Αλγόριθµοι Βελτιστοποίησης σε Συστήµατα Παραγωγής Ανάπτυξη και Υλοποίηση ενός Μυωπικού Αλγορίθµου σε C++ Και Συγκριτική Μελέτη µε άλλους αλγορίθµους

Transcript

1 Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Πληροφορική και ιοίκηση» Τµηµάτων Πληροφορικής και Οικονοµικών Σπουδών Αλγόριθµοι Βελτιστοποίησης σε Συστήµατα Παραγωγής Ανάπτυξη και Υλοποίηση ενός Μυωπικού Αλγορίθµου σε C++ Και Συγκριτική Μελέτη µε άλλους αλγορίθµους ιπλωµατική Εργασία Νικήτα Μαρία, Α.Μ.: 250 Επιβλέπων Καθηγητής: Παπαδόπουλος Χρυσολέων Καθηγητής Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 2010

2 Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Πληροφορική και ιοίκηση» Τµηµάτων Πληροφορικής και Οικονοµικών Σπουδών ιπλωµατική Εργασία Νικήτα Μαρία, Α.Μ.: 250 Επιβλέπων Καθηγητής: Παπαδόπουλος Χρυσολέων Καθηγητής Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Μάρτιος

3 Ευχαριστίες Στο σηµείο αυτό θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους εκείνους που συνέβαλλαν και βοήθησαν στην πραγµατοποίηση αυτής της διπλωµατικής εργασίας. Αρχικά, οφείλω να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα Καθηγητή κ. Παπαδόπουλο Χρυσολέοντα για την καθοδήγηση και την οργάνωση της διπλωµατικής µου εργασίας και για το θετικό του πνεύµα καθ όλη τη διάρκεια εκπόνησής της. Επίσης, οφείλω να ευχαριστήσω και τον Λέκτορα κ. ιαµαντίδη Αλέξανδρο για την πολύτιµη βοήθειά του στην επίβλεψη και τη διόρθωση της διπλωµατικής και για την υποµονή του. Τέλος, θα ήθελα να πω ένα µεγάλο ευχαριστώ στους φίλους που µου συµπαραστάθηκαν και κυρίως να εκφράσω την ευγνωµοσύνη µου στους γονείς µου ηµήτρη και Αναστασία για την στήριξη που µου παρείχαν όλα αυτά τα χρόνια και την συνολική τους βοήθεια. 2

4 Περιεχόµενα Περίληψη...6 Abstract...7 Κατάλογος σχηµάτων...8 Κατάλογος Πινάκων...10 Κίνητρο, Συνεισφορά και Περίγραµµα Εργασίας Εισαγωγή στα Βιοµηχανικά Συστήµατα Παραγωγής... (Manufacturing Production Systems) Ορισµός και βασικά χαρακτηριστικά Βασικά θέµατα που έχουν απασχολήσει τη βιβλιογραφία Κατηγοριοποίηση των βιοµηχανικών συστηµάτων Κατηγοριοποίηση των γραµµών παραγωγής (flow lines) Κατηγοριοποίηση µε βάση την τοπολογία των µηχανών Κατηγοριοποίηση µε βάση τον τύπο των παραγόµενων προϊόντων Κατηγοριοποίηση µε βάση την αξιοπιστία των µηχανών Κατηγοριοποίηση µε βάση την κίνηση των προϊόντων Μέτρα απόδοσης των βιοµηχανικών συστηµάτων παραγωγής Μέθοδοι Εκτίµησης της Απόδοσης των Βιοµηχανικών... Συστηµάτων Παραγωγής Η µέθοδος της προσοµοίωσης (Simulation method) Μαρκοβιανή ανάλυση Η µέθοδος της αποσύνθεσης (Decomposition method) Η µέθοδος της συνάθροισης (Aggregation method) Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Αναλυτική παρουσίαση του προβλήµατος Μαθηµατική τυποποίηση του προβλήµατος Μέθοδος Απαρίθµησης Μέθοδος Gradient Μέθοδος Προσοµοιωµένης Ανόπτησης (Simulated Annealing)

5 3.5 Γενετικός Αλγόριθµος Μέθοδος Περιορισµένης Αναζήτησης (Tabu Search) Ευρετική ή Ευρεστική µέθοδος (Heuristic method) Μέθοδος Nested Partitions Μέθοδος Liba Υβριδικές Μέθοδοι Ο Προτεινόµενος Αλγόριθµος Βελτιστοποίησης Η βασική ιδέα των Μυωπικών Αλγορίθµων Εφαρµογές µυωπικών αλγορίθµων Το πρόβληµα του λιανοπωλητή Χρονοπρογραµµατισµός εργασιών Χρονοπρογραµµατισµός εργασιών σε συστήµατα µε παράλληλους επεξεργαστές Σταθµισµένο πρόβληµα επιλογής διαστήµατος ανά εργασία Ο Προτεινόµενος Μυωπικός Αλγόριθµος Τα βήµατα του προτεινόµενου µυωπικού αλγορίθµου Το ιάγραµµα Ροής του Μυωπικού Αλγορίθµου Η αρχική λύση Η εκτιµητική συνάρτηση Παραδείγµατα Πειραµατικός Σχεδιασµός και Αποτελέσµατα Περιγραφή πειραµάτων Αποτελέσµατα πειραµάτων και σχόλια Αποτελέσµατα δοκιµών σε µικρές γραµµές παραγωγής όπου όλοι οι σταθµοί επεξεργασίας έχουν τα ίδια χαρακτηριστικά Συγκεντρωτικά σχόλια για τα αποτελέσµατα δοκιµών σε µικρές γραµµές παραγωγής όπου όλοι οι σταθµοί επεξεργασίας έχουν τα ίδια χαρακτηριστικά Αποτελέσµατα δοκιµών σε µεσαίου µεγέθους γραµµές παραγωγής όπου όλοι οι σταθµοί επεξεργασίας έχουν τα ίδια χαρακτηριστικά Συγκεντρωτικά σχόλια για τα αποτελέσµατα δοκιµών σε µεσαίου µεγέθους γραµµές παραγωγής όπου όλοι οι σταθµοί επεξεργασίας έχουν τα ίδια χαρακτηριστικά

6 5.2.5 Αποτελέσµατα δοκιµών σε µικρού και µεσαίου µεγέθους γραµµές παραγωγής όπου δεν είναι όλοι οι σταθµοί ταυτόσηµοι Συγκεντρωτικά σχόλια για τα αποτελέσµατα δοκιµών σε µικρού και µεσαίου µεγέθους γραµµές παραγωγής όπου δεν είναι όλοι οι σταθµοί ταυτόσηµοι Αποτελέσµατα δοκιµών σε µεγάλου µεγέθους γραµµές παραγωγής όπου σε ορισµένες περιπτώσεις δεν είναι οι σταθµοί ταυτόσηµοι Συγκεντρωτικά σχόλια για τα αποτελέσµατα δοκιµών σε µεγάλου µεγέθους γραµµές παραγωγής όπου σε ορισµένες περιπτώσεις δεν είναι όλοι οι σταθµοί ταυτόσηµοι Αποτελέσµατα δοκιµών µε διάφορες αρχικές λύσεις που δηµιουργήθηκαν µε τυχαιότητα και ανεξάρτητα από το αν οι σταθµοί εργασίας είναι ταυτόσηµοι Συµπεράσµατα και Περαιτέρω Έρευνα Συµπεράσµατα Περαιτέρω έρευνα Βιβλιογραφία

7 Περίληψη Η εργασία αυτή ασχολείται µε την ανάπτυξη και την υλοποίηση (σε γλώσσα προγραµµατισµού C++) ενός µυωπικού αλγορίθµου για την επίλυση του προβλήµατος της βέλτιστης κατανοµής των αποθηκευτικών χώρων των συστηµάτων παραγωγής µε στόχο την αύξηση της απόδοσής τους. Ο προτεινόµενος αλγόριθµος δηµιουργήθηκε στηριζόµενος στη βασική ιδέα των µυωπικών αλγορίθµων και συνεργάζεται µε την εκτιµητική µέθοδο που αναπτύχθηκε από τους Diamantidis, Heavey και Papadopoulos (2005) για τον υπολογισµό της απόδοσης των λύσεων. Η συγκεκριµένη υλοποίηση του αλγορίθµου έχει τη δυνατότητα να λύνει προβλήµατα σε συστήµατα παραγωγής µε σειριακές γραµµές παραγωγής, µε παράλληλες µηχανές στα κέντρα επεξεργασίας και µε διαφορετικό χρόνο επεξεργασίας ανά κέντρο. Μεγάλος αριθµός διαφόρων πειραµάτων διεξήχθησαν σε µικρές, µεσαίες και µεγάλες γραµµές παραγωγής έως 200 σταθµούς εργασίας και συγκρίθηκαν τα αποτελέσµατά του µε άλλους αλγορίθµους από τη διεθνή βιβλιογραφία. Τα αποτελέσµατα αυτά ήταν αρκετά ικανοποιητικά, αλλά όχι τα βέλτιστα σε όλες τις περιπτώσεις. Λέξεις Κλειδιά: µυωπικός αλγόριθµος, βιοµηχανικά συστήµατα παραγωγής, σειριακές γραµµές παραγωγής, βέλτιστη κατανοµή αποθηκευτικών χώρων, συγκριτική µελέτη 6

8 Abstract This work deals with the development and implementation (in programming language C++) of a myopic algorithm for the resolution of the buffer allocation problem in industrial systems with the intention to increase their output. The proposed algorithm was created based on the central idea of myopic algorithms and it cooperates with the estimative function proposed by Diamantidis, Heavey and Papadopoulos (2005). The particular implementation of the algorithm deals with industrial systems with serial production lines, parallel machines and different rate per work station. Numerous experiments were carried out in small, medium and big serial production lines until 200 stations of work and the results were compared with other algorithms from the international literature. The results were enough satisfactory but not the best in the all cases. Key Words: myopic algorithm, industrial systems, serial production lines, buffer allocation problem, experimentation 7

9 Κατάλογος σχηµάτων Σχήµα 1.1 οµή Εργασίας Σχήµα 1.2 Γραµµή παραγωγής µε 5 µηχανές Σχήµα 1.3 Παράδειγµα ευέλικτου βιοµηχανικού συστήµατος Σχήµα 1.4 Σειριακή γραµµή παραγωγής Σχήµα 1.5 Σύστηµα συναρµολόγησης και αποσυναρµολόγησης Σχήµα 1.6 Γραµµή συγχώνευσης (1) Σχήµα 1.7 Γραµµή συγχώνευσης (2) Σχήµα 1.8 Γραµµή διάσπασης µε 4 µηχανές και 3 αποθηκευτικούς χώρους Σχήµα 1.9 Γραµµή παραγωγής µε βρόγχο επανεπεξεργασίας Σχήµα 1.10 Γραµµή παραγωγής µε παράλληλες µηχανές ανά σταθµό επεξεργασίας Σχήµα 2.1 Αλληλεξάρτηση εκτιµητικών και γενετικών µεθόδων (ή µεθόδων βελτιστοποίησης) Σχήµα 2.2 Γραµµή παραγωγής µε 7 µηχανές και 6 αποθηκευτικούς χώρους Σχήµα 2.3 Αποσύνθεση της γραµµής παραγωγής του σχήµατος Σχήµα 2.4 Σύστηµα συναρµολόγησης/αποσυναρµολόγησης πριν και µετά την εφαρµογή της µεθόδου αποσύνθεσης Σχήµα 2.5 Σύστηµα συγχώνευσης πριν την εφαρµογή της µεθόδου αποσύνθεσης Σχήµα 2.6 Σύστηµα συγχώνευσης µετά την εφαρµογή της µεθόδου αποσύνθεσης Σχήµα 2.7 Εφαρµογή της µεθόδου συνάθροισης σε µία σειριακή γραµµή παραγωγής µε 4 µηχανές και 3 αποθηκευτικούς χώρους Σχήµα 3.1 ιάγραµµα ροής µεθόδου απαρίθµησης Σχήµα 3.2 Βήµατα Αλγορίθµου Gradient Σχήµα 3.3 ιάγραµµα ροής αλγορίθµου gradient Σχήµα 3.4 Βήµατα Μεθόδου Προσοµοιωµένης Ανόπτησης Σχήµα 3.5 Βήµατα Γενετικού Αλγορίθµου Σχήµα 3.6 Βήµατα Μεθόδου Περιορισµένης Αναζήτησης (Tabu Search) Σχήµα 3.7 Μέθοδος Tabu Search Σχήµα 3.8 Γραµµή παραγωγής µε Κ σταθµούς και Κ-1 αποθηκευτικούς χώρους Σχήµα 3.9 Βήµατα Ευρετικού Αλγόριθµου Σχήµα 3.10 Βήµατα Υβριδικού Αλγορίθµου NP Σχήµα 3.11 ιάγραµµα Ροής Υβριδικού Αλγορίθµου NP Σχήµα 3.12 Βήµατα Μεθόδου Liba Σχήµα 4.1 Βήµατα Αλγορίθµου προβλήµατος λιανοπωλητή Σχήµα 4.2 Παράδειγµα αναζήτησης λιανοπωλητή Σχήµα 4.3 Μυωπικός Αλγόριθµος για χρονοπρογραµµατισµό Σχήµα 4.4 Σύστηµα παράλληλων επεξεργαστών

10 Σχήµα 4.5 Βήµατα Μυωπικού Αλγόριθµου Χρονοπρογραµµατισµού σε συστήµατα παράλληλων επεξεργαστών Σχήµα 4.6 Βήµατα Αλγορίθµου GREEDY Σχήµα 4.7 Βήµατα του Προτεινόµενου Μυωπικού Αλγορίθµου Σχήµα 4.8 ιάγραµµα ροής του προτεινόµενου µυωπικού αλγορίθµου Σχήµα 5.1 Απεικόνιση Σφάλµατος ως προς την Απαρίθµηση σε µικρές γραµµές παραγωγής Σχήµα 5.2 Απεικόνιση Χρόνου Ολοκλήρωσης σε µικρές γραµµές παραγωγής Σχήµα 5.3 Απεικόνιση Χρόνου Ολοκλήρωσης Myopic και Gradient σε µικρές γραµµές παραγωγής Σχήµα 5.4 Απεικόνιση Απόδοσης σε µεσαίες γραµµές παραγωγής (1) Σχήµα 5.5 Απεικόνιση Απόδοσης σε µεσαίες γραµµές παραγωγής (2) Σχήµα 5.6 Σφάλµα Απόδοσης σε σχέση µε Simulated Annealing σε µεσαίες γραµµές παραγωγής Σχήµα 5.7 Σφάλµα Απόδοσης σε σχέση µε Genetic σε µεσαίες γραµµές παραγωγής Σχήµα 5.8 Απεικόνιση Χρόνου Ολοκλήρωσης σε µεσαίες γραµµές παραγωγής Σχήµα 5.9 Σύγκριση Χρόνου Ολοκλήρωσης Myopic, Gradient και Heuristic σε µεσαίες γραµµές παραγωγής Σχήµα 5.10 Απεικόνιση Βέλτιστης Απόδοσης σε µικρές και µεσαίες γραµµές παραγωγής όπου δεν είναι ταυτόσηµοι όλοι οι σταθµοί εργασίας Σχήµα 5.11 Σφάλµα Απόδοσης σε σχέση µε Simulated Annealing σε µικρές και µεσαίες γραµµές παραγωγής όπου δεν είναι ταυτόσηµοι όλοι οι σταθµοί εργασίας 116 Σχήµα 5.12 Σφάλµα Απόδοσης σε σχέση µε Genetic σε µικρές και µεσαίες γραµµές παραγωγής όπου δεν είναι ταυτόσηµοι όλοι οι σταθµοί εργασίας Σχήµα 5.13 Απεικόνιση Χρόνου Ολοκλήρωσης σε µικρές και µεσαίες γραµµές παραγωγής όπου δεν είναι ταυτόσηµοι όλοι οι σταθµοί εργασίας Σχήµα 5.14 Σύγκριση Χρόνου Ολοκλήρωσης Myopic και Gradient σε µικρές και µεσαίες γραµµές παραγωγής όπου δεν είναι ταυτόσηµοι όλοι οι σταθµοί εργασίας 119 Σχήµα 5.15 Απεικόνιση Βέλτιστης Απόδοσης σε µεγάλες γραµµές παραγωγής µε ταυτόσηµους και µη σταθµούς εργασίας Σχήµα 5.16 Απεικόνιση Βέλτιστης Απόδοσης σε µεγάλες γραµµές παραγωγής µε ταυτόσηµους σταθµούς εργασίας Σχήµα 5.17 Απεικόνιση Σφάλµατος Απόδοσης σε σχέση µε Simulated Annealing σε µεγάλες γραµµές παραγωγής και µε ταυτόσηµους σταθµούς εργασίας Σχήµα 5.18 Απεικόνιση Χρόνου Ολοκλήρωσης σε µεγάλες γραµµές παραγωγής όταν όλοι οι σταθµοί είναι ταυτόσηµοι Σχήµα 5.19 Απεικόνιση Βέλτιστης Απόδοσης σε µεγάλες γραµµές παραγωγής µε σταθµούς εργασίας µε διαφορετικά χαρακτηριστικά

11 Σχήµα 5.20 Απεικόνιση Σφάλµατος Απόδοσης σε σχέση µε Simulated Annealing σε µεγάλες γραµµές παραγωγής και µε σταθµούς εργασίας µε διαφορετικά χαρακτηριστικά Σχήµα 5.21 Απεικόνιση Χρόνου Ολοκλήρωσης σε µεγάλες γραµµές παραγωγής όταν οι σταθµοί εργασίας δεν είναι ταυτόσηµοι Σχήµα 5.22 Απεικόνιση Βέλτιστης Απόδοσης σε πολύ µεγάλες γραµµές παραγωγής Σχήµα 5.23 Απεικόνιση Απόδοσης σε σχέση µε Genetic σε πολύ µεγάλες γραµµές παραγωγής Σχήµα 5.24 Απεικόνιση Χρόνου Ολοκλήρωσης σε πολύ µεγάλες γραµµές παραγωγής142 Κατάλογος Πινάκων Πίνακας 5.1 Αποτελέσµατα για {Ν=5, Β ολ =6, r i =1 και S i =1 για κάθε i} Πίνακας 5.2 Αποτελέσµατα για {Ν=6, Β ολ =7, r i =1 και S i =1 για κάθε i} Πίνακας 5.3 Αποτελέσµατα για {Ν=6, B ολ =11, r i =1 και S i =1 για κάθε i } Πίνακας 5.4 Αποτελέσµατα για {Ν=6, Β ολ =12, r i =1 και S i =1 για κάθε i } Πίνακας 5.5 Αποτελέσµατα για {Ν=6, B ολ =13, r i =1 και S i =1 για κάθε i } Πίνακας 5.6 Αποτελέσµατα για {Ν=7, Β ολ =8, r i =1 και S i =1 για κάθε i } Πίνακας 5.7 Αποτελέσµατα για {Ν=8, Β ολ =9, r i =1 και S i =1 για κάθε i } Πίνακας 5.8 Αποτελέσµατα για {Ν=8, Β ολ =10, r i =1 και S i =1 για κάθε i } Πίνακας 5.9 Αποτελέσµατα για {Ν=8, Β ολ =11, r i =1 και S i =1 για κάθε i } Πίνακας 5.10 Αποτελέσµατα για {Ν=8, Β ολ =15, r i =1 και S i =1 για κάθε i } Πίνακας 5.11 Αποτελέσµατα για {Ν=9, B ολ =10, r i =1 και S i =1 για κάθε i } Πίνακας 5.12 Αποτελέσµατα για {Ν=10, Β ολ =11, r i =1 και S i =1 για κάθε i } Πίνακας 5.13 Αποτελέσµατα για {Ν=11, B ολ =12, r i =1 και S i =1 για κάθε i } Πίνακας 5.14 Αποτελέσµατα για {Ν=12, Β ολ =13, r i =1 και S i =1 για κάθε i } Πίνακας 5.15 Αποτελέσµατα για {Ν=13, Β ολ =26, r i =1 και S i =1 για κάθε i} Πίνακας 5.16 Αποτελέσµατα για {Ν=14, Β ολ =28, r i =1 και S i =1 για κάθε i } Πίνακας 5.17 Αποτελέσµατα για {Ν=15, Β ολ =30, r i =1 και S i =1 για κάθε i } Πίνακας 5.18 Αποτελέσµατα για {Ν=16, Β ολ =32, r i =1 και S i =1 για κάθε i } Πίνακας 5.19 Αποτελέσµατα για {Ν=17, Β ολ =34, r i =1 και S i =1 για κάθε i } Πίνακας 5.20 Αποτελέσµατα για {Ν=18, Β ολ =36, r i =1 και S i =1 για κάθε i } Πίνακας 5.21 Αποτελέσµατα για {Ν=19, Β ολ =38, r i =1 και S i =1 για κάθε i } Πίνακας 5.22 Αποτελέσµατα για {Ν=20, Β ολ =40, r i =1 και S i =1 για κάθε i} Πίνακας 5.23 Αποτελέσµατα για {Ν=7, B ολ =14 και διαφορετικά χαρακτηριστικά στους σταθµούς εργασίας} Πίνακας 5.24 Αποτελέσµατα για {Ν=10, B ολ =20 και διαφορετικά χαρακτηριστικά στους σταθµούς εργασίας} Πίνακας 5.25 Αποτελέσµατα για {Ν=15, B ολ =30 και διαφορετικά χαρακτηριστικά στους σταθµούς εργασίας}

12 Πίνακας 5.26 Αποτελέσµατα για {Ν=20, Β ολ =40 και διαφορετικά χαρακτηριστικά στους σταθµούς εργασίας} Πίνακας 5.27 Αποτελέσµατα για {Ν=30, Β ολ =60 και διαφορετικά χαρακτηριστικά στους σταθµούς εργασίας} Πίνακας 5.28 Αποτελέσµατα για {Ν=50, Βολ=98, ri=1, όπου i=1,2,,50, Si=1, όπου i=1,2,,25 και Si =2, όπου i=26,27,,50} Πίνακας 5.29 Αποτελέσµατα για {Ν=50, Β ολ =98, r i =1, όπου i=1,2,,50, S i =2, όπου i=1,2,,25 και S i =1, όπου i=26,27,,50} Πίνακας 5.30 Αποτελέσµατα για {Ν=50, Β ολ =98, r i =1, όπου i=1,2,,50 και S i =2, όπου i=1,2,,50} Πίνακας 5.31 Αποτελέσµατα για {Ν=50, Β ολ =100, r i =1, όπου i=1,2,,50 και S i =2, όπου i=1,2,,50} Πίνακας 5.32 Αποτελέσµατα για {Ν=60, Β ολ =118, r i =1, όπου i=1,2,,60, S i =1, όπου i=1,2,,30 και S i =2, όπου i=31,27,,60} Πίνακας 5.33 Αποτελέσµατα για {Ν=60, Β ολ =118, r i =1, όπου i=1,2,,60, S i =2, όπου i=1,2,,30 και S i =1, όπου i=31,27,,60} Πίνακας 5.34 Αποτελέσµατα για {Ν=60, Β ολ =118, r i =1, όπου i=1,2,,60 και S i =2, όπου i=1,2,,60} Πίνακας 5.35 Αποτελέσµατα για {Ν=60, Β ολ =122, r i = 1, όπου i=1,2,,60 και S i =2, όπου i=1,2,,60} Πίνακας 5.36 Αποτελέσµατα για {Ν=70, Β ολ =138, r i =1, όπου i=1,2,,70, S i =2, όπου i=1,2,,35 και S i =1, όπου i=36,37,,70} Πίνακας 5.37 Αποτελέσµατα για {Ν=70, Β ολ =138, r i =1, όπου i=1,2,,70 και S i =2, όπου i=1,2,,70} Πίνακας 5.38 Αποτελέσµατα για {Ν=80, Β ολ =158, r i =1, όπου i=1,2,,80, S i =1, όπου i=1,2,,40 και S i =2, όπου i=41,42,,80} Πίνακας 5.39 Αποτελέσµατα για {Ν=80, Β ολ =158, r i =1, όπου i=1,2,,80 και S i =2, όπου i=1,2,,80} Πίνακας 5.40 Αποτελέσµατα για {Ν=100, Β ολ =110, r i = 1, όπου i=1,2,,100 και S i =1, όπου i=1,2,,100} Πίνακας 5.41 Αποτελέσµατα για {Ν=200, Βολ=210, ri= 1, όπου i=1,2,,200 και Si=1, όπου i=1,2,,200} Πίνακας 5.42 Αποτελέσµατα για Ν=5, Β ολ =6 και χωρίς ταυτόσηµους σταθµούς Πίνακας 5.43 Αποτελέσµατα για Ν=7, Β ολ =14 και χωρίς ταυτόσηµους σταθµούς Πίνακας 5.44 Αποτελέσµατα για Ν=10, Β ολ =20 και χωρίς ταυτόσηµους σταθµούς Πίνακας 5.45 Αποτελέσµατα για Ν=20, Β ολ =40 και χωρίς ταυτόσηµους σταθµούς Πίνακας 5.46 Αποτελέσµατα για Ν=30, Β ολ =60 και χωρίς ταυτόσηµους σταθµούς Πίνακας 5.47 Αποτελέσµατα για Ν=50, Β ολ =98 και χωρίς ταυτόσηµους σταθµούς Πίνακας 5.48 Αποτελέσµατα για Ν=60, Β ολ =118 και χωρίς ταυτόσηµους σταθµούς Πίνακας 5.49 Αποτελέσµατα για Ν=70, Β ολ =138 και χωρίς ταυτόσηµους σταθµούς

13 Κίνητρο, Συνεισφορά και Περίγραµµα Εργασίας Η ανάγκη για µελέτη, ανάλυση και βελτίωση των βιοµηχανικών συστηµάτων κρίνεται επιτακτική κυρίως στη σύγχρονη εποχή, όπου η ζήτηση συνεχώς αυξάνεται, οι πελάτες είναι πιο απαιτητικοί και ο ανταγωνισµός γίνεται ολοένα και πιο έντονος. Επίσης, οι επιχειρήσεις προκειµένου να γίνουν ανταγωνιστικές και να µπορέσουν να επιβιώσουν, επενδύουν σηµαντικά κεφάλαια στα συστήµατα παραγωγής τους µε στόχο την αύξηση των κερδών τους αλλά και τη µείωση του κόστους τους. Έτσι λοιπόν, η επιτυχία και η βιωσιµότητά τους στο σύγχρονο και ταραχώδες επιχειρησιακό περιβάλλον κρίνεται και από τη βελτιστοποίηση των συστηµάτων παραγωγής που χρησιµοποιούν. Με τον όρο βιοµηχανικά συστήµατα παραγωγής εννοούµε µονάδες παραγωγής οι οποίες αποτελούνται από σταθµούς εργασίας και αποθηκευτικούς χώρους και παράγουν ένα ή και περισσότερα είδη προϊόντων. Πιο συγκεκριµένα, οι πρώτες ύλες περνάνε µε έναν προκαθορισµένο τρόπο κάθε φορά µέσα από τους σταθµούς εργασίας όπου και υπόκεινται σε επεξεργασία µέχρι να γίνουν τελικά προϊόντα. Ενώ οι αποθηκευτικοί χώροι βρίσκονται πριν από κάθε σταθµό εργασίας και διατηρούν τα ηµικατεργασµένα προϊόντα που είναι σε κατάσταση αναµονής µέχρι να ελευθερωθεί ο σταθµός εργασίας που ακολουθεί. Βασικό χαρακτηριστικό και µειονέκτηµα των βιοµηχανικών συστηµάτων παραγωγής είναι ότι εάν σε κάποιο σηµείο του συστήµατος εµφανιστεί κάποια βλάβη και δεν αντιµετωπιστεί άµεσα, µπορεί να προκαλέσει αρνητική επίδραση ακόµη και σε ολόκληρο το σύστηµα. ηλαδή, η δυσλειτουργία µίας µηχανής σε οποιοδήποτε σηµείο του συστήµατος και αν συµβεί, επηρεάζει άµεσα τις γειτονικές της µηχανές αλλά και ολόκληρο το σύστηµα. Όπως γίνεται κατανοητό, σε ένα µικρό και απλό σύστηµα η αντιµετώπιση τέτοιων προβληµάτων µπορεί να γίνει σχετικά γρήγορα, στα µεγάλα όµως και πολύπλοκα συστήµατα υπάρχει περίπτωση κατάρρευσης. Τέτοιου είδους προβλήµατα έχουν απασχολήσει πολύ τους ερευνητές οι οποίοι ψάχνουν να βρουν τρόπους σχεδίασης των βιοµηχανικών συστηµάτων έτσι ώστε να επιλύονται εύκολα, ή τουλάχιστον να περιορίζονται, οι περιπτώσεις µπλοκαρίσµατος και του υπόλοιπου συστήµατος έως ότου 12

14 διορθωθεί η βλάβη. Ένας τρόπος αντιµετώπισης αυτών των προβληµάτων είναι µε τη χρήση αποθηκευτικών χώρων ανάµεσα στις µηχανές οι οποίοι διατηρούν τα ηµικατεργασµένα προϊόντα µέχρι να επιδιορθωθεί η βλάβη και µε αυτό τον τρόπο επιτρέπουν τη λειτουργία των προηγούµενων µηχανών. Επειδή όµως το κόστος απόκτησης, εγκατάστασης και συντήρησης των αποθηκευτικών χώρων είναι ιδιαίτερα υψηλό, δεν µπορεί να γίνει αλόγιστη χρήση αυτών. Είναι ανάγκη λοιπόν να αποφασιστεί το πλήθος των αποθηκευτικών χώρων που είναι απαραίτητοι σε κάθε περίπτωση και ο τρόπος κατανοµής τους µέσα στο σύστηµα, ώστε να γίνεται η καλύτερη δυνατή εκµετάλλευση τους. Έτσι λοιπόν, είναι ανάγκη να βρεθούν και να εφαρµοστούν οι κατάλληλες µέθοδοι για την εύρεση της βέλτιστης κατανοµής τους µεταξύ των σταθµών εργασίας. Η παραπάνω ανάγκη για ανάπτυξη µεθόδων που βρίσκουν τη βέλτιστη κατανοµή των αποθηκευτικών χώρων µεταξύ των σταθµών εργασίας, αποτέλεσε σηµαντικό κίνητρο για την εκπόνηση της παρούσας εργασίας. Η εκτίµηση της απόδοσης των βιοµηχανικών συστηµάτων παραγωγής και ο βέλτιστος σχεδιασµός τους είναι δύο πολύ σηµαντικά θέµατα τα οποία καθορίζουν τη βιωσιµότητα των συστηµάτων στο χώρο της βιοµηχανίας. Στην παρούσα εργασία λοιπόν αναπτύξαµε και υλοποιήσαµε (σε C++) έναν µυωπικό αλγόριθµο βελτιστοποίησης για την επίλυση του παραπάνω προβλήµατος βέλτιστης κατανοµής των αποθηκευτικών χώρων µε στόχο την αύξηση της απόδοσης αλλά και της ανταγωνιστικότητας των συστηµάτων παραγωγής. Η παρούσα εργασία εποµένως συνεισφέρει µε τη δηµιουργία και την υλοποίηση ενός µυωπικού αλγορίθµου ο οποίος προτείνει λύσεις για τη βέλτιστη κατανοµή των αποθηκευτικών χώρων ανάµεσα στους σταθµούς εργασίας ανάλογα µε την απόδοση του συστήµατος. Η συγκεκριµένη υλοποίηση του αλγορίθµου αυτού έχει τη δυνατότητα να λύνει προβλήµατα σε συστήµατα παραγωγής µε σειριακές γραµµές παραγωγής, µε παράλληλες µηχανές και µε διαφορετικό χρόνο επεξεργασίας στα κέντρα εργασίας. Ακόµη, έγινε και πειραµατισµός του προτεινόµενου µυωπικού αλγορίθµου σε σειριακές γραµµές παραγωγής µικρού, µεσαίου και µεγάλου µεγέθους και συγκρίθηκαν τα αποτελέσµατά του µε άλλους αλγορίθµους από 13

15 τη διεθνή βιβλιογραφία. Τα αποτελέσµατά του ήταν αρκετά ικανοποιητικά αλλά όχι τα βέλτιστα σε όλες τις περιπτώσεις. Τέλος, η δοµή της παρούσας εργασίας έχει γίνει µε τέτοιο τρόπο ώστε ανάλογα µε τις γνώσεις του ο κάθε αναγνώστης να µπορεί να ανατρέξει στα συγκεκριµένα κεφάλαια να ενηµερωθεί. Πιο συγκεκριµένα, στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται µία εισαγωγή γενικά για τα βιοµηχανικά συστήµατα παραγωγής και τις κατηγορίες των γραµµών παραγωγής που υπάρχουν µέχρι σήµερα σε αυτά και στο δεύτερο κεφάλαιο γίνεται αναφορά στις µεθόδους ανάλυσης και αξιολόγησής τους οι οποίες είναι απαραίτητες για τον υπολογισµό της απόδοσής τους. Στο τρίτο κεφάλαιο πλέον πλησιάζουµε περισσότερο στο θέµα µας, παρουσιάζεται το πρόβληµα βελτιστοποίησης της κατανοµής αποθηκευτικού χώρου σε γραµµές παραγωγής και γίνεται ανασκόπηση των πιο γνωστών µεθόδων που υπάρχουν µέχρι σήµερα στη διεθνή βιβλιογραφία. Στο τέταρτο κεφάλαιο περιγράφεται αναλυτικά ο προτεινόµενος αλγόριθµος βελτιστοποίησης και στο πέµπτο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα των πειραµάτων που διεξήχθησαν µαζί µε παρατηρήσεις και σχόλια. Τέλος, στο έκτο κεφάλαιο της εργασίας παρουσιάζονται συνοπτικά τα συµπεράσµατα που προέκυψαν και γίνονται προτάσεις για περαιτέρω έρευνα. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγή στα βιοµ/κά συστήµατα παραγωγής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Μέθοδοι εκτίµησης της απόδοσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι βελτιστοποίησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ο προτεινόµενος µυωπικός αλγόριθµος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Πειραµατικός σχεδιασµός & Αποτελέσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Συµπεράσµατα και περαιτέρω έρευνα Σχήµα 1.1 οµή Εργασίας 14

16 1 Εισαγωγή στα Βιοµηχανικά Συστήµατα Παραγωγής (Manufacturing Production Systems) Τα βιοµηχανικά συστήµατα παραγωγής έχουν απασχολήσει πολλούς ερευνητές στη διεθνή βιβλιογραφία µέχρι σήµερα. Σκοπός αυτού του κεφαλαίου είναι να εξηγήσει στον αναγνώστη τις βασικές έννοιες αυτού του αντικειµένου έτσι ώστε να αποκτήσει οικειότητα µε την ορολογία και να µπορέσει να κατανοήσει καλύτερα τα επόµενα κεφάλαια. Το παρόν κεφάλαιο χωρίζεται σε τέσσερις υποενότητες και πιο συγκεκριµένα στην υποενότητα 1.1 ορίζεται το βιοµηχανικό σύστηµα παραγωγής και περιγράφονται τα βασικά χαρακτηριστικά του, στην υποενότητα 1.2 αναφέρονται τα βασικότερα θέµατα που έχουν απασχολήσει τη διεθνή βιβλιογραφία µέχρι σήµερα σχετικά µε τα συστήµατα παραγωγής, στην υποενότητα 1.3 παρουσιάζονται οι κατηγορίες στις οποίες χωρίζονται τα βιοµηχανικά συστήµατα µε βάση διάφορα κριτήρια και τέλος στην υποενότητα 1.4 αναφέρονται τα µέτρα που χρησιµοποιούνται για τον υπολογισµό και την ποσοτικοποίηση της απόδοσης των βιοµηχανικών συστηµάτων παραγωγής 1.1 Ορισµός και βασικά χαρακτηριστικά Καταρχήν κρίνεται απαραίτητο να κατανοήσουµε τους όρους µε τους οποίους θα ασχοληθούµε. Με τον όρο manufacturing εννοούµε τη χρήση µηχανών, εργαλείων, πρώτων υλών και ανθρωπίνων πόρων για τη δηµιουργία προϊόντων χρήσιµων και ικανών για πώληση ή για περαιτέρω επεξεργασία 1. Επίσης µε τον όρο βιοµηχανικά συστήµατα (manufacturing systems) εννοούµε γενικότερα ένα πολύπλοκο οργανισµό αποτελούµενο από ανθρώπους, µηχανές, προϊόντα, διαδικασίες και πληροφορίες ο οποίος προσπαθεί να παραµείνει ανταγωνιστικός (O Sullivan, 1992). Στη συγκεκριµένη περίπτωση, όταν αναφερόµαστε σε ένα βιοµηχανικό σύστηµα παραγωγής (manufacturing production systems), σύµφωνα µε τον Tan (2001), εννοούµε ένα δίκτυο το οποίο αποτελείται από µηχανές (ή σταθµούς εργασίας) και αποθηκευτικούς χώρους και παράγει ένα ή και περισσότερα είδη προϊόντων. Ειδικότερα, οι πρώτες ύλες περνάνε µε έναν 1 Βλ. 15

17 προκαθορισµένο κάθε φορά τρόπο µέσα από τους σταθµούς εργασίας όπου και υπόκεινται σε επεξεργασία µέχρι να γίνουν τελικά προϊόντα, ενώ οι αποθηκευτικοί χώροι βρίσκονται πριν από κάθε σταθµό εργασίας και διατηρούν τα ηµικατεργασµένα προϊόντα που είναι σε κατάσταση αναµονής µέχρι να ελευθερωθεί ο σταθµός εργασίας που ακολουθεί. Έτσι λοιπόν, τα βασικά στοιχεία από τα οποία αποτελούνται τα βιοµηχανικά συστήµατα παραγωγής είναι οι σταθµοί εργασίας, οι αποθηκευτικοί χώροι και τα προϊόντα επεξεργασίας. Επίσης, βασικό χαρακτηριστικό των βιοµηχανικών συστηµάτων παραγωγής είναι ότι εάν σε κάποιο σηµείο του συστήµατος εµφανιστεί κάποια βλάβη, τότε αυτή η βλάβη εάν δεν αντιµετωπιστεί άµεσα µπορεί να προκαλέσει αρνητική επίδραση ακόµη και σε ολόκληρο το σύστηµα. Σε ένα µικρό και απλό σύστηµα η αντιµετώπιση τέτοιων προβληµάτων µπορεί να γίνει σχετικά γρήγορα, στα µεγάλα όµως και πολύπλοκα συστήµατα υπάρχει περίπτωση κατάρρευσης. Για παράδειγµα, έστω ότι ένα προϊόν για να παραχθεί χρειάζεται να περάσει από 7 µηχανές. Αν η τέταρτη µηχανή υποστεί βλάβη τότε οι επόµενες µηχανές δεν µπορούν να λειτουργήσουν κανονικά και θα είναι σε κατάσταση αναµονής αφού δεν θα εισέρχονται πλέον σε αυτές προϊόντα για επεξεργασία, ενώ οι προηγούµενες µηχανές θα λειτουργούν κανονικά µέχρι να γεµίσουν οι διαθέσιµοι αποθηκευτικοί χώροι. ηλαδή το µπλοκάρισµα της τέταρτης µηχανής µεταφέρεται σιγά σιγά και στις προηγούµενες µηχανές οι οποίες συνδέονται µε αυτήν. Βλέπουµε λοιπόν ότι η δυσλειτουργία µίας µηχανής σε όποιο σηµείο του συστήµατος και αν συµβεί επηρεάζει άµεσα τις γειτονικές της µηχανές αλλά και όλο το σύστηµα. Τέτοιου είδους προβλήµατα έχουν απασχολήσει πολύ τους ερευνητές οι οποίοι ψάχνουν να βρουν τρόπους σχεδίασης των βιοµηχανικών συστηµάτων έτσι ώστε να επιλύονται εύκολα, ή τουλάχιστον να περιορίζονται, οι περιπτώσεις µπλοκαρίσµατος και του υπόλοιπου συστήµατος έως ότου διορθωθεί η βλάβη. Σύµφωνα µε τους Nahas et al. (2006) η αποδοτικότητα τέτοιων συστηµάτων µπορεί να βελτιωθεί µε την καλύτερη κατανοµή των αποθηκευτικών χώρων ανάµεσα στις µηχανές. Για την εύρεση όµως του καλύτερου τρόπου κατανοµής είναι απαραίτητα δύο εργαλεία, ένα εργαλείο 16

18 αποτίµησης και ένα εργαλείο βελτιστοποίησης. Το πρώτο εργαλείο µετράει την απόδοση του συστήµατος η οποία πρέπει να βελτιστοποιηθεί και το δεύτερο εργαλείο ψάχνει να βρει µία βέλτιστη λύση για το πρόβληµα. Στην παρακάτω ενότητα γίνεται λόγος για τα βασικά θέµατα και τους τοµείς µε τους οποίους ασχολείται η διεθνή βιβλιογραφία για την επίλυση των προβληµάτων που δηµιουργούνται στα βιοµηχανικά συστήµατα. 1.2 Βασικά θέµατα που έχουν απασχολήσει τη βιβλιογραφία Όπως προαναφέρθηκε, για την επίλυση των προβληµάτων που δηµιουργούνται στα βιοµηχανικά συστήµατα έχουν ασχοληθεί πολλοί ερευνητές και οι τοµείς στους οποίους προσανατολίζονται είναι κυρίως η µέτρηση της απόδοσης του συστήµατος και ο βέλτιστος σχεδιασµός του. Βέβαια η εύρεση του βέλτιστου σχεδιασµού του συστήµατος απαιτεί και την µέτρηση της απόδοσής του. Εποµένως, όπως γίνεται φανερό τα δύο αυτά θέµατα δεν είναι ανεξάρτητα. Για την µέτρηση της απόδοσης των βιοµηχανικών συστηµάτων η µέθοδος που χρησιµοποιούταν συχνά παλιότερα ήταν η προσοµοίωση. Με αυτήν τη µέθοδο κατασκευαζόταν ένα µοντέλο µε βάση τα χαρακτηριστικά του πραγµατικού συστήµατος, το οποίο µιµούνταν τις σηµαντικότερες ενέργειές του και τις αλληλεπιδράσεις ανάµεσα στους παράγοντες και υπήρχε η δυνατότητα µέτρησης της απόδοσής του. Η µέθοδος αυτή όµως αποδείχθηκε πολύ χρονοβόρα, κυρίως στα µεγάλα και πολύπλοκα συστήµατα, και απαιτούσε ειδική εκπαίδευση και εµπειρία. Γι αυτό γίνανε προσπάθειες και αναπτύχθηκαν και άλλες αναλυτικές µέθοδοι µέτρησης της απόδοσης οι οποίες πραγµατοποιούν πολύ γρήγορα µία προσεγγιστική ανάλυση της απόδοσης προσχεδιασµένων συστηµάτων. Οι µέθοδοι αυτές θα αναπτυχθούν αναλυτικότερα παρακάτω. Όσον αφορά το βέλτιστο σχεδιασµό των συστηµάτων για την µεγιστοποίηση της απόδοσής τους, τα προβλήµατα βελτιστοποίησης χωρίζονται σε τρεις κατηγορίες: τη βέλτιστη κατανοµή των σταθµών εργασίας (Server Allocation Problem), τη βέλτιστη κατανοµή των αποθηκευτικών χώρων (Buffer Allocation Problem) και τη βέλτιστη κατανοµή των εργαζοµένων στο σύστηµα (Worker Allocation Problem). Στην παρούσα 17

19 εργασία θα ασχοληθούµε µε τη δεύτερη περίπτωση της βέλτιστης κατανοµής των αποθηκευτικών χώρων. 1.3 Κατηγοριοποίηση των βιοµηχανικών συστηµάτων Με βάση τη βιβλιογραφία τα βιοµηχανικά συστήµατα διακρίνονται σε δύο κατηγορίες, τις γραµµές παραγωγής και τα job shops µε κριτήριο εάν τα προϊόντα που παράγουν επισκέπτονται τους σταθµούς επεξεργασίας µε µία προκαθορισµένη ή µε διαφορετική σειρά. Επίσης, αργότερα αναπτύχθηκε και µία τρίτη κατηγορία, τα ευέλικτα βιοµηχανικά συστήµατα, η οποία έχει ως βασικό χαρακτηριστικό τον έλεγχο των σταθµών επεξεργασίας από έναν κεντρικό υπολογιστή. Οι γραµµές παραγωγής (flow ή production lines) σύµφωνα µε τους Dallery & Gerhwin (1992) και τους Diamantidis et al. (2004) είναι συστήµατα παραγωγής των οποίων τα παραγόµενα προϊόντα περνάνε από όλους τους σταθµούς επεξεργασίας από τον πρώτο µέχρι τον τελευταίο µε την ίδια κάθε φορά σειρά. Για παράδειγµα, βλέπε Σχήµα 1.1 όπου απεικονίζεται µία γραµµή παραγωγής µε πέντε σταθµούς επεξεργασίας (Μ 1,..Μ 5 ) και ενδιάµεσα τέσσερις αποθηκευτικούς χώρους (Β 1,..,Β 4 ) και τα βέλη δείχνουν τη ροή των προϊόντων η οποία είναι η ίδια για όλα τα προϊόντα. Το πλεονέκτηµα των γραµµών παραγωγής είναι ότι µπορούµε να ελέγχουµε εύκολα τη ροή των προϊόντων αφού περνάνε από µία τυποποιηµένη διαδικασία. Έτσι λοιπόν, λόγω της ευκολίας του ελέγχου µας δίνεται µεν η δυνατότητα να παράγουµε µεγάλο όγκο προϊόντων, αλλά δηµιουργείται το µειονέκτηµα ότι δεσµευόµαστε και δεν µπορούµε να παράγουµε προϊόντα διαφορετικού τύπου. Σχήµα 1.2 Γραµµή παραγωγής µε 5 µηχανές (Πηγή: Dallery & Gershwin (1992)) Τα job shops είναι συνήθως µικρά βιοµηχανικά συστήµατα τα οποία σε αντίθεση µε τις γραµµές παραγωγής αποτελούνται από διάφορους σταθµούς επεξεργασίας δίνοντας τη δυνατότητα στο σύστηµα να παράγουν ποικιλία προϊόντων. Σε αυτή την περίπτωση το κάθε προϊόν µπορεί να επισκεφτεί µε 18

20 διαφορετική σειρά τους σταθµούς επεξεργασίας ακόµη και τον ίδιο σταθµό περισσότερες από µία φορές αφού δεν υπάρχει µία προκαθορισµένη πορεία για όλα τα προϊόντα και το κάθε προϊόν ακολουθεί τη δική του πορεία στους σταθµούς επεξεργασίας προκειµένου να παρασκευαστεί. Εποµένως, σε αντίθεση µε τις γραµµές παραγωγής, το βασικό πλεονέκτηµα των job shops είναι ότι µπορούν να παράγουν ποικιλία προϊόντων, αλλά λόγω της πολυπλοκότητας του συστήµατος δεν µπορούν να παράγουν µεγάλο όγκο προϊόντων όπως οι γραµµές παραγωγής. Τέλος, τα ευέλικτα βιοµηχανικά συστήµατα (flexible manufacturing systems) είναι µία κατηγορία βιοµηχανικών συστηµάτων η οποία αναπτύχθηκε τελευταία µε την βοήθεια της τεχνολογίας. Σύµφωνα µε την Dupont-Gatelmand C. (1982) οι πρώτες προσπάθειες ανάπτυξης τέτοιων συστηµάτων ξεκίνησαν από το 1970 αλλά υπήρχαν δυσκολίες λόγω της πολυπλοκότητας χειρισµού των υπολογιστών. Στα συστήµατα αυτά όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήµα οι σταθµοί επεξεργασίας ελέγχονται από έναν κεντρικό υπολογιστή µε αποτέλεσµα να είναι πιο ευέλικτα και να µπορούν να εκτελέσουν ακόµη πιο πολύπλοκες διαδικασίες απ ότι µπορούν τα job shops και οι γραµµές παραγωγής (O Grady, 1989). ηλαδή τα ευέλικτα βιοµηχανικά συστήµατα µπορούν να παράγουν ακόµη µεγαλύτερη ποικιλία προϊόντων απ ότι τα job shops και οι γραµµές παραγωγής, αλλά µικρότερες ποσότητες. Σχήµα 1.3 Παράδειγµα ευέλικτου βιοµηχανικού συστήµατος (Πηγή: 19

21 1.4 Κατηγοριοποίηση των γραµµών παραγωγής (flow lines) Οι γραµµές παραγωγής µπορούν να κατηγοριοποιηθούν µε βάση διάφορα κριτήρια. Ορισµένα από τα πιο βασικά κριτήρια τα οποία θα αναλύσουµε περαιτέρω στις παρακάτω υποενότητες είναι η τοπολογία των µηχανών-σταθµών εργασίας, ο τύπος των παραγόµενων προϊόντων, η αξιοπιστία των µηχανών και η κίνηση των προϊόντων από τον ένα σταθµό εργασίας στον άλλο Κατηγοριοποίηση µε βάση την τοπολογία των µηχανών Ανάλογα µε την τοπολογία των µηχανών µεταξύ των σταθµών εργασίας οι γραµµές παραγωγής διακρίνονται σε σειριακές γραµµές παραγωγής και σε µη σειριακές γραµµές παραγωγής, και ανάλογα µε τη διάταξη των µηχανών µέσα στους σταθµούς εργασίας διακρίνονται και σε γραµµές παραγωγής µε σταθµούς εργασίας που διαθέτουν πολλές παράλληλες µηχανές. Παρακάτω περιγράφεται η κάθε κατηγορία αναλυτικά Σειριακές γραµµές παραγωγής (Serial Production Lines) Η πιο απλή τοπολογία γραµµών παραγωγής είναι οι σειριακές γραµµές παραγωγής οι οποίες αποτελούνται από σταθµούς εργασίας και αποθηκευτικούς χώρους που είναι συνδεδεµένοι στη σειρά. Σε αυτή την περίπτωση τα παραγόµενα προϊόντα ξεκινάνε από τον πρώτο σταθµό εργασίας, περνάνε διαδοχικά από όλους τους υπόλοιπους που είναι συνδεδεµένοι και καταλήγουν στον τελευταίο όπου ολοκληρώνεται και η παραγωγή τους. Σχήµα 1.4 Σειριακή γραµµή παραγωγής (Πηγή: m) Στο παραπάνω σχήµα παρουσιάζεται µία σειριακή γραµµή παραγωγής µε Μ µηχανές και Μ-1 αποθηκευτικούς χώρους. Όταν µία µηχανή ολοκληρώσει την επεξεργασία ενός προϊόντος το εναποθέτει στον επόµενο 20

22 αποθηκευτικό χώρο για να είναι σε αναµονή µέχρι να είναι έτοιµη και η επόµενη µηχανή να το παραλάβει 2. Στην περίπτωση που ο αποθηκευτικός χώρος είναι γεµάτος τότε η µηχανή δεν µπορεί να παραδώσει το προϊόν για να συνεχίσει µε το επόµενο και µπλοκάρει (blocked) µέχρις ότου να ελευθερωθεί χώρος στον αποθηκευτικό χώρο. Ακόµη, όταν η µηχανή τελειώνει µε την επεξεργασία και εναποθέτει το προϊόν στον επόµενο αποθηκευτικό χώρο παραλαµβάνει ένα νέο προϊόν για επεξεργασία από τον προηγούµενο και στην περίπτωση που ο προηγούµενος αποθηκευτικός χώρος είναι άδειος τότε µένει η µηχανή άδεια (starved) Μη σειριακές γραµµές παραγωγής (Non-Serial Production Lines) Οι µη σειριακές γραµµές παραγωγής, σε αντίθεση µε τις σειριακές, είναι πιο πολύπλοκες και αυτές συναντάµε συνήθως στα πραγµατικά βιοµηχανικά συστήµατα παραγωγής. Ειδικότερα, στις µη σειριακές γραµµές παραγωγής η ροή των προϊόντων δεν είναι γραµµική και µε βάση διάφορα κριτήρια χωρίζονται περαιτέρω σε συστήµατα συναρµολόγησης, συστήµατα αποσυναρµολόγησης, γραµµές συγχώνευσης και γραµµές διάσπασης. Παρακάτω περιγράφεται η κάθε κατηγορία αναλυτικά. 1. Συστήµατα Συναρµολόγησης (Assembly Lines) Τα συστήµατα συναρµολόγησης είναι η κατηγορία των µη σειριακών γραµµών παραγωγής που συναντάται συνήθως στα πραγµατικά βιοµηχανικά συστήµατα παραγωγής. Σε αυτά τα συστήµατα υπάρχουν κάποιες µηχανές οι οποίες ονοµάζονται µηχανές συναρµολόγησης και δέχονται προϊόντα από δύο αποθηκευτικούς χώρους συγχρόνως για να τα επεξεργαστούν και να παράγουν ένα νέο συναρµολογηµένο προϊόν (Helbert, 1998). 2 Βλ. 21

23 Σχήµα 1.5 Σύστηµα συναρµολόγησης και αποσυναρµολόγησης (Πηγή: Helber St. (1998)) Στο παραπάνω σχήµα οι µηχανές συναρµολόγησης είναι οι Μ 4 και Μ 13. Η Μ 4 δέχεται µία µονάδα προϊόντος από τον αποθηκευτικό χώρο Β 1,4 και άλλη µία από τον Β 2,4, τις συνδυάζει και φτιάχνει ένα νέο προϊόν το οποίο εναποθέτει στον επόµενο αποθηκευτικό χώρο. Για να λειτουργήσει η µηχανή πρέπει να υπάρχει διαθέσιµη τουλάχιστον µία µονάδα προϊόντος και στους δύο αποθηκευτικούς χώρους, αλλιώς εάν έστω και ο ένας είναι άδειος δεν µπορεί να λειτουργήσει και µένει άδεια (starved). Με παρόµοιο τρόπο λειτουργεί και η µηχανή Μ 13 η οποία είναι η τελευταία µηχανή και µετά από αυτή το παραγόµενο προϊόν είναι πλέον ολοκληρωµένο. 2. Συστήµατα Αποσυναρµολόγησης (Disassembly Lines) Στα συστήµατα αποσυναρµολόγησης υπάρχει µία µηχανή αποσυναρµολόγησης η οποία λαµβάνει ένα προϊόν, το αποσυναρµολογεί και εναποθέτει τµήµατά του ταυτόχρονα σε περισσότερους από έναν αποθηκευτικούς χώρους για να τα παραλάβουν µετά οι κατάλληλες µηχανές και να τα επεξεργαστούν περαιτέρω (Helber, 1998). Στο παραπάνω Σχήµα 1.4, οι µηχανές Μ 2 και Μ 4 είναι µηχανές αποσυναρµολόγησης. Πιο συγκεκριµένα η Μ 2, η οποία είναι και πρώτη στο σύστηµα, λαµβάνει ένα προϊόν το αποσυναρµολογεί και στέλνει (διαφορετικά) τµήµατά του στους αποθηκευτικούς χώρους Β 2,4 και Β 2,5. Εάν όµως κάποιος από τους αποθηκευτικούς χώρους είναι γεµάτος τότε η µηχανή µπλοκάρεται και δεν µπορεί να λειτουργήσει (blocked). Όµοια λειτουργεί και η µηχανή Μ 4, η 22

24 οποία όπως παρατηρήθηκε και στην προηγούµενη υποενότητα, λειτουργεί και ως µηχανή συναρµολόγησης. Αξίζει λοιπόν να σηµειωθεί ότι υπάρχει περίπτωση σε ένα σύστηµα να υπάρχουν συγχρόνως µηχανές συναρµολόγησης και αποσυναρµολόγησης, όπως και να υπάρχει µία µηχανή η οποία να είναι µηχανή συναρµολόγησης/ αποσυναρµολόγησης και να εκτελεί όλες τις σχετικές λειτουργίες, όπως η Μ 4 στο παραπάνω σχήµα. Τέλος, σύµφωνα µε τους McGovern & Gupta (2007), τα συστήµατα αποσυναρµολόγησης χρησιµοποιούνται ευρέως στην ανακύκλωση. Πιο συγκεκριµένα, οι µηχανές αποσυναρµολόγησης χωρίζουν τα προϊόντα στα διάφορα τµήµατά τους και οι επόµενες µηχανές που τα αναλαµβάνουν, ανάλογα µε την κατάσταση στην οποία βρίσκονται, είτε τα καθαρίζουν και τα ανακατασκευάζουν και τα πουλάνε στους προµηθευτές, είτε τα ανακυκλώνουν στην υγειονοµική ταφή σκουπιδιών. 3. Γραµµές Συγχώνευσης (Merge Lines) Στα συστήµατα µε γραµµές συγχώνευσης υπάρχει µία µηχανή συγχώνευσης που παραλαµβάνει προϊόντα από δύο αποθηκευτικούς χώρους οι οποίοι περιέχουν ταυτόσηµα προϊόντα (Helber, 1999). Η µηχανή αυτή δέχεται τα προϊόντα επεξεργασίας µε κανόνες προτεραιότητας και πιο συγκεκριµένα στο παρακάτω σχήµα η µηχανή συγχώνευσης είναι η Μ 3 και δέχεται προϊόντα συνέχεια από τον αποθηκευτικό χώρο Β 1,3 και από τον Β 2,3 µόνο στην περίπτωση που ο Β 1,3 είναι άδειος (γι αυτό στο σχήµα ο Β 1,3 είναι συνδεδεµένος µε βέλος µε τη µηχανή ενώ ο Β 2,3 δεν είναι). Η µηχανή θα µείνει άδεια (starved) µόνο στην περίπτωση που και οι δύο αποθηκευτικοί χώροι µε τους οποίους είναι συνδεδεµένοι είναι άδειοι. Σχήµα 1.6 Γραµµή συγχώνευσης (1) (Πηγή: Helber (1999)) 23

25 Επειδή όµως ένα σύστηµα όπως το παραπάνω σε µεγάλα συστήµατα και µε πιο πολύπλοκους κανόνες επεξεργασίας δεν ανταποκρίνεται αποτελεσµατικά, οι Tan (2001), Diamantidis et al. (2004) και Diamantidis & Papadopoulos (2006) µελέτησαν ένα σύστηµα συγχώνευσης στο οποίο πριν τη µηχανή συγχώνευσης δεν υπάρχουν δύο διαφορετικοί αποθηκευτικοί χώροι αλλά ένας ο οποίος δέχεται ταυτόσηµα προϊόντα από δύο διαφορετικές µηχανές. Σχήµα 1.7 Γραµµή συγχώνευσης (2) (Πηγή: Diamantidis & Papadopoulos (2006)) Στο παραπάνω σχήµα απεικονίζεται ένα τέτοιο σύστηµα όπου πριν από τη µηχανή συγχώνευσης Μ 3 υπάρχει µόνο ένας αποθηκευτικός χώρος Β (1,2),3 ο οποίος δέχεται ταυτόσηµα προϊόντα από τις µηχανές Μ 1 και Μ 2. Οι µηχανές Μ 1 και Μ 2 λειτουργούν ταυτόχρονα και παράλληλα εναποθέτουν τα προϊόντα τους στον επόµενο αποθηκευτικό χώρο για να τα πάρει η µηχανή Μ 3 ανεξαρτήτως από ποια µηχανή ήρθαν. ηλαδή, σε αυτό το προτεινόµενο σύστηµα συγχώνευσης δεν υπάρχουν κανόνες προτεραιότητας κάνοντας έτσι τη λειτουργία των µηχανών πιο απλή. Ο µοναδικός κανόνας που υπάρχει είναι στην περίπτωση που ο αποθηκευτικός χώρος Β (1,2),3 γεµίσει και µπλοκάρουν οι µηχανές Μ 1 και Μ 2, όταν αδειάσει πάλι ο αποθηκευτικός χώρος η µηχανή Μ 1 έχει προτεραιότητα έναντι της Μ 2 να εναποθέσει το προϊόν της και γι αυτό στο σχήµα συνδέεται µε τον αποθηκευτικό χώρο µε διακεκοµµένη γραµµή. 4. Γραµµές ιάσπασης (Split Lines) Οι γραµµές διάσπασης περιέχουν µία µηχανή διάσπασης η οποία παραλαµβάνει ένα προϊόν και το προωθεί στην επόµενη κατάλληλη µηχανή ανάλογα µε τις προδιαγραφές ποιότητας. Πιο συγκεκριµένα, το σύστηµα αυτό χρησιµοποιείται κυρίως σε περιπτώσεις ελέγχου ποιότητας και όταν φτάσει το προϊόν στη µηχανή διάσπασης εξετάζει εάν αυτό πληροί τις προδιαγραφές 24

26 ποιότητας. Εάν τις πληροί τότε το προϊόν προωθείται στην επόµενη µηχανή η οποία αναλαµβάνει την περαιτέρω επεξεργασία του για την ολοκλήρωση της παραγωγής του, ενώ εάν δεν τις πληροί τότε προωθείται σε µία άλλη µηχανή η οποία αναλαµβάνει τα ελαττωµατικά προϊόντα και είτε τα αποσύρει είτε τα στέλνει σε άλλες µηχανές για ανακατασκευή (Gopalan & Kuman, 1995 και Smith & Cruz,2004). Στο παρακάτω σχήµα απεικονίζεται µία γραµµή διάσπασης όπου η µηχανή Μ 2 έχει το ρόλο του επιθεωρητή ποιότητας. Η µηχανή στη συγκεκριµένη περίπτωση έχει δύο δυνατές επιλογές, είτε να εναποθέσει το προϊόν στον αποθηκευτικό χώρο Β 2,3 εάν είναι καλό για να το παραλάβει η µηχανή Μ 3, είτε να το εναποθέσει στον αποθηκευτικό χώρο Β 2,4 εάν είναι ελαττωµατικό για να το παραλάβει η µηχανή Μ 4. Σχήµα 1.8 Γραµµή διάσπασης µε 4 µηχανές και 3 αποθηκευτικούς χώρους Η βασική διαφορά ανάµεσα στη µηχανή διάσπασης και στη µηχανή αποσυναρµολόγησης που συναντήσαµε παραπάνω είναι ότι η µηχανή διάσπασης επιλέγει ποια πορεία θα ακολουθήσει το προϊόν και οι επόµενοι αποθηκευτικοί χώροι εργάζονται ανεξάρτητα, δηλαδή η µηχανή µπλοκάρει µόνο εάν γεµίσει κάποιος αποθηκευτικός χώρος και θέλει να εναποθέσει το προϊόν σε αυτόν. Ενώ στη µηχανή αποσυναρµολόγησης δεν τίθεται θέµα επιλογής πορείας, αλλά αποσυναρµολογείται το προϊόν και εναποθέτονται τα τµήµατά του ταυτόχρονα σε περισσότερους από έναν αποθηκευτικούς χώρους και εάν έστω και ένας αποθηκευτικός χώρος γεµίσει τότε η µηχανή µπλοκάρει (blocked). Τέλος, σύµφωνα µε τους Diamantidis et al. τα συστήµατα διάσπασης και συγχώνευσης µπορούν να συνδυαστούν και να χρησιµοποιηθούν για την µοντελοποίηση γραµµών παραγωγής µε βρόγχους επανεπεξεργασίας. Όπως φαίνεται και παρακάτω στο σχήµα 1.8, η µηχανή Μ 4 είναι ο επιθεωρητής ποιότητας. Πιο συγκεκριµένα, εξετάζει το προϊόν εάν πληροί τις προδιαγραφές 25

27 ποιότητες και αναλόγως είτε το τοποθετεί στον αποθηκευτικό χώρο Β 4 για να συνεχίσει κανονικά την πορεία του στη γραµµή παραγωγής εάν δεν είναι ελαττωµατικό, είτε το επιστρέφει σε προηγούµενο στάδιο της παραγωγής στον αποθηκευτικό χώρο Β 1 εάν χρειάζεται επιδιόρθωση και πρέπει να ξαναπεράσει από τις µηχανές Μ 2 έως Μ 4. Σχήµα 1.9 Γραµµή παραγωγής µε βρόγχο επανεπεξεργασίας Πηγή: Diamantidis et al. (2004) Γραµµές παραγωγής µε σταθµούς εργασίας που αποτελούνται από παράλληλες µηχανές Στην πραγµατικότητα πολλές φορές τα βιοµηχανικά συστήµατα διαθέτουν πολλές παράλληλες µηχανές ανά σταθµό επεξεργασίας. Ειδικότερα, ο αριθµός των µηχανών ανά σταθµό εργασίας είναι δυνατόν να διαφέρει και οι παράλληλες µηχανές σε ένα σταθµό επεξεργασίας παράγουν όλες το ίδιο προϊόν αλλά είναι δυνατόν να έχουν διαφορετικούς χρόνους επεξεργασίας µεταξύ τους. Τέτοιου είδους γραµµές παραγωγής συναντώνται σε πολλές βιοµηχανίες όπως φαρµάκων, αυτοκινήτων, ηλεκτρικών, επεξεργασίας γυαλιού, ξυλείας, ύφανσης κ.ά.. (Quadt & Kuhn, 2007) Στο παρακάτω σχήµα απεικονίζεται µία γραµµή παραγωγής µε L σταθµούς επεξεργασίας, L-1 αποθηκευτικούς χώρους και M L µηχανές ανά σταθµό εργασίας. 26

28 Σχήµα 1.10 Γραµµή παραγωγής µε παράλληλες µηχανές ανά σταθµό επεξεργασίας (Πηγή: Quadt & Kuhn (2007)) Κατηγοριοποίηση µε βάση τον τύπο των παραγόµενων προϊόντων Όλες οι κατηγορίες γραµµών παραγωγής που µελετήθηκαν παραπάνω µπορούν να παράγουν προϊόντα διαφόρων τύπων. Γι αυτό το λόγο οι γραµµές παραγωγής µπορούν να κατηγοριοποιηθούν και µε βάση τον τύπο των προϊόντων που παράγουν. Έτσι, εάν το προϊόν είναι συνεχές, όπως τα υγρά και τα αέρια, τότε η γραµµή παραγωγής ονοµάζεται συνεχούς τύπου, ενώ εάν το προϊόν είναι διακριτού τύπου, όπως τα έπιπλα και τα αυτοκίνητα, τότε η γραµµή παραγωγής ονοµάζεται διακριτού τύπου Κατηγοριοποίηση µε βάση την αξιοπιστία των µηχανών Οι γραµµές παραγωγής µπορούν να κατηγοριοποιηθούν µε βάση την αξιοπιστία των µηχανών που έχουν στους σταθµούς επεξεργασίας. Πιο συγκεκριµένα, εάν οι µηχανές είναι αξιόπιστες και δεν σταµατούν να λειτουργούν ποτέ λόγω βλάβης, τότε χαρακτηρίζονται ως αξιόπιστες και το ίδιο και η γραµµή παραγωγής. Ενώ εάν υπάρχει έστω και µία µη αξιόπιστη µηχανή η οποία εµφανίζει βλάβες, πράγµα που συµβαίνει στη πραγµατικότητα, τότε το σύστηµα χαρακτηρίζεται και αυτό ως µη αξιόπιστο. 27

29 1.4.4 Κατηγοριοποίηση µε βάση την κίνηση των προϊόντων Ολοκληρώνοντας, οι γραµµές παραγωγής είναι δυνατόν να κατηγοριοποιηθούν ακόµη και µε βάση την ροή των προϊόντων µέσα στη γραµµή παραγωγής. Ειδικότερα, εάν σε µία γραµµή παραγωγής οι µηχανές της είναι αξιόπιστες και έχουν σταθερούς και ίδιους ρυθµούς επεξεργασίας, τότε η κίνηση των προϊόντων θα είναι πλήρως συγχρονισµένη και δεν θα χρειάζεται τα προϊόντα να µπαίνουν σε κατάσταση αναµονής στους αποθηκευτικούς χώρους. Έτσι λοιπόν, δεν θα υπάρχουν καθυστερήσεις και οι αποθηκευτικοί χώροι θα είναι περιττοί. Αυτές οι γραµµές παραγωγής χαρακτηρίζονται ως συγχρονισµένες. Στην πραγµατικότητα όµως κάτι τέτοιο είναι αδύνατον να συµβεί αφού όπως προαναφέρθηκε οι µηχανές δεν είναι δυνατόν να είναι αξιόπιστες και κάποια στιγµή της ζωής τους θα παρουσιάσουν βλάβη. Επίσης, δεν είναι εφικτό να έχουν και τους ίδιους χρόνους επεξεργασίας. Αυτές οι γραµµές παραγωγής χαρακτηρίζονται ως µη συγχρονισµένες. 1.5 Μέτρα απόδοσης των βιοµηχανικών συστηµάτων παραγωγής Ο υπολογισµός της απόδοσης των βιοµηχανικών συστηµάτων παραγωγής είναι σηµαντικός για τον έλεγχο της αποδοτικότητας και της αποτελεσµατικότητάς τους. Ταυτόχρονα, τα µέτρα απόδοσης είναι απαραίτητα και για τη διοίκηση προκειµένου να γνωρίζει τη κατάσταση του συστήµατος και να κάνει τις απαραίτητες κινήσεις για να παραµείνει ανταγωνιστικό (Hon, 2005). Εποµένως, όπως γίνεται φανερό είναι απαραίτητη η ποσοτικοποίηση της απόδοσης αυτών των συστηµάτων. Για τον υπολογισµό και την ποσοτικοποίηση της απόδοσης των βιοµηχανικών συστηµάτων παραγωγής υπάρχουν διάφορα µέτρα τα οποία στηρίζονται κυρίως στην ταχύτητα, το χρόνο και στο ρυθµό επεξεργασίας σε συνδυασµό µε το κόστος και το κέρδος (Golec & Taskin, 2007). Τα πιο γνωστά µέτρα απόδοσης είναι ο ρυθµός απόδοσης (production rate), δηλαδή ο αριθµός των προϊόντων που παράγονται ανά µονάδα χρόνου, ο αριθµός των ηµικατεργασµένων προϊόντων που βρίσκονται συνολικά στο σύστηµα 28

30 (work in progress) και ο µέσος χρόνος παραµονής ενός προϊόντος(flow time) από τη στιγµή που θα εισέλθει µέχρι να βγει από το σύστηµα. 2 Μέθοδοι Εκτίµησης της Απόδοσης των Βιοµηχανικών Συστηµάτων Παραγωγής Η εκτίµηση της απόδοσης των βιοµηχανικών συστηµάτων παραγωγής και ο βέλτιστος σχεδιασµός τους είναι δύο πολύ σηµαντικά θέµατα τα οποία καθορίζουν την ανταγωνιστικότητα και τη βιωσιµότητα των συστηµάτων στο χώρο της βιοµηχανίας. Γι αυτό το λόγο τα θέµατα αυτά έχουν απασχολήσει ιδιαίτερα τη διεθνή βιβλιογραφία καθώς κρίνεται αναγκαία η εύρεση µεθόδων που βοηθούν στην ανάπτυξη και στην εξέλιξη των συστηµάτων αυτών. Οι µέθοδοι που έχουν αναπτυχθεί γι αυτό το σκοπό σύµφωνα µε τους ερευνητές διακρίνονται σε δύο κατηγορίες: τις εκτιµητικές µεθόδους και τις γενετικές µεθόδους ή µεθόδους βελτιστοποίησης. Από τη µία πλευρά, οι εκτιµητικές µέθοδοι είναι σηµαντικές διότι δίνουν σηµαντικές πληροφορίες στους υπεύθυνους σχετικά µε την αποδοτικότητα και την αποτελεσµατικότητα των συστηµάτων κι έτσι τους βοηθάνε να λαµβάνουν τις ανάλογες αποφάσεις. Από την άλλη, οι µέθοδοι βελτιστοποίησης είναι εξίσου σηµαντικές γιατί βρίσκουν τρόπους να µεγιστοποιούν την απόδοση του συστήµατος η οποία εκτιµάται από τις εκτιµητικές µεθόδους. Έτσι λοιπόν, όπως είναι φανερό και σύµφωνα µε τους Papadopoulos et al. (1993), υπάρχει ισχυρή σχέση αλληλεξάρτησης µεταξύ των δύο αυτών κατηγοριών αξιολόγησης των βιοµηχανικών συστηµάτων παραγωγής. Σχήµα 2.1 Αλληλεξάρτηση εκτιµητικών και γενετικών µεθόδων (ή µεθόδων βελτιστοποίησης) Στο παρόν κεφάλαιο θα αναπτυχθούν µερικές από τις σηµαντικότερες εκτιµητικές µεθόδους µε τις οποίες έχουν ασχοληθεί οι ερευνητές, όπως η µέθοδος της προσοµοίωσης και άλλες αναλυτικές µέθοδοι. 29

31 2.1 Η µέθοδος της προσοµοίωσης (Simulation method) Προσοµοίωση είναι η διαδικασία κατασκευής και εφαρµογής ενός µοντέλου το οποίο µιµείται κάθε σηµαντικό βήµα που συµβαίνει σε µία διεργασία και κάθε σηµαντική αλληλεπίδραση ανάµεσα στους παράγοντες αυτής. Το µοντέλο αυτό ονοµάζεται µοντέλο προσοµοίωσης και είναι αυστηρή αντιγραφή του πραγµατικού συστήµατος το οποίο προσοµοιώνει. Για τη δηµιουργία του χρειάζεται να ληφθούν όλα τα απαραίτητα στοιχεία από το πραγµατικό σύστηµα, όπως οι χωρητικότητες, ο αριθµός των µηχανών και ο χρόνος επεξεργασίας τους, προκειµένου να γίνει πιστό αντίγραφο του πραγµατικού και να προσοµοιώνει όλες τις διαδικασίες του ώστε τα αποτελέσµατα που θα δίνει να είναι έγκυρα, αξιόπιστα και πραγµατικά. Τέτοιου είδους µοντέλα υλοποιούνται κυρίως σε ηλεκτρονικό υπολογιστή από τον οποίο µπορούµε να τα εκτελέσουµε όσες φορές χρειάζεται και να πάρουµε τα σχετικά αποτελέσµατα 3. Όταν το σύστηµα που προσοµοιώνεται χαρακτηρίζεται από πολυπλοκότητα και έχει διαδικασίες όπου υπάρχει στοχαστικότητα, τότε η µέθοδος της προσοµοίωσης είναι η ιδανικότερη για να µετρηθεί η απόδοσή του. Πιο συγκεκριµένα, σύµφωνα µε τους Dengiz & Akbay (2000), σε τέτοιες περιπτώσεις µε πολύπλοκα συστήµατα οι αναλυτικές µέθοδοι δεν δίνουν καλά αποτελέσµατα και ορισµένες φορές είναι αδύνατον ακόµη και να εφαρµοστούν, ενώ η µέθοδος της προσοµοίωσης εάν εφαρµοστεί πολλές φορές και γίνει στατιστική επεξεργασία των αποτελεσµάτων της τα αποτελέσµατά της είναι πιο κοντά στην πραγµατικότητα και γι αυτό και πιο αξιόπιστα. Τέλος, επειδή τα αποτελέσµατα της µεθόδου προσοµοίωσης ανήκουν σε ένα διάστηµα εµπιστοσύνης, όσες περισσότερες φορές εκτελείται η προσοµοίωση για το συγκεκριµένο σύστηµα τόσο πιο αξιόπιστα θα είναι τα αποτελέσµατά της. Η µέθοδος αυτή όµως πολλές φορές αποφεύγεται από τους ερευνητές εάν είναι δυνατόν γιατί έχει µειονεκτήµατα (Li et al.,1992). Τα σηµαντικότερα µειονεκτήµατα είναι καταρχήν το κόστος που απαιτείται για την κατασκευή των 3 Για παράδειγµα, βλ. Hira D.S., Pandey P.C. (1983) A computer simulation study of manual flow lines, Journal of Manufacturing Systems, Vol. 2(2), pp

32 µοντέλων το οποίο είναι συνήθως υψηλό διότι πρέπει να είναι πιστά αντίγραφα των πραγµατικών συστηµάτων και να εκτελούν όλες τις διαδικασίες µε τον ίδιο ακριβώς τρόπο. Επίσης, ο χρόνος που απαιτείται για την εκτέλεση της προσοµοίωσης αρκετές φορές ώστε τα αποτελέσµατα που θα λάβουµε να είναι αξιόπιστα και να κυµαίνονται µέσα σ ένα µικρό διάστηµα εµπιστοσύνης. Τέλος απαιτείται και η πρόσληψη εξειδικευµένου προσωπικού τόσο για την υλοποίηση της µεθόδου όσο και για την ερµηνεία των αποτελεσµάτων. Οι αναλυτικές µέθοδοι για τις οποίες θα γίνει λόγος αναλυτικότερα στις παρακάτω υποενότητες είναι γρηγορότερες από τη µέθοδο της προσοµοίωσης και το κόστος ανάπτυξής τους συνήθως είναι µικρότερο. Όµως τα αποτελέσµατά τους πολλές φορές δεν είναι ασφαλή και γι αυτό χρησιµοποιείται η µέθοδος της προσοµοίωσης προκειµένου να επιβεβαιωθούν. Εποµένως, καλό είναι κάθε φορά ανάλογα την περίπτωση να διαλέγουµε και την αντίστοιχη µέθοδο η οποία θα µας δώσει αξιόπιστα αποτελέσµατα στο συντοµότερο δυνατό χρόνο. 2.2 Μαρκοβιανή ανάλυση Η Μαρκοβιανή ανάλυση είναι 4 µία στατιστική τεχνική η οποία χρησιµοποιείται για την πρόβλεψη της συµπεριφοράς του συστήµατος µε τον περιορισµό ότι η τρέχουσα κατάσταση του συστήµατος είναι τυχαία και δεν εξαρτάται από την προηγούµενη κατάσταση στην οποία βρισκόταν. Πλεονέκτηµα της Μαρκοβιανής ανάλυσης είναι ότι δίνει ακριβή αποτελέσµατα για τον προσδιορισµό των διαφόρων µέτρων απόδοσης για τα συστήµατα στα οποία χρησιµοποιείται, αλλά δεν µπορεί να εφαρµοστεί σε συστήµατα µε πολλές µηχανές και ενδιάµεσους αποθηκευτικούς χώρους. Αυτό συµβαίνει διότι ο αριθµός των πιθανών καταστάσεων στις οποίες µπορεί να βρεθεί το σύστηµα είναι πολύ µεγάλος µε αποτέλεσµα να δηµιουργούνται πολλές εξισώσεις οι οποίες είναι αδύνατο να λυθούν. Αναλυτικότερα, έστω ότι έχουµε µια σειριακή γραµµή παραγωγής µε k µηχανές και k-1 ενδιάµεσους αποθηκευτικούς χώρους, ο αριθµός των πιθανών διακριτών καταστάσεων µπορεί να βρεθεί πολλαπλασιάζοντας τον 4 Βλ. : (ηµεροµηνία πρόσβασης 27/10/2009) 31

33 αριθµό των πιθανών καταστάσεων που µπορεί να βρεθεί η κάθε µηχανή επί τον αριθµό των δυνατών τιµών που µπορεί να πάρει η χωρητικότητα κάθε αποθηκευτικού χώρου. Υποθέτοντας λοιπόν ότι κάθε µια µηχανή µπορεί να βρεθεί σε δυο πιθανές καταστάσεις, χαλασµένη ή σε λειτουργία, και ότι κάθε αποθηκευτικός χώρος µπορεί να βρεθεί σε C i +1 καταστάσεις µε n i =0,,C i, όπου C i είναι η χωρητικότητα του i-οστού αποθηκευτικού χώρου και n i η τρέχουσα ποσότητα προϊόντος που περιέχει ανά πάσα στιγµή, ο συνολικός αριθµός καταστάσεων δίνεται από τον τύπο: M = 2 k 1 k i= 0 ( C i + 1) Έτσι λοιπόν, σύµφωνα µε τον παραπάνω τύπο, µια γραµµή παραγωγής µε 20 µηχανές και 19 ενδιάµεσους αποθηκευτικούς χώρους µε χωρητικότητα 10 µονάδες ο καθένας έχει περισσότερες από 6.41 x πιθανές καταστάσεις στις οποίες µπορεί να βρεθεί. Ο αριθµός αυτός των πιθανών καταστάσεων είναι πολύ µεγάλος και κάνει αδύνατη την επίλυση του αντίστοιχου συστήµατος γραµµικών εξισώσεων. Εποµένως, προκύπτει ότι είναι αδύνατη η χρήση της Μαρκοβιανής ανάλυσης σε γραµµές παραγωγής µεγάλες ή µεσαίου µεγέθους. 2.3 Η µέθοδος της αποσύνθεσης (Decomposition method) Η µέθοδος της αποσύνθεσης αναπτύχθηκε για πρώτη φορά από τον Gershwin (1987) για την εκτίµηση µέτρων απόδοσης γραµµών παραγωγής ακόµη και µεγάλου µεγέθους, πράγµα που αδυνατούσε να κάνει η Μαρκοβιανή ανάλυση. Σύµφωνα µε τον Gershwin µία σειριακή γραµµή παραγωγής µπορεί να αποσυντεθεί σε υποσυστήµατα µε δύο µηχανές και έναν ενδιάµεσο αποθηκευτικό χώρο το κάθε υποσύστηµα, προκειµένου να είναι πιο εύκολος ο υπολογισµός της απόδοσης µε τη χρήση της Μαρκοβιανής ανάλυσης. Έτσι, τα αποτελέσµατα που θα λαµβάνονται για κάθε υποσύστηµα θα είναι ακριβή και αξιόπιστα. Στα παρακάτω σχήµατα απεικονίζεται η αποσύνθεση ενός συστήµατος παραγωγής µε 7 σειριακές µηχανές και 6 ενδιάµεσους αποθηκευτικούς χώρους. Πιο συγκεκριµένα το σύστηµα χωρίστηκε σε 6 υποσυστήµατα L(i), όπου i=1,..6, στα οποία ο αποθηκευτικός τους χώρος έχει την ίδια 32

34 χωρητικότητα µε τον αντίστοιχο αποθηκευτικό χώρο B(i) στο αρχικό σύστηµα. Ακόµη, οι µηχανές που βρίσκονται πριν M u (i) και µετά M d (i) από τον αποθηκευτικό χώρο έχουν ρυθµό επεξεργασίας p u (i) και p d (i) και χρόνο επιδιόρθωσης r u (i) και r d (i) αντίστοιχα. Οι τέσσερις αυτοί παράµετροι έχουν επιλεχθεί µε τέτοια κριτήρια ώστε η απόδοση των µηχανών του υποσυστήµατος να είναι ίδια µε την απόδοση των αντίστοιχων µηχανών στο πραγµατικό σύστηµα. Σχήµα 2.2 Γραµµή παραγωγής µε 7 µηχανές και 6 αποθηκευτικούς χώρους (Πηγή: Gershwin (1987)) Σχήµα 2.3 Αποσύνθεση της γραµµής παραγωγής του σχήµατος 2.2 (Πηγή: Gershwin (1987)) Ολοκληρώνοντας, σύµφωνα µε τον Gershwin αρκεί να υπολογιστούν αυτές οι τέσσερις παράµετροι για κάθε υποσύστηµα µε τη χρήση ορισµένων 33

35 εξισώσεων οι οποίες επιλύονται µε τη χρήση ενός επαναληπτικού αλγορίθµου. Ειδικότερα, οι εξισώσεις αυτές πρέπει να εκφράζουν την αρχή της διατήρησης της ροής των προϊόντων, να υπολογίζουν τον ρυθµό εξυπηρέτησης των µηχανών M u (i) και M d (i) και την επαναφορά της ροής σε περίπτωση εµφάνισης βλάβης. Οι Dallery et al. (1988) ασχολήθηκαν και αυτοί µε την µέθοδο της αποσύνθεσης και πρότειναν έναν νέο τρόπο επίλυσης των παραπάνω εξισώσεων του Gershwin για τον υπολογισµό της απόδοσης του κάθε υποσυστήµατος. Πιο συγκεκριµένα, δηµιούργησαν µία νέα εξίσωση ισοδύναµη µε το σετ των εξισώσεων που πρότεινε ο Gershwin η οποία είναι πιο απλή, έχει χαµηλότερη πολυπλοκότητα και λύνεται και αυτή µε τη χρήση µίας επαναληπτικής διαδικασίας. Η µέθοδος αυτή εφαρµόστηκε αργότερα από τους ερευνητές και σε µη σειριακές γραµµές παραγωγής. Πιο συγκεκριµένα, εφαρµόστηκε από τον Helber (1998) σε συστήµατα συναρµολόγησης και αποσυναρµολόγησης και από τους Helber & Jusic (2004) σε συστήµατα συγχώνευσης. Στα παρακάτω σχήµατα απεικονίζεται το αρχικό σύστηµα και τα υποσυστήµατα που προέκυψαν µετά την εφαρµογή της µεθόδου της αποσύνθεσης. Σε κάθε περίπτωση, οι παράµετροι που χαρακτηρίζουν τους ενδιάµεσους αποθηκευτικούς χώρους υπολογίζονται µε τη βοήθεια των εξισώσεων του Gershwin µε ορισµένες αλλαγές. Σχήµα 2.4 Σύστηµα συναρµολόγησης/αποσυναρµολόγησης πριν και µετά την εφαρµογή της µεθόδου αποσύνθεσης (Πηγή: Helber (1998)) 34

36 Σχήµα 2.5 Σύστηµα συγχώνευσης πριν την εφαρµογή της µεθόδου αποσύνθεσης (Πηγή: Helber & Jusic (2004)) Σχήµα 2.6 Σύστηµα συγχώνευσης µετά την εφαρµογή της µεθόδου αποσύνθεσης (Πηγή: Helber & Jusic (2004)) 2.4 Η µέθοδος της συνάθροισης (Aggregation method) Η µέθοδος της συνάθροισης είναι και αυτή µία µέθοδος που χρησιµοποιείται για τον προσδιορισµό των µέτρων απόδοσης µιας γραµµής παραγωγής αλλά λειτουργεί µε διαφορετική λογική από αυτή της αποσύνθεσης που περιγράφηκε στην παραπάνω υποενότητα. Πιο συγκεκριµένα, σε αυτή την περίπτωση, σε µία γραµµή παραγωγής οι µηχανές της συναθροίζονται διαδοχικά και ανά δύο µέχρι το τελικό σύστηµα να έχει µόνο δύο µηχανές και έναν ενδιάµεσο αποθηκευτικό χώρο. Έτσι λοιπόν, µετά την απλούστευση της γραµµής παραγωγής θα είναι και πάλι εύκολο να µετρηθεί η απόδοσή της µε την Μαρκοβιανή ανάλυση. 35

37 Σύµφωνα µε τον De Koster (1987), η µέθοδος της αποσύνθεσης σε τέτοιου είδους συστήµατα παραγωγής είχε ήδη εφαρµοστεί από τους Buzacott (1967), Murphy (1978) και Suri & Diehl (1986). Στο παρακάτω σχήµα απεικονίζεται η εφαρµογή της µεθόδου συνάθροισης ανά βήµα σε µία σειριακή γραµµή παραγωγής µε 4 µηχανές και 3 αποθηκευτικούς χώρους. Σχήµα 2.7 Εφαρµογή της µεθόδου συνάθροισης σε µία σειριακή γραµµή παραγωγής µε 4 µηχανές και 3 αποθηκευτικούς χώρους (Πηγή: Belmansour & Nourelfath (2008)) Στο παραπάνω παράδειγµα οι Belmansour & Nourelfath (2008) εφάρµοσαν τη µέθοδο της αποσύνθεσης στη γραµµή παραγωγής ξεκινώντας τη συνάθροιση των µηχανών από την τελευταία προς την αρχική. Η συνάθροιση όµως µπορεί να εφαρµοστεί µεταξύ οποιονδήποτε διαδοχικών µηχανών, δηλαδή θα µπορούσε να ξεκινήσει από την πρώτη µηχανή και µε διαδοχικές συναθροίσεις να κατέληγε στην τελευταία (Μ 12,Μ 123,Μ 1234 ). Σε αυτή την περίπτωση η απόδοση του συστήµατος δεν είναι απαραίτητα η ίδια µε την πρώτη περίπτωση. Εποµένως, η τελική απόδοση του συστήµατος εξαρτάται από τον τρόπο µε τον οποίο θα εφαρµοστεί η συνάθροιση. Για την αντιµετώπιση του παραπάνω προβλήµατος οι Lim et al. (1990) πρότειναν µία νέα µέθοδο συνάθροισης. Η µέθοδος αυτή σε πρώτη φάση ξεκινάει τη συνάθροιση από την πρώτη µηχανή και καταλήγει στην τελευταία και σε δεύτερη φάση ξεκινάει από την τελευταία µηχανή καταλήγοντας στην 36

38 πρώτη. Η διαδικασία αυτή επαναλαµβάνεται έως ότου και στις δύο φάσεις η εκτίµηση που θα προκύψει να είναι η ίδια. Έτσι λοιπόν, η κοινή τους εκτίµηση είναι και η εκτίµηση της απόδοσης για το σύστηµα. 3 Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Όπως αναφέρθηκε στην πρώτη ενότητα τρία είναι τα βασικά θέµατα βελτιστοποίησης στα συστήµατα παραγωγής που απασχολούν τους ερευνητές η βέλτιστη κατανοµή του αποθηκευτικού χώρου (buffer allocation problem), η βέλτιστη κατανοµή των σταθµών εργασίας (server allocation problem) και η βέλτιστη κατανοµή των ανθρωπίνων πόρων-εργαζοµένων (worker allocation problem). Σε αυτήν την εργασία θα ασχοληθούµε µε την βελτιστοποίηση της κατανοµής των αποθηκευτικών χώρων (BAP), θέµα που απασχολεί πάρα πολύ τους ερευνητές µέχρι και σήµερα, διότι σε µία βιοµηχανική µονάδα παραγωγής οι αποθηκευτικοί χώροι έχουν υψηλό κόστος και η βέλτιστη κατανοµή τους µπορεί να βελτιώσει την απόδοση του συστήµατός τους χωρίς επιπλέον επιβάρυνση. Για την επίτευξη της βελτιστοποίησης αυτής έχουν προταθεί διάφορες αναλυτικές µέθοδοι µερικές από τις οποίες παρουσιάζονται και στις παρακάτω ενότητες, αφού πρώτα περιγραφεί αναλυτικά το πρόβληµα προς επίλυση. Αξίζει να σηµειωθεί ότι η επίλυση ενός προβλήµατος βελτιστοποίησης γίνεται ολοένα και πιο δύσκολη όσο αυξάνεται το µέγεθος και η πολυπλοκότητα του προβλήµατος και πολλές φορές η εύρεση της βέλτιστης λύσης σε λογικό χρόνο είναι πρακτικά αδύνατο. Η καθεµία λοιπόν από τις αναλυτικές µεθόδους που χρησιµοποιούνται, ενδέχεται να βρει µία σχεδόν βέλτιστη και ικανοποιητική λύση. Περισσότερες λεπτοµέρειες και σχόλια σχετικά µε τα αποτελέσµατα των διαφόρων µεθόδων βελτιστοποίησης θα γίνουν σε παρακάτω ενότητα όπου συγκρίνονται τα αποτελέσµατά τους. 3.1 Αναλυτική παρουσίαση του προβλήµατος Σε µία γραµµή παραγωγής οι πιθανότητες να διακοπεί η ροή των προϊόντων είναι πολλές εξαιτίας κάποιων δυσλειτουργιών ή βλαβών. Πιο συγκεκριµένα, µπορεί να προκληθεί βλάβη σε κάποια µηχανή και να 37

39 καθυστερήσει η παραγωγή, ή να απαιτούνται διαφορετικοί χρόνοι επεξεργασίας σε κάθε µηχανή και να υπάρχουν χρονικές καθυστερήσεις λόγω απασχόλησης του επόµενου σταθµού εργασίας (Gershwin & Schor, 2000). Για να αποφεύγονται τέτοιου είδους προβλήµατα ενδιάµεσα από τους σταθµούς εργασίας υπάρχουν οι αποθηκευτικοί χώροι στους οποίους µπορεί να βρίσκεται σε κατάσταση αναµονής το ηµικατεργασµένο προϊόν µέχρι να διορθωθεί η βλάβη ή να ελευθερωθεί ο επόµενος σταθµός εργασίας στον οποίο είναι προγραµµατισµένο να πάει. Βλέπουµε λοιπόν ότι οι αποθηκευτικοί χώροι είναι πολύ σηµαντικοί για την εξασφάλιση της οµαλής λειτουργίας των συστηµάτων παραγωγής. Επειδή όµως το κόστος απόκτησής τους και εγκατάστασης είναι ιδιαίτερα ψηλό, πρέπει καταρχήν να αποφασιστεί το πλήθος των αποθηκευτικών χώρων που τους είναι απαραίτητοι και ο τρόπος κατανοµής τους µέσα στο σύστηµα (Papadopoulos & Vidalis, 2001). Έτσι λοιπόν είναι ανάγκη να βρεθούν και να εφαρµοστούν οι κατάλληλες µέθοδοι για την βέλτιστη κατανοµή και χρήση τους. Σύµφωνα µε τους Gershwin & Schor (2000) υπάρχουν δύο τρόποι επίλυσης του παρόντος προβλήµατος, ο πρωταρχικός και ο δυϊκός. Ο στόχος του πρωταρχικού προβλήµατος είναι να βρεθεί ο ελάχιστος απαιτούµενος συνολικός αποθηκευτικός χώρος έτσι ώστε η απόδοση της γραµµής παραγωγής να φτάσει ή να ξεπεράσει µία συγκεκριµένη τιµή, ενώ στόχος του δυϊκού προβλήµατος είναι µε δεδοµένο τον συνολικό αποθηκευτικό χώρο να µεγιστοποιηθεί η απόδοση της γραµµής παραγωγής Μαθηµατική τυποποίηση του προβλήµατος Έστω ότι υπάρχουν Κ µηχανές και Κ-1 αποθηκευτικοί χώροι στην υπό µελέτη γραµµή παραγωγής. Εάν η συνολική χωρητικότητα των αποθηκευτικών χώρων είναι N ολ και Ν i είναι η χωρητικότητα που δίνεται στον Β i αποθηκευτικό χώρο, τότε µία πιθανή λύση θα συµβολίζεται ως [Ν 1,Ν 2,,Ν κ- 1] και η απόδοσή της ως P(Ν 1,Ν 2,,Ν κ-1 ). Επίσης, σύµφωνα µε τους Gershwin & Schor (2000) το κατώτατο όριο για τη χωρητικότητα των αποθηκευτικών χώρων σε διακριτού τύπου γραµµές παραγωγής είναι Ν i >=4, επειδή οι λειτουργικοί τύποι των ρυθµών παραγωγής 38

40 και του µέσου όρου των επιπέδων των αποθηκευτικών χώρων διαφέρει για Ν i >=4 και Ν i <4. Με βάση όλα τα παραπάνω η αντικειµενική συνάρτηση του πρωταρχικού προβλήµατος είναι ο συνολικός αποθηκευτικός χώρος τον οποίο θέλουµε να ελαχιστοποιήσουµε: εδοµένου ότι P(N ολ ) >= P στόχος, να βρεθεί το N ολ έτσι ώστε να είναι min(n ολ ) και η αντικειµενική συνάρτηση του δυϊκού προβλήµατος είναι η απόδοση του συστήµατος την οποία θέλουµε να µεγιστοποιήσουµε: εδοµένου του N ολ να βρεθεί µία λύση [Ν 1,Ν 2,,Ν κ-1 ] τ.ώ. max(p(ν 1,Ν 2,,Ν κ-1 )) Στην παρούσα εργασία θα κληθούµε να λύσουµε το δυϊκό πρόβληµα µε τον µυωπικό αλγόριθµο. Αξίζει να αναφερθεί ότι τα δύο αυτά προβλήµατα δεν είναι ανεξάρτητα µεταξύ τους διότι η λύση του πρωταρχικού προβλήµατος προαπαιτεί και την λύση του δυϊκού προβλήµατος. Λόγω της µεγάλης υπολογιστικής πολυπλοκότητας του παραπάνω προβλήµατος σχεδόν όλες οι µέθοδοι αναζήτησης για την επίλυσή του βασίζονται στη χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών. Βέβαια και πάλι σε πολλές περιπτώσεις όσο το σύστηµα παραγωγής µεγαλώνει, οι µέθοδοι απαιτούν πολύ υπολογιστικό χρόνο για να βρούνε µία λύση. Σε επόµενη ενότητα θα δοθεί ο χρόνος που κάνει η κάθε µέθοδος και ανάλογα και µε τις λύσεις που θα δώσουν θα συγκριθούν τα αποτελέσµατά τους. 3.2 Μέθοδος Απαρίθµησης Η πιο κλασσική µέθοδος επίλυσης του προβλήµατος βέλτιστης κατανοµής του αποθηκευτικού χώρου είναι η µέθοδος απαρίθµησης. Με τη µέθοδο αυτή εξασφαλίζεται η εύρεση της βέλτιστης λύσης, αλλά εάν το σύστηµα παραγωγής είναι πολύ µεγάλο τότε απαιτεί πολύ υπολογιστικό χρόνο για να τερµατίσει. Στο παρακάτω διάγραµµα ροής φαίνονται τα βήµατα 39

41 της µεθόδου όπως τα περιέγραψαν οι Mirzapour & Aryanezhad (2009) στο άρθρο τους. Σχήµα 3.1 ιάγραµµα ροής µεθόδου απαρίθµησης (Πηγή: Mirzapour Α.Η. & Aryanezhad Μ.Β. (2009)) Με τη µέθοδο αυτή υπολογίζεται η απόδοση της κάθε πιθανής λύσης και επιλέγεται αυτή που δίνει τη µεγαλύτερη ως αποτέλεσµα. Πιο συγκεκριµένα, απαριθµούνται όλες οι πιθανές λύσεις του προβλήµατος, υπολογίζεται για καθεµία από αυτές η απόδοση που θα είχε το σύστηµα, συγκρίνονται και επιλέγεται η καλύτερη. Εποµένως, το πλεονέκτηµα αυτής της µεθόδου είναι ότι θα βρει σίγουρα τη βέλτιστη λύση. Το βασικό µειονέκτηµα αυτής της µεθόδου όµως είναι ότι αυξάνεται δραµατικά ο απαιτούµενος υπολογιστικός χρόνος όσο αυξάνεται και η γραµµή παραγωγής (οι σταθµοί εργασίας και οι αποθηκευτικοί χώροι). Ειδικότερα, εάν υπάρχουν Κ µηχανές και Κ-1 αποθηκευτικοί χώροι στην υπό µελέτη γραµµή παραγωγής και η συνολική χωρητικότητα των αποθηκευτικών χώρων είναι N ολ, τότε το πλήθος των πιθανών λύσεων θα είναι: (Κ-1+ N ολ )! / N ολ! *(Κ-1) Για παράδειγµα εάν Κ=5 µηχανές και N ολ =10 χωρητικότητα τότε ο αριθµός των πιθανών λύσεων θα είναι 1001 λύσεις, εάν Κ=10 µηχανές και N ολ =20 χωρητικότητα τότε ο αριθµός των πιθανών λύσεων θα είναι λύσεις και εάν Κ=20 µηχανές και N ολ = 40 χωρητικότητα τότε ο αριθµός των πιθανών λύσεων θα είναι 1.39x10 15 λύσεις. Παρατηρείται λοιπόν ότι ο αριθµός των υπό µελέτη λύσεων από τη µέθοδο αυτή αυξάνεται µε γεωµετρικούς ρυθµούς και γι αυτό αποφεύγεται η χρήση του. Αξίζει να σηµειωθεί όµως ότι η µέθοδος της απαρίθµησης είναι αρκετά χρήσιµη για τους ερευνητές για την σύγκριση και επαλήθευση µε τα 40

42 αποτελέσµατα άλλων αλγορίθµων βελτιστοποίησης που είναι υπό µελέτη και υπό ανάπτυξη. Στις παρακάτω υποενότητες παρουσιάζονται µερικές αναλυτικές µέθοδοι βελτιστοποίησης που έχουν µελετηθεί στη βιβλιογραφία µέχρι σήµερα και µπορούν να εφαρµοστούν και σε µεγάλα συστήµατα παραγωγής. 3.3 Μέθοδος Gradient Σκοπός της µεθόδου Gradient είναι να βρεθεί αρχικά η κατεύθυνση όπου η απόδοση του συστήµατος παραγωγής αυξάνει περισσότερο και προς τα εκεί να ψάξει να βρει τη βέλτιστη λύση. Ο αλγόριθµος ξεκινάει µε µία αρχική λύση [Ν 1, Ν 2,, Ν k-1 ], η οποία συνήθως δίνεται από τον χρήστη και έπειτα υπολογίζεται το διάνυσµα g=[g 1, g 2,, g k-1 ], όπου g i = dp/dn i (Ν 1, Ν 2,, Ν k- 1), το οποίο δείχνει την κατεύθυνση στην οποία η απόδοση του συστήµατος αυξάνεται περισσότερο. Επειδή όµως υπάρχει κίνδυνος να προκύψουν ανέφικτες λύσεις αν κινηθούµε στην κατεύθυνση που ορίζει το g, υπολογίζεται ένα νέο διάνυσµα p το οποίο λαµβάνει υπόψη τον περιορισµό του συνολικού αποθηκευτικού χώρου. Αφού λοιπόν βρεθεί η κατεύθυνση προς την οποία θα κινηθεί ο αλγόριθµος, εφαρµόζεται γραµµική αναζήτηση για να βρεθεί η περιοχή της γραµµής όπου υπάρχει η βέλτιστη λύση και µετά εφαρµόζεται δυαδική αναζήτηση σε αυτή την περιοχή ώστε να βρεθεί η ακριβής λύση. Τέλος, η λύση αυτή δίνεται ως αρχική λύση στον αλγόριθµο ο οποίος αρχίζει πάλι από την αρχή, µέχρι η λύση να µην µπορεί να βελτιωθεί περαιτέρω. Η µέθοδος αυτή έχει µελετηθεί από πολλούς ερευνητές κατά την πάροδο των χρόνων για την επίλυση του προβλήµατος κατανοµής του αποθηκευτικού χώρου (Seong, Chang & Hong, 1994; Gershwin & Goldis, 1995; Gershwin & Schor, 2000) και έχει χαρακτηριστεί ως γρήγορη µέθοδος. Ακόµη, ο αγκάκης Γ. (2009) ανέπτυξε έναν αλγόριθµο που αποτελεί παραλλαγή του gradient για τη βελτιστοποίηση γραµµών παραγωγής µε σταθµούς εργασίας που µπορεί να έχουν πολλές παράλληλες µηχανές. Τα αποτελέσµατα έδειξαν ότι η παραλλαγµένη µέθοδος λειτουργεί πολύ καλά και στις περισσότερες περιπτώσεις δίνει πολύ γρήγορα µια λύση µε σφάλµα 41

43 µικρότερο του 1%. Παρακάτω ακολουθούν τα βήµατα του ψευδοκώδικα και το διάγραµµα ροής του αλγορίθµου. 1. Αρχικοποίησε τις παραµέτρους και λάβε την αρχική λύση Ν αρχ 2. Υπολόγισε το g για το Ν αρχ 3. Υπολόγισε το p για το Ν αρχ 4. Υπολόγισε το α max το βήµα β 5. Ψάξε στην κατεύθυνση που ορίζει το p µε βήµα β και αναγνώρισε το τµήµα όπου βρίσκεται η βέλτιστη λύση. 6. ιεξήγαγε στο τµήµα που ορίστηκε δυαδική αναζήτηση και βρες τη βέλτιστη λύση Ν τρέχον 7. Έλεγξε τα κριτήρια τερµατισµού. Αν ικανοποιείται έστω και ένα πήγαινε στο βήµα Θέσε Ν αρχ = Ν τρέχον και πήγαινε στο βήµα ώσε το Ν τρέχον ως βέλτιστη λύση του συστήµατος και το P(Ν τρέχον ) ως τη βέλτιστη απόδοση. Τερµάτισε. Σχήµα 3.2 Βήµατα Αλγορίθµου Gradient (Πηγή: αγκάκης Γ. (2009)) 42

44 Σχήµα 3.3 ιάγραµµα ροής αλγορίθµου gradient. (Πηγή: Gershwin S. B. & Schor J. E. (2000)) 3.4 Μέθοδος Προσοµοιωµένης Ανόπτησης (Simulated Annealing) Σύµφωνα µε τους Μαρινάκης & Μυγδαλάς (2008) η προσοµοιωµένη ανόπτηση κατηγοριοποιείται στους µεθευρετικούς αλγορίθµους οι οποίοι είναι µέθοδοι επίλυσης που συνδυάζουν διαδικασίες τοπικής αναζήτησης και υψηλότερου επιπέδου στρατηγικές. Οι µεθευρετικοί αλγόριθµοι συνήθως προσοµοιάζουν µία διαδικασία που έχει εφαρµογή στη φύση, έτσι και η προσοµοιωµένη ανόπτηση προσοµοιάζει τη διαδικασία ανόπτησης των 43

45 υλικών 5 σε συνδυασµό µε τη στρατηγική επίλυσης προβληµάτων συνδυαστικής βελτιστοποίησης. Η προσοµοιωµένη ανόπτηση είναι µία τεχνική βελτιστοποίησης η οποία βασίζεται στις αρχές της στατιστικής µηχανής 6 και είναι ιδανική για συνδυαστικά προβλήµατα ελαχιστοποίησης (Spinellis D. & Papadopoulos Ch.,2000). Ειδικότερα, είναι µία πιθανολογική ευρετική µέθοδος για την επίλυση προβληµάτων βελτιστοποίησης των εφαρµοσµένων µαθηµατικών, δηλαδή αυτών που εντοπίζουν µία καλή προσέγγιση στο ολικό ελάχιστο µιας συνάρτησης σε ένα µεγάλο και πεπερασµένο διάστηµα αναζήτησης 7. Η µέθοδος αυτή χρησιµοποιήθηκε για πρώτη φορά εκτεταµένα για την επίλυση προβληµάτων διάταξης κυκλωµάτων VLSI στις αρχές της δεκαετίας του 1980 και έχει εφαρµοστεί ευρύτατα στο χρονοπρογραµµατισµό εργοστασίου και σε άλλες εργασίες βελτιστοποίησης µεγάλης κλίµακας (Russell St. & Norvig P., 2006, σελ.: ). Σύµφωνα µε τον Fabian (1997) οι πρώτες δηµοσιεύσεις µε αποτελέσµατα σχετικά µε τη µέθοδο γίνανε από τους Kirpatrick, Gelatt, & Vecchi (1982, 1983), Cerny (1982, 1985) και Geman (1984). Ακόµη, σύµφωνα µε τους Spinellis, Papadopoulos & Smith (2000) η προσοµοιωµένη ανόπτηση ξεκινάει µε µια αρχική µη βέλτιστη και συνήθως τυχαία λύση και προσπαθεί να τη βελτιώσει επιλέγοντας τυχαία νέες λύσεις και υπολογίζοντας το αντίστοιχο διαφορικό κόστος. Αν το κόστος µειώνεται τότε η νέα λύση επιλέγεται και η διαδικασία συνεχίζεται ώσπου να ικανοποιηθεί η συνθήκη τερµατισµού. Όµως µια τέτοια µεθοδολογία µπορεί να κολλήσει σε τοπικά µέγιστα, τα οποία δίνουν λύσεις αρκετά µακριά από την ολική βέλτιστη. Αυτό το πρόβληµα αντιµετωπίζεται στη προσοµοιωµένη ανόπτηση µε ανηφορικά (uphill) βήµατα και έτσι, δεν επιλέγονται µόνο οι λύσεις όπου το κόστος µειώνεται, αλλά και κάποιες από αυτές όπου αυτό αυξάνεται και εποµένως είναι χειρότερες λύσεις από την αρχική. 5 Ανόπτηση είναι η διαδικασία θέρµανσης ενός στερεού υλικού µέχρι το σηµείο τήξεως και στη συνέχεια η ψύξη του ώστε να πέσει σε χαµηλότερο επίπεδο ενέργειας (αυξοµείωση θερµοκρασίας Τ). Βλ.: Μαρινάκης & Μυγδαλάς (2008), σελ.: Βλ. ιαγαλάκη (2005), σελ: Βλέπε: 44

46 Αναλυτικότερα, µε τη µέθοδο αυτή αρχικά παράγεται τυχαία ένας αριθµός λύσεων που προέρχονται από την αρχική λύση, υπολογίζεται η απόδοσή τους και επιλέγονται όλες οι λύσεις που δίνουν καλύτερη απόδοση αλλά και κάποιες από αυτές που δίνουν χειρότερη. Ο αριθµός των αποδεκτών κάθε φορά λύσεων είναι τυχαίος και εξαρτάται από την κατανοµή του Boltzmann και τη µεταβλητή Τ=θερµοκρασία που θα ορίσουµε. Όσο η θερµοκρασία Τ µικραίνει τόσο λιγότερες από τις χειρότερες λύσεις θα γίνουν δεκτές ώσπου η Τ να µηδενιστεί και να ικανοποιηθούν οι συνθήκες τερµατισµού. Παρακάτω ακολουθούν τα βήµατα του ψευδοκώδικα της µεθόδου αυτής. 1. Επίλεξε µια αρχική διάταξη γραµµής C 0 και µια αρχική θερµοκρασία T 0 2. Επανέλαβε έως ότου δεν µπορεί να βρεθεί καµία καλύτερη διάταξη Επανέλαβε για έναν αριθµό βηµάτων βελτιστοποίησης για τις δοθείσες θερµοκρασίες ιαµόρφωσε µια νέα γραµµή C n µετακινώντας ένα τυχαίο αριθµό µονάδων αποθηκευτικού χώρου από έναν τυχαίο αποθηκευτικό χώρο σε κάποιον άλλο Εάν η νέα γραµµή C n είναι πιο κατάλληλη τότε κάνε τη νέα γραµµή C n νέα γραµµή C Χαµήλωσε την ανοπτηµένη θερµοκρασία Τ Σχήµα Γενετικός Αλγόριθµος Βήµατα Μεθόδου Προσοµοιωµένης Ανόπτησης Η ιδέα της µίµησης της διαδικασίας εξέλιξης στη φύση για την αναζήτηση καλύτερων λύσεων οδήγησαν στην ανάπτυξη των γενετικών αλγορίθµων (Μαρινάκης & Μυγδαλάς,2008, σελ.:445). Οι γενετικοί αλγόριθµοι είναι και αυτοί αλγόριθµοι αναζήτησης που χρησιµοποιούνται σε υπολογισµούς για την εύρεση λύσεων (είτε ακριβείς είτε κατά προσέγγιση) σε προβλήµατα αναζήτησης και βελτιστοποίησης. Ανήκουν στις ευρετικές µεθόδους πλήρους αναζήτησης, ενώ αποτελούν και µία ιδιαίτερη κατηγορία εξελικτικών αλγορίθµων επειδή χρησιµοποιούν τεχνικές όπως τη κληρονοµικότητα, τη µετάλλαξη, την επιλογή και τη διασταύρωση οι οποίες είναι ευρέως διαδεδοµένες στην εξελεγκτική βιολογία 8. Οι αλγόριθµοι αυτοί προτάθηκαν για πρώτη φορά από τον Holland (1975) 9 και η βασική τους 8 Βλέπε: 9 Επίσης βλ. ιγαλάκη Ι. (2005), σελ:22. 45

47 λειτουργία είναι το ταίριασµα δύο λύσεων µε στόχο να δηµιουργηθεί µία νέα καλύτερη λύση. Ο αλγόριθµος συνήθως ξεκινά µε τυχαίες παραµέτρους οι οποίες συνήθως αναπαριστούνται σε δυαδικό κώδικα (µε ψηφία 0 και 1) και έπειτα παράγονται πολλαπλά αντίγραφα δηµιουργώντας ένα πληθυσµό χρωµοσωµάτων. Μετά εφαρµόζεται µία συνάρτηση ποιότητας (fitness value) σε κάθε χρωµόσωµα που να εκτιµά την καταλληλότητά του και µε βάση τα αποτελέσµατα επιλέγονται τα καλύτερα από αυτά και ξανα-αναπαράγονται. Τα χρωµοσώµατα αυτά εξελίσσονται συνεχώς και δηµιουργούνται νέοι πληθυσµοί µέχρι να φτάσουν -µέσω της φυσικής επιλογής, της µετάλλαξης (αναστροφή των δυαδικών ψηφίων µε κάποια πιθανότητα) και των διασταυρώσεων- σε µία αποτελεσµατική φόρµουλα-λύση η οποία θα είναι βέλτιστη. Αξίζει να σηµειωθεί ότι όσο περισσότερες γενεές περνούν, τόσο καλύτερες και βέλτιστες λύσεις βρίσκονται. Ο αλγόριθµος τερµατίζει είτε όταν το αποτέλεσµα της συνάρτησης καταλληλότητας είναι αρκετά καλό, είτε όταν έχει ξεπεραστεί ο επιτρεπόµενος µέγιστος αριθµός των µεταλλάξεων 10. Από όλα τα παραπάνω και σύµφωνα µε τους Spinellis & Papadopoulos (2000b) συµπεραίνεται ότι τα βήµατα του αλγορίθµου σε µορφή ψευδοκώδικα είναι: 1. Επέλεξε έναν αρχικό πληθυσµό 2. Αξιολόγησε κάθε µέλος του πληθυσµού 3. Επανέλαβε µέχρι το αποτέλεσµα της συνάρτησης καταλληλότητας να είναι ικανοποιητικό a. ηµιούργησε ένα νέο πληθυσµό µε γενετική διασταύρωση από τον προηγούµενο πληθυσµό b. Μετάλλαξέ τον c. Εφάρµοσε τη συνάρτηση καταλληλότητας και επέλεξε τον καλύτερο d. Αντικατέστησε τον παλιό πληθυσµό µε τον καινούριο και πήγαινε στο βήµα 3. Σχήµα 3.5 Βήµατα Γενετικού Αλγορίθµου Τέλος, οι Spinellis & Papadopoulos (2000a) µετά από πειράµατα που κάνανε κατέληξαν στο συµπέρασµα ότι οι γενετικοί αλγόριθµοι είναι πιο γρήγοροι σε µεγάλες γραµµές παραγωγής σε σύγκριση µε τον αλγόριθµο της 10 Για περισσότερες λεπτοµέρειες βλέπε Spinellis & Papadopoulos (2000b), Bulgak, Diwan & Inozu (1995), Wellman & Gemmill (1995) και ιγαλάκης (2005), σελ:

48 προσοµοιωµένης ανόπτησης, αλλά ο δεύτερος δίνει τις περισσότερες φορές καλύτερα αποτελέσµατα. 3.6 Μέθοδος Περιορισµένης Αναζήτησης (Tabu Search) Η περιορισµένη αναζήτηση αναπτύχθηκε το 1986 από τον Glover και µέχρι σήµερα έχει τροποποιηθεί αρκετά και έχουν προστεθεί νέα στοιχεία τα οποία έχουν βελτιώσει κατά πολύ την απόδοσή της 11. Πιο συγκεκριµένα, είναι µία µαθηµατική µέθοδος υψηλού επιπέδου για την επίλυση προβληµάτων βελτιστοποίησης (Glover, 1990) η οποία ανήκει στην κατηγορία των µεθόδων τοπικής αναζήτησης. ιαφέρει όµως από τις άλλες µεθόδους τοπικής αναζήτησης (έχει καλύτερη απόδοση) διότι χρησιµοποιεί δοµές µνήµης όπου καταγράφει τις πιθανές λύσεις που έχει εξετάσει, έτσι ώστε εάν οδηγηθεί και πάλι σε µία παλιά λύση να µην επαναλάβει την ίδια διαδικασία 12. Η µέθοδος αυτή είναι και αυτή ένας µεθευρετικός αλγόριθµος όπως και η προσοµοιωµένη ανόπτηση (βλ. υποενότητα 3.4), η οποία χρησιµοποιεί έναν ευρετικό αλγόριθµο για να µετακινηθεί από τη µία πιθανή λύση την άλλη και υπάρχει πιθανότητα να παγιδευτεί σε τοπικό ελάχιστο. Η βασική διαφορά της µε την προσοµοιωµένη ανόπτηση είναι ότι για να αποφύγει αυτό το πρόβληµα παγίδευσης ακολουθεί µία συγκεκριµένη στρατηγική για την επιλογή της επόµενης λύσης η οποία βασίζεται στη χρήση µνήµης (Μαρινάκης & Μυγδαλάς, 2008, σελ.: ). Αναλυτικότερα, η βασική αρχή της µεθόδου αυτής συνίσταται στη διατήρηση µιας λίστας περιορισµένης αναζήτησης (tabu list) στη µνήµη, στην οποία αποθηκεύονται όλες οι µετακινήσεις που πραγµατοποιούνται. Ο αλγόριθµος ξεκινάει µε µία αρχική τυχαία λύση την οποία ορίζει ως βέλτιστη και ως τρέχουσα και συνεχίζει ψάχνοντας για µία άλλη µε καλύτερη απόδοση στις γειτονικές λύσεις. Προτού όµως επιλέξει µία νέα υποψήφια λύση για να ορίσει αυτή ως η νέα βέλτιστη λύση ελέγχεται κάθε φορά εάν είναι περιορισµένη κίνηση (tabu move), δηλαδή εάν είναι καταχωρηµένη στην απαγορευµένη λίστα. Εάν είναι απορρίπτεται, ενώ εάν δεν είναι αντικαθιστά την παλιά λύση και ορίζει αυτή ως τρέχουσα και βέλτιστη λύση. 11 Βλ. ιγαλάκης (2005), σελ: Βλ. 47

49 Ολοκληρώνοντας, η ύπαρξη αυτής της λίστας (tabu list) στη µνήµη βοηθάει στην αποφυγή της λήψης των ίδιων αποφάσεων-λύσεων (cycling). Η παραπάνω διαδικασία επαναλαµβάνεται και ο αλγόριθµος τερµατίζει όταν δεν µπορεί πλέον να βρεθεί κάποια λύση καλύτερη από την τρέχουσα. Παρακάτω ακολουθούν τα βήµατα του ψευδοκώδικα και το διάγραµµα ροής του αλγορίθµου όπως το έφτιαξε ο ίδιος ο Glover (1990). 1. Παράγουµε τυχαίες αρχικές λύσεις, x initial και ορίζουµε x best =x initial =x current. 2. Παράγουµε τυχαία δοκιµαστικές λύσεις µέσα στη περιοχή της τρέχουσας λύσης. 3. Υπολογίζουµε την τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης για τις δοκιµαστικές λύσεις και τις συγκρίνουµε µε την τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης της βέλτιστης λύσης. Αν παίρνουµε καλύτερη λύση, τότε θέτουµε x best = x trial. 4. Ελέγχεται η κατάσταση Tabu της x trial. Αν δεν υπάρχει στην λίστα Tabu, τότε την προσθέτουµε στη λίστα και θέτουµε x current = x trial και µεταβαίνουµε στο βήµα 7. Αν η x trial είναι στην λίστα, µεταβαίνουµε στο βήµα Ελέγχουµε το κριτήριο φιλοδοξίας. Αν ικανοποιείται τότε η κατάσταση tabu αντικαθίσταται, το κριτήριο φιλοδοξίας ανανεώνεται, θέτουµε x current = x trial και µεταβαίνουµε στο βήµα 7. Αλλιώς µεταβαίνουµε στο βήµα Ελέγχουµε όλες τις δοκιµαστικές λύσεις επιστρέφοντας στο βήµα 4. Εάν όλες οι δοκιµαστικές λύσεις έχουν καθορισθεί πηγαίνουµε στο βήµα Ελέγχουµε το κριτήριο τερµατισµού. Αν ικανοποιείται σταµατάµε, αλλιώς µεταβαίνουµε στο βήµα 2 για επόµενη επανάληψη. Σχήµα 3.6 Βήµατα Μεθόδου Περιορισµένης Αναζήτησης (Tabu Search) 48

50 Σχήµα 3.7 Μέθοδος Tabu Search (Πηγή: Glover F. (1990)) 3.7 Ευρετική ή Ευρεστική µέθοδος (Heuristic method) Σύµφωνα µε τους Russell & Norvig (2005, σελ.:107), οι στρατηγικές που γνωρίζουν ότι εάν µία κατάσταση που δεν ικανοποιεί το στόχο 49

51 υπόσχεται περισσότερα από µία άλλη, ονοµάζονται στρατηγικές ευρετικής αναζήτησης ή πληροφορηµένης αναζήτησης. Παρακάτω θα παρουσιαστεί µία ευρετική µέθοδος που ανέπτυξαν οι Papadopoulos & Vidalis (2001) για την βελτιστοποίηση της κατανοµής των αποθηκευτικών χώρων σε µικρές γραµµές παραγωγής µε διαφορετικό µέσο χρόνο επεξεργασίας για κάθε σταθµό εργασίας. Έστω ότι υπάρχουν Κ µηχανές οι οποίες συµβολίζονται Μ 1,Μ 2,,Μ κ, τότε θα υπάρχουν Κ-1 αποθηκευτικοί χώροι ανάµεσά τους οι οποίοι συµβολίζονται Β 2,Β 3,,Β κ, όπως φαίνεται και στην παρακάτω εικόνα. Σχήµα 3.8 Γραµµή παραγωγής µε Κ σταθµούς και Κ-1 αποθηκευτικούς χώρους Τα βήµατα του ψευδοκώδικα του ευρετικού αλγορίθµου ακολουθούν παρακάτω. Ο παρακάτω ευρετικός αλγόριθµος αποδείχθηκε ότι έχει πολύ µεγάλη ακρίβεια αφού στα πειράµατα που διεξήχθησαν κατάφερε τις περισσότερες φορές να βρει τη βέλτιστη λύση. Πιο συγκεκριµένα, στα 373 πειράµατα που έγιναν είχε επιτυχία κατά 97% και τις υπόλοιπες φορές η λύση που πρότεινε µπορεί να µην ήταν η βέλτιστη αλλά ήταν µία πολύ καλή λύση. 50

52 1. Προετοιµασία για την εύρεση µίας καλής αρχικής κατανοµής των αποθηκευτικών χώρων -> Ταξινόµηση των σταθµών από τον πιο αργό στον πιο γρήγορο (βάσει του χρόνου επεξεργασίας) (Μ 1,, Μ j,, Μ κ ) 2. Εύρεση µίας καλής αρχικής κατανοµής. Καθορισµός ενός διανύσµατος που θα την αντιπροσωπεύει ως εξής: Οι αποθηκευτικοί χώροι που βρίσκονται προς το κέντρο της γραµµής παραγωγής και µετά το σταθµό Μ j, βαθµολογούνται µε 2(Κ+1-j) βαθµούς Οι αποθηκευτικοί χώροι που βρίσκονται προς το τέλος της γραµµής παραγωγής και µετά το σταθµό Μ j, βαθµολογούνται µε 2(Κ+1-j)-1 βαθµούς Ο κεντρικός αποθηκευτικός χώρος βαθµολογείται µε Κ βαθµούς και αν ο αριθµός τους είναι ζυγός και υπάρχουν δύο κεντρικοί σταθµοί τότε βαθµολογούνται µε Κ/2 βαθµούς ο καθένας. 3. Ψάξε για τον βέλτιστο τρόπο κατανοµής µε τµηµατοποίηση ξεκινώντας µε το διάνυσµα που δηµιουργήθηκε στο βήµα 2. a. Αυξοµείωσε κατά µία µονάδα τους Κ-1 αποθηκευτικούς χώρους της τρέχουσας αρχικής λύσης και υπολόγισε την νέα κάθε φορά απόδοση του συστήµατος. Επέλεξε την κατανοµή που προσφέρει την καλύτερη έξοδο και θέσε αυτήν ως νέα αρχική λύση. b. Επανέλαβε την παραπάνω διαδικασία αναζήτησης έως ότου να µην υπάρχει περαιτέρω βελτίωση της απόδοσης ή να έχει γίνει ένα µέγιστος αριθµός επαναλήψεων. Σχήµα 3.9 Βήµατα Ευρετικού Αλγόριθµου Οι Papadopoulos & Vidalis (2001) προτείνουν ότι η ιδέα τους να ξεκινάει ο αλγόριθµος µε µία καλή αρχική λύση µπορεί να αυξήσει την ταχύτητα επίλυσης του προβλήµατος κατανοµής του αποθηκευτικού χώρου ακόµη και σε µεγάλες γραµµές παραγωγής. Ο λόγος που οι ίδιοι µπόρεσαν να το εφαρµόσουν µόνο σε µικρές γραµµές παραγωγής είναι η χρήση του εργαλείου αποτίµησης της µέσης απόδοσης του συστήµατος του Heavey et al. (1993), το οποίο περιοριζόταν από τη µνήµη του υπολογιστή και δεν µπορούσε να λύσει µεγάλα συστήµατα εξισώσεων. Άλλο ένα παράδειγµα ερευνητών που πρότειναν µία ευρετική µέθοδο για την επίλυση προβληµάτων είναι η µέθοδος των Sabunsuoglou, Erel & Gocgun (2006) για την επίλυση του προβλήµατος κατανοµής των αποθηκευτικών χώρων σε σειριακές γραµµές παραγωγής µε αναξιόπιστους σταθµούς εργασίας. Η ιδέα της µεθόδου αυτή είναι να µεταφέρονται ενδιάµεσοι αποθηκευτικοί χώροι όταν υποχρησιµοποιούνται σε άλλες θέσεις 51

53 που χρησιµοποιούν πλήρως τους ήδη υπάρχοντες αποθηκευτικούς χώρους, µε στόχο να αυξηθεί η απόδοση τους συστήµατος. Ο Πιτσιόρλας Θ. (2009) τροποποίησε την παραπάνω ευρετική µέθοδο των Sabunsuoglou, Erel & Gocgun (2006) ώστε να λειτουργεί και σε γραµµές παραγωγής σε σταθµούς εργασίας που αποτελούνται από παράλληλες µηχανές. 3.8 Μέθοδος Nested Partitions Η Nested Partitions µέθοδος είναι µία metaheuristic µέθοδος για την επίλυση προβληµάτων βελτιστοποίησης η οποία προτάθηκε από τους Shi & Olafsson (2000). Η ιδέα της µεθόδου αυτής βασίζεται στην τµηµατοποίηση των εφικτών λύσεων σε υποπεριοχές και στην εύρεση αυτής που έχει τη µεγαλύτερη πιθανότητα να έχει τη βέλτιστη λύση ώστε να οριστεί τρέχουσα και να συνεχιστεί σε αυτήν η τµηµατοποίηση. Παράλληλα, οι υπόλοιπες υποπεριοχές συγκεντρώνονται σε µία περιβάλλουσα υποπεριοχή και εάν κάποια στιγµή αυτή προκύψει καλύτερη τότε ο αλγόριθµος οπισθοχωρεί από την τρέχουσα σε µία µεγαλύτερη υποπεριοχή. Αυτή η διαδικασία επαναλαµβάνεται ώστε κάθε υποπεριοχή να ενσωµατωθεί µέσα στην προηγούµενη (Olafsson, 2006). Σύµφωνα µε Shi, Olafsson & Chen (1999) η µέθοδος αυτή µπορεί να χωριστεί σε τέσσερα βήµατα τα οποία µπορούν είτε να εφαρµοστούν στη γενική τους µορφή, είτε να συνδυαστούν µε άλλες µεθόδους βελτιστοποίησης. Τα τέσσερα αυτά βήµατα είναι: (1) η τµηµατοποίηση της τρέχουσας πιο υποσχόµενης περιοχής σε υποπεριοχές και η σύνταξη της περιβάλλουσας, (2) η τυχαία δειγµατοληψία από όλες τις υποπεριοχές και από την περιβάλλουσα, (3) ο υπολογισµός του δείκτη υπόσχεσης για την εύρεση της επόµενης καλύτερα υποσχόµενης περιοχής και (4) η περαιτέρω τµηµατοποίηση αν κάποια από τις υποπεριοχές έχει καλύτερο δείκτη υπόσχεσης, ή η οπισθοδρόµηση αν η περιβάλλουσα περιοχή έχει τον καλύτερο δείκτη. Ο Παπακρίβος (2009) ανέπτυξε µία µέθοδο η οποία είναι παραλλαγή της παραπάνω µεθόδου για την αντιµετώπιση του προβλήµατος κατανοµής αποθηκευτικού χώρου σε συστήµατα παραγωγής. Πιο συγκεκριµένα, ανέπτυξε έναν υβριδικό αλγόριθµο που βασίζεται στη Nested Partitions 52

54 µέθοδο για τη βελτιστοποίηση των γραµµών παραγωγής µε σταθµούς εργασίας που µπορεί να έχουν παράλληλες µηχανές. Τα βήµατα του ψευδοκώδικα του υβριδικού αλγορίθµου αυτού αλγορίθµου και το διάγραµµα ροής του δίνονται παρακάτω: 1. Θέσε Promising_Region = Ø, i = 0, Buffer_Size_Left = Ν ολ. 2. Χώρισε την Promising_Region σε Buffer_Size_Left + 1 περιοχές. 3. Υπολόγισε δείγµατα για καθεµιά περιοχή και σύγκρινε τη µέγιστη ρυθµαπόδοση της καθεµιάς µε τις άλλες. 4. Θέσε B i =j, όπου j ο δείκτης της περιοχής µε τη µεγαλύτερη ρυθµαπόδοση, του βήµατος 3 και θέσε ως νέα Promising_Region την περιοχή στην οποία θ k = Β k, k = 0,,i. 5. Μείωσε το Buffer_Size_Left κατά j και αύξησε το i κατά 1. Αν το νέο i ισούται µε Κ-1,τότε πήγαινε στο βήµα 6, αλλιώς πήγαινε στο βήµα Θέσε B i = Buffer_Size_Left. Η τελική κατανοµή του Buffer Size στους Buffers συνίσταται στην ακολουθία B i, i = 0,,Κ-1 Σχήµα 3.10 Βήµατα Υβριδικού Αλγορίθµου NP (Πηγή: Παπακρίβος Χρ. (2009)) Σχήµα 3.11 ιάγραµµα Ροής Υβριδικού Αλγορίθµου NP (Πηγή: Παπακρίβος Χρ. (2009)) 53

55 3.9 Μέθοδος Liba Ο Selvi (2002) ήταν ο πρώτος που πρότεινε τη µέθοδο Liba η οποία είναι µία ευρετική µέθοδος που χρησιµοποιείται για την επίλυση του προβλήµατος της κατανοµής των αποθηκευτικών χώρων. Σύµφωνα µε τη µέθοδο αυτή η γραµµή παραγωγής χωρίζεται σε δύο υπογραµµές γύρω από κάθε αποθηκευτικό χώρο και µεταφέρονται διαδοχικά αποθηκευτικοί χώροι από την γρηγορότερη υπογραµµή στην πιο αργή. Στόχος της είναι να ελαχιστοποιηθεί η διαφορά της απόδοσης µεταξύ των δύο υπογραµµών. Αυτή η ιδέα βασίζεται στο γεγονός ότι η συνολική απόδοση του συστήµατος δεν µπορεί να είναι µεγαλύτερη από τη µικρότερη από τις αποδόσεις των δύο υπογραµµών. Πιο αναλυτικά, ο αλγόριθµος ξεκινά µε τον χωρισµό της γραµµής παραγωγής σε δύο υπογραµµές στον αποθηκευτικό χώρο που βρίσκεται στο κέντρο της γραµµής. Έπειτα αναγνωρίζονται οι υποψήφιοι δότες και δέκτες των αποθηκευτικών χώρων, όπου ο δότης θα προέρχεται από την πιο αποδοτική και γρηγορότερη υπογραµµή και ο δέκτης από την πιο αργή. Για να αναγνωριστεί όµως ο δότης, η υπογραµµή χωρίζεται εκ νέου στο µέσο της και η διαδικασία συνεχίζεται ώσπου να καταλήξουµε σε δύο υπογραµµές µε έναν µόνο αποθηκευτικό χώρο και ο αποθηκευτικός χώρος της πιο γρήγορης από τις δύο αυτές υπογραµµές ορίζεται ως δότης. Ο δέκτης αναγνωρίζεται και επιλέγεται µε ανάλογο τρόπο και µεταφέρονται διαδοχικά µονάδες αποθηκευτικού χώρου από τον δότη στο δέκτη µέχρι η συνολική απόδοση να µην βελτιώνεται άλλο. Παρακάτω παρατίθενται τα βήµατα του ψευδοκώδικα της µεθόδου αυτής. 1. Επανέλαβε µέχρι να ελαχιστοποιηθεί η διαφορά της απόδοσης µεταξύ των δύο υπογραµµών 1.a Επανέλαβε έως ότου µείνουν δύο διαφορετικές υπογραµµές παραγωγής µε µόνο έναν αποθηκευτικό χώρο - Βρες τον αποθηκευτικό χώρο που βρίσκεται στο κέντρο της τρέχουσας γραµµής παραγωγής. - Χώρισε τη γραµµή σε δύο υπογραµµές 1.b Βρες το δότη από την πιο αποδοτική γραµµή και το δέκτη από την πιο αργή Σχήµα 3.12 Βήµατα Μεθόδου Liba 54

56 Για τον ορισµό της αρχικής λύσης ο Selvi (2002) πρότεινε µία συνάρτηση σύµφωνα µε την οποία σε µια γραµµή παραγωγής µε K µηχανές και διαφορετικό ρυθµό επεξεργασίας r i για την κάθε µηχανή, δίνουµε περισσότερους αποθηκευτικούς χώρους στις µηχανές µε τον πιο µικρό ρυθµό επεξεργασίας. Σύµφωνα µε τον Selvi λοιπόν ορίζονται οι παρακάτω τύποι: cr i = 1/(ρ i +ρ i+1 ) και για i=1,2,,k-1 Αν έχουµε συνολικά Β ολ µονάδες αποθηκευτικού χώρου και η χωρητικότητα κάθε αποθηκευτικού χώρου συµβολίζεται µε Β i, τότε αρχικά κατανέµονται σε κάθε αποθηκευτικό χώρο Β i,αρχ =RC i *Β ολ µονάδες. Αν κάποια Β i,αρχ δεν είναι ακέραια κρατείται µόνο το ακέραιο µέρος τους και οι αποθηκευτικοί χώροι που περισσεύουν προστίθενται διαδοχικά στα Β i,αρχ που έχουν το µεγαλύτερο δεκαδικό µέρος. Αν κάποια Β i,αρχ έχουν ίσα δεκαδικά µέρη τότε προτεραιότητα έχουν αυτά µε το µεγαλύτερο ακέραιο µέρος, και αν είναι ακριβώς ίσα τότε προτεραιότητα έχουν αυτά που βρίσκονται πιο κοντά στο κέντρο της γραµµής παραγωγής. Η µέθοδος αυτή χρησιµοποιήθηκε για τον υπολογισµό της αρχικής λύσης στον µυωπικό αλγόριθµο της παρούσας εργασίας, τροποποιηµένη ώστε να περιλαµβάνει και τον αριθµό των παράλληλων µηχανών που έχουµε σε κάθε σταθµό εργασίας. Η επιλογή αυτής της µεθόδου έγινε διότι δίνει µια πολύ καλή ισορροπηµένη αρχική λύση που βοηθάει στην απόδοση του αλγορίθµου, ενώ επιβαρύνει ελάχιστα υπολογιστικά το πρόγραµµα. Βέβαια γίνανε και δοκιµές εκτέλεσης του αλγορίθµου και µε άλλες διάφορες αρχικές λύσεις που δηµιουργήθηκαν µε άλλες µεθόδους, αλλά αποδείχθηκε ότι ο µυωπικός αλγόριθµος δουλεύει καλύτερα όταν η αρχική λύση σχηµατίζεται µε τη µέθοδο Liba. Περισσότερες λεπτοµέρειες και πιο αναλυτικά περιγράφονται στην υποενότητα Υβριδικές Μέθοδοι Οι υβριδικές µέθοδοι είναι αποτέλεσµα συνδυασµού άλλων ήδη ανεπτυγµένων µεθόδων για την επίλυση διάφορων προβληµάτων. Πιο συγκεκριµένα, πολλοί ερευνητές δοκίµασαν να συνδυάσουν διάφορες µεθόδους προκειµένου να εκµεταλλευτούν τα πλεονεκτήµατα της καθεµιάς κι ακόµη αν είναι δυνατόν µε τη χρήση της µίας να αποφύγουν τα ελαττώµατα 55

57 της άλλης. Έτσι λοιπόν, κατάφεραν µε τις υβριδικές µεθόδους είτε να επιλύσουν προβλήµατα που πριν δεν µπορούσαν, είτε να πετύχουν καλύτερα αποτελέσµατα (π.χ. καλύτερη απόδοση, µικρότερο υπολογιστικό χρόνο). Ένα τέτοιο παράδειγµα δηµιουργίας υβριδικής µεθόδου είναι ο συνδυασµός της µεθόδου Nested Partitions µε γενετικό αλγόριθµο από τους Shi, Olafsson & Chen (1999). Πιο συγκεκριµένα, η προκύπτουσα υβριδική αυτή µέθοδος διατηρεί τη σφαιρική οπτική της Nested Partitions και παράλληλα εκµεταλλεύεται τις αποτελεσµατικές ικανότητες τοπικής αναζήτησης των γενετικών αλγορίθµων µε αποτέλεσµα να είναι ιδανική για τα πολύ µεγάλα και δύσκολα προβλήµατα σχεδίασης προϊόντων. Επίσης, ένα ακόµη παράδειγµα υβριδικής µεθόδου αποτελεί η προσπάθεια των Shi & Men (2003) να επιλύσουν το πρόβληµα κατανοµής τους αποθηκευτικού χώρου µε τις µεθόδους Nested Partitions και Tabu Search που αναφέρθηκαν παραπάνω. Ειδικότερα, αρχικά µε τη µέθοδο Nested Partitions αναγνωρίζεται η περιοχή στην οποία είναι πιο πιθανό να βρίσκεται η βέλτιστη λύση και έπειτα εφαρµόζεται η Tabu Search µε αρχική λύση αυτή την περιοχή ώστε να βρει την ακριβή βέλτιστη λύση. 4 Ο Προτεινόµενος Αλγόριθµος Βελτιστοποίησης Σε αυτό το κεφάλαιο περιγράφεται αναλυτικά ο προτεινόµενος αλγόριθµος βελτιστοποίησης για την επίλυση του προβλήµατος βέλτιστης κατανοµής των αποθηκευτικών χώρων (BAP) µε στόχο την αύξηση της απόδοσης των συστηµάτων παραγωγής. Στην υποενότητα 4.1 παρουσιάζεται η βασική ιδέα στην οποία στηρίχθηκε ο αλγόριθµος για να τον αναπτύξουµε και να τον κωδικοποιήσουµε και έπειτα στην υποενότητα 4.2 αναφέρονται κάποιες από τις εφαρµογές του σε διάφορα άλλα προβλήµατα που υπάρχουν στη διεθνή βιβλιογραφία για την καλύτερη εµπέδωση της λειτουργίας του. Στην υποενότητα 4.3 παρουσιάζεται ο ψευδοκώδικας του αλγορίθµου και αναλύεται κάθε βήµα του, έπειτα παρουσιάζεται το διάγραµµα ροής του αλγορίθµου και γίνονται µερικές διευκρινήσεις σχετικά µε το πώς επιλέχθηκε η αρχική λύση µε την οποία ξεκινάει η εκτέλεση του αλγορίθµου και ποια εκτιµητική µέθοδος χρησιµοποιείται για τον υπολογισµό της απόδοσης. Τέλος, παρουσιάζονται και µερικά απλά παραδείγµατα τα οποία επιλύονται βήµα 56

58 προς βήµα για να γίνει ευκολότερη η κατανόηση του προτεινόµενου µυωπικού αλγορίθµου. 4.1 Η βασική ιδέα των Μυωπικών Αλγορίθµων Οι µυωπικοί αλγόριθµοι ανήκουν στην κατηγορία των αλγορίθµων πληροφορηµένης (ή ευρετικής) αναζήτησης και ονοµάζονται µυωπικοί διότι σε κάθε επανάληψη εξετάζουν συγκεκριµένες πληροφορίες 13 χωρίς να κοιτάνε παραπέρα. Η βασική ιδέα αυτών των αλγορίθµων είναι ότι οτιδήποτε τους φαίνεται προς στιγµή ότι είναι καλύτερο ως λύση υποθέτουν ότι είναι και συνολικά η καλύτερη λύση για το πρόβληµα και την επιλέγουν (Μαρινάκης & Μυγδαλάς, 2008, σελ.: 286). ηλαδή, οι µυωπικοί αλγόριθµοι κατευθύνονται προς τα εκεί που παίρνουν καλύτερα αποτελέσµατα, δεν κοιτάνε ποτέ πίσω από την τιµή στην οποία έχουν σταµατήσει και µε την ίδια είσοδο ακολουθούν πάντοτε το ίδιο µονοπάτι και δίνουν την ίδια έξοδο. Σηµαντικό πλεονέκτηµα των µυωπικών αλγορίθµων είναι ότι χρειάζονται πολύ λιγότερο χρόνο για να καταλήξουν σε µία καλή λύση απ ότι θα χρειαζόταν ένας άλλος αλγόριθµος πλήρης αναζήτησης που ψάχνει συγχρόνως όλες τις πληροφορίες και τις πιθανές λύσεις (Ruppert, 2003). Ο µυωπικός αλγόριθµος δουλεύει καλά και αποτελεσµατικά για τα περισσότερα προβλήµατα, µπορεί όµως να ξεγελαστεί και να σταµατήσει την αναζήτηση πρόωρα εάν δεν υπάρχει βελτίωση χωρίς να µπορεί να γυρίσει πίσω να εξετάσει άλλη πιθανή λύση. Ενώ ο πλήρης αλγόριθµος αναζήτησης που θα συνεχίσει να ψάχνει και να συγκρίνει όλες τις πιθανές λύσεις µέχρι το τέλος θα καθυστερήσει περισσότερο από τον µυωπικό αλλά θα βρει σίγουρα τη βέλτιστη λύση. Έχουν προταθεί στη βιβλιογραφία πολλοί αλγόριθµοι βελτιστοποίησης όπου ο καθένας έχει τα προτερήµατά του αλλά και τα µειονεκτήµατά του. Επαφίεται λοιπόν στην κρίση του κάθε χρήστη για να διαλέξει ποιος αλγόριθµος είναι κατάλληλος για την αναζήτηση που θέλει να κάνει. Εάν τα δεδοµένα είναι πολλά ο µυωπικός αλγόριθµος υπόσχεται τις περισσότερες φορές µία καλή λύση και σε σύντοµο χρονικό διάστηµα, αλλά όχι τη βέλτιστη. 13 Βλέπε: 57

59 Στην επόµενη υποενότητα παρουσιάζονται ορισµένες εφαρµογές µυωπικών αλγορίθµων σε διάφορα προβλήµατα για την καλύτερη κατανόηση της λειτουργίας τους και σε επόµενο κεφάλαιο θα γίνουν δοκιµές µε τον προτεινόµενο µυωπικό αλγόριθµο βελτιστοποίησης σε προβλήµατα κατανοµής αποθηκευτικών χώρων και θα συγκριθούν τα αποτελέσµατά του µε άλλους ήδη δοκιµασµένους αλγορίθµους βελτιστοποίησης. 4.2 Εφαρµογές µυωπικών αλγορίθµων Στην βιβλιογραφία έχουν παρατεθεί πολλές εφαρµογές µυωπικών αλγορίθµων αναζήτησης σε διάφορα προβλήµατα. Πιο συγκεκριµένα, παρακάτω παρουσιάζονται εφαρµογές στο πρόβληµα του λιανοπωλητή, στο χρονοπρογραµµατισµό εργασιών, στο χρονοπρογραµµατισµό εργασιών σε συστήµατα µε παράλληλους επεξεργαστές και στην επιλογή διαστήµατος ανά εργασία σε σταθµισµένα προβλήµατα Το πρόβληµα του λιανοπωλητή Το πρόβληµα του λιανοπωλητή είναι το πιο γνωστό και το πιο κλασσικό πρόβληµα αναζήτησης µε το οποίο έχουν ασχοληθεί πολλοί ερευνητές στη διεθνή βιβλιογραφία. Ο αλγόριθµος λειτουργεί σε στάδια χρησιµοποιώντας ένα από τα δεδοµένα εισόδου κάθε φορά. Στη συγκεκριµένη περίπτωση τα δεδοµένα αυτά είναι µία πόλη τη φορά και σε κάθε στάδιο λοιπόν παίρνεται µία απόφαση σύµφωνα µε το αν η συγκεκριµένη πόλη οδηγεί σε βέλτιστη λύση. Αυτή η απόφαση παίρνεται συνήθως αφού καταταχθούν τα δεδοµένα σε µία σειρά (Μαρινάκης & Μυγδαλάς, 2008, σελ.:286). Υπάρχουν πάρα πολλά κριτήρια που µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε για την επιλογή των επόµενων πόλεων και γι αυτό το λόγο µπορούν να δηµιουργηθούν και πολλές διαδικασίες (Μαρινάκης & Μυγδαλάς, 2008, σελ.:293). Στο επόµενο παράδειγµα χρησιµοποιείται η διαδικασία της πλησιέστερης εισαγωγής (nearest insertion), όπου ο λιανοπωλητής προσπαθεί να βρει ποιος δρόµος είναι ο πιο σύντοµος (συνάρτηση αξιολόγησης) για να ταξιδέψει και να πάει σε συγκεκριµένες πόλεις µε οποιαδήποτε σειρά αλλά χωρίς να παραλείψει καµία πόλη. Σύµφωνα µε τον Laporte (1992) τα βήµατα του ψευδοκώδικα ενός µυωπικού αλγορίθµου για 58

60 την επίλυση του παραπάνω προβλήµατος του λιανοπωλητή είναι τα παρακάτω 14 : Βήµα 1: ιάλεξε αυθαίρετα µία πόλη για σηµείο εκκίνησης Βήµα 2: Βρες ποια είναι η πλησιέστερη πόλη σε αυτήν που είχες επισκεφτεί τελευταία φορά (φθίνουσα κατάταξη µε βάση την απόσταση), συµπεριέλαβε την στο ταξίδι και θέσε αυτήν ως τελευταία επίσκεψη. Επανέλαβε το βήµα 2 για όλες τις υπόλοιπες πόλεις που έµειναν να επισκεφτείς. Σχήµα 4.1 Βήµατα Αλγορίθµου προβλήµατος λιανοπωλητή Μία διαφορετική διατύπωση του προβλήµατος του λιανοπωλητή είναι η εύρεση του συντοµότερου δροµολόγιου για την µεταβίβαση του λιανοπωλητή από την πόλη που βρίσκεται (σηµείο εκκίνησης) σε µία άλλη συγκεκριµένη πόλη. Παρακάτω δίνεται ένα παράδειγµα όπου ο λιανοπωλητής ψάχνει το συντοµότερο δρόµο για να φτάσει από το Arad στο Bucharest (βλέπε Σχήµα 4.2). Σχήµα 4.2 Παράδειγµα αναζήτησης λιανοπωλητή Εάν χρησιµοποιηθεί ως συνάρτηση αξιολόγησης (ή αλλιώς ως ευρετική συνάρτηση) η εύρεση της πόλης η οποία συνδέεται και είναι πιο κοντά στην 14 Laporte Gilbert, The travelling salesman problem. An overview of exact and approximate algorithms, European Journal Of Operational Research, 1992, Vol. 59, pp

61 τρέχουσα κάθε φορά πόλη (δηλαδή φθίνουσα κατάταξη των συνδεδεµένων πόλεων µε βάση τη χιλιοµετρική τους απόσταση) χωρίς να µπορεί να γυρίσει πίσω στις πόλεις που έχει ήδη επισκεφτεί, το αποτέλεσµα του µυωπικού αλγορίθµου θα είναι Arad-> Zerid(75km) -> Oradea(71km) -> Sibiu(151km) -> Rimnicu Vilcea(80km) -> Pitesti(97km) -> Bucharest(101km). Τα χιλιόµετρα που θα διανύσει εάν ακολουθήσει την προτεινόµενη λύση αυτού του µυωπικού αλγορίθµου είναι 575km. Η αναζήτηση αυτή ονοµάζεται και αλλιώς άπληστη τοπική αναζήτηση 15 επειδή αρπάζει µία καλή γειτονική κατάσταση χωρίς να σκεφτεί παραπέρα πού θα πάει στη συνέχεια. Ενώ, εάν χρησιµοποιηθεί ως συνάρτηση αξιολόγησης η εύρεση της πόλης η οποία είναι πιο κοντά στον στόχο µας (το Βουκουρέστι στη συγκεκριµένη περίπτωση), µε βάση τις ευθύγραµµες χιλιοµετρικές αποστάσεις που δίνονται στον παρακάτω πίνακα και µε το σκεπτικό ότι αυτή θα µας οδηγήσει πιο γρήγορα στη λύση, δίνεται διαφορετική λύση µε τον αλγόριθµο. Πιο συγκεκριµένα, κοιτάµε τις ευθύγραµµες χιλιοµετρικές αποστάσεις από το Βουκουρέστι προς τις άλλες πόλεις που είναι συνδεδεµένες µε την τρέχουσα κάθε φορά πόλη. Έτσι, η πρώτη πόλη που θα επισκεφτεί ο λιανοπωλητής από τις Zerid (374km), Sibiu (253km) και Timisoara (329km) είναι το Sibiu (253km) και µε το ίδιο σκεπτικό η επόµενη πόλη θα είναι το Fagaras(176km). Εποµένως, το αποτέλεσµα του µυωπικού αλγορίθµου θα είναι Arad-> Sibiu-> Fagaras-> Bucharest. Η αναζήτηση αυτή ονοµάζεται και αλλιώς άπληστη αναζήτηση πρώτα στο καλύτερο 16 γιατί επισκέπτεται κάθε φορά την πόλη που είναι πιο κοντά στο Βουκουρέστι και τα χιλιόµετρα που θα διανύσει µε τη συγκεκριµένη διαδροµή και σύµφωνα µε το Σχήµα 4.2 είναι 450km. Πίνακας 4.1 Χιλιοµετρικές αποστάσεις από Βουκουρέστι Πόλεις Απόσταση από Βουκουρέστι Πόλεις Απόσταση από Βουκουρέστι Arad 366km Mehadia 241km Bucharest 0km Neamt 234km 15 Βλ. Russell St., Norvig P. (2006), Τεχνητή Νοηµοσύνη. Μία σύγχρονη προσέγγιση, εύτερη Αµερικάνικη Έκδοση, σελ.: και σελ.: Βλ. Russell St., Norvig P. (2006), Τεχνητή Νοηµοσύνη. Μία σύγχρονη προσέγγιση, εύτερη Αµερικάνικη Έκδοση, σελ.: και σελ.:

62 Craiova 160km Oradea 380km Dobreta 242km Pitesti 100km Rimniscu Eforie 161km 193km Vilc. Fagaras 176km Sibiu 253km Giurgiu 77km Timisoara 329km Hirsova 151km Urziceni 80km Iasi 226km Vaslui 199km Lugoj 244km Zerind 374km *Πηγή: Russell St., Norvig P. (2006) Είδαµε ότι στην πρώτη περίπτωση ο αλγόριθµος βρίσκει χειρότερη λύση (575km) απ ότι στη δεύτερη (450km), αλλά σε καµία περίπτωση δεν βρίσκει τη βέλτιστη λύση η οποία σύµφωνα µε τις χιλιοµετρικές αποστάσεις από το Σχήµα 4.2 είναι η διαδροµή Arad-> Sibiu-> Rimnicu Vilcea-> Pitesti-> Bucharest και διανύει 418km. Ολοκληρώνοντας συµπεραίνεται ότι το αποτέλεσµα του µυωπικού αλγορίθµου εξαρτάται από την συνάρτηση αξιολόγησης (ή ευρετική συνάρτηση) που χρησιµοποιείται κάθε φορά και αποτελεί το κριτήριο επιλογής και το µέτρο βελτιστοποίησης της λύσης. Επίσης, ο λόγος για τον οποίο ο µυωπικός αυτός αλγόριθµος χαρακτηρίζεται άπληστος είναι το γεγονός ότι σε κάθε βήµα του προσπαθεί να βρεθεί πιο κοντά στο στόχο του χωρίς να σκέφτεται µελλοντικά, πληρώντας όµως τίµηµα αφού δεν µπορεί να επιστρέψει πίσω και να εξετάσει άλλες πιθανές καλύτερες λύσεις Χρονοπρογραµµατισµός εργασιών Οι Wieczorek, Prodan & Fahringer (2005) πρότειναν έναν απλό µυωπικό αλγόριθµο για τον χρονοπρογραµµατισµό εργασιών σε Grid περιβάλλον/ σύστηµα 17 και τον σύγκριναν µε άλλους δύο αλγορίθµους τον 17 «Ένα σύστηµα Grid αποτελείται από πολλά υπολογιστικά συστήµατα διασυνδεδεµένα µεταξύ τους µε δίκτυο υψηλών ταχυτήτων. Στόχος του Grid είναι το µοίρασµα πόρων κάθε είδους στα υπολογιστικά συστήµατα που συµµετέχουν ώστε να λειτουργούν σαν ένας εικονικός, πολύ ισχυρός υπολογιστής» ( ριδάκης Α., 2005). Για περισσότερες λεπτοµέρειες 61

63 Heft και έναν γενετικό. Ο ψευδοκώδικας του συγκεκριµένου µυωπικού αλγορίθµου που προτάθηκε είναι ο εξής: T Όλες οι εργασίες για προγραµµατισµό NT = T Όσο ( NT { } ) κάνε Βρες µία εργασία t Є NT τέτοια ώστε earliest_starting_time(t) είναι min; Βρες έναν πόρο r Є R τέτοιο ώστε finish_time(t; r) είναι min; ώσε τον πόρο r στην εργασία t; Σηµείωσε τον πόρο r ως κατειληµµένο µέχρι finish_time(t; r); NT = NT \ {t} Τέλος_όσο Σχήµα 4.3 Μυωπικός Αλγόριθµος για χρονοπρογραµµατισµό Ο παραπάνω αλγόριθµος επαναλαµβάνεται όσο υπάρχουν εργασίες προς ολοκλήρωση στο σύνολο ΝΤ. Σε κάθε επανάληψη επιλέγει από το σύνολο ΝΤ την εργασία t της οποίας ο νωρίτερος χρόνος έναρξης είναι ο µικρότερος σε σύγκριση µε τις υπόλοιπες εργασίες, της αναθέτει έναν από τους διαθέσιµους πόρους του οποίου ο χρόνος ολοκλήρωσης είναι ο µικρότερος, µαρκάρει τον συγκεκριµένο πόρο ως κατειληµµένο µέχρι τον χρόνο ολοκλήρωσης και τέλος αφαιρεί την συγκεκριµένη εργασία t από το σύνολο ΝΤ. Ο µυωπικός αυτός αλγόριθµος παράγει αρκετά καλά και ακριβή αποτελέσµατα µόνο σε απλές ροές εργασιών µε ακριβείς προβλέψεις απόδοσης. Σε περιπτώσεις όµως µε πολλές και πολύπλοκες ροές εργασιών παράγει χειρότερα αποτελέσµατα γιατί το µόνο που τον ενδιαφέρει και εξετάζει είναι ο νωρίτερος χρόνος έναρξης χωρίς να λαµβάνει υπόψη του πόσους πόρους χρειάζεται, αν είναι κρίσιµοι αυτοί οι πόροι και για την εκτέλεση άλλων εργασιών, για πόσο χρόνο θα τους χρειαστεί και αν είναι όλοι διαθέσιµοι. Οι άλλοι δύο προτεινόµενοι αλγόριθµοι, ο Heft και ο γενετικός, µπορεί να µην βρίσκουνε τη βέλτιστη λύση αλλά δίνουνε καλύτερα αποτελέσµατα από τον παραπάνω µυωπικό αλγόριθµο. βλ.: και 62

64 4.2.3 Χρονοπρογραµµατισµός εργασιών σε συστήµατα µε παράλληλους επεξεργαστές Οι παράλληλοι επεξεργαστές έχουν παίξει πολύ σηµαντικό και κρίσιµο ρόλο µέχρι σήµερα στις πραγµατικές εφαρµογές, όπως στον ηλεκτρονικό έλεγχο αεροσκαφών και στον έλεγχο πυρηνικών εγκαταστάσεων. Το ζήτηµα µε τα συστήµατα παράλληλων επεξεργαστών είναι να αναζητήσουν και να βρουν πότε και πού µία συγκεκριµένη εργασία πρέπει να εκτελεστεί προκειµένου να ικανοποιούνται κάποιοι περιορισµοί και να εκτελεστούν όσο το δυνατόν περισσότερες εργασίες γίνεται. Παρακάτω παρατίθεται ένα σχεδιάγραµµα που απεικονίζει την εκτέλεση εργασιών µε παράλληλους επεξεργαστές και ο µυωπικός ψευδοκώδικας χρονοπρογραµµατισµού που προτάθηκε από τους Ramamritham, Stankovic & Shiah (1990) 18. Σχήµα 4.4 Σύστηµα παράλληλων επεξεργαστών (Πηγή: Ramamritham, Stankovic & Shiah (1990)) 18 Επίσης βλ. Manimaran G., Murthy C. (1998), An new study for fault-tolerant real-time dynamic scheduling algorithms, Journal of Systems Architecture, Vol. 45, pp

65 Βήµα 1: Οι εργασίες που βρίσκονται στην ουρά (task queue) ταξινοµούνται µε αύξουσα σειρά προθεσµίας (λήξη). Βήµα 2: Ο αλγόριθµος ξεκινά µε το πρόγραµµα κενό Βήµα 3: Αποφασίζει εάν το συγκεκριµένο κάθε φορά πρόγραµµα είναι εφικτό λαµβάνοντας υπόψη του τις πρώτες Κ εργασίες που βρίσκονται στην ουρά. Βήµα 4: Αν είναι εφικτό τότε a. Υπολογίζεται η τιµή της ευρετικής συνάρτησης (Η) για τις πρώτες Κ εργασίες b. Η εργασία µε την καλύτερη τιµή (µικρότερη Η) επιλέγεται για να εκτελέσει το πρόγραµµα Βήµα 5: αλλιώς a. Επιστρέφει στο προηγούµενο επίπεδο αναζήτησης b. Επεκτείνει το πρόγραµµα µε την εργασία που έχει την αµέσως επόµενη καλύτερη τιµή (Η) Βήµα 6: Επαναλαµβάνει τα βήµατα 3 έως 5 µέχρι να ικανοποιηθεί µία συνθήκη τερµατισµού. Σχήµα 4.5 Βήµατα Μυωπικού Αλγόριθµου Χρονοπρογραµµατισµού σε συστήµατα παράλληλων επεξεργαστών Στόχος του προβλήµατος είναι βρεθούν πότε, πού και ποιες εργασίες πρέπει να εκτελεστούν προκειµένου να ικανοποιούνται κάποιοι περιορισµοί και να εκτελεστούν όσο το δυνατόν περισσότερες γίνεται. Μία συνθήκη τερµατισµού συνήθως είναι είτε η εύρεση ενός ολοκληρωµένου εφικτού προγράµµατος και είτε η επίτευξη ένας µέγιστου αριθµού πισωγυρισµάτων στο προηγούµενο επίπεδο της αναζήτησης (βήµα 5a) ή αποτίµησης της ευρετικής συνάρτησης (Η). Σε αυτή την περίπτωση ο αλγόριθµος χαρακτηρίζεται ως µυωπικός διότι ταξινοµεί τις εργασίες µε τέτοιο τρόπο (µε βάση την προθεσµία λήξης) ώστε να εξετάζει κάθε φορά µόνο τις Κ πρώτες. εν εξετάζει δηλαδή το ενδεχόµενο αν µία άλλη εργασία µε µακρύτερο µεν χρόνο λήξης µπορεί δώσει καλύτερη τιµή αξιολόγησης και ίσως ένας άλλος συνδυασµός εργασιών (και όχι µόνο οι Κ πρώτες) να δώσει τη δυνατότητα να εκτελεστούν περισσότερες εργασίες ικανοποιώντας και πάλι τους περιορισµούς του προβλήµατος Σταθµισµένο πρόβληµα επιλογής διαστήµατος ανά εργασία Ο στόχος του προβλήµατος είναι να βρεθεί ένα υποσύνολο διαστηµάτων µε το µέγιστο δυνατό βάρος και µε τον περιορισµό να έχει επιλεχθεί τουλάχιστον ένα διάστηµα από κάθε εργασία. Ο αλγόριθµος που προτάθηκε από τους Erlebach & Spieksma (2003) για την επίλυση του 64

66 συγκεκριµένου προβλήµατος ονοµάστηκε GREEDY a, όπου a είναι µία παράµετρος η οποία παίρνει τιµές στο διάστηµα [0,1]. Οι είσοδοι του προβλήµατος είναι οι εργασίες, ένα σύνολο σταθµισµένων διαστηµάτων για κάθε εργασία και ο αριθµός των διαθέσιµων µηχανών. Τα βήµατα του αλγορίθµου αυτού είναι τα εξής: S = ; {σύνολο προσωρινά αποδεκτών διαστηµάτων} Για όλα τα διαστήµατα i ταξινοµηµένα µε αύξουσα σειρά κάνε i = ένα συγκεκριµένο διάστηµα Ci = υποσύνολο του S µε τα ελάχιστα βάρη Αν το βάρος(ci ) <= α*βάρος(i) τότε S = (S \ Ci ) {i}; Τέλος_αν; Τέλος_για; επιστροφή του νέου S; Σχήµα 4.6 Βήµατα Αλγορίθµου GREEDY Ο παραπάνω αλγόριθµος επεξεργάζεται τα τρέχοντα κάθε φορά διαστήµατα µε τη σειρά και εάν ικανοποιούν µία συνθήκη τα δέχεται, αλλιώς τα απορρίπτει οριστικά. Πιο συγκεκριµένα, διατηρεί ένα σύνολο S µε τα τρέχοντα κάθε φορά επιλεγµένα διαστήµατα και για κάθε διάστηµα i που επιλέγει και επεξεργάζεται από κάθε εργασία υπολογίζει ένα νέο σύνολο Ci το οποίο είναι υποσύνολο του S (Ci S) και έχει το ελάχιστο βάρος µεταξύ όλων των τέτοιων συνόλων. Ολοκληρώνοντας, ο µυωπικός αυτός αλγόριθµος επιλέγει το διάστηµα i και το προσθέτει στο σύνολο S µόνο εάν το βάρος του πολλαπλασιασµένο κατά a είναι µεγαλύτερο ή τουλάχιστον ίσο µε το συνολικό βάρος των επιλεγµένων διαστηµάτων. Εάν δεν ικανοποιεί τη συνθήκη αυτή το απορρίπτει οριστικά και δεν το ξαναεξετάζει στο µέλλον σε διαφορετικά σύνολα. 4.3 Ο Προτεινόµενος Μυωπικός Αλγόριθµος Ο προτεινόµενος µυωπικός αλγόριθµος σχεδιάστηκε για την επίλυση του προβλήµατος βέλτιστης κατανοµής των αποθηκευτικών χώρων µε στόχο την αύξηση της απόδοσης στα συστήµατα παραγωγής. Ειδικότερα, ο αλγόριθµος αυτός, βασισµένος στην κεντρική ιδέα των µυωπικών αλγορίθµων, συµπεριφέρεται µυωπικά και κοιτάζει κάθε φορά σε 65

67 συγκεκριµένες µόνο πληροφορίες των συστηµάτων. Έτσι λοιπόν, σε κάθε επανάληψη εξετάζει µε βάση την συνάρτηση αξιολόγησης τις τρέχουσες µόνο πιθανές λύσεις αδιαφορώντας για το µέλλον, διαλέγει µία από αυτές και ξεκινάει πάλι από την αρχή. Όπως έγινε φανερό από τις παραπάνω εφαρµογές, το αποτέλεσµα του αλγορίθµου εξαρτάται από τη συνάρτηση αξιολόγησης που χρησιµοποιεί. Στη συγκεκριµένη περίπτωση, ο προτεινόµενος αλγόριθµος αυξοµειώνει τα στοιχεία του διανύσµατος κατά µία µονάδα και για την αξιολόγηση των νέων τρεχουσών πιθανών διανυσµάτων-λύσεων που δηµιουργούνται χρησιµοποιεί ως συνάρτηση αξιολόγησης την αύξουσα κατάταξή τους µε βάση την απόδοσή τους, η οποία υπολογίζεται µε την χρήση της εκτιµητικής συνάρτησης που ανέπτυξαν οι Diamantidis, Heavey & Papadopoulos (2005). Επίσης, ο αλγόριθµος µε την ίδια είσοδο δίνει πάντοτε την ίδια έξοδο καθώς, όπως και όλοι οι µυωπικοί αλγόριθµοι, είναι ντετερµινιστικός και δεν υπάρχει αβεβαιότητα στην εκτέλεσή του. Ολοκληρώνοντας, αξίζει να σηµειωθεί ότι ο συγκεκριµένος µυωπικός αλγόριθµος θα µπορούσε να χαρακτηριστεί και ως άπληστη τοπική αναζήτηση, όπως και στην δεύτερη περίπτωση στο παραπάνω παράδειγµα του λιανοπωλητή, γιατί σε κάθε επανάληψη αρπάζει την καλύτερη γειτονική κατάσταση ξεχνώντας τις υπόλοιπες χωρίς να σκεφτεί µελλοντικά πού θα πάει και αν θα καταφέρει να βρει λύση µε ακόµη µεγαλύτερη απόδοση ή θα σταµατήσει σε αυτήν που άρπαξε γιατί δεν µπορεί να γυρίσει πίσω και να αναθεωρήσει τις επιλογές του. Παρακάτω παρουσιάζονται αναλυτικότερα τα βήµατα του αλγορίθµου, ο ψευδοκώδικάς του, το διάγραµµα ροής και ορισµένα παραδείγµατα για ευκολότερη κατανόηση Τα βήµατα του προτεινόµενου µυωπικού αλγορίθµου Η υλοποίηση του µυωπικού αλγορίθµου που κατασκευάστηκε έχει τη δυνατότητα να λειτουργεί ακόµη και σε σειριακές γραµµές παραγωγής µε κέντρα επεξεργασίας τα οποία αποτελούνται από πολλές παράλληλες µηχανές. Αυτό καθίσταται δυνατό διότι η εκτιµητική συνάρτηση που χρησιµοποιείται για τον υπολογισµό της απόδοσης του συστήµατος και για την οποία θα γίνει λόγος παρακάτω, έχει τη δυνατότητα να χειρίζεται τέτοιου 66

68 είδους καταστάσεις και µάλιστα µε µηχανές που έχουν διαφορετικό χρόνο επεξεργασίας ανά κέντρο παραγωγής. Εποµένως, ο προτεινόµενος αλγόριθµος µπορεί να λύνει προβλήµατα σε συστήµατα παραγωγής µε σειριακές γραµµές παραγωγής, µε παράλληλες µηχανές στα κέντρα επεξεργασίας και µε διαφορετικό χρόνο επεξεργασίας. Επίσης, η εκτέλεση του αλγορίθµου δεν επηρεάζεται από το είδος της γραµµής παραγωγής παρά µόνο από την απόδοση του συστήµατος που προκύπτει κάθε φορά που βρίσκει µία νέα λύση. ηλαδή, και πάλι η υλοποίηση του αλγορίθµου εξαρτάται από την χρήση της εκτιµητικής συνάρτησης. Εποµένως, εάν η εκτιµητική συνάρτηση που χρησιµοποιείται για την εκτίµηση της απόδοσης του συστήµατος έχει τη δυνατότητα να αντιµετωπίζει και τις άλλες κατηγορίες γραµµών παραγωγής που αναφέρθηκαν στην πρώτη ενότητα, τότε ο αλγόριθµος θα µπορούσε και πάλι να λειτουργήσει. Παρακάτω παρουσιάζεται ο ψευδοκώδικας του αλγορίθµου µε πολύ απλή περιγραφή για να γίνει εύκολα κατανοητός ο τρόπος λειτουργίας του. 67

69 Βήµα 1: Παίρνει την αρχική λύση σε µορφή διανύσµατος, υπολογίζει την απόδοσή της (PR1) και βρίσκει το µέγιστο και το ελάχιστο στοιχείο του διανύσµατος. Βήµα 2: ίνει µία µονάδα από το µέγιστο στοιχείο του διανύσµατος στο ελάχιστο και εξετάζει εάν το νέο διάνυσµα που δηµιουργήθηκε δίνει καλύτερη απόδοση στο σύστηµα (αν PR2>PR1). Βήµα 2.1: Σε αυτό το σηµείο εξετάζει και αντιµετωπίζει όλες τις περιπτώσεις: 2a. Αν υπάρχουν περισσότερα από ένα στοιχεία στο διάνυσµα ίσα µε τη µέγιστη τιµή 2b. Αν υπάρχουν περισσότερα από ένα στοιχεία στο διάνυσµα ίσα µε την ελάχιστη τιµή 2c. Αν υπάρχουν ταυτόχρονα περισσότερα από ένα στοιχεία στο διάνυσµα ίσα µε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή 2d. Αν όλα τα στοιχεία είναι ίσα µεταξύ τους (max=min) /*Σε αυτό το βήµα ο µυωπικός αλγόριθµος εξετάζει όλους τους πιθανούς συνδυασµούς που θα µπορούσαν να γίνουν µεταξύ των µέγιστων και των ελάχιστων στοιχείων και υπολογίζει κάθε φορά την απόδοση του νέου διανύσµατος που δηµιουργείται. Όπως είναι κατανοητό αυτό το βήµα είναι πολύ χρονοβόρο γιατί όσο αυξάνεται το µέγεθος του εξεταζόµενου διανύσµατος, αυξάνονται εκθετικά και οι πιθανοί συνδυασµοί µεταξύ των στοιχείων του για τη δηµιουργία νέων διανυσµάτων.*/ Βήµα 2.2: Κατατάσσει σε αύξουσα σειρά τις αποδόσεις των τρεχουσών διανυσµάτων που προέκυψαν. ιαλέγει ως βέλτιστο το διάνυσµα µε τη µεγαλύτερη απόδοση. Με αυτό το διάνυσµα ξεκινάει πάλι από την αρχή στο Βήµα 2. /*ξεχνώντας τις άλλες πιθανές λύσεις που µόλις εξέτασε και απέρριψε και αδιαφορώντας για τον αν µελλοντικά η λύση που επέλεξε δεν του δώσει άλλη καλύτερη.*/ Βήµα 2-Κριτήριο τερµατισµού: Ο αλγόριθµος σταµατάει όταν τα τρέχοντα διανύσµατα που µόλις υπολόγισε δεν του δώσουν άλλη νέα λύση µε µεγαλύτερη απόδοση. Σχήµα 4.7 Βήµατα του Προτεινόµενου Μυωπικού Αλγορίθµου 68

70 Σε αυτό το σηµείο αξίζει να σηµειωθεί ότι το κριτήριο τερµατισµού είναι τέτοιο ώστε να ικανοποιείται η βασική λειτουργία των µυωπικών αλγορίθµων. Ειδικότερα, ο συγκεκριµένος αλγόριθµος αντιδρά µυωπικά και σταµατάει γιατί δεν µπορεί να γυρίσει σε παλιότερες λύσεις για να ακολουθήσει άλλο µονοπάτι και να υπολογίσει νέα διανύσµατα. Εποµένως, βέλτιστη λύση είναι αυτή που είχε ορίσει ο αλγόριθµος ως βέλτιστη στον τελευταίο κύκλο του βήµατος 2 (βήµα 2.2) και δεν µπόρεσε να του δώσει άλλες καλύτερες λύσεις. Επίσης, αξίζει να αναφερθεί ότι στο βήµα 2.1 του αλγορίθµου προστέθηκε και ένας παραπάνω έλεγχος για να εξοικονοµηθεί χρόνος εκτέλεσης. Πιο συγκεκριµένα, κάθε φορά που δηµιουργείται ένα νέο διάνυσµα, πριν υπολογιστεί η απόδοσή του, ο αλγόριθµος ελέγχει εάν το συγκεκριµένο διάνυσµα είχε υπολογιστεί και στην τελευταία-προηγούµενη επανάληψη. Εάν συµβαίνει κάτι τέτοιο τότε παίρνει έτοιµη την εκτίµηση της απόδοσης από την προηγούµενη επανάληψη και δεν χάνει χρόνο ξανακαλώντας την εκτιµητική συνάρτηση για το συγκεκριµένο διάνυσµα-πιθανή λύση. Βέβαια αυτός ο έλεγχος γίνεται µόνο για τα διανύσµατα που υπολογίστηκαν στην προηγούµενη επανάληψη και όχι για όλα τα διανύσµατα από τη στιγµή που ξεκίνησε να τρέχει ο αλγόριθµος, γιατί ο µυωπικός αλγόριθµος έχει το µειονέκτηµα ότι ξεχνάει τις προηγούµενες λύσεις και όλα τους τα στοιχεία. Τέλος, ο αλγόριθµος παράλληλα µετράει πόσα διανύσµατα δηµιουργήθηκαν συνολικά και πόσες φορές κλήθηκε η εκτιµητική συνάρτηση µέχρι να βρεθεί η βέλτιστη λύση και το χρόνο που έκανε για να καταλήξει σε αυτή Το ιάγραµµα Ροής του Μυωπικού Αλγορίθµου Σε αυτή την ενότητα παρουσιάζεται το διάγραµµα ροής του προτεινόµενου µυωπικού αλγορίθµου. Γενικότερα, το διάγραµµα ροής προγράµµατος ή αλγορίθµου δείχνει τη διαχρονική δοµή του προγράµµατος, δηλαδή τα βήµατα τα οποία θα ακολουθήσει το πρόγραµµα για να φτάσει στην λύση ενός του προβλήµατος. Εποµένως, µε το παρακάτω διάγραµµα ροής παριστάνετε µε λεπτοµέρεια η ροή του προτεινόµενου αλγορίθµου. 69

71 Σχήµα 4.8 ιάγραµµα ροής του προτεινόµενου µυωπικού αλγορίθµου 70

72 4.3.3 Η αρχική λύση Είναι πολύ σηµαντικό για την εξέλιξη του µυωπικού αλγορίθµου και την έκδοση των αποτελεσµάτων η αρχική λύση µε την οποία ξεκινάει ο αλγόριθµος να είναι καλή. Πιο συγκεκριµένα, η αρχική λύση µπορεί είτε να δίνεται τυχαία από τον χρήστη ή από µία µηχανή παραγωγής τυχαίων αριθµών, είτε να ορίζεται µέσα από µία διαδικασία. Αν δίνεται τυχαία υπάρχει ο κίνδυνος ο αλγόριθµος να καθυστερήσει πολύ να τερµατίσει ή και ακόµη να µη βρει τη βέλτιστη λύση. Με τον όρο καλή αρχική λύση εννοούµε να δίνεται µία ισορροπηµένη λύση στην οποία οι συνολικές µονάδες αποθηκευτικού χώρου να είναι ίσα µοιρασµένες σε κάθε αποθηκευτικό χώρο. Έτσι, εάν έχουµε 5 αποθηκευτικούς χώρους [Β 1,Β 2,Β 3,Β 4,Β 5 ] και Β ολ =10 συνολικές µονάδες, θα δώσουµε σε κάθε αποθηκευτικό χώρο Β i από 2 µονάδες και το διάνυσµα θα έπαιρνε τη µορφή Β αρχ =[2,2,2,2,2]. Εάν όµως οι συνολικές µονάδες είναι Β ολ =13 και δεν είναι δυνατόν να µοιραστούν οµοιόµορφα, οι παραπάνω µονάδες θα δοθούν στους αποθηκευτικούς χώρους που είναι στο κέντρο και το διάνυσµα θα έπαιρνε τη µορφή Β αρχ= [2,3,3,3,2]. Ακόµη, εάν οι σταθµοί εργασίας δεν έχουν όλοι τα ίδια χαρακτηριστικά, τότε η παραπάνω ισορροπηµένη λύση παύει να είναι καλή αρχική λύση. Ειδικότερα, εάν οι ρυθµοί επεξεργασίας ή ο αριθµός των µηχανών ποικίλλουν ανά σταθµό εργασίας, τότε στους σταθµούς µε τις περισσότερες µηχανές ή/και µε τον µεγαλύτερο ρυθµό επεξεργασίας δίνονται λιγότερες αποθηκευτικές µονάδες γιατί δεν τις χρειάζονται τόσο όσο οι άλλοι σταθµοί. Ο Selvi (2002) πρότεινε µία προσέγγιση η οποία στηρίζεται στα παραπάνω και παρουσιάστηκε στην Ενότητα 3.9. Η µέθοδος αυτή του Selvi (2002) χρησιµοποιήθηκε στην υλοποίηση του µυωπικού αλγορίθµου µε την τροποποίηση ώστε να λειτουργεί και για γραµµές παραγωγής µε σταθµούς εργασίας που έχουν παράλληλες µηχανές. Χρησιµοποιώντας τους τύπους που πρότεινε ο Selvi (2002), cr i =1/(ρ i +ρ i+1 ) και για i=1,2,,k-1, αν έχουµε συνολικά Β ολ µονάδες αποθηκευτικού χώρου και η χωρητικότητα κάθε αποθηκευτικού χώρου συµβολίζεται µε Β i, τότε σε κάθε αποθηκευτικό χώρο κατανέµονται 71

73 Β i,αρχ =RC i *Β ολ µονάδες. Αν κάποια Β i,αρχ δεν είναι ακέραια κρατάµε µόνο το ακέραιο µέρος τους και οι αποθηκευτικοί χώροι που περισσεύουν προστίθενται διαδοχικά στα Β i,αρχ που έχουν το µεγαλύτερο δεκαδικό µέρος. Αν πάλι κάποια Β i,αρχ έχουν ίσα δεκαδικά µέρη τότε προτεραιότητα έχουν αυτά µε το µεγαλύτερο ακέραιο µέρος, και αν είναι ακριβώς ίσα τα ακέραια µέρη τους τότε προτεραιότητα έχουν αυτά που βρίσκονται πιο κοντά στο κέντρο της γραµµής παραγωγής. Για παράδειγµα, έστω ότι έχουµε 5 σταθµούς εργασίας µε Ν ολ =14 και οι ρυθµοί επεξεργασίας των µηχανών δίνονται από το διάνυσµα r=[1,1,1,1,0.35] και ο αριθµός των παράλληλων µηχανών κάθε σταθµού δίνεται από τα διάνυσµα S=[1,2,1,1,1]. Από τους παραπάνω τύπους προκύπτει RC=[ , , , ] και αν πολλαπλασιάσουµε RC i *Β ολ προκύπτει η αρχική µορφή της αρχικής λύσης Β=[2.4466, , , ]. Θα κρατήσουµε µόνο τα ακέραια µέρη Β=[2,2,3,5] και έπειτα θα αυξήσουµε την τιµή του Β 3 κατά 1 µονάδα καθώς αυτός έχει το µεγαλύτερο δεκαδικό µέρος (0,6699) και του Β 2 γιατί έχει το δεύτερο µεγαλύτερο δεκαδικό µέρος (0,4466) και είναι πιο κοντά στο κέντρο από τον Β 1 µε τον οποίο ισοβαθµούν. Έτσι, η αρχική λύση που προκύπτει τελικά είναι Β=[2,3,4,5]. Σε αυτό το σηµείο αξίζει να αναφερθεί ότι στο πειραµατικό στάδιο δοκιµάστηκαν και άλλες αρχικές λύσεις σχηµατισµένες είτε µε τυχαιότητα, είτε µε οµοιοµορφία και είτε µε συµµετρία. Για παράδειγµα για 7 αποθηκευτικούς χώρους και Β ολ =8 τρέξαµε τον αλγόριθµο µε αρχική λύση Β=[1,1,2,2,1,1], Β=[2,1,1,1,1,2], Β=[1,1,1,1,1,3] και Β=[3,1,1,1,1,1]. Σε κάθε περίπτωση η τελική βέλτιστη λύση που έδινε ο µυωπικός αλγόριθµος ήταν ακριβώς η ίδια, αλλά έκανε περισσότερο χρόνο για να τη βρει απ ότι στην περίπτωση της ισορροπηµένης αρχικής λύσης (Β=[1,1,2,2,1,1] στη συγκεκριµένη περίπτωση) που προτείνει ο Selvi (2002). Επίσης, και στην περίπτωση όπου οι σταθµοί εργασίας δεν έχουν όλοι τα ίδια χαρακτηριστικά και η ισορροπηµένη λύση δεν είναι καλή αρχική λύση, έγιναν πειράµατα µε ισορροπηµένες αρχικές λύσεις και µε λύσεις σχηµατισµένες µε τυχαιότητα και µε συµµετρία. Σε αυτή την περίπτωση τα αποτελέσµατα του µυωπικού αλγορίθµου διαφέρανε και µάλιστα όσο 72

74 µεγάλωνε η γραµµή παραγωγής τόσο χειρότερη απόδοση είχαν σε σύγκριση µε την τροποποιηµένη µέθοδο του Selvi (2002). Ολοκληρώνοντας λοιπόν, κρίνεται ότι καλύτερη αρχική λύση είναι η λύση που προτείνει ο Selvi (2002) όπως περιγράφηκε παραπάνω. Γι αυτό σε όλα τα πειράµατα που γίνανε και περιγράφονται στην ενότητα 5 δίνεται η αρχική λύση η οποία ορίστηκε µε την τροποποιηµένη µέθοδο του Selvi (2002) και µόνο πολύ λίγα πειράµατα παρατίθενται και σχολιάζονται µε άλλες αρχικές λύσεις Η εκτιµητική συνάρτηση Κατά την εκτέλεση του µυωπικού αλγορίθµου και συγκεκριµένα στο τέλος του βήµατος 2 όπου ο αλγόριθµος πρέπει να επιλέξει την καλύτερη λύση από τις τρέχουσες, χρειάζεται να υπολογίσει την απόδοσή τους για να τις συγκρίνει. Ειδικότερα, σε αυτό το σηµείο ο αλγόριθµος καλεί την εκτιµητική µέθοδο που πρότειναν οι Diamantidis, Heavey και Papadopoulos (2005) η οποία υπολογίζει την απόδοση του διανύσµατος που της εισάγουµε κάθε φορά. Η εκτιµητική αυτή µέθοδος βασίζεται στη µέθοδο της αποσύνθεσης και έχει αναπτυχθεί µε τέτοιο τρόπο ώστε να µπορεί να εφαρµοστεί σε σειριακές γραµµές παραγωγής όπου ο κάθε σταθµός εργασίας µπορεί να έχει παραπάνω από µία παράλληλες µηχανές, ενώ ταυτόχρονα θεωρείται ότι η γραµµή παραγωγής είναι αξιόπιστη και οι παράλληλες µηχανές κάθε σταθµού εργασίας είναι ταυτόσηµες. Επίσης, οι χρόνοι επεξεργασίας των µηχανών θεωρείται ότι ακολουθούν εκθετική κατανοµή, όπου η µέση τιµή µπορεί να διαφέρει για διαφορετικούς σταθµούς εργασίας. Τέλος, αξίζει να σηµειωθεί ότι η µέθοδος έχει δοκιµαστεί εκτενώς και τα αποτελέσµατα της κρίνονται πολύ καλά ακόµη και σε µεγάλες γραµµές παραγωγής. Κάθε φορά όπου καλείται η εν λόγω εκτιµητική µέθοδος στα διάφορα σηµεία του µυωπικού αλγορίθµου, της δίνουµε τα στοιχεία της γραµµής παραγωγής που θέλουµε να αξιολογήσουµε και µας επιστρέφει την απόδοσή της. Πιο συγκεκριµένα τα στοιχεία που δίνουµε είναι ένα διάνυσµα Β που αποτελεί τη λύση της οποίας την απόδοση θέλουµε να αξιολογήσουµε, ένα διάνυσµα r που περιέχει τους ρυθµούς επεξεργασίας των µηχανών κάθε σταθµού εργασίας και ένα διάνυσµα S που περιέχει τους αριθµούς των 73

75 παράλληλων µηχανών σε κάθε κέντρο εργασίας, και τα στοιχεία που µας επιστρέφει είναι ένας δεκαδικός αριθµός ο οποίος αντιπροσωπεύει την απόδοση του διανύσµατος αυτού Παραδείγµατα Παράδειγµα 1: Έστω ότι ως αρχική λύση δόθηκε το διάνυσµα [5,3,0,1] Το MAX µαρκάρεται µε κόκκινο, το MIN µε µπλε και το διάνυσµα µε τη µεγαλύτερη απόδοση το οποίο επιλέγεται ως η νέα βέλτιστη λύση µε ΠΡΑΣΙΝΟ 1ος κύκλος µε την αρχική λύση [5,3,0,1] µε απόδοση PR1=0, [4,3,1,1] µε απόδοση PR2=0, (1η προσπάθεια) PR2>PR1, άρα η νέα βέλτιστη λύση είναι το διάνυσµα [4,3,1,1] 2ος κύκλος µε νέα βέλτιστη λύση [4,3,1,1] [3,3,2,1] µε απόδοση 0, (2η προσπάθεια) [3,3,1,2] µε απόδοση 0, (3η προσπάθεια) 3ος κύκλος µε νέα βέλτιστη λύση [3,3,2,1] [2,3,2,2] µε απόδοση 0, (4η προσπάθεια) [3,2,2,2] µε απόδοση 0, (5η προσπάθεια) 4ος κύκλος, δεν βρέθηκε άλλη καλύτερη λύση [2,3,2,2] [3,2,2,2] µε απόδοση 0, <0, (6η προσπάθεια) [2,2,3,2] µε απόδοση 0, <0, (7η προσπάθεια) [2,2,2,3] µε απόδοση 0, <0, (8η προσπάθεια) STOP Άρα, η βέλτιστη λύση είναι η [2,3,2,2] µε απόδοση 0, και ο αλγόριθµος έκανε συνολικά 8 προσπάθειες για να την βρει σε 1,609s. Παράδειγµα 2: Έστω ότι ως αρχική λύση δόθηκε το διάνυσµα [1,2,2,1] [1,2,2,1] µε απόδοση 0, ος κύκλος µε την αρχική λύση [1,2,2,1] [2,1,2,1] µε απόδοση 0, <0, (1η προσπάθεια) 74

76 [1,1,2,2] µε απόδοση 0,61893 <0, (2η προσπάθεια) [2,2,1,1] µε απόδοση 0, <0, (3η προσπάθεια) [1,2,1,2] µε απόδοση 0, <0, (4η προσπάθεια) Άρα, η αρχική λύση είναι και η βέλτιστη µε απόδοση 0, και ο αλγόριθµος έκανε συνολικά 4 προσπάθειες για να την βρει σε 0,04s. 5 Πειραµατικός Σχεδιασµός και Αποτελέσµατα Ο µυωπικός αλγόριθµος που παρουσιάστηκε στην προηγούµενη ενότητα υλοποιήθηκε στη γλώσσα προγραµµατισµού C++ για να διεξαχθούν διάφορα πειράµατα σχετικά µε το πρόβληµα κατανοµής του αποθηκευτικού χώρου και να µελετηθεί περαιτέρω η συµπεριφορά του. Σε αυτή την ενότητα παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα που προέκυψαν από τα πειράµατα και πιο συγκεκριµένα υπολογίζεται η απόδοση της λύσης που προτείνει κάθε φορά ο αλγόριθµος και ο χρόνος που χρειάστηκε για να τερµατίσει. Επίσης, παράλληλα παρουσιάζονται και τα αποτελέσµατα από άλλους αλγορίθµους βελτιστοποίησης και γίνεται σύγκριση µεταξύ των αποτελεσµάτων. Ειδικότερα, οι αλγόριθµοι βελτιστοποίησης που χρησιµοποιήθηκαν για να γίνουν οι συγκρίσεις 19 είναι οι Απαρίθµηση, Gradient, Heuristic, Simulated Annealing, Genetic, Nested Partitions και οι συνδυασµοί τους Gradient/Heuristic και NP/Gradient. Τα µέτρα που υπολογίστηκαν κάθε φορά είναι το σφάλµα ως προς την απόδοση και ως προς το χρόνο σε σχέση µε τις κύριες µεθόδους Simulated Annealing και Genetic και η βελτίωση ως προς την απόδοση σε σχέση τις υπόλοιπες µεθόδους και σε σχέση µε την αρχική λύση. 5.1 Περιγραφή πειραµάτων Τα πειράµατα χωρίστηκαν σε τέσσερις µεγάλες οµάδες µε βάση το µέγεθος αλλά και το είδος της γραµµής παραγωγής. Ειδικότερα οι οµάδες στις οποίες χωρίστηκαν είναι: 1. Πειράµατα σε µικρές γραµµές παραγωγής που έχουν από 5 µέχρι 12 σταθµούς εργασίας, µε ίδιο ρυθµό επεξεργασίας και χωρίς παράλληλες 19 Οι αλγόριθµοι Simulated Annealing, Genetic και της Απαρίθµησης είναι οι κύριες µέθοδοι σύγκρισης γιατί τα αποτελέσµατά τους συλλέχθηκαν από τη διεθνή βιβλιογραφία. 75

77 µηχανές ανά σταθµό (βλ. υποενότητα 5.2.1). Σε αυτή την περίπτωση η σύγκριση γίνεται κυρίως µε τα αποτελέσµατα της απαρίθµησης γιατί είναι σίγουρο ότι δίνει τη βέλτιστη λύση. 2. Πειράµατα σε µεσαίου µεγέθους γραµµές παραγωγής που έχουν από 13 µέχρι 20 σταθµούς εργασίας, µε ίδιο ρυθµό επεξεργασίας και χωρίς παράλληλες µηχανές ανά σταθµό (βλ. υποενότητα 5.2.3). Σε αυτή την περίπτωση επειδή ήταν αδύνατο να εφαρµοστεί η απαρίθµηση λόγω του µεγέθους του προβλήµατος, η σύγκριση γίνεται µε τα αποτελέσµατα των άλλων αλγορίθµων βελτιστοποίησης. 3. Πειράµατα σε µικρού και µεσαίου µεγέθους γραµµές παραγωγής που έχουν από 7 µέχρι 30 σταθµούς εργασίας και όπου δεν είναι όλοι οι σταθµοί ταυτόσηµοι (βλ. υποενότητα 5.2.5). Οµοίως µε προηγουµένως, η σύγκριση γίνεται µε τα αποτελέσµατα των άλλων αλγορίθµων βελτιστοποίησης. 4. Πειράµατα σε µεγάλου µεγέθους γραµµές παραγωγής που έχουν από 50 µέχρι 200 σταθµούς εργασίας και όπου δεν είναι όλοι οι σταθµοί ταυτόσηµοι (βλ. υποενότητα 5.2.7). Η σύγκριση και πάλι γίνεται µε τα αποτελέσµατα των άλλων αλγορίθµων βελτιστοποίησης. Τα αποτελέσµατα παρουσιάζονται αναλυτικά παρακάτω και για καλύτερη κατανόηση είναι συγκεντρωµένα σε πίνακες και κάτω από κάθε πίνακα αλλά και στο τέλος της κάθε υποενότητας υπάρχουν διάφορα σχόλια, συµπεράσµατα και παρατηρήσεις. Σε κάθε πείραµα δίνεται ο αριθµός των σταθµών εργασίας Ν, οι συνολικές µονάδες αποθηκευτικού χώρου Β ολ που είναι διαθέσιµες και θέλουµε να κατανείµουµε, ο ρυθµός επεξεργασίας r i των µηχανών και ο αριθµός των µηχανών S i ανά σταθµό εργασίας. Όσον αφορά το περιεχόµενο των πινάκων, παρακάτω παρουσιάζονται οι γραµµές και στήλες µε τα περιεχόµενά τους: Station, όπου απαριθµούνται οι σταθµοί του πειράµατος, Servers, όπου απαριθµείται ο αριθµός των παράλληλων µηχανών σε κάθε θέση σταθµού εργασίας. Η γραµµή αυτή υπάρχει µόνο στα πειράµατα όπου έχουµε παράλληλες µηχανές στους σταθµούς εργασίας. Αν όλα τα Si είναι ίσα µε 1 ή 2, αυτό αναφέρεται στον τίτλο του πίνακα και η γραµµή Servers παραλείπεται, 76

78 Service Rate, όπου απεικονίζονται οι ρυθµοί επεξεργασίας σε κάθε θέση σταθµού εργασίας. Οµοίως µε προηγουµένως, αν όλα τα rates=1, τότε αυτό αναφέρεται στον τίτλο του πίνακα και η γραµµή Service Rates παραλείπεται, Bi, όπου απεικονίζονται οι θέσεις των ενδιάµεσων αποθηκευτικών χώρων, Complete Enumeration, Genetic, Simulated Annealing, Gradient, Heuristic, Gradient/Heuristic, NP και NP/Gradient, όπου δίνονται οι λύσεις των άλλων µεθόδων βελτιστοποίησης µε βάση τις οποίες γίνονται συγκρίσεις µε τα αποτελέσµατα του µυωπικού αλγορίθµου. Στις µικρές γραµµές όπου µπορούσε να τρέξει η απαρίθµηση έχουµε σύγκριση µε αυτήν, καθώς είναι η πιο αξιόπιστη µέθοδος, ενώ στα υπόλοιπα πειράµατα έχουµε σύγκριση µε τις άλλες µεθόδους, Αρχική λύση, όπου δίνεται το διάνυσµα-αρχική λύση η οποία ορίστηκε µε την τροποποιηµένη µέθοδο του Selvi (2002), Κατανοµή των αποθηκευτικών χώρων, όπου δίνονται οι λύσεις όλων των µεθόδων που εξετάζονται, Β ολ, είναι η συνολική χωρητικότητα των αποθηκευτικών χώρων και δίνεται για να πιστοποιηθεί πως όλες οι µέθοδοι έδωσαν µια εφικτή λύση µε βάση τα δεδοµένα του προβλήµατος, P opt, είναι η βέλτιστη απόδοση στην οποία καταλήγει η κάθε µέθοδος. Time (sec), είναι ο χρόνος σε δευτερόλεπτα που απαιτήθηκε για τον υπολογισµό της βέλτιστης απόδοσης κάθε µεθόδου, Σφάλµα σε σχέση µε Απαρίθµηση (%), Simulated Annealing (%) και Genetic (%) είναι το σφάλµα της αξιολογούµενης µεθόδου ως προς της παραπάνω µεθόδους σύγκρισης κάθε φορά και ορίζεται από το κλάσµα: [Popt (µεθόδου σύγκρισης) Popt (αξιολογούµενης µεθόδου)] Popt (αξιολογούµενης µεθόδου) *100 Για παράδειγµα αν θέλουµε να δούµε το σφάλµα της απόδοσης του µυωπικού αλγορίθµου ως προς τη µέθοδο της απαρίθµησης ο τύπος είναι: [Popt(µυωπικού)-Popt(απαρίθµησης)]/Popt(απαρίθµησης)*

79 Αξίζει να σηµειωθεί ότι το σφάλµα ως προς την απαρίθµηση είναι πάντα µεγαλύτερο ή ίσο µε το µηδέν καθώς η απαρίθµηση καταλήγει µε βεβαιότητα στη βέλτιστη απόδοση. Όταν όµως υπολογίζουµε το σφάλµα ως προς µια άλλη µέθοδο (π.χ.simulated Annealing), τότε είναι πιθανό η αξιολογούµενη µέθοδος να καταλήξει σε καλύτερη λύση, εποµένως σε αυτή την το σφάλµα θα είναι αρνητικό που δείχνει ότι η αξιολογούµενη µέθοδος έδωσε καλύτερο αποτέλεσµα από τη µέθοδο σύγκρισης. Βελτίωση σε σχέση µε Gradient(%) είναι η βελτίωση (%) της κάθε µεθόδου ως προς την µέθοδο σύγκρισης gradient και ορίζεται από το κλάσµα: [Popt(µεθόδου) - Popt(gradient)] / Popt(gradient) *100 Για παράδειγµα αν θέλουµε να δούµε τη βελτίωση του µυωπικού αλγορίθµου ως προς τη µέθοδο gradient ο τύπος είναι: [Popt(µυωπικού)- Popt(gradient)]/Popt(gradient)*100. Αν η βελτίωση προκύψει θετική σηµαίνει ότι η εξεταζόµενη µέθοδος έδωσε καλύτερη λύση από τον gradient. Βελτίωση σε σχέση µε τον Heuristic (ή Gradient/Heuristic)(%) είναι η βελτίωση (%) της κάθε µεθόδου ως προς την µέθοδο σύγκρισης heurisrtic (ή Gradient/Heuristic) και ορίζεται από το κλάσµα: [Popt(αξιολογούµενης µεθόδου) - Popt(Heuristic ή Gradient/Heuristic)] Popt(Heuristic ή Gradient/Heuristic) *100 Για παράδειγµα αν θέλουµε να δούµε τη βελτίωση του µυωπικού αλγορίθµου ως προς τη µέθοδο heuristic ο τύπος είναι: [Popt(µυωπικού)- Popt(heuristic)]/Popt(heuristic)*100. Οµοίως µε προηγουµένως, αν η βελτίωση προκύψει θετική σηµαίνει ότι όντως η εξεταζόµενη µέθοδος έδωσε καλύτερη λύση από τον heuristic. Βελτίωση σε σχέση µε τον NP (ή τον ΝP/Gradient) (%) είναι η βελτίωση (%)της κάθε µεθόδου ως προς την µέθοδο σύγκρισης NP (ή ΝP/Gradient) και ορίζεται από το κλάσµα: [Popt (αξιολογούµενης µεθόδου) Popt (NP ή ΝP/Gradient)] Popt(NP ή ΝP/Gradient) *100 78

80 Για παράδειγµα αν θέλουµε να δούµε τη βελτίωση του µυωπικού αλγορίθµου ως προς τη µέθοδο NP ο τύπος είναι: [Popt(µυωπικού)- Popt(NP)]/Popt(NP)*100. Οµοίως µε προηγουµένως, αν η βελτίωση προκύψει θετική σηµαίνει ότι όντως η εξεταζόµενη µέθοδος έδωσε καλύτερη λύση από τον NP. Βελτίωση σε σχέση µε την Αρχική λύση(%) είναι η βελτίωση (%) της κάθε µεθόδου σε σύγκριση µε την αρχική λύση και ορίζεται από το κλάσµα: [Popt(αξιολογούµενης µεθόδου) - Popt(αρχικής λύσης)] Popt(αρχικής λύσης)*100 Για παράδειγµα αν θέλουµε να δούµε τη βελτίωση του µυωπικού αλγορίθµου ως προς την Αρχική λύση ο τύπος είναι: [Popt(µυωπικού)- Popt(Αρχικής λύσης)]/popt(αρχικής λύσης)*100. Η τιµή που προκύπτει είναι πάντα µεγαλύτερη ή ίση του µηδενός και δείχνει κατά πόσο η εξεταζόµενη µέθοδος βελτίωσε την αρχική λύση µε την οποία ξεκίνησε. Απόκλιση Χρόνου σε σχέση µε Απαρίθµηση (%), Simulated Annealing (%) και Genetic (%) είναι το χρονικό σφάλµα της µεθόδου που αναπτύξαµε και θέλουµε να αξιολογήσουµε ως προς την κύρια µέθοδο σύγκρισης κάθε φορά και ορίζεται από το κλάσµα: [t (αξιολογούµενης µεθόδου) - t(µεθόδου σύγκρισης)] t(µεθόδου σύγκρισης)*100 Για παράδειγµα αν θέλουµε να δούµε το σφάλµα χρόνου του µυωπικού αλγορίθµου ως προς τη µέθοδο genetic ο τύπος είναι: [t(µυωπικού) - t(genetic)] / t(genetic)*100. Αν το σφάλµα προκύψει αρνητικό σηµαίνει ότι είχαµε βελτίωση στο χρόνο, δηλαδή η µέθοδος συνέκλινε ταχύτερα από αυτήν µε την οποία τη συγκρίνουµε. Στην αντίθετη περίπτωση, η αξιολογούµενη µέθοδος θα είναι πιο αργή από τη µέθοδο σύγκρισης. 5.2 Αποτελέσµατα πειραµάτων και σχόλια Σε αυτή την ενότητα παρουσιάζονται και σχολιάζονται τα αποτελέσµατα από τα πειράµατα που διεξήχθησαν στον εργαστηριακό χώρο του Αριστοτελείου Πανεπιστηµίου. Τα πειράµατα έγιναν σε υπολογιστή µε Intel(R) Core(TM)2 DUO CPU E4400 και 2GB RAM. Σε κάθε περίπτωση-πείραµα 79

81 καταγράφεται η βέλτιστη λύση που προτείνει ο κάθε αλγόριθµος, η απόδοσή της και ο χρόνος εκτέλεσης και έπειτα µε τη βοήθεια του MS Excel υπολογίζονται τα διάφορα µέτρα σύγκρισης Αποτελέσµατα δοκιµών σε µικρές γραµµές παραγωγής όπου όλοι οι σταθµοί επεξεργασίας έχουν τα ίδια χαρακτηριστικά Σε αυτή την υποενότητα παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα από τα πειράµατα για τις µικρές γραµµές παραγωγής όπου όλοι οι σταθµοί εργασίας έχουν τον ίδιο αριθµών µηχανών και τον ίδιο ρυθµό επεξεργασίας. Μετά από κάθε πείραµα σχολιάζονται τα αποτελέσµατα και στο τέλος της υποενότητας παρουσιάζονται τα συγκεντρωτικά σχόλια και τα συµπεράσµατα από αυτά. 80

82 Πίνακας 5.1 Αποτελέσµατα για {Ν=5, Β ολ =6, r i =1 και S i =1 για κάθε i} Σε αυτή την περίπτωση, επειδή η σειρά παραγωγής (βλ. αρχική λύση) είναι ισορροπηµένη και µικρού µεγέθους, ο µυωπικός αλγόριθµος, όπως και όλοι οι αλγόριθµοι, βρίσκει µε επιτυχία τη βέλτιστη λύση, η οποία συµπίπτει µε την αρχική, και µάλιστα σε αµελητέο χρόνο. Ακόµη, όσον αφορά τον µυωπικό αλγόριθµο, µέχρι να καταλήξει στη βέλτιστη λύση χρειάστηκε να υπολογίσει 4 διανύσµατα. 81

83 Πίνακας 5.2 Αποτελέσµατα για {Ν=6, Β ολ =7, r i =1 και S i =1 για κάθε i} Σε αυτή την περίπτωση και πάλι όλοι οι αλγόριθµοι βρίσκουν µε επιτυχία τη βέλτιστη λύση η οποία όµως αυτή τη φορά διαφέρει από την αρχική. Πιο συγκεκριµένα, υπήρχε µία µικρή βελτίωση σε σχέση µε την αρχική λύση που δόθηκε (0,0016%) και ο χρόνος που χρειάστηκε για να τη βρουν είναι και πάλι µικρότερος του ενός δευτερολέπτου. Ο µυωπικός σε αυτή την περίπτωση για να καταλήξει στη βέλτιστη λύση χρειάστηκε να υπολογίσει 8 διανύσµατα-πιθανές λύσεις. 82

84 Πίνακας 5.3 Αποτελέσµατα για {Ν=6, B ολ =11, r i =1 και S i =1 για κάθε i } Όπως και στην πρώτη περίπτωση, επειδή η αρχική λύση είναι ισορροπηµένη συµπίπτει µε τη βέλτιστη. Όλοι οι άλλοι αλγόριθµοι, εκτός των NP και NP/Gradient, βρήκαν µε επιτυχία τη βέλτιστη λύση. Μάλιστα ο χρόνος που κάνανε είναι αισθητά µικρότερος από την απαρίθµηση, µε τον µυωπικό να είναι πιο γρήγορος από όλους αφού χρειάστηκε µόνο 0,0009s και υπολόγισε συνολικά 4 διανύσµατα-πιθανές λύσεις. 83

85 Πίνακας 5.4 Αποτελέσµατα για {Ν=6, Β ολ =12, r i =1 και S i =1 για κάθε i } Όλοι οι αλγόριθµοι βρήκαν και πάλι τη βέλτιστη λύση. Αυτό που αξίζει να παρατηρηθεί είναι ότι όσο µεγαλώνει το πρόβληµα τόσο οι αλγόριθµοι κάνουν πιο αισθητή τη διαφορά σε σχέση µε την απαρίθµηση, µε τον µυωπικό αλγόριθµο και τον Gradient να έχουν πετύχει τον καλύτερο χρόνο. Ο µυωπικός αλγόριθµος υπολόγισε 6 διανύσµατα µέχρι να βρει τη βέλτιστη λύση. 84

86 Πίνακας 5.5 Αποτελέσµατα για {Ν=6, B ολ =13, r i =1 και S i =1 για κάθε i } Όπως και στις προηγούµενες περιπτώσεις, επειδή η αρχική λύση είναι ισορροπηµένη, όλοι οι αλγόριθµοι βρήκαν τη βέλτιστη λύση η οποία συµπίπτει µε την αρχική, σε χρόνο µικρότερο του ενός δευτερολέπτου. Ο µυωπικός αλγόριθµος έκανε τον µικρότερο χρόνο και υπολόγισε 6 διανύσµατα µέχρι να βρει το βέλτιστο. 85

87 Πίνακας 5.6 Αποτελέσµατα για {Ν=7, Β ολ =8, r i =1 και S i =1 για κάθε i } Και πάλι όπως στις προηγούµενες περιπτώσεις, επειδή η αρχική λύση είναι ισορροπηµένη, η βέλτιστη λύση συµπίπτει µε την αρχική και όλοι οι αλγόριθµοι τη βρήκαν σε χρόνο µικρότερο του 1 δευτερολέπτου. Ο µυωπικός αλγόριθµος έκανε το δεύτερο καλύτερο-µικρότερο χρόνο µετά τον Gradient και υπολόγισε 8 διανύσµατα µέχρι να βρει τη βέλτιστη λύση. 86

88 Πίνακας 5.7 Αποτελέσµατα για {Ν=8, Β ολ =9, r i =1 και S i =1 για κάθε i } Στην παραπάνω περίπτωση µόνο ο µυωπικός και ο ευρετικός αλγόριθµος κατάφεραν να βρουν τη βέλτιστη λύση και µάλιστα σε πολύ µικρό χρόνο. Οι αλγόριθµοι Gradient, NP και NP/Gradient απέτυχαν να βρουν τη βέλτιστη λύση αλλά µε πολύ µικρό σφάλµα, µε αποτέλεσµα να υπάρχει ένα πολύ µικρό ποσοστό βελτίωσης σε σύγκριση µε αυτούς τους αλγορίθµους. Τέλος, αξίζει να αναφερθεί ότι ο µυωπικός αλγόριθµος δηµιούργησε 20 διανύσµατα και υπολόγισε την απόδοση µόνο 14 φορές γιατί τα 6 διανύσµατα είχαν ήδη υπολογιστεί στην προηγούµενη επανάληψη, κερδίζοντας έτσι χρόνο. 87

89 Πίνακας 5.8 Αποτελέσµατα για {Ν=8, Β ολ =10, r i =1 και S i =1 για κάθε i } Βλέπουµε και πάλι ότι η βέλτιστη λύση συµπίπτει µε την αρχική, µε τη διαφορά ότι όσο µεγαλώνει το πρόβληµα να υπάρχει ακόµη µεγαλύτερη διαφορά ως προς το χρόνο υπολογισµού σε σύγκριση µε την απαρίθµηση. Αξίζει να επισηµανθεί ότι ο µυωπικός αλγόριθµος και ο gradient και πάλι έχουν κάνει το µικρότερο χρόνο, ενώ ο NP είναι ο πιο αργός. Τέλος, ο µυωπικός αλγόριθµος χρειάστηκε να υπολογίσει 12 διανύσµατα µέχρι να βρει τη βέλτιστη λύση. 88

90 Πίνακας 5.9 Αποτελέσµατα για {Ν=8, Β ολ =11, r i =1 και S i =1 για κάθε i } Η βέλτιστη λύση και πάλι συµπίπτει µε την αρχική και όλοι οι αλγόριθµοι τερµάτισαν µε επιτυχία. Παρατηρούµε ότι ο NP και πάλι είναι αρκετά πιο αργός από τους άλλους αλγορίθµους, ενώ ο µυωπικός αλγόριθµος έκανε τον δεύτερο καλύτερο χρόνο µετά τον gradient και χρειάστηκε να υπολογίσει 12 διανύσµατα µέχρι να βρει τη βέλτιστη λύση. 89

91 Πίνακας 5.10 Αποτελέσµατα για {Ν=8, Β ολ =15, r i =1 και S i =1 για κάθε i } Σε αυτή την περίπτωση για πρώτη φορά παρατηρούµε ότι ο όλοι οι αλγόριθµοι εκτός του µυωπικού και του Gradient κατάφεραν να βρουν τη βέλτιστη λύση η οποία διαφέρει από την αρχική. Μάλιστα βλέπουµε ότι ο µυωπικός αλγόριθµος σταµάτησε να ψάχνει για τη βέλτιστη λύση σε πολύ µικρό χρόνο και πιο συγκεκριµένα µετά από 6 προσπάθειες. Παρόλα αυτά το σφάλµα είναι πολύ µικρό γιατί η βελτίωση στην αρχική λύση είναι πολύ µικρή. 90

92 Πίνακας 5.11 Αποτελέσµατα για {Ν=9, B ολ =10, r i =1 και S i =1 για κάθε i } Σε αυτή την περίπτωση µόνο οι NP και NP/Gradient δεν κατάφεραν να βρούνε τη βέλτιστη λύση, η οποία συµπίπτει µε την αρχική. Οι άλλοι αλγόριθµοι τερµάτισαν µε επιτυχία και µάλιστα σε πολύ µικρό χρόνο υπολογισµού, µε τον µυωπικό να έχει κάνει και πάλι το δεύτερο καλύτερο χρόνο µετά τον gradient (παρόµοια µε τον πίνακα 5.9). 91

93 Πίνακας 5.12 Αποτελέσµατα για {Ν=10, Β ολ =11, r i =1 και S i =1 για κάθε i } Όλοι οι αλγόριθµοι, εκτός του Gradient, βρήκαν τη βέλτιστη λύση η οποία είναι βελτιωµένη κατά 0,22% από την αρχική. Ο χρόνος υπολογισµού είναι αρκετά µικρός για τους περισσότερους αλγορίθµους εκτός των NP και NP/Gradient και µάλιστα ο µυωπικός αλγόριθµος πέτυχε την εύρεση της βέλτιστης λύσης σε µικρότερο χρόνο από όλους τους αλγορίθµους. Τέλος, ο µυωπικός αλγόριθµος µέχρι να βρει τη βέλτιστη λύση δηµιούργησε 28 νέα διανύσµατα και κάλεσε την εκτιµητική συνάρτηση 20 φορές, γιατί τα 8 από αυτά είχαν ήδη υπολογιστεί στην προηγούµενη επανάληψη, κερδίζοντας έτσι πολύτιµο χρόνο εκτέλεσης. 92

94 Πίνακας 5.13 Αποτελέσµατα για {Ν=11, B ολ =12, r i =1 και S i =1 για κάθε i } Η περίπτωση αυτή είναι παρόµοια µε τις προηγούµενες όπου η βέλτιστη λύση συµπίπτει µε την αρχική και όλοι οι αλγόριθµοι τερµάτισαν µε επιτυχία. Όσον αφορά το χρόνο υπολογισµού είναι µικρός για όλους τους αλγορίθµους, εκτός των NP και NP/Gradient, µε τον µυωπικό να έχει κάνει το δεύτερο καλύτερο χρόνο µετά τον gradient (όπως και στους πίνακες 5.9 και 5.11). Τέλος, ο µυωπικός σε αυτή την περίπτωση χρειάστηκε να υπολογίσει 16 διανύσµατα µέχρι να καταλήξει στη βέλτιστη λύση. 93

95 Πίνακας 5.14 Αποτελέσµατα για {Ν=12, Β ολ =13, r i =1 και S i =1 για κάθε i } Σε αυτή την περίπτωση ο gradient είναι ο µόνος αλγόριθµος που δεν κατάφερε να βρει τη βέλτιστη λύση η οποία είναι κατά 0,22% καλύτερη από την αρχική και οι NP και NP/Gradient έκαναν µεγάλο χρόνο υπολογισµού. Αντίθετα, ο µυωπικός αλγόριθµος βρήκε τη βέλτιστη λύση κάνοντας το µικρότερο χρόνο υπολογισµού. Πιο συγκεκριµένα, δηµιούργησε 36 νέα διανύσµατα µέχρι να φτάσει στη βέλτιστη λύση, ενώ χρειάστηκε να υπολογίσει µόνο τα 26 επειδή τα 10 είχαν ήδη υπολογιστεί στην προηγούµενη επανάληψη κερδίζοντας έτσι και πάλι πολύτιµο χρόνο. 94

96 5.2.2 Συγκεντρωτικά σχόλια για τα αποτελέσµατα δοκιµών σε µικρές γραµµές παραγωγής όπου όλοι οι σταθµοί επεξεργασίας έχουν τα ίδια χαρακτηριστικά Στις παραπάνω περιπτώσεις οι συγκρίσεις για την εύρεση της λύσης µε την βέλτιστη απόδοση έγιναν κυρίως µε την Απαρίθµηση (Complete Enumeration), διότι γνωρίζουµε ότι δίνει µε βεβαιότητα τη βέλτιστη λύση. Συνοπτικά, τα συµπεράσµατα που προκύπτουν από τα παραπάνω αποτελέσµατα δοκιµών σε µικρές γραµµές παραγωγής είναι τα εξής: Όταν η αρχική λύση είναι ισορροπηµένη, τότε η βέλτιστη λύση συµπίπτει µε την αρχική. Σε όλες τις περιπτώσεις, µε εξαίρεση την περίπτωση στο Πίνακα 5.10 για Ν=8 και Β ολ =15, ο µυωπικός αλγόριθµος, όπως και οι περισσότεροι αλγόριθµοι, βρήκε τη βέλτιστη λύση. Μάλιστα, ο ευρετικός αλγόριθµος δείχνει να είναι ο καλύτερος από όλους αφού κατάφερε σε όλες τις περιπτώσεις να βρει τη βέλτιστη λύση, ενώ οι NP και NP/Gradient δεν καταφέρνουν να τη βρουν και συνήθως είναι και οι πιο αργοί µέθοδοι στην εκτέλεση. Αυτό φαίνεται καθαρά στην παρακάτω γραφική παράσταση όπου το σφάλµα του ευρετικού είναι µηδέν σε όλες τις περιπτώσεις και του µυωπικού µόνο µία φορά είναι διάφορο του µηδενός. Σφάλµα ως προς την Απαρίθµηση 0,2 Σφάλµα σε % 0,15 0,1 0,05 Gradient Heuristic NP Myopic 0 Ν=5, Bολ=6 Ν=6, Bολ=7 Ν=6, Bολ=11 Ν=6, Bολ=12 Ν=6, Bολ=13 Ν=7, Bολ=8 Ν=8, Bολ=9 Ν=8, Bολ=10 Ν=8, Bολ=11 Πειράµατα Ν=8, Bολ=15 Ν=9, Bολ=10 Ν=10, Bολ=11 Ν=11, Bολ=12 Ν=12, Bολ=13 Σχήµα 5.1 Απεικόνιση Σφάλµατος ως προς την Απαρίθµηση σε µικρές γραµµές παραγωγής 95

97 Όσο µεγαλώνει το πρόβληµα, τόσο µεγαλώνει και η διαφορά του χρόνου εκτέλεσης των αλγορίθµων σε σχέση µε την απαρίθµηση. Τέλος, ο µυωπικός αλγόριθµος και ο Gradient είναι συνήθως οι πιο γρήγοροι µέθοδοι. Αυτό φαίνεται καθαρά στις παρακάτω γραφικές παραστάσεις, όπου οι χρόνοι τους είναι µηδενικοί και ακουµπάνε τον άξονα x x. 80 Χρόνος Ολοκλήρωσης (sec) Χρόνος (sec) Gradient Heuristic NP Myopic Ν=5, Bολ=6 Ν=6, Bολ=7 Ν=6, Bολ=11 Ν=6, Bολ=12 Ν=6, Bολ=13 Ν=7, Bολ=8 Ν=8, Bολ=9 Ν=8, Bολ=10 Ν=8, Bολ=11 Πειράµατα Ν=8, Bολ=15 Ν=9, Bολ=10 Ν=10, Bολ=11 Ν=11, Bολ=12 Ν=12, Bολ=13 Σχήµα 5.2 Απεικόνιση Χρόνου Ολοκλήρωσης σε µικρές γραµµές παραγωγής Στο παρακάτω γράφηµα γίνεται µία σύγκριση ανάµεσα στους γρηγορότερους αλγόριθµους, δηλαδή τον µυωπικό και τον Gradient. Ο χρόνος του µυωπικού αυξάνεται όσο µεγαλώνει το πρόβληµα και στην αρχή ξεκινάει από χαµηλότερα επίπεδα, σε αντίθεση µε τoν Gradient που δεν έχει µία σταθερή πορεία. 96

98 Χρόνος Ολοκλήρωσης Myopic vs Gradient 0,2 Χρόνος (sec) 0,15 0,1 Gradient Myopic 0,05 0 Ν=5, Bολ=6 Ν=6, Bολ=7 Ν=6, Bολ=11 Ν=6, Bολ=12 Ν=6, Bολ=13 Ν=7, Bολ=8 Ν=8, Bολ=9 Ν=8, Bολ=10 Ν=8, Bολ=11 Πειράµατα Ν=8, Bολ=15 Ν=9, Bολ=10 Ν=10, Bολ=11 Ν=11, Bολ=12 Ν=12, Bολ=13 Σχήµα 5.3 Απεικόνιση Χρόνου Ολοκλήρωσης Myopic και Gradient σε µικρές γραµµές παραγωγής Αποτελέσµατα δοκιµών σε µεσαίου µεγέθους γραµµές παραγωγής όπου όλοι οι σταθµοί επεξεργασίας έχουν τα ίδια χαρακτηριστικά Σε αυτή την υποενότητα παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα από τα πειράµατα για τις µεσαίου µεγέθους γραµµές παραγωγής που έχουν από 13 µέχρι 20 σταθµούς εργασίας και όπου όλοι οι σταθµοί εργασίας έχουν τον ίδιο αριθµών µηχανών και τον ίδιο ρυθµό επεξεργασίας. Μετά από κάθε πείραµα σχολιάζονται τα αποτελέσµατα και στο τέλος της υποενότητας παρουσιάζονται τα συγκεντρωτικά σχόλια και τα συµπεράσµατα από αυτά τα πειράµατα. 97

99 Πίνακας 5.15 Αποτελέσµατα για {Ν=13, Β ολ =26, r i =1 και S i =1 για κάθε i} Σε αυτή την περίπτωση, όπου η γραµµή παραγωγής είναι µεσαίου µεγέθους, τη βέλτιστη λύση την έδωσε ο Simulated Annealing σε 148 δευτερόλεπτα. Ο µυωπικός αλγόριθµος αποτυγχάνει να βρει τη βέλτιστη λύση µε σφάλµα ως προς την απόδοση 0,398% σε σχέση µε τον Simulated Annealing και 0,386% σε σχέση µε τον Genetic που δώσανε τις δύο καλύτερες λύσεις. Παρόλα αυτά ο µυωπικός αλγόριθµος έρχεται 5 ος ως προς την απόδοση αφού ξεπερνάει τον Gradient κατά 0,035% και ως προς το χρόνο τερµάτισε σε λιγότερο από ένα δευτερόλεπτο. Τα διανύσµατα που δηµιούργησε είναι 60 και οι µετρήσεις της απόδοσης είναι µόλις 39, αφού αρκετά από τα διανύσµατα είχαν ήδη υπολογισθεί στην προηγούµενη επανάληψη, κερδίζοντας και πάλι σηµαντικό χρόνο. 98

100 Πίνακας 5.16 Αποτελέσµατα για {Ν=14, Β ολ =28, r i =1 και S i =1 για κάθε i } Οµοίως µε προηγουµένως, ο Simulated Annealing βρήκε τη βέλτιστη λύση µε τους Heuristic και Genetic να ακολουθούν. Ο µυωπικός αλγόριθµος βρήκε την λύση µε την 4 η καλύτερη απόδοση αλλά σε πολύ µικρότερο χρόνο από τους άλλους αλγορίθµους (0,250 secs). Το σφάλµα του σε σχέση µε τον Simulated Annealing είναι 0,475% και µε τον Genetic 0,327%, ενώ η βελτίωσή του ως προς την αρχική λύση και ως προς τον Gradient είναι 0,106% και από τον NP 2,9%. Τα διανύσµατα που δηµιούργησε είναι 44 και οι µετρήσεις της απόδοσης είναι 32, αφού αρκετά από τα διανύσµατα είχαν ήδη υπολογισθεί στην προηγούµενη επανάληψη, εξοικονοµώντας έτσι και πάλι σηµαντικό χρόνο. 99

101 Πίνακας 5.17 Αποτελέσµατα για {Ν=15, Β ολ =30, r i =1 και S i =1 για κάθε i } Και πάλι όµοια µε προηγουµένως, ο Simulated Annealing βρήκε τη βέλτιστη λύση µε τους Heuristic και Genetic να ακολουθούν. Ο µυωπικός αλγόριθµος βρήκε την λύση µε την 4 η καλύτερη απόδοση αλλά σε πολύ µικρότερο χρόνο από τους άλλους αλγορίθµους (0,405 secs). Το σφάλµα του όµως αυτή τη φορά είναι µεγαλύτερο σε σχέση µε τον Simulated Annealing 0,503%, ενώ µε τον Genetic είναι µικρότερο 0,197%. Η βελτίωσή του ως προς την αρχική λύση και ως προς τον Gradient είναι και αυτή αρκετά µικρότερη 0,078% και από τον NP 2,99%. Τα διανύσµατα που δηµιούργησε ο µυωπικός είναι 72 ενώ οι µετρήσεις της απόδοσης είναι 47, αφού αρκετά από τα διανύσµατα είχαν ήδη υπολογισθεί στην προηγούµενη επανάληψη, εξοικονοµώντας έτσι σηµαντικό χρόνο. 100

102 Πίνακας 5.18 Αποτελέσµατα για {Ν=16, Β ολ =32, r i =1 και S i =1 για κάθε i } Οµοίως µε προηγουµένως, ο Simulated Annealing βρήκε τη βέλτιστη λύση µε τους Heuristic και Genetic να ακολουθούν. Ο µυωπικός βρήκε την λύση µε την 4 η καλύτερη απόδοση αλλά και πάλι σε αρκετά µικρότερο χρόνο από τους άλλους αλγορίθµους (0,405 secs) και γι αυτό το σφάλµα χρόνου σε σχέση µε τον Simulated Annealing είναι -99,83%. Το σφάλµα του όµως ως προς την απόδοση αυτή τη φορά είναι µεγαλύτερο σε σχέση µε τον Simulated Annealing 0,545%, ενώ µε τον Genetic είναι αρκετά µικρότερο 0,094%. Η βελτίωσή του ως προς την αρχική λύση και ως προς τον Gradient είναι περίπου 0,01% και από τον NP είναι αρκετά µεγάλη 5,66%. Τέλος, τα διανύσµατα που δηµιούργησε ο µυωπικός είναι 52, ενώ οι µετρήσεις της απόδοσης είναι 38 αφού και πάλι αρκετά από τα διανύσµατα είχαν ήδη υπολογισθεί στην προηγούµενη επανάληψη, εξοικονοµώντας έτσι σηµαντικό χρόνο. 101

103 Πίνακας 5.19 Αποτελέσµατα για {Ν=17, Β ολ =34, r i =1 και S i =1 για κάθε i } Σε αυτή την περίπτωση ο µυωπικός αλγόριθµος δίνει την 3 η καλύτερη λύση αν και βελτιώνει ελάχιστα την αρχική λύση (0,097%) και σε σχέση µε τον Simulated Annealing έχει 0,53% σφάλµα απόδοσης. Ειδικότερα, παρατηρείται ότι έδωσε λίγο καλύτερη απόδοση από τον Gradient (0,097%) και αρκετά καλύτερη από τον Genetic (0,339%) και τον NP (5,64%). Μάλιστα ο χρόνος που έκανε ήταν µικρότερος του ενός δευτερολέπτου (0,686s). Τέλος, δηµιούργησε 84 διανύσµατα ενώ οι µετρήσεις της απόδοσης που έκανε είναι 55, αφού και πάλι αρκετά από τα διανύσµατα είχαν ήδη υπολογισθεί στην προηγούµενη επανάληψη, εξοικονοµώντας έτσι σηµαντικό χρόνο. 102

104 Πίνακας 5.20 Αποτελέσµατα για {Ν=18, Β ολ =36, r i =1 και S i =1 για κάθε i } Οµοίως µε προηγουµένως, ο µυωπικός αλγόριθµος δίνει την 3 η καλύτερη λύση ξεπερνώντας και πάλι τους Genetic (0,211%), Gradient (0,119%) και NP (6,918%). Βελτίωσε την αρχική λύση κατά 0,119% σε χρόνο 0,796s, αλλά το σφάλµα ως προς την απόδοση σε σχέση µε τον Simulated Annealing και µε τον Heuristic παραµένει σχετικά µεγάλο (0,544% και 0,464% αντίστοιχα). Τέλος, ο µυωπικός αλγόριθµος δηµιούργησε 90 διανύσµατα µέχρι να βρει τη βέλτιστη λύση, ενώ οι µετρήσεις της απόδοσης που έκανε είναι 59, αφού και πάλι αρκετά από τα διανύσµατα είχαν ήδη υπολογισθεί στην προηγούµενη επανάληψη, εξοικονοµώντας έτσι σηµαντικό χρόνο. 103

105 Πίνακας 5.21 Αποτελέσµατα για {Ν=19, Β ολ =38, r i =1 και S i =1 για κάθε i } Εδώ παρατηρείται ότι ο µυωπικός αλγόριθµος, αν και βελτιώνει την αρχική λύση (0,102%), έχει µεγάλο σφάλµα απόδοσης σε σχέση µε τους Simulated Annealing (0,572%), Genetic (0,531%) και Heuristic (0,393%). Επίσης, έχει χάσει και το προτέρηµα ως προς το χρόνο που είχε αφού ο Gradient έχει βρει λύση µε καλύτερη απόδοση (0,248%) και σε αρκετά µικρό χρόνο (1,734s). Τέλος, ο µυωπικός αλγόριθµος δηµιούργησε συνολικά 96 διανύσµατα µέχρι να βρει τη βέλτιστη λύση, ενώ οι µετρήσεις της απόδοσης που έκανε είναι 63, αφού και πάλι αρκετά από τα διανύσµατα είχαν ήδη υπολογισθεί στην προηγούµενη επανάληψη. 104

106 Πίνακας 5.22 Αποτελέσµατα για {Ν=20, Β ολ =40, r i =1 και S i =1 για κάθε i} Σε αυτή την περίπτωση, αν και το σφάλµα του µυωπικού αλγορίθµου ως προς την απόδοση σε σχέση µε τον Simulated Annealing και τον Heuristic είναι και πάλι µεγάλο (0,556% και 0,423% αντίστοιχα), υπάρχει βελτίωση σε σχέση µε τον Genetic, τον Gradient και τον NP. ηλαδή ο µυωπικός αλγόριθµος έδωσε την 3 η καλύτερη λύση σε πολύ καλό χρόνο (1,217s) δηµιουργώντας συνολικά 102 διανύσµατα και υπολογίζοντας µόνο τα 67 µέχρι να βρει τη λύση. 105

107 5.2.4 Συγκεντρωτικά σχόλια για τα αποτελέσµατα δοκιµών σε µεσαίου µεγέθους γραµµές παραγωγής όπου όλοι οι σταθµοί επεξεργασίας έχουν τα ίδια χαρακτηριστικά Στις παραπάνω περιπτώσεις, επειδή το µέγεθος των προβληµάτων είναι µεγάλο και δεν είναι δυνατή η διεξαγωγή της απαρίθµησης, η σύγκριση έγινε µε τους αλγορίθµους βελτιστοποίησης Simulated Annealing και Genetic, των οποίων τα αποτελέσµατα συλλέχθηκαν από τη διεθνή βιβλιογραφία. Συνοπτικά τα συµπεράσµατα που προέκυψαν για τα αποτελέσµατα των δοκιµών σε µεσαίου µεγέθους γραµµές παραγωγής µε ρυθµό επεξεργασίας r i =1 και µηχανές ανά κέντρο εργασίας S i =1 είναι τα εξής: Αρχικά ο µυωπικός αλγόριθµος βρίσκεται στην 4 η θέση µε τους Simulated Annealing, Heuristic και Genetic να βρίσκουν λύσεις µε καλύτερες αποδόσεις Χρόνος Ολοκλήρωσης σε µεσαίες γραµµές παραγωγής Χρόνος (sec) Genetic Simulated Annealing Gradient Heuristic NP Myopic 0 Ν=13, Bολ=26 Ν=14, Bολ=28 Ν=15, Bολ=30 Ν=16, Bολ=32 Ν=17, Bολ=34 Πειράµατα Ν=18, Bολ=36 Ν=19, Bολ=38 Ν=20, Bολ=40 Σχήµα 5.4 Απεικόνιση Απόδοσης σε µεσαίες γραµµές παραγωγής (1) 106

108 Όσο όµως το πρόβληµα µεγάλωνε ο µυωπικός πέρασε στην 3 η θέση παρουσιάζοντας βελτίωση σε σχέση µε τον Genetic, όπως φαίνεται καλύτερα και στην παρακάτω γραφική παράσταση. 0,640 Βέλτιστη Απόδοση σε µεσαίες γραµµές παραγωγής Popt 0,630 0,620 0,610 0,600 0,590 0,580 0,570 Genetic Simulated Annealing Gradient Heuristic NP Myopic 0,560 Ν=13, Bολ=26 Ν=14, Bολ=28 Ν=15, Bολ=30 Ν=16, Bολ=32 Ν=17, Bολ=34 Πειράµατα Ν=18, Bολ=36 Ν=19, Bολ=38 Ν=20, Bολ=40 Σχήµα 5.5 Απεικόνιση Απόδοσης σε µεσαίες γραµµές παραγωγής (2) Επίσης, παρατηρείται και από τους πίνακες ότι ο µυωπικός αλγόριθµος σχεδόν πάντοτε δίνει καλύτερη λύση από την αρχική αλλά και από τον Gradient και γι αυτό η βελτίωσή του είναι πάντα θετική. Όσον αφορά το σφάλµα ως προς τις µεθόδους Simulated Annealing και Genetic, όπως φαίνεται και στις παρακάτω γραφικές παραστάσεις, ο Heuristic έχει το µικρότερο σφάλµα και ακολουθούν ο µυωπικός και ο Gradient. Αντίθετα, ο NP έχει το µεγαλύτερο σφάλµα από όλους µε µεγάλη διαφορά. 107

109 10 Σφάλµα σε σχέση µε Simulated Annealing Σφάλµα % Gradient Heuristic NP Myopic 0 Ν=13, Bολ=26 Ν=14, Bολ=28 Ν=15, Bολ=30 Ν=16, Bολ=32 Ν=17, Bολ=34 Πειράµατα Ν=18, Bολ=36 Ν=19, Bολ=38 Ν=20, Bολ=40 Σχήµα 5.6 Σφάλµα Απόδοσης σε σχέση µε Simulated Annealing σε µεσαίες γραµµές παραγωγής Στην περίπτωση του Genetic, σε αρκετές περιπτώσεις (όσο µεγαλώνει το πρόβληµα) το σφάλµα των αλγορίθµων Heuristic, Gradient και µυωπικού είναι αρνητικό, που σηµαίνει ότι η απόδοση που έδωσαν οι συγκεκριµένοι αλγόριθµοι είναι καλύτερη από του Genetic. Αυτό φαίνεται ξεκάθαρα στην παρακάτω γραφική παράσταση όπου οι παραστάσεις τους πηγαίνουν κάτω από τον x x άξονα. 10 Σφάλµα σε σχέση µε Genetic 8 Σφάλµα % Gradient Heuristic NP Myopic 0-2 Ν=13,Bολ=26 Ν=14,Bολ=28 Ν=15,Bολ=30 Ν=16,Bολ=32 Ν=17,Bολ=34 Ν=18,Bολ=36 Ν=19,Bολ=38 Ν=20,Bολ=40 Πειράµατα Σχήµα 5.7 Σφάλµα Απόδοσης σε σχέση µε Genetic σε µεσαίες γραµµές παραγωγής 108

110 Τέλος, σχεδόν πάντοτε ο µυωπικός αλγόριθµος βρίσκει τη λύση σε χρόνο µικρότερο του ενός δευτερολέπτου. Στα παρακάτω γραφήµατα, γίνεται φανερό, όπως και στην περίπτωση µε τις µικρές γραµµές παραγωγής, ότι οι ταχύτεροι αλγόριθµοι είναι ο µυωπικός και ο Gradient και ακολουθεί ο ευρετικός. Μάλιστα, ο χρόνος του µυωπικού αυξάνεται όσο µεγαλώνει το πρόβληµα και έχει και πάλι πιο σταθερή πορεία σε σχέση µε τον Gradient Χρόνος Ολοκλήρωσης σε µεσαίες γραµµές παραγωγής Χρόνος (sec) Genetic Simulated Annealing Gradient Heuristic NP Myopic 0 Ν=13, Bολ=26 Ν=14, Bολ=28 Ν=15, Bολ=30 Ν=16, Bολ=32 Ν=17, Bολ=34 Ν=18, Bολ=36 Πειράµατα Ν=19, Bολ=38 Ν=20, Bολ=40 Σχήµα 5.8 Απεικόνιση Χρόνου Ολοκλήρωσης σε µεσαίες γραµµές παραγωγής 7 Χρόνος Ολοκλήρωσης Gradient vs Heuristic vs Myopic 6 Χρόνος (sec) Gradient Heuristic Myopic 0 Ν=13, Bολ=26 Ν=14, Bολ=28 Ν=15, Bολ=30 Ν=16, Bολ=32 Ν=17, Bολ=34 Πειράµατα Ν=18, Bολ=36 Ν=19, Bολ=38 Ν=20, Bολ=40 Σχήµα 5.9 Σύγκριση Χρόνου Ολοκλήρωσης Myopic, Gradient και Heuristic σε µεσαίες γραµµές παραγωγής 109

111 5.2.5 Αποτελέσµατα δοκιµών σε µικρού και µεσαίου µεγέθους γραµµές παραγωγής όπου δεν είναι όλοι οι σταθµοί ταυτόσηµοι Σε αυτή την υποενότητα παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα από τα πειράµατα στις µικρού και µεσαίου µεγέθους γραµµές παραγωγής όπου δεν είναι όλοι οι σταθµοί ταυτόσηµοι. Μετά από κάθε πείραµα σχολιάζονται τα αποτελέσµατα και στο τέλος της υποενότητας παρουσιάζονται τα συγκεντρωτικά σχόλια και τα συµπεράσµατα από αυτά τα πειράµατα. Πίνακας 5.23 Αποτελέσµατα για {Ν=7, B ολ =14 και διαφορετικά χαρακτηριστικά στους σταθµούς εργασίας} Σε αυτή την περίπτωση, όπου δεν είναι όλα τα κέντρα επεξεργασίας µε τον ίδιο αριθµό µηχανών, ο µυωπικός αλγόριθµος αποτυγχάνει να βελτιώσει την αρχική λύση. Συγκεκριµένα, µετά από τη δηµιουργία 8 διανυσµάτων-πιθανών λύσεων τερµάτισε 110

112 πολύ γρήγορα και κατέληξε ότι η αρχική λύση είναι καλύτερη και δεν µπορεί να βελτιωθεί περαιτέρω. Έτσι λοιπόν, το σφάλµα σε σχέση µε τους άλλους αλγορίθµους είναι αρκετά µεγάλο και περίπου της τάξης του 7%. Πίνακας 5.24 Αποτελέσµατα για {Ν=10, B ολ =20 και διαφορετικά χαρακτηριστικά στους σταθµούς εργασίας} Σε αυτή την περίπτωση ο µυωπικός αλγόριθµος κατάφερε και βελτίωσε πολύ λίγο την αρχική λύση (0,009%), αλλά όχι τόσο όσο και οι υπόλοιποι αλγόριθµοι. Βέβαια αξίζει να σηµειωθεί ότι και οι άλλοι αλγόριθµοι κατάφεραν πολύ µικρή βελτίωση και γι αυτό το σφάλµα του µυωπικού στην απόδοση σε σχέση τους άλλους αλγορίθµους δεν ξεπερνάει το 0,29%. Τέλος, ο µυωπικός αλγόριθµος για να καταφέρει έστω και αυτή τη µικρή βελτίωση δηµιούργησε 53 διανύσµατα-πιθανές λύσεις και κάλεσε την εκτιµητική συνάρτηση 37 φορές αφού ορισµένα διανύσµατα είχαν ήδη υπολογισθεί στην προηγούµενη επανάληψη. 111

113 Πίνακας 5.25 Αποτελέσµατα για {Ν=15, B ολ =30 και διαφορετικά χαρακτηριστικά στους σταθµούς εργασίας} Οµοίως µε την προηγούµενη περίπτωση, ο µυωπικός αλγόριθµος κατάφερε και βελτίωσε πολύ λίγο την αρχική λύση (0,005%), αλλά όχι τόσο όσο και οι υπόλοιποι αλγόριθµοι. Όµως και οι άλλοι αλγόριθµοι κατάφεραν πολύ µικρή βελτίωση και γι αυτό το σφάλµα του µυωπικού στην απόδοση σε σχέση τους άλλους αλγορίθµους δεν ξεπερνάει το 0,118%. Επίσης, ο Simulated Annealing αν και πέτυχε τη βέλτιστη λύση έκανε πολύ χρόνο (139s), σε αντίθεση µε τον µυωπικό που έχει πολύ µικρό σφάλµα απόδοσης και µεγάλη βελτίωση στο χρόνο. Ο µυωπικός αλγόριθµος για να καταφέρει έστω και αυτή τη µικρή βελτίωση δηµιούργησε 26 διανύσµατα-πιθανές λύσεις. 112

114 Πίνακας 5.26 Αποτελέσµατα για {Ν=20, Β ολ =40 και διαφορετικά χαρακτηριστικά στους σταθµούς εργασίας} Σε αυτή την περίπτωση και πάλι η βελτίωση του µυωπικού αλγορίθµου από την αρχική λύση είναι πολύ µικρή (0,005%) και το σφάλµα σε σχέση µε τους άλλους αλγορίθµους δεν ξεπερνάει το 0,119%, ενώ αντίθετα παρουσιάζει βελτίωση σε σχέση µε τον NP (6,257%). Ακόµη, και πάλι ο χρόνος τερµατισµού του µυωπικού είναι πολύ καλύτερος από του Simulated Annealing και του Genetic, αλλά παρόµοιο χρόνο έκαναν και οι Gradient και Heuristic. Τέλος, ο µυωπικός αλγόριθµος για να καταλήξει σε αυτή τη λύση υπολόγισε και σύγκρινε άλλα 26 διανύσµατα συνολικά. 113

115 Πίνακας 5.27 Αποτελέσµατα για {Ν=30, Β ολ =60 και διαφορετικά χαρακτηριστικά στους σταθµούς εργασίας} Τέλος, σε αυτή την περίπτωση ο µυωπικός αλγόριθµος καταφέρνει να βελτιώσει την αρχική λύση ελάχιστα (0,0013%), σε αντίθεση µε τους άλλους αλγορίθµους που φτάνουν µέχρι και 10% βελτίωση. Γι αυτό και το σφάλµα του µυωπικού στην απόδοση φτάνει και µέχρι το 9,168% σε σχέση µε τον Gradient+Heuristic. 114

116 5.2.6 Συγκεντρωτικά σχόλια για τα αποτελέσµατα δοκιµών σε µικρού και µεσαίου µεγέθους γραµµές παραγωγής όπου δεν είναι όλοι οι σταθµοί ταυτόσηµοι Τα πειράµατα στις παραπάνω περιπτώσεις, όπου δεν ήταν όλοι οι σταθµοί ταυτόσηµοι, παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον καθώς η αρχική τους λύση παύει να είναι καλή, δηλαδή ισορροπηµένη, όπως στα προηγούµενα πειράµατα. Εποµένως, µε την διεξαγωγή αυτών των πειραµάτων είχαµε τη δυνατότητα να δούµε τη συµπεριφορά των αλγορίθµων και σε τέτοιου είδους καταστάσεις χωρίς ισορροπηµένες αρχικές λύσεις. Όπως και στις προηγούµενες περιπτώσεις, µε τις µεσαίου µεγέθους γραµµές παραγωγής, επειδή δεν είναι δυνατή η διεξαγωγή της απαρίθµησης, η σύγκριση των αποτελεσµάτων έγινε µε τους αλγορίθµους βελτιστοποίησης Simulated Annealing και Genetic, των οποίων τα αποτελέσµατα συλλέχθηκαν από τη διεθνή βιβλιογραφία. Τα συµπεράσµατα που προέκυψαν για τα αποτελέσµατα δοκιµών σε µικρού και µεσαίου µεγέθους γραµµές παραγωγής όπου δεν είναι όλοι οι σταθµοί ταυτόσηµοι (έχουν διαφορετικά r i και S i ) είναι τα εξής: Παρατηρείται ότι όταν τα χαρακτηριστικά των σταθµών επεξεργασίας διαφέρουν, δηλαδή όταν έχουν διαφορετικούς ρυθµούς επεξεργασίας r i και διαφορετικό αριθµό µηχανών S i, τότε η βελτίωση της αρχικής λύσης από τον µυωπικό αλγόριθµο είναι ελάχιστη. Παρατηρείται όµως ότι τις περισσότερες φορές, εκτός από την τελευταία περίπτωση στον Πίνακα 5.27, και οι άλλοι αλγόριθµοι πετύχαιναν µικρή βελτίωση. Γι αυτό το λόγο το σφάλµα του µυωπικού αλγορίθµου στην απόδοση σε σχέση µε τους άλλους αλγορίθµους είναι µικρό. Επίσης, στην τελευταία περίπτωση µε τους 30 σταθµούς εργασίας, ο NP αλγόριθµος δεν κατάφερε να τρέξει και γι αυτό στις γραφικές παραστάσεις το πείραµα του πίνακα 5.27 δεν συµπεριλαµβάνεται. Στην παρακάτω γραφική παράσταση φαίνεται ότι δεν υπήρχαν µεγάλες αποκλίσεις µεταξύ των αλγορίθµων στην εύρεση της βέλτιστης απόδοσης και γι αυτό οι τιµές τους συµπίπτουν. 115

117 0,85 Βέλτιστη Απόδοση σε µικρές και µεσαίες γραµµές παραγωγής όπου όλοι οι σταθµοί εργασίας δεν είναι ταυτόσηµοι Popt 0,8 0,75 0,7 0,65 0,6 0,55 0,5 Genetic Gradient Heuristic Myopic Simulated Annealing NP 0,45 Ν=7, Bολ=14 Ν=10, Bολ=20 Ν=15, Bολ=30 Ν=20, Bολ=40 Πειράµατα Σχήµα 5.10 Απεικόνιση Βέλτιστης Απόδοσης σε µικρές και µεσαίες γραµµές παραγωγής όπου δεν είναι ταυτόσηµοι όλοι οι σταθµοί εργασίας Επίσης, στις παρακάτω γραφικές παραστάσεις φαίνεται ότι επειδή δεν υπήρχαν µεγάλες αποκλίσεις στην εύρεση της βέλτιστης απόδοσης, το σφάλµα του µυωπικού σε σχέση µε τους Simulated Annealing και Genetic είναι µικρό µε εξαίρεση την πρώτη περίπτωση για Ν=7, Β ολ =14. Σφάλµα Απόδοσης σε σχέση µε Simulated Annealing Σφάλµα % Gradient Heuristic NP Myopic 0-1 Ν=7, Bολ=14 Ν=10, Bολ=20 Ν=15, Bολ=30 Ν=20, Bολ=40 Πειράµατα Σχήµα 5.11 Σφάλµα Απόδοσης σε σχέση µε Simulated Annealing σε µικρές και µεσαίες γραµµές παραγωγής όπου δεν είναι ταυτόσηµοι όλοι οι σταθµοί εργασίας 116

118 Στην περίπτωση του Genetic, όπως και στην περίπτωση µε τις µεσαίες γραµµές παραγωγής µε ταυτόσηµους τους σταθµούς εργασίας, σε ορισµένες περιπτώσεις το σφάλµα των αλγορίθµων Heuristic, Gradient και NP είναι αρνητικό, που σηµαίνει ότι η απόδοσή του ήταν χειρότερη από των άλλων αλγορίθµων. 7 Σφάλµα Απόδοσης σε σχέση µε Genetic 6 5 Σφάλµα % Gradient Heuristic NP Myopic Ν=7, Bολ=14 Ν=10, Bολ=20 Ν=15, Bολ=30 Ν=20, Bολ=40 Πειράµατα Σχήµα 5.12 Σφάλµα Απόδοσης σε σχέση µε Genetic σε µικρές και µεσαίες γραµµές παραγωγής όπου δεν είναι ταυτόσηµοι όλοι οι σταθµοί εργασίας Τέλος, ο χρόνος τερµατισµού του µυωπικού αλγορίθµου ήταν µικρότερος του ενός δευτερολέπτου και ανταγωνίσιµος. Όµως και οι άλλοι αλγόριθµοι είχαν µικρό χρόνο, εκτός από τον Simulated Annealing και τον Genetic. 117

119 1000 Χρόνος Ολοκλήρωσης σε µικρές και µεσαίες γραµµές παραγωγής όπου όλοι οι σταθµοί εργασίας δεν είναι ταυτόσηµοι Χρόνος (sec) Genetic Simulated Annealing Gradient Heuristic NP 0 Ν=7, Bολ=14 Ν=10, Bολ=20 Ν=15, Bολ=30 Ν=20, Bολ=40 Πειράµατα Σχήµα 5.13 Απεικόνιση Χρόνου Ολοκλήρωσης σε µικρές και µεσαίες γραµµές παραγωγής όπου δεν είναι ταυτόσηµοι όλοι οι σταθµοί εργασίας Στο παρακάτω σχήµα γίνεται µία σύγκριση µεταξύ των δύο ταχύτερων αλγορίθµων που, όπως και στις περιπτώσεις µε τις µικρές και τις µεσαίες γραµµές παραγωγής µε ταυτόσηµους σταθµούς εργασίας, είναι ο µυωπικός αλγόριθµος και ο Gradient. Και πάλι παρατηρούµε ότι χρόνος του µυωπικού αυξάνεται πιο σταθερά από του Gradient όσο µεγαλώνει το πρόβληµα. 118

120 0,35 Χρόνος Ολοκλήρωσης Myopic vs Gradient 0,3 Χρόνος (sec) 0,25 0,2 0,15 0,1 Gradient Myopic 0,05 0 Ν=7, Bολ=14 Ν=10, Bολ=20 Ν=15, Bολ=30 Ν=20, Bολ=40 Πειράµατα Σχήµα 5.14 Σύγκριση Χρόνου Ολοκλήρωσης Myopic και Gradient σε µικρές και µεσαίες γραµµές παραγωγής όπου δεν είναι ταυτόσηµοι όλοι οι σταθµοί εργασίας Αποτελέσµατα δοκιµών σε µεγάλου µεγέθους γραµµές παραγωγής όπου σε ορισµένες περιπτώσεις δεν είναι οι σταθµοί ταυτόσηµοι Σε αυτή την υποενότητα παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα από τα πειράµατα σε µεγάλου µεγέθους γραµµές παραγωγής, όπου σε ορισµένες περιπτώσεις δεν είναι όλοι οι σταθµοί ταυτόσηµοι. Μετά από κάθε πείραµα σχολιάζονται τα αποτελέσµατα και στο τέλος της υποενότητας παρουσιάζονται τα συγκεντρωτικά σχόλια και τα συµπεράσµατα από αυτά τα πειράµατα. 119

121 Πίνακας 5.28 Αποτελέσµατα για {Ν=50, Βολ=98, ri=1, όπου i=1,2,,50, Si=1, όπου i=1,2,,25 και Si =2, όπου i=26,27,,50} Σε αυτή την περίπτωση, όπου οι γραµµές παραγωγής είναι µεγάλες και δεν είναι ταυτόσηµοι οι σταθµοί στα κέντρα εργασίας, ο µυωπικός αλγόριθµος δεν κατάφερε να βελτιώσει την αρχική λύση και σε αντίθεση µε τους άλλους αλγορίθµους παρουσιάζει µεγάλο σφάλµα στην απόδοση της τάξης του 7,2% σε σχέση µε τους Simulated Annealing και Gradient+Heuristic. 120

122 Πίνακας 5.29 Αποτελέσµατα για {Ν=50, Β ολ =98, r i =1, όπου i=1,2,,50, S i =2, όπου i=1,2,,25 και S i =1, όπου i=26,27,,50} Οµοίως µε την προηγούµενη περίπτωση, ο µυωπικός αλγόριθµος δεν κατάφερε να βελτιώσει την αρχική λύση και σε αντίθεση µε τους άλλους αλγορίθµους παρουσιάζει µεγάλο σφάλµα στην απόδοση έως και 7,22% σε σχέση µε τον Simulated Annealing και τον Gradient+Heuristic. 121

123 Πίνακας 5.30 Αποτελέσµατα για {Ν=50, Β ολ =98, r i =1, όπου i=1,2,,50 και S i =2, όπου i=1,2,,50} Στην περίπτωση αυτή όµως όπου δεν διαφέρουν τα χαρακτηριστικά των σταθµών εργασίας και η αρχική λύση είναι ισορροπηµένη, ο µυωπικός αλγόριθµος παρουσιάζει ελαφρά βελτίωση στην απόδοση της τάξης του 0,172% σε σχέση µε την αρχική λύση και 0,01% σε σχέση µε τον Gradient. Ακόµη, το σφάλµα στην απόδοση σε σχέση µε τους Simulated Annealing και Heuristic είναι µικρό 0,162%, ενώ ως προς τον χρόνο ο µυωπικός αλγόριθµος παρουσιάζει σηµαντική βελτίωση 97,754% σε σχέση µε τον Simulated Annealing. Εποµένως, παρατηρείται ότι σε αυτή την περίπτωση τα αποτελέσµατα του µυωπικού αλγορίθµου είναι αρκετά καλά σε σύγκριση µε τους άλλους αλγορίθµους γιατί υπερτερεί στον χρόνο. 122

124 Πίνακας 5.31 Αποτελέσµατα για {Ν=50, Β ολ =100, r i =1, όπου i=1,2,,50 και S i =2, όπου i=1,2,,50} Σε αυτή την περίπτωση που και πάλι δεν διαφέρουν τα χαρακτηριστικά των σταθµών εργασίας και η αρχική λύση είναι ισορροπηµένη, ο µυωπικός αλγόριθµος βελτιώνει την αρχική λύση κατά 0,082% και οµοίως σε σχέση µε τον Gradient. Ακόµη, το σφάλµα σε σχέση µε τους Simulated Annealing και Heuristic παραµένει µικρό (0,279% και 0,244% αντίστοιχα). Όσον αφορά όµως τον χρόνο που χρειάστηκαν οι αλγόριθµοι για να καταλήξουν στη βέλτιστη λύση ο µυωπικός είναι σηµαντικά πιο γρήγορος (81,12 secs). Εποµένως, και πάλι παρατηρείται ότι τα αποτελέσµατα του µυωπικού αλγορίθµου είναι αρκετά καλά σε σύγκριση µε τους άλλους αλγορίθµους γιατί έχει προτέρηµα στο χρόνο εκτέλεσης. Τέλος, ο µυωπικός αλγόριθµος για να βρει τη λύση δηµιούργησε 376 διανύσµατα-πιθανές λύσεις ενώ κάλεσε την εκτιµητική συνάρτηση µόνο 234, φορές αφού ορισµένα διανύσµατα είχαν ήδη υπολογισθεί στην προηγούµενη επανάληψη, κερδίζοντας έτσι σηµαντικό χρόνο εκτέλεσης. 123

125 Πίνακας 5.32 Αποτελέσµατα για {Ν=60, Β ολ =118, r i =1, όπου i=1,2,,60, S i =1, όπου i=1,2,,30 και S i =2, όπου i=31,27,,60} Σε αυτή την περίπτωση, όπως και τους πίνακες 5.28 και 5.29, όπου το πρόβληµα είναι µεγάλο και διαφέρουν τα χαρακτηριστικά των σταθµών εργασίας, ο µυωπικός αλγόριθµος δεν κατάφερε να βελτιώσει την αρχική λύση και γι αυτό παρουσιάζει σφάλµα έως και 7% σε σχέση µε όλους τους άλλους αλγορίθµους. Αξίζει να σηµειωθεί ότι ο Simulated Annealing κατάφερε να βελτιώσει αρκετά την αρχική λύση (7,73%), ενώ µόνο ο Heuristic βελτίωσε ελάχιστα την αρχική λύση και γι αυτό το σφάλµα ως προς αυτόν είναι µικρό 0,40%. Τέλος, ο µυωπικός αλγόριθµος δηµιούργησε και υπολόγισε 841 διανύσµατα-πιθανές λύσεις αλλά προφανώς κανένα δεν βελτίωσε την απόδοση και τα απέρριψε όλα. 124

126 Πίνακας 5.33 Αποτελέσµατα για {Ν=60, Β ολ =118, r i =1, όπου i=1,2,,60, S i =2, όπου i=1,2,,30 και S i =1, όπου i=31,27,,60} Όµοια µε προηγουµένως το πρόβληµα είναι µεγάλο και διαφέρουν τα χαρακτηριστικά των σταθµών εργασίας, γι αυτό ο µυωπικός αλγόριθµος δεν κατάφερε να βελτιώσει την αρχική λύση και παρουσιάζει σφάλµα σε σχέση µε όλους τους άλλους αλγορίθµους έως και 7%. Μόνο ο Heuristic και πάλι βελτίωσε ελάχιστα την αρχική λύση (0,76%) και γι αυτό το σφάλµα ως προς αυτόν είναι µικρό. Τέλος, ο µυωπικός αλγόριθµος και πάλι δηµιούργησε και υπολόγισε 841 διανύσµατα-πιθανές λύσεις αλλά προφανώς κανένα δεν βελτίωσε την απόδοση και τα απέρριψε. 125

127 Πίνακας 5.34 Αποτελέσµατα για {Ν=60, Β ολ =118, r i =1, όπου i=1,2,,60 και S i =2, όπου i=1,2,,60} Στην περίπτωση αυτή όπου δεν διαφέρουν τα χαρακτηριστικά των σταθµών εργασίας και η αρχική λύση είναι ισορροπηµένη, όπως και στον πίνακα 5.30, ο µυωπικός αλγόριθµος παρουσιάζει ελαφρά βελτίωση στην απόδοση της τάξης του 0,139% σε σχέση µε την αρχική λύση και 0,004% σε σχέση µε τον Gradient. Το σφάλµα στην απόδοση σε σχέση µε τους Simulated Annealing και Heuristic είναι µικρό 0,14%, ενώ ως προς τον χρόνο ο µυωπικός αλγόριθµος παρουσιάζει σηµαντική βελτίωση 97,429% σε σχέση µε τον Simulated Annealing. Εποµένως, όπως και προηγουµένως στα ισορροπηµένα προβλήµατα παρατηρείται ότι τα αποτελέσµατα του µυωπικού αλγορίθµου είναι αρκετά καλά σε σύγκριση µε τους άλλους αλγορίθµους γιατί υπερτερεί στον χρόνο. 126

128 Πίνακας 5.35 Αποτελέσµατα για {Ν=60, Β ολ =122, r i = 1, όπου i=1,2,,60 και S i =2, όπου i=1,2,,60} Οµοίως µε προηγουµένως και µε τον πίνακα 5.31, όπου δεν διαφέρουν τα χαρακτηριστικά των σταθµών εργασίας και η αρχική λύση είναι ισορροπηµένη, ο µυωπικός αλγόριθµος βελτιώνει την απόδοση κατά 0,293% σε σχέση µε την αρχική λύση και τον gradient. Το σφάλµα στην απόδοση σε σχέση µε τους Simulated Annealing και Heuristic είναι µικρό (0,216% και 0,102% αντίστοιχα), ενώ ως προς τον χρόνο ο µυωπικός αλγόριθµος παρουσιάζει σηµαντική βελτίωση της τάξης του 97,543% σε σχέση µε τον Simulated Annealing. Εποµένως, όπως και προηγουµένως στα ισορροπηµένα προβλήµατα, παρατηρείται ότι τα αποτελέσµατα του µυωπικού αλγορίθµου είναι αρκετά καλά σε σύγκριση µε τους άλλους αλγορίθµους γιατί υπερτερεί στον χρόνο. Τέλος, ο µυωπικός αλγόριθµος για να βρει τη λύση, ενώ δηµιούργησε 2200 διανύσµατα-πιθανές λύσεις κάλεσε την εκτιµητική συνάρτηση µόνο 1686 φορές, γιατί αρκετά διανύσµατα είχαν ήδη υπολογισθεί στην προηγούµενη επανάληψη. 127

129 Πίνακας 5.36 Αποτελέσµατα για {Ν=70, Β ολ =138, r i =1, όπου i=1,2,,70, S i =2, όπου i=1,2,,35 και S i =1, όπου i=36,37,,70} Επειδή το πρόβληµα είναι µεγάλο και διαφέρουν τα χαρακτηριστικά των σταθµών εργασίας, όπως και στις προηγούµενες παρόµοιες περιπτώσεις, ο µυωπικός αλγόριθµος δεν κατάφερε να βελτιώσει την αρχική λύση και γι αυτό παρουσιάζει σφάλµα σε σχέση µε όλους τους άλλους αλγορίθµους έως και 7,138%. Μόνο ο Heuristic βελτίωσε ελάχιστα την αρχική λύση και γι αυτό το σφάλµα ως προς αυτόν είναι µικρό 0,342%. Ο µυωπικός αλγόριθµος σε αυτή την περίπτωση δηµιούργησε και υπολόγισε 1156 διανύσµατα-πιθανές λύσεις, αλλά προφανώς κανένα δεν βελτίωσε την απόδοση και γι αυτό τα απέρριψε. 128

130 Πίνακας 5.37 Αποτελέσµατα για {Ν=70, Β ολ =138, r i =1, όπου i=1,2,,70 και S i =2, όπου i=1,2,,70} Επειδή δεν διαφέρουν τα χαρακτηριστικά των σταθµών εργασίας και η αρχική λύση είναι ισορροπηµένη, οµοίως µε τις προηγούµενες παρόµοιες περιπτώσεις, ο µυωπικός αλγόριθµος παρουσιάζει βελτίωση στην απόδοση της τάξης του 0,114% σε σχέση µε την αρχική λύση και 0,002% σε σχέση µε τον Gradient. Το σφάλµα στην απόδοση σε σχέση µε τους Simulated Annealing και Heuristic είναι µικρό (0,13% και 0,122% αντίστοιχα), ενώ ως προς τον χρόνο ο µυωπικός αλγόριθµος παρουσιάζει σηµαντική βελτίωση της τάξης του 96,432% σε σχέση µε τον Simulated Annealing. Εποµένως, όπως και προηγουµένως στα ισορροπηµένα προβλήµατα παρατηρείται ότι τα αποτελέσµατα του µυωπικού αλγορίθµου είναι αρκετά καλά σε σύγκριση µε τους άλλους αλγορίθµους γιατί το σφάλµα στην απόδοση είναι µικρό και υπερτερεί στον χρόνο. Τέλος, ο µυωπικός αλγόριθµος για να βρει τη λύση δηµιούργησε 4762 διανύσµατα-πιθανές λύσεις και κάλεσε την εκτιµητική συνάρτηση 4761 φορές επειδή ένα διάνυσµα είχε ήδη υπολογισθεί στην προηγούµενη επανάληψη, κερδίζοντας έτσι και πάλι χρόνο. 129

131 Πίνακας 5.38 Αποτελέσµατα για {Ν=80, Β ολ =158, r i =1, όπου i=1,2,,80, S i =1, όπου i=1,2,,40 και S i =2, όπου i=41,42,,80} Όπως και στις προηγούµενες περιπτώσεις όπου το πρόβληµα είναι µεγάλο και διαφέρουν τα χαρακτηριστικά των σταθµών εργασίας, ο µυωπικός αλγόριθµος δεν κατάφερε να βελτιώσει την αρχική λύση και γι αυτό παρουσιάζει σφάλµα σε σχέση µε όλους τους άλλους αλγορίθµους. Βέβαια παρατηρείται ότι µόνο ο Simulated Annealing βελτίωσε πολύ την αρχική λύση 7,64%, ενώ οι άλλοι µέχρι 1,38%, αλλά χρειάστηκε πάρα πολύ χρόνο για να βρει τη λύση. Ο µυωπικός αλγόριθµος σε αυτή την περίπτωση δηµιούργησε και υπολόγισε 1521 διανύσµατα-πιθανές λύσεις αλλά προφανώς κανένα δεν βελτίωσε την απόδοση και γι αυτό τα απέρριψε όλα. 130

132 Πίνακας 5.39 Αποτελέσµατα για {Ν=80, Β ολ =158, r i =1, όπου i=1,2,,80 και S i =2, όπου i=1,2,,80} Όπως συνέβη και στις προηγούµενες παρόµοιες περιπτώσεις όπου δεν διαφέρουν τα χαρακτηριστικά των σταθµών εργασίας και η αρχική λύση είναι ισορροπηµένη, ο µυωπικός αλγόριθµος παρουσιάζει βελτίωση στην απόδοση της τάξης του 0,096% σε σχέση µε την αρχική λύση και 0,0007% σε σχέση µε τον Gradient. Το σφάλµα στην απόδοση σε σχέση µε τους Simulated Annealing και Heuristic είναι µικρό (0,118% και 0,113% αντίστοιχα), ενώ ως προς τον χρόνο ο µυωπικός αλγόριθµος παρουσιάζει σηµαντική βελτίωση της τάξης του 94,984% σε σχέση µε τον Simulated Annealing. Εποµένως, και πάλι στα προβλήµατα µε ισορροπηµένη αρχική λύση παρατηρείται ότι τα αποτελέσµατα του µυωπικού αλγορίθµου είναι αρκετά καλά σε σύγκριση µε τους άλλους αλγορίθµους, γιατί το σφάλµα στην απόδοση είναι µικρό και υπερτερεί στον χρόνο. Τέλος, ο µυωπικός αλγόριθµος για να βρει τη λύση δηµιούργησε 6242 διανύσµατα-πιθανές λύσεις και κάλεσε την εκτιµητική συνάρτηση 6241 φορές επειδή ένα διάνυσµα είχε ήδη υπολογισθεί στην προηγούµενη επανάληψη. 131

133 Πίνακας 5.40 Αποτελέσµατα για {Ν=100, Β ολ =110, r i = 1, όπου i=1,2,,100 και S i =1, όπου i=1,2,,100} Εδώ οµοίως µε τις προηγούµενες περιπτώσεις όπου δεν διαφέρουν τα χαρακτηριστικά των σταθµών εργασίας και η αρχική λύση είναι ισορροπηµένη, παρατηρείται ότι ο µυωπικός αλγόριθµος βελτίωσε την αρχική λύση και µάλιστα βρήκε την καλύτερη λύση από όλους τους άλλους αλγορίθµου, αλλά χρειάστηκε πολύ περισσότερο χρόνο (υπολόγισε διανύσµατα). Εποµένως, αν και παρατηρείται βελτίωση στην αρχική λύση 2,031%, το σφάλµα χρόνου είναι πολύ µεγάλο και φτάνει έως και 500% σε σχέση µε τον Heuristic ο οποίος βρήκε τη 2 η καλύτερη λύση µε βελτίωση ως προς την αρχική κατά 0,932%. 132

134 Πίνακας 5.41 Αποτελέσµατα για {Ν=200, Βολ=210, ri= 1, όπου i=1,2,,200 και Si=1, όπου i=1,2,,200} Οµοίως µε τις παρόµοιες προηγούµενες περιπτώσεις όπου δεν διαφέρουν τα χαρακτηριστικά των σταθµών εργασίας και η αρχική λύση είναι ισορροπηµένη, ο µυωπικός αλγόριθµος βελτίωσε την αρχική λύση και µάλιστα βρήκε την καλύτερη λύση σε σύγκριση µε τους άλλους αλγορίθµους (όπως και στον πίνακα 5.40), αλλά χρειάστηκε πολύ περισσότερο χρόνο γιατί µέχρι να καταλήξει στην τελική λύση υπολόγισε διανύσµατα. Εποµένως, αν και παρατηρείται βελτίωση στην αρχική λύση 0,957% το σφάλµα χρόνου είναι πάρα πολύ µεγάλο. 133

135 5.2.8 Συγκεντρωτικά σχόλια για τα αποτελέσµατα δοκιµών σε µεγάλου µεγέθους γραµµές παραγωγής όπου σε ορισµένες περιπτώσεις δεν είναι όλοι οι σταθµοί ταυτόσηµοι Τα συµπεράσµατα που προέκυψαν από τα αποτελέσµατα των δοκιµών σε µεγάλου µεγέθους γραµµές παραγωγής, όπου µάλιστα σε ορισµένες περιπτώσεις δεν είναι όλοι οι σταθµοί ταυτόσηµοι, είναι ιδιαίτερα σηµαντικά γιατί δοκιµάζεται η συµπεριφορά των αλγορίθµων σε µεγάλα µεγέθη γραµµών παραγωγής. Μάλιστα, ιδιαίτερη σηµασία έχει η εύρεση της χρυσής τοµής µεταξύ της απόδοσης και του χρόνου ολοκλήρωσης των αλγορίθµων διότι µερικοί αλγόριθµοι, αν και δίνουν καλύτερα αποτελέσµατα, χρειάζονται ολόκληρες µέρες για να τερµατίσουν. Όπως στην προηγούµενη περίπτωση, λόγω του µεγέθους των προβληµάτων, η σύγκριση των αποτελεσµάτων έγινε κυρίως µε τους αλγορίθµους βελτιστοποίησης Simulated Annealing και Genetic, των οποίων τα αποτελέσµατα συλλέχθηκαν από τη διεθνή βιβλιογραφία. Πιο συγκεκριµένα, για τις γραµµές από 50 έως 80 σταθµούς εργασίας η σύγκριση έγινε µε τα αποτελέσµατα του Simulated Annealing, ενώ για τις µεγαλύτερες γραµµές (100 και 200 σταθµοί εργασίας) µε του Genetic. Έτσι λοιπόν, τα συµπεράσµατα που προέκυψαν είναι τα εξής: Όταν δεν διαφέρουν τα χαρακτηριστικά των σταθµών εργασίας και η αρχική λύση είναι ισορροπηµένη, τότε ο µυωπικός αλγόριθµος βελτιώνει την αρχική λύση. Μάλιστα, παρατηρείται ότι παρουσιάζει βελτίωση σε σχέση µε τη λύση του Gradient και το σφάλµα ως προς τους άλλους αλγορίθµους είναι σχετικά µικρό. Παράλληλα, ο χρόνος εκτέλεσης του µυωπικού αλγορίθµου είναι πολύ καλός σε σχέση µε όλους τους αλγορίθµους. Εποµένως, στα προβλήµατα µε µεγάλες και ισορροπηµένες γραµµές παραγωγής όπου δεν διαφέρουν τα χαρακτηριστικά των σταθµών επεξεργασίας, παρατηρείται ότι τα αποτελέσµατα του µυωπικού αλγορίθµου είναι αρκετά καλά σε σύγκριση µε τους άλλους αλγορίθµους γιατί το σφάλµα στην απόδοση είναι µικρό ενώ παράλληλα υπερτερεί στον χρόνο. Επίσης παρατηρείται ότι όσο το 134

136 πρόβληµα µεγαλώνει τόσο η βελτίωση της απόδοσης, κυρίως σε σχέση µε τον Gradient µικραίνει και η βελτίωση του χρόνου ελαττώνεται ελάχιστα. Στο παρακάτω σχήµα απεικονίζονται συγκεντρωµένα όλα τα αποτελέσµατα από τα πειράµατα για µεγάλες γραµµές παραγωγής. Ειδικότερα, ο λόγος που η γραφική παράσταση όλων των αλγορίθµων έχει αυτή τη µορφή είναι επειδή τα πειράµατα που αντιστοιχούν σε µικρή απόδοση γίνανε µε σταθµούς εργασίας οι οποίοι δεν ήταν ταυτόσηµοι, ενώ τα πειράµατα που έχουν υψηλότερη απόδοση είναι µε όλους τους σταθµούς εργασίας ταυτόσηµους. Βέλτιστη Απόδοση σε µεγάλες γραµµές παραγωγής 1,35 1,25 Popt 1,15 1,05 0,95 0,85 0,75 0,65 Simulated annealing Gradient Heuristic Myopic Ν=50, Bολ=98 (5.28) Ν=50, Bολ=98 (5.29) Ν=50, Bολ=98 (5.30) Ν=50, Bολ=100 Ν=60, Bολ=118 (5.32) Ν=60, Bολ=118 (5.33) Ν=60, Bολ=118 (5.34) Πειράµατα Ν=60, Bολ=122 Ν=70, Bολ=138 (5.36) Ν=80, Bολ=158 (5.39) Ν=70, Bολ=138 (5.37) Ν=80, Bολ=158 (5.38) Σχήµα 5.15 Απεικόνιση Βέλτιστης Απόδοσης σε µεγάλες γραµµές παραγωγής µε ταυτόσηµους και µη σταθµούς εργασίας Στις παρακάτω γραφικές παραστάσεις απεικονίζεται η βέλτιστη απόδοση των αλγορίθµων και το σφάλµα τους σε σχέση µε τον Simulated Annealing µόνο στις περιπτώσεις που οι γραµµές παραγωγής έχουν ταυτόσηµους σταθµούς εργασίας. Όπως προαναφέρθηκε, ο µυωπικός αλγόριθµος συµπεριφέρεται όπως και οι υπόλοιποι αλγόριθµοι, οι αποκλίσεις στις τιµές της βέλτιστης απόδοσης είναι πολύ µικρές και το σφάλµα απόδοσης είναι κάτω από 0,5%. 135

137 1,35 Βέλτιστη απόδοση όταν δεν διαφέρουν τα χαρακστηριστικά των σταθµών εργασίας 1,345 Popt 1,34 1,335 Simulated annealing Gradient Heuristic Myopic 1,33 Ν=50, Bολ=98 (5.30) Ν=50, Bολ=100 Ν=60, Bολ=118 (5.34) Πειράµατα Ν=60, Bολ=122 Ν=70, Bολ=138 (5.37) Ν=80, Bολ=158 (5.39) Σχήµα 5.16 Απεικόνιση Βέλτιστης Απόδοσης σε µεγάλες γραµµές παραγωγής µε ταυτόσηµους σταθµούς εργασίας 0,6 Σφάλµα Απόδοσης µε Simulated Annealing (ταυτόσηµοι σταθµοί εργασίας) 0,5 0,4 Σφάλµα % 0,3 0,2 0,1 Gradient Heuristic Myopic 0-0,1 Ν=50, Bολ=98 (5.30) Ν=50, Bολ=100 Ν=60, Bολ=118 (5.34) Πειράµατα Ν=60, Bολ=122 Ν=70, Bολ=138 (5.37) Ν=80, Bολ=158 (5.39) Σχήµα 5.17 Απεικόνιση Σφάλµατος Απόδοσης σε σχέση µε Simulated Annealing σε µεγάλες γραµµές παραγωγής και µε ταυτόσηµους σταθµούς εργασίας 136

138 Επίσης, όσον αφορά το χρόνο τερµατισµού του µυωπικού αλγορίθµου στις περιπτώσεις που οι γραµµές παραγωγής έχουν ταυτόσηµους σταθµούς εργασίας, όπως φαίνεται και στο παρακάτω διάγραµµα, είναι αρκετά καλύτερος από του Simulated Annealing ο οποίος δίνει λίγο καλύτερη λύση. Σε αυτά τα πειράµατα ο Gradient είναι αυτός που τερµάτισε σε καλύτερο-µικρότερο χρόνο του οποίου το σφάλµα σε σχέση µε τον Simulated Annealing είναι µικρό και ο µυωπικός παρουσιάζει µία µικρή βελτίωση στην απόδοση έναντι αυτού έως και 0,3%. Χρόνος Ολοκλήρωσης όταν όλοι οι σταθµοί είναι ταυτόσηµοι Χρόνος (sec) Simulated annealing Gradient Heuristic Myopic Ν=50, Bολ=98 (5.30) Ν=50, Bολ=100 Ν=60, Bολ=118 (5.34) Ν=60, Bολ=122 Πειράµατα Ν=70, Bολ=138 (5.37) Ν=80, Bολ=158 (5.39) Σχήµα 5.18 Απεικόνιση Χρόνου Ολοκλήρωσης σε µεγάλες γραµµές παραγωγής όταν όλοι οι σταθµοί είναι ταυτόσηµοι Στις περιπτώσεις όµως των µεγάλων γραµµών παραγωγής όπου διαφέρουν τα χαρακτηριστικά των σταθµών εργασίας και η αρχική λύση δεν είναι ισορροπηµένη, ο µυωπικός αλγόριθµος συνήθως δεν παρουσιάζει καµία βελτίωση στην αρχική λύση και το σφάλµα ως προς την απόδοση σε σχέση µε τους άλλους αλγορίθµους φτάνει µέχρι και 7%. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι ο προτεινόµενος αλγόριθµος αυξοµειώνει τα στοιχεία του διανύσµατος µόνο κατά µία µονάδα τη φορά και επειδή στον πρώτο γύρο υπολογισµών δεν βρίσκει κανένα καλύτερο αποτέλεσµα, όπως ήταν αναµενόµενο σύµφωνα µε τη συµπεριφορά των µυωπικών αλγορίθµων, δεν 137

139 µπορεί να γυρίσει πίσω να κάνει και άλλες δοκιµές, παγιδεύεται και σταµατάει. Πιο συγκεκριµένα, από τις λύσεις των άλλων αλγορίθµων παρατηρείται ότι στις λύσεις που προτείνουν ως βέλτιστες έχουν κατανεµηθεί αποθηκευτικοί χώροι ανάµεσα στα κέντρα εργασίας µε χώρο B i >3. ηλαδή, οι ενδιάµεσοι αποθηκευτικοί χώροι έχουν διαφορά από την αρχική λύση της Liba µεγαλύτερη της µονάδας, B i > 1, πράγµα που δεν µπορεί να καταφέρει ο προτεινόµενος µυωπικός αλγόριθµος. Στις παρακάτω γραφικές παραστάσεις φαίνεται ότι ο µυωπικός αλγόριθµος σε αυτές τις περιπτώσεις δεν δίνει καλά αποτελέσµατα και γι αυτό και το σφάλµα απόδοσης σε σχέση µε τον Simulated Annealing, ο οποίος δίνει τα καλύτερα αποτελέσµατα, είναι αρκετά µεγάλο (φτάνει το 7%). Αξίζει να σηµειωθεί ότι η συµπεριφορά του µοιάζει πολύ µε του Heuristic. 0,73 Βέλτιστη Απόδοση µε σταθµούς µε διαφορετικά χαρακτηριστικά 0,72 Popt 0,71 0,70 0,69 0,68 Simulated annealing Gradient Heuristic Myopic 0,67 0,66 Ν=50, Bολ=98 (5.28) Ν=50, Bολ=98 (5.29) Ν=60, Bολ=118 (5.32) Ν=60, Bολ=118 (5.33) Πειράµατα Ν=70, Bολ=138 (5.36) Ν=80, Bολ=158 (5.38) Σχήµα 5.19 Απεικόνιση Βέλτιστης Απόδοσης σε µεγάλες γραµµές παραγωγής µε σταθµούς εργασίας µε διαφορετικά χαρακτηριστικά 138

140 8 Σφάλµα Απόδοσης µε Simulated Annealing µε σταθµούς µε διαφορετικά χαρακτηριστικά 7 Σφάλµα % Gradient Heuristic Myopic 0 Ν=50, Bολ=98 (5.28) Ν=50, Bολ=98 (5.29) Ν=60, Bολ=118 (5.32) Ν=60, Bολ=118 (5.33) Ν=70, Bολ=138 (5.36) Ν=80, Bολ=158 (5.38) Πειράµατα Σχήµα 5.20 Απεικόνιση Σφάλµατος Απόδοσης σε σχέση µε Simulated Annealing σε µεγάλες γραµµές παραγωγής και µε σταθµούς εργασίας µε διαφορετικά χαρακτηριστικά Ακόµη, όσον αφορά το χρόνο τερµατισµού του µυωπικού αλγορίθµου στα πειράµατα µε µεγάλες γραµµές παραγωγής όταν οι σταθµοί εργασίας δεν είναι ταυτόσηµοι, είναι πολύ µικρός. Ο λόγος που συµβαίνει αυτό είναι επειδή πολύ νωρίς ο µυωπικός αλγόριθµος παγιδεύεται σε µία λύση την οποία δεν µπορεί να βελτιώσει περαιτέρω, αλλά ούτε και να γυρίσει σε µία παλιότερη λύση που είχε απορρίψει µπορεί. Γι αυτό τερµατίζει πρόωρα χωρίς να έχει κάνει σηµαντική βελτίωση στην απόδοση. 139

141 30000 Χρόνος Ολοκλήρωσης όταν οι σταθµοί εργασίας δεν είναι ταυτόσηµοι Χρόνος (sec) Simulated annealing Gradient Heuristic Myopic Ν=50, Bολ=98 (5.28) Ν=50, Bολ=98 (5.29) Ν=60, Bολ=118 (5.32) Πειράµατα Ν=60, Bολ=118 (5.33) Ν=70, Bολ=138 (5.36) Ν=80, Bολ=158 (5.38) Σχήµα 5.21 Απεικόνιση Χρόνου Ολοκλήρωσης σε µεγάλες γραµµές παραγωγής όταν οι σταθµοί εργασίας δεν είναι ταυτόσηµοι Αξίζει να τονισθεί ότι αυτή η συµπεριφορά του µυωπικού αλγορίθµου είναι χαρακτηριστική γιατί, όπως περιγράφηκε και στην Ενότητα 4, η βασική ιδέα των µυωπικών αλγορίθµων είναι ότι οτιδήποτε τους φαίνεται ότι είναι καλύτερο ως λύση την επιλέγουν γιατί υποθέτουν ότι είναι και συνολικά η καλύτερη λύση για το πρόβληµα και δεν κοιτάνε ποτέ πίσω τους. Έτσι όµως, υπάρχει ο κίνδυνος να παγιδευτούν σε µία λύση η οποία δεν είναι καλή, όπως συνέβη και στα συγκεκριµένα πειράµατα. Τέλος παρατηρείται ότι στους πίνακες 5.40 και 5.41 που τα προβλήµατα αφορούν πολύ µεγάλες και ισορροπηµένες γραµµές παραγωγής (Ν=100 και 200 αντίστοιχα), ο µυωπικός αλγόριθµος βρήκε την καλύτερη λύση µε βελτίωση στην απόδοση σε σχέση µε την αρχική λύση κατά 2,031% και αρνητικό σφάλµα απόδοσης σε σχέση µε τον Genetic που σηµαίνει ότι έχει καλύτερη απόδοση σε σύγκριση µε αυτόν. Ο χρόνος όµως τερµατισµού του αλγορίθµου είναι πολύ µεγαλύτερος σε σύγκριση µε τους υπόλοιπους. Αυτή η συµπεριφορά του µυωπικού αλγορίθµου ήταν αναµενόµενη αφού και στις προηγούµενες περιπτώσεις που µελετήθηκαν στα πειράµατα σε µεγάλες γραµµές παραγωγής και µε ταυτόσηµους σταθµούς εργασίας, η απόδοση του 140

142 µυωπικού αλγορίθµου σε σύγκριση µε τους άλλους ήταν πολύ καλή και το σφάλµα του πολύ µικρό (κάτω από 0,3%). Έτσι λοιπόν, τώρα η απόδοση του έχει γίνει βέλτιστη και εποµένως το σφάλµα του αρνητικό. 0,52 Βέλτιστη Απόδοση σε πολύ µεγάλες γραµµές παραγωγής 0,51 0,5 Popt 0,49 0,48 Genetic Gradient Heuristic Myopic 0,47 0,46 0,45 Ν=100, Bολ=110 Πειράµατα Ν=200, Bολ=210 Σχήµα 5.22 Απεικόνιση Βέλτιστης Απόδοσης σε πολύ µεγάλες γραµµές παραγωγής Σφάλµα Απόδοσης σε σχέση µε Genetic 0-2 Ν=100, Bολ=110 Ν=200, Bολ=210-4 Σφάλµα % -6-8 Gradient Heuristic Myopic Πειράµατα Σχήµα 5.23 Απεικόνιση Απόδοσης σε σχέση µε Genetic σε πολύ µεγάλες γραµµές παραγωγής 141

143 Το µόνο µειονέκτηµα είναι η µεγάλη αύξηση στο χρόνο τερµατισµού του αλγορίθµου, αφού όπως φαίνεται και στην παρακάτω γραφική παράσταση ο µυωπικός είναι ο µόνος του οποίου ο χρόνος αυξάνεται σχεδόν κατακόρυφα. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι για κάθε ένα νέο διάνυσµα ο αλγόριθµος εξετάζει όλους τους πιθανούς συνδυασµούς που θα µπορούσαν να γίνουν µεταξύ των στοιχείων του και υπολογίζει κάθε φορά την απόδοση των νέων διανυσµάτων που δηµιουργούνται. Όπως είναι κατανοητό, όσο αυξάνεται το µέγεθος του διανύσµατος αυξάνονται εκθετικά και οι πιθανοί συνδυασµοί µεταξύ των στοιχείων του για τη δηµιουργία νέων διανυσµάτων Χρόνος Ολοκλήρωσης σε πολύ µεγάλες γραµµές παραγωγής Χρόνος (sec) Genetic Gradient Heuristic Myopic Ν=100, Bολ=110 Πειράµατα Ν=200, Bολ=210 Σχήµα 5.24 Απεικόνιση Χρόνου Ολοκλήρωσης σε πολύ µεγάλες γραµµές παραγωγής Αποτελέσµατα δοκιµών µε διάφορες αρχικές λύσεις που δηµιουργήθηκαν µε τυχαιότητα και ανεξάρτητα από το αν οι σταθµοί εργασίας είναι ταυτόσηµοι Σε αυτή την ενότητα παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα των δοκιµών που έγιναν µε διάφορες αρχικές λύσεις, οι οποίες δηµιουργήθηκαν µε τυχαιότητα και ανεξάρτητα από το αν οι σταθµοί εργασίας είναι ταυτόσηµοι. Πιο συγκεκριµένα, επειδή ο µυωπικός αλγόριθµος στα προηγούµενα πειράµατα έδινε καλύτερα αποτελέσµατα όταν η αρχική λύση ήταν ισορροπηµένη και όλοι οι σταθµοί 142

144 εργασίας ταυτόσηµοι, έγιναν δοκιµές µε ισορροπηµένες αρχικές λύσεις ακόµη και όταν οι σταθµοί εργασίας δεν είναι ταυτόσηµοι. Επίσης, έγιναν δοκιµές και µε αρχικές λύσεις που είναι οµοιόµορφες και συµµετρικές σε διάφορες περιπτώσεις και πάλι ανεξάρτητα από το αν οι σταθµοί εργασίας είναι ταυτόσηµοι. ηλαδή ο αλγόριθµος δοκιµάστηκε και µε αρχικές λύσεις πέρα από αυτές που προτείνει η µέθοδος Liba (βλ. Υποενότητες 3.9 και 4.3.3) και συγκρίθηκαν τα αποτελέσµατά τους. Παρακάτω παρουσιάζονται ενδεικτικά τα αποτελέσµατα από ορισµένες από τις δοκιµές που έγιναν σε µικρές, µεσαίες και µεγάλες γραµµές παραγωγής. Ειδικότερα, στην περίπτωση των µικρών γραµµών παραγωγής, στον Πίνακα 5.42 όπου η προτεινόµενη αρχική λύση_1 από την Liba για Ν=5, Β ολ =6 και χωρίς ταυτόσηµους σταθµούς είναι [1,2,2,1], δοκιµάστηκε ο αλγόριθµος και για τις αρχικές λύσεις [2,1,1,2], [3,1,1,1] και [1,1,1,3]. Σε όλες τις περιπτώσεις ο αλγόριθµος κατέληξε επιτυχώς στην ίδια βέλτιστη λύση, αλλά µε διαφορετικό χρόνο και µάλιστα µε την αρχική λύση_1 της Liba να έχει το µικρότερο χρόνο. Πίνακας 5.42 Αποτελέσµατα για Ν=5, Β ολ =6 και χωρίς ταυτόσηµους σταθµούς Επίσης, στους Πίνακες 5.43 και 5.44 φαίνονται τα αποτελέσµατα από τον αλγόριθµο για Ν=7, Β ολ =14 και για Ν=10, Β ολ =20 αντίστοιχα και χωρίς ταυτόσηµους σταθµούς. Πιο συγκεκριµένα, επειδή στην πρώτη περίπτωση η αρχική λύση_1 που προτείνει η Liba δεν είναι ισορροπηµένη [2,2,2,2,3,3], ο αλγόριθµος δοκιµάστηκε µε την ισορροπηµένη αρχική λύση_2 [2,2,3,3,2,2], και στη δεύτερη περίπτωση όπου η αρχική λύση_1 της Liba είναι [2,1,1,2,2,3,3,3,3] δοκιµάστηκε µε τις ισορροπηµένες αρχικές λύσεις [2,2,2,3,3,2,2,2,2] και [3,2,2,2,2,2,2,2,3]. Και στις τρεις περιπτώσεις ο αλγόριθµος και πάλι σωστά 143

145 κατέληξε στην ίδια βέλτιστη λύση, αλλά µε διαφορετικό χρόνο και µε την αρχική λύση_1 της Liba να έχει και πάλι το µικρότερο χρόνο. Πίνακας 5.43 Αποτελέσµατα για Ν=7, Β ολ =14 και χωρίς ταυτόσηµους σταθµούς Πίνακας 5.44 Αποτελέσµατα για Ν=10, Β ολ =20 και χωρίς ταυτόσηµους σταθµούς Παρακάτω παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα των πειραµάτων που έγιναν σε µεσαίες γραµµές παραγωγής. Παρατηρήθηκε ότι όσο µεγαλώνει η γραµµή παραγωγής, τα αποτελέσµατα της αρχικής λύσης_1 της Liba σε σύγκριση µε τις άλλες αρχικές λύσεις υπερτερούσαν όχι µόνο σε χρόνο αλλά και η απόδοση P opt της προτεινόµενης βέλτιστης λύσης ήταν καλύτερη (βλ. Πίνακα 5.46). ηλαδή όσο µεγαλώνει η γραµµή παραγωγής τόσο πιο εµφανές είναι ότι η αρχική λύση_1 της µεθόδου Liba που πρότεινε ο Selvi είναι καλύτερη. 144

146 Πίνακας 5.45 Αποτελέσµατα για Ν=20, Β ολ =40 και χωρίς ταυτόσηµους σταθµούς Πίνακας 5.46 Αποτελέσµατα για Ν=30, Β ολ =60 και χωρίς ταυτόσηµους σταθµούς Όµοια ήταν τα συµπεράσµατα από τα πειράµατα που γίνανε και στις µεγάλες γραµµές παραγωγής (βλ. Πίνακες 5.47 έως 5.49). Και πάλι όσο µεγάλωνε το πρόβληµα, τα αποτελέσµατα του αλγορίθµου µε την αρχική λύση_1 της Liba όχι µόνο υπερτερούσαν σε χρόνο, αλλά και η απόδοση της προτεινόµενης βέλτιστης λύσης ήταν καλύτερη απ ότι µε τις άλλες αρχικές λύσεις. 145

147 Πίνακας 5.47 Αποτελέσµατα για Ν=50, Β ολ =98 και χωρίς ταυτόσηµους σταθµούς Πίνακας 5.48 Αποτελέσµατα για Ν=60, Β ολ =118 και χωρίς ταυτόσηµους σταθµούς 146

148 Πίνακας 5.49 Αποτελέσµατα για Ν=70, Β ολ =138 και χωρίς ταυτόσηµους σταθµούς Ολοκληρώνοντας, µετά τη διεξαγωγή αρκετών πειραµάτων όπως τα παραπάνω, αποδείχθηκε ότι ο µυωπικός αλγόριθµος δουλεύει καλύτερα σε όλες τις περιπτώσεις (µικρές, µεσαίες και µεγάλες γραµµές παραγωγής) όταν η αρχική λύση σχηµατίζεται µε τη µέθοδο Liba. Εποµένως, η µέθοδος Liba που πρότεινε ο Selvi (2002) κρίνεται καλύτερη και γι αυτό προτιµήθηκε στον πειραµατικό σχεδιασµό του προτεινόµενου µυωπικού αλγορίθµου. 6 Συµπεράσµατα και Περαιτέρω Έρευνα 6.1 Συµπεράσµατα Ερέθισµα για την εκπόνηση της συγκεκριµένης εργασίας ήταν το γεγονός ότι η εκτίµηση της απόδοσης των βιοµηχανικών συστηµάτων παραγωγής και ο βέλτιστος σχεδιασµός τους είναι δύο πολύ σηµαντικά θέµατα τα οποία καθορίζουν την ανταγωνιστικότητα και τη βιωσιµότητα των συστηµάτων αυτών στο χώρο της βιοµηχανίας. Τα θέµατα αυτά έχουν απασχολήσει ιδιαίτερα τη διεθνή βιβλιογραφία καθώς κρίνεται αναγκαία η εύρεση µεθόδων που βοηθούν στην ανάπτυξη και στην εξέλιξη των συστηµάτων αυτών. Στην παρούσα εργασία ασχοληθήκαµε µε τη δεύτερη περίπτωση, τη βέλτιστη κατανοµή των αποθηκευτικών χώρων µεταξύ των σταθµών εργασίας. Πιο συγκεκριµένα, δηµιουργήθηκε και υλοποιήθηκε ένας µυωπικός αλγόριθµος σε γλώσσα προγραµµατισµού C++, ο οποίος µπορεί να λύσει προβλήµατα σε συστήµατα παραγωγής µε σειριακές γραµµές παραγωγής, µε πολλές παράλληλες µηχανές στα κέντρα επεξεργασίας και µε διαφορετικό χρόνο επεξεργασίας ανά σταθµό εργασίας. 147