1η Νύχτα Σκέψεις Δραστηριότητες

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1η Νύχτα Σκέψεις Δραστηριότητες"

Transcript

1 Μέρος Ι: Μασκαράτα Προτείνεται η συµµετοχή των µαθητών να είναι βιωµατική στο µεγαλύτερο µέρος της ανάγνωσης του βιβλίου. στο συντονιστή αφήνεται να αποφασίσει το εάν και πόσο. Δηλαδή, πριν την ανάγνωση του εκάστοτε ονείρου, δύο παιδιά της ο µάδας θα αναλαµβάνουν να παίξουν το ρόλο του Πειραχτηριού και του Robert αντίστοιχα. Οι δύο µαθητές θα έχουν προετοιµαστεί για τις δραστηριότητες που προτείνονται σε κάθε όνειρο. Σκοπός είναι να προκαλέσουν στους συµµαθητές τους το ενδιαφέρον που φαίνεται να προκαλεί τ ο Πειραχτήρι των Αριθµών στον Robert. Μπαίνοντας στη διαδικασία να πείσουν τους συµµαθητές τους, αναζητούν, ψάχνουν για τις µαθηµατικές έννοιες που πρέπει να παρουσιάσουν και σκαρφίζονται τρόπους για να διατηρήσουν το ενδιαφέρον ζωντανό. Η επιλογή τους γίνεται από τους ίδιους τους µαθητές µετά από ψηφοφορία. Όλοι οι µαθητές θα ήταν καλό να συµµετέχουν σε αυτή τη διαδικασία µέχρι το τέλος του βιβλίου. Για ποιο λόγο; Η µορφή του βιβλίου όπως αναφέραµε, είναι διαλογική και ευνοεί ένα είδος δραµατοποίησης. Η σ υµµετοχή των µαθητών σε µια τέτοια διαδικασία, βοηθάει να εµπλακούν αλλά και να εµπλέξουν τους συµµαθητές τους σε ένα παιχνίδι ρόλων. «Η δραµατοποίηση είναι ένας παιδαγωγικός τρόπος που οδηγεί το παιδί να βιώσει και να µεταλλάξει σε εµπειρίες τις πληροφορίες-γνώσεις και τις συνειδητές και τις ασυνείδητες ποιότητες του εσωτερικού κόσµου, εκφράζοντας τις δυναµικά µέσα από το σώµα και το λόγο στον εξωτερικό κόσµο».[άλκηστις, Το βιβλίο της δραµατοποίησης, Αθήνα, 1989, Άλκηστις, σε. 42] Το βιβλίο του Hans Magnus Enzensberger έχει, όπως αναφέραµε, το εξής χαρακτηριστικό γνώρισµα: είναι γραµµένο σε διαλογική µορφή. Με τον τρόπο αυτό µας παρουσιάζει σε ένα µεγάλο µέρος του την εξέλιξη του αριθµού στην ιστορία των µαθηµατικών. Από την αρχή, µας εισάγει την έννοια τ ου «απείρου» και της «πυκνότητας» των πραγµατικών αριθµών. Χωρίς να αναφέρει ακριβή πρόσωπα και χρονικές περιόδους, δίνει τη χρήση του ρωµαϊκού τρόπου γραφής για να καταλήξει στη σηµασία της ύπαρξης του µηδενός. Περιγράφει µε συµβολικό τρόπο τους άρρητους αριθµούς, τους πρώτους, τους τρίγωνους, τους τετράγωνους και καταλήγει στους αριθµούς της ακολουθίας Fibonacci. Στην έβδοµη νύχτα, καταλήγει µε τη βοήθεια µικρών πλαστικών, χρωµατιστών κύβων να ολοκληρώσει το «παζλ» των αριθµών και να συνθέσει το τρίγωνο τ ου Pascal. Τότε ακριβώς, ξεκινάει ένας νέος κύκλος «µαγικών τρυκ» για τον µικρό Robert, µεταξύ των αριθµών που δοµούν το διάσηµο τρίγωνο. 1

2 1η Νύχτα Ο Robert όπως κάθε βράδυ αποκοιµήθηκε Ποιος θα ήταν ο αποψινός του εφιάλτης; Κάθε βράδυ βλέπει περιπετειώδη όνειρα, όπου πότε τον καταπίνει µια τεράστια φάλαινα, πότε κατεβαίνει µε ιλιγγιώδη ταχύτητα µια πανύψηλη τσουλήθρα και πότε βλέπει ένα πολυπόθητο ποδήλατο που ποτέ δεν καταλήγει στα χέρια του. Απόψε ό µως, κάνει τη θεαµατική του πρώτη εµφάνιση το Πειραχτήρι τον Αριθµών. Ένας διαβολάκος βουτηγµένος στους αριθµούς και έτοιµος να εκνευρίσει για τα καλά το κοιµισµένο αγόρι. «Ποιος είσαι;» είναι τα πρώτα λόγια του Robert και τότε αρχίζουν όλα. Τι θέλει να δείξει το Πειραχτήρι µε τους υπολογισµούς και ; Ποιους αριθµούς περιγράφει; Γιατί ο πολλαπλασιασµός x δεν ανταποκρίνεται στις προσδοκίες του Πειραχτηριού; Γιατί πιστεύετε ότι στη σελίδα 29, το Πειραχτήρι δείχνει τ όσο εκνευρισµένο; Σχολιάστε: «Στα µαθηµατικά δεν µαντεύουµε!» 2η Νύχτα Δεν είναι δυνατόν! Αυτό το παράξενο γέρικο ανθρωπάκι επισκέπτεται για δεύτερη φορά τον ήρωα µας. Και µάλιστα καθισµένος πάνω σε ένα µανιτάρι. Σήµερα θα µας ταξιδέψει στην Ινδία και το θεσιακό σύστηµα. Έχετε αλήθεια προσπαθήσει να γράψετε µε ρωµαϊκούς αριθµούς την ηµεροµηνία της γέννησης σας; Για προσπαθήστε. Ποια είναι η σηµασία του µηδενός; Ποια η ιστορία του µηδενός; Το αριθµητικό σύστηµα των Mayas είχε µηδέν! 2

3 Προτεινόµενη Βιβλιογραφία 1. Denis Guedj: Το Θεώρηµα του Παπαγάλου, Εκδόσεις Πόλις 2. Charles Seife: Zero-The Biography of a Dangerous Idea, Penguin Books, η Νύχτα Οι πρώτοι και καλύτεροι αριθµοί (prima donnas στα Αγγλικά και µάλλον πιο πετυχηµένο ως ονοµασία) θα απασχολήσουν κυρίως το 3 ο όνειρο του Robert, µε καθοδηγητή το Πειραχτήρι. Στα µαθηµατικά πρώτος αριθµός είναι ένας φυσικός αριθµός µεγαλύτερος της µονάδας µε την ιδιότητα οι µόνοι φυσικοί διαιρέτες του να είναι η µονάδα και ο εαυτός του. Η ακολουθία των πρώτων ξεκινάει παρακάτω: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, Η εύρεση των πρώτων αριθµών απασχόλησε από την αρχαιότητα τους µαθηµατικούς. Ένας από τους πιο απλούς αλλά και αργούς τρόπους για (µαζική) εύρεση πολλών πρώτων είναι το λεγόµενο Κόσκινο του Ερατοσθένη: Στο σύνολο των φυσικών αριθµών πρακτικά έως κάποιο µεγάλο αριθµό Ν αρχίζουµε και αποκλείουµε πρώτα τα πολλαπλάσια του 2, µετά τα πολλαπλάσια του επόµενου µη διαγραµµένου αριθµού κ.ο.κ. έως το Ν. Παρατηρούµε ότι όλο και λιγότερους αριθµούς θα βρίσκουµε προς διαγραφή. Οι αριθµοί που θα αποµείνουν είναι όλοι πρώτοι. Το Κόσκινο του Ερατοσθένη είναι ένας αργός αλγόριθµος για να διαπιστώσουµε εάν ένας συγκεκριµένος αριθµός Ν είναι πρώτος ή όχι. Στις 15 Δεκεµβρίου 2005 ανακαλύφθηκε ο µεγαλύτερος γνωστός αριθµός. Είναι ο και έχει ψηφία. Ένα από τα ανοιχτά ερωτήµατα της σύγχρονης θεωρίας αριθµών είναι το πρόβληµα της παραγοντοποίησης µεγάλων ακεραίων, δηλαδή της εύρεσης εκτελέσιµου αλγορίθµου παραγοντοποίησης. Για την επίλυση αυτού του προβλήµατος αναπτύχθηκε η κρυπτογραφία δηµόσιου κλειδιού και ειδικότερα του κρυπτοσυστήµατος RSA.[http://el.wikipedia.org]. 3

4 Βρείτε τους αριθµούς που δεν είναι πρώτοι και καλύτεροι. «Κόσκινο του Ερατοσθένη» «Διάλεξε όποιον ζυγό θέλεις. [ ] Μόνο να είναι µεγαλύτερος απ το δύο. Και θα σου δείξω ότι είναι το άθροισµα δύο πρώτων και καλύτερων αριθµών..κανείς δεν µπόρεσε να βρει µια απόδειξη ότι είναι πάντοτε έτσι.» Μήπως αναφέρεται ο Hans Magnus Enzensberger σε συγκεκριµένο πρόβληµα των µαθηµατικών; Για..ψάξτε! (Εικασία του Goldbach) Αναφορά στην εικασία του Riemann. «[ ] πάρε έναν αριθµό µεγαλύτερο από το ένα, [ ] και διπλασίασέ τον. [ ] Ανάµεσα σε αυτόν και τον διπλάσιό του υπάρχει πάντα [ ] τουλάχιστον ένας πρώτος και καλύτερος αριθµός.» Σε τι αναφέρεται το Πειραχτήρι; Υπάρχει απόδειξη; (Εικασία του Betrand) Πόσο σηµαντικοί είναι οι πρώτοι αριθµοί στην Κρυπτογραφία; Προτεινόµενη Βιβλιογραφία 1. Donald M. Davis:Η Φύση και η Δύναµη των µαθηµατικών, Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης 2.Απόστολος Δοξιάδης: Ο Θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντµπαχ, Εκδόσεις Καστανιώτης 3. Denis Guedj :Τα Αστέρια της Βερενίκης, Εκδόσεις Ψυχογιός 4. Simon Singh: Κώδικες και Μυστικά, Εκδόσεις Τραυλός 5. Simon Singh: Το Τελευταίο Θεώρηµα του Φερµά, Εκδόσεις Τραυλός 4

5 6. Marcus du Sautoy: Η Μουσική των Πρώτων Αριθµών (σ. 255, 264 για Εικασία Bertrand), Εκδόσεις Τραυλός 4η Νύχτα Στα χνάρια του Ίππασου κινείται αυτή τη φορά η δράση. Στην θάλασσα..γιατί άραγε επέλεξε ο Hans Magnus Enzensberger αυτό το σκηνικό; Ίσως για να µας µυήσει στην πρώτη µεγάλη επανάσταση στην ιστορία των µαθηµατικών, την αρρητότητα! Συζήτηση. Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Πως ανακαλύφθηκε το ; Ιστορία µε Ίππασο. κ.τ.λ. Προτεινόµενη Βιβλιογραφία 1. Donald M. Davis:Η Φύση και η Δύναµη των µαθηµατικών, Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης 2. Denis Guedj: Το Θεώρηµα του Παπαγάλου, Εκδόσεις Πόλις 3. B.L.Van der Waerden: Η Αφύπνιση της Επιστήµης: Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης. 5η Νύχτα Οι διακοπές στη θάλασσα συνεχίζονται και σε αυτό το όνειρο. Ποιος θα το περίµενε ότι ο Robert θα µάθαινε για τους τρίγωνους αριθµούς από τις καρύδες; Μάλιστα, τις καρύδες! Οι τρίγωνοι και οι τετράγωνοι αριθµοί ανήκουν στην κατηγοριοποίηση των αριθµών από τους Πυθαγορείους. Δραστηριότητα στην σελίδα 107. Μπορείτε να περιγράψετε την ιστορία του από τους Βαβυλώνιους έως σήµερα; Προτεινόµενη Βιβλιογραφία 1. Denis Guedj: Το Θεώρηµα του Παπαγάλου, Εκδόσεις Πόλις 5

6 2. B.L.Van der Waerden: Η Αφύπνιση της Ε πιστήµης: Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης. 6η Νύχτα Στην έκτη νύχτα έχει ολοκληρωθεί η γνωριµία του Robert µε τους αριθµούς και ελπίζουµε και η δική σας. Αρχίζουν οι παράξενες συµπτώσεις που κάνουν τα µαθηµατικά τόσο µυστήρια, όσο και διασκεδαστικά. Οι αριθµοί Fibonacci κλέβουν την παράσταση. «Εάν είχατε ένα ζευγάρι λαγών και γεννούσαν ένα λαγουδάκι και» καταλήγουµε στην ακολουθία των αριθµών Fibonacci, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, Τους αριθµούς αυτούς θα τους συνδέσουµε στη συνέχεια και µε τον µαγικό αριθµό φ. Που συναντάµε τους αριθµούς της ακολουθία Fibonacci στη φύση; Θεωρούµε ότι έχουµε µια σειρά από 7 καρέκλες. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους µπορούν να καθίσουνε σ αυτές άνδρες και γυναίκες, έτσι ώστε να µην είναι δυνατόν να µην κάθονται δίπλα- δίπλα δύο γυναίκες; [Martin Gardner: Το Πανηγύρι των Μαθηµατικών, Μετάφραση: Θ. Παπαδόπουλος, Εκδόσεις Τροχαλία, Αθήνα 1986, σ.. 177]. (Ανάγωγη του προβλήµατος σε πιο απλό. Διαδικασία Λύσης Προβλήµατος. Ο καθηγητής παίζει το ρόλο του διαπραγµατευτή) 7η Νύχτα Σκέψεις - Δραστηριότητες Στην έβδοµη νύχτα, ο Robert δείχνει να έχει συνηθίσει και µάλλον να απολαµβάνει τη παρουσία του άλλοτε ενοχλητικού διαβολάκου. Το πρόγραµµα περιλαµβάνει σήµερα το τρίγωνο του Pascal. O Blaise Pascal ήταν γάλλος µαθηµατικός, φυσικός, φιλόσοφος και συγγραφέας. Σε ηλικία 12 ετών διατύπωσε τα πρώτα του θεωρήµατα στη γεωµετρία και στα δεκαέξι του χρόνια έγραψε το σύγγραµµα «Περί των κωνικών τοµών», ενώ την ίδια εποχή ανακάλυψε τη πρώτη αριθµοµηχανή. Μεταξύ του 1646 και 1649 ασχολείται µε πειράµατα Φυσικής και εκδίδει το «Περί κενού σύγγραµµα». Θεµελίωσε επίσης, τη θεωρία πιθανοτήτων και τον απειροστικό λογισµό. Πέθανε σε ηλικία 39 ετών. Το τρίγωνο της παρακάτω εικόνας, ονοµάστηκε τρίγωνο Pascal γιατί ήταν ο πρώτος που έγραψε σχετικά µε αυτό στην «Πραγµατεία πάνω στο Αριθµητικό Τρίγωνο», το Το τρίγωνο αυτό ήταν από πριν γνωστό. Είχε εµφανιστεί στη σελίδα τίτλων ενός 6

7 βιβλίου αριθµητικής των αρχών του 16 ου αιώνα του αστρονόµου Petrus Apianus. Επίσης, µια εικόνα σ ένα βιβλίο του 1303 ενός Κινέζου µαθηµατικού περιγράφει το τριγωνικό σχέδιο. Κάποιες πρόσφατες έρευνες τοποθετούν τη καταγωγή του ακόµα πιο πίσω. Ο Omar Khayyám, µαθηµατικός και φιλόσοφος, γνώριζε το τρίγωνο γύρω στα 1110, ίσως µάλιστα να το είχε γνωρίσει και αυτός από Κινεζικές ή Ινδικές αρχές. [Martin Gardner: Το Πανηγύρι των Μαθηµατικών, Μετάφραση: Θ. Παπαδόπουλος, Εκδόσεις Τροχαλία, Αθήνα 1986, σ ]. Σχολιάστε τη φράση: «Τα µαθηµατικά είναι µια ιστορία χωρίς τέλος». Που συναντάµε τον Pascal στη Φυσική (θέµατα πίεσης); (Μοιράζεται σε όλους τους µαθητές το τρίγωνο του Pascal της εικόνας στη σ. 150) Βρείτε τους πρωταγωνιστές αριθµούς που έχουµε συναντήσει ως τώρα στο βιβλίο. Που κρύβονται οι αριθµοί της ακολουθίας Fibonacci; Στη σελίδα 148, διαβάζουµε: «Το τρίγωνο µας όµως είναι τουλάχιστον δύο χιλιάδων χρόνων. Νοµίζω ότι κάποιος Κινέζος κατέβασε την ιδέα». Ποια είναι η ιστορία του τριγώνου; 7

8 Μαγικό τρυκ µε τράπουλα Ένας µαθητής το παρουσιάζει στους συµµαθητές του. Χρειάζεται µία τράπουλα από την οποία αφαιρούµε τα δεκάρια και τις φιγούρες. Ο ταχυδαχτυλουργός µαθητής ζητάει από έναν εθελοντή συµµαθητή του να ανοίξει πέντε χαρτιά τυχαία στη σειρά. Αυτός παίρνει αµέσως ένα χαρτί και το τοποθετεί κλειστό κάπου ψηλότερα από την προηγούµενη σειρά. (Βλ.εικόνα) Ο εθελοντής στη συνέχεια κατασκευάζει µια πυραµίδα από χαρτιά µε τον ακόλουθο τρόπο: προσθέτει δυο δυο τα ανοιχτά φύλλα της σειράς. Αν το άθροισµα είναι διψήφιο αφαιρεί από αυτόν τον αριθµό 9 ή προσθέτει τα δύο ψηφία του. Ένα καινούργιο φύλλο που αντιστοιχεί στον αριθµό που προκύπτει τοποθετείται στη συνέχεια πάνω και ανάµεσα από αυτά που άθροισε λίγο νωρίτερα. Για παράδειγµα, εάν προσθέσουµε τα δύο πρώτα χαρτιά της εικόνας δίπλα θα πάρουµε = 16, = 7. Η διαδικασία αυτή συνεχίζεται µέχρι να φτάσει η εξέλιξη της πυραµίδας στο κλειστό χαρτί, το οποίο βρίσκεται στην κορυφή. Όταν αυτό αναποδογυριστεί, αποδεικνύεται ότι είναι το σωστό χαρτί για το τελευταίο άθροισµα. [Martin Gardner: Το Πανηγύρι των Μαθηµατικών, Μετάφραση: Θ. Παπαδόπουλος, Εκδόσεις Τροχαλία, Αθήνα 1986, σ ]. Κινεζικό Τρίγωνο του Pascal από τον Καθρέπτη από Νεφρίτη των Αγνώστων (1303). [Une histoire des mathématiques chinoises, Kiyosi Yabuuti] 8

9 8η Νύχτα Όγδοη νύχτα. Ο κύριος Enzensberger επιλέγει σαν σκηνικό τη σχολική τάξη και ηθοποιούς τους συµµαθητές του Robert. Το ρόλο του «κονφερασιέ» παίζει µα και βέβαια αυτός που όλοι φαντάζεστε! Θέµα της αποψινής βραδιάς είναι η Συνδυαστική, Μεταθέσεις και Συνδυασµοί των ν ανά κ. Βιωµατική δραστηριότητα: Οι µαθητές παίρνουν αντίστοιχα το ρόλο της Βίλι, του Άλµπερτ, του Γουόλτ, κ.τ.λ.. Η ανάγνωση του κειµένου γίνεται ταυτόχρονα µε τη δράση των µαθητών. Συντονιστής είναι ο καθηγητής του προγράµµατος, που έχει το ρόλο του διαπραγµατευτή. Σκοπός, να καταλήξουν οι µαθητές να εµπλακούν όσο το δυνατό περισσότερο και να φτάσουν από µόνοι τους στο συµπέρασµα. Βιωµατική δραστηριότητα: Το πρόβληµα µε τις χειραψίες ή παραλλαγή αυτού µε σηµεία και ευθείες. Δηλαδή, πόσες ευθείες διέρχονται από ν σηµεία. Ανάγωγη του προβλήµατος σε πιο απλό. Διαδικασία Λύσης Προβλήµατος. Ο καθηγητής παίζει το ρόλο του διαπραγµατευτή. Σύνδεση µε το τρίγωνο του Pascal. 9η Νύχτα Σκέψεις - Δραστηριότητες Στην ένατη νύχτα το Πειραχτήρι των Αριθµών εισβάλλει για ακόµα µια φορά στον ονειρικό κόσµο του µικρού, αλλά τολµηρού Robert. Αυτή τη φορά την τιµητική του έχει το Άπειρο. Μέσα από µια απλουστευµένη µορφή του Παράδοξου του Ζήνωνα, το Πειραχτήρι προσπαθεί να µυήσει τον µικρό µαθητή του στο ταξίδι προς το άπιαστο Ένα. Την έννοια του Απείρου τη συναντάµε για πρώτη φορά στην Αρχαία Ελλάδα το 450 π.χ., στην Ελεατική Σχολή. Ο Ζήνων ο Ελεάτης παρήγαγε τέσσερα παράδοξα, όπως µας αναφέρει ο Αριστοτέλης στα Φυσικά [Φυσική Ακρόασις VI, 239b-240b], στα οποία µας παρουσιάζει µέσω ενός µοντέλου Δροµέα - Αγώνα τη φύση της Συνέχειας και του Απείρου. Σχολιάστε το διάλογο: 9

10 «-Μπορώ να τραβήξω κάνοντας αυτή τη δουλειά ώσπου να πέσω κάτω αναίσθητος. Στους αιώνες των αιώνων. Θα κοντεύω να φτάσω στο Ένα. Αλλά ποτέ δε θα φτάσω ακριβώς πάνω του. -Και όµως δεν έχεις παρά να συνεχίσεις επ άπειρον.» Ποιο ήταν το πρώτο «Πειραχτήρι» των µαθηµατικών που µέσω της διαδικασίας που περιγράφεται στη σελίδα 187, µας παρουσίασε το Άπειρο; Πόσο σηµαντική είναι η έννοια του Απείρου στα µαθηµατικά; Τι σχέση έχουν οι δύο εικόνες µε τα προηγούµενα; «Αέναος Κίνηση», 1961 «Ανεβαίνοντας και Κατεβαίνοντας», Λιθογραφία 1960 M.C.Escher Ποια καλλιτεχνικά ρεύµατα επηρεάστηκαν από τα µαθηµατικά; Στη Φύση, τι ισχύει; Υπάρχει το αντίστοιχο φαινόµενο της Μοιρασιάς της Τσίχλας; ( Ατοµική Θεωρία της Ύλης-Ατοµική Θεωρία του Ηλεκτρισµού) 10η Νύχτα 10

11 Αν µπορούσαµε να δούµε µια νιφάδα χιονιού στο µικροσκόπιο, τι σχήµα θα είχε; Για τον Robert είναι εξάγωνα µέσα σε εξάγωνα, µέσα σε άλλα εξάγωνα Ας µην βιαζόµαστε όµως: το Πειραχτήρι έχει ετοιµάσει για το µαθητή του τον αριθµό φ και τα πλατωνικά στερεά. Αν πάµε στην Αρχαία Ελλάδα, στα µαθηµατικά των Πυθαγορείων θα συναντήσουµε τη χρυσή τοµή, η οποία εάν έχουµε δύο µήκη α, x: Α x α Γ Β Τότε x 2 = α (α-x) και. Ο αριθµός φ θα λέγαµε ότι είναι ένας µαγικός αριθµός που συναντάται στη φύση, στην αρχιτεκτονική, στη ζωγραφική ακόµα και στο ανθρώπινο σώµα Τι κοινό έχουν ένα κανονικό πεντάγωνο, ο Παρθενώνας, ένα σχέδιο του Leonardo da Vinci, ο πίνακας The Sacrament of the Last Supper του Salvador Dali ( ), ένα κοχύλι, µια πεταλούδα, το ανθρώπινο σώµα [http://www.goldenmuseum.com/index_engl.html] Θυµηθείτε τους αριθµούς Fibonacci. Π ως συνδέονται µε τον µαγικό αριθµό φ; Ο «αναθεµατισµένος, παλαβιάρης» αριθµός φ είναι ένας αριθµός µε πολύ ισχυρή προσωπικότητα, όπως θα είδατε. Υπάρχουν άλλοι τέτοιοι αριθµοί; Πώς και γιατί δηµιουργήθηκαν; (π, e,i) Στη σελίδα 212, η δραστηριότητα που 11

12 προτείνει ο συγγραφέας. Ποια είναι η σηµασία των κανονικών στερεών στην Ακαδηµία του Πλάτωνα; Προτεινόµενη Βιβλιογραφία 1. Denis Guedj: Το Θεώρηµα του Παπαγάλου, Μετάφραση: Τεύκρος Μηχαηλίδης, Εκδόσεις Πόλις, Αθήνα B.L.Van der Waerden: Η Αφύπνιση της Επιστήµης: Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης. 3. P.J. Davis- R.Hersh: Η Μαθηµατική Εµπειρία, Εκδόσεις Τροχαλία 4. Donald M. Davis:Η Φύση και η Δύναµη των µαθηµατικών, Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης 11η Νύχτα Στην προτελευταία νύχτα, ο Robert δείχνει πιο ώριµος. Το Πειραχτήρι όλες αυτές τις βραδιές προσπαθεί να εντυπωσιάσει τον µικρό, αποκαλύπτοντας κόλπα και ιστορίες φηµισµένες στα µαθηµατικά. Αλλά ο Robert διερωτάται το «Γιατί;», γιατί συµβαίνουν όλα αυτά; [ ] «εγώ ένα έχω να πω: µου έδειξες ένα σωρό πράγµατα αλλά δε µου απέδειξες τίποτα». Πράγµατι, η ύπαρξη της απόδειξης είναι αυτή που δοµεί όλο το µαθηµατικό στερέωµα. Για την απόδειξη και τη σηµασία της προτείνονται οι δραστηριότητες στο 2 ο µέρος της παρουσίασης µας. 12

13 12η Νύχτα Όπως σε κάθε ιστορία µυστήριου υπάρχει ένα αποκαλυπτικό τέλος, έτσι το µάλλον σουρεαλιστικό τέλος της Οδύσσειας του Robert τελειώνει µε ένα έξω-γαλαξιακό ταξίδι στη χώρα όπου βασιλεύουν οι αστέρες των µαθηµατικών. Αιγύπτιοι, Έλληνες, Άραβες, Εγγλέζοι, Τούρκοι, Κινέζοι, Ινδοί, Αµερικάνοι και κάθε λογής εθνικοτήτων µαθηµατικοί από όλο τον κόσµο που ανακάλυψαν µαθηµατικές έννοιες για όλο τον κόσµο. Ο Robert, µυηµένος πλέον στο χώρο των µαθηµατικών, έχει τη τύχη να τους βλέπει από κοντά και να αφουγκράζεται την µαθηµατική τους διάνοια. Συναντάµε το φανταστικό αριθµό i στη Φυσική; [Παρά το παραπλανητικό τους όνοµα, οι φανταστικοί αριθµοί είναι όχι µόνο υπαρκτοί αλλά και πολύ χρήσιµοι, µε εφαρµογή στον ηλεκτρισµό, στην επεξεργασία σηµάτων και σε πολλές άλλες εφαρµογές. Η πολική µορφή των µιγαδικών αριθµών τους καθιστά ιδανικούς για την αναπαράσταση περιστρεφόµενων διανυσµάτων και φάσεων και συνεπώς χρησιµοποιούνται ευρύτατα στην ηλεκτρονική (για την αναπαράσταση εναλλασσόµενων ρευµάτων), στην κυµατική και γενικά στη µελέτη των περιοδικών φαινοµένων] [http://el.wikipedia.org]. Ποια Πειραχτήρια συναντάει στο Παράδεισο των Αριθµών; Ποιες είναι αυτές οι έξι-εφτά γυναίκες Πειραχτήρια που συνάντησε ο Robert και για ποιο λόγο είναι γνωστές; «Τα Μαθηµατικά, ήταν αντρική υπόθεση». Συµφωνείτε ή διαφωνείτε; Γράψτε το δικό σας τέλος για το βιβλίο. 13

Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας. Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο

Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας. Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο Πρώτη νύχτα Μονάδα Όνειρα ( εργασία ) Η έννοια του απείρου Φρόυντ Κλάσματα Αριθμητικό σύστημα ( εργασία

Διαβάστε περισσότερα

2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης. Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007

2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης. Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007 2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007 Περίληψη Η Αλίκη µισεί τα µαθηµατικά και θεωρεί πως δε χρησιµεύουν σε τίποτα. Μια µέρα που κάθεται και διαβάζει στο πάρκο, ένα παράξενο άτοµο την προσκαλεί

Διαβάστε περισσότερα

Mathematics and its Applications, 5th

Mathematics and its Applications, 5th Μαθηµατικα για Πληροφορικη Εφαρµογες και τεχνικες Ηλιας Κουτσουπιάς Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Σχετικα µε το µαθηµα Σχετικα µε το µαθηµα Το µαθηµα πραγµατευεται καποια ϑεµατα

Διαβάστε περισσότερα

Κύκλος Ερευνητικής Εργασίας: «Μαθηµατικά, Φυσικές Επιστήµες και Τεχνολογία»

Κύκλος Ερευνητικής Εργασίας: «Μαθηµατικά, Φυσικές Επιστήµες και Τεχνολογία» 3ο Γενικό Λύκειο Λάρισας Κύκλος Ερευνητικής Εργασίας: «Μαθηµατικά, Φυσικές Επιστήµες και Τεχνολογία» Θέµα Ερευνητικής Εργασίας: ιερεύνηση των εξισώσεων και ανισώσεων µέσα από την επίλυση καθηµερινών προβληµάτων.

Διαβάστε περισσότερα

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του 1. Υπάρχει αριθµός τέτοιος ώστε εάν τον υψώσεις στο τετράγωνο να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους

Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Περιεχόμενα ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 15 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Οι φυσικοί αριθμοί Η σχέση της ισότητας και της ανισότητας των φυσικών αριθμών Η αναπαράσταση των

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Πρώτοι αριθμοί και κρυπτογραφικός αλγόριθμος RSA. Άριστος Χαραλάμπους, Δημήτρης Χαραλάμπους, Νικόλας Παρασκευάς

Πρώτοι αριθμοί και κρυπτογραφικός αλγόριθμος RSA. Άριστος Χαραλάμπους, Δημήτρης Χαραλάμπους, Νικόλας Παρασκευάς Πρώτοι αριθμοί και κρυπτογραφικός αλγόριθμος RSA Άριστος Χαραλάμπους, Δημήτρης Χαραλάμπους, Νικόλας Παρασκευάς Πρώτοι Αριθμοί Πρώτος αριθμός ονομάζεται ένας φυσικός αριθμός (δηλ. θετικός ακέραιος) μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ. Απόστολος Δοξιάδης

Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ. Απόστολος Δοξιάδης Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ Απόστολος Δοξιάδης Περίληψη του βιβλίου Τι είναι τα Μαθηματικά; Ποια είναι η σχέση της «εικασίας» και του «θεωρήματος»; Ποιοι είναι οι πρώτοι αριθμοί; Christian

Διαβάστε περισσότερα

Ο χρυσός αριθμός φ. Η συνάντηση της αισθητικής τελειότητας και των μαθηματικών

Ο χρυσός αριθμός φ. Η συνάντηση της αισθητικής τελειότητας και των μαθηματικών Ο χρυσός αριθμός φ Η συνάντηση της αισθητικής τελειότητας και των μαθηματικών ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Το πρόβλημα της χρυσής τομής, σε απλή διατύπωση είναι το εξής: Να χωριστεί ένα τμήμα ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγο δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΤΟΡΙΕΣ ΑΓΝΩΣΤΩΝ - ΣΚΙΑΘΟΣ, 7-11 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης Μαθηµατικής Λογοτεχνίας

ΙΣΤΟΡΙΕΣ ΑΓΝΩΣΤΩΝ - ΣΚΙΑΘΟΣ, 7-11 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης Μαθηµατικής Λογοτεχνίας ΥΠΟΘΕΣΗ ΡΙΜΑΝ (Η ΕΜΜΟΝΗ ΜΕ ΤΟΥΣ ΠΡΩΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ) του John Derbyshire (Εκδόσεις Τραυλός) Η ΜΟΥΣΙΚΗ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ του Marcus du Sautoy (Εκδόσεις Τραυλός) Γενικά Υπόθεση Ρίµαν Όλες οι µη τετριµµένες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά για Πληροφορική

Μαθηµατικά για Πληροφορική Μαθηµατικά για Πληροφορική 1ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 2/10/08 2/10/08 1 / 1 Γενικό πλάνο 1 Σχετικά µε το µάθηµα 2 Υποθεσεις -

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Ποιος είναι ο 66ος όρος στην ακολουθία γραμμάτων ΑΒΒΓΓΓΔΔΔΔΕΕΕΕΕ, όπου Α, Β, Γ, Δ, Ε είναι γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου;

Ποιος είναι ο 66ος όρος στην ακολουθία γραμμάτων ΑΒΒΓΓΓΔΔΔΔΕΕΕΕΕ, όπου Α, Β, Γ, Δ, Ε είναι γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου; Πρόβλημα 214 Τα θρανία στην τάξη του Γιάννη είναι τοποθετημένα σε γραμμές και στήλες. Το θρανίο του Γιάννη είναι στην τρίτη γραμμή από την αρχή και στην τέταρτη από το τέλος. Είναι επίσης στην τρίτη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα

Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα Ασκήσεις της Ενότητας 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- α. Η χρήση της πένας Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα Υπάρχουν εντολές που μας επιτρέπουν να επιλέξουμε το χρώμα της πένας, καθώς και το

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΦΑΙΔΡΑ ΚΟΥΡΒΙΣΙΑΝΟΥ ΒΑΣΙΛΗΣ ΚΑΤΣΑΝΤΩΝΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΚΑΣΙΜΑΤΗΣ Ερευνητικά Ερωτήματα Ποιοι είναι ΟΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑ ΔΙΚΗ ΜΑΣ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ + ΠΡΟΣΘΕΤΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ. - http://pratt.edu/~arch543p/readings/mathematics_and_philosophy.html

ΓΙΑ ΔΙΚΗ ΜΑΣ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ + ΠΡΟΣΘΕΤΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ. - http://pratt.edu/~arch543p/readings/mathematics_and_philosophy.html ΓΙΑ ΔΙΚΗ ΜΑΣ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ + ΠΡΟΣΘΕΤΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ Α. ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Για Θαλή: - http://pratt.edu/~arch543p/readings/mathematics_and_philosophy.html - http://www.anselm.edu/homepage/dbanach/thales.htm -http://www-groups.dcs.stand.ac.uk/~history/birthplacemaps/places/miletus.html

Διαβάστε περισσότερα

Για να βρούµε τον αριθµό ίσως χρειαζόµαστε έναν πολύ δυνατό υπολογιστή και αν θελήσουµε να τον γράψουµε σίγουρα πολλά χιλιόµετρα χαρ

Για να βρούµε τον αριθµό ίσως χρειαζόµαστε έναν πολύ δυνατό υπολογιστή και αν θελήσουµε να τον γράψουµε σίγουρα πολλά χιλιόµετρα χαρ 376 625 Για να βρούµε τον αριθµό 376 + 625 ίσως χρειαζόµαστε έναν πολύ δυνατό υπολογιστή και αν θελήσουµε να τον γράψουµε σίγουρα πολλά χιλιόµετρα χαρτιού. Όµως τουλάχιστον τα τρία τελευταία ψηφία του

Διαβάστε περισσότερα

Η παιδαγωγική διάσταση των πολλών τρόπων επίλυσης ενός προβλήµατος ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Μία χαρακτηριστική ιδιότητα των Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΙΕΣ. Α ομάδα. Αφού επιλέξεις τρία από τα παραπάνω αποσπάσματα που σε άγγιξαν περισσότερο, να καταγράψεις τις δικές σου σκέψεις.

ΕΡΓΑΣΙΕΣ. Α ομάδα. Αφού επιλέξεις τρία από τα παραπάνω αποσπάσματα που σε άγγιξαν περισσότερο, να καταγράψεις τις δικές σου σκέψεις. Α ομάδα ΕΡΓΑΣΙΕΣ 1. Η συγγραφέας του βιβλίου μοιράζεται μαζί μας πτυχές της ζωής κάποιων παιδιών, άλλοτε ευχάριστες και άλλοτε δυσάρεστες. α) Ποια πιστεύεις ότι είναι τα μηνύματα που θέλει να περάσει μέσα

Διαβάστε περισσότερα

Ο Σέρλοκ Χόλμς, η εις άτοπο απαγωγή και οι απαρχές του internet.

Ο Σέρλοκ Χόλμς, η εις άτοπο απαγωγή και οι απαρχές του internet. Λέσχη Ανάγνωσης Γενικού Λυκείου Σαντορίνης Σχολικό έτος 2011-2012 Ο Σέρλοκ Χόλμς, η εις άτοπο απαγωγή και οι απαρχές του internet. Γιάννης Παπόγλου Το σμαραγδένιο στέμμα Σύµφωνα µε ένα παλιό µου ρητό,

Διαβάστε περισσότερα

V (F ) = {(u 1, u 2, u 3 ) P 2 K F (u 1, u 2, u 3 ) = 0}

V (F ) = {(u 1, u 2, u 3 ) P 2 K F (u 1, u 2, u 3 ) = 0} 1 Θεώρημα BEZOU T Ο δακτύλιος K[x 1,..., x n ] είναι περιοχή μονοσήμαντης ανάλυσης. Άρα κάθε πολυώνυμο f K[x 1,..., x n ] (που δεν είναι σταθερά, δηλαδή f / K) αναλύεται σε γινόμενο αναγώγων πολυωνύμων,

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος ΙΙ: Συνειρµοί. Η Έννοια και Αξία της Απόδειξης

Μέρος ΙΙ: Συνειρµοί. Η Έννοια και Αξία της Απόδειξης Μέρος ΙΙ: Συνειρµοί Οι προτάσεις που ακολουθούν έχουν σαν στόχο να δώσουν στους µαθητές το έναυσµα να αναζητήσουν τα µαθηµατικά έξω από τα σχολικά τους βιβλία, σε θέµατα που από τη µία φαντάζουν (και ενδεχοµένως

Διαβάστε περισσότερα

Ν!=1*2*3* *(N-1) * N => N! = (Ν-1)! * N έτσι 55! = 54! * 55

Ν!=1*2*3* *(N-1) * N => N! = (Ν-1)! * N έτσι 55! = 54! * 55 ΑΝΑ ΡΟΜΗ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μια µέθοδος είναι αναδροµική όταν καλεί τον εαυτό της και έχει µια συνθήκη τερµατισµού π.χ. το παραγοντικό ενός αριθµού Ν, µπορεί να καλεί το παραγοντικό του αριθµού Ν-1 το παραγοντικό

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Σχέδιο Μαθήματος - "Ευθεία Απόδειξη"

Σχέδιο Μαθήματος - Ευθεία Απόδειξη Σχέδιο Μαθήματος - "Ευθεία Απόδειξη" ΤΑΞΗ: Α Λυκείου Μάθημα: Άλγεβρα Τίτλος Ενότητας: Μέθοδοι Απόδειξης - Ευθεία απόδειξη Ώρες Διδασκαλίας: 1. Σκοποί Να κατανοήσουν οι μαθητές την διαδικασία της ευθείας

Διαβάστε περισσότερα

Βοηθήστε τη ΕΗ. Ένα µικρό νησί απέχει 4 χιλιόµετρα από την ακτή και πρόκειται να συνδεθεί µε τον υποσταθµό της ΕΗ που βλέπετε στην παρακάτω εικόνα.

Βοηθήστε τη ΕΗ. Ένα µικρό νησί απέχει 4 χιλιόµετρα από την ακτή και πρόκειται να συνδεθεί µε τον υποσταθµό της ΕΗ που βλέπετε στην παρακάτω εικόνα. Γιώργος Μαντζώλας ΠΕ03 Βοηθήστε τη ΕΗ Η προβληµατική της Εκπαιδευτικής ραστηριότητας Η επίλυση προβλήµατος δεν είναι η άµεση απόκριση σε ένα ερέθισµα, αλλά ένας πολύπλοκος µηχανισµός στον οποίο εµπλέκονται

Διαβάστε περισσότερα

1 / 15 «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο για τους µαθητές της 3 ης Γυµνασίου. Μάρτιος 2007

1 / 15 «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο για τους µαθητές της 3 ης Γυµνασίου. Μάρτιος 2007 1 / 15 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Έρευνα υποστηριζόµενη από τη Γενική ιεύθυνση Εκπαίδευσης και Πολιτισµού της Ε.Ε., στο πλαίσιο του προγράµµατος Σωκράτης «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Θέμα: «Ακολουθία Fibonacci»

Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Θέμα: «Ακολουθία Fibonacci» Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Θέμα: «Ακολουθία Fibonacci» Μάθημα: Άλγεβρα Υπεύθυνος καθηγητής: κ. Σκοτίδας Τάξη: Β Λυκείου Τμήμα Β2 Ονοματεπώνυμο: Λαμπρινή Μαρίνα Λάππα Σχολικό έτος: 2010 2011 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) Ποιο πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

Ποιος νοµίζετε ότι θα είναι ο αριθµός των διαγωνίων ενός πολυγώνου µε ν πλευρές; Να αποδειχθεί η σχέση που συµπεράνατε µε µαθηµατική επαγωγή.

Ποιος νοµίζετε ότι θα είναι ο αριθµός των διαγωνίων ενός πολυγώνου µε ν πλευρές; Να αποδειχθεί η σχέση που συµπεράνατε µε µαθηµατική επαγωγή. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Παρατηρούµε ότι: 1 11 ( + = 1 ) 1+ = ( + 1) 1 3 33 ( + + + = 1 ) Ποιο νοµίζετε ότι θα είναι το άθροισµα 1 + + 3 +... + ν; Αποδείξτε την ισότητα που συµπεράνατε µε επαγωγή.. * Μετράµε

Διαβάστε περισσότερα

Το Πειραχτήρι των Αριθµών. (Hans Magnus Enzensberger)

Το Πειραχτήρι των Αριθµών. (Hans Magnus Enzensberger) Το Πειραχτήρι των Αριθµών (Hans Magnus Enzensberger) Μιχαηλίδης Ανδρέας Λέρη Βαρβάρα Ιούλιος 2006 1 Ένα πειραχτήρι σκέτο Δαιµόνιο! Είναι εκπληκτικό να αναλογιστεί κανείς, πώς ένα πλάσµα συνήθως συνδεόµενο

Διαβάστε περισσότερα

Η Ισμήνη Μπάρακλη, απαντά στο «κουτσομπολιό» της αυλής!!!

Η Ισμήνη Μπάρακλη, απαντά στο «κουτσομπολιό» της αυλής!!! Παρασκευή, 10 Ιουνίου 2016 Η Ισμήνη Μπάρακλη, απαντά στο «κουτσομπολιό» της αυλής!!! «Ώρες να χα να σ ακούω», ήταν μια αυθόρμητη πρόταση που... έφυγε από το στόμα μου, αναγκάζοντας την Ισμήνη να χαμογελάσει

Διαβάστε περισσότερα

Από όλα τα παραμύθια που μου έλεγε ο πατέρας μου τα βράδια πριν κοιμηθώ, ένα μου άρεσε πιο πολύ. Ο Σεβάχ ο θαλασσινός. Επτά ταξίδια είχε κάνει ο

Από όλα τα παραμύθια που μου έλεγε ο πατέρας μου τα βράδια πριν κοιμηθώ, ένα μου άρεσε πιο πολύ. Ο Σεβάχ ο θαλασσινός. Επτά ταξίδια είχε κάνει ο 4 Από όλα τα παραμύθια που μου έλεγε ο πατέρας μου τα βράδια πριν κοιμηθώ, ένα μου άρεσε πιο πολύ. Ο Σεβάχ ο θαλασσινός. Επτά ταξίδια είχε κάνει ο Σεβάχ. Για να δει τον κόσμο και να ζήσει περιπέτειες.

Διαβάστε περισσότερα

Μεγάλο βραβείο, μεγάλοι μπελάδες. Μάνος Κοντολέων. Εικονογράφηση: Τέτη Σώλου

Μεγάλο βραβείο, μεγάλοι μπελάδες. Μάνος Κοντολέων. Εικονογράφηση: Τέτη Σώλου Συλλογή Περιστέρια 148 Εικονογράφηση εξωφύλλου: Εύη Τσακνιά 1. Το σωστό γράψιμο Έχεις προσέξει πως κάποια βιβλία παρακαλούμε να μην τελειώσουν ποτέ κι άλλα, πάλι, από την πρώτη κιόλας σελίδα τα βαριόμαστε;

Διαβάστε περισσότερα

Το 10ο πρόβλημα του Hilbert I

Το 10ο πρόβλημα του Hilbert I Το 10ο πρόβλημα του Hilbert I Το 1900 στο Παρίσι, ο David Hilbert έκανε μια ομιλία για τα 23 πιο σπουδαία μαθηματικά προβλήματα που κληρονομούσε ο 20ος αιώνας από τον 19ο. Το 10ο ήταν: Απόφανση περί επιλυσιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ Αναστασία Πέτρου Κωνσταντίνος Χρήστου Β 3 ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ Ο Πυθαγόρας ο Σάμιος, υπήρξε σημαντικός Έλληνας φιλόσοφος, μαθηματικός, γεω μέτρης και θεωρητικός της μουσικής. Είναι ο κατεξοχήν

Διαβάστε περισσότερα

4 ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟΣ ΣΚΟΠΟΣ :

4 ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟΣ ΣΚΟΠΟΣ : 4 ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟΣ ΣΚΟΠΟΣ : Σκοπός του συγκεκριμένου φύλλου εργασίας είναι ο μαθητής να εξοικειωθεί με τις συναρτήσεις, τις αριθμητικές πράξεις καθώς και την επισήμανση κελιών υπό όρους με στόχο

Διαβάστε περισσότερα

Μεταξία Κράλλη! Ένα όνομα που γνωρίζουν όλοι οι αναγνώστες της ελληνικής λογοτεχνίας, ωστόσο, κανείς δεν ξέρει ποια

Μεταξία Κράλλη! Ένα όνομα που γνωρίζουν όλοι οι αναγνώστες της ελληνικής λογοτεχνίας, ωστόσο, κανείς δεν ξέρει ποια Δευτέρα, Ιουνίου 16, 2014 ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΤΗΣ ΜΕΤΑΞΙΑΣ ΚΡΑΛΛΗ Η Μεταξία Κράλλη είναι ένα από τα δημοφιλέστερα πρόσωπα της σύγχρονης ελληνικής λογοτεχνίας. Μετά την κυκλοφορία του πρώτου της βιβλίου, "Μια φορά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Να γίνει η ανθυφαίρεση, μεταξύ της διαγωνίου δ και της πλευράς α ενός κανονικού πενταγώνου.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Να γίνει η ανθυφαίρεση, μεταξύ της διαγωνίου δ και της πλευράς α ενός κανονικού πενταγώνου. ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Να γίνει η ανθυφαίρεση, μεταξύ της διαγωνίου δ και της πλευράς α ενός κανονικού πενταγώνου. Διαπραγμάτευση του προβλήματος: (Απευθύνεται σε αναγνώστη με ελάχιστες πρότερες γνώσεις) Το παραπάνω

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 8.03.12 Χ. Χαραλάμπους Θαλής ο Μιλήσιος ( 630-550π.Χ.) Πυθαγόρας o Σάμιος (570-490) Ζήνωνας ο Ελεάτης ( 490-430) Δημόκριτος o Αβδηρίτης (c. 460-370) Πλάτων (427-347 π.χ.) Ιστορικές

Διαβάστε περισσότερα

Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 2003

Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 2003 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Γ ΕΚ ΟΣΗΣ Μετά την τρίτη έκδοση του βιβλίου µου µε τα προβλήµατα Μηχανικής για το µάθηµα Γενική Φυσική Ι, ήταν επόµενο να ακολουθήσει η τρίτη έκδοση και του παρόντος βιβλίου µε προβλήµατα Θερµότητας

Διαβάστε περισσότερα

Η συγγραφέας Γιώτα Γουβέλη και «Η πρώτη κυρία» Σάββατο, 12 Δεκεμβρίου :21

Η συγγραφέας Γιώτα Γουβέλη και «Η πρώτη κυρία» Σάββατο, 12 Δεκεμβρίου :21 Ημερομηνία 12/12/2015 Μέσο Συντάκτης Link http://now24.gr/ Μαίρη Γκαζιάνη http://now24.gr/i-singrafeas-giota-gouveli-ke-i-proti-kiria/ Η συγγραφέας Γιώτα Γουβέλη και «Η πρώτη κυρία» Σάββατο, 12 Δεκεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Περιγραφή μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας

Διαβάστε περισσότερα

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4 Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙΤΛΟΣ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ

ΤΙΤΛΟΣ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΤΙΤΛΟΣ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΣΚΥΔΡΑΣ Ομάδα ανάπτυξης Μαρία Τσικαλοπούλου, Μαθηματικός Σ Κ Υ Δ Ρ Α / 2 0 1 5 Το αντικείμενο με το οποίο θα ασχοληθούμε είναι τα μαθηματικά της

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Συνδυαστική

Διακριτά Μαθηματικά Συνδυαστική Διακριτά Μαθηματικά Γεώργιος Χρ. Μακρής http://users.sch.gr/gmakris 7 Αυγούστου 2012 Η είναι ένα κομμάτι των Μαθηματικών που επικεντρώνεται στη "μέτρηση" του πλήθους των αντικειμένων ενός συνόλου. Η ασχολείται

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης Επιμορφωτικό Εργαστήριο Διδακτικής των Μαθηματικών Του Δημήτρη Ντρίζου Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής

Διαβάστε περισσότερα

ΦΟΙΤΗΤΡΙΑ: ΠΑΤΣΑΤΖΑΚΗ ΕΛΕΝΗ, ΑΕΜ:3196 ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΥΕ258 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΩΝ ΓΛΩΣΣΙΚΩΝ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ

ΦΟΙΤΗΤΡΙΑ: ΠΑΤΣΑΤΖΑΚΗ ΕΛΕΝΗ, ΑΕΜ:3196 ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΥΕ258 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΩΝ ΓΛΩΣΣΙΚΩΝ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ 2015 ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΥΕ258 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΩΝ ΓΛΩΣΣΙΚΩΝ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ ΦΟΙΤΗΤΡΙΑ: ΠΑΤΣΑΤΖΑΚΗ ΕΛΕΝΗ, ΑΕΜ:3196 ΕΠΙΒΛΕΠΟΥΣΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: ΓΡΙΒΑ ΕΛΕΝΗ 5/2/2015 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αυτό το portfolio φτιάχτηκε

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά ϑέµατα στους Μιγαδικούς Αριθµούς

Επαναληπτικά ϑέµατα στους Μιγαδικούς Αριθµούς Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικά ϑέµατα στους Μιγαδικούς Αριθµούς ιδάσκων : Αντώνης Λουτράρης Μαθηµατικός M.S.c Αύγουστος, 2012 Σελίδα 1 Ο συντοµότερος δρόµος ανάµεσα

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Γυµνάσιο Μελισσίων Λέσχη Ανάγνωσης ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΓΩΝΙΑΣ. Η δική µας Εικασία

1 ο Γυµνάσιο Μελισσίων Λέσχη Ανάγνωσης ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΓΩΝΙΑΣ. Η δική µας Εικασία 1 ο Γυµνάσιο Μελισσίων Λέσχη Ανάγνωσης ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΓΩΝΙΑΣ Η δική µας Εικασία Οι αρχαίοι Έλληνες γνώριζαν να διχοτοµούν µια τυχαία γωνία µε χρήση κανόνα και διαβήτη, και, κατά συνέπεια, µπορούσαν να διαιρέσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ (14/9/2012)

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ (14/9/2012) Φτιάξε ένα πρόγραµµα FORTRAN που θα βρίσκει αν ο ακέραιος N που θα εισάγει ο χρήστης είναι άρτιος ή περιττός. Φτιάξε ένα πρόγραµµα FORTRAN που να προσδιορίζει και να τυπώνει την θέση των στοιχείων ενός

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα

Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα Σενάριο 3. Τα µέσα των πλευρών τριγώνου Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα τριγώνων, τριγωνοµετρικοί αριθµοί περίµετρος και εµβαδόν.

Διαβάστε περισσότερα

Οι αριθμοί σελίδων με έντονη γραφή δείχνουν τα κύρια κεφάλαια που σχετίζονται με το θέμα. ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑ

Οι αριθμοί σελίδων με έντονη γραφή δείχνουν τα κύρια κεφάλαια που σχετίζονται με το θέμα. ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑ Τί σε απασχολεί; Διάβασε τον κατάλογο που δίνουμε παρακάτω και, όταν συναντήσεις κάποιο θέμα που απασχολεί κι εσένα, πήγαινε στις σελίδες που αναφέρονται εκεί. Διάβασε τα κεφάλαια, που θα βρεις σ εκείνες

Διαβάστε περισσότερα

Το μαγικό βιβλίο. Σαν διαβάζω ένα βιβλίο λες και είμαι μια νεράιδα που πετώ στον ουρανό.

Το μαγικό βιβλίο. Σαν διαβάζω ένα βιβλίο λες και είμαι μια νεράιδα που πετώ στον ουρανό. Το μαγικό βιβλίο Σαν διαβάζω ένα βιβλίο λες και είμαι μια νεράιδα που πετώ στον ουρανό. Σαν διαβάζω ένα βιβλίο λες και είμαι μια γοργόνα μέσα στα καταγάλανα νερά. Σαν διαβάζω ένα βιβλίο λες και γίνομαι

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

Διαβάστε περισσότερα

5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ

5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ 5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ Μετρούμε αλλά και υπολογίζουμε Στο προηγούμενο μάθημα χρησιμοποιήσαμε το μέτρο, αλλά και άλλα όργανα με τα οποία μετρούμε το μήκος. Το σχήμα που μετρούμε με το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Ο Πυθαγόρας ήταν ο πρώτος που διατύπωσε τον μαθηματικό ορισμό της αναλογίας χρησιμοποιώντας δύο ευθύγραμμα τμήματα.

Ο Πυθαγόρας ήταν ο πρώτος που διατύπωσε τον μαθηματικό ορισμό της αναλογίας χρησιμοποιώντας δύο ευθύγραμμα τμήματα. Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ Φ Ο Πυθαγόρας ήταν ο πρώτος που διατύπωσε τον μαθηματικό ορισμό της αναλογίας χρησιμοποιώντας δύο ευθύγραμμα τμήματα. Η σκέψη του ήταν πως αν υπάρχει ένα ευθύγραμμο τμήμα και ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήµη των Η/Υ

Εισαγωγή στην Επιστήµη των Η/Υ Εισαγωγή στην Επιστήµη των Η/Υ Εισαγωγή στην Επιστήµη των Η/Υ Εισαγωγή Καθ. Κ. Κουρκουµπέτης Σηµείωση: Οι διαφάνειες βασίζονται σε µεγάλο βαθµό σε αυτές που συνοδεύονται µε το προτεινόµενο σύγγραµµα. 1

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ (572-500 ΠΧ) ΗΤΑΝ ΦΟΛΟΣΟΦΟΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΤΗΣ ΜΟΥΙΣΚΗΣ. ΥΠΗΡΞΕ Ο ΠΡΩΤΟΣ ΠΟΥ ΕΘΕΣΕ ΤΙΣ ΒΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή.

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή. Σενάριο 6. Συµµεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη

Διαβάστε περισσότερα

τις αναδρομικές ακολουθίες (recursive sequences) στις οποίες ορίζαμε

τις αναδρομικές ακολουθίες (recursive sequences) στις οποίες ορίζαμε Κεφάλαιο 9: Αναδρομή Ο τρόπος με τον οποίο σκεφτήκαμε και σχεδιάσαμε τις συναρτήσεις στο προηγούμενο κεφάλαιο ακολουθούσε τη φιλοσοφία του προγραμματισμού που είχαμε αναπτύξει σε όλο το προηγούμενο βιβλίο.

Διαβάστε περισσότερα

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αριθμός Επίθετο Όνομα Όνομα πατέρα THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (Αυτό το γραπτό αποτελείται από 21 σελίδες, συμπεριλαμβανομένης της σελίδας αυτής).

Διαβάστε περισσότερα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα Οι φυσικοί αριθμοί Φυσικοί Αριθμοί Είναι οι αριθμοί με τους οποίους δηλώνουμε πλήθος ή σειρά. Για παράδειγμα, φυσικοί αριθμοί είναι οι: 0, 1,, 3,..., 99, 100,...,999, 1000, 0... Χωρίζουμε τους Φυσικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΑ ΜΕΙΟΝΟΤΙΚΑ ΣΧΟΛΕΙΑ ΠΑΡΑΣΧΙΔΗΣ ΚΥΡΙΑΖΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ 3ΗΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΣ Ν. ΞΑΝΘΗΣ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΑ ΜΕΙΟΝΟΤΙΚΑ ΣΧΟΛΕΙΑ ΠΑΡΑΣΧΙΔΗΣ ΚΥΡΙΑΖΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ 3ΗΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΣ Ν. ΞΑΝΘΗΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΑ ΜΕΙΟΝΟΤΙΚΑ ΣΧΟΛΕΙΑ ΠΑΡΑΣΧΙΔΗΣ ΚΥΡΙΑΖΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ 3ΗΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΣ Ν. ΞΑΝΘΗΣ ΤΙ ΠΕΡΙΛΑΜΒΑΝΕΙ ΤΟ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Μοτίβα Προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Το πρόβλημα στα Μαθηματικά

Το πρόβλημα στα Μαθηματικά Το πρόβλημα στα Μαθηματικά από το ΣΔΕ Γιαννιτσών Δημήτρης Πολυτίδης (Μαθηματικός) Στα Μαθηματικά το πρόβλημα θα πρέπει να είναι μια κατάσταση η επίλυση της οποίας, από το μαθητή, δεν είναι αυτόματη και

Διαβάστε περισσότερα

Abstract Algebra: The Basic Graduate Year: Robert B. Ash

Abstract Algebra: The Basic Graduate Year: Robert B. Ash Περιεχόμενα I Εναρξη μαθήματος 2 II Βασική άλγεβρα. Αρχικά μαθήματα 4 1 Μάθημα 1 4 1.1 Πορεία μελέτης............................ 4 1.2 Διάφορα σχόλια............................ 5 1.3 Πορεία μελέτης............................

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΦΙΜΠΟΝΑΤΣΙ (ΚΑΙ Ο ΣΥΛΒΕΣΤΕΡ) ΚΑΙ ΤΑ ΜΟΝΑΔΙΑΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

Ο ΦΙΜΠΟΝΑΤΣΙ (ΚΑΙ Ο ΣΥΛΒΕΣΤΕΡ) ΚΑΙ ΤΑ ΜΟΝΑΔΙΑΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ Ο ΦΙΜΠΟΝΑΤΣΙ (ΚΑΙ Ο ΣΥΛΒΕΣΤΕΡ) ΚΑΙ ΤΑ ΜΟΝΑΔΙΑΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ [ Στην ιστοσελίδα http://www.goldenmuseum.com/1207fibdivis_engl.html διάβασα για την (τελικά υποτιθέµενη) «διαίρεση του Φιµπονάτσι». Για να επιβεβαιώσω

Διαβάστε περισσότερα

. Ερωτήσεις διάταξης. να διαταχθούν από τη µικρότερη προς τη µεγαλύτερη οι τιµές: f (3), f (0), f (-1), f (5), f (-2), f ( ), f (1).

. Ερωτήσεις διάταξης. να διαταχθούν από τη µικρότερη προς τη µεγαλύτερη οι τιµές: f (3), f (0), f (-1), f (5), f (-2), f ( ), f (1). . Ερωτήσεις διάταξης. Οι συναρτήσεις f (x) = x, g (x) = x, h (x) = x, φ (x) = 3x, ρ (x) = 5x, t (x) = 7x έχουν κοινό πεδίο ορισµού το Α = [- 3, 3]. Να γράψετε τις συναρτήσεις σε µια σειρά έτσι ώστε η γραφική

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα για µαθητές Γυµνασίου

Δραστηριότητα για µαθητές Γυµνασίου Δραστηριότητα για µαθητές Γυµνασίου Παρουσίαση: Τεύκρος Μιχαηλίδης ΘΑΛΗΣ+ΦΙΛΟΙ Επικοινωνία info@thalesandfriends.org Ιστοσελίδα www.thalesandfriends.org Το τρίγωνο του Sierpinski Α Β Γ ΘΑΛΗΣ+ΦΙΛΟΙ 2 Στο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 50

ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 50 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ρ Κορρές Κωνσταντίνος ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 50 1. Μία έρευνα από 50 µαθητές έδειξε ότι 30 είχαν γάτες, 25 είχαν σκύλους, 5 είχαν χάµστερ, 16 είχαν σκύλους και γάτες, 4 είχαν σκύλους και χάµστερ,

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

Ο Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό.

Ο Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό. Αρχιμήδης ο Συρακούσιος Ο μεγαλύτερος μαθηματικός της αρχαιότητας και από τους μεγαλύτερους όλων των εποχών. Λέγεται ότι υπήρξε μαθητής του Ευκλείδη, ότι ταξίδεψε στην Αίγυπτο, σπούδασε στην Αλεξάνδρεια

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται: 4.4 Ερωτήσεις διάταξης Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:! µία σειρά από διάφορα στοιχεία και! µία πρόταση / κανόνας ή οδηγία και ζητείται να διαταχθούν τα στοιχεία µε βάση την πρόταση αυτή. Οι ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

26.02.14 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

26.02.14 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 26.02.14 Χ. Χαραλάμπους 14 ο πρόβλημα (βρίσκεται στο Μουσείο Καλών Τεχνών της Μόσχας από το 1893 μ.χ.) «μετάφραση των συμβόλων: Εάν σου πουν: μία κομμένη πυραμίδα με ύψος 6, με βάση

Διαβάστε περισσότερα

εγγράφοντας κανονικά πολύγωνα σε τόρους, δηλαδή στερεούς δακτυλίους µε κυκλική τοµή, και επίσης τα µελετά µε πυραµίδες. [Β-4, σελ 58].

εγγράφοντας κανονικά πολύγωνα σε τόρους, δηλαδή στερεούς δακτυλίους µε κυκλική τοµή, και επίσης τα µελετά µε πυραµίδες. [Β-4, σελ 58]. εγγράφοντας κανονικά πολύγωνα σε τόρους, δηλαδή στερεούς δακτυλίους µε κυκλική τοµή, και επίσης τα µελετά µε πυραµίδες. [Β-4, σελ 58]. Η συνεισφορά του Kepler στα Αρχιµήδεια ήταν µεγάλη, γιατί αυτός απέδειξε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Μαθήµατα σε συνέχειες από τον δάσκαλο Σταµάτη Γλάρο

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Μαθήµατα σε συνέχειες από τον δάσκαλο Σταµάτη Γλάρο 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Μαθήµατα σε συνέχειες από τον δάσκαλο Σταµάτη Γλάρο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 2 ΜΑΘΗΜΑ 1 Ο Αριθµοί µεγαλύτεροι από το 1.000.000 Βλέπουµε στον διαδραστικό πίνακα µια γέφυρα, ένα δρόµο ή

Διαβάστε περισσότερα

Μανώλης Ισχάκης - Πνευματικά δικαιώματα - για περισσότερη εκπαίδευση

Μανώλης Ισχάκης - Πνευματικά δικαιώματα -  για περισσότερη εκπαίδευση 1 Έβδομο Μάθημα Οδηγός Δραστηριότητας Επισκόπηση... 3 Περίληψη... 3-5 Ώρα για δράση... 6-15 Σημειώσεις... 16 2 Μάθημα Έβδομο - Επισκόπηση Σε αυτό το μάθημα θα μάθουμε τη δύναμη της αντίληψης. Θα ανακαλύψουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κ. Τζιρώνης, Θ. Τζουβάρας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συµπλήρωµα στις λύσεις των ασκήσεων του βιβλίου Περιλαµβάνει λύσεις ή υποδείξεις για ασκήσεις του βιβλίου που αφορούν κυρίως προβλήµατα των οποίων η επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Το Θεώρημα γεννιέται πριν από 4000 χρόνια

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Το Θεώρημα γεννιέται πριν από 4000 χρόνια ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Το Θεώρημα γεννιέται πριν από 4000 χρόνια Οι ρίζες του Πυθαγορείου Θεωρήματος βρίσκονται στη Γεωμετρία. Το θεώρημα διαδραματίζει κεντρικό ρόλο σε πολυάριθμους επιστημονικούς κλάδους,

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

2.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΣΧΟΛΙΟ Για να λύσουµε ένα πρόβληµα, αφού το διαβάσουµε καλά, εντοπίζουµε τον άγνωστο και τον συµβολίζουµε µε µία µεταβλητή. Με βάση τα δεδοµένα του προβλήµατος καταστρώνουµε την

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Ακολουθίες ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Να ορίζουμε τις σχέσεις μεταξύ διανυσμάτων (παράλληλα, ομόρροπα, αντίρροπα, ίσα και αντίθετα διανύσματα). Να προσθέτουμε και

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1oς ΚΥΚΛΟΣ - ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΚΑΙ ΜΑΘΑΙΝΟΥΜΕ ΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α Ενότητα Ανακαλύπτουμε τις ιδιότητες των υλικών μας, τα τοποθετούμε σε ομάδες και διατυπώνουμε κριτήρια ομαδοποίησης Οι μαθητές μαθαίνουν να αναπτύσσουν

Διαβάστε περισσότερα

Περί της «Αρχής ανεξαρτησίας των κινήσεων»

Περί της «Αρχής ανεξαρτησίας των κινήσεων» Περί της «Αρχής ανεξαρτησίας των κινήσεων» Παρακολουθώ στο δίκτυο τις τελευταίες µέρες να γίνεται συζήτηση για την «Αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων» ή την «επαλληλία εξισώσεων κίνησης». Προσπαθώ στο µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας. Ιωαννίνων. Αριθμητικός Γραμματισμός. Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη

Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας. Ιωαννίνων. Αριθμητικός Γραμματισμός. Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας Ιωαννίνων Αριθμητικός Γραμματισμός Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη ΘΕΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΗΣ «Προγραμματισμός-Οργάνωση και υλοποίηση μιας διδακτικής ενότητας στον Αριθμητικό Γραμματισμό» ΠΡΟΣΘΕΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα

Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα [ 1 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα Νικόλαος Στυλιανόπουλος Ηµερίδα Ιστορία των Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κύπρου Νοέµβριος 2016 [ 2 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου υσκολίες

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Μιχάλης Κολουντζάκης Τµήµα Μαθηµατικών και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης Βούτες 700 3 Ηράκλειο 6 Απριλίου 205 Πολλές από τις παρακάτω ασκήσεις είναι από το ϐιβλίο

Διαβάστε περισσότερα