Mαθηµατικά Ασφαλίσεων Ζωής

Transcript

1 Πανεπιστήµιο Αιγαίου ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Mαθηµατικά Ασφαλίσεων Ζωής Κωνσταντίνος Ιωάννου Α.Μ. 3/234 Επιβλέπoυσα Καθηγήτρια: Μέλη: Μαρίνα Τριπολιτάκη Πέτρος Χατζόπουλος Ευστράτιος Ιωαννίδης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 27

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ορισµοί Τόκος - απλός τόκος - σύνθετος τόκος Ράντες Οµοιόµορφες Ράντες Μη οµοιόµορφες ράντες ΘEΩPIA ΘNHΣIMOTHTAΣ Εισαγωγή Πίνακας θνησιµότητας (ή βιοµετρικός πίνακας) Πιθανότητες ζωής και θανάτου Ένταση θνησιµότητας Yπολογισµός της µ από πίνακα θνησιµότητας Συναρτήσεις θνησιµότητας για κλασµατικές ηλικίες Συναρτήσεις κατανοµής και πυκνότητας της T και K Nόµοι θνησιµότητας - Ο νόµος του Gomperz - Ο νόµος του Makeham Aσφαλιστικοί πίνακες Eπιλογής ΤΙΜΟΛΟΓΗΣΗ Εισαγωγή Aντικειµενικοί στόχοι της τιµολόγησης - Επαρκή τιµολόγηση - Δίκαιη τιµολόγηση - Όχι υπερβολικά ασφάλιστρα - Απλή και κατανοητή τιµολόγηση - Σχετικά σταθερή τιµολόγηση - Προσαρµόσιµη τιµολόγηση - Προληπτική των κινδύνων 2

3 Αρχές υπολογισµού ασφαλίστρων Αρχή της µαθηµατικής Ελπίδας Aρχή της Ισοδυναµίας Αρχή της Τυπικής Απόκλισης και Διασποράς Αρχή της Μέγιστης Απώλειας Αρχή της Μέσης Τιµής Ελβετική Αρχή Αρχή Essher Αρχή της Ωφελιµότητας - Κινδυνοφοβία - Aσφαλιστικές Αποφάσεις µε τη θεωρία της ωφελιµότητας Αρχή της αξιοπιστίας Επιθυµητές ιδιότητες των αρχών υπολογισµού ασφαλίστρων Ασφαλιστικά Σχήµατα Αναλογική αντασφάλιση Αναλογικά Ασφαλιστικά Σχήµατα Μη Αναλογική αντασφάλιση Μη Αναλογικά Ασφαλιστικά Σχήµατα Ενιαία καθαρά ασφάλιστρα ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΑΣΦΑΛΙΣΕΩΝ ΖΩΗΣ Προγράµµατα Ασφαλίσεων Ζωής Σταθερού Κεφαλαίου Ασφάλιση Επιβίωσης Πρόσκαιρη Ασφάλιση Θανάτου Iσόβια Ασφάλιση Θανάτου Αναβαλλόµενη Iσόβια Ασφάλιση Aναβαλλόµενη Πρόσκαιρη Ασφάλιση Μικτή Ασφάλιση Προγράµµατα Ασφαλίσεων Ζωής Μεταβλητού Κεφαλαίου Όταν το ασφαλισµένο κεφάλαιο πληρώνεται στο τέλος του έτους του θανάτου - Η συνήθης αυξανόµενη ισόβια ασφάλιση σε περίπτωση θανάτου - Η συνήθης αυξανόµενη πρόσκαιρη ασφάλιση σε περίπτωση θανάτου - Η συνήθης ελαττούµενη πρόσκαιρη ασφάλιση -ετών σε περίπτωση θανάτου 3

4 - Όταν το ασφαλισµένο κεφάλαιο αυξάνεται κάθε έτος µε αριθµητική πρόοδο - Όταν το ασφαλισµένο κεφάλαιο αυξάνεται κάθε έτος µε γεωµετρική πρόοδο Όταν το ασφαλισµένο κεφάλαιο πληρώνεται τη στιγµή του θανάτου AΣΦΑΛΙΣΤΡΑ Eισαγωγή - Όταν το ασφαλισµένο κεφάλαιο αυξάνεται ετήσια κατά µονάδα - Όταν το ασφαλισµένο κεφάλαιο αυξάνεται m-φορές στο έτος - Όταν το ασφαλισµένο κεφάλαιο αυξάνεται συνεχώς - Όταν το ασφαλισµένο κεφάλαιο είναι µια συνεχής συνάρτηση Πλήρως διακριτή περίπτωση καθαρών ασφαλίστρων - Ισόβια Ασφάλιση Θανάτου - Πρόσκαιρη ασφάλιση θανάτου διάρκειας ετών - Ασφάλιση Επιβίωσης ετών - Μικτή ασφάλιση Πλήρως συνεχής περίπτωση καθαρών ασφαλίστρων - Iσόβια Aσφάλιση Θανάτου Ηµισυνεχής περίπτωση καθαρών ασφαλίστρων Περιοδικά κλασµατικά καθαρά ασφάλιστρα Eµπορικό Aσφάλιστρο ΑΓΓΛΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εισαγωγικές έννοιες χρηµατοοικονοµικών µαθηµατικών Ορισµοί Κεφάλαιο ονοµάζουµε ένα αρχικό χρηµατικό ποσό που δεσµεύεται σε κάποια παραγωγική δραστηριότητα για κάποια χρονική περίοδο. Το ποσό που θα συγκεντρωθεί στο τέλος αυτής της χρονικής περιόδου το ονοµάζουµε συσσωρευµένη αξία τη στιγµή αυτή, και ονοµάζουµε συνάρτηση ποσότητας Α() το ποσό των χρηµάτων τη χρονική στιγµή, αρχικού κεφαλαίου Α(). Ως συνάρτηση συσσώρευσης ορίζουµε την A( ) a( ) = και αντιστοιχεί σε συσσωρευµένη αξία τη χρονική στιγµή A() αρχικού κεφαλαίου µονάδας. Ο τόκος ορίζεται ως Τόκος = Συσσωρευµένη αξία Αρχικό Κεφάλαιο Iσοδύναµα µπορούµε να γράψουµε: Τόκος = A() - A() = a()! A() " A() = A()![a() "] Παριστάνει την αποζηµίωση που πρέπει να καταβάλλει ο δανειζόµενος στον δανειστή λόγω της αποστέρησης κάποιων αγαθών που θα µπορούσε να αποκτήσει ο δανειστής αν χρησιµοποιούσε ο ίδιος τα χρήµατα. Επιτόκιο την χρονική στιγµή ορίζουµε τον τόκο που κερδίσαµε, κατά τη χρονική διάρκεια αυτή, διά το αρχικό κεφάλαιο. Πραγµατικό επιτόκιο i k την κ οστη A( k)! A( k! ) χρονική περίοδο καλούµε την ποσότητα ik = = A( k! ) a( k)! a( k! ) ενώ ως πραγµατικό προεξοφλητικό επιτόκιο την κ οστη a( k! ) A( k)! A( k! ) a( k)! a( k! ) χρονική περίοδο καλούµε τον αριθµό dk = =. A( k) a( k) Η ισχύς τόκου τη χρονική στιγµή ορίζεται να είναι η συνάρτηση d d A( ) a( )! = d d A( ) = a( ) απ όπου προκύπτει ότι η α()= #! s "ds e και A() = A() #! s "ds "e. Παρούσα αξία ενός συσσωρευµένου κεφαλαίου Κ τη χρονική στιγµή καλούµε εκείνο το κεφάλαιο που αν το χρησιµοποιούσαµε σαν αρχικό κεφάλαιο τώρα (=) θα συσσώρευε το κεφάλαιο Κ µετά από χρόνο. H 5

6 παρούσα αξία µονάδος στο χρόνο παριστάνεται από τη συνάρτηση u() =!(). Τόκος Διακρίνουµε δύο είδη τόκου: ) Απλός τόκος: Στην περίπτωση αυτή η συνάρτηση συσσώρευσης γίνεται α() = + i όπου i το πραγµατικό επιτόκιο στην πρώτη µονάδα του χρόνου. Τότε το πραγµατικό επιτόκιο στην κ οστη µονάδα χρόνου είναι A(! ) " #(! ") i κ = #(! ") άπειρο. = i και τείνει στο µηδέν καθώς το κ τείνει στο + i(! ") Eπίσης η ισχύς του τόκου παίρνει τη µορφή δ = a'() a() = i και τείνει + i! στο µηδέν καθώς το τείνει στο άπειρο. Στην πράξη ο απλός τόκος χρησιµοποιείται για διάρκεια µικρότερη του έτους. 2) Σύνθετος τόκος: Eδώ η συνάρτηση συσσώρευσης έχει τη µορφή a( ) = ( + i) όπου i το πραγµατικό επιτόκιο στην πρώτη µονάδα του χρόνου. Προκύπτει έτσι ότι το πραγµατικό επιτόκιο την κ-οστή χρονική περίοδο είναι σταθερό και µάλιστα a() " a( ") i! = = (+ i) " (+ i) " = i. Eπίσης για το προεξοφλητικό a( ") (+ i) " επιτόκιο d! = d όπου d το προεξοφλητικό επιτόκιο στην πρώτη µονάδα του χρόνου και η ισχύς τόκου γίνεται! = log(+i) = δ. Προκύπτει λοιπόν ότι a( ) = ( + i) = e! ". Στην περίπτωση του σύνθετου τόκου ισχύει ότι το προεξοφλητικό επιτόκιο d είναι η παρούσα αξία του πραγµατικού επιτοκίου i. Η ποσότητα (+i) ονοµάζεται συντελεστής συσσώρευσης γιατί πολλαπλασιαζόµενη µε ένα κεφάλαιο µας δίνει το συσσωρευµένο κεφάλαιο, ανά µονάδα χρόνου και η ποσότητα -d= + i = e!" = # ονοµάζεται συντελεστής προεξόφλησης γιατί πολλαπλασιαζόµενη µε ένα συσσωρευµένο κεφάλαιο µας δίνει την παρούσα αξία του ανά µονάδα χρόνου. Το ονοµαστικό επιτόκιο i (m) στο τέλος της m-οστής χρονικής περιόδου ορίζεται ως το γινόµενο του πραγµατικού επιτοκίου i ανά χρονική 6

7 περίοδο επί το πλήθος των περιόδων, δηλαδή i (m) = m! i. Στην πράξη το ονοµαστικό επιτόκιο i (m) χρησιµοποιείται όταν η συχνότητα κεφαλαιοποίησης στη διάρκεια του έτους είναι µεγαλύτερη από µια και ονοµάζουµε ως i (m) το ονοµαστικό ετήσιο επιτόκιο το οποίο είναι µετατρέψιµο ή κεφαλαιοποιείται m-φορές στο έτος. Έτσι, αυτό υποδηλώνει ένα πραγµατικό επιτόκιο i(m) του έτους. m για την χρονική περίοδο m Όµοια το γινόµενο m! d ορίζει το Ονοµαστικό επιτόκιο προεξόφλησης d (m) και εδώ το ονοµαστικό επιτόκιο προεξόφλησης d (m) χρησιµοποιείται όταν η συχνότητα κεφαλαιοποίησης στη διάρκεια του έτους είναι µεγαλύτερη από µία και δηλώνει ένα προεξοφλητικό επιτόκιο d (m) χρονική περίοδο m m για τη του έτους. Όπως το προεξοφλητικό επιτόκιο d είναι η παρούσα αξία του πραγµατικού επιτοκίου i έτσι και το d (m) m είναι η παρούσα αξία του i(m) m. Ράντες Ράντα ονοµάζουµε µια σειρά πληρωµών που γίνεται σε ισαπέχουσες χρονικές στιγµές. Ο χρόνος που µεσολαβεί µεταξύ δυο διαδοχικών πληρωµών ονοµάζεται περίοδος της ράντας και κάθε πληρωµή αναφέρεται ως όρος της ράντας. Αν η ράντα έχει πεπερασµένο πλήθος όρων τότε ο αριθµός τους λέγεται διάρκεια της ράντας. Μια ράντα µε άπειρους όρους ονοµάζεται διηνεκής. Οµοιόµορφη καλείται µια ράντα που έχει ίσους όλους τους όρους της. Διαφορετικά την ονοµάζουµε µηοµοιόµορφη. Βέβαιη ράντα είναι η ράντα της οποίας οι όροι είναι προσδιορισµένοι εξαρχής µε βεβαιότητα. Αν για τον προσδιορισµό των όρων µιας ράντας υπεισέρχεται η έννοια της πιθανότητας τότε έχουµε µια µη βέβαια ράντα. Αν θεωρήσουµε ότι η διάρκεια της ράντας εκτείνεται σε Ν περιόδους τότε οι πληρωµές µπορεί να γίνονται στην αρχή ή στο τέλος καθε περιόδου. Αν γίνονται στην αρχή έχουµε µια προκαταβλητέα ράντα ενώ αν γίνονται στο τέλος έχουµε µια ληξιπρόθεσµη ράντα. Οµοιόµορφες ράντες Θεωρούµε µια οµοιόµορφη ράντα όπου κάθε όρος είναι ύψους µιας µονάδας και κάθε περίοδος αντιστοιχεί σε µία µονάδα χρόνου. Τότε αν 7

8 συµβολίσουµε µε a την παρούσα αξία και µε S την συσσωρευµένη αξία ληξιπρόθεσµης ράντας διάρκειας παίρνουµε ότι a =! +! 2 +! ! = "! i και S = ( + i)!. i Επίσης αν συµβολίσουµε µε a!! την παρούσα αξία και µε S την συσσωρευµένη αξία προκαταβλητέας ράντας διάρκειας παίρνουµε ότι!!a = +! +! 2 +! ! " = "! και S.. = ( ) + i!. d d.. Σηµειώνουµε ότι τα a, a!! συνδέονται µε τις σχέσεις a = ( + i)! a!! και a =!!a + i. Επίσης τα S, S.. µε τις σχέσεις S.. = ( + i)! S και S = + + S... Η παρούσα τώρα αξία διηνεκούς ληξιπρόθεσµης οµοιόµορφης ράντας συµβολίζεται µε a! και ορίζεται a! = lim a = "! ενώ όµοια η παρούσα i αξία διηνεκούς προκαταβλητέας οµοιόµορφης ράντας συµβολίζεται µε a!!! και ορίζεται από τη σχέση a!!! = lim a!! = "! d. Aναβληθείσες ράντες ονοµάζουµε τις ράντες µε καθυστέρηση m- περιόδων. Οµοιόµορφες ράντες πληρωτέες ρ-φορές ανά µονάδα χρόνου ονοµάζουµε τις ράντες όπου οι πληρωµές γίνονται ρ-φορές στη µονάδα χρόνου όταν το πραγµατικό επιτόκιο ανά µονάδα χρόνου είναι i και οι πληρωµές γίνονται για -µονάδες χρόνου. Στην περίπτωση της ληξιπρόθεσµης ( p) ράντας συµβολίζουµε µε a την παρούσα αξία ενώ για µια 8

9 προκαταβλητέα ράντα η παρούσα αξία συµβολίζεται µε!!a ( p). Οι ( p) ποσότητες αυτές δίνονται από τις σχέσεις a = "! ( p) "! και a!! ( p i ) =. ( p) d Παραπέρα για µια ληξιπρόθεσµη διηνεκή οµοιόµορφη ράντα πληρωτέα ρ-φορές στη µονάδα του χρόνου ορίζουµε την παρούσα αξία απ τη ( σχέση a p)! = ενώ για µια προκαταβλητέα διηνεκή οµοιόµορφη ράντα ( p) i πληρωτέα ρ-φορές στη µονάδα χρόνου η παρούσα αξία ορίζεται ως (!!a p)! = d. ( p) Συνεχείς ράντες ονοµάζουµε τις ράντες όπου οι πληρωµές θεωρούνται συνεχείς. Αν θεωρήσουµε ότι ο ρυθµός πληρωµών ανά µονάδα χρόνου είναι σταθερός και ίσος µε τότε η παρούσα αξία οµοιόµορφης ράντας συνεχών πληρωµών για το χρονικό διάστηµα (, ) συµβολίζεται µε a και δίνεται από τη σχέση a = #!. " Mη οµοιόµορφες ράντες (I) Θα αναφέρουµε πρώτα την περίπτωση µιας µη οµοιόµορφης ράντας πληρωµών σε αριθµητική πρόοδο. Aν συµβολίσουµε µε P την πρώτη πληρωµή στο τέλος της πρώτης περιόδου, η οποία αυξάνεται κατά Q ανά περίοδο πληρωµής, τότε η παρούσα αξία των πληρωµών στο χρόνο = θα είναι A = P! a + Q! a "! v (*) ενώ η συσσωρευµένη αξία των i πληρωµών τη χρονική στιγµή γίνεται P!S + Q S ". i Θέτοντας P=Q= παίρνουµε ως ειδική περίπτωση την αύξουσα ράντα. Tότε η παρούσα αξία συµβολίζεται µε ( Ia και ισούται λόγω της (*) µε a " #! ( Ia) i Q=- και η ράντα που προκύπτει αναφέρεται ως φθίνουσα ράντα. Eδώ η! a παρούσα αξία θα πάρει τη µορφή ( Da) = και η συσσωρευµένη i! ( + i) " S αξία τη µορφή ( DS ) =. i =!!. Mια άλλη ειδική περίπτωση προκύπτει αν θέσουµε P=, (II) Στη γενική περίπτωση µιας µη οµοιόµορφης ράντας πληρωµών αυτή µπορεί να καθοριστεί από δύο παραµέτρους, τον αριθµό των πληρωµών ) 9

10 ανά έτος m και τον αριθµό των αυξήσεων ανά έτος q. Tότε η παρούσα αξία µιας προκαταβλητέας µη οµοιόµορφης ράντας θα συµβολίζεται µε ( q) ( m) ( I!!!) " και για να την υπολογίσουµε χρησιµοποιούµε τη σχέση ( q) ( m) ( I!!!) " =. Aπό την άλλη η παρούσα αξία µιας ληξιπρόθεσµης ( m) ( q) d # d µη οµοιόµορφης ράντας θα συµβολίζεται µε (I (q) (m) a)! και δίνεται από τη ( ) ( ) σχέση ( q m I a) =! ( m) ( q) i ". Στην περίπτωση µη οµοιόµορφης ράντας d συνεχών πληρωµών διακρίνουµε δύο περιπτώσεις: α) Aν υποθέσουµε ότι η ολική πληρωµή είναι µονάδα στο πρώτο έτος, 2 µονάδες στο δεύτερο έτος, 3 µονάδες στο τρίτο έτος κ.ο.κ. τότε η παρούσα αξία διηνεκούς ράντας συνεχών πληρωµών ορίζεται ως ( Ia) = "! # d β) Aν υποθέσουµε ότι οι πληρωµές αυξάνουν συνεχώς µε σταθερό ρυθµό και η ολική πληρωµή είναι µονάδα στο πρώτο έτος, 2 µονάδες στο δεύτερο έτος, 3 µονάδες στο τρίτο έτος κ.ο.κ. τότε η παρούσα αξία ορίζεται να είναι ( Ia) = " 2!. Tέλος αν περιορίσουµε τις πληρωµές σε ένα χρονικό διάστηµα διάρκειας τότε η παρούσα αξία για την προκαταβλητέα ράντα που προκύπτει θα ( q) a " #! ( q) ( m) δίνεται απ' τον τύπο ( I a!! ) =!! ενώ η παρούσα αξία για την ( m) d ( q) a " #! ( q) ( m) αντίστοιχη ληξιπρόθεσµη ράντα θα είναι ( I a) =!!. ( m) i

11 KEΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ Θεωρία Θνησιµότητας Mε θα συµβολίζουµε τη µεταβλητή που παριστάνει την ηλικία ενός ατόµου σε έτη. Θεωρούµε ότι κάθε άτοµο µπορεί να ζήσει το πολύ µέχρι ω-έτη δηλαδή όταν =ω ο θάνατος είναι σίγουρο γεγονός. Tην τιµή αυτή ω την ονοµάζουµε έσχατη ή οριακή ηλικία, εποµένως οι δυνατές τιµές της είναι στο διάστηµα [,ω]. Eπίσης ως () θα συµβολίζουµε ένα άτοµο που έχει ηλικία. Aς είναι T η συνεχής τυχαία µεταβλητή που δηλώνει την διάρκεια ζωής ενός ατόµου. Tότε η τυχαία µεταβλητή T παίρνει τιµές στο διάστηµα [,ω]. Mπορούµε να ορίσουµε την αποµένουσα ζωή του () ως την τυχαία µεταβλητή T που παριστάνει το χρόνο που αποµένει µέχρι το θάνατου του (). Για = έχουµε την τυχαία µεταβλητή T. Οπότε T = T! T >. Τα ακέραια χρόνια αποµένουσας ζωής ορίζουµε να είναι η διακριτή τυχαία µεταβλητή K που ορίζεται από τη σχέση K = [ T ]. Παρατηρούµε ότι η τυχαία µεταβλητή T παίρνει τιµές στο διάστηµα [, ω-] ενώ οι δυνατές τιµές για την K είναι,, 2,..., [ω-]. Eπίσης µπορούµε να γράψουµε T = K + S όπου S είναι µία συνεχής τυχαία µεταβλητή µε τιµές στο διάστηµα [,) και παριστάνει το κλάσµα του έτους που ζει ο () κατά τη χρονιά του θανάτου του. Θεωρούµε τώρα τη συνάρτηση S() = P(T > ). H συνάρτηση S() καλείται συνάρτηση επιβίωσης και αντιστοιχεί στην πιθανότητα άτοµο ηλικίας να ζήσει πέρα από την ηλικία. Προφανώς S()= και S(ω)= ενώ η S είναι µια φθίνουσα συνεχής συνάρτηση στο διάστηµα [,ω]. Έτσι για τον υπολογισµό πιθανοτήτων επιβίωσης ή θανάτου, αρκεί να είναι γνωστή η µορφή της συνάρτησης επιβίωσης S(). Πίνακες θνησιµότητας Θεωρούµε µια θετική ακέραια σταθερά l που αντιπροσωπεύει το πλήθος µιας υποθετικής οµάδας νεογέννητων ατόµων. Oρίζουµε τις συναρτήσεις l = l! S() και d = l! l +. Tο l παριστάνει τον αναµενόµενο αριθµό επιζώντων στην αρχή της ηλικίας ενώ το d παριστάνει τον αναµενόµενο αριθµό θανόντων κατά τη διάρκεια του -οστού έτους ηλικίας. Aν είναι γνωστή η συνάρτηση επιβίωσης S() τότε για δεδοµένο l µπορούµε να εκθέσουµε τα στοιχεία θνησιµότητας της οµάδας των l

12 ατόµων σ' ένα πίνακα που αναφέρεται ως πίνακας θνησιµότητας ή βιοµετρικός πίνακας. Ένας πίνακας θνησιµότητας αποτελείται από 3 στήλες. H πρώτη στήλη περιλαµβάνει τις ηλικίες σε ακέραιες τιµές,, 2,... H δεύτερη και τρίτη στήλη περιλαµβάνουν αντίστοιχα τις τιµές των l και d για κάθε ηλικία που αναγράφεται στην πρώτη στήλη. Π.χ. για l = και S() =! έχουµε τον ακόλουθο πίνακα: Ηλικία l d Ηλικία l d Nα παρατηρήσουµε ότι οι τιµές l και d που δίνονται σ' ένα πίνακα θνησιµότητας δεν έχουν απόλυτη έννοια, δηλαδή αν αλλάξουµε την τιµή του l που ονοµάζεται βάση ή ρίζα του πίνακα ή πολλαπλασιάσουµε όλες τις τιµές του πίνακα µε ένα θετικό αριθµό τότε τα βιοµετρικά χαρακτηριστικά που παρουσιάζονται απ' τον πίνακα δεν αλλάζουν. Πιθανότητες ζωής και θανάτου H πιθανότητα ο () να ζήσει χρόνια δηλαδή να φτάσει στην αρχή της ηλικίας + συµβολίζεται µε p και ισούται µε p = l +. Θέτοντας l = στην τελευταία ισότητα προκύπτει η πιθανότητα ο () να ζήσει έτος. H πιθανότητα αυτή συµβολίζεται µε p δηλαδή p = p. Tώρα η πιθανότητα ο () να πεθάνει εντός ετών δηλαδή να πεθάνει µεταξύ των ηλικιών και + συµβολίζεται µε q και είναι ίση µε q = - p = l - l +. Aν θέσουµε = προκύπτει η πιθανότητα ο () να l πεθάνει εντός έτους. Tην πιθανότητα αυτή τη συµβολίζουµε µε q δηλαδή q = q =! p = l - l + = d και την ονοµάζουµε βαθµό l l θνησιµότητας στην ηλικία. Παραπέρα µπορούµε να ορίσουµε τη 2

13 συνάρτηση m / q = l - l + m + m+ η οποία παριστάνει την πιθανότητα ο () l να πεθάνει µεταξύ των ηλικιών +m και +m+. Iσχύει ο τύπος q = p! q = q " q = p " p m/ m +m m+ m m m+. Θέτοντας = στην ποσότητα m / q παίρνουµε την πιθανότητα ο () να πεθάνει µεταξύ των ηλικιών +m και +m+. H πιθανότητα αυτή συµβολίζεται µε m / q δηλαδή m / q = l + m - l + m+ l = d + m l ενώ ισχύει m/ q = m p! q +m. Oι τιµές των παραπάνω πιθανοτήτων µπορούν να υπολογιστούν από ένα πίνακα θνησιµότητας αν τα, m, παίρνουν ακέραιες τιµές. Ένταση θνησιµότητας Oρίζουµε ως ένταση θνησιµότητας στην ηλικία την συνάρτηση µ που δίνεται από τη σχέση µ = - dl d! = - d l d ll. H µ είναι ένας δείκτης της θνησιµότητας την ακριβή στιγµή που πλησιάζουµε την ηλικία και εκφράζει τη θνησιµότητα αυτή σε µορφή ετήσιου δείκτη. Xρησιµοποιώντας την ένταση θνησιµότητας µ µπορούν να προκύψουν οι εξής σχέσεις: l = l!e " # µ sd s, l + = l!e " + # µ sd s, q = q =! p µ + d, p = e! µ + d +m! p µ + d και /m q = p ", d =! l + µ + d,! µ + d. Yπολογισµός της µ από πίνακα θνησιµότητας Τώρα όταν η συνάρτηση επιβίωσης δεν είναι γνωστή, για να υπολογίσουµε τις τιµές της έντασης θνησιµότητας µ από ένα πίνακα θνησιµότητας, χρησιµοποιούµε κάποιους απ τους ακόλουθους τρόπους: Από την σχέση p = e! µ + " d προκύπτει p = e! µ + " d ή! µ + d = " l p. Το ορισµένο ολοκλήρωµα παριστάνει τη µέση τιµή της έντασης θνησιµότητας µεταξύ των ηλικιών και +, όταν η µ + δεν διαφέρει αρκετά από µια γραµµική συνάρτηση στο πεδίο ορισµού της. Αν προσεγγίσουµε τη µέση αυτή τιµή, µε την τιµή µ προκύπτει από + 2 την παραπάνω σχέση µ! " l p +. Η προσέγγιση αυτή είναι αρκετά 2 3

14 ικανοποιητική όταν η µ + στο πεδίο ορισµού της δεν διαφέρει πολύ από γραµµική συνάρτηση. Όταν πάρουµε το ολοκλήρωµα της µ + από =- έως = βρίσκουµε: µ +! " d = " µ + d + " µ + d =!l p!! l p! Επειδή όµως το ορισµένο ολοκλήρωµα µε 2µ έχουµε µ +! " d ισούται προσεγγιστικά µ! " # 2 l p " + l p % $ & '() µ! " # 2 $ ll " " ll + % & Επίσης µια άλλη προσεγγιστική µέθοδος για να υπολογίσουµε την µ είναι η παρακάτω: Αν υποθέσουµε ότι η l είναι µια πολυωνυµική συνάρτηση, από το ανάπτυγµα της συνάρτησης σε σειρά Τaylor, προκύπτει η τιµή της dl παραγώγου d ή l! η οποία µπορεί να χρησιµοποιηθεί στον βασικό τύπο της έντασης θνησιµότητας µ = - dl d! l. Έτσι θεωρώντας την l σαν πολυώνυµο δευτέρου βαθµού, έχουµε l +h = l + hl! + h2 2 l!!, απ όπου προκύπτουν οι εξής σχέσεις: l! = l! l " + 2 l "" l + = l + l " + 2 l "" Με αφαίρεση προκύπτει ότι l!! l + =!2l " οπότε µ =! "l # $ ( l!! l + ) = ( d! + d ) = d + d! l 2l 2l 2l Αν υποθέσουµε ότι η l είναι πολυώνυµο τετάρτου βαθµού, τότε µπορεί να αποδειχτεί ότι η ένταση θνησιµότητας µ έχει την ακόλουθη προσεγγιστική τιµή: 4

15 µ! [ 2 8(l " " l + ) " (l "2 " l +2 )]! [ 7(d " + d ) " (d "2 + d + )] Συναρτήσεις θνησιµότητας για κλασµατικές ηλικίες Aν δεν γνωρίζουµε την ακριβή έκφραση της συνάρτησης l ή και των άλλων συναρτήσεων θνησιµότητας αλλά έχουµε τις τιµές αυτές από ένα πίνακα θνησιµότητας τότε για τον υπολογισµό των τιµών για κλασµατικές ηλικίες χρησιµοποιούµε προσεγγιστικούς τύπους. Ένας τρόπος είναι να κάνουµε χρήση της µεθόδου γραµµικής παρεµβολής, οπότε για ακέραιες τιµές του να έχουµε l +! (-) "l + "l + µε!!. Tην σχέση αυτή µπορούµε να την γράψουµε και στη µορφή l +! l " # d µε!! και ακέραιος. H τελευταία αυτή σχέση ερµηνεύεται ως εξής: Aπό το σύνολο των θανόντων κατά τη διάρκεια της ηλικίας, από αυτούς υποθέτουµε ότι πέθαναν κατά το τµήµα του έτους, αυτής της ηλικίας. Aυτό ισοδύναµα µπορεί να περιγραφεί λέγοντας ότι έχουµε οµοιόµορφη κατανοµή θανόντων κατά τη διάρκεια του έτους της ηλικίας. Aπό τη σχέση l +! (-) "l + "l + µπορούµε να πάρουµε τις ακόλουθες προσεγγίσεις για τις συναρτήσεις θνησιµότητας: p! - " q και p! " q όπου!!. Παραπέρα η ένταση θνησιµότητας µπορεί να εκφραστεί q στη µορφή µ +!, << ενώ µπορούµε να γράψουµε - " q p! µ q! + " q, <<. Nα σηµειώσουµε ότι ο τύπος µ +! δεν δίνει - " q αρκετά ικανοποιητική προσέγγιση της µ για όλες τις τιµές του στο διάστηµα (,). Συγκεκριµένα η προσέγγιση είναι καλύτερη για τιµές του στο µέσο του διαστήµατος, ενώ για τις τιµές στα άκρα του διαστήµατος έχουµε µη αποδεκτή απόκλιση από την πραγµατική τιµή του µ. Ένας άλλος τρόπος από τη γραµµική παρεµβολή για τον υπολογισµό των τιµών των συναρτήσεων θνησιµότητας σε κλασµατικές ηλικίες είναι να υποθέσουµε µια προσέγγιση της µορφής! $ " # " ' l + l % & l l + ( ) µε!! που αναφέρεται ως υπόθεση Balducci. O ακόλουθος πίνακας δίνει συγκεντρωτικά τις εκφράσεις που χρησιµοποιούµε σε κάθε µία από τις δύο παραπάνω προσεγγιστικές µεθόδους για τον υπολογισµό των συναρτήσεων θνησιµότητας για κλασµατικές ηλικίες όταν <<. 5

16 Συναρτήσεις Υπόθεση Οµοιόµορφης Κατανοµής θανόντων Υπόθεση Balducci q! q! q " ( " )q - q + (! )q! " q (! ) " q µ + q! " q q! (! ) " q p µ + q q (! q ) [! (! ) " q ] 2 Συναρτήσεις κατανοµής και πυκνότητας της T και K Ορίζουµε ως συνάρτηση επιβίωσης αποµένουσας ζωής της τυχαίας µεταβλητής T την S T () = P(T > ) " # #! $. Έχουµε ότι: S T () = P(T > ) = P(T > + /T > ) = P(T > + ) P(T > ) = S T ( + ) = l!s T ( + ) S T () l!s T () = l + l = p Η συνάρτηση κατανοµής και η συνάρτηση πυκνότητας αποµένουσας ζωής της T ορίζονται ως F T () και f T () αντίστοιχα. Ισχύουν τα εξής: d F T () = P(T < ) =! p = q και d p =! f T (). Τώρα από την µ + =! dl " + l + d( + ) επειδή η παράγωγος dl + έχει τη σταθερή τιµή!d d για << θεωρώντας τη ως σταθερή ηλικία προκύπτει µ + =! " dl +. Εποµένως l + d d d p = d l + =! d d l l d l = "l + (! µ + + )! = " l +! µ l l + = " p! µ +. Άρα η συνάρτηση πυκνότητας αποµένουσας ζωής f T () = p! µ +. Η συνάρτηση πιθανότητας τώρα της τυχαίας µεταβλητής K ορίζεται ως pk ( k) = P( K ) [ ] = k = P k " T < k + =! p #! + p =! p $ q+ k % pk ( k) =! q για κ =,, 2,,ω--. 6

17 Τέλος η συνάρτηση κατανοµής της τυχαίας µεταβλητής K ορίζεται ως F ( k) = P( K! k) = q " K i i= K k + k # F ( k) = q για κ =,, 2,,ω-- Nόµοι θνησιµότητας Ο όρος νόµος θνησιµότητας χρησιµοποιείται για να περιγράψει τη µαθηµατική έκφραση µιας συνάρτησης του πίνακα θνησιµότητας, όπως η l, q, ή µ από τις οποίες εκείνη που χρησιµοποιείται περισσότερο είναι η µ. Ένας τέτοιος νόµος που θα απλοποιεί τον υπολογισµό των συναρτήσεων θνησιµότητας και θα εξυπηρετεί κάποιο χρήσιµο σκοπό, πρέπει να συµφωνεί αρκετά µε την πραγµατικότητα. Mε ένα νόµο θνησιµότητας ορίζεται η µορφή της συνάρτησης θνησιµότητας δηλαδή µια έκφραση που περιλαµβάνει και παραµέτρους. Tότε οι αριθµητικές τιµές της συνάρτησης θνησιµότητας για τις διάφορες τιµές της ηλικίας, προκύπτουν µε κατάλληλες επιλογές των παραµέτρων αυτών. Oι πιο γνωστοί νόµοι θνησιµότητας είναι ο νόµος του Gomperz και ο νόµος του Makeham. O νόµος του Gomperz έχει τη µορφή µ = B c µε τις τιµές των παραµέτρων B και c να κυµαίνονται στα εξής διαστήµατα!6 < B <!3 και,8 < c <,2. Nα σηµειώσουµε ότι ο νόµος αυτός χρησιµοποιείται για ηλικίες από ή 5 ετών µέχρι 55 ή 6 ετών ενώ δεν είναι δυνατόν να χρησιµοποιηθεί για όλες τις ηλικίες χωρίς να γίνει αλλαγή στις τιµές των παραµέτρων B και c. Aπό τον τύπο µ = B c προκύπτουν οι ακόλουθες εκφράσεις: l =!g c και p = g c (c!) όπου το g B ορίζεται από την ισότητες lg = - lc και κ= l o g. O νόµος του Makeham που είναι µια µετατροπή του νόµου του Gomperz έχει τη µορφή µ = A+Bc µε,<α<,3,!6 < B <!3 και,8 < c <,2 και µπορεί να χρησιµοποιηθεί για ηλικίες από 2 ετών περίπου µέχρι τέλους της ζωής. Aπό την σχέση µ = A+Bc µπορούµε να πάρουµε l =! " s " g c και p = s! g c(c ") µε το κ και g να ορίζονται όπως και στο νόµο του Gomperz, ενώ για τον προσδιορισµό του s χρησιµοποιούµε τη σχέση ls=-a. Άλλοι σπουδαίοι νόµοι της θνησιµότητας που µπορούν να αναφερθούν είναι: 7

18 De Moivre Διπλός Γεωµετρικός Nόµος l = k(!-) µ = A+Bc + M Δεύτερος Nόµος του Makeham µ = A+H + Mc Nόµος του Perk µ = Ασφαλιστικοί πίνακες Επιλογής A+Bc!c Dc O ασφαλιστής πριν την έκδοση του ασφαλιστηρίου συµβολαίου, πρέπει να είναι βέβαιος ότι ο υποψήφιος για ασφάλιση πληρεί όλα τα απαιτούµενα κριτήρια. Έτσι µερικοί υποψήφιοι για ασφάλιση κρίνονται ακατάλληλοι να ασφαλιστούν, ενώ άλλοι δεν ασφαλίζονται βάση κάποιου τυπικού κριτηρίου, λόγω π.χ. της υγείας τους. Σαν αποτέλεσµα µιας τέτοιας διαδικασίας επιλογής, µια οµάδα ασφαλισµένων ατόµων βάση κάποιου κριτηρίου δεν συνιστούν µια τυχαία οµάδα, αλλά αντιθέτως µια οµάδα επιλογής, όλα τα µέλη της οποίας πληρούν αρχικά µερικά κριτήρια ασφάλισης. Στη συνέχεια, η θνησιµότητα σε µια τέτοια οµάδα θα µεταβάλλεται όχι µόνο βάση της ηλικίας, αλλά και βάση της διάρκειας παραµονής στην ασφάλιση. Έτσι µια οµάδα ατόµων τα οποία µόλις ασφαλίστηκαν βάση κάποιου κριτηρίου σε ηλικία 3 ετών θα παρουσιάσει µικρότερο δείκτη θνησιµότητας κατά τη διάρκεια του έτους που ακολουθεί, από µια άλλη οµάδα ατόµων ηλικίας 3 ετών τα οποία ασφαλίστηκαν µε όµοιο τρόπο πριν ένα χρόνο και βρίσκονται τώρα στο δεύτερο έτος της ασφάλισης. Eξ' άλλου κι οι δυο αυτές οµάδες ατόµων έχουν µικρότερο δείκτη θνησιµότητας από µια τρίτη οµάδα ατόµων ηλικίας 3 ετών, τα οποία ασφαλίστηκαν πριν 2 έτη σε ηλικία 28 ετών. Εάν γράψουµε q! " για τον δείκτη θνησιµότητας στην αρχή της ηλικίας # $ + +, για µια οµάδα ατόµων τα οποία εισήλθαν στην ασφάλιση στην ηλικία, η διαδικασία που περιγράφτηκε παραπάνω µπορεί να εκφραστεί µαθηµατικά µε την εξής σειρά ανισοτήτων q! " # $ < q < q! " % <... # $ +! " %# $ +2 Κανονικά η διαφορά q! q " #! µικραίνει γρήγορα και γίνεται $ % + " #!+$ % +! αµελητέα, για πρακτικούς σκοπούς, µετά από µερικά χρόνια. Έτσι για ασφαλισµένες οµάδες ατόµων αυτής της ηλικίας, τα οποία έχουν 8

19 ασφαλιστεί για διάρκεια µεγαλύτερη των ή 5 ετών, πιθανώς δεν θα υπάρχει αξιόλογη διαφορά στη θνησιµότητα. Η περίοδος του χρόνου κατά τη διάρκεια της οποίας τα αποτελέσµατα της επιλογής είναι ακόµα σηµαντικά, ονοµάζεται περίοδος επιλογής. Oι πίνακες θνησιµότητας οι οποίοι δείχνουν την διαφορά θνησιµότητας βάσει της ηλικίας και συγχρόνως βάση της διάρκειας παραµονής στην ασφάλιση, ονοµάζονται ασφαλιστικοί πίνακες επιλογής. Ένας πλήρης πίνακας επιλογής θα αποτελείται από ένα σύνολο πινάκων θνησιµότητας, ένα πίνακα για κάθε ηλικία που εισέρχεται στην ασφάλιση. Συνήθως όµως δεν είναι απαραίτητο να κατασκευάζουµε πίνακες µε τέτοια λεπτοµέρεια, αφού είναι δυνατόν, γενικά, να υποθέσουµε µια οµοιόµορφη περίοδο επιλογής για όλες τις ηλικίες που εισέρχονται στην ασφάλιση κι έτσι να συµπυκνώσουµε τον πίνακα επιλογής σε µια µορφή, που ονοµάζεται πίνακας επιλογής-τελικός. Αν µπορούσαµε π.χ. να υποθέσουµε ότι τα αποτελέσµατα της επιλογής εξαφανίζονται σε 3 έτη, (περίοδος επιλογής 3 έτη), τότε ο πίνακας θνησιµότητας µπορεί να έχει την µορφή ενός πίνακα επιλογής-τελικού, όπως δείχνεται στον παρακάτω πίνακα. [] l [ ] l [ ]+ l [ ]+2 l Συµβολίζοντας µε [], άτοµο ηλικίας που µόλις εισήλθε στην ασφάλιση, η πρώτη στήλη l [] του πίνακα παριστάνει τον αριθµό των 9

20 επιζώντων που εισήλθαν στην ασφάλιση στην ηλικία χ. H δεύτερη στήλη l [] + παριστάνει τον αριθµό των επιζώντων στην ηλικία + οι οποίοι εισήλθαν στην ασφάλιση πριν ένα έτος (δηλ. στην ηλικία χ). H τρίτη στήλη l [] + 2 παριστάνει τον αριθµό των επιζώντων στην ηλικία +2 οι οποίοι εισήλθαν στην ασφάλιση πριν 2 έτη (δηλ. στην ηλικία ). Το σύµβολο επιλογή [] δεν χρησιµοποιείται στην στήλη l +3 εφ όσον τα αποτελέσµατα επιλογής δεν ισχύουν για το τέταρτο έτος και το l +3 παριστά εξ ίσου τον αριθµό των επιζώντων στην ηλικία + 3, οι οποίοι εισήλθαν στην ασφάλιση πριν 3 έτη (δηλ. στην ηλικία ), καθώς κι αυτών που εισήλθαν στην ασφάλιση πριν 4 έτη(δηλ. στην ηλικία - ), κ.ο.κ. Η στήλη αυτή αποτελεί και το τελικό τµήµα του πίνακα επιλογήςτελικού, µε περίοδο επιλογής 3 έτη. Η τιµή του l +4 βρίσκεται αµέσως κάτω της l +3 τιµής, στην τελική στήλη. Έτσι όλες οι τιµές, για µία ηλικία που εισήλθε στην ασφάλιση, προκύπτουν διαβάζοντας τις τιµές επιλογής οριζοντίως, αρχίζοντας µε την l [ ] και τις τελικές τιµές κατακόρυφα στη στήλη l +3. Π.χ. στην ηλικία των 2 ετών, το σύνολο των επιζώντων είναι Ο αριθµός των επιζώντων στην ηλικία των 23 ετών βρίσκεται, αν διαβάσουµε l [2]+2 = 9496, από την τρίτη στήλη του τµήµατος επιλογής του πίνακα. Ο αριθµός των επιζώντων στην ηλικία 25 ετών βρίσκεται, αν διαβάσουµε l 25 = από την τελική στήλη. Αυτή η ίδια τιµή για τον αριθµό l 25 παριστάνει επίσης τον αριθµό των επιζώντων στην ηλικία των 25 ετών, οι οποίοι εισήλθαν στην ασφάλιση πριν 5 έτη (δηλ. στην ηλικία των 2 ετών), καθώς επίσης κι αυτών που εισήλθαν στην ασφάλιση πριν 3 έτη (δηλ. στην ηλικία των 22 ετών). Έτσι αν κατασκευάσουµε πίνακα επιλογής. οι τιµές l [ ], l [ ]+ κ.λ.π. υπολογίζονται κατ αντίστροφη τάξη. Δηλαδή, αν r είναι η περίοδος επιλογής του πίνακα, τότε υπολογίζουµε στην αρχή την l [ ] + r - της οποίας η τιµή είναι: l [] + r - = l [] + r p [] + r - 2

21 Mετά την l [ ] + r - 2 µε τιµή l [] + r - 2 = l [] + r - κ.ο.κ. Aν π.χ. θέλουµε τις p [] + r - 2 τιµές επιλογής όταν η ηλικία 2 ετών εισέρχεται στην ασφάλιση κι η περίοδος επιλογής είναι r=3 έτη τότε υπολογίζουµε την p [2] + 2 από την οποία προκύπτει η l [2] + 2 = l 24 p [2] + 2 Mε όµοιο τρόπο υπολογίζουµε την l [2] + 2 = l [2] + 2 p [2] +!"# l [2] = l [2] + p [2] Oι τιµές των d [ ], d [ ] +, d [ ] + 2 κ.λ.π. βρίσκονται τότε ως εξής: d [] = l [] -l []+ d []+ = l []+ -l []+2!"# $ %&'#!$ (%!$'$ d []+2 = l []+2 -l []+3 d + = l + -l ++ )#" >2 Mε βάση τα παραπάνω µπορούµε τώρα να υπολογίσουµε τις εξής τιµές q [ ] = d [ ] l [ ] = l [ ]! l []+ l [ ] q [ ]+ = d [ ]+ l [ ]+ q [ ]+2 = d [ ]+2 l [ ]+2 = l [ ]+! l []+2 l [ ]+ = l [ ]+2! l []+3 l [ ]+2 Aν θεωρήσουµε σαν παράδειγµα ότι η ηλικία 25 ετών είναι η ηλικία εισαγωγής στην ασφάλιση, τότε βάσει των τιµών του παραπάνω πίνακα 2

22 έχουµε: q [25] = l [25]! l [25]+ l [25] = q [25]+ = l [25]+! l [25]+2 l [25]+ = q [25]+2 = l [25]+2! l 28 l [25]+2 = =.4 =.7 =.96 Eξάλλου από την τελική στήλη του πίνακα βρίσκουµε ότι q 25 = l 25! l 26 l 25 = q 26 = l 26! l 27 l 26 = q 27 = l 27! l 28 l 27 = =.2 =.24 =.28 Tέλος θα πρέπει να επισηµάνουµε ότι εκτός από τους ασφαλιστικούς πίνακες επιλογής υπάρχουν κι οι συνθετικοί ή συνενωµένοι ασφαλιστικοί πίνακες θνησιµότητας οι οποίοι κατασκευάζονται βάσει της ηλικίας µόνο των ασφαλισµένων

23 KEΦAΛAIO 3 Tιµολόγηση O ασφαλισµένος κατά την προσχώρησή του σε µια ασφαλιστική σύµβαση είναι υποχρεωµένος να καταβάλλει εισφορά ανάλογη µε τον κίνδυνο που εισάγει στην ασφαλιστική εταιρεία. H εισφορά αυτή καλείται ασφάλιστρο. H τιµολόγηση της ασφάλισης προκύπτει απ' την κατανοµή του κόστους στις διάφορες τάξεις ασφαλισµένων και την εκτίµηση των µελλοντικών απωλειών και εξόδων της εταιρείας. O επιτυχής προσδιορισµός του ασφαλίστρου αποτελεί το βασικότερο παράγοντα δίκαιης κατανοµής του κινδύνου. Ένας κίνδυνος X θα θεωρείται ως µια τυχαία µεταβλητή. Tότε τα ασφάλιστρα P ορίζονται ως µία απεικόνιση από ένα σύνολο κινδύνων στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών. Δηλαδή P=H(X) όπου η πραγµατική συνάρτηση H δηλώνει την αρχή υπολογισµού του κινδύνου. Aντικειµενικοί στόχοι της τιµολόγησης Oι βασικότεροι στόχοι της τιµολόγησης είναι ότι τα ασφάλιστρα πρέπει να είναι: ) Eπαρκή ώστε να καλύπτουν τα έξοδα και τυχόν ζηµιές. Eπάρκεια ασφαλίστρων σηµαίνει ότι οι ολικές πληρωµές που συγκεντρώνονται τώρα και στο µέλλον απ' τον ασφαλιστή για ένα δεδοµένο σύνολο συµβολαίων, µαζί µε τα κέρδη από τις επενδύσεις, να είναι αρκετά ώστε να χρηµατοδοτήσουν τις παρούσες και µελλοντικές παροχές που έχει δεσµευτεί η εταιρεία και να καλύψουν τα σχετικά έξοδα. Σηµειώνουµε ότι ο ασφαλιστής δεν µπορεί να γνωρίζει µε ακρίβεια το βαθµό επάρκειας των ασφαλίστρων, ώσπου και το τελευταίο συµβόλαιο να τερµατιστεί. 2) Δίκαια ώστε να µην περιέχουν αδικαιολόγητες διακρίσεις για παρόµοιους κινδύνους ως προς τις ζηµιές και τα έξοδα. Nα παρατηρήσουµε ότι η αποτίµηση του ακριβούς κόστους που ένας κίνδυνος επιφέρει στην εταιρεία είναι αδύνατη κι έτσι η έννοια του απολύτως δίκαιου ασφαλίστρου έχει µόνο προσεγγιστικό νόηµα. 3) Όχι υπερβολικά ώστε να µην υπάρχουν αρνητικές συνέπειες από την είσπραξη υψηλού ασφαλίστρου στην ασφαλιστική εταιρεία, στον αφαλισµένο αλλά και στην εθνική οικονοµία. 23

24 4) Aπλά ώστε οι πωλητές ασφαλίσεων να µπορούν να καταλάβουν τον τρόπο υπολογισµού τους κι έτσι να είναι σε θέση να αναβαθµίσουν το επίπεδο εξυπηρέτησης προς τον πελάτη αλλά και να είναι σε θέση να λάβουν κατάλληλα µέτρα πρόληψης, για τη µείωση του ασφαλιστικού κόστους. 5) Σχετικά σταθερά για ορισµένα χρονικά διαστήµατα ώστε να µην δυσαρεστείται ο καταναλωτής και να µην θίγεται ο ασφαλιστικός θεσµός. 6) Προσαρµόσιµα στις διαχρονικές µεταβολές των κινδύνων και στις µεταβαλλόµενες οικονοµικές συνθήκες. 7) Nα ενθαρρύνουν την πρόληψη ώστε να µειώνεται η συχνότητα και η σοβαρότητα των κινδύνων. Aρχές υπολογισµού ασφαλίστρων Aρχή της Mαθηµατικής ελπίδας Σ' αυτή την περίπτωση για να υπολογίσουµε το ασφάλιστρο P χρησιµοποιούµε τη σχέση P=E[X] όπου E[X] η µέση τιµή του κινδύνου X και τότε το ασφάλιστρο καλείται καθαρό ασφάλιστρο κινδύνου. H αρχή αυτή οδηγεί σε χρεωκοπία. Π.χ. εάν ο κίνδυνος Χ ακολουθεί την εκθετική κατανοµή ισχύουν τα εξής: E(X ) P(X > E(X) =! P[X " E(X)] =! % #e!# d =! % #e!# d =! % #e!# d Τώρα έχουµε ότι #!e "! d = "e "! και!$ #!$ # *! #!e "! d = "e "!! $ = " e "! '! & ) % ( " - $, +, e / = "./ % & e " ' ( ) = " e " Οπότε P(X > E(X) =!! % # $ e& ' = e Η πιθανότητα λοιπόν για µια ασφαλιστική εταιρεία να χρεωκοπήσει e θεωρείται αρκετά µεγάλη. Έτσι λοιπόν είναι προτιµότερο να χρησιµοποιούµε την αρχή P=(+d)!E[X] µε το d να εκφράζει το περιθώριο ασφάλειας, δηλαδή την αβεβαιότητα ως προς την απόκλιση 24

25 της εκτίµησης από παλαιότερα στοιχεία της µέσης τιµής E ˆ[ X ] από την πραγµατική αλλά άγνωστη E[X]. Aρχή της Iσοδυναµίας Σηµειώνουµε αρχικά ότι µε τον όρο αναλογιστική παρούσα αξία θα εννοούµε τη µαθηµατική ελπίδα µιας παρούσας αξίας µελλοντικών µη βέβαιων πληρωµών. Για να υπολογιστεί µία αναλογιστική παρούσα αξία πρέπει να γνωρίζουµε το ύψος των πληρωµών, το χρόνο της καταβολής καθώς και την πιθανότητα να γίνει η καταβολή στον αντίστοιχο χρόνο. Γενικά το ασφάλιστρο σε µια ασφάλεια ζωής εξοφλείται µε δόσεις και οι ασφαλιστικές παροχές πολλές φορές καταβάλλονται σε διαφορετικές χρονικές στιγµές, όπου δεν είναι γνωστή µε βεβαιότητα εκ των προτέρων ούτε η καταβολή όλων των ασφαλίστρων, ούτε η καταβολή των παροχών. Προκειµένου τώρα να συγκριθούν παροχές και ετήσια ασφάλιστρα πρέπει να αναχθούν σε αρχικό χρόνο = οπότε εκτιµούµε το ασφάλιστρο κινδύνου κάνοντας χρήση της αρχής της ισοδυναµίας η οποία καθορίζει ότι "η αναλογιστική παρούσα αξία όλων των µαθηµατικών ασφαλίστρων πρέπει να είναι ίση µε την αναλογιστική παρούσα αξία των σχετικών ασφαλιστικών αποζηµιώσεων". Nα σηµειώσουµε ότι η αρχή της ισοδυναµίας είναι η αρχή που χρησιµοποιείται ευρέως στην πράξη. Aρχή της Tυπικής Aπόκλισης και Διασποράς Aν η E[X] είναι η µέση τιµή και Var(X) είναι η διασπορά του κινδύνου X τότε η αρχή της τυπικής απόκλισης έχει τη µορφή P = E[ X ] +! " Var( X ) Aρχή της Mέγιστης Aπώλειας Eδώ έχουµε ότι P =! " E[ X ] + ( #!)" Ma( X ) µε το < ρ < και µε την προϋπόθεση ότι η µέγιστη τιµή Ma(X) ικανοποιεί τη σχέση Ma( X ) <! Διαφορετικά αν Ma( X ) =! τότε θεωρούµε ότι ο κίνδυνος είναι µη ασφαλίσιµος. Aρχή της Mέσης Tιµής Σ' αυτή την περίπτωση έχουµε f(p)=e[f(x)] όπου f µια συνεχής και αυστηρά µονότονη συνάρτηση στο πεδίο ορισµού του φραγµένου κινδύνου X. 25

26 Eλβετική Aρχή Περιγράφεται από τη σχέση f (( "!)# P) = E[ f ( X "! # P)] όπου f µια συνεχής και αυστηρά µονότονη συνάρτηση και <ρ< Aρχή Orlicz Eδώ έχουµε E[!( X P!"" #. Aρχή Esscher )] =!() όπου η φ ικανοποιεί τις σχέσεις!" > και H αρχή υπολογισµού του ασφαλίστρου παίρνει τώρα τη µορφή a! X E[ X! e ] P = a! X E[ e ] Aρχή της Ωφελιµότητας Η βασική ιδέα είναι ότι η απόκτηση (ή απώλεια) ενός χρηµατικού ποσού δεν έχει την ίδια σηµασία για όλα τα άτοµα. Η ιδέα αυτή δεν σηµαίνει ότι το χρηµατικό ποσό στερείται αντικειµενικής αξίας. Απλώς η αρχή αυτή εκφράζει την πεποίθηση ότι οι οικονοµικές αποφάσεις δεν λαµβάνονται µε γνώµονα την αντικειµενική αυτή αξία αλλά τη σηµασία (ωφελιµότητα) που έχει το ποσό για το λήπτη της απόφασης. Aυτό περιγράφεται από µία συνάρτηση που συµβολίζεται µε u(ω) και ονοµάζεται συνάρτηση ωφελιµότητας. Αυτή απεικονίζει (αριθµητικά) την διαφορετική αντιµετώπιση του κινδύνου για όλα τα διαφορετικά ω (περιουσιακά στοιχεία) του λήπτη της απόφασης. H συνάρτηση u(ω) που ορίζεται για! " είναι συνεχής και αύξουσα δηλαδή αύξηση των περιουσιακών στοιχείων, συνεπάγεται αύξηση της u(ω). Εάν ο λήπτης της απόφασης έχει περιουσιακά στοιχεία ω και πρέπει να προτιµήσει µια εκ των, 2,..., οικονοµικών επιλογών που αντιστοιχούν στα τυχαία X, X 2,..., X οικονοµικά αποτελέσµατα, θα συγκρίνει τις αντίστοιχες µέσες τιµές των συναρτήσεων ωφελιµότητας Ε[u(ω+ X )],.., Ε[u(ω+ X )]. Ο συνετός λήπτης της απόφασης θα 26

27 προτιµήσει την οικονοµική επιλογή που βελτιστοποιεί την αναµενόµενη µέση τιµή της συνάρτησης ωφελιµότητας. Κινδυνοφοβία Το γεγονός ότι η u(ω) είναι συνεχής σηµαίνει ότι λαµβάνει µεγαλύτερες τιµές για κάθε µεγαλύτερο οικονοµικό επίπεδο (πλούτο). Εάν u!(") > και u!!(") < (δηλ. το γράφηµα της συνάρτησης στρέφει τα κοίλα κάτω) ο λήπτης της απόφασης θεωρείται κινδυνόφοβος µε τα εξής χαρακτηριστικά: Δεν είναι άπληστος και αποδίδει µεγαλύτερη σηµασία στην ασφάλεια και λιγότερο σε κάποιο δελεαστικό αλλά αβέβαιο ενδεχόµενο κέρδους. Εάν u!(") > και u!!(") > (δηλ. το γράφηµα της συνάρτησης στρέφει τα κοίλα πάνω) ο λήπτης της απόφασης θεωρείται κινδυνολάτρης. Μια συνέπεια τώρα της κινδυνοφοβίας είναι: u(ω+)-u(ω) > u(ω+2)-u(ω+) Δηλαδή κάθε προστιθέµενο ευρώ παράγει µικρότερη αύξηση στην αξία της ωφελιµότητας από ότι το προηγούµενο ευρώ. Ο φόβος εποµένως της απώλειας ενός ευρώ υπερσκελίζει την ικανοποίηση του ισοδύναµου 27

28 κέρδους ενός ευρώ. Αυτό µπορεί να εξαχθεί από µια θεωρητική συνέπεια της Κινδυνοφοβίας, γνωστή ως Νόµος του Jese: Έστω Υ µια τυχαία µεταβλητή. Αν u είναι µια κοίλη συνάρτηση, δηλαδή u!! < τότε E[u(Y )]! u(e[y ]). Τώρα εάν η u είναι µια κυρτή συνάρτηση, δηλαδή u!! > τότε E[u(Y)]! u(e[y]). Τέλος εάν u!! = τότε E[u(Y)] = u(e[y]). Ένα απλό κινδυνοφοβικό παραµετρικό µοντέλο ωφελιµότητας είναι το εξής: Για u(ω)=!e!"#, α> έχουµε: Aσφαλιστικές Αποφάσεις µε τη θεωρία της ωφελιµότητας Έστω ότι ένα άτοµο αντιµετωπίζει τυχαία ζηµιά Χ και µπορεί να αγοράσει ολική ασφαλιστική κάλυψη αντί ασφαλίστρου G. Tότε το άτοµο συγκρίνει την Ε[u(ω-Χ)], την µέση τιµή της ωφελιµότητας χωρίς ασφάλιση και την u(ω-g) µέση τιµή της ωφελιµότητας µε ασφάλιση. Χωρίς ασφάλιση ο πλούτος του µειώνεται κατά Χ, ενώ µε ασφάλιση ο πλούτος του µειώνεται κατά το ασφάλιστρο G. Εάν u(ω-g) > Ε[u(ω-Χ)] (µε ασφάλιση) (χωρίς ασφάλιση) τότε η ασφάλιση θα βελτιώσει την ωφελιµότητά του. Ο συνετός λήπτης της απόφασης τότε θα επιλέξει την ασφάλιση. Σηµειώνεται ότι η u(ω-g) µειώνεται καθώς το ασφάλιστρο G αυξάνει επειδή η u(ω) είναι αύξουσα συνάρτηση. Έστω G ma το (άγνωστο) µέγιστο ασφάλιστρο που το άτοµο είναι διατεθειµένο να καταβάλλει για να ασφαλιστεί έναντι του κινδύνου Χ. Εάν G = G ma τότε ικανοποιείται η εξίσωση «αδιαφορίας» u(!-g ma ) = E[u(!-X)] 28

29 Αυτή είναι τέτοια ώστε αν G<G ma οδηγεί στο να προτιµηθεί η ασφάλιση, ενώ G>G ma οδηγεί στην απόρριψη της ασφάλισης και της αποδοχής του κινδύνου της ζηµιάς από τον λήπτη της ασφάλισης. Με G=G ma ο λήπτης της απόφασης είναι αδιάφορος. Έστω ένα κινδυνόφοβο άτοµο. Θα δούµε ότι αυτό είναι διατεθειµένο να καταβάλλει ασφάλιστρο µεγαλύτερο από το Ε(Χ) για κίνδυνο Χ. Από την ανισότητα του Jese η συνάρτηση ωφελιµότητας του ατόµου θα είναι κοίλη εφόσον το έχουµε θεωρήσει κινδυνόφοβο και θα ισχύει ότι E[ u( X )]! u( E[ X ]). Αλλά ξέρουµε ότι ισχύει u( w! Gma ) = E[ u( w! X )] και λόγω της προηγούµενης ανισότητας αυτό είναι µικρότερο ή ίσο του u( E[ w! X ]) = u( w! E[ X ]) " u( w! Gma ) # u( w! E[ X ]) και επειδή η συνάρτηση ωφελιµότητας είναι αύξουσα καταλήγουµε ότι ( w! G ) " ( w! E[ X ]) # G $ E[ X ]. ma ma Τώρα η ασφαλιστική απόφαση από τη µεριά του ασφαλιστή έχει ως εξής: Έστω u (! ) η συνάρτηση ωφελιµότητας για τον ασφαλιστή και Η για το ασφάλιστρο. Εάν ο ασφαλιστής δεν καλύψει τον κίνδυνο η (αναµενόµενη) ωφελιµότητα του παραµένει σταθερή και ίση µε u (! ) εάν! το τρέχον οικονοµικό του επίπεδο. Εάν ο ασφαλιστής κάλυπτε τον κίνδυνο θα κέρδιζε το ασφάλιστρο Η και θα απορροφούσε τη ζηµία Χ, µεταβάλλοντας τα συνολικά περιουσιακά του στοιχεία σε! + Η - Χ. Έτσι θα ήταν συνετό να καλύψει τον κίνδυνο εάν E[u (! +H-X)] > u (! ) (καλύπτει) (δεν καλύπτει) Καθώς το Η µειώνεται, η αριστερή πλευρά της εξίσωσης επίσης µειώνεται, εφόσον η u είναι αύξουσα συνάρτηση. Έστω H mi είναι το ελάχιστο ασφάλιστρο που ο ασφαλιστής είναι διατεθειµένος να δεχτεί προκειµένου να ασφαλίσει τον κίνδυνο Χ. Εάν H = H mi τότε ικανοποιείται η εξίσωση «αδιαφορίας» του ασφαλιστή E[u (! +H mi -X)] = u (! ) και είναι τέτοια ώστε αν H > H mi οδηγεί σε απόφαση κάλυψης του κινδύνου. Εάν ο ασφαλιστής είναι κινδυνόφοβος τότε H mi > E[X]. Η συνθήκη για τη σύναψη ασφάλισης είναι αν G ma > H mi. Είναι τέτοια ώστε όπως φαίνεται από το παρακάτω διάγραµµα, είναι δυνατόν να 29

30 πωληθεί η ασφάλιση, επειδή οποιοδήποτε ασφάλιστρο µεταξύ G ma και H mi βελτιώνει την ωφελιµότητα και των δύο µερών. Aρχή της αξιοπιστίας H θεωρία της αξιοπιστίας είναι ένας τρόπος στατιστικής εκτίµησης ενός κινδύνου X αν δεν έχουµε αρκετά δεδοµένα από το συγκεκριµένο κίνδυνο για τον υπολογισµό του αντίστοιχου ασφαλίστρου αυτού. O εκτιµητής αξιοπιστίας C είναι ένας γραµµικός συνδυασµός των παρατηρήσεων από δεδοµένα προηγούµενων µετρήσεων του συγκεκριµένου κινδύνου µε την υποκειµενική γνώµη του αναλυτή ή από στοιχεία συναφών κινδύνων. Mπορούµε εποµένως να γράψουµε ότι C = Z! R + ( " Z)! H όπου R µία εκτίµηση του κινδύνου που βασίζεται σε προηγούµενα δεδοµένα από το συγκεκριµένο κίνδυνο X, H µια εκ των προτέρων εκτίµηση του κινδύνου, Z ο συντελεστής αξιοπιστίας µε τιµές στο διάστηµα [,] και είναι ένα µέτρο της βαρύτητας όπου ο ασφαλιστής θα δώσει στις παρατηρήσεις του κινδύνου X. Tο Z εξαρτάται από το σύνολο των παρατηρήσεων που είναι διαθέσιµες για τον κίνδυνο αυτό. Επιθυµητές ιδιότητες των αρχών υπολογισµού ασφαλίστρων Kάποιες από αυτές τις ιδιότητες των αρχών υπολογισµού ασφαλίστρων είναι οι παρακάτω: ) E[ X ]! P! Ma( X ) 2) P( X + X 2) = P( X) + P( X 2) όπου µε P( X + X 2) συµβολίζουµε το ασφάλιστρο για τον κίνδυνο X + X 2 3) P( X + c) = P( X ) + c όπου c σταθερά 3

31 4) P( c! X ) = c! P( X ) 5) P X! X 2 = P X! P X 2 ( ) ( ) ( ) Aσφαλιστικά Σχήµατα Στην περίπτωση µερικής (ασφαλιστικής) κάλυψης ενός κινδύνου, δηλαδή µε ασφαλιστικά σχήµατα τα οποία παρέχουν στον ασφαλιζόµενο µερική αποζηµίωση του συνολικού ύψους της ζηµιάς Ι(Χ)<Χ, η ζηµιά κατανέµεται µεταξύ του ασφαλιζόµενου και του ασφαλιστή ως εξής: Χ = [Χ Ι(Χ)] + Ι(Χ) όπου Χ το σύνολο της ζηµιάς, Χ Ι(Χ) η ιδία κράτηση ασφαλιζοµένου και Ι(Χ) το τµήµα αποζηµίωσης που καταβάλλει ο ασφαλιστής. Υπάρχουν πολλοί λόγοι που ευνοούν την µερική µόνο κάλυψη ενός κινδύνου όπως είναι η αδυναµία πληρωµής του ασφαλίστρου για πλήρη κάλυψη ή η επιθυµία του ασφαλιζόµενου να καλύψει ένα τµήµα του ύψους του αντιµετωπιζόµενου κινδύνου. Επίσης το µέγεθος του κινδύνου να είναι δυσανάλογα µεγάλο των οικονοµικών δυνατοτήτων του ασφαλιστή όπως στην περίπτωση πτώσης επιβατηγού αεροπλάνου όπου οι συνολικές αποζηµιώσεις φτάνουν σε εκατοντάδες εκατοµµύρια ευρώ. Εδώ ο κίνδυνος αναλαµβάνεται από πολλές ασφαλιστικές εταιρίες απ όλο τον κόσµο. Στις περιπτώσεις κατάτµησης ενός κινδύνου ενεργοποιείται ο µηχανισµός της αντασφάλισης ή αυτός της συνασφάλισης. Στην αντασφάλιση δεν υπάρχει συµβατική σχέση µεταξύ του ασφαλισµένου και του αντασφαλιστή. Υπάρχουν δύο συµβάσεις, εκείνη µεταξύ του ασφαλισµένου και του πρωτασφαλιστή και η αντασφαλιστική σύµβαση. Ο πρωτασφαλιστής αρχικά βάση της ασφαλιστικής σύµβασης αναλαµβάνει το σύνολο του κινδύνου από τον ασφαλισµένο. Στη συνέχεια όµως εκχωρεί ένα τµήµα του στον αντασφαλιστή. Η αντασφάλιση είναι ένας µηχανισµός που επιτρέπει την κατάτµηση του κινδύνου µεταξύ πολλών ασφαλιστών. Τώρα στην συνασφάλιση, η ασφαλιστική σύµβαση υπογράφεται από πολλούς ασφαλιστές οι οποίοι ονοµάζονται συµβαλλόµενοι. Αυτοί αναλαµβάνουν από ένα τµήµα του κινδύνου το οποίο και αναγράφεται στο ασφαλιστήριο συµβόλαιο. Τόσο οι ασφαλιστές όσο και οι ασφαλιζόµενοι επιλέγουν την µη ασφάλιση µικρών σε ύψος αποζηµιώσεων οι οποίες προέρχονται από τον συγκεκριµένο κίνδυνο. Αυτό έχει να κάνει µε τη µείωση του κόστους της προσφερόµενης εντέλει τµηµατικής κάλυψης, αφού απαλλάσσει τον ασφαλιστή από την ακριβή διαχείριση πολλών ζηµιών µε µικρές 3

32 αποζηµιώσεις. Ταυτόχρονα προσφέρει στον ασφαλιζόµενο την δυνατότητα να ασφαλιστεί για ανώτερα τµήµατα του κινδύνου τα οποία εάν συµβούν µπορούν να είναι καταστροφικά για τον οικογενειακό του προϋπολογισµό. Η πλέον κοινή µορφή της εξαίρεσης ζηµιών µικρού ύψους αποζηµίωσης σχετικές µε ένα συγκεκριµένο κίνδυνο είναι η απαλλαγή. Στην περίπτωση της απαλλαγής ο ασφαλιζόµενος συµφωνεί να απορροφήσει τα ύψη αποζηµιώσεων τα οποία είναι µικρότερα ή ίσα του ποσού της απαλλαγής και ο ασφαλιστής αναλαµβάνει την αποζηµίωση του ύψους της ζηµιάς που είναι µεγαλύτερο της απαλλαγής. Σηµειώνεται ότι όταν το ποσό της απαλλαγής αυξάνει τότε η ονοµασία αλλάζει και χρησιµοποιείται ο όρος ιδία κράτηση. Π.χ. έχουµε απαλλαγή 5 ευρώ αλλά ιδία κράτηση. ευρώ. Ένα ασφαλιστικό σχήµα για τον κίνδυνο Χ είναι οποιαδήποτε τυχαία µεταβλητή Ι(Χ)<Χ. Τα σχήµατα αυτά διακρίνονται σε αναλογικά και µη αναλογικά. Αναλογική αντασφάλιση Σύµφωνα προς την αναλογική αντασφάλιση, ο αντασφαλιστής καλύπτει µια συµφωνηµένη αναλογία για κάθε κίνδυνο. Η αναλογική αντασφάλιση εφαρµόζεται από τον ασφαλιστή σαν µέσο προκειµένου να αναλάβει κίνδυνο µεγαλύτερο από αυτόν που αναλαµβάνει συνήθως. Το γεγονός αυτό ωστόσο δεν τον προστατεύει από κατ εξαίρεση µεγάλες ζηµιές (3% µιας τεράστιας ζηµιάς, αποτελεί ένα τεράστιο κόστος). Οι γενικές αρχές µιας αναλογικής αντασφάλισης είναι: α) Ο αντασφαλιστής καλύπτει αναλογικά ένα τµήµα του κινδύνου ο οποίος καλύπτεται βάσει του συµβολαίου που εκδίδεται από τον ασφαλιστή. β) Στον αντασφαλιστή αποδίδεται η ίδια αναλογία ασφαλίστρου από αυτό το οποίο λαµβάνεται από τον ασφαλισµένο. γ) Ο αντασφαλιστής αποδίδει στον ασφαλιστή, για κάθε ποσό ζηµιάς που πληρώνει, το αντίστοιχο ποσοστό του ποσού της ζηµιάς. Αναλογικά Ασφαλιστικά Σχήµατα Ι(Χ) = αχ, <α<, αποζηµίωση ασφαλιστή Χ Ι(Χ) = (-α)χ, ιδία κράτηση ασφαλιζοµένου 32

33 Μη αναλογική αντασφάλιση Η αναλογική αντασφάλιση µπορεί να εφαρµοστεί προκειµένου να επιτευχθεί η διασπορά του κινδύνου και η κατ αναλογία ελάττωση του µεγέθους του κινδύνου που κρατείται από τον ασφαλιστή. Ωστόσο, δεν είναι η πλέον ικανοποιητική για περιπτώσεις πολύ µεγάλων κινδύνων, αφήνοντας σαν συνέπεια ακάλυπτο τον ασφαλιστή στην περίπτωση επέλευσης αυτών. Τέτοιοι κίνδυνοι για παράδειγµα είναι εκείνοι που εµπεριέχουν την κάλυψη της Αστικής Ευθύνης. Σε τέτοιες περιπτώσεις εφαρµόζεται η µη αναλογική αντασφάλιση. Μια τέτοια αντασφάλιση είναι η Εcess of Loss. Βάση αυτής ο αντασφαλιστής συµφωνεί στην αποζηµίωση του ποσού της ζηµιάς που υπερβαίνει κάποιο συγκεκριµένο επίπεδο κόστους. Ο αντασφαλιστής είναι δυνατόν να καλύψει ολόκληρο το υπερβάλλον ποσό ή µέχρι κάποιο καθορισµένο ανώτατο όριο. Στην τελευταία περίπτωση, ο ασφαλιστής θα πρέπει να αγοράσει διάφορα επίπεδα κάλυψης από διαφορετικούς αντασφαλιστές ούτως ώστε να εξασφαλιστεί επαρκώς στην περίπτωση επέλευσης της ζηµιάς. Μη αναλογικά ασφαλιστικά σχήµατα Sop-Loss ή Εcess of Loss ασφάλιση $ & I(X) = % X " d '& X! d = τµήµα ζηµιάς του ασφαλιστή µε απαλλαγή d X # d 33

34 $ & X! I d (X) = X % d '& X " d X # d = ιδία κράτηση ασφαλιζοµένου µε όριο d Eνιαία καθαρά ασφάλιστρα Θα υποθέσουµε ότι τα ασφάλιστρα πληρώνονται όλα εφάπαξ όταν συνάπτεται η ασφάλιση, οπότε δεν τίθεται θέµα υπολογισµού της αναλογιστικής παρούσας αξίας του ασφαλίστρου. Tότε ως ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο ορίζουµε να είναι η αναλογιστική παρούσα αξία των ασφαλιστικών παροχών. Για την πληρωµή του ασφαλισµένου κεφαλαίου, όταν αυτό καταβάλλεται στο θάνατο (). Θα θεωρούµε τις ακόλουθες δύο περιπτώσεις: I) Στην πρώτη περίπτωση υποθέτουµε ότι το ασφαλισµένο κεφάλαιο είναι να καταβληθεί "στο τέλος του έτους του θανάτου", δηλαδή στην 34

35 πρώτη επέτειο του ασφαλιστηρίου αµέσως µετά το θάνατο του ασφαλισµένου. Tότε θα συµβολίζουµε τη συνάρτηση της παρούσας αξίας K των παροχών κατά την έναρξη της ασφάλισης µε Y = b "! + (Α) µε K K + k αντίστοιχες τιµές yk = b k! + + " όπου b k + είναι η παροχή στον ασφαλισµένο τον χρόνο κ+, δεδοµένης της επιβίωσης/αποβίωσης του k (χ) στο ασφαλιστικό έτος (κ, κ+) και! + είναι η οικονοµική συνάρτηση που απαιτείται για την προεξόφληση της αντίστοιχης παροχής. II) Στην δεύτερη περίπτωση υποθέτουµε ότι το ασφαλισµένο κεφάλαιο θα καταβληθεί την "ακριβή στιγµή του θανάτου". Tότε θα συµβολίζουµε τη συνάρτηση παρούσας αξίας των παροχών κατά την έναρξη της T ασφάλισης µε ZT = b T "! (Β) µε τιµές z = b "! όπου b είναι η παροχή στον ασφαλισµένο τον χρόνο δεδοµένης της επιβίωσης/αποβίωσης του (χ) στο χρόνο αυτό και! η οικονοµική συνάρτηση που απαιτείται για την προεξόφληση της αντίστοιχης παροχής. Nα παρατηρήσουµε εδώ ότι οι σχέσεις (A) και (B) δηλώνουν ότι οι δύο συναρτήσεις Y, Z εξαρτώνται από τον υπολειπόµενο χρόνο ζωής του () από την έναρξη της ασφάλισης. Άρα το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο θα ισούται µε την µαθηµατική ελπίδα των Y K ή Z!

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΕΤΑΡΤΟ Προγράµµατα Ασφαλίσεων Ζωής Προγράµµατα Ασφαλίσεων Ζωής Σταθερού Κεφαλαίου ) Ασφάλιση Επιβίωσης Με αυτό το πρόγραµµα τo ασφαλισµένο κεφάλαιο πληρώνεται στη λήξη της ασφάλισης ενώ τα ασφάλιστρα, που συνήθως είναι ετήσια, πληρώνονται µέχρι τη λήξη της ασφάλισης και εφόσον ο ασφαλισµένος βρίσκεται στη ζωή. Θεωρούµε άτοµο ηλικίας ετών που ασφαλίζεται µε το πρόγραµµα της ασφάλισης επιβίωσης για διάρκεια ετών και για κεφάλαιο µονάδας. Το ασφαλιζόµενο άτοµο θα εισπράξει το ποσό της µονάδας µετά από έτη, δηλαδή στην ηλικία των + ετών, εφόσον βρίσκεται στη ζωή. Αν θέσουµε b T " $ = T < # %$! T $ & και Z = b T!" T = T < % '& " # T τότε η αναλογιστική παρούσα αξία ασφαλισµένου κεφαλαίου µονάδας το οποίο θα πληρωθεί µετά από έτη σε περίπτωση επιβίωσης θα είναι η µέση τιµή Ε(Ζ). Αν συµβολίσουµε αυτή τη µέση τιµή µε A ή E παίρνουµε ότι: A : " = # z! f T ()! d = #! p! µ + d +$!# p! µ + d = $! p. Θεωρούµε τώρα τη συνάρτηση D =! "!. Παρατηρούµε ότι η D περιέχει συναρτήσεις θνησιµότητας και επιτοκίου. Γενικά µια συνάρτηση που περιέχει συναρτήσεις θνησιµότητας και επιτοκίου θα λέγεται συνάρτηση ή σύµβολο µετατροπής. Εποµένως χρησιµοποιώντας τη D+ συνάρτηση µετατροπής D µπορούµε να γράψουµε A =. Η : D τελευταία ισότητα δηλώνει το χρηµατικό ποσό που πρέπει να πληρώσει µε µία εφάπαξ πληρωµή άτοµο ηλικίας ώστε να εισπράξει µετά από - έτη, κι εφόσον βρίσκεται στη ζωή το ασφαλισµένο κεφάλαιο της µονάδας. Στην περίπτωση όπου το ασφαλισµένο κεφάλαιο είναι C µονάδες τότε το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο είναι η µέση τιµή της τυχαίας µεταβλητής " : 36