ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Σημειώσεις Μαθήματος. Διάλεξη 10: Ολοκλήρωση Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων: Προβλήματα Συνοριακών Τιμών Μίας Διάστασης (1D)

Transcript

1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Σημειώσεις Μαθήματος Διάλεξη : Ολοκλήρωση Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων: Προβλήματα Συνοριακών Τιμών Μίας Διάστασης D Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο

2 Πρόβλημα Συνοριακών Τιμών Είναι μια ΣΔΕ δεύτερης ή μεγαλύτερης τάξης στο οποίο η εξαρτημένη μεταβλητή y ή η παράγωγός της y είναι προσδιορισμένες σε διάφορα σημεία. Για παράδειγμα: y p y, y q y, y g y,, y y, y y οπου Οι τιμές y y, y y ονομάζονται συνοριακές συνθήκες. Η λύση της ΣΔΕ μπορεί να είναι της μορφής y = που ικανοποιεί τη διαφορική σχέση στο διάστημα < < και λαμβάνει τις δύο συγκεκριμένες τιμές y και y στα δύο άκρα του διαστήματος. Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο

3 Παράδειγμα επίλυσης προβλήματος συνοριακών τιμών Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα συνοριακών τιμών y y, y, y Η γενική λύση του προβλήματος είναι η y c cos c s Η πρώτη συνοριακή συνθήκη απαιτεί c =. Από την δεύτερη συνοριακή συνθήκη έχουμε c cos c s c cot.76 Οπότε η λύση του προβλήματος συνοριακών τιμών είναι y cos cot s Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο

4 Παράδειγμα επίλυσης προβλήματος συνοριακών τιμών Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα συνοριακών τιμών y y, y, y 6 Η γενική λύση του προβλήματος είναι η y c cos c s Η πρώτη συνοριακή συνθήκη απαιτεί c =. Από την δεύτερη συνοριακή συνθήκη έχουμε c = -α. Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο

5 Αριθμητικές Μέθοδοι Επίλυσης Προβλημάτων Συνοριακών Τιμών Πεπερασμένες Διαφορές Collocto Μέθοδος Πεπερασμένες Στοιχεία κατά Gler Πεπερασμένοι Όγκοι Συνοριακά Στοιχεία Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο

6 Προς τα εμπρός ΠΔ Forwr Fte Dereces Ανασκόπηση Πεπερασμένων Διαφορών Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο Πρώτη Παράγωγος της Σφάλμα Δεύτερη Παράγωγος Τρίτη Παράγωγος Τέταρτη Παράγωγος Oδ Oδ Oδ Oδ Oδ Oδ Oδ Oδ Ο υπολογισμός των παραγώγων στο σημείο βασίζεται σε στις τιμές της συνάρτησης στα, +, +,

7 Προς τα πίσω ΠΔ Bcwr Fte Dereces Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο Πρώτη Παράγωγος της Σφάλμα Δεύτερη Παράγωγος Τρίτη Παράγωγος Τέταρτη Παράγωγος Oδ Oδ Oδ Oδ Oδ Oδ Oδ Oδ Ο υπολογισμός των παραγώγων στο σημείο βασίζεται σε στις τιμές της συνάρτησης στα, -, -,

8 Κεντρικές ΠΔ Cetere Fte Dereces Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο Πρώτη Παράγωγος της Σφάλμα Δεύτερη Παράγωγος Τρίτη Παράγωγος Τέταρτη Παράγωγος Oδ Oδ Ο υπολογισμός των παραγώγων στο σημείο βασίζεται σε στις τιμές της συνάρτησης στα, -, +, -, +, -, +, Oδ Oδ Oδ Oδ Oδ Oδ

9 Μέθοδος πεπερασμένων διαφορών για προβλήματα συνοριακών τιμών Βασίζεται στην αλγεβροποίηση της διαφορικής εξίσωσης μέσω της προσέγγισης των παραγώγων με πεπερασμένες διαφορές των τιμών της συνάρτησης στα διάφορα σημεία του πεδίου ορισμού. Μονοδιάστατο πρόβλημα-d. Ω=[α,β] y y y - y y + y - y =α =β = - δ για =,, Δ=β-α/- Αν θεωρήσουμε την ΣΔΕ φ y, y, y ; = προσεγγίζουμε τις παράγωγους μέσω των προηγούμενων σχέσεων. π.χ. y y y y y y y y Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο

10 Αρχή της μεθόδου των πεπερασμένων διαφορών Συνήθης Διαφορική Εξίσωση με Μετατροπή Σύστημα Αλγεβρικών Εξισώσεων y y y y., y.8 y y =. Επίλυση για τις τιμές της συνάρτησης y, y, y y =? y =? y =? y = Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο

11 Στάδια εφαρμογής της μεθόδου των πεπερασμένων διαφορών Διακριτοποίηση υποδιαίρεση του χώρου επίλυσης σε υποδιαστήματα Προσέγγιση των παραγώγων της συνάρτησης με πεπερασμένες διαφορές. Αλγεβροποίηση της ΣΔΕ μέσω της αντικατάστασης των παραγώγων με πεπερασμένες διαφορές. Σχηματισμός γραμμικού συστήματος εξισώσεων ή μη-γραμμικού συστήματος. Επίλυση γραμμικού συστήματος εξισώσεων με μέθοδο Thoms. Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο

12 H D εξίσωση Posso Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο Εφαρμογή σε γραμμικές ΣΔΕ Drchlet Συνοριακές Συνθήκες D D y D z y Ω=, με συνοριακες συνθήκες = = - δ για =,, δ=-/- =. Διακριτοποίηση του Ω=[,] y y y - y y + y - y

13 Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο. Προσέγγιση παραγώγων με πεπερασμένες διαφορές Κεντρικές διαφορές, δεύτερης τάξης: Οδ. Αντικατάσταση στη ΣΔΕ ή,,. Σχηματοποίηση γραμμικού προβλήματος = = =-.. = =

14 Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο 5. Σχηματοποίηση γραμμικού συστήματος Α=F A F, A Ο πίνακας Α είναι τρισδιαγώνιος, συμμετρικός και θετικά ορισμένος, δηλαδή αντιστρέψιμος F

15 Εφαρμογή σε γραμμικές ΣΔΕ: άλλοι τύποι συνοριακών συνθηκών Ω=, Με συνοριακες συνθήκες Drchlet-Nem Σχηματοποίηση γραμμικού προβλήματος =.. =- = Drchlet Συνθήκη Κεντρικές Διαφορές Διαφορές προς τα πίσω Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο

16 Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο Σχηματοποίηση γραμμικού συστήματος Α=F A F, A F

17 Εφαρμογή σε γραμμικές ΣΔΕ: άλλοι τύποι συνοριακών συνθηκών Ω=, Μη ομογενής Drchlet =g o : Για = έχουμε go Μη ομογενής Nem g =g : Για = έχουμε Διαφορές προς τα πίσω Μη ομογενής Rob Για = έχουμε g + =g : Διαφορές προς τα πίσω Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο

18 Συνθήκη συμβατότητας σε Nem συνοριακές συνθήκες Η D Posso εξίσωση με Nem συνοριακές συνθήκες Συνθήκη επιλυσιμότητας b b Συνθήκη μοναδικότητας λύσης b b Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο b b

19 Μέθοδος πεπερασμένων διαφορών για μια γραμμική ΣΔΕ Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο Ας υποθέσουμε την γενική γραμμική διαφορική εξίσωση με συνθήκες Drchlet: y c y b y y l y y c y b y y c y y b y y y που στο σημείο του διαστήματος [α,β] γίνεται: με συνοριακές συνθήκες ή χρησιμοποιώντας πεπερασμένες διαφορές έχουμε:

20 Εφαρμογή σε μη-γραμμικές ΣΔΕ Drchlet Συνοριακές Συνθήκες Έστω η μη γραμμική εξίσωση s Ω=, με συνοριακές συνθήκες. Διακριτοποίηση του Ω=[,] y y y - y y + y - y = = = - δ για =,, δ=-/-=/- Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο

21 Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο. Προσέγγιση παραγώγων με πεπερασμένες διαφορές Κεντρικές διαφορές, δεύτερης τάξης: Οδ. Αντικατάσταση στη ΣΔΕ s ή,, s. Σχηματοποίηση μη-γραμμικού προβλήματος = = =-. s s. s = =

22 5. Μορφή υπολοίπων Resl = Re Re s = Re s =.. =- Re s = Re 6. Εφαρμογή μεθόδου Newto-Rpsho J δ=-re J J + - =-Re,Re Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο

23 Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο / cos / / / cos / / / cos / / J s s s Re

24 Υψηλής τάξης vs χαμηλής τάξης προσέγγιση Υψηλής τάξης προσέγγιση Υψηλότερη ακρίβεια για το ίδιο πλέγμα σημείων με μια χαμηλή τάξης προσέγγιση, Υψηλότερο κόστος για το ίδιο πλέγμα σημείων, Λιγότερο ευσταθείς μπορούν να παρουσιάσουν αφύσικες ταλαντώσεις, Όχι τόσο ακριβείς στην περιγραφή ασυνεχειών ή γρήγορων μεταβολών, Επιδεικνύουν σχετικά μικρή βελτίωση για αραιά πλέγματα μεγάλα δ ή μικρής τάξης μικρά m λύσεις. Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο Δεύτερη Παράγωγος Ακρίβεια Τύπος Προσέγγισης 6 6 Oδ Oδ!!.... m m m m m m m m m m m E T E T Χαμηλής τάξης Υψηλής τάξης

25 Υψηλής τάξης Προσεγγίσεις με υψηλή ακρίβεια Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο Σε πολλές εφαρμογές την υπολογιστικής Ρευστομηχανικής όπου εμφανίζονται ασυνέχειες ή απότομες μεταβολές στις βαθμίδες της ταχύτητας, απαιτούνται η δημιουργία πεπερασμένων διαφορών υψηλής ακρίβειας. Τυπικά αυτές δεν βασίζονται σε προσεγγίσεις πολυωνύμων Lgrge, αλλά σε σχήματα Pe Lele99. Στην περίπτωση της πρώτης παραγώγου αυτές δίνονται ως: 6 c b Οι σχέσεις που συνδέουν τα, b, c με τα α, β προκύπτουν από το ταίριασμα των συντελεστών Tylor των διαφόρων τάξεων. 9 c b Για τη δεύτερη παράγωγο αυτές δίνονται ως:

26 Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο Κεντρικές ΠΔ Cetere Fte Dereces Πρώτη Παράγωγος της Σφάλμα Δεύτερη Παράγωγος Oδ 6 Oδ 8 Oδ 6 Oδ

27 Προσέγγιση Pé H προσέγγιση Pé είναι η βέλτιστη αντιπροσώπευσης μιας οποιαδήποτε συνάρτησης μέσω μιας κλασματικής συνάρτησης. Με δεδομένη μια συνάρτηση και δύο κλασματικούς αριθμούς m και, η προσέγγιση Pé της τάξης [m/] η οποία είναι σύμφωνη με την κατά την μέγιστη δυνατή τάξη και ικανοποιεί τις σχέσεις R m R R R p Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο q m m

28 Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο Οι συντελεστές της προσέγγισης Pé υπολογίζονται από την εξίσωση των συντελεστών του αναπτύγματος Tylor: με αυτούς της προσέγγισης Pé:! o R R m q p R Εφαρμογή: ενδεικτικές προσεγγίσεις της ep ep / ep / / ep ep / ep / / 6 6 ep p p q p q q m m m q q

29 Παράδειγμα επίλυσης γραμμικού προβλήματος συνοριακών τιμών Ας μελετήσουμε πως κατανέμεται η θερμοκρασία σε μία λεπτή ράβδο με μεγάλο μήκος σε συνθήκες μόνιμης κατάστασης, με δεδομένο ότι τα άκρα της παραμένουν σε σταθερές θερμοκρασίες. Διέπουσα ΣΔΕ h Συνοριακές Συνθήκες l L r μηχανισμός αγωγής μηχανισμός συναγωγής Θ Θ l Θ r L Θ Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο

30 Ας Θεωρήσουμε τις παρακάτω τιμές για τις φυσικές παραμέτρους του προβλήματος. Μήκος ράβδου L = m Θερμοκρασία Αέρα Θ = o C Θερμοκρασία ράβδου στο αριστερό άκρο Θ = o C Θερμοκρασία ράβδου στο δεξί άκρο ΘL = o C Συντελεστής Θερμικής συναγωγής =. m - Αναλυτική έκφραση λύσης 7.5e / 5.5e / Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο

31 Βήματα εφαρμογής της μεθόδου πεπερασμένων διαφορών. Διακριτοποίηση του φυσικού χώρου σε σημεία με =,,,, 5, 6 Θ Θ l - + Θ r = 6 8 = 5 6 δ = m h L = m. Προσέγγιση των παραγώγων με κεντρικές διαφορές.. Αλγεβροποίηση της ΣΔΕ: Αντικατάσταση παραγώγων με κεντρικές διαφορές. h Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο h h =,,, 5

32 . Διακριτοποίηση στους συνοριακούς κόμβους στα =,6. l 6 r 6 l r 5. Εφαρμογή σχέσεων για τις δεδομένες φυσικές παραμέτρους ο κομβικό σημείο: ο κομβικό σημείο: ο κομβικό σημείο: ο κομβικό σημείο: ο κομβικό σημείο: ο κομβικό σημείο: 6 Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο

33 Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο 6. Σχηματοποίηση γραμμικού συστήματος Επίλυση γραμμικού προβλήματος με μέθοδος Thoms: Τρισδιαγώνιο Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων Θ

34 Συνοριακά Στρώματα Bory-Lyers Ας υποθέσουμε την εξίσωση συναγωγής-διάχυσης σε μόνιμη κατάσταση: y y συναγωγή με συνοριακές συνθήκες διάχυση y y l Εάν το ε είναι μικρό, ο όρος της συναγωγής κυριαρχεί και η ΣΔΕ είναι περισσότερο πρώτης τάξης, και ένα συνοριακό στρώμα σχηματοποιείται στο δεξί σύνορο. = l= Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο

35 Οι κεντρικές πεπερασμένες διαφορές παρουσιάζουν αφύσικες ταλαντώσεις εάν το συνοριακό στρώμα δεν είναι διακριτοποιημένο αρκετά. Για την εξάλειψη των ταλαντώσεων απαιτούνται μη ομοιόμορφα πλέγματα και σταθεροποιημένα αριθμητικά βήματα. h=.5 h=.5 Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο

36 Εξίσωση Συναγωγής-Διάχυσης Stey Covecto-Dso Eqto Εμπεριέχει όρους φυσικής διάχυσης απόσβεσης L Ακριβής λύση: ep / ep / Για υψηλές τιμές του αριθμού Peclet, ο όρος διάχυσης είναι σημαντικός μέσα σε ένα λεπτό συνοριακό στρώμα bory lyer. Pe L Αριθμός Peclet Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο

37 Επίδραση του αριθμού Peclet στην κατανομή θερμοκρασίας Pe = Θ Pe = Pe = Αρνητικός Peclet συμβολίζει, ροή προς την κατεύθυνση ή <. Γενικά δεν συνηθίζεται οι αδιάστατοι αριθμοί να έχουν αρνητικό πρόσημο, αλλά στην παρούσα περίπτωση τα χρησιμοποιούμε. Pe = Pe = Pe = Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο

38 Ιδιοτιμές Τρισδιαγώνιου Πίνακα M b c b c b c b c b Περιπτώσεις:. Τα υπερδιαγώνια και υποδιάγωνια στοιχεία έχουν το ίδιο πρόσημο. Οι ιδιοτιμές είναι όλες πραγματικές και διακριτές: b θ, c cos θ,,, b c b c. Τα υπερδιαγώνια και υποδιάγωνια στοιχεία έχουν διαφορετικό πρόσημο. Οι ιδιοτιμές είναι συζυγής μιγαδικές για άρτιο, και έχουν μια πραγματική ρίζα αν περιττός: b c cos θ b θ,,,, re b c m c Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο

39 Ο τοπικός αριθμός Peclet Προσέγγιση με κεντρικές διαφορές Pe l.5pe l.5pel Οι συντελεστές του πίνακα της προηγούμενης διαφάνειας είναι: α = -+.5 Pe l b = c = --.5 Pe l Ο συντελεστής c μπορεί να γίνει θετικός Pe l >, όποτε το γινόμενο α c <. Αυτό σημαίνει ότι εμφανίζονται ιδιοτιμές συζυγής μιγαδικές, που αντιστοιχούν σε ημιτονοειδής μεταβολές που είναι υπεύθυνες για τις αριθμητικές αστάθειες. Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο

40 Χαμηλής τάξης σχήμα σταθεροποίησης κατά την διεύθυνση της ροής Upw Scheme Ας υποθέσουμε ότι =σταθερά> Χρησιμοποιούμε πεπερασμένες διαφορές προς τα πίσω για τον όρο συναγωγής Θ/ σχήμα σταθεροποίησης σημείων Pe l Pe l Pel Οι συντελεστές του πίνακα της προηγούμενης διαφάνειας είναι: α = -+Pe l b = +Pe l c = - α c > Πραγματικές Ιδιοτιμές Μονότονη συμπεριφορά Το σχήμα είναι ευσταθές χωρίς κανένα περιορισμός Ο πίνακας που προκύπτει, έχει κυρίαρχη διαγώνιο ιδανικό για επαναληπτικούς επιλυτές Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο

41 Ας Θεωρήσουμε την τροποποιημένη εξίσωση L orgl κεντρικές διαφορές L mo Pe l.5pel e.5pel Pe l Pel Ίδια διακριτή μορφή με το αυτό που αντιστοιχεί στο Upw Scheme. Ο όρος α.5pe l ονομάζεται επίπλαστη διαχυτότητα rtcl svty. Η επίπλαστη διαχυτότητα αριθμητική διαχυτότητα μπορεί να είναι αρκετά μεγαλύτερη από τη φυσική! Με άλλα λόγια έχουμε αλλοίωση του αριθμητικού αποτελέσματος Pe l Pe Pe l l, UL, e e U L.5Pe.5Pe Pe l l h Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο

42 Προβλέψεις κεντρικών διαφορών Προβλέπουν αφύσικη ταλαντωτική συμπεριφορά αν Pe l > Θ..5 δ=., Pe l = δ=., Pe l = δ=.5, Pe l = ακριβής λύση /α= Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο

43 Προβλέψεις σχήματος σταθεροποίησης Εξαλείφουν τις αφύσικες ταλαντώσεις, αλλά είναι προσθέτουν ανακρίβεια. Όπως στην περίπτωση που κυριαρχούν τα διαχυτικά φαινόμενα Θ..5 δ=., Pe l = κεντρικές διαφορές δ=., Pe l = pw ακριβής λύση /α= Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο

44 Υψηλής τάξης σχήμα σταθεροποίησης κατά την διεύθυνση της ροής Hgh orer Upw Scheme Περιορισμοί κεντρικών διαφορών και χαμηλής τάξη σχήματα σταθεροποίησης : Οι κεντρικές διαφορές τριών σημείων παρουσιάζουν αφύσικες ταλαντώσεις Το χαμηλής τάξης σχήμα σταθεροποίησης είναι υπερβολικά διαχυτικό. Βελτιωμένοι τρόποι αντιμετώπισης απότομων μεταβολών και εξάλειψης αφύσικων ταλαντώσεων: Σχήματα σταθεροποίησης υψηλότερης τάξης Σχήματα διόρθωσης της ροής Fl-correcte schemes Αύξηση της διακριτοποίησης στην περιοχή απότομης μεταβολής Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο

45 Σχήμα σταθεροποίησης -σημείων : : c b c b b b c b Αφήνουμε το συντελεστή α ελεύθερο ώστε να γίνεται έλεγχος της ευστάθειας καθορισμός των ιδιοτιμών του πίνακα των πεπερασμένων διαφορών. O Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο!!!!!! Οπότε:

46 Ας υποθέσουμε ότι =q/δ, τότε,, q q Το σφάλμα στρογγύλευσης σε κάθε περίπτωση δίνεται ως: Orgl : Moe: Pe l Pe l sperso sspto q q 6 Pe q 5 5 l Pe l Ισοδύναμη εξίσωση με κεντρικές πεπερασμένες διαφορές. Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο

47 Εφαρμογή σχήματος σταθεροποίησης -σημείων q Pel διακριτοποίηση q q.5 Pe qpe.5 Pe l l l Ακριβής λύση q= q= q= q= Για μεγάλο q λιγότερες ταλαντώσεις περισσότερο διαχυτικό Για q = /8 έχουμε το σχήμα QUICK: επίσης ταλαντωτικό Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο

48 Μέθοδος Collocto Η μέθοδος collocto προσεγγίζει την λύση ενός προβλήματος συνοριακών τιμών ως ένα γραμμικό συνδυασμό κάποιων συναρτήσεων βάσης. Ας υποθέσουμε το πρόβλημα συνοριακών τιμών,, b b b Αναζητούμε μια λύση της μορφής ; c c Όπου φ είναι οι συναρτήσεις βάσης, που είναι ορισμένες στο [,b] και c είναι ένα διάνυσμα τάξης. Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο

49 Ειδικές κατηγορίες Στις πλέον συνηθέστερες επιλογές περιλαμβάνονται οι τα πολυώνυμα, τα B-sples και οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Οι συναρτήσεις βάσεις με γενικό χαρακτήρα, όπως τα πολυώνυμα ή οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις, δημιουργούν τις φασματικές μεθόδους. Οι συναρτήσεις βάσεις με τοπικό χαρακτήρα, όπως τα B- sples, τοπικά ορισμένα πολυώνυμα Lgrge δημιουργούν τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο

50 Εφαρμογή μεθόδου Collocto Ας υποθέσουμε το πρόβλημα συνοριακών τιμών: Συνοριακές τιμές: 6. Θεωρούμε ότι η λύση μπορεί να γραφεί σαν πολυώνυμο c c c c.... Και διακριτοποιούμε το πεδίο σε υποδιαστήματα και ισοδύναμα σε τρία ισαπέχοντα σημεία. Οπότε ο βαθμός του πολυωνύμου είναι και υπάρχουν τρεις ανεξάρτητες μεταβλητές. c c c Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο

51 . Υπολογίζουμε τις γενικές σχέσεις της ης και της ης παραγώγου. c c c. Σε κάθε εσωτερικό σημείο του πεδίου ικανοποιείται ο διαφορικός νόμος.,, 6 Εδώ σε ένα μόνο σημείο =.5. Εφαρμογή συνοριακών συνθηκών,, 6 ή c Στο σημείο = Στο σημείο = c c c c c c c c c c Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο

52 Η επίλυση του συστήματος των τριών γραμμικών εξισώσεων με τους τρεις αγνώστους δίνει: c c. 5 c. 5 Έτσι η προσεγγιστική λύση είναι ένα τετραγωνικό πολυώνυμο.5.5 Βάσει του οποίου μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή της λύσης σε οποιοδήποτε εσωτερικό σημείο, π.χ. = Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο