Aritmetička sredina Medijan Mod. Harmonijska sredina

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Aritmetička sredina Medijan Mod. Harmonijska sredina"

Transcript

1 MJERE CENTRALNE TENDENCIJE Aritmetička sredina Medijan Mod Geometrijska sredina Harmonijska sredina

2 MJERA CENTRALNE TENDENCIJE ili središnja vrijednost jest brojčana vrijednost koja reprezentira skupinu rezultata u slučajevima kada rezultati imaju tendenciju grupiranja oko neke vrijednosti.

3 ARITMETIČKA SREDINA _ Označava se X ili M (mean). Izračun iz sirovih rezultata: zbroj svih vrijednosti n u skupu rezultata podijeljen s ukupnim brojem rezultata. M = X / N Npr. 5, 6, 6, 7, 8 M= 32/5 = 6,4

4 Uvjetza izračunavanje aritmetičke sredine! Nepostojanje ekstremnih rezultata Ukoliko postoje: izbaciti ih! Npr. 10, 12, 14, 13, 35, 11, 16

5 ARITMETIČKA SREDINA Kod velikog broja rezultata koji su grupirani u razrede: M = (m x f) / N, gdje je m sredina razreda, a f frekvencija. Npr. Date su frekvencije dobi zaposlenika u nekoj većoj organizaciji Interval f M = (24,5*146)+(34,5*210)+(44,5*151) (54,5*121)+(64,5*88) / 716 = = / 716 = = 41,636

6 Zajednička aritmetička sredina se koristi ako smo neku pojavu izmjerili iliviše puta i svaki put izračunali č aritmetičku sredinu. U tom slučaju ne smijemo zbrojiti sve aritmetičke sredine i podijeliti ih njihovim brojem, jer je aritmetička sredina, kao težište žš rezultata osjetljiva na vrijednost i broj rezultata. To znači da bi zajednička aritmetička sredina zbog jedne ekstremne aritmetičke sredine mogla biti značajno pomaknuta, a moguće ć je da je ta aritmetička tičk sredina dobivena iz malog broja mjerenja, j pa ona u ukupnom broju mjerenja ne bi smjela imati značajniji utjecaj. zajednička M = NiMi / Ni

7 Primjer za zajedničku aritmetičku sredinu Mjerenje N M N*M ,5 102, ,1 392, ,2 777 Σ= 97 Σ=2152,2 zajed. M= 2152,22 / 97 = 22, 187

8 Medijan (C) = centralna vrijednost vrijednost koja se nalazi točno u sredini u nizu rezultata poredanih po veličini. Formula za izračunavanje položaja centralne vrijednosti: C= (N + 1) / 2 Tom formulom možemo izračunati da se medijan nalazi npr. na petom mjestu u nizu i onda očitamo tu vrijednost koja jecentralna vrijednost ili medijan.

9 Primjer izračunavanja medijana Redni broj rezultata Rezultat Položaj C= (5+ 1) / 2 = 3 C= 6

10 Mod (D) = dominantna vrijednost vrijednost koja je u nizu mjerenja najčešće postignuta, odnosno vrijednost s najvećom frekvencijom. Npr. 5, 6, 6, 7, 8 Rezultat Frekvencija D= 6 (f=2)

11 Geometrijska sredina (G) (logaritamska sredina) definira se kao n ti korjen iz umnožaka između N brojeva. G=N X 1 X 2.X n ne može se računati č ako je bilo koji kjibroj nula ili negativan. najčešće se koristi kao mjera prosječne brzine nekih promjena.

12 Primjer 1 Neko je mjesto imalo 2000 stanovnika, stanovnika, a godine stanovnika. Koliko je prosječno porasla populacija svake godine? broj stanovnika 4,5 puta veći nego X1 = 4, broj stanovnika 2 puta veći nego X2 = 2 G= 2 4,5x 2 = 9 = 3. Populacija je u prosjeku rasla 3 puta godišnje.

13 Primjer 2. Prosječna č plaća ć se od 1997 do 2002 mijenjala na slijedeći ć način: č g kn g kn g kn g kn g kn g kn Koliko je prosječno plaća rasla godišnje?

14 Primjer 2 Rješenje Prosječnaplaća se od1997do2002mijenjala do naslijedeći način: g kn g kn 1, g kn 1,0553 1, g kn 1, g kn 1, g kn G 51,0232*1,0553*1,0454*1,01797*1, 0789 = 5 1, = 1,044 Provjera *1,044*1,044*1,044*1,044*1,044= 3790

15 Harmonijska sredina (H) definira se kao recipročna vrijednost aritmetičke sredine recipročnih vrijednosti numeričke varijable H N 1 x Koristi se rijetko, uglavnom kada se želi dobiti prosjek nekih odnosa.

16 Primjer 1 Ako udaljenost dlj od 200 km neki vozač č u jednom jd smjeru prođe brzinom od 50 km/h, a u povratku brzinom 100 km/h, kolika je prosječna brzina tog vozača tokom cijelog puta? Dakle, H prosječna brzina nije 66,7 75 km/h / h jer time u račun ne bismo 0,03 2 uzeli i vrijeme Naime, 1 50 da je on jedan sat vozio 100, a drugi sat 50 km/h, onda bi prosječna brzina bila 75. Ali on je 200 km prošao u jednom smjeru za 4 sata (kada je brzina bila 50 km/h), a u drugom smjeru za 2 sata (kada je vozio 100 km/h). To je ukupno 6 sati, a 400 / 6= 66,7

17 Primjer 2 Da bi se dobio povrat uloženih 1 mil kn putem ulaganjau investicijski projekt A potrebno je 12 mj, ulaganjem u projekt B 6 mj, i u projekt C 4 mj. Ako investitor ima uložen isti iznos, tj, 1 mil kn u sva tri projekta tijekom razdoblja od 12 mj, koliko je u tom slučaju prosječno vrijeme povrata jedinice uloženog kapitala?

18 Primjer 2. Rješenje H= 3/ ( 1/12+1/6+1/4)=66 mj U ovom bi slučaju bilo pogrešno računati aritmetičku sredinu (12+6+4)/3=7,33 mj. Naime, u razdoblju investiranja od 12 mj investicija A rezultirala je s 1 mil kn, investicija B s 2 mil kn, i investicija C s 3 mil kn (ukupno 6 mil kn)). Pomnožimo li 7,33 mj s 6 mil kn dobivamo znatno više od 36 mj (koliko je trajalo vrijeme ulaganja u sva tri projekta zajedno (12mj *3). Naime, ukupno vrijeme investiranja podijeljeno rezultirajućim kapitalom daje prosječno vrijeme povrata jedinice uloženog kapitala. Stoga, g, traženi posjek pomnožen rezultiajućim kapitalom mora dati ukupno vrijeme investiranja. Tom zahtjevu udovoljava harmonijska sredina. U ovom slučaju ona iznosi: 6 mj, a kad pomnožimo dobiveni rezultat dobiveni rezultat s 6 tj. s rezultirajućim kapitalom, dobivamo 36 tj broj mjeseci trajanja svih ulaganja.

19 Zadaci za vježbu

20 1. zadatak Izračunati aritmetičku sredinu, medijan i modza slijedeći niz rezultata:

21 1. Zadatak Rješenje M = 1212/10 = 121,2 Pol C = (10+1)/2 = 11/2 = 5.5 C = 119 D = 118

22 2. Zadatak Izračunati aritmetičku sredinu iz grupiranih rezultata: Razred Sredina razreda Frekvencija (m) (f)

23 2. Zadatak Rješenje M= (mxf)/n= 5590/25=223,6

24 3. Zadatak Neki je anketar u tri različita grada kupovao papir za istraživačke svrhe. Prosječna cijena pakovanja papira u pojedinom gradu, kao i broj kupljenih pakovanja u svakom od tri grada navedeni su dolje. Koliko je tog anketara prosječno stajalo svako pakovanje papira? p Grad Cijena pakovanja Broj kupljenih pakovanja papira Šibenik 41,00 kn 5 Split 35,00 kn 15 Zadar 37,00 kn 9

25 3. Zadatak Rješenje M= Mi*Ni /N= 1063/29=36.66

26 MJERE VARIJABILNOSTI Raspon Srednje odstupanje Standardna devijacija Koeficijent varijabilnosti Poluinterkvartilno raspršenje

27 Varijabilnost? Kod mjerenja određenih pojava, rezultati često imaju tendenciju grupiranja oko srednje vrijednosti koja bi trebala reprezentirati skup rezultata. Ako su vrijednosti nekog niza mjerenja gusto grupirane oko srednje vrijednosti tada ona dobro reprezentira rezultate. Kod minimalnog grupiranja rezultata srednja vrijednost g g p j j j slabo reprezentira rezultate.

28 Varijabilnost? Npr. ako su rezultati nekog niza mjerenja svi jednaki, onda je taj rezultat središnja vrijednost, i ona dobro reprezentira rezultate, a distribucija izgleda ovako: M

29 Varijabilnost? Ako su svi rezultati u mjerenju neke pojave različiti i ne pokazuju tendenciju grupiranja, onda aritmetička sredina ne reprezentira dobro rezultate, a distribucija izgleda ovako: M

30 Varijabilnost? Mjera centralne tendencije sama po sebi nije dovoljan reprezentant trezultata. t Potrebno je znati i kako se rezultati grupiraju oko aritmetičke sredine, odnosno kakva je distribucija. Na taj način saznajemo i koliko dobro aritmetička sredina reprezentira rezultate.

31 Mjere varijabilnosti ukazuju na to koliko rezultati variraju oko srednje vrijednosti.

32 RASPON Raspon je razlika između đ najvećeg ć i najmanjeg j rezultata u skupini. Njjd Najjednostavnija, ali i najmanje j precizna mjera varijabilnosti. Npr: U skupini rezultata 1, 34, 6, 27, 33, 17, raspon rezultata je 34 1=33. Nedostaci ove mjere: jedan ekstremni rezultat znatno povećava raspon, a i obično je veći što je veći broj mjerenja j neke pojave.

33 SREDNJE ODSTUPANJE prosječna veličina odstupanja pojedinačnih rezultata od aritmetičke sredine, bez obzira na smjer odstupanja. X M / N Primjer: 5, 5, 2, 6, 4 M=4,4, N=5, =22 5 4,4 =0,6 5 4,4 =0,6, 2 4,4 =2,4 6 4,4 =1,6 4 4,4 =0,4 =5,6 Srednje odstupanje = 5, 6 / 5 = 1,12 Rezultati prosječno odstupaju od aritmetičke sredine za 1,12. Srednje odstupanje daje informacije o načinu grupiranja rezultata, ali se ne koristi jer se iz njega ne mogu izvoditi daljnja računanja.

34 STANDARDNA DEVIJACIJA i VARIJANCA Standardna devijacija je mjera koja pokazuje kako se gusto rezultati nekog mjerenja grupiraju oko aritmetičke sredine. Koristi se uz aritmetičku sredinu kao mjeru centralne tendencije i ima smisla ako su rezultati normalno distribuirani ili barem približno normalno. Jedan od načina da se izbjegnu predznaci odstupanja je da se odstupanja kvadriraju. Ako se kvadrirana odstupanja zbroje i izračuna im se aritmetička sredina, dobija se mjera varijabiliteta koja se zove VARIJANCA. To je prosječna suma kvadriranih odstupanja. V= (X M) 2 / N 1 Taj je pojam varijance nemoguće grafički predočiti. Ipak, drugi korijen iz varijance može se prikazati kao potpuno definirani razmak na skali rezultata. To je STANDARDNA DEVIJACIJA (sd ili ) jer se koristi kao standard za mjerenje varijabiliteta rezultata sd= V = sd 2

35 Standardna devijacija M± 1sd=68,26% rezultata M± 2sd=95,44% rezultata M± 3sd=99,73% rezultata

36 Izračunavanje standardne devijacije iz sirovih rezultata Sd ili Sd ( X M N 1 2 ) 2 ( ) 2 X X N N 1

37 Primjer Rezultati: 5, 5, 2, 6, 4 M=4.4, 4 N=5, =22

38 N 1 umjesto N N bi se u nazivniku moglo koristiti kada bi imali sve rezultate iz populacije. p Budući da to najčešće nije slučaj jer raspolažemo samo određenim uzorkom iz populacije, nikad ne računamo pravu aritmetičku sredinu populacije ni standardnu devijaciju populacije. Korištenjem N 1 u nazivniku dobija se bolja aproksimacija.

39 Izračunavanje sd iz grupiranih rezultata Tablica potrebno: m = sredina razreda f = frekvencija X = intervalna udaljenost m od privremene M (sredina razreda s najvećom frekvencijom):1, 2, 3... fx = f *X fx 2 = fx *X N = Σ f i = br rezultata u razrednom intervalu i fx' 2 N ( 1 fx') 2 N

40 Izračunavanje sd iz grupiranih rezultata Primjer. Date su frekvencije dobi zaposlenika u nekoj većoj organizaciji: Raz. interval f m X' fx' f x' , , , , , i=10 Σ=716 Σ=511 Σ= ,

41 Drugi način računanja M i sd iz grupiranih rezultata: d' ( f M M' ( i * ) * i N gdje je: d'=m d=m-m sd d' ( ) 2 * f ( i * i 2 ) ( M M') N 2 m=sredina razreda M'=provizorna M (s najvećom f)

42 Isti primjer na 2. način Raz. interval f m d d' i d ' * i f ( d' ) f i 2 * , , , , , i= M 34,5 * , sd ( *100) (41,64 34,5) 2 12,99 716

43 ZAJEDNIČKA STANDARDNA DEVIJACIJA Zaj. Sd iz više nezavisnih uzoraka jest korijen sume svih standardnih devijacija. j Sd Sd 1 Sd 2 Sd 3 Sd 4... Sdn

44 KOEFICIJENT VARIJABILNOSTI Ako postoje dij dvije jednake jd aritmetičke tičk sredine i njihove standardne d devijacije, onda je na temelju s. d. relativno lako zaključiti koji rezultati više variraju. Međutim, đ kada se uspoređuju đ različite aritmetičke tičk sredine teško je procijeniti samo na temelju s. d. koji su rezultati relativno varijabilniji. Npr. sd=10 ne znači isto za skupinu rezultata t čija je aritmetička tičk sredina 2 i 100. Da bi se mogla uspoređivati varijabilnost različitih pojava, koristi se KOEFICIJENT VARIJABILNOSTI koji pokazuje koliki postotak vrijednosti aritmetičke sredine iznosi vrijednost standardne devijacije.

45 KOEFICIJENT VARIJABILNOSTI Sd V X 100 Koristi kada se želi utvrditi u kojem svojstvu neka grupa varira više, a u kojem manje ili koja od grupa varira više, a koja manje u istom svojstvu.

46 Primjer 1 Na skupini iod N= 612 ispitanika, it ik primjenjeni j isu test numeričkih sposobnosti i test riječnika. Date su M i sd, a zanima nas u kojem od ta dva svojstva ispitanici više variraju. M1= 134, 4 sd1= 6, 06 M2= 29, 2 sd2= 3, 89 V1= 6, 06x100/134,4= 4, 51% V2= 3, 89x100 / 29, 2= 13, 32% Dakle, više variraju u drugom svojstvu!

47 Primjer 2 Utvrđeno je da 10 godišnje djevojčice imaju visinu M=134,9 cm sd=6,43, a dječaci č M=134,4 cm, sd=6,06. Variraju li u visini više dječaci ili djevojčice?

48 Rješenje Djevojčice: V= (6.43*100)/134.9=4.77% Dječaci: V= (6.06*100)/124.4=4.51% Djevojčice nešto više variraju u visini od dječaka.

49 Zadaci za vježbu

50 1 zadatak Iz seta rezultata: izračunajte raspon, srednje odstupanje i standardnu devijaciju.

51 1. Zadatak rješenje Raspon = 7 Srednje odstupanje = 2.22 Sd = 2.66

52 2. Zadatak Iz grupiranih rezultata izračunajte sd: m f

53 Sd= Zadatak rješenje

54 3. Zadatak. Iz grupiranih rezultata izračunajte M, sd i koef. varijabilnosti. i f

55 3. Zadatak rješenje M= sd=5.94 koef.varijabilnosti=3,42%

56 4. zadatak Date su aritmetičke sredine i standardne devijacije; izračunajte koef.varijabilnosti. M1=67,2 sd1=5,3 M2=83,4 sd2=5,8

57 4. Zadatak rješenje k. V1= (5,3*100)/67,2=7,89 k. V2= (5,8*100)/83,4=6,95

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

MERE DISPERZIJE ( VARIJABILNOSTI )

MERE DISPERZIJE ( VARIJABILNOSTI ) MERE DISPERZIJE ( VARIJABILNOSTI ) 1. RASPON VARIJACIJE 2.KVARTILNO ODSTUPANJE 3.PROSEČNO ODSTUPANJE 4.STANDARDNA DEVIJACIJA 5.KORELACIJA 6.STATISTIČKI POSTUPCI PRI BAŽDARENJU MERE DISPERZIJE Pokazatelji

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

(BIO)STATISTIKA. seminari. smjer: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija. pripremila: dr.sc. Iva Franjić

(BIO)STATISTIKA. seminari. smjer: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija. pripremila: dr.sc. Iva Franjić (BIO)STATISTIKA seminari smjer: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija pripremila: dr.sc. Iva Franjić Sadržaj DESKRIPTIVNA STATISTIKA 4. Grafički prikaz podataka..................... 4. Srednje vrijednosti

Διαβάστε περισσότερα

STATISTIKA. KONCEPTI : POPULACIJA i UZORAK. Primjer: svi glasači, samo neki glasači

STATISTIKA. KONCEPTI : POPULACIJA i UZORAK. Primjer: svi glasači, samo neki glasači STATISTIKA KONCEPTI : POPULACIJA i UZORAK Primjer: svi glasači, samo neki glasači populacija uključuje sve podatke, a uzorak samo dio, slučajno izabranih kako procjeniti reprezentativni element? MJERE

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

Metode prognoziranja na vremenskim nizovima

Metode prognoziranja na vremenskim nizovima Metode prognoziranja na vremenskim nizovima Pomoću ovih metoda buduće vrijednosti prognoziraju se na temelju povijesnih podataka. Pravila po kojima se ponašaju podaci iz prošlosti primjenjuje se na buduće

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

Dirichletov princip. Dirichletov princip je jedan od najjednostavnijih elementarnih kombinatornih principa. U najjednostavnijem

Dirichletov princip. Dirichletov princip je jedan od najjednostavnijih elementarnih kombinatornih principa. U najjednostavnijem Dirichletov princip Dirichletov princip je jedan od najjednostavnijih elementarnih kombinatornih principa. U najjednostavnijem obliku glasi ovako: Dirichletov princip: Ako n + 1 predmet rasporedimo kako

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije više varijabli

Funkcije više varijabli VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Poglavlje 1 Funkcije više varijabli 1.1 Domena Jedno od osnovnih pitanja

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

SLUČAJNA PROMENLJIVA I RASPOREDI VEROVATNOĆA

SLUČAJNA PROMENLJIVA I RASPOREDI VEROVATNOĆA SLUČAJNA PROMENLJIVA I RASPOREDI VEROVATNOĆA CILJEVI POGLAVLJA Nakon čitanja ovoga poglavlja bićete u stanju da: 1. razumete pojmove slučajna promenljiva, raspored verovatnoća, očekivana vrednost i funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

UREĐAJU NA SKUPU REALNIH BROJEVA

UREĐAJU NA SKUPU REALNIH BROJEVA **** MLADEN SRAGA **** 00. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE UREĐAJU NA SKUPU REALNIH BROJEVA JEDNADŽBE NEJEDNADŽBE APSOLUTNE JEDNADŽBE APSOLUTNE NEJEDNADŽBE

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Str

Str Str. Testiranje statističkih hipoteza Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Definicija: Hipoteza predstavlja pretpostavku koja je zasnovana na određenim činjenicama (najčešće

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

PREDMECI ZA TVORBU DECIMALNIH JEDINICA

PREDMECI ZA TVORBU DECIMALNIH JEDINICA OSNOVNE S. I. JEDINICE Naziv jedinice Znak jedinice Fizikalna veličina i znak metar m duljina s, d, l kilogram kg masa m sekunda s vrijeme t amper A jakost električne struje I, i kelvin K termodinamička

Διαβάστε περισσότερα

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v

Διαβάστε περισσότερα

Projektovanje informacionih sistema 39

Projektovanje informacionih sistema 39 Projektovanje informacionih sistema 39 Glava 3 3.0 Osnove relacione algebre - uvod Za manipulisanje podacima i tabelama u relacionim bazama podataka potrebna su osnovna znanja iz relacione algebre. Relaciona

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto?

Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto? Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto? Franka Miriam Brückler Igor Pažanin Zagreb, 2012. Sadržaj 1 Uvod 7 1.1 Varijable i konstante............................

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Prirodni i cijeli brojevi

1.1. Prirodni i cijeli brojevi BROJEVI Upitate li nekoga, kome matematika i nije osobito bliska, c ime se matematic ari bave, moz ete oc ekivati odgovor: brojevima! I premda bas i nije toc an, odgovor nije neobic an. Jer, prva iskustva

Διαβάστε περισσότερα

Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1

Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1 Uvod u numeričku matematiku Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1 1 Odjel za matematiku Sveučilište u Rijeci Numerička integracija O problemima integriranja

Διαβάστε περισσότερα

ORTODROMSKA, LOKSODROMSKA I KOMBINIRANA PLOVIDBA

ORTODROMSKA, LOKSODROMSKA I KOMBINIRANA PLOVIDBA David Brčić ORTODROMSKA, LOKSODROMSKA I KOMBINIRANA PLOVIDBA Riješeni zadaci DAVID BRČIĆ LOKSODROMSKA PLOVIDBA I. Loksodromski zadatak (kurs i udaljenost): tgk= II. Loksodromski zadatak (relativne koordinate):

Διαβάστε περισσότερα

Preporuke za rješavanje ispita iz Matematike

Preporuke za rješavanje ispita iz Matematike Preporuke za rješavanje ispita iz Matematike Tijekom ocjenjivanja nacionalnih ispita i ispita državne mature, neovisno o razini, uvidjeli smo neke probleme pri rješavanju zadataka. Ovdje želimo navesti

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA

MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA 1 Merenje Svaki eksperimentalni rad u fizici praćen je merenjem neke fizičke veličine. Izmeriti neku fizičku veličinu znači uporediti je sa standardnom

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI)

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) Rozarija Jak²i 5. travnja 03. UVOD U FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI.. Domena funkcija dviju varijabli Jedno od osnovnih pitanja koje se moºe postaviti za realnu funkciju dvije

Διαβάστε περισσότερα

2.2. Analiza vremena Pert metodom

2.2. Analiza vremena Pert metodom 2.2. Analiza vremena Pert metodom Dok je kod CPM metode poznato samo jedno vreme trajanja aktivnosti t, kod Pert metode dane su tri procjene: a - optimistično vreme (najkraće moguće vreme u kojemu se može

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) x y

( ) ( ) ( ) ( ) x y Zadatak 4 (Vlado, srednja škola) Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 4.8 m, a mala 4. m. U nju treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko

Διαβάστε περισσότερα

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Ciljevi učenja Ciljevi učenja za predavanja i vježbe: Integral kao antiderivacija Prepoznavanje očiglednih supstitucija Metoda supstitucije-složeniji

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015.

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Matematika Viša razina Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Autor: Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Naslov: Matematika Viša razina Izdanje: 4. izdanje Urednica: Ana Belin,

Διαβάστε περισσότερα

f[n] = f[n]z n = F (z). (9.2) n=0

f[n] = f[n]z n = F (z). (9.2) n=0 9. Z transformacija 9.. Z transformacija Z transformacija nia brojeva {f[n]} a koje vrijedi je Z [ f[n] ] = f[n] = 0, n < 0 9.) f[n] n = F ). 9.) Ovom transformacijom niu brojeva {f[n]} pridružuje se funkcija

Διαβάστε περισσότερα

A 2 A 1 Q=? p a. Rješenje:

A 2 A 1 Q=? p a. Rješenje: 8. VJEŽBA - RIJEŠENI ZADACI IZ MEANIKE FLUIDA. Oreite minimalni protok Q u nestlačiom strujanju fluia ko koje će ejektor početi usisaati flui kroz ertikalnu cječicu. Zaano je A = cm, A =,5 cm, h=,9 m.

Διαβάστε περισσότερα

Ekstremi funkcije jedne varijable

Ekstremi funkcije jedne varijable maksimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) < f(x 0 ) (1) za po volji male vrijednosti h minimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) > f(x

Διαβάστε περισσότερα

pomoću tih sedam osnovnih veličina. Izvedene veličine imaju izvedene jedinice. Naziv jedinice Znak jedinice Fizikalna veličina i znak

pomoću tih sedam osnovnih veličina. Izvedene veličine imaju izvedene jedinice. Naziv jedinice Znak jedinice Fizikalna veličina i znak 1. Mjerne jedinice 1. lekcija Fizika je prirodna znanost koja opisuje tvari, energiju, prostor, vrijeme i interakcije na sasvim fundamentalnom nivou. Fizičari proučavaju pojave, stanja i zbivanja, te traže

Διαβάστε περισσότερα

Tačno merenje Precizno Tačno i precizno

Tačno merenje Precizno Tačno i precizno MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA Izmeriti neku veličinu u fizici znači naći brojni odnos merene fizičke veličine prema vrednosti iste fizičke veličine, koja je dogovorno izabrana za jedinicu.

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA ODLUČIVANJA DECISION ANALYSIS

TEORIJA ODLUČIVANJA DECISION ANALYSIS DONOŠENJE ODLUKA U UVJETIMA NEIZVJESNOSTI I RIZIKA TEORIJA ODLUČIVANJA DECISION ANALYSIS NEIZVJESNOST- situacija koja može rezultirati s više različitih ishoda (ne nužno i negativnih) RIZIK- šansa ili

Διαβάστε περισσότερα

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Matematika 1 Marcela Hanzer Department of Mathematics, University of Zagreb Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Skupovi; brojevi Skupovi osnovni pojam u matematici (ne svodi

Διαβάστε περισσότερα

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable Sadržaj 1 DIFERENCIJALNI RAČUN 3 1.1 Granična vrijednost i neprekidnost funkcije........... 3 1.2 Derivacija realne funkcije jedne varijable............ 4 1.2.1 Pravila deriviranja....................

Διαβάστε περισσότερα

Rizik i nesigurnost I. Rizik i njegovo mjerenje; sklonost ka riziku

Rizik i nesigurnost I. Rizik i njegovo mjerenje; sklonost ka riziku Sveučilište u Zagrebu Fakultet elektrotehnike i računarstva Inženjerska ekonomika (41251) Zagreb, 11. svibnja 2013. Rizik i nesigurnost I. Rizik i njegovo mjerenje; sklonost ka riziku Bilješke s predavanja

Διαβάστε περισσότερα

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014 Nermin Okičić Vedad Pašić MATEMATIKA II 014 Sadržaj 1 Funkcije više promjenljivih 1 1.1 Pojam funkcije više promjenljivih................ 1.1.1 Osnovni elementi preslikavanja.............. 1.1. Grafičko

Διαβάστε περισσότερα

ISKAZI. U svakodnevnom govoru, a i u pisanom tekstu, obično se sreću rečenice koje su ili tačne

ISKAZI. U svakodnevnom govoru, a i u pisanom tekstu, obično se sreću rečenice koje su ili tačne ISKAZI U svakodnevnom govoru, a i u pisanom tekstu, obično se sreću rečenice koje su ili tačne ili netačne, tj rečenice koje imaju logičkog smisla.ovakve rečenice se u matematici nazivaju iskazi.dakle,

Διαβάστε περισσότερα

KONTROLA KVALITETE. Prof.dr.sc.Vedran Mudronja

KONTROLA KVALITETE. Prof.dr.sc.Vedran Mudronja KONTROLA KVALITETE Prof.dr.sc.Vedran Mudronja DEFINICIJA KVALITETE Ishikawa o kvaliteti: Kvaliteta je ekvivalent sa zadovoljstvom kupca. Kvaliteta mora biti definirana opsežno. Nije dovoljno samo reći

Διαβάστε περισσότερα

Kontrola kvaliteta betona Projekat betona

Kontrola kvaliteta betona Projekat betona Kontrola kvaliteta betona Projekat betona Predavanje, 08.01.2013. Pripremili: Doc.dr. Merima Šahinagić-Isović Asis. Marko Ćećez SADRŽAJ Kontrola kvaliteta betona: Opće postavke Partije betona Kontrola

Διαβάστε περισσότερα

Nizovi Redovi Redovi funkcija. Nizovi i redovi. Franka Miriam Brückler

Nizovi Redovi Redovi funkcija. Nizovi i redovi. Franka Miriam Brückler Nizovi i redovi Franka Miriam Brückler Nabrajanje brojeva poput ili 1, 2, 3, 4, 5,... 1, 2, 4, 8, 16,... obično se naziva nizom, bez obzira je li to nabrajanje konačno (do nekog zadnjeg broja, recimo 1,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 2 / 192 prof.dr.sc. Miljenko Marušić Kontakt: miljenko.marusic@math.hr Konzultacije: Utorak, 10-12 WWW: http://web.math.pmf.unizg.hr/~rus/ nastava/ma1/ma1.html 3 / 192 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

GRAFOVI. Ljubo Nedović. 21. februar Osnovni pojmovi 2. 2 Bipartitni grafovi 8. 3 Stabla 9. 4 Binarna stabla Planarni grafovi 12

GRAFOVI. Ljubo Nedović. 21. februar Osnovni pojmovi 2. 2 Bipartitni grafovi 8. 3 Stabla 9. 4 Binarna stabla Planarni grafovi 12 GRAFOVI Ljubo Nedović 21. februar 2013 Sadržaj 1 Osnovni pojmovi 2 2 Bipartitni grafovi 8 3 Stabla 9 4 Binarna stabla 11 5 Planarni grafovi 12 6 Zadaci 13 1 2 1 Osnovni pojmovi Iz Vikipedije, slobodne

Διαβάστε περισσότερα

SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I. Skupovi, funkcije, brojevi

SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I. Skupovi, funkcije, brojevi SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I Skupovi, funkcije, brojevi mr.sc. TATJANA STANIN 009. Kratak pregled predavanja koja se izvode na učiteljskom

Διαβάστε περισσότερα

Devizno tržište. Mart 2010 Ekonomski fakultet, Beograd Irena Janković

Devizno tržište. Mart 2010 Ekonomski fakultet, Beograd Irena Janković Devizno tržište Devizni urs i devizno tržište Devizni urs - cena jedne valute izražena u drugoj valuti Promene deviznog ursa utiču na vrednost ative i pasive oje su izražene u stranoj valuti Devizni urs

Διαβάστε περισσότερα

Vjerojatnost. 1. Novčić bacamo 5 puta. Kolika je vjerojatnost da ćemo pritom ostvariti 3 puta pismo i 2 puta glava? (R: P = 5

Vjerojatnost. 1. Novčić bacamo 5 puta. Kolika je vjerojatnost da ćemo pritom ostvariti 3 puta pismo i 2 puta glava? (R: P = 5 ZADACI SA VJEŽBI IZ KOLEGIJA STATISTIKA I OSNOVE FIZIKALNIH MJERENJA Vjerojatnost 1. Novčić bacamo 5 puta. Kolika je vjerojatnost da ćemo pritom ostvariti 3 puta pismo i 2 puta glava? (R: P = 5 16.) 2.

Διαβάστε περισσότερα

Dekompozicija DFT. Brzi algoritmi na bazi radix-2. Brza Furijeova transofrmacija. Tačnost izračunavanja. Kompleksna FFT OASDSP 1: 7 FFT

Dekompozicija DFT. Brzi algoritmi na bazi radix-2. Brza Furijeova transofrmacija. Tačnost izračunavanja. Kompleksna FFT OASDSP 1: 7 FFT OASDSP : 7 FFT Dkompozicija DFT Brzi algoritmi a bazi radix- Brza Furijova trasofrmacija Tačost izračuavaja Komplksa FFT ovi Sad, Oktobar 5 straa OASDSP : 7 FFT Brza trasformacija : itrativa dkompozicija

Διαβάστε περισσότερα

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije Sadržaj REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE 7. Elementarne funkcije....................... 7. Primjeri ekonomskih funkcija.................. 78.3 Limes funkcije........................... 8.4 Neprekidnost

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X

Διαβάστε περισσότερα

Studentov t-test. razlike. t = SG X

Studentov t-test. razlike. t = SG X Studentov t-test Najčešće upotrebljavan parametrijski test značajnosti za testiranje nulte hipoteze je Studentov t-test. Koristi se za testiranje značajnosti razlika između dve aritmetičke sredine. Uslovi

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Vježbe iz matematike 1

Vježbe iz matematike 1 Vježbe iz matematike B. Ivanković N. Kapetanović 8. rujna 005. Uvod Vježbe su tijekom dugog niza održavanja nadopunjavane. Osnovu vježbi napravila je Nataša Kapetanović, ing. matematike, a podebljao ih

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE Nada Miličić Miloš Miličić ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE II deo II izdanje Akademska misao Beograd, 2011 Dr Nada Miličić, redovni profesor Dr Miloš Miličić, redovni profesor ELEMENTI VIŠE MATEMATIKE II DEO

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe,

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, O SKUPOVIM Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, skupine, mnoštva neke vrste objekata, stvari, živih bića i dr. Tako imamo skup stanovnika nekog grada, skup

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ==========================

VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ========================== VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ========================== M. JOVANOVIĆ M. MERKLE Z. MITROVIĆ Elektrotehnički fakultet Banja Luka ================================== ii Autori: dr Milan

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcije 9 i 10 Elementarne funkcije. Funkcije važne u primjenama Vjeºbe iz Matematike 1. 9. i 10. Elementarne funkcije. Funkcije vaºne u primjenama

Διαβάστε περισσότερα

Fizika 1. Auditorne vježbe 5. Dunja Polić. Dinamika: Newtonovi zakoni. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva

Fizika 1. Auditorne vježbe 5. Dunja Polić. Dinamika: Newtonovi zakoni. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva Školska godina 2006/2007 Fizika 1 Auditorne vježbe 5 Dinamika: Newtonovi zakoni 12. prosinca 2008. Dunja Polić (dunja.polic@fesb.hr)

Διαβάστε περισσότερα

Nastavni tekstovi iz metodologije

Nastavni tekstovi iz metodologije Katedra za zdravstvenu psihologiju Zdravstveno veleučilište u Zagrebu Nastavni tekstovi iz metodologije Za kolegije: Metode istraživanja u fizioterapiji Osnove istraživačkog rada u sestrinstvu Osnove istraživanja

Διαβάστε περισσότερα

STVARANJE VEZE C-C POMO]U ORGANOBORANA

STVARANJE VEZE C-C POMO]U ORGANOBORANA STVAAJE VEZE C-C PM]U GAAA 2 6 rojne i raznovrsne reakcije * idroborovanje alkena i reakcije alkil-borana 3, Et 2 (ili TF ili diglim) Ar δ δ 2 2 3 * cis-adicija "suprotno" Markovnikov-ljevom pravilu *

Διαβάστε περισσότερα

Praktikum za drugi razred elektrotehničara

Praktikum za drugi razred elektrotehničara JU MJEŠOVITA ELEKTROTEHNIČKA I DRVOPRERAĐIVAČKA SREDNJA ŠKOLA BIHAĆ www.etsbi.edu.ba Praktikum za drugi razred elektrotehničara Interna skripta Igor Prša, ing. el. Bihać, 2011. Verzija: 2.0.1 2011/12

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

Polinomske jednaqine

Polinomske jednaqine Matematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava, xk.g. 2005/06. Polinomske jednaqine 13.6.2006. Naslov se odnosi na određivanje polinoma po jednoj ili vixe promenljivih (sa npr. realnim ili kompleksnim

Διαβάστε περισσότερα

Chi-kvadrat test. Chi-kvadrat (χ2) test

Chi-kvadrat test. Chi-kvadrat (χ2) test 1 Chi-kvadrat test Chi-kvadrat (χ2) test Test za proporcije, porede se frekvence Neparametarski test Koriste se dihotomne varijable Proverava se veza između dva faktora Npr. tretmana i bolesti pola i smrtnosti

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Kinematika jednodimenzionog kretanja

2.1 Kinematika jednodimenzionog kretanja Glava 2 Kinematika Gde god da pogledamo oko nas, možemo da uočimo tela u kretanju (u fizici je uobičajeno a se kaže u stanju kretanja ). Čak i kada smo u stanju mirovanja, naše srce kuca i na taj način

Διαβάστε περισσότερα