τα βιβλία των επιτυχιών

Transcript

1 Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από τη διαρκή τους αξιοποίηση στις τάξεις μας διασφαλίζουμε τον εμπλουτισμό τους, τη συνεχή τους βελτίωση και την επιστημονική τους αρτιότητα, καθιστώντας τα βιβλία των Εκδόσεών μας εγγύηση για την επιτυχία των μαθητών. τα βιβλία των επιτυχιών

2

3 ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ άλγεβρα α τόμος α λυκείου

4 Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο A Λυκείου Άλγεβρα Α Λυκείου, α τόμος Νίκος Τάσος ISBN: SET: Θεώρηση κειμένου: Κυριάκος Εμμανουηλίδης Σχεδιασμός έκδοσης: Γεωργία Λαμπροπούλου Στοιχειοθεσία-σελιδοποίηση: Άννα Βάιμπεργ Συμπληρωματική σελιδοποίηση: Δημήτρης Κάπος Εξώφυλλο: Πωλίνα Κοντογεώργη Υπεύθυνος έκδοσης: Κυριάκος Εμμανουηλίδης Copyright 2015 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ, Νίκος Τάσος για την ελληνική γλώσσα σε όλο τον κόσμο Επικοινωνία με συγγραφέα: Νίκος Τάσος nikotaso@yahoo.gr Απαγορεύεται η με οποιονδήποτε τρόπο, μέσο και μέθοδο αναδημοσίευση, αναπαραγωγή, μετάφραση, διασκευή, θέση σε κυκλοφορία, παρουσίαση, διανομή και η εν γένει πάσης φύσεως χρήση και εκμετάλλευση του παρόντος έργου στο σύνολό του ή τμηματικά, καθώς και της ολικής αισθητικής εμφάνισης του βιβλίου (στοιχειοθεσίας, σελιδοποίησης κ.λπ.) και του εξωφύλλου του, σύμφωνα με τις διατάξεις της υπάρχουσας νομοθεσίας περί προστασίας πνευματικής ιδιοκτησίας και των συγγενικών δικαιωμάτων περιλαμβανομένων και των σχετικών διεθνών συμβάσεων. Σωτήρος και Αλκιβιάδου 132, ΤΚ Πειραιάς Τ F publications@poukamisas.gr

5 Στη Στέλλα Πρό λ ο γ ο ς Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός να βοηθήσει τους μαθητές της A Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την ύλη της Άλγεβρας, αφετέρου να αποτελέσει χρήσιμο βοήθημα για τους συνάδελφους εκπαιδευτικούς. Κάθε κεφάλαιο αποτελείται από ενότητες, καθεμιά από τις οποίες περιέχει: Ι. ΘΕΩΡΙΑ ΣΕ ΜΟΡΦΗ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ Πλήρης θεωρία, η οποία συνοδεύεται από σχόλια και παρατηρήσεις προκειμένου να αναδειχθούν τα «σκοτεινά» σημεία της. ΙΙ. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Έγινε προσπάθεια, ώστε όλες οι ασκήσεις να ενταχθούν σε ένα πλαίσιο μεθοδολογιών. Πιστεύοντας ότι δεν υπάρχουν εύκολες ή δύσκολες ασκήσεις, αλλά μόνο ασκήσεις που μπορούν να επιλυθούν με κατάλληλη μεθοδολογία, δημιουργήσαμε κατηγορίες, οι οποίες βοηθούν τους μαθητές να αυτενεργήσουν προκειμένου να λύσουν εφαρμογές κάθε επιπέδου δυσκολίας. ΙΙΙ. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΜΠΕΔΩΣΗΣ ΚΑΙ ΕΜΒΑΘΥΝΣΗΣ Κάθε λυμένη εφαρμογή συνοδεύεται από παρόμοιες εφαρμογές για λύση. Όπου κρίνεται απαραίτητο υπάρχουν και επιπλέον εφαρμογές για λύση, ώστε ο μαθητής να αποκτήσει μεγαλύτερη εμπειρία. ΙV. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερωτήσεις σωστού λάθους, αντιστοίχισης, συμπλήρωσης κενού και πολλαπλής επιλογής, οι οποίες στοχεύουν να ελέγξουν τις γνώσεις που έχει αποκτήσει ο μαθητής. V. ΦΥΛΛΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Στο τέλος των περισσότερων παραγράφων υπάρχουν φύλλα αξιολόγησης με στόχο τον έλεγχο των γνώσεων που αποκτήθηκαν. VI. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Στο τέλος κάθε κεφαλαίου υπάρχουν όλες οι ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων, όπως δόθηκαν από το Υπουργείο Παιδείας. Στο τελευταίο τμήμα του βιβλίου υπάρχουν: οι απαντήσεις υποδείξεις όλων των εφαρμογών, των ερωτήσεων κατανόησης και των διαγωνισμάτων του παρόντος βιβλίου, οι αναλυτικές απαντήσεις της Τράπεζας Θεμάτων, οι απαντήσεις όλων των ασκήσεων του σχολικού βιβλίου. Ελπίζοντας ότι η προσπάθεια αυτή θα βρει τον στόχο της, παραδίδουμε το παρόν πόνημα στην αυστηρή κρίση των μαθητών και των συνάδελφων εκπαιδευτικών. Νίκος Τάσος Μαθηματικός M.Sc.

6

7 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ερωτήσεων απαντήσεων εμβάθυνσης Ερωτήσεις αξιολόγησης ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές εμβάθυνσης Ερωτήσεις αξιολόγησης Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές εμβάθυνσης Ερωτήσεις αξιολόγησης Περ ι ε χ ο μ ε ν α ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 2. ΣΥΝΟΛΑ ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές εμβάθυνσης Ερωτήσεις αξιολόγησης ΚΑΝΟΝΕΣ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές εμβάθυνσης Ερωτήσεις αξιολόγησης Φύλλο αξιολόγησης Τράπεζα Θεμάτων: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές εμβάθυνσης Ερωτήσεις αξιολόγησης ΔΥΝΑΜΕΙΣ ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές εμβάθυνσης Ερωτήσεις αξιολόγησης Φύλλο αξιολόγησης ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές εμβάθυνσης Ερωτήσεις αξιολόγησης Φύλλο αξιολόγησης ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές εμβάθυνσης Ερωτήσεις αξιολόγησης ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές εμβάθυνσης Ερωτήσεις αξιολόγησης Φύλλο αξιολόγησης

8 11. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ 12.ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΙΘΜΟΥ ερωτήσεων απαντήσεων ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Μεθοδολογίες Εφαρμογές εμβάθυνσης εμβάθυνσης Ερωτήσεις αξιολόγησης Ερωτήσεις αξιολόγησης Φύλλο αξιολόγησης Φύλλο αξιολόγησης Τράπεζα Θεμάτων: ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 13. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές εμβάθυνσης Ερωτήσεις αξιολόγησης Φύλλο αξιολόγησης ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές εμβάθυνσης ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ Μεθοδολογίες Εφαρμογές εμβάθυνσης Ερωτήσεις αξιολόγησης Φύλλο αξιολόγησης Η ΕΞΙΣΩΣΗ x ν = α ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές εμβάθυνσης Ερωτήσεις αξιολόγησης Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx 2 + βx + γ = 0 ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές εμβάθυνσης Ερωτήσεις αξιολόγησης Φύλλο αξιολόγησης ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές εμβάθυνσης Ερωτήσεις αξιολόγησης Φύλλο αξιολόγησης ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ Μεθοδολογίες Εφαρμογές εμβάθυνσης Τράπεζα Θεμάτων: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Απαντήσεις άλυτων ασκήσεων Απαντήσεις Τράπεζας Θεμάτων Απαντήσεις ασκήσεων σχολικού βιβλίου

9 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

10

11 1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΕ ΜΟΡΦΗ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ 1. Πώς ορίζεται η έννοια της πρότασης στη Μαθηματική Λογική; Απάντηση Πρόταση είναι κάθε ισχυρισμός του οποίου το περιεχόμενο μπορούμε να χαρακτηρίσουμε ως αληθές ή ψευδές. Παραδείγματα Η φράση «Ο Ολυμπιακός έχει κατακτήσει τα περισσότερα πρωταθλήματα ποδοσφαίρου στην Ελλάδα» είναι μία πρόταση, διότι είναι αληθής. Η φράση «Ο Ολυμπιακός θα κατακτήσει την επόμενη χρονιά το πρωτάθλημα ποδοσφαίρου στην Ελλάδα» δεν είναι πρόταση, διότι δεν μπορεί να χαρακτηριστεί ως αληθής ή ψευδής. Σχόλια i. Προσοχή! Στα Μαθηματικά, για να ελέγξουμε αν ένας ισχυρισμός είναι πρόταση, δεν εξετάζουμε αν είναι γραμματικά και συντακτικά ορθώς. ii. Τις προτάσεις τις συμβολίζουμε συνήθως με τα λατινικά γράμματα P, Q. iii. Μία πρόταση χαρακτηρίζεται απλή όταν κανένα τμήμα της δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δημιουργήσει μία άλλη πρόταση. iv. Μία πρόταση χαρακτηρίζεται σύνθετη όταν μπορούμε να τη χωρίσουμε σε δύο ή περισσότερες προτάσεις. 2. Πώς ορίζεται η συνεπαγωγή και πώς συμβολίζεται; Απάντηση Αν Ρ και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τέτοιοι ώστε όταν αληθεύει ο Ρ να αληθεύει και ο Q, τότε λέμε ότι ο Ρ συνεπάγεται τον Q. Συμβολίζουμε: P Q Παραδείγματα i. Μια μητέρα, προκείμενου να πείσει το παιδί της να φάει όλο το φαγητό του, του λέει: _ Αν φας το φαγητό σου θα σου πάρω παγωτό. ii. Αν α = 4 α = 2. 11

12 Εισαγωγικό κεφάλαιο Σχόλια i. Ο ισχυρισμός «P Q» λέγεται συνεπαγωγή και πολλές φορές διαβάζεται «αν Ρ, τότε Q» ή «ο Ρ συνεπάγεται τον Q». ii. Ο Ρ λέγεται υπόθεση της συνεπαγωγής, ενώ ο Q λέγεται συμπέρασμα αυτής. iii. Η συνεπαγωγή είναι αληθής όταν: Ο Ρ είναι _ αληθής _ και ο Q είναι αληθής. π.x. 9 = 3 ( 9) 2 = 3 2 Ο Ρ είναι ψευδής και ο Q είναι αληθής. π.x. 1 = 1 ( 1) 2 = 1 2 Ο Ρ είναι ψευδής και ο Q είναι ψευδής. π.x. 1 = 1 2 ( 1) = 2 1 iv. Η συνεπαγωγή είναι ψευδής όταν: Ο Ρ είναι αληθής και ο Q είναι ψευδής. π.x. ( 1) 2 = = 1 v. Με βάση τα όσα αναπτύσσονται στο σχολικό βιβλίο, εμείς θα ασχοληθούμε κυρίως με την περίπτωση όπου και οι δύο ισχυρισμοί P, Q είναι αληθείς. vi. Στο τέλος της ενότητας παραθέτουμε έναν πίνακα αλήθειας όπου είναι κλασικός στο πλαίσιο της Μαθηματικής Λογικής. 3. Πώς ορίζεται η ισοδυναμία ή διπλή συνεπαγωγή και πώς συμβολίζεται; Απάντηση Αν Ρ και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τέτοιοι ώστε όταν αληθεύει ο Ρ να αληθεύει και ο Q, και όταν αληθεύει ο Q να αληθεύει και ο P, τότε λέμε ότι ο Ρ συνεπάγεται τον Q και αντιστρόφως ή, αλλιώς, ότι ο Ρ είναι ισοδύναμος με τον Q. Συμβολίζουμε: P Q Παραδείγματα i. «Η Στέλλα είναι η σύζυγος του Νίκου.» «Ο Νίκος είναι ο σύζυγος της Στέλλας.» ii. Για κάθε πραγματικό αριθμό α, β, γ ισχύει ότι: α = β α + γ = β + γ iii. Για κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι: ΑΒΓ ισόπλευρο τρίγωνο A = B = Γ Σχόλια i. Ο ισχυρισμός «Ρ Q» λέγεται ισοδυναμία και αρκετές φορές διαβάζεται «Ρ αν και μόνο αν Q» ή «Ρ τότε και μόνο τότε Q». ii. Ισοδυναμίες έχουμε στους ορισμούς. 12

13 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 4. Πώς ορίζεται ο σύνδεσμος ή; Απάντηση Αν Ρ και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τότε ο ισχυρισμός Ρ ή Q αληθεύει μόνο στην περίπτωση που ένας τουλάχιστον από τους δύο ισχυρισμούς αληθεύει. Παραδείγματα i. Για να προσληφθεί κάποιος σε ένα εστιατόριο ως μάγειρας πρέπει να ξέρει να μαγειρεύει ελληνικά ή ιταλικά φαγητά. Αυτό σημαίνει ότι ο μάγειρας που θα προσληφθεί πρέπει να ξέρει να μαγειρεύει ή μόνο ελληνικά φαγητά ή μόνο ιταλικά φαγητά ή, προφανώς, και από τις δύο κουζίνες φαγητά. ii. Όταν γράφουμε: α β = 0 α = 0 ή β = 0 εννοούμε ότι αληθεύει μία τουλάχιστον από τις προτάσεις «α = 0», «β = 0», δηλαδή: (α = 0 και β 0), (α 0 και β = 0), (α = 0 και β = 0) Σχόλια i. Ο ισχυρισμός «Ρ ή Q» λέγεται διάζευξη των Ρ και Q. ii. Η διάζευξη Ρ ή Q είναι ψευδής μόνο όταν και ο ισχυρισμός Ρ και ο ισχυρισμός Q είναι ψευδείς. iii. Ο ισχυρισμός «ή Ρ ή Q» λέγεται αποκλειστική διάζευξη των Ρ και Q και είναι αληθής, όταν η μία είναι αληθής και η άλλη ψευδής. 5. Πώς ορίζεται ο σύνδεσμος και; Απάντηση Αν Ρ και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τότε ο ισχυρισμός Ρ και Q αληθεύει μόνο στην περίπτωση που και οι δύο ισχυρισμοί αληθεύουν. Παραδείγματα i. Η Αθήνα είναι πόλη της Ελλάδας και της Ευρώπης. ii. Όταν γράφουμε: α β 0 α 0 και β 0 εννοούμε ότι αληθεύουν και οι δύο προτάσεις «α 0», «β 0». Σχόλιo Ο ισχυρισμός «Ρ και Q» λέγεται σύζευξη των Ρ και Q. 13

14 Εισαγωγικό κεφάλαιο 6. Πώς ορίζεται η άρνηση μίας πρότασης; Απάντηση Αν Ρ είναι ένας ισχυρισμός, τότε ο ισχυρισμός «όχι Ρ» ονομάζεται άρνηση του Ρ, συμβολίζεται συνήθως με Ρ ή Ρ και χαρακτηρίζεται ως: αληθής, αν ο Ρ είναι ψευδής, ψευδής, αν ο Ρ είναι αληθής. Παραδείγματα i. Αν Ρ: «α = β», τότε η άρνηση της Ρ είναι Ρ: «α < β ή α > β». ii. Η άρνηση του και είναι το ή και αντίστροφα. Για παράδειγμα, η άρνηση της πρότασης «θα φάμε κρέας και ρύζι» είναι η «θα φάμε κρέας ή ρύζι». iii. Η άρνηση του για κάθε είναι το υπάρχει και αντίστροφα. Για παράδειγμα, η άρνηση της πρότασης «για κάθε πραγματικό αριθμό α, ισχύει α 2 0» είναι η «υπάρχει πραγματικός αριθμός, ώστε α 2 < 0». Σχόλια Αν η συνεπαγωγή «Ρ Q» είναι αληθής, τότε και η συνεπαγωγή «Q Ρ» είναι αληθής και αντίστροφα. Ισχύει δηλαδή ότι: (Ρ Q) (Q Ρ) που είναι γνωστός ως νόμος της αντιθετοαντιστροφής. Παράδειγμα Ισχύει ότι: α β = 0 α = 0 ή β = 0 Επομένως, ισχύει και η αντιθετοαντιστροφή: α 0 και β 0 α β 0 7. Ποιος είναι ο πίνακας αλήθειας για τη Μαθηματική Λογική; Απάντηση Ο πίνακας είναι ο εξής: Ισχυρισμοί Συνεπαγωγή Ισοδυναμία Διάζευξη Σύζευξη P Q P Q P Q P ή Q P και Q Αληθής Αληθής Αληθής Αληθής Αληθής Αληθής Αληθής Ψευδής Ψευδής Ψευδής Αληθής Ψευδής Ψευδής Αληθής Αληθής Ψευδής Αληθής Ψευδής Ψευδής Ψευδής Αληθής Αληθής Ψευδής Ψευδής 14

15 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΜΠΕΔΩΣΗΣ ΚΑΙ ΕΜΒΑΘΥΝΣΗΣ ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ 1.1 Να εξετάσετε ποιοι από τους ακόλουθους ισχυρισμούς είναι προτάσεις και να τις χαρακτηρίσετε ως αληθείς ή ψευδείς. i. Ο αριθμός 5 είναι μεγαλύτερος του 10. ii. Ο αριθμός x είναι περιττός. iii. Η Άλγεβρα είναι το καλύτερο μάθημα. iv. 2 3 = 6 v = 3 vi. Ο Παναθηναϊκός θα κερδίσει το πρωτάθλημα ποδοσφαίρου την επόμενη χρονιά. ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΗ ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ 1.2 Σε καθέναν από τους ισχυρισμούς Ρ, Q να εξετάσετε ποια από τις συνεπαγωγές Ρ Q ή Q P ισχύει. i. Ρ: Ο Κώστας είναι μαθητής της Γ Λυκείου. Q: Ο Κώστας τελειώνει το σχολείο. ii. Ρ: Σήμερα είναι 25 Δεκεμβρίου. Q: Σήμερα είναι Χριστούγεννα. iii. P: Στην Ελλάδα είναι χειμώνας. Q: Στην Ελλάδα βρέχει. iv. P: Ο Νίκος παίζει πιάνο. Q: Ο Νίκος αγαπάει τη μουσική. Ερωτήσεις Σωστού Λάθους 1.3 Να χαρακτηρίσετε ως σωστές (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις. i. Για κάθε πραγματικό αριθμό α, β ισχύει ότι α 2 = β 2 α = β. ii. Για κάθε πραγματικό αριθμό α, β, γ ισχύει ότι α = β α + γ = β + γ. iii. Η σύζευξη «Ρ και Ρ» είναι πάντα ψευδής. iv. Ο ισχυρισμός «1 + 1 = 3» είναι μία πρόταση. v. Ο ισχυρισμός «Στην Ελλάδα θα εμφανιστούν εξωγήινοι» είναι μία πρόταση. vi. Ο ισχυρισμός «2014 < 2013» είναι μία πρόταση. vii. α 2 1 α 1 ή α 1 viii. α = 0 και β 0 α β = 0 ix. x = 5 x 2 = 25 x. x = 5 x 2 = 25 15

16 Εισαγωγικό κεφάλαιο 1.4 Να χαρακτηρίσετε ως σωστές (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις. i. x 5 x 2 25 ii. x 5 x 2 25 iii. x 5 και x 5 x 2 25 iv. x 2 x x 1 v. α β 0 α 0 ή β 0 vi. Αν β 0, ισχύει ότι: α β > 0 α β > 0 vii. α < 3 και β < 4 α β < 12 viii. α < 1 α 2 < 1 ix. α > 1 α 2 > 1 x. Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές, τότε A = B. Ερωτήσεις Αντιστοίχισης 1.5 Να αντιστοιχίσετε καθέναν από τους ισχυρισμούς της στήλης Α με τον ισοδύναμό του ισχυρισμό στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β i. 3α(α + 2) = 0 α. α = 1 ή α = 1 ii. α(α 1) = 0 και α(α + 1) = 0 β. α = 0 ή α = 2 iii. α 2 = 4, α > 0 γ. α 0 και α 2 iv. α 2 = 1 δ. α = 2 v. 3α(α + 2) 0 ε. α = 0 Ερωτήσεις Συμπλήρωσης 1.6 Να συμπληρώσετε τον ακόλουθο πίνακα. Ρ α = 2 ή α = 0 α < 3 α 0 και α 1 1 α < 10 α < 2 και α 5 όχι Ρ 1.7 Στις ακόλουθες προτάσεις να γράψετε την άρνησή τους. i. Ρ: «α = β», άρνηση Ρ: ii. Ρ: «α > 0», άρνηση Ρ: iii. Ρ: «α = 0 και β = 0», άρνηση Ρ: iv. Ρ: «για κάθε μη αρνητικό πραγματικό αριθμός α, ισχύει α 0», άρνηση Ρ: v. Ρ: «υπάρχει πραγματικός αριθμός α, ώστε α = 0», άρνηση Ρ: 16