10 προκύπτει ότι υπάρχει μόνο η συνιστώσα της τάσης στην κατεύθυνση του άξονα x δηλαδή σ xx σ 0 και ε xx ε 0. Οι εξισώσεις ισορροπίας της ράβδου γράφονται T x + F = 0. Με τη χρήση της σχέσης μεταξύ δύναμης και τάσης T = σa η τελευταία εξίσωση μετασχηματίζεται στην A σ + F = 0. (1.11) x Ο καταστατικός νόμος του υλικού (γραμμικός νόμος ελαστικότητας του Hook) δίδει τη σχέση σ = Eε, (1.12) και από την κινηματική προκύπτει η σχέση συμβιβαστού μετακινήσεων και παραμορφώσεων ε x = u x. (1.13) Με χρήση των σχέσεων (1.12), (1.13) από (1.11) προκύπτει AE 2 u x 2 + F = 0. Ένα απλό παράδειγμα ράβδου φαίνεται στο σχήμα 2.1 με συγκεντρωμένες δυνάμεις στο άκρο και χωρίς να ληφθούν υπόψη οι επιρροές από τα άκρα του στοιχείου: EA L [ ] [ u1 u 2 ] = [ F1 F 2 ]

39 30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ οι οποίες είναι οι γνωστές εξισώσεις ισορροπίας για πρισματική ράβδο. Σε μητρωική γραφή K e u = F e. Τα μητρώα και διανύσματα K F αλλάζουν μορφή για περισσότερο πολύπλοκα προβλήματα. L F 2 x dx F 1 Σχήμα 1.8: Ισορροπία του στοιχείου της ράβδου Συνοριακές συνθήκες Στα σύνορα του χωρίου μπορούμε να έχουμε δύο τύπων συνοριακές συνθήκες, συνοριακές συνθήκες τάσεων και συνοριακές συνθήκες μετακινήσεων. Γενικά μία από τις δύο ποσότητες μπορούν να ορισθούν σε κάθε σημείο: 1. Σε ένα ελεύθερο σύνορο οι τάσεις είναι δοσμένες (σ), και οι μετακινήσεις άγνωστες, πριν την επίλυση. 2. Σε ένα στηριγμένο σύνορο οι μετακινήσεις είναι δοσμένες (u), ενώ οι τάσεις και δυνάμεις στηρίξεως μένουν να υπολογισθούν.

40 Βιβλιογραφία [1] Strang G., Γραμμική Άλγεβρα και Εφαρμογές. Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρητης. Ηρακλείο, [2] Lay D. C., Linear Algebra and Its Applications. Addison Wesley, World Student Series, [3] Fridtjov I., Continuum Mechanics. Springer. ISBN , [4] Symon K., Mechanics. Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN , [5] Lutz L., Lecture Notes on Solid Mechanics. Institute of Applied Mechanics, Braunschweig, [6] Βαρδουλάκης, Ι., Εισαγωγή στη μηχανική του συνεχούς μέσου. Συμμετρία, Αθήνα,

41 32 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

42 Κεφάλαιο 2 Αριθμητική προσέγγιση για διαφορικές εξισώσεις Οι αρχές μεταβολών και, σε αριθμητικό επίπεδο, οι μέθοδοι πεπερασμένων διαφορών, αποτελούν παραδοσιακά εργαλεία για την αριθμητική προσέγγιση της λύσης σε προβλήματα μαθηματικής φυσικής και μηχανικής. Χρησιμοποιούνται σε προβλήματα συνεχούς, δομικής μηχανικής, ηλεκτρομαγνητισμού, ρευστομηχανικής κ.ά., τα οποία μπορούν να περιγραφούν με συνήθεις και μερικές διαφορικές εξισώσεις ([5] [6], [16], κ.τ.λ.). Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται αριθμητικές μέθοδοι που στηρίζονται σε αρχές μεταβολών (π.χ. [10], [2], [24]). Συγκεκριμένα παρουσιάζονται οι μέθοδοι Ritz, Galerkin (π.χ. [9], [7], [24]), spectral (π.χ. [20], [4], [23]), η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων (π.χ. [18], [21], [16], [5]); και η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών (π.χ. [19], [22], [21]). Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων αποτελεί τη μέθοδο πρώτης επιλογής με τις σημερινές συνθήκες ανάπτυξης της θεωρίας και των υπολογιστών. Για τον λόγο αυτό θα παρουσιαστεί στα επόμενα κεφαλαία με μεγαλύτερη λεπτομέρεια. Οι θεωρητικές βάσεις των μεθόδων που παρουσιάστηκαν στο κεφάλαιο αυτό μπορούν να αναζητηθούν στα κλασικά βιβλία [14], [15] και στα νεότερα [17], [1]. Από την πληθώρα ξενόγλωσσων βιβλίων γίνεται ενδεικτική παραπομπή στο [8]. 33

43 34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ 2.1 Αρχές μεταβολών Ας χρησιμοποιήσουμε το ακόλουθο πρότυπο πρόβλημα για τη συζήτηση των αρχών μεταβολών Lu(x) = f(x) in x Ω, (2.1) u Ω = a, (2.2) όπου με L συμβολίζεται ο διαφορικός τελεστής στον χώρο L 2 και u, f L 2 (Ω). Στις αρχές μεταβολών η λύση u του (2.1), (2.2) αναζητείται με τη γενική μορφή των σειρών) N ũ N (x) = c i ϕ i (x), (2.3) i=1 όπου το ũ N συμβολίζει μια προσέγγιση της λύσης του συνεχούς u, ϕ i (x) είναι συναρτήσεις δοκιμής και οι συντελεστές c i πρέπει να προσδιορισθούν. Το εσωτερικό γινόμενο στον χώρο L 2 ορίζεται ως ακολούθως (f, g) Ω = f(x)g(x)dx και το μέτρο (νόρμα) Ω ( 1/2 f Ω = f dx) 2. Ω Για παράδειγμα, εάν πάρουμε L (η Laplacian) τότε (Lu, u) = (Lu, u) Ω = u udx = ( u) 2 dx, όπου είναι ο λεγόμενος τελεστής νάβλα (των πρώτων παραγώγων). Ω Ω Η μέθοδος Ritz Εάν ο τελεστής L είναι αυστηρά θετικός (δηλαδή ισχύει (Lu, u) Ω > 0 για κάθε 0 u L 2 (Ω), και (Lu, u) Ω = 0 εάν και μόνον εάν u = 0), τότε η εξίσωση (2.1) έχει το πολύ μία λύση ũ L 2 στο Ω. Ας υποθέσουμε παραπέρα ένα τετραγωνικό συναρτησιακό Π : L 2 Ω ως ακολούθως Π(u) = 1 2 (Lu, u) Ω (f, u) Ω.

44 2.1. ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ 35 Εάν το ũ είναι λύση της διαφορικής εξίσωσης (2.1), τότε το τετραγωνικό συναρτησιακό Π(u) παίρνει ελάχιστη τιμή στον χώρο L 2 για το στοιχείο ũ, δηλαδή ισχύει Π(u) Π(ũ) και Π(u) = Π(ũ) μόνο όταν u = ũ. Αντιστρόφως, εάν το Π(u) παίρνει ελάχιστη τιμή, μεταξύ όλων των u D L, για το στοιχείο ũ, τότε το στοιχείο ũ ειναι λύση της διαφορικής εξίσωσης (2.1), δηλαδή ισχύει, Lũ = f. Τα παραπάνω συμπεράσματα εξάγονται από γενικά αποτελέσματα σχετικά με την ύπαρξη και μοναδικότητα του ελαχίστου ενός τετραγωνικού συναρτησιακού ή ενός αντίστοιχου προβλήματος μεταβολών (βλ. π.χ. [10]). Η βασική ιδέα της προσεγγιστικής μεθόδου κατά Ritz μπορεί να παρουσιαστεί ως ακολούθως. Το πρόβλημα πρέπει να τεθεί σε μορφή μεταβολών, ως πρόβλημα βελτιστοποίησης, και συγκεκριμένα: βρείτε το u που ελαχιστοποιεί τη συνάρτηση Π(u). Η λύση προσεγγίζεται με πεπερασμένο γραμμικό συνδυασμό της μορφής ũ N (x) = N c j ϕ j (x) + ϕ 0 (x), (2.4) j=1 όπου c j συμβολίζει τους συντελεστές Ritz, ϕ 0, ϕ j είναι οι συναρτήσεις προσέγγισης (δοκιμαστικές) (j = 1,..., N). Οι άγνωστες παράμετροι c j υπολογίζονται από την απαίτηση της ισχύος της αρχής μεταβολών για την προσεγγιστική λύση, δηλαδή ότι το Π(ũ N ) ελαχιστοποιείται ως συνάρτηση των c j (j = 1,..., N). Παρατήρηση: Μια προσεγγιστική λύση μπορεί να είναι ακριβής εάν επιλεγούν κατάλληλες συναρτήσεις προσέγγισης. Γενικά, για μια προσεγγιστική λύση ισχύει ότι ũ N u όταν N. Εισάγοντας την προσεγγιστική λύση στο συναρτησιακό Π λαμβάνεται το Π ως μια συνάρτηση των παραμέτρων c j (μετά την εκτέλεση της ολοκλήρωσης): Π(ũ N ) = Π(c 1, c 2,..., c N ). Οι παράμετροι του Ritz καθορίζονται (ή ρυθμίζονται) έτσι ώστε η μεταβολή να είναι μηδέν δπ = 0. Με άλλα λόγια το Π ελαχιστοποιείται ως συνάρτηση των c j (j = 1,...N):

45 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ 0 = δπ = Π c 1 δc 1 + Π c 2 δc Π c N δc N = Επειδή οι παράμετροι c j είναι ανεξάρτητοι, συνεπάγεται ότι Π c i = 0 (j = 1,..., N). N i=1 Π c i δc i. Έτσι μένουν διαθέσιμες N εξισώσεις για τον προσδιορισμό των N παραμέτρων Ritz c j. Τετραγωνικό συναρτησιακό. Εάν το συναρτησιακό Π(u) είναι τετραγωνικό ως συνάρτηση του u, τότε η μεταβολή του εκφράζεται ως δπ = B(u, δu) L(δu), όπου B(.,.) και L(.) είναι κατάλληλες διγραμμικές και γραμμικές μορφές, αντιστοίχως. Η περίπτωση αυτή αντιστοιχεί στις γραμμικές θεωρίες που αποτελούν το κύριο αντικείμενο του παρόντος βιβλίου. Εάν εφαρμοσθεί στη συνέχεια η προσέγγιση κατά Ritz για (2.4): δũ N = N ϕ i δc i, i=1 οδηγούμαστε στην ακόλουθη μορφή 0 = δπ = B(u, δu) L(δu) = [ N N ] A ij c j b i δc i, i=1 j=1 και οι εξισώσεις του Ritz μορφώνουν ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων: Π N = A ij c j b i = 0 c j ή j=1 N A ij c j = b i j=1 (i = 1,..., N).

46 2.1. ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ 37 Εδώ, το A ij είναι το μητρώο (πίνακας) με τις σταθερές του συστήματος και b i το διάνυσμα σταθερών του δεξιού μέρους. Οι δοκιμαστικές συναρτήσεις πρέπει να είναι τέτοιες ώστε η αντικατάσταση από την προσεγγιστική λύση, ũ N (x), στη μορφή των μεταβολών να οδηγεί σε N γραμμικώς ανεξάρτητες εξισώσεις για τις παραμέτρους c j (j = 1,..., N) και το προκύπτον σύστημα να έχει λύση. Μια συγκλίνουσα προσέγγιση κατά Ritz απαιτεί τα ακόλουθα: το ϕ 0 πρέπει να ικανοποιεί τις ορισθείσες ουσιώδεις συνοριακές συνθήκες. Για παράδειγμα, για ομογενείς συνοριακές συνθήκες, πρέπει να ισχύει ϕ 0 (x) = 0. το ϕ i πρέπει να ικανοποιεί τις ακόλουθες τρεις συνθήκες: α) να είναι συνεχείς, όπως απαιτείται από την αρχή μεταβολών που χρησιμοποείται, β) να ικανοποιεί τις ομογενείς ουσιώδεις συνοριακές συνθήκες, γ) το σύνολο {ϕ i } πρέπει να είναι γραμμικώς ανεξάρτητο και πλήρες. Εάν οι παραπάνω συνθήκες ικανοποιούνται, τότε η προσέγγιση κατά Ritz έχει μια μοναδική λύση ũ N (x) και η λύση αυτή συγκλίνει προς την ακριβή λύση του προβλήματος, όταν ο αριθμός των όρων N αυξάνεται. Παράδειγμα Θεωρείται η ακόλουθη κανονική διαφορική εξίσωση d ( a(x) du(x) ) = f(x) for x (0, L), (2.5) dx dx όπου a(x) και f(x) είναι τα γνωστά δεδομένα του προβλήματος: η πρώτη ποσότητα παράγεται από τις γεωμετρικές ιδιότητες και τις ιδιότητες του υλικού, ενώ η δεύτερη από τα επιβαλλόμενα φορτία. Επιπλέον, το u(x) συμβολίζει τη λύση που πρέπει να προσδιορισθεί και καλείται εξαρτημένη μεταβλητή του προβλήματος (όπου με x συμβολίζεται η ανεξάρτητη μεταβλητή). Επιβάλλονται στο πρόβλημα οι ακόλουθες συνοριακές συνθήκες [ u(0) = 0 (Dirichlet συνορ. συν.), a(x) du(x) ] dx + ku(x) = P (Robin συνορ. συν.), x=l (2.6) όπου, P και k έχουν γνωστές τιμές. Το μαθηματικό μοντέλο (2.4) μπορεί να περιγράφει την ελαστική παραμόρφωση κατά μήκος του άξονα μιας ανομοιόμορφης ράβδου με μήκος L Σχ. 2.1 υπό την επήρρεια ενός αξονικού φορτίου,

47 38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ f(x) L k P x Σχήμα 2.1: Αξονικώς φορτισμένη ανομοιόμορφη ελαστική. σταθερά στηριγμένης στη μία άκρη και υποκείμενη σε ένα συγκεντρωμένο φορτίο στην άλλη άκρη. Το πρόβλημα συνοριακών τιμών (BVP - Boundary Value Problem) (2.5), (2.6) είναι ισοδύναμο με την ελαχιστοποίηση του ακόλουθου συναρτησιακού: Π(u) = L 0 [ a 2 ( ) 2 du fu] dx + k dx 2 [u(l)]2 P u(l). Το συναρτησιακό περιγράφει την ολική δυναμική ενέργεια της ράβδου, έτσι ώστε η λύση u να εξασφαλίζει το ελάχιστο για τη δυναμική ενέργεια. Οι αναγκαίες συνθήκες για να έχει η Π ελάχιστο είναι όπου B(u, δu) = 0 = δπ = B(u, δu) L(δu) or B(u, δu) = L(δu), L 0 a du dx dδu dx + ku(l)δu(l), L(δu) = dx L 0 fdudx + P δu(l). Οι ουσιώδεις συνοριακές συνθήκες του προβλήματος περιγράφονται από τη γεωμετρική παραμόρφωση, u(0) = 0, και πρέπει να ικανοποιούνται από τη σχέση ϕ 0 (x). Με εφαρμογή της προσέγγισης κατά Ritz και ελαχιστοποίηση του

48 2.1. ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ 39 συναρτησιακού προκύπτει: 0 = Π [ ( L N ) ] dϕ i dϕ j = a c j c i 0 dx dx + dϕ 0 fϕ i dx dx j=1 ( N ) +kϕ i (L) c j ϕ j (L) + ϕ 0 (L) P ϕ i (L) (i = 1,..., N). j=1 Συνεπώς προκύπτει το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων για τον προσδιορισμό των παραμέτρων Ritz: N A ij c j = b i j=1 (i = 1,..., N), όπου ο πίνακας του συστήματος και το δεξί μέλος έχουν τη μορφή A ij = L b i = 0 L a dϕ i dϕ j dx dx + kϕ i(l)ϕ j (L), [ a dϕ ] i dϕ 0 dx dx fϕ i dx kϕ i (L)ϕ 0 (L) + P ϕ i (L). 0 Για το μελετούμενο πρόβλημα τα δεδομένα και οι συναρτήσεις προσέγγισης δύο προσεγγιστικών λύσεων (για N = 1 καί N = 2) παρουσιάζονται στα ακόλουθα. Τα δεδομένα του προβλήματος: ( a(x) = a 0 2 x ), f(x) = f 0, k = 0. L Οι συναρτήσεις παρεμβολής: ϕ 0 (x) = 0, ϕ j (x) = x j για j = 1,..., N. Για τις συναρτήσεις παρεμβολής έχουμε N = 1 : ũ 1 = c 1 x, A 11 = 3 2 a 0L, b 1 = 1 2 f 0L 2 + P L, c 1 = f 0L + 2P 3a 0. N = 2 : ũ 2 = c 1 x + c 2 x 2, A 11 = 3 2 a 0L, A 12 = 4 3 a 0L 2, A 21 = A 12, A 22 = 5 3 a 0L 3, b 1 = 1 2 f 0L 2 + P L, b 2 = 1 3 f 0L 3 + P L 2, c 1 = 7f 0L + 6P 13a 0, c 2 = 3f 0L + 3P 13a 0 L.

49 40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Μερικές ακόμα ιδιότητες της μεθόδου Ritz απαριθμούνται στα ακόλουθα. Εάν οι συναρτήσεις παρεμβολής ικανοποιούν τις απαιτήσεις, η προσέγγιση που θεωρείται ũ N (x) συγκλίνει στην πραγματική λύση ũ(x) με την αύξηση των παραμέτρων, δηλαδή για μεγαλύτερο N 1. Για αυξανόμενες τιμές του N, οι προηγουμένως υπολογισθέντες συντελεστές των αλγεβρικών εξισώσεων παραμένουν αμετάβλητες (εφόσον βέβαια το σύστημα αναφοράς δεν μεταβάλλεται), και πρέπει κάποιος να προσθέσει τις νεοϋπολογισμένες τιμές στο σύστημα των εξισώσεων. Η μέθοδος Ritz εφαρμόζεται σε κάθε γραμμικό ή μη γραμμικό πρόβλημα, όσο το πρόβλημα μεταβολών είναι ισοδύναμο με τις εξισώσεις και τις φυσικές συνοριακές συνθήκες. Εάν το πρόβλημα μεταβολών που χρησιμοποιείται στην προσέγγιση Ritz έχει συμμετρική διγραμμική μορφή (ως συνάρτηση του u και του δu), το προκύπτον σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων είναι επίσης συμμετρικό. Οι εξισώσεις του προβλήματος και οι συνοριακές συνθήκες ικανοποιούνται μόνο σε ασθενή μορφή (ολοκληρωτική μορφή, σύμφωνα με την έννοια των μεταβολών), και όχι με την ισχυρή μορφή που περιγράφουν οι διαφορικές εξισώσεις σε κάθε σημείο Προβολές τύπου Galerkin Ας υποθέσουμε έναν μη γραμμικό τελεστή L στη σχέση (2.1) με χώρο ορισμού τον χώρο Banach X και πεδίο τιμών στον χώρο Y. Στη μέθοδο των προβολών τύπου Galerkin οι δοκιμαστικές συναρτήσεις {ϕ i } N 1 είναι γραμμικώς ανεξάρτητα στοιχεία (ένα σύστημα συντεταγμένων) από το X και επιλέγεται επίσης ένα γραμμικώς ανεξάρτητο σύστημα {ψ j } N 1 συναρτησιακών από τον χώρο Y που είναι δυικός στον Y (ένα σύστημα προβολής). Ζητείται μια προσεγγιστική λύση της εξίσωσης (2.1), (2.2) που έχει τη μορφή (2.3), όπου οι συντελεστές c i υπολογίζονται από το σύστημα των εξισώσεων ( N L c i ϕ i (x), ψ j (x) ) = (f, ψ j ), j = 1,..., N. i=1 Η μέθοδος Galerkin είναι ένα ισχυρό εργαλείο, όχι μόνο για τον προσδιορισμό προσεγγιστικών λύσεων, αλλά και για την εξαγωγή θεωρημάτων ύπαρξης λύ-

50 2.1. ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ 41 σεων σε γραμμικές και μη-γραμμικές εξισώσεις, και βέβαια στα προβλήματα όπου εμπλέκονται συστήματα διαφορικών εξισώσεων. Εάν το πρόβλημα έχει ορισθεί σε χώρους συναρτήσεων τύπου Hilbert, η μέθοδος του Galerkin καλείται συχνά και η μέθοδος Petrov Galerkin. Εάν επιπροσθέτως, οι συντεταγμένες και τα συστήματα προβολών συμπίπτουν (X = Y = H και ψ i = ϕ i ), τότε η μέθοδος καλείται και μέθοδος Bubnov Galerkin (ή για απλότητα μόνο μέθοδος Galerkin). Εάν ισχύει X = Y = H και είναι χώρος τύπου Hilbert, ενώ επίσης ισχύει ψ i = Lϕ i, έχουμε την ειδική περίπτωση της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων. Στην περίπτωση που ο L ειναι γραμμικός τελεστής, τότε μετά την εφαρμογή της μεθόδου Galerkin προκύπτουν N γραμμικές αλγεβρικές εξισώσεις με N αγνώστους, N c i (Lϕ i, ψ j ) = (f, ψ j ), j = 1,..., N. i= Γενική περιγραφή της μεθόδου spectral Εάν οι δοκιμαστικές συναρτήσεις {ϕ i } N 1 ειναι απείρως παραγωγίσιμες ολικές συναρτήσεις (ολική βάση) που καλύπτουν το σύνολο του χωρίου ορισμού της λύσης, τότε η μέθοδος μεταβολών ονομάζεται spectral μέθοδος. Οι μέθοδοι τύπου spectral με την επιλογή κατάλληλων συναρτήσεων βάσης που ορίζονται στο σύνολο του χωρίου, παρέχουν υψηλή ακρίβεια προσέγγισης της λύσεως και χρησιμοποιούνται στην επίλυση προβλημάτων με υψηλές απαιτήσεις ακρίβειας (π.χ. [20], [11], [13]). Δυστυχώς δεν είναι πάντα εφικτό σε πρακτικές εφαρμογές η εύρεση ολικών συναρτήσεων παρεμβολής, όταν, για παράδειγμα, το χωρίο έχει περίεργη γεωμετρική μορφή, οπές, μη κανονικές συνοριακές συνθήκες κλπ. Ο ρυθμός μείωσης του σφάλματος με την αύξηση του αριθμού των ολικών συναρτήσεων παρεμβολής, εξαρτάται από τη λειότητα της λύσης που προσεγγίζεται. Συνήθως μερικά αθροίσματα όρων από την πλήρη σειρά είναι αρκετά για την επίτευξη ικανοποιητικής ακρίβειας. Η μέθοδος spectral μπορεί να συνδυασθεί και με τεχνικές σημειακής επιβολής των εξισώσεων, τύπου collocation και οδηγεί σε μεθόδους γνωστές ως τ -μορφές της μεθόδου spectral. Συγκεκριμένα, η μέθοδος σημειακής επιβολής των εξισώσεων επιβάλλει την ικανοποίηση των διαφορικών εξισώσεων επακριβώς στα σημεία επιβολής. Οι μέθοδοι τύπου τ spectral είναι παρόμοιες με τις μεθόδους τύπου Galerkin όσον αφορά την επιβολή των διαφορικών εξισώσεων.

51 42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Η διαφορά είναι ότι καμία από τις δοκιμαστικές συναρτήσεις δεν απαιτείται να ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες. Συνεπώς χρησιμοποιείται επιπρόσθετο σύνολο εξισώσεων για την επιβολή των συνοριακών συνθηκών. Οι μέθοδοι τύπου spectral συχνά χρησιμοποιούνται σε συνδυασμό με τις μεθόδους τύπου Galerkin (Bubnov-Galerkin). Θα παρουσιαστεί στη συνέχεια ένα απλό παράδειγμα εφαρμογής μεθόδου Galerkin-spectral για την επίλυση ενός προβλήματος συνοριακών τιμών με διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης. Σύνθετα προβλήματα σε πολλές διαστάσεις θα συζητηθούν στο κεφάλαιο 5, σε συνδυασμό με μη γραμμικά προβλήματα. Παράδειγμα Εφαρμογή της μεθόδου spectral σε συνδυασμό με προβολές τύπου Galerkin για την επίλυση του μονοδιάστατου προβλήματος u (x) = f(x), x (0, l), (2.7) u(0) = u(1) = 0. (2.8) Το πρόβλημα μπορεί να λυθεί αναλυτικά με ολοκλήρωση δύο φορές της εξισώσεως f(x). Προφανώς η μέθοδος αυτή περιορίζεται σε απλά προβλήματα και δεν μπορεί να επεκταθεί σε περισσότερες διαστάσεις (2.7), (2.8). Ας υποθέσουμε ένα σύστημα συντεταγμένων για τις σχέσεις (2.7), (2.8). Οι συναρτήσεις ϕ i (x) = 2 sin(πix) είναι ορθοκανονικές και ικανοποιούν τις συνοριακές συνθήκες (2.8), συνεπώς μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως μια ολική βάση (2.3) για την επίλυση των (2.7), (2.8). Ας υποθέσουμε τον χώρο εσωτερικού γινομένου στον L 2 (Ω). Με εφαρμογή της μεθόδου Galerkin προκύπτει (u, ϕ i ) = (f, ϕ i ), i = 1,..., N. Με ολοκλήρωση κατά τμήματα και χρήση της ιδιότητας ϕ i (0) = ϕ i (1) = 0 έχουμε 1 0 u ϕ i dx = u ϕ i u ϕ idx = Χρησιμοποιώντας τις επεκτάσεις (2.3) οδηγούμαστε στο διακριτοποιημένο πρόβλημα (2.7), (2.8). N c j (ϕ j, ϕ i) = (f, ϕ i ), (2.9) j=1 Συνεπώς, και με χρήση της ιδιότητας ορθοκανονικότητας των ϕ i οι συντελεστές c i μπορούν να υπολογιστούν αμέσως c i = 1 2(πi) 2 f i, 1 0 fϕ i.

52 2.1. ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ 43 όπου f i = (f, ϕ i ). Παράδειγμα Η επέκταση της μεθόδου Galerkin-spectral σε διδιάστατα προβλήματα, (π.χ. στο πρόβλημα Dirichlet της εξίσωσης Poisson) u(x) = f(x), x Ω = (0, 1)x(0, 1), u Ω = 0. γίνεται εύκολα. Στην περίπτωση αυτή πρέπει να ληφθούν διπλές σειρές όρων για τη λύση u, δηλαδή N ũ N (x, y) = c ij ϕ ij (x, y), i,j=1 και ϕ ij (x, y) = 2 sin(πix) sin(πjy). Οι συντελεστές c ij υπολογίζονται ως όπου f ij = (f, ϕ ij ), λ ij = 4π 2 (i 2 + j 2 ). c ij = f ij λ ij, Μέθοδοι πεπερασμένων στοιχειων Η επιλογή των δοκιμαστικών συναρτήσεων (συντεταγμένων) είναι ένα από τα σημεία που ξεχωρίζουν οι μέθοδοι πεπερασμένων στοιχείων από τις μεθόδους τύπου spectral. Στην περίπτωση των πεπερασμένων στοιχείων το χωρίο διαμοιράζεται σε μικρά στοιχεία, και οι δοκιμαστικές συναρτήσεις παρεμβολής ορίζονται σε κάθε ένα στοιχείο. Οι δοκιμαστικές συναρτήσεις παρεμβολής είναι συνεπώς τοπικές συναρτήσεις, και ενδείκνυται για τον χειρισμό σύνθετων γεωμετρικά σωμάτων. Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων εφαρμόζεται σε προβλήματα με σύνθετη γεωμετρική μορφή, διαφορετικά υλικά και σύνθετες συνοριακές συνθήκες, διότι έχει την απαιτούμενη ευελιξία. Πράγματι είναι ευκολότερο να ευρεθούν τοπικές συναρτήσεις βάσης οι οποίες χωριστά ικανοποιούν τις απαιτήσεις προσαρμογής ή συνοριακών συνθηκών καθενός προβλήματος. Οι μέθοδοι των πεπερασμένων στοιχείων (ΜΕ.ΠΕ.Σ., Finite Element Methods F.E.M.) είναι οι πλέον διαδεδομένες και ευέλικτες μέθοδοι που διαθέτουμε για την επίλυση προβλημάτων που περιγράφονται με τη χρήση μερικών διαφορικών εξισώσεων στη μηχανική των στερεών και υγρών, στη δομική μηχανική, στη θερμομηχανική και σε άλλες περιοχές ([6], [1], [17], [2], [8], [5]). Στο κεφάλαιο

53 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ αυτό δίνεται μια πρώτη περιγραφή της μεθόδου. Στα επόμενα κεφάλαια 3, 4 και 5 η μέθοδος εξειδικεύεται για την επίλυση προβλημάτων ράβδων, δοκών, δίσκων και πλακών. Όπως έχει ήδη αναφερθεί, η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων απαιτεί την κατάτμηση του χωρίου σε μικρότερα κομμάτια, τα πεπερασμένα στοιχεία, και τη χρήση μεθόδων μεταβολών από το λογισμό των μεταβολών με στόχο την επίλυση του προβλήματος. Για ορισμένα προβλήματα μπορούμε να στηριχθούμε σε ισοδύναμες αρχές ελαχιστοποίησης του δυναμικού. Γενικά θα πρέπει να υπολογίζουμε με την ύπαρξη σφάλματος στη μέθοδο και υπάρχουν διάφορες μέθοδοι ή κατευθύνσεις με τις οποίες το σφάλμα μπορεί να περιορισθεί. Η κατάτμηση του χωρίου σε απλούστερα τμήματα έχει πολλά πλεονεκτήματα. Με τον τρόπο αυτό μπορούν να περιγραφούν σύνθετες γεωμετρικές μορφές, να ληφθούν υπόψη διαφορετικές ιδιότητες υλικού ή, με τη χρήση μικρότερων στοιχείων σε ορισμένες περιοχές, να δοθεί βάρος στη λεπτομερέστερη περιγραφή τους και τον υπολογισμό τοπικών φαινομένων. Σε όλες τις ενεργειακές μεθόδους και τις μεθόδους μεταβολών υπεισέρχονται ολοκληρώματα ποσοτήτων πάνω στο σύνολο του χωρίου πάνω στο οποίο ορίζεται το προς μελέτη πρόβλημα. Με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων οι ποσότητες που καθορίζουν το πρόβλημα προσεγγίζονται με τη χρήση συναρτήσεων παρεμβολής για κάθε πεπερασμένο στοιχείο χωριστά και τελικά τα ολοκληρώματα αναπτύσσονται ως άθροισμα επιμέρους ολοκληρωμάτων στο σύνολο των πεπερασμένων στοιχείων. Τα τελευταία υπολογίζονται αναλυτικά ή και αριθμητικά. Τελικώς από το σύνολο των εξισώσεων που ισχύουν για κάθε πεπερασμένο στοιχείο και την ύπαρξη κοινών κόμβων ή πλευρών πάνω στις οποίες επικρατούν συνθήκες συμβιβαστού, δημιουργείται ένα συνολικό σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων το οποίο επιλυόμενο οδηγεί στην ζητούμενη προσέγγιση της λύσης. Στην περίπτωση της μηχανικής του παραμορφώσιμου σώματος στο σύστημα αυτό περιγράφει τις εξισώσεις ισορροπίας μεταξύ εσωτερικών και εξωτερικών δυνάμεων. Στη γραμμική ελαστικότητα το σύστημα αυτό είναι επιπλέον γραμμικό. Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων εισάγεται συνήθως ως μια ειδική περίπτωση της μεθόδου Galerkin. Στο πλαίσιο αυτό διατυπώνεται ένα ολοκλήρωμα του εσωτερικού γινομένου μεταξύ των υπολοίπων (δυνάμεων) και των συναρτήσεων στάθμισης (βαρών), και το ολοκλήρωμα αυτό ζητείται να είναι ίσο με το μηδέν. Με άλλα λόγια είναι μια διαδικασία η οποία ελαχιστοποιεί το σφάλμα της προσέγγισης μέσω προσαρμογής δοκιμαστικών συναρτήσεων στο σύστημα των μερικών διαφορικών εξισώσεων. Το υπόλοιπο είναι το σφάλμα που προκύπτει από τη χρήση των δοκιμαστικών συναρτήσεων, ενώ οι συναρτή-

54 2.1. ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ 45 σεις βάρη είναι πολυωνυμικές συναρτήσεις προσέγγισης οι οποίες προβάλλουν το υπόλοιπο. Η διαδικασία αυτή εξαφανίζει όλες τις χωρικές παραγώγους από το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων και συνεπώς προσεγγίζει τη λύση των διαφορικών εξισώσεων τοπικά με ένα σύνολο αλγεβρικών εξισώσεων, για προβλήματα που δεν εξαρτώνται από τον χρόνο ή ένα σύνολο συνήθων διαφορικών εξισώσεων για δυναμικά προβλήματα. Το σύνολο των προαναφερθέντων εξισώσεων αφορούν τα στοιχεία. Είναι γραμμικές, εάν οι διαφορικές εξισώσεις είναι γραμμικές, και μη γραμμικές στη γενική περίπτωση. Τα συστήματα των αλγεβρικών εξισώσεων που προκύπτουν επιλύονται αριθμητικά με χρήση μεθόδων γραμμικής άλγεβρας. Οι συνήθεις διαφορικές εξισώσεις που εμφανίζονται στα δυναμικά προβλήματα επιλύονται μέσω αριθμητικής ολοκλήρωσης με τη χρήση τυποποιημένων τεχνικών, όπως η μέθοδος Euler, ή μέθοδος Runge-Kutta κ.ά. ([10], [3], κλπ) Μετά τη σύντομη εισαγωγή που προηγήθηκε, θα δειχθεί η χρήση της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων με τη χρήση του προηγουμένου παραδείγματος. Παράδειγμα Θεωρούμε ξανά το πρόβλημα που περιγράφουν οι σχέσεις (2.7), (2.8). Με v συμβολίζουμε κάθε λεία συνάρτηση η οποία ικανοποιεί τις κινηματικές συνοριακές συνθήκες, v(0) = v(1) = 0. Με τη χρήση ολοκλήρωσης κατά μέλη προκύπτει 1 0 u vdx = u v u v dx = Στο επόμενο βήμα γίνεται η διακριτοποίηση του προβλήματος (u, v ) = (f, v). Ας υποθέσουμε ότι 0 = x 0 < x 1 <... < x n < x n+1 = 1. Επιπροσθέτως, οριζεται το V ως: V = {v : [0, 1] R : v είναι συνεχής, v [xk,x k+1 ] είναι γραμμική για k = 0,..., n, και v(0) = v(1) = 0}. Αξίζει να σημειωθεί ότι οι συναρτήσεις στον χώρο V δεν είναι συνεχώς διαφορίσιμες σύμφωνα με τον στοιχειώδη λογισμό. Πράγματι, εάν v V τότε η κλασική παράγωγος δεν ορίζεται σε κάθε x = x k, k = 1,... n. Παρόλα αυτά, η παράγωγος υπάρχει σε κάθε άλλη τιμή του x και η τιμή αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί κατά την ολοκλήρωση κατά μέρη. Στη συνέχεια πρέπει να επιλεγεί μια βάση στον χώρο V. Στη μονοδιάστατη περίπτωση, για κάθε σημείο ελέγχου x k μπορούμε να επιλέξουμε μια κατά τμήματα γραμμική συνάρτηση ϕ k στο V της οποίας η τιμή είναι 1 στο σημείο 1 0 fv.

55 46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ x k και μηδέν σε κάθε άλλο σημείο x j, j k, δηλαδή ισχύει, x x k 1 εάν x [x k 1, x k ], x k x k 1 ϕ k (x) = x k+1 x εάν x [x k, x k+1 ], x k+1 x k 0 αλλιώς, όπου h i = x i x i 1 για k = 1,..., n. Η βάση αυτή είναι μια μετατοπισμένη και παραμορφωμένη συνάρτηση τέντας. Ο όρος <στοιχείο> στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων αναφέρεται είτε στο τμήμα του χωρίου (π.χ. γραμμικό σε μονοδιάστατο πρόβλημα, τριγωνικό σε διδιάστατο κ.ο.κ.), είτε στις συναρτήσεις βάσεις, όπως τις κατά τμήματα γραμμικές που προαναφέρθηκαν, ή γενικώς πολυωνυμικές συναρτήσεις. Στο σχήμα 2.2 απεικονίζεται ένα ομοιόμορφο δίκτυο διακριτοποίησης. Στην περίπτωση ενός ανομοιόμορφου δικτύου h i h i+1. Η παράγωγος της συναρτήσεως παίρνει τη μορφή 0 = x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 1 Σχήμα 2.2: Βάση dϕ dx = 1 h i, για x i 1 x x i. Στη διδιάστατη περίπτωση, επιλέγουμε επίσης ως συναρτήσεις βάσης v k για κάθε κορυφή x k μιας τριγωνικής διακριτοποίησης του χωρίου Ω. Η συνάρτηση

56 2.2. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ 47 ϕ k είναι η μοναδική συνάρτηση του V της οποίας η τιμή είναι ίση με 1 στη θέση x k και μηδέν σε κάθε άλλο σημείο x j, j k. Στις μεθόδους πεπερασμένων στοιχείων το χωρίο διαμοιράζεται σε τμήματα (τα πεπερασμένα στοιχεία), τα οποία συνδέονται μέσω των κοινών σημείων (κόμβοι) και των συνόρων (Σχ. 2.3). Σε πολύπλοκα προβλήματα χρησιμοποιούνται ως συναρτήσεις παρεμβο- Σχήμα 2.3: Πεπερασμένα στοιχεία σε ένα διδιάστατο πρόβλημα. λής πολυώνυμα ανώτερης τάξης. 2.2 Προσέγγιση πεπερασμένων διαφορών για διαφορικές εξισώσεις Στο κεφάλαιο αυτό δίδεται σύντομη περιγραφή μεθόδων πεπερασμένων διαφορών που χρησιμοποιούνται για την προσέγγιση λύσεων μαθηματικής φυσικής. Συγκεκριμένα, μετά από χωρική διακριτοποίηση ενός αρχικού, στη γενική περίπτωση δυναμικού μοντέλου, προκύπτουν χρονοεξαρτώμενες, γραμμικές ή μη γραμμικές, συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ODEs). Οι εξισώσεις αυτές μπορούν να επιλυθούν με τη χρήση μεθόδων πεπερασμένων διαφορών Δίκτυα και συναρτήσεις δικτύων Κάθε πεπερασμένο σύνολο σημείων στο διάστημα [a, b] καλείται δίκτυο ή διακριτοποίηση. Μία συνάρτηση που ορίζεται στα σημεία του δικτύου, καλείται συνάρτηση δικτύου. Ας υποθέσουμε δίκτυο ω h το οποίο ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες: a = x 0 < x 1 < x 2 < < x N 1 < x N = b

57 48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ και f i είναι η τιμή της συνάρτησης δικτύου f(x) στο σημείο x i ω h, δηλαδή, f i = f(x i ). Τα σημεία x i ω h καλούνται κόμβοι του δικτύου ω h. Το σύνολο των σημείων ω h = {x i = a + ih, i = 0, 1,..., N, hn = b a} καλείται ομοιόμορφο δίκτυο επί του διαστήματος [a, b]. Ο αριθμός h η απόσταση μεταξύ των σημείων (κόμβων) του δικτύου ω h καλείται το βήμα του δικτύου. Θεωρείται το πρόβλημα του προσεγγιστικού υπολογισμού των παραγώγων της συνάρτησης u(x), η οποία ορίζεται και είναι συνεχής στο διάστημα [a, b]. Ας υποθέσουμε ότι η u(x) διαθέτει την αναγκαία λειότητα (παραγωγισιμότητα). Το ω h είναι ένα ομοιόμορφο δίκτυο και u i = u(x i ), x i ω h. Εισάγεται επιπλέον ο συμβολισμός: u x,i = u i u i 1 h, u x,i = u i+1 u i h, uẋ,i = u i+1 u i 1, 2h Οι εξισώσεις διαφορών που διατυπώθηκαν ονομάζονται εξισώσεις διαφορών πρώτης τάξεως left (οπισθόδρομες - backward), right (εμπροσθόδρομες - forward) και κεντρικές εξισώσεις διαφορών στο σημείο x i, αντίστοιχα. Εάν θεωρηθεί σταθερό το σημείο x i και το βήμα h τείνει στο μηδέν, τότε κάθε μία από τις προαναφερθείσες εξισώσεις διαφορών προσεγγίζει την πρώτη παράγωγο u(x) στο σημείο x i και συνεπώς μπορει να χρησιμοποιηθεί ως μια προσεγγιστική τιμή για την u (x i ). Εύκολα μπορεί να γραφεί το σφάλμα που προκύπτει από την αντικατάσταση της διαφορικής σχέσης με τη σχέση διαφορών. Ας υποθέσουμε, για παράδειγμα, την παράγωγο που ορίζεται με τις δεξιά μεταβολές στο σημείο x i και ας τη γράψουμε στη μορφή: Από την ανάπτυξη κατά Taylor: u x,i = u(x i) u(x i h). h προκύπτει u(x i h) = u(x i ) hu (x i ) + h2 2 u (ζ i ), ζ i (x i h, x i ). u x,i = u (x i ) h 2 u (ζ i ). Το σφάλμα u x,i u (x i ), που προκύπτει μετά την αντικατάσταση της u (x i ) από την εξίσωση διαφορών u x,i ονομάζεται σφάλμα προσέγγισης. Μπορεί εύκολα να εξαχθεί ότι το σφάλμα προσέγγισης είναι της τάξεως O(h), καθώς το

58 2.2. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ 49 h 0. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι έχουμε προσέγγιση πρώτης τάξεως. Ας γράψουμε τις ανάλογες εξισώσεις για τις δεξιές, και κεντρικές πεπερασμένες διαφορές: u x,i = u (x i ) + h 2 u (ζ (1) i ), ζ (1) i (x i, x i + h) uẋ,i = u (x i ) + h2 6 u (ζ (2) i ), ζ (2) i (x i h, x i + h). Οι κεντρικές πεπερασμένες διαφορές προσεγγίζουν το u (x i ) με ακρίβεια δεύτερης τάξης και συνεπώς είναι καλύτερη προσέγγιση του u (x i ) από τις εξισώσεις δεξιά και αριστερά πεπερασμένων διαφορών. Εναλλακτικά χρησιμοποιείται η γραφή: u x,i = u i + O(h), u x,i = u i + O(h), u x,i = O(h 2 ). Η δεύτερη παράγωγος u (x) στο σημείο x = x i μπορεί να αντικατασταθεί από τις πεπερασμένες διαφορές δεύτερης τάξης u xx,i = 1 h (u x,i u x,i ) = u i+1 2u i + u i 1 h 2. Το ανάπτυγμα κατά Taylor οδηγεί στην ακόλουθη τιμή του σφάλματος: u xx,i u (x i ) = h2 12 uiv (ζ i ). Προφανώς η προσέγγιση στην περίπτωση αυτή έχει ακρίβεια δεύτερης τάξεως. Γενικά το σφάλμα που προκύπτει από την αντικατάσταση διαφορικών σχέσεων με σχέσεις διαφορών εξαρτάται από τη διακριτοποίηση με τους κόμβους του πλέγματος και τη λειότητα της δεδομένης συνάρτησης. Ας υποθέσουμε τη διαφορική σχέση Lu = d dx ( k(x) du dx ) (2.10) με μεταβλητή σταθερά k(x) 0. Ας αντικαταστήσουμε την (2.10) με την παρακάτω σχέση διαφορών: L h u = (au x ) x,i = 1 ( ) u i+1 u i u i u i 1 a i+1 a i, h h h όπου a = a(x) είναι μια συνάρτηση που ορίζεται στο πλέγμα ω h. Ο στόχος μας είναι να διατυπώσουμε τις συνθήκες τις οποίες πρέπει να ικανοποιεί η

59 50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ συνάρτηση a(x) για να προσεγγίζει την (ku ) κατά (au x ) x,i στο σημείο x i με ακρίβεια δεύτερης τάξης. Αντικαταστήστε στην (7) τις παρακάτω σχέσεις: u x,i = u i + h 2 u i + h2 6 u i + O(h 3 ) όπου u i = u (x i ), τότε u x,i = u i h 2 u i + h2 6 u i + O(h 3 ), L h u = a i+1 a i h Ταυτόχρονα ισχύει: u i + a i+1 + a i u h i + h(a i+1 a i ) 6 Lu = (ku ) = ku + k u, δηλαδή, L h u Lu(x i ) = ( ) ( ai+1 a i k i u ai+1 + a i i + h 2 h(a i+1 a i ) u i 6 +O(h 2 ). u i + O(h 2 ). k i ) u i + Συνεπώς, έχουμε L h u Lu = O(h 2 ), εάν ισχύουν οι ακόλουθες συνθήκες a i+1 a i h = k (x i ) + O(h 2 ), a i+1 + a i 2 = k i + O(h 2 ). (2.11) Οι παραπάνω σχέσεις είναι ικανές συνθήκες για προσέγγιση δεύτερης τάξης. Για την εξαγωγή τους υποθέτουμε ότι u(x) έχει συνεχείς τέταρτης τάξης παραγώγους και το k(x) είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση. Για παράδειγμα, οι παρακάτω εκφράσεις a i = k(x i) + k(x i 1 ), a i = k(x i 0.5h), a i = k(x i )k(x i 1 ) 2 ικανοποιούν τις συνθήκες (2.11). Εάν υποθέσουμε ότι a i = k(x i ) τότε λαμβάνουμε προσέγγιση μόνο πρώτης τάξης. Παράδειγμα Ας υποθέσουμε το πρώτο πρόβλημα συνοριακών τιμών για τη συνήθη διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης u (x) = f(x) (2.12)

60 2.2. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ 51 με τις συνοριακές συνθήκες u(a) = µ 1, u(b) = µ 2, (2.13) όπου το u(x) είναι δυο φορές συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση στο διάστημα (a, b) και συνεχή στο διάστημα [a, b], και τα µ 1, µ 2 είναι δοσμένες σταθερές. Ας εισάγουμε ένα ομοιόμορφο δίκτυο στο διάστημα [a, b] με το βήμα h σύμφωνα με τη σχέση (2.12) και ας αντικαταστήσουμε το u (x i ) με την προσέγγιση της παραγώγου που βασίζεται στις πεπερασμένες διαφορές δεύτερης τάξης u xx,i. Συνεπώς, αντί για τη διαφορική εξίσωση (2.12) λαμβάνουμε την εξίσωση διαφορών δεύτερης τάξης u i 1 2u i + u i+1 h 2 = f i. Η εξίσωση αυτή γράφεται για i = 1, 2,..., N 1, δηλαδή για όλα τα εσωτερικά σημεία του δικτύου ω h. Στα συνοριακά σημεία (βλ. (2.13)) έχουμε u 0 = µ 1, u N = µ 2. Η εξίσωση διαφορών οδηγεί σε ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων ως προς τις αγνώστους u 1, u 2,..., u N 1. Επιπροσθέτως, για ευκολία το u(x) θα σημαίνει τη λύση του διαφορικού προβλήματος και y i = y(x i ) τη λύση του προβλήματος διαφορών. Συνεπώς προκύπτει: y i 1 2y i + y i+1 h 2 = f i, i = 1, 2,..., N 1, (2.14) y 0 = µ 1, y N = µ 2. Το σύστημα (2.14) καλείται σχήμα διαφορών ή πρόβλημα συνοριακών τιμών σε μορφή διαφορών, και αντιστοιχεί στο αρχικό πρόβλημα (2.12), (2.13). Το σύστημα έχει μοναδική λύση και καθώς το h προσεγγίζει το μηδέν, το y i προσεγγίζει το u i. Παράδειγμα Για το μαθηματικό μοντέλο ανομοιόμορφης ράβδου (Παράδειγμα 2.1.1) έχουμε τις διαφορές εξισώσεις, ( ) 1 u i+1 u i u i u i 1 a i+1 a i = f i, i = 1, 2,..., N 1 h h h και Dirichlet και Robin συνοριακές συνθήκες είναι a N u N u N h u 0 = 0, + ku N = P.

61 52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Παράδειγμα Υποθέτουμε το πρόβλημα συνοριακών τιμών u (x) q(x)u(x) = f(x), x (a, b) (2.15) u(a) = µ 1, u(b) = µ 2, όπου το u(x) είναι συνεχής και δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο διάστημα (a, b) και συνεχής στο διάστημα [a, b]. q(x) 0 και f(x) είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα (a, b). Για την αριθμητική επίλυση του προβλήματος εισάγουμε το ομοιόμορφο πλέγμα όπως προηγουμένως και αντικαθιστούμε το u (x i ) με τη δεύτερη παράγωγο μέσω της σχέσης διαφορών y xx,i. Συνεπώς, αντί για το πρόβλημα διαφορικών εξισώσεων (2.15) παίρνουμε το πρόβλημα διαφορών, το οποίο είναι σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων με συνοριακές συνθήκες y i+1 2y i + y i 1 h 2 q i y i = f i, i = 1, 2,..., N 1. (2.16) y 0 = µ 1, y N = µ 2. Η ευστάθεια για το πρόβλημα (2.15) και την εξίσωση διαφορών (2.16) διερευνήθηκε, για παράδειγμα, στα [19], [12] Η μέθοδος απαλοιφής Η μέθοδος απαλοιφής επιλύει το σύστημα με τρισδιαγώνια στοιχεία. Η μέθοδος αυτή βρίσκει εφαρμογή στην επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων που προκύπτουν από μεθόδους πεπερασμένων διαφορών. Γενικά, συστήματα αλγεβρικών εξισώσεων με τρισδιαγώνια στοιχεία, έχουν τη μορφή: a i y i 1 c i y i + b i y i+1 = f i, i = 1, 2,..., N 1, (2.17) y 0 = χ 1 y 1 + µ 1, y N = χ 2 y N 1 + µ 2. (2.18) Η ιδέα της μεθόδου είναι να υπολογισθεί η λύση y i με τη χρήση της σχέσης: y i = α i+1 y i+1 + β i+1, i = 0, 1,..., N 1, (2.19) όπου α i+1, β i+1 είναι προς το παρόν άγνωστες σταθερές. Προφανώς ισχύει, y i 1 = α i y i + β i = α i (α i+1 y i+1 + β i+1 ) + β i = α i α i+1 y i+1 + (α i β i+1 + β i ), i = 1, 2,..., N 1.

62 2.2. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ 53 Αντικαθιστούμε τις προκύπτουσες εκφράσεις y i, y i 1 στη σχέση (2.17). Τότε, για i = 1, 2,..., N 1: [α i+1 (a i α i c i ) + b i ]y i+1 + [β i+1 (a i α i c i ) + a i β i + f i ] = 0. Η τελευταία εξίσωση θα ικανοποιηθεί εάν οι εκφράσεις εντός των παρενθέσεων γίνουν ίσες με μηδέν, δηλαδή, οι σταθερές α i+1, β i+1 πρέπει να επιλεγούν ως ακολούθως: α i+1 = b i c i α i a i, β i+1 = a iβ i + f i c i α i α i, i = 1, 2,..., N 1. (2.20) Οι σχέσεις (2.20) είναι μη γραμμικές εξισώσεις διαφορών πρώτης τάξης. Για την επίλυσή τους πρέπει να δοθούν αρχικές τιμές α 1, β 1. Οι αρχικές τιμές μπορούν να προσδιοριστούν από τις σχέσεις (2.19) (i = 0), δηλαδή y 0 = α 1 y 1 + β 1 και τις συνοριακές συνθήκες (2.18). Συνεπώς, α 1 = χ 1, β 1 = µ 1. Η εύρεση των συντελεστών α i+1, β i+1 με χρήση του τύπου (2.20) καλείται εμπροσθόδρομη απαλοιφή - forward elimination. Εάν οι συντελεστές α i+1, β i+1, j = 0, 1,..., N 1, είναι γνωστοί, η επίλυση του συστήματος (2.17), (2.18) επιτυγχάνεται με χρήση της επαναληπτικής σχέσης (2.19), από j = N 1. Για την έναρξη των υπολογισμών είναι απαραίτητη η γνώση των y N,τα οποία ορίζονται από τις σχέσεις y N = χ 2 y N 1 + µ 2, y N 1 = α N y N + β N και είναι ίσα με (χ 2 β N + µ 2 )/(1 χ 2 α N ). Η εύρεση των y i από τις σχέσεις y i = α i+1 y i+1 + β i+1, i = N 1, N 2,..., 0, y N = χ 2β N + µ 2 1 χ 2 α N καλείται οπισθόδρομη απαλλοιφή - backward elimination. Ο αλγόριθμος για την επίλυση του (2.17), (2.18) δίδεται από τις σχέσεις (2.19) και καλείται μέθοδος απαλοιφής. Η μέθοδος απαλοιφής μπορεί να εφαρμοσθεί εφόσον οι παρανομαστές των σχέσεων δεν μηδενίζονται. Η αναγκαία συνθήκη για την εφαρμοσιμότητα της μεθόδου απαιτεί από τους συντελεστές του συστήματος (2.17) να ικανοποιούν τις σχέσεις ([19]) a i 0, b i 0, c i a i + b i, i = 1, 2,..., N 1, χ 1 1, χ 2 < 1. Σημειώνεται εδώ ότι οι αριθμοί a i, b i, c i, χ 1, χ 2 μπορεί να ειναι μιγαδικοί.

63 54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Προσέγγιση μέσω της μεθόδου διαφορών της Laplacian Θα μελετήσουμε την προσέγγιση της λύσης για την Laplacian εξίσωση Lu = 2 u + 2 u x 2 1 x 2 2 (2.21) Στο επίπεδο (x 1, x 2 ) εισάγεται ορθογωνικό δίκτυο με βήμα h 1 στην κατεύθυνση x 1 και h 2 στην κατεύθυνση x 2, δηλαδή το σύνολο των σημείων ω h = {(x 1, x 2 ), x i 1 = ih 1, x j 2 = jh 2 ; i, j = 0, ±1, ±2,... } και οι ακόλουθοι ορισμοί: u x1 x 1,ij = u i+1,j 2u ij + u i 1,j h 2 1, u x2 x 2,ij = u i,j+1 2u ij + u i,j 1. h 2 2 Από τα προηγούμενα προκύπτει ότι η εξίσωση διαφορών L h u ij = u x1 x 1,ij + u x2 x 2,ij (2.22) προσεγγίζει τη διαφορική εξίσωση (2.21) με ακρίβεια δεύτερης τάξης, δηλαδή L h u ij Lu(x i 1, x j 2) = O(h 2 1) + O(h 2 2). Επιπροσθέτως, εάν η συνάρτηση διαθέτει συνεχείς παραγώγους μέχρι την έκτη τάξη, ισχύουν οι ακόλουθες εκφράσεις: L h u ij Lu(x i 1, x j 2) = h2 1 4 u(x i 1, x j 2) + h2 2 4 u(x i 1, x j 2) + O(h 4 12 x x h 4 2). 2 Η εξίσωση διαφορών (2.22) καλείται τελεστής διαφορών πέντε σημείων για την Laplacian, επειδή περιέχει την τιμή της συνάρτησης u(x 1, x 2 ) σε πέντε σημεία του δικτύου, και συγκεκριμένα στα σημεία (x i 1, x j 2), (x1 i±1, x j 2), (x i 1, x j±1 2 ). Αυτό το σύνολο των σημείων καλείται μοντέλο (stencil) του τελεστή διαφορών. Υπάρχουν και διαφορετικές προσεγγίσεις που χρησιμοποιούν με παρόμοιο τρόπο περισσότερα σημεία. Η εξίσωση διαφορών για τη Laplacian (2.22) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την προσέγγιση της λύσης σε διαφορικές εξισώσεις που περιέχουν τη Laplacian, όπως για παράδειγμα η εξίσωση Poisson.

64 Βιβλιογραφία [1] Αράβας, Νλ., Μηχανική των υλικών. Εισαγωγή στη μηχανική των παραμορφωσίμων σωμάτων και τη γραμμική ελαστικότητα. Εκδόσεις Τζιόλα, Θεσσαλονίκη, [2] Braess D., Finite elements, Cambridge University Press, [3] Butcher J., Numerical Methods for Ordinary Differential Equations, Wiley, Inter-Science, [4] Canuto C., Hussaini M. Y., Quarteroni A., and Zang T.A., Spectral Methods. Fundamentals in Single Domains, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, [5] Chandrupatla Τ. R. and Belegundu A. D. Εισαγωγή στα Πεπερασμένα Στοιχεια για Μηχανικούς, (μετάφραση στα ελληνικά), Printice-Hall, Inc [6] Chaskalovic J., Finite Elements Methods for Engineering Sciences, Springer Verlag, [7] Fletcher C.A.J., Computational Galerkin methods, Springer, [8] Kaveh, A., Computational Structural Analysis and Finite Element Methods. Springer, [9] Marchuk G.I., Methods of numerical mathematics, Springer, [10] Michlin [Mikhlin] S.G., Variationsmethoden der mathematischen Physik. Akademie Verlag, [11] Muradova A. D., The spectral method and numerical continuation algorithm for the von Kármán problem with postbuckling behaviour of solution. Advances in Computational Mathematics, Springer, Vol. 29, N2, 2008, pp

65 56 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [12] Muradova A. D., Stability analysis of some numerical schemes for ordinary differential equations. International Electronic Journal of Pure and Applied Mathematics, Academic Publications, Ltd., v.7, N1, 2014, pp [13] Muradova A. D. and Stavroulakis G. E., Buckling and postbuckling analysis of rectangular plates resting on elastic foundations with the use of the spectral method. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., Elsevier, , 2012, pp [14] Νιτσιώτας, Γ.Μ., Ελαστοστατική. Γραμμική θεωρία, παραμόρφωση, ένταση, το ελαστικό σώμα. Εκδόσεις Ζήτη, [15] Νιτσιώτας, Γ.Μ., Ελαστοστατική. Γραμμική θεωρία, επιφανειακοί φορείς. Εκδόσεις Ζήτη, [16] Παπαδρακάκις Μ., Ανάλυση Φορέων με τη Μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων, Παπασωτηρίου Εκδοεις, Αθήνα, [17] Παπαμίχος, Ε., Αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων με εφαρμογές στη μηχανική. Εκδόσεις Τζιόλα, Θεσσαλονίκη, [18] Reddy J. N., An Introduction to the Finite Element Method (Third ed.). McGraw-Hill. ISBN, [19] Samarskii A. A., The Theory of Difference Schemes, Marcel Dekker, Inc., New York-Basel, [20] Spectral Methods for Partial Differential Equations. Edited by Voigt R. G., Gottlieb D., and Hussaini Y. SIAM, Philadelphia, [21] Strikwerta J., Finite diffrence schemes and partial differential equations, Pacific Grove, Calif: Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software, [22] Thomas J. M., Numerical partial differential equations. Finite Diffrence Methods. New York : Springer, [23] Trefethen L. N., Spectral Methods in MATLAB. SIAM, Philadelphia, PA, [24] Vainberg M. M., Variational methods and methods of nonlinear operators in the theory of nonlinear equations. Wiley, 1973.

66 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 57 [25] Zienkiewicz O. C. and Taylor R. L., The Finite Element Method, McGRAW- HILL Book Company Europe

67 58 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

68 Κεφάλαιο 3 Γραμική θεωρία, στατικά προβλήματα Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται ορισμένες από τις βασικές έννοιες στις οποίες βασίζεται η άμεση μέθοδος δυσκαμψίας. Δίνεται πρώτα το γραμμικό ελατήριο, το οποίο, αν και απλό, είναι γενικά, χρήσιμο ως διδακτικό εργαλείο για την επεξήγηση των βασικών εννοιών. Αρχικά γίνεται μια εισαγωγή στις βασικές έννοιες της μεθόδου δυσκαμψίας με την οποία επιτρέπεται ο υπολογισμός των δυνάμεων και των μετακινήσεων ενός παραμορφώσιμου σώματος. Η μέθοδος χρησιμοποιεί την τεχνική των πεπερασμένων στοιχείων (βλ. κεφάλαιο 2), δηλαδή τον χωρισμό του θεωρούμενου σώματος σε επιμέρους τμήματα πεπερασμένου μεγέθους (πεπερασμένα στοιχεία) και στη συνέχεια στον υπολογισμό των συνολικών δυνάμεων που εφαρμόζονται στο φορέα, καθώς και των μετακινήσεων που αυτές προκαλούν. Η μητρωϊκή στατική αποτελεί τη βάση για τις υπολογιστικές μεθόδους που αναπτύσσονται εδώ, βλ. [10]. Η σύγχρονη ελληνική βιβλιογραφία προσφέρει κλασικά συγγράμματα με θεωρητικά στοιχεία της μεθόδου, [17], και εφαρμογές σε κατασκευές κυρίως πολιτικού μηχανικού, [12], ή μηχανολόγου μηχανικού, [9], καθώς και το πρόσφατο σύγγραμμα [13]. Νεότερα συγγράμματα περιέχουν κώδικες πεπερασμένων στοιχείων, [3], [5], [17]. 3.1 Μέθοδος δυσκαμψίας Ξεκινάμε με έναν γενικό ορισμό του μητρώου δυσκαμψίας και στη συνέχεια εξετάζουμε τη δημιουργία αυτού του μητρώου για ένα γραμμικό-ελαστικό 59

69 60 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ στοιχείο ελατηρίου. Στη συνέχεια παρουσιάζουμε τη συρραφή για τη δημιουργία του ολικού μητρώου δυσκαμψίας για μια δομή που αποτελείται από μια παράθεση στοιχείων ελατηρίων χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις έννοιες της ισορροπίας και της συμβατότητας. Έπειτα δείχνουμε πώς το ολικό μητρώο δυσκαμψίας για μια συνάθροιση μπορεί να ληφθεί υπερθέτοντας τα μητρώα δυσκαμψίας των επιμέρους στοιχείων με άμεσο τρόπο. Ο όρος άμεση μέθοδος δυσκαμψίας εξελίχθηκε για την αναφορά αυτής της τεχνικής. Μετά τη δημιουργία του συνολικού μητρώου δυσκαμψίας του συστήματος, παρουσιάζουμε πώς επιβάλλονται οι συνοριακές συνθήκες τόσο ομογενών όσο και μη ομογενών. Έτσι, λαμβάνεται μια ολοκληρωμένη λύση συmπεριλαμβάνοντας τις κομβικές μετακινήσεις και αντιδράσεις. Στη συνέχεια εισάγουμε την αρχή της ελάχιστης δυναμικής ενέργειας, εφαρμόζοντάς την για να εξάγουμε τις εξισώσεις του στοιχείου ελατηρίου, και χρησιμοποιώντας τις για την επίλυση ενός προβλήματος διάταξης ελατηρίων. Θα προβάλλουμε αυτή την αρχή για τα πιο απλά στοιχεία (αυτά με μικρό αριθμό βαθμών ελευθερίας), έτσι ώστε να γίνει πιο άμεσα κατανοητή η έννοια όταν εφαρμόζεται, σε στοιχεία με μεγάλο αριθμό βαθμών ελευθερίας στα κεφάλαια που ακολουθούν Ορισμός του Μητρώου Δυσκαμψίας Για ένα στοιχείο, ένα μητρώο δυσκαμψίας ˆk είναι ένα μητρώο τέτοιο ώστε ˆf = ˆk ˆd, όπου το ˆk συνδέει τις τοπικές συντεταγμένες (ˆx, ŷ, ẑ) των κομβικών μετακινήσεων ˆd με τις τοπικές δυνάμεις ˆf ενός μεμονωμένου στοιχείου. Χρησιμοποιώντας την ευθεία προσέγγιση ισορροπίας, θα εξάγουμε το μητρώο δυσκαμψίας για ένα μονοδιάστατο γραμμικό ελατήριο, το οποίο θα είναι ένα ελατήριο που υπακούει στοv νόμο του Hooke και αντιστέκεται μόνο σε δυνάμεις προς την κατεύθυνση αυτού. Θεωρείστε το γραμμικό στοιχείο ελατηρίου που παρουσιάζεται στο Σχήμα 3.1. Τα σημεία αναφοράς 1 και 2 βρίσκονται στα άκρα του στοιχείου. Αυτά τα σημεία καλούνται κόμβοι. Οι τοπικές κομβικές δυνάμεις είναι ˆf 1x και ˆf 2x για το στοιχείο ελατηρίου το οποίο είναι συνδεδεμένο με τον τοπικό άξονα ˆx. Ο τοπικός άξονας δρα στην κατεύθυνση του ελατηρίου, έτσι ώστε να μπορέσουμε να μετρήσουμε μετακινήσεις και δυνάμεις κατά μήκος του. Οι τοπικές κομβικές μετακινήσεις είναι ˆd1x και ˆd2x για το στοιχείο αυτό και καλούνται ως βαθμοί ελευθερίας για κάθε κόμβο. Θετικές κατευθύνσεις για τις δυνάμεις και τις μετακινήσεις σε κάθε κόμβο ορίζονται σύμφωνα με τη θετική κατεύθυνση του ˆx όπως φαίνεται από τον κόμβο 1 στον κόμβο

70 3.1. ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ 61 2 στο σχήμα. Το σύμβολο k είναι η σταθερά του ελατηρίου ή δυσκαμψία του ελατηρίου. Αντιστοιχίες σε πραγματικές σταθερές ελατηρίου προκύπτουν σε k ˆf 1x, ˆd 1x ˆf2x, ˆd 2x x L Σχήμα 3.1: Γραμμικό στοιχείο ελατηρίου με τις θετικές διευθύνσεις για τις επικόμβιες μετακινήσεις και δυνάμεις. πολυάριθμα προβλήματα μηχανικού. H μέθοδος δυσκαμψίας μπορεί να εφαρμοστεί σε μη δομικά προβλήματα, όπως η μετάδοση θερμότητας, ροή ρευστών και ηλεκτρικά δίκτυα, αλλά και σε δομικά προβλήματα με απλή εφαρμογή του στοιχειώδους νόμου (όπως ο νόμος του Hooke για δομικά προβλήματα, ο νόμος του Fourier για τη μετάδοση θερμότητας, ο νόμος του Darcy για τη ροή των ρευστών και ο νόμος του Ohm για τα ηλεκτρικά δίκτυα) και μιας αρχής διατήρησης, όπως η επικόμβια ισορροπία ή η διατήρηση της ενέργειας. Παραδείγματα ισοδύναμων «σταθερών ελατηρίου»: μία πρισματική μονοαξονική ράβδος έχει σταθερά ελατηρίου k = AE/L, όπου το A παριστάνει το εμβαδόν της διατομή της ράβδου, το E είναι το μέτρο ελαστικότητας και το L το μήκος της ράβδου. μια ράβδος κυκλικής διατομής σε στρέψη έχει σταθερά k = JG/L, όπου J είναι η πολική ροπή αδράνειας και G το μέτρο διάτμησης του υλικού. για μονοδιάστατη ροή ρευστού διαμέσου ενός πορώδους μέσου, k = AK xx /L, όπου K xx είναι ο συντελεστής διαπερατότητας του υλικού.

71 62 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Σχήμα 3.2: Ορισμοί για ένα στοιχείο ελατηρίου. Τώρα, θέλουμε να αναπτύξουμε μια σχέση μεταξύ επικόμβιων δυνάμεων και επικόμβιων μετακινήσεων για ένα στοιχείο ελατηρίου. Αυτή η σχέση θα έχει ως σταθερές το μητρώο δυσκαμψίας. Ως εκ τούτου, μπορούμε να συνδυάσουμε το μητρώο επικόμβιας δύναμης με το μητρώο επικόμβιας μετακίνησης ως ακολούθως: { } [ ] { } ˆf1x ˆk11 ˆk12 ˆd1x = (3.1) ˆf 2x ˆk 21 ˆk22 ˆd 2x όπου οι συντελεστές δυσκαμψίας ˆk ij (του στοιχείου) του μητρώου ˆk θα καθοριστούν. Το k ij αναπαριστά τη δύναμη F i στον i- οστό βαθμό ελευθερίας, εξαιτίας μιας μοναδιαίας μετακίνησης d j στον jth - οστό βαθμό ελευθερίας, ενώ όλες οι άλλες μετακινήσεις είναι μηδενικές. Αυτό συμβαίνει όταν d j = 1 και d k = 0 για k j, οπότε η δύναμη F i = k ij. Συνεχίζουμε με τη δημιουργία του μητρώου δυσκαμψίας για το στοιχείο ελατηρίου (έχοντας υπόψη ότι τα ίδια βήματα θα εφαρμοστούν αργότερα στην δημιουργία των μητρώων δυσκαμψίας των γενικότερων στοιχείων) με στόχο να χρησιμοποιηθεί μετά για την γραφή των εξισώσεων ισορροπίας για ένα σύνολο ελατηρίων συνδεδεμένων μεταξύ τους. Επειδή η προσέγγισή μας μέσω αυτού του κειμένου είναι να δημιουργήσει διάφορα τοπικά μητρώα δυσκαμψίας και μετά να παρουσιάσουμε πώς να λύσουμε μηχανικά προβλήματα με τα στοιχεία,

72 3.1. ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ 63 το Βήμα 1 περιλαμβάνει μόνο την επιλογή του τύπου του στοιχείου. ΒΗΜΑ 1: Επιλογή του τύπου του Στοιχείου. Θεωρείστε το γραμμικό στοιχείο ελατηρίου (το οποίο μπορεί να είναι ένα στοιχείο σε ένα σύστημα ελατηρίων) που υποβάλλεται σε επικόμβιες δυνάμεις εφελκυσμού T, οι οποίες μπορεί να είναι αποτέλεσμα της δράσης γειτονικών ελατηρίων, κατευθυνόμενες στο μήκος του ελατηρίου με αξονική κατεύθυνση ˆx όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.3, έτσι ώστε να είναι σε ισορροπία. Ο τοπικός ˆx άξονας κατευθύνεται από τον k ˆd 1x ˆd2x ˆx L Σχήμα 3.3: Ενα γραμμικό ελατήριο που υπόκεινται σε εφελκυστικές δυνάμεις. κόμβο 1 στον κόμβο 2. Αναπαριστούμε το ελατήριο σημειώνοντας τους κόμβους στα άκρα και αριθμώντας το στοιχείο. Η αρχική απόσταση μεταξύ των κόμβων πριν την παραμόρφωση συμβολίζεται με L. Η ιδιότητα του υλικού (σταθερά ελατηρίου) του στοιχείου είναι k. ΒΗΜΑ 2: Επιλογή μιας Συνάρτησης Μετακίνησης. Πρέπει να επιλέξουμε εξαρχής τη μαθηματική συνάρτηση για να αναπαραστήσουμε το παραμορφωμένο σχήμα του στοιχείου ελατηρίου υπό φόρτιση. Υποθέτουμε μια πολυωνυμική μαθηματική προσέγγιση του πεδίου μετακινήσεων μέσα στο στοιχείο. Η συνάρτηση παρεμβολής, δηλαδή το πολυώνυμο που επιλέχθηκε, μπορεί να έχει διαφορετική μορφή για άλλες εφαρμογές.

73 64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Επειδή το στοιχείο ελατηρίου αντιστέκεται στο αξονικό φορτίο μόνο με τους τοπικούς βαθμούς ελευθερίας, που για το στοιχείο είναι οι μετακινήσεις ˆd 1x και ˆd2x κατά μήκος της κατεύθυνσης του ˆx, επιλέγουμε μια συνάρτηση μετακίνησης û για να αναπαραστήσουμε την αξονική μετακίνηση σε όλο το μήκος του στοιχείου. Εδώ θεωρείται γραμμική μετακίνηση κατά μήκος του άξονα ˆx του ελατηρίου, επειδή μια γραμμική συνάρτηση με καθορισμένα τελικά σημεία ορίζεται με μοναδικό τρόπο. Ως εκ τούτου û = a 1 + a 2ˆx. (3.2) Γενικά, ο συνολικός αριθμός συντελεστών α είναι ίσως με τον συνολικό αριθμό των βαθμών ελευθερίας που σχετίζονται με το στοιχείο. Εδώ ο συνολικός αριθμός των βαθμών ελευθερίας είναι δύο, μια αξονική μετακίνηση σε καθένα απ τους δύο κόμβους του στοιχείου. Σε μητρωική μορφή η (3.2) γίνεται: { } a1 û = [1 ˆx]. Τώρα θέλουμε να εκφράσουμε την û σαν μια συνάρτηση των επικόμβιων μετακινήσεων ˆd 1x και ˆd 2x που υποδεικνύεται στο Βήμα 3 και έπειτα να σχετίσουμε τις επικόμβιες μετακινήσεις με τις επικόμβιες δυνάμεις στο Βήμα 4. Το επιτυγχάνουμε αυτό αξιολογώντας το û σε κάθε κόμβο και λύνοντας για a 1 και a 2 από την εξίσωση (3.2) όπως παρακάτω: όπου για a 2 έχουμε a 2 û(0) = a 1 + a 2 0 = ˆd 1x = a 1, (3.3) û(l) = a 1 + a 2 L = ˆd 2x = a 2 L + ˆd 1x. a 2 = ˆd 2x ˆd 1x. (3.4) L Μεταφέροντας τις εξισώσεις (3.3) και (3.4) στην (3.2), έχουμε ( ˆd2x û = ˆd ) 1x ˆx + L ˆd 1x (3.5) Σε μητρωική μορφή εκφράζουμε την εξίσωση (3.5) ως û = [ 1 x L ] { } ˆx ˆd1x L ˆd 2x

74 3.1. ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ 65 ή { } ˆd1x û = [N 1 N 2 ]. ˆd 2x Εδώ N 1 = 1 ˆx L και N 2 = ˆx L (3.6) ονομάζονται συναρτήσεις μορφής επειδή εκφράζουν τη μορφή της υποτιθέμενης συνάρτησης μετακίνησης πάνω στη περιοχή (ˆx συντεταγμένη) του στοιχείου όταν ο i-οστός βαθμός ελευθερίας του στοιχείου έχει τιμή μονάδα και όλοι οι άλλοι βαθμοί ελευθερίας είναι μηδενικοί. Από την (3.6) έχουμε N 1 = 1, N 2 = 0 στο κόμβο 1, N 1 = 0, N 2 = 1 στο κόμβο 2, και N 1 + N 2 = 1 για κάθε αξονική συντεταγμένη κατά μήκος της ράβδου. Δείτε στο Σχήμα 3.4 τις γραφικές παραστάσεις αυτών των συναρτήσεων μορφής πάνω στο στοιχείο ελατηρίου. Επιπροσθέτως, τα N i ονομάζονται συνήθως συναρτήσεις παρεμβολής, επειδή παρεμβάλουμε έτσι ώστε να βρούμε την τιμή της συνάρτησης μεταξύ των δοσμένων επικόμβιων τιμών. ΒΗΜΑ 3: Ορίζουμε τις σχέσεις τάσεων/παραμορφώσεων και παραμορφώσεων μετακινήσεων. Οι εφελκυστικές δυνάμεις T παράγουν μια συνολική επιμήκυνση (παραμόρφωση) d του ελατηρίου. Η τυπική ολική επιμήκυνση του ελατηρίου φαίνεται στο Σχήμα 3.5. Εδώ το ˆd 1x έχει αρνητική τιμή, επειδή η κατεύθυνση του ˆx είναι αρνητική και του ˆd 2x είναι θετική. Η παραμόρφωση του ελατηρίου παρουσιάζεται, τότε, με τη σχέση: δ = û(l) û(0) = ˆd 2x ˆd 1x. (3.7) Από την εξίσωση (3.7) παρατηρούμε ότι η ολική παραμόρφωση είναι η διαφορά των επικόμβιων μετακινήσεων στην κατεύθυνση του ˆx. Για ένα στοιχείο ελατηρίου μπορούμε να σχετίσουμε τη δύναμη του ελατηρίου άμεσα με την παραμόρφωση. Ως εκ τούτου, η σχέση παραμόρφωσης μετακίνησης δεν είναι απαραίτητη εδώ. Η σχέση τάσης/παραμόρφωσης μπορεί να εκφραστεί με όρους σχέσεων δύναμης/παραμόρφωσης αντί της: T = kδ. (3.8)

75 66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Σχήμα 3.4: Συναρτήσεις μορφής N 1 και N 2 στοιχείου γραμμικού ελατηρίου.

76 3.1. ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ 67 Τώρα χρησιμοποιώντας την (3.7) από την (3.8) παίρνουμε την T = k( ˆd 2x ˆd 1x ). (3.9) Σχήμα 3.5: Παραμορφωμένο γραμμικό στοιχείο ελατηρίου. ΒΗΜΑ 4: Δημιουργία του τοπικού Μητρώου Δυσκαμψίας και κατάστρωση Εξισώσεων Ισορροπίας. Δημιουργούμε τώρα το μητρώο δυσκαμψίας για το στοιχείο ελατηρίου. Από τη σύμβαση για τις επικόμβιες δυνάμεις και την ισορροπία έχουμε ˆf 1x = T, ˆf2x = T. (3.10) Χρησιμοποιώντας τις: (3.128) και (3.10), έχουμε: Ξαναγράφοντάς τις (3.11) παίρνουμε ˆf 1x = k( ˆd 1x ˆd 2x ), ˆf2x = k( ˆd 2x ˆd 1x ). (3.11) } [ ] { } k k ˆd1x =. (3.12) ˆf 2x k k ˆd 2x { ˆf1x

77 68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Τώρα εκφράζουμε τις (3.12) σε ένα μόνο σύστημα μητρώων/εξισώσεων [ ] k k ˆk =. (3.13) k k Εδώ το ˆk ονομάζεται τοπικό μητρώο δυσκαμψίας για το στοιχείο. Το ˆk είναι ένα συμμετρικό, k ij = k ji και τετραγωνικό μητρώο (ο αριθμός των στηλών είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών στο ˆk). ΒΗΜΑ 5: Κατάστρωση των εξισώσεων ισορροπίας και εισαγωγή των συνοριακών συνθηκών. Το ολικό μητρώο δυσκαμψίας και το ολικό μητρώο δύναμης έχουν δημιουργηθεί χρησιμοποιώντας εξισώσεις ισορροπίας για τις επικόμβιες δυνάμεις, εξισώσεις δύναμης/ παραμόρφωσης, την εξίσωση συμβιβαστού των παραμορφώσεων στην Ενότητα 3.1.2, και τη μέθοδο άμεσης δυσκαμψίας όπως περιγράφεται στην Ενότητα Αυτό το βήμα εφαρμόζεται για συνεχή σώματα (κατασκευές) που έχουν διακριτοποιηθεί με τη χρήση περισσότερων του ενός στοιχείων K = [K] = N k (e) and F = {F } = e=1 N e=1 f (e) όπου το k και f είναι τώρα τα μητρώα δυσκαμψίας στοιχείου και δυνάμεων εκφρασμένα σε ολικό σύστημα συντεταγμένων. (Σε όλο το κείμενο το σύμβολο που χρησιμοποιείται στο περιεχόμενο δεν υπονοεί ένα άλλο άθροισμα στοιχείων μητρώων, αλλά υποδηλώνει ότι αυτά τα μητρώα στοιχείων πρέπει να συρραφτούν σωστά σύμφωνα με την άμεση μέθοδο δυσκαμψίας που περιγράφεται στην Ενότητα 3.1.3). ΒΗΜΑ 6: Επίλυση για τις επικόμβιες μετακινήσεις. Οι μετακινήσεις υπολογίζονται μετά την επιβολή συνοριακών συνθηκών, όπως οι συνθήκες στήριξης ή άλλοι κινηματικοί περιορισμοί και λύνοντας ένα σύστημα εξισώσεων, F = Kd. ΒΗΜΑ 7: Μετεπεξεργασία για τον υπολογισμό των δυνάμεων και τάσεων στα στοιχεία. Τελικά, οι δυνάμεις στοιχείων καθορίζονται από αντικατάσταση, εφαρμοσμένη σε κάθε στοιχείο, σε εξισώσεις παρόμοιες των (3.11).

78 3.1. ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ Παράδειγμα μιας διάταξης ελατηρίου Δομές όπως δικτυώματα, πλαίσια κτιρίων και γέφυρες αποτελούν βασικά δομικά συστατικά που συνδέονται μεταξύ τους για να σχηματίσουν τις συνολικές δομές. Για να αναλύσουμε αυτές τις δομές πρέπει να καθορίσουμε το συνολικό μητρώο δυσκαμψίας της δομής για ένα διασυνδεδεμένο δίκτυο στοιχείων. Πριν από την εξέταση των δικτυωμάτων και των πλαισίων θα καθορίσουμε το συνολικό μητρώο δυσκαμψίας της δομής για μια διάταξη ελατηρίου χρησιμοποιώντας τις σχέσεις για το μητρώο δύναμης/μετακίνησης που προέκυψαν στην Ενότητα 3.1 για το στοιχείο ελατηρίου μαζί με τις θεμελιώδεις αρχές της ισορροπίας κάθε κόμβου και την συνθήκη συμβιβατού των παραμορφώσεων. Έτσι το Βήμα 5 παραπάνω θα καταστεί εμφανές. Θα θεωρήσουμε το συγκεκριμένο παράδειγμα μιας διάταξης δύο ελατηρίων όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.6. Το παράδειγμα αυτό είναι γενικά αρκετό για Σχήμα 3.6: Διάταξη δύο ελατηρίων. να παρουσιάσει την άμεση προσέγγιση ισορροπίας για τη λήψη του συνολικού μητρώου δυσκαμψίας της διάταξης του ελατηρίου. Εδώ στηρίζουμε σταθερά τον κόμβο 1 και εφαρμόζουμε τις αξονικές δυνάμεις F 3x και F 2x στους κόμβους 3 και 2. Η δυσκαμψία των στοιχείων ελατηρίου 1 και 2 είναι k 1 και k 2, αντίστοιχα. Οι κόμβοι της διάταξης έχουν αριθμηθεί ως 1, 3 και 2 για περαιτέρω γενίκευση, επειδή συνεχής αρίθμηση μεταξύ στοιχείων δεν συμβαίνει σε μεγάλα προβλήματα. Ο x άξονας είναι ο ολικός άξονας της διάταξης. Ο τοπικός άξονας ˆx του κάθε στοιχείου συμπίπτει με τον ολικό-γενικό άξονα της διάταξης.

79 70 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Για το στοιχείο 1, χρησιμοποιώντας την (3.12), έχουμε: { } [ ] { } ˆf1x k1 k = ˆd(1) 1 1x ˆf 3x k 1 k 1 ˆd (1) 3x και για το στοιχείο 2, έχουμε { ˆf3x } [ ] { k2 k = ˆd(2) 2 3x ˆf 2x k 2 k 2 ˆd (2) 2x } (3.14) (3.15) Επιπλέον, τα στοιχεία 1 και 2 πρέπει να παραμείνουν συνδεδεμένα στον κοινό κόμβο 3 σε όλη την μετακίνηση. Αυτό καλείται ανάγκη συνέχειας ή συνθήκη συμβιβαστού των παραμορφώσεων. Η απαίτηση συμβιβαστού των παραμορφώσεων αποδίδεται ως d (1) 3x = d (2) 3x = d 3x, (3.16) όπου η απαίτηση κοινής μετατόπισης αποδίδεται ως d και αναφέρεται στον αριθμό στοιχείου (εκθέτης) με τον οποίο σχετίζονται. Θυμηθείτε ότι ο δείκτης στα δεξιά δείχνει τον κόμβο και την κατεύθυνση της μετακίνησης αντίστοιχα, και ότι το d 3x είναι η μετακίνηση του κόμβου 3 της συνολικής ή ολικής διάταξης του ελατηρίου. Τα διαγράμματα ελευθέρου σώματος για κάθε στοιχείο και κόμβο (χρησιμοποιώντας τις θεμελιωμένες συμβολικές συμβάσεις για επικόμβιες δυνάμεις στοιχείου στο Σχήμα 3.1) φαίνονται στο Σχήμα 3.7. Βασισμένοι πάνω στα δια- Σχήμα 3.7: Οι επικόμβιες δυνάμεις, σύμφωνα με τη σύμβαση προσήμων των δυνάμεων του πεπερασμένου στοιχείου.

80 3.1. ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ 71 γράμματα ελευθέρου σώματος για κάθε κόμβο που φαίνεται στο Σχήμα 3.7 και το γεγονός ότι οι εξωτερικές δυνάμεις πρέπει να είναι ίσες με τις εσωτερικές σε κάθε κόμβο, μπορούμε να γράψουμε τις επικόμβιες εξισώσεις ισορροπίας στους κόμβους 3, 2, και 1 ως: F 3x = f (1) 3x + f (2) 3x, (3.17) F 2x = f (2) 2x, (3.18) F 1x = f (1) 1x, (3.19) όπου η F 1x είναι αποτέλεσμα της εξωτερικά εφαρμοσμένης αντίδρασης στη σταθερή στήριξη. Εδώ ο τρίτος νόμος του Νεύτωνα, για ίσες αλλά αντίθετες δυνάμεις, εφαρμόζεται από έναν κόμβο σε ένα στοιχείο που συνδέεται με αυτό τον κόμβο. Χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις (3.14) (3.16) στις (3.17) (3.19), παίρνουμε: F 3x = ( k 1 d 1x + k 1 d 3x ) + (k 2 d 3x k 2 d 2x ), F 2x = k 2 d 3x + k 2 d 2x, (3.20) F 1x = k 1 d 1x k 1 d 3x, Σε μητρωική μορφή οι εξισώσεις (3.20) εκφράζονται από F 1x k 1 0 k 1 d 1x F 2x = 0 k 2 k 2 d 2x F 3x k 1 k 2 k 1 + k 2 d 3x Σε μια απλή εξίσωση μητρώων (πινάκων) θα γραφτεί F = Kd, όπου η F = {F 1x F 2x F 3x } T καλείται μητρώο ολικής επικόμβιας δύναμης, d = {d 1x d 2x d 3x } T καλείται μητρώο επικόμβιας μετακίνησης και k 1 0 k 1 K = 0 k 2 k 2 (3.21) k 1 k 2 k 1 + k 2 καλείται το συνολικό ή το ολικό ή συστημικό μητρώο δυσκαμψίας. Εν ολίγοις, για την κατάστρωση των εξισώσεων δυσκαμψίας και τον υπολογισμό των μητρώων δυσκαμψίας των (3.1.2) και (3.21), για μια διάταξη ελατηρίου, χρησιμοποιήσαμε τις σχέσεις δυνάμεων/παραμορφώσεων (3.14) και (3.15), τη σχέση

81 72 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ συμβιβαστού των παραμορφώσεων (3.16), και την ισορροπία επικόμβιας δύναμης (3.17) (3.19). Θα εξετάσουμε την πλήρη λύση σ αυτό το παράδειγμα, αφού εξετάσουμε μια πιο πρακτική μέθοδο συρραφής του συνολικού μητρώου δυσκαμψίας στην Ενότητα και συζητώντας για τις συνοριακές συνθήκες στήριξης στην Eνότητα Συρραφή του Μητρώου Ολικής Δυσκαμψίας μέσω υπέρθεσης (Μέθοδος άμεσης δυσκαμψίας), Εναλλακτική παρουσίαση Θα εξετάσουμε τώρα μία πιο εύκολη μέθοδο για την κατασκευή του συνολικού μητρώου δυσκαμψίας. Αυτή η μέθοδος βασίζεται στη σωστή υπέρθεση των μητρώων δυσκαμψίας για κάθε επιμέρους στοιχείο που συνθέτει μια δομή (δείτε επίσης αναφορές [11] και [11]). Αναφερόμενοι στη διάταξη δύο ελατηρίων στην Ενότητα 3.1.2, τα μητρώα δυσκαμψίας για το στοιχείο δίνονται στις εξισώσεις (3.14) και (3.15) ως [ d 1x d 3x ] [ d 3x d 2x ] k k k (1) d1x = k k k d (2) k2 k = 2 d3x. 3x k 2 k 2 d 2x Εδώ τα d ix που γράφονται πάνω απ τις στήλες και δίπλα στις γραμμές των k δείχνουν τους βαθμούς ελευθερίας που συνδέονται με κάθε στοιχείο γραμμής και στήλης. Στα μητρώα δυσκαμψίας για τα δύο στοιχεία δεν συνδέονται οι ίδιοι βαθμοί ελευθερίας και αυτό γιατί στο στοιχείο 1 συνδέονται οι αξονικές μετακινήσεις στους κόμβους 1 και 3, ενώ στο στοιχείο 2 συνδέονται οι αξονικές μετακινήσεις στους κόμβους 2 και 3. Ως εκ τούτου, τα μητρώα δυσκαμψίας για τα στοιχεία δεν μπορούν να προστεθούν άμεσα (επάλληλα) στην παρούσα μορφή τους. Για να μπορούμε να προσθέσουμε τα μητρώα των στοιχείων, πρέπει να τα επεκτείνουμε στην τάξη (μέγεθος) του μητρώου δυσκαμψίας της συνολικής δομής (διάταξη ελατηρίου), έτσι ώστε κάθε μητρώο δυσκαμψίας του στοιχείου να συνδέεται με όλους τους βαθμούς ελευθερίας της δομής. Για να επεκτείνουμε κάθε μητρώο δυσκαμψίας του στοιχείου στην τάξη του συνολικού μητρώου δυσκαμψίας, απλά προσθέτουμε γραμμές και στήλες μηδενικών στοιχείων για αυτές τις μετακινήσεις που δεν συνδέονται με αυτό το συγκεκριμένο στοιχείο. Για το στοιχείο 1, ξαναγράφουμε το μητρώο δυσκαμψίας σε επεκταμένη μορφή

82 3.1. ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ 73 έτσι ώστε η(3.14) να γίνει k d (1) 1x d (1) 2x d (1) 3x = f (1) 1x f (1) 2x f (1) 3x. (3.22) Όπου βλέπουμε ότι d (1) 2x και f (1) 2x δεν συνδέονται με το k (1). Παρόμοια, για το στοιχείο 2, έχουμε d (2) 1x f (2) k d (2) 1x 2x d (2) = f (2) 2x 3x f (2). (3.23) 3x Τώρα, θεωρώντας ισορροπία δυνάμεων σε κάθε κόμβο καταλήγουμε σε: f (1) 1x 0 f (1) 3x + 0 f (2) 2x f (2) 3x = που είναι στην πραγματικότητα οι (3.17) (3.19) εκφρασμένες σε μητρωική μορφή. Χρησιμοποιώντας την εξίσωση ισορροπίας για τα στοιχεία 1 και 2, παίρνουμε k d (1) 1x d (1) 2x d (1) 3x k F 1x F 2x F 3x. d (2) 1x d (2) 2x d (2) 3x = όπου, ξανά, οι εκθέτες στα d δείχνουν τους αριθμούς των στοιχείων. Απλοποιώντας την εξίσωση καταλήγουμε: k 1 0 k 1 d 1x F 1x 0 k 2 k 2 d 2x = F 2x. (3.24) k 1 k 2 k 1 + k 2 d 3x F 3x Εδώ οι εκθέτες δείχνουν τους αριθμούς των στοιχείων που συνδέονται με τις επικόμβιες μετακινήσεις, διότι το d (1) 1x είναι στην πραγματικότητα το d 1x, d (2) 2x είναι το d 2x, και από την εξίσωση (3.16), d (1) 3x = d (2) 3x = d 3x είναι η μετακίνηση του κόμβου 3 της συνολικής διάταξης. Τα επεκταμένα μητρώα δυσκαμψίας του στοιχείου στις (3.22) και (3.23) θα μπορούσαν να είχαν προστεθεί αμέσως για F 1x F 2x F 3x,

83 74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ να ληφθεί το συνολικό μητρώο δυσκαμψίας της δομής που δόθηκε στην (3.24). Αυτή η αξιόπιστη μέθοδος της άμεσης συρραφής των μητρώων δυσκαμψίας των επιμέρους στοιχείων για τον σχηματισμό του συνολικού μητρώου δυσκαμψίας καλείται μέθοδος άμεσης δυσκαμψίας. Είναι το πιο σημαντικό βήμα στη μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων Συνοριακές Συνθήκες Πρέπει να διευκρινισθούν οι συνοριακές συνθήκες (ή στηρίξεις, γενικά κινηματικοί περιορισμοί) για μοντέλα δομής όπως η διάταξη ελατηρίου του Σχήματος 3.6. Με την προϋπόθεση της ύπαρξης επαρκών στηρίξεων η ορίζουσα του πίνακα K δεν είναι μηδέν, το αντίστροφό του υφίσταται και το προκύπτον σύστημα εξισώσεων ισορροπίας είναι επιλύσιμο. Εάν δεν έχουν ορισθεί επαρκείς κινηματικοί ή συνθήκες στήριξης, η δομή θα ήταν ελεύθερη να κινείται σαν ένα άκαμπτο σώμα και να μην αντιστέκεται σε οποιοδήποτε φορτίο. Σε γενικές γραμμές, ο αριθμός των απαραίτητων συνοριακών συνθηκών για να γίνει ο [K] μη αναστρέψιμος είναι ίσος με τον αριθμό των δυνατών βαθμών ελευθερίας στερεού σώματος και μπορεί να καθορισθεί με υπολογισμό των μηδενικών ιδιοτιμών του μητρώου δυσκαμψίας K. Υπάρχουν δύο γενικοί τύποι συνοριακών συνθηκών, ομογενείς και μη ομογενείς. Οι ομογενείς συνοριακές συνθήκες-οι πιο κοινές συμβαίνουν σε περιοχές όπου δεν επιτρέπεται να υπάρξει μετακίνηση. Μη ομογενείς συνοριακές συνθήκες-συμβαίνουν όπου υπάρχουν πεπερασμένες μη μηδενικές τιμές μετακίνησης, όπως στις περιοχές συγκριμένων στηρίξεων. Για να παρουσιάσουμε τους δύο γενικούς τύπους συνοριακών συνθηκών, ας εξετάσουμε την (3.24), προερχόμενη από τη διάταξη ελατηρίου του Σχήματος 3.6, το οποίο έχει μια μόνο λειτουργία άκαμπτου σώματος στην κατεύθυνση της κίνησης κατά μήκος της διάταξης του ελατηρίου. Πρώτα εξετάζουμε την περίπτωση των ομογενών συνοριακών συνθηκών δηλαδή των συνοριακών συνθηκών όπου οι μετακινήσεις είναι μηδενικές, κάτι που συμβαίνει σε ορισμένους κόμβους. Εδώ έχουμε d 1x = 0 επειδή ο κόμβος 1 είναι σταθερός. Έτσι η (3.24) μπορεί να γραφτεί σαν k 1 0 k 1 0 k 2 k 2 k 1 k 2 k 1 + k 2 0 d 2x d 3x = F 1x F 2x F 3x (3.25)

84 3.1. ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ 75 Η (3.25), γραμμένη σε επεκταμένη μορφή γίνεται k 1 d 3x = F 1x, k 2 d 2x k 2 d 3x = F 2x, (3.26) k 2 d 2x + (k 1 + k 2 )d 3x = F 3x, όπου F 1x είναι η άγνωστη αντίδραση και F 2x και F 3x είναι γνωστά εφαρμοσμένα φορτία. Γράφοντας τη δεύτερη και την τρίτη εξίσωση (3.26) σε μητρωική μορφή έχουμε: [ ] { } { } k2 k 2 d2x F2x =. (3.27) k 2 k 1 + k 2 d 3x F 3x Συνεπώς έχουμε χωρίσει την πρώτη γραμμή και στήλη του K και την πρώτη γραμμή του d και F φτάνοντας στην εξίσωση (3.27). Οι ομογενείς συνοριακές συνθήκες, λοιπόν, (3.27) θα μπορούσαν να έχουν προκύψει διαγράφοντας τη γραμμή και τη στήλη της εξίσωσης (3.25) που αντιστοιχούν στη μηδενική μετακίνηση των βαθμών ελευθερίας. Εδώ η γραμμή 1 και η στήλη 1 διαγράφονται γιατί γίνεται πολλαπλασιασμός της στήλης 1 και K με το d 1x = 0. Ωστόσο, η F 1x δεν είναι απαραίτητα μηδέν οπότε μπορεί να οριστεί μια φορά η d 2x και στην συνέχεια να λυθεί για d 3x. Αφού λύσουμε την (3.27) για d 2x και d 3x, έχουμε { d2x d 3x } [ ] 1 { } k2 k = 2 F2x = k 2 k 1 + k 2 F 3x [ 1 k k 1 1 k k 1 k 1 ] { F2x F 3x } (3.28) Τώρα που οι d 2x και d 3x είναι γνωστές από την (3.28), τις αντικαθιστούμε στην πρώτη από τις εξισώσεις (3.26) για να πάρουμε την αντίδραση της F 1x σαν F 1x = k 1 d 3x (3.29) Μπορούμε να εφαρμόσουμε την επικόμβια δύναμη στον κόμβο 1 (λέγεται επίσης αντίδραση) σε συνάρτηση με τις εφαρμόζουσες επικόμβιες δυνάμεις F 2x και F 3x χρησιμοποιώντας την (3.28) και λύνοντας για d 3x αντικαθιστούμε στην εξίσωση (3.29). Το αποτέλεσμα είναι: F 1x = F 2x F 3x. Ως εκ τούτου, για όλες τις ομογενείς συνοριακές συνθήκες, μπορούμε να διαγράψουμε τις γραμμές και τις στήλες που αντιστοιχούν σε βαθμούς ελευθερίας

85 76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ μηδενικών μετακινήσεων από το αρχικό σύστημα εξισώσεων και μετά να λύσουμε για τις άγνωστες μετακινήσεων. Αυτή η διαδικασία είναι χρήσιμη για πρόχειρους υπολογισμούς. Τώρα εξετάζουμε την υπόθεση των μη-ομογενών συνοριακών συνθηκών. Ως εκ τούτου, μερικές από τις καθορισμένες μετακινήσεις είναι μηδενικές. Για λόγους απλότητας, λέμε ότι d 1x = d, όπου d είναι γνωστή μετακίνηση (Σχήμα 3.8), στην (3.24). Έχουμε Σχήμα 3.8: Διάταξη δύο ελατηρίων με γνωστή μετακίνηση δ στον κόμβο 1. k 1 0 k 1 0 k 2 k 2 k 1 k 2 k 1 + k 2 δ d 2x d 3x = F 1x F 2x F 3x (3.30) Η εξίσωση (3.30) γραμμένη σε εκτενή μορφή γίνεται k 1 δ k 1 d 3x = F 1x, k 2 d 2x k 2 d 3x = F 2x, (3.31) k 1 δ k 2 d 2x + (k 1 + k 2 )d 3x = F 3x, Όπου F 1x είναι τώρα η αντίδραση από τη στήριξη που μετακινήθηκε κατά δ. Εξετάζουμε την 2η και την 3η εξίσωση (3.31) επειδή γνωρίζουμε τις επικόμβιες δυνάμεις F 2x και F 3x της δεξιάς πλευράς, και μετασχηματίζοντας τον γνωστό όρο στη δεξιά πλευρά των εξισώσεων παίρνουμε k 2 d 2x k 2 d 3x = F 2x, k 2 d 2x + (k 1 + k 2 )d 3x = k 1 δ + F 3x. (3.32)

86 3.1. ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ 77 Αναγράφοντας την (3.32) σε μητρωική μορφή, έχουμε: [ ] { } { } k2 k 2 d2x F = 2x k 2 k 1 + k 2 d 3x k 1 δ + F 3x (3.33) Ως εκ τούτου, όταν έχουμε να κάνουμε με μη-ομογενείς συνοριακές συνθήκες, αρχικά δε μπορούμε να διαγράψουμε τη γραμμή 1 και τη στήλη 1 της εξίσωσης (3.30), που αντιστοιχεί στη μη ομογενή συνοριακή συνθήκη, όπως αντιστοιχεί από το αποτέλεσμά της (3.33) επειδή πολλαπλασιάζουμε κάθε στοιχείο με μη μηδενικό αριθμό. Για τις μη-ομογενείς συνοριακές συνθήκες, πρέπει, γενικά να μετασχηματίσουμε τους όρους που έχουν σχέση με τις γνωστές μετακινήσεις στη δύναμη της δεξιάς πλευράς του μητρώου, πριν να λύσουμε για την άγνωστη επικόμβια μετακίνηση. Αυτό απεικονίσθηκε με τον μετασχηματισμό του k 1 δ όρου της 2ης από τις εξισώσεις (3.31) στη δεξιά πλευρά από τη δεύτερη των εξισώσεων (3.32). Μπορούμε τώρα να λύσουμε για τη μετακίνηση στην (3.33) με παρόμοιο τρόπο όπως αυτόν που χρησιμοποιήσαμε για τη λύση της εξίσωσης (3.27). Ωστόσο, δεν θα ασχοληθούμε περαιτέρω με τη λύση της (3.33) διότι δεν έχουμε κάποια ουσιαστική διαφορά. Ωστόσο, στην αντικατάσταση της μετακίνησης πίσω στην (3.30), η αντίδραση γίνεται F 1x = k 1 δ k 1 d 3x, που είναι διαφορετική από την (3.29) για F 1x. Σ αυτό το σημείο συνοψίζουμε κάποιες ιδιότητες του μητρώου δυσκαμψίας στην (3.30) που εφαρμόζονται στη γενίκευση της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων. Το K είναι συμμετρικό, όπως και το μητρώο δυσκαμψίας κάθε στοιχείου. Μπορεί να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας τους νόμους δράσης-αντίδρασης που περιγράφονται σε τέτοιες αναφορές όπως η [6] και [12]. Το μητρώο δυσκαμψίας K δεν αντιστρέφεται (η ορίζουσά του είναι μηδέν). Συνεπώς η εξίσωση ισορροπίας έχει άπειρες μη μηδενικές λύσεις και γενικά οποιαδήποτε μετακίνηση σαν στερεό σώμα. Εάν στην κατασκευή επιβληθούν αυτοϊσορροπούμενες εξωτερικές δυνάμεις, είναι δυνατός ο μονοσήμαντος καθορισμός τάσεων και παραμορφώσεων, αλλά οι μετακινήσεις ορίζονται με προσθαφαίρεση μιας αυθαίρετης μετακίνησης στερεού σώματος. Πρέπει λοιπόν να μπουν οι κατάλληλες συνθήκες στήριξης ώστε να μην έχει δυνατότητα μετακίνησης στερεού σώματος (rigid body motion).

87 78 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Όλοι οι διαγώνιοι όροι του K είναι θετικοί, αφού σε θετική μετατόπιση αντιστοιχεί θετική δύναμη. Αλλιώς, μια θετική επικόμβια δύναμη F i θα μπορούσε να δημιουργήσει μια αρνητική μετακίνηση d i, δηλαδή μια συμπεριφορά αντίθετη στη φυσική συμπεριφορά κάθε πραγματικής κατασκευής. Το στοιχείο i j του μητρώου δυσκαμψίας είναι η δύναμη F i που απαιτείται για μετατόπιση d i ίση με τη μονάδα και με μηδενικές τις υπόλοιπες μετατοπίσεις. Το άθροισμα των στοιχείων κάθε στήλης του μητρώου δυσκαμψίας του στοιχείου είναι μηδέν, δηλαδή η κάθε στήλη παριστάνει δυνάμεις που ισορροπούν. Γενικά, οι καθορισμένες συνθήκες στήριξης αντιμετωπίζονται μαθηματικά με διαχωρισμό των γενικών εξισώσεων ισορροπίας όπως [ ] { } { } K11 K 12 d1 F1 =, (3.34) K 21 K 22 d 2 F 2 όπου d 1 είναι οι μετατοπίσεις χωρίς περιορισμό ή ελεύθερες και d 2 είναι οι καθορισμένες μετακινήσεις. Από (3.34) έχουμε και K 11 d 1 = F 1 K 12 d 2 (3.35) F 2 = K 21 d 1 + K 22 d 2, (3.36) όπου F 1 είναι οι γνωστές επικόμβιες δυνάμεις και F 2 είναι οι άγνωστες επικόμβιες δυνάμεις σε καθορισμένες μετακινήσεις κόμβων. Η F 2 βρίσκεται από την (3.36) και μετά το d 1 καθορίζεται από την (3.35). Υποθέτουμε ότι το K 11 δεν είναι πλέον ιδιόμορφο, οπότε επιτρέπουμε τον καθορισμό του d 1. Η διαδικασία της προηγούμενης παραγράφου γενικεύεται και χρησιμοποιείται για τη στατική συμπύκνωση των εσωτερικών κόμβων και τη δημιουργία ισοδύναμων στοιχείων στη μέθοδο των υπερκατασκευών (static condensation, substructures). Για να απεικονίσουμε τη μέθοδο δυσκαμψίας και τη λύση παρελκόμενων ελατηρίων, παρουσιάζουμε τα παρακάτω παραδείγματα. Παράδειγμα Για τη συναρμολόγηση τριών ελατηρίων με την αυθαίρετη αρίθμηση κόμβων όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.9, έχουμε (α) το γενικό μητρώο

88 3.1. ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ 79 δυσκαμψίας, (β) τις μετακινήσεις των κόμβων 3 και 4, (γ) τις δυνάμεις αντίδρασης στους κόμβους 1 και 2, και (δ) τις δυνάμεις σε κάθε ελατήριο. Μια δύναμη 5000 N εφαρμόζεται στον κόμβο 4 στην κατεύθυνση x. Οι σταθερές του ελατηρίου δίνονται στο σχήμα. Οι κόμβοι 1, 2 είναι σταθερά περιορισμένοι. 1 k 1 =1000 k 2 =2000 k 3 = x Σχήμα 3.9: Διάταξη τριών ελατηρίων. α) Κάθε στοιχείο στο μητρώο δυσκαμψίας εκφράζεται ως εξής: [ 1 3 ] [ 3 4 ] k (1) = k (2) = k (2) = [ 4 2 ] Όπου οι αριθμοί κάτω από τις στήλες και δίπλα σε κάθε γραμμή δείχνουν τους επικόμβιους βαθμούς ελευθερίας που συνδέονται με κάθε στοιχείο. Για παράδειγμα, το στοιχείο 1 συνδέεται με το βαθμό ελευθερίας d 1x καθ d 3x. Επίσης, ο τοπικός άξονας ˆx συμπίπτει με τον γενικό άξονα x για κάθε στοιχείο. Χρησιμοποιώντας την έννοια της υπέρθεσης (την άμεση μέθοδο δυσκαμψίας) παίρνουμε το ολικό μητρώο δυσκαμψίας ως: ή K = k (1) + k (2) + k (3)

89 80 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ K = (β) Tο ολικό μητρώο δυσκαμψίας συνδέει τις ολικές δυνάμεις με τις ολικές μετακινήσεις όπως παρακάτω: F 1x d 1x F 2x = d 2x F 3x (3.37) d 3x F 4x d 4x Εφαρμόζοντας τις ομογενείς συνοριακές συνθήκες d 1x = 0 και d 2x = 0 στην (3.37), αντικαθιστούμε τις επικόμβιες δυνάμεις και διαχωρίζουμε τις 2 πρώτες εξισώσεις (3.37) (ή διαγράφουμε τις δύο πρώτες γραμμές της {F } και {d} και τις δυο πρώτες γραμμές και στήλες του K που αντιστοιχούν στη μηδενική μετακίνηση της συνοριακής συνθήκης) οπότε έχουμε: { } = [ ] { d3x d 4x } (3.38) Λύνουμε την εξίσωση (3.38) και παίρνουμε τη γενική επικόμβια μετακίνηση d 3x = cm. d 4x = 15 cm. (3.39) 11 (γ) Για να λάβουμε υπόψη τις γενικές επικόμβιες δυνάμεις (που περιέχουν τις αντιδράσεις στους κόμβους 1 και 2), αντικαθιστούμε τις εξισώσεις (3.39) και τις συνοριακές συνθήκες d 1x = 0 και d 2x = 0 στην (3.37). Από την αντικατάσταση προκύπτει το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων F 1x F 2x F 3x F 4x = Από το οποίο, υπολογίζουμε τις δυνάμεις σε κάθε κόμβο. F 1x = 10, , 000 N, F 2x = N, F 3x = , 000 F 4x = N. 11 (3.40)

90 3.1. ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ 81 Από αυτά τα αποτελέσματα, παρατηρούμε ότι το άθροισμα των αντιδράσεων F 1x και F 2x είναι ίσο σε μέγεθος αλλά με αντίθετη κατεύθυνση από αυτή της εφαρμόζουσας δύναμης F 4x. Αυτό το αποτέλεσμα επαληθεύει την ισορροπία ολόκληρης της δομής των ελατηρίων. (δ) Ακολούθως, χρησιμοποιούμε το τοπικό στοιχείο της εξίσωσης (3.12) για τον υπολογισμό των δυνάμεων σε κάθε στοιχείο. Στοιχείο 1 Απλοποιώντας έχουμε { ˆf1x } = ˆf 2x [ ] { }. (3.41) ˆf 1x = 10, 000 N, ˆf3x = 11 10, 000 N. (3.42) 11 Όπως φαίνεται στο διάγραμμα ελευθέρου σώματος του στοιχείου του ελατηρίου 1 που δίνεται στο Σχήμα 3.10, το ελατήριο υποβάλλεται στις δυνάμεις εφελκυσμού που δίνονται από τις εξισώσεις (3.42). Επίσης, η f 1x είναι ίση με τη δύναμη αντίδρασης F 1x που δίνεται στην (3.40) xˆ Σχήμα 3.10: Διάγραμμα ελευθέρου σώματος του στοιχείου του ελατηρίου 1. Στοιχείο 2 Ωστόσο, έχουμε { ˆf3x } = ˆf 4x ˆf 3x = [ ] { / /11 10, 000 N, ˆf4x = 11 }. 10, 000 N. (3.43) 11

91 82 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Από το διάγραμμα ελευθέρου σώματος του στοιχείου του ελατηρίου 2, που δίνεται στο Σχήμα 3.11, το ελατήριο υποβάλλεται στις εφελκυστικές δυνάμεις που δίνονται στην (3.43) xˆ Σχήμα 3.11: Διάγραμμα ελευθέρου σώματος του στοιχείου του ελατηρίου 2. Στοιχείο 3 { ˆf4x } = ˆf 3x Απλοποιώντας αναφέρουμε ˆf 4x = [ ] { / , }. 45, 000 N, ˆf2x N. (3.44) 11 Το διάγραμμα ελευθέρου σώματος του ελατηρίου 3 φαίνεται στο Σχήμα xˆ Σχήμα 3.12: Διάγραμμα ελευθέρου σώματος του στοιχείου του ελατηρίου 3. Το ελατήριο υποβάλλεται σε θλιπτικές δυνάμεις που δίνονται στις εξισώσεις (3.44). Επίσης, η f 2x είναι ίση με τη δύναμη αντίδρασης F 2x που δίνεται στην (3.40).

92 3.1. ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ 83 Παράδειγμα Για το σύστημα ελατηρίων ελατηρίου όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.13, έχουμε (α) το ολικό μητρώο δυσκαμψίας (β) τις επικόμβιες μετακινήσεις 2-4 (γ) τις γενικές επικόμβιες δυνάμεις και (δ) τις τοπικές δυνάμεις ελατηρίου. Ο κόμβος 1 στηρίζεται στερεά και ο κόμβος 5 υποβάλλεται σε γνωστή μετακίνηση ίση με d = 20 mm. Οι σταθερές ελατηρίου είναι όλες ίσες με k = 200 kn/m. Σχήμα 3.13: Διάταξη ελατηρίου για λύση. (α) Χρησιμοποιούμε την εξίσωση (3.13) για να εκφράσουμε το μητρώο δυσκαμψίας κάθε στοιχείου ως k (1) = k (2) = k (3) = k (4) = [ 200 ] Χρησιμοποιούμε ξανά υπέρθεση και παίρνουμε το συνολικό μητρώο δυσκαμψίας ως K = kn (3.45) m (β) Το ολικό μητρώου δυσκαμψίας, (3.45), συνδέει/συσχετίζει τις ολικές δυνά-

93 84 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ μεις με τις ολικές μετακινήσεις, όπως παρακάτω: F 1x F 2x F 3x = F 4x F 5x d 1x d 2x d 3x d 4x d 5x (3.46) Εφαρμόζοντας τις συνοριακές συνθήκες d 1x = 0 και d 5x = 20 mm (= 0.02 m), αντικαθιστώντας τις γνωστές ολικές δυνάμεις F 2x = 0, F 3x = 0, και F 4x = 0, και τμηματοποιώντας τις πρώτες και τις πέμπτες εξισώσεις της (3.46) αντιστοιχίζοντας αυτές τις οριακές συνθήκες, παίρνουμε = d 2x d 3x d 4x 0.02m (3.47) Ξαναγράφουμε την (3.47), μεταφέροντας στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης τον φορτιστικό όρο που προκύπτει από το πολλαπλασιασμό του κατάλληλου συντελεστή δυσκαμψίας ( 200) με τη γνωστή μετακίνηση (0.02m) kN = Λύνοντας την (3.48), παίρνουμε: d 2x d 3x d 4x d 2x = 0.005m, d 3x = 0.01m, d 4x = 0.015m. (3.48) (γ) Οι ολικές επικόμβιες δυνάμεις υπολογίζονται με την αντικατάσταση των γνωστών πλέον μετακινήσεων d 2x, d 3x και d 4x στην (3.46). Αυτή η αντικατάσταση μας δίνει: F 1x = ( 200)(0.005) = 1.0kN, F 2x = (400)(0.005) (200)(0.01) = 0, F 3x = ( 200)(0.005) + (400)(0.01) (200)(0.015) = 0, F 4x = (200)(0.01) + (400)(0.015) (200)(0.02) = 0, F 5x = (200)(0.015) + (200)(0.02) = 1.0kN (3.49)

94 3.1. ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ 85 Τα αποτελέσματα των εξισώσεων (3.49) αναφέρουν την αντίδραση F 1x αντίθετη από την επικόμβια δύναμη F 5x που απαιτείται για να αντικαταστήσει τον κόμβο 5 για d = 20 mm. Αυτό το αποτέλεσμα αποδεικνύει την ισορροπία όλου του συστήματος των ελατηρίων. (δ) Στη συνέχεια, κάνουμε χρήση του τοπικού ελατηρίου (3.12) για να αποκτήσουμε τις δυνάμεις σε κάθε στοιχείο. Στοιχείο 1 Ωστόσο αναφέρουμε { ˆf1x } = ˆf 2x [ ] { ˆf 1x = 1.0kN, ˆf2x = 1.0kN. (3.50) } Στοιχείο 2 Ωστόσο { ˆf2x } = ˆf 3x [ ] { ˆf 2x = 1kN, ˆf3x = 1kN. (3.51) } Στοιχείο 3 { ˆf3x } = ˆf 4x Απλοποιώντας την εξίσωση έχουμε [ ] { ˆf 3x = 1kN, ˆf4x = 1kN. (3.52) } Στοιχείο 4 { ˆf4x } = ˆf 5x Απλοποιώντας την εξίσωση έχουμε [ ] { ˆf 4x = 1kN, ˆf5x = 1kN. (3.53) Μπορούμε να σχεδιάσουμε το διάγραμμα ελευθέρου σώματος για κάθε κόμβο και στοιχείο και να χρησιμοποιήσουμε τα αποτελέσματα των εξισώσεων (3.49) (3.53) για να επαληθεύσουμε την ισορροπία κάθε κόμβου και στοιχείου. }

95 86 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Τέλος, ως ανασκόπηση των βασικών εννοιών που παρουσιάστηκαν στο παρόν κεφάλαιο, δίνεται η λύση στο πρόβλημα που ακολουθεί. Παράδειγμα (α) Χρησιμοποιώντας την ιδέα που παρουσιάστηκε πριν στην Ενότητα 2.3 ([10]) για το σύστημα των γραμμικών ελαστικών ελατηρίων που φαίνονται στο Σχήμα 3.14, να εκφράσετε τις συνοριακές συνθήκες, τη συνθήκη συμβιβαστού των παραμορφώσεων ή συνέχειας, σύμφωνα με την (3.16), και τις συνθήκες ισορροπίας κόμβων, σύμφωνα με τις (3.17) (3.19). Στη συνέχεια να διατυπώσετε το ολικό μητρώο δυσκαμψίας και τις εξισώσεις ισορροπίας ως προς τις άγνωστες μετακινήσεις και δυνάμεις. Η σταθερά του ελατηρίου για τα στοιχεία είναι k 1, k 2, και k 3. P είναι η δύναμη που εφαρμόζεται στον κόμβο 2. β) Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δυσκαμψίας διατυπώστε και πάλι το ολικό μητρώο δυσκαμψίας και τις εξισώσεις όπως στο α) ερώτημα. k 2 k 1 2 P 2 3 x 1 1 Άκαμπτη ράβδος k 3 4 Σχήμα 3.14: Διάταξη ελατηρίων προς επίλυση. (α) Οι συνοριακές συνθήκες είναι d 1x = 0, d 3x = 0, d 4x = 0. (3.54) Η συνθήκη συμβιβαστού στον κόμβο 2 δίνεται ως d (1) 2x = d (2) 2x = d (3) (2x) = d 2x. (3.55)

96 3.1. ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ 87 Οι εξισώσεις ισορροπίας κόμβων είναι F 1x = f (1) 1x, P = f (1) 2x + f (2) 2x + f (3) 2x, F 3x = f (2) 3x, F 4x = f (3) 4x (3.56) όπου χρησιμοποιήθηκε για την κατάστρωση της εξίσωσης (3.56) το πρόσημο για τις θετικές κομβικές δυνάμεις των στοιχείων, με βάση το Σχήμα 3.1. Στο Σχήμα 3.15 δίνεται, το διάγραμμα ελευθέρου σώματος του στοιχείου και οι κομβικές δυνάμεις. Χρησιμοποιώντας το τοπικό μητρώο δυσκαμψίας, (3.12) κάθε στοι- Σχήμα 3.15: (1) Διαγράμματα ελευθέρου σώματος των στοιχείων και των κόμβων με βάση τη διάταξη των ελατηρίων Σχήμα χείου και τη συνθήκη συμβιβαστού των παραμορφώσεων, (3.55), παίρνουμε τις τοπικές ή ολικές εξισώσεις ισορροπίας ως F 1x = k 1 d 1x k 1 d 2x, P = k 1 d 1x + k 1 d 2x + k 2 d 3x + k 3 d 2x k 3 d 4x, (3.57) F 3x = k 2 d 2x + k 2 d 3x, F 4x = k 3 d 2x + k 3 d 4x

97 88 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Σχήμα 3.16: (2) Διαγράμματα ελευθέρου σώματος των στοιχείων και των κόμβων με βάση τη διάταξη των ελατηρίων Σχήμα Σχήμα 3.17: (3) Διαγράμματα ελευθέρου σώματος των στοιχείων και των κόμβων με βάση τη διάταξη των ελατηρίων Σχήμα Σε μητρωική μορφή, (3.57) δίνονται ως F 1x P F 3x F 4x k 1 k = k 1 k 1 + k 2 + k 3 k 2 k 3 0 k 2 k k 3 0 k 3 d 1x d 2x d 3x d 4x (3.58)

98 3.1. ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ 89 Ως εκ τούτου, το ολικό μητρώο δυσκαμψίας είναι το τετράγωνο, συμμετρικό μητρώο στο δεξί μέλος της (3.58). Με χρήση των συνοριακών συνθηκών, (3.54), και θεωρώντας τη δεύτερη εξίσωση από τις (3.57) ή (3.58), επιλύουμε ως προς d 2x P d 2x =. k 1 + k 2 + k 3 Μπορούσαμε να είχαμε εξασφαλίσει το ίδιο αποτέλεσμα με τη διαγραφή των γραμμών 1, 3 και 4 στα F και d μητρώα και των γραμμών και στηλών 1, 3 και 4 στον K, που αντιστοιχούν σε μηδενική μετακίνηση, όπως περιγράφηκε στην Ενότητα 2.4, και στη συνέχεια λύνοντας το σύστημα για d 2x. Χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις g (3.56), λύνουμε για τις καθολικές δυνάμεις ως F 1x = k 1 d 2x, F 3x = k 2 d 2x, F 4x = k 3 d 2x. Οι δυνάμεις μπορούν να ερμηνευτούν ως οι καθολικές δυνάμεις σ αυτό το παράδειγμα. Τα αρνητικά πρόσημα σ αυτές τις δυνάμεις δείχνουν ότι έχουν κατεύθυνση προς τα αριστερά (αντίθετα του άξονα x). (β) Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο άμεσης δυσκαμψίας σχηματίζουμε το καθολικό μητρώο δυσκαμψίας. Πρώτα χρησιμοποιώντας την εξίσωση (3.13), εκφράζουμε το κάθε μητρώο δυσκαμψίας του στοιχείου ως: [ d 1x d] 2x [ d 2x d 3x ] d[ 2x d 4x ] k (1) k1 k = 1, k k 1 k (2) k2 k = 2, k 1 k 2 k (1) k3 k = 3 2 k 3 k 3 όπου οι συγκεκριμένοι βαθμοί ελευθερίας που συνδέονται με το κάθε στοιχείο παρατίθενται στις στήλες πάνω από κάθε μητρώο. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο άμεσης δυσκαμψίας όπως περιγράφεται στην Ενότητα προσθέτουμε όρους από κάθε μητρώο δυσκαμψίας στοιχείου στην κατάλληλη αντίστοιχη γραμμή και στήλη στο καθολικό μητρώο. Λύνουμε για να πάρουμε d 1x d 2x d 3x d 4x k 1 k K= k 1 k 1 + k 2 + k 3 k 2 k 3 0 k 2 k k 3 0 k 3 Παρατηρούμε ότι κάθε μητρώο δυσκαμψίας του στοιχείου k προστέθηκε στη θέση στο καθολικό K αντίστοιχα στο πανομοιότυπο βαθμό ελευθερίας, συνδυασμένο με το στοιχείο k. Για παράδειγμα, το στοιχείο 3, είναι συνδυασμένο με τους βαθμούς ελευθερίας d 2x και d 4x ; ως εκ τούτου, προστέθηκε στις 2-2,

99 90 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 2-4, 4-2 και 4-4 θέσεις του K όπως φαίνεται στην εξίσωση για K από τους όρους του k 3. Έχοντας συρράψει το K μέσω της μεθόδου άμεσης δυσκαμψίας, έπειτα φτιάχνουμε τις καθολικές εξισώσεις με τον συνηθισμένο τρόπο κάνοντας χρήση της γενικής εξίσωσης (3.1.2), F = Kd. Αυτές οι εξισώσεις είχαν προηγουμένως ληφθεί από την εξίσωση (3.58) και ως εκ τούτου δεν επαναλαμβάνονται. 3.2 Προσέγγιση δυναμικής ενέργειας για την δημιουργία εξισώσεων στοιχείου ελατηρίου Μία απ τις εναλλακτικές μεθόδους που χρησιμοποιούνται για τη δημιουργία των εξισώσεων του στοιχείου και του μητρώου δυσκαμψίας για ένα στοιχείο βασίζεται στην αρχή της ελάχιστης δυναμικής ενέργειας. (Η χρήση αυτής της αρχής στη δομική μηχανική περιγράφεται πλήρως στην Αναφορά??.) Αυτή η μέθοδος έχει το πλεονέκτημα ότι είναι πιο γενική από τη μέθοδο της Ενότητας 3.1, η οποία περιλαμβάνει εξισώσεις ισορροπίας κόμβων και στοιχείων μαζί με το νόμο τάσεων/παραμορφώσεων για το στοιχείο. Έτσι η αρχή της ελάχιστης δυναμικής ενέργειας είναι περισσότερο προσαρμοσμένη στον προσδιορισμό των εξισώσεων του στοιχείου για περίπλοκα στοιχεία (αυτά με μεγάλο αριθμό βαθμών ελευθερίας), όπως η επίπεδη παραμόρφωση/τάση του στοιχείου, η αξονοσυμμετρική παραμόρφωση στοιχείου, η κάμψη λεπτού επιπέδου στοιχείου και η τρισδιάστατη στερεή τάση στοιχείου. Ξανά, αναφέρουμε ότι η αρχή των δυνατών έργων είναι εφαρμόσιμη για κάθε συμπεριφορά υλικού. Όμως, και οι δύο αρχές χρησιμοποιούν τις ίδιες εξισώσεις στοιχείου για γραμμικά-ελαστικά υλικά τα οποία είναι το μόνο είδος που εξετάζεται σ αυτό το κείμενο. Επιπλέον, η αρχή της ελάχιστης δυναμικής ενέργειας, συμπεριλαμβάνεται στη γενική κατηγορία, των μεθόδων μεταβολών (όπως η αρχή των δυνατών έργων), οδηγεί σε άλλες συναρτήσεις μεταβολών (ή συναρτησιακά) όμοιες της δυναμικής ενέργειας, οι οποίες μπορούν να διατυπώνονται για άλλες κατηγορίες προβλημάτων, κυρίως μη δομικού τύπου. Αυτά τα άλλα προβλήματα είναι γενικώς κατηγοριοποιημένα ως προβλήματα πεδίου που περιέχουν, μεταξύ άλλων, στρέψη ράβδων, μετάδοση θερμότητας, ροή ρευστών και ηλεκτρικό δυναμικό. Ακόμη άλλες κατηγορίες προβλημάτων, για τα οποία μια διατύπωση με την μέθοδο μεταβολών δεν είναι ξεκάθαρα σαφής, μπορεί να εκφραστεί από σταθμισμένες υπολειμματικές μεθόδους. (Για περισσότερες πληροφορίες πάνω στις σταθμικές υπολογιστικές μεθόδους, επίσης συμβουλευτείτε στην βιβλιογραφία

100 3.2. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ 91 αυτού του κεφαλαίου.) Εδώ παρουσιάζουμε την αρχή της ελάχιστης δυναμικής ενέργειας όπως χρησιμοποιείται για τη δημιουργία των εξισώσεων ισορροπίας του στοιχείου ελατηρίου. Θα παρουσιάσουμε αυτή την ιδέα εφαρμόζοντάς τη στο απλούστερο των στοιχείων έτσι ώστε ο αναγνώστης να είναι τότε πιο άνετος όταν τη χρησιμοποιεί για πιο πολύπλοκους τύπους στοιχείων στα μετέπειτα κεφάλαια. Η ολική δυναμική ενέργεια π p μιας δομής εκφράζεται με όρους μετακινήσεων. Στη διατύπωση των πεπερασμένων στοιχείων, αυτά θα είναι γενικώς επικόμβιες μετακινήσεις όπως π p = π p (d 1, d 2,..., d n ). ). Όταν το π p ελαχιστοποιείται βάσει αυτών των μετακινήσεων, προκύπτουν εξισώσεις ισορροπίας. Για το στοιχείο ελατηρίου, θα δείξουμε ότι προκύπτουν οι ίδιες επικόμβιες εξισώσεις ισορροπίας ˆk ˆd = ˆf όπως στην Ενότητα 3.1. Ορίζουμε, πρώτα, την αρχή ελάχιστης δυναμικής ενέργειας ακολούθως: Από όλες τις γεωμετρικές μορφές που ένα σώμα μπορεί να πάρει, η πραγματική προκύπτει, από την ικανοποίηση της σταθερής ισορροπίας του σώματος και προσδιορίζεται από μια ελάχιστη τιμή της συνολικής δυναμικής ενέργειας. Για να εξηγήσουμε αυτή την αρχή, πρέπει πρώτα να εξηγήσουμε τις έννοιες της δυναμικής ενέργειας της σταθερής τιμής μιας συνάρτησης. Τώρα θα συζητήσουμε αυτές τις δύο έννοιες. Η συνολική δυναμική ενέργεια ορίζεται ως το άθροισμα της ενέργειας εσωτερικής παραμόρφωσης U και της δυναμικής ενέργειας των εξωτερικών δυνάμεων Ω: π p = U + Ω. (3.59) H ενέργεια παραμόρφωσης είναι η ενέργεια που αναπτύσσεται λόγω των εσωτερικών δυνάμεων που δημιουργούν παραμόρφωση στη δομή ενός σώματος, ενώ Ω είναι η ενέργεια που αναπτύσσεται λόγω εξωτερικών δυνάμεων όπως οι δυνάμεις του σώματος, επιφανειακές δυνάμεις έλξης και οι εξωτερικά εφαρμοσμένες επικόμβιες δυνάμεις. Θυμηθείτε ότι ένα γραμμικό ελατήριο έχει δύναμη που σχετίζεται με την παραμόρφωση μέσω της F = kx, όπου k η σταθερά του ελατηρίου και x η παραμόρφωση του ελατηρίου (Σχήμα 3.18). Το διαφορικό εσωτερικό έργο (ή ενέργεια παραμόρφωσης) du στο ελατήριο για μικρή μεταβολή στο μήκος είναι η εσωτερική δύναμη πολλαπλασιασμένη με τη μεταβολή της μετακίνησης μέσω της οποίας η δύναμη κινεί. Δίνεται ως du = F dx (3.60)

101 92 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Τώρα εκφράζουμε τη F ως F = kx (3.61) Χρησιμοποιώντας την (3.61) στην (3.60), βρίσκουμε ότι η διαφορική ενέργεια παραμόρφωσης γίνεται du = kxdx Η συνολική ενέργεια παραμόρφωσης δίνεται από Σχήμα 3.18: Η καμπύλη δύναμης/ παραμόρφωσης για το γραμμικό ελατήριο. U = Μέσω ολοκλήρωσης της (3.62), έχουμε x 0 kxdx (3.62) Χρησιμοποιώντας την (3.61) στην (3.63), έχουμε U = 1 2 kx2 (3.63) U = 1 2 (kx)x = 1 2 F x (3.64) Η εξίσωση (3.64) δείχνει ότι η ενέργεια παραμόρφωσης είναι η περιοχή κάτω από την καμπύλη δύναμης παραμόρφωσης. Η δυναμική ενέργεια της εξωτερικής δύναμης είναι αντίθετη σε πρόσημο από την εξωτερική δύναμη, και δίνεται ως: Ω = F x (3.65)

102 3.2. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ 93 Ως εκ τούτου, αντικαθιστώντας τις (3.63) και (3.65) στην (3.154), παίρνουμε την ολική δυναμική ενέργεια ως π p = 1 2 kx2 F x. (3.66) Η έννοια της σταθερής τιμής μιας συνάρτησης G (χρησιμοποιήθηκε στον ορισμό της αρχής της ελάχιστης δυναμικής ενέργειας) φαίνεται στο Σχήμα Εδώ το G εκφράζεται ως μια συνάρτηση μεταβλητής x. Η σταθερή τιμή μπορεί να είναι ένα μέγιστο, ένα ελάχιστο ή ένα ουδέτερο σημείο της G(x). Για να βρούμε μια τιμή του x παίρνοντας μια σταθερή τιμή του G(x), χρησιμοποιούμε διαφορικό λογισμό για να παραγωγήσουμε την G ως προς x και εξισώνουμε την έκφραση με το μηδέν, όπως ακολουθεί dg = 0. (3.67) dx Μια ανάλογη διαδικασία θα χρησιμοποιηθεί στη συνέχεια για την αντικατάσταση της G με την π p και x με διακριτικές τιμές (επικόμβιες μετακινήσεις) d i, αφού καταλάβαμε τη χρήση αυτού του λογισμού (βλ. Αναφορά [8]) του π p (ορισμένη με δπ p, όπου δ δηλώνει αυθαίρετη μεταβολή ή διακύμανση) για την ελαχιστοποίηση του π p. Όμως, θα αποφύγουμε τις λεπτομέρειες του λογισμού της διακύμανσης και θα δείξουμε ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον οικείο διαφορικό λογισμό για να πραγματοποιήσουμε την ελαχιστοποίηση του π p. Για να εφαρμόσουμε την αρχή της ελάχιστης δυναμικής ενέργειας- δηλαδή να ελαχιστοποιήσουμε το π p παίρνουμε τη διακύμανση του π p, η οποία είναι μια συνάρτηση επικόμβιων μετακινήσεων d i oρισμένων γενικά ως: δπ p = π p d 1 δd 1 + π p d 2 δd π p d n δd n. (3.68) Η αρχή αναφέρει ότι η ισορροπία υπάρχει όταν το d i ορίζει μια δομική κατάσταση όπως αυτή της δπ p = 0 (μεταβολή της δυναμικής ενέργειας = 0), για αυθαίρετες αποδεκτές διακυμάνσεις στη μετακίνηση δd i από την κατάσταση ισορροπίας. Μια αποδεκτή διακύμανση είναι αυτή, στην οποία το πεδίο μετακίνησης ακόμα ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες και τη συνθήκη συμβιβαστού των παραμορφώσεων (ή συνέχειας των στοιχείων). Το Σχήμα 3.20 δίνει την υποθετική πραγματική αξονική μετακίνηση και μια παραδοχή για ένα ελατήριο με συγκεκριμένες συνοριακές μετακινήσεις û 1 και û 2. Εδώ δû αναπαριστά τη διακύμανση στο û. Στη γενική διατύπωση των πεπερασμένων στοιχείων δû αντικαθίσταται από το δ ˆd i. Αυτό υπονοεί ότι κάθε δd i μπορεί να είναι μη μηδενικό. Ως εκ τούτου, για την ικανοποίηση του δπ p = 0, όλοι οι συντελεστές των

103 94 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Σχήμα 3.19: Η σταθερή τιμή μιας συνάρτησης. Σχήμα 3.20: Πραγματική και δυνατών μετακινήσεων συνάρτηση.

104 3.2. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ 95 δ ˆd i πρέπει να είναι ανεξάρτητοι του μηδενός. Έτσι, π p d i = 0 (i = 1, 2, 3,..., n) or π p d = 0, (3.69) όπου πρέπει να λυθούν n εξισώσεις για τις n τιμές του d i που ορίζουν τη στατική κατάσταση ισορροπίας της δομής. Η εξίσωση (3.69) δείχνει ότι για τους σκοπούς μας σε όλο το κείμενο, μπορούμε να ερμηνεύσουμε τη διακύμανση του π p ως μια παραγώγιση του π p ως προς τις άγνωστες επικόμβιες μετακινήσεις για τις οποίες το π p εκφράζεται. Για γραμμικά ελαστικά υλικά σε ισορροπία, το γεγονός ότι το π p είναι ένα ελάχιστο φαίνεται για παράδειγμα, στην Αναφορά [4]. Πριν συζητήσουμε τη διατύπωση των εξισώσεων του στοιχείου ελατηρίου παρουσιάζουμε την έννοια της αρχής της ελαχίστης δυναμικής ενέργειας αναλύοντας ένα ελατήριο, με ένα μόνο βαθμό ελευθερίας και του εφαρμόζεται μία δύναμη, όπως δίνεται στο παράδειγμα Σ αυτό το παράδειγμα θα δείξουμε ότι η θέση του ελατηρίου συνδέεται με την ελάχιστη δυναμική ενέργεια. Παράδειγμα Για το γραμμικό-ελαστικό ελατήριο που του ασκείται μια δύναμη των 1000 N όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.21, υπολογίστε την δυναμική ενέργεια για διάφορες τιμές μετακίνησης και δείξτε ότι η ελάχιστη δυναμική ενέργεια επίσης ανταποκρίνεται στη θέση ισορροπίας του ελατηρίου. Υπολογίζουμε τη συνολική δυναμική ενέργεια ως π p = U + Ω, όπου U = 1 (kx)x και Ω = F x. 2 Τώρα παρουσιάζουμε την ελαχιστοποίηση του π p μέσω συνηθισμένων μαθηματικών. Παίρνοντας τη διακύμανση του π p ως προς το x, ή ισοδύναμα, παίρνοντας την παράγωγο του π p ως προς x (ως π p θεωρούμε μια συνάρτηση μιας μόνο μετακίνησης x), όπως στις εξισώσεις (3.68) και (3.69), έχουμε δπ p = π p δx = 0, x ή επειδή το δx είναι αυθαίρετο και μπορεί να μην είναι μηδέν π p x = 0.

105 96 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ F F k = 500 x k x Σχήμα 3.21: Ελατήριο υποβάλλεται στη δύναμη F που περιγράφεται από την καμπύλη φόρτισης/παραμόρφωσης. Χρησιμοποιώντας την προηγούμενη έκφραση για το π p, παίρνουμε ή π p x = 500x 1000 = 0 x = 2.00 cm. Αυτή τη τιμή του x τη βάζουμε στο π p για να πάρουμε π p = 250(2) (2) = 1000 N-cm, το οποίο αντιστοιχεί στην ελάχιστη δυναμική ενέργεια που έχει ληφθεί στον Πίνακα 3.1. Εδώ το U = (1/2)(kx)x είναι η ενέργεια παραμόρφωσης ή περιοχή κάτω από την καμπύλη φορτίου/μετακίνησης όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.21, και το Ω = F x είναι η δυναμική ενέργεια του φορτίου F. Για τις τιμές του F και k, έχουμε π p = 1 2 (500)x2 1000x = 250x x. Τώρα ψάχνουμε την ελάχιστη τιμή του π p για διάφορες τιμές x παραμόρφωσης ελατηρίου. Τα αποτελέσματα φαίνονται στον Πίνακα 3.1. Ένα γράφημα του π p ως προς το x παρουσιάζεται στο Σχήμα 3.22, όπου παρατηρούμε ότι το π p έχει

106 3.2. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ 97 ελάχιστη τιμή το x = 2.00 cm. Αυτή η παραμορφωμένη θέση επίσης αντιστοιχεί σε θέση ισορροπίας, επειδή ( π p / x) = 500(2) 1000 = 0. Τώρα δημιουργούμε τις εξισώσεις για το στοιχείο ελατηρίου και το μητρώο δυσκαμψίας χρησιμοποιώντας την αρχή της ελαχίστης ενέργειας. Θεωρείστε ότι στο γραμμικό ελατήριο ασκούνται επικόμβιες δυνάμεις. Χρησιμοποιώντας την (3.66) προκύπτει ότι η συνολική δυναμική ενέργεια είναι π p = 1 2 k( ˆd 2x ˆd 1x ) 2 ˆf 1x ˆd1x ˆf 2x ˆd2x, (3.70) όπου ˆd 2x = ˆd 1x είναι η παραμόρφωση του ελατηρίου στην (3.66). Ο πρώτος όρος στα δεξιά (3.70) είναι η ενέργεια παραμόρφωσης στο ελατήριο. Απλοποιώντας την (3.70), παίρνουμε π p = 1 2 k( ˆd 2 2x 2 ˆd 1x ˆd2x + ˆd 2 1x) 2 ˆf 1x ˆd1x ˆf 2x ˆd2x. Στη συνέχεια η ελαχιστοποιήση του π p ως προς κάθε επικόμβια μετακίνηση Παραμόρφωση Συνολική Δυνάμικη Ενέργεια x, cm. π p, N-cm Πίνακας 3.1: Συνολική δυναμική ενέργεια για διάφορες παραμορφώσεις του ελατηρίου. είναι π p ˆd 1x = 1 2 k( 2 ˆd 2x + 2 ˆd 1x ) ˆf 1x = 0, π p ˆd 2x = 1 2 k(2 ˆd 2x 2 ˆd 1x ) ˆf 2x = 0. (3.71)

107 98 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Σχήμα 3.22: Μεταβολή δυναμικής ενέργειας παραμόρφωσης του ελατηρίου.

108 3.2. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ 99 Απλοποιώντας τις (3.71), έχουμε k( ˆd 2x + ˆd 1x ) = ˆf 1x k( ˆd 2x ˆd 1x ) = ˆf 2x. Σε μητρωική μορφή εκφράζουμε την (3.72) ως [ ] { } k k ˆd1x = k k ˆd 2x { ˆf1x (3.72) ˆf 2x }. (3.73) Επειδή {f} = [k]{d}, έχουμε το μητρώο δυσκαμψίας για το στοιχείο ελατηρίου που έχει ληφθεί από την (3.73): [ ] k k [ˆk] =. (3.74) k k Όπως αναμένεται, η (3.74) είναι πανομοιότυπη του μητρώου δυσκαμψίας που λήφθηκε στην Ενότητα 3.1. Θεωρήσαμε την ισορροπία ενός μόνου στοιχείου ελατηρίου ελαχιστοποιώντας τη συνολική δυναμική ενέργεια ως προς τις επικόμβιες μετακινήσεις (δες Παράδειγμα 3.2.1). Επίσης, αναπτύξαμε τις εξισώσεις πεπερασμένων στοιχείων για το στοιχείο ελατηρίου ελαχιστοποιώντας τη συνολική δυναμική ενέργεια ως προς τις επικόμβιες μετακινήσεις. Τώρα δείχνουμε ότι η συνολική δυναμική ενέργεια μιας ολόκληρης δομής (εδώ διάταξη από στοιχεία ελατηρίου) μπορεί να ελαχιστοποιηθεί ως προς κάθε επικόμβιο βαθμό ελευθερίας και ότι τα αποτελέσματα της ελαχιστοποίησης οδηγούν στις ίδιες εξισώσεις πεπερασμένων στοιχείων που χρησιμοποιήθηκαν για τη λύση με τη μέθοδο άμεσης δυσκαμψίας. Παράδειγμα Πάρτε τη συνολική δυναμική ενέργεια της διάταξης ελατηρίου στο Παράδειγμα και βρείτε την ελάχιστη τιμή της. Η διαδικασία κατάστρωσης των εξισώσεων στοιχείου μπορούν να ληφθούν από την ελαχιστοποίηση της συνολικής δυναμικής ενέργειας. Χρησιμοποιώντας την (3.67) για κάθε στοιχείο της διάταξης ελατηρίου, βρίσκουμε ότι η συνολική δυναμική ενέργεια δίνεται από π p = 3 e=1 π (e) p = 1 2 k 1(d 3x d 1x ) 2 f (1) 1x d 1x f (1) 3x d 3x k 2(d 4x d 3x ) 2 f (2) 3x d 3x f (2) 4x d 4x k 3(d 2x d 4x ) 2 f (2) 4x d 4x f (2) 4x d 2x.

109 100 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Ελαχιστοποιώντας το π p ως προς κάθε επικόμβια μετακίνηση παίρνουμε π p = k 1 d 3x + k 1 d 1x f (1) 1x = 0 d 1x π p = k 3 d 2x + k 3 d 4x f (3) 2x = 0 d 2x π p = k 1 d 3x k 1 d 1x k 2 d 4x + k 2x d 3x f (1) 3x f (2) 3x = 0 d 3x π p = k 2 d 4x + k 2 d 3x k 3 d 2x + k 3 d 4x f (2) 4x f (3) 4x = 0 d 4x (3.75) Σε μητρωική μορφή οι εξισώσεις, (3.75) γίνονται k 1 0 k k 3 0 k 3 k 1 0 k 1 + k 2 k 2 0 k 3 k 2 k 2 + k 3 d 1x d 2x d 3x d 4x = f (1) 1x f (3) 2x f (1) 3x + f (2) 3x f (2) 4x + f (3) 4x (3.76) Χρησιμοποιώντας ισορροπία επικόμβιων δυνάμεων όμοια με τις (3.17) (3.19), έχουμε f (1) 1x = F 1x = F 2x = F 3x 4x = F 4x. f (3) 2x f (1) 3x + f (2) 3x f (2) 4x + f (3) (3.77) Χρησιμοποιώντας τις (3.77) στην (3.76) και αντικαθιστώντας τις αριθμητικές τιμές για k 1 ; k 2, και k 3, παίρνουμε d 1x d 2x d 3x d 4x = F 1x F 2x F 3x F 4x (3.78) Η εξίσωση (3.78) είναι παρόμοια με την (3.74), η οποία λήφθηκε μέσω της μεθόδου άμεσης δυσκαμψίας. Οι συρραμμένες εξισώσεις (3.78) λαμβάνονται τότε από την ελαχιστοποίηση της δυναμικής ενέργειας. Όταν εφαρμόζουμε τις συνοριακές συνθήκες και αντικαθιστούμε την F 3x = 0 και F 4x = 5000 N στην (3.78), η λύση είναι όμοια με αυτήν του Παραδείγματος

110 3.3. ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ Κατάστρωση εξισώσεων ισορροπίας Έχοντας θέσει τις βάσεις στις οποίες βασίζεται η μέθοδος άμεσης δυσκαμψίας, θα εξάγουμε το μητρώο δυσκαμψίας για μια γραμμική-ελαστική ράβδο (ή στήριγμα) χρησιμοποιώντας τις γενικές αρχές που υπογραμμίστηκαν στο Κεφ.1. Θα συμπεριλάβουμε την εισαγωγή ενός τοπικού συστήματος συντεταγμένων, επιλεγμένου με βάση το στοιχείο, και ένα καθολικό ή σύστημα συντεταγμένων αναφοράς, επιλεγμένο ώστε να είναι συμβατό (για αριθμητική ευκολία) με τη δομή της κατασκευής. Θα ασχοληθούμε επίσης με τη μετατροπή ενός διανύσματος από το τοπικό σύστημα συντεταγμένων στο καθολικό με τη χρήση της έννοιας των μητρώων μετασχηματισμού για την έκφραση του μητρώου ακαμψίας για ένα αυθαίρετα προσανατολισμένο στοιχείο ράβδου στο πλαίσιο του καθολικού συστήματος συντεταγμένων. Θα λύσουμε τρία παραδείγματα επίπεδων προβλημάτων στήριξης, ώστε να γίνει κατανοητή η διαδικασία δημιουργίας ολικού μητρώου δυσκαμψίας και εξισώσεων για τη λύση μιας κατασκευής. Στη συνέχεια θα επεκτείνουμε τη μέθοδο δυσκαμψίας ώστε να συμπεριλάβουμε τα χωροδικτυώματα. Θα αναπτύξουμε το μητρώο μετασχηματισμού στον τρισδιάστατο χώρο και θα αναλύσουμε δισδιάστατες στηρίξεις. Έπειτα θα περιγράψουμε την έννοια της συμμετρίας και της χρήσης της για τη μείωση του όγκου ενός προβλήματος και τη διευκόλυνση της λύσης του. Θα χρησιμοποιήσουμε ένα παράδειγμα προβλήματος στήριξης για να επεξηγήσουμε την έννοια και στη συνέχεια θα περιγράψουμε το πώς χειριζόμαστε κεκλιμένες και λοξές στηρίξεις. Στη συνέχεια θα χρησιμοποιήσουμε την αρχή της ελάχιστης δυναμικής ενέργειας και θα την εφαρμόσουμε για να αντλήσουμε ξανά τις εξισώσεις στοιχείου της ράβδου. Κατόπιν θα συγκρίνουμε μια πεπερασμένη λύση στοιχείου με μια ακριβή λύση για μια ράβδο που υποβάλλεται σε γραμμικά κατανεμημένη μεταβολή φορτίου. Θα δούμε την υπολλειματική μέθοδο Galerkin και θα την εφαρμόσουμε στις εξισώσεις στοιχείων ράβδου. Τέλος θα δούμε άλλες κοινές υπολλειματικές μεθόδους και τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων απλά για να έρθουμε σε επαφή με αυτές τις άλλες μεθόδους. Απεικονίζουμε αυτές τις μεθόδους με την επίλυση ενός προβλήματος μιας ράβδου που υποβάλλεται σε γραμμικά μεταβαλλόμενο φορτίο Δημιουργία μητρώου δυσκαμψίας στοιχείου ράβδου σε τοπικές συντεταγμένες Θα εξετάσουμε τώρα την δημιουργία του μητρώου δυσκαμψίας για τη γραμμικήελαστική ράβδο, με διατομή πρισματική σταθερής επιφάνειας στοιχείου ράβδου

111 102 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ που φαίνεται στην Σχήμα Η διαδικασία θα είναι άμεσα εφαρμόσιμη στη λύση αρθρωτά συνδεδεμένων δικτυωμάτων. Η ράβδος υποβάλλεται σε δυνάμεις εφελκυσμού κατευθυνόμενες κατά μήκος του τοπικού άξονα της ράβδου και εφαρμόζονται στους κόμβους 1 και 2. Εδώ θα συναντήσουμε δύο συστή- Σχήμα 3.23: Ράβδος που υποβάλλεται σε δυνάμεις εφελκυσμού Τ οι θετικές κατευθύνσεις των κομβικών μετατοπίσεων και δυνάμεων, στη διεύθυνση του τοπικού άξονα x. ματα συντεταγμένων ένα τοπικό (ˆx, ŷ) με το ˆx να κατευθύνεται κατά μήκος της ράβδου και ένα καθολικό (x, y), αν υποθέσουμε ότι ταιριάζει καλύτερα με την όλη δομή. Η σωστή επιλογή καθολικών συστημάτων αποδεικνύεται περίτρανα μέσω της λύσης προβλημάτων στήριξης δύο διαστάσεων όπως απεικονίζεται στις Παραγράφους και 3.5. Και τα δυο συστήματα θα χρησιμοποιηθούν εκτενώς στο κείμενο. Το στοιχείο ράβδου θεωρείται ότι έχει σταθερή διατομή A, μέτρο ελαστικότητας E και αρχικό μήκος L. Οι κομβικοί βαθμοί ελευθερίας είναι τοπικές αξονικές μετατοπίσεις (διαμήκης μετατοπίσεις κατευθύνονται κατά μήκος της ράβδου) που αντιπροσωπεύονται από τα d 1x και d 2x στα άκρα της ράβδου όπως φαίνεται στο Σχήμα Από το νόμο του Hooke και τη σχέση τάσεων/παραμορφώσεων έχουμε: σ x = Eε x, (3.79) ε x = dû dˆx. (3.80)

112 3.3. ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ 103 Από την ισορροπία δυνάμεων έχουμε: Aσ x = T = const (3.81) για μια ράβδο που τα φορτία εφαρμόζονται μόνο στα άκρα. Αντικαθιστώντας την (3.80) στην (3.79) και στη συνέχεια την (3.79) στην (3.81) και λύνοντας ως προς x παίρνουμε τη διαφορική εξίσωση που περιγράφει τη γραμμική-ελαστική συμπεριφορά της ράβδου. ( d AE dû ) = 0, (3.82) dˆx dˆx Όπου û είναι η συνάρτηση αξονικής μετατόπισης κατά μήκος της ράβδου στην κατεύθυνση του ˆx και A, E είναι γραμμένα σαν να επρόκειτο για τις λειτουργίες του ˆx στη γενική μορφή της διαφορικής εξίσωσης ακόμα και αν τα A, E πρέπει να θεωρούνται σταθερά καθ όλο το μήκος της ράβδου σε αυτά που ακολουθούν. Οι υποθέσεις που ακολουθούν χρησιμοποιούνται για την δημιουργία του μητρώου δυσκαμψίας: Η ράβδος δεν αναπτύσσει διατμητικές δυνάμεις και καμπτικές ροπές, δηλαδή f 1y = 0, f 2y = 0, ˆm 1 = 0 και ˆm 2 = 0. Οποιαδήποτε επίδραση της εγκάρσιας μετατόπισης αγνοείται. Ισχύει ο νόμος του Hooke που συνδέει την αξονική τάση σ x με την αξονική παραμόρφωση ε x ως σ x = ε x. Δεν εφαρμόζονται ενδιάμεσα φορτία. Τα βήματα που ήδη αναφέρθηκαν στην Παράγραφο 3.1 χρησιμοποιούνται για την εξαγωγή του μητρώου δυσκαμψίας για το στοιχείο ράβδου και στη συνέχεια για την παρουσίαση μιας ολοκληρωμένης λύσης για τη περίπτωση σύνδεση ράβδων. ΒΗΜΑ 1. Επιλέξτε τον τύπο στοιχείου. Ταυτοποιήστε τη ράβδο επισημαίνοντας τους κόμβους σε κάθε άκρο και γενικά επισημαίνοντας τον αριθμό στοιχείου.

113 104 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΒΗΜΑ 2. Επιλέξτε μια συνάρτηση μετατόπισης. Ας υποθέσουμε μια γραμμική μεταβολή μετατόπισης κατά μήκος του άξονα ˆx της ράβδου, επειδή μια γραμμική συνάρτηση με καθορισμένες παραμέτρους έχει μία μοναδική λύση. Αυτές οι καθορισμένες παράμετροι είναι οι κομβικές τιμές d 1x και d 2x. (Περισσότερη συζήτηση σχετικά με την επιλογή της συνάρτησης μετατόπισης παρέχονται στις αναφορές [1-3].) Στη συνέχεια û = a 1 + a 2ˆx (3.83) όπου ο συνολικός αριθμός των συντελεστών a i είναι πάντα ίσος με το συνολικό αριθμό των βαθμών ελευθερίας που σχετίζονται με το στοιχείο. Εδώ ο συνολικός αριθμός των βαθμών ελευθερίας είναι δυο αξονικές μετατοπίσεις σε καθένα από τους δύο κόμβους του στοιχείου. Χρησιμοποιώντας την ίδια διαδικασία όπως για το στοιχείο ελατηρίου, εκφράζουμε την (3.83) ως û = ( ˆd2x ˆd 1x L ) ˆx + ˆd 1x. (3.84) Ο λόγος που μετατρέπουμε τη συνάρτηση μετατόπισης από τη μορφή της (3.83) στην (3.84) είναι ότι μας επιτρέπει να εκφράσουμε την τάση συναρτήσει των κομβικών μετατοπίσεων χρησιμοποιώντας τη σχέση τάσης/παραμόρφωσης που δίνεται από την (3.84) και στη συνέχεια συσχετίζοντας τις κομβικές δυνάμεις με τις κομβικές μετατοπίσεις στο Βήμα 4. Σε μορφή μητρώου, η (3.84) γίνεται { } ˆd1x û = [N 1 N 2 ] ˆd 2x με τις συναρτήσεις του σχήματος να δίνονται από (3.85) N 1 = 1 ˆx L, N 2 = ˆx L. (3.86) Αυτές οι συναρτήσεις σχήματος είναι πανομοιότυπες με εκείνες που πήραμε στο στοιχείο ελατηρίου στην Ενότητα Η συμπεριφορά του και ορισμένες ιδιότητες αυτών των συναρτήσεων σχήματος περιγράφηκαν στην Ενότητα Η γραμμική συνάρτηση μετατόπισης u (3.84) σχεδιάζεται πάνω από το μήκος του στοιχείου ράβδου, όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.24.

114 3.3. ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ 105 Σχήμα 3.24: Μετατόπιση u, πάνω από το μήκος του στοιχείου. Τοπικό και ολικό σύστημα αναφοράς. ΒΗΜΑ 3. Ορίστε τις σχέσεις παραμόρφωσης (μετατόπισης) και τάσης (παραμόρφωσης). Η σχέση παραμόρφωσης (μετατόπισης) είναι ε x = dû dˆx = ˆd 2x ˆd 1x L (3.87) όπου οι (3.85) και (3.86) χρησιμοποιήθηκαν για να προκύψει η εξίσωση (3.87) και η σχέση τάσης/παραμόρφωσης (3.79). ΒΗΜΑ 4. Αντλήστε το μητρώο δυσκαμψίας του στοιχείου και καταστρώστε τις εξισώσεις. Το μητρώο δυσκαμψίας του στοιχείου προκύπτει ως εξής. Από τη στοιχειώδη μηχανική έχουμε T = Aσ x. (3.88) Χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις (3.87) και (3.79) στην (3.88) έχουμε ( ˆd2x T = AE ˆd ) 1x. (3.89) L Ακόμα από το πρόσημο της δύναμης που ασκείται στους κόμβους στο Σχήμα 3.23, ˆf 1x = T. (3.90)

115 106 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Όταν αντικαθιστούμε την (3.89) στην (3.90) γίνεται ˆf 1x = AE L ( ˆd 1x ˆd 2x ). (3.91) Ομοίως, ˆf 2x = T. (3.92) Αλλιώς από την (3.89) η (3.92) γίνεται ˆf 2x = AE L ( ˆd 1x ˆd 2x ). (3.93) Εκφράζοντας τις (3.91) και (3.93) μαζί σε μορφή μητρώου έχουμε { ˆf1x ˆf 2x } = AE L [ ] { } 1 1 ˆd1x. (3.94) 1 1 ˆd 2x Τώρα, λόγω ˆf = ˆk ˆd έχουμε από την (3.94) ˆk = AE [ ] 1 1. (3.95) L 1 1 Η εξίσωση (3.95) αποτελεί το μητρώο δυσκαμψίας για στοιχείο ράβδου σε τοπικές συντεταγμένες. Στην (3.95) ο λόγος AE/L για ένα στοιχείο ράβδου είναι ανάλογος της σταθεράς ελατηρίου k για ένα στοιχείο ελατηρίου. ΒΗΜΑ 5. Συγκεντρώστε τις εξισώσεις στοιχείου για να λάβετε τις καθολικές ή τοπικές εξισώσεις. Συγκεντρώστε τα μητρώα καθολικής δυσκαμψίας και δύναμης και τις καθολικές εξισώσεις χρησιμοποιώντας την άμεση μέθοδο δυσκαμψίας που περιγράφεται στα Παράγραφα για παράδειγμα στήριξης. Αυτό το βήμα ισχύει για δομές που αποτελούνται από περισσότερα από ένα στοιχεία και έχομε K = [K] = N k (e) and F = F = e=1 N f (e). (3.96) e=1 Τώρα όλα τα τοπικά μητρώα δυσκαμψίας ˆk πρέπει να μετατραπούν σε καθολικά μητρώα στοιχείου k (εκτός αν οι τοπικοί άξονες συμπίπτουν με τους καθολικούς) πριν η άμεση μέθοδος δυσκαμψίας εφαρμοστεί όπως δείχνεται στην (3.96).

116 3.3. ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ Στοιχεία 1 & 2 E = 30 x 10 6 A = x Στοιχεἰο 3 E = 15 x 10 6 A = 2 Σχήμα 3.25: Συναρμογή τριών ράβδων. ΒΗΜΑ 6. Λύστε ως προς τις κομβικές μετατοπίσεις. Προσδιορίστε τις μετατοπίσεις εισάγοντας συνοριακές συνθήκες και ταυτόχρονα λύνοντας ένα σύστημα εξισώσεων, F = kd. ΒΗΜΑ 7. Λύστε ως προς τις δυνάμεις των στοιχείων. Τέλος, προσδιορίστε τα στελέχη και τις τάσεις σε κάθε στοιχείο με αντικατάσταση προς τα πίσω των μετατοπίσεων σε εξισώσεις παρόμοιες με τις (3.87) και (3.79). Θα δείξουμε τώρα τη λύση για ένα μονοδιάστατο πρόβλημα ράβδου. Παράδειγμα Για τη συναρμογή των τριών ράβδων που φαίνονται στο Σχήμα 3.25 υπολογίστε (α) το καθολικό μητρώο δυσκαμψίας, (β) τη μετατόπιση των κόμβων 2 και 3 και (γ) τις αντιδράσεις στους κόμβους 1 και 4. Μια δύναμη 3000 ασκείται στη διεύθυνση του άξονα x στον κόμβο 2. Το μήκος του κάθε στοιχείου είναι 30 cm. Ισχύουν E = N/cm 2 και A = 1cm 2 για τα στοιχεία 1 και 2, και ισχύει E = N/cm 2 και A = 2cm 2 για το στοιχείο 3. Οι κόμβοι 1 και 4 είναι σταθεροί. (α) Χρησιμοποιώντας την (3.95), βρίσκουμε ότι τα μητρώα δυσκαμψίας των

117 108 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ στοιχείων είναι k (1) = k (2) = (1)(30 [ ] [ ] 106 ) = k (3) = (2)(15 [ ] [ ] 106 ) = (3.97) όπου, πάλι, οι εκθέτες των μητρώων στην (3.97) δείχνουν τον αριθμό του στοιχείου στο οποίο αντιστοιχεί κάθε μητρώο. Συγκεντρώνοντας τα μητρώα δυσκαμψίας των στοιχείων με την άμεση μέθοδο δυσκαμψίας, παίρνουμε το καθολικό μητρώο δυσκαμψίας k 1 k K = k 1 k 1 + k 2 k k 2 k 2 + k 3 k k 3 k 3 Συνεπώς αντικαθιστώντας τις τιμές έχουμε K = (3.98) Εφόσον F 1x = F 2x = F 3x = F 4x = (1) ˆf 1x, (1) ˆf 2x + (2) ˆf 3x + (3) ˆf 4x (2) ˆf 2x, ˆf (3) 3x, η εξίσωση (3.98) συνδέει τις καθολικές κομβικές δυνάμεις με τις καθολικές κομβικές μετατοπίσεις ως εξής: F 1x d 1x F 2x = d 2x F 3x (3.99) d 3x F 4x d 4x

118 3.3. ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ 109 Επικαλούμενοι τις συνοριακές συνθήκες, έχουμε d 1x = 0, d 4x = 0. (3.100) Χρησιμοποιώντας τις συνοριακές συνθήκες, αντικαθιστώντας γνωστές εφαρμοσμένες καθολικές δυνάμεις στην εξίσωση (3.99), και διαχωρίζοντας τις εξισώσεις 1 και 4 από την (3.99), λύνουμε τις εξισώσεις 2 και 3 της (3.99) για να πάρουμε { } [ ] { 2 1 = 10 6 d2x 1 1 d 3x Λύνοντας την (3.101) προκύπτουν οι τιμές των μετατοπίσεων }. (3.101) d 2x = 0.002, d 3x = (3.102) Στην συνέχεια αντικαθιστώντας τις (3.100) και (3.102) στην (3.99), θα πάρουμε τις καθολικές κομβικές δυνάμεις, οι οποίες περιλαμβάνουν τις αντιδράσεις στους κόμβους 1 και 4, ως εξής: Συνεπώς F 1x F 2x F 3x F 4x = F 1x F 2x F 3x F 4x = (3.103) Τα αποτελέσματα των (3.103) δείχνουν ότι το σύνολο των αντιδράσεων F 1x και F 4x είναι ίσες σε μέγεθος αλλά με αντίθετη κατεύθυνση στην εφαρμοζόμενη κομβική δύναμη 3000 Ν στον κόμβο 2. Έτσι επαληθεύεται η ισορροπία στη συναρμογή των ράβδων. Επιπλέον οι (3.103) δείχνουν ότι F 2x = 3000 και F 3x = 0 είναι απλά οι δυνάμεις που εφαρμόζονται στους κόμβους 2 και 3, αντίστοιχα, πράγμα που ενισχύει ακόμα περισσότερο την ορθότητα της λύσης Επιλογή των προσεγγιστικών συναρτήσεων για μετατοπίσεις Ακολουθείστε τις παρακάτω οδηγίες, καθώς έχουν σχέση με το στοιχείο ράβδου μιας διάστασης, κατά την επιλογή συνάρτησης μετατόπισης.

119 110 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Οι κοινές συναρτήσεις προσέγγισης είναι συνήθως πολυώνυμα όπως το απλούστερο όλων που δείχνει τη γραμμική μεταβολή της μετατόπισης και δίνεται στην (3.83) ή εναλλακτικά στην (3.85), όπου η συνάρτηση εκφράζεται σε όρους συνάρτησης σχήματος. Η προσεγγιστική λειτουργία πρέπει να είναι συνεχής μέσα στο στοιχείο ράβδου. Η απλή γραμμική εξίσωση για το u της (3.83) σίγουρα είναι συνεχής μέσα στο στοιχείο. Ως συνέπεια, η γραμμική συνάρτηση αποδίδει συνεχείς τιμές του u μέσα στο στοιχείο και αποτρέπει ανοίγματα, επικαλύψεις και υπερπηδήσεις λόγω της συνεχούς και ομαλής μεταβολής στο u. Η προσεγγιστική συνάρτηση θα πρέπει να παρέχει μεταξύ των στοιχείων συνέχεια για όλους τους βαθμούς ελευθερίας σε κάθε κόμβο για διακριτά στοιχεία γραμμής και κατά μήκος των κοινών οριακών γραμμών και επιφανειών για δισδιάστατα και τρισδιάστατα στοιχεία. Για το στοιχείο ράβδου, πρέπει να διασφαλίσουμε ότι οι κόμβοι ταυτίζονται σε δύο ή περισσότερα στοιχεία και παραμένουν κοινοί σε αυτά τα στοιχεία κατά την παραμόρφωση και έτσι να αποφευχθούν επικαλύψεις ή κενά μεταξύ των στοιχείων. Για παράδειγμα, παρατηρείστε τη συναρμογή των δύο ράβδων που φαίνεται στο Σχήμα Για τη συναρμογή δύο ράβδων, η γραμμική λειτουργία για το û (3.84) μέσα σε κάθε στοιχείο θα διασφαλίσει ότι τα στοιχεία 1 και 2 παραμένουν συνδεδεμένα η μετατόπιση στον κόμβο 2 για το στοιχείο 1 θα ισοδυναμεί με τη μετατόπιση στον ίδιο (1) (2) τον κόμβο 2 για το στοιχείο 2 αυτό είναι ˆd 2x = ˆd 2x. Η γραμμική συνάρτηση σε αυτή την περίπτωση καλείται σύμφωνη ή συμβατή λειτουργία για στοιχείο ράβδου, επειδή διασφαλίζει την ικανοποίηση τόσο της συνέχειας μεταξύ γειτονικών στοιχείων, όσο και της εντός του στοιχείου. Γενικά, το σύμβολο C m χρησιμοποιείται για να περιγράψει τη συνέχεια ενός τμηματικού πεδίου (όπως μια αξονική μετατόπιση), όπου ο εκθέτης m δείχνει το βαθμό της παραγώγου που είναι μεταξύ των στοιχείων συνεχής. Ένα πεδίο είναι C 0 συνεχές εάν η συνάρτηση από μόνη της είναι μεταξύ των στοιχείων συνεχής. Για παράδειγμα, για το μεταβλητό πεδίο είναι η αξονική μετατόπιση που απεικονίζεται στο Σχήμα 3.26, η μετατόπιση είναι συνεχής κατά μήκος του κοινού κόμβου 2. Ως εκ τούτου το πεδίο μετατόπισης λέγεται ότι είναι C 0 συνεχές. Στοιχεία ράβδου, επίπεδα στοιχεία και στερεά στοιχεία είναι C 0, στοιχεία που επιβάλλουν τη συνέχεια της μετατόπισης κατά μήκος κοινών συνόρων. Εάν η συνάρτηση έχει ταυτοχρόνως μεταβλητό πεδίο και η πρώτη της παράγωγο συνεχής

120 3.3. ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ 111 u 1 = ˆd 2x ˆd 1x L ˆx + ˆd 1x u 2 = ˆd 3x ˆd 2x ˆx + ˆd L 2x ˆd (1) 1x ˆd (1) 2x ˆd (2) 2x 1 2 ˆd (2) 3x 1 L 2 L 3 ˆx Σχήμα 3.26: Συνέχεια μεταξύ των στοιχείων για συναρμογή δύο ράβδων. κατά μήκος κοινού ορίου, τότε το μεταβλητό πεδίο λέγεται C 1 συνεχές. Αργότερα θα δούμε ότι το στοιχείο δοκού και το στοιχείο πλακιδίου είναι C 1 συνεχή. Αυτό σημαίνει ότι εφαρμόζεται συνέχεια μετατόπισης και κλίσης κατά μήκος κοινών συνόρων. Η προσεγγιστική συνάρτηση θα επιτρέψει τη μετατόπιση ενός άκαμπτου σώματος και για μια κατάσταση διαρκούς στελέχους μέσα στο στοιχείο. Η μονοδιάστατη συνάρτηση μετατόπισης (3.83) πληρεί αυτά τα κριτήρια επειδή ο όρος a 1 επιτρέπει την κίνηση άκαμπτου σώματος (συνεχής κίνηση του σώματος χωρίς παραμόρφωση) και ο όρος a 2ˆx επιτρέπει τη συνεχή παραμόρφωση, επειδή ε x = dû/dˆx = a 2 είναι μια σταθερά. (Αυτή η κατάσταση συνεχούς παραμόρφωσης στο στοιχείο μπορεί στην πραγματικότητα να συμβεί εάν τα στοιχεία είναι επιλεγμένα αρκετά μικρά.) Το απλό πολυώνυμο (3.83) που καλύπτει την τέταρτη κατευθυντήρια γραμμή τότε λέγεται ότι είναι πλήρες για το στοιχείο ράβδου. Η ιδέα της πληρότητας επίσης σημαίνει σε γενικές γραμμές ότι ο όρος κατώτερης τάξης δεν μπορεί να παραληφθεί υπέρ του όρου υψηλότερης τάξης. Για την απλή γραμμική συνάρτηση, αυτό σημαίνει ότι το a 1 δεν μπορεί να παραληφθεί ενώ κρατάμε το a 2ˆx. Η πληρότητα μιας συνάρτησης είναι απαραίτητος

121 112 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Μετατόπιση Ακριβής λύση Αριθμός στοιχείων Σύγκλιση σε ακριβή λύση Σχήμα 3.27: Σύγκλιση προς την ακριβή λύση για μετατόπιση, καθώς ο αριθμός στοιχείων μιας πεπερασμένης λύσης στοιχείου αυξάνεται. όρος για τη σύγκλιση προς την ακριβή λύση, για παράδειγμα, για μετατοπίσεις και τάσεις (Σχήμα 3.27) (βλέπε αναφορά [3]). Το Σχήμα 3.27 απεικονίζει μονότονη σύγκλιση προς μια ακριβή λύση για τη μετατόπιση, καθώς ο αριθμός των στοιχείων σε μια λύση πεπερασμένου στοιχείου αυξάνεται. Η μονότονη σύγκλιση είναι τότε η διαδικασία στην οποία οι διαδοχικές προσεγγιστικές λύσεις (λύσεις πεπερασμένων στοιχείων) προσεγγίζουν την ακριβή λύση με συνέπεια χωρίς να αλλάζει το πρόσημο ή η κατεύθυνση. Η ιδέα ότι η συνάρτηση παρεμβολής (προσεγγιστική) πρέπει να επιτρέπει σε ένα άκαμπτο σώμα να μετατοπίζεται σημαίνει ότι η συνάρτηση θα πρέπει να είναι ικανή να αποδώσει μια σταθερή τιμή (ας πούμε a 1 ), επειδή μια τέτοια τιμή μπορεί, στην πραγματικότητα, να υπάρχει. Ως εκ τούτου πρέπει να εξετάσουμε την υπόθεση û = a 1 (3.104)

122 3.3. ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ 113 Για u = a 1 επιβάλλονται κομβικές μετατοπίσεις d 1x = d 2x για να πετύχουμε μια μετατόπιση άκαμπτου σώματος. Επομένως Χρησιμοποιώντας την (3.105) στην (3.85), έχουμε Από τις (3.104) και (3.106), έχουμε Συνεπώς, παίρνουμε a 1 = ˆd 1x = ˆd 2x (3.105) û = N 1 ˆd1x + N 2 ˆd2x = (N 1 + N 2 )a 1. (3.106) û = a 1 = (N 1 + N 2 )a 1. N 1 + N 2 = 1. (3.107) Έτσι η (3.107) δείχνει ότι οι εξισώσεις παρεμβολής μετατόπισης πρέπει να προστεθούν στην ενότητα κάθε σημείου μέσα στο στοιχείο, έτσι ώστε στο u να αποδοθεί μια σταθερή τιμή όταν υφίσταται μετατόπιση άκαμπτου σώματος Αλλαγή συστήματος συντεταγμένων σε διδιάστατα προβλήματα Σε πολλά προβλήματα είναι βολικό να εισάγουμε τοπικές και καθολικές (ή αναφοράς) συντεταγμένες. Οι τοπικές συντεταγμένες επιλέγονται πάντα ώστε να εκφράζουν το ξεχωριστό στοιχείο κατάλληλα. Οι καθολικές συντεταγμένες επιλέγονται ώστε να είναι κατάλληλες για όλη την κατασκευή. Με δεδομένη την κομβική μετατόπιση ενός στοιχείου, που συμβολίζεται από το διάνυσμα d στο Σχήμα 3.28, θέλουμε να συνδέσουμε τις συνιστώσες αυτού του διανύσματος σ ένα σύστημα συντεταγμένων με τις συνιστώσες ενός άλλου. Για γενικές χρήσεις, θα υποθέσουμε σ αυτή την ενότητα ότι το d δεν συμπίπτει ούτε με τον τοπικό ούτε με τον καθολικό άξονα. Σ αυτήν την περίπτωση, θέλουμε να συσχετίσουμε τις καθολικές συνιστώσες μετατόπισης με τις τοπικές. Κάνοντας αυτό, θα αναπτύξουμε ένα μητρώο μετατροπής που στη συνέχεια θα χρησιμοποιηθεί για να επεξηγήσει το καθολικό μητρώο δυσκαμψίας για ένα στοιχείο ράβδου. Ορίζουμε τη γωνία ως θετική όταν μετριέται αριστερόστροφα από το x στο ˆx. Μπορούμε να εκφράσουμε τη μετατόπιση διανύσματος d στις καθολικές και τοπικές συντεταγμένες με d = d x i + d y j = ˆd x î + ˆd y ĵ (3.108)

123 114 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Σχήμα 3.28: Διάνυσμα d και διάφορα συστήματα αναφοράς. Όπου i και j είναι τα μοναδιαία διανύσματα στις καθολικές κατευθύνσεις x και y και τα î και ĵ είναι τα μοναδιαία διανύσματα στις τοπικές κατευθύνσεις ˆx και ŷ. Τώρα θα συσχετίσουμε τα i και j με τα î και ĵ με τη χρήση του Σχήματος Χρησιμοποιώντας το Σχήμα 3.29 και το άθροισμα διανύσματος παίρνουμε a + b = i (3.109) Επίσης από το νόμο των συνημίτονων, a = i cos θ. και επειδή το i είναι εξ ορισμού μοναδιαίο διάνυσμα, i = 1 έχουμε a = cos θ. Παρομοίως b = sin θ. Τώρα το a είναι στην κατεύθυνση ^i και το b είναι στην κατεύθυνσ ĵ. Άρα, a = a î, b = b ( ĵ). (3.110) Χρησιμοποιώντας τις (3.110) στην (3.109) έχουμε απόδοση i = cos θî sin θĵ. (3.111)

124 3.3. ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ 115 Σχήμα 3.29: Σχέση ανάμεσα στα μοναδιαία διανύσματα ορθογώνιων συστημάτων αναφοράς. Παρομοίως, από το Σχήμα 3.29 παίρνουμε a + b = j, (3.112) a = cos θĵ, (3.113) b = sin θî. (3.114) Τώρα, χρησιμοποιώντας τις (3.113) και (3.114) στη (3.112) έχουμε j = sin θî + cos θĵ. (3.115) Ενώ, χρησιμοποιώντας τις (3.111) και (3.115) στην (3.108) έχουμε d x (cos θî sin θĵ) + d y(sin θî + cos θĵ) = ˆd x î + ˆd y ĵ. Συνεπώς συνδυάζοντας παρόμοιους συντελεστές του î και του ĵ παίρνουμε d x cos θ + d y sin θ = ˆd x, d x sin θ + d y cos θ = ˆd y (3.116) Σε μητρωική μορφή, οι (3.116) γράφονται ως { ˆdx ˆd y } = [ C ] { S dx S C d y }, (3.117)

125 116 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ όπου C = cos y και S = sin y. Η (3.117) συνδέει την καθολική μετατόπιση d με την τοπική μετατόπιση ˆd. Το μητρώο [ ] C S S C ονομάζεται μητρώο μετατροπής (ή περιστροφής). Τώρα, για την περίπτωση του ˆd y = 0, έχουμε, από την (3.108), d x i + d y j = ˆd x î Ολικός πίνακας δυσκαμψίας Θέλουμε να βρούμε έναν πίνακα k τέτοιον ώστε f 1x f 1y f 2x f 2y = k d 1x d 1y d 2x d 2y (3.118) ή, σε απλοποιημένη μορφή πίνακα η (3.118) γίνεται f = kd (3.119) Παρατηρούμε από την (3.118) ότι ένα σύνολο τεσσάρων συνιστωσών ισχύος και τεσσάρων μετατόπισης προκύπτουν όταν χρησιμοποιούνται καθολικές συντεταγμένες. Ωστόσο, ένα σύνολο δύο συνιστωσών ισχύος και δύο μετατόπισης εμφανίζονται για την παράσταση της τοπικής συντεταγμένης ενός ελατηρίου ή μιας ράβδου. Χρησιμοποιώντας σχέσεις ανάμεσα στις συνιστώσες τοπικής και καθολικής ισχύος και ανάμεσα στις συνιστώσες τοπικής και καθολικής μετατόπισης θα είμαστε σε θέση να πάρουμε τον καθολικό πίνακα δυσκαμψίας. Γνωρίζουμε από την (3.116) σχέσης μετατροπής ότι ˆd 1x = d 1x cos θ + d 1y sin θ, ˆd2x = d 2x cos θ + d 2y sin θ. (3.120) Σε μορφή πίνακα, η (3.120) μπορεί να αποδοθεί ως εξής { } [ ] d 1x ˆd1x C S 0 0 d = 1y ˆd 2x 0 0 C S d 2x d 2y

126 3.3. ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ 117 ή ως ˆd = T d (3.121) όπου { ˆf1x T = } = ˆf 2x [ ] C S 0 0. (3.122) 0 0 C S Παρομοίως, επειδή οι δυνάμεις μετατρέπονται κατά τον ίδιο τρόπο όπως οι μετατοπίσεις, έχουμε ] [ C S C S f 1x f 1y f 2x f 2y. (3.123) Χρησιμοποιώντας την (3.122) μπορούμε να γράψουμε την (3.123) ως ˆf = T f. (3.124) Τώρα, αντικαθιστώντας την (3.121) στην ˆf = ˆk ˆd παίρνουμε ˆf = ˆkT d (3.125) και χρησιμοποιώντας την (3.124) στην (3.125) παράγουμε T f = ˆkT d. (3.126) Ωστόσο, για να γράψουμε την τελική έκφραση που σχετίζει τις καθολικές κομβικές δυνάμεις με τις καθολικές κομβικές μετατοπίσεις για ένα στοιχείο, πρέπει να αντιστρέψουμε το T στην (3.126). Αυτό δεν είναι άμεσα δυνατό επειδή το T δεν είναι ένας τετράγωνος πίνακας. Επομένως, πρέπει να επεκτείνουμε ˆd, ˆf, και ˆk στο βαθμό που είναι σύμφωνος με τη χρήση των καθολικών συντεταγμένων ακόμη κι αν τα f 1y και f 2y είναι μηδέν. Χρησιμοποιώντας την (3.117) για κάθε κομβική μετατόπιση, παίρνουμε ˆd 1x ˆd 1y ˆd 2x ˆd 2y C S 0 0 = S C C S 0 0 S C d 1x d 1y d 2x d 2y ή ˆd = T d, (3.127)

127 118 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ όπου Παρόμοια, μπορούμε να γράψουμε C S 0 0 T = S C C S. (3.128) 0 0 S C ˆf = T f (3.129) επειδή οι δυνάμεις είναι όπως οι μετατοπίσεις και οι δύο είναι διανύσματα. Επίσης, το ˆk πρέπει να επεκταθεί σ έναν πίνακα 4 4. Επομένως, η (3.94) σε εκτεταμένη μορφή γίνεται ˆf 1x ˆf 1y ˆf 2x ˆf 2y = AE L ˆd 1x ˆd 1y ˆd 2x ˆd 2y (3.130) Στην (3.130), επειδή τα f 1y και f 2y είναι μηδενικά, σειρές από μηδενικά που αντιστοιχούν στους αριθμούς σειράς f 1y και f 2y εμφανίζονται στο ˆk. Τώρα, χρησιμοποιώντας τις (3.127) και (3.129) στην ˆf = ˆk ˆd, παίρνουμε T f = ˆkT d. (3.131) Πολλαπλασιάζοντας από πριν και τα δύο μέρη της (3.131) με το T 1, έχουμε f = T 1ˆkT d, (3.132) όπου T 1 είναι το αντίστροφο του T. Ωστόσο, μπορεί να αποδειχτεί ότι T 1 = T T, (3.133) όπου το T T είναι η αλλαγή θέσης / μετάθεση του T. Η ιδιότητα των τετράγωνων πινάκων όπως ο T που δίνεται από την (3.133) ορίζει τον T ως ορθογώνιο πίνακα. Για περισσότερα σχετικά με τους ορθογώνιους πίνακες, δες το Παράρτημα A ([10]). Ο πίνακας μετατροπής T μεταξύ των ορθογωνίων πλαισίων συντεταγμένων είναι ορθογώνιος. Αυτή η ιδιότητα του T χρησιμοποιείται παντού σ αυτό το κείμενο. Αντικαθιστώντας την (3.133) με την (3.132), παίρνουμε f = T T kt d. (3.134)

128 3.4. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΤΑΣΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΡΑΒΔΟ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ X Y119 Εξισώνοντας τις (3.119) και (3.134), παίρνουμε τον καθολικό πίνακα δυσκαμψίας για ένα στοιχείο ως k = T T ˆkT. (3.135) Αντικαθιστώντας την (3.128) για το T και τη διευρυμένη μορφή του k που δίνεται στην (3.130) με την (3.135), παίρνουμε k που δίνεται σε συγκεκριμένη μορφή έτσι k = AE L C 2 CS C 2 CS S 2 CS S 2 C 2 CS Συμμετρία S 2. (3.136) Τώρα, επειδή η λειτουργική (3.83) δοκιμαστικής μετατόπισης θεωρήθηκε τμηματικά συνεχής ανά στοιχείο, ο πίνακας δυσκαμψίας για κάθε στοιχείο μπορεί να συνοψιστεί χρησιμοποιώντας τη μέθοδο άμεσης δυσκαμψίας για να πάρουμε N k (e) = K, e=1 όπου K είναι ο πίνακας συνολικής δυσκαμψίας και είναι ο συνολικός αριθμός των στοιχείων. Ομοίως, κάθε πίνακας στοιχείου καθολικής κομβικής ισχύος μπορεί να συνοψιστεί έτσι N f (e) = F. e=1 Το K τώρα συνδέει τις καθολικές κομβικές δυνάμεις F με τις καθολικές κομβικές μετατοπίσεις d για ολόκληρη την κατασκευή με F = Kd. 3.4 Υπολογισμός της Τάσης για μια Ράβδο στο Επίπεδο x y Θα εξετάσουμε τώρα τον προσδιορισμό της τάσης σ ένα στοιχείο ράβδου. Για μια ράβδο, οι τοπικές δυνάμεις σχετίζονται με τις τοπικές μετατοπίσεις από την (3.94) ή την (3.130). Αυτή η εξίσωση επαναλαμβάνεται εδώ για ευκολία. Ο συνήθης ορισμός της αξονικής τάσης εφελκυσμού (αντοχής) είναι η ισχύς του άξονα διαιρεμένη με το εμβαδόν διατομής. Επομένως, η τάση του άξονα

129 120 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Σχήμα 3.30: Βασικό στοιχείο ράβδου με θετικές διευθύνσεις των επικόμβιων δυνάμεων σε τοπικό σύστημα αναφοράς. είναι σ = ˆf 2x A, (3.137) όπου το ˆf 2x χρησιμοποιείται επειδή είναι η αξονική ισχύς που ασκεί δύναμη στη ράβδο όπως φαίνεται στο Σχήμα Με την (3.94), ˆf 2x = AE { } ˆd1x L [ 1 1]. (3.138) ˆd 2x Επομένως, συνδυάζοντας τις (3.137) και (3.138) έχουμε σ = E [ 1 1] ˆd. L Τώρα, χρησιμοποιώντας την (3.121), παίρνουμε σ = E L [ 1 1]T d (3.139) Η εξίσωση (3.139) μπορεί να εκφραστεί σε απλούστερη μορφή ως σ = C d, (3.140)

130 3.4. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΤΑΣΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΡΑΒΔΟ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ X Y121 όπου, όταν χρησιμοποιούμε την (3.122) C = E [ ] C S 0 0 L [ 1 1] 0 0 C S Παράδειγμα επίλυσης δικτυώματος Θα δείξουμε τώρα τη χρήση των εξισώσεων που αναπτύχθηκαν μαζί με τη μέθοδο συναρμολόγησης άμεσης δυσκαμψίας του συνολικού μητρώου δυσκαμψίας και των εξισώσεων για να λύσουμε τα ακόλουθα παραδείγματα προβλημάτων επίπεδης στήριξης. Η επίπεδη στήριξη είναι μια κατασκευή που αποτελείται από στοιχεία ράβδου που βρίσκονται όλα σ ένα κοινό επίπεδο και συνδέονται με καρφιά χωρίς τριβές. Η επίπεδη στήριξη πρέπει επίσης να έχει φορτία που δρουν μόνο στο κοινό επίπεδο και όλα τα φορτία πρέπει να εναποτίθενται στους κόμβους ή τους συνδέσμους. Παράδειγμα Για την επίπεδη στήριξη που αποτελείται από τα τρία στοιχεία (που φαίνονται στο Σχήμα 3.31) υποβαλλόμενα σε δύναμη προς τα κάτω των 10,000 Ν εφαρμοσμένη στον κόμβο 1, καθορίστε τις μετατοπίσεις x και y στον κόμβο 1 και τις πιέσεις σε κάθε στοιχείο. Έστω E = N/cm 2 και A = 2 cm 2 για όλα τα στοιχεία. Τα μήκη των στοιχείων φαίνονται στο σχήμα. Πρώτα, καθορίζουμε τα καθολικά μητρώα δυσκαμψίας για κάθε στοιχείο χρησιμοποιώντας την (3.136). Αυτό απαιτεί καθορισμό της γωνίας θ ανάμεσα στον καθολικό άξονα x και τον τοπικό άξονα ˆx για κάθε στοιχείο. Σ αυτό το παράδειγμα, η κατεύθυνση του άξονα ˆx για κάθε στοιχείο λαμβάνεται στην κατεύθυνση από τον κόμβο 1 στον άλλο κόμβο. Η αρίθμηση των κόμβων είναι αυθαίρετη για κάθε στοιχείο. Ωστόσο, από τη στιγμή που επιλεχθεί η κατεύθυνση, η γωνία θ ορίζεται ως θετική όταν μετριέται αριστερόστροφα από το θετικό x στο ˆx. Για το στοιχείο 1, ο τοπικός άξονας ˆx έχει κατεύθυνση από τον κόμβο 1 στον κόμβο 2 επομένως, θ (1) = Για το στοιχείο 2, ο τοπικός άξονας ˆx έχει κατεύθυνση από τον κόμβο 1 στον κόμβο 3 και θ (2) = Για το στοιχείο 3, ο τοπικός άξονας ˆx έχει κατεύθυνση από τον κόμβο 1 στον κόμβο 4 και θ (3) = 0 0. Βολεύει να φτιάξουμε τον Πίνακα 3.2 για να μας βοηθήσει στον καθορισμό κάθε μητρώου δυσκαμψίας του στοιχείου. Υπάρχει ένα σύνολο από οκτώ κομβικές συνιστώσες μετατόπισης ή βαθμούς ελευθερίας, για τη στήριξη πριν επιβληθούν περιοριστικά όρια. Έτσι το μέγεθος του μητρώου συνολικής δυσκαμψίας πρέπει να είναι 8 8. Θα μπορούσαμε λοιπόν να επεκτείνουμε το μητώο k για κάθε στοιχείο στο βαθμό 8 8 προσθέτοντας γραμμές και στήλες από μηδενικά στοιχεία όπως εξηγήθηκε στο πρώτο μέρος της Ενότητας 2.4

131 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ o 1 45 o Σχήμα 3.31: Επίπεδη στήριξη. Στοιχείο θ 0 C S C 2 S 2 CS /2 2/2 1/2 1/2 1/ Πίνακας 3.2: Δεδομένα για τη στήριξη του Σχήματος 3-14.

132 3.4. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΤΑΣΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΡΑΒΔΟ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ X Y123 ([10]). Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε να προσδιορίσουμε τις γραμμές και τις στήλες κάθε μητρώου δυσκαμψίας του στοιχείου σύμφωνα με τις συνιστώσες μετατόπισης που συνδέονται μ αυτό όπως εξηγήθηκε στο τελευταίο μέρος της Ενότητας 2.4 ([10]). Χρησιμοποιώντας αυτή την τελευταία προσέγγιση, φτιάχνουμε το μητρώο ολικής δυσκαμψίας K απλά προσθέτοντας όρους από τα μητρώα δυσκαμψίας των μεμονωμένων στοιχείων στις αντίστοιχες θέσεις τους στο K. Αυτή η προσέγγιση θα χρησιμοποιηθεί εδώ και σε όλο αυτό το κείμενο. Για το στοιχείο 1, χρησιμοποιώντας την (3.136) μαζί με το μητρώο 3.2 για τα συνημίτονα κατεύθυνσης, παίρνουμε k (1) = (30x106 )(2) (3.141) Παρομοίως, για το στοιχείο 2, έχουμε k (2) = (30x106 )(2) 120x (3.142) Και για το στοιχείο 3, έχουμε k (3) = (30x106 )(2) (3.143) Ο κοινός παρανομαστής του ( )/120 = 500, 000 μπορεί να ληφθεί από καθεμιά από τις (3.141)-(3.143).

133 124 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Για το μητρώο ολικής δυσκαμψίας έχουμε K = k (1) 11 k (1) 12 k (1) 13 k (1) k (1) 21 k (1) 22 k (1) 23 k (1) k (1) 31 k (1) 32 k (1) 33 k (1) k (1) 41 k (1) 42 k (1) 43 k (1) k (3) 11 k (3) k (3) 13 k (3) 14 k (3) 21 k (3) k (3) 23 k (3) k (3) 31 k (3) k (3) 33 k (3) 34 k (3) 41 k (3) k (3) 43 k (3) k (2) 13 k (2) k (2) 23 k (2) k (2) k (2) 33 k (2) k (2) k (2) 43 k (2) k (2) 11 k (2) k (2) 21 k (2) k (2) k (2) Αφού προσθέσουμε όρους από τα μητρώα δυσκαμψίας μεμονωμένων στοιχείων στις αντίστοιχες θέσεις τους στο K, παίρνουμε το μητρώο ολικής δυσκαμψίας ως K = (500000) (3.144) Το καθολικό μητrώο K, (3.144), συνδέει τις καθολικές δυνάμεις με τις καθολικές μετατοπίσεις. Έτσι γράφουμε τις εξισώσεις δυσκαμψίας όλης της κατασκευής που αντιστοιχούν για την εφαρμοσμένη δύναμη στον κόμβο 1 και τα

134 3.4. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΤΑΣΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΡΑΒΔΟ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ X Y125 περιοριστικά όρια στους κόμβους 2-4 ως ακολούθως: F 2x F 2y F 3x F 3y F 4x F 4y = (500000) d 1x d 1y d 2x = 0 d 2y = 0 (3.145) d 3x = 0 d 3y = 0 d 4x = 0 d 4y = 0 Θα μπορούσαμε τώρα να χρησιμοποιήσουμε το σχέδιο διαμερισμού που περιγράψαμε στο πρώτο μέρος της Ενότητας 2.5 ([10]) για να πάρουμε τις εξισώσεις που χρησιμοποιούνται για να καθορίσουν τις άγνωστες μετατοπίσεις d 1x και d 1y δηλαδή να διαχωρίσουμε τις δύο πρώτες εξισώσεις από την τρίτη μέσω της όγδοης στην (3.145). Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε να αφαιρέσουμε τις γραμμές και στήλες στο μητρώο ολικής δυσκαμψίας που αντιστοιχούν σε μηδενικές μετατοπίσεις όπως περιγράφτηκε προηγουμένως στο τελευταίο μέρος της Ενότητας 2.5 ([10]). Εδώ θα χρησιμοποιήσουμε την τελευταία προσέγγιση, δηλαδή θα αφαιρέσουμε τις γραμμές και τη στήλη 3-8 στην (3.145) επειδή αυτές οι γραμμές και στήλες αντιστοιχούν σε μηδενικές μετατοπίσεις. Παίρνουμε λοιπόν { } } = (500000) [ ] { d1x d 1y (3.146) Η εξίσωση (3.146) μπορεί τώρα να λυθεί για τις μετατοπίσεις πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές της μητρωικής με το αντίστροφο μητρώο δυσκαμψίας 2 2 ή λύνοντας και τις δύο εξισώσεις ταυτόχρονα. Χρησιμοποιώντας οποιαδήποτε από τις δύο διαδικασίες για τη λύση αποδίδει τις εξής μετατοπίσεις: d 1x = , d 1y =

135 126 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Το αρνητικό πρόσημο στο αποτέλεσμα d 1y δείχνει πως η συνιστώσα μετατόπισης στην κατεύθυνση y στον κόμβο 1, είναι σε κατεύθυνση αντίθετη απ αυτή της θετικής κατεύθυνσης y που βασίζεται σε υποθετικές καθολικές συντεταγμένες, δηλαδή μια μετατόπιση προς τα κάτω συμβαίνει στον κόμβο 1. Χρησιμοποιώντας την (3.140) και τον Πίνακα 3.2 προσδιορίζουμε τις πιέσεις σε κάθε στοιχείο ως ακολούθως: σ (1) = σ (2) = σ (3) = [ ] [ [ ] d 1x = d 1y = d 2x = 0 d 2y = ] 2 2 d 1x = d 1y = d 4x = 0 d 4y = 0 = 3965,, d 1x = d 1y = d 3x = 0 d 3y = 0 = = 1471, Επαληθεύουμε τώρα τα αποτελέσματά μας εξετάζοντας την ισορροπία δυνάμεων στον κόμβο 1, δηλαδή αθροίζοντας τις δυνάμεις στις καθολικές κατευθύνσεις x και y, παίρνουμε: 2 Fx = 0, 1471 (2 ) (1035 )(2 ) = 0, Fy = 0, 3965 (2) + (1471 )(2 ) = Πίνακας μετασχηματισμού και δυσκαμψίας για μια ράβδο στον τρισδιάστατο χώρο Θα παράγουμε το μητρώο μετασχηματισμού που είναι απαραίτητο για να πάρουμε την γενική δυσκαμψία της ράβδου αυθαίρετα τοποθετημένης στον τρισδιάστατο χώρο όπως φαίνεται στο Σχήμα Αφήνουμε τις συντεταγμένες του κόμβου 1 ως x 1,y 1 και z 1 και αυτές του κόμβου 2 ως x 2,y 2 και z 2. Επίσης αφήνουμε τις θ x, θ y, και θ z ως τις γωνίες μετρημένες από το γενικό

136 3.5. ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ ΓΙΑ 3-Δ ΡΑΒΔΟ127 σύστημα αξόνων x, y και z σε σχέση με τον τοπικό άξονα ˆx. Ο άξονας ˆx έχει διεύθυνση κατά μήκος των στοιχείων από το κόμβο 1 προς τον κόμβο 2. Σε αυτό το σημείο θα πρέπει να εξετάσουμε ότι το T είναι τέτοιο ώστε ˆd = T d. Ξεκινάμε την δημιουργία του T λαμβάνοντας το διάνυσμα ˆd = d εκφρασμένο στις τρεις διαστάσεις ως ˆd x î + ˆd y ĵ + ˆd z ˆk = dx î + d y ĵ + d z ˆk, (3.147) όπου τα î, ĵ και k είναι τα μοναδιαία διανύσματα για τους τοπικούς άξονες ˆx, ŷ και ẑ αντίστοιχα και τα i, j και k είναι τα μοναδιαία διανύσματα για τους γενικούς άξονες ˆx, ŷ και ẑ. Παίρνοντας το εσωτερικό γινόμενο της (3.147) με το î, έχουμε ˆd x = d x (î i) + d y(î j) + d z(î k), (3.148) και, συγκεκριμένα το εσωτερικό γινόμενο όπου και î i = x 2 x 1 L = C x, î j = y 2 y 1 L = C y, î k = z 2 z 1 L L = [(x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y1) 2 + (z 2 z 1 ) 2 ] 1/2 C x = cos θ x, C y = cos θ y, C z = cos θ z. = C z, (3.149) Σ αυτό το σημείο τα C x, C y, και C z είναι οι προβολές του î στα i, j και k αντίστοιχα. Επιπλέον χρησιμοποιούμε τις (3.149) στην (3.148) και έχουμε ˆd x = C x d x + C y d y + C z d z. (3.150) Για ένα διάνυσμα στο χώρο με κατεύθυνση κατά μήκος του άξονα ˆx η (3.150) δίνει τα στοιχεία του διανύσματος αυτού στις διευθύνσεις των γενικών συντεταγμένων x, y και z. Χρησιμοποιώντας την (3.150), μπορούμε να γράψουμε ˆd = T d στη γενική μορφή ως d 1x { } [ ] d 1y ˆd1x Cx C = y C z d 1z, ˆd 2x C x C y C z d 2x d 2y d 2z

137 128 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ^ y y 2 ^ x 1 x z ^ z Σχήμα 3.32: Η ράβδος σε τρισδιάστατο χώρο. όπου [ ] T Cx C = y C z C x C y C z (3.151) είναι το μητρώο μετασχηματισμού, που επιτρέπει το τοπικό μετατοπισμένο μητρώο ˆd να εκφραστεί υπό όρους όπως η μετατόπιση των στοιχείων στο γενικό σύστημα συντεταγμένων. Το γενικό μητρώο δυσκαμψίας (το μητρώο δυσκαμψίας για την οποία η δοκός εκφράζεται σε γενικές συντεταγμένες) δίνεται από τον γενικό τύπο k = ˆkT. Αυτή η εξίσωση τώρα θα χρησιμοποιηθεί για να εκφράσουμε τη γενική μορφή του μητρώου δυσκαμψίας μίας δοκού συγκεκριμένα οροθετημένης στον χώρο. Γενικά, πρέπει να διευρύνουμε το μητρώο μετασχηματισμού κατά τρόπο ανάλογο με αυτόν που αναπτύξαμε το T πριν. Ωστόσο, τα ίδια αποτελέσματα θα εξασφαλιστούν και εδώ με το να χρησιμοποιήσουμε το T, που καθορίστηκε στην (3.151) στη θέση του T. Στη συνέχεια καθορίζουμε το k με το να

138 3.5. ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ ΓΙΑ 3-Δ ΡΑΒΔΟ129 χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση k = (T ) T ˆkT ως εξής: C x 0 C y 0 [ ] [ ] k = C z 0 AE 1 1 Cx C y C z C x. (3.152) L C x C y C z 0 C y 0 C z Απλοποιώντας την (3.152) καθορίζουμε την αναλυτική μορφή του k ως Cx 2 C x C y C x C z Cx 2 C x C y C x C z k = AE Cy 2 C y C z C x C y Cy 2 C y C z Cz 2 C x C z C y C z C 2 z L Cx 2 C x C y C x C z. (3.153) Cy 2 C y C z Cz 2 Θα πρέπει να επαληθεύσουμε την (3.153). Αρχικά, αναπτύσσουμε τον T σε ένα 6 6 τετραγωνικό μητρώο με τρόπο τέτοιο που κάναμε στο Παράγραφο για την περίπτωση του διδιάστατου. Στη συνέχεια αναπτύσσουμε τον k σε ένα 6 6 μητρώο με το να προσθέσουμε τις κατάλληλες σειρές και στήλες μηδενικών στοιχείων (για τον ˆd z ) στην (3.130). Τέλος, πραγματοποιούμε το μητρώο τριπλού γινομένου k = T T ˆkT. Η εξίσωση (3.153) είναι η βασική μορφή του μητρώου δυσκαμψίας για μια αυθαίρετα ορισμένη δοκό στον τρισδιάστατο χώρο. Τώρα θα αναλύσουμε μια απλή στήριξη για να απεικονίσουμε την έννοια που αναπτύξαμε σ αυτό το κεφάλαιο. Θα δείξουμε ότι η μέθοδος άμεσης δυσκαμψίας αποτελεί μια απλή διαδικασία για την επίλυση προβλημάτων στήριξης Δυναμική ενεργειακή προσέγγιση για να καθορίσουμε τις στοιχειώδεις εξισώσεις ράβδου Θα χρησιμοποιήσουμε την αρχή της ελάχιστης δυναμικής ενέργειας για να καθορίσουμε τις στοιχειώδεις εξισώσεις ράβδου. Η συνολική δυναμική ενέργεια π p ορίζεται ως το σύνολο της εσωτερικής ενέργειας παραμόρφωσης U και της δυναμικής ενέργειας της εξωτερικής δύναμης W: π p = U + Ω. (3.154)

139 130 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Για τον προσδιορισμό της ενέργειας παραμόρφωσης της ράβδου, λαμβάνουμε υπόψη μόνο το έργο που παράγεται από τις εσωτερικές δυνάμεις κατά τη διάρκεια της παραμόρφωσης. Επειδή έχουμε να κάνουμε με μια μονοδιάστατη ράβδο, η εσωτερική δύναμη που παράγει έργο δίνεται από το Σχήμα 3.33 ως σ x ( y)( z), που οφείλεται μόνο στην ορθή πίεση σ x. Η μετατόπιση της x όψης του στοιχείου είναι x(ε x ). Η μετατόπιση της όψης x + x είναι x(ε x + dε x ). Η αλλαγή στη μετατόπιση είναι τότε xdε x, όπου dε x η διαφορά τάσης που y y σ x ( y)( z) z x x z Σχήμα 3.33: Εσωτερική δύναμη σε μονοδιάστατη ράβδο. παρουσιάζεται κατά μήκος x. Η διαφορά εσωτερικού έργου (ή δύναμη παραμόρφωσης) du είναι το εσωτερικό έργο πολλαπλασιασμένο με τη μετατόπιση μέσω της οποίας η δύναμη κινείται, και δίνεται από du = σ x ( y)( z)( x)dε x. (3.155) Αναδιατάσσοντας και αφήνοντας τον όγκο του στοιχείου να φτάσει το μηδέν παίρνουμε από την (3.155), du = σ x dε x dv. Από ολόκληρη την ράβδο, έχουμε τότε U = V { εx 0 σ x dε x } dv. (3.156) Τώρα, για ένα γραμμικά-ελαστικό (Νόμος του Hooke) υλικό παρατηρούμε ότι σ x = Eε x. Έτσι αντικαθιστώντας τη σχέση στην (3.156) ενσωματώνοντας στο ε x, και ύστερα αντικαθιστώντας το σ x στο Eε x, έχουμε U = 1 σ x ε x dv (3.157) 2 V

140 3.5. ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ ΓΙΑ 3-Δ ΡΑΒΔΟ131 ως έκφραση για την ενέργεια καταπόνησης για μονοδιάστατη πίεση. Η δυναμική ενέργεια των εξωτερικών δυνάμεων, αφού είναι αντίθετη απο την εξωτερική έκφραση του έργου, διότι η δυναμική ενέργεια των εξωτερικών δυνάμεων χάνεται όταν το έργο παράγεται από εξωτερικές δυνάμεις, δίνεται από M Ω = ˆX b ûdv ˆTx û s ds ˆf 1x ˆd1x, (3.158) V S 1 όπου ο πρώτος, δεύτερος και τρίτος όρος του δεξιού μέρους της (3.158) δείχνουν τη δυναμική ενέργεια (α) δυνάμεων στο σώμα ˆX b, συγκεκριμένα από το ίδιο το βάρος της ράβδου (σε μονάδες μέτρησες δύναμη ανά μονάδα όγκου) που κινείται μέσω της λειτουργίας της μετατόπισης û, (β) επιφανειακής φόρτισης ή έλξης ˆT x συγκεκριμένα από κατανεμημένη φόρτιση που δρα κατά μήκος της επιφάνειας του στοιχείου (σε μονάδες δύναμη ανά μονάδα επιφάνειας) που κινείται μέσω της μετατόπισης û s όπου û s είναι οι μετατοπίσεις που παρουσιάζονται στην επιφάνεια S 1 και (γ) κομβικές συγκεντρωμένες δυνάμεις ˆf ix που μεταφέρονται με κομβικές μετατοπίσεις ˆd ix. Οι δυνάμεις ˆX b, ˆTx, και f ix θεωρούνται ότι δρουν στην τοπική x κατεύθυνση της ράβδου. Στις (3.157) και (3.158), V είναι το μέγεθος του σώματος και S 1 είναι το κομμάτι της επιφάνειας S πάνω στην οποία δρα το επιφανειακό φορτίο. Για μία στοιχειώδη ράβδο με 2 κόμβους και ένα βαθμό ελευθερίας ανά κόμβο, M = 2. Είμαστε τώρα έτοιμοι να περιγράψουμε τη διατύπωση των πεπερασμένων στοιχείων των στοιχειωδών εξισώσεων της ράβδου χρησιμοποιώντας την αρχή ελάχιστης δυναμικής ενέργειας. Η διαδικασία πεπερασμένων στοιχείων επιδιώκει να βρει ένα ελάχιστο της δυναμικής ενέργειας εντός του περιορισμού του υποθετικού μοτίβου μετατόπισης μέσα σε κάθε στοιχείο. Όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας που συνδέεται με το στοιχείο (συνήθως σημαίνει αύξηση του αριθμού των κόμβων), τόσο περισσότερο η λύση θα προσεγγίζει την πραγματική λύση που θα εξασφαλίζει πλήρη ισορροπία (εφόσον η πραγματική μετατόπιση μπορεί, εντός ορίων, να προσεγγιστεί). Μια προσέγγιση λύσης πεπερασμένων στοιχείων που βρίσκεται χρησιμοποιώντας τη μέθοδο δυσκαμψίας θα παρέχει πάντα μία κατά προσέγγιση τιμή της δυναμικής ενέργειας μεγαλύτερη ή ίση του ορθού. Η μέθοδος αυτή οδηγεί επίσης σε μια δομημένη συμπεριφορά που προβλέπεται να είναι φυσικά πιο άκαμπτη ή στην καλύτερη περίπτωση να έχει την ίδια ακαμψία όπως το πραγματικό. Αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι το δομημένο μοντέλο επιτρέπεται να αντικατασταθεί μόνο από σχήματα που καθορίζονται από τις μετατοπίσεις που έχουμε υποθέσει μέσα σε κάθε στοιχείο της δομής. Η σωστή μορφή προσεγγίζεται συ- i=1

141 132 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ νήθως μέσα στα υποθετικά όρια, αν και η σωστή μορφή μπορεί να είναι ίδια όπως το υποθετικό πεδίο. Το υποθετικό πεδίο περιορίζει αποτελεσματικά την δομή από το να συμπεριφερθεί με τον φυσικό του τρόπο. Αυτή η περιοριστική δράση σκληραίνει την προβλεπόμενη συμπεριφορά της δομής. Εφαρμόστε τα παρακάτω βήματα κατά τη χρήση της αρχής της ελάχιστης δυναμικής ενέργειας για την εξαγωγή των στοιχειωδών πεπερασμένων εξισώσεων. 1. Διατυπώστε μια έκφραση για τη συνολική δυναμική ενέργεια. 2. Υποθέστε το μοτίβο μετατόπισης να μεταβάλλεται με ένα πεπερασμένο σύνολο από απροσδιόριστες παραμέτρους (εδώ είναι οι κομβικές μετατοπίσεις d ix ) που αντικαθιστώνται από την έκφραση της συνολικής δυναμικής ενέργειας. 3. Βρείτε ένα σύνολο ταυτόχρονων εξισώσεων που ελαχιστοποιούν την ολική δυναμική ενέργεια με βάση αυτές τις κομβικές παραμέτρους. Αυτές οι εξισώσεις που προκύπτουν αντιπροσωπεύουν τις στοιχειώδεις εξισώσεις. Οι προκύπτουσες εξισώσεις είναι κατά προσέγγιση (ή ενδεχομένως με ακρίβεια) οι εξισώσεις ισορροπίας των οποίων οι λύσεις των κομβικών παραμέτρων επιδιώκουν να ελαχιστοποιήσουν τη δυναμική ενέργεια όταν αντι-καθιστώνται στην έκφραση δυναμικής ενέργειας. Τα προηγούμενα τρία βήματα θα ακολουθηθούν για να προσδιορίσουμε τις στοιχειώδεις εξισώσεις της ράβδου και του μητρώου δυσκαμψίας. Θεωρείστε τη στοιχειώδη ράβδο μήκους L, με σταθερό εμβαδό διατομής A, Χρησιμοποιώντας τις (3.157) και (3.158), βρίσκουμε ότι η συνολική δυναμική ενέργεια της (3.154), γίνεται π p = A L σ x ε x dˆx 2 ˆf 1x ˆd1x ˆf 2x ˆd2x û s ˆTx ds û ˆX b dv. (3.159) 0 Επειδή A είναι μια σταθερά και οι μεταβλητές σ x και ε x διαφέρουν με το x. Από τις εξώσεις (3.85) και (3.86), έχουμε τη λειτουργία αξονικής μετατόπισης εκφραζόμενη σε όρους σχηματικών εξισώσεων και κομβικών μετατοπίσεων από S 1 û = [N]{ ˆd}, û s = [N s ]{ ˆd}, (3.160) V όπου [N] = [ 1 ˆx L ] ˆx, L

142 3.5. ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ ΓΙΑ 3-Δ ΡΑΒΔΟ133 [N s ] η λειτουργία σχηματικής μήτρας που εκτιμάται πάνω στην επιφάνεια όπου η κατανεμημένη επιφανειακή έλξη δρα και { ˆd} = { ˆd1x ˆd 2x }. (3.161) Ύστερα, χρησιμοποιώντας τη σχέση τάσης/μετατόπισης ε x = dû/dˆx μπορούμε να γράψουμε την αξονική τάση ως ή όπου καθορίζουμε {ε x } = [ 1 L ] 1 { L ˆd} {ε x } = [B]{ ˆd} (3.162) [B] = [ 1 L Η αξονική πίεση/παραμόρφωση δίνεται από ] 1. (3.163) L {σ x } = [D]{ε x }, (3.164) όπου [D] = [E] για τη μονοδιάστατη σχέση πίεση/παραμόρφωση και E είναι το μέτρο ελαστικότητας. Τώρα, από την (3.162), μπορούμε να εκφράσουμε την (5.1.2) ως εξής {σ x } = [D][B]{ ˆd}. Χρησιμοποιώντας την (3.159) εκφραζόμενη σε μορφή σημειογραφίας μήτρας, έχουμε τη συνολική δυναμική ενέργεια που δίνεται από L π p = A {σ x } T {ε x }dˆx { 2 ˆd} T {P } {û s } T { ˆT x }ds 0 S 1 {û} T { ˆX b }dv, (3.165) V όπου {P } τα συμπυκνωμένα κομβικά φορτία και που γενικά οι σ x και ε x είναι μητρώο στήλης. Για σωστό πολλαπλασιασμό πινάκων, πρέπει να τοποθετήσουμε τη μετατόπιση στο {σ x }. Ομοίως, {û} και { ˆT x } γενικά είναι μητρώο

143 134 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ στήλης έτσι για ορθό πολλαπλασιασμό πινάκων {û} μεταφέρεται στην (3.165). Χρησιμοποιώντας τις (3.160) και (3.162), στην (3.165) έχουμε L π p = A { 2 ˆd} T [B] T [D] T [B]{ ˆd}dˆx { ˆd}{P } 0 { ˆd} T [N s ] T { ˆT x }ds { ˆd} T [N] T { ˆX b }dv. (3.166) S 1 V Στην (3.166), π p φαίνεται να είναι μια συνάρτηση του { ˆd}; Που είναι π p = π p ( ˆd 1x, ˆd 2x ). Ωστόσο [B] και [D] και οι κομβικοί βαθμοί ελευθερίας d 1x και d 2x δεν είναι συναρτήσεις του x. Ως εκ τούτου, λύνοντας την (3.166) ως προς x έχουμε π p = AL 2 { ˆd} T [B] T [D] T [B]{ ˆd} { ˆd} T { ˆf}, (3.167) όπου { ˆf} = {P } + [N s ] T { ˆT x }ds [N] T { ˆX b }dv. (3.168) S 1 Από την (3.168), παρατηρούμε τρεις ξεχωριστούς τύπους συνεισφοράς φορτίου από τις συγκεντρωμένες κομβικές δυνάμεις, επιφανειακά τραβήγματα, και σωματικές δυνάμεις. Καθορίζουμε αυτά τα επιφανειακά τραβήγματα και τα μητρώα δυνάμεων στο σώμα παρακάτω { ˆf x } = [N S ] T { ˆT x }ds, { ˆf b } = [N] T { ˆX b }dv. (3.169) S 1 H έκφραση του { ˆf} δίνεται από την (3.169) και περιγράφει πως συγκεκριμένα φορτία μπορεί να θεωρηθούν ως προς το καλύτερο αποτέλεσμα. Φορτία που υπολογίζονται από τις (3.169) καλούνται σταθερές διότι βασίζονται στις ίδιες σχηματικές συναρτήσεις [N] που χρησιμοποιούνται για να υπολογίζουν το στοιχειώδες μητρώο ακαμψίας. Τα φορτία που υπολογίζονται από την (3.169) είναι επίσης στατιστικά όμοιες με το αρχικό φορτίο. Με προϋπόθεση ότι και οι δύο {f s } και {f b } και τα αρχικά φορτία δίνουν την ίδια δύναμη ως αποτέλεσμα και την ίδια στιγμή για ένα αυθαίρετα επιλεγμένο σημείο. Η ελαχιστοποίηση του π p με βάση την κάθε κομβική μετατόπιση προϋποθέτει ότι V V π p ˆd 1x = 0 και π p ˆd 2x = 0. (3.170)

144 3.5. ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ ΓΙΑ 3-Δ ΡΑΒΔΟ135 Τώρα αξιολογούμε ρητά το π p που δίνεται από την (3.167) για να εφαρμοστεί η (3.170). Θεωρούμε τα παρακάτω για ευκολία: {U } = { ˆd} T [B] T [D] T [B]{ ˆd}. (3.171) Χρησιμοποιώντας τις (3.161), (3.163), και [D] = [E] στην (3.171) έχουμε U = [ ˆd 1 L [ 1x ˆd2x ] [E] 1 L Απλοποιώντας την (3.172) έχουμε Επίσης η ρητή έκφραση του { ˆd} T { ˆf} είναι 1 L ] { } 1 ˆd1x. (3.172) L ˆd 2x U = E L 2 ( ˆd 2 1x 2 ˆd 1x ˆd2x + ˆd 2 2x). (3.173) { ˆd} T { ˆf} = ˆd 1x ˆf1x + ˆd 2x ˆf2x. (3.174) Επομένως, χρησιμοποιώντας τις (3.173) και (3.174) στην (3.167) και εφαρμόζοντας τις (3.174) έχουμε π p ˆd = AE [ ] E 1x 2 L (2 ˆd 2 1x 2 ˆd 2x ) ˆf 1x = 0 (3.175) και π p ˆd 2x = AE 2 [ ] E L (2 ˆd 2 1x 2 ˆd 2x ) ˆf 2x = 0. Σε μητρωική μορφή, εκφράζουμε τις (3.175) ως εξής π p { ˆd} = AE [ ] { } { } { 1 1 ˆd1x ˆf1x 0 L 1 1 ˆd 2x ˆf 2x 0 Αλλιώς, επειδή { ˆf} = [ˆk]{ ˆd} έχουμε το μητρώο ακαμψίας της στοιχειώδους ράβδου που υπολογίζεται από την [ˆk] = AE [ ] 1 1. (3.176) L 1 1 Όπως αναμέναμε, η (3.176) είναι πανομοιότυπο με το μητρώο ακαμψίας που βρίσκουμε στο Κεφάλαιο 3.1. }.

145 136 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Τέλος, αντί της δύσχρηστης μεθόδου του να υπολογίζουμε ρητά το π p, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη διαφορά μητρώων και να την εφαρμόσουμε στην (3.167) για να βρούμε π p { ˆd} = AL[B]T [D][B]{ ˆd} { ˆf} = 0, (3.177) όπου [D] T = [D] έχει χρησιμοποιηθεί για την (3.177). Το αποτέλεσμα της εκτίμησης του AL[B] T [D][B] είναι ίσο με το [ˆk] που δίνεται από την (3.176). 3.6 Παραδείγματα δικτυωμάτων Παράδειγμα Επίπεδο Δικτύωμα 1. Το δικτύωμα του Σχήματος 3.34, αποτελείται από έξι (6) ράβδους διατομής 0.001m 2. Το υλικό κατασκευής έχει μέτρο ελαστικότητας E = kν/m 2. Το δικτύωμα στηρίζεται στους δύο αριστερούς κόμβους με αρθρώσεις. Ζητείται να επιλυθεί το σύστημα του επίπεδου δκτυώματος για κατακόρυφη φόρτιση στον δεξιό κάτω κόμβο (2) ίση με 70Ν. Με την παραδοχή ότι κάθε ράβδος του δικτυώματος αντιστοιχεί σε ένα πεπερασμένο στοιχείο χρησιμοποιούμε γραμμικά στοιχεία για την διακριτοποίηση του φορέα (Σχ. 3.35). Στη συνέχεια επιβάλουμε το σημειακό φορτίο στον κόμβο 2 και επιλύομε το δικτύωμα στατικά. Από την επίλυση του φορέα υπολογίζουμε τις μετατοπίσεις των κόμβων όπως δίνονται στο Σχήμα 3.36 όπου έχομε τον αρχικό φορέα και την παραμόρφωση του μετά την επιβολή της φόρτισης καθώς και τις τάσεις που αναπτύσσονται στις ράβδους (Σχ. 3.37). Παράδειγμα Επίπεδο Δικτύωμα 2. Το δικτύωμα του Σχήματος 3.38, αποτελείται από δεκαεννέα (19) ράβδους (όσα και τα πεπερασμένα στοιχεία που θεωρούμε στη προσέγγισή μας) διατομής A = 0, 01. Το υλικό κατασκευής έχει μέτρο ελαστικότητας E = Το δικτύωμα στηρίζεται στο σημείο Α (στις δύο διευθύνσεις) και στα σημεία Β και Γ (μόνο στην κατακόρυφη διεύθυνση) όπως φαίνεται στο Σχήμα Ζητείται να επιλυθεί το σύστημα του επίπεδου δκτυώματος για κατακόρυφη φόρτιση στο σημείο Δ ίση με 100Ν. Με την παραδοχή ότι κάθε ράβδος του δικτυώματος αντιστοιχεί σε ένα πεπερασμένο στοιχείο χρησιμοποιούμε γραμμικά στοιχεία για τη διακριτοποίηση του φορέα (Σχ. 3.39). Στην συνέχεια επιβάλουμε το σημειακό φορτίο στον κόμβο που αντιστοιχεί στο σημείο Δ και επιλύομε το δικτύωμα στατικά. Από την επίλυση του φορέα υπολογίζουμε τις μετατοπίσεις των κόμβων (Σχ. 3.40) καθώς και τις τάσεις που αναπτύσσονται στις ράβδους (Σχ. 3.41).

146 3.6. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΩΝ ,866m 1 2 1,5m Σχήμα 3.34: 1ο Επίπεδο δικτύωμα. Σχήμα 3.35: Δίκτυο πεπερασμένων στοιχείων και συνοριακές συνθήκες.

147 138 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Σχήμα 3.36: Παραμορφωμένος φορέας τιμές κατακόρυφης μετατόπισης. Σχήμα 3.37: Τάσεις ράβδων.

148 3.6. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΩΝ 139 Σχήμα 3.38: 2ο Επίπεδο δικτύωμα. Σχήμα 3.39: Δίκτυο πεπερασμένων στοιχείων και συνοριακές συνθήκες.

149 140 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Σχήμα 3.40: Παραμορφωμένος φορέας τιμές κατακόρυφης μετατόπισης. Σχήμα 3.41: Τάσεις ράβδων.

150 3.7. ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΔΟΚΟΥ Ανάπτυξη εξισώσεων και πεπερασμένου στοιχείου δοκού σε κάμψη, κατά τη θεωρία Euler- Bernouli Στην παράγραφο αυτή το γραμμικό στοιχείο θα θεωρηθεί φορτισμένο και εκτός του άξονά του, έτσι ώστε να λειτουργεί σε κάμψη. Για απλότητα θα αποσυνδέσουμε τη λειτουργία ράβδου, που έχει ήδη παρουσιαστεί, με την καθαρή θεωρία κάμψεως σύμφωνα με το μοντέλο δοκού σε κάμψη κατά Euler-Bernouli, και θα αναπτύξουμε ένα πεπερασμένο στοιχείο γι αυτήν την λειτουργία. Η αποσύνδεση αυτή είναι επιτρεπτή για απλές δοκούς με συμμετρικές διατομές και υλικό, και όχι για παράδειγμα για σύνθετες δοκούς με μεταβαλλόμενη διατομή ή υλικό, όπως ένα φτερό ανεμογεννήτριας. Το πεπερασμένο στοιχείο δοκού που προκύπτει θα έχει τους βαθμούς ελευθερίας και τις φορτίσεις που φαίνονται στο Σχήμα Συγκεκριμένα σε κάθε κόμβο θα υπάρχουν δύο κινηματικοί βαθμοί ελευθερίας, η εγκάρσια μετακίνηση d και η στροφή ϕ, και θα εφαρμόζονται οι ενεργειακά ανταποκρινόμενες δυνάμεις, διατμητική δύναμη f y και ροπή m. Σχήμα 3.42: Διδιάστατο πεπερασμένο στοιχείο δοκού σε κάμψη. Για την εξαγωγή της θεωρίας δοκού σε κάμψη θεωρούμε το μοντέλο και το απειροστό στοιχείο της δοκού που φαίνεται στο Σχήμα Σε κάθε θέση

151 142 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ x της δοκού εφαρμόζεται η κατανεμημένη δύναμη w(x), ενώ στο διαφορικό στοιχείο dx εφαρμόζονται οι διατμητικές δυνάμεις V και οι ροπές κάμψεως M, και αντιστοίχως V +dv, M +dm. Από την εξίσωση των κατακόρυφων δυνάμεων Σχήμα 3.43: Δοκός σε κάμψη και απειροστό στοιχείο της. για το απειροστό στοιχείο της δοκού προκύπτουν οι σχέσεις: Fy = 0 : V (V + dv ) w(ˆx)dx = 0. (3.178) ή με απλοποίηση της (3.178), η wdˆx dv = 0 ή w = dv dˆx. Η εξίσωση των ροπών κάμψης για το απειροστό αυτό στοιχείο γράφεται ( ) dˆx M2 = 0 : V dx + dm + w(ˆx)dˆx = 0 ή V = dm 2 dˆx. Υπενθυμίζεται εδώ ότι η καμπυλότητα της δοκού k συνδέεται με τη ροπή M μέσω της σχέσης k = 1 ρ = M EI, (3.179)

152 3.7. ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΔΟΚΟΥ143 όπου ρ συμβολίζει την ακτίνα καμπυλότητας της παραμορφωμένης δοκού, ˆv είναι η εγκάρσια συνάρτηση μετακίνησης, E το μέτρο ελαστικότητας του υλικού και I η ροπή αδράνειας της διατομής γύρω από τον άξονα z, που είναι κάθετος στο επίπεδο x y της δοκού. Η καμπυλότητα για μικρές γωνίες ˆϕ = d 2ˆv/dˆx 2 δίδεται από τη σχέση k = d2ˆv dˆx 2, (3.180) k = d2ˆv dˆx 2 = M EI. Με χρήση των προηγούμενων εξισώσεων (3.179) και (3.180) προκύπτει η διαφορική εξίσωση της δοκού σε κάμψη ( d 2 EI d2ˆv ) = w(ˆx) dˆx 2 dˆx 2 η οποία απλοποιείται παραπέρα για την περίπτωση δοκού με σταθερή διατομή EI και μηδενική εγκάρσια φόρτιση EI d4ˆv = 0. (3.181) dˆx 4 Τα βήματα που χρησιμοποιήθηκαν στην περίπτωση της ράβδου θα επαναληφθούν και για την περίπτωση της δοκού σε κάμψη, με κατάλληλες προσαρμογές λόγω των αυξημένων απαιτήσεων της διαφορικής εξίσωσης (ανώτερη τάξη παραγώγου). ΒΗΜΑ 1: Επιλογή του τύπου του πεπερασμένου στοιχείου. Όπως προαναφέρθηκε, θα χρησιμοποιηθεί το διδιάστατο στοιχείο δοκού σε κάμψη, Σχήμα Επι- ΒΗΜΑ 2: Επιλογή των συναρτήσεων παρεμβολής μέσα στο στοιχείο. λέγεται το πλήρες πολυώνυμο τρίτου βαθμού ως προς τη θέση x ˆv(ˆx) = a 1ˆx 3 + a 2ˆx 2 + a 3ˆx + a 4. (3.182) Η επιλογή καθοδηγείται από τη μορφή της διαφορικής εξίσωσης (3.181) και οι τέσσερις σταθερές που υπεισέρχονται σε αυτό a 1 - a 4 είναι ακριβώς ίσες με τους βαθμούς ελευθερίας του στοιχείου.

153 144 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Με κατάλληλη χρήση της γενικής πολυωνυμικής εξίσωσης (3.182) στους κόμβους του στοιχείου x = 0, και x = L, προκύπτει ˆv(0) = ˆd 1y = a 4, dˆv(0) = dˆx ˆϕ 1 = a 3, ˆv(L) = ˆd 2y = a 1 L 3 + a 2 L 2 + a 3 L + a 4, dˆv(l) = dˆx ˆϕ 2 = 3a 1 L 2 + 2a 2 L + a 3. (3.183) Επιλύοντας τις προηγούμενες εξισώσεις (3.183) ως προς a 1 - a 4 και αντικαθιστώντας στη γενική εξίσωση (3.181) προκύπτει ˆv = [ 2 L ( ˆd 3 1y ˆd 2y ) + 1 ] L ( ˆϕ ˆϕ 2 ) ˆx 3 [ + 3 L ( ˆd 2 1y ˆd 2y ) 1 ] L (2 ˆϕ 1 + ˆϕ 2 ) ˆx 2 + ˆϕ 1ˆx + ˆd 1y Η τελευταία γράφεται σε συμπαγή μητρωική μορφή ˆv = [N] ˆd, όπου οι βαθμοί ελευθερίας και οι συναρτήσεις παρεμβολής συμβολίζονται με ˆd 1y { ˆd} ˆϕ = 1, [N] = [N 1 N 2 N 3 N 4 ]. ˆd 2y ˆϕ 2 Αναλυτικά οι συναρτήσεις παρεμβολής γράφονται N 1 = 1 L 3 (2ˆx3 3ˆx 2 L + L 3 ), N 2 = 1 L 3 (ˆx3 L 2ˆx 2 L 2 + ˆxL 3 ) N 3 = 1 L 3 ( 2ˆx3 + 3ˆx 2 L), N 4 = 1 L 3 (ˆx3 L ˆx 2 L 2 ), Οι N 1, N 2, N 3 και N 4 είναι κυβικές εξισώσεις και είναι γνωστές ως οι κυβικές εξισώσεις παρεμβολής του Hermite. Φαίνονται γραφικά στο Σχήμα 3.44.

154 3.7. ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΔΟΚΟΥ145 N 1 N 2 N 3 L 0 N 4 Σχήμα 3.44: Συναρτήσεις παρεμβολής για το στοιχείο της δοκού. Σημειώνονται εδώ οι ιδιότητες των συναρτήσεων παρεμβολής N 1 (0) = 1 L 3 (L3 ) = 1, N 1 (L) = 1 L 3 (2L3 3L 2 L + L 3 ) = 0, dn 1 dˆx (0) = 1 L 3 (6ˆx2 6ˆxL), dn 1 (0) dˆx = 0, dn 1 dˆx (L) = 1 L 3 (6L2 6LL) = 0 και (dn 2 /dˆx) = 1. Ανάλογα ισχύουν και για τις συναρτήσεις N 3 και N 4. ΒΗΜΑ 3: Ορισμός των σχέσεων παραμορφώσεων-μετακινήσεων και τάσεωνπαραμορφώσεων. Η σχέση μεταξύ των αξονικών παραμορφώσεων και των μετακινήσεων του κεντρικού άξονα της δοκού παίρνει τη μορφή ε x (ˆx, ŷ) = dû dˆx,

155 146 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ όπου η û είναι η αξονική μετακίνηση. Σε κάθε θέση εκτός του άξονα της δοκού η μετακίνηση έχει τη μορφή û = ŷ dˆv dˆx, όπου έχουν γίνει οι συνηθισμένες για τη θεωρία δοκού υποθέσεις (η διατομή παραμένει επίπεδη και κάθετη στον παραμορφωμένο άξονα της δοκού, μετά την επιβολή του φορτίου και τη συνακόλουθη παραμόρφωση). Με συνδυασμό των ανωτέρω προκύπτει ε x (ˆx, ŷ) = ŷ d2ˆv dˆx 2. Η κλασική θεωρία κάμψεως της δοκού συμπληρώνεται από τις σχέσεις μεταξύ των ροπών κάμψεως και των διατμητικών δυνάμεων σε κάθε θέση ˆm(x) = EI d2ˆv dˆx 2, ˆV = EI d 3ˆv dˆx 3. ΒΗΜΑ 4: Εξαγωγή του μητρώου δυσκαμψίας της δοκού και των εξισώσεων ισορροπίας. Με χρήση της υπόθεσης για τις συναρτήσεις παρεμβολής, εξάγονται οι επικόμβιες δυνάμεις και οι αντίστοιχες διατμητικές δυνάμεις και ροπές κάμψεως, σύμφωνα με τα συνηθισμένα στη στατική πρόσημα: ˆf 1y ˆm 1 ˆf 2y ˆm 2 = ˆV = EI d3ˆv(0) dˆx 3 = ˆm = EI d2ˆv(0) dˆx 2 = ˆV = EI d3ˆv(l) dˆx 3 = ˆm = EI d2ˆv(l) dˆx 2 = EI L 3 (12 ˆd 1y + 6L ˆϕ 1 12 ˆd 2y + 6L ˆϕ 2 ), = EI L 3 (6L ˆd 1y + 4L 2 ˆϕ1 6L ˆd 2y + 2L 2 ˆϕ2 ), = EI L 3 ( 12 ˆd 1y 6L ˆϕ ˆd 2y 6L ˆϕ 2 ), = EI L 3 (6L ˆd 1y + 2L 2 ˆϕ1 6L ˆd 2y + 4L 2 ˆϕ2 ). Οι σχέσεις επικόμβιων βαθμών ελευθερίας και δυνάμεων γράφεται σε μητρωική μορφή ˆf 1y 12 6L 12 6L ˆd 1y ˆm 1 = EI 6L 4L 2 6L 2L 2 ˆϕ 1 ˆf 2y L L 12 6L. ˆd 2y ˆm 2 6L 2L 2 6L 4L 2 ˆϕ 2

156 3.7. ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΔΟΚΟΥ147 Από την προηγούμενη σχέση προκύπτει η μορφή του μητρώου δυσκαμψίας του στοιχείου 12 6L 12 6L 6L 4L 2 6L 2L 2 ˆk = EI L L 12 6L 6L 2L 2 6L 4L 2 Επαναλαμβάνεται ότι η λειτουργία δοκού, δηλαδή η διάταση σε αξονική λειτουργία, δεν λαμβάνεται υπόψη στα προηγούμενα. Εάν χρειαστεί, για παράδειγμα, όταν γίνεται αλλαγή συστήματος συντεταγμένων για τη μελέτη πλαισιακών φορέων με χρήση στοιχείων δοκού, μπορεί να γίνει επαλληλία του μοντέλου ράβδου με το μοντέλο δοκού σε κάμψη. Επισημαίνεται επίσης ότι η χρησιμοποιούμενη θεωρία δεν λαμβάνει υπόψη εγκάρσιες διατμητικές παραμορφώσεις - ως αμελητέες, πράγμα που είναι ασφαλές για λυγηρές δοκούς στις οποίες το μήκος L είναι πολύ μεγαλύτερο των υπολοίπων διαστάσεων. ΒΗΜΑ 5: Συρραφή των στοιχείων και δημιουργία του ολικού συστήματος εξισώσεων ισορροπίας. Τα επόμενα βήματα γίνονται ανάλογα με την περίπτωση συρραφής πεπερασμένων στοιχείων ράβδου, όπου στην περίπτωση αυτή κάθε κόμβος έχει δύο βαθμούς ελευθερίας. Μετά τη δημιουργία του συστήματος των εξισώσεων και την επιβολή των συνοριακών συνθηκών, π.χ. στήριξης, γίνεται επίλυση και μετεπεξεργασία για τον υπολογισμό των εντατικών μεγεθών της δοκού. Ένα πιο εξελιγμένο μοντέλο δοκού που περιέχει τις εγκάρσιες διατμητικές παραμορφώσεις, το μοντέλο Timoshenko. Η υπόθεση ότι η διατομή της δοκού στην παραμορφωμένη κατάσταση παραμένει κάθετη με τον άξονα της δοκού χαλαρώνεται και γίνεται δεκτή μια επιπλέον στροφή β που εξαρτάται από τη διατμητική δύναμη. Συνεπώς η κλίση του παραμορφωμένου άξονα της δοκού γράφεται ως άθροισμα της συνεισφοράς λόγω καμπτικών ροπών ϕ και διατμητικών δυνάμεων β dˆv dˆx = ˆϕ(ˆx) + β(ˆx). Η σχέση μεταξύ ροπής κάμψεως και καμπτικής παραμόρφωσης γράφεται M(ˆx) = EI d ˆϕ(ˆx) dˆx. Ενώ η σχέση μεταξύ διατμητικής δύναμης και διατμητικής παραμόρφωσης είναι V (ˆx) = k s AGβ(ˆx)..

157 148 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Συνεπώς ως διατμητική παραμόρφωση γ yz (= β) εμφανίζεται η διαφορά γ yz = dˆv dˆx ˆϕ. Με κατάλληλη τροποποίηση της θεωρίας που αναπτύχθηκε στα προηγούμενα, προκύπτουν οι διαφορικές εξισώσεις της δοκού σε κάμψη [ ( )] d dˆv k s AG dˆx dˆx ˆϕ = w, ( d EI d ˆϕ ) ( ) dˆv + k s AG dˆx dˆx dˆx ˆϕ = 0. Χρησιμοποιείται η ίδια κυβική συνάρτηση παρεμβολής και για λόγους συμβατότητας η σταθερή προσέγγιση για την εγκάρσια διατμητική παραμόρφωση γ = c. Όπου η σταθερά προκύπτει c = 6a 1 g με g = EI/k s AG και ποσοστό διατομής που λειτουργεί σε διάτμηση k s A, με k 1. Για παράδειγμα, σε κυκλική διατομή λαμβάνεται k = 0.9. Τελικώς η συνάρτηση παρεμβολής για τις μετακινήσεις γράφεται ˆϕ = a 3 + 2a 2ˆx + (3ˆx 2 + 6g)a 1. Και οι σταθερές a 1 έως a 4 υπολογίζονται ως εξής a 1 = 2 ˆd 1y + L ˆϕ 1 2 ˆd 2y + L ˆϕ 2, L(L g) a 2 = 3L ˆd 1y (2L 2 + 6g) ˆϕ 1 + 3L ˆd 2y + ( L 2 + 6g) ˆϕ 2, L(L g) a 3 = 12g ˆd 1y + (L 3 + 6gL) ˆϕ g ˆd 2y 6gL ˆϕ 2, L(L g) a 4 = ˆd 1y.

158 3.7. ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΔΟΚΟΥ149 Με αντικατάσταση στα προηγούμενα οι εγκάρσιες μετακινήσεις παίρνουν τη μορφή ˆv = 2 ˆd 1y + L ˆϕ 1 2 ˆd 2y + L ˆϕ 2 ˆx 3 L(L g) + 3L ˆd 1y (2L 2 + 6g) ˆϕ 1 + 3L ˆd 2y + ( L 2 + 6g) ˆϕ 2 ˆx 2 L(L g) 12g ˆd 1y + (L 3 + 6gL) ˆϕ g ˆd 2y 6gL ˆϕ 2 ˆx + L(L g) ˆd 1y. Τελικά οι εξισώσεις μεταξύ επικόμβιων μετακινήσεων και δυνάμεων γράφονται ˆf 1y = ˆV (0) = 6EIa 1 = EI(12 ˆd 1y + 6L ˆϕ 1 12 ˆd 2y + 6L ˆϕ 2 ), L(L g) ˆm 1 = ˆm(0) = 2EIa 2 = EI[6L ˆd 1y + (4L g) ˆϕ 1 6L ˆd 2y + (2L 2 12g) ˆϕ 2 ], L(L g) ˆf 2y = ˆV (L) = EI( 12 ˆd 1y 6L ˆϕ ˆd 2y 6L ˆϕ 2 ), L(L g) ˆm 2 = ˆm(L) = EI6L ˆd 1y + (2L 2 12g) ˆϕ 1 6L ˆd 2y + (4L g) ˆϕ 2 ). L(L g) Και σε μητρωική μορφή ˆf 1y ˆm 1 = ˆf 2y ˆm 2 EI L(L g) 12 6L 12 6L ˆd 1y 6L 4L g 6L 2L 2 12g ˆϕ L 12 6L. ˆd 2y 6L 2L 2 12g 6L 4L g ˆϕ 2 Παρατηρείται ότι το μητρώο δυσκαμψίας της δοκού σε αυτή την περίπτωση είναι ελαφρώς τροποποιημένο σε σύγκριση με τη θεωρία Euler-Bernouli και παίρνει τη μορφή ˆk = 12 6L 12 6L EI 6L 4L g 6L 2L 2 12g L(L g) 12 6L 12 6L. 6L 2L 2 12g 6L 4L g

159 150 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Ή, για να γίνει πιο φανερή η σύνδεση, με τη χρήση του αδιάστατου συντελεστή διατμητικής διόρθωσης φ = 12EI/(k s AGL 2 ) = 12g/L 2, 12 6L 12 6L EI ˆk = 6L (4 + φ)l 2 6L (2 φ)l 2 L 3 (1 + φ) 12 6L 12 6L, 6L (2 φ)l 2 6L (4 + φ)l 2 A s = k s A.

160 Βιβλιογραφία [1] Chandrupatla, T. R., Belegundu, A. D. (2006) Εισαγωγή στα Πεπερασμένα Στοιχεία για Μηχανικούς, Παπασωτηρίου, Αθήνα (μετάφραση της τρίτης αμερικάνικης έκδοσης, Επιμέλεια Χ.Ν. Φραγκάκις, Μετάφραση Μ. Φραγκάκη. [2] Cook, R. D., Malkus, D. S., Plesha, M. E., and Witt, R. J. Concepts and Applications of Finite Element Analysis, 4th ed., Wiley, New York, [3] Finlayson, B. A., The Method of Weighted Residuals and Variational Principles, Academic Press, New York, [4] Forray, M. J., Variational Calculus in Science and Engineering, McGraw-Hill, New York, [5] Γκότσης, Π.Κ., Πεπερασμένα Στοιχεία. Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη, [6] Hsieh, Y. Y., Elementary Theory of Structures, 2nd ed., Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, [7] Κανάραχος Α.Ε., Προβατίδης Χ.Γ., Πεπερασμένα Στοιχεία στη Μηχανολογία (και ασκήσεις), Παπασωτηρίου, Αθήνα, [8] Logan D. L., A First Course in the Finite Element Method, Thomson, [9] Martin, H. C., Introduction to Matrix Methods of Structural Analysis, McGraw-Hill, New York, [10] Νιτσιώτας, Γ.Μ., Στατική των Γραμμικών Φορέων ΙΙ. Μητρωική στατική. Εκδόσεις Ζήτη,

161 152 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [11] Turner, M. J., Clough, R. W., Martin, H. C., and Topp, L. J., Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures, Journal of the Aeronautical Sciences, Vol. 23, No. 9, pp , Sept [12] Oden, J. T., and Ripperger, E. A., Mechanics of Elastic Structures, 2nd ed., McGraw-Hill, New York, [13] Öchsner, A., Merkel, M, One-Dimensional Finite Elements. An Introduction to the FE Method. Springer, [14] Παπαδρακάκης Μ., Ανάλυση Φορέων με τη Μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων, Παπασωτηρίου, Αθήνα, [15] Pavlou, D.G., Essentials of the Finite Element Method. For Mechanical and Structural Engineers. Academic Press, [16] Προβατίδης, Χ. Γ., Πεπερασμένα Στοιχεία στην Ανάλυση Κατασκευών. Εκδόσεις Τζιόλα, Θεσσαλονίκη, [17] Tenek - Τενεκετζής, Λ., Προσομοιώσεις Ηλεκτρονικού Υπολογιστή με τη Μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων. Εκδόσεις Τζιόλα, Θεσσαλονίκη, [18] Τσαμασφύρος Γ.Ι., Θεοτόκογλου Ε. Μέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων. Τόμος 1, Συμμετρία, Αθήνα, [19] Zienkiewicz, O. C., The Finite Element Method, 3rd ed., McGraw-Hill, London, [20] Zohdi, T., A finite Element Primer for Beginners. Springer, 2015

162 Κεφάλαιο 4 Δυναμικά προβλήματα Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται οι υπολογιστικές μέθοδοι που σχετίζονται με την αντιμετώπιση δυναμικών προβλημάτων. Στο πλαίσιο της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων, οι κατανεμημένες αδρανειακές δυνάμεις που αναπτύσσονται στην περίπτωση δυναμικής καταπόνησης συνεχούς παραμορφώσιμου σώματος κατανέμονται στους κόμβους της διακριτοποίησης με τεχνικές ανάλογες εκείνων που παρουσιάστηκαν στα προηγούμενα για τη μεταφορά κατανεμημένων στατικών δυνάμεων στους κόμβους. Με τη μέθοδο αυτή επιτυγχάνεται η δημιουργία μητρώων μάζας σε επίπεδο στοιχείου και τελικά σε επίπεδο κατασκευής. Στη συνέχεια με τα μητρώα μάζας και δυσκαμψίας περιγράφεται πλήρως το σύστημα εξισώσεων που περιγράφει την κίνηση του διακριτοποιημένου σώματος. Με βάση τα στοιχεία αυτά μπορούν να υπολογιστούν οι ιδιοτιμές και ιδιομορφές του, που συνιστούν τη δυναμική του ταυτότητα. Η ιδιομορφική ανάλυση επιτρέπει την απλοποιημένη δυναμική ανάλυση της κατασκευής. Με χρήση, τέλος, αριθμητικής ολοκλήρωσης στον χρόνο μπορεί να γίνει ακριβής ολοκλήρωση των εξισώσεων της κίνησης και επίλυση του δυναμικού μοντέλου για οποιαδήποτε εξωτερική δυναμική φόρτιση. Η επέκταση της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων για τον υπολογισμό μητρώων μάζας και στη συνέχεια ιδιοτιμών, ιδιομορφών περιγράφεται στα συγγράμματα [17], [3]. Προβλήματα δυναμικής των κατασκευών αναπτύσσονται στο [10] και για μηχανολογικές κατασκευές, στο [9]. Στο πρόσφατο σύγγραμμα [13] περιέχονται επιπλέον στοιχεία και για υπολογιστική ακουστική. 153

163 154 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 4.1 Δυναμική συμπεριφορά κατασκευών Δυναμική ανάλυση κατασκευών. Όπως είναι γνωστό, τα φορτία που δέχονται οι κατασκευές χωρίζονται σε δύο κυρίες κατηγορίες, στατικά και δυναμικά ή αλλιώς σταθερά ή μεταβαλλόμενα με το χρόνο. Η δυναμική ανάλυση κατασκευών με χρήση της φασματικής μεθόδου βασίζεται στους φυσικούς τρόπους ταλάντωσης του μηχανικού συστήματος μιας κατασκευής για τον υπολογισμό των μέγιστων τιμών απόκρισης όταν αυτό υποβάλλεται σε δυναμική διέγερση. Η εφαρμογή της φασματικής αντισεισμικής μεθόδου ανάλυσης απαιτεί, ως πρώτο βήμα, τον καθορισμό ενός κατάλληλου μοντέλου προσομοίωσης, το οποίο να μπορεί να περιγράψει σωστά τη μηχανική συμπεριφορά του φορέα. Στην πράξη για τον δυναμικό υπολογισμό των κατασκευών γίνεται μια σειρά απλοποιήσεων. Οι περισσότεροι φορείς και ιδιαίτερα οι δομικοί φορείς εμφανίζουν πάντοτε συνεχή κατανομή των ελαστικών και αδρανειακών τους χαρακτηριστικών και άρα είναι απειροβάθμια ή συνεχή συστήματα. Για τη μαθηματική επεξεργασία τους με την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων γίνεται η διακριτοποίηση του συνεχούς μέσου σε πεπερασμένα στοιχεία και προκύπτουν πολυβάθμια συστήματα. Η διακριτοποίηση είναι τόσο ελαστική όσο και αδρανειακή, δηλαδή οι μετακινήσεις του συστήματος δίνονται από τις άγνωστες μετακινήσεις των κόμβων και η κατανεμημένη μάζα του συστήματος θεωρείται συγκεντρωμένη στους κόμβους. Έτσι για φορείς με ικανό αριθμό επιμέρους στοιχείων η πρώτη προσομοίωση που εφαρμόζεται είναι η αναγωγή τους από απειροβάθμια συστήματα (άπειροι βαθμοί ελευθερίας οι οποίοι υπάρχουν στα φυσικά συνεχή συστήματα) σε διακριτά πολυβάθμια συστήματα με πεπερασμένο αριθμό βαθμών ελευθερίας, με τη βοήθεια κάποιας κατάλληλης μεθόδου διακριτοποίησης (π.χ. Μέθοδος Πεπερασμένων Στοιχείων) [3]. Στη συνέχεια, στην ελαστική δυναμική ανάλυση κατασκευών, μπορεί να επιτευχθεί περαιτέρω μείωση των βαθμών ελευθερίας, με συσχέτιση των βαθμών ελευθερίας με τα ιδιαίτερα φυσικά χαρακτηριστικά του μηχανικού συστήματος και συγκεκριμένα με τους φυσικούς τρόπους ταλάντωσης (ιδιοταλαντώσεις) και τις αντίστοιχες συχνότητες (ιδιοσυχνότητες). Εφαρμόζοντας μια δοσμένη δυναμική διέγερση υπολογίζονται η μέγιστη απόκριση κάθε ιδιομορφής και οι αντίστοιχοι συντελεστές συμμετοχής με βάση τους οποίους γίνεται η επιλογή των ιδιομορφών που λαμβάνονται υπόψη για τον υπολογισμό των τελικών εντατικών μεγεθών με επαλληλία των ιδιομορφικών μεγίστων. Βασικές μέθοδοι για τη μελέτη των κατασκευών υπό δυναμική φόρτιση είναι η χρονική επαλληλία ιδιομορφών, η οποία αποτελεί το θεωρητικό

164 4.1. ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. 155 υπόβαθρο των φασματικών μεθόδων και των μεθόδων που επιβάλλουν οι κανονισμοί, καθώς και η μέθοδος του μη γραμμικού δυναμικού υπολογισμού, η οποία είναι ακριβέστερη αλλά απαιτεί τη διαδοχική χρήση χρονοϊστοριών πολλών διεγέρσεων. Στις παραγράφους που ακολουθούν περιγράφεται πιο αναλυτικά η φασματική μέθοδος ανάλυσης η οποία χρησιμοποιεί το φάσμα υπολογισμού που προκύπτει από την επεξεργασία χρονοϊστοριών διαφόρων διεγέρσεων Συστήματα πολλών βαθμών ελευθερίας. Πολυβάθμιος ταλαντωντής Εξίσωση κίνησης. Όλες οι κατασκευές είναι συστήματα με άπειρους βαθμούς ελευθερίας και για την ανάλυσή τους λαμβάνονται υπόψη τα ιδιαίτερα ελαστικά χαρακτηριστικά και τη μάζα τους (π.χ. οι δομικές κατασκευές παρουσιάζουν συνεχή κατανομή μάζας και ελαστικών χαρακτηριστικών) για να οδηγηθούμε σε συστήματα με πεπερασμένο αριθμό βαθμών ελευθερίας. Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων επιτρέπει την ελαστική διακριτοποίηση θεωρώντας ότι η κίνηση του συστήματος περιγράφεται από έναν αριθμό παραμέτρων κίνησης που αντιστοιχούν στις ελευθερίες κινήσεως των κόμβων, που ονομάζονται και γενικευμένες συντεταγμένες Lagrange [7]. Ο αριθμός των παραμέτρων αυτών εξαρτάται από τη δομή του συστήματος (κατανομή μαζών και ελαστικών ιδιοτήτων), από τον τρόπο διέγερσης και από την επιδιωκόμενη ακρίβεια. Γενικά, αυξανομένου του αριθμού των παραμέτρων, αυξάνεται και η ακρίβεια των αποτελεσμάτων. Έτσι οι περιπτώσεις αναγωγής ενός πραγματικά απειροβάθμιου συστήματος σε μονοβάθμιο είναι σχετικά περιορισμένες. Αντίθετα με τη βοήθεια ενός σχετικά μικρού αριθμού παραμέτρων, κατάλληλα επιλεγμένων, η αναγωγή του απειροβάθμιου συστήματος σε πολυβάθμιο μπορεί να γίνει στις περισσότερες περιπτώσεις με ανεκτή ακρίβεια. Για τον σκοπό αυτό όμως η επιλογή των παραμέτρων θα πρέπει να είναι τέτοια, ώστε να αποδίδεται κατά το δυνατόν πιστότερα η πραγματική κίνηση του συστήματος. Η επιτυχία στην επιλογή των παραμέτρων κίνησης εξαρτάται από την πείρα και τη διαίσθηση του μελετητή. Η κίνηση ενός ελαστικού φορέα εξαρτάται άμεσα από τις δύο φυσικές ιδιότητες του υλικού του: την αδράνεια και την ελαστικότητα που ποσοτικά εκφράζονται με τη μάζα και τις ελαστικές σταθερές αντίστοιχα. Επίσης εξαρτάται από τις διάφορες μορφές αντίστασης που αναπτύσσονται κατά την ταλάντωση των κατασκευών με αποτέλεσμα την προοδευτική αφαίρεση μηχανικής ενέργειας και μετατροπή της σε άλλες μορφές οι οποίες εκφράζονται με την απόσβεση. Με τον γενικό όρο διέγερση ορίζονται τα κάθε είδους γνωστά εξωτερικά φορτία ή καταναγκασμοί, στα οποία

165 156 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ υποβάλλεται ένας φορέας. Η διέγερση εκφράζεται από μια χρονική συνάρτηση p(t) που διακρίνεται σε περιοδική και μη περιοδική. Η εξίσωση κίνησης ενός μηχανικού συστήματος με χρήση μητρώων γράφεται ως: M v(t) + C v(t) + Kv(t) = p(t), (4.1) η οποία ορίζει ένα σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων δευτέρας τάξεως, όπου το μητρώο μάζας (N N), με στοιχεία m ij, C το μητρώο απόσβεσης (N N) με στοιχεία c ij θεωρώντας ιξώδη γραμμική απόσβεση και το μητρώο δυσκαμψίας (N N) με στοιχεία k ij. Πρόκειται για ένα σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων που προκύπτει με γραμμικοποίηση των διαφορικών εξισώσεων Lagrange [1], οι οποίες καταστρώνονται με βάση την αρχή των δυνατών έργων ή την αρχή των Hamilton [7]. Η γραμμικοποίηση αυτή είναι δυνατή στην περίπτωση που το μηχανικό σύστημα εκτελεί μικρές μετακινήσεις γύρω από τη θέση ευσταθούς ισορροπίας, οι οποίες λέγονται ταλαντώσεις ή καλύτερα γραμμικές ταλαντώσεις γιατί περιγράφονται από γραμμικές διαφορικές εξισώσεις και παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον για τη δυναμική ανάλυση των κατασκευών. Στην περίπτωση επιβολής εξωτερικής δυναμικής μετακίνησης u q (t), η εξίσωση κίνησης σε μητρωική μορφή δίνεται από τη σχέση: M v(t) + C v(t) + Κv(t) = Mü g (t). (4.2) H (4.2) δίνει τη χρονική μεταβολή των μετατοπίσεων του συστήματος όταν φορτίζεται με τις δυνάμεις αδράνειας Μü g (t) και από την οποία εντοπίζονται οι μέγιστες μετακινήσεις. Έχει γίνει η Θεώρηση ότι το διάνυσμα των απόλυτων μετατοπίσεων-στροφών u 0 (t) είναι το άθροισμα της σεισμικής κίνησης εδάφους u g (t) με το διάνυσμα σχετικών ως προς το έδαφος μετατοπίσεων και στροφών v(t). Ο πρώτος όρος της (4.2) δίνει τις δυνάμεις αδράνειας της μάζας, ο δεύτερος τις δυνάμεις απόσβεσης για συμπεριφορά κατασκευής γραμμικά ελαστική και απόσβεση ιξώδη-γραμμική και ο τρίτος τις ελαστικές δυνάμεις επαναφοράς. Σημειώνεται ότι οι υπόψη δυνάμεις εξαρτώνται από τις σχετικές μετατοπίσεις και ταχύτητες και όχι από τις ολικές γιατί κατά την κίνηση απολύτως στερεού σώματος, u g, δεν αναπτύσσονται ελαστικές δυνάμεις και επιπλέον θεωρούνται μόνο εσωτερικές αποσβέσεις που εξαρτώνται από την παραμόρφωση. Ιδιομορφές και Ιδιοσυχνότητες. Η μελέτη της κίνησης των πολυβάθμιων συστημάτων (επίλυση του διαφορικού συστήματος (4.2)), μπορεί να γίνει κατά τον απλούστερο και συστηματικότερο τρόπο με την βοήθεια ορισμένων απλών κινήσεων ανεξάρτητων από την εξωτερική διέγερση του συστήματος. Οι κινήσεις

166 4.1. ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. 157 αυτές προδιαγράφονται από τα φυσικά χαρακτηριστικά του συστήματος, και υπολογίζονται με καθαρή μαθηματική ανάλυση του προσομοιώματος του πραγματικού συστήματος. Για τον προσδιορισμό τους θεωρείται ότι η απόσβεση του συστήματος είναι μηδενική και ότι η ταλάντωση δεν οφείλεται σε εξωτερική διέγερση αλλά σε προγενέστερη διέγερση γνωστή κατά την αρχή μέτρησης του χρόνου ταλάντωσης (δηλαδή το σύστημα βρίσκεται σε ελεύθερη ταλάντωση χωρίς απόσβεση). Έτσι η εξίσωση κίνησης (για μικρές ταλαντώσεις) στην περιοχή ευσταθούς ισορροπίας, ενός μηχανικού συστήματος το οποίο κινείται κάτω από ένα σύστημα συντηρητικών δυνάμεων, δίνεται σε μορφή μητρώων M v(t) + Κv(t) = 0. (4.3) όπου Μ και Κ θετικά ορισμένα μητρώα μάζας και δυσκαμψίας. Υποθέτοντας ότι η λύση της (4.3) είναι της μορφής v(t) = af(t), (4.4) όπου a είναι ένα άγνωστο διάνυσμα μετακινήσεων ανεξάρτητο από τον χρόνο και f(t) μία επίσης άγνωστη χρονική συνάρτηση κοινή για όλες τις μετακινήσεις, η λύση που ζητείται χαρακτηρίζεται από τη συγχρονισμένη κίνηση όλων των μαζών. Οι εξισώσεις (4.3) και (4.4) δίνουν τελικά [47 ] μία εξίσωση της μορφής (Κ λμ) = 0, όπου λ = f(t)/f(t), μια σταθερά. Το σύστημα για να έχει λύση εκτός από την προφανή a = 0 πρέπει det(k λm) = 0. (4.5) Η λύση της (4.5) δίνει τα λ που λέγονται οι ιδιοτιμές του προβλήματος. Για κάθε λ (δίνεται και το αντίστοιχο διάνυσμα μετακινήσεων a i που λέγεται ιδιοδιάνυσμα του προβλήματος ιδιοτιμής. Για τον υπολογισμό των a i γίνεται κανονικοποίηση των και προκύπτουν τα ιδιοδιανύσματα ϕ i όπου γενικά φ i = c i a i με c i μια αυθαίρετη σταθερά. Το πρόβλημα ιδιοτιμής της εξίσωσης (4.5) λέγεται συμμετρικό γιατί τα μητρώα Κ και Μ είναι συμμετρικά. Θεωρώντας την ειδική περίπτωση της αρμονικής ταλάντωσης του συστήματος, το διάνυσμα των μετακινήσεων δίνεται στη μορφή [11] v = φ sin ωt, (4.6) όπου φ είναι ιδιοδιάνυσμα και ω είναι η γωνιακή συχνότητα. και αντικαθιστώντας την (4.6) στην (4.3) προκύπτει η εξίσωση (Κ ω 2 Μ)φ = 0. (4.7)

167 158 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Η (4.7) είναι η εξίσωση ιδιοτιμής και αποτελείται από ένα σύνολο ομογενών εξισώσεων. Στην περίπτωση όπου η ορίζουσα det(κ ω 2 Μ)φ 0. H μόνη δυνατή λύση της (4.7) είναι φ = 0, δηλαδή προκύπτει η περίπτωση του συστήματος χωρίς κίνηση. Για να προκύπτει μη μηδενική λύση πρέπει η ορίζουσα det(κ ω 2 Μ)φ = 0, (4.8) οπότε φ 0 και δίνεται από την λύση της (4.8). Η λύση της (4.8) δίνει διακριτές ιδιοτιμές ω 2 i = λ i, όπου i = 1,..., ο αριθμός των ιδιοτιμών και είναι το πλήθος των βαθμών ελευθερίας της διακριτοποιημένης κατασκευής. Σύμφωνα με την (4.8) σε κάθε λύση της (4.10) αντιστοιχεί ένα ιδιοδιάνυσμα φ i. Η (4.7) γράφεται στη γενικότερη μορφή (K ω 2 i M)φ i = 0, i = 1, 2,...,. (4.9) Κάδε ιδιοτιμή και ιδιοδιάνυσμα ορίζει μία ελεύθερη ταλάντωση του μηχανικού συστήματος, την ιδιοταλάντωση. Η ιδιοτιμή λ i σχετίζεται με την i-στη φυσική συχνότητα ή ιδιοσυχνότητα f i του μηχανικού συστήματος ως ακολούθως f i = ω i, = l, 2,..., N. 2n Ο αριθμός των ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων είναι ίσος με τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας του συστήματος στους οποίους αντιστοιχούν συγκεντρωμένες μάζες (στροφικές ή/και μεταφορικές). Οι κύριοι τρόποι ταλάντωσης, όπως αναφέρθηκε και στον μονοβάθμιο ταλαντωτή, είναι απλές αρμονικές κινήσεις με περιόδους T i = 2π ω i, i = 1, 2,..., N, που ειδικότερα ονομάζονται φυσικές περίοδοι ή ιδιοπερίοδοι του συστήματος. Στην περίπτωση που τα μητρώα δυσκαμψίας Κ και μάζας Μ είναι συμμετρικά, όπως συνήθως συμβαίνει στην ανάλυση δομικών φορέων, με τη χρήση του θεωρήματος του Betti προκύπτει ότι τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα θα είναι ορθογώνια μεταξύ τους [1]. Επιπλέον με Κ και Μ θετικά ορισμένα οι ιδιοτιμές θα είναι πραγματικές, ενώ για μητρώο Κ θετικά ημιορισμένο θα προκύπτει και μηδενική ιδιοτιμή. Έτσι προκύπτει ότι οι ιδιομορφές είναι ορθογώνιες ως προς το μητρώο μάζας, που σε μορφή μητρώων δίνεται από την εξίσωση φ T i Μφ j = 0, i j (4.10)

168 4.1. ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. 159 και φ T i Μφ j = Mj, όπου Mi ονομάζεται η j-στη γενικευμένη μάζα (με διαστάσεις μάζας). Το ίδιο ισχύει και ως προς το μητρώο δυσκαμψίας και δίνεται από την εξίσωση φ T i Kφ j = 0, i j (4.11) και φ T i Kφ j = K j, όπου K i ονομάζεται η j-στη γενικευμένη δυσκαμψία (με διαστάσεις Δύναμης/Μήκος). Με κάποια μεγαλύτερη προσέγγιση στην περίπτωση που θεωρηθεί σύμφωνα με τον Rayleigh ένα μητρώο απόσβεσης της μορφής: C = a 0 M + a 1 M, όπου αο και αχ αυθαίρετοι συντελεστές [7] οι ιδιομορφές είναι ορθογώνιες και ως προς το μητρώο απόσβεσης φ T i Cφ j = 0, i j (4.12) και φ T i Cφ j = C j, όπου C i ονομάζεται η j-στη γενικευμένη απόσβεση και δίνεται από την εξίσωση: C = 2ξ j ω j M j, όπου ξ j, τα ποσοστά απόσβεσης των ιδιομορφών [1]. Σημειώνεται ότι για την μελέτη των γραμμικών ταλαντώσεων δεν απαιτείται το πλήρες μητρώο απόσβεσης αρκεί η γνώση των ποσοστών απόσβεσης ξ i, των κύριων ιδιομορφών. Να σημειώσουμε ότι σε κάποιες περιπτώσεις εκλέγεται σταθερό ποσοστό απόσβεσης για όλες τις ιδιομορφικές ταλαντώσεις ανάλογα με το είδος της κατασκευής. Από τις (4.10) και (4.11) με βάση την εξίσωση Rayleigh προκύπτει: ω 2 j = φt i Kφ j φ T i Μφ j = K j M j, (4.13) Το ίδιο προκύπτει και από την ενεργειακή θεώρηση των ιδιοταλαντώσεων του συστήματος. Οι συνθήκες ορθογωνικότητας των ιδιομορφών δηλώνουν ότι κάθε ιδιομορφή είναι διακριτή και γραμμικώς ανεξάρτητη από τις άλλες. Επίσης μία φυσική ιδιομορφή του συστήματος μπορεί να εκφραστεί με τη χρήση της αντίστοιχης γενικευμένης μάζας και δυσκαμψίας του [1], [2]. Η προηγούμενη ιδιομορφική ανάλυση αποτελεί τη βάση για την επίλυση οποιουδήποτε δυναμικού προβλήματος γιατί η τυχούσα απόκριση ενός συστήματος μπορεί πάντοτε να εκφρασθεί ως γραμμική επαλληλία των ιδιομορφών. Στην περίπτωση που η κατασκευή είναι αστήρικτη (το μητρώο δυσκαμψίας K είναι ιδιάζον (singular), με det(k) = 0 εμφανίζονται μηδενικές ιδιοτιμές και οι αντίστοιχες ιδιομορφές δίνουν τις μετακινήσεις - στροφές της κατασκευής

169 160 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ σαν στερεό σώμα. Πράγματι για ω = 0 η σχέση (4.11) γίνεται Κφ 0 = 0 όπου φ 0, είναι το ιδιοδιάνυσμα της ιδιομορφής στερεού σώματος. Η σχέση αυτή επαληθεύεται δεδομένου ότι οι μετατοπίσεις της κατασκευής σαν στερεό σώμα δεν δημιουργούν εσωτερικές παραμορφώσεις και αντιδράσεις. Για να αποφευχθούν τα αριθμητικά προβλήματα που προκύπτουν από την ύπαρξη αυτών των ιδιομορφών στους υπολογισμούς της δυναμικής ανάλυσης λόγω διέγερσης βάσης, είτε στηρίζεται η κατασκευή και το μητρώο δυσκαμψίας γίνεται θετικά ορισμένο, κανονικό μητρώο (αντιστρέψιμο), είτε προστίθεται μεγάλη μάζα ή δυσκαμψία στα σημεία στήριξης όπου εφαρμόζεται η διέγερση και στους αντίστοιχους βαθμούς ελευθερίας. Εάν η διέγερση εφαρμόζεται σε περισσότερα από ένα σημεία, τότε για τη φασματική ανάλυση μπορούν να συνδεθούν όλα αυτά τα σημεία σε ένα στερεό σώμα με ένα μοναδικό σημείο αναφοράς στο οποίο και θα εφαρμοστεί η διέγερση. Οι ιδιομορφές στερεού σώματος πρέπει να περιλαμβάνονται στους υπολογισμούς φασματικής ανάλυσης εάν η διέγερση αντιπροσωπεύει μετακινήσεις ταχύτητες ή/και επιταχύνσεις μετρούμενες σχετικά με ένα επίπεδο αδράνειας, (απόλυτη κίνηση). Από την άλλη πλευρά οι ιδιομορφές στερεού σώματος μπορούν να μην συμπεριληφθούν στους υπολογισμούς όταν η διέγερση αντιπροσωπεύει σχετικές μετακινήσεις ή/και ταχύτητες. Σημειώνεται ότι κάθε μάζα ταλάντωσης πρέπει να είναι πολύ μικρή σχετικά με τη μάζα που θεωρείται στη βάση της κατασκευής έτσι ώστε ο ταλαντωτής να μην επηρεάζει τη δυναμική συμπεριφορά της βάσης της κατασκευής. Ενδεικτικά δίνονται κάποια παραδείγματα ιδιομορφών, όπως στα Σχήματα 4.1 και 4.2 όπου έχομε το προσομοίωμα ενός διώροφου πλαισίου και σχηματικά οι δύο πρώτες ιδιομορφές. Στο Σχήμα 4.3 δίνονται οι ιδιομορφές ενός μικρού τοίχου με την παραδοχή ότι αυτός λειτουργεί ως δίσκος επίπεδης έντασης (δηλαδή η εκτός επιπέδου λειτουργία παραλείπεται). Τέλος, στο Σχήμα 4.4 παρουσιάζεται το τρισδιάστατα μοντέλο πεπερασμένων ενός κτίσματος ρολογιού και οι 2η και 3η ιδιομορφή. Αριθμητικές μέθοδοι εύρεσης ιδιομορφών. Γενικά οι μέθοδοι υπολογισμού των ιδιομορφών χρησιμοποιούν είτε τη μετατροπή των μητρώων μάζας ή του μητρώου (K λm) σε μία τριδιαγώνια μορφή είτε ακολουθούν μια βηματική επαναληπτική επίλυση του αρχικού δυναμικού μητρώου. Στην περίπτωση όπου το μητρώο μάζας Μ είναι θετικά ορισμένο και το μητρώο K είναι συμμετρικό σύμφωνα με την ανάλυση του Cholesky προκύπτει: M = LL T, (4.14)

170 4.1. ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. 161 Σχήμα 4.1: Ένα διώροφο, πλαίσιο και το απλοποιημένο μοντέλο του (διατμητικό πλαίσιο). όπου L είναι ένα κάτω διαγώνιο μητρώο. Αντικαθιστώντας την (4.14) στην (4.9) προκύπτει ότι: Kφ i = λ i LL T φ i. (4.15) Από την (4.15) για φ i = L T φ i, προκύπτει ότι: (J λ 1 I) φ i = 0, (4.16) όπου J = L 1 K(L 1 ) T ένα συμμετρικό μητρώο και Ι είναι το μοναδιαίο μητρώο. Παρατηρείται ότι για Κ συμμετρικό και ο J είναι συμμετρικός και επομένως μπορεί να μετατραπεί σε έναν συμμετρικό τριδιαγώνιο μητρώο, π.χ. με την μέθοδο Householder ή Givens [5] για μείωση του υπολογιστικού κόστους. Έτσι οι ιδιοτιμές λ, της (4.16) μπορούν να καθοριστούν π.χ. μέσω της ακολουθίας Sturm με την μέθοδο της διχοτόμησης [5]. Τα ιδιοδιανύσματα δίνονται από την εξίσωση: φ = (L T ) φ

171 162 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Σχήμα 4.2: Σχηματική αναπαράσταση των πρώτων ιδιομορφών του διώροφου πλαισίου. και μπορούν να υπολογιστούν είτε με τη μέθοδο αντιστροφής π.χ. (J λ 1 I) φ (M+1) i = φ (M) i, είτε και με τη χρήση μετατόπισης (shift point) για την ταχύτερη σύγκλιση των αποτελεσμάτων. Οι τροποποιημένες μέθοδοι Givens και Householder (Modified Givens, Modified Householder) χρησιμοποιούν την ανάλυση του Cholesky στο θετικά ορισμένο μητρώο. (K + λ S M) = LL T, όπου λ S είναι ένας θετικός αριθμός ο οποίος επιτρέπει αντί του Μ ο οποίος μπορεί να είναι ιδιάζον (singular) να χρησιμοποιηθεί ένα μετατοπισμένο μητρώο. Το λ S εκτιμάται με βάση τους διαγώνιους όρους του μητρώου μάζας και δυσκαμψίας καθώς και τη διάσταση των μητρώων αυτών. Η αντίστροφη επαναληπτική μέθοδος (Inverse iteration) επιτρέπει την εύρεση των χαμηλότερων ιδιοτιμών ή ιδιοτιμών κοντά σε μία δοσμένη τιμή [7]. Η μέθοδος Lanczos χρησιμοποιεί έναν αλγόριθμο επαναληπτικής μετατόπισης κατά τμήματα. Ομάδες

172 4.1. ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ η 2η 5η 10η Σχήμα 4.3: Ιδιομορφές τοίχου προβόλου με ανοίγματα. διανυσμάτων που λαμβάνονται από μια επαναληπτική μορφή χρησιμοποιούνται για να περιορίσουν το πρόβλημα σε ένα περιορισμένο τμήμα τριδιαγώνιας μορφής. Οι λύσεις του ιδιοπροβλήματος υπολογίζονται στην περιορισμένη βάση από ένα γραμμικό τετραγωνικό αλγόριθμο και έπειτα μετασχηματίζονται στην αρχική βάση. Αυτή είναι η πιο μοντέρνα μέθοδος, προς το παρόν, και συστήνεται για προβλήματα μεγάλου μεγέθους [4]. Εφόσον η μέθοδος λαμβάνει υπόψη την ταινιοειδή μορφή των μητρώων εισαγωγής που είναι διάσπαρτα, είναι πιο οικονομικό, να εφαρμόζεται χωρίς χρήση στατικής ή δυναμικής συμπύκνωσης (διότι οι τεχνικές αυτές καταστρέφουν την ταινιοειδή ιδιότητα των μητρώων του προβλήματος). Η μέθοδος Lanczos συνδυάζει τις προηγούμενες μεθόδους, δίνοντας γρηγορότερα αποτελέσματα, κυρίως για μεγάλα προβλήματα όπου ζητείται ένας μεγάλος αριθμός ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων. Όλες οι μέθοδοι επίλυσης του ιδιοπροβλήματος απαιτούν σε κάθε στήλη των

173 164 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Σχήμα 4.4: Μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων και οι 2 η και 3 η ιδιομορφή κτίσματος ρολογιού. μητρώων Κ και Μ να υπάρχουν μη μηδενικοί όροι. Οι μέθοδοι Givens (GIV) και Householder (HOU) απαιτούν επιπροσθέτως το μητρώο μάζας να είναι θετικά ορισμένος. Δυναμική ανάλυση με χρήση ιδιομορφών. Η μεγάλη πρακτική αξία της ιδιομορφικής ανάλυσης έγκειται, όπως ήδη αναφέρθηκε, στη δυνατότητα έκφρασης της απόκρισης ενός τυχαίου πολυβάθμιου συστήματος ως γραμμική επαλληλία των ιδιομορφών του. Οι ιδιοταλαντώσεις που υπολογίζονται από την ανάλυση ιδιομορφών, χρησιμοποιούνται για τον περιορισμό του κόστους άλλων βασικών αναλύσεων, με κατάλληλο περιορισμό του αριθμού των βαθμών ελευθερίας του συστήματος. Με βάση τις σχέσεις ορθογωνικότητας, τα ανεξάρτητα μεταξύ τους διανύσματα των ιδιομορφών φ i, ορίζουν ένα ορθογωνικό σύστημα αναφοράς του χώρου των ιδιομορφών, ως προς το οποίο είναι δυνατό πάντοτε να αναλυθεί το τυχόν διάνυσμα μετακινήσεων v(t). Έτσι θα ισχύει: v(t) = φ 1 Y 1 (t) + φ 2 Y 2 (t) + φ N Y N (t). (4.17)

174 4.1. ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. 165 Σύμφωνα με την (4.17), κάθε ιδιομορφή καθορίζει και ένα άξονα του νέου συστήματος συντεταγμένων που λέγεται γενικευμένος άξονας και οι χρονικές συναρτήσεις Y j (t) είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος μετακινήσεων v(t) στο γενικευμένο σύστημα αξόνων, έχουν διαστάσεις μήκους και αποτελούν τα χρονικά μεταβαλλόμενα εύρη της κάθε ιδιομορφής. Κάθε γενικευμένη συντεταγμένη Y N (t) υπολογίζεται σαν προβολή του διανύσματος Mv(t) στον αντίστοιχο γενικευμένο άξονα φ και πολ/ζοντας την (4.17) πρώτα με το μητρώο μάζας από αριστερά και έπειτα με το διάνυσμα φ T N προκύπτει: φ T NMv = M N Y N (t) (4.18) Άρα και Y N (t) = 1 M N φ T NMv(t). Στην περίπτωση της ελεύθερης ταλάντωσης με απόσβεση η εξίσωση κίνησης του συστήματος γράφεται ως εξής: M v(t) + C v(t) + Κv(t) = 0. Ο μετασχηματισμός της (4.17) σε μητρωική μορφή γράφεται v(t) = ΦY(t), (4.19) όπου Φ το μητρώο ιδιομορφών και Y(t) το διάνυσμα των γενικευμένων συντεταγμένων. Αντικαθιστώντας την (4.19) στην (4.18) προκύπτει: MΦŸ(t) + CΦẎ(t) + ΚΦY(t) = 0. (4.20) Πολ/ζοντας την (4.20) από αριστερά με Φ T προκύπτει: Φ T MΦŸ(t) + ΦT CΦẎ(t) + ΦT ΚΦY(t) = 0. (4.21) Με βάση τις ιδιότητες ορθογωνικότητας των ιδιομορφών (4.10), (4.11) και (4.12), η (4.21) γράφεται στη μορφή M d Ÿ(t) + C d Ẏ(t) + Κ d Y(t) = 0. (4.22)

175 166 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ όπου M d και K d τα μητρώα γενικευμένης μάζας και δυσκαμψίας. M d = M 1 M 2, K d = K 1 K 2. M N M1 ξ 1 ω 1 C d = M 2 ξ 2 ω 2 M N ξ Nω N K N όπου M i, K i και C i. οι γενικευμένες μάζες, δυσκαμψίες και αποσβέσεις του συστήματος. Η (4.22) παριστάνει ένα σύστημα ασύζευκτων εξισώσεων αναφορικά με το γενικευμένο σύστημα συντεταγμένων [7] και επειδή τα μητρώα M d, C d και K d είναι διαγώνια, διασπώνται στις ανεξάρτητες εξισώσεις: M n Ÿ n (t) + 2M n ξ n ω n Ẏ n (t) + K n Y n (t) = 0, n = 1, 2, 3,..., (4.23) στις οποίες τα ξ n είναι τα ποσοστά αποσβέσεων των ιδιομορφών [1]. Χρονική επαλληλία των ιδιομορφών. Στην περίπτωση εξωτερικής κίνησης βάσης (π.χ. σεισμικής διέγερσης δομικού φορέα) u g (t) ή ü g (t) η εξίσωση κίνησης σε μητρωική μορφή δίνεται από τη σχέση: M v(t) + C v(t) + Kv(t) = Mδü g (t). (4.24) Η (4.24) δίνει τη χρονική μεταβολή των μετατοπίσεων του συστήματος όταν φορτίζεται με τις δυνάμεις αδράνειας ( Μδü g (t) ) από την οποία εντοπίζονται οι μέγιστες μετακινήσεις. Έχει γίνει η θεώρηση ότι το διάνυσμα των απόλυτων μετατοπίσεων-στροφών u 0λ είναι το άθροισμα της εξωτερικής κίνησης βάσης (π.χ. σεισμικής κίνησης εδάφους) u g (t) με το διάνυσμα σχετικών ως προς τη βάση (π.χ. το έδαφος) μετατοπίσεων και στροφών v(t). u 0λ (t) = δu g (t) + v(t).

176 4.1. ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. 167 Το δ της (4.24) είναι το διάνυσμα των στερεοστατικών μετακινήσεων για τη θεωρούμενη εξωτερική διέγερση [2], το οποίο εξαρτάται από την επιλογή των ελευθεριών κίνησης και το είδος της διέγερσης. Στη γενική περίπτωση δίνεται σαν δ = [ 1, 2,..., N ] T όπου το τυχόν i ισούται με τη μετακίνηση κατά τη διεύθυνση της i- στης ελευθερίας κίνησης, λόγω μοναδιαίας στερεοστατικής κίνησης του συστήματος μαζί με τη βάση του. Γίνεται συσχέτιση των ελευθεριών κίνησης (βαθμών ελευθερίας) του συστήματος με την κίνηση της βάσης, ώστε να θεωρείται ότι το ταλαντούμενο σύστημα από την εξωτερική διέγερση βάσης είναι ισοδύναμο με ένα ( σύστημα πακτωμένο στη βάση, που φορτίζεται με τις δυνάμεις αδράνειας Mδüg (t) ). Σύμφωνα με τα προηγούμενα η (4.24) με αντικατάσταση της σχέσης (4.19) δίνει ένα σύστημα ανεξάρτητων εξισώσεων (κατ αναλογία με τις (4.23): η M i Ÿ i (t) + C i Ẏ i (t) + K i Y i (t) = φ T i Mδü g (t) (4.25) Ÿ i (t) + 2ξ i ω i Ẏ (t) + ω 2 i Y i = ψ i ü g (t) (4.26) όπου ω i είναι η κυκλική ιδιοσυχνότητα, της i-στης ιδιομορφής, ξ i, το ποσοστό κρίσιμης απόσβεσης και ψ i = φt i Mδ φ T i Mφ i = δt Mφ i M i = L i M i L i = φ T i Mδ. Το μέγεθος Mi όπως προαναφέρθηκε έχει διαστάσεις μάζας και ονομάζεται γενικευμένη μάζα της i-στης ιδιομορφής. Το μέγεθος L i έχει επίσης διαστάσεις μάζας. Το πηλίκο ψ i = L i /Mi v είναι αδιάστατο μέγεθος, ονομάζεται συντελεστής συμμετοχής της i-στης ιδιομορφής για διέγερση ως προς το συγκεκριμένο άξονα και είναι ενδεικτικό του βαθμού συμμετοχής της -στης ιδιομορφής στο άθροισμα της εξίσωσης (4.17). Ο συντελεστής συμμετοχής αναφέρεται στη μάζα που συμμετέχει στην ιδιομορφική ταλάντωση και συνεπώς μετρά τη δυνατότητα κατανάλωσης ενέργειας στη συγκεκριμένα ιδιομορφική ταλάντωση. Σημειώνεται ότι η άθροιση για τα μεγέθη L i γίνεται μόνο για τις συνιστώσες ιδιομορφών και συγκεντρωμένων μαζών κατά τη διεύθυνση της διέγερσης, ενώ η άθροιση για τις γενικευμένες μάζες M i επεκτείνεται και στις άλλες συνιστώσες. Σε

177 168 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ πλήρη αντιστοιχία με το μονοβάθμιο ταλαντωτή, η κυκλική ιδιοσυχνότητα ω i προκύπτει από τη σχέση: ωi 2 = K i (4.27) Mi Η εξίσωση (4.25) παριστάνει την ταλάντωση ενός μονοβάθμιου συστήματος με μάζα M i, συντελεστή δυσκαμψίας K i και συντελεστή απόσβεσης C i, που υποβάλλεται σε σεισμική διέγερση L i u g (t) της βάσης και εμφανίζει τη σχετική μετακίνηση Y i. Η υπόψη μετακίνηση υπολογίζεται με επίλυση της (4.26) και δίνεται από τον τύπο Y i (t) = ψ i X i (t), (4.28) όπου X i (t) = 1 T ü g (t)e ξω(t t) sin ω d (T t)dt ω di 0 το λεγόμενο ολοκλήρωμα Duhamel και ω di = ω 1 λ 2 η κυκλική ιδιοσυχνότητα του i-στου ταλαντωτή με απόσβεση. Ο υπολογισμός του ολοκληρώματος Duhamel για κάθε ιδιομορφή, δηλαδή για κάθε ζεύγος τιμών ω i, ξ i θα δώσει τις άγνωστες συναρτήσεις X i (t) και στη συνέχεια με αντικατάσταση του Y i στην (4.17) προκύπτει ο τύπος υπολογισμού των σχετικών μετακινήσεων του συστήματος v(t) = v i (t), (4.29) όπου v i (t) = ψ i X i (t)φ i, i = l, 2,..., N. Οι ολικές μετακινήσεις του συστήματος υπολογίζονται από την σχέση u 0λ (t) = N ψ i φ i X i (t) + δu g (t). (4.30) i=1 Η ανάλυση των στερεοστατικών μετακινήσεων δ στις συνιστώσες του κατά τις διευθύνσεις των «αξόνων» φ i [2] οδηγεί τελικά στην ταυτότητα δ = N ψ i φ i. (4.31) i=1 Από τις (4.30) και (4.31) προκύπτει ότι u 0λ (t) = N ( ψ i φ i Xi (t) + u g (t) ) = i=1 N ψ i φ i D i (t) i=1

178 4.1. ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. 169 όπου D i (t) = X i (t) + u g (t) Συνεπώς το αντίστοιχο μέγεθος προς το Y i είναι Y i (t) = ψ i D i (t) το οποίο παριστάνει την ολική μετακίνηση του ιδεατού μονοβάθμιου συστήματος με μάζα M i και δυσκαμψία K i. Σύμφωνα με τα προηγούμενα, η χρήση της μεθόδου των ιδιομορφών διασπά το δυναμικό πρόβλημα του πολυβάθμιου συστήματος σε μια σειρά μονοβάθμιων προβλημάτων. Η συνολική δε απόκριση προκύπτει, όπως φαίνεται στην εξίσωση (4.29), από την επαλληλία της απόκρισης των ιδιομορφών του συστήματος, κάθε μία από τις οποίες συμπεριφέρεται ως μονοβάθμιος ταλαντωτής με εύρος ταλάντωσης ίσο φ i χ i (t) [4]. Επισημαίνεται εδώ, ότι οι συντελεστές συμμετοχής των ιδιομορφών ταλάντωσης εξαρτώνται από τα στοιχεία δυσκαμψίας και μάζας της κατασκευής. Οι συντελεστές αυτοί, σε συνδυασμό με τα χαρακτηριστικά της διέγερσης (π.χ. φάσμα σχεδιασμού για τον στατιστικά αναμενόμενο σεισμό στην περίπτωση σεισμικής ανάλυσης δομικού φορέα), επιτρέπουν την αποτίμηση της σπουδαιότητας της συνεισφοράς κάθε ιδιομορφικής ταλάντωσης στη δυναμική απόκριση της κατασκευής. Η διαδικασία αυτή επιτρέπει τη μείωση της διαστάσεως του προς επίλυση προβλήματος, με την θεώρηση μόνο των σημαντικών ιδιομορφών του. Σημειώνεται ότι η διαδικασία αυτή είναι αυτόματη, όπως θα εξηγηθεί και στη συνέχεια, και δεν περιέχει καμία αυθαίρετη επιλογή των χρησιμοποιούμενων βαθμών ελευθερίας, όπως θα συνέβαινε στην περίπτωση στατικής ή δυναμικής συμπύκνωσης. Το τελευταίο στοιχείο είναι ιδιαίτερα σημαντικό για δύσκαμπτες (π.χ. μνημειακές) κατασκευές πολιτικού μηχανικού όπου η πολυμορφία των κατασκευών και η δύσκολη τυποποίηση τους δεν επιτρέπουν, συνήθως, τον εύκολο εντοπισμό των σημαντικών τρόπων ταλάντωσης. Οι μέγιστες κατά απόλυτη τιμή αποκρίσεις για κάθε ιδιομορφή σύμφωνα με το ακόλουθο σχήμα που βασίζεται στην παρατήρηση ότι η επιβαλλόμενη κίνηση ενός μονοβάθμιου ταλαντωτή περιγράφεται από την εξίσωση (4.26). Η μέγιστη απόλυτη τιμή για κάθε ιδιομορφή Y i βρίσκεται, υπολογίζοντας πρώτα τη μέγιστη τιμή του X i στην εξίσωση (4.27) για κατάλληλες τιμές των ω i και ξ i. Εάν η μέγιστη τιμή των X i (t) καλείται X r (ω, λ), με βάση την (4.28) προκύπτει ότι η μέγιστη απόλυτη τιμή των Y i, είναι Y r = ψ i X r (ω, ξ). (4.32)

179 170 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Εάν το ü g (t) ανήκει σε ένα συγκεκριμένο σύνολο διεγέρσεων, είναι υπολογιστικά ευκολότερο να γίνει πρώτα ο υπολογισμός των τιμών X r για συχνότητα ω και απόσβεση ξ. Η σχεδίαση αυτών καλείται φάσμα απόκρισης της διέγερσης, το οποίο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση των μέγιστων τιμών απόκρισης συγκεκριμένων κατασκευών από τις εξισώσεις (4.32) και (4.19). Με τη μέθοδο ανάλυσης κατά ιδιομορφές εκτός από το πλεονέκτημα της αναγωγής του προβλήματος των πολυβάθμιων συστημάτων σε ανεξάρτητες επιλύσεις μονοβάθμιων συστημάτων, επιτρέπεται ακόμα η χρήση ενός περιορισμένου (μικρού συνήθως) αριθμού ιδιομορφών του φορέα για τον υπολογισμό της δυναμικής του απόκρισης με ικανοποιητική ακρίβεια. Ο απαιτούμενος αριθμός επιλέγεται με βάση τον βαθμό συμμετοχής των ιδιομορφών στην ταλάντωση της κατασκευής έτσι ώστε η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης με βάση τις ιδιομορφές που λαμβάνονται υπόψη να καλύπτει ικανοποιητικό ποσοστό της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης της κατασκευής (συνολική, χωρίς απλοποιητικές παραδοχές). Διευκρινίζεται ότι ο βαθμός συμμετοχής των ιδιομορφών είναι ενδεικτικός της επίδρασης κάδε ιδιομορφής και σε συνδυασμό με τα χαρακτηριστικά της δυναμικής διέγερσης βοηθά στην επιλογή των ιδιομορφών που θα χρησιμοποιηθούν τελικώς στην ανάλυση. Η πλήρης χρονική μεταβολή της απόκρισης της κατασκευής συνήθως δεν χρειάζεται, αλλά αρκεί η γνώση των μέγιστων τιμών των εντατικών μεγεδών R. Η γνώση του ακριβούς μέγιστου του εντατικού μεγέδους R(t) απαιτεί τη γνώση ολόκληρων των συναρτήσεων X i (t), καθ όσον τα μέγιστα τους δεν συμπίπτουν χρονικά. Είναι όμως δυνατόν να προσεγγισθούν οι μέγιστες τιμές R max με βάση τα επιμέρους ιδιομορφικά μέγιστα R i,max, με την χρήση τεχνικών επαλληλίας οι οποίες βασίζονται στην στατιστική και την εμπειρία. Εάν διεγείρονται ταυτόχρονα πολλοί βαθμοί ελευθερίας με διαφορετικούς τρόπους, η απόκριση, σαν συνάρτηση του χρόνου, δίνεται από την (4.29). Στην περίπτωση όμως των μέγιστων τιμών των ιδιομορφικών αποκρίσεων, που δεν συμβαίνουν ταυτόχρονα, δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί η ίδια σχέση, γι αυτό και χρειάζεται να συνδυαστούν τα ιδιομορφικά μέγιστα με διαφορετικό τρόπο ώστε να προσεγγιστεί η συνολικά μέγιστη απόκριση. Ενδεικτικά παρουσιάζονται τρεις εφαρμογές ιδιομορφικής ανάλυσης ιστορικών κατασκευών από φέρουσα τοιχοποιία. Παράδειγμα Η πρώτη εφαρμογή αφορά την ανάλυση του νοτιότερου των τριών Νεωρίων (του γενικού προβλεπτή Benedetto Moro) στην ανατολική πλευρά του παλαιού Ενετικού λιμένα Χανίων, το οποίο παρουσιάζει εμφανείς φθορές στον πέτρινο θόλο του. Το συγκρότημα των Ενετικών νεωρίων του παλαιού λιμένα Χανίων αποτελεί ένα από τα σημαντικότερα εναπομείνα-

180 4.1. ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. 171 ντα ιστορικά μνημεία της πόλης. Στα Σχήματα 4.5 και 4.6 παρουσιάζεται το τρισδιάστατο προσομοίωμα πεπερασμένων στοιχείων και οι τέσσερις πρώτες ιδιομορφές που προέκυψαν από την ιδιομορφική ανάλυση. Σχήμα 4.5: Βορειοδυτική αξονομετρική απεικόνιση τρισδιάστατου προσομοιώματος πεπερασμένων στοιχείων. Παράδειγμα Η δεύτερη εφαρμογή αφορά την ανάλυση ενός ιστορικού πύργου από φέρουσα τοιχοποιία. Πρόκειται για τον μεσαιωνικό πύργο «Torre Grossa», που χρονολογείται από τον δέκατο τρίτο αιώνα και βρίσκεται στην Piazza Duono (πλατεία του καθεδρικού ναού) στην πόλη του Σαν Τζιμινιάνο, της Τοσκάνης (Ιταλία). Έχει κάτοψη τετραγωνική 9.5x9.5m, ύψος 60m και πάχος τοίχων μεταβαλλόμενο m. Στα Σχήματα 4.7 και 4.8 δίνεται εικόνα του φορέα, το τρισδιάστατο προσομοίωμα πεπερασμένων στοιχείων, μία κατακόρυφη τομή και οι τρεις πρώτες ιδιομορφές που προέκυψαν από την ιδιομορφική ανάλυση. Παράδειγμα Η τρίτη εφαρμογή αναφέρεται σε ένα νεοκλασικό κτίριο που βρίσκεται στο κέντρο της πόλης των Χανίων, αποτελείται από δύο ορόφους και δύο υπόγεια, εμβαδού 225τμ έκαστο. Το καθαρό ύψος των ορόφων είναι

181 172 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1 η ιδιομορφή (συχνότητα 9,029 Hz) 2 η ιδιομορφή (συχνότητα 9,612 Hz) 3 η ιδιομορφή (συχνότητα 9,75 Hz) 4 η ιδιομορφή (συχνότητα 10,52 Hz) Σχήμα 4.6: Τέσσερις πρώτες ιδιομορφές. 4,80μ, του α υπογείου 3,65μ και του β υπογείου 1,00μ στο βόρειο και 2,10 στο νότιο τμήμα του. Ο φέρων οργανισμός του κτιρίου είναι κατασκευασμένος από λιθοδομή πάχους 65εκ, με λαξευτούς γωνιόλιθούς στις γωνίες και στα πλαίσια των ανοιγμάτων. Οι πλάκες της κατασκευής ποικίλουν από χώρο σε χώρο. Έτσι έχουμε ξύλινα δάπεδα εξολοκλήρου, πλάκες από ωπλισμένο σκυρόδεμα σύμπαγείς και πλάκες τύπου Zoellner με πλήρωση των κενών με οπτόπλινθους. Στο Σχήμα 4.9 δίνεται η εικόνα του κτιρίου, και τα τρισδιάστατα προσομοιώματα πεπερασμένων στοιχείων για τη περίπτωση μελέτης του κτιρίου χωρίς τις πλάκες (Σχ. 4.9β 1 ) και συνολικά με τις πλάκες (Σχ. 4.9β 2 ). Η πολυπλοκότητα του προσομοιώματος φαίνεται στο σχήμα 4.10 όπου αναλυτικά παρουσιάζεται το μοντέλο ανά όροφο του κτιρίου. Ενδεικτικά αποτελέσματα της ιδιομορφικής ανάλυσης φαίνονται στα σχήματα 4.11 και 4.12.

182 4.1. ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. 173 Filling External Internal Concrete 3D view Vertical section Σχήμα 4.7: Φωτογραφία και τρισδιάστατο προσομοίωμα πεπερασμένων στοιχείων ιστορικού πύργου και κατακόρυφη τομή του. 1 η ιδιομορφή (0,94Hz) 2 η ιδιομορφή (1,57Hz) 3 η ιδιομορφή (7,26Hz) Σχήμα 4.8: Τρεις πρώτες ιδιομορφές ιστορικού πύργου.

183 174 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ α) β1) β2) Σχήμα 4.9: α) Φωτογραφία και β) τρισδιάστατο προσομοίωμα πεπερασμένων στοιχείων νεοκλασικού κτιρίου χωρίς (β1) και με τις πλάκες (β2).

184 4.1. ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. 175 Σχήμα 4.10: Αναλυτική παρουσίαση του προσομοιώματος των πεπερασμένων στοιχείων.

185 176 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Mode 1 (Model Hz) Mode 2 (Model Hz) Σχήμα 4.11: Δύο πρώτες ιδιομορφές νεοκλασικού κτιρίου, προσομοίωμα β1 (χωρίς πλάκες) Σχήμα 4.12: Δύο πρώτες ιδιομορφές νεοκλασικού κτιρίου, προσομοίωμα β2 (με πλάκες).

186 4.2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΙΝΗΣΗΣ Αριθμητική ολοκλήρωση των εξισώσεων κίνησης Το σύστημα των εξισώσεων κίνησης (4.1) είναι αποτέλεσμα της χωρικής διακριτοποίησης (με πεπερασμένα στοιχεία κ.λπ.) ενός δυναμικού αρχικού μοντέλου του παραμορφώσιμου στερεού. Στις περισσότερες περιπτώσεις, η ακριβής λύση του διακριτοποιημένου δυναμικού προβλήματος (4.1) απαιτεί ότι οι επιταχύνσεις είναι ομαλές συναρτήσεις. Αυτή η υπόθεση παραβιάζεται συχνά σε πρακτικά προβλήματα. Η ασυνέχεια της δεύτερης παραγώγου ως προς τον χρόνο προκαλείται από τη μη γραμμική υστέρηση κάποιων δομών, την επαφή μεταξύ τμημάτων της δομής και του λυγισμού των στοιχείων. Σε αυτές τις περιπτώσεις δεν είναι εφαρμόσιμες οι κλασικές υψηλής ακρίβειας αριθμητικές μέθοδοι ολοκλήρωσης που απαιτούν ομαλότητα της λύσης, όπως π.χ., πεπερασμένες διαφορές, Runge-Kutta φόρμουλες. Οι τεχνικές της άμεσης αριθμητικής ολοκλήρωσης, οι οποίες δεν απαιτούν την ομαλότητα της δεύτερης παραγώγου μπορούν να χρησιμοποιηθούν. Ειδικότερα, η δεύτερης τάξης Newmark- β μέθοδο ([12]) μπορεί να χρησιμοποιηθεί προκειμένου να επιλύσει την εξίσωση ισορροπίας κίνησης (4.1) σε σχέση με το χρόνο. Πήρε το όνομά της από τον Nathan Μ Newmark, που αναπτύχθηκε το 1959 για την επίλυση των προβλημάτων δυναμικής των κατασκευών. Ας θεωρήσουμε την διακριτοποίηση στο χρονικό διάστημα [0, T ]: 0 = t 0 < t 1 < t 2 <... < t N 1 < t N = T και ας ορίσουμε τις διακριτές τιμές της λύσης της (4.1) ως {v(t n ) : {t n } N+1 n=0 } και την γνωστή συνάρτηση p n = p(t n ). Αν επεκτείνουμε τώρα τη λύση v n+1 της (4.1) γύρω από το σημείο t = t n, τότε παίρνουμε v n+1 = v n + t v n + t2 2 v n(ξ), (4.33) όπου v n = v(t n ), t n < ξ < t n+1. Αναλόγως, για την πρώτη παράγωγο έχουμε v n+1 = v n + t v(ζ). (4.34) Χρησιμοποιώντας το θεώρημα μέσης τιμής όπως επεκτάθηκε, η Newmark-β μέθοδος ορίζει ότι v(ξ) = (1 2β) v n + 2β v n+1, (4.35) όπου 0 < β < 0.5, 0 < γ < 1. v(ζ) = (1 γ) v n + γ v n+1, (4.36)

187 178 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Υποκατάσταση από τις εκφράσεις για v(ξ) και v(ζ) από (4.35) και (4.36) σε (4.33) και (4.34), αντίστοιχα αποδόσεις όπου v n+1 = u n + β t 2 v n+1, (4.37) v n+1 = w n + γ t v n+1, (4.38) u n = v n + t v n + (0.5 β) t 2 v n, w n = v n + (1 γ) t v n + γ t v n+1. (4.39) Με σκοπό να βρούμε v n+1 και v n+1 Χρειάζεται να γνωρίζουμε τις διακριτές τιμές της δεύτερης παραγώγου v n+1. Αντικαθιστώντας (4.37) και (4.38) σε (4.1) και ομαδοποιώντας τους συντελεστές έχουμε M v n+1 + Cu n + Kw n = p n, όπου M = M + Cγ t + Kβ t 2. Ως εκ τούτου v n+1 = M 1 (p n Cu n Kw n ). Για να υπολογίσουμε v n+1, n = 0, 1,..., N επαναληπτικά πρέπει να γνωρίζουμε τις αρχικές τιμές u 0 και w 0, δηλαδή v 0, v 0 και v 0 (δείτε (4.39)). Δίνοντας τις αρχικές συνθήκες v 0 = v(t 0 ) και v 0 = v(t 0 ) για το σύστημα (4.1) μπορούμε να βρούμε v 0 από (4.1), αμέσως: v 0 = M 1 (p 0 C v 0 Kv 0 ). Έτσι, μπορούμε να υπολογίσουμε όλες τις διακριτές τιμές της αριθμητικής λύσης v n+1 και τα παράγωγά της v n+1 με (4.37) και (4.38), αντίστοιχα. Ρυθμίζοντας το β σε διάφορες τιμές μεταξύ 0 και 1 μπορούμε να έχομε ένα ευρύ φάσμα αποτελεσμάτων. Συνήθως οι τιμές β = 0.25, γ = 0.5 αποδίδουν μια σταθερή λύση, ανεξάρτητα από συνθήκες, της μεθόδου μέσης επιτάχυνσης.

188 Βιβλιογραφία [1] Αναστασιάδης Κ, Δυναμική των Κατασκευών, I-II, Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη, [2] Αnastasiadis Κ, Αντισεισμικές Κατασκευές Ι, Εκδότης: CT Computers Technics, Θεσσαλονίκη, [3] Αβραμίδης I.E., Σεισμοί Φάσματα Απόκρισης, Προσομοίωση Κατασκευών, Σεμιναριακές σημειώσεις, Θεσσαλονίκη [4] Αναγνωστοπουλος Σ., Στοιχεία Αντισεισμικής Δυναμικής Ανάλυσης Κατασκευών με Φάσματα Απόκρισης- Σχεδιασμός, Εργασία ΙΤΣΑΚ:86-01, Θεσσαλονίκη, [5] Bathe K.J., Finite Element Procedures in Engineering Analysis, Prentice- Hall INC, New Jersey, [6] Chandrupatla, T.R., Belegundu, A.D. Εισαγωγή στα Πεπερασμένα Στοιχεία για Μηχανικούς, Παπασωτηρίου, Αθήνα (μετάφραση της τρίτης αμερικάνικης έκδοσης, Επιμέλεια Χ.Ν. Φραγκάκις, Μετάφραση Μ. Φραγκάκη, [7] Clough R., W, ΡΕΝΖΙΕΝ J., Dynamics of Structures, McGraw-Hill, INC, [8] Cook D. R., Concepts and Applications of Finite Element Analysis, John Wiley & Sons, [9] Κανάραχος Α.Ε., Προβατίδης Χ.Γ., Πεπερασμένα Στοιχεία στη Μηχανολογία (και ασκήσεις), Παπασωτηρίου, Αθήνα, [10] Κολλιόπουλος, Π.Κ., Μανώλης, Γ.Δ., Δυναμική των Κατασκευών με Εφαρμογές στην Αντισεισμική Μηχανική. Εκδόσεις Γκιούργδας, Αθήνα,

189 180 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [11] Leftheris B., Tzanaki E., Stavroulaki M.E., Dynamic Criteria for Reinforcement of Old Buildings, Πρακτικά συνεδρίου STREMA 93, Structura/ Studies, Repairs and Maintenance of Historical Buildings III, Ed. CA. Brebbia, R.J.B. Frewer, Bath U.K., Ιούνιος, [12] N. M. Newmark, A Method of Computation for Structural Dynamics, ASCE J. of the Eng. Mech. Division, vol. 85, N. EM3, [13] Προβατίδης, Χ.Γ., Πεπερασμένα Στοιχεία στην Ανάλυση Κατασκευών. Εκδόσεις Τζιόλα, Θεσσαλονίκη, [14] Τσαμασφύρος Γ.Ι., Θεοτόκογλου Ε. Μέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων. Τόμος 2, Συμμετρία, Αθήνα, 2005.

190 Κεφάλαιο 5 Προβλήματα δύο και τριών Διαστάσεων Στο κεφάλαιο αυτό αντιμετωπίζουμε προβλήματα δύο και τριών διαστάσεων με χρήση προβλημάτων επίπεδης έντασης και επίπεδης παραμόρφωσης. Ως απλούστερο στοιχείο δύο διαστάσεων αναπτύσσεται το τριγωνικό στοιχείο σταθερής έντασης και σταθερής παραμόρφωσης, καθώς και το τριγωνικό στοιχείο γραμμικής παραμόρφωσης στην (Παράγραφα 5.2, 5.3), ακολουθώντας την θεωρία του Κεφαλαίου 3. Οι παραδοχές πλάκας σε κάμψη συζητούνται στην Παράγραφο 5.4, και εξάγεται το μητρώο δυσκαμψίας με χρήση των υποθέσεων Kirchoff-Love. Τρισδιάστατα προβλήματα παρουσιάζονται συνοπτικά στην Παράγραφο 5.5. Επιπλέον συνοπτικές περιγραφές διδιάστατων προβλημάτων μηχανικής με εφαρμογή σε γεωτεχνικά προβλήματα περιέχονται στα συγγράμματα [1], [9]. Τα περισσότερα από τα συγγράμματα που αναφέρθηκαν στο προηγούμενο κεφάλαιο περιέχουν διδιάστατα και τρισδιάστατα προβλήματα, βλ. [12], [17], [3], [13]. Περισσότερες αναφορές παρατίθενται στη βιβλιογραφία αύτου του κεφαλαίου. 5.1 Προβλήματα επίπεδης έντασης και επίπεδης παραμόρφωσης Μέχρι τώρα, στο Κεφάλαιο 3, μελετήσαμε γραμμικά στοιχεία για τη δημιουργία δικτυωμάτων και πλαισίων. Η γεωμετρική τους μορφή εξαρτάται από δύο σημεία και τα χαρακτηριστικά τους συμπληρώνονται με τη διατομή και τη 181

191 182 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ ροπή αδράνειας, για ράβδους και δοκούς αντίστοιχα. Μία παράμετρος ˆx κατά μήκος του στοιχείου αρκεί για την περιγραφή κάθε θέσης, και ονομάζονται γραμμικά ή μονοδιάστατα στοιχεία. Στο κεφάλαιο αυτό μελετώνται διδιάστατα πεπερασμένα στοιχεία. Διδιάστατα επιφανειακά στοιχεία ορίζονται με τη χρήση τριών ή περισσοτέρων κόμβων τοποθετημένων πάνω στο επίπεδο x y. Τα στοιχεία συνδέονται μέσω κοινών κόμβων και πλευρών Η συμβατότητα μετακινήσεων πάνω στους κόμβους εξασφαλίζεται μέσω της χρήσης συναρτήσεων παρεμβολής και των εξισώσεων ισορροπίας. Τα διδιάστατα στοιχεία χρησιμοποιούνται σε συνδυασμό είτε με τη θεωρία επίπεδης έντασης, βλ. Σχήμα 5.1, είτε με τη θεωρία επίπεδης παραμόρφωσης, Σχήμα 5.2. Στην αρχή του κεφαλαίου αναπτύσσεται το μητρώο δυσκαμψίας του απλούστερου τριγωνικού στοιχείου, του στοιχείου με σταθερή ένταση ή παραμόρφωση το οποίο ονομάζεται Τριγωνικό Στοιχείο Σταθερής Έντασης/Παραμόρφωσης Costant Strain Triangle (CST). Το μητρώο ακαμψίας θα εξαχθεί μέσω της αρχής ελαχίστου για τη δυναμική ενέργεια, διότι αυτό είναι η καλύτερη και γενικότερη προσέγγιση για διδιάστατα και τρισδιάστατα στοιχεία. Στη συνέχεια θα παρουσιαστεί παράδειγμα εφαρμογής του Επίπεδη ένταση και επίπεδη παραμόρφωση Επίπεδη ένταση - Plane stress με την υπόθεση του μηδενισμού των κυρίων τάσεων κάθετα στο επίπεδο του φορέα. Για παράδειγμα, στα Σχήματα 5.1(α) και 5.1(β), οι πλάκες στο επίπεδο x y φορτισμένες με δύναμη εντός επιπέδου T (στο σύνορο ή κατανεμημένη στην επιφάνεια του φορέα) καθορίζουν πρόβλημα επίπεδης έντασης, συνεπώς οι αξονικές τάσεις σ z και οι διατμητικές τάσεις τ xz και τ yz μηδενίζονται. Αξίζει να σημειωθεί πως ο ίδιος διδιάστατος φορέας λειτουργεί ως πλάκα σε κάμψη ή δίσκος σε επίπεδη ένταση, ανάλογα με τη μορφή της φόρτισης, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.2. Επίπεδη παραμόρφωση - Plane Strain. Όταν η παραμόρφωση είναι κάθετα στο επίπεδο x y, ϵ z και οι διατμητικές παραμορφώσεις γ xz και γ yz μηδενίζονται. Οι υποθέσεις επίπεδης παραμόρφωσης ισχύουν για σώματα τα οποία εκτείνονται στο άπειρο στην μια διεύθυνση (π.χ. στην διεύθυνση z) με σταθερή διατομή και ίδιες φορτίσεις εντός του επιπέδου καθ όλο το μήκος του άξονα z.

192 5.1. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΠΙΠΕΔΗΣ ΕΝΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 183 y y x x z α) z β) Σχήμα 5.1: Παραδείγματα επίπεδης έντασης y y x x α) z β) z Σχήμα 5.2: α) Πλάκα σε κάμψη, β) δίσκος σε επίπεδη ένταση.

193 184 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Διδιάστατη ένταση και παραμόρφωση Με αναφορά στο απειροδιάστατα μικρό στοιχείο του Σχήματος 5.3 με πλευρές dx και dy και κάθετες τάσεις σx και σy που ενεργούν στις διευθύνσεις x και y αντιστοίχως. Οι διατμητικές τάσεις τ xy εφαρμόζονται στην κάθετη πλευρά x Σχήμα 5.3: Διδιάστατη ένταση. και κατά την y διεύθυνση, ενώ οι διατμητικές τάσεις τ yx στην οριζόντια πλευρά y και κατά την x διεύθυνση. Η εξίσωση ισορροπίας ροπών του στοιχείου οδηγεί στη σχέση ισότητας μεταξύ των τ xy και τ yx (για την απόδειξη παραπέμπουμε στο [8] και το Παράρτημα C.1 στο βιβλίο του Logan s [10]). Συνεπώς οι τρεις ανεξάρτητες τάσεις τοποθετούνται στον πίνακα στήλη (ή διάνυσμα) σ x, {σ} = σ y,. (5.1) Οι κύριες τάσεις, προκύπτουν από κατάλληλη στροφή του συστήματος αναφοράς ούτως ώστε να μηδενίζονται οι διατμητικές τάσεις και υπολογίζονται από τις ακόλουθες σχέσεις ([8]): σ 1 = σ x + σ y 2 σ 2 = σ x + σ y 2 τ xy (σx σ y + 2 (σx σ y 2 ) 2 + τ 2 xy = σ max, ) 2 + τ 2 xy = σ min. (5.2)

194 5.1. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΠΙΠΕΔΗΣ ΕΝΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 185 Η γωνία στροφής που απαιτείται θ p, ορίζεται ως tan 2θ p = 2τ xy σ x σ y. (5.3) Η κατεύθυνση του κυρίου συστήματος αναφοράς και οι κύριες τάσεις προκύπτουν είτε από την κλασική γραφική μέθοδο του Mohr, είτε από την επίλυση ενός συστήματος ιδιοτιμών, ιδιομορφών, βλ. Σχήμα 5.4. Η παραμόρφωση του x Σχήμα 5.4: Κύριες τάσεις και οι κατευθύνσεις τους. απειροστού στοιχείου φαίνεται στο Σχήμα 5.5. Κάθε σημείο A μετακινείται στη νέα του θέση σύμφωνα με το διάνυσμα που έχει συνιστώσες τις μετακινήσεις u και v, στην κατεύθυνση x και y αντίστοιχα, ενώ μετακινείται επιπλέον κατά την ποσότητα ( u/ x)dx κατά μήκος της πλευράς AB, και ( v/ y)dy κατά μήκος της πλευράς AC στις διευθύνσεις x και y, αντίστοιχα. Επιπροσθέτως, παρατηρώντας τις γραμμές AB και AC, διαπιστώνουμε ότι το σημείο B μετακινείται προς τα πάνω κατά την ποσότητα ( v/ x)dx σε σχέση με το σημείο A, και το σημείο C κινείται προς τα δεξιά κατά την ποσότητα ( u/ y)dy σε σχέση με το σημείο A. Από τον ορισμό των καθέτων και διατμητικών παραμορφώσεων και το Σχήμα 5.5, λαμβάνουμε ε x = u x, ε y = v y, γ xy = u y + v x. (5.4) Οι παραμορφώσεις ε x και ε y μετρούν την αλλαγή του μήκους ανοιγμένη στη μονάδα μήκους των πλευρών του υλικού που βρίσκονται αρχικά παράλληλες

195 186 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ C A B Σχήμα 5.5: Σχέση μετακινήσεων και παραμορφώσεων ενός στοιχείου στο επίπεδο x-y. στους άξονες x και y, αντιστοίχως. Οι τάσεις αυτές ονομάζονται ορθές ή εκτατικές παραμορφώσεις. Η παραμόρφωση γ xy μετρά την αλλαγή γωνίας της αρχικώς ορθής γωνίας που σχηματίζουν οι πλευρές dx και dy, όταν το στοιχείο υφίσταται παραμόρφωση και καλείται διατμητική παραμόρφωση. Οι παραμορφώσεις τοποθετούνται στον πίνακα-στήλη ε x, {ε} = ε y,. (5.5) Παρουσιάζονται στη συνέχεια οι καταστατικές σχέσεις (νόμος υλικού) για γραμμικώς ελαστικά προβλήματα επίπεδης έντασης και ισότροπα υλικά. Για προβλήματα επίπεδης έντασης, όπως προαναφέρθηκε, ισχύουν γ xy σ x = τ xz = τ yz = 0. Από τις σχέσεις της τρισδιάστατης ελαστικότητας σε συνδυασμό με τις προηγούμενες σχέσεις προκύπτει {σ} = [D]{ε},

196 5.2. ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΕΝΤΑΣΗΣ 187 όπου το [D] = E 1 ν 0 ν 1 0 (5.6) 1 ν ν 2 είναι ο πίνακας τάσεων-παραμορφώσεων (ή καταστατικός πίνακας), E είναι το μέτρο ελαστικότητας, και ν ο λόγος διόγκωσης ή λόγος του Poisson. Για προβλήματα επίπεδης παραμόρφωσης οι υποθέσεις της θεωρίας οδηγούν στις σχέσεις ε x = γ xz = γ yz = 0. Με εφαρμογή αυτών στις σχέσεις της τρισδιάστατης ελαστικότητας προκύπτει το μητρώο τάσεων παραμορφώσεων του υλικού στη μορφή 1 ν ν 0 E [D] = ν 1 ν 0. (5.7) (1 + ν)(1 2ν) 1 2ν Υπενθυμίζουμε ότι, αν απαλειφτούν οι τάσεις και παραμορφώσεις από τις σχέσεις που περιγράφουν τη μηχανική του γραμμικά ελαστικού σώματος, προκύπτουν οι μερικές διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν το φαινόμενο με μόνες αγνώστους το διανυσματικό πεδίο των μετακινήσεων 2 u x + 2 u 2 y = 1 + ν 2 2 ( 2 u y 2 2 v x y ), 2 v x + 2 v 2 y = 1 + ν ( ) 2 v 2 2 x 2 u. 2 x y 5.2 Το τριγωνικό στοιχείο σταθερής έντασης (5.8) Η λεπτή πλάκα του Σχήματος 5.6 θα χρησιμοποιηθεί για την εξαγωγή και επίδειξη των τριγωνικών στοιχείων επίπεδης έντασης. ΒΗΜΑ 1: Επιλογή του είδους των στοιχείων. Στο Σχήμα 5.8 θεωρούμε το βασικό τριγωνικό στοιχείο, όπως προκύπτει από τη διακριτοποιημένη πλάκα (δίσκο) του Σχήματος 5.7. Η διακριτοποίηση της πλάκας έγινε με τριγωνικά στοιχεία, καθένα με κόμβους που έχουν τους αριθμούς i, j, και m σε μια καθολική αρίθμηση. Τα τριγωνικά στοιχεία είναι τα απλούστερα στοιχεία επίπεδης ελαστικότητας. Ανάλογα

197 188 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Σχήμα 5.6: Λεπτή πλάκα σε εφελκυσμό. y T S m T S i j x Σχήμα 5.7: Η διακριτοποιημένη με τριγωνικά πεπερασμένα στοιχεία πλάκα του Σχήματος.

198 5.2. ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΕΝΤΑΣΗΣ 189 Σχήμα 5.8: Το βασικό τριγωνικό πεπερασμένο στοιχείο και οι βαθμοί ελευθερίας του. με την πυκνότητα της διακριτοποίησης, η ακρίβεια προσέγγισης αυξάνεται. Για παράδειγμα, μια διακριτοποίηση καλείται αραιή εάν χρησιμοποιούνται λίγα και μεγάλα στοιχεία. Κάθε κόμβος έχει δύο μεταφορικούς βαθμούς ελευθερίας, τις συνιστώσες του διανύσματος μετακίνησης κατά x και y. Συμβολίζουμε με u i και v i τις συνιστώσες της μετακίνησης κατά x και y στον κόμβο i. Υπενθυμίζεται εδώ η ανάγκη να χρησιμοποιηθεί σε όλη τη διακριτοποίηση η ίδια φορά αρίθμησης των κόμβων, για παράδειγμα η αντίθετη με τη φορά του ρολογιού, έτσι ώστε να αποδίδεται με μαθηματικά ορθό τρόπο το εμβαδόν και να αποφεύγονται εμβαδά με αρνητικό πρόσημο. Οι συντεταγμένες των κόμβων i, j, και m συμβολίζονται με (x i, y i ), (x j, y j ), και (x m, y m ), αντιστοίχως. Ο πίνακας στήλης των μετακινήσεων κόμβων έχει τη μορφή {d} = d i d j d m = u i v i, u j. (5.9) v j u m v m

199 190 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ ΒΗΜΑ 2: Επιλογή των συναρτήσεων μετακινήσεων (συναρτήσεις βάσης). Για κάθε στοιχείο επιλέγεται μια γραμμική συνάρτηση για την προσέγγιση των συνιστωσών της μετακίνησης u(x, y) = a 1 + a 2 x + a 3 y, v(x, y) = a 4 + a 5 x + a 6 y, (5.10) όπου με u(x, y) και v(x, y) συμβολίζονται οι μετακινήσεις στο εσωτερικό σημείο (x i, y i ) του στοιχείου. Η μορφή των συναρτήσεων που χρησιμοποιούνται για την προσέγγιση του πεδίου μετακινήσεων εξασφαλίζει τη συνέχεια κατά μήκος των πλευρών i j μεταξύ δύο γειτονικών στοιχείων, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.7. Συνεπώς η προσέγγιση του διανυσματικού πεδίου μετακινήσεων ψ, παίρνει τη μορφή {ψ} = { } a1 + a 2 x + a 3 y = a 4 + a 5 x + a 6 y, [ ] 1 x y = x y a 1 a 2 a 3 a 4, a 5 a 6. (5.11) Οι σταθερές a αντικαθίστανται από τις διακριτές μετακινήσεις στους κόμβους (επικόμβιοι βαθμοί ελευθερίας). Πρώτα χρησιμοποιείται η γενική έκφραση για να γραφούν οι μετακινήσεις στα άκρα του στοιχείου u i = u(x i, y i ) = a 1 + a 2 x i + a 3 y i, u j = u(x j, y j ) = a 1 + a 2 x j + a 3 y j, u m = u(x m, y m ) = a 1 + a 2 x m + a 3 y m, v i = v(x i, y i ) = a 4 + a 5 x i + a 6 y i, v j = v(x j, y j ) = a 4 + a 5 x j + a 6 y j, v m = v(x m, y m ) = a 4 + a 5 x m + a 6 y m. (5.12) και στη συνέχεια γίνεται επίλυση ως προς a σε μητρωική μορφή u i 1 x i y i a 1 u j = 1 x j y j a 2. (5.13) u m 1 x m y m a 3 Συνεπώς για το a προκύπτει {a} = [x] 1 {u}, (5.14)

200 5.2. ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΕΝΤΑΣΗΣ 191 όπου με [x] συμβολίζεται το 3 3 μητρώο που προκύπτει από το δεξί μέλος της σχέσης (5.13). Η αντιστροφή του [x] είναι [x] 1 = 1 α i α j α m β i β j β m, (5.15) 2A γ i γ j γ m όπου είναι η ορίζουσα [x], η οποία έχει την τιμή 1 x i y i 2A = 1 x j y j (5.16) 1 x m y m 2A = x i (y j y m ) + x j (y m y i ) + x m (y i y j ). (5.17) Στα παραπάνω A συμβολίζει το εμβαδό του τριγώνου και α i = x j y m y j x m α j = y i x m x i y m α m = x i y j y i x j, (5.18) β i = y j y m β j = y m y i β m = y i y j, (5.19) γ i = x m x j γ j = x i x m γ m = x j x i. (5.20) Μετά από τον υπολογισμό του [x] 1, έχουμε a 1 a 2 = 1 α i α j α m β i β j β m 2A a 3 γ i γ j γ m u i u j u m. (5.21) Ομοίως, παίρνοντας τις τελευταίες τρεις σχέσεις από τις (5.12), προκύπτει a 4 a 5 = 1 α i α j α m v i β i β j β m v j 2A. (5.22) a 6 γ i γ j γ m v m Η συνάρτηση μετακίνησης σε κάθε θέση x δηλαδή η u(x, y) συνιστώσα του {ψ} (και αναλόγως η v) εξαρτάται από τις μεταβλητές θέσης x και y, τις σταθερές α i, α j,...γ m, και τις μετακινήσεις στους κόμβους u i, u j και u m. Από τη μητρωική γραφή του (5.10) έχουμε a 1 {u} = [1 x y] a 2. (5.23) a 3

201 192 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Με αντικατάσταση του (5.21) στη σχέση (5.23), λαμβάνουμε α i α j α m u i {u} = [1 x y] β i β j β m u j γ i γ j γ m u m και Με αναδιάταξη των όρων προκύπτει (5.24) α i u i + α j u j + α m u m {u} = [1 x y] β i u i + β j u j + β m u m. (5.25) γ i u i + γ j u j + γ m u m u(x, y) = 1 2A {(α i +β i x+γ i y)u i +(α j +β j x+γ j y)u j +(α m +β m x+γ m y)u m }. (5.26) Ομοίως για τη μετακίνηση κατά y v(x, y) = 1 2A {(α i + β i x + γ i y)v i + (α j + β j x + γ j y)v j + (α m + β m x + γ m y)v m }. (5.27) Τελικά, με τη χρήση των συναρτήσεων παρεμβολής N i = 1 2A (α i + β i x + γ i y), N j = 1 2A (α j + β j x + γ j y), (5.28) N m = 1 2A (α m + β m x + γ m y). προκύπτει η απλούστερη έκφραση u(x, y) = N i u i + N j u j + N m u m, v(x, y) = N i v i + N j v j + N m v m. Η μητρωική μορφή της (5.29) παίρνει τη μορφή { } { } u(x, y) Ni u {ψ} = = i + N j u j + N m u m v(x, y) N i v i + N j v j + N m v m ή [ ] Ni 0 N {ψ} = j 0 N m 0 0 N i 0 N j 0 N m u i v i u j v j u m v m. (5.29)

202 5.2. ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΕΝΤΑΣΗΣ 193 Τελικά η συμπυκνωμένη μορφή της (5.2) έχει τη μορφή όπου το [N] ορίζεται ως ακολούθως {ψ} = [N]{d}, (5.30) [ ] Ni 0 N [N] = j 0 N m 0. (5.31) 0 N i 0 N j 0 N m Μέχρι τώρα οι μετακινήσεις ως συναρτήσεις του {d}, έχουν εκφρασθεί με τη βοήθεια των συναρτήσεων παρεμβολής N i, N j, και N m. Οι συναρτήσεις παρεμβολής καθορίζουν μονοσήμαντα τη μορφή της συνάρτησης {ψ} πάνω σε όλο το εμβαδό του πεπερασμένου στοιχείου. Για παράδειγμα, η N i εκφράζει τη μορφή της μεταβλητής u πάνω στην επιφάνεια του στοιχείου όταν το u i = 1 και όλοι οι άλλοι βαθμοί ελευθερίας μηδενίζονται, δηλαδή ισχύει u j = u m = v i = v j = v m = 0. Επιπροσθέτως, η u(x i, y i ) πρέπει να ισούται με το u i. Συνεπώς πρέπει να έχουμε N i = 1, N j = 0, και N m = 0 στη θέση (x i, y i ). Ομοίως, u(x j, y j ) = u j. Συνεπώς, N i = 0, N j = 1, και N m = 0 στη θέση (x j, y j ). Οι συναρτήσεις παρεμβολής φαίνονται στα Σχήματα 5.9. Επιπλέον περιορισμοί Σχήμα 5.9: Μεταβολή των συναρτήσεων N i στην επιφάνεια x-y ενός τυπικού στοιχείου.

203 194 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ ισχύουν, όπως, N i + N j = 1 και N m = 1 για όλες τις θέσεις x και y στην επιφάνεια του στοιχείου, έτσι ώστε τα u και v να παίρνουν σταθερή τιμή για κάθε μετακίνηση στερεού σώματος του στοιχείου. Οι απαιτήσεις πληρότητας για το τριγωνικό στοιχείο σταθερής παραμόρφωσης, όταν χρησιμοποιείται για την επίλυση ενός διδιάστατου προβλήματος επίπεδης έντασης, φαίνονται στα Σχήματα 5.10, Το στοιχείο πρέπει να είναι σε θέση να μετακινείται ομοιόμορφα σε κάθε μία από τις κατευθύνσεις, x ή y στο επίπεδο, καθώς επίσης και να περιστρέφεται χωρίς παραμόρφωση, όπως φαίνεται στο Σχήμα Η αιτιολόγηση περιγράφεται με το παράδειγμα μιας αμφιέρειστης δοκού που προσομοιάζεται με τη χρήση στοιχείων επίπεδης έντασης, όπως φαίνεται στο Σχήμα Με χρήση απλής στατικής προκύπτει y x Σχήμα 5.10: Μορφές παραμόρφωσης στερεού σώματος ενός τριγωνικού επίπεδου στοιχείου (από αριστερά προς τα δεξιά, καθαρή μετακίνηση στις κατευθύνσεις x και y και καθαρή περιστροφή). ότι τα στοιχεία της δοκού είναι απαλλαγμένα από τάσεις, και συνεπώς πρέπει να είναι ελεύθερα να μετακινηθούν και να στραφούν χωρίς παραμόρφωση ή αλλαγή μορφής. ΒΗΜΑ 3: Ορισμός των σχέσεων παραμόρφωσης-μετακίνησης και τάσηςπαραμόρφωσης. Παραμορφώσεις στοιχείου. Οι παραμορφώσεις που συσχετίζονται με το διδιάστατο στοιχείο δίδονται από τις σχέσεις {ε} = ε x ε y γ xy = u x v y u x + v x. (5.32)

204 5.2. ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΕΝΤΑΣΗΣ 195 Σχήμα 5.11: Αμφιέρειστη δοκός προσομοιωμένη με την χρήση τριγωνικών στοιχείων σταθερής παραμόρφωσης. Τα στοιχεία που βρίσκονται στη δεξιά πλευρά της φόρτισης δεν έχουν τάσεις. οι οποίες με τη βοήθεια των συναρτήσεων παρεμβολής γίνονται ή u x = u x = x (N iu i + N j u j + N m u m ) u x = N i,x u i + N j,x u j + N m,x u m, (5.33) όπου το κόμμα που ακολουθείται από μια μεταβλητή σημαίνει διαφόριση σε σχέση με αυτή τη μεταβλητή. Στην προηγούμενη σχέση χρησιμοποιήθηκε u i,x = 0 επειδή το u i = u(x i, y i ) είναι σταθερό ομοίως, u j,x = 0 και u m,x = 0. Με χρήση της σχέσεως (5.28), υπολογίζονται οι παράγωγοι της συναρτήσεως παρεμβολής (5.33) ως ακολούθως: Ομοίως, N i,x = 1 2A x (α i + β i x + γ i y) = β i 2A. (5.34) N j,x = β j 2A and N m,x = β m 2A. (5.35) Συνεπώς χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (5.34) και (5.35) στην (5.33), προκύπτει u x = 1 2A (β iu i + β j u j + β m u m ).

205 196 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Ομοίως προκύπτει v y = 1 2A (γ iv i + γ j v j + γ m v m ), u y + v x = 1 2A (γ iu i + β i v i + γ j u j + β j v j + γ m u m + β m v m ) Με χρήση των (5.34) και (5.35) στην (5.32), προκύπτει ή όπου [B i ] = 1 2A {ε} = 1 2A β i 0 β j 0 β m 0 0 γ i 0 γ j 0 γ m γ i β i γ j β j γ m β m {ε} = [B i B j B m ] β i 0 0 γ i, [B j ] = 1 β j 0 0 γ j 2A γ i β i γ j β j Τελικά η εξίσωση (5.36) γράφεται d i d j d m u i v i u j v j u m v m, (5.36), [B m ] = 1 2A β m 0 0 γ m. (5.37) γ m β m {ε} = [B]{d}, (5.38) όπου [B] = [B i B j B m ]. Το μητρώο B είναι ανεξάρτητο από τις συντεταγμένες x και y. Εξαρτάται αποκλειστικά από τις συντεταγμένες των κόμβων του στοιχείου, όπως φαίνεται από τις (5.37) και (5.20). Οι παραμορφώσεις είναι σταθερές και για τον λόγο αυτό το στοιχείο ονομάζεται στοιχείο σταθερής παραμόρφωσης, Constant Strain Triangle (CST). Σχέση τάσεων παραμορφώσεων. Γενικώς σε διδιάστατο πρόβλημα η σχέση τάσεων, παραμορφώσεων έχει τη μορφή σ x ε x σ y = [D] ε y, (5.39) τ xy ε xy

206 5.2. ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΕΝΤΑΣΗΣ 197 όπου το [D] δίδεται από τη σχέση (5.6) για προβλήματα επίπεδης έντασης, και από την (5.7) για προβλήματα επίπεδης παραμόρφωσης. Χρησιμοποιώντας τη σχέση (5.38) στο (5.39), προκύπτουν οι τάσεις εντός επιπέδου ως συνάρτηση των αγνώστων βαθμών ελευθερίας στους κόμβους {σ} = [D][B]{d}, (5.40) όπου οι τάσεις {σ} είναι επίσης σταθερές μέσα στο στοιχείο. ΒΗΜΑ 4: Εξαγωγή του μητρώου δυσκαμψίας του στοιχείου και των εξισώσεων ισορροπίας. Στην παράγραφο αυτή θα παραχθούν οι εξισώσεις με τη χρήση του αξιώματος ελάχιστης δυναμικής ενέργειας για ένα τριγωνικό στοιχείο σταθερής παραμόρφωσης. Υπενθυμίζεται ότι η ολική δυναμική ενέργεια για το στοιχείο είναι συνάρτηση των μετακινήσεων κόμβων u i, v i, u j,... v m (δηλαδή του διανύσματος, {d}), έτσι ώστε π p = π p (u i, v i, u j,..., v m ). Η ολική δυναμική ενέργεια δίδεται από τη σχέση π p = U + Ω b + Ω p + Ω s, ενώ η ενέργεια παραμόρφωσης είναι U = 1 2 ]{ε} T {σ}dv. V Με τη χρήση της σχέσης (5.39), προκύπτει U = 1 {ε} T [D]{ε}dV, (5.41) 2 V όπου έχει χρησιμοποιηθεί η ιδιότητα [D] T = [D] στο (5.41) U = 1 {ε} T {σ}dv. (5.42) 2 V Το δυναμικό των μαζικών δυνάμεων εκφράζεται με Ω b = {ψ} T {X}dV, (5.43) V

207 198 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ όπου το {ψ} συμβολίζει τις συναρτήσεις παρεμβολής, και {X} είναι η μαζική δύναμη ανά μονάδα όγκου. Το δυναμικό συγκεντρωμένων δυνάμεων εκφράζεται με Ω p = {d} T {P }, (5.44) όπου οι συνηθισμένες μετακινήσεις κόμβων συμβολίζονται με {d} και οι επιβεβλημένες δυνάμεις στους κόμβους με {P }. Αντίστοιχα, το δυναμικό κατανεμημένων δυνάμεων εκφράζεται ως Ω S = {ψ S } T {T S }ds, (5.45) S όπου οι δυνάμεις στο σύνορο συμβολίζονται με T S, ψ S είναι οι μετακινήσεις στο σύνορο, και S συμβολίζει την επιφάνεια επιβολής των {T S }. Ομοίως με (5.30), οι {ψ S } εκφράζονται ως {Ψ S } = [N S ]{d}, όπου εμπλέκονται οι συναρτήσεις παρεμβολής [N S ]. Με τη χρήση των εκφράσεων (5.30) για τα {ψ} και (5.32) για τις παραμορφώσεις στις σχέσεις (5.41)-(5.45) προκύπτει π p = 1 {d} T [B] T [D][B]{d}dV {d} T [N] T {X}dV 2 V {d} T {P } V {d} T [N S ] T {T S }ds. (5.46) S Οι μετακινήσεις κόμβων {d} είναι ανεξάρτητες από τις γενικές εξισώσεις x y, και συνεπώς το {d} μπορεί να βγει έξω από τα ολοκληρώματα των (5.46). Δηλαδή, π p = 1 2 {d}t [B] T [D][B]dV {d} {d} T [N] T {X}dV V {d} T {P } {d} T V [N S ] T {T S }ds. (5.47) S Από τις σχέσεις (5.43) (5.45) μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι οι τρεις τελευταίοι όροι στην (5.47) αντιστοιχούν στο συνολικό φορτίο {f} που επιβάλλεται πάνω στο στοιχείο, δηλαδή, {f} = [N] T {X}dV + {P } + [N S ] T {T S }ds, (5.48) V S

208 5.2. ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΕΝΤΑΣΗΣ 199 όπου ο πρώτος, δεύτερος και τρίτος όρος στο δεξιό μέλος της (5.48) αντιπροσωπεύουν τις μαζικές δυνάμεις, τις σημειακές επικόμβιες δυνάμεις και τις επιφανειακές δυνάμεις, αντίστοιχα. Χρησιμοποιώντας τη σχέση (5.48) στην (5.47), προκύπτει π p = 1 2 {d}t [B] T [D][B]dV {d} {d} T {f}. V Παίρνοντας την πρώτη μεταβολή ή παραγωγίζοντας την π p ως προς τις μετακινήσεις κόμβων, και επειδή π p = π p (d) (όπως έγινε και με τα γραμμικά στοιχεία ράβδων και δοκών) προκύπτει π p {d} = [B] T [D][B]dV {d} {f} = 0. (5.49) V Με αναδιάταξη των (5.49), έχουμε [B] T [D][B]dV {d} = {f}, (5.50) V όπου οι μερικές παράγωγοι ως προς το διάνυσμα {d} ορίσθηκαν προηγουμένως στο κεφάλαιο 3. Από τη σχέση (5.50) προκύπτει [k] = [B] T [D][B]dV. (5.51) Για ένα πεπερασμένο στοιχείο σταθερού πάχους, t, (5.51) έχουμε [k] = t [B] T [D][B]dxdy, V A όπου η ποσότητα μέσα στο ολοκλήρωμα είναι ανεξάρτητη των x ή y για το τριγωνικό στοιχείο σταθερής παραμόρφωσης και συνεπώς μπορεί να βγει έξω από το ολοκλήρωμα και προκύπτει [k] = ta[b] T [D][B], (5.52) όπου το A δίδεται από (5.17), [B] = [B i B j B m ], και το D δίδεται από το (5.6) ή (5.7). Θα χρησιμοποιήσουμε αποκλειστικά στοιχεία σταθερού πάχους, τα οποία προσεγγιστικά μπορούν να χρησιμοποιηθούν και για διακριτοποίηση δίσκων

209 200 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ μεταβλητού πάχους, εφόσον γίνει σχετικά πυκνή διακριτοποίηση. Από τη σχέση (5.52) διαπιστώνεται ότι το τοπικό μητρώο δυσκαμψίας k είναι συνάρτηση των συντεταγμένων των κόμβων (επειδή αυτές οι ποσότητες υπεισέρχονται στον ορισμό των [B] και A), καθώς και των μηχανικών σταθερών του υλικού E και ν (των οποίων συνάρτηση είναι η [D]). Η ανάπτυξη της σχέσης (5.52) για ένα στοιχείο γράφεται [k ii ] [k ij ] [k im ] [k] = [k ji ] [k jj ] [k jm ], [k mi ] [k mj ] [k mm ] όπου τα υπομητρώα 2 2 ορίζονται όπως [k ii ] = [B i ] T [D][B i ]ta, [k ij ] = [B i ] T [D][B j ]ta, (5.53) [k im ] = [B i ] T [D][B m ]ta, και έτσι στη σχέση (5.53), οι ποσότητες [B i ], [B j ], και [B m ] ορίζονται μέσω της (5.37). Το μητρώο [k] έχει διαστάσεις 6 6 (δηλαδή ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας ανά κόμβο, δύο, πολλαπλασιασμένος με τον συνολικό αριθμό κόμβων ανά στοιχείο, τρία). Γενικά, πρέπει να χρησιμοποιηθεί η προαναφερθείσα ακριβής περιγραφή της ενέργειας για τον υπολογισμό των επιφανειακών και μαζικών δυνάμεων και τη μεταφορά τους στους βαθμούς ελευθερίας των κόμβων. Οι επικόμβιες δυνάμεις που προκύπτουν ονομάζονται συνεπείς δυνάμεις, επειδή ορίζονται με συνέπεια προς την ενεργειακή υπόθεση και τις συναρτήσεις παρεμβολής. Σε στοιχεία ανώτερης τάξης χρησιμοποιούνται πιο σύνθετες συναρτήσεις παρεμβολής, όπως τετραγωνικές και κυβικές συναρτήσεις. Εναλλακτικά οι μαζικές και επιφανειακές δυνάμεις μοιράζονται στους κόμβος του στοιχείου και δίνουν σημειακές επικόμβιες δυνάμεις, οι οποίες μπορούν να χρησιμοποιηθούν ομοίως. Τελικά οι εξισώσεις ισορροπίας δυνάμεων για το στοιχείο γράφονται f 1x u 1 f 1y k 11 k k 16 v 1 f 2x k 21 k k 26 u = 2 f 2y v 2 f 3x k 61 k k 66 u 3 f 3y v 3

210 5.2. ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΕΝΤΑΣΗΣ 201 ΒΗΜΑ 5: Συρραφή των τοπικών εξισώσεων στοιχείου για την εξαγωγή των συνολικών εξισώσεων ισορροπίας και εισαγωγή συνοριακών συνθηκών. Με χρήση της ευθείας μεθόδου ακαμψίας η συρραφή των επιμέρους τοπικών μητρώων δυσκαμψίας από τα πεπερασμένα στοιχεία για την εξαγωγή του ολικού μητρώου ακαμψίας γράφεται συμβολικά ως [K] = N [k (e) ] (5.54) e=1 ενώ το προκύπτον σύστημα εξισώσεων έχει τη μορφή {F } = [K]{d}, (5.55) όπου στην εξίσωση (5.54), όλα τα τοπικά μητρώα δυσκαμψίας των στοιχείων ορίζονται στο ίδιο ολικό σύστημα συντεταγμένων x y, το διάνυσμα {d} είναι το ολικό διάνυσμα των βαθμών ελευθερίας (μετακινήσεων), και το διάνυσμα {F } = N {f (e) } (5.56) e=1 συμπεριλαμβάνει όλες τις μαζικές και επιφανειακές φορτίσεις, εκφρασμένες ως συγκεντρωμένα φορτία πάνω στους κόμβους του διακριτοποιημένου φορέα, είτε με την απλοποιημένη μορφή είτε με τη συνεπή μεταφορά με χρήση της σχέσης (5.48). Υπενθυμίζουμε ότι η εξαγωγή του τοπικού μητρώου δυσκαμψίας (5.52), έγινε σε τοπικό σύστημα συντεταγμένων. Η εξίσωση (5.52) ισχύει για όλα τα στοιχεία. Όλα τα μητρώα των στοιχείων έχουν εκφρασθεί σε ολικό σύστημα συντεταγμένων. Συνεπώς δεν χρειάστηκε η αλλαγή συστήματος συντεταγμένων από το τοπικό στο ολικό σύστημα πριν τη συρραφή των επιμέρους στοιχείων για τη δημιουργία του ολικού συστήματος. Για πληρότητα περιγράφεται στη συνέχεια η αλλαγή του συστήματος συντεταγμένων. Όταν οι τοπικοί άξονες αναφοράς για το τριγωνικό πεπερασμένο στοιχείο σταθερής έντασης δεν συμπίπτουν με τους άξονες του ολικού συστήματος αναφοράς, πρέπει να εφαρμοσθεί αλλαγή συστήματος αναφοράς που ισοδυναμεί με στροφή. Ο μετασχηματισμός του συστήματος αναφοράς για το τριγωνικό πεπερασμένο στοιχείο θα επιδειχθεί για την περίπτωση ενός τοπικού συστήματος αναφοράς ˆx-ŷ που δεν συμπίπτει με το ολικό σύστημα αναφοράς x y. Ο μετασχηματισμός ακολουθεί τη μεθοδολογία που περιγράφτηκε στην Κεφάλαιο

211 202 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ 3, με τις ίδιες γενικές σχέσεις (3.127), (3.129), και (3.135), να συνδέουν τις τοπικές με τις ολικές μετακινήσεις, δυνάμεις και μητρώα δυσκαμψίας, αντίστοιχα. Δηλαδή έχουμε ˆd = T d, ˆf = T f, k = T T ˆkT, (5.57) όπου με (3.128) συμβολίζεται το μητρώο μετασχηματισμού T που χρησιμοποιείται στη σχέση (5.57), το οποίο πρέπει να διευρυνθεί για να λάβει υπόψη του την ύπαρξη δύο επιπλέον βαθμών ελευθερίας στο τριγωνικό στοιχείο σταθερής παραμόρφωσης. Συνεπώς το (3.128) διευρύνεται σε όπου C = cos θ, S = sin θ. C S u i S C v i T = 0 0 C S 0 0 u j 0 0 S C 0 0, v j C S 0 0 C S u m C S 0 0 S C v m ΒΗΜΑ 6: Επίλυση για τις επικόμβιες μετακινήσεις. Μετά την επιβολή κατάλληλων συνοριακών συνθηκών (στηρίξεις) επιλύουμε την εξίσωση (5.55) και καθορίζονται οι μετακινήσεις στους κόμβους. ΒΗΜΑ 7: Μετεπεξεργασία και υπολογισμός των τάσεων. Έχοντας υπολογίσει τις μετακινήσεις στους κόμβους, οι παραμορφώσεις και οι τάσεις σε κάθε στοιχείο με χρήση του συστήματος αναφοράς x και y μπορούν να υπολογιστούν με χρήση των σχέσεων (5.38) και (5.40). Επειδή το στοιχείο έχει σταθερές παραμορφώσεις, οι τάσεις είναι επίσης σταθερές σε κάθε θέση μέσα στο στοιχείο. Στη συμβολή δύο γειτονικών τριγωνικών στοιχείων προκύπτει άλμα (ασυνέχεια) στις τιμές των παραμορφώσεων και τάσεων, γεγονός που υπενθυμίζει τον προσεγγιστικό χαρακτήρα της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων. Υπενθυμίζεται επίσης ότι η χρήση ενός συστήματος αναφοράς είναι αυθαίρετη και η αντίστοιχη έκφραση του τανυστή των τάσεων εξαρτάται από το σύστημα αναφοράς. Συνεπώς πιθανώς να χρειάζεται ο υπολογισμός των κυρίων τάσεων σ 1 και σ 2 με χρήση του μετασχηματισμού (5.2), μαζί με τη γωνία που σχηματίζει το σύστημα αναφοράς των κυρίων τάσεων ως προς το αρχικό σε κάθε στοιχείο να δίδεται από τη σχέση (5.3).

212 5.3. ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Το τριγωνικό πεπερασμένο στοιχείο γραμμικής μεταβολής της παραμόρφωσης (Linear-Strain Triangular LST) Ως παράδειγμα στοιχείου ανώτερης τάξης, περιγράφεται εδώ ένα τριγωνικό πεπερασμένο στοιχείο με γραμμική παρεμβολή στις παραμορφώσεις. Το στοιχείο είναι διαθέσιμο σε πολλά προγράμματα πεπερασμένων στοιχείων και έχει καλύτερη συμπεριφορά, συγκρινόμενο με το απλούστερο τριγωνικό πεπερασμένο σταθερής παραμόρφωσης του προηγούμενου Παράγραφου 5.2. Το τριγωνικό στοιχείο γραμμικής παραμόρφωσης LST έχει έξι κόμβους και δώδεκα κινηματικούς βαθμούς ελευθερίας (μετακινήσεις) στους κόμβους. Οι συναρτήσεις παρεμβολής στο στοιχείο είναι τετραγωνικές συναρτήσεις, αντί για τις γραμμικές που χρησιμοποιήθηκαν στο στοιχείο σταθερής παραμόρφωσης CST. Χρησιμοποιούνται τα ίδια βήματα για την εξαγωγή των σχέσεων του στοιχείου LST με εκείνα που χρησιμοποιήθηκαν για το στοιχείο CST. ΒΗΜΑ 1: Επιλογή του τύπου του στοιχείου. Θεωρούμε το τριγωνικό στοιχείο του Σχήματος 5.12 που περιγράφεται από τους τρεις κόμβους στις κορυφές του και τρεις ακόμα κόμβους τοποθετημένους στα μέσα των πλευρών. Η επιλογή της θέσης των κόμβων δεν είναι μονοσήμαντη και θα μπορούσε να είναι διαφορετική. Οι μετακινήσεις των κόμβων δίδονται από τις σχέσεις d 1 d 2 u 1 v 1 u 2 v 2 d {d} = 3 v = 3. d 4 u 4 d 5 v 4 d 6 u 5 v 5 u 3 u 6 v 6

213 204 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Σχήμα 5.12: Το βασικό εξάκομβο τριγωνικό στοιχείο και οι βαθμοί ελευθερίας του. ΒΗΜΑ 2: Επιλογή των συναρτήσεων παρεμβολής. Επιλέγουμε τετραγωνικές συναρτήσεις παρεμβολής για τις μετακινήσεις μέσα σε κάθε στοιχείο u(x, y) = a 1 + a 2 x + a 3 y + a 4 x 2 + a 5 xy + a 6 y 2, v(x, y) = a 7 + a 8 x + a 9 y + a 10 x 2 + a 11 xy + a 12 y 2. (5.58) Ο αριθμός των σταθερών a i είναι δώδεκα, και είναι ίσος με τον συνολικό αριθμό βαθμών ελευθερίας του στοιχείου. Η ύπαρξη τριών κοινών κόμβων κατά μήκος της κοινής πλευράς δύο συνορευόντων στοιχείων εξασφαλίζει τη συνέχεια των μετακινήσεων κατά μήκος της πλευράς. Γενικά, σε τριγωνικά ή άλλα στοιχεία, μπορούμε να χρησιμοποιούμε ένα πλήρες πολυώνυμο των καρτεσιανών συντεταγμένων για την προσέγγιση του πεδίου μετακινήσεων μέσα στο στοιχείο. Η επιλογή των στοιχείων γίνεται από το τρίγωνο του Pascal, Σχήμα Με τη χρήση όσων εσωτερικών κόμβων είναι απαραίτητοι, μπορούν να αναπτυχθούν στοιχεία ανώτερης τάξης που χρησιμοποιούν όρους τρίτης και τέταρτης τάξης στις συναρτήσεις παρεμβολής με χρήση στοιχείων από το τρίγωνο του Pascal, όπως φαίνεται στο Σχήμα Αυτό συνέβη και με τη γραμμική παρεμβολή του προηγούμενου στοιχείου CST στην

214 5.3. ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 205 CST LST QST Σχήμα 5.13: Η σχέση μεταξύ του τύπου ενός επίπεδου τριγωνικού στοιχείου και των συντελεστών του πολυωνύμου, βασιζόμενη στο τρίγωνο του Pascal. παράγραφο 5.2 ή με την τετραγωνική παρεμβολή του στοιχείου LST που περιγράφεται εδώ. Αντίστοιχα η χρήση μιας πλήρους κυβικής συνάρτησης οδηγεί στην ανάπτυξη τριγωνικών στοιχείων τετραγωνικής προσέγγισης ως προς τις παραμορφώσεις (Quadratic Strain Triangle QST), τα οποία απαιτούν τη χρήση ενός επιπλέον εσωτερικού κόμβου. Επειδή το πεπερασμένο στοιχείο απαιτείται να αποδίδει χωρίς παρασιτικές παραμορφώσεις και τάσεις μετακινήσεις στερεού σώματος, τα πολυώνυμα που χρησιμοποιούνται πρέπει να είναι πλήρη και να μη λείπουν όροι κατώτερης τάξης. Οι συναρτήσεις μετακίνησης, (5.58), εκφράζονται σε μητρωική μορφή {ψ} = { } u = v [ 1 x y x 2 xy y x y x 2 0 xy y 2 ] a 1 a 2. a 12. (5.59) Εναλλακτικά, μπορούμε να εκφράσουμε (5.59) ως {ψ} = [M ]{a}, (5.60) όπου το [M ] συμβολίζει τον πρώτο όρο στο δεξί μέλος της (5.59). Οι σταθερές a 1 έως a 12 υπολογίζονται με αντικατάσταση των σχέσεων στις μετακινήσεις u και v ως ακολούθως: {d} = [X]{a},

215 206 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ u 1 u u όπου {d} = 6 1 x, [X] = 6 y 6 x 2 6 x 6 y 6 y v x 1 y 1 x 2 1 x 1 y 1 y1 2 a 1 a 2. a {a} = 6. a 7. a 11 a 12. v 5 v 6 Επιλύοντας ως προς a i, προκύπτει 1 x 1 y 1 x 2 1 x 1 y 1 y x 2 y 2 x 2 2 x 2 y 2 y x 5 y 5 x 2 5 x 5 y 5 y x 6 y 6 x 2 6 x 6 y 6 y6 2, {a} = [X] 1 {d}. (5.61) Σημειώνουμε ότι μόνο το 6 6 κομμάτι του [X] στη σχέση (5.61) απαιτείται να αντιστραφεί. Αντικαθιστώντας την (5.61) στη σχέση (5.60), προκύπτουν οι γενικές σχέσεις ως συνάρτηση των συναρτήσεων παρεμβολής και των βαθμών ελευθερίας στους κόμβους {ψ} = [N]{d}, όπου [N] = [M ][X] 1. ΒΗΜΑ 3: Ορισμός των σχέσεων παραμόρφωσης-μετακίνησης και τάσηςπαραμόρφωσης. Οι παραμορφώσεις των στοιχείων δίδονται από τη σχέση (5.4). Με χρήση της (5.59) για τα u και v στην (5.4) όπως προκύπτει από τη

216 5.3. ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 207 σχέση (5.5) λαμβάνουμε a 1 a x y {ε} = x 2y a 6. (5.62) a x 2y x y 0 7. a 11 Παρατηρούμε ότι η (5.62) οδηγεί σε γραμμική μεταβολή των παραμορφώσεων στο στοιχείο. Συνεπώς το στοιχείο καλείται τριγωνικό στοιχείο γραμμικής παραμόρφωσης, Linear Strain Triangle (LST). Με αναδιάταξη των σχέσεων (5.62), προκύπτει {ε} = [M ]{a}, (5.63) όπου το [M ] είναι το πρώτο διάνυσμα στο δεξί μέλος της (5.62). Με αντικατάσταση των (5.61) για τις σταθερές a i στη (5.63), έχουμε ε σαν συνάρτηση των επικόμβιων μετακινήσεων {ε} = [B]{d}, όπου το [B] είναι συνάρτηση των μεταβλητών x και y και των συντεταγμένων στους κόμβους (x 1, y 1 ) έως (x 6, y 6 ) που δίδεται από τη σχέση a 12 [B] = [M ][X] 1, (5.64) όπου έχει χρησιμοποιηθεί η (5.61) στην (5.64). Σημειώνουμε ότι στην περίπτωση αυτή το [B] είναι ένας πίνακας με διαστάσεις Οι τάσεις δίδονται από τις σχέσεις (5.39) και (5.40), δηλαδή σ x σ y τ xy = [D][B]{d}, όπου το [D] είναι ίσο με (5.6) για προβλήματα επίπεδης έντασης, ή με το (5.7) για προβλήματα επίπεδης παραμόρφωσης. Οι τάσεις είναι τώρα γραμμικές συναρτήσεις των συντεταγμένων x και y.

217 208 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ ΒΗΜΑ 4: Εξαγωγή των μητρώων δυσκαμψίας του στοιχείου και των εξισώσεων ισορροπίας. Το μητρώο εξάγεται, όπως και στην παράγραφο 5.2, με χρήση της γενικής έκφρασης (5.51) [k] = [B] T [D][B]dV. (5.65) V Στην περίπτωση αυτή όμως το μητρώο [B] είναι συνάρτηση των συντεταγμένων x και y όπως δίδεται στη σχέση (5.64). Συνεπώς πρέπει να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα (5.65). Τελικά το μητρώο [B] παίρνει τη μορφή [B] = 1 2A β 1 0 β 2 0 β 3 0 β 4 0 β 5 0 β γ 1 0 γ 2 0 γ 3 0 γ 4 0 γ 5 0 γ 6, γ 1 β 1 γ 2 β 2 γ 3 β 3 γ 4 β 4 γ 5 β 5 γ 6 β 6 όπου τα στοιχεία β και γ είναι συναρτήσεις των x και y καθώς και των συντεταγμένων στους κόμβους. Το μητρώο δυσκαμψίας είναι ένα μητρώο και προκύπτει από πολλαπλασιασμό των μητρώων που φαίνεται στη σχέση (5.65). Το μητρώο δυσκαμψίας (5.65), μπορεί να δημιουργηθεί και με προγράμματα άλγεβρας με τον υπολογιστή και δεν χρειάζεται να παρατεθεί εδώ. Στην ειδική περίπτωση που κέντρο του συστήματος συντεταγμένων επιλεγεί το γεωμετρικό κέντρο του στοιχείου, οι ολοκληρώσεις γίνονται απλούστερες [20]. Εναλλακτικά μπορεί να χρησιμοποιηθούν χωρικές συντεταγμένες πάνω στο τριγωνικό στοιχείο [2, 7, 20] για τη γραφή του στοιχείου σε απλούστερη μορφή. ΒΗΜΑΤΑ 5 7: Δημιουργία του καθολικού μητρώου δυσκαμψίας και εξισώσεις ισορροπίας. Τα βήματα αυτά είναι ίδια με την περίπτωση του τριγωνικού στοιχείου σταθερής παραμόρφωσης που παρουσιάστηκε προηγουμένως 5.2. Στην περίπτωση αυτή βέβαια, αντί για σταθερές τιμές παραμορφώσεων και τάσεων, έχουμε γραμμική μεταβολή τους μέσα στο στοιχείο. Συνήθως χρησιμοποιείται η τιμή τους στο κέντρο βάρους του στοιχείου. Σε στοιχεία ανώτερης τάξης η ακρίβεια της προσέγγισης είναι διαφορετική σε διαφορετικές θέσεις μέσα στο στοιχείο και εξαρτάται από τη μέθοδο ολοκλήρωσης. Για παράδειγμα, όταν χρησιμοποιείται μέθοδος αριθμητικής ολοκλήρωσης κατά Gauss, η ακρίβεια είναι συνήθως καλύτερη στα σημεία αριθμητικής ολοκλήρωσης. Σύγκριση των στοιχείων. Για ένα δεδομένο αριθμό κόμβων, γενικά, τα πεδία τάσεων και μετακινήσεων προσεγγίζονται καλύτερα με χρήση στοιχείων LST σε

218 5.3. ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 209 ( ) Σχήμα 5.14: Το βασικό τριγωνικό στοιχείο (α) τέσσερα τριγωνικά στοιχεία σταθερής παραμόρφωσης και (β) ένα τριγωνικό στοιχείο γραμμικά μεταβαλλόμενης έντασης. σύγκριση με τη χρήση των απλούστερων στοιχείων CST. Θα πρέπει βέβαια να ληφθούν υπόψη και επιπλέον γενικοί κανόνες καλής διακριτοποίησης, όπως η αποφυγή τριγωνικών στοιχείων με οξείες γωνίες και να γίνεται πύκνωση σε περιοχές που αναμένονται μεγάλες μεταβολές των πεδίων, όπως σε περιπτώσεις συγκέντρωσης τάσεων κοντά σε οπές κ. ά. Παράδειγμα Παράδειγμα πύκνωσης. Το δίκτυο πεπερασμένων στοιχείων που χρησιμοποιούμε επηρεάζει τα αποτελέσματα άμεσα εφόσον με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων προσεγγίζουμε τη λύση του συνεχούς μέσου με χωρισμό σε διακριτά μέρη. Όσο μεγαλύτερο αριθμό πεπερασμένων στοιχείων χρησιμοποιούμε και με καλή αναλογία πλευρών καθώς και αποφυγή πολύ μικρών ή πολύ μεγάλων γωνιών τόσο η λύση είναι πιο ακριβής. Φυσικά αυξάνοντας τον αριθμό των κόμβων αυξάνεται και το υπολογιστικό κόστος, που είναι σημαντική παράμετρος, ιδιαίτερα στη επίλυση μεγάλων προβλημάτων (π.χ. κατασκευές μεγάλου μεγέθους). Πηγαίνοντας από ένα αραιότερο δίκτυο πεπερασμένων στοιχείων σε ένα πυκνότερο, η μεταβολή των αποτελεσμάτων όλο και μειώνεται. Όταν τα αποτελέσματα διαδοχικών διακριτοποιήσεων τείνουν να έχουν σταθερή τιμή (ύπαρξη όχι σημαντικής διαφοροποίησης στα αποτελέσματα) τότε θεωρούμε ότι έχουμε καλή προσέγγιση και μπορούμε σταματήσομε την περαιτέρω πύκνωση του δικτύου. Για παράδειγμα, στο Σχήμα 5.15, δίνεται ένας δίσκος 5 3, ο οποίος στηρίζεται σταθερά (περιορισμός μετακινήσεων και στροφών) στο αριστερό κατακόρυφο όριο του ενώ φορτίζεται με ένα συνολικό φορτίο 550 κατακόρυφο στο δεξιό κα-

219 210 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ τακόρυφο άκρο του (κατανεμημένο στους αντίστοιχους κόμβους ως σημειακό φορτίο). Το πάχος του δίσκου είναι b = 0, 1. Το υλικό κατασκευής έχει μέτρο ελαστικότητας = και λόγο Poison = 0, 3. A 3 5 Σχήμα 5.15: Γεωμετρία δίσκου, προβόλου. Ο συγκεκριμένος φορέας διακριτοποιήθηκε με τετρακομβικά πεπερασμένα στοιχεία επίπεδης έντασης. Αρχικά ο φορέας χωρίστηκε σε ένα αραιό δίκτυο 5 5 και στη συνέχεια έγινε πύκνωση σταδιακά των πεπερασμένων στοιχείων πέντε φορές 10 10, 15 15, 20 20, και 30 30, όπως φαίνεται στο Σχήμα Η κατανομή των κατακόρυφων μετακινήσεων δίνεται στο Σχήμα 5.17, ενώ οι τιμές της κατακόρυφης μετακίνησης του σημείου Α (Σχ. 5.15) σε αντιστοιχία με τα αναλυτικά στοιχεία των μοντέλων που δίνονται στο Πίνακα 5.1. Όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.18, η πύκνωση του δικτύου των πεπερασμένων στοιχείων οδηγεί σε σύγκλιση της λύσης.

220 5.3. ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 211 Περίπτωση 1 (5x5) Περίπτωση 2 (10x10) Περίπτωση 3 (15x15) Περίπτωση 4 (20x20) Περίπτωση 5 (25x25) Περίπτωση 5 (30x30) Σχήμα 5.16: Δίκτυα πεπερασμένων στοιχείων επίπεδου δίσκου-προβόλου. Περίπτωση Κάναβος Μέγεθος Αριθμός Αριθμός Κατακόρυφη στιοιχείου κόμβων στοιχείων μετατόπιση σημείου Α 1 5x5 1,00x0, x10 0,50x0, x15 0,33x0, x20 0,25x0, x25 0,20x0, x30 0,17x0, Πίνακας 5.1: Αποτελέσματα πύκνωσης δικτύου πεπερασμένων στοιχείων επίπεδου δίσκου

221 Κατακόρυφη μετατόπιση σημείου Α 212 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Σχήμα 5.17: Κατανομή κατακόρυφων μετακινήσεων. -1,220-1,230-1,240-1,250-1,260-1,270-1,280-1,290-1,300-1,310-1, Αριθμός κόμβων Σχήμα 5.18: Καμπύλη σύγκλισης αποτελεσμάτων.

222 5.4. ΠΛΑΚΕΣ ΣΕ ΚΑΜΨΗ Πλάκες σε κάμψη Μέχρι τώρα παρουσιάστηκαν πλάκες σε φόρτιση εντός του επιπέδου τους (μοντέλα επίπεδης ελαστικότητας που εξειδικεύτηκαν σε επίπεδη ένταση και επίπεδη παραμόρφωση). Μια επίπεδη πλάκα με φόρτιση κάθετα στο επίπεδό της οδηγεί σε ένα άλλο χρήσιμο μοντέλο της μηχανικής, την πλάκα σε κάμψη, ανάλογο με το μοντέλο της δοκού σε κάμψη. Θα παρουσιαστεί εδώ μια απλή θεωρία πλάκας σε κάμψη μαζί με το αντίστοιχο πεπερασμένο στοιχείο που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την ανάλυση πλακών σε κάμψη Υποθέσεις της θεωρίας πλάκας σε κάμψη Η πλάκα μπορεί να θεωρηθεί ως επέκταση της θεωρίας δοκού, με ανάλογες υποθέσεις. Οι πλάκες, όπως και οι δοκοί, υποστηρίζουν φορτία που τοποθετούνται κάθετα στο επίπεδό τους μέσω κάμψεως. Η πλάκα είναι επίπεδη (σε αντίθετη περίπτωση θα χρειαζόμασταν θεωρία κελύφους). Η δοκός είχε καμπτική ακαμψία σε μία διεύθυνση, ενώ η πλάκα σε δύο διευθύνσεις και επιπλέον ακαμψία στρεπτικής παραμόρφωσης. Θα βασιστούμε στην κλασική θεωρία λεπτής πλάκας ή θεωρία Kirchhof ([1], [3], [10] κλπ) πολλές από τις υποθέσεις της οποίας είναι ανάλογες με την κλασική θεωρία δοκού σε κάμψη ή δοκού Euler Bernoulli. Γεωμετρική μορφή και παραμόρφωση. Θεωρούμε τη λεπτή πλάκα στο επίπεδο x y με πάχος t κατά τη διεύθυνση του άξονα z όπως φαίνεται στο Σχήμα Οι πάνω και κάτω επιφάνειες της πλάκας ευρίσκονται σε ύψος (συντεταγμένες) z = ±t/2, ενώ το μέσο επίπεδο στη θέση z = 0. Η γεωμετρία της πλάκας έχει τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: (1) Το πάχος είναι πολύ μικρότερο από τις διαστάσεις της πλάκας b και c (δηλαδή, t b or c). (Εάν το πάχος t είναι μεγαλύτερο από το ένα δέκατο του μήκους, οι διατμητικές παραμορφώσεις πρέπει να ληφθούν υπόψη στη θεωρία της πλάκας και τότε μιλάμε για παχιά πλάκα.) (2) Η εγκάρσια παραμόρφωση w είναι πολύ μικρότερη από το πάχος t (δηλαδή, w/t 1). Οι υποθέσεις της θεωρίας Kirchhoff. Θεωρούμε μια διαφορική (μικρή) τομή από την πλάκα από επίπεδα κάθετα στον άξονα x όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.20(α). Η φόρτιση q προκαλεί παραμόρφωση της πλάκας στη διεύθυνση του άξονα z, και η μετακίνηση w στο σημείο P. θεωρείται ότι είναι συνάρτηση μόνο

223 214 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ y z 2c q 2b t x Σχήμα 5.19: Μοντέλο λεπτής πλάκας σε κάμψη. (α) (β) Σχήμα 5.20: Τομή της πλάκας πάχους t (α) στην απαραμόρφωτη κατάσταση (β) στην παραμορφωμένη κατάσταση, με τις μετακινήσεις του σημείου P σύμφωνα με τη θεωρία Kirchhoff. Οι εγκάρσιες διατμητικές παραμορφώσεις αμελούνται, και συνεπώς οι ορθές γωνίες στην τομή παραμένουν ορθές. Οι μετακινήσεις στο επίπεδο y z είναι παρόμοιες.

224 5.4. ΠΛΑΚΕΣ ΣΕ ΚΑΜΨΗ 215 των συντεταγμένων x και y, δηλαδή, w = w(x, y) ενώ η πλάκα δεν παραμορφώνεται στη διεύθυνση z. Μια γραμμή a b κάθετα στο μέσο επίπεδο της πλάκας, παραμένει κάθετα στο μέσο επίπεδο μετά την παραμόρφωση Σχήμα 5.20(b). Αυτό είναι συνεπές με τις υποθέσεις του Kirchhoff ως ακολούθως: 1. Οι κάθετες στο επίπεδο πλευρές παραμένουν κάθετες. Συνεπώς οι εγκάρσιες διατμητικές παραμορφώσεις y yz = 0 και ομοίως y xz = 0. Όμως, γενικά το y xy δεν μηδενίζεται και συνεπώς οι κάθετες γωνίες στο επίπεδο της πλάκας δεν παραμένουν κάθετες μετά την παραμόρφωση. Η πλάκα μπορεί να συστραφεί στο επίπεδο. 2. Οι αλλαγές στο πάχος μπορούν να αμεληθούν και οι κάθετες διαστάσεις δεν παραμορφώνονται. Αυτό σημαίνει ότι οι κάθετες παραμορφώσεις, ε z = Οι κάθετες τάσεις σ z δεν έχουν επίδραση στην εντός επιπέδου παραμόρφωση ε x και ε y, στις εξισώσεις τάσεων-παραμορφώσεων, και θεωρούνται αμελητέες. 4. Μεμβρανικές ή εντός επιπέδου δυνάμεις αμελούνται, και εάν χρειαστεί η εντός επιπέδου λειτουργία μπορεί να θεωρηθεί χωριστά αργότερα, κατ αναλογία με την επαλληλία της λειτουργίας ράβδου και δοκού σε κάμψη (π.χ. ένας δίσκος με τριγωνικά στοιχεία σταθερής παραμόρφωσης όπως στην Παράγραφο 5.2 μπορεί να συνδυαστεί με τη θεωρία πλάκας σε κάμψη). Με άλλα λόγια οι εντός επιπέδου παραμορφώσεις στο μέσο επίπεδο της πλάκας και στις κατευθύνσεις των αξόνων x και y μηδενίζονται, u(x, y, 0) = 0 and v(x, y, 0) = 0. Βασισμένοι στην υπόθεση του Kirchhof, κάθε σημείο P στο Σχήμα 5.20 έχει μετακίνηση στην κατεύθυνση x εξαιτίας της μικρής στροφής a του ( ) w u = zα = z x το ίδιο σημείο έχει εκτόπισμα στην y κατεύθυνση ( ) w v = z. y Οι καμπυλότητες της πλάκας ορίζονται συνεπώς με χρήση της παραγώγου της στροφικής μετακίνησης των καθέτων ως εξής k x = 2 w x 2, k y = 2 w y 2, k xy = 2 2 w x y. (5.66)

225 216 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Στη θεωρία δοκού χρησιμοποιήθηκε το πρώτο κομμάτι της (5.66). Με χρήση των ορισμών για τις παραμορφώσεις εντός επιπέδου (5.4), και την (5.66), οι εξισώσεις μεταξύ των εντός επιπέδου μετακινήσεων και παραμορφώσεων γράφονται ή με χρήση των (5.66) ε x = z 2 w x 2, ε y = z 2 w y 2, γ xy = 2z 2 2 w x y. (5.67) ε x = zk x, ε y = zk y, γ xy = zk xy. (5.68) Η πρώτη των σχέσεων (5.67) χρησιμοποιήθηκε στη θεωρία δοκού, οι υπόλοιπες είναι καινούργιες και εισάγονται από τη θεωρία πλάκας. q t (α) (β) Σχήμα 5.21: Διαφορικό στοιχείο της πλάκας με (α) τάσεις στις πλευρές του και (β) ροπές κάμψεως και δυνάμεις. Σχέσεις τάσεων-παραμορφώσεων. Βασιζόμενοι στην τρίτη από τις παραπάνω υποθέσεις, οι εξισώσεις της επίπεδης ελαστικότητας μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αλληλοσυσχέτιση των εντός επιπέδου τάσεων με τις εντός επιπέδου παραμορφώσεις για ένα ισότροπο υλικό ως ακολούθως σ x = E 1 ν 2 (ε x + νε y ), σ y = E 1 ν 2 (ε y + νε x ), τ xy = Gγ xy. (5.69)

226 5.4. ΠΛΑΚΕΣ ΣΕ ΚΑΜΨΗ 217 Οι κάθετες και διατμητικές τάσεις εντός επιπέδου φαίνονται να επενεργούν στα άκρα της πλάκας στο Σχήμα 5.21(α). Κατ αναλογία με τη μεταβολή τάσεων στη δοκό, οι τάσεις αυτές μεταβάλλονται γραμμικά στη διεύθυνση του άξονα z σε σχέση με την απόσταση από το μέσο επίπεδο της πλάκας. Οι εγκάρσιες διατμητικές τάσεις τ yz και τ xz είναι επίσης παρούσες, παρόλο που η εγκάρσια διατμητική παραμόρφωση αμελείται. Όπως και στη θεωρία δοκού, αυτές οι εγκάρσιες τάσεις υποτίθεται ότι έχουν τετραγωνική κατανομή κατά μήκος του πάχους της πλάκας. Οι τάσεις της σχέσης (5.69) συσχετίζονται με τις ροπές κάμψεως M x και M y καθώς και τη ροπή συστροφής M xy που εφαρμόζεται στα άκρα της πλάκας, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.21(β). Οι ροπές είναι συναρτήσεις των x και y και υπολογίζονται ανά μονάδα μήκους στο επίπεδο της πλάκας, M x = t/2 t/2 zσ x dz, M y = t/2 t/2 zσ y dz, M xy = t/2 t/2 zσ xy dz. (5.70) Οι ροπές συσχετίζονται με τις καμπυλότητες της παραμορφωμένης πλάκας, αφού εισαχθεί η σχέση (5.68) στη σχέση (5.69) και εν συνεχεία χρήση των τάσεων στη σχέση (5.71) για να προκύψει M x = D(κ x + νκ y ), M y = D(κ y + νκ x ), M xy = D(1 ν) κ xy, (5.71) 2 όπου το D = Et 3 /[12(1 ν 2 )] καλείται καμπτική δυσκαμψία της πλάκας. Οι μέγιστες τιμές των ορθών τάσεων σε κάθε πλευρά της πλάκας βρίσκονται στην κορυφή ή στην βάση z = t/2. Για παράδειγμα, μπορεί να δειχθεί ότι σ x = 6M x t 2. Η μορφή αυτή είναι παρόμοια με τη διατμητική μορφή σ x = M x c/i όταν εφαρμόζεται σε μοναδιαίο πλάτος πλάκας και τότε c = t/2. Η διαφορική εξίσωση που διέπει το πρόβλημα πλάκας σε κάμψη καθορίζει την επιλογή των συναρτήσεων παρεμβολής για τις μετακινήσεις στο πεπερασμένο στοιχείο. Η βάση για τη διατύπωσή της είναι οι διαφορικές εξισώσεις ισορροπίας που γράφονται εάν ληφθεί υπόψη η ισορροπία δυνάμεων κατά μήκος του άξονα z και με την ισορροπία των ροπών γύρω από τους άξονες x και y, αντίστοιχα. Τελικώς

227 218 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ προκύπτει το ακόλουθο σύστημα διαφορικών εξισώσεων: Q x x + Q y y + q = 0, M x x + M xy Q x = 0, (5.72) y M y y + M xy x Q y = 0, όπου q είναι η εγκάρσια κατανεμημένη δύναμη και Q x, Q y είναι οι διατμητικές φορτίσεις που φαίνονται στο Σχήμα 5.21 (β). Με την αντικατάσταση των σχέσεων μεταξύ ροπών και καμπυλότητας από το (5.71) στη δεύτερη και τρίτη εξίσωση (5.72), επίλυση ως προς Q x και Q y, και αντικατάσταση των σχέσεων που προκύπτουν στην πρώτη εξίσωση (5.72), προκύπτουν οι μερικές διαφορικές εξισώσεις που ισχύουν για την ισότροπη, λεπτή πλάκα σε κάμψη ( ) 4 w D x w 4 x 2 y + 4 w = q. (5.73) 2 y 4 Από την (5.73), παρατηρούμε ότι η επίλυση εξαρτάται αποκλειστικά από το πεδίο εγκάρσιων μετακινήσεων w. Επιπλέον, εάν παραλειφθούν οι παραγωγίσεις ως προς τη μεταβλητή y, η σχέση (5.73) απλοποιείται και οδηγεί στην σχέση για δοκού (όπου η διατμητική δυσκαμψία D της δοκού οδηγεί στην ποσότητα EI της δοκού, όταν ο λόγος Poisson μηδενιστεί και θεωρηθεί μοναδιαίο πλάτος δοκού). Δυναμική ενέργεια της πλάκας. Η συνολική δυναμική ενέργεια της πλάκας δίδεται από τη σχέση U = 1 (σ x ε x + σ y ε y + τ xy γ xy )dv. (5.74) 2 ή ισοδύναμα με χρήση των ολοκληρωτικών μεγεθών, ροπών και καμπυλοτήτων, με αντικατάσταση των (5.68) και (5.71) στην (5.74) U = 1 (M x κ x + M y κ y + M xy κ xy )da 2

228 5.4. ΠΛΑΚΕΣ ΣΕ ΚΑΜΨΗ Μητρώο δυσκαμψίας για πεπερασμένο στοιχείο πλάκας σε κάμψη Έχουν αναπτυχθεί αρκετά πεπερασμένα στοιχεία πλάκας σε κάμψη τα τελευταία χρόνια (88 διαφορετικά αναφέρονται στο [3]), και αυτό δείχνει την πολυπλοκότητα του μοντέλου της πλάκας. Στην παράγραφο αυτή θα περιγραφεί συνοπτικά ένα βασικό ορθογωνικό στοιχείο με 12 βαθμούς ελευθερίας, όπως φαίνεται στο Σχήμα Περισσότερες πληροφορίες και άλλα στοιχεία πλάκας, παραπέμπουμε στις αναφορές αυτού του κεφαλαίου. Σχήμα 5.22: Βασικό ορθογωνικό στοιχείο πλάκας. ΒΗΜΑ 1: Επιλογή τύπου στοιχείου. Θεωρούμε το πεπερασμένο στοιχείο πλάκας σε κάμψη με 12 βαθμούς ελευθερίας του Σχήματος Κάθε κόμβος έχει 3 βαθμούς ελευθερίας, την εγκάρσια μετακίνηση w κατά μήκος του άξονα z, τη στροφή θ x γύρω από τον άξονα x, και τη στροφή θ y γύρω από τον άξονα y. Το διάνυσμα μετακινήσεων του κόμβου i γράφεται {d x } = w i θ xi θ yi,

229 220 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ όπου οι στροφές συσχετίζονται με τις εγκάρσιες μετακινήσεις μέσω των σχέσεων θ x = + w y, θ y = w x. Το συνολικό διάνυσμα μετακινήσεων του στοιχείου έχει τη μορφή {d} = {d i d j d m d n } T. ΒΗΜΑ 2: Επιλογή των συναρτήσεων παρεμβολής. Επιλέγουμε την ακόλουθη πολυωνυμική προσέγγιση, συνάρτηση των συντεταγμένων x και y, η οποία περιέχει 12 σταθερές, όσοι ακριβώς και οι βαθμοί ελευθερίας του στοιχείου: w = a 1 + a 2 x + a 3 y + a 4 x 2 + a 5 xy + a 6 y 2 + a 7 x 3 + a 8 x 2 y +a 9 xy 2 + a 10 y 3 + a 11 x 3 y + a 12 xy 3. (5.75) Η εξίσωση (5.75) περιγράφει ένα μη πλήρες πολυώνυμο τετάρτου βαθμού στα πλαίσια του τριγώνου του Pascal (Σχήμα 5.13). Η επιλογή της συγκεκριμένης συνάρτησης έγινε με στόχο τη συνέχεια των μετακινήσεων κατά μήκος κοινών πλευρών με γειτονικά στοιχεία και επίσης επιτρέπει μετακινήσεις στερεού σώματος και σταθερής παραμόρφωσης χωρίς παρασιτικές τάσεις. Παρόλα αυτά, ασυνέχεια στην παράγωγο κατά μήκος κοινών συνόρων με γειτονικά στοιχεία δεν αποκλείεται. Για να παρατηρήσουμε την ασυνέχεια στις κλίσεις, υπολογίζουμε το πολυώνυμο και τις κλίσεις του κατά μήκος μιας πλευράς, (π.χ. κατά μήκος της πλευράς i j, στον x άξονα του Σχήματος Τότε προκύπτει w = a 1 + a 2 x + a 4 x 2 + a 3 7, w x = a 2 + 2a 4 x + 3a 7 x 2, w y = a 3 + a 5 x + a 8 x 2 + a 12 x 3. Η μετακίνηση w είναι συνάρτηση όμοια με εκείνη της δοκού, ενώ η κλίση w/ x είναι η ίδια με τη δοκό. Στη θεωρία της δοκού οι τέσσερις σταθερές a 1, a 2, a 4, και a 7 μπορούν να υπολογιστούν από τις σχέσεις στα άκρα (w i, w j, θ yi, θ yj ). Συνεπώς, οι w και w/ x υπολογίζονται πλήρως κατα μήκος των πλευρών. Η κάθετη κλίση w/ y είναι τρίτου βαθμού ως συνάρτηση του x. Όμως έχουμε στη διάθεσή μας μόνο δύο βαθμούς ελευθερίας για τον υπολογισμό της, ενώ

230 5.4. ΠΛΑΚΕΣ ΣΕ ΚΑΜΨΗ 221 υπάρχουν τέσσερις σταθερές (a 3, a 5, a 8, και a 12 ). Η κλίση δεν είναι συνεπώς μονοσήμαντα ορισμένη και εμφανίζεται ασυνέχεια. Η συνάρτηση παρεμβολής για το w χαρακτηρίζεται ως μη συμμορφούμενη (non conforming). Θεωρητικά η χρήση στοιχείων αυτού του τύπου δεν εξασφαλίζει ότι θα επιτευχθεί το ελάχιστο της δυναμικής ενέργειας, παρόλο που έχει εμπειρικά δειχθεί ότι οδηγεί σε επιτρεπτά αποτελέσματα [8]. Οι σταθερές a 1 έως a 12 μπορούν να προσδιοριστούν από τις 12 εξισώσεις που συνδέουν τις τιμές w και τις κλίσεις τους στους κόμβους όταν οι συντεταγμένες πάρουν τις τιμές των κόμβων. Καταρχάς γράφονται w + w y w x 1 x y x 2 xy y 2 x 3 x 2 y xy 2 y 3 x 3 y xy 3 = x +2y 0 +x 2 +2xy +3y 3 +x 3 3xy x y 0 3x 2 2xy y 2 0 3x 2 y y 3 a 1 a 2 a 3. a 12 (5.76) ή με τη χρήση του διανύσματος των βαθμών ελευθερίας {ψ} = [P ]{a}, (5.77) όπου το [P ] είναι το πρώτο 3 12 μητρώο στο δεξί μέρος της (5.76). Στη

231 222 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ συνέχεια υπολογίζουμε την (5.76) σε κάθε κόμβο ως ακολούθως {d} = = w i θ xi θ yi w j. 1 x i y i x 2 i x i y i yi 2 x 3 i x 2 i y i x i y 3 yi 3 x 3 i y i x i y 3 i x i +2y i 0 +x 2 i +2x i y i +3yi 3 +x 3 i 3x i y 2 i a 1 a 2 a 3. a 12 Σε συμπαγή μορφή έχουμε (5.78) {d} = [C]{a}, (5.78) όπου το [C] είναι το μητρώο που εμφανίζεται στο δεξί μέρος της (5.78). Συνεπώς μπορούμε να επιλύσουμε ως προς τις σταθερές α Η εξίσωση (5.77) γίνεται ή συνοπτικά {a} = [C] 1 {d}. (5.79) {ψ} = [P ][C] 1 {d} {ψ} = [N]{d}, όπου το [N] = [P ][C] 1 συμβολίζει το μητρώο με τις συναρτήσεις παρεμβολής, βλ. και [9]. ΒΗΜΑ 3: Σχέσεις μεταξύ παραμορφώσεων (καμπυλοτήτων) και μετακινήσεων. Σχέσεις μεταξύ τάσεων (ροπών) και καμπυλοτήτων. Το μητρώο

232 5.4. ΠΛΑΚΕΣ ΣΕ ΚΑΜΨΗ 223 καμπυλοτήτων, βασιζόμενο στις (5.66), γράφεται κ x 2a 4 6a 7 x 2a 8 y 6a 11 xy {κ} = κ y = 2a 6 2a 9 x 6a 10 y 6a 12 xy 2a 5 4a 8 x 4a 9 y 6a 11 x 2 6a 12 y 2 κ xy (5.80) ή σε μητρωική μορφή, με χρήση της σχέσεως (5.80) {κ} = [Q]{a}, όπου το [Q] συμβολίζει το μητρώο με τις σταθερές που πολλαπλασιάζει το διάνυσμα των a στη σχέση (5.80). Με χρήση της (5.79) για τα {a}, εκφράζουμε το μητρώο καμπυλοτήτων ως όπου {κ} = [B]{d} (5.81) [B] = [Q][C] 1 (5.82) είναι το μητρώο με τις πρώτες παραγώγους. Το μητρώο ροπών-καμπυλοτήτων για την πλάκα έχει τη μορφή M x κ x {M} = M y = [D] κ y = [D][B]{d}, (5.83) M xy όπου [D] συμβολίζει το μητρώο του γραμμικά ελαστικού καταστατικού νόμου, που για την περίπτωση ισότροπου υλικού δίδεται από τη σχέση Et 3 1 ν 0 [D] = ν 1 0 (5.84) 12(1 ν 2 ) ν 2 κ xy και έχουν χρησιμοποιηθεί οι σχέσεις (5.81) και (5.83). ΒΗΜΑ 4: Εξαγωγή του μητρώου δυσκαμψίας και των εξισώσεων ισορροπίας. Το μητρώο δυσκαμψίας δίδεται από τη συνηθισμένη μορφή [k] = [B] T [D][B]dxdy με χρήση του μητρώου [B] που ορίζεται στη σχέση (5.82) και [D] που ορίζεται στην (5.84). Το μητρώο δυσκαμψίας για το τετράκομβο ορθογωνικό στοιχείο

233 224 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ είναι πίνακας τύπου Η αναλυτική μορφή του [k] δίδεται στις αναφορές [21] και [7]. Για τον χειρισμό επιφανειακών κατανεμημένων δυνάμεων q ανά μονάδα επιφάνειας και κατά τη διεύθυνση του άξονα z χρησιμοποιείται η συνηθισμένη εξίσωση {F x } = [N x ] T qdxdy. (5.85) Για ομοιόμορφο φορτίο q που εφαρμόζεται για παράδειγμα σε τετράγωνη πλάκα με πλευρές 2b 2c, (5.85) προκύπτουν επικόμβιες δυνάμεις και ροπές στον κόμβο i ίσες με f wi 1/4 f θxi = 4qcb c/12 b/12 f θyi με όμοιες εκφράσεις για τους υπόλοιπους κόμβους j, m, και n. Οι εξισώσεις του στοιχείου γράφονται στη μορφή f wi w k f 11 k k i 1,12 θxi f θyi k 21 k k 2,12 f θxi = k 21 k k 2,12 θ xi θ. yi k k 2,12 f θyn Τα υπόλοιπα βήματα, συμπεριλαμβανομένου της συρραφής των επιμέρους στοιχείων για τη δημιουργία του ολικού μητρώου δυσκαμψίας και των εξισώσεων ισορροπίας, της επιβολής συνοριακών συνθηκών (στους κινηματικούς βαθμούς ελευθερίας w, θ x, θ y ), και της επίλυσης του συστήματος των εξισώσεων, είναι όμοια με τις διαδικασίες που παρουσιάστηκαν ήδη σε προηγούμενες παραγράφους. θ yn 5.5 Τρισδιάστατη ανάλυση τάσεων Η πιο γενική μορφή ανάλυσης τάσεων είναι η τρισδιάστατη ανάλυση. Χρησιμοποιείται όταν δεν μπορεί να εφαρμοσθεί καμία από τις προαναφερθείσες απλοποιημένες μονοδιάστατες ή διδιάστατες θεωρίες (π.χ. ράβδοι, δοκοί, δίσκοι, πλάκες ή άλλα μοντέλα που δεν παρουσιάζονται εδώ (κελύφη, αξονοσυμμετρικά μοντέλα, κ.ά.). Πρέπει όμως να σημειωθεί ότι η ανάλυση με τρισδιά-

234 5.5. ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΑΣΕΩΝ 225 στατα πεπερασμένα στοιχεία είναι ακριβής, διότι εάν ληφθούν υπόψη οι οδηγίες για τη δημιουργία αξιόπιστων διακριτοποιήσεων (στοιχεία περίπου ίσου μήκους πλευρών, με αποφυγή οξειών γωνιών κλπ.), οδηγούμαστε σε μεγάλα μοντέλα με αρκετές απαιτήσεις σε μνήμη και χρόνο επίλυσης στον υπολογιστή. Στην παράγραφο αυτή θα περιγραφεί αναλυτικά, ως παράδειγμα, ένα βασικό τετραεδρικό τρισδιάστατο πεπερασμένο στοιχείο. Στην αρχή θεωρούμε το τρισδιάστατο απειροστό στοιχείο σε καρτεσιανό σύστημα αναφοράς με διαστάσεις dx, dy, και dz καθώς και ορθές και διατμητικές τάσεις, όπως φαίνονται στο Σχήμα Όπως έχει προαναφερθεί, οι κάθετες τάσεις είναι κάθετες στις πλευρές του στοιχείου και συμβολίζονται με σ x, σ y, και σ z, ενώ οι διατμητικές τάσεις επενεργούν στις πλευρές και συμβολίζονται με τ xy, τ yz, τ zx. Από την εξίσωση ισορροπίας των ροπών για το στοιχείο, προκύπτει τ xy = τ yx, τ yz = τ zy, τ zx = τ xz. Οι σχέσεις παραμορφώσεων-μετακινήσεων για το τρισδιάστατο πεπερασμένο y, v σ y τ yx τ yz τ zy τ xy dy σ z τ zx τ xz σ x x, u z, w dx dz Σχήμα 5.23: Στοιχείο τρισδιάστατης ανάλυσης. στοιχείο είναι ε x = u x, ε y = v y, ε z = w z,

235 226 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ όπου με u, v, και w συμβολίζονται οι συνιστώσες του διανύσματος μετακίνησης στους άξονες x, y, και z. Οι διατμητικές παραμορφώσεις γ δίδονται από τις σχέσεις γ xy = u y + v x = γ yx, γ yz = v z + w y = γ zy, γ zx = w x + u z = γ xz. Οι σχέσεις τάσεων-παραμορφώσεων για ισότροπο υλικό δίδονται από όπου {σ} = [D]{ε}, σ x ε x σ y ε y σ {σ} = z ε, {ε} = z τ xy γ xy τ yz τ zx γ yz γ zx και με χρήση του καταστατικού νόμου με τη μορφή του μητρώου [D] [D] = E (1 + ν)(1 2ν) 1 ν ν ν ν ν ν ν ν ν Sym. 2 (5.86) Τετραεδρικό στοιχείο Περιγράφεται στη συνέχεια συνοπτικά η δημιουργία του μητρώου δυσκαμψίας για τετραεδρικό πεπερασμένο στοιχείο τρισδιάστατης ανάλυσης τάσεων.

236 5.5. ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΑΣΕΩΝ 227 Οι λεπτομέρειες ακολουθούν τα βήματα των διδιάστατων στοιχείων που έχουν ήδη παρατεθεί και μπρούν να βρεθούν σε διάφορες δημοσιεύσεις, όπως στις [1] και [2]. ΒΗΜΑ 1: Επιλογή του τύπου του πεπερασμένου στοιχείου. Θεωρούμε το τετραεδρικό στοιχείο του Σχήματος 5.24 με κόμβους στις γωνίες του που αριθμούνται με το 1 4. Κατά την αρίθμηση πρέπει να ληφθεί η αντίθετη της φοράς του ρολογιού σειρά, δηλαδή ή 1, 2, 3, 4 ή 2, 3, 1, 4, ώστε να αποφευχθεί ο υπολογισμός του όγκου με αρνητικό πρόσημο (πρβλ. αντίστοιχη πρόβλεψη για το τριγωνικό στοιχείο στην Παράγραφο 5.2). Σχήμα 5.24: Τετραεδρικό τρισδιάστατο στοιχείο συνεχούς. Οι επικόμβιες μετακινήσεις γράφονται ως w 1 {d} =.. u 4 Συνεπώς έχουμε 3 βαθμούς ελευθερίας ανά κόμβο ή 12 συνολικά βαθμούς ελευθερίας ανά στοιχείο. u 1 v 1 v 4 w 4

237 228 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Επιλέ- ΒΗΜΑ 2: Επιλογή συναρτήσεων παρεμβολής για τις μετακινήσεις. γουμε γραμμικές συναρτήσεις παρεμβολής ως ακολούθως u(x, y, z) = a 1 + a 2 x + a 3 y + a 4 z, v(x, y, z) = a 5 + a 6 x + a 7 y + a 8 z, w(x, y, z) = a 9 + a 10 x + a 11 y + a 12 z. Ανάλογα με όσα έγιναν στην παράγραφο 5.2, εκφράζονται οι σταθερές a i με χρήση των γνωστών συντεταγμένων στους κόμβους (x 1, y 1, z 1,..., z 4 ) και των άγνωστων μετακινήσεων (u 1, v 1, w 1,..., w 4 ) στους κόμβους του στοιχείου. Μετά από ανάλογους υπολογισμούς προκύπτει u(x, y, z) = 1 6V {(α 1 + β 1 x + γ 1 y + δ 1 z)u 1 +(α 2 + β 2 x + γ 2 y + δ 2 z)u 2 +(α 3 + β 3 x + γ 3 y + δ 3 z)u 3 +(α 4 + β 4 x + γ 4 y + δ 4 z)u 4 }, όπου το 6V προκύπτει από τον υπολογισμό της ορίζουσας 1 x 1 y 1 z 1 6V = 1 x 2 y 2 z 2 1 x 3 y 3 z 3 1 x 4 y 4 z 4 (5.87) και το V συμβολίζει τον όγκο του τετραέδρου. Οι συντελεστές a i, b i, γ i, και δ i (1, 2, 3, 4) στο (5.87) δίδονται από x 2 y 2 z 2 α 1 = x 3 y 3 z 3 x 4 y 4 z 4, β 1 y 2 z 2 1 = 1 y 3 z 3 1 y 4 z 4, 1 x 2 z 2 γ 1 = 1 x 3 z 3 1 x 4 z 4, δ 1 x 2 y 2 1 = 1 x 3 y 3 1 x 4 y 4, x 1 y 1 z 1 α 2 = x 3 y 3 z 3 x 4 y 4 z 4, β 1 y 1 z 1 2 = 1 y 3 z 3 1 y 4 z 4, 1 x 1 z 1 γ 2 = 1 x 3 z 3 1 x 4 z 4, δ 1 x 1 y 1 2 = 1 x 3 y 3 1 x 4 y 4,

238 5.5. ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΑΣΕΩΝ 229 x 1 y 1 z 1 α 3 = x 2 y 2 z 2 x 4 y 4 z 4, 1 x 1 z 1 γ 3 = 1 x 2 z 2 1 x 4 z 4, β 1 y 1 z 1 3 = 1 y 2 z 2 1 y 4 z 4, δ 1 x 1 y 1 3 = 1 x 2 y 2 1 x 4 y 4, x 1 y 1 z 1 α 4 = x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3, β 1 y 1 z 1 4 = 1 y 2 z 2 1 y 3 z 3, 1 x 1 z 1 γ 4 = 1 x 2 z 2 1 x 3 z 3, δ 1 x 1 y 1 4 = 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3. Οι εκφράσεις για τα v και w παράγονται με αντικατάσταση των v i για όλα τα u i και εν συνεχεία των w i για όλα τα u i στη σχέση (5.87). Η έκφραση των μετακινήσεων για τα u δίδεται από (5.87), με παρόμοιες εκφράσεις για τα v και w, u N N N N w 1 v = 0 N N N N 4 0., (5.88) w 0 0 N N N N 4 u 4 όπου N 1 = α 1 + β 1 x + γ 1 y + δ 1 z, N 2 = α 2 + β 2 x + γ 2 y + δ 2 z, 6V 6V N 3 = α 3 + β 3 x + γ 3 y + δ 3 z, N 4 = α 4 + β 4 x + γ 4 y + δ 4 z. 6V 6V u 1 v 1 v 4 w 4 (5.89) Το ορθογωνικό μητρώο στο δεξί μέρος της σχέσης (5.88) είναι το μητρώο των συναρτήσεων παρεμβολής [N]. ΒΗΜΑ 3: Ορισμός των σχέσεων παραμόρφωσης-μετακίνησης και τάσηςπαραμόρφωσης. Οι παραμορφώσεις του στοιχείου για την τρισδιάστατη εντα-

239 230 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ τική κατάσταση δίδονται από ε x ε y {ε} = ε z γ xy γ zx u x v x w x u x + v x v x + w x w x + u x Με παραπέρα χρήση της σχέσης (5.88) στην (5.90), προκύπτει {ε} = [B]{d},. (5.90) όπου [B] = [B 1 B 2 B 3 B 4 ]. Το υπομητρώο B 1 ορίζεται ως ακολούθως N 1,x N 1,y 0 B 1 = 0 0 N 1,z N 1,y N 1,x 0, (5.91) 0 N 1,z N 1,y N 1,z 0 N 1,x όπου το κόμμα μετά το δείκτη υποδηλώνει παραγώγιση ως προς την μεταβλητή που το ακολουθεί. Τα υπομητρώα B 2, B 3, και B 4 ορίζονται αναλόγως με αλλαγή των δεικτών στο (5.91) από 1 σε 2, 3, και τέλος 4, αντιστοίχως. Με αντικατάσταση των συναρτήσεων παρεμβολής από το (5.89) στο (5.91), το B 1 εκφράζεται ως β γ 1 0 B 1 = 1 6V 0 0 δ 1 γ 1 β δ 1 γ 1 δ 1 0 β 1

240 5.5. ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΑΣΕΩΝ 231 με παρόμοιες εκφράσεις για τα B 2, B 3, και B 4. Οι τάσεις του στοιχείου εξαρτώνται από τις παραμορφώσεις {σ} = [D]{ε} με τη χρήση του καταστατικού νόμου (μητρώου) (5.86). ΒΗΜΑ 4: Εξαγωγή του μητρώου δυσκαμψίας και εξισώσεις ισορροπίας. Με χρήση του γνωστού τύπου [k] = [B] T [D][B]dV. V και απλό υπολογισμό του ολοκληρώματος, επειδή τα [B] και [D] είναι σταθερές σε όλο τον όγκο του απλού τετραεδρικού στοιχείου, δηλαδή [k] = [B] T [D][B]V, όπου, V είναι ο όγκος του στοιχείου και το μητρώο έχει διαστάσεις Το διάνυσμα μαζικών δυνάμεων του στοιχείου δίδεται από {f b } = [N] T {X}dV όπου το [N] δίδεται από το 3 12 μητρώο στη σχέση (5.88), και X b {X} = Y b. V Για σταθερές μαζικές δυνάμεις, οι κομβικές συνιστώσες του ολικού διανύσματος μαζικών δυνάμεων μπορεί να δειχθεί ότι είναι ίσες με Z b {f b } = 1 4 [X b Y b Z b X b Y b Z b X b Y b Z b ] T. Οι επιφανειακές δυνάμεις είναι {f s } = [N] T S εκτιμώμενη πάνω στην επιφάνεια 1,2,3 p x p y p z ds, (5.92)

241 232 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ όπου τα p x, p y, και p z είναι οι κατά x, y, και z συνιστώσες, αντιστοίχως, του p. Με απλοποίηση και ολοκλήρωση (5.92), προκύπτει p x p y p z p x {f x } = S p y p z p x p y p z όπου το S 123 είναι η επιφάνεια της πλευράς που σχετίζεται με τους κόμβους 1 3., 5.6 Παραδείγματα επίπεδων δίσκων Παράδειγμα Δίσκος σε επίπεδη ένταση. Σε αυτή την άσκηση επίπεδης έντασης μελετούμε και επιλύουμε δύο δίσκους και συγκρίνουμε τα αποτελέσματα με την απλή δοκό. Οι δίσκοι και η δοκός έχουν μήκος L = 10, είναι πακτωμένοι στο αριστερό άκρο, ενώ στο δεξί άκρο τους υπάρχει μια κύλιση. Η φόρτιση ασκείται στο μέσον L/2 = 5 και έχει μέτρο P = 500 και κατακόρυφη διεύθυνση. Το πάχος των δίσκων είναι b = 0, 1. Το υλικό κατασκευής έχει μέτρο ελαστικότητας E = και λόγο Poison ν = 0, 3. Ο πρώτος δίσκος (Σχήμα 5.25) έχει ύψος h 1 = 0, 5 και ο δεύτερος (Σχήμα 5.30) έχει h 2 = 3. Το εμβαδό διατομής είναι για τον πρώτο δίσκο A 1 = bh 1 = 0, 05 ενώ για τον δεύτερο δίσκο έχουμε, A 2 = bh 2 = 0, 3. Ζητείται να επιλυθούν τα προβλήματα και να συγκριθούν οι λύσεις των δίσκων των προηγούμενων δύο ερωτημάτων με αυτές που προκύπτουν από την αναλυτική λύση της ισοδύναμης δοκού (Σχήμα 5.34). Επίπεδη ένταση μικρού δίσκου: Για τη διακριτοποίηση του φορέα αρχικά χρησιμοποιούνται τετρακομβικά στοιχεία επίπεδης έντασης με τρεις βαθμούς ελευθερίας ανά κόμβο (δύο μετακινήσεις στο επίπεδο και μια στροφή στον τρίτο άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδο του δίσκου). Στην περίπτωση του

242 5.6. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΔΙΣΚΩΝ 233 Σχήμα 5.25: Επίπεδη ένταση μικρού δίσκου ύψους h = 0.5. Σχήμα 5.26: Επίπεδη ένταση μεγάλου δίσκου ύψους h = 3. μικρού δίσκου (Σχ ) μελετώνται δύο περιπτώσεις διακριτοποίησης: 1η περίπτωση, 48 πεπερασμένα στοιχεία (αραιότερο δίκτυο, Σχ. 5.28) και 2η περίπτωση, 192 πεπερασμένα στοιχεία (πυκνότερο δίκτυο, Σχ. 5.30). Στα Σχήματα 5.28, 5.29 εμφανίζονται η αρχική και η παραμορφωμένη κατάσταση του φορέα για την 1η περίπτωση. Η μέγιστη βύθιση παρουσιάζεται στον κόμβο 133 (δηλώνεται με βελάκι στο σχήμα 5.28) και είναι u y = Στα Σχήματα 5.30, 5.31 εμφανίζονται η αρχική και η παραμορφωμένη κατάσταση

243 234 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Σχήμα 5.27: Απλή δοκός. Σχήμα 5.28: Δίκτυο πεπερασμένων στοιχείων (1η περίπτωση). του φορέα για την 2η περίπτωση διακριτοποίησης (περισσότερα στοιχεία και καλύτερο λόγο πλευρών) και αντίστοιχα η μέγιστη βύθιση είναι u y = Θέλοντας να συγκρίνουμε την προσεγγιστική λύση των πεπερασμένων στοιχείων με την αναλυτική λύσης της «ισοδύναμης» δοκού υπολογίζουμε τη μέγιστη βύθιση που είναι: max u = (P L 3 )/(48 51/2 E I) = Συνεπώς η αναλυτική λύση της ισοδύναμης δοκού μπορεί να προσεγγιστεί σε πολύ καλό επίπεδο από τη λύση με πεπερασμένα στοιχεία χρησιμοποιώντας ένα αρκετά πυκνό δίκτυο στοιχείων, ενώ μεγάλο σφάλμα ακρίβειας έχουμε στην περίπτωση του αραιού δικτύου. Επίπεδη ένταση μεγάλου δίσκου: Για τη διακριτοποίηση του φορέα

244 5.6. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΔΙΣΚΩΝ 235 Σχήμα 5.29: Παραμορφωμένος φορέας μικρού δίσκου (1η περίπτωση). Σχήμα 5.30: Δίκτυο πεπερασμένων στοιχείων (2η περίπτωση). (Σχήμα 5.26) χρησιμοποιούνται 1152 πεπερασμένα στοιχεία επίπεδης έντασης με τρεις βαθμούς ελευθερίας ανά κόμβο (δύο μετακινήσεις στο επίπεδο και μια στροφή στον τρίτο άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδο του δίσκου (Σχήμα 5.32). Στην περίπτωση του μεγάλου δίσκου μελετώνται δύο διαφορετικοί τύποι πεπερασμένων στοιχείων: 1η περίπτωση, διακριτοποίηση με τετρακομβικά στοιχεία επίπεδης έντασης και 2η περίπτωση, διακριτοποίηση με στοιχεία οκτώ κόμβων επίπεδης έντασης. Για την 1η περίπτωση όπου η παραμορφωμένη κατάσταση του φορέα δίνεται στο Σχήμα 5.33, η μέγιστη βύθιση για την περισσότερο εφελκυόμενη ίνα είναι u y = , ενώ η βύθιση στον κόμβο επιβολής του φορτίου είναι u y = Στην 2η περίπτωση, από την παραμόρφωση του

245 236 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Σχήμα 5.31: Παραμορφωμένος φορέας μικρού δίσκου (2η περίπτωση). Σχήμα 5.32: Δίκτυο πεπερασμένων στοιχείων μεγάλου δίσκου. φορέα, Σχ. 5.34, η μέγιστη βύθιση για την περισσότερο εφελκυόμενη ίνα είναι u y =0.3609, ενώ η βύθιση στον κόμβο επιβολής του φορτίου είναι u y = H μέγιστη βύθιση κατά την αναλυτική λύση της «ισοδύναμης» δοκού είναι max u = (P L 3 )/(48 51/2 E I) = Συνεπώς η αναλυτική λύση της ισοδύναμης δοκού δεν μπορεί να προσεγγιστεί από την λύση με πεπερασμένα στοιχεία. Παράδειγμα Πλάκα σε επίπεδη ένταση Ζητείται ο υπολογισμός και η γραφική απεικόνιση των ορθών και διατμητικών τάσεων, καθώς και των κομβικών μετατοπίσεων στο πρόβλημα επίπεδης

246 5.6. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΔΙΣΚΩΝ 237 Σχήμα 5.33: Παραμορφωμένος φορέας μεγάλου δίσκου (1η περίπτωση). Σχήμα 5.34: Παραμορφωμένος φορέας μεγάλου δίσκου (2η περίπτωση). έντασης του σχήματος Η αριστερή πλευρά του φορέα είναι πακτωμένη

247 238 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ και η επάνω πλευρά του καταπονείται με στατική φόρτιση, όπου το γραμμικό φορτίο είναι ίσο με P = 1.0 N/mm. To πάχος του φορέα είναι t = 1.0 mm, το μέτρο ελαστικότητας είναι ίσο με Ν/mm 2 και o δείκτης Poisson του υλικού ισούται με ν = 0.3. Για τη διακριτοποίηση του φορέα χρησιμοποιούνται 400mm 400mm Σχήμα 5.35: Πλάκα σε επίπεδη ένταση. τετραπλευρικά με 8 κόμβους (από ένας σε κάθε άκρο και μέσο πλευράς του κάθε στοιχείου) πεπερασμένα στοιχεία και η αριθμητική ολοκλήρωση για τον υπολογισμό των μητρώων ακαμψίας των στοιχείων γίνεται σε 4 σημεία του κάθε στοιχείου. Ο αριθμός των πεπερασμένων στοιχείων είναι 100 (10 10). Από την επίλυση προέκυψαν οι κομβικές μετακινήσεις, οι ορθές τάσεις στο οριζόντιο και στον κατακόρυφο άξονα καθώς και οι διατμητικές τάσεις, όπως δίνονται γραφικά στα σχήματα (με ισοτασικές περιοχές ίδιας χρωματικής απεικόνισης).

248 5.6. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΔΙΣΚΩΝ 239 Σχήμα 5.36: Μετακινήσεις. Σχήμα 5.37: Τάσεις στον οριζόντιο άξονα.

249 240 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Σχήμα 5.38: Τάσεις στον κατακόρυφο άξονα. Σχήμα 5.39: Διατμητικές τάσεις.

250 Βιβλιογραφία [1] Αγιουτάντης, Ζ.Γ., Στοιχεία Γεωμηχανικής. Μηχανική Πετρωμάτων. Εκδόσεις Ίων, Αθήνα, [2] Bowes, W. H., and Russell, L. T., Stress Analysis by the Finite Element Method for Practicing Engineers, Lexington Books, Toronto, [3] Chandrupatla, T.R., Belegundu, A.D., Εισαγωγή στα Πεπερασμένα Στοιχεία για Μηχανικούς, Παπασωτηρίου, Αθήνα (μετάφραση της τρίτης αμερικάνικης έκδοσης, Επιμέλεια Χ.Ν. Φραγκάκις, Μετάφραση Μ. Φραγκάκη, [4] Cook, R. D., Malkus, D. S., Plesha, M. E., and Witt, R. J., Concepts and Applications of Finite Element Analysis, 4th ed., Wiley, New York, [5] Cowper, G. R., Variational Procedures and Convergence of Finite-Element Methods, Numerical and Computer Methods in Structural Mechanics, S. J. Fenves, N. Perrone, A. R. Robinson, and W. C. Schnobrich, eds., Academic Press, New York, [6] Cowper, G. R., Kosko, E., Lindberg, G., and Olson M., Static and Dynamic Applications of a High Precision Triangular Plate Bending Element, AIAA Journal, Vol. 7, No. 10, pp , [7] Gallagher, R., Finite Element Analysis Fundamentals, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, [8] Gere, J. M., Mechanics of Material, 5th ed., Brooks/Cole Publishers, Pacific Grove, CA, [9] Κωμοδρόμος, Α. Μ., Υπολογιστική Γεωτεχνική Μηχανική, Κλειδάριθμος, Αθήνα,

251 242 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [10] Logan, D. L., A First Course in the Finite Element Method, Fourth Edition, Thomson, [11] Martin, H. C., Plane Elasticity Problems and the Direct Stiffness Method. The Trend in Engineering, Vol. 13, pp. 5 19, Jan [12] Παπαδρακάκης Μ., Ανάλυση Φορέων με τη Μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων, Παπασωτηρίου, Αθήνα, [13] Προβατίδης, Χ. Γ. Πεπερασμένα Στοιχεία στην Ανάλυση Κατασκευών. Εκδόσεις Τζιόλα, Θεσσαλονίκη, [14] Rashid, Y. R., Three-Dimensional Analysis of Elastic Solids-I: Analysis Procedure, International Journal of Solids and Structures, Vol. 5, pp , [15] Rashid, Y. R., Three-Dimensional Analysis of Elastic Solids-II: The Computational Problem, International Journal of Solids and Structures, Vol. 6, pp , [16] Three-Dimensional Continuum Computer Programs for Structural Analysis, Cruse, T. A., and Griffin, D. S., eds., American Society of Mechanical Engineers, [17] Τσαμασφύρος Γ.Ι., Θεοτόκογλου Ε., Μέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων. Τόμος 1, Συμμετρία, Αθήνα, 2001 [18] Vashakmadze T. S., Theory of Anisotropic Elastic Plates, Kluwer Academic Publisher, [19] Timoshenko, S. and Woinowsky-Krieger, S., Theory of Plates and Shells, 2nd ed., McGraw-Hill, New York, [20] Zienkiewicz, O. C., The Finite Element Method, 3rd ed., McGraw-Hill, New York, [21] Zienkiewicz, O. C., and Taylor R. L., The Finite Element Method, 4th ed., Vol. 2, McGraw-Hill, New York, 1991.

252 Κεφάλαιο 6 Mη γραμμικά φαινόμενα Σε αυτό το κεφάλαιο θα παρουσιαστούν συνοπτικά επεκτάσεις της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων για την αντιμετώπιση μη γραμμικών προβλημάτων ([1]). Αρχικά θα εξεταστεί η περίπτωση της μη γραμμικής ελαστικότητας, δηλαδή η περίπτωση που το μέτρο ελαστικότητας είναι εξαρτώμενο από την τροπή ([2], [3]). Tο πρόβλημα θα απεικονιστεί με το παράδειγμα ραβδωτών στοιχείων. Για την επίλυση του μη γραμμικού συστήματος των εξισώσεων θα χρησιμοποιηθούν προσεγγιστικές μέθοδοι, τα βήματα των οποίων στηρίζονται στην επίλυση γραμμικών προβλημάτων: η μέθοδος της άμεσης επανάληψης, η πλήρης μέθοδος Newton-Raphson και η τροποποιημένη μέθοδος Newton- Raphson. Στο πλαίσιο της πλήρους μεθόδου Newton-Raphson, θα συζητηθεί λεπτομερώς η παραγωγή του εφαπτομενικού μητρώου δυσκαμψίας. Στη συνέχεια θα παρουσιαστεί η ελαστοπλαστική ανάλυση, ως παράδειγμα μη γραμμικότητας που οδηγεί σε αποτελέσματα εξαρτώμενα από την ιστορία φορτίσεως. 6.1 Μη γραμμικά προβλήματα στη μηχανική Στη μηχανική, και κατ επέκταση στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων, γίνεται διάκριση μεταξύ των ακόλουθων ειδών της μη γραμμικότητας: Φυσική μη γραμμικότητα, ή μη γραμμικότητα υλικού: Σχετίζεται με τη μη γραμμική συμπεριφορά του υλικού. Διακρίνεται σε μη γραμμική ελαστική απόκριση και σε μη γραμμική απόκριση εξαρτώμενη από την ιστορία φορτίσεως, όπως για παράδειγμα στην ελαστοπλαστικότητα που θα εξεταστεί στη συνέχεια. Άλλες επεκτάσεις αφορούν θεωρίες αποδυνάμωσης (damage). 243

253 244 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. MΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ Mη γραμμικές συνοριακές συνθήκες: Πρόκειται για την περίπτωση, όπου για παράδειγμα κατά τη διάρκεια της εφαρμογής του φορτίου, τροποποιείται η συμπεριφορά μία συνοριακής συνθήκης στήριξης. Αντιπροσωπευτικά παραδείγματα αυτής της κατηγορίας, είναι τα προβλήματα μονόπλευρης επαφής. Αυτή η περίπτωση δεν θα εξετασθεί εδώ. Γεωμετρική ή κινηματική μη γραμμικότητα. Μεγάλες παραμορφώσεις: Σχετίζεται με μεγάλες μετατοπίσεις και περιστροφές σε συνδυασμό με μικρές ή μεγάλες τροπές. Ως παραδείγματα μπορούν να δοθούν οι καλωδιοκατασκευές, οι φουσκωτές κατασκευές και συναφείς κατασκευές όπου οι συνθήκες ισορροπίας απαιτείται να γραφούν στην παραμορφωμένη (και άγνωστη εξαρχής) κατάσταση. Σε όλες τις προαναφερθείσες περιπτώσεις οι εξισώσεις που χαρακτηρίζουν το μηχανικό φαινόμενο είναι μη γραμμικές. Συνεπώς, με κατάλληλη επέκταση της αριθμητικής προσέγγισης της λύσεως, οδηγούμεθα στην ανάγκη επίλυσης ενός συστήματος μη γραμμικών εξισώσεων. Θα πρέπει εδώ να επισημανθεί ότι οι αλγόριθμοι επαναληπτικής επίλυσης συστήματος μη γραμμικών εξισώσεων είναι τοπικής σύγκλισης με την έννοια ότι σε περίπτωση που υπάρχει πολλαπλότητα λύσεων, η σύγκλισή τους σε μια λύση εξαρτάται από την επιλεχθείσα αρχική εκτίμηση της λύσης (αρχική τιμή των αγνώστων). Για να αποφευχθεί σύγκλιση σε ανεξέλεγκτες καταστάσεις και να ακολουθηθούν πιο σύνθετα φαινόμενα (λυγισμός, συμπεριφορά μετά το λυγισμό, διακλάδωση λύσεων κ.ά.), ακολουθείται μια σύνθετη μεθοδολογία που συνίσταται στη σταδιακή επιβολή του φορτίου, για παράδειγμα με μικρά βήματα φορτίσεως (load incrementation), και εν συνεχεία στην προσέγγιση της λύσης μέσα σε κάθε βήμα φορτίσεως με τη χρήση των επαναλήψεων που θα περιγραφούν στη συνέχεια. 6.2 Μη γραμμική ελαστικότητα Το βασικό χαρακτηριστικό της συμπεριφοράς του ελαστικού υλικού είναι ότι οι τροπές γυρνούν πίσω στο μηδέν αμέσως μετά την αποφόρτιση. Στην περίπτωση της γραμμικής ελαστικότητας με σταθερό μέτρο ελαστικότητας, η φόρτιση και η αποφόρτιση απεικονίζονται στο διάγραμμα τάσης-τροπής με τη μορφή μιας ευθείας γραμμής, βλ. Σχ. 6.1α. H κλίση αυτής της ευθείας γραμμής ισούται ακριβώς με το μέτρο ελαστικότητας Ε, σύμφωνα με τον νόμο του Hooke. Σε γενίκευση αυτής της γραμμικής ελαστικής συμπεριφοράς, η επιβολή και η

254 6.3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 245 (α) (β) σ(ε) σ(ε) E = const E(ε) 0 ε 0 ε Σχήμα 6.1: Διαφορετική συμπεριφορά στην ελαστική περιοχή: α γραμμικό, β μη γραμμικό διάγραμμα τάσης-παραμόρφωσης (τροπής). παύση επιβολής φορτίου απεικονίζονται επίσης κατά μήκος μιας μη γραμμικής καμπύλης, και αυτή η περίπτωση αφορά τη μη γραμμική ελαστικότητα, βλ. Σχ. 6.1β. Σε αυτή την περίπτωση, ο νόμος του Hooke ισχύει μόνο υπό μια επαυξητική ή διαφορική μορφή: dσ(ϵ) dϵ = E(ϵ). Υπό την προϋπόθεση ότι δεν εμφανίζονται φαινόμενα γεωμετρικής μη γραμμικότητας, όταν δηλαδή οι εξισώσεις ισορροπίας μπορούν προσεγγιστικά να γραφούν στην αρχική απαραμόρφωτη κατάσταση, μπορεί κάποιος να θεωρήσει ότι ο χαρακτηρισμός γραμμική ή εναλλακτικά, μη γραμμική ελαστικότητα αναφέρεται στην συμπεριφορά της καμπύλης τάσης-παραμόρφωσης (ή τροπής). Ως εκ τούτου, στη συνέχεια, εστιάζουμε σε σχέσεις της μορφής E = E(u) ή εναλλακτικά E = E(du/dx). 6.3 Επίλυση του συστήματος μη γραμμικών εξισώσεων Θεωρείται η ράβδος του Σχ. 6.2 η οποία είναι πακτωμένη στη μία άκρη και φορτίζεται με συγκεντρωμένο φορτίο F στην άλλη πλευρά, με μέτρο ελαστικότητας γραμμικώς εξαρτώμενο από την παραμόρφωση. Αρχικά, θεωρείται

255 246 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. MΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ διακριτοποίηση με ένα μόνο πεπερασμένο στοιχείο, έτσι ώστε, με τη θεώρηση της στήριξης, λαμβάνεται σύστημα με έναν βαθμό ελευθερίας. Οι εξισώσεις που λαμβάνονται συνεπώς εξαρτώνται μόνο από μία μεταβλητή, τη μετακίνηση στον κόμβο επιβολής του φορτίου. Στη συνέχεια η διακριτοποίηση πυκνώνεται. Η προκύπτουσα εξίσωση ισορροπίας ή το σύστημα των εξισώσεων ισορροπίας είναι μη γραμμικά. Απαιτείται συνεπώς η χρήση επαναληπτικών μεθόδων για την επίλυσή τους. (α) (β) E(ε) A F E 0 L Διακριτοποίηση: 1 2 (ένα στοιχείο) (δύο στοιχεία) E 1 0 ε 1 ε Σχήμα 6.2: Ραβδωτό στοιχείο με επιβολή σημειακού φορτίου και μέτρο ελαστικότητας εξαρτώμενο από την παραμόρφωση Μέθοδος άμεσης επανάληψης Στο πλαίσιο της μεθόδου άμεσης επανάληψης, το σύστημα των εξισώσεων ισορροπίας λύνεται με υπολογισμό του μητρώου ακαμψίας στο προηγούμενο και συνεπώς γνωστό βήμα. Με την επιλογή μιας λογικής αρχικής τιμής - για παράδειγμα από μία γραμμική ελαστική σχέση - η λύση προσδιορίζεται με χρήση του τύπου που ακολουθεί: K(u (j) )u (j+1) = F. Στο Σχ. 6.3 απεικονίζεται σχηματικά η μέθοδος της άμεσης επανάληψης. Αυτή η μέθοδος συγκλίνει σε περιπτώσεις ήπιας μη γραμμικότητας, με γραμμικό ρυθμό σύγκλισης.

256 6.3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 247 F 2 K(u (1) K(u (2) 2 ) 2 ) K(u (0) 2 ) εξωτερικόν φορτίον συγκεκλιμένη λύση u (0) 2 u (1) 2 u (2) 2 u 2 Σχήμα 6.3: Σχηματική απεικόνιση της μεθόδου άμεσης επανάληψης. Μέθοδος άμεσης επανάληψης για μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων με έναν βαθμό ελευθερίας Για το παράδειγμα του Σχ. 6.2 και με χρήση της εξίσωσης ισορροπίας ραβδωτού πεπερασμένου στοιχείου, ο επαναληπτικός τύπος της μεθόδου άμεσης επανάληψης, μετά τη θεώρηση της στήριξης, διατυπώνεται ως εξής: AE 0 L (L a 01u (j) 2 2 )u (j+1) 2 = F 2, (6.1) ή εναλλακτικά με λύση ως προς τη νέα μετατόπιση: u (j+1) 2 = F 2 L 2 AE 0 (L a 01 u (j) 2 ).

257 248 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. MΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ H πλήρης μέθοδος Newton-Raphson H μέθοδος Newton για μια συνάρτηση με μια μεταβλητή Για τον ορισμό της ρίζας μιας συνάρτησης f(x), δηλαδή f(x) = 0, χρησιμοποιείται συχνά η επαναληπτική μέθοδος Newton. Για την ανάπτυξη της επαναληπτικής μεθόδου, αναπτύσσεται η συνάρτηση f(x) γύρω από το σημείο x 0 με σειρά Taylor: ( ) df f(x) = f(x 0 ) + (x x 0 ) + 1 dx x 0 2! ( ) d 2 f dx 2 x 0 (x x 0 ) k! ( ) d k f dx k x 0 (x x 0 ) k. Aν δεν λαμβάνονται υπόψη οι όροι δεύτερης και ανώτερης τάξης, τότε προκύπτει η ακόλουθη προσεγγιστική λύση: f(x) f(x 0 ) + ( ) df (x x 0 ). (6.2) dx x 0 Θεωρώντας ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης ισούται με την κλίση της εφαπτομένης γραμμής στο συγκεκριμένο σημείο και ότι η εξίσωση κλίσης αυτής δίνεται από τη σχέση f(x) f(x 0 ) = m(x x 0 ), τότε η προσέγγιση μέσω των σειρών Τaylor πρώτης τάξης, δίνεται από την ευθεία γραμμή που διέρχεται από το σημείο (x 0, f(x 0 )) με κλίση m = (df/dx) x0, βλ. Σχ Για την παραγωγή του τύπου του επαναληπτικού αλγορίθμου για τον ορισμό των ριζών, θέτουμε τη σχέση (6.2) ίση με το 0 και προκύπτει η ακόλουθη σχέση μετά από τις αντικαταστάσεις x 0 x (j) και x x (j+1) : x (j+1) = x (j) f(x(j) ). (df/dx) x (j) H βασική αρχή που εφαρμόζεται στο πλαίσιο μιας επανάληψης της μεθόδου Newton απεικονίζεται στο Σχ Στο αρχικό σημείο της επαναληπτικής διαδικασίας, η εφαπτομένη απεικονίζεται στο γράφημα της συνάρτησης f(x) και ακολούθως ορίζεται η ρίζα αυτής της εφαπτομένης. Στην τιμή της τεταγμένης αυτής της ρίζας, σχηματίζεται η επόμενη εφαπτομένη και η διαδικασία συνεχίζεται σύμφωνα με την πορεία δράσης του αρχικού σημείου. Αν η f(x) είναι συνεχής και μονότονη συνάρτηση σε δεδομένο διάστημα, και αν το αρχικό σημείο της επαναληπτικής διαδικασίας τείνει κοντά στην άγνωστη λύση, η μέθοδος συγκλίνει τετραγωνικά προς τη ρίζα.

258 6.3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 249 f(x) f(x) επιθυμητή γνωστή προσέγγιση ( f ) x x 0 x 0 x x Σχήμα 6.4: Ανάπτυξη μιας συνάρτησης μέσω σειράς Taylor πρώτης τάξης (γραμμικοποίηση μέσω της εφαπτόμενης). H μέθοδος Newton-Raphson για μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων με έναν βαθμό ελευθερίας Για το παράδειγμα του Σχ. 6.2, το πρόβλημα εύρεσης της θέσης ισορροπίας ισοδυναμεί με τον εντοπισμό των ριζών της συνάρτησης, λαμβάνοντας υπόψη τις συνοριακές συνθήκες στον κόμβο της αριστερής (στηριγμένης) πλευράς: r(u 2 ) = AE 0 L 2 (L a 01u 2 )u 2 F 2 = K(u 2 )u 2 F 2 = 0. (6.3) Εφαρμόζοντας την επαναληπτική διαδικασία του προηγούμενου παράγραφου στη συνάρτηση υπολοίπου r(u 2 ), η συνέχεια της επαναληπτικής διαδικασίας Newton-Raphson καταλήγει στη σχέση: u (j+1) 2 = u (j) 2 r(u(j) 2 ) = u (j) dr(u (j) 2 (K (j) T 2 )/du 2 ) 1 r(u (j) 2 ), (6.4)

259 250 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. MΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ f(x) f(x (j) ) f(x (j+1) ) ρίσα x j+1 x j x Σχήμα 6.5: Ορισμός ρίζας μιας συνάρτησης μέσα από τον επαναληπτικό αλγόριθμο Newton. όπου η παράμετρος K T αναφέρεται γενικά ως εφαπτομενικό μητρώο ακαμψίας. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα, το K T είναι μια βαθμωτή συνάρτηση. Σύμφωνα με την εξίσωση (6.3), το εφαπτομενικό μητρώο ακαμψίας για το παράδειγμά μας ισούται με: ή K T (u 2 ) = dr(u 2) du 2 = K(u 2 ) + dk(u 2) du 2 u 2 = AE 0 L 2 (L a 01u 2 ) AE 0 L 2 a 01u 2 K T (u 2 ) = AE 0 L 2 (L 2a 01u 2 ). Όταν χρησιμοποιούμε το τελευταίο αποτέλεσμα στην επαναληπτική διαδικασία (6.4) και όταν θεωρούμε τον ορισμό της συνάρτησης υπολοίπου σύμφωνα

260 6.3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 251 με τη σχέση (6.3), η επαναληπτική διαδικασία του συγκεκριμένου παραδείγματος τελικά καταλήγει στη σχέση: u (j+1) 2 = u (j) 2 AE 0 L 2 (L a 01 u (j) 2 )u (j) 2 F (j) 2 AE 0 (L 2a L 2 01 u (j) 2 ) Η μέθοδος εμφανίζει τετραγωνική σύγκλιση. Γενικά όμως ένα μεγάλο μειονέκτημα της μεθόδου έγκειται στο ότι το εφαπτομενικό μητρώο ακαμψίας πρέπει να υπολογίζεται και να αντιστρέφεται σε κάθε βήμα της επαναληπτικής διαδικασίας. Για μεγάλα συστήματα εξισώσεων, αυτό οδηγεί σε ιδιαίτερα «βαριές» υπολογιστικά διαδικασίες και είναι πιθανόν να αντισταθμίζει το πλεονέκτημα της τετραγωνικής σύγκλισης. Όταν αυξάνεται το εξωτερικό φορτίο F 2, προκύπτει μια οριακή τιμή, από την οποία όμως δεν μπορεί πια να επιτευγχθεί σύγκλιση με τη μέθοδο Newton- Raphson. Ένα εξαρτώμενο από την τροπή μέτρο ελαστικότητας οδηγείται μέσα από διαδικασία ολοκλήρωσης στην παραβολική κατανομή τάσεων, όπως απεικονίζεται στο Σχ Σύμφωνα με αυτό το γράφημα, μπορεί να καθοριστεί η μέγιστη τιμή της τάσης στο σ max = E 0 /2a 01, ή εναλλακτικά η μέγιστη δύναμη της δοκού στο F max = E 0 A/2a 01. Για να επεξηγηθεί η μη ύπαρξη σύγκλισης, πρέπει η συνάρτηση υπολοίπου (6.3) να εξεταστεί πιο λεπτομερώς, και να θεωρηθεί ότι η επαναληπτική μέθοδος πρέπει να καθορίσει τις ρίζες της συνάρτησης αυτής. Η συγκεκριμένη συνάρτηση υπολοίπου είναι μια τετραγωνική συνάρτηση γύρω από το u 2, που μπορεί να γραφτεί όπως η ακόλουθη παραβολική εξίσωση, μετά από ολοκλήρωση στο τετράγωνο: ( u 2 L 2a 01 ) 2 + ( F2 E 0 A 1 ) L 2 = 0. 4a 01 a 01 Συνεπώς, η εξίσωση (6.3) αναπαριστά μια παραβολή με τα κοίλα άνω, με κορυφή το σημείο (L/2a 01, (F 2 /E 0 A 1/4a 01 )L 2 /a 01 ). Ανάλογα με τη θέση της κορυφής της παραβολής, διαφέρει και ο αριθμός των ριζών (βλ. Σχ. 6.7), οπότε η οριακή τιμή για τη σύγκλιση της επαναληπτικής μεθόδου καθορίζεται μέσα από το οριακό σημείο της παραβολής με τον u 2 άξονα: F 2 E 0 A 1 = 0. 4a 01 Επομένως, η επαναληπτική μέθοδος Newton-Raphson για τη συγκεκριμένη περίπτωση, όπου το μέτρο ελαστικότητας εξαρτάται γραμμικά από την παρα-

261 252 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. MΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ σ(ε) E 0 E(ε) 0 ε 1 ε 1 E 0 E 0 E 1 = 1 α 01 2 α 01 ε Σχήμα 6.6: Διάγραμμα τάσης-παραμόρφωσης για μέτρο ελαστικότητας που εξαρτάται από την τροπή, σύμφωνα με την εξίσωση (6.1). μόρφωση, συγκλίνει μόνο μεταξύ των ακολούθων ορίων: F 2 E 0A 4a 01 or ϵ 1 2a 01. H διαδικασία Newton-Raphson αναπαριστάται γραφικά στο Σχ Το εφαπτομενικό μητρώο ακαμψίας K (j) T υπολογίζεται σε κάθε επαναληπτικό σημείο u (j) 2, έτσι ώστε στη συνέχεια να υπολογισθεί η επόμενη τιμή u (j+1) 2 μέσα από γραμμικοποίηση. Είναι σημαντικό να αναφερθεί ότι το εφαπτομενικό μητρώο ακαμψίας προσδιορίζεται ως παράγωγος στο διάγραμμα δύναμης-μετατόπισης, βλ. Σχ Για να μετατραπεί το γράφημα σε διάγραμμα τάσης-παραμόρφωσης, πρέπει να διαιρεθεί η συνάρτηση υπολοίπου (6.3) με την επιφάνεια εγκάρσιας διατομής, και η μετατόπιση με το μήκος, ώστε να ληφθεί η παρακάτω μορφή: ( u ) 2 u2 E 0 1 a 01 L L F 2 A = 0,

262 6.3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 253 ή εναλλακτικά η μορφή που ακολουθεί με εισαγωγή τάσης και παραμόρφωσης: r(ϵ) = E 0 (1 a 01 ϵ)ϵ σ = 0. Είναι σημαντικό να τονισθεί ότι η τελευταία εξίσωση δεν πρέπει να συγχέεται με αυτή της σχέσης τάσης-παραμόρφωσης του νόμου του Hooke, καθώς σχετίζεται με εξωτερικές και εσωτερικές δυνάμεις. Στο παράδειγμά μας, η εφαρμογή της επαναληπτικής διαδικασίας σύμφωνα με την εξίσωση (6.4) οδηγεί στον ακόλουθο τύπο: όπου dr(ϵ) dϵ ϵ (j+1) = ϵ (j) r(ϵ(j) ) dr(ϵ (j) )/dϵ, = E T = E(ϵ) + de dϵ ϵ = E 0(1 a 01 ϵ) E 0 a 01 ϵ = E 0 (1 2a 01 ϵ) αναφέρεται ως σύμμορφο μέτρο E T στον επαναληπτικό τύπο. H μέθοδος Newton-Raphson για μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων με πολλές μεταβλητές Η πλήρης μέθοδος Newton-Raphson για σύστημα με πολλούς αγνώστους (βαθμούς ελευθερίας), διατυπώνεται από την παρακάτω εξίσωση: u (j+1) = u (j) (K T (j) ) 1 r(u (j) ), ενώ το εφαπτομενικό μητρώο ακαμψίας δίνεται γενικά από τη σχέση: K T = r(u) u. Η διατύπωση του διανύσματος υπολοίπου δίνεται από τη σχέση: r(u) = Ku F.

263 254 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. MΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ r(u 2 ) F 2 < E 0A 4α 01, ε < 1 2a 01 αρχική τιμή λύση 0 u 2 r(u 2 ) F 2 > E 0A 4α 01 ε < 1 2a 01 L 0 u 2 2a 01 r(u 2 ) F 2 < E 0A 4α 01, ε < 1 2a 01 0 L 2a 01 u 2 Σχήμα 6.7: Σχηματική απεικόνιση της συνάρτησης υπολοίπου σύμφωνα με την εξίσωση (6.3) για διαφορετικά εξωτερικά φορτία F 2.

264 6.3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 255 F 2 F (j) 2 K (0) T E 0 A 4a 01 K (1) T u (0) 2 u (1) 2 u (2) 2 u 2 Σχήμα 6.8: Σχηματική απεικόνιση της πλήρους επαναληπτικής μεθόδου Newton-Raphson.

265 256 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. MΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ Η τροποποιημένη μέθοδος Newton-Raphson H τροποποιημένη μέθοδος Newton-Raphson για μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων με έναν άγνωστο Μειονέκτημα της πλήρους επαναληπτικής μεθόδου Newton-Raphson αποτελεί το γεγονός ότι ο υπολογισμός του εφαπτομενικού μητρώου ακαμψίας και του αντιστρόφου του, πρέπει να γίνονται σε κάθε επαναληπτικό βήμα. Η τροποποιημένη μέθοδος Newton-Raphson προκύπτει, εάν ο υπολογισμός του εφαπτομενικού μητρώου ακαμψίας γίνεται μόνο μία φορά στην αρχή του κάθε επαναληπτικού βήματος. Με βάση την εξίσωση (6.4), η τροποποιημένη μέθοδος διατυπώνεται ως εξής: u (j+1) 2 = u (j) r(u (j) 2 ) 2 = u (j) dr(u (0) 2 )/du 2 2 (K (0) T ) 1 r(u (j) 2 ). Η τροποποιημένη μέθοδος Newton-Raphson απεικονίζεται σχηματικά στο Σχ Από το σχήμα αυτό προκύπτει ότι η ίδια αρχική εφαπτομενική ακαμψία χρησιμοποιείται σε κάθε επαναληπτικό βήμα, ενώ σε σύγκριση με την πλήρη μέθοδο, εδώ απαιτούνται περισσότερες επαναλήψεις. Επίσης, η μέθοδος δεν συγκλίνει πλέον τετραγωνικά αλλά γραμμικά. Παρόλ αυτά αποφεύγεται ο υπολογισμός του αντιστρόφου μητρώου του εφαπτομενικού μητρώου ακαμψίας σε κάθε επαναληπτικό βήμα, ο οποίος θα απαιτούσε μεγάλο υπολογιστικό κόστος, με αποτέλεσμα τη σημαντική μείωση αυτού. H τροποποιημένη μέθοδος Newton-Raphson για μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων με πολλούς αγνώστους Η τροποποιημένη μέθοδος Newton-Raphson για σύστημα με πολλούς αγνώστους, διατυπώνεται από την παρακάτω εξίσωση: Κριτήρια σύγκλισης u (j+1) = u (j) (K T (0) ) 1 r(u (j) ). Ο έλεγχος σύγκλισης ενός επαναληπτικού σχήματος επίλυσης, βασίζεται στη χρήση της παρακάτω κανονικοποιημένης διαφοράς στις μετακινήσεις: (u(j) 2 u (j 1) 2 ) 2 + (u (j) 3 u (j 1) 3 ) (u (j) m u (j 1) m ) 2 (u (j) 2 ) 2 + (u (j) 3 ) (u (j) m ) 2

266 6.3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 257 F 2 F (j) 2 K (0) T E 0 A 4a 01 u (0) 2 u (1) 2 u (2) 2 u (j) 2 u 2 Σχήμα 6.9: Σχηματική απεικόνιση της τροποποιημένης επαναληπτικής μεθόδου Newton-Raphson όπου ο αριθμός m αντιπροσωπεύει τον αριθμό των αγνώστων βαθμών ελευθερίας. Εάν αυτή η ποσότητα είναι κάτω από ένα συγκεκριμένο όριο (ακρίβεια), η επανάληψη συγκλίνει. Εναλλακτικά μπορεί να χρησιμοποιηθεί η νόρμα του διανύσματος υπολοίπου r (j) = K(u (j) )u (j) F (j), (μη εξισορροπούμενη δύναμη), για τον έλεγχο της σύγκλισης, η οποία δίνεται από τη σχέση που ακολουθεί: m (r (j) ) 2. i=1 Στην εξειδικευμένη βιβλιογραφία μπορεί κανείς να αναζητήσει περισσότερες

267 258 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. MΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ μεθόδους για την παρακολούθηση της λύσης σε περιοχές ευσταθούς και ασταθούς λειτουργίας, όπως για παράδειγμα η μέθοδος μήκους τόξου, οι οποίες εφαρμόζονται σε πιο εξειδικευμένα προβλήματα μηχανικής και είναι σε θέση να υπολογίσουν ευσταθείς και ασταθείς λύσεις (επιβολή μετακινήσεων αντί για την επιβολή δυνάμεων). Ειδικός χειρισμός απαιτείται επίσης στην περίπτωση που εμφανίζεται διακλάδωση της λύσης και η δυνατότητα εύρεσης περισσότερων απο μίας λύσεων με την αύξηση του φορτίου. Κατά την πρακτική εφαρμογή οποιασδήποτε μεθόδου μέσα σε ένα πακέτο πεπερασμένων στοιχείων θα πρέπει κάποιος να αναζητήσει την επιλογή σταδιακής επιβολής του φορτίου, να εντοπίσει τη μέθοδο των επαναλήψεων που χρησιμοποιείται και τον μέγιστο επιτρεπτό αριθμό επαναλήψεων μέσα σε κάθε βήμα φορτίσεως καθώς και τη νόρμα και την ακρίβεια σύγκλισης. Σε πιο εξελιγμένες υλοποιήσεις, επειδή ο αριθμός των επαναλήψεων που απαιτείται για την επίλυση του συστήματος των μη γραμμικών εξισώσεων ισορροπίας εξαρτάται από τη δυσκολία του προβλήματος, διατίθενται και μέθοδοι μεταβλητού βήματος φορτίσεως, έτσι ώστε σε περιοχές μεγάλων αποκλίσεων από τη γραμμική απόκριση να μειωθεί η ανάγκη περισσοτέρων επαναλήψεων για τη σύγκλιση μέσα σε κάθε φορτιστικό βήμα και ο κίνδυνος αποτυχίας της επαναληπτικής διαδικασίας. 6.4 Ελαστοπλαστικότητα. Οι βασικές σχέσεις της μηχανικής του συνεχούς Ως τυπικό παράδειγμα μη ελαστικής συμπεριφοράς θα παρουσιαστεί εδώ ένα κλασικό μοντέλο ελαστοπλαστικότητας για μονοδιάστατο συνεχές (ράβδο). Oι συνθήκες διαρροής, ο νόμος πλαστικής ροής, o νόμος κράτυνσης και το μέτρο ελαστικοπλαστικότητας, είναι θέματα που θα περιγραφούν για μονοαξονικές και μονοτονικές συνθήκες φόρτισης. Υπό το πρίσμα του νόμου της κράτυνσης, η περιγραφή περιορίζεται στην ισότροπη κράτυνση, η οποία συμβαίνει για παράδειγμα, σε πείραμα μονοαξονικού εφελκυσμού με μονοτονική φόρτιση. Ο αναγνώστης μπορεί να βρει στην εξειδικευμένη βιβλιογραφία αντίστοιχους νόμους για διδιάστατα και τρισδιάστατα στερεά, καθώς και επεκτάσεις τους, όπως εξειδικευμένα μοντέλα για εφαρμογές εδαφομηχανικής, συνθέτων υλικών, τοιχοποιίας κ.ά. Το χαρακτηριστικό γνώρισμα της συμπεριφοράς των πλαστικών υλικών, είναι ότι μετά την αποφόρτιση εμφανίζεται μία παραμένουσα παραμόρφωσηϵ pl. Μόνο η ελαστική παραμόρφωση ϵ el μηδενίζεται. Υπό τον όρο μικρών παραμορ-

268 6.4. ΕΛΑΣΤΟΠΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ 259 φώσεων, επιτρέπεται η πρόσθεση του ελαστικού και πλαστικού μέρους των παραμορφώσεων: ϵ = ϵ el + ϵ pl. (6.5) Οι ελαστικές παραμορφώσεις ϵ el μπορούν να προσδιοριστούν μέσω του νόμου του Hooke. Επίσης, γενικά, δεν δίνεται πια ρητή συσχέτιση μεταξύ τάσηςπαραμόρφωσης για την πλαστική συμπεριφορά των υλικών, καθώς η κατάσταση της παραμόρφωσης είναι επίσης εξαρτώμενη από την ιστορία φόρτισης. Εξαιτίας αυτού του γεγονότος, εξισώσεις ρυθμού παραμόρφωσης είναι απαραίτητες και χρειάζεται να λαμβάνονται υπόψη καθ όλη την ιστορία φόρτισης. Στο πλαίσιο όμως της απεξάρτησης από το χρόνο πλαστικότητας που εξετάζεται εδώ, οι εξισώσεις ρυθμού μπορούν να απλοποιηθούν σε επαυξητικές σχέσεις. Από την εξίσωση (6.5), η πρόσθεση των επαυξητικών παραμορφώσεων οδηγεί στη σχέση: dϵ = dϵ el + dϵ pl. (6.6) H καταστατική περιγραφή της πλαστικής συμπεριφοράς των υλικών περιλαμβάνει: μια συνθήκη διαρροής, έναν νόμο πλαστικής ροής και έναν νόμο κράτυνσης. Στα επόμενα, θεωρείται μόνο η περίπτωση της μονοτονικής φόρτισης, έτσι ώστε να λαμβάνεται υπόψη μόνο η ισοτροπική κράτυνση του υλικού. Αυτή η περίπτωση, εμφανίζεται, για παράδειγμα, σε πειράματα μονοαξονικού εφελκυσμού με μονοτονική φόρτιση. Επίσης, γίνεται υπόθεση ότι η τάση διαρροής είναι ίδια στον εφελκυσμό και στη θλίψη: k t = k c = k Συνθήκη διαρροής Η συνθήκη διαρροής καθορίζει εάν σε σημείο του υπό εξέταση σώματος, αναπτύσσονται μόνο ελαστικές ή και πλαστικές τροπές, σε συγκεκριμένο επίπεδο τάσης. Σε πείραμα μονοαξονικού εφελκυσμού, η πλαστική ροή ξεκινά όταν η τάση φθάσει την αρχική τάση διαρροής, k init, βλ. Σχ Η γενική μορφή της συνθήκης διαρροής για την περίπτωση μονοδιάστατου προβλήματος, διατυπώνεται ως εξής (R x R R): F = F (σ, κ),

269 260 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. MΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ γραμμικό k init t E elpl ιδανικό E ε init c ε init t k init c Σχήμα 6.10: Μονοαξονικά διαγράμματα τάσης-παραμόρφωσης για γραμμική κράτυνση και τέλεια πλαστικότητα. όπου το κ αναπαριστά την εσωτερική μεταβλητή της ισοτροπικής κράτυνσης. Στην περίπτωση της τέλειας πλαστικότητας, βλ. Σχ. 6.10, ισχύει η ακόλουθη σχέση: F = F (σ), δηλαδή η συνθήκη διαρροής εξαρτάται μόνο από την τάση. Οι τιμές της συνθήκης διαρροής F λαμβάνουν την ακόλουθη μηχανική ερμηνεία, βλ. Σχ. 6.11: Ελαστική συμπεριφορά: F (σ, κ) < 0. Πλαστική συμπεριφορά: Μη αποδεκτή περιοχή: F (σ, κ) = 0. F (σ, κ) > 0. Περαιτέρω απλοποίηση οδηγεί στην υπόθεση ότι η συνθήκη διαρροής μπορεί να διαχωριστεί σε ένα τμήμα καθαρά εξαρτώμενο από την τάση: f(σ), με την ονομασία κριτήριο διαρροής και σε ένα τμήμα που εξαρτάται από την πειραματική

270 6.4. ΕΛΑΣΤΟΠΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ 261 παράμετρο του υλικού, k(κ) με την ονομασία τάση ροής: F (σ, κ) = f(σ) k(κ). Για πείραμα μονοαξονικού εφελκυσμού (βλ. Σχ. 6.10) η συνθήκη διαρροής διατυπώνεται ως εξής: F (σ, κ) = σ k(κ) 0. (6.7) Εάν γίνει θεώρηση της ιδανικής περίπτωσης της γραμμικής κράτυνσης (βλ. Σχ. 6.10β), η εξίσωση (6.7) μπορεί να γραφεί ως: F (σ, κ) = σ (k init + E pl κ) 0. Η παράμετρος E pl εδώ είναι το μέτρο πλαστικότητας, το οποίο μηδενίζεται στην περίπτωση της τέλειας πλαστικότητας: F (σ, κ) = σ k init 0. (6.8) Νόμος πλαστικής ροής Ο νόμος πλαστικής ροής λειτουργεί σαν μια μαθηματική περιγραφή της εξέλιξης των απειροελάχιστων προσαυξήσεων της πλαστικής τροπής dϵ pl σε συνάρτηση με την ιστορία φόρτισης του σώματος. Στην γενικότερη μονοδιάστατη μορφή του, ο νόμος πλαστικής ροής μπορεί να διατυπωθεί ως ακολούθως: dϵ pl = dλr(σ, κ), όπου ο παράγοντας dλ είναι η παράμετρος συμβατότητας ( dλ 0) και το r: (RxR R) η συνάρτηση της κατεύθυνσης ροής. Μπορεί να γίνει η θεώρηση ότι μόνο για dϵ pl = 0, λαμβάνεται dλ = 0. Στο πλαίσιο του αξιώματος ευστάθειας του Drucker, διατυπώνεται ο εξής νόμος πλαστικής ροής: dϵ pl = dλ F (σ, κ). (6.9) σ Ένας τέτοιος νόμος ροής ονομάζεται νόμος καθετότητας ή εξαιτίας του r = F (σ, κ)/ σ, συνηρτημένος νόμος πλαστικής ροής (associated plasticity). Πειραματικά αποτελέσματα από τον τομέα των κοκκωδών υλικών μπορούν ωστόσο να προσεγγιστούν καλύτερα αν η παράγωγος της τάσης αντικατασταθεί από μία διαφορετική συνάρτηση, την αποκαλούμενη συνάρτηση πλαστικού

271 262 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. MΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ σ F σ F = 0 F < 0 F > 0 σ Σχήμα 6.11: Σχηματική απεικόνιση των τιμών της συνθήκης διαρροής και της κατεύθυνσης της παραγώγου της τάσης σε πολυδιάστατο χώρο τάσεων. Εδώ, οι άξονες σ σ αναπαριστούν μια σχηματική απεικόνιση του n-διάστατου χώρου τάσεων δυναμικού Q. O προκύπτων νόμος ροής αναφέρεται τότε σαν μη-συνηρτημένος νόμος ροής (nonassociated plasticity): dϵ pl = dλ Q(σ, κ). σ Στην περίπτωση αρκετά πολύπλοκων συνθηκών διαρροής, συχνά προκύπτει η ανάγκη χρήσης απλούστερων συνθηκών διαρροής για το Q σε πρώτη προσέγγιση, όπου η παράγωγος καθορίζεται εύκολα. Η εφαρμογή συνηρτημένων νόμων πλαστικής ροής (6.9) στις συνθήκες διαρροής των σχέσεων (6.7)-(6.8), οδηγεί για τους τρεις τύπους των συνθηκών διαρροής (αυθαίρετη κράτυνση, γραμμική κράτυνση και τέλεια πλαστικότητα), στην εξής σχέση: dϵ pl = dλsgn(σ), (6.10)

272 6.4. ΕΛΑΣΤΟΠΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ 263 όπου ο όρος sgn(σ) εκφράζει την καλούμενη συνάρτηση προσήμου, η οποία λαμβάνει τις εξής τιμές: Νόμος κράτυνσης sgn(σ) = 1 for σ < 0, 0 for σ = 0, +1 for σ > 0. Ο νόμος της κράτυνσης επιτρέπει τη θεώρηση της επίδρασης της κράτυνσης του υλικού στη συνθήκη διαρροής και στον νόμο πλαστικής ροής. Σε ισότροπη κράτυνση, η τάση διαρροής εξαρτάται από την εσωτερική μεταβλητή κ και δίνεται από τη σχέση: k = k(κ). (6.11) Εάν η ισοδύναμη πλαστική παραμόρφωση (τροπή) χρησιμοποιείται για την περιγραφή της μεταβλητής κράτυνσης (κ = ϵ pl ), τότε ορίζεται η τροπή κράτυνσης. Μία άλλη δυνατότητα είναι η περιγραφή της κράτυνσης σε συνάρτηση με το έργο πλαστικότητας (κ = w pl = σdϵ pl ). Στην περίπτωση αυτή ορίζεται το έργο κράτυνσης. Εάν η εξίσωση (6.11) συνδυαστεί με τον νόμο ροής σύμφωνα με τη σχέση (6.10), τότε η εξίσωση εξέλιξης της μεταβλητής ισότροπης κράτυνσης, δίνεται από τη σχέση: dκ = d ϵ pl = dλ. (6.12) Ελαστοπλαστικό μέτρο υλικού Στη συμπεριφορά ενός πλαστικού υλικού, η ακαμψία του υλικού αλλάζει, και η παραμόρφωση εξαρτάται από την ιστορία φόρτισης. Γι αυτό, ο νόμος του Hooke ο οποίος εφαρμόζεται σε γραμμικό-ελαστικό υλικό, πρέπει να αντικατασταθεί από την ακόλουθη επαυξητική σχέση: dσ = E elpl dϵ. (6.13) Το E elpl της σχέσης (6.13), το οποίο είναι το ελαστοπλαστικό μέτρο του υλικού (βλ. Σχ. 6.10), δίνεται στη συνέχεια. Το ολικό διαφορικό της συνθήκης διαρροής (6.7) δίνει: ( ) ( ) ( ) F F F df = dσ + dκ = sgn(σ)dσ + dκ = 0. (6.14) σ κ κ

273 264 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. MΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ Εάν ο νόμος του Hooke και ο νόμος ροής (6.10) αντικατασταθούν στην εξίσωση (6.6), λαμβάνεται: dϵ = 1 dσ + dλsgn(σ). (6.15) E Ο πολλαπλασιασμός της εξίσωσης (6.15) με το sgn(σ)e και η αντικατάσταση στην εξίσωση (6.14) οδηγεί, μετά από χρήση της εξίσωσης εξέλιξης των μεταβλητών κράτυνσης (6.12), στην παράμετρο συμβατότητας: dλ = sgn(σ)e E ( F / κ) dϵ. Με αντικατάσταση της παραμέτρου συμβατότητας στην εξίσωση (6.15) και λύση ως προς dσ, τελικά προκύπτει το ελαστοπλαστικό μέτρο του υλικού: E elpl = dσ dϵ = E ( F / κ) ( F / κ) E. (6.16) Για την ειδική περίπτωση γραμμικής κράτυνσης, όπου F / κ = E pl, η εξίσωση (6.16) μπορεί να απλοποιηθεί ως ακολούθως: E elpl = E Epl E + E pl. 6.5 Οι εξισώσεις του υλικού Συγκριτικά με τους υπολογισμούς της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων σε αμιγώς γραμμική-ελαστική συμπεριφορά, ο υπολογισμός στο πλαίσιο της προσομοίωσης της πλαστικής συμπεριφοράς δεν μπορεί να διεξαχθεί πλέον σε ένα βήμα, καθώς γενικά δεν υπάρχει εμφανής σχέση μεταξύ τάσης και παραμόρφωσης. Aντ αυτού, το φορτίο εφαρμόζεται επαυξητικά και σε κάθε προσαύξησή του, πρέπει να λύνεται ένα μη γραμμικό σύστημα εξισώσεων (για παράδειγμα με τη μέθοδο Newton-Raphson). Επομένως, η κύρια εξίσωση (εξίσωση ισορροπίας) της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων πρέπει να λάβει την ακόλουθη επαυξητική μορφή: K u = F. Επιπρόσθετα οι μεταβλητές - για παράδειγμα η τάση σ n+1 - πρέπει να υπολογίζονται για κάθε βήμα (n+1) σε κάθε σημείο (για παράδειγμα, σημείο ολοκλήρωσης κατά Gauss, εάν χρησιμοποιηθεί αριθμητική ολοκλήρωση για τον υπολογισμό των σταθερών του συστήματος των εξισώσεων ισορροπίας), με βάση την

274 6.5. ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΥΛΙΚΟΥ 265 τάση στο τέλος του προηγούμενου βήματος (n) και τη δεδομένη επαυξητική τροπή ( ϵ n ). Ο νόμος υλικού σε απειροστική μορφή πρέπει να υλοποιηθεί αριθμητικά σύμφωνα με τις εξισώσεις (6.6) και (6.16). Ωστόσο, μέθοδοι ολοκλήρωσης ενός βήματος, χωρίς διόρθωση (explicit) όπως, για παράδειγμα, η διαδικασία Euler, δεν είναι ακριβείς και είναι πιθανώς ασταθείς, καθώς μπορεί να συσσωρευτεί ένα καθολικό σφάλμα. Στο πλαίσιο της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων χρησιμοποιούνται μέθοδοι πρόγνωσης-διόρθωσης, στις οποίες, υπολογίζεται αρχικά ο αποκαλούμενος προγνωστικός δείκτης και στη συνέχεια διορθώνεται (implicit). Στο πρώτο βήμα, υπολογίζεται μία δοκιμαστική τιμή της τάσης, υπό την υπόθεση της αμιγώς γραμμικής-ελαστικής συμπεριφοράς του υλικού, μέσω ενός ελαστικού προγνωστικού δείκτη: σ trial n+1 = σ n + E ϵ n. Η δεδομένη συνθήκη κράτυνσης σε αυτήν την δοκιμαστική τάση, ισοδυναμεί με την συνθήκη στο τέλος του προηγούμενου βήματος. Ως εκ τούτου, γίνεται η υπόθεση ότι η σταδιακή αύξηση του φορτίου προκύπτει με αμιγώς ελαστικό τρόπο, δηλαδή χωρίς πλαστικές παραμορφώσεις και συνεπώς χωρίς κράτυνση: κ trial n+1 = κ n. Βάσει της θέσης της δοκιμαστικής τάσης στον χώρο των τάσεων, μπορούν να διατυπωθούν δύο στοιχειώδεις συνθήκες με τη βοήθεια της συνθήκης διαρροής: (α) H τάση βρίσκεται στην ελαστική περιοχή ή στο όριο της επιφάνειας διαρροής (αποδεκτή κατάσταση τάσης): F (σ trial n+1, κ trial n+1 ) 0. Σε αυτή την περίπτωση, η δοκιμαστική κατάσταση μπορεί να θεωρηθεί ως μία νέα τάση/κατάσταση κράτυνσης, καθώς ισούται με την πραγματική κατάσταση: σ n+1 = σ trial n+1, κ n+1 = κ trial n+1. Τελικά, λαμβάνει χώρα το επόμενο επαυξητικό βήμα. (β) Η δοκιμαστική τάση βρίσκεται έξω από το όριο της επιφάνειας διαρροής (μη αποδεκτή κατάσταση τάσης): F (σ trial n+1, κ trial n+1 ) > 0.

275 266 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. MΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ Σε αυτή την περίπτωση, υπολογίζεται μία αποδεκτή κατάσταση στο όριο της επιφάνειας διαρροής (F (σn+1 trial, κ trial n+1 ) = 0), στο δεύτερο μέρος της διαδικασίας από τη μη αποδεκτή δοκιμαστική κατάσταση. Συνεπώς, η αναγκαία διαφορά τάσης: σ pl = σn+1 trial σ n+1 αναφέρεται ως πλαστικός δείκτης διόρθωσης Παραδείγματα ελαστοπλαστικής ανάλυσης με πεπερασμένα στοιχεία Τα παραδείγματα που ακολουθούν αφορούν τη μελέτη ενός δοκιμίου-τοιχίου και ενός τοίχου από μηχανικά ομογενοποιημένη τοιχοποιία (Πίνακας 6.12), της Ε[Pa] v ρ[kg/m³] S 0 ή τ Υ [Pa] φ o C 0 ή σ Υc [Pa] Τ 0 ή σ Υt [Pa] 8.82e e e e+6 Σχήμα 6.12: Μηχανικές ιδιότητες τοιχοποιίας. οποίας η καταστατική συμπεριφορά είναι τέλεια ελαστοπλαστική και ως κριτήριο διαρροής χρησιμοποιήθηκε το παραβολικό κριτήριο Mohr-Coulomb. Τα δύο αυτά δομικά συστήματα εξωθούνται στην αστοχία καταπονούμενα σε εντός επιπέδου κάμψη και διάτμηση. Οι συγκεκριμένοι τύποι φόρτισης επιλέχθηκαν επειδή σε συνδυασμό και με τα ιδιαίτερα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του κάθε σώματος (π.χ. ύπαρξη ή μη ανοιγμάτων), προκαλούν ταυτόχρονα τόσο εφελκυστικά όσο και θλιπτικά φορτία (Σχήμα 6.13), όπου μέτρο ελαστικότητας,

276 6.5. ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΥΛΙΚΟΥ 267 ν λόγος Poisson, τ γ όριο διαρροής, φ γωνία τριβής, σ Yc θλιπτική αντοχή, σ Yt εφελκυστική αντοχή. Σχήμα 6.13: Τοιχίο σε εντός επιπέδου α) κάμψη και β) διάτμηση. Εντατική κατάσταση τοιχίου (Διάγραμμα Ελευθέρου Σώματος) και μορφές αστοχίας στα επίπεδα των αρμών διάστρωσης. Α. Εντός επιπέδου κάμψη και διάτμηση δοκιμίου τοιχοποιίας επιλέχθηκε αρχικά ένα παραλληλεπίπεδο δοκίμιο-τοιχίο σε εντός επιπέδου κάμψη και διάτμηση (Σχ. 6.15). Η αριθμητική επίλυση του δοκιμίου έγινε με τη θεώρηση επίπεδης τάσης (σ zz = σ yz = σ zx = 0). Το πλέγμα των στοιχείων που χρησιμοποιήθηκε, αποτελείται από 720 τετραπλευρικά τετρακομβικά στοιχεία επίπεδης έντασης, με 777 κόμβους και συνολικά 1554 βαθμούς ελευθερίας (σχ. 6.16α). Οι συνοριακές συνθήκες που εφαρμόστηκαν στο δοκίμιο είναι οι ακόλουθες (Σχ. 6.15): 1. Στην κορυφή του δοκιμίου εφαρμόζεται σταδιακά μια οριζόντια μετατόπιση u x = 0.25mm, με ρυθμό φόρτισης. Το πρόβλημα αντιμετωπίζεται ως δυναμικό και επιλύεται σε 100 βήματα (dt = 0.1 sec), με την εφαρμογή της μεθόδου χρονικής ολοκλήρωσης Newmark. Το μέγεθος της μετατόπισης επιλέγεται έτσι ώστε, η καμπτική ροπή στη βάση ή/και στην κορυφή του δοκιμίου να δώσει μια τάση μεγαλύτερη από την αντοχή του υλικού σε εφελκυσμό και μικρότερη από την αντοχή του σε θλίψη.

277 268 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. MΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ 2. Στη βάση του τοίχου εφαρμόζεται πάκτωση (u x = u y = 0). 3. Στην περίπτωση της εντός επιπέδου διάτμησης, εφαρμόζεται εκτός των παραπάνω συνθηκών και κύλιση κατά την οριζόντια διεύθυνση (άξονας-x) στην κορυφή του δοκιμίου. Σχήμα 6.14: Γεωμετρία (όλες οι διαστάσεις σε m), κόμβοι μελέτης και συνοριακές συνθήκες δοκιμίου τοιχοποιίας για τις περιπτώσεις της εντός επιπέδου κάμψης και διάτμησης. Για την αξιολόγηση των αποτελεσμάτων της ανάλυσης που έγινε, λαμβάνονται χρωματικοί χάρτες που περιγράφουν την κατανομή των ισοδύναμων πλαστικών παραμορφώσεων, όπως φαίνεται στο σχήμα 6.16β. Β. Εντός επιπέδου κάμψη και διάτμηση τοίχου από τοιχοποιία. Το δομικό σύστημα του όποιου η μηχανική συμπεριφορά μελετάται σε αυτό το παράδειγμα, είναι ένας τοίχος (Σχήμα 6.16α) από την ίδια με το δοκίμιο μηχανικά ομογενοποιημένη ελαστοπλαστική τοιχοποιία (Πίνακας 6.12). Η αριθμητική επίλυση του τοίχου έγινε με τη θεώρηση επίπεδης τάσης (σ 33 = σ 23 = σ 31 = 0). Η διακριτοποίηση προέκυψε μετά από διερεύνηση που έγινε ώστε να επιτευχθεί η μεγαλύτερη δυνατή ακρίβεια των υπολογισμών με ταυτόχρονη ελαχιστοποίηση του υπολογιστικού κόστους. Για τον λόγο αυτό στις κοντινές στα ανοίγματα περιοχές του τοίχου, έγινε κατάλληλη πύκνωση

278 6.5. ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΥΛΙΚΟΥ 269 Σχήμα 6.15: α) Μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων δοκιμίου-τοιχίου, β) ισοδύναμες πλαστικές παραμορφώσεις στην εντός επιπέδου κάμψη. του πλέγματος των στοιχείων. Το τελικό πλέγμα αποτελείται από 1344 τετραπλευρικά τετρακομβικά στοιχεία επίπεδης έντασης, με 1485 κόμβους και συνολικά 2970 βαθμούς ελευθερίας (Σχήμα 6.16β). Οι συνοριακές συνθήκες που εφαρμόστηκαν στον τοίχο είναι οι ακόλουθες (Σχήμα 6.17): 1. Στην κορυφή του τοίχου εφαρμόζεται σταδιακά μια οριζόντια μετατόπιση u x = 1mm, με ρυθμό φόρτισης. Το πρόβλημα αντιμετωπίζεται ως δυναμικό και επιλύεται σε 200 βήματα (dt = 0.05 sec), με την εφαρμογή της μεθόδου χρονικής ολοκλήρωσης Newmark. 2. Στη βάση του τοίχου εφαρμόζεται πάκτωση (u x = u y = 0). 3. Στην περίπτωση της εντός επιπέδου διάτμησης, εφαρμόζεται εκτός των παραπάνω συνθηκών και κύλιση κατά την οριζόντια διεύθυνση (άξονας-x) στην κορυφή του δοκιμίου. 4. Στη περίπτωση της εκτός επιπέδου κάμψης εφαρμόστηκαν οι συνοριακές συνθήκες 1 και 2 με τη διαφορά ότι η οριζόντια μετατόπιση που εφαρμόστηκε στην κορυφή του τοίχου δρα στην κάθετη στο επίπεδο του τοίχου διεύθυνση (Σχ. 6.19α).

279 270 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. MΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ Σχήμα 6.16: α) Γεωμετρία (όλες οι διαστάσεις σε m), κόμβοι μελέτης και β) διακριτοποίηση του τοίχου στις δύο διαστάσεις. 5. Στην περίπτωση της κατακόρυφης θλίψης του τοίχου, εφαρμόστηκαν οι συνοριακές συνθήκες 1 και 2 με την διαφορά ότι η μετατόπιση που εφαρμόστηκε στην κορυφή του τοίχου δρα στον κατακόρυφο άξονα, μέσα στο επίπεδο του τοίχου και με διεύθυνση προς τη βάση (Σχ. 6.19β). Για την αξιολόγηση των αποτελεσμάτων της ανάλυσης που έγινε, λαμβάνονται χρωματικοί χάρτες που περιγράφουν την κατανομή των ισοδύναμων πλαστικών παραμορφώσεων, όπως δίνονται στα Σχήματα 6.18 και 6.20.

280 6.5. ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΥΛΙΚΟΥ 271 Σχήμα 6.17: Συνοριακές συνθήκες στο πρόβλημα της εντός επιπέδου α) κάμψης και β) διάτμησης του τοίχου. Σχήμα 6.18: Ισοδύναμη πλαστική παραμόρφωση για την εντός επιπέδου α) κάμψη και β) διάτμηση του τοίχου.

281 272 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. MΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ z y x α) y x z β) Σχήμα 6.19: Συνοριακές συνθήκες στο πρόβλημα της α) εκτός επιπέδου κάμψης και β) κατακόρυφης θλίψης του τοίχου. Σχήμα 6.20: Ισοδύναμη πλαστική παραμόρφωση για α) εκτός επιπέδου κάμψη και β) κατακόρυφη θλίψη του τοίχου.