Θεωρούµε σύστηµα δύο σωµατιδίων Σ 1 και Σ 2 µε αντίστοιχες µάζες m 1 και m 2, τα οποία αλληλοεπιδρούν χωρίς όµως να δέχονται εξωτερικές δυνάµεις.

Transcript

1 Θεωρούµε σύστηµα δύο σωµατιδίων Σ και Σ µε αντίστοιχες µάζες m και m, τα οποία αλληλοεπιδρούν χωρίς όµως να δέχονται εξωτερικές δυνάµεις. i) Nα δείξετε ότι η σχετική ορµή P του ενός, λογουχάρη του Σ ως προς το Σ, στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας τους, ικανοποιεί την σχέση: P = P * - P * ( ) όπου P *, P * οι ορµές των Σ και Σ αντιστοίχως στο σύστηµα αυτό. ii) Xρησιµοποιώντας την παραπάνω σχέση να δείξετε ότι, η σχετική κίνηση του σωµατιδίου Σ ως προς το άλλο περιγράφεται από την διαφορική εξίσωση: µ d = F όπου µ η λεγόµενη ανηγµένη µάζα του συστήµατος των δύο σωµα τιδίων ίση µε m m /(m +m ), το διάνυσµα θέσεως του Σ ως προς το Σ και F η δύναµη αλληλεπίδρασης επί του Σ. ΛΥΣΗ: i) Eάν, είναι τα διανύσµατα θέσεως των σωµατιδίων Σ, Σ αντιστοίχως ως προς το κέντρο µάζας τους C και το διάνυσµα θέσεως του Σ ως προς το Σ θα έχουµε τις σχέσεις: = - m + m = = -m /m - = + m /m Σχήµα 3 Σχήµα 4 ( ) = - m + m /m = ( m + m ) /m = -m /M = m /M/ όπου Μ=m +m. Eξάλλου οι ορµές P *, P * των Σ, Σ αντιστοίχως στο σύστη ()

2 µα αναφοράς του κέντρου µάζας C είναι: P * = m v = m d / P * = m v = m d / d P = m - m d (-) P * - P * d = m - m όπου P η σχετική ορµή του Σ ως προς το Σ, στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας C. Παραγωγίζοντας ως προς τον χρόνο t τις σχέσεις () παίρ νουµε: ( ) d ( ) d d / = - m /M d / = m /M / / Συνδυάζοντας την () µε τις (3) θα έχουµε: P = m m M d + m m M d = µ Όµως το διαφορικό πηλίκο d / εκφράζει την σχετική ταχύτητα v του Σ ως προς το Σ, οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται: P = µ v P * - P * d d () (3) = µ v (4) ii) Eπειδή τα δύο σωµατίδια δεν δέχονται εξωτερικές δυνάµεις το σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας τους είναι αδρανειακό σύστηµα, που σηµαίνει ότι ισχύει στο σύστηµα αυτό ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα για τα σωµατί δια, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε τις σχέσεις: d P * / = F d P * / = F (-) d P * - d * P = F - F (4) µ d v = F + F µ d = F (5) όπου F, F οι αντίθετες δύναµεις αλληλεπιδράσεως των δύο σωµατιδίων. Παρατήρηση: Η σχετική ταχύτητα του Σ ως προς το Σ είναι κοινή για όλα τα αδρανειακά συστήµατα αναφοράς. Πράγµατι αν θεωρήσουµε και το αδρανειακό σύστηµα Οxyz µε αρχή το Ο (σχ. 3), τότε για την σχετική ταχύτητα V του Σ ως προς το Σ στο σύστηµα αυτό θα έχουµε:

3 V = d R - d R (6) όπου R, R τα διανύσµατα θέσεως των Σ, Σ αντιστοίχως ως προς την αρχή Ο. Όµως αν είναι το διάνυσµα θέσεως του κέντρου µάζας C ως προς την αρχή Ο θα έχουµε τις σχέσεις: R = R C + R = R C + d R - d R d R / = d R C / + d / d R / = d R C / + d / = d - d (6) V = v (-) P.M. fysikos Kατά το πρότυπο του Sommefeld το ηλεκτρό νιο στο άτοµο του Υδρογόνου µπορεί να διαγράψει ελλειπτικές τροχιές, που η µια τους εστία συµπίπτει µε τον πυρήνα του ατόµου. Οι επιτρεπόµενες ελλειπτικές τροχιές υπακούουν σε δύο συνθήκες κβαντώσεως, οι οποίες περιγράφονται από τις σχέσεις: ( P d) = hn % ( Ld ) = hn &% όπου P η ορµή του ηλεκτρονίου κατά την διεύθυνση της επιβα τικής του ακτίνας, L η στροφορµή του περί τον πυρήνα του ατόµου, h η σταθερά δράσεως του Plank, n ο αζιµουθιακός κβαντι κός αριθµός και n ο ακτινικός κβαντικός αριθµός του ηλεκτρο νίου. Τα ολοκληρώµατα στις σχέσεις (Ι) είναι επικαµπύλια και υπολογίζονται κατά µήκος της ελλειπτικής τροχιάς που την θεωρούµε διαγραφόµενη κατά την φορά κίνησης του ηλεκτρονίου. i) Χρησιµοποιώντας τις σχέσεις (I) να δείξετε την σχέση: T ( E K ) = h n + n ( ) / όπου Ε Κ η κινητική ενέργεια και Τ η περίοδος κίνησης του ηλεκ τρονίου. ii) Eάν Ε είναι η µηχανική ενέργεια του ηλεκτρονίου, να δείξετε την σχέση: (Ι)

4 ET = h ( n + n ) / ΛΥΣΗ: i) Η ταχύτητα v του ηλεκτρονίου στην τυχαία θέση της ελλειπτικής τροχιάς του, όπου η επιβατική του ακτίνα σχηµατίζει µε τον πολικό άξονα Πx γωνία φ, αναλύεται στην ακτινική συνιστώσα v και την αζιµουθιακή συνιστωσα v, οπότε για το ηλεκτρόνιο στην θέση αυτή θα ισχύ ουν οι σχέσεις: Σχήµα 5 P d = m e v d = m e ( d / )d Ld = m e v d = m e ( d / )d % P d = m e ( d / ) = m e v Ld = m e ( d / ) = m e v % () όπου m e η µάζα του ηλεκτρονίου. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (Ι) και () παίρ νουµε: ( m e v ) = hn % ( m e v ) = hn &% (+ ) m e v ( + m e v ) = h( n + n ) () Όµως για την κινητική ενέργεια Ε Κ του ηλεκτρονίου ισχύει η σχέση: E K = m e v / = m e v ( + v ) / οπότε η () γράφεται: ( ) ( E K ) = h n + n E K (3) ( ) = h ( n + n ) ii) Eπειδή η κίνηση του ηλεκτρονίου γίνεται στο συντηρητικό πεδίο του πυρήνα η µηχανική του ενέργεια Ε διατηρείται σταθερή, δηλαδή θα έχουµε: E = E K + U = E K - K C q e / E K = E - K C q e / (4)

5 όπου q e το φορτίο του ηλεκτρονίου και Κ C η σταθερά του νόµου του Cou lomb. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουµε: ' ( E) - K C q e ' & = h ( % n + n ( ) ET - K C q e ' & = h % n + n ( ( ) (5) Eξάλλου η εξίσωση της ελλειπτικής τροχιάς του ηλεκτρονίου σε πολικές συντεταγµέ νες έχει την µορφή: = p + e (6) όπου e η εκκεντρότητα της έλλειψης (<e<) και p θετική σταθερά χαρακτη ριστική των στοιχείων της έλλειψης. Όµως η στροφορµή L του ηλεκτρονίου παραµένει σταθερή και µάλιστα ισχύει: L = m e v = d = m d e L (6) = m e pd ( ) L + e (7) Η σχέση (5) λόγω της (7) γράφεται: ET - K m pq C e e L ET - K m pq C e e L % d ( + ' * = h & + e ) n + n + ( ) % d (, ' * = h & + e ) n + n ( ) (8) Όµως το ορισµένο ολοκλήρωµα που υπάρχει στο πρώτο µέλος της (8) υπολο γιζοµενο δια του µετασχηµατισµου z=εφ(φ/) δίνει τελικά: + % d (, ' * = & + e ) οπότε προκύπτει η ζητούµενη σχέση: ET = h ( n + n ) (9) Παρατήρηση: Ένας λεπτοµερής υπολογισµός του αορίστου ολοκληρώµα τος, µε χρήση του µετασχηµατισµού z=εφ(φ/), δίνει:

6 % d ( + ' * = & + e ) % - /(/)(,-./ ' * - e & - e ) P.M. fysikos Ένα διπλό άστρο αποτελείται από δύο άστρα της ίδιας µάζας, τα οποία περιστρέφονται περί το κέντρο µάζας τους, έτσι ώστε η µεταξύ τους απόσταση να διατηρείται σταθερή. Κάποια στιγµή τα δύο άστρα ακινητοποιούνται µε εξωτερική επέµβαση και στην συνέχεια υπό την επίδραση των αµοιβαίων Νευτώνειων έλξεων το ένα πλησιάζει προς το άλλο µέχρις ότου συγκρουσθούν. Εάν Τ είναι η περίοδος κίνησης των δύο άστρων πριν την ακινητοποίησή τους και t * o χρόνος κίνησής τους από την στιγµή που ακινητοποιούνται µέχρι την στιγµή που συγκρούονται, να δείξετε την σχέση: t * = T / 8 ΛYΣH: Επειδή τα δύο άστρα έχουν την ίδια µάζα κάθε στιγµή ισαπέχουν από το κέντρο µάζας τους C, που σηµαίνει ότι διαγράφουν την ίδια κυκλική τροχιά κέντρου C και ακτίνας α/, όπου α η µεταξύ τους σταθερή απόσταση. Όµως η κίνηση κάθε άστρου εξασφαλίζεται από την αντίστοιχη Nευτώνεια έλξη που δέχεται από το άλλο άστρο, η οποία παίζει ρόλο κεντροµόλου δύνα µης, δηλαδή κάθε στιγµή οι επιβατικές ακτίνες των δύο άστρων, ως προς το C, βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία, που σηµαίνει ότι σε ορισµένο χρόνο διαγράφουν ίσες επίκεντρες γωνίες. Έτσι τα δύο άστρα έχουν την ίδια γωνι Σχήµα 6 ακή ταχύτητα, οπότε θα έχουν και κοινή περίοδο T. Eξάλλου, εάν F είναι η Nευτώνεια έλξη που δέχεται το ένα από τα δύο άστρα, λογουχάρη το Σ, θα ισχύει η σχέση: F = mv / = mv / = v = / & % ( T ' = T T = 3 ()

7 όπου m η µάζα κάθε άστρου και v το κοινό µέτρο των ταχυτήτων τους στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας τους. Στην διάρκεια που τα δύο άσ τρα κινούνται το ένα προς το άλλο η µηχανική τους ενέργεια στο εν λόγω σύστηµα αναφοράς διατηρείται σταθερή, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε την σχέση: µv - = - mv 4 = - d & % = 4 - & '% d = ± - % ' () & όπου µ η ανηγµένη µάζα των δύο άστρων ίση µε m/, και v η σχετική ταχύτητα του ένος ως προς το άλλο την στιγµή που η απόστασή τους είναι. Επειδή η απόσταση µειώνεται µε τον χρόνο η σχέση () πρέπει να γίνει δεκτή µε το (-) και έτσι θα έχουµε: = - - d = - d (3) - Ολόκληρώνοντας την (3) παίρνουµε τον χρόνο t *, δηλαδή θα έχουµε: t * = - - d = - d (4) Γιά τον υπολογισµό του ολοκληρώµατος θεωρούµε τον µετασχηµατισµό =αηµ φ, οπότε η σχέση (4) γράφεται: t * = / µ % µ&'(d - µ ( ) t * = / ( ) t * = µ %d% / ( - %&' )d' t * = = 4 (5) Aπό () και (5) προκύπτει η αποδεικτέα σχέση: t * = T / 8 P.M. fysikos

8 Δύο υλικά σηµεία της ίδιας µάζας m αλληλoε πιδρουν µε βαρυτικές δυνάµεις και κάποια στιγµή βρίσκονται σε απόσταση α µεταξύ τους και το µεν ένα είναι ακίνητο ως προς κάποιο αδρανειακό σύστηµα αναφοράς, ενώ το άλλο έχει ταχύτητα v, που ο φορέας της είναι κάθετος στην ευθεία που συνδέει τα δύο υλικά σηµεία το δε µέτρο της ικανοποιεί την σχέση: v = / όπου G η παγκόσµια σταθερά της βαρύτητας. i) Να µελετηθεί η κίνηση του συστήµατος των δύο σωµατιδίων στο αδρανειακό σύστηµα αναφοράς. ii) Να µελετηθεί η σχετική κίνηση του ενός υλικού σηµείου ως προς το άλλο. ΛΥΣΗ: i) Επειδή οι βαρυτικές δυνάµεις αλληλεπίδρασης των δύο υλικών σηµείων εί ναι διαρκώς αντίθετες, το κέντρο µάζας τους C κινείται µε σταθερή ταχύτητα v C ως προς το θεωρούµενο αδρανειακό σύστηµα, η οποία υπολογίζεται από την σχέση: v C = v + = v δηλαδή το µέτρο της είναι: v C = v = / = () Σχήµα 7 Στο αδρανειακό σύστηµα του κέντρου µάζας η ορµή του συστήµατος των δύο σωµατιδίων είναι µηδενική, που σηµαίνει ότι στο σύστηµα αυτό τα δύο σωµατίδια θα έχουν διαρκώς αντίθετες ταχύτητες, των οποίων τα µέτρα την στιγµή t= που βρίσκονται σε απόσταση α είναι: και v = v - v C = v - v = v = + v C = v = () (3)

9 Εξάλλου στο σύστηµα του κέντρου µάζας η µηχανική ενέργεια Ε των δύο υλικών σηµείων παραµένει σταθερή και ίση µε την µηχανική τους ενέργεια την στιγµή t=, δηλαδή θα έχουµε για την ενέργεια αυτή την σχέση: E = mv + mv - = m + m - = - < Η αρνητική τιµή της Ε σηµαίνει ότι, οι τροχιές των κεντρικών κινήσεων που εκτελούν τα δύο υλικά σηµεία στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας τους είναι κλειστές, δηλαδή τα υλικά σηµεία κινούνται στην ίδια έλλειψη που µία της εστία είναι το κέντρο µάζας C ή στην ίδια περιφέρεια µε κέντρο επίσης το C. Όµως κάθε στιγµή οι αποστάσεις των υλικών σηµείων από το C είναι ίσες, οπότε η ελλειπτική τροχιά αποκλείεται, δηλαδή τα υλικά σηµεία διαγράφουν περί το κέντρο µάζας τους ισοταχή κυκλική κίνηση ακτίνας α/ και τα µέτρα των ταχυτήτων θα είναι v /. Προφανώς η κίνηση των δύο σωµατιδίων στο αρχικό αδρανειακό σύστηµα θα προκύπτει ως επαλληλία της ισοταχούς κυκλικής κίνη σης περί το C και της ευθύγραµµης οµαλής κίνησης του C µε ταχύτητα v /. ii) H σχετική κίνηση του ενός υλικού σηµείου ως προς το άλλο, λογουχάρη του Σ ως προς το Σ, (σχ.8) είναι ισοδύναµη µε την κίνηση ενός νοητού υλικού σηµείου µάζας ίσης προς την ανηγµένη µάζα µ=m/ των δύο υλικών σηµείων, πάνω στο οποίο ενεργεί η βαρυτική δύναµη αλληλεπίδρασής τους. Επειδή η δύναµη αυτή είναι κεντρική η κίνηση της νοητής µάζας µ είναι επίπεδη, το δε επίπεδο κίνησης διέρχεται από το Σ και είναι κάθετο στην σταθερή στροφορµή: L = µ ( v ) = m ( v ) / Σχήµα 8 Από την θεωρία των κεντρικών κινήσεων είναι γνωστό ότι, η τροχιά της µάζας µ έχει την µορφή κωνικής τοµής πρέπει δε τα χαρακτηριστικά της να είναι συµβα τά µε το γεγονός ότι την στιγµή t= η Νευτώνεια έλξη που δέχεται η µάζα αυτή αποτελεί κεντροµόλο δύναµη, διότι είναι κάθετη στην αντίστοιχη ταχύτητά της v. Έτσι θα έχουµε την σχέση: = µv = m = δηλαδη την στιγµή t= πρέπει η ακτίνα καµπυλότητας της τροχιάς της µάζας µ να είναι ίση µε την απόσταση α, γεγονός που αποκλείει την έλλειψη, την υπερ βολή και την παραβολή. Άρα η σχετική τροχιά του Σ ως προς το Σ θα είναι

10 περιφέρεια κύκλου κέντρου Σ και ακτίνας α, η δε αντίστοιχη σχετική ταχύτητα θα διατηρεί σταθερό µέτρο v = /. P.M. fysikos Δύο υλικά σηµεία Σ, Σ µε αντίστοιχες µάζες m, m αλληλοεπιδρούν µε Νευτώνειες δυνάµεις, χωρίς να δέχονται άλλες εξωτερικές επιδράσεις. Την στιγµή t= τα υλικά σηµεία βρίσκονται σε απόσταση α και το µεν Σ έχει µηδενική ταχύτητα ως προς κάποιο αδρανειακό σύστηµα αναφοράς, ενώ η αντίστοιχη ταχύτητα του Σ είναι v. Να δείξετε τα έξής: i) η σχετική κίνηση του Σ ως προς το Σ είναι επίπεδη και να καθορίσετε το επίπεδο της κίνησης, ii) η τροχιά της σχετικής κίνησης έχει την µορφή κωνικής τοµής και iii) αν m =m =m, v = / και ο φορέας της v είναι κάθετος στην Σ Σ, τότε η σχετική τροχιά είναι περιφέρεια ακτίνας α. Η σταθερά G της βαρύτητας θεωρείται γνωστή. ΛΥΣΗ: i) Επειδή οι µόνες δυνάµεις που δέχονται τα δύο υλικά σηµεία είναι οι αµοιβαίες Νευτώνειες έλξεις τους, η σχετική κίνηση του ενός ως προς το άλλο, λογουχάρη του Σ ως προς το Σ, είναι ισοδύναµη µε την κίνη ση µιας υποθετικής µάζας ίσης προς την ανηγµένη µάζα µ=m m /(m +m ) των δύο υλικών σηµείων, όταν σ αυτή επιδρά η Νευτώνεια δύναµη F που αντιστοιχεί στο υλικό σηµείο Σ. Η αρχική ταχύτητα της µάζας αυτής είναι ίση µε την αρχική σχετική ταχύτητα του Σ ως προς το Σ, δηλαδή στην περί Σχήµα 9 πτωσή µας ίση µε v, η δε διαφορική εξίσωση που χαρακτηρίζει την κίνησή της, σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα έχει την µορφή: µ d = - m e m m d m + m = - m 3

11 ( ) d = - G m + m d 3 = - GM () 3 όπου M=m +m, e το µοναδιαίο διάνυσµα της επιβατικής ακτίνας της µάζας µ ως προς το Σ και v η ταχύτητά της την στιγµή t που την εξετά ζουµε. Η αντίστοιχη στροφορµή L της µάζας µ περί το Σ είναι: L = µ v ( ) = µ ( d /) () η οποία µε παραγώγιση ως προς τον χρόνο t δίνει: d L = µ d d d L = -µ GM % ' = & 3 % ' + µ d % & ' = µ d () % & ' & δηλαδή η στροφορµή L µένει σταθερή κατά την κίνηση της µάζας µ και µάλιστα ισχύει: L = µ ( v ) (3) όπου η διανυσµατική ακτίνα της µάζας µ, την στιγµή t=. Εξάλλου για το εσωτερικό γινόµενο ( L ) έχουµε: ( L ) = [ µ ( v )] = [ v µ ( )] = δηλαδή κάθε στιγµή η διανυσµατική ακτίνα της µάζας µ είναι κάθετη στο σταθερό διάνυσµα L, που σηµαίνει ότι η κίνησή της πραγµατοποιείται σε σταθερό επίπεδο που διέρχεται από το Σ. ii) Πολλαπλασιάζοντας εξωτερικώς και τα δύο µέλη της () µε το σταθερό διάνυσµα h = L / µ = v ( ) παίρνουµε: d % h ' & = - GM % h 3 ' & d v h % ' & ( = - GM + * ( v ) ) 3 -, d ( ) = - GM v h Όµως έχουµε: ( d % + 3 * ' - (4) ) &,

12 = e d = d e + d e d % ( ' = d e & + d e % + * ' - ) &, d % ' = d % e & ' + d e % ' = d e % ' & & & οπότε η (4) γράφεται: d ( ) = - GM v h ( d e % + 3 * ' - (5) ) &, Χρησιµοποιώντας την διανυσµατική ταυτότητα: [ A ( B C )] = ( A C ) B - ( A B ) C θα έχουµε: ( d e % + * ' - =. d e % ' - (. ) d e ) &, & = e. d e % ' d e - 3 & ( d e % + * ' - = d e - 3 ) &, = de -3 οπότε η (5) γράφεται: d ( ) = GM v h d v h 3 ( ) = GMd de 3 Ολοκληρώνοντας την (6) παίρνουµε: ( ) = GM v h d ( ) = GM d v h e (6) e + k (7) όπου k σταθερό διάνυσµα που θα καθορισθεί από τις αρχικές συνθήκες κίνη σης της µάζας µ. Πολολαπλασιάζοντας εσωτερικά και τα δύο µέλη της (7) µε το διάνυσµα θα έχουµε: [ ( v h )] = GM e ( ) + ( k ) h ( h ) = GM + k k, e ( v ) h = GM e ( ) + ( k ) ( ) h = GM + k ( k, ) (8)

13 Εάν επιλέξουµε ως πολικό άξονα την διεύθυνση του σταθερού διανύσµατος k και ονοµάσουµε θ την πολική γωνία της µάζας µ την χρονική στιγµή t, τότε η (8) παίρνει την µορφή: h = GM + k = h GM + k = h / MG + (k/mg) (9) H (9) αποτελει την εξίσωση της τροχιάς της µάζας µ σε πολικές συντεταγ µένες, αντιστοιχεί δε η εξίσωση αυτή σε κωνική τοµή. iii) Στην περίπτωση που η ταχύτητα v της µάζας µ την χρονική στιγµή t= είναι κάθετη στο αντίστοιχο µοναδιαίο διάνυσµα e, τότε το διάνυσµα ( v h ) θα είναι συγραµµικό του e και σύµφωνα µε την σχέση (7) το διά νυσµα k θα είναι και αυτό συγραµµικό προς το e και θα ισχύει: v L /µ = GM + k v µv /µ = GM + k v - GM = k () Aν επιπλέον είναι m =m =m και v = /, τότε από την () προκύπτει: GM = mg + k k = και η (9) δίνει: = h MG = L / µ MG = v mg = δηλαδή στην περίπτωση αυτή η σχετική τροχιά του Σ ως προς το Σ είναι περιφέρεια κέντρου Σ και ακτίνας α. Παρατήρηση: O αναγνώστης ακολουθώντας ανάλογη πορεία µπορεί να δώσει λύση στο πα ρακάτω θέµα. Στο άτοµο του Υδρογόνου δεχόµαστε ότι, η αλληλεπίδραση µεταξύ του πυρήνα και του µοναδικού του ηλεκτρονίου ακολουθεί τον νόµο του Coulomb και ότι η µάζα του πυρήνα είναι πολύ µεγαλύ τερη σε σχέση µε την µάζα του ηλεκτρονίου. Να µελετηθεί η σχετι κή κίνηση του ηλεκτρονίου ως προς τον πυρήνα του ατόµου. P.M. fysikos