ΜΑΘΗΜΑ 10 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΠΕΔΙΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΠΡΟXΩΡΗΜΕΝΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΤΗ ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟ

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑ 10 Gradient if the Total Magnetic Field 20 Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης nt/m m ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΠΕΔΙΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΠΡΟXΩΡΗΜΕΝΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΣΚΟΠΗΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΒΑΡΥΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟ

2 ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΒΑΡΥΤΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Τελικός σκοπός κάθε διασκόπησης είναι ο εντοπισμός του υπεδάφιου στόχου και η εξαγωγή συμπερασμάτων για το σχήμα, το βάθος ταφής και τη σύστασή του. Εντοπισμός του στόχου γίνεται από τη στιγμή που θα ανιχνεύσουμε τη διαταραχή που αυτός προκαλεί στο βαρυτικό ή το μαγνητικό πεδίο της Γης. Η εύρεση όμως των ιδιοτήτων του στόχου, οοποίοςείναιη πηγή των διαταραχών, συνιστά το τελικό στάδιο της διασκόπησης. Tο στάδιο αυτό ονομάζεται ερμηνεία (interpretation) των καταγραφών μας.

3 ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΒΑΡΥΤΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Κατά το στάδιο αυτό είναι δυνατόν να υπολογίσουμε μία ή περισσότερες παραμέτρους οι οποίες ποσοτικοποιούν τις ιδιότητες της πηγής. Σε κάθε περίπτωση όμως, πρέπει να λάβουμε υπ όψη και τα αποτελέσματα άλλων γεωφυσικών διασκοπήσεων στην περιοχή, τη γεωλογία της και οποιαδήποτε άλλη σχετική πληροφορία

4 ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΒΑΡΥΤΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Υπάρχει όμως μια άλλη κατηγορία μεθόδων οι οποίες αν και δεν μας οδηγούν σε παραμέτρους της πηγής βοηθούν σημαντικά την ερμηνεία. Οι μέθοδοι αυτές φανερώνουν διάφορα χαρακτηριστικά της πηγής και με τον τρόπο αυτό βοηθούν την ερμηνεία. Όλες στηρίζονται στον μετασχηματισμό των καταγραφών σε κάποια νέα μορφή. Για το λόγο αυτό ονομάστηκαν «μετασχηματισμοί πεδίου».

5 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΠΕΔΙΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Οι περισσότεροι μετασχηματισμοί πεδίου εφαρμόζονται αφού προηγουμένως τα δεδομένα έχουν απεικονιστεί ως συναρτήσεις των χωρικών κυματαρίθμων. Το μέσο γι αυτή την απεικόνιση είναι ο Mετασχηματισμός Fourier (MF). Οι ιδιότητες μάλιστα του μετασχηματισμού Fourier είναι αυτές που διευκολύνουν κατά πολύ την διεξαγωγή πράξεων μετασχηματισμού. Για το λόγο αυτό, η εξέλιξη του συγκεκριμένου πεδίου ήταν ραγδαία μετά την εισαγωγή του Ταχέως Μετασχηματισμού Fourier (FFT) και την εξέλιξη των υπολογιστών. Oι μετασχηματισμοί που γίνονται με την ανάλυση Fourier μπορούν να γίνουν και με διαφορετικό τρόπο. Π.χ., ο υπολογισμός της δεύτερης κατακόρυφης παραγώγου των πεδίων μπορεί να γίνει κάνοντας χρήση της εξίσωσης Laplace.

6 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ FOURIER Έστω η περιοδική συνάρτηση f(x) με περίοδο Χ. Αποδεικνύεται ότι κάτω από πολύ γενικές προϋποθέσεις αυτή μπορεί να παρασταθεί ως σειρά μιγαδικών αριθμών. Οι προϋποθέσεις αυτές αφορούν: το ορισμένο της συνάρτησης για κάποιο διάστημα, τη συνέχεια αυτής και της παραγώγου της την ύπαρξη πεπερασμένου αριθμού αλμάτων για το ίδιο διάστημα το ολοκληρώσιμο της f(x) για διάστημα μιας περιόδου. Οι συνθήκες αυτές πληρούνται από το σύνολο σχεδόν των συναρτήσεων που συναντάμε στη Φυσική και κατά συνέπεια και στη Γεωφυσική. Είναι δε περισσότερο γνωστές με το όνομα «συνθήκες Dirichlet»

7 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ FOURIER Η παράσταση της f(x) ως σειράς εκφράζεται με τη σχέση όπου f ( x) 2πn k n = X = n= F n e iknx και οι συντελεστές F n μπορούν να υπολογιστούν από τη σχέση x + X o 1 F n = f ( x) e X x o iknx dx

8 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ FOURIER Αν αντί περιοδικής συνάρτησης θεωρήσουμε οποιαδήποτε άλλη η οποία περιορίζεται σε κάποιο τμήμα του άξονα χ, απαιτώντας όμως αυτή να είναι πεπερασμένη, δηλαδή να ισχύει η συνθήκη fx ( ) dx< τότε έχουμε συμπεριλάβει το σύνολο των βαρυτικών και μαγνητικών ανωμαλιών.

9 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ FOURIER Αν επιπλέον θεωρήσουμε ότι η περίοδος Χ είναι πάρα πολύ μεγάλη τότε ο MF της μη περιοδικής συνάρτησης f(x) είναι F( K) ikx = f ( x) e dx όπου το k ονομάζεται κυματάριθμος και είναι k = 2π λ

10 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ FOURIER Ο MF είναι μια μιγαδική συνάρτηση του κυματαρίθμου και μπορεί να γραφεί ως F(κ) ) = F(κ) e iθ(κ ) = F(κ) cosθ(κ) ) + i F(κ) sinθ(κ) ) = R(κ) ) + Ι(κ) Επομένως, η συνάρτηση πλάτους στην περιοχή των κυματαρίθμων είναι F(κ) = [R 2 (κ)) + Ι 2 (κ)] )] 1/2 και η συνάρτηση φάσης θ κ = arctan I ( κ ) R( κ )

11 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ FOURIER Η συνολική ενέργεια είναι ίδια στις δύο περιοχές πράγμα που είναι γνωστό ως θεώρημα Parceval και διατυπώνεται 2 2 E = f( x) dx= F( κ) dκ Η συνάρτηση F(κ) 2 ονομάζεται φασματική πυκνότητα ενέργειας. Η μορφή της μας δίνει χρήσιμες πληροφορίες για την πηγή και η κλίση της μας οδηγεί σε ποσοτική εκτίμηση του βάθους ταφής.

12 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ FOURIER Η μεταφορά στο πεδίο του χώρου γίνεται μέσω του αντιστρόφου MF ο οποίος δίνεται από τη σχέση 1 iκx fx ( ) = F( κ) e dκ 2π

13 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ FOURIER Δισδιάστατος MF F( Kx, Ky) y = f ( x, y) e dxdy i( k X + k Y x ) Δισδιάστατος Αντίστροφος MF f ( x, y) F( kx, k 2 y ) 1 i( kx x+ k y y) = e dxdy 4π όπου κ x, κ y είναι οι κυματάριθμοι κατά τη διεύθυνση x και y αντίστοιχα

14 ΔΙΑΧΩΡΙΣΜΟΣ ΤΟΠΙΚΟΥ ΑΠΟ ΤΟ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΟ ΠΕΔΙΟ ΠΡΩΤΟ ΣΤΑΔΙΟ ΟΠΟΙΑΣΔΗΠΟΤΕ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ ΕΡΜΗΝΕΙΑΣ

15 ΚΙΜΩΛΟΣ ΑΝΩΜΑΛΙΑ BOUGUER Δg B (Τσόκας 1985) Τσόκας, Γ.Ν.,., Γεωφυσική διασκόπηση των νησιών Μήλος και Κίμωλος. Διδακτορική Διατριβή, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, Θεσσαλονίκη,, 1985.

16 ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΟ ΠΕΔΙΟ Δg R Το περιφερειακό πεδίο βαρύτητας αποδίδεται από ένα επίπεδο, αυτό περιγράφεται ως συνάρτηση των συντεταγμένων από την εξίσωση Δg R = Ax + By + C Τσόκας, Γ.Ν.,., Γεωφυσική διασκόπηση των νησιών Μήλος και Κίμωλος. Διδακτορική Διατριβή, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, Θεσσαλονίκη,, 1985.

17 ΥΠΟΛΟΙΜΑΤΙΚΗ ΑΝΩΜΑΛΙΑ Δg r Το τοπικό πεδίο είναι Δg r = Δg B -Δg R N Τσόκας, Γ.Ν.,., Γεωφυσική διασκόπηση των νησιών Μήλος και Κίμωλος. Διδακτορική Διατριβή, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, Θεσσαλονίκη,, 1985.

18 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΠΕΔΙΩΝ F[ U k ] = e Δz κ F[ U ] κ = κ r = 2 x k + k 2 y

19 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΠΕΔΙΩΝ Αν θεωρήσουμε το Δz θετικό και τη φορά του άξονα z προς κάτω, τότε η σχέση δηλώνει την προς τα επάνω συνέχεια του πεδίου. Το μετασχηματισμένο λοιπόν πεδίο στη νέα υψηλότερη στάθμη παρουσιάζεται εξασθενημένο ως προς την κατώτερη αρχική. Η εξασθένιση αυτή είναι πιο ισχυρή για τους μεγάλους κυματαρίθμους (μικράμικρά μήκη κύματος). Κατά συνέπεια η προς τα επάνω συνέχεια πεδίου λειτουργεί σαν φίλτρο διέλευσης μικρών κυματαρίθμων

20 ΠΡΟΣ ΤΑ ΚΑΤΩ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΠΕΔΙΟΥ N F[ U c ] = e Δz κ F[ U ] Tsokas,, G.N., Hansen, R.O., Fytikas,, M., Vassilelis,, G.D., Thanassoulas,, C. Geological and geophysical study of Kimolos (Greece) and geothermal implications. Geothermics,, 24, 5/6, , 693, 1995.

21 ΠΡΟΣ ΤΑ ΠΑΝΩ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΠΕΔΙΟΥ mgal F[ U κ ] = e Δz κ F[ U ] Tsokas,, G.N., Hansen, R.O., Fytikas,, M., Vassilelis,, G.D., Thanassoulas,, C. Geological and geophysical study of Kimolos (Greece) and geothermal implications. Geothermics,, 24, 5/6, , 693, 1995.

22 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΠΕΔΙΩΝ Έστω Φ(x,y) η ένταση του πεδίου βαρύτητας και το ολικό μαγνητικό πεδίο σε μια επίπεδη επιφάνεια z = z(x,y) = σταθερά. Τότε θα ισχύουν οι σχέσεις n d φ I n dx n d φ I n dy = = n ( ik ) I[ φ] x n ( ik ) I[ φ] y

23 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΠΕΔΙΩΝ Εφ όσον το μαγνητικού πεδίου δυναμικό U, το πεδίου ικανοποιούν πεδίου την εξίσωση βαρύτητας ή του εξίσωση Laplace τότε ικανοποιούν την και η ένταση των πεδίων αυτών κατά ορισμένη διεύθυνση ικανοποιεί την Επομένως ισχύει ίδια Φ i U = ϑ ϑi εξίσωση. 2 ϑφ ϑφ ϑφ = ϑz ϑx ϑy και κάνοντας χρήση των προηγούμενων σχέσεων 2 ϑ φ I = 2 k ϑz 2 x 2 I[ Φ] + k 2 y 2 I[ Φ] = k 2 I[ Φ]

24 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΠΕΔΙΩΝ Είναι φανερό ότι η πρώτη και δεύτερη κατακόρυφη παράγωγος ενισχύουν τις μικρού μήκους κύματος ανωμαλίες εφ όσον τα πλάτη πολλαπλασιάζονται επί Κ και Κ 2 αντίστοιχα

25 ΠΡΩΤΗ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ mgal/m Tsokas,, G.N., Hansen, R.O., Fytikas,, M., Vassilelis,, G.D., Thanassoulas,, C. Geological and geophysical study of Kimolos (Greece) and geothermal implications. Geothermics,, 24, 5/6, , 693, 1995.

26 ΕΠΙΠΕΔΟΠΟΙΗΣΗ (TERRACING) Ένα από τα παλαιότερα προβλήματα της Εφαρμοσμένης Γεωφυσικής είναι η εύρεση ενός μετασχηματισμού ο οποίος θα παρήγαγε μια προσομοίωση του γεωλογικού χάρτη από την ανωμαλία Bouguer ή το ολικό μαγνητικό πεδίο. Ο Grant (1973) εισήγαγε τον όρο «χαρτογράφηση της μαγνητικής επιδεκτικότητας» (susceptibility mapping) για να περιγράψει ένα γραμμικό μετασχηματισμό ο οποίος κατέληγε στη χαρτογράφηση της κατανομής της ιδιότητας αυτής

27 ΕΠΙΠΕΔΟΠΟΙΗΣΗ (TERRACING) Οι Cordell και McCafferty (1989) πρότειναν τη μέθοδο της επιπεδοποίησης η οποία στηρίζεται στο πρόσημο της τοπικής καμπυλότητας (δευτέρας παραγώγου). Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ισοκατανεμημένες τιμές της ανωμαλίας Bouguer με βήμα δειγματοληψίας, Δx, κατά μήκος μιας όδευσης κατά τον άξονα που ορίζουμε ως x. Έστω ότι Δg i-1, Δgi και Δg ι+1 είναι οι τιμές της ανωμαλίας σε τρία διαδοχικά σημεία. Τότε, αν θεωρήσουμε ότι μια παραβολή προσαρμόζεται στα τρία αυτά σημεία, η καμπυλότητα του πεδίου στο κεντρικό σημείο μπορεί να δωθεί από τη σχέση C i = Δg + Δg Δg i+ 1 i 1 2 i 2Δx

28 ΕΠΙΠΕΔΟΠΟΙΗΣΗ (TERRACING) Εφαρμόζοντας τη μέθοδο της επιπεδοποίησης ελέγχουμε αν πρόσημο της ποσότητας C i είναι θετικό ή αρνητικό και λαμβάνουμε ως νέα τιμή του πεδίου, Δg i, για το κεντρικό σημείο, Χ i, τη μικρότερη ή τη μεγαλύτερη αντίστοιχα τιμή των τριών τιμών. Στην περίπτωση που η ποσότητα C i είναι μηδέν τότε η τιμή Δgi δεν αλλοιώνεται.

29 ΕΠΙΠΕΔΟΠΟΙΗΣΗ (TERRACING) Αν θεωρήσουμε ότι οι τρεις τιμές συνιστούν ένα παράθυρο των δεδομένων με μήκος W, τότε ο μετασχηματισμός κωδικοποιείται d d d 2 dx Δg 2 dx 2 dx 2 Δg 2 i Δg 2 = C i i > 0 Δg = 0 Δg < 0 Δg i i i = min( Δg = Δg = max( Δg i i i W ) W )

30 ΕΠΙΠΕΔΟΠΟΙΗΣΗ (TERRACING) Tsokas,, G.N., Hansen, R.O., Fytikas,, M., Vassilelis,, G.D., Thanassoulas,, C. Geological and geophysical study of Kimolos (Greece) and geothermal implications. Geothermics,, 24, 5/6, , 693, 1995.

31 ΕΠΙΠΕΔΟΠΟΙΗΣΗ (TERRACING) mgal ΜΗΛΟΣ mgal Tsokas, G.N. Interpretation of the Bouguer anomaly of Milos island -5000(Greece). 0 Journal 5000 of Volcanology and geothermal research, 72, , 1996.

32 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΒΟΡΕΙΟ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΟΛΟ Αν κάποια συγκεκριμένη δομή, η οποία προκαλεί μαγνητική ανωμαλία βρίσκεται στο βόρειο μαγνητικό πόλο, τότε η ανωμαλία δεν δείχνει την ίδια πολυπλοκότητα μ αυτή που θα έδειχνε σ οποιοδήποτε άλλο πλάτος

33 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΒΟΡΕΙΟ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΟΛΟ mˆ και fˆ είναι τα μοναδιαία διανύσματα στη διεύθυνση της μαγνήτισης και του Γήινου πεδίου αντίστοιχα και ( m ˆ = (mˆ, ˆ, ˆ, ˆ, ˆ, ˆ x m y m z ) (f x f y f z )) Θ m = mˆ z mˆ ˆ xκ x + m + i κ y Θ f = fˆ z + i fˆ κ x x + κ fˆ κ y y

34 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΒΟΡΕΙΟ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΟΛΟ Αν απαιτήσουμε το Γήινο πεδίο και η μαγνήτιση του υπεδάφιου σώματος να έχουν διεύθυνση κατακόρυφη και φορά προς το εσωτερικό της Γης, τότε ο MF του ανηγμένου στον πόλο πεδίου θα είναι I[ ΔT r ] = 1 Θ Θ m f I[ ΔT ] = α κ 1 2 x + α κ κ 2 x y 2 κ + i κ ( b κ 1 x I[ ΔT ] + b κ ) 2 y κ 0 όπου α 1 = m$ f$ m$ f$ z z α 2 = m$ f$ m$ f$ z z α 3 = m$ f$ m$ f$ y x x x y y x y b ˆ ˆ 1 = mx f z mˆ z fˆ b2 = m$ yf $ z m$ f$ x y y

35 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΒΟΡΕΙΟ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΟΛΟ ΛΑΥΡΙΟ nt nt Tsokas,, G.N., Stambolidis,, A., Angeolopoulos,, A.A., and Kilias,, S. Analysis of potential field anomalies in Lavrion mining area, Greece. Geophysics, 63, 6, , 1970, 1998

36 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΒΟΡΕΙΟ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΟΛΟ ΝΕΚΡΟΠΟΛΙΣ ΣΑΒΒΙΝΩΝ ( b.c.).) at Colle del Forno (Montelibretti,, Roma) Gradient if the Total Magnetic Field Reduced to Pole data m nt/m -40 nt/m S. Piro, P.I.Tsourlos and G.N. Tsokas. Cavity detection employing advanced geophysical techniques: a case study. European Journal of Environmental and Engineering Geophysics, 6, 3-31, 2001.

37 Μετασχηματισμός Ψευδοβαρύτητας Η σχέση Poisson συνδέει το μαγνητικό δυναμικό V(P) με την ένταση του πεδίου βαρύτητας κατά τη διεύθυνση της μαγνήτισης g m, εφ όσον η πηγή και των δύο αυτών πεδίων έχει ομοιόμορφη μαγνήτιση και πυκνότητα. Η σχέση αυτή είναι V ( P) = C m M Gρ όπου Μ είναι το μέτρο της ομοιόμορφης μαγνήτισης και ρ είναι η ομοιόμορφη πυκνότητα. g m

38 Μετασχηματισμός Ψευδοβαρύτητας Ο Baranov (1957) χρησιμοποίησε πρώτος τη σχέση Poisson με σκοπό τον μετασχηματισμό των μαγνητικών ανωμαλιών σε μια μορφή όπου θα έχει αναιρεθεί μεγάλο ποσοστό της ασυμμετρίας λόγω της μαγνητικής έγκλισης. Ο ίδιος ερευνητής ονόμασε τον μετασχηματισμό αυτό ως «μετασχηματισμό ψευδοβαρύτητας» και το αποτέλεσμα ως «ψευδοβαρύτητα»

39 Μετασχηματισμός Ψευδοβαρύτητας Η υλοποίησή του γίνεται πιο εύκολα στην περιοχή των κυματαρίθμων και για το λόγο αυτό παίρνουμε τον ΜF της σχέσης Poisson Gρ I[ g m ] = I[ V ] C M Από τη σχέση αυτή μπορούμε να καταλήξουμε (Pedersen 1978, Blakely 1995) G e I[ ΔT psg ] = I[ ΔT ] C κ Θ Θ M m m m f

40 Μετασχηματισμός Ψευδοβαρύτητας Αερομαγνητικά δεδομένα Περιοχή Ξάνθης Φαίνεται η ακτογραμμή, η λιμνοθάλασσα του Πόρτο Λάγο και ο ποταμός Νέστος. Η κεντρική ανωμαλία οφείλεται στο γρανίτη της Ξάνθης. Οι ισανώμαλες είναι σε αυθαίρετες μονάδες Δεδομένα: Σκιάνης Γ. Α και Μέμου Γ. Αερομαγνητικός χάρτης Μακεδονίας-Θράκης Θράκης, ΙΓΜΕ Επεξεργασία και ερμηνεία: Tsokas,, G.N., Christofides G.C. and Papakonstantinou C. PAGEOPH, 146,2, , 392, 1996.

41 ΦΙΛΤΡΑ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ Total field anomaly Spatial distribution of magnetization After inverse filtering Prism buried at 1 grid unit Depth extent 1 grid unit Äk= CGS Tsokas,, G.N and Papazachos,, C.B. Two-dimensional inversion filters in magnetic prospecting: Application to the exploration for buried antiquities. Geophysics, 57, , 1992.

42 ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΒΑΡΥΤΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ N Tsokas,, G.N., Hansen, R.O., Fytikas,, M., Vassilelis,, G.D., Thanassoulas,, C. Geological and geophysical study of Kimolos (Greece) and geothermal implications. Geothermics,, 24, 5/6, , 693, 1995.

43

44 EXPLORATION AT THE SITE HOSTING THE RUINS OF ANCIENT EUROPOS NEAR KILKIS IN N. GREECE

45 SURVEY IN THE AREA OF THE WORKSHOPS G.N. Tsokas,, A. Giannopoulos, P.Tsourlos,, G. Vargemezis,, J.M. Tealby,, A. Sarris,, C.B. Papazachos,, T. Savopoulou. A large scale geophysical survey in the archaeological site of Europos (nothern Greece). Journal of Applied Geophysics,, 32, 85-98, 1994

46 MAGNETIC GRADIENT FOOTHILS OF AKROPOLIS AREA OF WORKSHOPS G.N. Tsokas,, A. Giannopoulos, P.Tsourlos,, G. Vargemezis,, J.M. Tealby,, A. Sarris,, C.B. Papazachos,, T. Savopoulou.. A large scale geophysical survey in the archaeological site of o Europos (nothern Greece). Journal of Applied Geophysics,, 32, 85-98, 1994

47 ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΑΠΟ ΤΜΗΜΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΛΟΓΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ ΤΗΣ ΒΕΡΓΙΝΑΣ 2xπxΔV/ΔI VERGHINA WALL DATA 1989 Total Field nt N N

48 ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΑΠΟ ΤΜΗΜΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΛΟΓΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ ΤΗΣ ΒΕΡΓΙΝΑΣ VERGHINA WALL DATA 1989 Reduced to Pole nt N

49 ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΑΠΟ ΤΜΗΜΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΛΟΓΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ ΤΗΣ ΒΕΡΓΙΝΑΣ VERGHINA WALL DATA 1989 Terraced data N

50 ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΑΠΟ ΤΜΗΜΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΛΟΓΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ ΤΗΣ ΒΕΡΓΙΝΑΣ VERGHINA WALL DATA 1989 Total Field nt N

51 Σχέση που συνδέει το δυναμικό f(p) σε σημείο P που προκαλεί μία κατανομή μάζας ή μαγνήτισης S(Q) f ( P) = S( Q) Ψ( P, Q) dv V (1) Blakely, 1995 Γραμμικό Αντίστροφο Πρόβλημα Επίλυση (1) ως προς την κατανομή S(Q) Μη Γραμμικό Αντίστροφο Πρόβλημα Επίλυση (1) ως προς ιδιότητες όγκου ΜΗ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗ ΛΥΣΗ ΣΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΩΝ

52 ΑΠΟΣΥΝΕΛΙΞΗ EULER Εύρεση βάθους ταφής θέσης σχετικά απλής δομής Εφαρμογή σε οδεύσεις Εξίσωση Euler r. f = -nf f Συνάρτηση δυναμικού r Διάνυσμα θέσης n Δομικός δείκτης ή ρυθμός απόσβεσης Είδος Δομής n = 1 Γραμμική μάζα n = 2 Σημειακή μάζα n = 3 Σημειακό δίπολο

53 ΑΠΟΣΥΝΕΛΙΞΗ EULER x ΔΤ i y ΔΤ i z ΔΤ i x y y x z z = n ΔΤ i m 3 x 3 1 x m 1 x ΔΤi Ανωμαλία ολικού βαρυτικού ή μαγνητικού πεδίου x, y, z Συντεταγμένες i σημείου μέτρησης x 0, y 0, z 0 Συντεταγμένες του κέντρου της δομής ΜΕΤΑΛΛΕΥΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

54 ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΑΠΟΣΥΝΕΛΙΞΗ ΑΠΟΣΥΝΕΛΙΞΗ WERNER WERNER m 1 m b b a a x x 1 i x x x x 1 o 1 o i i i i 2 i ΔΤ ΔΤ = ΔΤ

55 ΑΠΟΣΥΝΕΛΙΞΗ WERNER ΜΕ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΣΗΜΑ Αναλυτικό σήμα (Nabighian,, 1972) A( x, z) = T( x, z) + T( x, z) z x Αναλυτική συνάρτηση μιγαδικής μεταβλητής x + iz Μέτρο Α max πάνω από κορυφή υπεδάφιας κεκλιμένης δομή

56 ΑΠΟΣΥΝΕΛΙΞΗ WERNER ΜΕ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΣΗΜΑ Μιγαδικές σταθερές α,b ώστε xa(x) ) + bα(x) b = -α Αναλυτικό σήμα πεδίου υπεδάφιας επαφής 1 A( x) = α x x1 iz 1 ή xa( x) ( x1+ iz 1) A( x) = α 1 α 1 Μιγαδική σταθερά Εξαρτάται: Δκ κατά μήκος επαφής - Γωνία κλίσης

57 Hansen & Simmonds (1993) Ν επαφές - 2D δομές των οποίων η τομή με το ΧΟΖ είναι πολυγωνική γραμμή Αναλυτικό σήμα ΑΠΟΣΥΝΕΛΙΞΗ WERNER ΜΕ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΣΗΜΑ Βασίζεται στο ότι υπάρχουν α k, b k μιγαδικές σταθερές n 1 α k k= 0 x k ό n 1 + b xka( x) + x k= 0 k n A( x) = n που j= 1 w n j x x = x α j j j iz + iz n j A( x) = 0 n j

58 ΑΠΟΣΥΝΕΛΙΞΗ WERNER ΜΕ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΣΗΜΑ Επίλυση με QR decomposition Καλή σταθερότητα ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΤΑΛΛΗΛΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΗΓΩΝ ΓΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΗ ΑΝΩΜΑΛΙΑ Εύρεση θέση και βάθος δομής n 1 k= 0 b k w k j + w = 0 Εύρεση γωνία κλίσης και επιδεκτικότητας α = j n 1 l= 1, l j α w k= 0 n k ( w j n j k j w ) l

59 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ MSWD Tsokas & Hansen (1997)

60 ΤΟΜΗ AEGEAN Tsokas & Hansen (1997)

61 ΤΟΜΗ IONIAN

62 Χάρτης της Ελλάδας που φαίνεται το βάθος της ασυνέχειας Moho Tsokas & Hansen (1997)