ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ"

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΡΟΒΛΕΨΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΟΖΟΝΤΟΣ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ουράνη Μαρία Επιβλέπων : Νικόλαος Ατρέας, Λέκτορας A.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 008

2 Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον Λέκτορα του Τµήµατος Πληροφορικής κ. Νικόλαο Ατρέα για την δυνατότητα που µου πρoσέφερε να πραγµατοποιήσω αυτή την εργασία, για τις πολύτιµες συµβουλές του αλλά και για την υποµονή του και την αφιέρωση πολύτιµου µέρους από τον χρόνο του για την αποσαφήνιση των ερωτηµάτων µου.

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 4. ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 6 3. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ.... Αυτοσυσχετιζόµενα µοντέλα (AR(p) models). Μoντέλα κινητού µέσου όρου (MA(q) models).4 3. Μίξη των δύο µοντέλων (ARMA(p,q) models) AutoRegressive Intergrated Moving Average Models-ARIMA Αυτοσυσχετιζόµενα µοντέλα κινητού µέσου όρου ΠΡΑΚΤΙΚΟΙ ΚΑΝΟΝΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΜΗ ΣΤΑΣΙΜΗΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑΣ ΣΕ ΣΤΑΣΙΜΗ 8 5. ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ (SEASONAL MODELS) ΕΦΑΡΜΟΓΗ : ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΠΡΟΒΛΕΨΗΣ ΤΟΥ ΟΖΟΝΤΟΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ..3 3

4 . ΕΙΣΑΓΩΓΗ Από πολύ νωρίς στην ιστορία, ο άνθρωπος δέχθηκε το γεγονός ότι πολλά από τα φαινόµενα που παρατηρούσε στη φύση ακολουθούσαν µια αυστηρή λογική συνέπεια. Από την άλλη µεριά, υπήρχαν φυσικά φαινόµενα που φαινόταν πως µε κανένα τρόπο δεν µπορούσαν να προβλεφθούν, όπως ο χρόνος που θα συµβεί ένας σεισµός και η έντασή του, η στιγµή που θα πέσει ένας κεραυνός στη διάρκεια µιας καταιγίδας, µια φουρτούνα στη θάλασσα κλπ. Την πεποίθηση του για την ύπαρξη κάποιας λογικής συνέπειας σε κάποια φυσικά φαινόµενα προσπάθησε ο άνθρωπος να την εκφράσει µε νόµους και για το σκοπό αυτό ήταν απαραίτητο να καταφύγει σε συµβολισµούς τους οποίους άντλησε από την επιστήµη των Μαθηµατικών. Σήµερα, για να περιγράψουµε φυσικά φαινόµενα χρησιµοποιούµε συνήθως µαθηµατικά µοντέλα. Η κύρια δυσκολία εντοπίζεται στη µελέτη φαινοµένων που δεν είναι απόλυτα ντετερµινιστικά (ντετερµινιστικά φαινόµενα είναι αυτά για τα οποία η εξέλιξη του φαινοµένου είναι δυνατή µε όση ακρίβεια και σε όσο βάθος χρόνου επιθυµούµε). Σε µη ντετερµινιστικά φαινόµενα δεν ισχύει το γεγονός ότι τα ίδια αίτια οδηγούν στο ίδιο αποτέλεσµα. Αυτό µπορούµε να το καταλάβουµε και µε το λεγόµενο παράδοξο της πεταλούδας: Το τι καιρό θα κάνει µια συγκεκριµένη µέρα σε µια πόλη της Αµερικής, εξαρτάται από τον τρόπο που πέταξε µερικές µέρες πριν µια πεταλούδα στην Κίνα. Τι σηµαίνει αυτό το παράδοξο; Ότι όσο καλά κι αν υπολογίσουµε σήµερα την κατάσταση της ατµόσφαιρας (τις αρχικές µας συνθήκες), αν αγνοήσουµε µια τόσο µικρή διαταραχή όπως το πέταγµα της πεταλούδας, η τελική κατάσταση στην οποία θα οδηγηθεί το σύστηµα µπορεί να είναι εντελώς διαφορετική από αυτή που θα περιµέναµε βάσει των υπολογισµών µας. Στις µέρες µας υπάρχει µια πληθώρα µαθηµατικών πρoβληµάτων αλλά και πρoβληµάτων της καθηµερινής ζωής στα oπoία προσπαθούµε από συγκεκριµένα δεδoµένα παρατηρήσεων να πρoβλέψoυµε την εξέλιξη µιας διαδικασίας (ΠΡΟΒΛΕΨH είναι ο καθορισµός της πορείας ενός φαινοµένου προτού αυτό εκτελεστεί). Για παράδειγµα, εάν ένας µετεωρoλoγικός σταθµός καταγράφει τη µεταβoλή της θερµoκρασίας κάθε µια ώρα, µας ενδιαφέρει να υπoλoγίσoυµε πoια είναι η θερµoκρασία σε µια τυχαία χρoνική στιγµή (π.χ. στις :5) ή να πρoβλέψoυµε πoιά θα είναι η θερµoκρασία στις 0:00 αν έχoυµε µετρήσεις µόνo ως τις 9:00. Επιπλέον, µοντέλα πρόβλεψης χρειαζόµαστε σε αρκετούς επιστηµονικούς τοµείς π.χ. στον κλάδο της ιατρικής, για πρόβλεψη ασθενειών και διαταραχών, αναγνώριση ανωµαλιών, κατανόηση και εξήγηση της δυναµικής της καρδιάς και του εγκεφάλου µε ηλεκτρο-εγκεφαλογράφηµα (EEG) και ηλεκτρο-καρδιογράφηµα (ΕCG), στη βιοπληροφορική όπου έχουµε πρόβλεψη ανωµαλιών στο DNA, στη φυσική, Σεισµολογία, Μετεωρολογία, Αστροφυσική κλπ. Ακόµη, µοντέλα πρόβλεψης χρησιµοποιούµε: Στον τοµέα της οικονοµίας, π.χ. για την εξέλιξη της τιµής του πετρελαίου, για το χρηµατιστήριο (αξία µετοχών), στις επιχειρήσεις (για έγκαιρη πρόβλεψη της απώλειας πελατών - κερδοφορία) και τέλος στις τράπεζες κυρίως για κερδοφορία. 4

5 Στο εµπόριο (marketing) βιοµηχανία µε σκοπό τον σχεδιασµό νέων προϊόντων όπως και στην πρόβλεψη των δαπανών για διαφηµίσεις και αυξήσεις στις πωλήσεις, στις µεταφορές (επίλυση κυκλοφοριακού προβλήµατος), στη ρύπανση του περιβάλλοντος κλπ. Στην παρούσα πτυχιακή καταγράφουµε ευρέως χρησιµοποιούµενα µοντέλα πρόβλεψης όπως είναι τα αυτοπαλινδροµούµενα µοντέλα (Αutoregressive AR models), τα µοντέλα κινητού µέσου όρου (Moving Average MA models), τα αυτοπαλινδροµούµενα µοντέλα κινητού µέσου όρου (Autoregressive Moving Average models) και τα µοντέλα ARIMA (Integrate Autoregressive Moving Average Models). Ο στόχος µας είναι να χρησιµοποιήσουµε ένα τέτοιο µοντέλο για να µοντελοποιήσουµε και κατ επέκταση να εκτιµήσουµε τη συµπεριφορά του όζοντος. Συγκεκριµένα, χρησιµοποιούµε µηνιαία δεδοµένα µέτρησης του όζοντος της ατµόσφαιρας από το 93 έως το 004, συνολικά 85 δεδοµένα. Όπως θα δούµε παρακάτω, τα δεδοµένα αυτά εµφανίζουν µία σαφή περιοδικότητα ανά χρόνο ( µήνες). Ο στόχος µας είναι η εύρεση ενός µοντέλου πρόβλεψης του όζοντος. Καταλήξαµε στο µοντέλο ARIMA της µορφής ( ) ( ) x = x x x x x i i i i 3 i i 4 ( ) x x + a a, i 3 i 5 i i όπου x t είναι τα δεδοµένα του όζοντος, και α t είναι τυχαίος θόρυβος αναµενόµενης µέσης τιµής E( a ) = 0 και διασποράς σ. Στο επόµενο σχήµα παραθέτουµε t ετήσια πρόβλεψη για το έτος 005 της συµπεριφοράς του όζοντος χρησιµοποιώντας δεδοµένα από το : a Σχήµα : Mε µαύρη γραµµή είναι τα δεδοµένα του όζοντος κατά τα έτη Με κόκκινη γραµµή η πρόβλεψη Σηµειώνουµε ότι όλα τα προγράµµατα υλοποιήθηκαν µε χρήση του λογισµικού Mathematica. 5

6 . XΡΗΣΙΜΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στην παράγραφο αυτή αναφέρουµε έννοιες κυρίως από τη Στατιστική που θα χρησιµοποιηθούν στη µελέτη µας. Μια χρονοσειρά είναι µια συλλογή από παρατηρήσεις που διαµορφώνονται διαδοχικά σε ορισµένες χρονικές στιγµές ή περιόδους. Η χαρακτηριστική ιδιότητα µιας χρονοσειράς είναι ότι τα δεδοµένα δεν δηµιουργούνται ανεξάρτητα. Ο κυριότερος στόχος στην ανάλυση χρονοσειρών είναι η επιλογή και προσαρµογή ενός µοντέλου που να προσεγγίζει ικανοποιητικά τα δεδοµένα και στη συνέχεια η χρήση του τελικού µοντέλου για πρόβλεψη. Αν η ανεξάρτητη µεταβλητή t (χρόνος) είναι συνεχής, µιλάµε για συνεχείς χρονοσειρές, ενώ αν η ανεξάρτητη µεταβλητή t είναι διακριτή, τότε µιλάµε για διακριτές χρονοσειρές. Στην παρούσα πτυχιακή εργασία θα ασχοληθούµε µε διακριτές χρονοσειρές της µορφής: z= { z,..., zn} όπου τα στοιχεία της χρονοσειράς είναι πραγµατικοί αριθµοί και οι τιµές της χρονοσειράς λαµβάνονται σε ισοκατανεµηµένες χρονικές στιγµές. Ορισµός Μέση τιµή (Μean value) της χρονοσειράς z καλείται ο αριθµός N zn N n= µ = z=. Στο ακόλουθο σχήµα απεικονίζεται η µέση τιµή (µε πράσινο χρώµα) µιας χρονοσειράς. Σχήµα Ορισµός ιασπορά (variance) της χρονοσειράς z καλείται ο τετραγωνικός µέσος όρος των αποκλίσεων της χρονοσειράς από τη µέση τιµή, δηλαδή: 6

7 N n= ( z ) n z σ z =. N Τυπική απόκλιση (standard deviation) µιας χρονοσειράς z καλείται η τετραγωνική ρίζα της διασποράς. Σχήµα 3 Στο σχήµα 3 παρατηρούµε ότι ανάµεσα στις δύο µπλε γραµµές (η επάνω αντιστοιχεί στο z + z ενώ η κάτω στο z - z ) βρίσκονται τα περισσότερα σηµεία της χρονοσειράς, και το παραπάνω διάστηµα µας δίνει τη διασπορά των τιµών της χρονοσειράς. Ορισµός 3 Συνδιασπορά (covariance) των χρονοσειρών z και w µε µέση τιµή z και w αντίστοιχα, καλείται ο αριθµός N n = ( n )( n ) N cov( z, w) = z z w w. Ορισµός 4 Αν οι µελλοντικές τιµές µιας χρονοσειράς καθορίζονται επακριβώς από µία µαθηµατική συνάρτηση, τότε µιλάµε για ντετερµινιστικές χρονοσειρές Σχήµα 4 Σχήµα 5 Συνεχής ντετερµινιστική χρονοσειρά ιακριτή ντετερµινιστική χρονοσειρά 7

8 Ορισµός 5 Αν οι µελλοντικές τιµές µιας χρονοσειράς εµπεριέχουν αβεβαιότητα η οποία καθορίζεται από µία κατανοµή πιθανοτήτων, οι χρονοσειρές είναι µη ντετερµινιστικές ή πιο απλά στοχαστικές. Σχήµα 6 Σχήµα 7 Συνεχής στοχαστική χρονοσειρά Συνεχής στοχαστική χρονοσειρά Συµπερασµατικά: Ντετερµινιστική χρονοσειρά : επιτρέπει πρόβλεψη µε ακρίβεια. Στοχαστική χρονοσειρά : επιτρέπει προβλέψεις του τύπου: µε πιθανότητα p θα συµβεί το Α,... Nτετερµινιστικά και στοχαστικά µοντέλα Κάποια φαινόµενα δεν είναι απόλυτα ντετερµινιστικά και αυτό συµβαίνει επειδή άγνωστοι παράγοντες µπορούν να τα επηρεάσουν. Έτσι, δεν µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τα ντετερµινιστικά µοντέλα για να προσδιορίσουµε την µελλοντική συµπεριφορά αυτών των φαινοµένων. Ορισµός 6 Όταν η µελλοντική συµπεριφορά του µοντέλου προσδιορίζεται επακριβώς, έχουµε ντετερµινιστικό µοντέλο. Ορισµός 7 Όταν άγνωστοι παράγοντες δηµιουργούν αβεβαιότητα στη µελλοντική συµπεριφορά ενός µοντέλου τα µοντέλα καλούνται στοχαστικά (stochastic ή probability models). Ορισµός 8 Ενα στοχαστικό µοντέλο καλείται στάσιµο, (stationary) όταν βρίσκεται σε κατάσταση στατιστικής ισορροπίας, δηλαδή ο µέσος όρος, η διασπορά και η συνδιασπορά της αντίστοιχης χρονοσειράς δεν εξαρτώνται από το χρόνο. ηλαδή, µια χρονοσειρά είναι στάσιµη εάν δεν υπάρχει συστηµατική αλλαγή του µέσου όρου και της διασποράς στο χρόνο. Εστω z µία χρονοσειρά, δίνουµε τους κάτωθι ορισµούς: Ορισµός 9 Εστω ( z z)( z + z) N k k n n k N n= γ =, 8

9 τότε καλούµε αυτοσυσχέτιση (autocorrelation ACF) της χρονοσειράς ακολουθία: ztτην γ k ρ 0 =, k = 0, ρ,,..., k = k= N. σ Για στάσιµη διαδικασία ισχύει σ z = γ 0, άρα z ρ k = γ k γ. 0 Προφανώς ρ 0 = και η αυτοσυσχέτιση ρ k παίρνει τιµές από - έως +. Εστω ο Ν x N συµµετρικός πίνακας τα στοιχεία του οποίου είναι οι συντελεστές συνδιασποράς γ k που ορίστηκαν παραπάνω: Γ N = γ γ L γ γ γ γ γ M M O M γ γ L γ 0 N 0 N N N 0, τότε από τον ορισµό της αυτοσυσχέτισης έχουµε ότι Γ = σ N z ρ0 ρ L ρn ρ ρ0 ρ ρn M M O M ρn ρn ρ L 0 = σ z Ρ Ν, άρα έχουµε τον ακόλουθο: Ορισµός 0. Ο Πίνακας P N ρ0 ρ L ρn ρ ρ ρ ρ M M O M ρn ρn ρ L 0 0 N = καλείται πίνακας αυτοσυσχέτισης. Πρακτικά, αυτοσυσχέτιση (autocorrelation) είναι η πολλαπλή συσχέτιση του σήµατος µε τον εαυτό του σε διαφορετικές χρονικές στιγµές. Είναι χρήσιµη για την ανεύρεση 9

10 µοτίβων που επαναλαµβάνονται σε ένα µήνυµα (π.χ. περιοδικά σήµατα). Στο επάνω µέρος του σχήµατος 8 αναπαριστώνται γραφικά 00 τυχαίοι αριθµοί, ενώ στο κάτω µέρος η αυτοσυσχέτιση της σειράς. Σχήµα 8 Πρακτικά, για την εκτίµηση της αυτοσυσχέτισης χρησιµοποιούµε τον εξής τύπο : r k c c k =, k =,,N/4, 0 N K όπου ck = ( zn z)( zn+ k z) N, k = 0,,,.., Κ = Ν/4. n= Συνήθως για να αναγνωρίσουµε ένα µοντέλο που ταιριάζει σε µία χρονοσειρά, είναι χρήσιµο να έχουµε ένα στατιστικό test εάν η αυτοσυσχέτιση ρ k = 0 για κάποιο k>k 0. Ισχύει ότι για µία κανονική κατανοµή έχουµε var( rk ) ( ρn + ρn+ kρn k 4ρnρkρn k + ρnρk) (Barlett). N n= Eάν ρ k = 0 για κάποιο k>k 0, τότε όλοι οι προσθετέοι της παραπάνω σχέσης µηδενίζονται πλην του πρώτου όρου για k>k 0. Ετσι για k>k 0 ισχύει var( rk ) + N k0 ρn. n= Στην πράξη αντί των πραγµατικών αυτοσυσχετίσεων ρ k χρησιµοποιούµε τις r k και η τετραγωνική ρίζα 0

11 k 0 + N n= r n προσεγγίζει την τυπική απόκλιση της αυτοσυσχέτισης ρ. Ορισµός O προς τα πίσω τελεστής (backward shift operator) για µια χρονοσειρά z ορίζεται ως εξής: Β(z n ) = z n- συνεπώς: Β m (z n ) = z n-m, m =,,, όπου Β m m είναι η σύνθεση του τελεστή Β, δηλαδή B = Bo B... o B. Ορισµός O προς τα εµπρός τελεστής (forward shift operator) για µια χρονοσειρά z ορίζεται ως εξής: F(z n ) = z n+ συνεπώς: F m (z n ) = z n+m, m =,,, όπου F m m είναι η σύνθεση του τελεστή Β, δηλαδή B = Bo B... o B. Oρισµός 3 Ο τελεστής διαφορών (backward difference operator) για µια χρονοσειρά z oρίζεται ως εξής: z n = z n - z n- = (-Β) z n. Oρισµός 4 Μία στοχαστική διαδικασία z καλείται λευκός θόρυβος (white noise process), εάν η µέση τιµή της είναι µηδέν και η διασπορά της είναι σ z.

12 3. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Στην παράγραφο αυτή αναφέρουµε µοντέλα πρόβλεψης, η κατανόηση των οποίων θα µας βοηθήσει στην πρόβλεψη του όζοντος παρακάτω.. Αυτοσυσχετιζόµενα µοντέλα (AR(p) models) Τα αυτοσυσχετιζόµενα µοντέλα (autoregressive models) είναι στοχαστικά µοντέλα. Σε αυτά τα µοντέλα, η χρονοσειρά z εκφράζεται από ένα πεπερασµένο γραµµικό συνδυασµό από προηγούµενες τιµές της συν ένα σφάλµα α n, δηλαδή = φ ( z µ ) + φ ( z µ ) z n µ n φ p ( z n p µ ) n + α n. όπου µ είναι η µέση τιµή της z n. Η παραπάνω καλείται αυτοσυσχετιζόµενη διαδικασία τάξης p (autoregressive process of order p ή AR(p) process). Eάν: Φ(Β) = - φ Β φ Β... φ p Β p, τότε η διαδικασία γράφεται κατ οικονοµία ως Φ(Β)( z µ ) = α n. n Το µοντέλο περιλαµβάνει p+ άγνωστες παραµέτρους : µ, φ, φ,...., φ p, σ z οποίες υπολογίζουµε από τα δεδοµένα όπως θα δούµε παρακάτω. τις Θεώρηµα Ενα αυτοπαλινδοµούµενο µοντέλο τάξης p είναι στάσιµο όταν όλες οι ρίζες του πολυωνύµου - φ x φ x -..-φ p x p,

13 όπου τα φ,,φ p έχουν ορισθεί ως οι συντελεστές της αυτοπαλινδροµούµενης διαδικασίας, είναι εκτός του µοναδιαίου κύκλου στο µιγαδικό επίπεδο. Oρισµός 5 Η µερική αυτοσυσχέτιση (partial autocorrelation PACF) µας δίνει τη δυνατότητα να εκφράσουµε την συνάρτηση αυτοσυσχέτισης (ACF), η οποία είναι άπειρη, µιας αυτοσυσχετιζόµενης διαδικασίας τάξης p (autoregressive process of order p (AR(p)) process) µε p µη-µηδενικές συναρτήσεις αυτοσυσχέτισης. Επιπλέον, είναι χρήσιµη για την εύρεση της τάξης ενός αυτοσυσχετιζόµενου µοντέλου. Για µία αυτοσυσχετιζόµενη διαδικασία τάξης k έχουµε ότι: ρ j = φ k ρ j φ k(k-) ρ j-k+ + φ kk ρ j-k j =,,.,k όπου φ kj είναι ο j-οστός συντελεστής σε µια αυτοσυσχετιζόµενη διαδικασία τάξης k και ρ j η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης, Το σύνολο { φ jj : j=,,n} όπου ο φ kk είναι ο τελευταίος συντελεστής σε ένα αυτοπαλινδροµούµενο µοντέλο τάξης k καλείται συνάρτηση µερικής αυτοσυσχέτισης. Προφανώς: ρ ρ L ρk ϕk ρ ρ ρ L k ϕ k M M M L M M M M M L M M ρk ρk ρk 3 L ϕ kk = ρ ρ M M ρ k ή φ = (Ρ k ) - ρ οι οποίες καλούνται εξισώσεις Yule-Walker. Επιλύνοντας τις εξισώσεις για k =,,3,, έχουµε φ = ρ, φ = ρ ρ ρ ρ ρ = ρ ρ, φ 33 = ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ3, κλπ. ρ ρ ρ ρ ρ ρ Γενικά, για το φ kk ο αριθµητής είναι ίδιος µε τον παρανοµαστή αντικαθιστώντας την τελευταία στήλη µε τα ρ k. 3

14 Για µια αυτοσυσχετιζόµενη διαδικασία τάξης p η συνάρτηση µερικής αυτοσυσχέτισης (PACF) φ kk είναι µη-µηδενική για k µικρότερο ή ίσο µε το p και µηδέν για k µεγαλύτερο του p. ηλαδή, παρατηρείται αποκοπή εφόσον: ϕ kk 0 k p =, (βλέπε σχήµα 9.) = 0, k > p ενώ η αυτοσυσχέτιση (ACF) φθίνει στο µηδέν (βλέπε σχήµα 9.3) όσον αφορά σε δεδοµένα του σχήµατος 9.. Σχήµα 9. Σχήµα 9. Σχήµα 9.3 Πρακτικά, για την εκτίµηση της µερικής αυτοσυσχέτισης έχουµε : r j = ϕ k, r j- + + ϕ k, k r j-k j =,,..,k. Mε την υπόθεση ότι έχουµε µία αυτοπαλινδροµούµενη διαδικασία τάξης p, τότε ισχύει ότι: Η τετραγωνική ρίζα var( ϕkk ), k > p. N k 0 + N n= r n προσεγγίζει την τυπική απόκλιση της συνάρτησης µερικής αυτοσυσχέτισης. 4

15 . Μoντέλα κινητού µέσου όρου (MA(q) models) Τα µοντέλα κινητού µέσου όρου (moving average models) περιγράφονται από τη σχέση zn z = α n - θ α n- - θ α n θ q α n-q, η οποία καλείται διαδικασία κινητού µέσου όρου ταξης q (moving average process of order q (MA(q))). Το κινητού µέσου όρου είναι λίγο παραπλανητικό επειδή τα βάρη, - θ, - θ,..., δεν είναι απαραίτητα θετικοί αριθµοί. Αν ορίσουµε τoν τελεστή κινητού µέσου όρου τάξης q ως: Θ(Β) = - θ Β θ Β θ q Β q, τότε η διαδικασία γράφεται κατ οικονοµία ως εξής: zn z = Θ(Β) α t. Το µοντέλο περιλαµβάνει q+ άγνωστες παραµέτρους : µ, θ, θ,...., θ q, σ z οποίες υπολογίζουµε από τα δεδοµένα. τις Θεώρηµα Ενα MA µοντέλο είναι στάσιµο όταν όλες οι ρίζες του πολυωνύµου - θ x θ x -..-θ q x q, όπου τα θ,,θ q έχουν ορισθεί ως οι συντελεστές της ΜA - διαδικασίας, είναι εκτός του µοναδιαίου κύκλου στο µιγαδικό επίπεδο. Για µια διαδικασία κινητού µέσου όρου τάξης q η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης (ACF) ικανοποιεί την ακόλουθη σχέση: θk + θθ k θq kθk 0 k q ρ θ... θ k = q. = 0, k > q ηλαδή παρατηρείται αποκοπή για k > q, ενώ η συνάρτηση µερικής αυτοσυσχέτισης (PACF) φθίνει στο µηδέν. 3. Μίξη των δύο µοντέλων (ARMA(p,q) models) Για µεγαλύτερη ευελιξία µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε µίξη των δυο µοντέλων : 5

16 z n µ = φ ( z n µ ) + φ ( z n µ ) + α n - θ α n- - θ α n θ q α n-q, ή Φ(Β) ( z µ ) = Θ(Β) α n χρησιµοποιώντας τους τελεστές όπως παραπάνω. n φ p ( z n p µ ) Το µοντέλο περιλαµβάνει ρ+q+ άγνωστες παραµέτρους : µ, φ, φ,...., φ p, θ, θ,...., θ q, σ z τις οποίες υπολογίζουµε από τα δεδοµένα. Θεώρηµα 3 Ενα ΑRMA µοντέλο είναι στάσιµο όταν όλες οι ρίζες του πολυωνύµου - φ x φ x -..-φ p x p, και - θ x θ x -..-θ q x q όπου τα φ,,φ p έχουν ορισθεί ως οι συντελεστές του αυτοπαλινδροµούµενου κοµµατιού, ενώ τα θ,,θ q έχουν ορισθεί ως οι συντελεστές του κινητού µέσου όρου είναι εκτός του µοναδιαίου κύκλου στο µιγαδικό επίπεδο. Το µοντέλο ΑRMA χρησιµοποιείται για την κατασκευή του µοντέλου ARIMA το οποίο είναι κατάλληλο για µη στάσιµες χρονοσειρες. 4. AutoRegressive Integrated Moving Average Models- ΑRIMA Aυτοσυσχετιζόµενα µοντέλα κινητού µέσου όρου Είναι η γενικότερη περίπτωση µοντέλου πρόβλεψης χρονοσειρών, όπου η χρονοσειρά δεν είναι στάσιµη, αλλά µετασχηµατίζεται σε στάσιµη µε ορισµένους µετασχηµατισµούς. Έστω ένα ARMA µοντέλο φ ( B) z =Θ ( B) z () n µη στάσιµο, τότε από το Θεώρηµα, η εξίσωση φ ( x) = 0 έχει τουλάχιστον µία ρίζα εντός του µοναδιαίου κύκλου. Αν υποθέσουµε ότι η εξίσωση φ ( x) = 0έχει το ως ρίζα µε πολλαπλότητα d, τότε η συνάρτηση φ ( x) γράφεται ως d φ( x) = ( x) ϕ( x), οπότε αντικαθιστώντας στην () έχουµε ότι n 6

17 d ( B) ϕ( B) z =Θ ( B) z, () και το µοντέλο καλείται αυτοσυσχετιζόµενο µοντέλο διαφορών κινητού µέσου όρου (ARIMA) µε παραµέτρους (p,d,q), όπου p αριθµών αυτοσυσχετιζόµενων όρων, d η τάξη του τελεστή διαφορών και q είναι ο αριθµός των λαθών πρόβλεψης στην εξίσωση πρόβλεψης. H σχέση () υπονοεί ότι το µοντέλο ( B) d Zt είναι στάσιµο και ικανοποιεί τη σχέση () για τα µοντέλα ARMA. Υπενθυµίζουµε ότι ο τελεστής διαφορών d-τάξης oρίζεται ως εξής: n n Ορισµός 6 Eστω {z n } δοθείσα χρονοσειρά, ο τελεστής διαφορών ορίζεται ως εξής: zn ης τάξης ενώ ο τελεστής διαφορών zn = zn zn = ( B) zn, zn ης τάξης ορίζεται ως εξής: z = z z + z = ( B) z. n n n n n Η εξίσωση διαφορών ης τάξης διακριτών σηµάτων είναι ανάλογη µε τη δεύτερη παράγωγο (derivative) από µια συνεχή συνάρτηση: µετράει την επιτάχυνση ( acceleration ) ή καµπυλότητα ( curvature ) της συνάρτησης το συγκεκριµένο χρόνο. Γενικότερα ο τελεστής διαφορών zn d-τάξης ορίζεται ως εξής: d d z = ( B) z. n XΡΗΣΙΜΑ ΜΟΝΤΕΛΑ τύπου ARIMA ARIMA(0,, 0): τυχαίος περίπατος Random-walk Η εξίσωση πρόβλεψης είναι η ακόλουθη: z n z n- = µ. Περιλαµβάνει ης τάξης διαφορά (nonseasonal difference) και ένα σταθερό µέσο όρο. (α) ARIMA(0,, ): χωρίς σταθερό µέσο όρο. Σε µερικές µη στάσιµες χρονοσειρές όπου ο θόρυβος ταλαντεύεται γύρω από το µέσο όρο που αλλάζει µε αργούς ρυθµούς, ο τυχαίος περίπατος δεν συµπεριφέρεται τόσο καλά όσο ένας κινητός µέσος όρος προηγούµενων παρατηρήσεων. ηλαδή, αντί να χρησιµοποιήσουµε την πιο πρόσφατη παρατήρηση για την εκτίµηση της επόµενης, n 7

18 είναι καλύτερα να χρησιµοποιήσουµε ένα µέσο όρο από κάποιες πρόσφατες παρατηρήσεις για να φιλτράρουµε το θόρυβο, εκτιµώντας έτσι µε µεγαλύτερη ακρίβεια τον τοπικό µέσο όρο. Εξίσωση πρόβλεψης: z n = z n- θ e n-, όπου e n- δείχνει το σφάλµα την χρονική στιγµή n-. (β) ARIMA(0,, ) µε σταθερό όρο. Μπορούµε να συµπεριλάβουµε έναν σταθερό όρο εάν έχουµε µία γραµµική τάση. Εξίσωση πρόβλεψης: z n = z n- + µ θ e n- 3. ARIMA(0,, ) ή ARIMA(0,, ) χωρίς σταθερό όρο. Εξίσωση πρόβλεψης: z n = z n- z n- θ e n- θ e n-, όπου θ και θ είναι ΜΑ() και ΜΑ() συντελεστές. 4. Μικτό µοντέλο: ARIMA(,, ). Αυτοσυσχετιζόµενο µοντέλο + µοντέλο κινητού µέσου όρου Εξίσωση πρόβλεψης: z n = µ + z n- + φ (z n- - z n- ) θ e n-. 8

19 4. ΠΡΑΚΤΙΚΟΙ ΚΑΝΟΝΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΜΗ ΣΤΑΣΙΜΗΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑΣ ΣΕ ΣΤΑΣΙΜΗ Πρακτικά µία χρονοσειρά είναι στάσιµη, εάν το διάγραµµά της παραµένει παρόµοιο σε διαφορετικά σηµεία, π.χ. η χρονοσειρά του σχήµατος 0 δεν είναι στάσιµη ενώ η χρονοσειρά του σχήµατος είναι στάσιµη: Σχήµα Σχήµα ηλαδή, στο σχήµα έχουµε µη σταθερή µέση τιµή µ(t), την οποία καλούµε τάση (trend). Για να γίνει η χρονοσειρά στάσιµη, πρώτα αφαιρούµε την τάση, είτε µε τη µέθοδο ελαχίστων τετραγώνων, είτε µε κινητό µέσο όρο τάξης r οριζόµενο ως y t r zt i =, i= 0 r είτε µε το µετασχηµατισµό: y = y + a( z z ), α (0,). t t t t Επίσης, η µη στασιµότητα µπορεί να οφείλεται και σε µη σταθερή διασπορά, οπότε για να κάνουµε τη διασπορά σταθερή χρησιµοποιούµε έναν λογαριθµικό µετασχηµατισµό, π.χ. yt = ln( zt ), οπότε η διασπορά σταθεροποιείται. Στο σχήµα 3 έχουµε την γραφική παράσταση του φυσικού λογάριθµου, 9

20 Σχήµα 3 ενώ στο σχήµα 5 απεικονίζεται η γραφική παράστασης των δεδοµένων που απεικονίζονται στο σχήµα 4 αφού έχουν υποστεί λογαριθµικό µετασχηµατισµό. Σχήµα 4 Σχήµα 5 Παρατηρούµε ότι η ανοδική τάση στην πάροδο του χρόνου είναι ακόµη ορατή, αλλά η διασπορά είναι περίπου ίδια σε όλο το σχήµα. Εφόσον λοιπόν γίνουν οι απαραίτητοι παραπάνω µετασχηµατισµοί σταθεροποίησης της διασποράς, για να µπορέσουµε να σταθεροποιήσουµε το µέσο όρο και συνεπώς για να διαλέξουµε το κατάλληλο µοντέλο ARIMA για µια µη στάσιµη χρονοσειρά, αρχικά βρίσκουµε την κατάλληλη τάξη d του τελεστή διαφορών που µετατρέπει τη χρονοσειρά σε στάσιµη. Για να προσδιορίσουµε ένα µοντέλο ARIMA πρέπει αρχικά να βρούµε την τάξη του τελεστή διαφορών που απαιτείται για να κάνουµε µία χρονοσειρά στάσιµη. Η καλύτερη τάξη, είναι η µικρότερη τάξη που αντιστοιχεί σε µια χρονοσειρά η οποία ταλαντεύεται γύρω από σταθερό µέσο όρο (Σχήµα 6) και της οποίας η γραφική αναπαράσταση αυτοσυσχετιζόµενης συνάρτησης (autocorrelation function (ACF)) φθίνει γρήγορα στο µηδέν (Σχήµα 7). Εάν η χρονοσειρά συνεχίζει να επιδεικνύει µία τάση ή υπάρχει έλλειψη τάσης ταλάντωσης γύρω από το µέσο όρο (Σχήµα 8), ή ο αριθµός των θετικών αυτοσυσχετίσεων είναι περίπου δέκα 0 ή και µεγαλύτερος (Σχήµα 9), τότε χρειαζόµαστε υψηλότερη τάξη για τον τελεστή διαφορών. 0

21 Σχήµα 6 Σχήµα 7 Σχήµα 8 Σχήµα 9 ΚΑΝΟΝΑΣ Εάν ο αριθµός των θετικών αυτοσυσχετίσεων είναι αρκετά µεγάλος, τότε η χρονοσειρά χρειάζεται υψηλότερη τάξη για τον τελεστή διαφορών. Η χρήση του τελεστή διαφορών τείνει να εισάγει αρνητική αυτοσυσχέτιση. Εάν η χρονοσειρά έχει ισχυρή θετική αυτοσυσχέτιση, τότε η ης τάξης διαφορές µειώνουν την αυτοσυσχέτιση οδηγώντας την σε αρνητικές τιµές. Εάν τελικά οδηγηθεί σε µηδενικές ή αρνητικές τιµές, δε χρειάζεται να χρησιµοποιήσουµε διαφορές µεγαλύτερης τάξης. Μάλιστα, εάν οι προκύπτουσες αυτοσυσχετίσεις είναι µικρότερες από -0.5 (το 0.5 είναι το όριο) τότε η σειρά έχει υποστεί µεγαλύτερη τάξη διαφορών από αυτή που θα έπρεπε (overdifferenced). ΚΑΝΟΝΑΣ Αν η ης τάξης διαφορές έχουν αυτοσυσχέτιση ρ()=0 ή ρ()<0 ή όλες οι αυτοσυσχετίσεις είναι αµελητέες τότε η χρονοσειρά δε χρειάζεται µεγαλύτερης τάξης διαφορά. ΚΑΝΟΝΑΣ 3 Η επιθυµητή τάξη διαφορών είναι αυτή στην οποία η τυπική απόκλιση είναι η ελάχιστη. Οι ελαφρώς «υποδιαιρεµένες» (underdifferenced) χρονοσειρές µπορούν να αντισταθµιστούν προσθέτοντας AR όρους στο µοντέλο. Οι ελαφρώς «υπερδιαιρεµένες» (overdifferenced) χρονοσειρές µπορούν να αντισταθµιστούν προσθέτοντας ΜΑ όρους στο µοντέλο.

22 ΚΑΝΟΝΑΣ 4 Ένα µοντέλο που δεν χρειάζεται καµία τάξη διαφορά είναι στάσιµο. Οι ης τάξης διαφορές υπονοούν ότι το µοντέλο έχει µια σταθερή τάση. Οι ης τάξης διαφορές υπονοούν ότι το µοντέλο έχει µια µεταβαλλόµενη τάση (time-varying trend). ΚΑΝΟΝΑΣ 5 Ένα µοντέλο χωρίς καµία τάξη περιέχει ένα σταθερό όρο. Αυτός είναι η µέση τιµή της χρονοσειράς. Τα ης τάξης µοντέλα ΑRΙΜA δεν περιλαµβάνουν (συνήθως) σταθερό όρο. Τα ης τάξης µοντέλα ΑRΙΜA περιλαµβάνουν ένα σταθερό όρο όταν η χρονοσειρά έχει µη-µηδενική µέση τάση (non-zero average trend). ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΤΟΥ ΠΛΗΘΟΥΣ ΤΩΝ AR Ή ΜΑ ΟΡΩΝ Αφού η χρονοσειρά έχει γίνει στάσιµη µε χρήση του τελεστή διαφορών, το επόµενο βήµα είναι να καθορίσουµε πόσοι AR ή MA όροι απαιτούνται. Από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων αυτοσυσχέτισης (ACF) και µερικής αυτοσυσχέτισης (partial autocorrelation (PACF)) της προκύπτουσας χρονοσειράς διαφορών, µπορούµε να αναγνωρίσουµε το πλήθος των AR και/ή MA όρων που είναι απαραίτητοι. ΚΑΝΟΝΑΣ 6 Aν η ACF φθίνει αργά και η PΑCF αποκόπτεται απότοµα, δηλαδή φ kk =0 για κάθε k>k 0, τότε χρειαζόµαστε k 0 τo πλήθος AR όρους. Κάποιες φορές καλό είναι να χρησιµοποιούµε µοντέλα µόνον κινητού µέσου όρου. Τότε η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης (ACF) παίζει τον ίδιο ρόλο για MA όρους,όπως η PACF για AR όρους (δηλαδή πόσοι MA όροι απαιτούνται για να εξαλειφθεί η αποµένουσα αυτοσυσχέτιση). ΚΑΝΟΝΑΣ 7 Aν η PACF φθίνει αργά και η ΑCF αποκόπτεται απότοµα, δηλαδή ρ k =0 για κάθε k>k 0, τότε χρειαζόµαστε k 0 τo πλήθος ΜA όρους. Πολλές φορές είναι δύσκολο να χρησιµοποιήσουµε ένα µοντέλο µόνο µε AR ή µόνο µε ΜΑ όρους. Η καλύτερη λύση είναι η µίξη των δύο µοντέλων (µοντέλο µε AR και MA όρους). Ένα πρόβληµα που εµφανίζεται κατά τη µίξη µοντέλων είναι ότι οι δύο όροι (AR,MA) µπορεί να αλληλοαναιρούνται.

23 ΚΑΝΟΝΑΣ 8 Είναι πιθανό για έναν AR όρο και έναν MA όρο να αναιρούν ο ένας τα αποτελέσµατα του άλλου. Γι αυτό, πολλές φορές τροποποιούµε το µοντέλο µε ένα λιγότερο όρο AR και ένα λιγότερο όρο MA. ΚΑΝΟΝΑΣ 9 Αν το άθροισµα των AR συντελεστών είναι περίπου ένα, πρέπει να ελαττώσουµε τον αριθµό των AR όρων κατά ένα και να αυξήσουµε την τάξη διαφορών κατά ένα. ΚΑΝΟΝΑΣ 0 Αν το άθροισµα των ΜΑ συντελεστών είναι περίπου ένα, πρέπει να ελαττώσουµε τον αριθµό των ΜΑ όρων κατά ένα και να µειώσουµε την τάξη διαφορών κατά ένα. ΚΑΝΟΝΑΣ Εάν το προκύπτων µοντέλο πρόβλεψης εµφανίζει αλλοπρόσαλλη ή ασταθή συµπεριφορά, τότε µπορεί το άθροισµα των AR ή ΜΑ συντελεστών να είναι περίπου ένα. Σηµείωση: Καλύτερα να χρησιµοποιούµε µη-µικτά µοντέλα µόνο µε AR ή ΜΑ όρους. Αν χρησιµοποιούµε και τα δυο είδη όρων στο ίδιο µοντέλο µπορεί να οδηγηθούµε σε υπερπροσαρµογή (overfitting) δεδοµένων και να µην έχουµε µοναδικούς (non-uniqueness) συντελεστές. 3

24 5 ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ (SEASONAL MODELS) Παρατηρώντας την ACF µιας χρονοσειράς µε εποχικές συνιστώσες (Σχήµα 0) διαπιστώνουµε ότι η ΑCF είναι ένα ηµιτονοειδές κύµα που φθίνει µε αργό ρυθµό, οπότε η χρονοσειρά είναι µη-στάσιµη. Η βραδύτητα µείωσης εµφανίζεται τόσο στα εποχικά(seasonal) όσο και στα µη-εποχικά επίπεδα(non-seasonal levels). Σχήµα 0 Στις µη-εποχικές χρονοσειρές(non-seasonal time series), όταν ψάχνουµε την τάξη d του τελεστή διαφορών, για να µετατρέψουµε τη χρονοσειρά σε στάσιµη, κοιτάµε τον αριθµό των θετικών µη-εποχικών αυτοσυσχετίσεων (non-seasonal lags) για να συµπεράνουµε αν χρειαζόµαστε υψηλότερη τάξη. Στις εποχικές χρονοσειρές (seasonal timeseries) κοιτάµε τόσο τα µη «εποχικά»(non-seasonal) όσο και τα «εποχικά» στοιχεία (seasonal lags) (lags στο L, L, 3L, 4L π.χ. αν τα δεδοµένα είναι µηνιαία L=, 4, 36, 48). 4

25 ΚΑΝΟΝΕΣ ΣΤΑΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑΣ (SEASONAL TIMESERIES) ) Η ACF των µη «εποχικών» στοιχείων φθίνει γρήγορα ή αποκόπτεται απότοµα. ) H ACF φθίνει γρήγορα ή αποκόπτεται απότοµα στο «εποχικό» επίπεδο L και δεν υπάρχουν άλλες σηµαντικές αυτοσυσχετίσεις. ΚΑΝΟΝΕΣ ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗΣ ΣΤΑΣΙΜΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ (SEASONAL TIMESERIES) ) Χρησιµοποιούµε την συµπεριφορά των ACF και PACF στα µη «εποχικά» στοιχεία (non-seasonal lags) για να βρούµε δοκιµαστικά µη «εποχικά» µοντέλα (non-seasonal models) που περιγράφουν τη χρονοσειρά. ) Χρησιµοποιούµε την συµπεριφορά των ACF και PACF στα «εποχικά» στοιχεία (seasonal lags) για να βρούµε «εποχικά» µοντέλα (seasonal models)(µπορούν να έχουν AR και MA όρους) που περιγράφουν τη χρονοσειρά. Χρησιµοποιούµε τους ίδιους κανόνες µε τα µη «εποχικά» µοντέλα. 3) Συνδυάζουµε τα µοντέλα που πήραµε από τα δύο προηγούµενα βήµατα για να καταλήξουµε σε ένα γενικό δοκιµαστικό µοντέλο. 5

26 6 EΦΑΡΜΟΓΗ: KATAΣΚΕΥΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ ΤΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΤΟΥ ΟΖΟΝΤΟΣ Στην παράγραφο αυτή εφαρµόζουµε τους παραπάνω κανόνες για να υπολογίσουµε ένα µοντέλο που να περιγράφει τη συµπεριφορά µετρήσεων του όζοντος. Χρησιµοποιούµε µηνιαίες τιµές µέτρησης από τα έτη , αποθηκευµένες σε αρχείο Spssozon.txt. Στο σχήµα φαίνεται η γραφική παράσταση των µετρήσεων του όζοντος: Σχήµα : Μετρήσεις του όζοντος Από τη µορφή του σχήµατος είναι σαφές ότι υπάρχει µία περιοδικότητα «εποχική» την οποία ανακαλύπτουµε µε χρήση του περιοδογράµµατος της χρονοσειράς του όζοντος (βλέπε Σχήµα και Παράρτηµα), η οποία εντοπίζει µία επικρατούσα συχνότητα 7, δηλαδή περίοδο Τ =, συνεπώς έχουµε µία περιοδικότητα επανάληψης των µετρήσεων ανά χρόνο. 6

27 Σχήµα : Περιοδόγραµµα του όζοντος Επιπλέον, το διάγραµµα αυτοσυσχέτισης της χρονοσειράς επιβεβαιώνει τα παραάνω αφού δείχνει ένα επαναλαµβανόµενο µοτίβο ανά περίοδο που φθίνει αργά: Σχήµα 3: ACF του όζοντος Aρα, το διάγραµµα ACF υπονοεί µία εποχική περιοδικότητα (seasonality), οπότε χρησιµοποιούµε τον τελεστή διαφορών ης τάξης και έτσι µε την υπόθεση ότι η x= x : i=,...,85, ορίζουµε: χρονοσειρά του όζοντος είναι η { } i y, 3,...,85 i = xi xi i=. Mελετούµε το διάγραµµα ACF και PACF των δεδοµένων y= { y : i= 3,...,85} (βλέπε Παράρτηµα): i Σχήµα 4: ACF των δεδοµένων y 7

28 Σχήµα 5: PACF των δεδοµένων y Aπό τη µελέτη των παραπάνω δύο διαγραµµάτων προκύπτει ότι:. H ACF των «εποχικών» στοιχείων y, y 4, y 36,. Έχει απότοµη κάθοδο µετά το ο στοιχείο y, εφόσον y = , y 4 = , y 36 = κλπ, ενώ η PACF των «εποχικών» στοιχείων φ,, φ 4,4, φ 36,36 φθίνει αργά στο µηδέν. Πράγµατι, φ, = , φ 4,4 = , φ 36,36 = κλπ.. H ACF των µη «εποχικών» στοιχείων y, y, y 3, κλπ φθίνει αργά στο µηδέν, ενώ η PACF των µη «εποχικών» στοιχείων φ,, φ,, έχει απότοµη κάθοδο µετά το 3 ο στοιχείο. Πράγµατι, φ, = , φ, = , φ 3,3 = , φ 4,4 = , φ 5,5 = κλπ. Aρα η χρονοσειρά y µπορεί να θεωρηθεί στάσιµη (βλέπε 5) και συνεπώς προχωρούµε στον καθορισµό του µοντέλου που προσαρµόζεται στη χρονοσειρά. Από τους κανόνες, 6 και 7 πρέπει να βάλουµε ένα «εποχικό» ΜΑ όρο στο µοντέλο µας και 3 ΑR-όρους στο µη «εποχικό» κοµµάτι του µοντέλου µας, δηλαδή: ή ισοδύναµα ( 3 ) ϕ ϕ ϕ θ 3 B B B yi = ( B ) ai 3 ( )( ) ϕ ϕ ϕ θ B B 3B xi xi = ai ai ( ) ( ) ( ) x = x + ϕ x x + ϕ x x + ϕ x x + a θa. i i i i 3 i i 4 3 i 3 i 5 i i Οι όροι φ,φ,φ 3, υπολογίζονται από τις Υule-Walker εξισώσεις (βλέπε Παράρτηµα). Εφόσον η PACF έχει απότοµη κάθοδο µετά τον 3 ο όρο είναι γνωστό από τη θεωρία ότι φ = φ 3,, φ = φ 3,, φ 3 = φ 3,3, οι οποίες είναι οι λύσεις του συστήµατος των Yule-Walker εξισώσεων για k = 3. Προκύπτει ότι: 8

29 φ = , φ = 0.966, φ 3 = Eπίσης για να προσδιορίσουµε το θ λύνουµε την εξίσωση: r θ = + θ και βρίσκουµε ότι θ = και θ =.636. Από αυτές η δεύτερη απορρίπτεται λόγω στασιµότητας της χρονοσειράς, συνεπώς προκύπτει το µοντέλο ( ) ( ) x = x x x x x i i i i 3 i i 4 ( ) x x + a a. i 3 i 5 i i Παρακάτω παραθέτουµε ετήσια πρόγνωση χρησιµοποιώντας ως αρχή µέτρησης διάφορες χρονικές στιγµές. Η κόκκινη γραµµή δείχνει τα πραγµατικά δεδοµένα ενώ η µαύρη τις προγνώσεις: Σχήµα 6: Aρχή µέτρησης 990 Σχήµα 7: Αρχή µέτρησης Σχήµα 8: Aρχή µέτρησης 99 Σχήµα 9: Aρχή µέτρησης 993 9

30 Σχήµα 30: Aρχή µέτρησης 994 Σχήµα 3: Aρχή µέτρησης Σχήµα 3: Aρχή µέτρησης 995 Σχήµα 33: Aρχή µέτρησης 996 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Aπό τα παραπάνω σχήµατα φαίνεται πειραµατικά πως όταν χρησιµοποιούµε τα πιο πρόσφατα ετή δεδοµένα έχουµε καλύτερη πρόγνωση της τελευταίας εξαετίας. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Στο παρόν παράρτηµα παραθέτουµε τα προγράµµατα σε λογισµικό Mathematica για τον υπολογισµό των συναρτήσεων αυτοσυσχέτισης και µερικής αυτοσυσχέτισης, των συντελεστών AR και του µοντέλου πρόγνωσης.. Υπολογισµός του περιοδογράµµατος data = ReadList["SpssOzon.txt",Number]; L = Length[data]/3; x[n_] := Part[data,3n] ListPlot[Table[x[n],{n,,L}], PlotJoined True, PlotRange All] *Mε τις παραπάνω εντολές ορίζουµε ως µία ακολουθία x(n) τις µετρήσεις του όζοντος, αφού τις διαβάσουµε από το αρχείο SpssOzon.txt και κάνουµε τη γραφική παράσταση των µετρήσεων του όζοντος µε την εντολή ListPlot. (βλέπε σχήµα )* aa = Abs[Fourier[Table[x[n],{n,,L/}]]]; 30

31 a = ListPlot[Table[aa[[n]],{n,,L/}],PlotJoined->True,PlotRange All] per = ; SS=Sum[x[n],{n,,L}]/L *Mε τις παραπάνω εντολές ορίζουµε ως aa το φάσµα Fourier της ακολουθίας x(n) και a είναι το περιοδόγραµµα του όζοντος (βλέπε σχήµα ). Oρίζουµε την περίοδο per = και υπολογίζουµε το µέσο όρο SS των µετρήσεων του όζοντος* y[n_] := x[n]-x[n+per] ListPlot[Table[y[n],{n,,L-per}],PlotJoined True,PlotRange All] SS = Sum[y[n],{n,,L-per}]/(L-per) z = Table[y[n],{n,,L-per}]; Mean[z] Variance[z] StandardDeviation[z] *Mε τις παραπάνω εντολές ορίζουµε την ακολουθία y n = x n -x n- των διαφορών της ακολουθίας x ανά και υπολογίζουµε τη γραφική της παράσταση και στατιστικά χαρακτηριστικά της όπως ο µέσος όρος, η διασπορά και η τυπική απόκλιση.*. Υπολογισµός της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης g[k_]:=/l Sum[(x[n]-SS) (x[n+k]-ss),{n,,l-k}] m=table[g[k]/g[0],{k,0,l/-}]; ListPlot[m,PlotJoined True] *Mε τις παραπάνω εντολές ορίζουµε την ακολουθία g(k) που είναι η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης των µετρήσεων του όζοντος και κάνουµε τη γραφική της παράσταση µε την εντολή ListPlot (βλέπε σχήµα 3).* g[k_]:=/(l-per) Sum[(y[n]-SS) (y[n+k]-ss),{n,,(l-per)-k}] m=table[g[k]/g[0],{k,0,l/-}]; ListPlot[m,PlotJoined True,PlotRange All] *Mε τις παραπάνω εντολές ορίζουµε την ακολουθία g(k) που είναι η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της ακολουθίας y n µετρήσεων του όζοντος και κάνουµε τη γραφική της παράσταση µε την εντολή ListPlot. (βλέπε σχήµα 5). * 3

32 3. Υπολογισµός της συνάρτησης µερικής αυτοσυσχέτισης as[l_]:=table[m[[n]],{n,,l}] m[l_]:=table[as[l][[n]],{n,,length[as[l]]}] dd[l_]:=join[reverse[m[l]],as[l]] az[k_,l_]:=table[dd[l][[m]],{m,length[as[l]]-k+,length[as[l]]-k}] rp[l_]:=table[az[k,l],{k,,length[as[l]]}]; asd[l_]:=table[m[[n]],{n,,l+}] qa[l_]:=inverse[rp[l]].asd[l] gg=table[qa[l][[l]],{l,,65}] *Mε τις παραπάνω εντολές υπολογίζουµε τη συνάρτηση µερικής αυτοσυσχέτισης της ακολουθίας y n. H gg είναι η γραφική της παράσταση (βλέπε σχήµα 5) * qa[3] 4. Υπολογισµός των συντελεστών AR *Mε την παραπάνω εντολή υπολογίζουµε τους όρους ΑR του µοντέλου µας. Η εντολή αυτή αποτελεί φυσική συνέχεια των παραπάνω εντολών.* 5. Yπολογισµός του µοντέλου πρόγνωσης Clear[w] j = 5; w[j,-] = f[ L-3-j +]; w[j,-] = f[l--j +]; w[j,0] = f[l--j +]; w[j,] = f[l-j +]; w[j,] = f[l+-j +]; w[j,3] = f[l+-j +]; w[j,4] = f[l+3-j +]; w[j,5] = f[l+4-j +]; w[j,6] = f[l+5-j +]; w[j,7] = f[l+6-j +]; w[j,8] = f[l+7-j +]; w[j,9] = f[l+8-j +]; w[j,0] = f[l+9-j +]; w[j,] = f[l+0-j +]; w[j,] = f[l+-j +]; 3

33 w[j_,n_] := w[j,n] = w[j,n-] (w[j,n-] - w[j,n-3]) (w[j,n-] - w[j,n-4]) (w[j,n-3] - w[j,n-5]) (f[l- (j+)+n] - f[l- (j+)+n- ]) *Mε τις παραπάνω εντολές ορίζουµε το µοντέλο µας. Η τιµή του j που επιλέγουµε καθορίζει την αρχή της µέτρησης και συνεπώς οι πρώτες σειρές είναι οι αρχικές µας συνθήκες. Ο τύπος του µοντέλου µας δίνεται από την αναδροµική σχέση w[j,n].* qt[j] = Table[w[j,n],{n,3,3+j -}]; qt[j] = Table[f[n],{n,L-j +,L}]; s[j] = ListPlot[Table[f[n],{n,L-(j-) +,L}],PlotJoined True,PlotRange All,PlotStyle RGBColor[,0,0]] ss[j] = ListPlot[Table[qt[j][[n]],{n,,j }],PlotJoined True] Show[s[j],ss[j]] *Oι παραπάνω εντολές συγκρίνουν πειραµατικά το µοντέλο µας µε τις πραγµατικές τιµές των µετρήσεων και εναλλάσσοντας την τιµή του j παίρνουµε τα σχήµατα 6-33.* 33

34 7. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ. George E. P. Box, Gwilym M. Jenkins, Gregory C. Reinsel, Τime Series Analysis, Forecasting and Control, 3 rd Edition, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 994, USA.. Η. lsliker, 006 Ανάλυση χρονο-σειρών (Time-series analysis) 3. Θ. Κουτρουµανίδης, 007 Η χρονολογική σειρά (time series) Κουγιουµτζή Χρονικές Σειρές (Μέρος ο) Κουγιουµτζή Χρονικές Σειρές (Μέρος 4ο) 6. Stat 70-Intro Time series/sanchez, Making a time series stationary 7. W. Q. Meeker, 007 Methods for Nonstationary Time Series Transformations and ARIMA Models handout05_psnup.pdf 8. DECISION 4 Forcasting The logarithm transformation 9. DECISION 4 Forcasting Introduction to ARIMA : non-seasonal models 0. DECISION 4 Forcasting Identifying the order of differencing DECISION 4 Forcasting Identifying the numbers of AR or MA terms 34

35 . DECISION 4 Forcasting Estimation of ARIMA models 35

Χρονικές σειρές 5 Ο μάθημα: Γραμμικά στοχαστικά μοντέλα (1) Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ

Χρονικές σειρές 5 Ο μάθημα: Γραμμικά στοχαστικά μοντέλα (1) Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Χρονικές σειρές 5 Ο μάθημα: Γραμμικά στοχαστικά μοντέλα (1) Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΙΝΗΤΟΥ ΜΕΣΟΥ MA(q) ΚΑΙ ΜΙΚΤΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ARMA (p,q) ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου

Διαβάστε περισσότερα

Χρονολογικές Σειρές (Time Series) Lecture notes Φ.Κουντούρη 2008

Χρονολογικές Σειρές (Time Series) Lecture notes Φ.Κουντούρη 2008 Χρονολογικές Σειρές (Time Series) Lecture notes Φ.Κουντούρη 2008 1 Τύποι Οικονομικών Δεδομένων Τα οικονομικά δεδομένα που χρησιμοποιούνται για την εξέταση οικονομικών φαινομένων μπορεί να έχουν τις ακόλουθες

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 10 Ο μάθημα: Μη στάσιμα μοντέλα ARIMA Μεθοδολογία Box-Jenkins Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ

Χρονικές σειρές 10 Ο μάθημα: Μη στάσιμα μοντέλα ARIMA Μεθοδολογία Box-Jenkins Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Χρονικές σειρές 10 Ο μάθημα: Μη στάσιμα μοντέλα ARIMA Μεθοδολογία Box-Jenkins Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες ΜΑΘΗΜΑ 3ο Βασικές έννοιες Εισαγωγή Βασικές έννοιες Ένας από τους βασικότερους σκοπούς της ανάλυσης των χρονικών σειρών είναι η διενέργεια των προβλέψεων. Στα υποδείγματα αυτά η τρέχουσα τιμή μιας οικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Προβλέψεων Αυτοπαλινδρομικά Μοντέλα Κινητού Μέσου Όρου (ARIMA)

Τεχνικές Προβλέψεων Αυτοπαλινδρομικά Μοντέλα Κινητού Μέσου Όρου (ARIMA) ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Τεχνικές Προβλέψεων Αυτοπαλινδρομικά Μοντέλα Κινητού Μέσου

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές

Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 μήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό μήμα, Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΤΡΙΤΟ-ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ (AUTOCORRELATION)

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΤΡΙΤΟ-ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ (AUTOCORRELATION) ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΤΡΙΤΟ-ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ (AUTOCORRELATION) Μέθοδοςεκθετικήςεξομάλυνσης Μια άλλη τεχνική για δεδομένα με

Διαβάστε περισσότερα

Χρονοσειρές Μάθημα 3. Γραμμικές στάσιμες διαδικασίες. Γραμμική χρονοσειρά (στοχαστική διαδικασία) Z Z ~ WN(0, ) είναι στάσιμη. Θεωρούμε μ=0 E[ X ] 0

Χρονοσειρές Μάθημα 3. Γραμμικές στάσιμες διαδικασίες. Γραμμική χρονοσειρά (στοχαστική διαδικασία) Z Z ~ WN(0, ) είναι στάσιμη. Θεωρούμε μ=0 E[ X ] 0 Γραμμικές στάσιμες διαδικασίες Γραμμική χρονοσειρά (στοχαστική διαδικασία) ~ WN(, ) i i i E[ ] είναι στάσιμη? i () Θεωρούμε μ= i i i Χρονοσειρές Μάθημα 3 i Θεωρώντας τον τελεστή υστέρησης: ( B) ( B) ib

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων. 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποιες είναι οι διαφορές μεταξύ αυτοπαλίνδρομων υποδειγμάτων (AR) και υποδειγμάτων κινητού μέσου (MA);

1. Ποιες είναι οι διαφορές μεταξύ αυτοπαλίνδρομων υποδειγμάτων (AR) και υποδειγμάτων κινητού μέσου (MA); Ερωτήσεις: 1. Ποιες είναι οι διαφορές μεταξύ αυτοπαλίνδρομων υποδειγμάτων (AR) και υποδειγμάτων κινητού μέσου (MA); Στα αυτοπαλίνδρομα υποδείγματα η τρέχουσα τιμή της y είναι συνάρτηση p υστερήσεων της

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Στασιμότητα χρονοσειρών Νόθα αποτελέσματα-spurious regression Ο έλεγχος στασιμότητας είναι απαραίτητος ώστε η στοχαστική ανάλυση να οδηγεί σε ασφαλή

Στασιμότητα χρονοσειρών Νόθα αποτελέσματα-spurious regression Ο έλεγχος στασιμότητας είναι απαραίτητος ώστε η στοχαστική ανάλυση να οδηγεί σε ασφαλή Χρονικές σειρές 12 Ο μάθημα: Έλεγχοι στασιμότητας ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ: Εκτίμηση παραμέτρων γραμμικών μοντέλων Συνάρτηση μερικής αυτοσυσχέτισης Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ-ΔΕΥΤΕΡΟ-ΣΤΑΣΙΜΟΤΗΤΑ- ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑ-ΚΥΚΛΙΚΗ ΤΑΣΗ ΧΡΗΣΙΜΟΙΟΡΙΣΜΟΙ Χρονολογική Σειρά (χρονοσειρά)

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Προβλέψεων Αυτοπαλινδρομικά Μοντέλα Κινητού Μέσου Όρου (ARIMA)

Τεχνικές Προβλέψεων Αυτοπαλινδρομικά Μοντέλα Κινητού Μέσου Όρου (ARIMA) ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Τεχνικές Προβλέψεων Αυτοπαλινδρομικά Μοντέλα Κινητού Μέσου

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 8 Ο μάθημα: Μοντέλα κινητού μέσου

Χρονικές σειρές 8 Ο μάθημα: Μοντέλα κινητού μέσου Χρονικές σειρές 8 Ο μάθημα: Μοντέλα κινητού μέσου Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό Τμήμα, Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Χρονοσειρές, Μέρος Β 1 Πρόβλεψη Χρονικών Σειρών

Χρονοσειρές, Μέρος Β 1 Πρόβλεψη Χρονικών Σειρών Χρονοσειρές, Μέρος Β Πρόβλεψη Χρονικών Σειρών Ο βασικός σκοπός της μελέτης των μοντέλων για χρονικές σειρές (όπως AR, MA, ARMA, ARIMA, SARIMA) είναι η πρόβλεψη (predicio, forecasig) Η πρόβλεψη των μελλοντικών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ

ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΧΡΟΝΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ 4.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 4. ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΛΕΥΚΟΥ ΘΟΡΥΒΟΥ 4.3 ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΤΥΧΑΙΟΥ ΠΕΡΙΠΑΤΟΥ 4.4 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 4.5 ΜΕΡΙΚΗ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΣΤΑΣΙΜΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ-ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ SARIMA (sp,sd,qs) ARIMA (p,d,q) ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΤΡΙΤΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ-ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΣΙΜΟΤΗΤΑΣ Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.). Έστω z ο µιγαδικός αριθµός z i, µε, R. (α) ίνεται η εξίσωση: z

Διαβάστε περισσότερα

Ακαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης

Ακαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΒΕΣ 6: ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 26 27, Εαρινό Εξάµηνο Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Το

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ B Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mal: dkugu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://uer.auth.gr/~dkugu/teach/cvltraport/dex.html Εφαρμοσμένη Στατιστική:

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ 5 Πολυωνυµική παρεµβολή Εστω f πραγµατική συνάρτηση της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x ) σε + σηµεία x = του πεδίου ορισµού της Το πρόβληµα εύρεσης µιας συνάρτησης φ (από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 5 Μαθηµατικό Παράρτηµα Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις διαφορών

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 5ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 5ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 5ο Μοναδιαία ρίζα Είδαμε προηγουμένως πως ο έλεγχος της στασιμότητας μιας χρονικής σειράς μπορεί να γίνει με τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ MSc Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ MSc Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ MSc Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ Στις βασικές υποθέσεις των γραμμικών υποδειγμάτων (απλών και πολλαπλών), υποθέτουμε ότι δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση (autocorrelation

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Έννοια του στοχαστικού σήµατος. Θεωρούµε ένα µονοδιάστατο γραµµικό δυναµικό σύστηµα που περιγράφεται από τις σχέσεις:

2.1 Έννοια του στοχαστικού σήµατος. Θεωρούµε ένα µονοδιάστατο γραµµικό δυναµικό σύστηµα που περιγράφεται από τις σχέσεις: Στοχαστικά σήµατα Έννοια του στοχαστικού σήµατος Θερούµε ένα µονοδιάστατο γραµµικό δυναµικό σύστηµα που περιγράφεται από τις σχέσεις: & α Γνρίζουµε µε απόλυτη βεβαιότητα (µε πιθανότητα ένα), ότι η αρχική

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 6 Ο μάθημα: Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα (2)

Χρονικές σειρές 6 Ο μάθημα: Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα (2) Χρονικές σειρές 6 Ο μάθημα: Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα (2) Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό Τμήμα,

Διαβάστε περισσότερα

EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ. Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων

EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ. Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων FIR φίλτρα: Ορίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Προβλέψεων Αυτοπαλινδρομικά Μοντέλα Κινητού Μέσου Όρου (ARIMA)

Τεχνικές Προβλέψεων Αυτοπαλινδρομικά Μοντέλα Κινητού Μέσου Όρου (ARIMA) ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Τεχνικές Προβλέψεων Αυτοπαλινδρομικά Μοντέλα Κινητού Μέσου

Διαβάστε περισσότερα

Χρονοσειρές - Μάθημα 5

Χρονοσειρές - Μάθημα 5 Χρονοσειρές - Μάθημα 5 Εκτίμηση μοντέλου MA(q) στοχαστική διαδικασία AR() X X X X Z Z ~ WN(, Z) στοχαστική διαδικασία MA(q) X Z Z Z Z q q στοχαστική διαδικασία ARMA(,q) X X X X Z Z Z Z q q Εκτίμηση διαδικασίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ (Time-series Analysis)

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ (Time-series Analysis) ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ (Time-series Analysis) Δρ Ιωάννης Δημόπουλος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας Τι είναι η χρονολογική σειρά Χρονολογική σειρά ή Χρονοσειρά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ 4. Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα Εστω R είναι ο γνωστός -διάστατος πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Μία απεικόνιση L :

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Εργασίας: Η χρήση της μεθοδολογίας Box Jenkins στην ανάλυση χρονοσειρών

Τίτλος Εργασίας: Η χρήση της μεθοδολογίας Box Jenkins στην ανάλυση χρονοσειρών ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Τίτλος Εργασίας: Η χρήση της μεθοδολογίας Box Jenkins στην ανάλυση χρονοσειρών Φοιτητής: Μαρκόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 1 / 55 Παρεµβολή Ας υποθέσουµε ότι δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 9 Ο μάθημα: Μεικτά μοντέλα ARMA

Χρονικές σειρές 9 Ο μάθημα: Μεικτά μοντέλα ARMA Χρονικές σειρές 9 Ο μάθημα: Μεικτά μοντέλα ARMA Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό Τμήμα, Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ, ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ARIMA ΚΑΙ SARIMA, ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ BOX-JENKINS

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ, ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ARIMA ΚΑΙ SARIMA, ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ BOX-JENKINS ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ, ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ARIMA ΚΑΙ SARIMA, ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ BOX-JENKINS 5. Η γενική μορφή στάσιμης γραμμικής στοχαστικής διαδικασίας διακριτού χρόνου 5. Υποδείγματα ARIMA

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΤΡΙΤΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ-ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΣΙΜΟΤΗΤΑΣ Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρµογες Της Ψηφιακης Επεξεργασιας Σηµατων. Εκτιµηση Συχνοτητων Με ΙδιοΑναλυση του Μητρωου ΑυτοΣυσχετισης

Εφαρµογες Της Ψηφιακης Επεξεργασιας Σηµατων. Εκτιµηση Συχνοτητων Με ΙδιοΑναλυση του Μητρωου ΑυτοΣυσχετισης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Εφαρµογες Της Ψηφιακης Επεξεργασιας Σηµατων Εκτιµηση Συχνοτητων Με ΙδιοΑναλυση του Μητρωου ΑυτοΣυσχετισης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 07-08 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x A3. ΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. εύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σηµεία καµπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. εύτερη πλεγµένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισµός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Χρονοσειρές - Μάθημα 5

Χρονοσειρές - Μάθημα 5 Χρονοσειρές - Μάθημα 5 Εκτίμηση μοντέλου MA(q) στοχαστική διαδικασία AR(p) p p ~ WN(, ) στοχαστική διαδικασία MA(q) q q στοχαστική διαδικασία ARMA(p,q) p p q q Εκτίμηση διαδικασίας (μοντέλο) AR, MA ή ARMA?

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ

ΑΠΟ ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ ΑΠΟ ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Το ενδιαφέρον επικεντρώνεται πάντα στον πληθυσμό Το δείγμα χρησιμεύει για εξαγωγή συμπερασμάτων για τον πληθυσμό π.χ. το ετήσιο εισόδημα των κατοίκων μιας περιοχής Τα στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 7/5/2000 Μηχανική ΙI Μετασχηµατισµοί Legendre Έστω µια πραγµατική συνάρτηση. Ορίζουµε την παράγωγο συνάρτηση της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα).

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ: ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ: ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ: ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ: ΠΡΟΒΛΕΠΟΝΤΑΣ ΤΟ ΜΕΛΛΟΝ, ΚΑΤΑΝΟΩΝΤΑΣ ΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΕΙΡΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ

ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΕΙΡΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΕΙΡΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ απόκλιση από την κανονικότητα µπορεί να σηµαίνει Ύπαρξη θετικής ή αρνητικής ασυµµετρίας Ύπαρξη λεπτοκύρτωσης, δηλαδή παρουσία ακραίων τιµών που δεν είναι συµβατές

Διαβάστε περισσότερα

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 216-17 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Σήµατα και Συστήµατα Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 007-008 ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής 1η Εργαστηριακή Άσκηση Αναγνώριση

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αθήνα Επανέκδοση

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Στοχαστικών Σηµάτων: Στοχαστικές διεργασίες, Περιγραφή εργοδικών στοχαστικών διεργασιών

Θεωρία Στοχαστικών Σηµάτων: Στοχαστικές διεργασίες, Περιγραφή εργοδικών στοχαστικών διεργασιών ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Θεωρία Στοχαστικών Σηµάτων: Στοχαστικές διεργασίες, Περιγραφή εργοδικών στοχαστικών διεργασιών Βιβλιογραφία Ενότητας Benvento []: Κεφάλαιo Widrow [985]:

Διαβάστε περισσότερα

Χρονοσειρές Μάθημα 3

Χρονοσειρές Μάθημα 3 Χρονοσειρές Μάθημα 3 Ασυσχέτιστες (λευκός θόρυβος) και ανεξάρτητες (iid) παρατηρήσεις Chafield C., The Analysis of Time Series, An Inroducion, 6 h ediion,. 38 (Chaer 3): Some auhors refer o make he weaker

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Εισαγωγή στα Σήματα 1. Σκοποί της Θεωρίας Σημάτων 2. Κατηγορίες Σημάτων 3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

HMY 799 1: Αναγνώριση Συστημάτων

HMY 799 1: Αναγνώριση Συστημάτων HMY 799 : Αναγνώριση Συστημάτων Διάλεξη Στοχαστικές Τυχαίες Μεταβλητές/ Στοχαστικά Σήματα Πειραματικά δεδομένα >Επιλογή τύπου μοντέλου >Επιλογή κριτηρίου >Υπολογισμός >Επικύρωση Προσαρμογή καμπύλης (Curve

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace. 5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα

Διαβάστε περισσότερα

EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ. Διαφορική Παλµοκωδική Διαµόρφωση (DPCM)

EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ. Διαφορική Παλµοκωδική Διαµόρφωση (DPCM) EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ Διαφορική Παλµοκωδική Διαµόρφωση (DCM) Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Προεπισκόπηση Διαφορική Παλµοκωδική Διαµόρφωση

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. Χρόνου (Ι)

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. Χρόνου (Ι) HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Χρόνου (Ι) Στοχαστικά σήματα Στα προηγούμενα: Ντετερμινιστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Στατιστική ανάλυση του γεωχηµικού δείγµατος µας δίνει πληροφορίες για τον γεωχηµικό πληθυσµό που µελετάµε. Συνυπολογισµός σφαλµάτων Πειραµατικά

Διαβάστε περισσότερα

x y max(x))

x y max(x)) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση Μωυσιάδης Χρόνης 6 o Εξάµηνο Μαθηµατικών Ένα Πρόβληµα εδοµένα.6 3. 3.8 4. 4.4 5.8 6.0 6.7 7. 7.8 y 5.6 7.9 8.0 8. 8. 9. 9.5 9.4 9.6 9.9 Έχει σχέση το yµε το ; Ειδικότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 4 ο. Μοναδιαία ρίζα

ΜΑΘΗΜΑ 4 ο. Μοναδιαία ρίζα ΜΑΘΗΜΑ 4 ο Μοναδιαία ρίζα Είδαμε προηγουμένως πως ο έλεγχος της στασιμότητας μιας χρονικής σειράς μπορεί να γίνει με τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης. Ένας άλλος τρόπος που χρησιμοποιείται ευρύτατα στην ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΟΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΟΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΟΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Τίτλος Εργασίας: Ανάλυση και εφαρμογές της μεθοδολογίας BOX JENKINS Πτυχιακή Εργασία των Φωστηρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional).

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional). 3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ Η Μέθοδος των Πεπερασµένων Στοιχείων Σηµειώσεις 3. Ενεργειακή θεώρηση σε συνεχή συστήµατα Έστω η δοκός του σχήµατος, µε τις αντίστοιχες φορτίσεις. + = p() EA = Q Σχήµα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 8// Γ ΕΡΓΑΣΙΑ Μαθηµατικά για την Πληροφορική Ι (ΘΕ ΠΛΗ Η ύλη της εργασίας είναι παράγραφοι 6 και 6 από τη Γραµµική Άλγεβρα και Ενότητες,,, από τον Λογισµό

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΕ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΕ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΕ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ 6. Εισαγωγή 6. Μονομεταβλητές προβλέψεις Βέλτιστη πρόβλεψη και Θεώρημα βέλτιστης πρόβλεψης Διαστήματα εμπιστοσύνης 6.3 Εφαρμογές A. MILIONIS KEF. 6 08 BEA

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 11 Ο μάθημα: Προβλέψεις

Χρονικές σειρές 11 Ο μάθημα: Προβλέψεις Χρονικές σειρές 11 Ο μάθημα: Προβλέψεις Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό Τμήμα, Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

11ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-31/03, 1-2/04/2006. Πρακτικά Συνεδρίου

11ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-31/03, 1-2/04/2006. Πρακτικά Συνεδρίου ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-3/03, -/04/006. Πρακτικά Συνεδρίου Έµµεσες µετρήσεις φυσικών µεγεθών. Παράδειγµα: Ο πειραµατικός υπολογισµός του g µέσω της µέτρησης του χρόνου των αιωρήσεων απλού

Διαβάστε περισσότερα

/ / 38

/ / 38 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-37: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο 205-6 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 0 Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Ασκηση. Ο Κώστας πηγαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ ΑΥΤΟΠΑΛΙΝΔΡΟΜΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ AR(p) Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων Φίλτρο Kalman

EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων Φίλτρο Kalman EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων Φίλτρο Kalma Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Ακολουθιακή Επεξεργασία Τα δείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων.

1.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων. .4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων. Ο τρόπος παρουσίασης της λύσης ενός αντίστροφου προβλήµατος µπορεί να διαφέρει ανάλογα µε τη «φιλοσοφία» επίλυσης που ακολουθείται και τη δυνατότητα παροχής πρόσθετης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ

ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ Ενότητα 4: Time and Frequency Analysis Διδάσκων: Γεώργιος Στεφανίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Για την περιγραφή ενός συστήματος κρίσιμο

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη 7 Nicolas sapatsoulis Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo Wirow

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 2: Mη-στάσιμη χρονοσειρά, έλεγχος μοναδιαίας ρίζας και έλεγχος ανεξαρτησίας

Μάθημα 2: Mη-στάσιμη χρονοσειρά, έλεγχος μοναδιαίας ρίζας και έλεγχος ανεξαρτησίας close index close index Μάθημα : Mη-στάσιμη χρονοσειρά, έλεγχος μοναδιαίας ρίζας και έλεγχος ανεξαρτησίας Σταθεροποίηση διασποράς Απαλοιφή τάσης και περιοδικότητας / εποχικότητας Έλεγχοι μοναδιαίας ρίζας

Διαβάστε περισσότερα