Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ"

Transcript

1 Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

2 Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά Θέλουµε διανύσµατα v και v, ώστε ν ν + ν, ώστε β M v v v Ο ε M M v // α και v v α Μπορούµε να κινηθούµε ως εξής ν Είδαµε ότι ν λ α (3λ, λ), οπότε ν ν (,) (3λ, λ) ( 3λ, λ) και επειδή ν α, θα είναι ν α 0 ή ( 3λ, λ)(3,) 0 ή 3 9λ + λ 0 ή 3 3 λ και προφανώς είναι ν, και ν, Θα µπορούσαµε να κινηθούµε και ως εξής Έστω ΟΜ v και ΟΜ v µε ν ν+ ν Το διάνυσµα v είναι η προβολή του v στο α, δηλαδή ν προβ ν Επειδή Από Συνεπώς ν // α υπάρχει λ R, ώστε ν λ α (3λ, λ) α v v προβ v α, είναι ( 3,) (,) (3,) (3λ,λ) ή 3 + 9λ + λ ή v α (3,), και v v v (,),, Θα µπορούσαµε όµως να κινηθούµε και ως εξής Θεωρούµε το διάνυσµα β (,3 ) Επειδή α β (3,)(,3) είναι α β και το πρόβληµα ανάγεται στο να αναλύσουµε το διάνυσµα v σε δύο συνιστώσες παράλληλες των διανυσµάτων α (3,) και β (,3 ) α λ Τελικά, είναι 3 3 v α (3,), και v β (,3),

3 Παρουσίαση 3 Θέµα 6 Έστω τα µη µηδενικά και µη συγγραµµικά διανύσµατα α και β Θα αποδείξουµε ότι ο φορέας του διανύσµατος u β α + α β είναι παράλληλος στη διχοτόµο της γωνίας των διανυσµάτων α και β Ο β α β α θ φ φ Β α β Α Γ u Απάντηση Έστω ω η γωνία των α και β, φ η γωνία των u, α, φ η γωνία των u, β Από u β α + α β πολλαπλασιάζοντας µε α είναι α u β α + α (α β) ή α u συνφ β α + α ή u συνφ α β ( + συνω) β συνω α β ή συνφ ( + συνω) u α β Όµοια καταλήγουµε ότι συνφ ( + συνω) u Οπότε συν φ συνφ και άρα φ φ Οπότε, ο φορέας του u είναι παράλληλος στη διχοτόµο της γωνίας των α και β Προσοχή, είναι λάθος να «πούµε» ότι ο φορέας του u είναι διχοτόµς της γωνίας των α και β αφού ένα διάνυσµα «κινείται στο επίπεδο.» Θα µπορούσαµε να λύσουµε το θέµα και ως εξής: Επειδή β α β α και α β α β το παραλληλόγραµµο είναι και ρόµβος, οπότε είναι προφανές ότι φ φ

4 Παρουσίαση Θέµα 7 Τα διανύσµατα α (κ, λ) και β (µ, ν) β ν είναι κάθετα και έχουν µέτρα ίσα µε τη µονάδα. λ α Θα αποδείξουµε ότι (κν λµ) µ Ο κ Απάντηση Μπορούµε να λύσουµε το θέµα ως εξής: Επειδή α β, έχουµε α β 0 ( κ,λ)(µ,ν) 0 κµ + λν 0 Επειδή τα µέτρα των α και β είναι ίσα µε τη µονάδα έχουµε κ + λ και µ + ν Από την ταυτότητα ( κ + λ )(µ + ν ) (κµ + λν) (κν λµ) θα έχουµε 0 (κν λµ) (κν λµ) Θα µπορούσαµε να λύσουµε το θέµα και ως εξής: ( κ + λ ν + µ συνω Είναι κν λµ) ((κ, λ) (ν, µ) ) συν ω, όπου ω είναι η γωνία των διανυσµάτων ( κ, λ) και ( ν, µ ) Όµως, τα διανύσµατα ( κ, λ) και ( ν, µ ) είναι παράλληλα κ λ αφού (κµ + λν) 0 και συνεπώς είναι συν ω ±, αφού ω 0 ή ω π ν µ Εποµένως, θα είναι συν ω και έτσι θα έχουµε (κν λµ) Θα µπορούσαµε να λύσουµε το θέµα και ως εξής: Αφού τα διανύσµατα α (κ, λ) και β (µ, ν) κάθετα και µοναδιαία αν τα τοποθετήσουµε σε σύστηµα αξόνων, πρέπει κ ν και λ µ Οπότε (κν λµ) ( κ + λ ) κ + λ

5 Παρουσίαση 5 Ασκήσεις ι.35 Τα διανύσµατα α, β, γ, είναι τα διανύσµατα θέσης των σηµείων Α,Β,Γ ως προς κάποιο σηµείο αναφοράς Ο Είναι α+ β 3 γ 0, α, β και γ 3 α) Να αποδείξετε ότι τα Α,Β, Γ είναι συνευθειακά και το Γ είναι εσωτερικό του ΑΒ β) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόµενο και µετά τη γωνία των α, β γ) Να αποδείξετε ότι τα Ο, Α, Β ορίζουν τρίγωνο και η ΟΓ είναι διχοτόµος του. δ) Αν µέσο Μ του ΑΒ, δείξτε ότι Γ ΟΜ ο 30, δηλαδή η ΟΜ διχοτοµεί την Γ Ο Β ι.36 Έστω τα διανύσµατα v, u και w για τα οποία ξέρουµε ότι v u w και α) Να αποδείξετε ότι v + u+ w 0 και ότι β) Θεωρούµε τώρα και τα διανύσµατα v u+ u w+ w v v u u w w v α v u, β w v και 3 γ u w β ) Να αποδείξετε ότι τα διανύσµατα α, β, γ ανά δύο δεν είναι παράλληλα. β ) Να αποδείξετε ότι τα µέτρα των διανυσµάτων α, β, γ είναι ίσα µε 3 ι.37 Έστω τα µη µηδενικά διανύσµατα v, u για τα οποία ισχύουν + v u, u v 6 και ( u+ v) (u v) α) Να αποδείξετε ότι u και v β ) Να βρείτε την τιµή της παράστασης u προβ u+ v + v προβ u β ) Να αποδείξετε ότι προβ u+ v + προβ u v u v u v v u v ι.38 Έστω τα µη µηδενικά διανύσµατα ΟΑ α και ΟΒ β για τα οποία ισχύει προβ β α 0 και προβ α+ β 3 β 0 α β Να αποδείξετε ότι α) α β και ότι β) το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισόπλευρο.

6 Παρουσίαση 6 ι.39 Έστω τα µη µηδενικά διανύσµατα ΟΑ α και ΟΒ β για τα οποία ισχύει προβ Να αποδείξετε ότι α ) β α 0 α α προβ α β και α προβ β α+ β 3 β 0 β α ) α 3 ) β προβ α+ β β(α+ β) α ) β α 5 ) α β Λ α 6 ) α, β 60 β) Να βρείτε το είδος του τριγώνου. ο α β α β α β ι.0 Έστω τα µη µηδενικά διανύσµατα α, β β v α ) Να αποδείξετε ότι: α β α β α β α ) Να βρείτε το ελάχιστο και µέγιστο της παράστασης α β και ποια είναι η σχετική θέση των διανυσµάτων στη θέση ακρότατων? α r Για τα σηµεία (, ) M ισχύει + 00 β ) Να βρείτε δύο διανύσµατα µε εσωτερικό γινόµενο 6 8 β ) Μετά, να βρείτε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή της Π 6 8 γ) Έστω δύο τετραγωνικά οικόπεδα I, I πλευρών d, d σε m Το κόστος περίφραξης για το πρώτο είναι, 5 ur το τρέχον µέτρο και για το δεύτερο είναι ur το τρέχον µέτρο Ξέρουµε ότι το άθροισµα των εµβαδών των οικοπέδων είναι 00 τ.µ. Να αποδείξετε ότι ο συνολικό κόστος περίφραξης δεν υπερβαίνει τα 00 ur δ) Να αποδείξετε ότι 6ηµ 8συν 0

7 Παρουσίαση 7 ΓΡΑΜΜΕΣ

8 Παρουσίαση 8 Θέµα 7 Θα βρούµε την εξίσωση της ευθείας ( ε) που διέρχεται από το σηµείο Μ (,) και τέµνει τις ευθείες ( ε ) : + και ( ε ) : + στα σηµεία Α και Β αντιστοίχως, ώστε το Μ να είναι µέσο του ΑΒ Απάντηση ( ε ) ( ε ) Α (, ) Μ Ο B(,) Ας δούµε πρώτα τον πιο κάτω τρόπο. Έστω ότι η ευθεία ( ε) που διέρχεται από το Μ, τέµνει την ( ε ) στο (, ) Α και την ( ε ) στο (, ) B + + Επειδή το M (,) είναι το µέσο του ΑΒ, είναι και Επίσης, επειδή το Α(, ) είναι και σηµείο της ( ε ) είναι ( ε ) : + επειδή το Β(, ) είναι και σηµείο της ( ε ) είναι ( ε ) : + + Θα λύσουµε τώρα το σύστηµα Οπότε, η σχέση δίνει και έτσι είναι και Οπότε 3 και Οπότε, πρόκειται για τα σηµεία Α (,3) και B(, ) Συνεπώς, η ευθεία του προβλήµατος είναι προφανώς η ευθεία ( ε) : Όµως, µπορούµε να αντιµετωπίσουµε το θέµα και κλασικά όπως παρακάτω.

9 Παρουσίαση 9 Να τονίσουµε πρώτα κάτι σηµαντικό! Όταν ψάχνουµε ευθεία και δεν ξέρουµε την κλίση της, πρέπει να διακρίνουµε περιπτώσεις, αν είναι κατακόρυφη, ή αν δεν είναι κατακόρυφη και έχει κλίση λ Οι ευθείες που διέρχονται από το σηµείο Μ (,) είναι η κατακόρυφη και οι µη κατακόρυφες ευθείες µε εξισώσεις ( ε λ ) : λ( ), λ R Η ευθεία τέµνει την ( ε ) : + στο σηµείο Κ (,3) και την ( ε ) : + στο σηµείο Λ(, ) ( ε ) ( ε ) Α Κ ( ) Άρα, η κατακόρυφη είναι µια από τις ζητούµενες ευθείες. Το ΚΛ έχει µέσο το σηµείο Μ, Μ (,) Ο Λ Μ Β Η ευθεία ( ε λ ) : λ( ), λ R τέµνει τις ( ε ) : +, ( ε ) : + στα σηµεία Α και Β αντιστοίχως, που οι συντεταγµένες τους + είναι οι λύσεις των συστηµάτων: ( Σ ) : και Σ λ( ) ( + ) : λ( ) λ Από το πρώτο σύστηµα, έχουµε: + λ λ ( λ ) λ λ λ 3λ λ 3λ οπότε + + και τελικά συµπεραίνουµε ότι Α, λ λ λ λ Προφανώς είναι λ αφού για λ, πρόκειται για την ευθεία η οποία ταυτίζεται µε την ε ) Οµοίως, λύνοντας το δεύτερο σύστηµα, καταλήγουµε ότι Β Επειδή το Μ (,) είναι µέσο του ΑΒ, είναι λ λ λ + λ λ + λ 3λ λ 3λ + λ λ + λ λ + λ το οποίο προφανώς είναι αδύνατο. λ, + λ + λ λ λ λ και + λ λ + λ λ Η µόνη λύση του προβλήµατός µας, είναι η κατακόρυφη ευθεία (

10 Παρουσίαση 0 γ Εξίσωση ευθείας Για να αποδείξουµε ότι µία εξίσωση της µορφής ( ε) : A + B + Γ 0 είναι εξίσωση ευθείας, αρκεί να αποδείξουµε ότι οι Μηδέν. ηλαδή, αρκεί να αποδείξουµε ότι Α + Β 0 Α, Β δεν είναι ταυτόχρονα Παράδειγµα Έστω η εξίσωση : (µ ) + µ + µ 0 Θα αποδείξουµε ότι παριστάνει ευθεία γραµµή, για κάθε πραγµατική τιµή του µ Πραγµατικά Η εξίσωση είναι της µορφής Α + B + Γ 0 µε Α µ και Β µ Επειδή οι συντελεστές µ και µ των και αντίστοιχα δεν µηδενίζονται συγχρόνως για καµία τιµή του µ η δοθείσα εξίσωση παριστάνει για κάθε µ R, ευθεία γραµµή. Παράδειγµα Έστω η εξίσωση ( ε) : ( + 5) + λ( ) 0, όπου λ R Θα αποδείξουµε ότι για κάθε τιµή της παραµέτρου λ, αυτή παριστάνει ευθεία. Πραγµατικά Η εξίσωση ( ε) : ( + 5) + λ( ) 0 γράφεται ισοδύναµα λ + λ + 7λ 0 ( ε) : ( + 3λ) + ( + λ) + (5 + 7λ) 0 Η εξίσωση είναι της µορφής Α + B + Γ 0, µε Α + 3λ και Β + λ Αν ήταν Α 0 + 3λ 0 λ και Β 0 + λ 0 λ Άτοπο. 3 Οπότε, δεν υπάρχει τιµή του λ που να µηδενίζεται συγχρόνως και ο συντελεστής του και ο συντελεστής του Οπότε, η εξίσωση παριστάνει εξίσωση ευθείας για κάθε τιµή του λ R

11 Παρουσίαση Ένα κλασικό θέµα είναι το θέµα σχετικά µε το να αποδείξουµε ότι οι ευθείας µίας οικογένειας ευθειών διέρχονται από σταθερό σηµείο δηλαδή, αποτελούν δέσµη ευθειών. Ο Παράδειγµα 3 Έστω η εξίσωση ( ε λ ) : (λ + ) + (λ ) + ( λ) 0 Θα αποδείξουµε ότι αυτή αποτελεί εξίσωση ευθείας και ότι όλες οι ευθείες που παράγονται, διέρχονται από το ίδιο σηµείο. Πραγµατικά Έστω ότι λ + 0 λ και λ 0 0 Άτοπο. Οπότε, η πιο πάνω εξίσωση, είναι µία οικογένεια ευθειών για κάθε λ R Ας δούµε, πως θα αποδείξουµε ότι αυτές διέρχονται από σταθερό σηµείο. Για να δείξουµε ότι όλες οι ευθείες της οικογένειας διέρχονται από το ίδιο σηµείο αρκεί να βρούµε ένα σηµείο Σ( ο, ο ) του οποίου οι συντεταγµένες να επαληθεύουν την αρχική εξίσωση για όλες τις τιµές του λ Ας θεωρήσουµε δύο συγκεκριµένες απ αυτές. Για λ 0 προκύπτει η ευθεία ( ε ) : + 0 Για λ προκύπτει η ευθεία ( ε ) : 0 Λύνοντας το σύστηµα αυτών βρίσκουµε απλά ότι και ηλαδή, οι ευθείες ( ε ) και ( ε ) τέµνονται στο σηµείο Σ (, ) Οπότε, αν όλες διέρχονται από σταθερό σηµείο, αυτό θα είναι το σηµείο Σ Ας το αποδείξουµε. Η εξίσωση ( ε λ ) : (λ + ) + (λ ) + ( λ) 0 για και γίνεται ( λ + ) + (λ ) + ( λ) ηλαδή, οι συντεταγµένες του Σ ικανοποιούν την ( ε λ ) Οπότε, όλες οι ευθείες ( ε λ ) διέρχονται από το σταθερό σηµείο Σ

12 Παρουσίαση Θα µπορούσαµε όµως, να κινηθούµε και ως εξής: Η εξίσωση ( ε λ ) : (λ + ) + (λ ) + ( λ) 0 γίνεται ( ε λ ) : λ + + λ + λ 0 ή ( + )λ + ( + ) 0 για κάθε λ R Οπότε, πρέπει + 0 και 0 Λύνοντας το πιο πάνω σύστηµα βρίσκουµε απλά ότι και ηλαδή, οι ευθείες ( ε ) και ( ε ) τέµνονται στο σηµείο Σ (, ) Οπότε, όλες διέρχονται από σταθερό σηµείο, το σηµείο Σ Θα µπορούσαµε όµως να κινηθούµε και όπως πιο κάτω: Έστω η εξίσωση ( ε λ ) : (λ + ) + (λ ) + ( λ) 0 Θεωρούµε δύο τυχούσες απ αυτές, τις ε ) : (λ + ) + (λ ) + ( λ ) 0 ( και ( ε ) : (λ + ) + (λ ) + ( λ ) 0 που υποθέτουµε ότι είναι διαφορετικές, δηλαδή ότι λ λ Θα λύσουµε το σύστηµά τους. Είναι (Σ) : (λ (λ + ) + (λ + ) + (λ ) λ ) λ λ + λ Είναι D ( λ + )(λ ) (λ + )(λ ) λ + λ ( λ λ λ + λ ) ( λλ λ + λ ) ( λ λ ) 0 3 Επίσης, πολύ απλά, διαπιστώνουµε ότι D λ λ 3( λ ) λ λ λ και D λ + λ 3( λ ) λ + λ λ D D Συνεπώς, το σύστηµα δέχεται µοναδική λύση την (, ), (, ) Επειδή οι τυχούσες ευθείες ( ε ), ε ) συµπεραίνουµε ότι και όλες οι ευθείες ε ) ( τέµνονται στο Σ (, ) ( λ διέρχονται από το σηµείο Σ (, ) D D

13 Παρουσίαση 3 Επίσης ένα κλασικό θέµα είναι το θέµα σχετικά µε το να εξετάσουµε αν κάποια ευθεία, είναι τελικά ευθεία µίας δέσµης ευθειών. Παράδειγµα Όπως είδαµε πριν, η εξίσωση ( ε λ ) : (λ + ) + (λ ) + ( λ) 0 αποτελεί µία δέσµη ευθειών, δηλαδή ευθείες που διέρχονται από το ίδιο σηµείο και µάλιστα το σηµείο Σ (, ) Θα εξετάσουµε τώρα, αν η ευθεία ( δ) : είναι ευθεία της οικογένειας. Επειδή για και αυτή δίνει αυτή δεν διέρχεται από το Σ και άρα δεν είναι ευθεία της οικογένειας. Να τονίσουµε τώρα κάτι σηµαντικό. Αν κάποια ευθεία διέρχεται από το σταθερό σηµείο Σ (, ) δεν είναι κατά ανάγκη και ευθεία της οικογένειας. Για παράδειγµα, θα εξετάσουµε αν η ευθεία ( δ) : + 0 είναι ευθεία της παραπάνω οικογένειας ( ε λ ) : (λ + ) + (λ ) + ( λ) 0 Για και, αυτή δίνει + 0 δηλαδή αυτή διέρχεται από το Σ (, ) Όµως, αυτό δεν διαπιστώνει ότι αυτή είναι ευθεία της οικογένειας. Ας δούµε πρώτα τι γίνεται, µέσα από το πιο κάτω παράδειγµα. Έστω η οικογένεια ευθειών ( ε ) : λ + λ λ R λ της οποίας οι ευθείες διέρχονται προφανώς από το σηµείο Σ (, ) Επειδή αυτές έχουν κλίση µη αρνητική, την σηµαίνει ότι οι εφαπτόµενες των γωνιών που σχηµατίζουν αυτές µε τον είναι θετικές, δηλαδή αυτές σχηµατίζουν µε τον γωνίες οξείες. Οπότε, ναι µεν η ευθεία ( ζ) : + διέρχεται από το σηµείο Σ (, ) αλλά επειδή έχει αρνητική κλίση, προφανώς δεν είναι ευθεία της οικογένειας ( ε λ ) λ

14 Παρουσίαση Ας δούµε τώρα σε µία τέτοια περίπτωση κατά την οποία µία ευθεία διέρχεται από το σταθερό σηµείο που διέρχονται οι ευθείες µίας οικογένειας, αν είναι µία ευθεία αυτής. Γνωρίζουµε ότι οι ευθείες ε ) : A + B + Γ 0 ( ( ε ) : A + B + Γ 0 ταυτίζονται, µόνο αν οι συντελεστές A,B, Γ είναι αντίστοιχα ανάλογοι των A,B, Γ Ας δούµε ξανά το προηγούµενο παράδειγµα. Έστω η οικογένεια ευθειών ( ε λ ) : (λ + ) + (λ ) + ( λ) 0 και έστω και η ευθεία ( ζ) : + η οποία διέρχεται από το σηµείο Σ (, ) Για να είναι η ευθεία ( ζ) : + ( ζ) : + 0 µία ευθεία της αρκεί να υπάρχει λ R ώστε λ + λ λ Από λ + λ είναι λ + λ Αδύνατο. Οπότε, αυτή δεν είναι ευθεία της οικογένειας. Ας εξετάσουµε αν η ευθεία ( δ) : είναι ευθεία της παραπάνω οικογένειας ( ε λ ) : (λ + ) + (λ ) + ( λ) 0 Για και, αυτή δίνει + 0 δηλαδή αυτή διέρχεται από το Σ (, ) Για να είναι η ευθεία ( δ) : µία ευθεία της αρκεί να υπάρχει λ R, ώστε λ + 3 λ λ Λύνοντας το σύστηµα αυτό, προκύπτει 7 λ Οπότε, αυτή είναι µία ευθεία της οικογένειας αυτής.

15 Παρουσίαση 5 θ Γενικά θέµατα Θέµα Έστω η εξίσωση (c) : α) Θα αποδείξουµε ότι αυτή παριστάνει δύο ευθείες τεµνόµενες. β) Θα βρούµε την οξεία γωνία αυτών. Απάντηση α) Η εξίσωση γίνεται + ( ) ( ) ( ( 5 + ) Οπότε ( ε ) : + 5 ή ( ε ) : 3 Άρα, η εξίσωση παριστάνει τις δύο ευθείες. β) Η ευθεία ( ε ) : + γράφεται και ως ( ε ) : + 0 και η ευθεία ( ε ) : 3 γράφεται και ως ( ε ) : ) δ Θεωρούµε το διάνυσµα (,) //(ε ) δ και (, 3) //(ε ) Έτσι συν δ, δ Άρα συν δ, δ δ δ δ δ + ( 3) και επειδή δ, δ [0,π], θα είναι δ, δ Οπότε, η αµβλεία γωνία ω των ευθειών ( ε ), ε ) και συνεπώς η οξεία γωνία φ των ( ε ), ( ε ) θα είναι 3π (, είναι η ω 3π φ π π 3π

16 Παρουσίαση 6 Θέµα Θα βρούµε τις εξισώσεις των διχοτόµων των γωνιών που σχηµατίζουν οι ευθείες ( ε ) : και ( ε ) : Απάντηση Ένα σηµείο M (, ) ανήκει σε µια από τις διχοτόµους των γωνιών που ορίζουν οι ευθείες ( ε ) : και ( ε ) : αν και µόνο αν ισαπέχει από τις δύο ευθείες. ηλαδή, αν ( M,(ε )) d( M,(ε )) d ( ) (3 + ) 5(5 + + ) ή 3(3 + ) 5(5 + + ) ( ε ) ( δ ) ( ε) Μ Ο Ν ( δ ) ή ( δ ) : ή ( δ ) : Άρα, οι εξισώσεις των διχοτόµων είναι οι ευθείες ( δ ) : 0 7 0, ( δ ) : Επιλέγουµε ένα τυχόν σηµείο Ν της ( ε ) για παράδειγµα το Ν, Είναι d( Ν,(ε )) και d( Ν,(ε )) ( ) + Επειδή ( Ν,(ε )) d( Ν,(ε )) d < 5 5 η ( δ ) είναι η διχοτόµος της οξείας γωνίας των ευθειών και η ( δ ) είναι η διχοτόµος της αµβλείας γωνίας των ευθειών Να τονίσουµε, ότι ο εντοπισµός της διχοτόµου της οξείας ή αµβλείας γωνίας µπορεί να γίνει και µε τη χρήση γραµµικών ανισώσεων. 35 3

17 Παρουσίαση 7 Θέµα 3 Έστω τα σηµεία (, ) Μ, ώστε λ + και λ, λ R Αφού αποδείξουµε ότι τα σηµεία M βρίσκονται σε ευθεία, για τις τιµές του στη συνέχεια, θα αποδείξουµε ότι εκείνο το σηµείο που απέχει τη µικρότερη απόσταση από το Ο ( 0,0) είναι το σηµείο Μ ο (, ) λ R Απάντηση Από και λ + λ λ + λ O M M ο (, ) Οπότε + : ( ε) ( δ) : Η ευθεία ( ε) : αποτελεί και το γεωµετρικό τόπο των σηµείων Μ Θα προσδιορίσουµε τώρα την ευθεία ( δ) που διέρχεται από το Ο (0,0) και είναι κάθετη στην ευθεία ( ε) Επειδή (δ), είναι προφανώς και τελικά είναι ( δ) : λ δ Λύνοντας το σύστηµα των ( ε),(δ) είναι και συνεπώς Οπότε, οι ευθείες ( ε),(δ) τέµνονται στο σηµείο Μ ο (, ) Μάλλον όµως, ο «καλύτερος τρόπος» για το ελάχιστο είναι ο παρακάτω: Επειδή Μ( λ +,λ ) ΟΜ ( λ + ) + (λ ) λ + λ + + λ λ + Οπότε, πρόκειται για το σηµείο Μ ο (, ) 8λ + το οποίο ελαχιστοποιείται για λ 0

18 Παρουσίαση 8 Ας προσέξουµε και το πιο κάτω θέµα. Θέµα Έστω τα σηµεία (, ) + Μ ώστε λ και λ, λ R Θα βρούµε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκονται τα σηµεία Μ για τις διάφορες τιµές του λ R Από τα παραπάνω σηµεία θα αποδείξουµε ότι το Α (,0 ) απέχει από το Ο (0,0), τη µικρότερη απόσταση. Απάντηση z Έστω τα σηµεία Μ (, ) Από λ + λ O Μ ο A(,0) M και λ λ ( δ) : Οπότε και ισοδύναµα : ( ε) + ηλαδή, τα σηµεία M(z) (λ,λ ) είναι σηµεία της ευθείας ( ε) : Όµως, πολύ απλά, εδώ διαπιστώνεται ότι ο τόπος δεν είναι ολόκληρη η ευθεία αφού λ 0 και ισοδύναµα ηλαδή, ο γεωµετρικός τόπος, είναι η ηµιευθεία ( Αz) : µε A (,0 ) Όµως τώρα, δεν έχει νόηµα να προσδιορίσουµε την ευθεία ( δ) : για να εντοπίσουµε το σηµείο τοµής των ( ε), ( δ) το Μο M(z ), αφού αυτό δεν είναι σηµείο του τόπου. Να τονίσουµε ότι εδώ ότι το ζητούµενο σηµείο Α που απέχει από το Ο τη µικρότερη απόσταση είναι προφανώς το σηµείο Α (,0 ) αφού προφανώς η εικόνα του Α, είναι το σηµείο της ηµιευθείας που απέχει από την αρχή Ο τη µικρότερη δυνατή απόσταση. Α z

19 Παρουσίαση 9 γ Εφαπτοµένες ευθείες Η σχετική θέση µίας ευθείας µε ένα κύκλο, διευκρινίζεται από το πλήθος λύσεων του συστήµατός των. Παράδειγµα Θα βρούµε τη σχετική θέση της ευθείας ( ε) : µε το κύκλο (κ) : + Πραγµατικά Μπορούµε να κινηθούµε ως εξής. Λύνοντας το σύστηµα τους, η εξίσωση (κ) : + O (, ) Μ γίνεται + ( ) + 0 ( ) 0 ιαπιστώσαµε, ότι η ευθεία εφάπτεται του κύκλου ( κ) στο Μ Θα µπορούσαµε να κινηθούµε και µε τη βοήθεια της γεωµετρίας. Επειδή η απόσταση d του κέντρου Ο του κύκλου από την ευθεία ( ε), όπου ρ η ακτίνα του κύκλου + είναι d d( O,ε) ρ προφανώς η ευθεία εφάπτεται του κύκλου ( κ) ιπλή ρίζα., Μπορούµε να κινηθούµε και µε τη βοήθεια του τύπου της εφαπτοµένης. Έστω το τυχόν σηµείο (, ) M του κύκλου Η εφαπτοµένη σ αυτό είναι η ευθεία ( ε) : + ( ε) : + Θέλουµε αυτή να είναι η ευθεία ( ε) : Οπότε, πρέπει και, όπου ο και ηλαδή, διαπιστώνουµε ότι η εφάπτεται του κύκλου ( κ), στο Μ,

20 Παρουσίαση 0 Ας δούµε πως βρίσκουµε την εφαπτοµένη κύκλου µε κέντρο το Ο (0,0) µε κάποια ιδιότητα, όπου δεν ξέρουµε το σηµείο επαφής. Παράδειγµα Θα βρούµε τις εξισώσεις των εφαπτοµένων του κύκλου (κ) : + 5 οι οποίες διέρχονται από το σηµείο Α (5,0) Πραγµατικά Μπορούµε να κινηθούµε ως εξής. Αν Mο ( ο, ο ) είναι το σηµείο επαφής η εφαπτοµένη έχει εξίσωση ε) : + 5 ( Επειδή A(5,0), είναι Επειδή Mο ( ο, ο ) (κ), είναι και + 5 και για, αυτή γίνεται + 5 ή Οπότε, υπάρχουν δύο σηµεία επαφής, τα M (, ) και M (, ) και οι εφαπτοµένες, είναι οι ευθείες ( ε ) : και ( ε ) : 5 0 Θα µπορούσαµε να κινηθούµε και µε τη χρήση συστηµάτων. Πιο συγκεκριµένα: Κάθε ευθεία η οποία διέρχεται από το σηµείο Α (5,0) ή θα είναι κατακόρυφη και θα έχει εξίσωση ( ε) : 5 ( ε) : 5 ή οποία όµως δεν αποτελεί λύση του προβλήµατος ή δεν θα είναι κατακόρυφη µε εξίσωση ( ε λ ) : 0 λ( 5) ( ε λ ) : λ 5λ Η εξίσωση του κύκλου γίνεται ( λ 5λ) 5 Πρέπει 0 00λ ( 5λ 5)( λ + ) 0 + ( λ + ) 0λ + 5λ 5 0 λ λ ± και οι εφαπτοµένες είναι οι ευθείες ( ε ) : και ( ε ) : 5 0 O Μ O ο (, ) Μ ο Α( 5,0) 5 Θα µπορούσαµε να κινηθούµε και µε τη γεωµετρία. Μ ο Πριν βρήκαµε την τυχούσα ευθεία ( ε λ ) : λ 5λ 0 5λ Θέλουµε d ( O,ε) ρ 5 5 λ 5 λ + λ λ ± λ + και οι εφαπτοµένες είναι οι ευθείες ( ε ) : και ( ε ) : 5 0 O 5

21 Παρουσίαση Ας δούµε πως βρίσκουµε την εφαπτοµένη κύκλου µε κέντρο διαφορετικό του Ο (0,0) σε δεδοµένο σηµείο του. Παράδειγµα 3 Θα βρούµε την εφαπτοµένη του κύκλου ( κ) : ( ) + ( + ) στο σηµείο του Πραγµατικά Μ ο, 3 O Μ ο Μ(, ) Κ Ο κύκλος έχει κέντρο K(, ) και ακτίνα ρ Έστω το τυχόν σηµείο (, ) Μ της εφαπτόµενης ευθείας ( ε) Πρέπει ο ο Μο Κ ΜοΜ Μ Κ Μ Μ 0 3 3,, 0 3 3,, ( ε) : Ας δούµε πως βρίσκουµε την εφαπτοµένη κύκλου µε κέντρο διαφορετικό του Ο (0,0) µε κάποια ιδιότητα, όπου δεν ξέρουµε το σηµείο επαφής. Παράδειγµα Θα εξετάσουµε αν η ευθεία ( ε) : O Μ ο εφάπτεται του κύκλου ( κ) : ( ) + ( + ) Πραγµατικά Επειδή d ( Κ,ε) ρ , η ευθεία εφάπτεται του ( κ) + Κ Φυσικά, θα µπορούσαµε να κινηθούµε και µε µία από τις προηγούµενες τεχνικές.

22 Παρουσίαση β Εφαπτοµένες παραβολής Γενικά. η σχετική θέση µιας ευθείας και µίας παραβολής, διευκρινίζεται από την επίλυση του αντίστοιχου συστήµατος των εξισώσεών τους. Πιο συγκεκριµένα Αν το σύστηµα είναι αδύνατο η ευθεία δεν τέµνει την παραβολή. (π) Παράδειγµα Έστω η παραβολή και η ευθεία ( ε) : Λύνοντας το σύστηµά τους είναι ( ) ή + 0 Αδύνατο Συνεπώς, η ευθεία δεν τέµνει την παραβολή. Αν το σύστηµα δώσει δύο διαφορειτκές λύσεις η ευθεία τέµνει την παραβολή σε δύο διαφορειτκές σηµεία. Παράδειγµα Έστω η παραβολή και η ευθεία ( ε) : Λύνοντας το σύστηµά τους, είναι ή 0 ή Συνεπώς, η ( ε) τέµνει την ( π) στα σηµεία Ο (0,0) και Α (,) Ο(0,0) Α(,) (π) Αν το σύστηµα δώσει µία λύση η ευθεία τέµνει την παραβολή σε ένα σηµείο. Παράδειγµα 3 Έστω η παραβολή και η ευθεία ( ε) : Λύνοντας το σύστηµά τους, είναι ή Οπότε, η ( ε) τέµνει την ( π) στο σηµείο Α (, ) Συνεπώς, η ευθεία τέµνει την παραβολή σε ένα σηµείο. Αν το σύστηµα δώσει µία διπλή λύση η ευθεία εφάπτεται της παραβολής. Παράδειγµα Έστω η παραβολή και η ευθεία ( ε) : + Α(,) Α(,) (π) Λύνοντας το σύστηµα είναι ( + ) ή ( ) 0 (π) και προκύπτει διπλή λύση ο αριθµός Οπότε, η ( ε) εφάπτεται της ( π) στο σηµείο Α (, ) ηλαδή, το θέµα της επαφής, διευκρινίζεται και µε τη βοήθεια των συστηµάτων.

23 Παρουσίαση 3 Να τονίσουµε, ότι το θέµα της εφαπτοµένης, πραγµατώνεται και µε την βοήθεια του τύπου που είδαµε εδώ στην παραβολή. Έστω η παραβολή Η εφαπτοµένη ( ε) στο τυχόν σηµείο της M (, ), είναι η ( ε) : ( + ) Παράδειγµα 5 ή ( ε) : Θα βρούµε την εφαπτοµένη που είναι παράλληλη στην ( δ) : + Πραγµατικά Επειδή ( ε) // ( δ) : + είναι Επειδή όµως το σηµείο M (, ) είναι και σηµείο της ( π) είναι και Οπότε, η εξίσωση της εφαπτοµένης ( ε) της ( π), είναι η ευθεία ( ε) : Παράδειγµα 6 Θα βρούµε την εφαπτοµένη που είναι κάθετη στην ( δ) : Πραγµατικά Επειδή η εφαπτοµένη ( ε) είναι κάθετη στην ( δ) : θα είναι ( ) Επειδή όµως το M (, ) ανήκει στη ( π), είναι Έτσι, καταλήγουµε ότι και η εφαπτόµενη ευθεία είναι η ( ε) : Παράδειγµα 7 Θα βρούµε τις εφαπτοµένες που διέρχονται από το σηµείο Α(0, ) Πραγµατικά Επειδή η εφαπτοµένη διέρχεται από το σηµείο A(0, ) όπως και πριν, θα είναι και επειδή είναι καταλήγουµε ότι ο ο και ισοδύναµα ή Άρα, υπάρχουν δύο σηµεία επαφής τα M (,) και (,) και οι αντίστοιχες εφαπτοµένες έχουν εξισώσεις ( ε ) :, ( ε ) : M (δ) Μ (,) Α(,) (π) (δ) Μ (,) ( ε ) (π) (π) ( ε )

24 Παρουσίαση Θέµα Έστω η παραβολή p, p > 0 Έστω το τυχαίο σηµείο της M (, ) Θα αποδείξουµε ότι η ευθεία NM όπου N(,0) είναι εφαπτοµένη της ( π) Έστω τώρα η παραβολή 6 Θα κατασκευάσουµε µε κανόνα, την εφαπτοµένη της ( ε) στο σηµείο της M (,8 ) Απάντηση Μ(,0) Μ(, ) (π) Ας βρούµε πρώτα την ευθεία ( ΜΝ) Αυτή έχει κλίση τον αριθµό λ και ως διερχόµενη του N(,0) ή Θα λύσουµε τώρα το σύστηµα της ευθείας µε την παραβολή. έχει προφανώς εξίσωση την ( ε) : - 0 ( + ) Η παραβολή ή ο ο p γίνεται + p ο ο ο ο ο + + ρ ή + ρ + 0 ο ο + ρ ρ ρ ή ρ ρ ρ ή ρ + 0 ο ο ο ρ ρ Είναι ρ 0 Οπότε η ευθεία ( MN) εφάπτεται της ( π) Θα µπορούσαµε να κινηθούµε πολύ πιο άνετα, όπως πιο κάτω. Η εφαπτοµένη στο σηµείο (, ) ε) : Αρκεί να αποδείξουµε, ότι αυτή διέρχεται από το σηµείο N(,0) Πραγµατικά Η ( ε) : ρ( + ) για και 0 δίνει 0 ρ( ) 0 0 Προφανές + M της παραβολής είναι η ρ( ) ( + ηλαδή, η εφαπτοµένη διέρχεται από το σηµείο N, που σηµαίνει ότι η ευθεία ( MN) εφάπτεται της ( π)

25 Παρουσίαση 5 Ασκήσεις β. Έστω η παραβολή α) Να βρείτε το σηµείο της Μ ο µε τετµηµένη και τεταγµένη θετική. β) Να βρείτε την εφαπτοµένη της παραβολής στο σηµείο της Μ ο β. Να βρείτε την εφαπτοµένη της παραβολής, που έχει κλίση β.3 Να βρείτε την εφαπτοµένη της ( π) : στο σηµείο της Μ ο (,ρ ) β. Να βρείτε την εφαπτόµενη της παραβολής β.5 Έστω η παραβολή Να βρείτε τον 0,5, µε κλίση ώστε η εφαπτοµένη στο σηµείο της Μ (, 0,5 ) να διέρχεται από το σηµείο Α(,0 ) β.6 Να εξετάσετε αν η ευθεία ( ε) : +, εφάπτεται της β.7 Να βρείτε τις εφαπτοµένες της παραβολής από το σηµείο Α(,0 ) προς αυτή., οι οποίες άγονται β.8 Έστω η παραβολή Να βρείτε την τιµή του κ, ώστε η ευθεία ( ε) : + κ, να εφάπτεται αυτής. β.9 Έστω η παραβολή και η ευθεία ( ε) : α + β, α,β R α) Να βρείτε τη συνθήκη µεταξύ των α, β, ώστε η ( ε) να εφάπτεται της ( π) β) Να βρείτε τον λ, ώστε η : λ + 0,5 λ να εφάπτεται της παραβολής ( π) β.0 Έστω η παραβολή Η εφαπτοµένη της παραβολής στο σηµείο (, 3 ) α) Να αποδείξετε ότι B(,0 ) Α τέµνει τον στο B β) Μετά να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΕΑΒ είναι ισόπλευρο, µε πλευρά α β. Έστω οι παραβολές (π) : και (π ) : 6 Να αποδείξετε ότι οι εφαπτοµένες αυτών αντίστοιχα στα σηµεία Α (, ), (, ) διέρχονται από το ίδιο σηµείο του άξονα Α

26 Παρουσίαση 6

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÅÐÉËÏÃÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÅÐÉËÏÃÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου 0 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση 0) σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα από τους μιγαδικούς

Θέματα από τους μιγαδικούς 6/0/0 Θέματα από τους μιγαδικούς Μπάμπης Στεργίου Σεπτέμβριος 0 Θέμα ο ***Οι λύσεις έγιναν από τον Αλέξη Μιχαλακίδη Δίνονται τα σύνολα : A C/ και α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α BwC/w,A β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο .4 ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ 0 Ο 45 Ο 60 Ο ΘΕΩΡΙ. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί 0 ο, 45 ο, 60 ο : ηµίτονο συνηµίτονο εφαπτοµένη 0 ο 45 ο 60 ο ΣΚΗΣΕΙΣ. Στο διπλανό πίνακα, σε κάθε πληροφορία της στήλης, να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. α+βi =γ+δi α=γ και β=δ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. α+βi =γ+δi α=γ και β=δ Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών είναι ένα υπερσύνολο του R, του συνόλου των πραγματικών αριθμών, στο οποίο ισχύουν: Επεκτείνονται οι πράξεις της πρόσθεσης του πολλαπλασιασμού έτσι ώστε, να έχουν τις

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω η συνάρτηση f() = 80 αν < < 0 αν 0 αν i ) Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης Α = f( ) + f(0) 5f() f + f( ) Αν Μ(, ) και Ν(, 0) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΜΝ i

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ÊÏÑÕÖÁÉÏ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ÊÏÑÕÖÁÉÏ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 01 Ε_ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή Μαΐου 01 ιάρκεια Εξέτασης:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Γεωμετρικές κατασκευές Στα αιτήματα του Ευκλείδη περιλαμβάνονται μόνο τρία που αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ενός σχήματος. Ηιτήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04-05 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς C για τους οποίους ισχύει: - = + Im() και τη συνάρτηση f : w f ( w), όπου w C, w - και f (w) = w ) Να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 000 Ζήτηµα ο Α.. Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο Κ(x 0,y 0 ) και ακτίνα ρ. (Μονάδες ) Α.. Πότε η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ 0

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = π 3 γ) ω = π. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα x x µια ευθεία ε, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΠΥΡΟΣ ΧΡΙΣΤΙΑΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΠΥΡΟΣ ΧΡΙΣΤΙΑΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΠΥΡΟΣ ΧΡΙΣΤΙΑΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΘΗΝΑ 009 1. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

, y 1. y y y y = x ( )

, y 1. y y y y = x ( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ. ΕΞΙΣΩΣΗ ΓΡΑΜΜΗΣ Μία εξίσωση µε αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µίας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C και µόνο αυτές την επαληθεύουν. Αν έχουµε

Διαβάστε περισσότερα

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης 6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 1. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε το άθροισμα.

Διαβάστε περισσότερα

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = με a, β R και g() = 5.Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας ε, που σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία: π 3 α) ω = β) ω = γ) ω = π 3. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηματίζει με

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ 1 1. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα γνησίως αύξουσας Αν µία συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και για κάθε εσωτερικό σηµείο του ισχύει f () > 0 τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ. Γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους, y Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής α + βy = γ, µε α 0 ή β 0. Γραφική παράσταση γραµµικής εξίσωσης Κάθε γραµµική εξίσωση α + βy = γ παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004 Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-004 Περιεχόµενα 1 Θέµατα 1999.......................................... 3 Θέµατα 000..........................................

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ!

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! - Κύριε, πόσο μας χρειάζονται αυτά που μάθαμε πέρσι στα μαθηματικά της κατεύθυνσης; - Σοφία, αν όχι όλα, αρκετά από αυτά. - Για πείτε

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων 9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Β -- ΓΕΩΜΕΤΡΙΙΑ Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων Β. 1. 1 44. Τι ονομάζεται εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας και από τι εξαρτάται; Ονομάζεται εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή : i j όπου i, j μοναδιαία διανύσματα με κοινή αρχή το

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα