Θέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000

Transcript

1 Θέµατα Άλγεβρας Γεικής Παιδείας Β Λυκείου 000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.. Α.. Α.. Να γράψετε το τύο ου δίει το ιοστό όρο α µιας αριθµητικής ροόδου (α ) ου έχει ρώτο όρο α και διαφορά ω. (Μοάδες ) Να γράψετε τη σχέση µεταξύ τω ραγµατικώ αριθµώ α, β, γ, έτσι ώστε οι αριθµοί αυτοί, µε τη σειρά ου σας δίοται, α είαι διαδοχικοί όροι αριθµητικής ροόδου. (Μοάδες ) Να αοδείξετε ότι το άθροισµα S τω ρώτω όρω µιας γεωµετρικής ροόδου (α ), ου έχει ρώτο όρο α και λόγο λ, είαι: S α λ - λ - (Μοάδες 6,5) Β.. Στη στήλη Α δίεται ο ρώτος όρος α και η διαφορά ω τριώ αριθµητικώ ροόδω και στη στήλη Β ο ιοστός όρος α τεσσάρω αριθµητικώ ροόδω. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα της στήλης Α και δίλα σε κάθε γράµµα το αριθµό της στήλης Β ου ατιστοιχεί στο σωστό ιοστό όρο. Στήλη Α Στήλη Β α. α, ω -. α - β. α 0, ω. α - γ. α -, ω -. α -. α - (Μοάδες 6) Β.. Να χαρακτηρίσετε τις ροτάσεις ου ακολουθού γράφοτας στο τετράδιό σας τη έδειξη Σωστό ή Λάθος δίλα στο γράµµα ου ατιστοιχεί σε κάθε ρόταση. α. Οι αριθµοί 5, 5, 5, µε τη σειρά ου σας δίοται, είαι διαδοχικοί όροι αριθµητικής ροόδου. β. Ο εικοστός όρος της αριθµητικής ροόδου 0, 7, είαι ίσος µε 0. γ. Σε κάθε αριθµητική ρόοδο (α ) για τους όρους της α, α, α 6 ισχύει η σχέση α, α α 6.

2 (Μοάδες,5) Β.. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα ου ατιστοιχεί στη σωστή αάτηση. Α σε µια γεωµετρική ρόοδο ο ρώτος όρος είαι ίσος µε και ο λόγος ίσος µε, τότε το άθροισµα τω ρώτω όρω της είαι ίσο µε: - A.. Β.. Γ Ε. καέα αό τα ροηγούµεα. (Μοάδες ) Ζήτηµα ο ίεται το ολυώυµο: P(x) αx (β )x x β 6 Όου α, β ραγµατικοί αριθµοί. α) Α ο αριθµός είαι ρίζα του ολυωύµου P(x) και το υόλοιο της διαίρεσης του P(x) µε το x είαι ίσο µε, τότε α δείξετε ότι α και β. (Μοάδες 5) β) Για τις τιµές τω α και β του ερωτήµατος (α), α λύσετε τη εξίσωση P(x) 0 (Μοάδες 0) Ζήτηµα ο ίεται η συάρτηση: όου x ραγµατικός αριθµός. f(x) ηµxσυx ηµ x συ x α) Να µετατρέψετε τη συάρτηση f στη µορφή f(x) ρηµ(x φ) κ, όου ρ, φ, κ ραγµατικοί αριθµοί και ρ > 0. (Μοάδες 9) β) Να βρείτε για οιες τιµές του x η συάρτηση f αίρει τη µέγιστη τιµή και οια είαι αυτή. (Μοάδες 6) γ) Να λύσετε τη εξίσωση f(x) f x στο διάστηµα [0, ]. (Μοάδες 0)

3 Ζήτηµα ο Έας αριθµός βακτηριδίω τριλασιάζεται σε αριθµό κάθε µία ώρα. Α. Α αρχικά υάρχου 0 βακτηρίδια, α βρείτε το λήθος τω βακτηριδίω ύστερα αό 6 ώρες. (Μοάδες 9) Β. Στο τέλος της έκτης ώρας ο ληθυσµός τω βακτηριδίω ψεκάζεται µε µια ουσία η οοία σταµατά το ολλαλασιασµό τους και συγχρόως ροκαλεί τη καταστροφή 0 βακτηριδίω αά ώρα.. Να βρείτε το λήθος τω βακτηριδίω ου αοµέου 0 ώρες µετά το ψεκασµό. (Μοάδες ). Μετά αό όσες ώρες αό τη στιγµή του ψεκασµού θα καταστραφού όλα τα βακτηρίδια; (Μοάδες )

4 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.. Ο τύος ου δίει το ιοστό όρο µιας αριθµητικής ροόδου µε ρώτο όρο α και διαφορά ω είαι: α α ( )ω. Α.. Η σχέση ου συδέει τρεις διαδοχικούς όρους µιας αριθµητικής ροόδου είαι: β α γ β (αγ)/ Α.. Έστω α, α, α,, α οι ρώτοι διαδοχικοί όροι µιας γεωµετρικής ροόδου. Τότε το άθροισµα τους S θα είαι: S α α α α S α α λ α λ α λ - () Πολλαλασιάζουµε τα µέλη της () εί λ και έχουµε: λ S α λ α λ α λ () Αφαιρούµε αό τη σχέση () τη σχέση () και έχουµε: λs S α λ α (λ )S α (λ ) S α (λ )/(λ ), αφού λ. Β.. Ο ιοστός όρος µιας αριθµητικής ροόδου δίεται αό το τύο: α α ( )ω. Ατικαθιστούµε σ αυτό τις τιµές τω α και ω της στήλης Α και βρίσκουµε: α. Α α και ω - τότε: α ( ) (-) α -. β. Α α 0 και ω τότε: α 0 ( ) α -. γ. Α α - και ω - τότε: α - ( ) (-) α -.

5 Εοµέως: α, β, γ Β.. α. Έχουµε α -5, β 5, γ 5. Για α είαι οι αριθµοί α, β και γ διαδοχικοί όροι αριθµητικής ροόδου, ρέει: β γ α 5 5 (-5), ου ισχύει. Άρα η ρόταση είαι σωστή. β. Η αριθµητική ρόοδος έχει α 0, ω -, οότε: α 0 α (0 )ω 0 9 (-) α 0-7, άρα η ρόταση είαι λάθος. γ. Αφού έχουµε αριθµητική ρόοδο, θα ισχύει: α α ω, α α ω, α 6 α 5ω. Τότε: α α α 6 (α ω) α ω α 5ω, ου ισχύει, άρα η ρόταση είαι σωστή. Εοµέως: α Σ, β Λ, γ Σ Β.. Έχουµε γεωµετρική ρόοδο µε α και λ, οότε: S λ - α λ - - Άρα η σωστή αάτηση είαι η Β. Ζήτηµα ο α) Εειδή ο αριθµός x είαι ρίζα του ολυωύµου P(x) θα έχουµε Ρ() 0, κι αφού η διαίρεση του P(x) µε το x αφήει υόλοιο, έχουµε: Ρ(-). Οότε: P() 0 P(-) α (β -) - - β α (β -) - β 6 α - β - - α -β -6 α β

6 Για τις τιµές α και β το ολυώυµο P(x) γράφεται: P(x) x x x. β) P(x) 0 x x x 0 (x ) x(x ) 0 (x )(x x ) x(x ) 0 (x )(x x x) 0 (x )(x 5x ) 0 x - 0 ή x 5x 0 x x - ή ή x - Άρα: x ή x - ή x -(/). Ζήτηµα ο α) Γωρίζουµε ότι: ηµx ηµxσυx, - συx ηµ x,συ x συx οότε: f(x) ηµxσυx ηµ x συ x - συx f(x) ηµx συx f(x) ηµx συx - συx f(x) ηµx συx. Έστω g(x) ηµx συx, x R. Τότε: ρ α β ( ) () ηµφ β ρ - () α συφ ρ () Αό τις () και () ροκύτει ότι:

7 φ Εοµέως: x - ηµ g(x) και x - ηµ f(x) β) Η f αίρει τη µέγιστη τιµή ότα το x - ηµ γίεται µέγιστο, δηλαδή ότα το ηµίτοο είαι ίσο µε. Εοµέως ρέει: ηµ x - ηµ x - ηµ Ζ κ,µε - κ - x κ - x Ζ κ,µε κκ x Ζ κ,µε κ x Τότε η µέγιστη τιµή είαι: Ζ κ,µε κ f κ f γ) x - f f(x) x ηµ x - ηµ x ηµ x - ηµ

8 ηµ x - ηµ x ηµx συ ηµ συx - ηµx συ ηµ συx - ηµ συx - ηµ συx - συx συx συx συ x κ ±, όου κ Ζ x κ ±, όου κ Ζ Όµως, x [0, ] δηλαδή 0 x. Εοµέως: A x κ : 0 κ,µ ε κ Ζ - κ 5, µε κ Ζ 5 - κ,µε κ Ζ άρα κ 0 και x Α x κ : 0 κ,µε κ Ζ κ,µ ε κ Ζ κ, µε κ Ζ άρα κ και

9 5 x Ζήτηµα ο Α. Εειδή ο ληθυσµός τω βακτηριδίω τριλασιάζεται κάθε ώρα, σηµείει ότι αοτελεί γεωµετρική ρόοδο µε λόγο λ. Εειδή αρχικά έχουµε 0 βακτηρίδια, στο τέλος της ρώτης ώρας θα υάρχου 0 βακτηρίδια, άρα α 0. Εοµέως: α α λ - α 0 - και: α α βακτηρίδια. Β.. Εειδή µε το ψεκασµό καταστρέφοται 0 βακτηρίδια, σε 0 ώρες θα έχου καταστραφεί: βακτηρίδια. Άρα αοµέου: βακτηρίδια. Β.. Έστω ότι τα βακτηρίδια καταστρέφοται µετά αό t ώρες. Τότε θα ρέει: t t 7.90 t 7.90/70 t 7 ώρες Εοµέως όλα τα βακτηρίδια θα έχου καταστραφεί µετά αό 7 ώρες.