«ίκτυα ουρών αναµονής και Προσοµοίωση: εφαρµογή σε συστήµατα εξυπηρέτησης»

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗ» ΤΜΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ «ίκτυα ουρών αναµονής και Προσοµοίωση: εφαρµογή σε συστήµατα εξυπηρέτησης» ιπλωµατική Εργασία του ΜΠΑΣ ΑΡΑ ΠΕΤΡΟΥ (ΑΕΜ: 247) Εξεταστική Επιτροπή Επιβλέπων: ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ ΧΡΥΣΟΛΕΩΝ Μέλη: ΒΛΑΧΑΒΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΚΟΣΜΙ ΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2011

2 Ευχαριστίες Καταρχήν θα ήθελα να εκφράσω τις ευχαριστίες µου στον κ. Χρυσολέοντα Παπαδόπουλο, Καθηγητή Παραγωγής/Υπηρεσιών, Logistics και Προµηθειών και Πρόεδρο του τµήµατος Οικονοµικών Επιστηµών του Αριστοτέλειου Πανεπιστηµίου Θεσσαλονίκης, χωρίς την πολύτιµη βοήθεια του οποίου η συγγραφή αυτής της διπλωµατικής εργασίας θα ήταν αδύνατη. Ευχαριστώ θερµά την αδερφή µου, Μπασδάρα Μαργαρίτα, για τη φιλολογική επιµέλεια της εργασίας. Ευχαριστώ επίσης τον ξάδερφο µου, Μπασδάρα ηµήτριο, για τη βοήθεια του σε θέµατα πληροφορικής καθώς και τις ιδέες του σε θέµατα παρουσίασης. Αν και πολλές από αυτές δεν υλοποιήθηκαν, υπήρξαν στο σύνολο τους άκρως εποικοδοµητικές. Αφιερώνω την παρούσα εργασία στους γονείς µου, που µου παραστέκονται όλα αυτά τα χρόνια και µε βοηθούν σε όλες τις επιλογές µου µε την πολύτιµη συµβουλή τους. Ιανουάριος 2011 Μπασδάρας Πέτρος 2

3 Πρόλογος, συνεισφορά της εργασίας και περίληψη Η παρούσα εργασία πραγµατοποιήθηκε στα πλαίσια του ιατµηµατικού Προγράµµατος Μεταπτυχιακών Σπουδών «Πληροφορική και ιοίκηση». Σκοπός της εργασίας είναι µέσα από την ανάλυση της θεωρίας των ουρών αναµονής σε συνδυασµό µε την θεωρία της προσοµοίωσης να παρουσιάσουµε και να εφαρµόσουµε δύο κλασικά παραδείγµατα σε συστήµατα εξυπηρέτησης. Πέρα από το θεωρητικό κοµµάτι, στην εργασία δόθηκε µεγάλο βάρος στην ανάπτυξη της προσοµοίωσης µιας ουράς αναµονής σε ένα νοσοκοµείο και σε µια τράπεζα. Στο πρώτο κεφάλαιο αναφερόµαστε στα συστήµατα ουρών και σε ορισµένα χαρακτηριστικά τους όπως η πειθαρχία µιας ουράς και οι χρόνοι εξυπηρέτησης. Στο δεύτερο κεφάλαιο γίνεται µια εισαγωγή στη θεωρία αναµονής και σε κάποιες βασικές έννοιες και θεωρήµατα. Στο τρίτο κεφάλαιο γίνεται µια αναφορά στα δίκτυα ουρών αναµονής. Στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζουµε το τελικό µοντέλο δηλαδή το νοσοκοµείο ως ένα σύστηµα ουρών και τέλος το προσοµοιώνουµε µε το πρόγραµµα mathematica και συλλέγουµε τα δεδοµένα. Στο έκτο κεφάλαιο εισάγουµε τη θεωρία της προσοµοίωσης και στο έβδοµο κεφάλαιο πραγµατοποιούµε τη δεύτερη µας εφαρµογή προσοµοιώνοντας µια ουρά αναµονής πελατών σε µια τράπεζα στο Excel. Στα τρία τελευταία κεφάλαια γίνεται αναφορά στα συµπεράσµατα που αποκοµίσαµε, στη βιβλιογραφία µε την οποία ασχοληθήκαµε και τέλος στο παράρτηµα δίνουµε κάποιες διευκρινήσεις σχετικά µε την προσοµοίωση στο Excel και την εφαρµογή µε την τράπεζα. Για µια γενική άποψη της εργασίας στη συνέχεια παραθέτουµε τις διαγραµµατικές αναπαραστάσεις του περιεχοµένου, των πινάκων και των σχηµάτων. 3

4 Πίνακας Περιεχοµένων ίκτυα ουρών αναµονής και προσοµοίωση: Εφαρµογή σε συστήµατα εξυπηρέτησης Κεφάλαιο 1: Συστήµατα ουρών Κεφάλαιο 2: Θεωρία Αναµονής Κεφάλαιο 3: ίκτυα Ουρών Αναµονής Κεφάλαιο 4: Τελικό Μοντέλο Κεφάλαιο 5: Εµπειρική Εφαρµογή Κεφάλαιο 6: Προσοµοίωση Κεφάλαιο 7: Προσοµοίωση µιας ουράς αναµονής σε µια τράπεζα Κεφάλαιο 8: Συµπεράσµατα Κεφάλαιο 9: Βιβλιογραφία Κεφάλαιο 10: Παράρτηµα Σχήµα 0.1: ιαγραµµατική αναπαράσταση του περιεχοµένου της εργασίας 4

5 Πίνακας Σχηµάτων Σχήµα 1.1: Γενική δοµή ενός συστήµατος ουράς (Σελ. 13) Σχήµα 2.1: Γενικό σύστηµα αναµονής (Σελ. 22) Σχήµα 2.2 : Αφίξεις / Αναχωρήσεις σε σύστηµα αναµονής (Σελ. 23) Σχήµα 2.3: Ακριβής υπολογισµός του N(t) σε σύστηµαd/d/1(σελ. 28) Σχήµα 2.4 : ιαδικασία γεννήσεων θανάτων (Σελ. 33) Σχήµα 3.1: Ένα ανοικτό δίκτυο ουρών (Σελ. 40) Σχήµα 3.2: Ένα κλειστό δίκτυο ουρών (Σελ. 40) Σχήµα 3.3: Ένα µικτό δίκτυο ουρών (Σελ. 40) Σχήµα 3.4:Ένα απλό δίκτυο µε k ουρές συνδεδεµένες στη σειρά(σ.43) Σχήµα 4.1: Το νοσοκοµείο ως ένα σύστηµα ουρών (Σελ. 47) Σχήµα 6.1: Βήµατα Προσοµοίωσης (Σελ. 71) Σχήµα 6.2: Στιγµιότυπο του ARENA (Σελ. 73) Σχήµα 7.3: Παράδειγµα µε τη συνάρτηση RAND (Σελ. 81) Σχήµα 7.4: Υπολογισµός συνολικού και µέσου χρόνου (Σ.82) 5

6 Σχήµα 7.5: Πρώτη Προσοµοίωση στο Excel (Σελ. 82) Σχήµα 7.6: εύτερη Προσοµοίωση στο Excel (Σελ. 83) Σχήµα 7.7: Τρίτη Προσοµοίωση στο Excel (Σελ. 84) Σχήµα 7.8: Τέταρτη Προσοµοίωση Στο Excel (Σελ. 85) Σχήµα 7.9: Πέµπτη Προσοµοίωση στο Excel (Σελ. 86) Σχήµα 7.10: Χρήση κυρίως του 1ου Ταµείου (Σελ. 87) Σχήµα 10.1: Υπολογισµός Χρόνου Μεταξύ Αφίξεων (Σελ. 92) Σχήµα 10.2: Υπολογισµός Έναρξης 1ου Ταµείου (Σελ. 93) Σχήµα 10.3: Υπολογισµός Έναρξης 2ου Ταµείου (Σελ. 93) Σχήµα 10.4: Υπολογισµός Χρόνου Αναµονής (Σελ. 94) Σχήµα 0.2: ιαγραµµατική αναπαράσταση των σχηµάτων της εργασίας 6

7 Πίνακας Πινάκων Πίνακας 1.1: Αντιστοιχία εννοιών «πελάτη» και «σταθµού εξυπηρέτησης» σε έννοιες του πραγµατικού κόσµου (Σελ. 14) Πίνακας 7.1: εδοµένα για χρόνο άφιξης (Σελ. 79) Πίνακας 7.2 : εδοµένα για χρόνο εξυπηρέτησης (Σελ. 80) Σχήµα 0.3: ιαγραµµατική αναπαράσταση των πινάκων της εργασίας 7

8 Περιεχόµενα ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ, ΣΥΝΕΙΣΦΟΡΑ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΛΗΨΗ...3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ.8 1) ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΥΡΩΝ Εισαγωγή Πληθυσµός πελατών Πρότυπο αφίξεων Πειθαρχία Ουράς Χρόνοι Εξυπηρέτησης Έξοδος Σύστηµα συµβολισµού (Kendall notation) ) ΘΕΩΡΙΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Ορισµός συστήµατος αναµονής Χαρακτηρισµός απλών συστηµάτων αναµονής Ζητούµενα µεγέθη Βασικές έννοιες και θεωρήµατα Η κατανοµή Poisson Η εκθετική κατανοµή Η διαδικασία γέννησης θανάτου Ο Νόµος του Little Το σύστηµα αναµονής Μ/Μ/1 36 8

9 3) ΙΚΤΥΑ ΟΥΡΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Γενικά Ανοικτά και κλειστά δίκτυα Χαρακτηριστικά Ουράς ίκτυα τύπου γινοµένου 42 4) ΤΕΛΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ Το νοσοκοµείο ως ένα σύστηµα ουρών Αφίξεις και εξυπηρέτηση Εξισώσεις του συστήµατος Συνάρτηση κόστους..51 5) ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ Συλλογή και Ανάλυση εδοµένων Αποτελέσµατα Εφαρµογής Αµφιλεγόµενα Σηµεία της Εφαρµογής.60 6) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Εισαγωγή στην προσοµοίωση Μοντέλα προσοµοίωσης Ορισµοί στην προσοµοίωση Σύστηµα Μοντέλο Κατάσταση συστήµατος Οντότητα Ιδιότητες Οµάδα Γεγονός ραστηριότητα 68 9

10 6.3.9 Καθυστέρηση Ο µηχανισµός εξέλιξης του χρόνου Συστατικά και οργάνωση µοντέλου προσοµοίωσης διακριτού γεγονότος Τα βήµατα µιας µελέτης προσοµοίωσης Πακέτα προσοµοίωσης Προβλήµατα και δυσκολίες της προσοµοίωσης Πλεονεκτήµατα και µειονεκτήµατα της προσοµοίωσης..77 7) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΜΙΑΣ ΟΥΡΑΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΣΕ ΜΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ.79 8)ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΕΡΑΙΤΕΡΩ ΕΡΕΥΝΑ ) ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ) ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

11 Κεφάλαιο 1 Συστήµατα ουρών Ξεκινώντας µε αυτό το κεφάλαιο αναλύουµε τα συστήµατα ουρών και δίνουµε κάποια παραδείγµατα για τον πληθυσµό των πελατών. Αναφέρουµε κάποια πρότυπα αφίξεων, όπως π.χ η κατά Poisson διαδικασία άφιξης και στη συνέχεια γίνεται µια αναφορά για την πειθαρχία µιας ουράς σε ένα σύστηµα. Συνεχίζουµε µε τους χρόνους εξυπηρέτησης και την έξοδο από ένα σύστηµα και κλείνουµε µε το συµβολισµό του Kendall. 1.1 Εισαγωγή Η θεωρία ουρών (queueing theory) είναι ένας κλάδος των εφαρµοσµένων µαθηµατικών και συγκεκριµένα των πιθανοτήτων και της επιχειρησιακής έρευνας. Ασχολείται µε µαθηµατικά µοντέλα που σκοπό έχουν να µελετήσουν και να εξηγήσουν το φαινόµενο της συµφόρησης που προκύπτει από την τυχαία προσέλευση πελατών σε κάποιο σύστηµα και την τυχαιότητα που παρατηρείται στο χρόνο εξυπηρέτησης τους. Ξεκίνησε να αναπτύσσεται στις αρχές του εικοστού αιώνα και αρχικά υποκινήθηκε από προβλήµατα που υπήρχαν στον κλάδο της τηλεφωνίας. Τις τελευταίες τρεις δεκαετίες παρατηρείται µία άνθιση, εξαιτίας κυρίως των εφαρµογών που βρίσκει στους κλάδους των τηλεπικοινωνιών και των ηλεκτρονικών υπολογιστών. Πέρα όµως από αυτούς τους τοµείς ένα ακόµα πεδίο στο οποίο αναπτύχθηκε η θεωρία ουρών είναι αυτό της υγείας και είναι αυτό µε το οποίο θα ασχοληθούµε. Τα τέσσερα κυριότερα συστήµατα που συναντάµε στη θεωρία ουρών είναι : 1) Ένας µόνο υπηρέτης (σηµείο εξυπηρέτησης) 2) Πολλοί υπηρέτες (πολλά σηµεία εξυπηρέτησης, τοποθετηµένα παράλληλα και ανεξάρτητα) 3) Άπειροι υπηρέτες 11

12 4) ίκτυο ουρών (εδώ παρατηρείται εξάρτηση µεταξύ των σηµείων εξυπηρέτησης) Και τα τέσσερα αυτά συστήµατα µπορούν να βρουν εφαρµογή στο χώρο της υγείας [D.H Stimson, R. H Stimson Research in Hospitals: «Diagnosis and Prognosis» Hospital research and Educational Trust, Chicago 1992]. Για παράδειγµα ένας απλός υπηρέτης θα µπορούσε να περιγράψει την ουρά που δηµιουργείται σε ένα φαρµακείο, το σύστηµα των πολλών υπηρετών να περιγράψει το τµήµα των επειγόντων περιστατικών στο οποίο εξετάζουν ταυτόχρονα πολλοί γιατροί, τα δίκτυα ουρών µπορούν να αντικατοπτρίσουν όλη την ροή που υπάρχει σε ηµερήσια βάση σε µία πολυκλινική ενώ το σύστηµα µε τους άπειρους υπηρέτες σε µακροσκοπικό επίπεδο µπορεί να προσοµοιώσει το εθνικό σύστηµα παροχής επείγουσας βοήθειας όπου οι πελάτες ασθενείς εξυπηρετούνται αµέσως µόλις φτάσουν στο σηµείο εξυπηρέτησης. Ο διαµοιρασµός των πόρων και η αναµονή σε ουρές είναι ένα φαινόµενο που συναντάται σε κάθε τοµέα της σύγχρονης ζωής. Από την ουρά στο µπακάλικο της γειτονιάς µέχρι τις ουρές των πακέτων στους δροµολογητές του διαδικτύου, η ανάλυση και πρόβλεψη της συµπεριφοράς τους έχει αποκτήσει τεράστια σηµασία. Η καλύτερη κατανοµή των πόρων, η οποία, για παράδειγµα, θα µπορούσε να οδηγήσει σε µείωση του µέσου όρου αναµονής σε ουρά σε µία µεγάλη τράπεζα, αποτελεί ζητούµενο και µπορεί να αποβεί χρυσοφόρα. Σηµαντικά παραδείγµατα χαρακτηριστικών λειτουργίας ενός συστήµατος ουρών όπως ο µέσος όρος αναµονής δίνονται στη συνέχεια [Anderson D.R, Sweeny D.J and Williams T.A 2003, An introduction to management science quantitative approaches to decision making 10 th ed, Thomson, Ohio pp ]. Η πιθανότητα καµία µονάδα πελάτης να µην υπάρχει στο σύστηµα. Ο µέσος όρος µονάδων στην ουρά αναµονής. Ο µέσος όρος µονάδων στο σύστηµα (ο αριθµός των µονάδων που αναµένουν και ο αριθµός των µονάδων που εξυπηρετούνται. Ο µέσος χρόνος που µια µονάδα ξοδεύει στην αναµονή. Ο µέσος χρόνος που µια µονάδα ξοδεύει στο σύστηµα (στην αναµονή και στην εξυπηρέτηση). Η πιθανότητα ότι µια αφιχθείσα µονάδα πρέπει να περιµένει για εξυπηρέτηση. 12

13 Η εκµετάλλευση των εξυπηρετητών του συστήµατος. Ο µελετητής κάποιου συστήµατος που εµπεριέχει ουρές θα πρέπει να µελετήσει αυτά τα χαρακτηριστικά για να πάρει αποφάσεις που αφορούν το σύστηµά του. Αυτές µπορεί για παράδειγµα να αφορούν την αύξηση ή µείωση εξυπηρετητών στο σύστηµα αν για παράδειγµα ο µέσος όρος µονάδων στο σύστηµα κρίνεται µεγάλος ή η εκµετάλλευση των ακριβών εξυπηρετητών κρίνεται µικρή. Η µελέτη αυτού του κλάδου της επιχειρησιακής έρευνας, είχε ως αποτέλεσµα την ανάπτυξη της θεωρίας των ουρών. Στο Σχήµα 1.1 παρουσιάζεται η γενική δοµή ενός συστήµατος ουράς [Tanner M «Practical Queueing Analysis McGraw- Hill pp 36-38, 89-94]. Σχήµα 1.1 Γενική δοµή ενός συστήµατος ουράς Υπάρχει ένας πληθυσµός πελατών οι οποίοι είναι πιθανοί πελάτες στο σύστηµα. Φτάνουν σε αυτό σύµφωνα µε κάποιο πρότυπο αφίξεων και, εάν βρουν όλους τους εξυπηρετητές απασχοληµένους, τότε περιµένουν σε ουρά αναµονής έως ότου επιλεγούν σύµφωνα µε κάποια πειθαρχία ουράς. Από τη στιγµή που θα επιλεγεί, εξυπηρετείται για κάποιο χρονικό διάστηµα που καθορίζεται και αυτό από πρότυπο, και εξέρχεται του συστήµατος, είτε ξαναµπαίνοντας στον πληθυσµό πελατών, είτε βγαίνοντας γενικώς από το περιβάλλον του συστήµατος. Στον πίνακα 1.1 παρουσιάζουµε την αντιστοιχία εννοιών «πελάτη» και «σταθµού εξυπηρέτησης» 13

14 [ Ν. Ασηµακόπουλος «Ουρές Αναµονής Θεωρία και Εφαρµογές» Πανεπιστήµιο Πειραιά, Πειραιάς 2001]. Πίνακας 1.1: Αντιστοιχία εννοιών «πελάτη» και «σταθµού εξυπηρέτησης» σε έννοιες του πραγµατικού κόσµου, για διάφορα πεδία εφαρµογής των συστηµάτων αναµονής Σύστηµα Αναµονής Πελάτες Σταθµοί Εξυπηρέτησης Τράπεζες, ηµόσιες Υπηρεσίες Αεροδρόµια Τηλεπικοινωνιακά Συστήµατα Πελάτες, Πολίτες Ταξιδιώτες, Αεροπλάνα Αιτήσεις για εξυπηρέτηση (Αιτήσεις για κλήση) Υπάλληλοι Υπάλληλοι, Αεροδιάδροµοι Τηλεπικοινωνιακά Κανάλια Υπολογιστικά Συστήµατα Εργασίες Επεξεργαστές Οδικά δίκτυα Αυτοκίνητα Φωτεινοί Σηµατοδότες 1.2 Πληθυσµός πελατών Ο πληθυσµός των πελατών είναι ο αριθµός των πιθανών πελατών στο προς µελέτη σύστηµα ουράς. Χρησιµοποιώντας το παράδειγµα ενός κινηµατογράφου σε ένα µικρό χωριό, θα µπορούσε κάποιος να υποθέσει ότι πληθυσµός αυτός είναι το σύνολο των κατοίκων του χωριού. Σηµαντικό παράγοντα αποτελεί η υπόθεση ότι ο πληθυσµός έξω από το σύστηµα είναι τόσο µεγάλος, σε σύγκριση µε τον πληθυσµό µέσα σε αυτό, ώστε να θεωρηθεί άπειρος ή όχι. Στην περίπτωση που δε µπορεί να θεωρηθεί άπειρος, το σύνολο των πελατών που είναι ήδη στο σύστηµα επηρεάζει το ρυθµό των αφίξεων νέων πελατών. Για παράδειγµα, ας υποθέσουµε ότι σε ένα εργοστάσιο υπάρχουν τρία µηχανήµατα συγκεκριµένου τύπου, τα οποία χρειάζονται συντήρηση από κάποιον τεχνικό ανά τακτά και συγκεκριµένα χρονικά διαστήµατα. Η πιθανότητα άφιξης νέου πελάτη (µηχάνηµα) στο σύστηµα (ουρά τεχνικός), εξαρτάται κατά πολύ από το εάν υπάρχει ήδη κάποιο µηχάνηµα για συντήρηση. Το σύστηµα αυτό αναφέρεται και ως 14

15 κλειστό. Από την άλλη πλευρά, ο αριθµός των πιθανών επιβατών σε µια αεροπορική εταιρεία, ή των συνδροµητών µιας εταιρείας κινητής τηλεφωνίας που θα κάνουν κάποια κλήση, είναι τόσο µεγάλος που µπορεί να θεωρηθεί άπειρος σε σχέση µε αυτούς που ήδη πετάνε ή όσους µιλάνε ήδη στο τηλέφωνο. Το σύστηµα αυτό αναφέρεται και ως ανοιχτό. Γενικά, στην περίπτωση που ο πληθυσµός µπορεί να θεωρηθεί άπειρος (infinite calling population), οι υπολογισµοί είναι ευκολότεροι, ενώ, στην αντίθετη περίπτωση πεπερασµένου πληθυσµού (finite calling population) κάθε νέα άφιξη ή αναχώρηση από το προς µελέτη σύστηµα αλλάζει και τον τρόπο υπολογισµού της νέας άφιξης. Άπειρος µπορεί να θεωρηθεί ο πληθυσµός των πελατών, όταν ο αριθµός τους µέσα στο σύστηµα, στο οποίο µπορεί να εξυπηρετούνται ή να περιµένουν, είναι ένα πολύ µικρό ποσοστό του συνόλου των πιθανών πελατών. Συνήθως ενώ στην πρώτη περίπτωση άπειρου πληθυσµού η υπόθεση για το πρότυπο αφίξεων προκύπτει όπως θα συζητηθεί στην παράγραφο που ακολουθεί από διάφορα πρότυπα που προσεγγίζουν την άφιξη των πελατών γενικά, στην περίπτωση πεπερασµένου πληθυσµού το πρότυπο αφίξεων ορίζεται µε βάση κάθε πελάτη και την πιθανότητα του να εισέλθει στο σύστηµα. 1.3 Πρότυπο αφίξεων Στο µεγαλύτερο ποσοστό των συστηµάτων ουρών (που αποτελεί και το ποσοστό του οποίου η µελέτη έχει νόηµα) οι πελάτες έρχονται τυχαία. Βέβαια, αυτό το «τυχαία» δεν είναι τόσο τυχαίο στην θεωρία των ουρών. Υπάρχουν πολύ συγκεκριµένα πρότυπα που µπορούν να προσοµοιώσουν µαθηµατικά αυτό το «τυχαία». Η κατά Poisson διαδικασία άφιξης είναι για παράδειγµα ένα τέτοιο πρότυπο που µπορεί να προσοµοιώσει µε µεγάλη ακρίβεια αφίξεις σε ένα εστιατόριο ή µία τράπεζα ή ακόµα κλήσεις σε ένα τηλεφωνικό δίκτυο. Όλα αυτά τα πρότυπα προσοµοιώνουν συγκεκριµένα το χρόνο που παρεµβάλλεται µεταξύ δύο διαδοχικών αφίξεων. Παραδείγµατα τέτοιων προτύπων, καθώς και ο τρόπος που αυτά µας βοηθούν να µελετήσουµε το σύστηµα ουρών, αναπτύσσονται σε επόµενη παράγραφο. Ακόµη ένα σηµαντικό µέρος της µελέτης των αφίξεων που την κάνει πιο δύσκολη είναι οι διάφορες συνήθειες των πελατών [Οικονόµου Γ. Σ και Γεωργίου Α. Κ, 2005, «Ποσοτική ανάλυση για τη λήψη ιοικητικών Αποφάσεων», τόµος Β, Εκδόσεις Μπένου, Αθήνα]. Οι πελάτες υπάρχει περίπτωση να αποθαρρύνονται από 15

16 κάποιες συγκεκριµένες καταστάσεις του συστήµατος (µεγάλες ουρές) και να µην εισέρχονται καν στο σύστηµα (balking) αλλά και να εισέρχονται, και λόγω της µεγάλης αναµονής να αποχωρούν (reneging). Επιπλέον, σε περιπτώσεις πολλών ουρών υπάρχει η περίπτωση εναλλαγής από την µία ουρά στην άλλη (switching jockeying). Πολλοί πελάτες µπορούν, επίσης να έρχονται κατά οµάδες, όπως στο παράδειγµα του κινηµατογράφου του χωριού, όπου έρχονται σε παρέες, ή µεµονωµένα. Πολύ διαφορετικός είναι και ο τρόπος αντιµετώπισης του τρόπου αφίξεων όταν ο πληθυσµός των πελατών δε µπορεί να θεωρηθεί άπειρος. Σε κάθε περίπτωση, οι παραπάνω συµπεριφορές είναι πολύ δύσκολο να προβλεφθούν και να µελετηθούν. Όταν ο πελάτης του συστήµατος είναι άνθρωπος και όχι κάποιο αντικείµενο υπεισέρχονται παράγοντες ψυχολογίας του πελάτη και άρα µη µετρήσιµοι µε µαθηµατικούς όρους. Για παράδειγµα, φαινόµενα αποχώρησης µπορεί να συµβούν πιο συχνά σε µία αναµονή στοχαστικής διάρκειας όπου ο πελάτης δε γνωρίζει πόσο χρόνο θα κρατήσει ή σε µια αναµονή που δεν είναι αυστηρή η πειθαρχία ουράς, αλλά πελάτες που έπονται, εξυπηρετούνται πρώτοι. Μια διαδικασία που θα απαιτήσει διαδοχικές εξυπηρετήσεις και ουρές µπορεί να κρατήσει τον πελάτη πιο πολύ εάν βρίσκεται στη µέση της διαδικασίας, αλλά και γενικά η διαδικασία της εξυπηρέτησης, έστω και αν κρατάει περισσότερο από την αναµονή, κάνει τους πελάτες πιο υποµονετικούς. Πολλοί παράγοντες όπως οι προαναφερθέντες δυσχεραίνουν το µελετητή ενός συστήµατος ουρών και καθιστούν την αυστηρή µαθηµατική µελέτη του πρακτικά αδύνατη. 1.4 Πειθαρχία ουράς Το στοιχείο της πειθαρχίας στην περιγραφή ενός συστήµατος ουρών αναφέρεται στη µέθοδο, µε την οποία επιλέγεται ο επόµενος πελάτης από ένα πλήθος πελατών που περιµένουν στην ουρά. Έτσι, η πιο απλή και δίκαιη µέθοδος είναι η µέθοδος First in First Out (FIFO), ή αλλιώς First Come First Served (FCFS), κατά την οποία ο πελάτης που έχει εισέλθει πρώτος στην ουρά, από το σύνολο των πελατών που περιµένουν, είναι και πρώτος που θα βγει από αυτή. Παραδείγµατα τέτοιων ουρών συναντώνται σε κάθε υπηρεσία, ταµείο, κ.λ.π. Η αντίστροφη µέθοδος είναι η Last in First Out (LIFO), σύµφωνα µε την οποία ο τελευταίος που θα µπει στην ουρά είναι ο πρώτος που θα βγει. Παράδειγµα τέτοιας ουράς είναι µία στοίβα πιάτα ή τα 16

17 αυτοκίνητα σε ένα πλοίο. Το τελευταίο από τα πιάτα που έχει τοποθετηθεί στη στοίβα είναι και το πρώτο που θα πάρουµε από αυτή. Άλλη µέθοδος είναι η επιλογή του επόµενου πελάτη στην τύχη. Τέλος, οι πελάτες µπορούν να επιλεγούν κατά προτεραιότητα, όπως, για παράδειγµα, η επιλογή των αποσκευών των επιβατών business class κατά προτεραιότητα από αυτές των επιβατών της economy class. Στην περίπτωση αυτή υπάρχουν δυο διαφορετικές εκδοχές. Πρώτη εκδοχή, η απλή προτεραιότητα ή προτεραιότητα χωρίς διακοπή (non preemptive), στην οποία, αφού τελειώσει η εξυπηρέτηση του πελάτη επιλέγεται ο πελάτης µε την υψηλότερη προτεραιότητα από αυτούς που βρίσκονται στην ουρά αναµονής. εύτερη εκδοχή, η απόλυτη προτεραιότητα ή προτεραιότητα µε διακοπή (preemptive), κατά την οποία, όταν ένας πελάτης εισέρχεται στην ουρά αναµονής, εάν εξυπηρετείται κάποιος πελάτης µε χαµηλότερη προτεραιότητα, διακόπτεται και αρχίζει η δική του εξυπηρέτηση. Συνοπτικά, λοιπόν, η επιλογή των πελατών από την ουρά αναµονής γίνεται κυρίως µε έναν από τους παρακάτω τρόπους First-come-first-served (FCFS) ή first-in-first-out(fifo) Last-come-first-served (LCFS) ή last-in-first-out(lifo) Priority Προτεραιότητα χωρίς διακοπή (non preemptive) Προτεραιότητα µε διακοπή (preemptive) Service in random order (SIRO) ή απλά random Υπάρχουν, ακόµη, ουρές, στις οποίες σαν επόµενος προς εξυπηρέτηση πελάτης αυτός που απαιτεί τον µικρότερο (ή και τον µεγαλύτερο) χρόνο εξυπηρέτησης, ή αυτός µε τη µικρότερη διορία αποπεράτωσης, γεγονός που καθιστά τη µελέτη τους πιο πολύπλοκη διαδικασία. Παράµετροι που µπορούν να περιπλέξουν ακόµη περισσότερο τη διαδικασία, και συµβαίνουν συνήθως όταν οι πελάτες είναι άνθρωποι, είναι η περίπτωση που ο πελάτης, αφού περιµένει για λίγο στην ουρά, αποφασίζει να φύγει ή η αλλαγή της κατά τη διάρκεια της αναµονής σε αναζήτηση ταχύτερης εξυπηρέτησης που αναφέρθηκαν και στην προηγούµενη παράγραφο. Επιπλέον χαρακτηριστικό µέγεθος στην ουρά είναι το µέγεθός της που µπορεί να θεωρηθεί άπειρο ή πεπερασµένο µε συγκεκριµένη χωρητικότητα. Όταν η χωρητικότητα αυτή καλυφθεί, το σύστηµα δε θα µπορεί να δεχθεί επιπλέον πελάτες 17

18 (blocked). Υπάρχουν πεδία εφαρµογής, στα οποία ένα πεπερασµένο σύστηµα και η απώλεια ή όχι πελατών λόγω µίας γεµάτης ουράς είναι άµεσου ενδιαφέροντος. Έτσι, στο παράδειγµα του τηλεφωνικού δικτύου, όταν το σύστηµα είναι απασχοληµένο και δεν µπορεί να εξυπηρετήσει κάποια κλήση, µε συνέπεια αυτή είτε να χάνεται, είτε να καθυστερεί, η πιθανότητα να συµβεί αυτό και ο χρόνος αναµονής αντίστοιχα είναι σηµαντικότατα µεγέθη για την εταιρεία κινητής τηλεφωνίας [Hock N.C 1996, Queueing Modeling Fundamentals, John Wiley & Sons Ltd, West Sussex]. Ακραία περίπτωση πεπερασµένης ουράς σε ένα σύστηµα αποτελεί το σύστηµα µε µηδενική χωρητικότητα ουράς. Στο σύστηµα αυτό ένας εισερχόµενος πελάτης που θα βρει όλους τους εξυπηρετητές απασχοληµένους, δε θα εισέλθει στο σύστηµα από το οποίο θεωρείται χαµένος. Το συγκεκριµένο σύστηµα είναι τα πιο εκτενώς µελετηµένα στη βιβλιογραφία και παρουσιάστηκε πρώτη φορά το 1917 από τον Erlang [Erlang A.K 1917 «Solution of some problems in the theory of probabilities of significance in automatic telephone exchanges» ] σε µελέτη του για την τηλεφωνία και προς τιµή του ονοµάζεται Erlang loss system. Παράγοντας που µπορεί να επηρεάσει ιδιαίτερα το πλήθος των πελατών στην ουρά αναµονής αλλά και γενικότερα όλο το σύστηµα, είναι η κατάσταση στην οποία βρίσκεται. Έτσι, είναι πολύ πιθανό κατά την έναρξη της λειτουργίας του το σύστηµα να επηρεάζεται από κάποιους παράγοντες που δεν θα το επηρεάζουν στη συνέχεια και θα κάνουν και τις µετρήσεις δυσκολότερες αλλά και µη χρήσιµες για την κανονική λειτουργία του συστήµατος. Η κατάσταση αυτή ονοµάζεται και µεταβατική κατάσταση (transient state) και παράδειγµά της είναι µία τράπεζα που µόλις ανοίγει σε µέρα πληρωµής συντάξεων, µε δεκάδες συνταξιούχους να περιµένουν έξω. Η ουρά αναµονής απευθείας γεµίζει µε δεκάδες πελάτες και θα περάσει αρκετή ώρα µέχρι αυτοί να εξυπηρετηθούν και να έλθει η τράπεζα στην οµαλή της λειτουργία. Η λειτουργία αυτή ονοµάζεται κατάσταση ισορροπίας (steady state) και συµπεριφορά του συστήµατος δεν εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες που επικρατούν κατά την έναρξη της λειτουργίας του. Συνήθως, για να φτάσει το σύστηµα σε κατάσταση ισορροπίας, πρέπει να παρέλθει κάποιο χρονικό διάστηµα από την εκκίνησή του, στη διάρκεια του οποίου θα εξαλειφθούν οι συνθήκες που το επηρεάζουν κατά την εκκίνησή του. Το χρονικό αυτό διάστηµα ποικίλει από πρακτικά µηδενικό, στη περίπτωση για παράδειγµα ενός τηλεπικοινωνιακού δικτύου µε πρακτικά άπειρα πακέτα έως πρακτικά άπειρο για συστήµατα που µπορεί ποτέ να µην περιέλθουν σε 18

19 κατάσταση ισορροπίας. Πολλές είναι οι περιπτώσεις οπού η µεταβατική κατάσταση δεν συµβαίνει στην αρχή της λειτουργίας αλλά και σε κάποιο σηµείο κατά τη διάρκειά της. Χαρακτηριστικό τέτοιο παράδειγµα είναι η ώρα κυκλοφοριακής αιχµής σε κάποιο οδικό δίκτυο που συµβαίνει όταν τελειώνει το οκτάωρο ή κλείνουν τα µαγαζιά. Η κατάσταση αυτή δεν µπορεί να χαρακτηριστεί σαν σταθερή αλλά και συµβαίνει κάποιες στιγµές στη διάρκεια λειτουργίας του συστήµατος. 1.5 Χρόνοι εξυπηρέτησης Ένα σηµαντικότατο χαρακτηριστικό ενός συστήµατος ουράς είναι ο χρόνος που θα κάνει ένας εξυπηρετητής να αντιµετωπίσει έναν πελάτη. Τα άτοµα δηλαδή που θα µπορέσει να εξυπηρετήσει στη µονάδα του χρόνου, ή το ρυθµό εξυπηρέτησης. Όπως και στην περίπτωση των αφίξεων, έτσι και εδώ θα µπορούσε ο ρυθµός αυτός να είναι αυστηρά καθορισµένος, και άρα εύκολα µετρήσιµος. Στην πλειονότητα, όµως, των περιπτώσεων θα πρέπει να βρεθεί και πάλι κάποιο µαθηµατικό µοντέλο που θα µοντελοποιεί τη συµπεριφορά του εξυπηρετητή. Οι περιπτώσεις αυτές µπορούν να προσοµοιωθούν µε τον ίδιο τρόπο, όπως και οι χρόνοι αφίξεων, µε πιο συχνή περίπτωση την εκθετική κατανοµή των χρόνων εξυπηρέτησης. Πρέπει να σηµειωθεί στο σηµείο αυτό ότι καθώς και στις δύο περιπτώσεις γίνονται υποθέσεις και απλουστεύσεις που απαιτούν κάποια µορφή αξιολόγησης αυτών που θα µπορούσε για παράδειγµα να επιτευχθεί αν υπάρχει το πραγµατικό σύστηµα µε συλλογή δεδοµένων από αυτό και σύγκρισή του µε το µοντέλο του. Παράγοντες που ενδιαφέρουν τον µελετητή αναφορικά µε το µηχανισµό εξυπηρέτησης, εκτός από το ρυθµό εξυπηρέτησης, είναι οι θέσεις και οι φάσεις εξυπηρέτησης ενός συστήµατος. Έτσι, ένα σύστηµα ουρών µπορεί να έχει είτε έναν µόνο εξυπηρετητή (single channel), είτε πολλούς εξυπηρετητές (multiple channels) που να δουλεύουν παράλληλα ακόµα και εξυπηρετώντας πελάτες από µία µόνο ουρά. Παράδειγµα τέτοιου συστήµατος έχουν συναντήσει οι περισσότεροι σε κάποια τράπεζα ή ταχυδροµείο όπου υπάρχει µία ουρά, της οποίας η πειθαρχία καθορίζεται από κάποιο µηχανισµό που εκδίδει χαρτάκια προτεραιότητας αλλά πολλούς υπαλλήλους που εργάζονται παράλληλα. Πολλές φορές πάντως, ένας µοναδικός γρήγορος εξυπηρετητής που έχει την ίδια συνολικά «χωρητικότητα» εξυπηρέτησης µε πολλούς εξυπηρετητές µπορεί να έχει εντελώς διαφορετική συµπεριφορά σε ένα σύστηµα. Επίσης κάποιος πελάτης µπορεί να έχει ανάγκη είτε από µία και µόνο 19

20 εξυπηρέτηση (single phase), είτε από πολλές φάσεις εξυπηρέτησης (multiple phases), για κάθε µία από τις οποίες είναι πιθανό να υπάρχει διαφορετική ουρά. Μία επίσκεψη σε κάποια δηµόσια υπηρεσία µάλλον θα σας κάνει µάρτυρες µίας τέτοιας περίπτωσης. 1.6 Έξοδος Η έξοδος από το σύστηµα ουρών σπάνια παρουσιάζει ενδιαφέρον για τους µελετητές. Στη συντριπτική πλειοψηφία των περιπτώσεων θεωρείται απλά ότι κάθε πελάτης που εξέρχεται από το σύστηµα επανέρχεται απευθείας στο περιβάλλον και στον πληθυσµό πελατών. Υπάρχει περίπτωση όµως ο πελάτης να µην επανέρχεται στον πληθυσµό ή να επανέρχεται µε κάποια καθυστέρηση. Βέβαια, όταν ο πληθυσµός θεωρείται άπειρος, όποια και αν είναι η συµπεριφορά του εξερχόµενου πελάτη, δε θα επηρεαστεί καθόλου το πρότυπο αφίξεων. Το πρότυπο θα επηρεαστεί όµως πολύ από τέτοιου είδους συµπεριφορές όταν ο πληθυσµός δε θεωρείται άπειρος. Για παράδειγµα, αυτές οι συµπεριφορές επηρεάζουν το σύστηµα σε περιπτώσεις όπως αυτή της συντήρησης των µηχανών ενός εργοστασίου που αναφέρθηκε προηγουµένως. Εάν, για παράδειγµα, αφού τελείωνε η συντήρηση κάποιου µηχανήµατος και η µηχανή εξερχόταν από το σύστηµα προς µελέτη, αλλά περνούσε και από συνεργείο καθαρισµού, αν και δεν ενδιαφέρει τον µελετητή της συντήρησης εφόσον το συνεργείο καθαρισµού δεν ανήκει στο προς µελέτη σύστηµα, θα το εµπόδιζε να ξαναµπεί σε λειτουργία και άρα στον πληθυσµό των πιθανών πελατών του συστήµατος. Στην περίπτωση των εκλογών όπου κάθε ψηφοφόρος έχει δικαίωµα να ψηφίσει µία φορά και µε πληθυσµό πελατών τους εγγεγραµµένους σε κάποιον εκλογικό κατάλογο, κάθε ψηφοφόρος, αφού φύγει από την κάλπη και το προς µελέτη σύστηµα, φεύγει και από τον πληθυσµό πελατών, κάτι που φυσικά θα επηρεάσει τις µετέπειτα αφίξεις. 1.7 Σύστηµα συµβολισµού ουρών (Kendall notation) Από τις προηγούµενες παραγράφους µπορεί κανείς να παρατηρήσει µία πληθώρα στοχαστικών διαδικασιών και διαφορετικών παραµέτρων που ορίζουν ένα σύστηµα ουρών. Ο David G. Kendall, ένας Βρετανός στατιστικός, από το

21 ανέπτυξε έναν τρόπο σύντοµου συµβολισµού, γνωστό σαν Kendall notation που από τότε καθιερώθηκε σαν τρόπος περιγραφής των συστηµάτων ουρών. Αρχικά, ο συµβολισµός του περιείχε τρεις παράγοντες, το A/B/C σύστηµα συµβολισµού [Kendal D.G 1953 «Stochastic processes occurring in the theory of queues and their analysis by the method of imbedded Markov Chains, Annals of Mathematical Statistics Vol pp ] που στη συνέχεια επεκτάθηκε, για να συµπεριλάβει και άλλα χαρακτηριστικά των συστηµάτων ουρών. Ακολουθεί περιγραφή αυτού του συµβολισµού: A / B / X / Y / Z A : Πρότυπο αφίξεων πελατών B : Πρότυπο εξυπηρέτησης X : Αριθµός εξυπηρετητών Y : Χωρητικότητα συστήµατος ( Μέγιστος αριθµός πελατών που µπορούν να φιλοξενηθούν στο σύστηµα) Z : Πληθυσµός πελατών Έτσι για παράδειγµα τα Α και Β µπορούν να πάρουν κάποιες από τις παρακάτω τιµές ανάλογα µε τις κατανοµές που προσδιορίζουν τα πρότυπα αφίξεων και εξυπηρέτησης αντίστοιχα. M : Εκθετική κατανοµή D : Εκφυλισµένη ή προσδιοριστική κατανοµή E k : Erlang κατανοµή ( k = παράµετρος shape) Η k : Υπερεκθετική µε παράµετρο k G : Γενική κατανοµή Έτσι, αν υποθέσουµε τον επόµενο συµβολισµό συστήµατος ουρών M / M / m / K / N έχουµε ένα σύστηµα µε άφιξη πελατών που ακολουθούν την εκθετική κατανοµή, εκθετική κατανοµή για εξυπηρέτηση πελατών, m εξυπηρετητές, ένα µέγιστο K πελατών στο σύστηµα και N πιθανούς πελάτες. Πολλές φορές, στη συχνή περίπτωση που ο πληθυσµός πελατών θεωρείται άπειρος, το τελευταίο σύµβολο Ζ παραλείπεται. Όταν η χωρητικότητα του συστήµατος θεωρείται άπειρη, παραλείπεται και το σύµβολο Υ. 21

22 Κεφάλαιο 2 Θεωρία αναµονής Η θεωρία αναµονής (Queueing theory) εξετάζει τα φαινόµενα, τα οποία παρατηρούνται σε ουρές, που σχηµατίζονται οποτεδήποτε φθάνουν πελάτες σε ένα σταθµό εξυπηρέτησης. Στην περίπτωση που ο πελάτης φθάνοντας βρίσκει όλους τους εξυπηρετητές απασχοληµένους, θα πρέπει να περιµένει σε κάποια ουρά µέχρι να ελευθερωθεί κάποιος εξυπηρετητής. Στο κεφάλαιο αυτό πραγµατοποιείται εισαγωγή στις βασικές έννοιες των συστηµάτων αναµονής, παρουσιάζονται εφαρµογές της θεωρίας αναµονής και ο τρόπος συµβολισµού των συστηµάτων αναµονής, αναφέρονται µέτρα των επιδόσεων και της ικανότητας ενός συστήµατος αναµονής, δηλαδή τα ζητούµενα µεγέθη σε ένα πρόβληµα της θεωρίας αναµονής και τέλος παρουσιάζεται η εκθετική συνάρτηση, την οποία κανείς συναντά αρκετά συχνά σε σχετικά προβλήµατα. 2.1 Ορισµός συστήµατος αναµονής Στο Σχήµα 2.1 παρουσιάζεται ένα γενικό σύστηµα αναµονής. Σύµφωνα µε αυτό µια ακολουθία πελατών φθάνει σε ένα σταθµό εξυπηρέτησης, ο οποίος περιλαµβάνει µία ή περισσότερες µονάδες εξυπηρέτησης (στην περίπτωσή µας µία). Αν ένας πελάτης, φθάνοντας στο σύστηµα βρει όλους τους σταθµούς εξυπηρέτησης απασχοληµένους, τότε περιµένει στην ουρά αναµονής µέχρι να επιλεχθεί η κατάλληλη χρονική στιγµή προκειµένου να εξυπηρετηθεί, σύµφωνα µε κάποιο αλγόριθµο χρονοδροµολόγησης (queueing discipline). Τελειώνοντας η εξυπηρέτησή του, ο πελάτης αναχωρεί από το σύστηµα. Σχήµα 2.1: Γενικό σύστηµα αναµονής 22

23 Έστω λ πελάτες ανά δευτερόλεπτο ο µέσος ρυθµός αφίξεων πελατών (Σχήµα 2.1 και Σχήµα 2.2). Αν α ο χρόνος µεταξύ δύο διαδοχικών αφίξεων, τότε ισχύει: Ε(α)=1/λ Έστω µ πελάτες ανά δευτερόλεπτο ο µέσος ρυθµός εξυπηρέτησης των πελατών. Αν s ο χρόνος µεταξύ δύο διαδοχικών αναχωρήσεων, τότε ισχύει: Ε(s)=1/µ Σχήµα 2.2: Αφίξεις / αναχωρήσεις σε σύστηµα αναµονής Ας θεωρήσουµε ρυθµό αφίξεων 10 πελάτες/sec και ρυθµό εξυπηρέτησης 11 πελάτες/sec. Εξασφαλίζουµε καλή συµπεριφορά του συστήµατος αναµονής, εφόσον: ρ=λ/µ<1 όπως στο συγκεκριµένο αριθµητικό παράδειγµα. Για συστήµατα αναµονής ενός εξυπηρετητή ο λόγος: λ/µ ή λ Ε(s) 23

24 δηλώνει την ένταση φορτίου (traffic intensity) και συνήθως εκφράζεται σε Erlangs, είναι δε ίσος µε το συντελεστή χρησιµοποίησης. Η ένταση φορτίου εκφράζει το ποσοστό της εξυπηρέτησης, το οποίο απαιτεί ένας χρήστης και σύµφωνα µε τα παραπάνω θα είναι ίση µε: ρ = Ε(s) / Ε(α) Στην περίπτωση που έχουµε δύο εξυπηρετητές τότε το σύστηµα είναι ευσταθές αν ρ < 2, ενώ στην γενική περίπτωση που έχουµε Ν εξυπηρετητές το σύστηµα είναι ευσταθές αν ρ < Ν. Παράδειγµα: Έστω το τηλεφωνικό δίκτυο ενός Πανεπιστηµίου, όπου ο αριθµός των εξυπηρετητών είναι 210. Εξασφαλίζουµε καλή συµπεριφορά του συστήµατος εάν ρ<210. Θεωρώντας Ε(s)=3min=180sec, ο ρυθµός εξυπηρέτησης θα είναι µ=1/180 πελάτες/sec. Αυτό σηµαίνει ότι το τηλεφωνικό δίκτυο θα έχει καλή συµπεριφορά ακόµα και αν έχουµε αφίξεις µέχρι και λ=70 πελάτες/min. Έστω ένα τηλεφωνικό κέντρο, το οποίο µπορούµε να θεωρήσουµε ως σύστηµα αναµονής χωρίς χώρο αναµονής (buffer). Στην περίπτωση αυτή, αν ρ = λ/µ η ένταση φορτίου, τότε ορίζουµε ως µέσο ρυθµό εξόδου ή ρυθµαπόδοση (throughput) του συστήµατος σύµφωνα µε την ακόλουθη σχέση: γ = λ (1-P bl ) όπου P bl η πιθανότητα να χαθεί ένας πελάτης επειδή βρήκε το σύστηµα πλήρες. Στα τηλεφωνικά κέντρα η πιθανότητα αυτή συνήθως είναι 0.01< P bl <0.001 και αποτελεί µια παράµετρο του βαθµού ποιότητας του συστήµατος (Grade of Service GOS). 24

25 2.2 Χαρακτηρισµός απλών συστηµάτων αναµονής Προκειµένου κανείς να προσδιορίσει πλήρως ένα σύστηµα αναµονής, θα πρέπει να καθορίσει µια στοχαστική διαδικασία (stochastic process), η οποία περιγράφει τη ροή αφίξεων, όπως και τη δοµή και τις αρχές που διέπουν την εξυπηρέτηση. Γενικά, η διαδικασία αφίξεων περιγράφεται µέσω µιας κατανοµής πιθανοτήτων των χρόνων µεταξύ αφίξεων των πελατών και συµβολίζεται µε A(t), όπου[andreas Willing «A short Introduction to Queueing Theory» July 21, 1999 p 4]: A(t) = Pr [ο χρόνος µεταξύ αφίξεων t] Στα συστήµατα αναµονής, πολύ συχνά γίνεται η παραδοχή ότι οι χρόνοι αυτοί µεταξύ των αφίξεων είναι ανεξάρτητες, οµοίως κατανεµηµένες τυχαίες µεταβλητές (και κατά συνέπεια, η ροή των αφίξεων σχηµατίζει µια στάσιµη ανανεωτική διαδικασία). Συνήθως µας ενδιαφέρει µόνο η κατανοµήa(t) που περιγράφει τους χρόνους µεταξύ αφίξεων. Η δεύτερη στοχαστική ποσότητα που πρέπει να περιγραφεί είναι η απαίτηση εξυπηρέτησης των πελατών, η οποία συνήθως αναφέρεται ως χρόνος εξυπηρέτησης του οποίου η κατανοµή πιθανότητας συµβολίζεται ως B(x), και είναι: B(x) = Pr [ χρόνος εξυπηρέτησης x] Όπου ο χρόνος εξυπηρέτησης αναφέρεται στο χρονικό διάστηµα που ένας πελάτης ξοδεύει στη µονάδα εξυπηρέτησης. Σχετικά µε τη δοµή και τον τρόπο εξυπηρέτησης, θα πρέπει κανείς να καθορίσει επιπλέον ένα σύνολο από άλλα στοιχεία. Τέτοια στοιχεία είναι: Το µέγεθος του χώρου αναµονής όπου οι πελάτες µπορούν να περιµένουν µέχρι να εξυπηρετηθούν. Συχνά ο χώρος αναµονής θεωρείται άπειρος. 25

26 Ο αριθµός των σταθµών εξυπηρέτησης. Σε περίπτωση που αυτοί είναι περισσότεροι από ένας, τότε η κατανοµή B(x) µπορεί να διαφέρει σε κάθε έναν. Ο τρόπος εξυπηρέτησης, ο οποίος περιγράφει τη σειρά µε την οποία οι πελάτες περνούν από την ουρά στην εξυπηρέτηση. Συγκεντρωτικά, τα απλά συστήµατα αναµονής (αυτά δηλαδή που χαρακτηρίζονται από µία εξυπηρέτηση ανά πελάτη) παρουσιάζονται µε τον ακόλουθο απλό συµβολισµό: A/B/m/K/M, όπου κάθε ένα από τα γράµµατα έχουν την ακόλουθη σηµασία[andreas Willing «A short Introduction to Queueing Theory» July 21, 1999 p 5-6]: A : ιαδικασία αφίξεων. Τα ακόλουθα σύµβολα χρησιµοποιούνται για την περιγραφή των κατανοµών. M (εκθετική), Ek (Erlang-k), Hk (υπέρ-εκθετική τάξης k), D (σταθερή), G (γενική), GI (γενική ανεξάρτητη). B: Κατανοµή χρόνου εξυπηρέτησης. Ισχύουν τα παραπάνω σύµβολα για τις κατανοµές. m: Αριθµός σταθµών εξυπηρέτησης (παράλληλα) K: Χωρητικότητα της ουράς (στην περίπτωση πεπερασµένου χώρου αναµονής) M: Μέγεθος πληθυσµού Για την πλήρη περιγραφή του συστήµατος αναµονής θα πρέπει να γνωρίζει κανείς επίσης τον τρόπο εξυπηρέτησης FIFO ή FCFS, LIFO ή LCFS, Round Robin (κυκλικά), κλπ. Ο τρόπος εξυπηρέτησης καθορίζει τη σειρά µε την οποία εξυπηρετούνται οι πελάτες που βρίσκονται στο σύστηµα. Ο τρόπος εξυπηρέτησης µπορεί να αναφερθεί στο τέλος του συµβολισµού A/B/m/K/M, που αναφέρθηκε παραπάνω. Στην συνέχεια παραθέτονται µερικοί από τους πιο συνηθισµένους τρόπους Εξυπηρέτησης [Andreas Willing «A short Introduction to Queueing Theory» July 21, 1999 p 5]: 26

27 FIFO (First In First Out) ή FCFS (First Come First Served): Οι πελάτες εξυπηρετούνται σύµφωνα µε την σειρά άφιξής τους. LIFO (Last In First Out) ή LCFS (Last Come First Served): Κάθε φορά εξυπηρετείται ο πελάτης µε τον πιο πρόσφατο χρόνο άφιξης. FIRO (First In Random Out): Ισχύει τυχαία σειρά εξυπηρέτησης των πελατών. Χρονοδροµολόγηση µε προτεραιότητες (Priority Scheduling): Οι πελάτες χωρίζονται σε κατηγορίες µε διαφορετικές προτεραιότητες. ιακρίνουµε δύο γενικούς τύπους προτεραιοτήτων: Απλή προτεραιότητα ή προτεραιότητα χωρίς διακοπή (nonpreemptive): µετά το τέλος εξυπηρέτησης επιλέγεται για την επόµενη εξυπηρέτηση ο πελάτης µε την υψηλότερη προτεραιότητα (µεταξύ πελατών µε ίση προτεραιότητα ακολουθείται ο κανόνας FCFS). Απόλυτη προτεραιότητα ή προτεραιότητα µε διακοπή (preemptive): όταν ένας πελάτης που φθάνει στο σύστηµα βρίσκει ένα πελάτη µε χαµηλότερη προτεραιότητα να εξυπηρετείται, το διακόπτει και αρχίζει η δική του εξυπηρέτηση. (R-R) Round Robin: Είναι ένας από τους πιο διαδεδοµένους αλγόριθµους χρονοδροµολόγησης για συστήµατα καταµερισµού χρόνου (time-sharing). Οι πελάτες εξυπηρετούνται σε διάταξη FCFS εφόσον ο χρόνος εξυπηρέτησής τους δεν ξεπερνά ένα σταθερό χρονικό διάστηµα. Όταν ο χρόνος εξυπηρέτησής τους φθάσει το διάστηµα αυτό, ο πελάτης διακόπτεται και τοποθετείται στο τέλος της ουράς. Η διαδικασία επαναλαµβάνεται για όλους τους πελάτες. 2.3 Ζητούµενα µεγέθη Έχοντας καθορίσει τον τρόπο χαρακτηρισµού ενός συστήµατος αναµονής, µπορούµε τώρα να ονοµάσουµε µέτρα των επιδόσεων και της ικανότητας, τα οποία προσδιορίζονται µέσω της ανάλυσης. Ένα από τα πιο σηµαντικά µεγέθη σε ένα σύστηµα αναµονής είναι ο αριθµός των πελατών στο σύστηµα, κάθε χρονική στιγµή. Σε ένα απλό σύστηµα αναµονής, όπως το D/D/1 όπου η κατανοµή των χρόνων µεταξύ αφίξεων και η κατανοµή των 27

28 χρόνων εξυπηρέτησης είναι σταθερή, µπορούµε ιδανικά να γνωρίζουµε κάθε χρονική στιγµή το N(t). Σχήµα 2.3 Ακριβής υπολογισµός του N(t) σε σύστηµα D/D/1 Σε πιο πολύπλοκα συστήµατα προσπαθούµε να βρούµε την κατανοµή του N(t), ενώ σε ακόµα πιο σύνθετες καταστάσεις αναγκαζόµαστε να βρούµε την οριακή κατανοµή του N(t), όταν το t >. Ενδιαφέρον παρουσιάζει η µέση τιµή της κατανοµής N(t), είτε την χρονική στιγµή t, είτε στην οριακή κατάσταση. Άλλο ενδιαφέρον µέγεθος σε ένα σύστηµα αναµονής, αποτελεί ο χρόνος παραµονής των πελατών στο σύστηµα, ο οποίος είναι ίσος µε τον χρόνο αναµονής συν τον χρόνο εξυπηρέτησης. Ενδιαφέρον παρουσιάζουν ακόµα το µήκος περιόδων διαρκούς εξυπηρέτησης (busy periods) και το µήκος των περιόδων αδράνειας (idle periods). Όλα τα παραπάνω µέτρα είναι τυχαίες µεταβλητές και κατά συνέπεια κανείς αναζητεί για αυτές πλήρη στοχαστική περιγραφή (δηλαδή τη συνάρτηση κατανοµής πιθανότητας). εδοµένου ότι σε πολλές περιπτώσεις η πλήρης περιγραφή δίνει περισσότερη πληροφορία από την απολύτως απαραίτητη, µπορεί κανείς να περιγράψει τις τυχαίες µεταβλητές µε κάποιες ροπές (π.χ. µέση τιµή, διασπορά, κλπ.) και βέβαια µε µικρότερο κόπο και κόστος. 28

29 2.4 Βασικές έννοιες και θεωρήµατα Η κατανοµή Poisson Η κατανοµή Poisson είναι η κατανοµή των σπάνιων γεγονότων και χρησιµοποιείται όταν θέλουµε να µετρήσουµε τον αριθµό των εµφανίσεων ενός φαινοµένου στη µονάδα του χρόνου. Η τυχαία µεταβλητή X που ακολουθεί την κατανοµή Poisson έχει συνάρτηση πιθανότητας που δίνεται από τον τύπο (2.4.1) [ Ivo Adan and Jacques Department of Mathematics and Computing Science Eindhoven University of Technology p ]: P (X = k) = e -λ (λ κ / k!), k = 0, 1, 2, (2.4.1) αναµονής. Η κατανοµή Poisson συνδέεται σε µεγάλο βαθµό µε τη θεωρία ουρών Σε ένα σύστηµα ουράς, ας ορίσουµε µε X(t) την τυχαία µεταβλητή που εκφράζει τον αριθµό των αφίξεων πελατών στο χρονικό διάστηµα (0, t). Ας ορίσουµε ακόµα για s t την πιθανότητα: P i,j (s,t) = prob { X(t) = j / X(s) = i} (2.4.2) Τέλος, παρακάτω τρόπο: ας υποθέσουµε ότι η διαδικασία των αφίξεων γίνεται µε τον Αφίξεις που εµφανίζονται σε ξένα µεταξύ τους χρονικά διαστήµατα είναι ανεξάρτητες. Για αρκετά µικρό t, υπάρχει µια σταθερά λ τέτοια ώστε η πιθανότητα να γίνει µια άφιξη στο διάστηµα (t, t+ t) να δίνεται από τις σχέσεις: 29

30 p i,i (t, t + t) = 1 λ t + o( t) (2.4.3) p i,i+1 (t, t + t) = λ t + o( t) (2.4.4) Σ p i,j (t, t + t) = o( t) (2.4.5) p i,j (t, t + t) = 0 για i < j (2.4.6) όπου ο( t) περιλαµβάνει όλους τους όρους που τείνουν στο µηδέν πολύ πιο γρήγορα από το t, δηλαδή {o( t) / t} 0 καθώς t 0 Αποδεικνύεται πως ισχύει το παρακάτω θεώρηµα: Θεώρηµα 1: Έστω Χ(t) µια τυχαία διαδικασία η οποία ικανοποιεί τις παραπάνω υποθέσεις, τότε p 0,n (0, t) = e -λt [(λt) n / n!] n = 0,1,2,. (2.4.7) Το θεώρηµα δηλώνει πως για ένα δεδοµένο χρονικό διάστηµα (0, t) ο αριθµός των αφίξεων πελατών σε αυτό το διάστηµα, ακολουθεί την κατανοµή Poisson µε παράµετρο λt. Πολλές φορές βέβαια οι πελάτες ενός συστήµατος µπορούν να χωριστούν σε δυο τύπους. Ο διαχωρισµός αυτός δεν δηµιουργεί πρόβληµα στην ανάλυσή µας αφού ισχύει το παρακάτω θεώρηµα: Θεώρηµα 2: Έστω Χ(t), t 0 µια διαδικασία Poisson µε παράµετρο λ και έστω ότι αυτή εµφανίζεται σε δυο µορφές 1 και 2. Υποθέτουµε ότι δεδοµένης µιας εµφάνισης τότε αυτή έχει πιθανότητα p να είναι της µορφής 1 και πιθανότητα 1 p να είναι της µορφής 2. Έστω Χ i (t) (i =1, 2) η στοχαστική διαδικασία που εκφράζει τον αριθµό των εµφανίσεων του φαινοµένου στη µορφή i στο χρονικό διάστηµα (0, t). Οι στοχαστικές διαδικασίες Χ 1 (t), Χ 2 (t) είναι Poisson διαδικασίες µε παραµέτρους λp 30

31 και λ(1 p) αντίστοιχα. Επιπλέον, οι Χ 1 (t), Χ 2 (t) είναι ανεξάρτητες Poisson διαδικασίες Η εκθετική κατανοµή Μια τυχαία µεταβλητή Χ που ακολουθεί την εκθετική κατανοµή έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας που δίνεται από [ Ivo Adan and Jacques Department of Mathematics and Computing Science Eindhoven University of Technology p. 13 ]: f (x) = λe -λx, x > 0 (2.4.8) Η εκθετική κατανοµή είναι άρρηκτα συνδεδεµένη µε την διαδικασία Poisson όπως αποδεικνύεται από το παρακάτω θεώρηµα: Θεώρηµα 3: Οι τυχαίες µεταβλητές Τ 1, Τ 2,,Τ n, που εκφράζουν το χρόνο ανάµεσα σε δυο διαδοχικές αφίξεις σε µια Poisson διαδικασία αφίξεων είναι ανεξάρτητες και ισόνοµες τυχαίες µεταβλητές που ακολουθούν την εκθετική κατανοµή, δηλαδή Prob {T n x} = 1 e -λx, x 0, n = 1, 2,,... (2.4.9) Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της εκθετικής κατανοµής είναι ότι έχει την ιδιότητα της αµνησίας. Με αυτό εννοούµε πως η γνώση των παρελθουσών τιµών Μιας τυχαίας µεταβλητής η οποία κατανέµεται εκθετικά δεν παίζει ρόλο στην πρόβλεψη των µελλοντικών τιµών της. Για να εξηγήσουµε τα παραπάνω καλύτερα ας θεωρήσουµε πως µια άφιξη γίνεται σε χρόνο t = 0. Σε αυτή τη χρονική στιγµή η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του χρόνου µέχρι την επόµενη άφιξη δίνεται 31

32 σύµφωνα µε το προηγούµενο θεώρηµα. Στη συνέχεια, ας υποθέσουµε ότι έχουν περάσει t 0 δευτερόλεπτα και δεν έχει παρατηρηθεί καµία άφιξη. Ο υπολογισµός της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας και σε αυτή την περίπτωση είναι ο ίδιος. ιαφέρει µόνο στο ότι ο χρόνος ανάµεσα στις δυο αφίξεις t είναι τουλάχιστον t 0 και γίνεται ως εξής: Αυτό το αποτέλεσµα δείχνει πως η κατανοµή του χρόνου µέχρι την επόµενη άφιξη, δεδοµένου ότι έχουν περάσει t 0 δευτερόλεπτα από την τελευταία άφιξη, είναι ίδια µε την χωρίς περιορισµούς κατανοµή του χρόνου ανάµεσα στις αφίξεις Η διαδικασία γέννησης θανάτου Η διαδικασία γέννησης θανάτου είναι η κατάλληλη για να µελετήσουµε αλλαγές στο µέγεθος ενός πληθυσµού. Όταν ο πληθυσµός τη χρονική στιγµή t έχει µέγεθος k, ενώ τη χρονική στιγµή t+ t έχει µέγεθος k+1,τότε λέµε ότι σηµειώθηκε µια γέννηση. Αντίθετα, αν τη χρονική στιγµή t+ t ο πληθυσµός έχει µέγεθος k 1, τότε λέµε ότι παρατηρήθηκε ένας θάνατος. Θα πρέπει να σηµειωθεί πως οι έννοιες γέννηση και θάνατος δεν χρησιµοποιούνται µε την κυριολεκτική τους σηµασία. Η λέξη γέννηση σηµατοδοτεί την ένταξη σε ένα σύνολο µε ένα συγκεκριµένο χαρακτηριστικό, ενώ η λέξη θάνατος την αποµάκρυνση από αυτό. Για παράδειγµα σε ένα σύστηµα ουράς η γέννηση αντιστοιχεί στην ενσωµάτωση στην ουρά ενώ ο θάνατος στην αποµάκρυνση από αυτή και την εξυπηρέτηση του πελάτη [Π. Χ. Γ Βασιλείου «Στοχαστικές Μέθοδοι στις Επιχειρησιακές Έρευνες» εκδόσεις ΖΗΤΗ 2000]. 32

33 Ας υποθέσουµε πως ο ρυθµός γεννήσεων είναι λ n όταν υπάρχουν n πελάτες στο σύστηµα, ενώ ο αριθµός των θανάτων είναι µ n. Είναι προφανές ότι είναι µ 0 = 0 και λ 0 > 0. Για τη διαδικασία γέννησης θανάτου ισχύουν οι παρακάτω πιθανότητες [ Kleinrock L. (1975), Queueing Systems, volume 1:, Theory John Wiley & Sons pp ]: Σχήµα 2.4: ιαδικασία γεννήσεων θανάτων prob{ ακριβώς µια γέννηση στο διάστηµα (t, t + t) / υπάρχουν n άτοµα στον πληθυσµό} = λ n t + o( t) prob{καµία γέννηση στο διάστηµα (t, t + t) / υπάρχουν n άτοµα στον πληθυσµό} = 1 λ n t + o( t) prob{περισσότερες από µια γεννήσεις στο διάστηµα (t, t + t) / υπάρχουν n άτοµα στον πληθυσµό} = o( t) prob{ακριβώς ένας θάνατος στο διάστηµα (t, t + t) / υπάρχουν n άτοµα στον πληθυσµό} = µ n t + o( t) prob{κανένας θάνατος στο διάστηµα (t, t + t) / υπάρχουν n άτοµα στον πληθυσµό} = 1 µ n t + o( t) prob{περισσότεροι από ένας θάνατοι στο διάστηµα (t, t + t) / υπάρχουν n άτοµα στον πληθυσµό} = o( t) Συµβολίζουµε µε Χ(t) τον αριθµό των πελατών στο σύστηµα ουρά και σηµείο εξυπηρέτησης στο χρόνο t και µε p n (t) την πιθανότητα: p n (t) = prob{x(t)=n} (2.4.10) 33

34 Θέλουµε να βρούµε την πιθανότητα p n (t + t) σε συνάρτηση µε τις πιθανότητες να έχουµε ένα συγκεκριµένο αριθµό από πελάτες στο χρόνο t. Μπορεί να βρεθούµε στην κατάσταση να έχουµε n πελάτες στο σύστηµα τη χρονική στιγµή t + t αν συµβεί κάποιο από τα εξής: έχουµε n πελάτες τη χρονική στιγµή t και δεν σηµειώνεται καµία αλλαγή έχουµε n 1 πελάτες τη χρονική στιγµή t και στο διάστηµα (t, t + t) σηµειώνεται µια γέννηση έχουµε n+1 πελάτες τη χρονική στιγµή t και στο διάστηµα (t, t + t) σηµειώνεται ένας θάνατος Τα παραπάνω ενδεχόµενα είναι ασυµβίβαστα µεταξύ τους, συνεπώς έχουµε: p n (t + t) = p n (t)[1 λ n t + o( t)][1 µ n t + o( t)] + p n-1 (t)[λ n-1 t +o( t)] + p n+1 (t)[µ n+1 t +o( t)] + o( t), n 1 (2.4.11) p 0 (t+ t) = p 0 (t)[1 λ 0 t +o( t)] + p 1 (t)[µ 1 t +o( t)] + o( t), n=0 (2.4.12) Αν κάνουµε τις πράξεις και λάβουµε υπόψη ότι οι όροι ( t) 2 πρέπει να συµπεριληφθούν µέσα στο ο( t) παίρνουµε: p n (t + t) = p n (t) (λ n +µ n )p n (t) t + λ n-1 p n-1 (t) t + µ n+1 p n+1 (t) t + o( t), n 1 (2.4.13) p 0 (t+ t) = p 0 (t) λ 0 p 0 (t) t + µ 1 p 1 (t) t + o( t), n=0 (2.4.14) Μεταφέροντας τα p n (t) και p 0 (t) αντίστοιχα στο πρώτο µέλος και διαιρώντας µε t παίρνουµε: 34

35 [p n (t + t) p n (t)] / t = (λ n +µ n )p n (t) + λ n-1 p n-1 (t) + µ n+1 p n+1 (t) + o( t) / t, n 1 (2.4.15) [p 0 (t + t) p 0 (t)] / t = λ 0 p 0 (t) + µ 1 p 1 (t) + o( t) / t, n = 0 (2.4.16) Ο Νόµος του Little Όταν µελετάµε ένα σύστηµα ουράς µας ενδιαφέρει να υπολογίσουµε κάποια µέτρα λειτουργικότητας αυτής. Καταρχάς αν είναι Q ο αριθµός των πελατών στο σύστηµα σε κατάσταση στατιστικής ισορροπίας, ενδιαφερόµαστε για τη µέση τιµή αυτού L= E(Q). Ακόµα, αν είναι Q q η τυχαία µεταβλητή που εκφράζει τους πελάτες στην ουρά όταν αυτή είναι σε κατάσταση ισορροπίας, τότε η µέση τιµή L q =E q (Q q ) είναι ένα άλλο µέτρο λειτουργικότητας. Οµοίως αν T q εκφράζει το χρόνο που ένας πελάτης πρέπει να περιµένει στην ουρά για να εξυπηρετηθεί, ενδιαφερόµαστε για τη µέση τιµή αυτού W q =E(T q ). Τέλος, αν Τ είναι ο χρόνος που ένας πελάτης πρέπει να καταναλώσει στην ουρά συµπεριλαµβανοµένου και του χρόνου εξυπηρέτησης, τότε W = E(T) [Ivo Adan and Jacques Department of Mathematics and Computing Science Eindhoven University of Technology p ]. Ο Νόµος του Little είναι µια απλή σχέση που συνδέει τα παραπάνω µέτρα λειτουργικότητας µεταξύ τους, αλλά και µε τον µέσο ρυθµό αφίξεων στο σύστηµα. Έτσι, αν λ c είναι το µέσο ποσοστό πελατών που εισέρχονται στο σύστηµα ουράς τότε, σύµφωνα µε το Νόµο του Little: L = λ c W Η σχέση αυτή είναι πολύ χρήσιµη λόγω της γενικότητάς της. Αξίζει να σηµειωθεί ότι ισχύει για κάθε ουρά G/G/k. Τίποτα δεν χρειάζεται να υποτεθεί ούτε 35

36 για το σύστηµα, ούτε για τη διαδικασία αφίξεων. Μπορεί επιπλέον να δειχθεί ότι ισχύουν: L q = λ c W q L = L q + (λ / µ) W q = L / µ Το σύστηµα αναµονής M/M/1 Το σύστηµα M/M/1 είναι το απλούστερο σύστηµα αναµονής και χαρακτηρίζεται από αφίξεις Poisson (εκθετικά κατανεµηµένους χρόνους µεταξύ αφίξεων) και εκθετικά κατανεµηµένους χρόνους εξυπηρέτησης. Οι ρυθµοί γεννήσεων-θανάτων είναι ανεξάρτητοι από την κατάσταση του συστήµατος [ Ivo Adan and Jacques Department of Mathematics and Computing Science Eindhoven University of Technology p ] : λ n = λ, n = 0,1,2,.. µ n = µ, n = 0,1,2,.. Με εφαρµογή στη γενική λύση βρίσκουµε: p n = p o (λ/µ) n, n 0 p o = [ Σ ( λ/µ) n ] -1 εφόσον ισχύει η συνθήκη: S = Σ( λ/µ ) n < 36

37 Η παραπάνω σειρά συγκλίνει για λ < µ στην τιµή 1/(1-λ/µ), οπότε: p o = 1-λ/µ Η ποσότητα ρ = λ/µ, ονοµάζεται ένταση κυκλοφορίας (traffic intensity) του συστήµατος. Η ένταση κυκλοφορίας εκφράζει την πιθανότητα να µην είναι άδειο το σύστηµα ή ισοδύναµα να είναι απασχοληµένη η µονάδα εξυπηρέτησης, για αυτό ονοµάζεται και βαθµός χρησιµοποίησης (utilization) της µονάδας εξυπηρέτησης. Με χρήση του ρ, η πιθανότητα να υπάρχουν n πελάτες στο σύστηµα θα είναι: p n = (1-ρ) ρ n, n 0 δηλαδή ο αριθµός των πελατών στο σύστηµα ακολουθεί γεωµετρική κατανοµή. Ο µέσος αριθµός πελατών στο σύστηµα θα είναι: Ν = Σ np n = (1-p) Σ np n = p/(1-p) και µε βάση το θεώρηµα του Little ο µέσος χρόνος παραµονής στο σύστηµα θα είναι: Τ = Ν / λ = (1/µ) (1/ 1-p) Ο χρόνος παραµονής ενός πελάτη στο σύστηµα είναι το άθροισµα του χρόνου αναµονής και του χρόνου εξυπηρέτησης. Ο µέσος χρόνος αναµονής είναι: W = T 1/µ = (1/µ) (p/1-p) Με εφαρµογή του θεωρήµατος Little, ο µέσος αριθµός πελατών σε αναµονή είναι: Ν w = λ W = (p 2 / 1-p) 37

38 Κεφάλαιο 3 ίκτυα ουρών αναµονής Σε αυτό το κεφάλαιο γίνεται µια αναφορά στα δίκτυα ουρών αναµονής. ίνονται τα χαρακτηριστικά µιας ουράς, αναλύουµε τα δίκτυα τύπου γινοµένου και τέλος δίνεται µια εξήγηση τι εννοούµε όταν λέµε ανοικτά και κλειστά δίκτυα. 3.1 Γενικά Η ουρά (queue) µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να µοντελοποιηθούν υπολογιστικά συστήµατα ή συσκευές τα οποία έχουν έναν ή πολλαπλούς όµοιους εξυπηρέτες (servers) και όπου όλες οι εργασίες (jobs) περιµένουν στην ίδια ουρά για εξυπηρέτηση. Πιο συγκεκριµένα, οι εργασίες που απαιτούν εξυπηρέτηση από κάποιο απασχοληµένο εξυπηρέτη βρίσκονται σε ουρά αναµονής. Ο εξυπηρέτης είναι ένας πόρος του συστήµατος ή της συσκευής που παρέχει κάποια συγκεκριµένη υπηρεσία σε κάθε εργασία που την αιτείται. Οι εργασίες µετά από κάποιο χρόνο αναµονής στην ουρά αποχωρούν από αυτήν και δέχονται εξυπηρέτηση για ένα χρονικό διάστηµα. Τέλος, αποχωρούν από τον εξυπηρέτη και µπορεί είτε να φθάσουν σε µια άλλη ουρά (ή στην ίδια ουρά) είτε να αποχωρήσουν από το σύστηµα. ηλαδή ένα σύστηµα µπορεί να έχει µία ή περισσότερες συνδεδεµένες ουρές και αυτές µοντελοποιούνται από ένα δίκτυο ουρών (queueing network). Κάθε σύστηµα αναπαριστάται από ένα δίκτυο ουρών, επειδή είναι δυνατή η χρήση µοντέλων ουρών για την ανάλυση της απόδοσής τους. Ανάλογα µε τον τύπο του φόρτου, οι εργασίες που κυκλοφορούν σε ένα δίκτυο µπορούν να έχουν την αλληλεπιδραστική επεξεργασία όπου υπάρχουν εργασίες που ενδεχοµένως δηµιουργούνται από έναν αριθµό σταθµών εργασίας, µε δεδοµένο χρόνο αναµονής (think time) σε αυτούς. Ο χρήστης εναλλάσεται ανάµεσα σε µια κατάσταση σκέψης µέχρι την υποβολή της επόµενης εργασίας ή την επόµενη χρήση του ποντικιού. Στην περίπτωση της επεξεργασίας διεκπεραίωσης, υπάρχουν εργασίες οι οποίες µπορούν να αναπαριστούν διεκπεραιώσεις ή κλήσεις εξυπηρέτησης και βασικό χαρακτηριστικό παράδειγµα είναι ότι φτάνουν στο σύστηµα µε συγκεκριµένο ρυθµό 38

39 άφιξης. Μία επεξεργασία από οµάδες έργων, περιγράφεται από τον αριθµό των ενεργών εργασιών µέσα στο σύστηµα. Χαρακτηριστικό είναι ότι δεν υπάρχει αλληλεπίδραση µε τερµατικό ή σταθµό εργασιών. 3.2 Ανοιχτά και κλειστά δίκτυα Ο πιο εύκολος τρόπος για την κατάταξη ενός δικτύου ουρών είναι να χαρακτηριστεί σαν ανοιχτό ή κλειστό. Ένα ανοιχτό δίκτυο ουρών (open queueing network) (Σχήµα 3.1) έχει εξωτερικές αφίξεις και αναχωρήσεις. Οι εργασίες µπαίνουν στο σύστηµα στο σηµείο In και βγαίνουν στο σηµείο Out. Ο αριθµός εργασιών µεταβάλλεται µε το χρόνο. Στην ανάλυση ενός τέτοιου συστήµατος υποθέτουµε ότι η ρυθµοαπόδοση ή αλλιώς παραγωγή (throughput) είναι γνωστή και ίση µε τον ρυθµό άφιξης και ο σκοπός είναι ο χαρακτηρισµός της κατανοµής του αριθµού εργασιών στο σύστηµα [Sheldon M. Ross «Introduction to probability models» 10 th ed pp ]. Ένα κλειστό δίκτυο ουρών (closed / cyclic queueing network) (Σχήµα 3.2) δεν έχει εξωτερικές αφίξεις και αναχωρήσεις. Οι εργασίες κυκλοφορούν από την µία ουρά στην άλλη και ο συνολικός αριθµός εργασιών είναι σταθερός. Ένα κλειστό σύστηµα µπορεί να θεωρηθεί σαν ένα σύστηµα όπου το Out συνδέεται µε το In. Οι εργασίες που βγαίνουν από το σύστηµα ξαναµπαίνουν αµέσως στο σύστηµα. Στην ανάλυση ενός κλειστού συστήµατος υποθέτουµε ότι δίδεται ο αριθµός εργασιών και προσπαθούµε να καθορίσουµε την ρυθµοαπόδοση, δηλαδή τον ρυθµό λήξης εργασιών. Επίσης είναι δυνατόν να έχουµε µικτά δίκτυα ουράς (mixed queueing network) (Σχήµα 3.3) τα οποία είναι ανοιχτά για κάποιο φόρτο εργασίας και για κάποιο άλλο φόρτο είναι κλειστά. Έτσι έχουµε διάφορες κλάσεις εργασιών (classes of jobs) οι οποίες αναφέρονται ουσιαστικά στον τύπο των εργασιών. Όλες οι εργασίες της ίδιας κλάσης έχουν τις ίδιες απαιτήσεις εξυπηρέτησης και πιθανότητες µετάβασης. Μέσα σε µια κλάση όλες οι εργασίες είναι ισοδύναµες και δεν ξεχωρίζουν. [Andreas Willing «A short Introduction to Queueing Theory» July 21, 1999 p 29-30]: 39

40 Σχήµα: 3.1 Ένα ανοικτό δίκτυο ουρών Σχήµα 3.2: Ένα κλειστό δίκτυο ουρών Σχήµα 3.3: Ένα µικτό δίκτυο ουρών 40

41 3.3 Χαρακτηριστικά ουράς Αξίζει επίσης να αναφέρουµε τα βασικά χαρακτηριστικά µιας ουράς αναµονής που περιγράφουν πλήρως ένα σύστηµα ανοιχτού δικτύου µε έναν µόνο εξυπηρέτη [Andreas Willing «A short Introduction to Queueing Theory» July 21, 1999 p 32]: Η διαδικασία άφιξης περιγράφει πως φθάνουν οι εργασίες σε ένα σύστηµα. Η κατανοµή του χρόνου εξυπηρέτησης είναι απαραίτητη για τον καθορισµό του χρόνου εξυπηρέτησης της κάθε εργασίας. Ο αριθµός εξυπηρετών, εκφράζει τη δυνατότητα ταυτόχρονης εξυπηρέτησης, αφού κάθε ουρά µπορεί να έχει έναν η περισσότερους εξυπηρέτες. Αν υπάρχουν περισσότεροι από ένας εξυπηρέτες και δεν είναι όλοι όµοιων δυνατοτήτων, τότε οι εξυπηρέτες οµαδοποιούνται σε διάφορες οµάδες και η κάθε οµάδα έχει την δικιά της ουρά. Η χωρητικότητα ουράς εκφράζει τον µέγιστο αριθµό εργασιών, που µαζί µε αυτές που εξυπηρετούνται µπορούν να συµπεριληφθούν στην ουρά αναµονής. Πρακτικά, στις περισσότερες περιπτώσεις η χωρητικότητα είναι πεπερασµένη. ηλαδή, όταν η ουρά περιέχει αριθµό εργασιών ίσο µε την χωρητικότητα της τότε στην επόµενη άφιξη παρατηρείται το φαινόµενο του αποκλεισµού (µη απολαβή της εργασίας). Σε θεωρητικό επίπεδο προτιµάται η χρήση ούρων µεγάλης ή µη-πεπερασµένης χωρητικότητας. Το µέγεθος του πληθυσµού είναι ο αριθµός εργασιών που εµφανίζονται. Πρακτικά το µέγεθος είναι πεπερασµένο, αλλά και σε αυτήν την περίπτωση προτιµάται η ανάλυση ενός συστήµατος κάτω από την υπόθεση του µη-πεπερασµένου αριθµού εργασιών. Τέλος η πειθαρχία ουράς ενός συστήµατος ουρών, που αναφέρεται στον κανόνα συµφώνα µε τον οποίο ο εξυπηρέτης αποφασίζει ποιον πελάτη από την ουρά θα επιλέξει όταν τελειώσει η εξυπηρέτηση ενός. Συµπερασµατικά, για να οριστεί µια ουρά αναµονής χρειάζεται να δηλωθούν αυτές οι έξι παράµετροι. Για αυτό το σκοπό χρησιµοποιείται ο συµβολισµός του Kendall στην µορφή A/S/m/B/K/SD, όπου το κάθε γράµµα αντιπροσωπεύει µία από τις παραπάνω παραµέτρους. Συγκεκριµένα Α είναι η κατανοµή των µεταξύ των αφίξεων χρόνων, S είναι η κατανοµή των χρόνων εξυπηρέτησης, m ο αριθµός των εξυπηρετών, B δηλώνει την χωρητικότητα του συστήµατος, Κ το µέγεθος του πληθυσµού και SD είναι η πειθαρχία εξυπηρέτησης. 41

42 Οι κατανοµές των µεταξύ των αφίξεων χρόνων και των χρόνων εξυπηρέτησης µπορεί να είναι οι ακόλουθες [Kleinrock L. (1975), Queueing Systems, volume 1:, Theory John Wiley & Sons p 6]: M E k H k D G Εκθετική (Exponential) Erlang-k Υπερεκθετική µε παράµετρο k Ντετερµινιστική (Dederministic) Γενική (General) Θα πρέπει όµως να σηµειωθεί ότι η εκθετική κατανοµή δηλώνεται µε Μ λόγω της ιδιότητας έλλειψης µνήµης (memory less). ηλαδή, αν οι µεταξύ των αφίξεων χρόνοι είναι εκθετικά κατανεµηµένοι, µε µέση τιµή 1/λ, τότε ο αναµενόµενος χρόνος για την επόµενη άφιξη. Αυτή η ιδιότητα ονοµάζεται Markovian και ορίζει ότι οι µελλοντικές καταστάσεις µιας διαδικασίας ενός συστήµατος είναι ανεξάρτητες του παρελθόντος και εξαρτώνται µόνο από το παρόν. 3.4 ίκτυα τύπου γινοµένου Το πιο απλό δίκτυο ουρών είναι µια σειρά από k ουρές και έναν εξυπηρέτη η κάθε µία µε εκθετικούς χρόνους εξυπηρέτησης και αφίξεις όπως φαίνεται και στο Σχήµα 3.4. Οι εργασίες που φεύγουν από µια ουρά µπαίνουν στην επόµενη. Μπορεί να αποδειχτεί ότι κάθε µεµονωµένη ουρά στη σειρά αυτή µπορεί να αναλυθεί ανεξάρτητα από τις άλλες ουρές. Κάθε ουρά έχει ρυθµό άφιξης και ρυθµό αναχώρησης λ. Αν µ i είναι ο ρυθµός εξυπηρέτησης για τον i-οστό πελάτη, τότε: Χρησιµοποίηση του i-οστού εξυπηρέτη ρ i = λ / µ i Πιθανότητα n i εργασιών στην i-οστή ουρά P i =(1-ρ i ) ρ i ni 42

43 Σχήµα 3.4: Ένα απλό δίκτυο µε k ουρές συνδεδεµένες στη σειρά Η από κοινού πιθανότητα (joint probability) για τη µήκη των k ουρών µπορεί να υπολογισθεί πολλαπλασιάζοντας τις επιµέρους πιθανότητες: P(n 1,n 2,..,n k ) = (1-ρ 1 )ρ 1 n1 (1-ρ 2 )ρ 2 n2.(1-ρ k )ρ k nk = p 1 (n 1 )p 2 (n 2 ) p k (n k ) Συνεπώς αυτό το δίκτυο ουρών είναι ένα δίκτυο τύπου γινοµένου (product from network). Γενικά, ο όρος αυτός ισχύει για κάθε δίκτυο ουρών στο οποίο η έκφραση για την πιθανότητα ισορροπίας (equilibrium probability) έχει την ακόλουθη µορφή: P(n 1,n,,n) = (1/G(N)) Π k i=f i (n i ) Όπου f i (n i ) είναι κάποια συνάρτηση του αριθµού εργασιών στην i-οστή µονάδα και G(N) είναι µια σταθερά κανονικοποίησης που είναι µια συνάρτηση του συνολικού αριθµού εργασιών στο σύστηµα. Για ένα δοθέν δίκτυο, είναι σηµαντικό να είναι γνωστό αν αυτό είναι µορφής γινοµένου, αφού η ανάλυση των δικτύων της κατηγορίας αυτής είναι ευκολότερη από την ανάλυση δικτύων που δεν είναι µορφής γινοµένου. Για αυτό το λόγο έχει αναπτυχθεί ένα σύνολο κριτηρίων από τους Baskett, Chandy, Muntz και Palacios [«Open, Closed and Mixed Networks of Queues with Different Classes of Customers» pp , April 1975]: 43

44 Πειθαρχίες εξυπηρέτησης. Όλα τα κέντρα εξυπηρέτησης έχουν ένα από τους ακόλουθους τύπους εξυπηρέτησης: FCFS, PS(Processor Sharing), IS(Infinitive Servers), LCFS-PS(Preemptive Resume) Κλάσεις Εργασιών. Οι εργασίες όσο περιµένουν ή εξυπηρετούνται σε ένα κέντρο εξυπηρέτησης ανήκουν σε µια και µοναδική κλάση. Μπορούν όµως να αλλάζουν κλάση µετά την ολοκλήρωση εξυπηρέτησης σε κάποιο κέντρο σύµφωνα µε προκαθορισµένες πιθανότητες. Κατανοµές χρόνων εξυπηρέτησης. Στα FCFS κέντρα οι κατανοµές χρόνων εξυπηρέτησης πρέπει να είναι εκθετικές και ίδιες για όλες τις εργασίες. Σε άλλα κέντρα, όπου οι κατανοµές χρόνων εξυπηρέτησης έχουν µετασχηµατισµό Laplace, διαφορετικές κλάσεις έργων µπορούν να έχουν διαφορετικές κατανοµές. Εξυπηρέτηση που εξαρτάται από την κατάσταση. Ο χρόνος εξυπηρέτησης σε ένα κέντρο FCFS µπορεί να εξαρτάται µόνο από το συνολικό µήκος ουράς σε αυτό. Στα κέντρα PS, LCFS-PR και IS ο χρόνος εξυπηρέτησης για κάποιο τύπο εργασιών µπορεί να εξαρτάται από τον αριθµό εργασιών αυτού του τύπου στο κέντρο, αλλά όχι από τον συνολικό αριθµό εργασιών ανεξαρτήτως κλάσης ιαδικασίες άφιξης. Στα ανοιχτά δίκτυα, ο χρόνος µεταξύ διαδοχικών αφίξεων εργασιών πρέπει να είναι εκθετικά κατανεµηµένος. εν επιτρέπονται µαζικές αφίξεις. Οι ρυθµοί άφιξης µπορεί να εξαρτώνται από την κατάσταση. Ένα δίκτυο µπορεί να είναι ανοιχτό σε σχέση µε κάποια κλάση εργασιών και κλειστό σε σχέση µε άλλες κλάσεις εργασιών. 44

45 Κεφάλαιο 4 Τελικό µοντέλο Σε αυτό το κεφάλαιο, και έχοντας αναλύσει το θεωρία ουρών αναµονής, παρουσιάζουµε το νοσοκοµείο ως ένα σύστηµα ουρών. Αναφέρουµε δηλαδή τον τρόπο µε τον οποίο θα γίνονται οι αφίξεις και η εξυπηρέτηση µέσα στα ιατρεία του νοσοκοµείου. Στη συνέχεια δίνονται οι εξισώσεις του συστήµατος που θα χρησιµοποιηθούν και τελειώνοντας παραθέτουµε τη συνάρτηση κόστους, αν δηλαδή χαθεί ένας πελάτης ή αν µείνει µια κλίνη άδεια. 4.1 Το νοσοκοµείο ως ένα σύστηµα ουρών Σύστηµα ουράς αναµονής είναι ένα σύστηµα στο οποίο έχουµε κανονική ή τυχαία άφιξη πελατών µε σκοπό να τους παρασχεθεί κάποιου είδους εξυπηρέτηση από περιορισµένες όµως πηγές. Οι ουρές αναµονής οφείλουν την ύπαρξη τους στη διαφορά µεταξύ των αναγκών που υπάρχουν και των δυνατοτήτων για κάλυψη τους. Κύρια χαρακτηριστικά ενός συστήµατος ουράς είναι τα παρακάτω: Η διαδικασία των αφίξεων Η διαδικασία εξυπηρέτησης Η πειθαρχία της ουράς υνατότητα του συστήµατος της ουράς Αριθµός των σηµείων εξυπηρέτησης Φάσεις εξυπηρέτησης Σε ένα νοσοκοµείο υπάρχουν πάρα πολλές λειτουργίες οι οποίες θα µπορούσαν να περιγραφούν απ ένα σύστηµα ουρών. Απ την εισαγωγή των ασθενών, την αναµονή τους στα εξωτερικά ιατρεία, την εξυπηρέτησή τους είτε σε κανονική κλίνη είτε σε εφεδρική (ράντζα), µέχρι την επάνδρωση του νοσοκοµείου από προσωπικό ικανό να αντιµετωπίσει τη ζήτηση υπηρεσιών από τους υπάρχοντες 45

46 ασθενείς. Σε όλες αυτές τις περιπτώσεις αλλά και σε πολλές άλλες µπορούµε να εφαρµόσουµε διάφορα στοχαστικά µοντέλα µε σκοπό να προβλέψουµε το τι θα συµβεί σε τυχών µεταβολές στα δεδοµένα και τις παραµέτρους του συστήµατος και έτσι να βελτιώσουµε την κατάσταση που επικρατεί και να µειώσουµε τα προβλήµατα. Κατά την εφαρµογή της θεωρίας ουρών στην πράξη υπάρχουν δύο βασικά σηµεία στα οποία πρέπει να δοθεί ιδιαίτερη προσοχή. [Π. Χ. Γ. Βασιλείου, «Στοχαστικές Μέθοδοι στις Επιχειρησιακές Έρευνες», εκδόσεις ΖΗΤΗ, 2000] 1) η επιλογή του κατάλληλου στοχαστικού µοντέλου που θα προβλέπει επαρκώς το πραγµατικό σύστηµα µε αντικειµενικό σκοπό να υπολογιστούν σωστά οι δείκτες λειτουργικότητας του συστήµατος 2) η λήψη βέλτιστων αποφάσεων για το σχεδιασµό της ουράς και τον προγραµµατισµό λειτουργίας της µε βάση τους δείκτες λειτουργικότητας Μοντελοποιώντας λοιπόν ένα σύστηµα µπορούµε να δούµε τα προβλήµατά του και να προτείνουµε αλλαγές στις παραµέτρους του οι οποίες θα οδηγούν σε βελτίωση των δεικτών λειτουργίας του. Οι αλλαγές αυτές µπορεί να είναι είτε µεταβολές στον ρυθµό των αφίξεων (µε κατάλληλο σχεδιασµό ), είτε αύξηση του αριθµού των υπηρετών, είτε µείωση του χρόνου εξυπηρέτησης. Μία ανάλογη διαδικασία θα ακολουθήσουµε και στο πρόβληµα που µελετάµε, στον σχεδιασµό δηλαδή µίας άριστης πολιτικής για την εισαγωγή ασθενών µε σκοπό την αποτελεσµατικότερη λειτουργία µίας πτέρυγας ενός νοσοκοµείου. Θα επιλέξουµε ένα στοχαστικό µοντέλο που θα περιγράφει την διαδικασία αφίξεων και εισαγωγής των ασθενών στην πτέρυγα. Στη συνέχεια θα εξετάσουµε πως διάφορες µεταβολές στις παραµέτρους του συστήµατος µας (όπως αριθµός κλινών που θα κρατηθούν ρεζερβέ ή µέγεθος ουράς) επηρεάζουν τη συνάρτηση κόστους της νοσοκοµειακής πτέρυγας. Ξεκινώντας µπορούµε να δούµε το νοσοκοµείο σαν ένα σύστηµα εισροών εκροών. Οι εισροές του συστήµατος είναι οι ασθενείς που εισάγονται σε όσες κατηγορίες και αν καταταγούν. Στην περίπτωση µας οι ασθενείς θα διαχωρίζονται σε δύο κατηγορίες, τα επείγοντα περιστατικά που προσέρχονται κατά τις εφηµερίες του 46

47 νοσοκοµείου και τακτικά περιστατικά που εισέρχονται όλες τις ηµέρες εκτός Σαββάτου και Κυριακής. Οι εκροές του συστήµατος είναι οι ασθενείς που εξέρχονται (έχουν δηλαδή εξυπηρετηθεί) ενώ η κατάσταση του συστήµατος περιγράφεται από τον αριθµό των κλινών του που είναι κατειληµµένοι κάποια χρονική στιγµή. Γενικά οι ασθενείς εξυπηρετούνται µε σειρά προτεραιότητας εκτός εάν δεν υπάρχουν διαθέσιµες κλίνες (ή γενικότερα σταθµοί εξυπηρέτησης) οπότε είτε περιµένουν σε µία ουρά είτε χάνονται απ το σύστηµα (φεύγουν απ το νοσοκοµείο και αναζητούν αλλού εξυπηρέτηση). Ένα τέτοιο σύστηµα µπορούµε να δούµε στο Σχήµα 4.1: Επείγοντα Περιστατικά Τακτικά Περιστατικά Εισερχόµενα Περιστατικά Περιστατικά σε Αναµονή Κλινική εξυπηρέτηση Εξερχόµενοι ασθενείς Σχήµα 4.1 : Το νοσοκοµείο ως ένα σύστηµα ουρών 47

48 4.2 Αφίξεις και εξυπηρέτηση Το πρώτο πρόβληµα που πρέπει να εξεταστεί είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής την οποία ακολουθούν οι αφίξεις των ασθενών και ο χρόνος εξυπηρέτησης τους (τόσο για τα επείγοντα όσο και για τα τακτικά περιστατικά). Οι διάφορες µέθοδοι που εκτίθενται στη βιβλιογραφία για τον υπολογισµό των κατανοµών µπορούν αν χωριστούν σε δύο µεγάλες κατηγορίες. Στην πρώτη κατηγορία ο προσδιορισµός της κατανοµής στηρίζεται στην χρήση στατιστικών µεθόδων ενώ στη δεύτερη κατηγορία στην υποκειµενική κρίση του ιατρικού προσωπικού. Ποια από τις δύο επιλέγεται εξαρτάται από τη φύση των δεδοµένων που έχει κάθε ερευνητής στη διάθεση του. Και στις δύο πάντως κατηγορίες µπορούµε να βρούµε και πλεονεκτήµατα και µειονεκτήµατα. Οι µέθοδοι που ανήκουν στην πρώτη κατηγορία λαµβάνουν υπόψη αρκετούς προσδιοριστικούς παράγοντες µε την χρήση των αντίστοιχων στατιστικών δεδοµένων και είναι πιο προσιτοί στα διάφορα πρότυπα που έχουν αναπτυχθεί, ενώ αγνοούν βασικούς κοινωνικό οικονοµικούς, θεραπευτικούς, προσωπικούς κτλ παράγοντες που επιδρούν τόσο στην ζήτηση των ασθενών για νοσηλεία όσο και στη διάρκεια της νοσηλείας. Αντίστοιχα στηριζόµενοι στην κρίση του ιατρικού προσωπικού δεν χρειάζεται η συλλογή και ανάλυση στατιστικών στοιχείων, οι εκτιµήσεις που παίρνουµε είναι µάλλον πιο κοντά στην πραγµατικότητα όµως σε αυτές τις περιπτώσεις υπεισέρχονται προβλήµατα µεροληψίας και επικοινωνίας µεταξύ ιατρών, τµήµατος κίνησης ασθενών και ερευνητών. Εµείς, λαµβάνοντας υπόψη ότι ο Flagle [C.D. Flagle Operations Research in Hospitals, in Operations Research and Systems Engineering p. 763, Md Johns Hopking Press 1960] έχει αποδείξει ότι η ζήτηση για εισαγωγή ασθενών σε ένα νοσοκοµείο καθορίζεται από τυχαία και µεταξύ τους ανεξάρτητα γεγονότα, εξαιρουµένων φυσικά των περιπτώσεων όπου η κοινωνία αντιµετωπίζει κάποιες ειδικές καταστάσεις όπως φυσικές καταστροφές, πολέµους, επιδηµίες κτλ, θεωρούµε ότι οι αφίξεις και των δύο κατηγοριών ασθενών ακολουθούν την κατανοµή Poisson µε παραµέτρους λ 1 και λ 2 αντίστοιχα. ηλαδή η κατανοµή τους θα δίνεται από τον τύπο (4.1.1) [Φ. Κολυβά Μαχαίρα, Ε Μπόρα Σέντα, «Στατιστική: Θεωρία και Εφαρµογές» εκδόσεις ΖΗΤΗ 1998] 48

49 Ρ ( Χ = x ) = (e -λi. λ i x ) / x! µε i = 1,2 (4.1.1) Αντίστοιχα για το χρόνο παραµονής σε µία κλίνη (χρόνο νοσηλείας) υποθέτουµε ότι ακολουθεί την αρνητική εκθετική κατανοµή µε παραµέτρους µ 1 και µ 2 αντίστοιχα. ηλαδή: f( x ) = µ i e -µx, x > 0 µε i = 1,2 (4.1.2) 4.3 Εξισώσεις του Συστήµατος Πέρα απ τις υποθέσεις που κάναµε για το είδος των ασθενών (επείγοντατακτικά περιστατικά) και τους ρυθµούς άφιξης και εξυπηρέτησης τους θα πρέπει να κάνουµε και τις παρακάτω υποθέσεις που αφορούν περισσότερο τη λειτουργία του νοσοκοµείου. Έτσι υποθέτουµε ότι ο διαθέσιµος αριθµός κλινών στη νοσοκοµειακή πτέρυγα που εξετάζουµε είναι σταθερός και της ίδιας κατηγορίας ανεξάρτητα από την πάθηση ή τη βούληση του ασθενή. ηλαδή οι κλίνες δεν διαχωρίζονται ούτε µε βάση οικονοµικά κριτήρια (σε κατηγορίες Α, Β, Γ ανάλογα µε τον αριθµό των κλινών ανά δωµάτιο και τις επιπλέον παρεχόµενες υπηρεσίες), αλλά ούτε και µε βάση την ιδιαίτερη ιατρική ανάγκη των ασθενών (κλίνες εντατικής θεραπείας και απλές). Ακόµα υποθέτουµε ότι οι ασθενείς υψηλής προτεραιότητας εξυπηρετούνται άµεσα πάντοτε. Σε αντίθεση εξυπηρέτηση των ασθενών χαµηλής προτεραιότητας σταµατάει όταν ένας συγκεκριµένος αριθµός κλινών στην πτέρυγα είναι κατειληµµένος και οι ασθενείς των οποίων η είσοδος µπλοκάρεται περιµένουν σε µία ουρά πεπερασµένου µέγιστου µήκους. Με βάση τα παραπάνω οι εξισώσεις που περιγράφουν το σύστηµα µας σε κατάσταση στατιστικής ισορροπίας είναι οι εξής: Περίπτωση 1: 0 n 1 N και 0 n 2 m και 0 < n 1 + n 2 m 49

50 ( λ 1 + λ 2 + n 1 µ 1 + n 2 µ 2 )τ 0,n1,n2 = λ 1 τ 0,n1-1,n2 + λ 2 τ 0,n1,n2-1 + (n 1 +1) µ 1 τ 0,n1+1,n2 + (n 2 +1) µ 2 τ 0,n1,n2+1 Περίπτωση 2 α : 0 n 2 N και 0 n 2 m και n 1 + n 2 < m και r = 0 ( λ 1 + λ 2 + n 1 µ 1 + n 2 µ 2 )τ 0,n1,n2 - λ 1 τ 0,n1-1,n2 - λ 2 τ 0,n1,n2-1 - (n 1 +1) µ 1 τ 0,n1+1,n2 - (n 2 +1) µ 2 τ 0,n1,n2+1 µ 1 (n-j) τ 1,n-j,j µ 2 jτ 1,n-j,j Περίπτωση 2 β : 0 n 1 N και 0 n 2 m και n 1 + n 2 = m και r = 0 ( λ 1 + λ 2 + n 1 µ 1 + n 2 µ 2 )τ r,n1,n2 - λ 2 τ r-1,n1,n2 - (n 1 +1) µ 1 τ r,n1+1,n2 - (n 2 +1) µ 2 τ r,n1,n2+1 µ 1 (n 1 ) τ r+1,n1,n2 µ 2 jτ r+1,n1,n2 Περίπτωση 3 α : 0 n 1 N και 0 n 2 m και m+1 n 1 + n 2 < Ν ( λ 2 + λ 2 + n 2 µ 2 + n 1 µ 1 )τ r,n1,n2 λ 1 τ r,n1-1,n2 λ 2 τ r-1,n1,n2 - (n 1 +1) µ 1 τ r,n1+1,n2 - (n 2 +1) µ 2 τ r,n1,n2+1 Περίπτωση 3 β : 0 n 1 N και 0 n 2 m και n 1 + n 2 = N (λ 2 + n 2 µ 2 + n 1 µ 1 ) τ r,n1,n2 λ 1 τ r-1,n1-1,n2 λ 2 τ r-1,n1,n2 όπου: N το σύνολο των ανεπτυγµένων κλινών στο νοσοκοµείο n 1 το πλήθος των ασθενών υψηλής προτεραιότητας (έκτακτα περιστατικά) στο σύστηµα n 2 το πλήθος των ασθενών χαµηλής προτεραιότητας (τακτικά περιστατικά) στο σύστηµα m ο αριθµός διακοπής προτεραιότητας r το πλήθος των ασθενών που περιµένουν στην ουρά 50

51 q το µέγιστο µήκος της ουράς Λύνοντας το σύστηµα µπορούµε να βρούµε την πιθανότητα µη εισαγωγής τόσο των ασθενών χαµηλής προτεραιότητας όσο και των ασθενών υψηλής προτεραιότητας ως αθροίσµατα πιθανοτήτων στοιχειωδών ενδεχοµένων απ τους παρακάτω τύπους: φ 1 = Σ N n1=0 Σ m n2=0 Σ q r=0 τ r,n1,,n2 όταν n 1 + n 2 = N και φ 2 = Σ N n1=0 Σ m n2=0 Σ q r=0 τ r,n1,,n2 όταν m n 1 + n 2 N 4.4 Συνάρτηση Κόστους Στη συνέχεια δηµιουργούµε µία συνάρτηση κόστους. ηλαδή έχουµε µία συνάρτηση κόστους που αποτελείτε από δύο βασικές συνιστώσες, το κόστος να µείνει µία κλίνη άδεια για µία µονάδα του χρόνου και το κόστος που προκύπτει από την µη παροχή της κλίνης σε κάποιον ασθενή (τακτικό περιστατικό ) στην ίδια µονάδα του χρόνου. Αναλυτικότερα το κόστος µας θα είναι: c = Ψ lost + Ψ empty όπου: Ψ lost = c 1 ( υ 1 + υ 2 ) το κόστος να χαθεί ένας ασθενής από το σύστηµα υ 1 = λ 1 φ 1 και υ 2 = λ 2 φ 2 το αναµενόµενο πλήθος ασθενών κάθε τύπου που δεν θα εξυπηρετηθούν στη µονάδα του χρόνου και Ψ empty = c 2 [ sum 1 + sum 2 ] το κόστος να µείνει µία κλίνη άδεια όπου sum 1 = Σ N n1=0 Σ m n2=0τ r,n1,,n2 όταν n 1 + n 2 < m και sum 2 = Σ N n1=0 Σ m n2=0 Σ q r=0 τ r,n1,,n2 όταν m n 1 + n 2 Ν 51

52 Κεφάλαιο 5 Εµπειρική εφαρµογή 5.1 Συλλογή και Ανάλυση εδοµένων Το µοντέλο που περιγράψαµε παραπάνω εφαρµόστηκε στη ορθοπεδική κλινική του Γενικού Νοσοκοµείου Γεώργιος Παπανικολάου για το έτος Τα στατιστικά στοιχεία αφορούν δύο διακριτές χρονικές περιόδους, τον Απρίλιο του 2010 και τον Οκτώβριο του ίδιου έτους. ηλαδή το συνολικό χρονικό διάστηµα λήψεις δεδοµένων είναι 60 ηµέρες. Η επιλογή αυτή των δύο διαφορετικών και µη συνεχόµενων µηνών έγινε µε σκοπό να µειωθούν τυχών επιδράσεις από το φαινόµενο της εποχικότητας. Η ορθοπεδική κλινική διαθέτει 51 ανεπτυγµένες κλίνες. Η εισαγωγή των ασθενών γίνεται µε δύο τρόπους. Ο ένας είναι να εισαχθούν ως επείγοντα περιστατικά κατά τις ηµέρες εφηµερίας του νοσοκοµείου. Ο κύκλος εφηµεριών του νοσοκοµείου για το 2010 καθορίζεται ως εξής: το νοσοκοµείο έχει 4 συνεχόµενες µερικές εφηµερίες (δηλαδή από τις 8πµµέχριτις 14µµ), ακολουθεί µία ηµέρα γενικής εφηµερίας (δηλαδή απ τις 8πµ της µιας ηµέρας µέχρι τις 8πµ της εποµένης) και τέλος µετά την γενική εφηµερία δεν εφηµερεύει καθόλου. Ο δεύτερος τρόπος είναι µέσω των εξωτερικών ιατρείων, όπου οι ασθενείς πριν κριθεί αναγκαία η εισαγωγή τους συνήθως παρακολουθούνται τακτικά. Τα εξωτερικά ιατρεία του νοσοκοµείου λειτουργούν πέντε ηµέρες την εβδοµάδα, ευτέρα έως Παρασκευή. Το νοσοκοµείο πέρα από το γενικό ορθοπεδικό ιατρείο διαθέτει και έξι ειδικά ιατρεία τα οποία όµως δεν εξετάζουν σε καθηµερινή βάση, το ιατρείο της σπονδυλικής στήλης, ιατρείο χειρός & αγκώνα, ιατρείο ώµου, ιατρείο οστεοπόρωσης, ιατρείο αθλητικών κακώσεων και ιατρείο επιµηκύνσεων. Ξεκινώντας την µελέτη για τους ρυθµούς άφιξης και εξυπηρέτησης αντιµετωπίσαµε πρόβληµα µε τον καθορισµό του ρυθµού άφιξης των ασθενών χαµηλής προτεραιότητας, δηλαδή των τακτικών περιστατικών. Οι εισαγωγές τακτικών περιστατικών που υπήρχαν στη βάση δεδοµένων του νοσοκοµείου ήταν ήδη 52

53 φιλτραρισµένες. ηλαδή είχε ήδη ληφθεί υπόψη ο αριθµός των διαθέσιµων κλινών. Για το λόγο αυτό δεν στηριχθήκαµε στα στατιστικά δεδοµένα για τον υπολογισµό αυτού του ρυθµού αλλά στην εκτίµηση του ιατρικού προσωπικού. Σύµφωνα λοιπόν µε την εκτίµηση αυτή απ το σύνολο των εξεταζόµενων στα εξωτερικά ιατρεία ασθενών ένα ποσοστό της τάξης του % µόνο χρήζει νοσηλείας, ενώ οι υπόλοιποι ασθενείς αντιµετωπίζονται µε φαρµακευτική αγωγή. Επίσης σύµφωνα µε της εκτιµήσεις του ιατρικού προσωπικού ο χρόνος αναµονής των τακτικών περιστατικών κυµαίνεται από ένας έως τρεις µήνες, ενώ παρατηρούνται και διαρροές ασθενών λόγω του χρόνου αναµονής. εδοµένων όλων των παραπάνω από το σύνολο των εξετασθέντων ασθενών σε κάθε ιατρείο (12566 ασθενείς για το 2010) υπολογίστηκε ο µέσος όρος εξεταζόµενων ανά ηµέρα ασθενών (περίπου 35) και βρέθηκε ότι ο ρυθµός αφίξεων τακτικών περιστατικών στην ορθοπεδική κλινική είναι (12 % των εξετασθέντων ανά ηµέρα): λ 2 = 4.3 Στην περίπτωση των επειγόντων περιστατικών τα πράγµατα ήταν πιο ξεκάθαρα και έτσι υπολογίσαµε το µέσο όρο των αφίξεων ασθενών στη µονάδα του χρόνου καθώς και την τυπική τους απόκλιση. Τα αποτελέσµατα έχουν ως εξής: Mean = και Std.Deviation=3.368 Παρατηρούµε ότι η µέση τιµή είναι σχεδόν ίση µε την τυπική απόκλιση. Κατά συνέπεια η υπόθεση που έχουµε κάνει ότι οι αφίξεις ακολουθούν την κατανοµή Poisson φαίνεται ορθή. Έτσι για την κατηγορία των επειγόντων περιστατικών έχουµε ρυθµό αφίξεων: λ 1 = Συνεχίζοντας µε τους ρυθµούς εξυπηρέτησης, υπολογίσαµε το χρόνο παραµονής στην πτέρυγα κάθε ασθενούς (και για τις δύο κατηγορίες). Έτσι για τα 53

54 τακτικά περιστατικά ο µέσος χρόνος νοσηλείας τους είναι ηµέρες ενώ για τα επείγοντα περιστατικά είναι σηµαντικά µεγαλύτερος ηµέρες. Οι ρυθµοί εξυπηρέτησης λοιπόν θα είναι: µ 1 = και µ 2 = Αφού υπολογίσαµε τους ρυθµούς άφιξης και εξυπηρέτησης συνέχεια είχε ο υπολογισµός των συνιστωσών κοστών. Γενικά, θα µπορούσαµε να πούµε ότι οι υπηρεσίες του νοσοκοµείου χωρίζονται σε 3 µεγάλες κατηγορίες: 1. Υπηρεσίες υποδοχής 2. Υπηρεσίες διαµονής 3. ιαγνωστικές και θεραπευτικές υπηρεσίες Καθώς λοιπόν αντιµετώπιση κάθε νοσηλευοµένου ασθενή στο νοσοκοµείο είναι µια υπηρεσία που περιλαµβάνει πράξεις σε καθεµιά απ τις παραπάνω κατηγορίες εµείς για τη δηµιουργία µίας συνάρτησης κόστους θα πρέπει να έχουµε υπόψη µας διάφορους προσδιοριστικούς παράγοντες όπως: Αριθµός ασθενών στις διάφορες οµάδες ασθενειών Ηµέρες νοσηλείας Αριθµός κλινών Τύπος νοσοκοµείου (είδος, ιδιοκτησία κτλ) ιάφορες υπηρεσίες ή/& τεχνολογία του νοσοκοµείου είκτης µέτρησης της ποιότητας: εισροές ανά ασθενή (π.χ. εργαστηριακές πράξεις) ή µε το αποτέλεσµα (π.χ. θνησιµότητα) Σοβαρότητα της νόσου ανάλογα µε τη διάγνωση Μέτρηση των τιµών των παραγωγικών συντελεστών Σχέση µε πανεπιστήµια και ερευνητικά προγράµµατα Άλλες διαφορές στη νοσοκοµειακή αποδοτικότητα που δε σχετίζονται µε το µέγεθος του νοσοκοµείου Άλλα χαρακτηριστικά των νοσοκοµειακών υπηρεσιών (π.χ. εξετάσεις στα εξωτερικά ιατρεία ή των ίδιων των ασθενών ανάλογα µε την περίπτωση 54

55 Η επιλογή της µεθοδολογίας για τη συλλογή των στοιχείων κόστους εξαρτάται κάτω από ποια προοπτική γίνεται η ανάλυση. Στην περίπτωσή µας ενδιαφερόσαστε για τα κόστη που επωµίζεται το νοσοκοµείο καθώς και για τα έσοδα που έχει απ τα ταµεία ασφάλισης των ασθενών. Έτσι για τη µέτρηση του κόστους του συντελεστή εργασία χρειάζονται στοιχεία για το χρόνο που απαιτεί κάθε δραστηριότητα και για το µισθολόγιο κάθε βαθµίδας εργαζοµένων που απασχολούνται σε αυτή. Για το συντελεστή κεφάλαιο/πάγιο εξοπλισµό (µηχανήµατα, κλίνες, κτλ) χρειάζονται στοιχεία για: κόστος κτήσης, κόστος εγκατάστασης, λειτουργίας και συντήρησης, ετήσιο ποσοστό απόσβεσης, αντικατάστασης µηχανηµάτων, χρόνος που απαιτείται για την πραγµατοποίηση µιας διαγνωστικής εξέτασης, πόσες εξετάσεις µπορεί να πραγµατοποιήσει σε ένα χρόνο. Για τους άλλους παραγωγικούς συντελεστές (αναλώσιµα, άλλα υλικά) χρειάζονται: ποσότητα (για κάθε πράξη χωριστά) και τιµή του προϊόντος (π.χ. πόσα κιλά βαµβάκι απαιτούνται για τη σκωληκοειδίτιδα και πόσο κοστίζει το κιλό ). Όλα τα παραπάνω στοιχεία εµείς τα πήραµε απ τους ετήσιους λογαριασµούς του νοσοκοµείου που αφορούσαν τόσο τα έξοδα του νοσοκοµείου όσο και τα έσοδα του από τα διάφορα ασφαλιστικά ταµεία. Με βάση τα παραπάνω στοιχεία που συλλέξαµε καθορίσαµε τους συντελεστές των δύο συνιστωσών της συνάρτησης κόστους µας, δηλαδή του κόστους να κρατήσουµε µία κλίνη άδεια (λειτουργικό κόστος κτλ) και του κόστους να µην διαθέσουµε µία κλίνη σε έναν ασθενή (απώλεια εσόδων κτλ). Έτσι έχουµε (σε Ευρώ ανά ηµέρα): c 1 = και c 2 =

56 5.2 Αποτελέσµατα εφαρµογής Αναπτύξαµε ένα υπολογιστικό πρόγραµµα [Τραχανάς Σ. «Mathematica και εφαρµογές για µαθηµατικούς, φυσικούς και µηχανικούς» Εκδόσεις Κρήτης (2004)], αρχικά για τις 51 ανεπτυγµένες κλίνες της νοσοκοµειακής πτέρυγας που εξετάζουµε, χρησιµοποιώντας τις παρακάτω παραµέτρους [Huang C.J, Crooke P.S «Mathematics and Mathematica for Economists» Blackwell Publishers, (1997)]: Cut off m : τον αριθµό των κλινών πάνω απ τις οποίες διακόπτεται η προτεραιότητα των τακτικών περιστατικών και δεν εισάγονται στην πτέρυγα φ 1 : την πιθανότητα να µην εξυπηρετηθεί ένας ασθενής υψηλής προτεραιότητας φ 2 : την πιθανότητα να µην εξυπηρετηθεί ένας ασθενής χαµηλής προτεραιότητας Ψ lost : το κόστος να χαθεί ένας ασθενής από το σύστηµα Ψ empty : το κόστος να µείνει µία κλίνη άδεια c : το συνολικό κόστος Και τα που πήραµε είναι τα εξής: Όταν το µέγιστο µήκος της ουράς είναι q = 10 ασθενείς Cut off m φ 1 φ 2 Ψ lost Ψ empty c

57 Όταν το µέγιστο µήκος της ουράς είναι q = 15 ασθενείς Cut off m φ 1 φ 2 Ψ lost Ψ empty c Τα αποτελέσµατα όσον αφορά της πιθανότητες µη εισαγωγής ασθενών και των δύο τύπων είναι τα αναµενόµενα. ηλαδή όσο λιγότερες κλίνες κρατάµε ρεζερβέ για τα τακτικά περιστατικά τόσο µεγαλώνει η πιθανότητα να χαθούν ασθενείς υψηλής προτεραιότητας και αντίστοιχα µικραίνει η πιθανότητα να χαθούν ασθενείς χαµηλής προτεραιότητας. Όµως ότι τα αποτελέσµατα όσον αφορά το συνολικό κόστος δεν είναι τα αναµενόµενα. Το κόστος να χαθεί ένας ασθενείς µας βγαίνει πραγµατικά αύξων όπως το περιµέναµε. Αντίστοιχα αναµενόµενα είναι τα αποτελέσµατα (φθίνων κόστος)και στο κόστος διατήρησης της κλίνης άδειας. Το πρόβληµα εντοπίζεται στο ότι δεν παρατηρούµε αλλαγή στη µονοτονία του συνολικού κόστους και κατά συνέπεια δεν έχουµε ελαχιστοποίηση του κόστους µας για κάποιο πλήθος κρατηµένων κλινών. Ένας απ τους παράγοντες που υποθέτουµε ότι µπορεί να ευθύνεται για την παρουσίαση αυτής της ανωµαλίας στο σύστηµα είναι ότι, µε δεδοµένους τους ρυθµούς που βρήκαµε για την άφιξη και την εξυπηρέτηση των ασθενών, το σύστηµα δεν ικανοποιεί την συνθήκη για την ύπαρξη στατιστικής ισορροπίας που ισχύει για µία ουρά µε S εξυπηρετητές. Η συνθήκη αυτή λέει ότι για να υπάρχει στατιστική ισορροπία σε µία ουρά Μ/Μ/S θα πρέπει η τάση συνωστισµού να είναι µικρότερη της µονάδας, δηλαδή : ρ = (λ / S µ) < 1 57

58 όπου λ και µ οι συνολικοί ρυθµοί άφιξης και εξυπηρέτησης Στην περίπτωση µας λοιπόν το λ είναι ίσο µε το άθροισµα των ρυθµών άφιξης, δηλαδή λ = λ 1 + λ 2 ενώ για να βρούµε το µ υπολογίζουµε το συνολικό µέσο χρόνο εξυπηρέτησης όλων των ασθενών που νοσηλεύονται στην πτέρυγα και παίρνουµε το αντίστροφο. Έτσι καταλήγουµε στα εξής αποτελέσµατα: λ = και µ = 0.15 κατά συνέπεια ρ = ( λ / Sµ ) = / ( ) = 1.03 Μία πιθανή αιτία για αυτό το φαινόµενο είναι µία σηµαντική αλλαγή που σηµειώθηκε στο χώρο της υγείας τα τελευταία χρόνια. Η αλλαγή αυτή είναι η κατάργηση των εφεδρικών κλινών, δηλαδή των ράντζων, που χρησιµοποιούνταν για τη φιλοξενία ασθενών σε περιόδους µεγάλης ζήτησης για κλίνες (εφηµερίες). Η αλλαγή αυτή θεωρείται µε την πρώτη µατιά θετική, καθώς οδηγεί σε βελτίωση της ποιότητας των παρεχόµενων υπηρεσιών στον ασθενή. Παρόλα αυτά όµως δεν συνοδεύτηκε απ ταυτόχρονη αύξηση των ανεπτυγµένων κλινών στις πτέρυγες. Η νέα πολιτική θέλει όταν δεν υπάρχουν διαθέσιµες κλίνες σε κάποια πτέρυγα του νοσοκοµείου που εφηµερεύει, να φιλοξενούνται οι ασθενείς υψηλής προτεραιότητας σε κλίνες άλλων πτερύγων του νοσοκοµείο µέχρι να αδειάσει κάποια κλίνη στην κατάλληλη πτέρυγα. Καθώς όµως το πρόβληµα της έλλειψης κλινών συναντάται λίγο έως πολύ σε όλες τις πτέρυγες των νοσοκοµείων, η αλλαγή αυτή πολιτικής είχε και κάποιες δυσάρεστες παρενέργειες. Για να µπορέσουµε να προσπεράσουµε αυτό το πρόβληµα ελέγξαµε την τάση συνωστισµού που προκύπτει εάν αυξήσουµε τον αριθµό των ανεπτυγµένων κλινών, δηλαδή τον αριθµό των υπηρετών. Σκοπός µας είναι να πάρουµε και να εφαρµόσουµε το µοντέλο µας για το πρώτο πλήθος ανεπτυγµένων κλινών για το οποίο η τάση 58

59 συνωστισµού είναι µικρότερη της µονάδας. Ο αριθµός αυτός µετά από υπολογισµούς προκύπτει ότι είναι 53 κλίνες. Τρέχουµε λοιπόν το µοντέλο µας θεωρώντας αυτή τη φορά πλήθος κλινών 53. Τα αποτελέσµατα για τα διάφορα µέγιστα µήκη ουράς είναι τα παρακάτω. Για µέγιστο µήκος ουράς 10 άτοµα: Cut off m φ 1 φ 2 Ψ lost Ψ empty c Ενώ για µέγιστο µήκος ουράς 15 άτοµα: Cut off m φ 1 φ 2 Ψ lost Ψ empty c Βλέπουµε ότι αυξάνοντας τον αριθµό των ανεπτυγµένων κλινών στην πτέρυγα, η κατάσταση βελτιώνεται. Αν και παρακινδυνευµένο να γίνουν συγκρίσεις µεταξύ των δύο περιπτώσεων (ανεπτυγµένες κλίνες 51 και 53), µία γενική και φυσικά 59

60 αναµενόµενη παρατήρηση είναι ότι µειώνεται η πιθανότητα να χαθούν οι ασθενείς και των δύο τύπων (για τον ίδιο αριθµό διακοπής προτεραιότητας Cut off- m ). Επίσης µειώνεται και το συνολικό κόστος κράτησης µιας κλίνης ρεζερβέ για τα επείγοντα περιστατικά. Το σηµαντικότερο όµως είναι ότι στην περίπτωσή µας εξαλείφεται το πρόβληµα της µη ύπαρξης ελάχιστου συνολικού κόστους. Παρατηρούµε λοιπόν ότι και στις δύο περιπτώσεις που εξετάσαµε στην περίπτωση των 53 ανεπτυγµένων κλινών έχουµε ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους όταν κρατηθούν ρεζερβέ για περιπτώσεις επειγόντων περιστατικών 2 κλίνες. Κατά συνέπεια η εισαγωγή τακτικών περιστατικών στην πτέρυγα θα πρέπει να σταµατάει όταν υπάρχουν σε αυτήν 51 κατειληµµένες κλίνες. 5.3 Αµφιλεγόµενα Σηµεία της Εφαρµογής Πριν όµως τελειώσουµε θα πρέπει να τονίσουµε της αδυναµίες που παρουσιάστηκαν κατά την εφαρµογή του µοντέλου στην νοσοκοµειακή πτέρυγα και οι οποίες ενδεχοµένως να επηρεάζουν τα αποτελέσµατά της εφαρµογής µας σε σηµαντικό βαθµό [Michael Carter «Queueing Theory and Simulation Modeling for Managing Hospital Wait Lists» pp , Mechanical and Industrial Engineering, University of Toronto]. Το πρώτο είναι ο εµπειρικός προσδιορισµός του ρυθµού άφιξης των τακτικών περιστατικών. Σύµφωνα µε το ιατρικό προσωπικό από το σύνολο των εξετασθέντων ασθενών στα εξωτερικά ιατρεία, ένα ποσοστό της τάξης του 10 15% χρήζει εισαγωγής. Το εύρος όµως αυτού του ποσοστού είναι αρκετά µεγάλο ώστε να δηµιουργούνται σηµαντικές διαφορές ανάλογα µε το ποιο ακριβώς ποσοστό τελικά θα επιλεγεί να χρησιµοποιηθεί (στην περίπτωση µας χρησιµοποιήσαµε το 12% αυθαίρετα). Μία δεύτερη και ιδιαιτέρως σηµαντική παρατήρηση που πρέπει να γίνει είναι ότι δεν ήταν ευδιάκριτη µέσα απ τη βάση δεδοµένων µας η ενδονοσοκοµειακή κίνηση των ασθενών από πτέρυγα σε πτέρυγα. Έτσι για της περιπτώσεις των ασθενών οι οποίοι τοποθετούνταν αρχικά σε διαφορετική πτέρυγα από αυτήν που θα έπρεπε είτε λόγω έλλειψης κλινών είτε λόγω λάθους διάγνωσης δεν υπήρχαν επαρκή στοιχεία. 60

61 Ένα ακόµα θολό σηµείο είναι το κόστος της νοσηλείας των ασθενών. Το ηµερήσιο κόστος παραµονής σε µία κλίνη καθορίζεται µε βάση υπουργικές αποφάσεις οι οποίες όµως δεν αναπροσαρµόζονται σε τακτά χρονικά διαστήµατα ώστε να ανακλούν τις πραγµατικές ανά πάσα στιγµή τιµές. Ακόµη δεν ήταν δυνατή η διάκριση του κόστους ανάµεσα στις δύο κατηγορίες ασθενών που διακρίναµε. Έτσι θεωρήσαµε ότι το µέσο κόστος νοσηλείας είναι κοινό τόσο για τα επείγοντα περιστατικά όσο και για τα τακτικά περιστατικά. 61

62 Κεφάλαιο 6 Προσοµοίωση Σε αυτό το κεφάλαιο αναλύουµε τη θεωρία της προσοµοίωσης. Αναφέρουµε τα µοντέλα της προσοµοίωσης και ορισµένα γνωστά πακέτα όπως το ARENA. ίνουµε ένα σχεδιάγραµµα µε τη βήµατα µιας µελέτης προσοµοίωσης για την καλύτερη κατανόηση από το χρήστη. Στη συνέχεια δίνονται κάποιοι ορισµοί της προσοµοίωσης και κλείνουµε µε τις δυσκολίες, τα µειονεκτήµατα αλλά και τα πλεονεκτήµατά της. 6.1 Εισαγωγή στην προσοµοίωση Προσοµοίωση (simulation) είναι η µίµηση της λειτουργίας συστηµάτων ή της εξέλιξης διαδικασιών µέσα στο χρόνο µε τη βοήθεια υπολογιστή. Αποτελεί πειραµατική µέθοδο που έχει σαν σκοπό τη βελτιστοποίηση ενός συστήµατος, τη µελέτη της λειτουργίας του και την ανάλυση της ευαισθησίας του. Ως πειραµατική µέθοδος όµως, εξαρτάται πολύ από την πιστότητα του µοντέλου που χρησιµοποιείται (καθορισµός παραµέτρων Μοντελοποίηση). Η προσοµοίωση βρίσκει εφαρµογές: στην ανάλυση και σχεδίαση συστηµάτων παραγωγής (βιοµηχανία) στον έλεγχο αποθεµάτων (βιοµηχανία, εµπορικές επιχειρήσεις) στη µελέτη κυκλοφοριακών συστηµάτων (οδικό δίκτυο, αεροδρόµια) στη µελέτη συστηµάτων εξυπηρετήσεως πελατών (τράπεζες, νοσοκοµεία, τηλεπικοινωνίες) στην αξιολόγηση αποφάσεων υπό αβεβαιότητα (χρηµατιστήριο, επενδύσεις, marketing) Με την µοντελοποίηση και προσοµοίωση µπορεί κανείς να αξιολογήσει την αποτελεσµατικότητα ή απόδοση ενός συστήµατος πριν αυτό κατασκευασθεί µε σκοπό τη βέλτιστη σχεδίασή του. 62

63 6.2 Μοντέλα Προσοµοίωσης Έχοντας ένα µαθηµατικό µοντέλο που πρέπει να µελετήσουµε µε προσοµοίωση (δηλαδή ένα Μοντέλο Προσοµοίωσης), θα πρέπει να αναζητήσουµε κατάλληλα εργαλεία για το σκοπό αυτό. Στην προσπάθεια αυτή, είναι χρήσιµο να ταξινοµήσουµε τα Μοντέλα Προσοµοίωσης µε βάση τέσσερις διαφορετικές έννοιες: [«Προσοµοίωση», Κουϊκόγλου Β. Σ, Σεπτέµβριος 2002, Πολυτεχνείο Κρήτης] Στατικά ή υναµικά Μοντέλα Προσοµοίωσης: Ένα στατικό µοντέλο προσοµοίωσης, αναπαριστά ένα σύστηµα σε µία συγκεκριµένη χρονική στιγµή, ή αναπαριστά ένα σύστηµα στο οποίο ο χρόνος δεν έχει σηµασία. Αντίθετα, ένα δυναµικό µοντέλο προσοµοίωσης αναπαριστά ένα σύστηµα, όπως αυτό εξελίσσεται µε την πάροδο του χρόνου. Ντετερµινιστικά ή Στοχαστικά Μοντέλα Προσοµοίωσης: Αν ένα µοντέλο προσοµοίωσης δεν περιλαµβάνει «τυχαία» τµήµατα, ονοµάζεται ντετερµινιστικό. Για παράδειγµα, ένα πολύπλοκο σύστηµα διαφορικών εξισώσεων που περιγράφει µία χηµική αντίδραση, µπορεί να είναι ένα τέτοιο µοντέλο. Στα ντετερµινιστικά µοντέλα, η έξοδος είναι καθορισµένη, µε δεδοµένο το σύνολο των ποσοτήτων και σχέσεων εισόδου του µοντέλου. Όµως, πολλά συστήµατα πρέπει να χρησιµοποιήσουν στοχαστικά µοντέλα προσοµοίωσης, δηλαδή µοντέλα που θα έχουν τουλάχιστον ορισµένα τµήµατα µε «τυχαία» είσοδο. Τα περισσότερα υπολογιστικά συστήµατα, που βασίζονται στα συστήµατα αναµονής (queueing systems), χρησιµοποιούν στοχαστικά µοντέλα προσοµοίωσης. Αυτό-οδηγούµενα ή Ιχνο-οδηγούµενα Μοντέλα Προσοµοίωσης: Σε ένα αυτό-οδηγούµενο (self-driven) µοντέλο, υπάρχει µία εσωτερική πηγή τυχαίων αριθµών. Οι τυχαίοι αριθµοί οδηγούν τα τµήµατα του µοντέλου, δηλαδή χρησιµοποιούνται για τον προσδιορισµό των στιγµών εµφανίσεων 63

64 των γεγονότων του συστήµατος. Το βασικό χαρακτηριστικό του αυτόοδηγούµενου µοντέλου είναι ότι αποτελεί ένα αυτάρκες µοντέλο το οποίο δεν χρειάζεται εξωτερικές εισόδους (inputs) για να λειτουργήσει. Αντίθετα, ένα ιχνο-οδηγούµενο (trace driven) µοντέλο καθοδηγείται από ακολουθίες εισόδου που προέρχεται από δεδοµένα (trace data) που έχουν δηµιουργηθεί από τη λειτουργία ενός πραγµατικού συστήµατος. Τέτοια δεδοµένα µπορούν να παραχθούν στα περισσότερα υπολογιστικά συστήµατα που διαθέτουν ενσωµατωµένα προγράµµατα ιχνηλάτησης (tracing programs) που παρακολουθούν και καταγράφουν τις δραστηριότητες του συστήµατος. Τα ιχνο-οδηγούµενα µοντέλα έχουν ορισµένα πλεονεκτήµατα, όπως το γεγονός ότι αποφεύγονται οι δυσκολίες της πιθανολογικής ανάλυσης που χρειάζεται για τη χρήση κατανοµών στην περιγραφή των εσόδων του µοντέλου και επίσης το γεγονός ότι τα µοντέλα αυτά είναι εύκολο να επιβεβαιωθούν. Το πρόβληµα µε τα ιχνο οδηγούµενα µοντέλα είναι το µικρό εύρος εφαρµογών που µπορούν να αντιµετωπίσουν. Οι εφαρµογές αυτές πρακτικά περιορίζονται σε υπολογιστικά συστήµατα και µάλιστα µόνο για τη µελέτη µετατροπών σε ένα σύστηµα που ήδη λειτουργεί. Συνεχή ή ιακριτά Μοντέλα Προσοµοίωσης: Οι ορισµοί των συνεχών και διακριτών µοντέλων προσοµοίωσης, είναι ανάλογοι µε τους ορισµούς των συνεχών και διακριτών συστηµάτων. Πάντως, πρέπει να σηµειωθεί ότι ένα διακριτό µοντέλο δεν χρησιµοποιείται µόνο για την αναπαράσταση ενός διακριτού συστήµατος και ένα διακριτό σύστηµα δεν αναπαριστάται µόνο από ένα διακριτό µοντέλο προσοµοίωσης. Η απόφαση για τη χρήση ενός διακριτού ή ενός συνεχούς µοντέλου για ένα συγκεκριµένο σύστηµα, εξαρτάται από τους ιδιαίτερους στόχους της µελέτης. Για παράδειγµα, ένα µοντέλο της ροής πακέτων δεδοµένων σε ένα WAN, θα είναι διακριτό εάν µας ενδιαφέρουν τα χαρακτηριστικά και η κίνηση των επιµέρους πακέτων και κατά συνέπεια των επιµέρους χρηστών. Αντίθετα, αν µας ενδιαφέρει µόνο η συνολική κίνηση, η ροή των πακέτων θα µπορούσε ίσως να περιγραφεί µε διαφορικές εξισώσεις σε ένα συνεχές µοντέλο. 64

65 Τα µοντέλα προσοµοίωσης που θα µας απασχολήσουν στη συνέχεια, θα είναι διακριτά, δυναµικά, στοχαστικά και αυτό-οδηγούµενα και θα ονοµάζονται Μοντέλα Προσοµοίωσης ιακριτών Γεγονότων (discrete event simulation models). Μάλιστα, αφού τα ντετερµινιστικά µοντέλα µπορούν να θεωρηθούν ειδικές περιπτώσεις των στοχαστικών µοντέλων, δεν θα έχουµε απώλεια της γενικότητας στη µελέτη των µοντέλων προσοµοίωσης. 6.3 Ορισµοί στην προσοµοίωση Χρήσιµο είναι να δούµε κάποιους κοινώς αποδεκτούς ορισµούς για σηµαντικούς παράγοντες της προσοµοίωσης [Banks and Carson, 1984] Σύστηµα Σύστηµα καλούµε µία συλλογή οντοτήτων που αλληλεπιδρά στη διάρκεια του χρόνου για την επίτευξη ενός ή περισσότερων στόχων. Το σύστηµα ήταν αυτό που εξαρχής έπρεπε να µελετηθεί και ίσως το πιο δύσκολο κοµµάτι µίας προσοµοίωσης είναι η απεικόνιση ενός συστήµατος ως µοντέλου. Παράδειγµα συστήµατος είναι το κατάστηµα fast food της γειτονιάς µας που σκέφτεται αν θα πρέπει να προσλάβει επιπλέον ταµεία και/η ψήστη για να εξυπηρετήσει πιο γρήγορα τους πελάτες του. Μπορούµε να θεωρήσουµε εδώ για τις ανάγκες του παραδείγµατός µας ότι η διαδικασία παραγγελίας για κάθε πελάτη είναι να στηθεί στην ουρά του ταµία να δώσει µια παραγγελία και µετά αφού πληρώσει να στηθεί σε µια νέα ουρά αυτή του ψήστη, όπου εκ νέου θα περιµένει τη σειρά του να δώσει το χαρτί µε την παραγγελία που πήρε από το ταµείο. 65

66 6.3.2 Μοντέλο Μία αφηρηµένη αναπαράσταση ενός συστήµατος, συνήθως περιέχει λογικές και/η µαθηµατικές σχέσεις που περιγράφουν το σύστηµα µε όρους καταστάσεως οντοτήτων και των ιδιοτήτων τους, οµάδων, γεγονότων, δραστηριοτήτων και καθυστερήσεων. Έτσι, στο παραπάνω σύστηµα του fast food, το µοντέλο δεν θα αναπαραστήσει ούτε τη ζαρντινιέρα στην είσοδο του, ούτε το αν ο ταµίας φοράει πράσινα παπούτσια. Αυτό που θα αναπαριστά είναι, για τον ταµία και τον ψήστη για παράδειγµα δυο κατανοµές που θα προσεγγίζουν τον τρόπο µε τον οποίο εξυπηρετούν τους πελάτες και για τους πελάτες ίσως µία κατανοµή που θα προσεγγίζει τον τρόπο µε τον οποίο εισέρχονται στο κατάστηµα και µία άλλη που θα προσπαθεί να παραστήσει τις παραγγελίες τους στα πλαίσια ίσως του χρόνου που θα απαιτείται από τον ψήστη για την διεκπεραίωση τους Κατάσταση συστήµατος Μία συλλογή µεταβλητών που περιέχουν κάθε απαραίτητη πληροφορία για να περιγράφει το σύστηµα σε κάθε χρονική στιγµή. Το τι θα θεωρηθεί βέβαια απαραίτητο προς περιγραφή αφήνεται στη κρίση του µελετητή και είναι ίσως ο σηµαντικότερος παράγοντας που οδηγεί στην επιτυχία ή αποτυχία της προσοµοίωσης. Τη χρονική στιγµή δώδεκα το µεσηµέρι η κατάσταση του συστήµατος έχει ως εξής: Στην ουρά για τον ψήστη στο fast food µας περιµένουν 4 άτοµα, ο ψήστης είναι απασχοληµένος. Στην ουρά για το ταµείο η ουρά είναι κενή και ο ταµίας είναι αδρανής. Πρέπει να τονιστεί ότι η κατάσταση αυτή δεν περιγράφει πλήρως τα συστήµατα σε κάποια χρονική στιγµή. Για να γίνει αυτό πρέπει απαραίτητα να συµπεριληφθεί η λίστα επόµενου γεγονότος (future event list) καθώς και κάθε τιµή στατιστικού ή µετρητή, απαραίτητα για τον υπολογισµό στατιστικών στο τέλος της προσοµοίωσης. 66

67 6.3.4 Οντότητα Κάθε αντικείµενο και συστατικό στο σύστηµα που απαιτεί σαφή αναπαράσταση στο µοντέλο. Σαφή αναπαράσταση στο παράδειγµά µας απαιτούν ο ταµίας, ο ψήστης και ο πελάτης. Ένας διαχωρισµός που επιβάλλεται µεταξύ τους είναι αυτός των µόνιµων και προσωρινών οντοτήτων σε ένα σύστηµα. Έτσι, ενώ στο παράδειγµα ο ταµίας και ο ψήστης είναι σταθεροί στο σύστηµα, ο πελάτης είναι προσωρινός, θα πάρει την παραγγελία, θα τη δώσει στον ψήστη, θα εξυπηρετηθεί και από αυτόν και θα αναχωρήσει από το σύστηµα. Είναι προφανές ότι στη διαδικασία υλοποίησης της προσοµοίωσης θα χρησιµοποιηθεί εντελώς διαφορετική λογική για τις µόνιµες από ότι για τις προσωρινές οντότητες Ιδιότητες Τα χαρακτηριστικά µίας δεδοµένης οντότητας Ο ταµίας έχει σαν χαρακτηριστικό τον τρόπο µε τον οποίο εξυπηρετεί πελάτες, για παράδειγµα µία συγκεκριµένη κατανοµή µε συγκεκριµένες παραµέτρους Οµάδα Μία συλλογή συσχετιζόµενων, είτε µόνιµα είτε προσωρινά, οντοτήτων και κατηγοριοποιηµένα µε κάποιον λογικό τρόπο. Όλοι οι πελάτες που περιµένουν κάποια χρονική στιγµή στην ουρά και εξυπηρετούνται µε first come first served πολιτική αποτελούν µία τέτοια οµάδα. 67

68 6.3.7 Γεγονός Ένα στιγµιαίο περιστατικό που αλλάζει την κατάσταση του συστήµατος. Τέτοιο περιστατικό στο παράδειγµα µας είναι η άφιξη ενός πελάτη µε πιθανότερη αλλαγή, στην περίπτωση που υπάρχει ουρά στο ταµείο, στην αύξηση της ουράς κατά ένα ή, στην περίπτωση που δεν υπάρχει, στο να ξεκινήσει να δουλεύει ο ταµίας. Γεγονός αποτελεί και ο τερµατισµός ενός ψησίµατος από τον ψήστη που σηµαίνει ότι µπορεί να αρχίσει να εξυπηρετείται ο επόµενος πελάτης και άρα η µείωση της ουράς του ψήστη κατά ένα ή, σε περίπτωση µη ύπαρξης επόµενου, το πέρασµα του ψήστη σε αδρανή κατάσταση ραστηριότητα Μία καθορισµένη χρονική διάρκεια της οποίας η διάρκεια είναι γνωστή στο ξεκίνηµά της. Η διάρκεια αυτή µπορεί να υπολογίζεται είτε στοχαστικά είτε προσδιοριστικά. Αυτό που µας ενδιαφέρει όµως είναι ότι, µε το που ξεκινάει η δραστηριότητα, η χρονική στιγµή που θα περατωθεί είναι γνωστή. Στο µοντέλο έχει καθοριστεί ο χρόνος που απαιτείται για έναν ψήστη, έστω και αν αυτό έχει γίνει µε όρους κάποιας κατανοµής. Με το που ξεκινάει το ψήσιµο υπολογίζεται εξαρχής ο χρόνος που θα απαιτηθεί για αυτό, έστω και µε τη βοήθεια της κατανοµής αυτής Καθυστέρηση Μία ακαθόριστη χρονική διάρκεια της οποίας η διάρκεια δεν είναι γνωστή µέχρι αυτή να τερµατίσει. Έστω ότι στο fast food µας η επιλογή του επόµενου προς εξυπηρέτηση πελάτη γίνεται στην τύχη (random). Η διάρκεια που θα περιµένει ένας πελάτης στην ουρά είναι ακαθόριστη, εφόσον δε γνωρίζουµε ποια χρονική στιγµή θα εξυπηρετηθεί αυτός, κάτι που εξαρτάται από µελλοντικές αφίξεις πελατών, καθώς και µε τη στατιστική κατανοµή, η οποία θα καθορίσει πότε θα επιλεγεί ο συγκεκριµένος πελάτης. 68

69 6.4 Ο µηχανισµός εξέλιξης του χρόνου Λόγω του δυναµικού χαρακτήρα των µοντέλων προσοµοίωσης διακριτών γεγονότων, πρέπει να έχουµε τη δυνατότητα αποθήκευσης της τρέχουσας τιµής του προσοµοιωµένου χρόνου, ενώ χρειαζόµαστε και ένα µηχανισµό αύξησης του από µία τιµή σε µία άλλη. Η µεταβλητή του µοντέλου προσοµοίωσης που µας δίνει την τρέχουσα τιµή του χρόνου, ονοµάζεται ρολόι προσοµοίωσης (simulation clock). Η µονάδα χρόνου που χρησιµοποιεί το ρολόι είναι συνήθως η ίδια µε αυτή που χρησιµοποιούν οι παράµετροι εισόδου, ενώ γενικά δεν υπάρχει σχέση του χρόνου που καταγράφει το ρολόι, µε το χρόνο που απαιτείται για την εκτέλεση του προσοµοιωτή στον υπολογιστή. Ιστορικά έχουν επικρατήσει δύο βασικές µέθοδοι για την εξέλιξη του ρολογιού προσοµοίωσης: Η Εξέλιξη µε βάση το Χρόνο του Επόµενου Γεγονότος (next-event time advance) και η Εξέλιξη Σταθερής Αύξησης του Χρόνου (fixedincrement time advance). Θα χρησιµοποιήσουµε την πρώτη µέθοδο διότι είναι πιο διαδεδοµένη και διότι η δεύτερη µπορεί να θεωρηθεί ειδική περίπτωση της πρώτης. Στη µέθοδο εξέλιξης µε βάση το χρόνο του εποµένου γεγονότος, το ρολόι προσοµοίωσης αρχικοποιείται στο µηδέν και καθορίζονται οι στιγµές εµφάνισης του πιο κοντινού στο µέλλον, από τα γεγονότα αυτά. Τη στιγµή αυτή η κατάσταση του συστήµατος ενηµερώνεται ώστε να πάρει υπόψη της το γεγονός που εµφανίστηκε, ενώ ενηµερώνεται επίσης η γνώση µας για τις χρονικές στιγµές εµφάνισης των µελλοντικών γεγονότων. Στη συνέχεια, το ρολόι αυξάνει ώστε να δείχνει τη στιγµή εµφάνισης του νέου πιο κοντινού στο µέλλον γεγονότος, η κατάσταση του συστήµατος ενηµερώνεται, καθορίζονται οι χρονικές στιγµές εµφάνισης των µελλοντικών γεγονότων κ.ο.κ. Η διαδικασία αυτή εξέλιξης του ρολογιού προσοµοίωσης από το ένα γεγονός στο άλλο, συνεχίζεται µέχρι να ικανοποιηθεί κάποια προκαθορισµένη συνθήκη τερµατισµού της προσοµοίωσης. Αφού όλες οι αλλαγές κατάστασης γίνονται µόνο στις χρονικές στιγµές εµφάνισης των γεγονότων, οι ενδιάµεσες ανενεργοί περίοδοι δεν λαµβάνονται υπόψη και το ρολόι µετακινείται αυτόµατα στη στιγµή εµφάνισης του επόµενου γεγονότος. Όσον δε αφορά τη µέθοδο εξέλιξης σταθερής αύξησης του χρόνου, το ρολόι προσοµοίωσης εξελίσσεται µε σταθερές αυξήσεις ακριβώς t µονάδων χρόνου κάθε φορά. Μετά από κάθε ενηµέρωση του ρολογιού, γίνεται ένας έλεγχος για να 69

70 εξακριβωθεί εάν θα έπρεπε να έχουν εµφανισθεί κάποια γεγονότα κατά το προηγούµενο χρονικό διάστηµα t. Αν εµφανίσθηκαν γεγονότα στο διάστηµα αυτό, θεωρούµε ότι αυτά εµφανίζονται στο τέλος του χρονικού διαστήµατος και η κατάσταση του συστήµατος ενηµερώνεται κατάλληλα. 6.5 Συστατικά και Οργάνωση ενός Μοντέλου Προσοµοίωσης ιακριτών Γεγονότων Τα περισσότερα µοντέλα προσοµοίωσης διακριτών γεγονότων που χρησιµοποιούν τη µέθοδο εξέλιξης µε βάση το χρόνο το επόµενου γεγονότος, περιλαµβάνουν τα παρακάτω τµήµατα: Κατάσταση Συστήµατος (system state): Η συλλογή των µεταβλητών κατάστασης που είναι απαραίτητες για την περιγραφή του συστήµατος σε µια χρονική στιγµή. Ρολόι Προσοµοίωσης (simulation clock): Μία µεταβλητή που περιέχει την τρέχουσα τιµή του προσοµοιωµένου χρόνου. Λίστα Γεγονότων (event list): Μία λίστα που περιέχει την επόµενη χρονική στιγµή εµφάνισης κάθε τύπου γεγονότος. Μετρητές Στατιστικών (statistical counters): Μεταβλητές που χρησιµοποιούνται για την αποθήκευση στατιστικών µετρήσεων της απόδοσης του συστήµατος. Ρουτίνα Αρχικοποίησης (initialization routine): Ένα υποπρόγραµµα που αρχικοποιεί το µοντέλο προσοµοίωσης τη χρονική στιγµή µηδέν. Ρουτίνα Χρονισµού (timing routine): Ένα υποπρόγραµµα που αναγνωρίζει το επόµενο γεγονός από τη λίστα γεγονότων και ακολούθως αυξάνει το ρολόι προσοµοίωσης στη χρονική στιγµή που το γεγονός αυτό θα εµφανισθεί. Ρουτίνες Γεγονότων (event routines): Υποπρογράµµατα που ενηµερώνουν την κατάσταση συστήµατος όταν εµφανίζεται ένα συγκεκριµένο είδος γεγονότος (υπάρχει µία τέτοια ρουτίνα για κάθε είδος γεγονότος). Ρουτίνες Βιβλιοθήκης (library routines): Σύνολο υποπρογραµµάτων που δηµιουργούν τυχαίες εµφανίσεις τιµών από πιθανολογικές κατανοµές, που έχουν ορισθεί ως µέρος του µοντέλου προσοµοίωσης. 70

71 Γεννήτρια Αναφορών (report generator): Υποπρόγραµµα που υπολογίζει εκτιµήσεις των επιθυµητών µέτρων απόδοσης από τους µετρητές στατιστικών και παράγει αναφορές όταν τελειώσει η εκτέλεση του προσοµοιωτή. Κυρίως Πρόγραµµα (main program): Το πρόγραµµα που καλεί τη ρουτίνα χρονισµού για να καθοριστεί το επόµενο γεγονός και µετά µεταφέρει τον έλεγχο στην αντίστοιχη ρουτίνα γεγονότος για να ενηµερωθεί κατάλληλα η κατάσταση του συστήµατος. Ελέγχει επίσης αν πρέπει να τερµατισθεί η προσοµοίωση και καλεί τότε τη γεννήτρια αναφορών. 6.6 Τα βήµατα µιας µελέτης µε προσοµοίωση Στο Σχήµα 6.1 φαίνονται τα βήµατα που ακολουθεί µία τυπική µελέτη ενός συστήµατος µε χρήση προσοµοίωσης. Σχήµα.6.1: Βήµατα προσοµοίωσης 71

72 6.7 Πακέτα Προσοµοίωσης Υπάρχουν αρκετά πακέτα λογισµικού διαθέσιµα στο εµπόριο, τα οποία έχουν σχεδιαστεί αποκλειστικά για τη µοντελοποίηση και την προσοµοίωση συστηµάτων. Tα πιο γνωστά πακέτα προσοµοίωσης σήµερα είναι: OPNET ARENA SIMSCRIPT GPSS SIMPY SIMULA SIMULINK SIMUL8 Το ARENA είναι ένα λογισµικό προσοµοίωσης, το οποίο χρησιµοποιεί τη γλώσσα προσοµοίωσης Siman. Ξεκίνησε το 1993 µε την έκδοση 1.0 και πλέον βρίσκεται στην έκδοση Στο Arena ο χρήστης κατασκευάζει το µοντέλο προσοµοίωσης που επιθυµεί, εισάγοντας modules («κουτιά» διαφορετικών σχηµάτων), τα οποία αναπαριστούν διαφορετικές διαδικασίες και έχουν αντίστοιχα διαφορετικές ιδιότητες. Μέσω συνδετικών γραµµών τα modules µπορεί να ενώνονται µεταξύ τους, αποδίδοντας µια αναπαράσταση του συστήµατος προς µοντελοποίηση και προσοµοίωση. Τα παραπάνω στοιχεία φαίνονται χαρακτηριστικά στην Σχήµα 6.2 που ακολουθεί: 72

73 Σχήµα 6.2: Στιγµιότυπο του Arena Το Arena χρησιµοποιεί εκτενώς τις τεχνολογίες της Microsoft. Περιλαµβάνει την γλώσσα Visual Basic for Applications (VBA), έτσι ώστε τα µοντέλα να αυτοµατοποιηθούν ακόµα περισσότερο στην περίπτωση που η χρήση επιπλέον αλγορίθµων είναι απαραίτητη. Ακόµη, υποστηρίζεται η χρήση εισαγωγής διαγραµµάτων ροής τουmicrosoft Visio, καθώς και η ανάγνωση από και εγγραφή σε φύλλα εργασίας Excel και βάσεις δεδοµένων Access. 73

74 Το OPNET Modeler είναι ένα εµπορικό εργαλείο για τη µοντελοποίηση, την προσοµοίωση και την ανάλυση των δικτύων επικοινωνιών, των κατανεµηµένων συστηµάτων, των υπολογιστικών συστηµάτων και των εφαρµογών υπολογιστών. Επιτρέπει τον σχεδιασµό και τη µελέτη δικτύων επικοινωνιών, συσκευών, πρωτοκόλλων και εφαρµογών µε µεγάλη ευελιξία και scalability. Προσφέρει αντικειµενοστραφή προσέγγιση µοντελοποίησης και editors γραφικών µε το συνδυασµό των οποίων είναι δυνατή η παρακολούθηση της δοµής πραγµατικών δικτύων και δικτυακών στοιχείων. Το εργαλείο αυτό υποστηρίζει όλους τους τύπους δικτύων και τεχνολογιών επιτρέποντας µε τον τρόπο αυτόν το σχεδιασµό και τη δοκιµασία ποικίλων σεναρίων µε λογική βεβαιότητα για τα αποτελέσµατα εξόδου, ενώ µε την αλλαγή κάποιων παραµέτρων είναι αµέσως δυνατή η µελέτη της επίδρασης των αλλαγών αυτών στο δίκτυο. Οι περιοχές εφαρµογής περιλαµβάνουν πρωτόκολλα και σχέδια (schemes) ασυρµάτων και δορυφορικών επικοινωνιών, τον σχεδιασµό δικτύων και την ανάλυση της απόδοσης τους, και των προβληµάτων τους πριν την πραγµατική τους υλοποίηση, τη διαχείριση µικροκοµµατικών δικτύων και δικτύων οπτικών ινών, την ανάπτυξη και διαχείριση πρωτοκόλλων, την εκτίµηση αλγορίθµων δροµολόγησης για δροµολογητές, µεταγωγής και άλλες συνδετικές συσκευές Το SIMULA είναι µια αντικειµενοστραφής γλώσσα προγραµµατισµού που σχεδιάστηκε στο Κέντρο Υπολογιστών της Νορβηγίας, στο Όσλο, στα µέσα της δεκαετίας του Είναι µια γλώσσα για την προσοµοίωση συστηµάτων διακριτών γεγονότων βασισµένη στη γλώσσα προγραµµατισµού ALGOL-60. Παρότι είναι µια επέκταση της ALGOL 60, διατηρεί τη γλώσσα σαν υποσύνολο µε κάποιες όµως βασικές διαφορές στον kernel της. Παρότι δεν χρησιµοποιήθηκε ποτέ ευρέως ως µια γλώσσα γενικού σκοπού, όπως και ήταν, εισήγαγε ορισµένες πολύ σηµαντικές ιδέες του object-oriented προγραµµατισµού, όπως οι classes και τα αντικείµενα, η κληρονοµικότητα και το dynamic blinding. 74

75 Η γλώσσα GPSS είναι ιδιαίτερα κατάλληλη για την ανάπτυξη µοντέλων συστηµάτων που αποτελούνται από κινούµενες µονάδες (traffic units, δηλαδή κάτι σαν «οχήµατα») οι οποίες ανταγωνίζονται η µια την άλλη για τη χρήση πόρων που είναι σε ανεπάρκεια (scarce resources): βιοµηχανικά συστήµατα συστήµατα υγείας συστήµατα µεταφορών συστήµατα επικοινωνιών αµυντικά συστήµατα κοινωνικά συστήµατα συστήµατα ουρών Η γλώσσα GPSS (General Purpose Simulation Language) εφευρέθηκε από την IBM και πρωτοπαρουσιάστηκε ως προϊόν τον Οκτώβριο του Η ταχύτητά της σε προσωπικούς υπολογιστές ανήρχετο σε αρκετές δεκάδες εκατοντάδες εντολές ανά δευτερόλεπτο χρόνου σε CPU ήδη από τις αρχές της δεκαετίας του Υπάρχουν πλέον ουσιαστικά δυο εταιρείες που παρέχουν εκδόσεις της γλώσσας GPSS. Η εταιρεία Minuteman που παρέχει τη γλώσσα GPSS World Η εταιρεία Wolverine που παρέχει τη γλώσσα GPSS/H Η SimPy (Simulation in Python) είναι µια γλώσσα για την προσοµοίωση συστηµάτων διακριτών γεγονότων βασισµένη στη γλώσσα προγραµµατισµού Python. Η SimPy είναι µια object-oriented γλώσσα προσοµοίωσης η οποία παρέχει στο συγγραφέα ένα σύνολο από components και µέσα για τη συλλογή στατιστικών, δηµιουργία τυχαίων αριθµών κτλ. Επίσης παρέχει τη δυνατότητα για συλλογή εξωτερικών δεδοµένων, δηµιουργία GUI και γραφικής απεικόνισης των αποτελεσµάτων. Η SimScript είναι µια γλώσσα προσοµοίωσης µε συντακτικό φυσικής γλώσσας (English-like) για την ανάπτυξη µοντέλων προσοµοίωσης διακριτών γεγονότων. Παρέχεται µαζί µε το SimStudio, ένα προγραµµατιστικό περιβάλλον ανάπτυξης και επίσης παρέχει τη δυνατότητα οι οντότητες που προσοµοιώνονται να αναπαριστάνονται ως animated γραφικά. 75

76 Το λογισµικό Simul8 είναι ένα υπολογιστικό πακέτο για προσοµοίωση διακριτών γεγονότων. Επιτρέπει στο χρήστη να δηµιουργήσει ένα οπτικό µοντέλο του εξεταζόµενου συστήµατος, σχεδιάζοντας αντικείµενα απευθείας στην οθόνη. Τυπικά, αυτά µπορεί να είναι ουρές αναµονής ή σηµεία εξυπηρέτησης. Τα χαρακτηριστικά των αντικειµένων µπορούν να προσδιοριστούν, όπως για παράδειγµα, χωρητικότητα ή ταχύτητα Το Simulink είναι ένα λογισµικό πακέτο που επιτρέπει τη µοντελοποίηση, προσοµοίωση και ανάλυση δυναµικών συστηµάτων. Υποστηρίζει γραµµικά και µη γραµµικά συστήµατα, µοντελοποιηµένα σε συνεχή ή διακριτό χρόνο, ή ακόµη και υβριδικά συστήµατα (εν µέρει µοντελοποιηµένα σε συνεχή και εν µέρει σε διακριτό χρόνο). Υποστηρίζονται ακόµη συστήµατα µε τµηµατικά διαφορετικούς χρόνους δειγµατοληψίας. Για τη µοντελοποίηση, το Simulink παρέχει ένα γραφικό περιβάλλον διεπαφής (GUI) που επιτρέπει την κατασκευή µοντέλων ως δοµικών διαγραµµάτων, χρησιµοποιώντας λειτουργίες click-and-drag του ποντικιού. 6.8 Προβλήµατα και δυσκολίες της Προσοµοίωσης Από τη στιγµή που έχει ληφθεί η απόφαση να χρησιµοποιηθεί προσοµοίωση για τη µελέτη ενός συστήµατος, έχει παρατηρηθεί ότι µπορούν να εµφανισθούν αρκετά προβλήµατα στην πορεία υλοποίησης ενός επιτυχηµένου προσοµοιωτή: Όχι καλά ορισµένοι στόχοι κατά την έναρξη της µελέτης Ακατάλληλο επίπεδο λεπτοµέρειας του µοντέλου Χειρισµός της µελέτης µε προσοµοίωση, σαν να ήταν βασικά µία δύσκολη άσκηση προγραµµατισµού Έλλειψη στοιχειωδών γνώσεων Επιχειρησιακής Έρευνας και Στατιστικής Χρήση εµπορικών πακέτων προσοµοιωτών που µπορεί να περιέχουν λάθη ή να µην υλοποιούν τη λογική του συστήµατος Αποτυχία στη σωστή καταγραφή των πηγών τυχαιότητας του συστήµατος 76

77 Χρήση αυθαίρετων κατανοµών (π.χ. κανονική ή οµοιόµορφη) για την περιγραφή των εισόδων του προσοµοιωτή Ανάλυση των δεδοµένων εξόδου από µία εκτέλεση του προσοµοιωτή, µε τη χρήση στατιστικών τύπων που προϋποθέτουν ανεξαρτησία Χρήση λανθασµένου µέτρων απόδοσης 6.9 Πλεονεκτήµατα και Μειονεκτήµατα της Προσοµοίωσης Η προσοµοίωση είναι µια ευρέως χρησιµοποιούµενη και συνεχώς πιο δηµοφιλής µέθοδος για τη µελέτη πολύπλοκων συστηµάτων. Έχει φυσικά τα πλεονεκτήµατα, τα µειονεκτήµατά της, αλλά και υπάρχουν πολλές αιτίες εξαιτίας των οποίων ορισµένες προσοµοιώσεις δεν καταλήγουν στο επιθυµητό αποτέλεσµα. Ορισµένα µειονεκτήµατα της προσοµοίωσης είναι τα παρακάτω: [Ρουµελιώτης Μ. «Μοντελοποίηση και Προσοµοίωση» Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο, Πάτρα 2001] Κάθε εκτέλεση ενός µοντέλου προσοµοίωσης διακριτών γεγονότων παράγει µόνο εκτιµήσεις των πραγµατικών χαρακτηριστικών του µοντέλου, για ένα συγκεκριµένο σύνολο παραµέτρων εισόδου. Έτσι, είναι πιθανό να χρειασθούν πολλές διαφορετικές ανεξάρτητες εκτελέσεις του µοντέλου για κάθε σύνολο παραµέτρων εισόδου που θα µελετηθεί. Για το λόγο αυτό, η προσοµοίωση δεν είναι γενικά τόσο καλή µέθοδος για βελτιστοποίηση, όσο είναι για τη σύγκριση εναλλακτικών σχεδιαστικών λύσεων του συστήµατος. Τα µοντέλα προσοµοίωσης συχνά απαιτούν πολύ χρόνο και πόρους για να αναπτυχθούν. Ο µεγάλος όγκος αριθµών που παράγονται από µία µελέτη προσοµοίωσης ή εντύπωση που δηµιουργούν οι τυχόν γραφικές αναπαραστάσεις των αποτελεσµάτων της, συχνά ενισχύουν µία τάση να δίνεται µεγαλύτερη εµπιστοσύνη στα αποτελέσµατα αυτά από όσο πρέπει. Αν το µοντέλο δεν είναι µία αρκετά έγκυρη αναπαράσταση του συστήµατος, τα αποτελέσµατα της προσοµοίωσης, ανεξάρτητα του πόσο εντυπωσιακά είναι, θα προσθέσουν λίγη χρήσιµη πληροφορία για το πραγµατικό σύστηµα. 77

78 Ορισµένα πιθανά πλεονεκτήµατα της χρήσης της µεθόδου της προσοµοίωσης είναι τα παρακάτω: Τα περισσότερα σύνθετα συστήµατα του πραγµατικού κόσµου µε «τυχαίες» παραµέτρους, δεν µπορούν να περιγραφούν ικανοποιητικά µε κάποιο µαθηµατικό µοντέλο που µπορεί να λυθεί αναλυτικά. Έτσι, η προσοµοίωση είναι συχνά η µόνη διαθέσιµη µέθοδος µελέτης. Η προσοµοίωση επιτρέπει την εκτίµηση της απόδοσης ενός υπάρχοντος συστήµατος, κάτω από κάποιο προβλεπόµενο σύνολο λειτουργικών συνθηκών. Μπορούν να συγκριθούν µέσω της προσοµοίωσης, εναλλακτικές προτεινόµενες σχεδιάσεις ή εναλλακτικές πολιτικές λειτουργίας του συστήµατος, ώστε να προσδιορισθεί η βέλτιστη λύση που ικανοποιεί τις προδιαγραφές που έχουν ορισθεί. Σε ένα µοντέλο προσοµοίωσης µπορούµε να έχουµε καλύτερο έλεγχο στις συνθήκες των πειραµάτων, σε σχέση µε πιθανό πειραµατισµό µε το πραγµατικό σύστηµα. Η προσοµοίωση επιτρέπει τη µελέτη ενός συστήµατος που έχει µακρόχρονη εξέλιξη (π.χ. ένα οικονοµικό σύστηµα), σε πολύ µικρότερο χρόνο, ή τη µελέτη της λεπτοµέρειας του σε περισσότερο χρόνο. Είναι µια µέθοδος οικονοµική, αφού είναι δυνατό να υλοποιηθεί πλέον σε µικρούς υπολογιστές µε τη χρήση γλωσσών προγραµµατισµού γενικού σκοπού όπως η C, η Pascal και η BASIC. Η προσοµοίωση µπορεί να υλοποιηθεί από µηχανικούς που δεν είναι απαραίτητο να έχουν εκτεταµένες µαθηµατικές γνώσεις, παρά µόνο τη δυνατότητα να κατανοούν βασικές έννοιες στατιστικής και να µπορούν να εφαρµόζουν ήδη έτοιµα µαθηµατικά εργαλεία. 78

79 Κεφάλαιο 7 Προσοµοίωση µιας ουράς αναµονής σε µία τράπεζα Καθηµερινά παρατηρούµε µεγάλες ουρές στα ταµία των τραπεζών. Ποιος από εµάς δεν έχει βρεθεί στη δυσάρεστη θέση να περιµένει όρθιος για αρκετά λεπτά σε µια τράπεζα ώστε να εξυπηρετηθεί. Για αυτό λοιπόν, στο έβδοµο κεφάλαιο, µία δεύτερη προσοµοίωση που πραγµατοποιήσαµε ήταν αυτή µιας ουράς αναµονής σε µια τράπεζα. Το πρόγραµµα που χρησιµοποιήθηκε ήταν το ΕXCEL και για την εφαρµογή της προσοµοίωσης απαιτήθηκαν αρκετές συναρτήσεις τις οποίες θα αναφέρουµε παρακάτω. Καταρχήν το µοντέλο µας θα έχει 2 ταµεία εξυπηρέτησης, όπου το δεύτερο ταµείο θα χρειάζεται µόνο και αν το πρώτο είναι απασχοληµένο. Στη συνέχεια η επόµενη παρατήρηση που πρέπει να κάνουµε είναι ότι ο χρόνος µεταξύ των αφίξεων δεν είναι πάντα ο ίδιος οπότε πρέπει να ορίσουµε κάποιες πιθανότητες µε τις οποίες θα εµφανίζονται αυτοί οι χρόνοι. Οπότε έχουµε τον παρακάτω πίνακα 7.1: Πίνακας 7.1: εδοµένα για ώρα άφιξης Αθροιστική ιάστηµα Χρόνος Μεταξύ Πιθανότητα Πιθανότητα Τυχαίων Αριθµών των Αφίξεων 0,02 0, λεπτό 0,10 0, λεπτά 0,50 0, λεπτά 0,20 0, λεπτά 0,10 0, λεπτά 0,05 0, λεπτά 0,03 1, λεπτά 79

80 Στον παραπάνω πίνακα βλέπουµε ότι ο χρόνος µεταξύ δύο αφίξεων µε τη µεγαλύτερη πιθανότητα είναι τα 3 λεπτά (50%) και ο χρόνος µε τη µικρότερη πιθανότητα είναι αυτός του ενός λεπτού (2%). Το ίδιο θα ισχύει και για τους χρόνους εξυπηρέτησης, οι οποίοι εµφανίζονται και αυτοί µε µια τυχαιότητα. Σχηµατίζουµε λοιπόν ένα παρόµοιο πίνακα για αυτό το στοιχείο ο οποίος θα έχει την εξής µορφή: Πίνακας 7.2: εδοµένα για χρόνο εξυπηρέτησης Αθροιστική ιάστηµα Χρόνος Πιθανότητα Πιθανότητα Τυχαίων Αριθµών Εξυπηρέτησης 0,20 0, λεπτά 0,40 0, λεπτά 0,25 0, λεπτά 0,15 1, λεπτά Στον παραπάνω πίνακα βλέπουµε ότι ο χρόνος εξυπηρέτησης µε τη µεγαλύτερη πιθανότητα είναι τα 4 λεπτά (40%) και ο χρόνος µε τη µικρότερη πιθανότητα είναι αυτός των έξι λεπτών (15%). Με βάση τα αρχικά δεδοµένα του προβλήµατος δηµιουργούµε ένα πίνακα µε τα εξής στοιχεία: Αύξων Αριθµός, Τυχαίος Αριθµός, Χρόνος Μεταξύ των Αφίξεων, Ώρα Άφιξης, Έναρξη 1 ου Ταµείου, Έναρξη 2 ου Ταµείου, Τυχαίος Αριθµός, Χρόνος Εξυπηρέτησης, Τέλος Εξυπηρέτησης 1 ου Ταµείου, Τέλος Εξυπηρέτησης 2 ου Ταµείου, Χρόνος Αναµονής. Στη συνέχεια προχωράµε στη διαδικασία παραγωγής τυχαίων ακεραίων αριθµών. Για αυτό το σκοπό χρησιµοποιούµε τη λειτουργία των συναρτήσεων f(x) του EXCEL. Συγκεκριµένα χρησιµοποιούµε σε συνδυασµό τις συναρτήσεις ROUND και RAND και µε την τελική µορφή της συνάρτησης f(x) = ROUND(99*RAND();0) ολοκληρώνουµε τη διαδικασία παραγωγής των ακεραίων αριθµών. Η εντολή RAND αποδίδει έναν τυχαίο αριθµό µεγαλύτερο ή ίσο του 0 και µικρότερο του 1, οµοιόµορφα κατανεµηµένο (αλλάζει κατά την επανάληψη του υπολογισµού). Η εντολή ROUND 80

81 στρογγυλοποιεί έναν αριθµό σε καθορισµένο αριθµό ψηφίων. Κατόπιν, αντιστοιχούµε τους τυχαίους αριθµούς στα δεδοµένα του παραπάνω πίνακα και προσοµοιώνουµε. Όλα τα παραπάνω µπορούµε να τα δούµε στο σχήµα 7.3: Σχήµα 7.3: Παράδειγµα µε την συνάρτηση RAND και µε τους δύο πίνακες των διαστηµάτων τυχαίων αριθµών Θεωρήσαµε πως η τράπεζα ανοίγει τις πόρτες τις προς το κοινό στις 9 το πρωί και ο αριθµός των πελατών που θα εξυπηρετηθούν θα αγγίζει τους 20. Οι συναρτήσεις που χρησιµοποιήθηκαν ήταν κατά κύριο λόγο οι IF, AND, OR, SUM, πάντα βέβαια σε συνδυασµό µεταξύ τους, αλλά σηµαντικό ρόλο έπαιξε η εντολή RAND όπως προαναφέραµε. Κάτω από τον κυρίως πίνακα της εφαρµογής υπολογίζουµε: το συνολικό και µέσο χρόνο µεταξύ αφίξεων, το συνολικό και µέσο χρόνο εξυπηρέτησης, το συνολικό και µέσο χρόνο αναµονής (Σχήµα 7.4): 81

82 Σχήµα 7.4: Υπολογισµός συνολικού και µέσου χρόνου: µεταξύ αφίξεων, εξυπηρέτησης, αναµονής. Τρέχοντας λοιπόν την εφαρµογή µας για πρώτη φορά παίρνουµε τα εξής αποτελέσµατα στο Σχήµα 7.5: Σχήµα 7.5: Πρώτη Προσοµοίωση 82

83 Στην πρώτη προσοµοίωση βλέπουµε πως ο συνολικός χρόνος αναµονής είναι 51 λεπτά δηλαδή κατά µέσο όρο στα 2,5 λεπτά. Οι αφίξεις γίνονται κατά µέσο όρο ανά 3,7 λεπτά. Ο πρώτος πελάτης φτάνει 3 λεπτά µετά το άνοιγµα του καταστήµατος και ο 20 ος πελάτης εξυπηρετείται στις 10:26. Είναι µια αρκετά καλή συνολική εξυπηρέτηση και από τα 2 ταµεία. Αυτό που πρέπει να σηµειώσουµε είναι ανάµεσα στον 3 ο και 4 ο πελάτη δεν χρειάστηκε η εξυπηρέτηση του 2 ου ταµείου γιατί αρκούσε το 1 ο. Στη δεύτερη προσοµοίωση (Σχήµα 7.6) βλέπουµε πως χρειάζονται και τα 2 ταµεία Σχήµα 7.6: εύτερη Προσοµοίωση 83

84 Στην τρίτη προσοµοίωση παρατηρούµε από τον 15 ο πελάτη και µετά πως ο χρόνος εξυπηρέτησης είναι αρκετά µεγάλος µε αποτέλεσµα να αυξάνεται και ο χρόνος αναµονής των πελατών. Το αποτέλεσµα είναι ο 20 ος πελάτης να έχει µια αναµονή της τάξεως των 11 λεπτών για αυτό και άλλωστε έχει επισηµανθεί το κελί και µε κόκκινο φόντο (Σχήµα 7.7). Σχήµα 7.7: Τρίτη Προσοµοίωση 84

85 Στην τέταρτη προσοµοίωση παρατηρούµε ότι µειώθηκε ο χρόνος µεταξύ τω αφίξεων από τον 5 ο ως τον 10 ο πελάτη µε αποτέλεσµα να αυξηθεί ο χρόνος αναµονής πάνω από τα 10 λεπτά και να επισηµανθούν µε κόκκινο τα αντίστοιχα κελιά (Σχήµα 7.8). Σχήµα 7.8: Τέταρτη Προσοµοίωση 85

86 Στην πέµπτη προσοµοίωση παρατηρούµε µια ακραία περίπτωση. Από τον 10 ο πελάτη και µετά έχουν µειωθεί οι χρόνοι µεταξύ των αφίξεων των πελατών και έχουν αυξηθεί οι χρόνοι εξυπηρέτησης των 2 ταµείων. Αυτό έχει ως αποτέλεσµα να έχει αυξηθεί κατά πολύ ο χρόνος αναµονής µε αποκορύφωµα τον 20 ο πελάτη που έχει χρόνο αναµονής 19 λεπτά. Ο συνολικός χρόνος εξυπηρέτησης είναι 3 ώρες και 21 λεπτά δηλαδή κατά µέσο όρο 10 λεπτά. Σχήµα 7.9: Πέµπτη Προσοµοίωση Αυτό που συµπεραίνουµε είναι ότι όσο µειώνεται ο χρόνος µεταξύ των αφίξεων ή αυξάνεται ο χρόνος εξυπηρέτησης τόσο αυξάνεται ο χρόνος αναµονής των πελατών. Και αντίθετα, όσο αυξάνεται ο χρόνος µεταξύ των αφίξεων ή µειώνεται ο χρόνος εξυπηρέτησης τόσο µειώνεται και ο χρόνος αναµονής. 86

87 Επίσης όσο µειώνεται ο χρόνος αναµονής τόσο δεν χρειάζεται και το δεύτερο ταµείο γιατί αρκεί µόνο η λειτουργία του πρώτου. Στον Σχήµα 7.10 φαίνεται ξεκάθαρα µία τέτοια περίπτωση. Σχήµα 7.10: Περίπτωση όπου χρησιµοποιείται κυρίως το 1 ο ταµείο Στη συγκεκριµένη προσοµοίωση βλέπουµε πως από τους συνολικά 20 πελάτες, οι 12 εξυπηρετήθηκαν από το 1 ο ταµείο και οι 8 από το δεύτερο. 87

88 Κεφάλαιο 8 Συµπεράσµατα και περαιτέρω έρευνα Στην παραπάνω εργασία αναλύσαµε τα συστήµατα ουρών και τη θεωρία αναµονής. Αναφερθήκαµε στα δίκτυα ουρών αναµονής, στα χαρακτηριστικά µιας ουράς, στα δίκτυα τύπου γινοµένου και δώσαµε τους ορισµούς των ανοικτών και κλειστών δικτύων. Στη συνέχεια παρουσιάσαµε το νοσοκοµείο ως ένα σύστηµα ουρών και έγινε µια εφαρµογή στο πακέτο mathematica. Στην τελική φάση της εργασίας έγινε µια εισαγωγή στη θεωρία της προσοµοίωσης. Στο όγδοο κεφάλαιο χρησιµοποιώντας το Excel έγινε µια προσοµοίωση µιας ουράς αναµονής σε µια τράπεζα. Όπως έγινε φανερό από την ανάλυση που προηγήθηκε, ένα νοσοκοµείο µπορεί να χαρακτηριστεί ως ένα σύνολο σταθµών, από τους οποίους ο καθένας έχει τη δυνατότητα σχηµατισµού ουράς. Με την εξυπηρέτηση να κατέχει εξέχουσα σηµασία και µε τη ζωή και το θάνατο συχνά να εξαρτώνται από την αποτελεσµατικότητα των λειτουργιών, το νοσοκοµείο είναι ένα καλό αντικείµενο έρευνας. Τα πλεονεκτήµατα της θεωρητικής θεµελίωσης είναι µεγάλα. Πρώτον, παρέχει µια διαισθητική µατιά στη δοµή της διαδικασίας που λαµβάνει χώρα και µπορεί να δώσει κάποιες ενδείξεις για τις αιτίες των παρατηρούµενων γεγονότων. εύτερον, δίνει τη δυνατότητα να προβλέψουµε τι θα γίνει σε εναλλακτικές περιπτώσεις. Πράγµατι, νέες προτάσεις όπως κάποιο είδος αναδιοργάνωσης για παράδειγµα µπορεί να ελεγχθεί στην πράξη, όµως συνήθως δεν είναι εφικτό να πάρουµε ικανοποιητικές αποφάσεις ανάµεσα σε ένα µεγάλο αριθµό διαθέσιµων εναλλακτικών εµπειρικά. Αντίθετα, αυτό µπορεί να γίνει θεωρητικά. Η θεωρία ουρών αναµονής είναι µια µαθηµατική έρευνα των συστηµάτων αναµονής. Μέσα από αυτή την έρευνα είναι πιθανό να αποµονώσουµε παράγοντες όπως το µέσο µήκος της ουράς, το µέσο χρόνο που ένας πελάτης πρέπει να περιµένει στην ουρά πριν την εξυπηρέτηση, τον αναµενόµενο αριθµό πελατών στο σύστηµα, τον αναµενόµενο χρόνο που ένας πελάτης δαπανά στο σύστηµα και πολλά άλλα χαρακτηριστικά. Με αυτή τη γνώση, είναι δυνατό να αλλάξουµε τη διαδικασία λήψης 88

89 των αποφάσεων όσον αφορά τις ουρές αναµονής, από µια ποιοτική σε µια ποσοτική διαδικασία, βελτιώνοντας έτσι τις αποφάσεις µας και τις επιπτώσεις αυτών. Όσον αφορά την εφαρµογή µε την τράπεζα, παρατηρούµε µετά από αρκετές προσοµοιώσεις στο Excel, ότι ο χρόνος αναµονής επηρεάζεται από το χρόνο εξυπηρέτησης αλλά και από το χρόνο άφιξης των πελατών. Επίσης σηµαντικό ρόλο παίζει και η ύπαρξη του δευτέρου ταµείου και ενδιαφέρον θα ήταν να προσοµοιώναµε το παράδειγµά µας και µε ένα τρίτο ταµείο καθώς ο χρόνος αναµονής των πελατών θα µειωνόταν στο ελάχιστο. Σαν περαιτέρω έρευνα προτείνεται η ανάλυση µε τη µέθοδο των δικτύων ουρών αναµονής πιο πολύπλοκων συστηµάτων και η προσοµοίωσή τους. Κατά τη χρήση ενός εµπορικού πακέτου προσοµοίωσης καλό θα είναι να ελέγχεται αν το πακέτο ταιριάζει µε τη λογική του συστήµατος. Και τέλος, προτείνεται ο χρήστης να δίνει µεγαλύτερη βαρύτητα στο αν το µοντέλο είναι µια ακριβής αναπαράσταση του συστήµατος, από ότι στα τελικά αποτελέσµατα. 89

90 Κεφάλαιο 9 Βιβλιογραφία Ξένη 1. «Queueing Theory», Ivo Adan and Jacques Resing, Department of Mathematics and Computing Science Eindhoven University of Technology. 2. Andreas Willing «A short Introduction to Queueing Theory» July 21, (1999) 3. Kleinrock L. (1975), «Queuing Systems», volume 1: Theory, John Wiley & Sons 4. Flagle C.D. «Operations Research in Hospitals, in Operations Research and Systems Engineering», p. 763, Md Johns Hopking Press (1960) 5. C.J Huang, PS Crooke «Mathematics and Mathematica for Economists». Blackwell Publishers, F. Baskett, K. M Chandy, P. P Muntz, F. G Palacios «Open, Closed and Mixed Networks of Queues with Different Classes of Customers» pp , April D.H Stimson, R. H Stimson Research in Hospitals: «Diagnosis and Prognosis» Hospital research and Educational Trust, Chicago Anderson D.R, Sweeny D.J and Williams T.A 2003, «An introduction to management science quantitative approaches to decision making» 10 th ed, Thomson, Ohio pp Tanner M «Practical Queueing Analysis» McGraw-Hill pp 36-38, Hock N.C 1996, «Queueing Modeling Fundamentals», John Wiley & Sons Ltd, West Sussex 11. Erlang A.K 1917, «Solution of some problems in the theory of probabilities of significance in automatic telephone exchanges» 12. Michael W. Carter «Queueing Theory and Simulation Modeling for Managing Hospitals Wait Lists» pp Mechanical and Industrial Engineering, University Of Toronto 13. Sheldon M. Ross «Introduction to probability models». 10 th ed pp

91 14. Kendal D.G 1953 «Stochastic processes occurring in the theory of queues and their analysis by the method of imbedded Markov Chains, Annals of Mathematical Statistics» Vol pp Banks.E and J.S Carson, 1984, «Discrete Event System Simulation», Prentice Hall, New Jersey Ελληνική 16. Βασιλείου Π. Χ. Γ. (2000), «Στοχαστικές Μέθοδοι στις Επιχειρησιακές Έρευνες», Εκδόσεις Ζήτη 17. Φ. Κολυβά Μαχαίρα, Ε. Μπόρα Σέντα (1998), «Στατιστική, Θεωρία και Εφαρµογές», Εκδόσεις Ζήτη 18. Ν. Ασηµακόπουλος «Ουρές Αναµονής Θεωρία και Εφαρµογές» Πανεπιστήµιο Πειραιά, Πειραιάς Οικονόµου Γ. Σ και Γεωργίου Α. Κ, (2005), «Ποσοτική ανάλυση για τη λήψη ιοικητικών Αποφάσεων», τόµος Β, Εκδόσεις Μπένου, Αθήνα 20. Τραχανάς Σ. «Mathematica και εφαρµογές για µαθηµατικούς, φυσικούς και µηχανικούς». Εκδόσεις Κρήτης (2004) 21. Ρουµελιώτης Μ. «Μοντελοποίηση και Προσοµοίωση» Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο, Πάτρα «Προσοµοίωση», Κουϊκόγλου Β. Σ, Σεπτέµβριος 2002, Πολυτεχνείο Κρήτης Ηλεκτρονικές ιευθύνσεις

92 Κεφάλαιο 10 Παράρτηµα Για την κατανόηση και περαιτέρω επεξεργασία από τον αναγνώστη του παραδείγµατος της τράπεζας στο Excel, παραθέτουµε τις συναρτήσεις που χρησιµοποιήθηκαν και επεξηγούµε την εντολή της κάθε µιας χωριστά. Να τονιστεί για ακόµη µία φορά πως σηµαντικό ρόλο στην όλη προσοµοίωση παίζει η εντολή RANDOM. Σχήµα 10.1: Υπολογισµός Χρόνου Μεταξύ Αφίξεων Στο σχήµα 10.1 παρατηρούµε τη συνάρτηση στο κελί D13. Χρησιµοποιείται η συνάρτηση IF και αναφέρεται στο χρόνο µεταξύ των αφίξεων. Ο χρόνος προκύπτει ανάλογα µε τον τυχαίο αριθµό στη στήλη C. Αφού προκύψει ο αριθµός, χρησιµοποιούµε τον σχετικό πίνακα. Έτσι του λέµε ότι αν ο τυχαίος αριθµός είναι µεγαλύτερος του 0 να τοποθετήσει το χρόνο 0:01, αν ο τυχαίος αριθµός είναι µεγαλύτερος του 2 να τοποθετήσει το 0:02 κ.τ.λ. 92

93 Σχήµα 10.2: Υπολογισµός Έναρξης 1 ου Ταµείου Στη σχήµα 10.2 παρατηρούµε την συνάρτηση f(x) στο κελί F15. Βλέπουµε πως για την εξαγωγή του χρόνου λαµβάνουµε υπόψη µας αρκετά κελιά. Αξίζει να σηµειωθεί ότι στον τύπο χρησιµοποιείται οι συναρτήσεις IF και SUM αλλά και η συνάρτηση OR. Σχήµα 10.3: Υπολογισµός Έναρξης 2 ου Ταµείου 93

94 Στη Σχήµα 10.3 παρατηρούµε την συνάρτηση f(x) στο κελί G16. Βλέπουµε πως για την εξαγωγή του χρόνου λαµβάνουµε υπόψη µας αρκετά κελιά. Αξίζει να σηµειωθεί ότι στον τύπο χρησιµοποιείται οι συναρτήσεις IF και SUM µε τη διαφορά από την προηγούµενο τύπο ότι εδώ χρησιµοποιείται η συνάρτηση AND. Σχήµα 10.4: Υπολογισµός Χρόνου Αναµονής Στο Σχήµα 10.4 παρατηρούµε τη συνάρτηση στο κελί L17 µε την οποία εξάγουµε το χρόνο αναµονής. Χρησιµοποιούνται οι εντολές IF και SUM και λαµβάνονται υπόψη τα κελία µε την ώρα άφιξης των πελατών και το τέλος εξυπηρέτησης των ταµείων. 94