Θεωρία Παλμοκωδικής Διαμόρφωσης (PCM)

Transcript

1 Κεφάλαιο 2 ο Θεωρία Παλμοκωδικής Διαμόρφωσης (PCM) 1 Εισαγωγή στα συστήματα μετάδοσης ψηφιακής πληροφορίας Ο σκοπός των σύγχρονων τηλεπικοινωνιών είναι να μεταφέρουν υψηλής ποιότητας σήματα πολυμέσων (φωνής, δεδομένων και video) μεταξύ δύο σημείων, ανεξαρτήτως απόστασης. Η απόσταση μεταξύ των δύο σημείων επικοινωνίας καθορίζει και το είδος της μετάδοσης. Επικοινωνία μέσα σε ένα κτίριο γίνεται με χάλκινα καλώδια μέσω ενός δικτύου δεδομένων. Για μεγαλύτερες αποστάσεις (όπως μεταξύ πόλεων) γίνεται με το τηλεφωνικό δίκτυο, μεταξύ ηπείρων γίνεται με τη χρήση δορυφόρων και μεταξύ δύσβατων γεωγραφικών περιοχών γίνεται με τη χρήση μικροκυματικών ζεύξεων. Τεχνικές γνωστές με την ονομασία "πολυπλεξία" ανακαλύφθηκαν για να μπορούμε να περάσουμε πολλαπλούς συνδρομητές από την ίδια γραμμή μεταφοράς (χάλκινο καλώδιο, ομοαξονικό, οπτική ίνα, μικροκυματική ζεύξη). Η χρήση των οπτικών ινών γίνεται τον τελευταίο καιρό, διότι έχουν μεγάλο εύρος μπάντας συχνοτήτων και ένας πολύ μεγάλος αριθμός χρηστών μπορούν να την εκμεταλλευτούν με τη βοήθεια της πολυπλεξίας. Η χρήση αναλογικών τεχνικών μετάδοσης ήταν η πρώτη επιλογή που είχαν οι μηχανικοί τηλεπικοινωνιών για να σχεδιάσουν ένα δίκτυο. Η ψηφιακή επανάσταση

2 36 Δίκτυο Κινητής Τηλεφωνίας GSM όμως και η χρήση υπολογιστών και μικροεπεξεργαστών στα τηλεπικοινωνιακά συστήματα μετάδοσης έφερε ριζικές αλλαγές τόσο στη χρήση καινούργιων μηχανημάτων, όσο και στην επινόηση καινούργιων τεχνικών και βελτίωσης της ποιότητας του σήματος. Η μεγαλύτερη αλλαγή στην ποιότητα του σήματος, μέσω ψηφιακής μετάδοσης, οφείλεται στην τεχνική της αναγέννησης του ψηφιακού σήματος στη λήψη. Στην αναλογική τεχνολογία το σήμα λήψης απλώς ενισχύεται. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα να ενισχύεται και ο θόρυβος ταυτόχρονα με το σήμα, οπότε μετά από κάποιες ενισχύσεις το σήμα λήψης διαφέρει από το σήμα που στάλθηκε. Το πηλίκο σήμα προς θόρυβο (S/N) είναι τόσο χαμηλό, ώστε η επικοινωνία καθίσταται ουσιαστικά αδύνατη. Αντιθέτως στην ψηφιακή τεχνολογία το σήμα δεν ενισχύεται, αλλά αναγεννιέται από το δέκτη, ο οποίος ξαναστέλνει το σήμα χωρίς θόρυβο. Θεωρητικά λοιπόν φαίνεται ότι με την ψηφιακή τεχνολογία μπορούμε να στείλουμε ένα σήμα χωρίς κανένα όριο στην απόσταση μετάδοσης. Αυτό βέβαια δεν ισχύει στην πράξη (άλλωστε τίποτα δεν είναι τέλειο στον κόσμο που ζούμε, ο αναγνώστης σίγουρα το έχει καταλάβει από τα προηγούμενα κεφάλαια). Η ύπαρξη ενός φαινομένου, γνωστού ως jitter, περιορίζει την απόσταση μετάδοσης του σήματος χωρίς θόρυβο και χωρίς τη χρήση αναγεννητών. Jitter ορίζονται οι πολύ μικρές χρονικές μεταβολές των στιγμών ενός ψηφιακού παλμού. Στο σχήμα 2.1 παρουσιάζεται το φαινόμενο jitter για μία ψηφιακή παλμοσειρά. Σχήμα 2.1 Εμφάνιση jitter κατά την αναγέννηση ενός παλμού Παρατηρούμε από το σχήμα 2.1 ότι κατά τη λήψη του σήματος από το δέκτη εξάγουμε το χρονισμό (ρολόι) του ψηφιακού σήματος. Ο αναγεννητής του σήματος αναλαμβάνει να αναπαράγει την παλμοσειρά σύμφωνα με το ρολόϊ που έχει εξάγει. Όμως η διαδικασία δεν είναι τέλεια και το κύκλωμα αναγέννησης έχει μία α-

3 Κεφ.2 Θεωρία Παλμοκωδικής Διαμόρφωσης (PCM) 37 βεβαιότητα ως προς τη χρονική στιγμή που το σήμα ανεβαίνει ή κατεβαίνει. Η α- ναπαραγωγή μίας μετατόπισης ως προς το χρόνο έναρξης της παλμοσειράς (και κατ' επέκταση και στη συχνότητα) είναι αναπόφευκτη. Επειδή λοιπόν σε ένα σύστημα τηλεπικοινωνιών έχουμε τη μετάδοση σήματος σε μεγάλες αποστάσεις, η χρήση μεγάλου αριθμού αναγεννητών είναι επιβεβλημένη για να διασφαλίσουμε την ποιότητα της πληροφορίας. Ο Jitter προστίθεται στο σήμα μετά από κάθε αναγεννητή και αυτό έχει σαν αποτέλεσμα την προσθετική χρονική παραμόρφωση. Αυτό θέτει κάποια όρια ανοχής στην ποιότητα του σήματος λήψης και περιορισμούς στη μέγιστη απόσταση μετάδοσης του σήματος (δηλαδή στο μέγιστο αριθμό αναγεννητών στο link). Στα αναλογικά συστήματα μετάδοσης πληροφορίας το πηλίκο σήματος προς θόρυβο (S/N) καθορίζει την ποιότητα της ζεύξης. Στα ψηφιακά συστήματα μετάδοσης πληροφορίας ο ρυθμός εσφαλμένων bits (BER) καθορίζει την ποιότητα της ζεύξης. Η ερμηνεία του BER είναι πόσα εσφαλμένα Bits λαμβάνουμε στο συνολικό αριθμό των σταλθέντων bits. Παράδειγμα BER 1x 10-6 σημαίνει ότι στο ένα εκατομμύριο σταλθέντα bits έχουμε ένα λανθασμένο στη λήψη. Η υπεροχή των ψηφιακών συστημάτων μετάδοσης (τηλεπικοινωνιών) είναι αδιαμφισβήτητη. Παρακάτω συνοψίζουμε τα πλεονεκτήματα των ψηφιακών συστημάτων μετάδοσης έναντι των αναλογικών: Οι προσφερόμενες υπηρεσίες στους συνδρομητές είναι πολύ περισσότερες. Έγινε δυνατή η αποστολή διαφορετικών πληροφοριών (τηλεφωνία, τηλεγραφία, δίκτυα δεδομένων, τηλεοπτικά σήματα) μέσα από τον ίδιο φορέα. Επομένως η ιδέα του ψηφιακού δικτύου ενοποιημένων υπηρεσιών (ISDN) έγινε πραγματικότητα. Χρήση υψηλότερης διαθέσιμης μπάντας συχνοτήτων στις ραδιοσυχνότητες. Οι μπάντες στις ραδιοσυχνότητες (περίπου τα 10 GHz) αποτελούσαν και το όριο των αναλογικών συστημάτων μετάδοσης (τηλεπικοινωνιών). Λόγω της μεγάλης απόσβεσης του ραδιοσήματος από την ατμόσφαιρα και τις καιρικές συνθήκες, ο λόγος σήματος προς θόρυβο μεταβάλλεται γραμμικά και έχει πολύ χαμηλή τιμή από τα 10 GHz και πάνω. Αντιθέτως στα ψηφιακά συστήματα, το BER δεν μεταβάλλεται από την ατμόσφαιρα και τις καιρικές συνθήκες για μεγάλη μπάντα συχνοτήτων του ραδιοσήματος, κρατώντας σταθερό το πλάτος του σήματος, έως ότου πλησιάσει τα όριά του. Μεγάλη αντίσταση στο θόρυβο (αναγέννηση σήματος) κάνει την ψηφιακή μετάδοση σχεδόν ανεξάρτητη της απόστασης της ζεύξης (σχεδόν λόγω του Jitter) Χρήση ολοκληρωμένων κυκλωμάτων (VLSI) κάνει τα ψηφιακά συστήματα λιγότερο ογκώδη και ακριβά

4 38 Δίκτυο Κινητής Τηλεφωνίας GSM Ολοκλήρωση της ψηφιακής μετάδοσης με τεχνολογία οπτικών ινών, ψηφιακών δορυφορικών δικτύων, ψηφιακών ραδιοδικτύων, ψηφιακών κέντρων. Εύκολος τρόπος ελέγχου και συντήρησης του ψηφιακού υλικού. Χρήση μικροεπεξεργαστών και λογισμικού δίνει μεγαλύτερη ευελιξία στη σχεδίαση και στις λειτουργίες των ψηφιακών συστημάτων. 2 Θεωρία παλμοκωδικής διαμόρφωσης (PCM) 2.1 Γενικές πληροφορίες Είδαμε στο προηγούμενο εδάφιο τα προτερήματα των ψηφιακών συστημάτων μετάδοσης έναντι των αναλογικών. Είναι φυσικό επομένως να χρησιμοποιήσουμε τα ψηφιακά συστήματα μετάδοσης για τη μεταφορά των δεδομένων στα μοντέρνα συστήματα τηλεπικοινωνιών, επομένως και στην κινητή τηλεφωνία. Η παλμοκωδική διαμόρφωση είναι ο πιο συνηθισμένος τρόπος που χρησιμοποιείται στις μέρες μας για τη μετάδοση των δεδομένων. Η παλμοκωδική διαμόρφωση προτάθηκε από το Reeves το Βέβαια εκείνη την εποχή η ιδέα ήταν πρωτοποριακή αλλά μη εφαρμόσιμη, διότι η τεχνολογία των λυχνιών δεν βοηθούσε ούτε στη σχεδίαση ούτε στον όγκο. Με την επανάσταση των ημιαγωγών και τη σχεδίαση μεγάλης κλίμακας ολοκλήρωσης που ακολούθησε, δόθηκε το εναρκτήριο βήμα για τη δημιουργία του πρώτου συστήματος παλμοκωδικής διαμόρφωσης από την ΑΤΤ περίπου το Ο τομέας που χρησιμοποιείται η τεχνική της παλμοκωδικής διαμόρφωσης ευρέως είναι τα συστήματα διασύνδεσης ψηφιακών κέντρων τηλεφωνίας και ψηφιακών δεδομένων. Η διασύνδεση αυτή γίνεται με διαφορετικούς φορείς κάθε φορά, όπως ομοαξονικά καλώδια, δισύρματες γραμμές, οπτικές είναι και ραδιοζεύξεις. Σε αυτό το σημείο πρέπει ο αναγνώστης να ξεκαθαρίσει κάτι εξ' αρχής: Η παλμοκωδική διαμόρφωση είναι μία τεχνική η οποία χρησιμοποιείται για τη μετατροπή ενός αναλογικού σήματος σε ψηφιακό και την ταυτόχρονη μεταφορά πολλών αναλογικών και ψηφιακών σημάτων με τον ίδιο φορέα. Πολλές φορές δημιουργείται η σύγχυση ότι η παλμοκωδική διαμόρφωση (ή συνηθέστερα θα τη συναντάμε με το όνομα PCM) είναι ένας ακόμα φορέας μεταφοράς σήματος, όπως η οπτική ίνα. Αυτή η λανθασμένη εντύπωση πρέπει να ξεκαθαριστεί από νωρίς: Η παλμοκωδική διαμόρφωση είναι μία τεχνική διαμόρφωσης ενός σήματος το οποίο μεταφέρεται σε ένα δίκτυο τηλεπικοινωνιών (όπως είναι και οι τεχνικές διαμόρφωσης bandpass καναλιού επικοινωνίας A.M. F.M. FSK ASK PSK MSK ) και χρειάζεται ένα φυσικό φορέα για να μεταφέρει το διαμορφωμένο σήμα. Απλά η διαφορά με τις τεχνικές διαμόρφωσης ενός Band-pass καναλιού επικοινωνίας είναι ότι η παλμοκωδική διαμόρφωση ανήκει σε μία κατηγορία κωδικοποιητών σήματος (ψηφιακή αναπαράσταση αναλογικού σήματος) στην οποία ένα αναλογικό σήμα προσεγ-

5 Κεφ.2 Θεωρία Παλμοκωδικής Διαμόρφωσης (PCM) 39 γίζεται με κυματομορφές (waveforms) συγκεκριμένου πλάτους και πεπερασμένου χρονικού διαστήματος. Για αυτό το λόγο οι τεχνικές αυτές ονομάζονται και waveform coders. Άλλοι εκπρόσωποι αυτής της κατηγορίας είναι η διαφορική παλμοκωδική διαμόρφωση (Differential PCM), η Delta modulation και η προσαρμοζόμενη διαφορική παλμοκωδική διαμόρφωση(adaptive differential PCM). Για να γίνει εφικτή η ταυτόχρονη μεταφορά πολλών σημάτων με τον ίδιο φορέα, χρειάζεται η τεχνική της πολυπλεξίας. Η γνωστή τεχνική πολυπλεξίας FDMA (πολυπλεξία με διαίρεση συχνοτήτων) χρησιμοποιείται κυρίως για αναλογικά σήματα. Με τη χρήση της παλμοκωδικής διαμόρφωσης δημιουργήθηκε η ανάγκη μίας καινούργιας μορφής πολυπλεξίας, γνωστής ως TDMA (πολυπλεξία με διαίρεση χρόνου). Για αυτή τη μορφή πολυπλεξίας θα δούμε παρακάτω σε αυτό το κεφάλαιο. 2.2 Βασικές αρχές Τα σήματα προς μετάδοση μπορούν να προέρχονται από αναλογική πηγή πληροφορίας ή από ψηφιακή πηγή. Αν το σήμα προέρχεται από ψηφιακή πηγή πληροφορίας (ηλεκτρονικός υπολογιστής) τότε είναι στη σωστή μορφή για να επεξεργαστεί και να μεταδοθεί από ένα ψηφιακό τηλεπικοινωνιακό σύστημα. Στην περίπτωση που το σήμα προέρχεται από μία αναλογική πηγή πληροφορίας (φωνή, σήμα τηλεοπτικό ή) τότε χρειάζεται να μετατραπεί σε ψηφιακό σήμα. Η παλμοκωδική διαμόρφωση αναλαμβάνει να μετατρέψει ένα αναλογικό σήμα σε ψηφιακό και να το πολυπλέξει σε ένα κοινό φορέα. Η διαδικασία που ακολουθείται για την ψηφιοποίηση ενός αναλογικού σήματος αποτελείται από τρία βήματα: Δειγματοληψία, κβάντιση και κωδικοποίηση. Θα δούμε αμέσως αναλυτικά κάθε ένα από τα παραπάνω βήματα Δειγματοληψία Η διαδικασία της δειγματοληψίας είναι η πρώτη διαδικασία που συναντάμε στη μετατροπή αναλογικού σήματος σε ψηφιακό (Analog-to-digital conversion). Με τη διαδικασία αυτή ένα σήμα συνεχούς χρόνου μετατρέπεται σε ένα σήμα διακριτού χρόνου παίρνοντας δείγματα του αναλογικού σήματος σε τακτά χρονικά διαστήματα. Ο ρυθμός δειγματοληψίας πρέπει να επιλεγεί κατάλληλα ώστε το σήμα διακριτού χρόνου να αντιπροσωπεύει μοναδικά το αναλογικό σήμα από το οποίο προήλθε, ειδάλλως στη λήψη δεν θα μπορούμε να αναπαράγουμε το σήμα που εστάλη (μην ξεχνάμε ότι το σήμα που θα λάβουμε στη λήψη είναι το αναλογικό σήμα που στάλθηκε). Τίθεται το εύλογο ερώτημα λοιπόν: ποιος είναι ο κατάλληλος ρυθμός δειγματοληψίας ώστε να πληρείται η παραπάνω απαίτηση; Την απάντηση σε αυτό το ερώτημα θα τη δώσει το θεώρημα δειγματοληψίας του Nyquist. Ας ξεκινήσουμε να εξηγούμε την έννοια της δειγματοληψίας και στην πορεία θα διατυπώσουμε και το παραπάνω θεώρημα.

6 40 Δίκτυο Κινητής Τηλεφωνίας GSM Από τη μαθηματική θεωρία των μετασχηματισμών Fourier γνωρίζουμε ότι δεν υ- πάρχει ο μετασχηματισμός Fourier περιοδικών συναρτήσεων (υπάρχει όμως το ανάπτυγμά τους σε σειρά Fourier). Με τη χρήση όμως της συναρτήσεως Δέλτα του Dirac, η οποία ανήκει σε μία ειδική κατηγορία συναρτήσεων γνωστή με το όνομα "γενικευμένες κατανομές", μπορούμε να αναπαραστήσουμε περιοδικές συναρτήσεις στο πεδίο των συχνοτήτων με τη χρήση του μετασχηματισμού Fourier. Αυτό όμως έχει επιπτώσεις στο φάσμα της περιοδικής συνάρτησης. Σχήμα.2.2 Δειγματοληψία αναλογικού σήματος με συναρτήσεις Δέλτα Το φάσμα της περιοδικής συνάρτησης είναι διακριτό. Ο γενικός κανόνας που εξάγεται από τα μαθηματικά είναι ότι όταν έχουμε μία περιοδική συνάρτηση στο πεδίο του χρόνου αυτό έχει σαν αποτέλεσμα στο πεδίο των συχνοτήτων να εμφανίζει διακριτό φάσμα, όπου ο διαχωρισμός μεταξύ γειτονικών φασματικών γραμμών ισούται με το αντίστροφο της περιόδου της περιοδικής συνάρτησης. Η δειγματοληψία είδαμε προηγουμένως ότι είναι μία διαδικασία όπου παίρνουμε θεωρητικά στιγμιαία δείγματα ενός αναλογικού (μη περιοδικού) σήματος. Αντιστοίχως εάν έχουμε μία μη-περιοδική συνάρτηση (αναλογικό σήμα) στο πεδίο του χρόνου, τότε η διαδικασία της δειγματοληψίας αντιστοιχεί μαθηματικά στον πολλαπλασιασμό της συνάρτησης σε συγκεκριμένες χρονικές στιγμές με μια στιγμιαία συνάρτηση όπως είναι η συνάρτηση Δέλτα.

7 Κεφ.2 Θεωρία Παλμοκωδικής Διαμόρφωσης (PCM) 41 Ο ιδανικός αυτός τρόπος δειγματοληψίας με συναρτήσεις Δέλτα ονομάζεται "στιγμιαία δειγματοληψία". Από τον προηγούμενο μαθηματικό κανόνα και με τη βοήθεια των μαθηματικών αποδεικνύεται ότι Η διακριτή αναπαράσταση ενός σήματος στο πεδίο του χρόνου αντιστοιχεί σε ένα περιοδικό φάσμα, με περίοδο ίση με τη συχνότητα δειγματοληψίας f 0 = 1/Τ 0. Συχνότητα δειγματοληψίας ορίζουμε τη συχνότητα Τ 0 με την οποία δειγματοληπτούμε. Εύρος μπάντας συχνοτήτων (bandwidth) ορίζουμε το συνολικό φάσμα που καταλαμβάνει το αναλογικό σήμα και στην ουσία μας ενδιαφέρει η μεγαλύτερη συχνότητα W Hz. Θα διατυπώσουμε τώρα το θεώρημα δειγματοληψίας όπως διατυπώθηκε το 1949 από το μαθηματικό Shannon. Αξίζει για την ιστορία να αναφέρουμε ότι αν και το παραπάνω θεώρημα είναι γνωστό ως θεώρημα δειγματοληψίας του Shannon, το ενδιαφέρον των μηχανικών τηλεπικοινωνιών στην τεχνική της δειγματοληψίας μπορεί να ανιχνευτεί στο 1928 και στο Nyquist (για αυτό και η συχνότητα δειγματοληψίας είναι γνωστή με το όνομα "συχνότητα δειγματοληψίας Nyquist). Εντούτοις οι μαθηματικοί γνώριζαν το θεώρημα δειγματοληψίας σε πιο απλή διατύπωση από το ΘΕΩΡΗΜΑ ΔΕIΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 1. Ένα σήμα περιορισμένης ενέργειας και φάσματος, το οποίο δεν περιέχει συχνότητες μεγαλύτερες από τα W Hz, περιγράφεται πλήρως από τις τιμές που παίρνουμε σε στιγμιαίες χρονικές στιγμές με χρονικό διαχωρισμό Τ s = 1/2W seconds. 2. Ένα σήμα περιορισμένης ενέργειας και φάσματος, το οποίο δεν περιέχει συχνότητες μεγαλύτερες από τα W Hz, μπορεί να αναπαραχθεί πλήρως εάν γνωρίζουμε τα δείγματά του, τα οποία έχουμε πάρει με ρυθμό δειγματοληψίας f s = 2W. Η μαθηματική απόδειξη του παραπάνω θεωρήματος απαιτεί τη χρήση ανωτέρων μαθηματικών και κρίνεται ότι είναι εκτός του σκοπού αυτού του βιβλίου. Εντούτοις οι πιο απαιτητικοί αναγνώστες μπορούν να βρουν μία προσιτή και αναλυτική παρουσίαση του θέματος στο βιβλίο του Simon Haykin "Analog and Digital Communications" των εκδόσεων WILEY, καθώς και σε οποιοδήποτε βιβλίο ή εγχειρίδιο επεξεργασίας σήματος και τηλεπικοινωνιών (βιβλιογραφία). Ας προσπαθήσουμε να εξηγήσουμε με απλά λόγια το παραπάνω βασικό θεώρημα, διότι σε αυτό το θεώρημα βασίζεται η αρχή της παλμοκωδικής διαμόρφωσης. Το

8 42 Δίκτυο Κινητής Τηλεφωνίας GSM βασικό πρόβλημα που πρέπει να λύσουμε, και το οποίο αποτελεί την καρδιά του θεωρήματος είναι να επιλέξουμε το σωστό ρυθμό που θα κάνουμε τη δειγματοληψία ή αντιστοίχως με ποια περίοδο θα χωρίζονται τα δείγματα του αναλογικού σήματος. Αυτή η επιλογή εάν γίνει λανθασμένη θα έχει σοβαρές επιπτώσεις στην α- ναπαράσταση του αναλογικού σήματος με διακριτή μορφή, διότι θα είναι αδύνατο να αναπαράγουμε το αναλογικό σήμα από τα δείγματα του. Εάν ο ρυθμός δειγματοληψίας είναι αργός (μικρότερος του 2W), τότε το φάσμα του σήματος θα δούμε ότι επικαλύπτεται και επομένως δεν μπορούμε να αναπαράγουμε το αρχικό σήμα χωρίς θόρυβο. Αντιθέτως εάν ο ρυθμός δειγματοληψίας είναι πολύ γρήγορος (μεγαλύτερος του 2W), τότε δεν έχουμε επιπτώσεις στο σήμα αλλά έχουμε αδικαιολόγητη κατανάλωση φάσματος. Επομένως το αρχικό πρόβλημα μετατοπίζεται στην εύρεση ενός ελάχιστου ρυθμού δειγματοληψίας. Κάτω από αυτόν το ρυθμό το σήμα δεν μπορεί να αναπαραχθεί σωστά από τα δείγματά του. Ας δούμε εποπτικά στο πεδίο του χρόνου τη βασική ιδέα που κρύβεται κάτω από το θεώρημα της δειγματοληψίας. Είναι ο πιο απλοϊκός τρόπος να παρουσιαστεί το θέμα. Στο σχήμα 2.3 που ακολουθεί φαίνεται ένα αναλογικό σήμα στο οποίο ο ρυθμός δειγματοληψίας είναι αργός (μικρότερος του 2W). Σχήμα 2.3 Δειγματοληψία αναλογικού σήματος με συναρτήσεις Δέλτα, όπου ο ρυθμός δειγματοληψίας είναι μικρότερος του 2W

9 Κεφ.2 Θεωρία Παλμοκωδικής Διαμόρφωσης (PCM) 43 Είναι φανερό ότι εάν πάρουμε δείγματα με τέτοιο ρυθμό δειγματοληψίας, τότε το σήμα που προκύπτει δεν θυμίζει το αρχικό σήμα από το οποίο προήλθε. Με άλλα λόγια το σήμα δεν μπορεί να αναπαραχθεί πλήρως από τα δείγματα του και επομένως στη λήψη δεν ξέρουμε τι σήμα εστάλη. Όσο πιο αραιά χρονικά είναι τα δείγματα που παίρνουμε, τόσο περισσότερες μεταβολές του αναλογικού σήματος χάνουμε στο χρονικό αυτό διάστημα. Στο παρακάτω σχήμα 2.4 φαίνεται καθαρά ότι εάν προσπαθήσουμε να αναπαράγουμε το αναλογικό σήμα από τα δείγματά του, στην περίπτωση όπου ο ρυθμός δειγματοληψίας είναι μικρότερος του 2W, τότε δεν υπάρχει ένα συγκεκριμένο σχήμα που να προκύπτει εποπτικά. Οι γρήγορες μεταβολές του αναλογικού σήματος ανάμεσα στα χρονικά διαστήματα δειγματοληψίας δεν μπορούν να αναπαρασταθούν από τα δείγματα. Όλη αυτή η πληροφορία χάνεται. Σχήμα 2.4 Δειγματοληψία αναλογικού σήματος με συναρτήσεις Δέλτα, όπου ο ρυθμός δειγματοληψίας είναι μικρότερος του 2W. Φαίνεται καθαρά η αβεβαιότητα ως προς την αναπαράσταση του αναλογικού σήματος από τα δείγματά του

10 44 Δίκτυο Κινητής Τηλεφωνίας GSM f(t) T 0 περίοδος t f δ (t) t Σχήμα 2.5 Δειγματοληψία αναλογικού σήματος με συναρτήσεις Δέλτα, όπου ο ρυθμός δειγματοληψίας είναι μεγαλύτερος του 2W. Φαίνεται καθαρά η ευκολία αναπαράστασης του αναλογικού σήματος από τα δείγματά του

11 Κεφ.2 Θεωρία Παλμοκωδικής Διαμόρφωσης (PCM) 45 Αντιθέτως εάν ο ρυθμός δειγματοληψίας είναι μεγαλύτερος ή ίσος της τιμής 2W,όπως φαίνεται στο σχήμα 2.5, τότε η αναπαραγωγή του σήματος από τα δείγματά του είναι εύκολη. Όσο μεγαλύτερος ο ρυθμός δειγματοληψίας τόσο καλύτερη η αναπαραγωγή του σήματος και τόσο μικρότερη η πληροφορία που χάνεται από τις μεταβολές του αναλογικού σήματος ενδιάμεσα των χρονικών διαστημάτων. Το μόνο πρόβλημα στην περίπτωση αυτή είναι ότι όσο μεγαλύτερος ο ρυθμός δειγματοληψίας, τόσο αυξάνει το απαιτούμενο φάσμα για τη μεταφορά της πληροφορίας, και το φάσμα είναι πολύτιμο για να χρησιμοποιείται αλόγιστα. Επίσης όσο μεγαλύτερος ο ρυθμός δειγματοληψίας τόσο πιο δύσκολα και ακριβά είναι τα ηλεκτρονικά συστήματα που χρειάζονται για το σύστημα δειγματοληψία. Επομένως ο ρυθμός δειγματοληψίας για οποιοδήποτε σύστημα τηλεπικοινωνιών καθορίζεται μετά από συμβιβασμό μεταξύ της ποιότητας του διακριτού σήματος, του φάσματος και του κόστους. Ας δούμε τις ίδιες ιδέες στο πεδίο των συχνοτήτων με τη χρήση του φάσματος. Ο τρόπος αυτός είναι πιο σοβαρός για να παρουσιαστεί η ιδέα του θεωρήματος της δειγματοληψίας. Πλησιάζει αρκετά μία σοβαρή επιστημονική απόδειξη, διότι βρίσκεται ένα βήμα πριν τη χρήση μαθηματικών. Έστω ένα αναλογικό σήμα το οποίο έχει περιορισμένο φάσμα, όπως στο παρακάτω σχήμα 2.6. Εάν επιχειρήσουμε να δειγματοληπτίσουμε το παραπάνω σήμα με ιδανική δειγματοληψία, θα πάρουμε ένα διακριτό σήμα στο πεδίο του χρόνου. Σύμφωνα όμως με τη διαπίστωση που κάναμε πριν, δηλαδή ότι η διακριτή αναπαράσταση ενός σήματος στο πεδίο του χρόνου αντιστοιχεί σε ένα περιοδικό φάσμα, με περίοδο ίση με τη συχνότητα δειγματοληψίας f 0 = 1/Τ 0, προκύπτει ότι το φάσμα θα είναι περιοδικό. f(t) F(f) t -W W f Σχήμα 2.6 Αναπαράσταση του αναλογικού σήματος στο πεδίο του χρόνου και το περιορισμένο [-W, +W] φάσμα του στο πεδίο των συχνοτήτων.

12 46 Δίκτυο Κινητής Τηλεφωνίας GSM f(t) T 0 περίο- f δ (t) t t -W -2W -f 0 f 0 2f W 2W 3W f Σχήμα 2.7 Δειγματοληψία αναλογικού σήματος με συναρτήσεις Δέλτα, και το περιοδικό φάσμα του σήματος που προκύπτει.

13 Κεφ.2 Θεωρία Παλμοκωδικής Διαμόρφωσης (PCM) 47 Παρατηρούμε ότι το φάσμα του διακριτού σήματος που προέκυψε από τη δειγματοληψία του αναλογικού σήματος, είναι μία εικόνα του φάσματος του αναλογικού σήματος η οποία επαναλαμβάνεται περιοδικά στο πεδίο των συχνοτήτων με συχνότητα f 0 = 1/T 0, όπου T 0 η περίοδος δειγματοληψίας στο πεδίο του χρόνου. Σύμφωνα με το θεώρημα δειγματοληψίας, μπορούμε να κάνουμε δειγματοληψία του αναλογικού σήματος με συχνότητα δειγματοληψίας ίση ή μεγαλύτερη του διπλασίου της μέγιστης συχνότητας του φάσματος του αναλογικού σήματος. Από το σχήμα 2.6 φαίνεται ότι η μέγιστη συχνότητα του φάσματος του σήματος είναι η f max =W. Επομένως η συχνότητα δειγματοληψίας του παραπάνω σήματος επιτρέπεται να είναι μεγαλύτερη ή ίση της 2W. Εάν η συχνότητα είναι ίση με 2W τότε το φάσμα έχει τη μορφή του σχήματος 2.7, όπου δεν υπάρχει κενό μεταξύ των ιδίων περιοδικών φασμάτων στο πεδίο των συχνοτήτων. Αντιθέτως όσο μεγαλύτερη είναι η συχνότητα δειγματοληψίας από την τιμή 2W, τόσο μεγαλύτερο θα είναι το κενό διάστημα στο πεδίο των συχνοτήτων μεταξύ δύο φασμάτων, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα 2.8: F(f) Guard gap -f 0 -f 0 + W -W W f 0 - W f 0 f Σχήμα 2.8 Αναπαράσταση του περιοδικού φάσματος για συχνότητα δειγματοληψίας μεγαλύτερη του 2W.

14 48 Δίκτυο Κινητής Τηλεφωνίας GSM Εάν ικανοποιείται το θεώρημα δειγματοληψίας τότε το φάσμα του αναλογικού σήματος θα μοιάζει με ένα από τα δύο σχήματα 2.7 & 2.8. Το ερώτημα που τίθεται είναι πώς θα είναι το φάσμα στην περίπτωση που δεν ικανοποιείται το θεώρημα δειγματοληψίας, δηλαδή όταν η συχνότητα δειγματοληψίας είναι μικρότερη της τιμής 2W. Ας δούμε την απάντηση αρχικά με μία ποιοτική μελέτη και στη συνέχεια θα δείξουμε και ποσοτικά τη μορφή του φάσματος. Συχνά μία ποιοτική μελέτη κάνει πιο κατανοητά στον αναγνώστη θέματα, τα οποία απαιτούν δύσκολα μαθηματικά. Στο πεδίο του χρόνου είπαμε ότι θα έχουμε αραιά δείγματα τα οποία δεν μας βοηθούν να αναπαράγουμε την ακριβή μορφή του αναλογικού σήματος. Με άλλα λόγια χάνεται κάποια πληροφορία η οποία μας βοηθάει να βρούμε τη χρονική αναπαράσταση του σήματος. Πως μεταφράζεται αυτή η χαμένη πληροφορία στο πεδίο των συχνοτήτων; Σίγουρα δεν έχουμε να σκεφτούμε αναπαράσταση σήματος διότι μας ενδιαφέρουν φάσματα. Επίσης το φάσμα έχουμε δει ότι θα είναι περιοδικό. Επομένως κάτι θα συμβαίνει με το φάσμα και δεν θα μπορούμε να πάρουμε πίσω το σήμα. Από την ηλεκτρονική θεωρία γνωρίζουμε ότι τα φίλτρα είναι ηλεκτρονικές διατάξεις με τις οποίες επεμβαίνουμε στη μορφή ενός σήματος στο πεδίο των συχνοτήτων (δηλαδή στο φάσμα). Πραγματικά εάν ικανοποιούσαμε το θεώρημα δειγματοληψίας, το φάσμα του σήματος θα είχε τη μορφή του σχήματος 2.7 & 2.8. Ο τρόπος να πάρουμε το σήμα στη λήψη είναι να έχουμε ένα φίλτρο χαμηλών συχνοτήτων με εύρος ζώνης διέλευσης ίσο με 2W, όπως φαίνεται στο σχήμα 2.9. Με τη χρήση φίλτρου στην ουσία επεμβαίνουμε στην περιοδικότητα του φάσματος του σήματος και κρατάμε ένα αντίγραφο μόνο από τα άπειρα δείγματα (και στο πεδίο των χρόνων μετατρέπουμε το σήμα από διακριτό σε συνεχές). Έχοντας αυτό το φάσμα στο πεδίο των συχνοτήτων, με αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier ο- δηγούμαστε στη χρονική αναπαράσταση του σήματος, όπως ακριβώς στο σχήμα 2.6 (με την προϋπόθεση ότι η χαρακτηριστική του φίλτρου είναι ιδανική και δεν εισάγει παραμορφώσεις στο πλάτος και στη φάση). Εάν δεν ικανοποιούσαμε λοιπόν το θεώρημα δειγματοληψίας, τότε το πρόβλημα που θα είχαμε στο φάσμα είναι ότι δεν θα μπορούσαμε να ξεχωρίσουμε κάποιο δείγμα από τα απείρως επαναλαμβανόμενα φάσματα του σήματος. Ο μόνος τρόπος να συμβαίνει αυτό (διότι η χρήση φίλτρου σημαίνει την εμφάνιση της πράξης της συνέλιξης στο πεδίο του χρόνου) είναι στο φάσμα του διακριτού σήματος μετά τη δειγματοληψία να μην διαχωρίζονται πλήρως τα άπειρα αντίτυπα, αλλά να έχουμε περιοχές αλληλοεπικάλυψης. Τότε η διέλευση του μέσα από το εύρος ζώνης διέλευσης του φίλτρου δεν θα αναπαράγει μόνο την πληροφορία του σήματος αλλά και πληροφορία από τα άλλα δείγματα. Καταλήξαμε λοιπόν σε μία ποιοτική ερμηνεία του προβλήματος. Ας δούμε τώρα ποσοτικά τι συμβαίνει

15 Κεφ.2 Θεωρία Παλμοκωδικής Διαμόρφωσης (PCM) 49 F(f) Guard gap -f 0 --f 0 + W -W W f 0 - W f 0 f Φίλτρο διέλευσης χαμηλών συχνοτήτων με εύρος ζώνης διέλευσης 2W -W W f Το φάσμα του σήματος στην λήψη, μετά την διέλευση από το φίλτρο -W W f Σχήμα 2.9 Αναπαράσταση του φάσματος του σήματος στη λήψη, μετά τη διέλευση από το φίλτρο χαμηλών συχνοτήτων.

16 50 Δίκτυο Κινητής Τηλεφωνίας GSM Πραγματικά, αποδεικνύεται μαθηματικά (η απόδειξη απαιτεί γνώση ανωτέρων μαθηματικών και ξεφεύγει από το σκοπό αυτού του βιβλίου) ότι εάν πάρουμε δείγματα του σήματος με συχνότητα δειγματοληψίας μικρότερη της τιμής 2W, τότε στο φάσμα οι επιπτώσεις είναι η επικάλυψη των αντιτύπων μεταξύ τους όπως στο σχήμα 2.10: F(f) -f 0 -W W -f f 0 - W 0 + W f 0 f Σχήμα 2.10 Αναπαράσταση του περιοδικού φάσματος για συχνότητα δειγματοληψίας μικρότερη του 2W. Αυτό το φαινόμενο ονομάζεται αλλοίωση (Aliasing). Οι επιπτώσεις στην αναπαραγωγή του σήματος στη λήψη είναι προφανείς. Το φίλτρο διέλευσης χαμηλών συχνοτήτων θα περάσει από το φάσμα του σήματος όχι μόνο ολόκληρο το ένα αντίτυπο, αλλά και μέρος του φάσματος του γειτονικού α- ντιτύπου το οποίο προκαλεί την ανεπιθύμητη αλλοίωση

17 Κεφ.2 Θεωρία Παλμοκωδικής Διαμόρφωσης (PCM) 51 F(f) -f 0 W f -W 0 - W -f 0 + W f 0 f Ιδανικό φίλτρο διέλευσης χαμηλών συχνοτήτων Φάσμα που προκύπτει μετά το φιλτράρισμα του αλλοιωμένου σήματος στο πεδίο των συχνοτήτων Σχήμα 2.11 Αναπαράσταση του φάσματος μετά το φίλτρο για συχνότητα δειγματοληψίας μικρότερη του 2W. Το φάσμα αυτό δεν μοιάζει με το φάσμα του αρχικού σήματος που στάλθηκε. Εάν εφαρμόσουμε μετασχηματισμό Fourier στο φάσμα του σχήματος 2.11, τότε το σήμα που θα προκύψει δεν θα μοιάζει καθόλου με το αρχικό σήμα. Στην ουσία από

18 52 Δίκτυο Κινητής Τηλεφωνίας GSM μαθηματική άποψη έχουμε τροποποιήσει τους αρμονικούς όρους στους οποίους αναλύεται το αρχικό σήμα. Αυτό όμως για το σήμα λήψης είναι θόρυβος και δεν προκαλείται από εξωτερικό στατιστικό παράγοντα. Προκαλείται από το λανθασμένο ρυθμό δειγματοληψίας του αρχικού σήματος. Επομένως ο ρυθμός δειγματοληψίας είναι πολύ βασικός για τη σωστή μεταφορά του αναλογικού σήματος με ψηφιακή μορφή και εξαγωγή στη λήψη Παλμική Διαμόρφωση Πλάτους (Pulse-Amplitude Modulation, P.A.M.) Στην πραγματικότητα η δειγματοληψία δεν είναι ποτέ τέλεια όπως παρουσιάζεται στη βιβλιογραφία και στη θεωρία. Ο λόγος είναι οι συναρτήσεις δέλτα του DIRAC. Δεν είναι δυνατόν να δημιουργήσουμε με ηλεκτρονικά κυκλώματα τέτοιες συναρτήσεις, οι οποίες να διαρκούν στιγμιαία χρονικά διαστήματα. Οι παλμοί αυτοί που παράγονται από τα ηλεκτρικά κυκλώματα τείνουν οριακά στη συνάρτηση δ του DIRAC. Αυτό έχει επιπτώσεις, όπως θα δούμε στη συνέχεια. Τα κυκλώματα που χρησιμοποιούμε για την παραγωγή τέτοιων παλμών ονομάζονται κυκλώματα sample-and-hold. Αυτά τα κυκλώματα παράγουν παλμούς συγκεκριμένης χρονικής διάρκειας παρά στιγμιαίας, όπως απαιτεί το θεώρημα δειγματοληψίας. Το ηλεκτρονικό κύκλωμα έχει την παρακάτω δομή: Σχήμα 2.12 Αναπαράσταση της πραγματικής δειγματοληψίας που πραγματοποιείται με τη χρήση κυκλωμάτων sample-and-hold Αποτελείται από δύο FET transistors και ένα πυκνωτή στην έξοδο του κυκλώματος. Η λειτουργία του είναι απλή και περιγράφεται ως εξής:

19 Κεφ.2 Θεωρία Παλμοκωδικής Διαμόρφωσης (PCM) 53 Σχήμα.2.13 Δειγματοληψία αναλογικού σήματος με τη χρήση κυκλώματος sampleand-hold. Παρατηρήστε το πεπερασμένο χρονικό διάστημα των παλμών εξόδου. Καθώς το σήμα προς δειγματοληψία εισάγεται στο κύκλωμα, στην πύλη του πρώτου transistor Gate 1, ένας σύντομος παλμός φέρνει το transistor σε αγώγιμη κατάσταση και ο πυκνωτής στην έξοδο φορτίζεται σε τάση ίση με τη στιγμιαία τιμή του σήματος στην είσοδο. Ο πυκνωτής κρατάει αυτήν την τιμή της τάσης έως ότου εκφορτιστεί από το δεύτερο transistor. Αυτό γίνεται όταν ένας δεύτερος παλμός εφαρμοστεί στην πύλη Gate 2 του transistor και το φέρει σε αγώγιμη κατάσταση. Το κύκλωμα αυτό απαιτεί συγχρονισμό των παλμών στις πύλες των και το κύκλωμα εξόδου να έχει πολύ μικρές τιμές για τις σταθερές κυκλώματος φόρτισης και εκφόρτισης, ώστε ο πυκνωτής να προλαβαίνει στο μικρό χρονικό διάστημα που εφαρμόζονται οι παλμοί, να φορτίζεται στη στιγμιαία τιμή της τάσης εισόδου και να εκφορτίζεται γρήγορα. Όπως παρατηρούμε και στο παραπάνω σχήμα 2.13, τα δείγματα που παράγονται από την έξοδο του κυκλώματος δεν είναι κρουστικά αλλά έχουν κάποια μικρή μεν αλλά πεπερασμένη χρονική διάρκεια. Η περιοδική σειρά των πεπερασμένων χρονικά δειγμάτων στην έξοδο του κυκλώματος ονομάζεται και "σήμα διαμόρφωσης πλάτους παλμού" ή pulse-amplitude modulation wave

20 54 Δίκτυο Κινητής Τηλεφωνίας GSM (P.A.M.). Μαθηματικά αυτό που έχουμε καταφέρει είναι να μετασχηματίσουμε ένα συνεχές σήμα σε περιοδικό σήμα με δείγματα πεπερασμένου χρονικού διαστήματος. Η πεπερασμένη χρονική όμως διάρκεια των παλμών-δειγμάτων αναπαράστασης του συνεχούς σήματος έχει επιπτώσεις στο φάσμα του σήματος. Μαθηματικά αποδεικνύεται ότι έχουμε εξασθένιση των υψηλότερων συχνοτήτων του αναλογικού σήματος και ονομάζεται "Aperture effect". Τα φίλτρα που χρησιμοποιούνται για την ανακατασκευή του αναλογικού σήματος στη λήψη, μετά τη μετατροπή του σε ψηφιακή μορφή, δεν είναι ιδανικά. Επομένως αφήνουν να περάσουν και συχνότητες στο φάσμα μεγαλύτερες από το θεωρητικό εύρος διέλευσης τους. Αν δειγματοληπτούσαμε το αναλογικό σήμα με συχνότητα δειγματοληψίας ίση με την οριακή τιμή της συχνότητας δειγματοληψίας κατά Nyquist, θα είχαμε στο πεδίο των συχνοτήτων (σχήμα 2.7) μία περιοδικότητα χωρίς κενά διαστήματα. Με τη χρήση πραγματικών φίλτρων θα είχαμε και την εισαγωγή θορύβου. Θόρυβος στην προκειμένη περίπτωση αποτελεί το μέρος του γειτονικού φάσματος το οποίο επιτρέπει να περάσει το μη-ιδανικό φίλτρο. Προς αποφυγή τέτοιων προβλημάτων συνήθως χρησιμοποιούμε συχνότητα δειγματοληψίας μεγαλύτερη από την οριακή τιμή της συχνότητας δειγματοληψίας κατά Nyquist, επιτρέποντας στο φάσμα να δημιουργεί μία κενή ζώνη μεταξύ των περιοδικών δειγμάτων (Guard band - σχήμα 2.8). Τα αναλογικά σήματα που δειγματοληπτούνται δεν έχουν αυστηρά περιορισμένο φάσμα. Αυτό έχει σαν συνέπεια να μην μπορούμε να γνωρίζουμε με ακρίβεια τη μέγιστη συχνότητα του φάσματος του αναλογικού σήματος και επομένως τη συχνότητα δειγματοληψίας, ώστε να πληρούμε το θεώρημα του Shannon. Επομένως εμφάνιση αλλοίωσης (Aliasing) είναι αναπόφευκτη. Για να αντιμετωπίσουμε τέτοια προβλήματα αρκεί να περιορίσουμε το φάσμα του αναλογικού σήματος με τη χρήση φίλτρων διέλευσης χαμηλών συχνοτήτων. Το παρακάτω σχήμα 2.14 δίνει σε μορφή block διαγράμματος τον τρόπο πραγματικής δειγματοληψίας αναλογικού σήματος: Σχήμα 2.14 Δειγματοληψία αναλογικού σήματος με τη μορφή block διαγράμματος Κβάντιση (Quantizing process) Μέχρι στιγμής έχουμε καταφέρει να μετατρέψουμε ένα αναλογικό σήμα (το οποίο έχει άπειρες τιμές στο πλάτος και είναι συνεχές στο πεδίο του χρόνου) σε ένα πε-

21 Κεφ.2 Θεωρία Παλμοκωδικής Διαμόρφωσης (PCM) 55 περασμένο σύνολο δειγμάτων διακριτών στο πεδίο του χρόνου αλλά απείρων τιμών πλάτους. Αυτό το σήμα συνεχίζει να είναι αναλογικό με την ευρύτερη έννοια., απέχει όμως πολύ από ένα ψηφιακό σήμα, το οποίο είναι διακριτό και στο χρόνο και στο πλάτος (το ψηφιακό σήμα έχει δύο αριθμούς πλατών ή bits, το 0 και το 1). Ένα αναλογικό σήμα, όπως είναι η φωνή, έχει ένα συνεχές εύρος πλατών και επομένως και τα δείγματά του (που παράγονται από τη δειγματοληψία) έχουν ομοίως συνεχές εύρος πλατών. Επομένως είναι άπειρες θεωρητικά οι τιμές του πλάτους που μπορούν να πάρουν τα δείγματα του σήματος. Αυτό αποτελεί πρόβλημα στην απεικόνιση ενός αναλογικού σήματος σε ψηφιακό, διότι απαιτούνται άπειροι συνδυασμοί από bits για να περιγράψουν σε ψηφιακή μορφή τα δείγματα. Η λύση που προτείνεται βασίζεται στις ανθρώπινες αισθήσεις. Τα ηλεκτρονικά συστήματα τα οποία σχεδιάζονται προορίζονται για την αλληλεπίδραση και μεταφορά πληροφορίας μεταξύ των ανθρώπων. Επομένως οι ανθρώπινες αισθήσεις είναι ο τελικός αποδέκτης της πληροφορίας που μεταδίδεται. Οποιαδήποτε ανθρώπινη αίσθηση (η ακοή ή η όραση) σαν δέκτης μπορεί να διακρίνει διαφορές πεπερασμένης έντασης. Δεν χρειάζεται λοιπόν να στείλουμε στις ανθρώπινες αισθήσεις την ψηφιοποιημένη πληροφορία με απόλυτη ακρίβεια, αλλά αρκούν προσεγγίσεις οι οποίες να μην παραβιάζουν τη διακριτικότητα τους. Επομένως το αρχικό αναλογικό σήμα (κατά τη δειγματοληψία) μπορεί να μετατραπεί σε διακριτά δείγματα πεπερασμένου α- ριθμού στο χρόνο και απείρου εύρους πλατών, αλλά κατά τη μετατροπή του σε ψηφιακή πληροφορία μπορούμε να προσεγγίσουμε το πλάτος με διακριτά διαστήματα από ένα πεπερασμένο διαθέσιμο σύνολο τιμών σταθμών. Η ύπαρξη ενός πεπερασμένου διαθέσιμου συνόλου τιμών αποτελεί βασική προϋπόθεση για τη λειτουργία της διαμόρφωσης PCM. Η μετατροπή ενός αναλογικού δείγματος του αναλογικού σήματος σε μία διακριτή μορφή ονομάζεται διαδικασία κβάντισης ή quantizing process. Γραφικά είναι περισσότερο κατανοητή στον αναγνώστη αυτή η διαδικασία. Όπως φαίνεται και στο σχήμα 2.15, η διαδικασία της κβάντισης είναι η αντικατάσταση ενός μεγάλου συνόλου από τιμές πλατών με μία συγκεκριμένη διακριτή τιμή. Η αντικατάσταση αυτή έχει τη μορφή μίας σκάλας. Όλες οι αναλογικές τιμές που βρίσκονται ανάμεσα σε δύο σκαλοπάτια αυτής της σκάλας αναπαριστάνονται με την ίδια διακριτή τιμή Η διαφορά μεταξύ δύο γειτονικών διακριτών τιμών ονομάζεται εύρος βαθμίδας (quantum). Αυτή η αναπαράσταση δημιουργεί προσεγγίσεις στην πραγματική τιμή των αναλογικών δειγμάτων και επομένως εισάγει μία μορφή θορύβου. Αυτός ο θόρυβος ονομάζεται θόρυβος ή σφάλμα κβάντισης. Η τιμή του σφάλματος αυτού ισούται με το μέγεθος του εύρους βαθμίδας και εξαρτάται κάθε φορά από την επιλογή του αριθμού των σταθμών κβάντισης και της μεταξύ τους απόστασης.