Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ"

Transcript

1 Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

2 Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά Θέλουµε διανύσµατα v και v, ώστε ν ν + ν, ώστε β M v v v Ο ε M M v // α και v v α Μπορούµε να κινηθούµε ως εξής ν Είδαµε ότι ν λ α (3λ, λ), οπότε ν ν (,) (3λ, λ) ( 3λ, λ) και επειδή ν α, θα είναι ν α 0 ή ( 3λ, λ)(3,) 0 ή 3 9λ + λ 0 ή 3 3 λ και προφανώς είναι ν, και ν, Θα µπορούσαµε να κινηθούµε και ως εξής Έστω ΟΜ v και ΟΜ v µε ν ν+ ν Το διάνυσµα v είναι η προβολή του v στο α, δηλαδή ν προβ ν Επειδή Από Συνεπώς ν // α υπάρχει λ R, ώστε ν λ α (3λ, λ) α v v προβ v α, είναι ( 3,) (,) (3,) (3λ,λ) ή 3 + 9λ + λ ή v α (3,), και v v v (,),, Θα µπορούσαµε όµως να κινηθούµε και ως εξής Θεωρούµε το διάνυσµα β (,3 ) Επειδή α β (3,)(,3) είναι α β και το πρόβληµα ανάγεται στο να αναλύσουµε το διάνυσµα v σε δύο συνιστώσες παράλληλες των διανυσµάτων α (3,) και β (,3 ) α λ Τελικά, είναι 3 3 v α (3,), και v β (,3),

3 Παρουσίαση 3 Θέµα 6 Έστω τα µη µηδενικά και µη συγγραµµικά διανύσµατα α και β Θα αποδείξουµε ότι ο φορέας του διανύσµατος u β α + α β είναι παράλληλος στη διχοτόµο της γωνίας των διανυσµάτων α και β Ο β α β α θ φ φ Β α β Α Γ u Απάντηση Έστω ω η γωνία των α και β, φ η γωνία των u, α, φ η γωνία των u, β Από u β α + α β πολλαπλασιάζοντας µε α είναι α u β α + α (α β) ή α u συνφ β α + α ή u συνφ α β ( + συνω) β συνω α β ή συνφ ( + συνω) u α β Όµοια καταλήγουµε ότι συνφ ( + συνω) u Οπότε συν φ συνφ και άρα φ φ Οπότε, ο φορέας του u είναι παράλληλος στη διχοτόµο της γωνίας των α και β Προσοχή, είναι λάθος να «πούµε» ότι ο φορέας του u είναι διχοτόµς της γωνίας των α και β αφού ένα διάνυσµα «κινείται στο επίπεδο.» Θα µπορούσαµε να λύσουµε το θέµα και ως εξής: Επειδή β α β α και α β α β το παραλληλόγραµµο είναι και ρόµβος, οπότε είναι προφανές ότι φ φ

4 Παρουσίαση Θέµα 7 Τα διανύσµατα α (κ, λ) και β (µ, ν) β ν είναι κάθετα και έχουν µέτρα ίσα µε τη µονάδα. λ α Θα αποδείξουµε ότι (κν λµ) µ Ο κ Απάντηση Μπορούµε να λύσουµε το θέµα ως εξής: Επειδή α β, έχουµε α β 0 ( κ,λ)(µ,ν) 0 κµ + λν 0 Επειδή τα µέτρα των α και β είναι ίσα µε τη µονάδα έχουµε κ + λ και µ + ν Από την ταυτότητα ( κ + λ )(µ + ν ) (κµ + λν) (κν λµ) θα έχουµε 0 (κν λµ) (κν λµ) Θα µπορούσαµε να λύσουµε το θέµα και ως εξής: ( κ + λ ν + µ συνω Είναι κν λµ) ((κ, λ) (ν, µ) ) συν ω, όπου ω είναι η γωνία των διανυσµάτων ( κ, λ) και ( ν, µ ) Όµως, τα διανύσµατα ( κ, λ) και ( ν, µ ) είναι παράλληλα κ λ αφού (κµ + λν) 0 και συνεπώς είναι συν ω ±, αφού ω 0 ή ω π ν µ Εποµένως, θα είναι συν ω και έτσι θα έχουµε (κν λµ) Θα µπορούσαµε να λύσουµε το θέµα και ως εξής: Αφού τα διανύσµατα α (κ, λ) και β (µ, ν) κάθετα και µοναδιαία αν τα τοποθετήσουµε σε σύστηµα αξόνων, πρέπει κ ν και λ µ Οπότε (κν λµ) ( κ + λ ) κ + λ

5 Παρουσίαση 5 Ασκήσεις ι.35 Τα διανύσµατα α, β, γ, είναι τα διανύσµατα θέσης των σηµείων Α,Β,Γ ως προς κάποιο σηµείο αναφοράς Ο Είναι α+ β 3 γ 0, α, β και γ 3 α) Να αποδείξετε ότι τα Α,Β, Γ είναι συνευθειακά και το Γ είναι εσωτερικό του ΑΒ β) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόµενο και µετά τη γωνία των α, β γ) Να αποδείξετε ότι τα Ο, Α, Β ορίζουν τρίγωνο και η ΟΓ είναι διχοτόµος του. δ) Αν µέσο Μ του ΑΒ, δείξτε ότι Γ ΟΜ ο 30, δηλαδή η ΟΜ διχοτοµεί την Γ Ο Β ι.36 Έστω τα διανύσµατα v, u και w για τα οποία ξέρουµε ότι v u w και α) Να αποδείξετε ότι v + u+ w 0 και ότι β) Θεωρούµε τώρα και τα διανύσµατα v u+ u w+ w v v u u w w v α v u, β w v και 3 γ u w β ) Να αποδείξετε ότι τα διανύσµατα α, β, γ ανά δύο δεν είναι παράλληλα. β ) Να αποδείξετε ότι τα µέτρα των διανυσµάτων α, β, γ είναι ίσα µε 3 ι.37 Έστω τα µη µηδενικά διανύσµατα v, u για τα οποία ισχύουν + v u, u v 6 και ( u+ v) (u v) α) Να αποδείξετε ότι u και v β ) Να βρείτε την τιµή της παράστασης u προβ u+ v + v προβ u β ) Να αποδείξετε ότι προβ u+ v + προβ u v u v u v v u v ι.38 Έστω τα µη µηδενικά διανύσµατα ΟΑ α και ΟΒ β για τα οποία ισχύει προβ β α 0 και προβ α+ β 3 β 0 α β Να αποδείξετε ότι α) α β και ότι β) το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισόπλευρο.

6 Παρουσίαση 6 ι.39 Έστω τα µη µηδενικά διανύσµατα ΟΑ α και ΟΒ β για τα οποία ισχύει προβ Να αποδείξετε ότι α ) β α 0 α α προβ α β και α προβ β α+ β 3 β 0 β α ) α 3 ) β προβ α+ β β(α+ β) α ) β α 5 ) α β Λ α 6 ) α, β 60 β) Να βρείτε το είδος του τριγώνου. ο α β α β α β ι.0 Έστω τα µη µηδενικά διανύσµατα α, β β v α ) Να αποδείξετε ότι: α β α β α β α ) Να βρείτε το ελάχιστο και µέγιστο της παράστασης α β και ποια είναι η σχετική θέση των διανυσµάτων στη θέση ακρότατων? α r Για τα σηµεία (, ) M ισχύει + 00 β ) Να βρείτε δύο διανύσµατα µε εσωτερικό γινόµενο 6 8 β ) Μετά, να βρείτε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή της Π 6 8 γ) Έστω δύο τετραγωνικά οικόπεδα I, I πλευρών d, d σε m Το κόστος περίφραξης για το πρώτο είναι, 5 ur το τρέχον µέτρο και για το δεύτερο είναι ur το τρέχον µέτρο Ξέρουµε ότι το άθροισµα των εµβαδών των οικοπέδων είναι 00 τ.µ. Να αποδείξετε ότι ο συνολικό κόστος περίφραξης δεν υπερβαίνει τα 00 ur δ) Να αποδείξετε ότι 6ηµ 8συν 0

7 Παρουσίαση 7 ΓΡΑΜΜΕΣ

8 Παρουσίαση 8 Θέµα 7 Θα βρούµε την εξίσωση της ευθείας ( ε) που διέρχεται από το σηµείο Μ (,) και τέµνει τις ευθείες ( ε ) : + και ( ε ) : + στα σηµεία Α και Β αντιστοίχως, ώστε το Μ να είναι µέσο του ΑΒ Απάντηση ( ε ) ( ε ) Α (, ) Μ Ο B(,) Ας δούµε πρώτα τον πιο κάτω τρόπο. Έστω ότι η ευθεία ( ε) που διέρχεται από το Μ, τέµνει την ( ε ) στο (, ) Α και την ( ε ) στο (, ) B + + Επειδή το M (,) είναι το µέσο του ΑΒ, είναι και Επίσης, επειδή το Α(, ) είναι και σηµείο της ( ε ) είναι ( ε ) : + επειδή το Β(, ) είναι και σηµείο της ( ε ) είναι ( ε ) : + + Θα λύσουµε τώρα το σύστηµα Οπότε, η σχέση δίνει και έτσι είναι και Οπότε 3 και Οπότε, πρόκειται για τα σηµεία Α (,3) και B(, ) Συνεπώς, η ευθεία του προβλήµατος είναι προφανώς η ευθεία ( ε) : Όµως, µπορούµε να αντιµετωπίσουµε το θέµα και κλασικά όπως παρακάτω.

9 Παρουσίαση 9 Να τονίσουµε πρώτα κάτι σηµαντικό! Όταν ψάχνουµε ευθεία και δεν ξέρουµε την κλίση της, πρέπει να διακρίνουµε περιπτώσεις, αν είναι κατακόρυφη, ή αν δεν είναι κατακόρυφη και έχει κλίση λ Οι ευθείες που διέρχονται από το σηµείο Μ (,) είναι η κατακόρυφη και οι µη κατακόρυφες ευθείες µε εξισώσεις ( ε λ ) : λ( ), λ R Η ευθεία τέµνει την ( ε ) : + στο σηµείο Κ (,3) και την ( ε ) : + στο σηµείο Λ(, ) ( ε ) ( ε ) Α Κ ( ) Άρα, η κατακόρυφη είναι µια από τις ζητούµενες ευθείες. Το ΚΛ έχει µέσο το σηµείο Μ, Μ (,) Ο Λ Μ Β Η ευθεία ( ε λ ) : λ( ), λ R τέµνει τις ( ε ) : +, ( ε ) : + στα σηµεία Α και Β αντιστοίχως, που οι συντεταγµένες τους + είναι οι λύσεις των συστηµάτων: ( Σ ) : και Σ λ( ) ( + ) : λ( ) λ Από το πρώτο σύστηµα, έχουµε: + λ λ ( λ ) λ λ λ 3λ λ 3λ οπότε + + και τελικά συµπεραίνουµε ότι Α, λ λ λ λ Προφανώς είναι λ αφού για λ, πρόκειται για την ευθεία η οποία ταυτίζεται µε την ε ) Οµοίως, λύνοντας το δεύτερο σύστηµα, καταλήγουµε ότι Β Επειδή το Μ (,) είναι µέσο του ΑΒ, είναι λ λ λ + λ λ + λ 3λ λ 3λ + λ λ + λ λ + λ το οποίο προφανώς είναι αδύνατο. λ, + λ + λ λ λ λ και + λ λ + λ λ Η µόνη λύση του προβλήµατός µας, είναι η κατακόρυφη ευθεία (

10 Παρουσίαση 0 γ Εξίσωση ευθείας Για να αποδείξουµε ότι µία εξίσωση της µορφής ( ε) : A + B + Γ 0 είναι εξίσωση ευθείας, αρκεί να αποδείξουµε ότι οι Μηδέν. ηλαδή, αρκεί να αποδείξουµε ότι Α + Β 0 Α, Β δεν είναι ταυτόχρονα Παράδειγµα Έστω η εξίσωση : (µ ) + µ + µ 0 Θα αποδείξουµε ότι παριστάνει ευθεία γραµµή, για κάθε πραγµατική τιµή του µ Πραγµατικά Η εξίσωση είναι της µορφής Α + B + Γ 0 µε Α µ και Β µ Επειδή οι συντελεστές µ και µ των και αντίστοιχα δεν µηδενίζονται συγχρόνως για καµία τιµή του µ η δοθείσα εξίσωση παριστάνει για κάθε µ R, ευθεία γραµµή. Παράδειγµα Έστω η εξίσωση ( ε) : ( + 5) + λ( ) 0, όπου λ R Θα αποδείξουµε ότι για κάθε τιµή της παραµέτρου λ, αυτή παριστάνει ευθεία. Πραγµατικά Η εξίσωση ( ε) : ( + 5) + λ( ) 0 γράφεται ισοδύναµα λ + λ + 7λ 0 ( ε) : ( + 3λ) + ( + λ) + (5 + 7λ) 0 Η εξίσωση είναι της µορφής Α + B + Γ 0, µε Α + 3λ και Β + λ Αν ήταν Α 0 + 3λ 0 λ και Β 0 + λ 0 λ Άτοπο. 3 Οπότε, δεν υπάρχει τιµή του λ που να µηδενίζεται συγχρόνως και ο συντελεστής του και ο συντελεστής του Οπότε, η εξίσωση παριστάνει εξίσωση ευθείας για κάθε τιµή του λ R

11 Παρουσίαση Ένα κλασικό θέµα είναι το θέµα σχετικά µε το να αποδείξουµε ότι οι ευθείας µίας οικογένειας ευθειών διέρχονται από σταθερό σηµείο δηλαδή, αποτελούν δέσµη ευθειών. Ο Παράδειγµα 3 Έστω η εξίσωση ( ε λ ) : (λ + ) + (λ ) + ( λ) 0 Θα αποδείξουµε ότι αυτή αποτελεί εξίσωση ευθείας και ότι όλες οι ευθείες που παράγονται, διέρχονται από το ίδιο σηµείο. Πραγµατικά Έστω ότι λ + 0 λ και λ 0 0 Άτοπο. Οπότε, η πιο πάνω εξίσωση, είναι µία οικογένεια ευθειών για κάθε λ R Ας δούµε, πως θα αποδείξουµε ότι αυτές διέρχονται από σταθερό σηµείο. Για να δείξουµε ότι όλες οι ευθείες της οικογένειας διέρχονται από το ίδιο σηµείο αρκεί να βρούµε ένα σηµείο Σ( ο, ο ) του οποίου οι συντεταγµένες να επαληθεύουν την αρχική εξίσωση για όλες τις τιµές του λ Ας θεωρήσουµε δύο συγκεκριµένες απ αυτές. Για λ 0 προκύπτει η ευθεία ( ε ) : + 0 Για λ προκύπτει η ευθεία ( ε ) : 0 Λύνοντας το σύστηµα αυτών βρίσκουµε απλά ότι και ηλαδή, οι ευθείες ( ε ) και ( ε ) τέµνονται στο σηµείο Σ (, ) Οπότε, αν όλες διέρχονται από σταθερό σηµείο, αυτό θα είναι το σηµείο Σ Ας το αποδείξουµε. Η εξίσωση ( ε λ ) : (λ + ) + (λ ) + ( λ) 0 για και γίνεται ( λ + ) + (λ ) + ( λ) ηλαδή, οι συντεταγµένες του Σ ικανοποιούν την ( ε λ ) Οπότε, όλες οι ευθείες ( ε λ ) διέρχονται από το σταθερό σηµείο Σ

12 Παρουσίαση Θα µπορούσαµε όµως, να κινηθούµε και ως εξής: Η εξίσωση ( ε λ ) : (λ + ) + (λ ) + ( λ) 0 γίνεται ( ε λ ) : λ + + λ + λ 0 ή ( + )λ + ( + ) 0 για κάθε λ R Οπότε, πρέπει + 0 και 0 Λύνοντας το πιο πάνω σύστηµα βρίσκουµε απλά ότι και ηλαδή, οι ευθείες ( ε ) και ( ε ) τέµνονται στο σηµείο Σ (, ) Οπότε, όλες διέρχονται από σταθερό σηµείο, το σηµείο Σ Θα µπορούσαµε όµως να κινηθούµε και όπως πιο κάτω: Έστω η εξίσωση ( ε λ ) : (λ + ) + (λ ) + ( λ) 0 Θεωρούµε δύο τυχούσες απ αυτές, τις ε ) : (λ + ) + (λ ) + ( λ ) 0 ( και ( ε ) : (λ + ) + (λ ) + ( λ ) 0 που υποθέτουµε ότι είναι διαφορετικές, δηλαδή ότι λ λ Θα λύσουµε το σύστηµά τους. Είναι (Σ) : (λ (λ + ) + (λ + ) + (λ ) λ ) λ λ + λ Είναι D ( λ + )(λ ) (λ + )(λ ) λ + λ ( λ λ λ + λ ) ( λλ λ + λ ) ( λ λ ) 0 3 Επίσης, πολύ απλά, διαπιστώνουµε ότι D λ λ 3( λ ) λ λ λ και D λ + λ 3( λ ) λ + λ λ D D Συνεπώς, το σύστηµα δέχεται µοναδική λύση την (, ), (, ) Επειδή οι τυχούσες ευθείες ( ε ), ε ) συµπεραίνουµε ότι και όλες οι ευθείες ε ) ( τέµνονται στο Σ (, ) ( λ διέρχονται από το σηµείο Σ (, ) D D

13 Παρουσίαση 3 Επίσης ένα κλασικό θέµα είναι το θέµα σχετικά µε το να εξετάσουµε αν κάποια ευθεία, είναι τελικά ευθεία µίας δέσµης ευθειών. Παράδειγµα Όπως είδαµε πριν, η εξίσωση ( ε λ ) : (λ + ) + (λ ) + ( λ) 0 αποτελεί µία δέσµη ευθειών, δηλαδή ευθείες που διέρχονται από το ίδιο σηµείο και µάλιστα το σηµείο Σ (, ) Θα εξετάσουµε τώρα, αν η ευθεία ( δ) : είναι ευθεία της οικογένειας. Επειδή για και αυτή δίνει αυτή δεν διέρχεται από το Σ και άρα δεν είναι ευθεία της οικογένειας. Να τονίσουµε τώρα κάτι σηµαντικό. Αν κάποια ευθεία διέρχεται από το σταθερό σηµείο Σ (, ) δεν είναι κατά ανάγκη και ευθεία της οικογένειας. Για παράδειγµα, θα εξετάσουµε αν η ευθεία ( δ) : + 0 είναι ευθεία της παραπάνω οικογένειας ( ε λ ) : (λ + ) + (λ ) + ( λ) 0 Για και, αυτή δίνει + 0 δηλαδή αυτή διέρχεται από το Σ (, ) Όµως, αυτό δεν διαπιστώνει ότι αυτή είναι ευθεία της οικογένειας. Ας δούµε πρώτα τι γίνεται, µέσα από το πιο κάτω παράδειγµα. Έστω η οικογένεια ευθειών ( ε ) : λ + λ λ R λ της οποίας οι ευθείες διέρχονται προφανώς από το σηµείο Σ (, ) Επειδή αυτές έχουν κλίση µη αρνητική, την σηµαίνει ότι οι εφαπτόµενες των γωνιών που σχηµατίζουν αυτές µε τον είναι θετικές, δηλαδή αυτές σχηµατίζουν µε τον γωνίες οξείες. Οπότε, ναι µεν η ευθεία ( ζ) : + διέρχεται από το σηµείο Σ (, ) αλλά επειδή έχει αρνητική κλίση, προφανώς δεν είναι ευθεία της οικογένειας ( ε λ ) λ

14 Παρουσίαση Ας δούµε τώρα σε µία τέτοια περίπτωση κατά την οποία µία ευθεία διέρχεται από το σταθερό σηµείο που διέρχονται οι ευθείες µίας οικογένειας, αν είναι µία ευθεία αυτής. Γνωρίζουµε ότι οι ευθείες ε ) : A + B + Γ 0 ( ( ε ) : A + B + Γ 0 ταυτίζονται, µόνο αν οι συντελεστές A,B, Γ είναι αντίστοιχα ανάλογοι των A,B, Γ Ας δούµε ξανά το προηγούµενο παράδειγµα. Έστω η οικογένεια ευθειών ( ε λ ) : (λ + ) + (λ ) + ( λ) 0 και έστω και η ευθεία ( ζ) : + η οποία διέρχεται από το σηµείο Σ (, ) Για να είναι η ευθεία ( ζ) : + ( ζ) : + 0 µία ευθεία της αρκεί να υπάρχει λ R ώστε λ + λ λ Από λ + λ είναι λ + λ Αδύνατο. Οπότε, αυτή δεν είναι ευθεία της οικογένειας. Ας εξετάσουµε αν η ευθεία ( δ) : είναι ευθεία της παραπάνω οικογένειας ( ε λ ) : (λ + ) + (λ ) + ( λ) 0 Για και, αυτή δίνει + 0 δηλαδή αυτή διέρχεται από το Σ (, ) Για να είναι η ευθεία ( δ) : µία ευθεία της αρκεί να υπάρχει λ R, ώστε λ + 3 λ λ Λύνοντας το σύστηµα αυτό, προκύπτει 7 λ Οπότε, αυτή είναι µία ευθεία της οικογένειας αυτής.

15 Παρουσίαση 5 θ Γενικά θέµατα Θέµα Έστω η εξίσωση (c) : α) Θα αποδείξουµε ότι αυτή παριστάνει δύο ευθείες τεµνόµενες. β) Θα βρούµε την οξεία γωνία αυτών. Απάντηση α) Η εξίσωση γίνεται + ( ) ( ) ( ( 5 + ) Οπότε ( ε ) : + 5 ή ( ε ) : 3 Άρα, η εξίσωση παριστάνει τις δύο ευθείες. β) Η ευθεία ( ε ) : + γράφεται και ως ( ε ) : + 0 και η ευθεία ( ε ) : 3 γράφεται και ως ( ε ) : ) δ Θεωρούµε το διάνυσµα (,) //(ε ) δ και (, 3) //(ε ) Έτσι συν δ, δ Άρα συν δ, δ δ δ δ δ + ( 3) και επειδή δ, δ [0,π], θα είναι δ, δ Οπότε, η αµβλεία γωνία ω των ευθειών ( ε ), ε ) και συνεπώς η οξεία γωνία φ των ( ε ), ( ε ) θα είναι 3π (, είναι η ω 3π φ π π 3π

16 Παρουσίαση 6 Θέµα Θα βρούµε τις εξισώσεις των διχοτόµων των γωνιών που σχηµατίζουν οι ευθείες ( ε ) : και ( ε ) : Απάντηση Ένα σηµείο M (, ) ανήκει σε µια από τις διχοτόµους των γωνιών που ορίζουν οι ευθείες ( ε ) : και ( ε ) : αν και µόνο αν ισαπέχει από τις δύο ευθείες. ηλαδή, αν ( M,(ε )) d( M,(ε )) d ( ) (3 + ) 5(5 + + ) ή 3(3 + ) 5(5 + + ) ( ε ) ( δ ) ( ε) Μ Ο Ν ( δ ) ή ( δ ) : ή ( δ ) : Άρα, οι εξισώσεις των διχοτόµων είναι οι ευθείες ( δ ) : 0 7 0, ( δ ) : Επιλέγουµε ένα τυχόν σηµείο Ν της ( ε ) για παράδειγµα το Ν, Είναι d( Ν,(ε )) και d( Ν,(ε )) ( ) + Επειδή ( Ν,(ε )) d( Ν,(ε )) d < 5 5 η ( δ ) είναι η διχοτόµος της οξείας γωνίας των ευθειών και η ( δ ) είναι η διχοτόµος της αµβλείας γωνίας των ευθειών Να τονίσουµε, ότι ο εντοπισµός της διχοτόµου της οξείας ή αµβλείας γωνίας µπορεί να γίνει και µε τη χρήση γραµµικών ανισώσεων. 35 3

17 Παρουσίαση 7 Θέµα 3 Έστω τα σηµεία (, ) Μ, ώστε λ + και λ, λ R Αφού αποδείξουµε ότι τα σηµεία M βρίσκονται σε ευθεία, για τις τιµές του στη συνέχεια, θα αποδείξουµε ότι εκείνο το σηµείο που απέχει τη µικρότερη απόσταση από το Ο ( 0,0) είναι το σηµείο Μ ο (, ) λ R Απάντηση Από και λ + λ λ + λ O M M ο (, ) Οπότε + : ( ε) ( δ) : Η ευθεία ( ε) : αποτελεί και το γεωµετρικό τόπο των σηµείων Μ Θα προσδιορίσουµε τώρα την ευθεία ( δ) που διέρχεται από το Ο (0,0) και είναι κάθετη στην ευθεία ( ε) Επειδή (δ), είναι προφανώς και τελικά είναι ( δ) : λ δ Λύνοντας το σύστηµα των ( ε),(δ) είναι και συνεπώς Οπότε, οι ευθείες ( ε),(δ) τέµνονται στο σηµείο Μ ο (, ) Μάλλον όµως, ο «καλύτερος τρόπος» για το ελάχιστο είναι ο παρακάτω: Επειδή Μ( λ +,λ ) ΟΜ ( λ + ) + (λ ) λ + λ + + λ λ + Οπότε, πρόκειται για το σηµείο Μ ο (, ) 8λ + το οποίο ελαχιστοποιείται για λ 0

18 Παρουσίαση 8 Ας προσέξουµε και το πιο κάτω θέµα. Θέµα Έστω τα σηµεία (, ) + Μ ώστε λ και λ, λ R Θα βρούµε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκονται τα σηµεία Μ για τις διάφορες τιµές του λ R Από τα παραπάνω σηµεία θα αποδείξουµε ότι το Α (,0 ) απέχει από το Ο (0,0), τη µικρότερη απόσταση. Απάντηση z Έστω τα σηµεία Μ (, ) Από λ + λ O Μ ο A(,0) M και λ λ ( δ) : Οπότε και ισοδύναµα : ( ε) + ηλαδή, τα σηµεία M(z) (λ,λ ) είναι σηµεία της ευθείας ( ε) : Όµως, πολύ απλά, εδώ διαπιστώνεται ότι ο τόπος δεν είναι ολόκληρη η ευθεία αφού λ 0 και ισοδύναµα ηλαδή, ο γεωµετρικός τόπος, είναι η ηµιευθεία ( Αz) : µε A (,0 ) Όµως τώρα, δεν έχει νόηµα να προσδιορίσουµε την ευθεία ( δ) : για να εντοπίσουµε το σηµείο τοµής των ( ε), ( δ) το Μο M(z ), αφού αυτό δεν είναι σηµείο του τόπου. Να τονίσουµε ότι εδώ ότι το ζητούµενο σηµείο Α που απέχει από το Ο τη µικρότερη απόσταση είναι προφανώς το σηµείο Α (,0 ) αφού προφανώς η εικόνα του Α, είναι το σηµείο της ηµιευθείας που απέχει από την αρχή Ο τη µικρότερη δυνατή απόσταση. Α z

19 Παρουσίαση 9 γ Εφαπτοµένες ευθείες Η σχετική θέση µίας ευθείας µε ένα κύκλο, διευκρινίζεται από το πλήθος λύσεων του συστήµατός των. Παράδειγµα Θα βρούµε τη σχετική θέση της ευθείας ( ε) : µε το κύκλο (κ) : + Πραγµατικά Μπορούµε να κινηθούµε ως εξής. Λύνοντας το σύστηµα τους, η εξίσωση (κ) : + O (, ) Μ γίνεται + ( ) + 0 ( ) 0 ιαπιστώσαµε, ότι η ευθεία εφάπτεται του κύκλου ( κ) στο Μ Θα µπορούσαµε να κινηθούµε και µε τη βοήθεια της γεωµετρίας. Επειδή η απόσταση d του κέντρου Ο του κύκλου από την ευθεία ( ε), όπου ρ η ακτίνα του κύκλου + είναι d d( O,ε) ρ προφανώς η ευθεία εφάπτεται του κύκλου ( κ) ιπλή ρίζα., Μπορούµε να κινηθούµε και µε τη βοήθεια του τύπου της εφαπτοµένης. Έστω το τυχόν σηµείο (, ) M του κύκλου Η εφαπτοµένη σ αυτό είναι η ευθεία ( ε) : + ( ε) : + Θέλουµε αυτή να είναι η ευθεία ( ε) : Οπότε, πρέπει και, όπου ο και ηλαδή, διαπιστώνουµε ότι η εφάπτεται του κύκλου ( κ), στο Μ,

20 Παρουσίαση 0 Ας δούµε πως βρίσκουµε την εφαπτοµένη κύκλου µε κέντρο το Ο (0,0) µε κάποια ιδιότητα, όπου δεν ξέρουµε το σηµείο επαφής. Παράδειγµα Θα βρούµε τις εξισώσεις των εφαπτοµένων του κύκλου (κ) : + 5 οι οποίες διέρχονται από το σηµείο Α (5,0) Πραγµατικά Μπορούµε να κινηθούµε ως εξής. Αν Mο ( ο, ο ) είναι το σηµείο επαφής η εφαπτοµένη έχει εξίσωση ε) : + 5 ( Επειδή A(5,0), είναι Επειδή Mο ( ο, ο ) (κ), είναι και + 5 και για, αυτή γίνεται + 5 ή Οπότε, υπάρχουν δύο σηµεία επαφής, τα M (, ) και M (, ) και οι εφαπτοµένες, είναι οι ευθείες ( ε ) : και ( ε ) : 5 0 Θα µπορούσαµε να κινηθούµε και µε τη χρήση συστηµάτων. Πιο συγκεκριµένα: Κάθε ευθεία η οποία διέρχεται από το σηµείο Α (5,0) ή θα είναι κατακόρυφη και θα έχει εξίσωση ( ε) : 5 ( ε) : 5 ή οποία όµως δεν αποτελεί λύση του προβλήµατος ή δεν θα είναι κατακόρυφη µε εξίσωση ( ε λ ) : 0 λ( 5) ( ε λ ) : λ 5λ Η εξίσωση του κύκλου γίνεται ( λ 5λ) 5 Πρέπει 0 00λ ( 5λ 5)( λ + ) 0 + ( λ + ) 0λ + 5λ 5 0 λ λ ± και οι εφαπτοµένες είναι οι ευθείες ( ε ) : και ( ε ) : 5 0 O Μ O ο (, ) Μ ο Α( 5,0) 5 Θα µπορούσαµε να κινηθούµε και µε τη γεωµετρία. Μ ο Πριν βρήκαµε την τυχούσα ευθεία ( ε λ ) : λ 5λ 0 5λ Θέλουµε d ( O,ε) ρ 5 5 λ 5 λ + λ λ ± λ + και οι εφαπτοµένες είναι οι ευθείες ( ε ) : και ( ε ) : 5 0 O 5

21 Παρουσίαση Ας δούµε πως βρίσκουµε την εφαπτοµένη κύκλου µε κέντρο διαφορετικό του Ο (0,0) σε δεδοµένο σηµείο του. Παράδειγµα 3 Θα βρούµε την εφαπτοµένη του κύκλου ( κ) : ( ) + ( + ) στο σηµείο του Πραγµατικά Μ ο, 3 O Μ ο Μ(, ) Κ Ο κύκλος έχει κέντρο K(, ) και ακτίνα ρ Έστω το τυχόν σηµείο (, ) Μ της εφαπτόµενης ευθείας ( ε) Πρέπει ο ο Μο Κ ΜοΜ Μ Κ Μ Μ 0 3 3,, 0 3 3,, ( ε) : Ας δούµε πως βρίσκουµε την εφαπτοµένη κύκλου µε κέντρο διαφορετικό του Ο (0,0) µε κάποια ιδιότητα, όπου δεν ξέρουµε το σηµείο επαφής. Παράδειγµα Θα εξετάσουµε αν η ευθεία ( ε) : O Μ ο εφάπτεται του κύκλου ( κ) : ( ) + ( + ) Πραγµατικά Επειδή d ( Κ,ε) ρ , η ευθεία εφάπτεται του ( κ) + Κ Φυσικά, θα µπορούσαµε να κινηθούµε και µε µία από τις προηγούµενες τεχνικές.

22 Παρουσίαση β Εφαπτοµένες παραβολής Γενικά. η σχετική θέση µιας ευθείας και µίας παραβολής, διευκρινίζεται από την επίλυση του αντίστοιχου συστήµατος των εξισώσεών τους. Πιο συγκεκριµένα Αν το σύστηµα είναι αδύνατο η ευθεία δεν τέµνει την παραβολή. (π) Παράδειγµα Έστω η παραβολή και η ευθεία ( ε) : Λύνοντας το σύστηµά τους είναι ( ) ή + 0 Αδύνατο Συνεπώς, η ευθεία δεν τέµνει την παραβολή. Αν το σύστηµα δώσει δύο διαφορειτκές λύσεις η ευθεία τέµνει την παραβολή σε δύο διαφορειτκές σηµεία. Παράδειγµα Έστω η παραβολή και η ευθεία ( ε) : Λύνοντας το σύστηµά τους, είναι ή 0 ή Συνεπώς, η ( ε) τέµνει την ( π) στα σηµεία Ο (0,0) και Α (,) Ο(0,0) Α(,) (π) Αν το σύστηµα δώσει µία λύση η ευθεία τέµνει την παραβολή σε ένα σηµείο. Παράδειγµα 3 Έστω η παραβολή και η ευθεία ( ε) : Λύνοντας το σύστηµά τους, είναι ή Οπότε, η ( ε) τέµνει την ( π) στο σηµείο Α (, ) Συνεπώς, η ευθεία τέµνει την παραβολή σε ένα σηµείο. Αν το σύστηµα δώσει µία διπλή λύση η ευθεία εφάπτεται της παραβολής. Παράδειγµα Έστω η παραβολή και η ευθεία ( ε) : + Α(,) Α(,) (π) Λύνοντας το σύστηµα είναι ( + ) ή ( ) 0 (π) και προκύπτει διπλή λύση ο αριθµός Οπότε, η ( ε) εφάπτεται της ( π) στο σηµείο Α (, ) ηλαδή, το θέµα της επαφής, διευκρινίζεται και µε τη βοήθεια των συστηµάτων.

23 Παρουσίαση 3 Να τονίσουµε, ότι το θέµα της εφαπτοµένης, πραγµατώνεται και µε την βοήθεια του τύπου που είδαµε εδώ στην παραβολή. Έστω η παραβολή Η εφαπτοµένη ( ε) στο τυχόν σηµείο της M (, ), είναι η ( ε) : ( + ) Παράδειγµα 5 ή ( ε) : Θα βρούµε την εφαπτοµένη που είναι παράλληλη στην ( δ) : + Πραγµατικά Επειδή ( ε) // ( δ) : + είναι Επειδή όµως το σηµείο M (, ) είναι και σηµείο της ( π) είναι και Οπότε, η εξίσωση της εφαπτοµένης ( ε) της ( π), είναι η ευθεία ( ε) : Παράδειγµα 6 Θα βρούµε την εφαπτοµένη που είναι κάθετη στην ( δ) : Πραγµατικά Επειδή η εφαπτοµένη ( ε) είναι κάθετη στην ( δ) : θα είναι ( ) Επειδή όµως το M (, ) ανήκει στη ( π), είναι Έτσι, καταλήγουµε ότι και η εφαπτόµενη ευθεία είναι η ( ε) : Παράδειγµα 7 Θα βρούµε τις εφαπτοµένες που διέρχονται από το σηµείο Α(0, ) Πραγµατικά Επειδή η εφαπτοµένη διέρχεται από το σηµείο A(0, ) όπως και πριν, θα είναι και επειδή είναι καταλήγουµε ότι ο ο και ισοδύναµα ή Άρα, υπάρχουν δύο σηµεία επαφής τα M (,) και (,) και οι αντίστοιχες εφαπτοµένες έχουν εξισώσεις ( ε ) :, ( ε ) : M (δ) Μ (,) Α(,) (π) (δ) Μ (,) ( ε ) (π) (π) ( ε )

24 Παρουσίαση Θέµα Έστω η παραβολή p, p > 0 Έστω το τυχαίο σηµείο της M (, ) Θα αποδείξουµε ότι η ευθεία NM όπου N(,0) είναι εφαπτοµένη της ( π) Έστω τώρα η παραβολή 6 Θα κατασκευάσουµε µε κανόνα, την εφαπτοµένη της ( ε) στο σηµείο της M (,8 ) Απάντηση Μ(,0) Μ(, ) (π) Ας βρούµε πρώτα την ευθεία ( ΜΝ) Αυτή έχει κλίση τον αριθµό λ και ως διερχόµενη του N(,0) ή Θα λύσουµε τώρα το σύστηµα της ευθείας µε την παραβολή. έχει προφανώς εξίσωση την ( ε) : - 0 ( + ) Η παραβολή ή ο ο p γίνεται + p ο ο ο ο ο + + ρ ή + ρ + 0 ο ο + ρ ρ ρ ή ρ ρ ρ ή ρ + 0 ο ο ο ρ ρ Είναι ρ 0 Οπότε η ευθεία ( MN) εφάπτεται της ( π) Θα µπορούσαµε να κινηθούµε πολύ πιο άνετα, όπως πιο κάτω. Η εφαπτοµένη στο σηµείο (, ) ε) : Αρκεί να αποδείξουµε, ότι αυτή διέρχεται από το σηµείο N(,0) Πραγµατικά Η ( ε) : ρ( + ) για και 0 δίνει 0 ρ( ) 0 0 Προφανές + M της παραβολής είναι η ρ( ) ( + ηλαδή, η εφαπτοµένη διέρχεται από το σηµείο N, που σηµαίνει ότι η ευθεία ( MN) εφάπτεται της ( π)

25 Παρουσίαση 5 Ασκήσεις β. Έστω η παραβολή α) Να βρείτε το σηµείο της Μ ο µε τετµηµένη και τεταγµένη θετική. β) Να βρείτε την εφαπτοµένη της παραβολής στο σηµείο της Μ ο β. Να βρείτε την εφαπτοµένη της παραβολής, που έχει κλίση β.3 Να βρείτε την εφαπτοµένη της ( π) : στο σηµείο της Μ ο (,ρ ) β. Να βρείτε την εφαπτόµενη της παραβολής β.5 Έστω η παραβολή Να βρείτε τον 0,5, µε κλίση ώστε η εφαπτοµένη στο σηµείο της Μ (, 0,5 ) να διέρχεται από το σηµείο Α(,0 ) β.6 Να εξετάσετε αν η ευθεία ( ε) : +, εφάπτεται της β.7 Να βρείτε τις εφαπτοµένες της παραβολής από το σηµείο Α(,0 ) προς αυτή., οι οποίες άγονται β.8 Έστω η παραβολή Να βρείτε την τιµή του κ, ώστε η ευθεία ( ε) : + κ, να εφάπτεται αυτής. β.9 Έστω η παραβολή και η ευθεία ( ε) : α + β, α,β R α) Να βρείτε τη συνθήκη µεταξύ των α, β, ώστε η ( ε) να εφάπτεται της ( π) β) Να βρείτε τον λ, ώστε η : λ + 0,5 λ να εφάπτεται της παραβολής ( π) β.0 Έστω η παραβολή Η εφαπτοµένη της παραβολής στο σηµείο (, 3 ) α) Να αποδείξετε ότι B(,0 ) Α τέµνει τον στο B β) Μετά να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΕΑΒ είναι ισόπλευρο, µε πλευρά α β. Έστω οι παραβολές (π) : και (π ) : 6 Να αποδείξετε ότι οι εφαπτοµένες αυτών αντίστοιχα στα σηµεία Α (, ), (, ) διέρχονται από το ίδιο σηµείο του άξονα Α

26 Παρουσίαση 6

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ 1.1.. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΜΑ ΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση γραµµής C Μια εξίσωση µε δύο αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µιας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C, και µόνον αυτές, την επαληθεύουν..

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Ο ΚΥΚΛΟΣ. 1. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) 2. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου. 3. Εφαπτοµένη κύκλου

3.1 Ο ΚΥΚΛΟΣ. 1. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) 2. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου. 3. Εφαπτοµένη κύκλου 3. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) + y ρ. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου ρσυνφ και y ρηµφ 3. Εφαπτοµένη κύκλου + yy ρ 4. Εξίσωση κύκλου µε κέντρο το σηµείο Κ( o, y ο ) και ακτίνα ρ ( o ) + (y y ο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Α. Έστω α = (x 1, y 1 ) και β = (x, y ) δύο διανύσµατα Να γράψετε την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινοµένου τους i Αν τα διανύσµατα δεν είναι παράλληλα προς τον

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής 9 3 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ Ορισμός Παραβολής Έστω μια ευθεία δ και ένα σημείο Ε εκτός της δ Ονομάζεται παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου τα οποία

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 5 Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός 867 (Αναρτήθηκε 8 4 ) ίνονται τα διανύσµατα a και b µε µέτρα, 6 αντίστοιχα και ϕ [, π] a b+ x+ a b y 5= () δίνεται η εξίσωση ( ) ( ) α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Η συνάρτηση y = αχ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y = αχ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y = α + β + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητές : Νικόλαος Κατσίπης 25 Απριλίου 2014 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας ευχόµαστε καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7)

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7) ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Άσκηση Δίνονται τα διανύσματα a και με a, = 3 και a =, =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a. β) Αν τα διανύσματα a + και κ a + είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία 1 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Εξίσωση Γραμμής Μια εξίσωση με δύο αγνώστους, λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C, όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C, και μόνο αυτές, την επαληθεύουν.

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 999 Ζήτηµα ο Α. Έστω a, ) και β, ) δύο διανύσµατα του καρτεσιανού επιπέδου Ο. α) Να εκφράσετε χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων a και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ o Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων α, β. Μονάδες 4 Β. Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. Τα σηµεία Β και Γ είναι σηµεία του επιπέδου p, η ΒΓ είναι ευθεία του p. Η ΒΓ τέµνει την ΑΜ στον

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. Τα σηµεία Β και Γ είναι σηµεία του επιπέδου p, η ΒΓ είναι ευθεία του p. Η ΒΓ τέµνει την ΑΜ στον Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. Τα σηµεία και είναι σηµεία του επιπέδου, η είναι ευθεία του. Η τέµνει την Μ στον Μ Ν Ν. Το Ν σαν σηµείο της ανήκει στο, άρα και το Μ σαν σηµείο της Ν ανήκει στο. B. Έστω ε µια ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2001

Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2001 Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 00 Ζήτηµα ο Α.. Έστω α, β, γ ακέραιοι αριθµοί. Να δείξετε ότι ισχύουν οι επόµενες ιδιότητες: α. Αν α β, τότε α λβ για κάθε ακέραιο λ. β. Αν α β και α

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

2.7. ր ց ց ր. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1. H παράγωγος µιας συνάρτησης f είναι. f (x) > 0 3(x 1 ) 3 (x 2 ) 2 (x 3) > 0

2.7. ր ց ց ր. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1. H παράγωγος µιας συνάρτησης f είναι. f (x) > 0 3(x 1 ) 3 (x 2 ) 2 (x 3) > 0 .7 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 67 7 A Οµάδας. H παράγωγος µιας συνάρτησης είναι () = ( ) ( ) ( ) Για ποιες τιµές του η παρουσιάζει τοπικό µέγιστο και για ποιες τοπικό ελάχιστο; D = R, όπου και παραγωγίζεται.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Παραβολής

Μεθοδολογία Παραβολής Μεθοδολογία Παραβολής Παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια σταθερή ευθεία, την επονομαζόμενη διευθετούσα (δ), και από ένα σταθερό σημείο Ε που λέγεται εστία της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (16) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ . Η ΕΝΝΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση πρώτου βαθµού µε αγνώστους και νοµάζεται κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ. Άγνωστοι είναι το και το. Τα α, β και γ λέγοντα συντελεστές. Ειδικότερα το γ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 07 3. Να αποδείξετε την ταυτότητα + + αβ βγ γα = Να αποδείξετε ότι για όλους τους α, β, γ ισχύει + + αβ + βγ + γα Πότε ισχύει ισότητα; = = + + =

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ)

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΥΘΕΙΑ Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) 1. Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΩΝΙΚΗΣ

3.5 ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΩΝΙΚΗΣ 1 3.5 ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΩΝΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Σχετική θέση ευθείας και κωνικής τοµής Έστω η ευθεία ε : y = λx + β και µία κωνική τοµή C µε εξίσωση την φ(x, y) =. Το πλήθος των κοινών σηµείων της ε και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÅÐÉËÏÃÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÅÐÉËÏÃÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου 0 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση 0) σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί;

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί; 5. 5.2 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 99 00 ρωτήσεις ατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί; 3 Π 5 4 Π 2 5 5 Ο 3 4 Ο 4 Π 3 Ν 3 3 Μ 3,5 3,5 Λ Ρ φ Π 4 φ ω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ η ΕΚΑ Α 11. Στο λογαριασµό του ΟΤΕ πληρώνουµε πάγιο τέλος κάθε µήνα 1 και για κάθε µονάδα οµιλίας 0,09. Να βρείτε έναν τύπο που να µας δίνει το ποσό των χρηµάτων y που θα πληρώσουµε

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητής : Νικόλαος. Κατσίπης 19 Απριλίου 2013 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας εύχοµαι καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και Μ το µέσο του. Η Μ τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i ΟΜ = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα Μ και Μ έχουν Μ =

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α . ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Σηµείωση Οι δυνάµεις α του κεφαλαίου έχουν βάση α > 0 και εκθέτη οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό.. Παραδοχή 0 α. Ιδιότητες α + α ( ) α α : α ( ) α α α αβ α β α β α β. Εκθετική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».

Διαβάστε περισσότερα

1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: 2π 3

1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: 2π 3 Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = 2π 3 γ) ω = π 2. * Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8//04) Θέματα ης Ομάδας ο ΘΕΜΑ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP 8556

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8.

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8. ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ 1) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής αν έχει: i) Εστιακή απόσταση γ=0 και άξονα β=16, 5 ii) Άξονα α=16 και εκκεντρότητα ε=. 4 ) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ 8. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής με κορυφή το (0, 0) στις παρακάτω περιπτώσεις: α) είναι συμμετρική ως προς το θετικό ημιάξονα Οx και έχει παράμετρο p = 5 β)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Θέµα 1 Α. Να υπολογίσετε την πλευρά λ και το απόστηµα α τετραγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο (Ο, R) συναρτήσει της ακτίνας R (10 Μονάδες) Β. Να χαρακτηρίσετε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΗ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΤΙΜΗ

ΜΕΓΙΣΤΗ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΤΙΜΗ ΜΕΓΙΣΤΗ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΤΙΜΗ Στην παράγραφο αυτή θα εφαρµόσουµε ιδιότητες των διανυσµάτων, για να βρούµε την µέγιστη και ελάχιστη τιµή παραστάσεων µε µία, δύο και περισσότερες µεταβλητές. Κεντρική ιδέα της

Διαβάστε περισσότερα

Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία x x στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο. Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i = 1)

Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία x x στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο. Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i = 1) α.. Άξονας Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i 1). Ο i I Οι ημιευθείες Ο και O λέγονται αντίστοιχα θετικός ημιάξονας και αρνητικός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a=

32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a= 32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a= ( xy, ). Να ορίσετε τις έννοιες α)μέτρο του διανύσματος και β) συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος Α2) Να γράψετε τους τύπους

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Σε κάθε τρίγωνο να αποδείξετε ότι το τετράγωνο µιας πλευράς που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, ισούται µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών ελαττωµένο

Διαβάστε περισσότερα

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj qwφιertyuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzcvbn mqwertyuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj Προχωρώντας από τη Β στη Γ Λυκείου klzcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz «5 βασικά

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ÊÏÑÕÖÁÉÏ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ÊÏÑÕÖÁÉÏ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 01 Ε_ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή Μαΐου 01 ιάρκεια Εξέτασης:

Διαβάστε περισσότερα