Η Έννοια της τυχαίας ιαδικασίας

Transcript

1 Η Έννοια ης υχαίας ιαδικασίας Η έννοια ης υχαίας διαδικασίας, βασίζεαι σην επέκαση ης έννοιας ης υχαίας µεαβληής, ώσε να συµπεριλάβει ο χρόνο. Σεκάθεαποέλεσµα s k ενόςπειράµαοςύχης ανισοιχούµε, σύµφωναµεκάποιοκανόνα, η χρονική συνάρηση x k. Η οικογένεια όλων αυών ων συναρήσεων καλείαι υχαία διαδικασία και δηλώνεαι µε. x δειγµαικός χώρος s 4 s s 3 s x x 3 Με άλλα λόγια µια υχαία διαδικασία είναι µια απεικόνιση ου δειγµαοχώρου σε ένα σύνολο από συναρήσεις που ονοµάζοναι δείγµα συνάρησης ή µέλος συνόλου ή πραγµαοποίηση ης διαδικασίας.

2 x x x 3 x 4 x 0 x x 0 x Σαισικές Mέσες Τιµές Η µέση ιµή συνόλου, ή η σαισική µέση ιµή µίας υχαίας διαδικασίας είναι µία νοµοελειακή συνάρηση ου χρόνου η οποίασεκάθεχρονικήσιγµή 0 είναιίσηµεη µέσηιµήηςυχαίαςµεαβληής 0 Για η χρονική σιγµή 0 ορίζεαι η υχαία µεαβληή 0 µεσοιχεία [ x, x, x, x,...] µε συνάρηση πυκνόηας πιθανόηας x ; 0 ή 0 x 0 E[ 0 ] x x ; 0 dx Ψηφιακή Μεάδοση Αναλογικών Σηµάων 7-4-

3 Εξεάζονας µία επί µέρους πραγµαοποίηση ης υχαίας διαδικασίας έχουµε µία νοµοελειακήσυνάρησηουχρόνουην x k ήην x; ω k. x k x k x k ίσα εµβαδά x k Βασιζόµενη ση συνάρηση αυή µπορούµε να βρούµε η χρονική µέση ιµή ης υχαίας διαδικασίας x; ω k ως x x ; ω k d [ ; ωk ] li Η χρονική µέση ιµή συµβολίζεαι και ως [ x ; ωk ] x ; ωk x ; ωk [ xk ] xk Η χρονική µέση ιµή είναι ένας πραγµαικός αριθµός ανεξάρηος ου χρόνου αλλά, ενγένει, εξαράαι από ην επιµέρους πραγµαοποίηση η οποία επιλέχθηκε. Ψηφιακή Μεάδοση Αναλογικών Σηµάων 7-4-3

4 x x x 3 x 4 x x 3 Συναρήσεις Συσχέισης Τυχαίας ιαδικασίας x x 4 x x x 3 x 4 Γιαιςχρονικέςσιγµές και ορίζoναιοιυχαίες µεαβληές και µεσοιχεία Η συνάρηση αυοσυσχέισης συνόλου υχαίας διαδικασίας ορίζεαι ως ή [ x, x, x, x,...] 3 4 [ x, x, x, x,...] 3 4 η δεύερης άξης συνάρηση πυκνόηας πιθανόηας είναι x, x ή x, x;, [ ], E [ ], E Ψηφιακή Μεάδοση Αναλογικών Σηµάων 7-4-4

5 Μία υχαία διαδικασία είναι σαική µε ην ευρεία έννοια W Wide ense ionry ή απλά σαική όαν [ ], E Σαικές ιαδικασίες [ ] E σαθερή Μία υχαία διαδικασία µε µέση ιµή και συνάρηση αυοσυσχέισης, ονοµάζεαικυκλοσαικήόαν 0 Γιαόλαα και. 0, 0, Ψηφιακή Μεάδοση Αναλογικών Σηµάων 7-4-5

6 Τυχαίες ιαδικασίες και Γραµµικά Συσήµαα Υποθέουµε όι µία σαική διαδικασία είναι η είσοδος σο γραµµικό χρονικά αναλλοίωο σύσηµα που έχει κρουσική απόκριση h, και η υχαία διαδικασία εξόδου δηλώνεαι µε Y h Γιαηµέσηιµήσυνόλουηςεξόδουέχουµε Y h d h Y h d Για η συνάρηση αυοσυσχέισης εξόδου έχουµε h YY h h Η συνάρηση αυοσυσχέισης ης εξόδου εξαράαι µόνο από ο εποµένως η διαδικασία εξόδου είναι σαική. εδοµένου όι και η συνάρηση διασυσχέισης ων διαδικασιών εισόδου-εξόδουεξαράαιµόνοαπόοοιδιαδικασίεςείναικαισυνδυασµένεςσαικές. Ψηφιακή Μεάδοση Αναλογικών Σηµάων 7-4-6

7 Φασµαικά Χαρακηρισικά Τυχαίας ιαδικασίας Για ένα νοµοελειακό σήµα x οι φασµαικές ιδιόηες περιγράφοναι από ο µεασχηµαισµό Fourier x j π e d όπου είναιηφασµαικήπυκνόηαάσης vole densiy specru Το σήµα x µπορεί να ανακηθεί µε ον ανίσροφο µεασχηµαισµό Fourier x e j π d Η περιγραφή υχαίας διαδικασίας µέσω ου φάσµαος πυκνόηας άσης δεν είναι πάνα εφική. Για ο λόγο αυό χρησιµοποιούµε η φασµαική πυκνόηα ισχύος ης υχαίας διαδικασίας Η µέση ισχύς ης διαδικασίας βρίσκεαι µε ο ολοκλήρωµα P d Ψηφιακή Μεάδοση Αναλογικών Σηµάων 7-4-7

8 Τυχαίες ιαδικασίες και Γραµµικά Συσήµαα H Y Γιαηµέσηιµήσυνόλουηςεξόδουέχουµε H Y H 0 Για ις συναρήσεις φασµαικής πυκνόηας ισχύος έχουµε H Y H H H Y H H Y Ψηφιακή Μεάδοση Αναλογικών Σηµάων 7-4-8

9 Ιδιόηες ης Φασµαικής Πυκνόηας Ισχύος Η είναιπραγµαική 0 P, όαν η είναι πραγµαική { [ ]} d E F [ ] Αν η είναι ουλάχισον σαική µε ην ευρεία έννοια όε F Η χρονική µέση ιµή συνάρισης είναι [ ] li d περιοδική συνάρηση d Ψηφιακή Μεάδοση Αναλογικών Σηµάων 7-4-9

10 Το Φάσµα Ισχύος Ψηφιακά ιαµορφωµένων Σηµάων Το Φάσµα Ισχύος ου Σήµαος Βασικής Ζώνης υ n n n Το ισοδύναµο χαµηλοπεραό σήµα βασικής ζώνης ενός ψηφιακού PM, PK ή QM γράφεαι γενικά ως όπουα n είναιηακολουθίαιµώνπουεπιλέγοναιαπόέναασερισµό PM, PK ή QM και ανισοιχούνσασύµβολαπληροφορίαςηςπηγής, και είναιηκρουσικήαπόκρισηου φίλρου εκποµπής. Επειδήηακολουθία πληροφορίας {α n } είναιυχαία, ηυείναι µία συνάρηση δείγµα µίας υχαίας διαδικασίας. Η µέση ιµή ης υχαίας διαδικασίας, είναι E [ ] E[ n ] n n n Παραηρούµε όι η µέση ιµή ης είναι περιοδική συνάρηση µε περίοδο Τ. n Ψηφιακή Μεάδοση Αναλογικών Σηµάων 7-4-0

11 Η συνάρηση αυοσυσχέισης ης υχαίας διαδικασίας, είναι [ ] n n n E E ] [, * * Ενγένει, υποθέουµεόιηακολουθίαπληροφορίας {α n } είναισαικήυπόηνευρείαέννοιαµε συνάρησηαυοσυσχέισης n E[ * n ]εποµένως n n n, n n n εποµένως η υχαία διαδικασία είναι κυκλοσαική. Παραηρούµε όι η συνάρηση αυοσυσχέισης είναι περιοδική συνάρηση.,, Ψηφιακή Μεάδοση Αναλογικών Σηµάων 7-4-

12 Η φασµαική πυκνόηα ισχύος,, ης κυκλοσαικής υχαίας διαδικασίας,, προσδιορίζεαι αφού πρώα βρεθεί η χρονική µέση ιµή ης συνάρησης αυοσυσχέισης,, γιαµίαπερίοδοτ, καισησυνέχειαυπολογισείοµεασχηµαισµός Fourier ης µέσης χρονικής ιµής ης συνάρησης αυοσυσχέισης. Η χρονική µέση ιµή ης συνάρησης αυοσυσχέισης είναι ελικά, d Τ Τ n n d n n Τ Τ d nτ nτ d Ψηφιακή Μεάδοση Αναλογικών Σηµάων 7-4-

13 Ο µεασχηµαισµός Fourier ης χρονικής µέσης ιµής ης συνάρησης αυοσυσχέισης, δηλαδή, η φασµαική πυκνόηα ισχύος ου µεαδιδόµενου σήµαος είναι π d e j j d e π j j d e e ξ ξ ξ π π Αν είναιηφασµαικήπυκνόηαισχύοςηςακολουθίαςπληροφορίας {α n }, δηλαδή, ο µεασχηµαισµός Fourier ης συνάρησης αυοσυσχέισης ης ακολουθίας πληροφορίας. j e π j d e π και G είναι ο µεασχηµαισµός Fourier ης συνάρησης αυοσυσχέισης ης. Επίσης G είναιηαπόκρισηςσυχνόηαςουφίλρουεκποµπήςέχουµε G Ψηφιακή Μεάδοση Αναλογικών Σηµάων 7-4-3

14 Η φασµαική πυκνόηα ισχύος,, ης κυκλοσαικής υχαίας διαδικασίας, είναι λοιπόν G Για να ελέγξουµε η µορφή ης φασµαικής πυκνόηας ου µεαδιδόµενου σήµαος πρέπει να σχεδιασθούνκαάλληλααφασµαικάχαρακηρισικάουφίλρουεκποµπής, G, καια φασµαικάχαρακηρισικάηςακολουθίαςπληροφορίας {α n },. Ανασύµβολαπληροφορίαςσηνακολουθία { n } είναιαµοιβαίαασυσχέισαόε όπου σ E [ ] σ,, 0 0 είναι η διακύµανση ων συµβόλων πληροφορίας. j π e σ e j π Ψηφιακή Μεάδοση Αναλογικών Σηµάων 7-4-4

15 Το περιοδικό σήµα δ j e δ π s Συνεχές µήµα ου φάσµαος e j π Η φασµαική πυκνόηα ισχύος ου µεαδιδόµενου σήµαος υ όαν η ακολουθία συµβόλων πληροφορίας είναι ασυσχέιση είναι G σ G G δ σ δ s αναπύσσεαι σε σειρά Fourier Εποµένως η φασµαική πυκνόηα µπορεί να εκφρασεί ως j π e σ δ ιακριό µήµα ου φάσµαος Σε ψηφιακά σήµαα PM, PK ή QM αν α σηµεία ου ασερισµού είναι συµµερικά οποθεηµέναωςπροςηναρχήωναξόνωνσοµιγαδικόεπίπεδοηµέσηιµή 0 έσιη φασµαική πυκνόηα είναι σ G Ψηφιακή Μεάδοση Αναλογικών Σηµάων 7-4-5

16 Όανο είναιοορθογώνιοςπαλµόςουσχήµαος Ο µεασχηµαισµός Fourier είναι και η φασµαική πυκνόηα ενέργειας είναι G 0 sin π π jπ e sin G π π G Ορθογώνιοςπαλµός. sinc 0 Φασµαικήπυκνόηαενέργειας G ου. Ψηφιακή Μεάδοση Αναλογικών Σηµάων 7-4-6

17 G δ G σ Η φασµαική πυκνόηα ισχύος ου µεαδιδόµενου σήµαος υ είναι δ sinc σ δ π π sin σ Παραηρούµε όι όλες οι διακριές φασµαικές συνισώσες εξαλείφοναι λόγω ων φασµαικώνµηδενισµώνου G εκόςαπόµίαγια 0. Φασµαική πυκνόηα ισχύος ου µεαδιδόµενου σήµαος 0 σ Ηφασµαικήπυκνόηαισχύοςουσήµαοςυ Ηφασµαικήπυκνόηαενέργειαςουπαλµού sinc π π sin G Ψηφιακή Μεάδοση Αναλογικών Σηµάων 7-4-7

18 ίνεαι η δυαδική ακολουθία {b n } που αποελείαι απόασυσχέισες δυαδικές ± υχαίες µεαβληές µηδενικής µέσης ιµής και µοναδιαίας διακύµανσης. ηµιουργούµε α σύµβολα n b n b n α οποία και µεαδίδουµε. Να καθορισεί η φασµαική πυκνόηα ισχύος ου διαµορφωµένου σήµαος. Ησυνάρησηαυοσυσχέισηςηςακολουθίας {α n } είναι [ ] E[ b b b b ] E n n n n n n,, 0, 0 ± αλλιώς Η φασµαική πυκνόηα ισχύος ου σήµαος εισόδου είναι j π e cos π 4 cos π και η ανίσοιχη φασµαική πυκνόηα ισχύος ου διαµορφωµένου σήµαος είναι 4 G cos π Ψηφιακή Μεάδοση Αναλογικών Σηµάων 7-4-8

19 4 0 Φασµαική πυκνόηα ισχύος ης ακολουθίας πληροφορίας. 4 G 0 0 Φασµαική πυκνόηα ισχύος ου ανίσοιχου PM διαµορφωµένου σήµαος. Ψηφιακή Μεάδοση Αναλογικών Σηµάων 7-4-9

20 Το Φάσµα Ισχύος ενός Σήµαος ιαµορφωµένου Φέρονος Ανυ είναιοσήµαβασικήςζώνηςενός PM οανίσοιχοζωνοπεραόσήµαείναι u υ cosπ c καιησυνάρησηαυοσυσχέισηςηςυχαίαςδιαδικασίας U cosπ c είναι U, E[ U U ] E[ ] cos π c cos π c, [ cos π cos π ] Ηµέσηιµήου U, γιαµίαπερίοδοδιάρκειας δίνει U cos π Η φασµαική πυκνόηα ισχύος ου ζωνοπεραού σήµαος είναι F U c { } c [ ] U c 4 Η ίδια έκφραση ισχύει και για α QM και PK σήµαα. Τα ρία ζωνοπεραά σήµαα διαφέρουνµόνοσησυνάρησηαυοσυσχέισης ηςακολουθίας {α n }καιεποµένωςσο φάσµαισχύος ηςεισόδου {α n }. c c Ψηφιακή Μεάδοση Αναλογικών Σηµάων 7-4-0