ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ"

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση (8 µον) Χρησιµοοιώντας την αντικατάσταση acosθ, ή ataθ, για µια κατάλληλη σταθερά α, υολογίστε τα αόριστα ολοκληρώµατα α) d β) + d Υόδειξη: Για το α) ακολουθείστε το αράδειγµα της σελ του βιβλίου, ενώ για το β) χρησιµοοιείστε και την αντικατάσταση u cosθ Λύση: α) Θέτοντας cosθ και αραγωγίζοντας ως ρος θ αίρνουµε τη σχέση µεταξύ d των διαφορικών siθ d siθdθ Αντικαθιστώντας στο dθ ολοκλήρωµα βρίσκουµε: cos θ cos θ d siθdθ siθdθ cos θ cos θ cos θ siθdθ cos θdθ siθ όου χρησιµοοιήσαµε τη γνωστή ταυτότητα cos θ + si θ Τώρα χρησιµοοιούµε άλλη µια γνωστή τριγωνοµετρική ταυτότητα cos θ + cos θ cos θ cos θ Αντικαθιστώντας έχουµε d (cosθ ) dθ cosθdθ θ C siθ θ C Παρατηρούµε ότι θ θ θ θ χρησιµοοιώντας µια ακόµη γνωστή τριγωνοµετρική ταυτότητα έχουµε cos cos si cos και si θ siθ cosθ Αντικαθιστώντας έχουµε d cos + C

2 β) Θέτοντας taθ και αραγωγίζοντας ως ρος θ αίρνουµε τη σχέση µεταξύ d των διαφορικών sec θ d sec θdθ Αντικαθιστώντας στο dθ ολοκλήρωµα Θέτουµε taθ d dθ, οότε το ολοκλήρωµα γίνεται: cos θ 6ta θ 6si θ dθ dθ cos θ ta θ + cos θ ta θ + si θ si θ dθ d θ cos θ cos θ cos θ όου χρησιµοοιήσαµε τη γνωστή ταυτότητα Θέτουµε u cosθ du siθdθ Έχουµε: si θ si θ du dθ ( ) cos θ u siθ si θ u du du u u ( + ) + C u u Εκφράζουµε τώρα το u συναρτήσει του θ + cos θ ta siθ cos θ cos θ taθ Αό τη σχέση αυτή cosθ cosθ cos θ βρίσκουµε u cosθ + Αντικαθιστώντας έχουµε + ( + ) u u d ( + ) + C + + C Άσκηση ( µον) α) Χρησιµοοιώντας τη µέθοδο αραγοντικής ολοκλήρωσης (βλ σελ 9, του βιβλίου) υολογίστε τα ολοκληρώµατα l d και (l ) d β) Να βρεθεί αναγωγικός τύος για το I (l ) d,,,, αό τον οοίο να υολογίζεται το I, συναρτήσει του ροηγουµένου I γ) Χρησιµοοιώντας τον τύο του β), υολογίστε το ορισµένο ολοκλήρωµα: J e (l) d, για, 6,, Τι αρατηρείτε για την τιµή του J, καθώς αυξάνει το ; Κάντε µια γραφική αράσταση του ως ρος J

3 Λύση: α) Εφαρµόζοντας τη µέθοδο αραγοντικής ολοκλήρωσης βρίσκουµε για τα δύο ρώτα ολοκληρώµατα: d(l ) Ι l d l d l d l + C d d(l ) I (l ) d (l ) d (l ) (l ) d d ( ) (l ) l d (l ) I (l ) l + C β) Τώρα µορούµε να βρούµε εαγωγικά το ολοκλήρωµα Για έχουµε ( ) ( ) ( ) ( ) I l d ( ) () l d l l d ( l) ( l) ( l) d ( l) ( l) d ( l) ( l) d ( l) I γ) Χρησιµοοιώντας το αοτέλεσµα του β) µορούµε τώρα να υολογίσουµε το ορισµένο ολοκλήρωµα αρατηρούµε ότι αό το α) έχουµε J e (l) d, για,, ως εξής: Πρώτα J l Τώρα για,, e e e J (l ) d (l ) (l ) d e J Εφαρµόζοντας διαδοχικά τη σχέση αυτή και λαµβάνοντας υόψη ότι J έχουµε J e- 788, J e-(e-) -e+6 6, J e - (-e +6) 9e- 6, J e - (9e -) - e + 96, J 6 6e-7 68, J 7-8e+ 9, J 8 76 Αό τα αοτελέσµατα αυτά αναµένουµε ότι τα J φθίνουν καθώς µεγαλώνει το Η γραφική αράσταση των αραάνω τιµών του J έχει ως εξής : e

4 Άσκηση ( µον) ίνεται η ρητή συνάρτηση ( ) Υολογίστε το αόριστο + ολοκλήρωµά της Ι ( d ) ακολουθώντας τα εόµενα βήµατα: (α) Παρατηρείστε ότι ο αρονοµαστής αραγοντοοιείται στην µορφή: + ( )( ) και αναλύστε την () σε αλά κλάσµατα ως εξής: όου Α, Β, Γ είναι σταθεροί ραγµατικοί αριθµοί B Γ ( ) + +, (*) (β) Υολογίστε το ζητούµενο ολοκλήρωµα, Ι, χρησιµοοιώντας την ως άνω µορφή της (), (*) και τις ιδιότητες των ολοκληρωµάτων ου αναφέρονται στις σελίδες 8-9 του βιβλίου σας Λύση: α) Έστω ότι ( ) B C + + ( )( ) Προσθέτοντας τα κλάσµατα στο β µέλος αίρνουµε ( ) ( )( ) + B( ) + C( ) και εξισώνοντας τους δυο ( )( ) ( )( ) αριθµητές έχουµε ( )( ) + B( ) + C( ) Θέτοντας διαδοχικά στην αραάνω σχέση,, αίρνουµε :, B, C, δηλαδή, B, C Σηµείωση Στην ερίτωση ου ο αρονοµαστής µιας ρητής αράστασης αναλύεται σε αράγοντες ρώτου βαθµού, όου δεν υάρχουν κοινές ρίζες χ ( ) ( ) ( ) d( ) a a a a a a τότε ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) deg ( ) < deg d( ), a a ( ) ( ) lim a, i,,, i ai i Στο αράδειγµα µας λοιόν θα έχουµε : i j

5 ( ) lim lim lim ( )( ) ( )( ) ( )( ) B lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )( ) ( ) ( ) C lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )( ) ( ) Στην ερίτωση ου ο αρονοµαστής έχει ρίζες ολλαλότητας µεγαλύτερης του χ ( ) ( ) ( ) k k k d( ) a a a τότε ( ) ( ) ( ) k k ( a ) ( a) ( a) k k ( a ) ( a) ( a) ( a ) ( a) ( a) ( ) ( ) deg < deg d k + k + + k, a a k q d lim i ki q ( k q)! d k k i j i ki ( a ) ( ) iq a i i i,,, και q,,, ki Έτσι αν έχουµε την αράσταση + + ( ) ( ) οι συντελεστές ου ψάχνουµε θα είναι : + lim ( ) lim ( + ) ( ) d + lim ( ) lim! d ( ) β) Αό το α) έχουµε ( ) d d + d d ( )( ) l + l l + c Άσκηση ( µον) Για τον ροσεγγιστικό υολογισµό του Ι d εργαστείτε ως εξής:

6 (α) ιαµερίστε το διάστηµα ολοκλήρωσης σε ίσα υοδιαστήµατα µήκους / και ακολουθήστε τη διαδικασία ου εριγράφεται στις σελίδες 9- του βιβλίου σας καταλήγοντας σε δύο ακολουθίες a, b ου ροσεγγίζουν το Ι ως κάτω ροσέγγιση και άνω ροσέγγιση αντίστοιχα (β) Μια άλλη µέθοδος για τον ροσεγγιστικό υολογισµό ορισµένων b a ολοκληρωµάτων Ι ( ) d είναι η µέθοδος του τραεζίου, η οοία εριγράφεται αό τον εξής αλγόριθµο: Βήµα Ορίζουµε φυσικό αριθµό b a Βήµα Χωρίζουµε το διάστηµα [ a, b] σε ίσα υοδιαστήµατα µήκους h Βήµα Ορίζουµε τα άκρα των διαστηµάτων a, ],, ], [, b, όου [ a+ h, + h,, b + h Bήµα Υολογίζουµε τις οσότητες [ ] h[ ( a) + ( )], h[ ( ) + ( )],, h[ ( ) + ( b)] Βήµα Το ολοκλήρωµα υολογίζεται ροσεγγιστικά αό την οσότητα c αφού Ι lim c Bήµα 6 Εάν η ροσέγγιση δεν είναι ικανοοιητική, ηγαίνουµε στο Βήµα και χ αυξάνουµε τον αριθµό των υοδιαστηµάτων στα οοία χωρίσαµε το [a, b] Ποια αό τις ακολουθίες a, b, c των ροηγούµενων ερωτηµάτων δίνει καλύτερη ροσέγγιση του ακριβούς αοτελέσµατος για,,, ; Λύση: (α) Αρχικά θα υολογίσουµε την άνω ροσέγγιση του ολοκληρώµατος Θεωρείστε την γραφική αράσταση της ( ), όου έχουµε χωρίσει το διάστηµα [,] σε ίσα υοδιαστήµατα 8 () Άνω ροσέγγιση του ολοκληρώµατος Το ολοκλήρωµα της συνάρτησης ροσεγγίζεται µε το άθροισµα των ορθογωνίων ου σχηµατίζονται στο αραάνω σχήµα δηλ 6

7 a I + [] ma ( ), ma ( ) +, ma ( ) +,+ ( )( ) Στη συνέχεια υολογίζουµε την κάτω ροσέγγιση του ολοκληρώµατος 8 () Κάτω ροσέγγιση του ολοκληρώµατος Το ολοκλήρωµα της συνάρτησης ροσεγγίζεται µε το άθροισµα των ορθογωνίων ου σχηµατίζονται στο αραάνω σχήµα δηλ k I + [] mi ( ), mi ( ) +, mi ( ) +,+ ( )( ) + + () k a Παρακάτω δίνουµε έναν ίνακα τιµών των αραάνω αθροισµάτων I, I για,,, καθώς και την διαφορά τους αό την ραγµατική τιµή του k k a ολοκληρώµατος Ι/7 χ E 7 I, E 7 I a 7

8 k E k I a I a E Συνεώς θα έχουµε ότι : ( + )( + ) ( + )( + ) lim d lim d d Το όριο των αραάνω ακολουθιών, όταν το λήθος των υοδιαστηµάτων τείνει στο άειρο, τείνει στο ηλίκο του συντελεστή του µεγιστοβάθµιου όρου του αριθµητή δια του συντελεστή του µεγιστοβάθµιου όρου του αρονοµαστή Σηµείωση Για τον υολογισµό των αραάνω αθροισµάτων θα ρέει να υολογίσετε το ανάτυγµα κάθε αρένθεσης και να λάβετε υόψη σας τους τύους : ( + ) ( + )( + ) ( + ) i i i 6 i i i (β) Στη µέθοδο του τραεζίου διαχωρίζουµε την ειφάνεια µεταξύ της συνάρτησης και του άξονα σε ειµέρους τραέζια : ( ) 8 () Προσέγγιση µε τη µέθοδο του τραεζίου Συνεώς η ροσέγγιση του ολοκληρώµατος θα είναι το άθροισµα των εµβαδών των ειµέρους τραεζίων δηλ 8

9 I () i i Υενθυµίζουµε ότι το εµβαδόν ενός τραεζίου µε λευρές αράλληλες µήκους a,b και ύψους h, είναι E ( a+ b) h Είναι εύκολο να δούµε ότι όταν το λήθος των υοδιαστηµάτων τείνει στο άειρο τότε : lim I lim + Μορούµε εύκολα να συγκρίνουµε τα αραάνω αοτελέσµατα µε το ορισµένο ολοκλήρωµα της άσκησης : d Στον αρακάτω ίνακα βλέουµε τις τιµές του αθροίσµατος I,,,, καθώς και την διαφορά E 7 I αό την ραγµατική τιµή του ολοκληρώµατος Ι/7 I E Είναι εύκολο να δούµε : α) ότι για έχω την καλύτερη ροσέγγιση, και β) ότι η µέθοδος του τραεζίου οδηγεί σε ιο γρήγορη σύγκλιση ρος την τιµή του ολοκληρώµατος Ι7, αό την µέθοδο των ορθογωνίων Άσκηση ( µον) ίνεται ότι το αόλυτο σφάλµα Ε ραγµατική τιµή υολογιζόµενη τιµή του ολοκληρώµατος την σχέση: b a ( ) d της µεθόδου του τραεζίου (βλ Άσκηση β), ικανοοιεί ( b a) E ma ''( ) (**) a b 9

10 όου το µέγιστο της δευτέρας αραγώγου της, υολογίζεται για όλα τα του διαστήµατος [ ab, ] Χρησιµοοιώντας την µέθοδο αυτή και ακολουθώντας τα αρακάτω βήµατα, υολογίστε ροσεγγιστικά τον αριθµό l µε σφάλµα µικρότερο του d α) είξτε ότι: l β) Υολογίστε το ma ( ), όταν [, ] γ) Χρησιµοοιώντας τον τύο του σφάλµατος (**) υολογίσατε ένα, τέτοιο ώστε E < δ) Χρησιµοοιώντας τον αλγόριθµο του τραεζίου και την τιµή του ου βρήκατε d ροηγουµένως, υολογίστε το ολοκλήρωµα: Σχολιάστε κατά όσον η ακρίβεια του αοτελέσµατος είναι αυτή ου εριµένατε Λύση: α) Κατ αρχάς έχουµε: d l + C και άρα ( ) ( ) d l + C l + C l + C l l l β) Θα χρησιµοοιήσουµε τώρα τον δοθέντα τύο Κατ αρχάς ( ) ( ) και αφού [, ], έεται ότι ma b a Ακόµα, b a, h Εοµένως E 6 γ) Θέλουµε < < > άρα µε µορούµε να εξασφαλίσουµε τον υολογισµό του l µε σφάλµα µικρότερο του δ) Για την ροσέγγιση τώρα, µε τον αλγόριθµο του τραεζίου έχουµε: h και

11 ( ) + ( ) 8 + ( ) ( ) 6 + ( ) 6 + ( ) και ο τύος του τραεζίου µας δίνει d [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] h Η τιµή ου αίρνουµε αό τον ορισµό είναι l 697, βλέουµε εοµένως ότι έχουµε ακρίβεια δεκαδικών ψηφίων Άσκηση 6 ( µον) Αντιστοιχίστε τα ολοκληρώµατα των κάτωθι συναρτήσεων µε τις ροτεινόµενες «λύσεις» B C / e Ολοκληρώµατα συναρτήσεων cos d Λύσεις d + d + D + d + + l E

12 l d Λύση: Α) Υολογίζω το d Ισχύει cos () si( ) (si( )) cos( ) si( )(cos( )) cos ( ) + si ( ) (ta( )) cos( ) cos ( ) cos ( ) cos ( ) Άρα d ta( ) ta() cos ( ) Σωστή ειλογή το () B) Υολογίζω το d Ισχύει d d l( ) + C Άρα e d l( e) l() Σωστή ειλογή το () C) Υολογίζω ρώτα το αόριστο ολοκλήρωµα d Χρησιµοοιώ τους τύους + ολοκλήρωσης αό το βιβλίο σελ 8-9 Ισχύει d ta ( ) + C + Παρατηρώ ότι η είναι συνεχής για όλα τα R Υολογίζω για z > το + z d I z Είναι I z ta ( z) ta () ta ( z), όου ω ta ( z) γωνία + < ω < Προφανώς το γενικευµένο ολοκλήρωµα έχει έννοια σαν + limz + I z d + Σωστή ειλογή το ()

13 D) Υολογίζω ρώτα το αόριστο ολοκλήρωµα d + + Είναι d + + d ( + ) + d Σύµφωνα µε το C αραάνω και τους τύους ολοκλήρωσης αό το βιβλίο σελ 8-9, έχω : d ta ( + ) + C + + Η συνάρτηση είναι συνεχής και ορισµένη για όλους τους ραγµατικούς + + αριθµούς, άρα µορώ να µιλάω για το ορισµένο ολοκλήρωµα : t I t d ta ( t + ) ta ( t + t + + ) Προφανώς το γενικευµένο ολοκλήρωµα έχει έννοια σαν limt + It limt + (ta ( t + )) limt + (ta ( t + )) ( ) + ηλαδή d + + Σωστή ειλογή το () l( ) E) Υολογίζω ρώτα το αόριστο ολοκλήρωµα d Θέτω z l() και έχω dz l( ) Με την αντικατάσταση αίρνω d d zdz z + C l ( ) + C l( ) Άρα d l () l () l () Σωστή ειλογή το () Άσκηση 7 ( µον) Υολογίστε τη σειρά Fourier της συνάρτησης : µε ( ) ( + ) για κάθε, αν α) () sia, - <, a όχι ακέραιος β) (), - < α, - < γ) () α, β β, <

14 Λύση: (α) εδοµένου ότι ισχύει si( a( )) si( a) η συνάρτηση ( ) si( a ) είναι εριττή Αρκεί να βρούµε τα β στην αράσταση: si( a) β si( ) Σύµφωνα µε το βιβλίο κεφ : β ( )si( ) d Για να υολογίσουµε το I si( a)si( ) d χρησιµοοιούµε την τριγωνοµετρική si( )si( ) cos( ) cos( + ) Έχουµε ταυτότητα a ( a a ) I si( a)si( ) d ( cos( a ) cos( a + ) ) d si( a ) si( a ) + a a+ Άρα I si( ) si( ) a a+ a a+ si( a ) si( a+ ) a a+ Όµως οι γωνίες ( a ),( a+ ) διαφέρουν κατά άρτιο ολλαλάσιο του Άρα I si( a ) si( a+ ) a a+ si( a ) si( a ) a a+ si( a ) a Τελικά έχουµε I si( a ) ( ) si a a a (β) Η λύση υάρχει στη σελίδα 97 του βιβλίου Παρατηρήστε ότι η συνάρτηση είναι άρτια και άρα β (γ) Υολογίζουµε αναλυτικά τους συντελεστές του ανατύγµατος Fourier : + ( β ) ( ) a + a cos( ) + si( )

15 ( β ) ( β ) a ( ) d ad d a d d + + ( β a) a + β a + β Στα αρακάτω χρησιµοοιούµε αραγοντική ολοκλήρωση a ( ) cos( d ) ( a cos( d ) β cos( d ) + ) ( si( ) )' ( si( ) )' a d β d + a[ si( ) ] a ( )' si( ) d β[ si( ) ] β ( )' si( ) d + a[ ] [ ] ( a si( d ) + β β si( d ) ) cos( ) cos( ) a β ( a( cos() + cos( )) β( cos( ) + cos()) ) a β + ( ) ( β a) ( a( + ( ) ) β ( ( ) + ) ) ( ) ( β ) β ( ) si( ) d a si( ) d si( ) d + ( cos( ) )' ( cos( ) )' a d β d + ( a[ cos( ) ] + a ( )' cos( ) d β[ cos( ) ] β ( )' cos( ) d + + ) a[ cos() cos( ) ] + a cos( ) [ cos( ) cos() ] cos( ) d + β + + β d si( ) si( ) a ( ) + a + β ( ) + β ( a ( ) + a[ ] β ( ) + β[ ] ) + ( ) ( a + β ) ( ) Έτσι, το ανάτυγµα Fourier της συνάρτησης ( ) είναι: + + ( β a) a β + ( ) ( β a) ( ) ( ) + cos( ) + + si( ) ( a β)

16 Άσκηση 8 ( µον) α) Να βρεθεί το εµβαδόν του χωρίου ου ερικλείεται αό τις καµύλες y και y β) Να βρεθεί ο όγκος εκ εριστροφής, γύρω αό τον άξονα των, του χωρίου ου εριέχεται µεταξύ του τόξου του κύκλου + y 6 και της ευθείας + y Υόδειξη: είτε την Άσκηση Αυτοαξιολόγησης β, σελ 76 Παρατηρείστε ότι ο τύος για τον όγκο εκ εριστροφής χωρίου µεταξύ δύο καµυλών είναι b V ( ( ) ( )) d a όου η είναι η καµύλη Α Β και η η καµύλη ΑΓΒ, βλ κάτωθι σχήµα: Β Γ α b Λύση: α) Tα κοινά σηµεία των δύο γραµµών έχουν συντεταγµένες τη λύση του συστήµατος: y αό όου ροκύτει ότι y ± Συνεώς τα κοινά σηµεία είναι Α(-,) y και Β(-,-) Η ολοκλήρωση ως ρος y κρίνεται συµφέρουσα Βρίσκουµε το ρόσηµο της διαφοράς των δύο συναρτήσεων: > > ( )( + ) > y y y y y Συνεώς y (,), οότε έχουµε: 6

17 ( y ) ( y ) dy y + y dy ( y ) dy y dy y dy y [ ( ) ] τµα β) Βρίσκω τα σηµεία τοµής: + y 6 + y 6 ( y ) + y 6 + y y y y Συνεώς: ( ) ( ) V 6 d ( ) ( ( ) ) 6 d d ( ) ( ) 6 d d 6 d d 6 d + 8 d d ή y d d

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 5 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.) Λύση: f ( ) ( ) ( ) ( )! f α) Ο τύος της σειράς µε κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-12)

ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-12) ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-) ΛΥΣΕΙΣ 5 ΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ, - Eνότητες: 8,9,,,, αό το βιβλίο «ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ» Γ. άσιου. Παράδοση της εργασίας µεχρι τις 9 /4/

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. 1 (γ) lim. 1/ x

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. 1 (γ) lim. 1/ x ΠΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 00-00 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. (0 µον.) Να υολογισθούν τα όρια:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας,

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. Η ροσέγγιση συναρτήσεων µέσω ολυωνύµων, την οοία µελετήσαµε στην ροηγούµενη Ενότητα, αρά την αοτελεσµατικότητα και την, σχετική, αλότητά της, αοδεικνύεται ανεαρκής για την εριγραφή/ροσέγγιση

Διαβάστε περισσότερα

Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( x)

Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( x) http://eler.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές ααντήσεις 6 ης Γρατής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (5 μον.) (Για το ερώτημα (α) συμβουλευθείτε τα εδάφια. και. και για το (β) το εδάφιο. του συγγράμματος

Διαβάστε περισσότερα

f(x)=f(x+λ), Τότε η συνάρτηση καλείται περιοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση καλείται αρχική περίοδος της f.

f(x)=f(x+λ), Τότε η συνάρτηση καλείται περιοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση καλείται αρχική περίοδος της f. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Θεωρία (σειρές Fourier) Εάν μιά συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το και υάρχει αριθμός λ> τέτοιος ώστε να ισχύει: f(x)f(x+λ), x Τότε η συνάρτηση καλείται εριοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για

Διαβάστε περισσότερα

xsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy

xsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy ΔΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Εφαρμογή Να υολογιστεί το ολοκλήρωμα : cos sin dd Ολοκληρώνουμε ρώτα ως ρος θεωρώντας το σαν σταθερά (αρατηρούμε ότι το «εσωτερικό» ολοκλήρωμα είναι ως ρος, δηλαδή ρώτα εμφανίζεται το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αοστολής στους Φοιτητές: 7 Αριλίου 9 Ημερομηνία αράδοσης της Εργασίας: 9 Μαΐου 9 Πριν αό την λύση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 5 Ηµεροµηνία Αοστολής στον Φοιτητή: 5 Αριλίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας αό τον Φοιτητή:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» β) Το ραγματικό και το φανταστικό μέρος της f ( ) γράφονται uy (, ) = y και v(, y) = y Οι ρώτες μερικές

Διαβάστε περισσότερα

[1] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. z : Παρατηρούμε ότι sin

[1] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. z : Παρατηρούμε ότι sin [] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ. Τμήμα Α (α) Για τη συνάρτηση f () : Παρατηρούμε ότι si u= y x και v x u = ycos x, u = si x, v =, v =. x y x y = οότε Οι ανωτέρω ρώτες μερικές

Διαβάστε περισσότερα

Αλλαγή µεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωµα ( ) Β R Jordan µετρήσιµα υποσύνολα του U. R, ανοικτό µε. y y y συµβολίζει την ορίζουσα του πίνακα Jacobi

Αλλαγή µεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωµα ( ) Β R Jordan µετρήσιµα υποσύνολα του U. R, ανοικτό µε. y y y συµβολίζει την ορίζουσα του πίνακα Jacobi 8 λλαγή µεταβλητής στο τριλό ολοκλήρωµα Υενθυµίζουµε ( Θεωρηµα ) το γενικό τύο αλλαγής µεταβλητής στο ολλαλό ολοκλήρωµα: f ( y) dy= f ( g( x) ) det J g( x) dx (), Β= g n όου, Β Jodan µετρήσιµα υοσύνολα

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Ελευθέριος Πρωτοαάς Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Δεκέμβριος 04 Περιεχόµενα o Θέμα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα 6950 8 6954 9

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. β) Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της f1( z ) γράφονται. Οι πρώτες μερικές παράγωγοι

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. β) Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της f1( z ) γράφονται. Οι πρώτες μερικές παράγωγοι ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 4 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στο e-course στις «Περιλητικές Σημειώσεις» σελ7 και σελ5 β) Το ραγματικό και το φανταστικό μέρος της f( ) γράφονται uxy (, ) = si( x) και

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 1 η & Λύσεις 2009/10 Θεματική Ενότητα ΦΥΕ14 " ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ "

Εργασία 1 η & Λύσεις 2009/10 Θεματική Ενότητα ΦΥΕ14  ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ Άσκηση Εργασία η & Λύσεις 9/ Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 Παράδοση 6//9 Αν υοθέσουμε ως στο τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων yz ο άξονας των z συμίτει με τη διεύθυνση της κατακόρυφου, να γράψετε αναλυτικά (με την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1 Να υολογίσετε τα όρια: 9 i) ii) ( ) 9 iii) 1 1 1 iv) 7 10 5 15 t t t 1 v) vi) t (t )(t ) 1 1 9 i) (ημ συν) ) 1 7 συν vii) 1 ημ viii) 1 5 i) ii) ημ 6 1 009, άν

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ Χαρακτηριστικά μεγέθη της αλής αρμονικής ταλάντωσης είναι: Α) Αομάκρυνση (x ή y): ονομάζεται η αόσταση του σώματος κάθε χρονική στιγμή αό την θέση ισορροίας (x= ή y=) Β) Το λάτος της

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων

Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Ιωάννης Χαρ. Κατσαβουνίδης Τμήμα Μηχ. Η/Υ, Τηλε. Δικτύων Πανειστήμιο Θεσσαλίας ΦΘινοωρινό Εξάμηνο 00/ Άσκηση Να βρείτε αν τα αρακάτω συστήματα είναι γραμμικά,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε εριοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση ƒ με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ, Τ > 0 τέτοιος ώστε για κάθε χ Α να ισχύει α) χ+τ Α, χ -

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση: z (εφθ)z + =, θ (, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη ραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z οι ρίζες της αραάνω εξίσωσης. Αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

X(s + j 2π T k)esit ds, C 1 = a + j(0,2π/t) ( ln(z) + j2πk. z i 1 dz, C = e at+j(0,2π). j2π C T

X(s + j 2π T k)esit ds, C 1 = a + j(0,2π/t) ( ln(z) + j2πk. z i 1 dz, C = e at+j(0,2π). j2π C T Πανειστήμιο Θεσσαλίας ΗΥ24: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Φθινόωρο 25 Λύσεις Εαναλητικών Εξετάσεων Θέμα 1 (α) Αό το μετασχηματισμό Laplace δ(t t ) e st, ροκύτει y[i ]δ(t i T) y[i ]e si T = Y (e st ), με

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 1 ΑΝ ΙΙΙ 07_08

Εργασία 1 ΑΝ ΙΙΙ 07_08 Εργασία ΑΝ ΙΙΙ 7_8 () t =,sin,cos t t t, t [,9], Για την αραμετρική καμύλη: ( ) Α Να βρεθεί η συνάρτηση μήκους τόξου και μια ισοδύναμη φυσική αραμετρική καμύλη q() s = (()) t s Β Να βρεθεί το σημείο Px

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ- Α ΕΞΑΜΗΝΟ (Μ. ΦΙΛΙΠΠΑΚΗΣ) x 2t+1. 4t dt

ΓΕΝΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ- Α ΕΞΑΜΗΝΟ (Μ. ΦΙΛΙΠΠΑΚΗΣ) x 2t+1. 4t dt ΓΕΝΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ- Α ΕΞΑΜΗΝΟ - (Μ ΦΙΛΙΠΠΑΚΗΣ) ΑΣΚΗΣΗ Να ευρεθεί η αράγωγος της συνάρτησης G με ++7 ( ) G = dt/, + t ( cos ++5) β) ( ) G = dt/ t ΑΣΚΗΣΗ Έστω f/ [,+ ) συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

ÈÅÌÁÔÁ 2008 ÏÅÖÅ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

ÈÅÌÁÔÁ 2008 ÏÅÖÅ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Εαναλητικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 ΘΕΜΑ ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. α. Βλέε Πόρισµα σελίδα 5 σχολικού βιβλίου. β. Βλέε σελίδα 4 σχολικού βιβλίου. Β. α. (Σ), β. (Σ), γ. (Σ), δ. (Σ).

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12)

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12) ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκε ί ου τ ράε ζ αθε μάτ ων( 1ηέ κδοση) θέ μαδε ύτ ε ροκαιτ έ τ αρτ ο Κόμβ οςατ σι οούλου01415 δης Ει μέ λε ι α:εμμανουήλκ.σκαλί Αντ ώνηςκ.αοστ όλου Άσκηση 1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ. ii) Στις τρεις διαστάσεις, η ισχύς κατανέµεται σε σφαιρικές επιφάνειες, οπότε θα ισχύει: απ όπου προκύπτει για την ένταση Ι: 1

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ. ii) Στις τρεις διαστάσεις, η ισχύς κατανέµεται σε σφαιρικές επιφάνειες, οπότε θα ισχύει: απ όπου προκύπτει για την ένταση Ι: 1 η Ερώτηση ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ Όταν ρίξουµε µια έτρα στην ειφάνεια µιας ήρεµης λίµνης, τότε στο σηµείο της ειφάνειας ου έεσε η έτρα ροκαλείται µια διατάραξη της ειφανειακής µάζας του νερού στην ειφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας v.5 «Αυτό το ρόβλημα, τούτ η μεγάλη συμφορά για να λυθεί χρειάζεται, δίχως αμφιβολία, όως κοιτάζω α τη δική σου την λευρά, να δεις κι εσύ α τη δική μου τη γωνία».. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων 1 Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόουλος ρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στην εργασία αυτή εισηµαίνονται και αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις 4 Φεβρουαρίου 005 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (15:00-18:00) ΘΕΜΑ 1 ο (.5) Αναλύστε

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ελευθέριος Πρωτοαάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ ίνεται η συνάρτηση f µε f() = 5 4 +α, όου α R και το είναι ρίζα της εξίσωσης f() =. α) Να βρείτε το α R. β) Να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα τρεις (3) απλές αρμονικές ταλαντώσεις, που έχουν ίδια διεύθυνση, ίδια θέση ισορροπίας και εξισώσεις:

Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα τρεις (3) απλές αρμονικές ταλαντώσεις, που έχουν ίδια διεύθυνση, ίδια θέση ισορροπίας και εξισώσεις: Εφαρμογή: ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα τρεις () αλές αρμονικές ταλαντώσεις, ου έχουν ίδια διεύθυνση, ίδια θέση ισορροίας και εξισώσεις: x1 ( t) = 0.1 ηµ 99 t (S.I.) ( ) ηµ ( ) x t =

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου Ζήτηµα ο Α. Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x του εδίου ορισµού της να γραφεί η εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης της f

Διαβάστε περισσότερα

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις. Ονομασίες Ορισμοί Ο τριγωνομετρικός κύκλος έχει ακτίνα R. Αρχή μέτρησης των τόξων (γωνιών) είναι το Α, είτε κατά τη θετική φορά (αριστερόστροφα)

Διαβάστε περισσότερα

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) (Ενδεικτικές Ααντήσεις)

Διαβάστε περισσότερα

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ =

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ = 17 ο Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό έτος 01-015 ΤΑΞΗ:B' Λυκείου ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ :Αθήνα 8-6-015 ΘΕΜΑ 1ο Α. Nα αοδείξετε ότι αν ένα ολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ 16968, 1765, 17656, 17663, 17664, 17681, 1769, 17699, 17704, 1775, 17736, 17739, 17741 ΘΕΜΑΤΑ 4 17837, 17838,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύου «Σωστό - Λάθος». * Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ Λ. * Αν = α + βi και αβ 0, τότε = α β i. Σ Λ. * Αν = κ + λi κ, λ R, τότε Re () =

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Ααντήσεις ΘΕΜΑ ο Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 6. B. Σχολικό βιβλίο, σελίδες 97 και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΘΕΩΡΙΑ Κατεύθυνση Γ Λυκείου

Παρουσίαση 1 ΘΕΩΡΙΑ Κατεύθυνση Γ Λυκείου Παρουσίαση ΘΕΩΡΙΑ Παρουσίαση Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Ισότητα µιγαδικών. Να αναφέρετε ότε δύο µιγαδικοί α + βi και γ + δi, λέµε ότι είναι ίσοι. Αάντηση ύο µιγαδικοί α + βi και γ + δi, είναι ίσοι,

Διαβάστε περισσότερα

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης.

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης. Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σύρος Πανούσης Γιώργος Πααθανάση Κέλλυ Ραμαντάνης Βαγγέλης Σαμάνης Νίκος Τόλης Ευάγγελος -1-01 18808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά

Διαβάστε περισσότερα

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός Έστω µία συνάρτηση f µε εδίο ορισµού Α και A Θα λέµε ότι η f είναι εριοδική όταν υάρχει ραγµατικός αριθµός Τ > 0 έτσι ώστε για κάθε Α να ισχύει : i)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕΡΟΣ A ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 1, Στρόβολος 3, Λευκωσία Τηλ. 357-37811 Φαξ: 357-3791 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 13 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Πέμτη, 3/5/13

Διαβάστε περισσότερα

κινητού και να βρούµε ποιο από τα δυο προηγείται, πρέπει να ακολουθήσουµε τα εξής βήµατα:

κινητού και να βρούµε ποιο από τα δυο προηγείται, πρέπει να ακολουθήσουµε τα εξής βήµατα: Ποιο µέγεθος ροηγείται ανάµεσα σε δυο µεγέθη ου αρουσιάζουν διαφορά φάσης µεταξύ τους Προκειµένου να καθορίσουµε τη διαφορά φάσης ανάµεσα σε δύο φυσικά µεγέθη ενός κινητού και να βρούµε οιο αό τα δυο ροηγείται,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις...

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία... 16 Παραδείγματα... 6 Ασκήσεις... 33 ΕΝΟΤΗΤΑ : ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ... 39 Θεωρία... 39 Ερωτήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Παρουσίαση ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Παρουσίαση δ Θεωρητικά θέµατα Ας δούµε την είλυση ενός αραµετρικού γραµµικού συστήµατος. Θέµα Θα λύσουµε το σύστηµα D = D D y λ λ λ = λ = λ λ = λ + λ (Σ) : λ y = λ λ y = λ = λ(λ )

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στις Σειρές Fourier

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στις Σειρές Fourier 61 Εισαγωγή Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στις Σειρές Fourier Είναι γνωστό αό τα Μαθηµατικά Ι ότι το ανάτυγµα Τaylor µιας αναλυτικής συνάρτησης σ ένα διάστηµα της ραγµατικής ευθείας I = ( x R, x + R) κέντρου x και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ολοκληρώνοντας το 1 ο κεφάλαιο στα Μαθηματικά της Γενικής Παιδείας

Διαβάστε περισσότερα

Seirèc Fourier A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

Seirèc Fourier A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Seirèc Fourier A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA 1 Eisagwg Οι σειρές Fourier είναι ένα ιδιαίτερα χρήσιμο εργαλείο του Λογισμού ου βρίσκει ολλές εφαρμογές σε διάφορα εδία της ειστήμης, χ στις

Διαβάστε περισσότερα

1. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας,

1. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας, ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΙΔΙΑ ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας, οι οοίες εξελίσσονται γύρω αό την ίδια θέση ισορροίας.

Διαβάστε περισσότερα

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος 1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η αόσταση του σώµατος αό το έδαφος (σε cm), δίνεται αό την συνάρτηση f(t)=1ηµ t +13, όου t ο χρόνος σε ώρες. α) Να βρείτε την ερίοδο της ταλάντωσης.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n +

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n + ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ ) Να υπολογιστούν τα όρια των κάτωθι ακολουθιών με : (α) + 5 + 7 + + (β) + 5 + + (γ) + + + (δ) ( 5 ) + + 4 + ( ) + 5 ) Να βρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Προτεινόμενες Λύσεις

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Προτεινόμενες Λύσεις ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 13 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (κωδικός μαθήματος: 37) Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Πέμτη, 3

Διαβάστε περισσότερα

ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΟ Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΣΤΙΣ ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ (DRAFT)

ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΟ Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΣΤΙΣ ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ (DRAFT) ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΟ Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΣΤΙΣ ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ (DRAT Νικόλαος ηµητρίου ρ.ηλεκτρολόγος Μηχανικός ΣΕΠ, ΘΕ ΠΛΗ ΕΑΠ/ΠΛΗ αό 75 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 4 ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΚΥΜΑΤΟΜΟΡΦΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ

4.3 ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΜΡΟΣ Β 4. ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ 81 4. ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ Μονάδες μέτρησης όγκου Ως µονάδα µέτρησης όγκου θεωρούµε έναν κύο µε ακµή µήκους 1 µέτρο(m). Ο όγκος του ισούται µε 1 κυικό µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΠΥΚΝΩΤΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Πυκνωτή ονομάζουμε ένα σύστημα δυο αγωγών οι οοίοι βρίσκονται σε μικρή αόσταση μεταξύ τους και φέρουν ίσα και αντίθετα ηλεκτρικά φορτία. Χαρακτηριστικό μέγεθος των υκνωτών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσµατα 2α+β. (Μονάδες 7) ΛΥΣΗ α β = α β συν α ɵ, β, 3 2 2α+β κα+β 2α+β κα+β = 0 2κα + 2α β+ κα β+β = 0

(Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσµατα 2α+β. (Μονάδες 7) ΛΥΣΗ α β = α β συν α ɵ, β, 3 2 2α+β κα+β 2α+β κα+β = 0 2κα + 2α β+ κα β+β = 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ:.5 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 04 05 Γιάννης Ζαµέλης Μαθηµατικός 855 B (Αναρτήθηκε 08 4 ) ίνονται τα διανύσµατα ακαι µε ( α, ) = και α =, = α) Να ρείτε το εσωτερικό γινόµενο α (Μονάδες 8)

Διαβάστε περισσότερα

fysikoblog.blogspot.com

fysikoblog.blogspot.com fysikobog.bogspot.com Πανειστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙI Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις ΙV: Η Εξίσωση Schoedinge για σωμάτιο σε κεντρικό δυναμικό.. Ακτινική εξίσωση Η εξίσωση Schoedinge

Διαβάστε περισσότερα

ανάλυση, σχόλια και προεκτάσεις με αφορμή απαντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών που διατυπώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη

ανάλυση, σχόλια και προεκτάσεις με αφορμή απαντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών που διατυπώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη ανάλυση, σχόλια και ροεκτάσεις με αφορμή ααντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών ου διατυώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη (αραδείγματα αό τα μαθηματικά του λυκείου) του Δημητρίου Ντρίζου σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

, του συστήµατος. αλλιώς έχουµε. 10π 15π

, του συστήµατος. αλλιώς έχουµε. 10π 15π Θέµατα Περασµένν Εξετάσεν και Ααντήσεις Εξετάσεις Σετεµβρίου 6. ΘΕΜΑ. µονάδα ίνεται το ΓΧΑ σύστηµα µε κρουστική αόκριση co in5 h Να βρεθεί και να σχεδιασθεί η αόκριση συχνότητας, H, του συστήµατος. Η κρουστική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σπουδών) Ασκήσεις που παρουσιάστηκαν στο µάθηµα (2008-09)

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σπουδών) Ασκήσεις που παρουσιάστηκαν στο µάθηµα (2008-09) ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σουδών) Ασκήσεις ου αρουσιάστηκαν στο µάθηµα (8-9). Η σχέση διασοράς για τη ζώνη αγωγιµότητας Ε c c () ενός κυβικού ηµιαγώγιµου υλικού

Διαβάστε περισσότερα

ειναι η υπαρξη σημειων ευσταθειας (stationary points) που αναλυονται παρακατω. f ειναι παραγωγισιμη, τοτε η ( x)

ειναι η υπαρξη σημειων ευσταθειας (stationary points) που αναλυονται παρακατω. f ειναι παραγωγισιμη, τοτε η ( x) 4 Κλασσικες Μεθοδοι Βελτιστοοιησης Στο κεφαλαιο αυτο αρουσιαζονται τα ροβληματα βελτιστοοιησης: () χωρις εριορισμους, () με εριορισμους ισοτητας, () με εριορισμους ανισοτητας, και (4) με Rewto-Rapso..

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 MAΪΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 MAΪΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Γκύζη -Αθήνα Τηλ :.6.5.777 ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 8 MAΪΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ A. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελίδα 6-6

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ογελ ΣΥΚΕΩΝ ο ΓΕΛ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ Ειμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 ο Α. α) Να δώσετε τον ορισµό της ισότητας δύο συναρτήσεων. β) Να δώσετε τον ορισµό της γνησίως αύξουσας συνάρτησης σ ένα διάστηµα.

ΘΕΜΑ 1 ο Α. α) Να δώσετε τον ορισµό της ισότητας δύο συναρτήσεων. β) Να δώσετε τον ορισµό της γνησίως αύξουσας συνάρτησης σ ένα διάστηµα. ΘΕΜΑ ο Α α) Να δώσετε τον ορισµό της ισότητας δύο συναρτήσεων β) Να δώσετε τον ορισµό της γνησίως αύξουσας συνάρτησης σ ένα διάστηµα γ) Να δώσετε τον ορισµό της - συνάρτησης Β Σε καθεµιά αό τις αρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας. . Τότε ορίζουμε: ί ά ά.

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας. . Τότε ορίζουμε: ί ά ά. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Αό το Γυμνάσιο ξέρουμε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ημβ = = έάά ί Γ συνβ = = ίάά ί β α εφβ = = έάά ίάά Τριγωνομετρικοί

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Θεωρίας και Μέθοδοι. Κεφάλαιο: Παράγωγοι. και Cgδυο συναρτήσεων f και g εργαζόµαστε ως εξής: x,f(x ) και ( ) ó a

Σηµειώσεις Θεωρίας και Μέθοδοι. Κεφάλαιο: Παράγωγοι. και Cgδυο συναρτήσεων f και g εργαζόµαστε ως εξής: x,f(x ) και ( ) ó a Κοινή εφα τοµένη Αν θέλουµε να βρούµε τη κοινή εφα τοµένη ( ε ) : y=α +β των γραφικών αραστάσεων gδυο συναρτήσεων g εργαζόµαστε ως εξής:,( ) ( ) Έστω ( ),g( ) τα κοινά σηµεία της (ε) µε την εφα τοµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ - ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ http://mathhmagic.blogspot.com/ Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί (Εαναλητικά) Ε ί εδη γωνία είναι η κλίση µεταξύ δυο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις)

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις) Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις) Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : (α) Να υπολογισθεί το γενικευµένο ολοκλήρωµα (x+)(x 2 +) (ϐ) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα f(x) f(x)+f(x+) για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

2.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i. 1.ii Να εξετάσετε αν η συνάρτηση

2.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i. 1.ii Να εξετάσετε αν η συνάρτηση .5 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 49 5 A Οµάδας.i Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f() + ικανοοιεί τις υοθέσεις του θεωρήµατος Rolle στο διάστηµα [, ], και αν ναι στη συνέχεια να βρείτε όλα τα ξ (α, β) για

Διαβάστε περισσότερα

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx.

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + ) d (Θέμ Β) Άσκηση (Υολογισμός του f () d

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Η ύλη της εργασίας είναι οι ενότητες 5, 6 και 7 από τον Λογισµό µιας Μεταβλητής Η άσκηση αφορά στην έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΜΑΘΗΜΑ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ 7.5 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ. Θεώρηµα Rlle Αν µια συνάρτηση f είναι : Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις (Αναζητώ ρίζα) συνεχής σε κλειστό διάστηµα [α, β] αραγωγίσιµη στο ανοικτό (α, β) f (α) f

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( )

Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( ) 9 Ορισμένο ολοκλήρωμ συνάρτησης Η συνάρτηση F( = f t dt Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f:a R με A = [,] Χωρίζουμε το [,] σε ν ισομήκη υοδιστήμτ ου το κθέν έχει μήκος Δ = Σε κάθε υοδιάστημ ου σχημτίζετι ν

Διαβάστε περισσότερα

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα.

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα Αντιπαράγωγος μίας συνάρτησης f() ορισμένης σε ένα διάστημα [α,β] λέγεται κάθε συνάρτηση F() που επαληθεύει την ισότητα F( ) f ( ) F( ) c επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 009 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 009. Πριν

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα Θέμ: Ολοκληρώμτ Υολογισμός ολοκληρωμάτων Μέθοδοι ολοκλήρωσης Εμβδά Η συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωμ Ενλητικές σκήσεις ολοκληρωμάτων ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ή ΠΑΡΑΓΟΥΣΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Αλυσίδες Markov διακριτού χρόνου

3.1 Αλυσίδες Markov διακριτού χρόνου Κεφάλαιο 3 Συστήµατα Markov Μια διαδικασία Markov µε διακριτό χώρο καταστάσεων ονοµάζεται αλυσίδα Markov Ένα σύνολο αό τυχαίες µεταβλητές { } αοτελούν µια αλυσίδα Markov όταν η ιθανότητα η εόµενη τιµή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΤΡΕΧΟΝΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΤΡΕΧΟΝΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΚΥΜΑΤΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΤΡΕΧΟΝΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. Αν γνωρίζουμε την εξίσωση της αομάκρυνσης ενός αρμονικού κύματος μορούμε να βρούμε την εξίσωσης της ταχύτητας

Διαβάστε περισσότερα

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ . Ι ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 8 8 A Oµάδας.i) Να σχεδιάσετε τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων, στο ίδιο σύστηµα αξόνων: f() = ηµ, g() = 0,5.ηµ, h() = ηµ, 0 0 ηµ

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 5.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 5. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 5. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Cyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών -. Με ειφύλαξη αντός δικαιώµατος.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: Iανουαρίου 005. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: 8 Φεβρουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

σώμα από τη θέση ισορροπίας του με οριζόντια ταχύτητα μέτρου 4 m/s και με φορά προς τα δεξιά.

σώμα από τη θέση ισορροπίας του με οριζόντια ταχύτητα μέτρου 4 m/s και με φορά προς τα δεξιά. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΕΛΑΤΗΡΙΑ. Ένα σώμα μάζας m = kg βρίσκεται άνω σε λείο δάεδο και είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = N/m, το άλλο άκρο του οοίου είναι στερεωμένο σε κατακόρυφο

Διαβάστε περισσότερα

Α=5 m ω=314 rad/sec=100π rad/sec

Α=5 m ω=314 rad/sec=100π rad/sec ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1. Ασκήσεις με τα χαρακτηριστικά της κίνησης. Μικρές ασκήσεις ου αναφέρονται στους ορισμούς της εριόδου, της συχνότητας, του λάτους και της ενέργειας της ταλάντωσης.

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 3ος Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανειστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παασταυρίδης Στάυρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Δρ. Χαράλαμος Π. Στρουθόουλος Καθηγητής ΣΕΡΡΕΣ, ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογή πρώτη: Στάσιμο κύμα

Εφαρμογή πρώτη: Στάσιμο κύμα Εφαρμογή ρώτη: Στάσιμο κύμα Κατά μήκος μιας εαστικής χορδής x x διαδίδονται δύο όμοια κύματα με αντίθετες κατευθύνσεις. Αν η εξίσωση του ενός κύματος είναι y =0.2 ημ(0t 0x) (S.I.), τότε: Α. Να γραφεί η

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι Ι ΑΣΚΩΝ : ρ. Χρήστος Βοζίκης

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι Ι ΑΣΚΩΝ : ρ. Χρήστος Βοζίκης ΤΜΗΜΑ Β ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΚΑ. ΕΤΟΣ - ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τ. Ε. Ι. Σ Ε Ρ Ρ Ω Ν Σέρρες, 7 Φεβρουαρίου ΘΕΜΑ ον ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι Ι ΑΣΚΩΝ :

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΘΕΜΑ Β. Β1.. Η f παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της R (διότι. x άρα. x 1 0 για κάθε x R)

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΘΕΜΑ Β. Β1.. Η f παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της R (διότι. x άρα. x 1 0 για κάθε x R) ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεώρημα σελ. σχολ. βιβλ. 6 Α. Θεωρία σελ. σχολ. βιβλ. 4 Α. Θεωρία σελ. σχολ. βιβλ. 46-47 Α4. Λ, Σ, Λ, Σ, Σ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α . ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Σηµείωση Οι δυνάµεις α του κεφαλαίου έχουν βάση α > 0 και εκθέτη οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό.. Παραδοχή 0 α. Ιδιότητες α + α ( ) α α : α ( ) α α α αβ α β α β α β. Εκθετική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Τελική Εξέταση 5 Ιουνίου 00 Απαντήστε όλα τα κάτωθι ερωτήµατα, παρέχοντας επεξηγηµατικά σχόλια όπου

Διαβάστε περισσότερα