... ονοµάζεται ακολουθία µερικών αθροισµάτων. Το όριό της, καθώς το n τείνει στο άπειρο, n n n 1

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "... ονοµάζεται ακολουθία µερικών αθροισµάτων. Το όριό της, καθώς το n τείνει στο άπειρο, n n n 1"

Transcript

1 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στην ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τα βασικότερα στοιχεία που είναι απαραίτητα για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους Έτσι, δίνονται συστηµατικά οι Ορισµοί όλων των εννοιών που θα µελετήσουµε καθώς και η σχετική ορολογία Ας υποθέσουµε ότι ( ) N κατασκευάζουµε µια νέα ακολουθία ως εξής: είναι µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών Με βάση αυτήν Η ( s ) N s =, s = +, s = + +, s = = k k = ονοµάζεται ακολουθία µερικών αθροισµάτων Το όριό της, καθώς το τείνει στο άπειρο, ονοµάζεται σειρά µε όρους α και συµβολίζεται: = lim s = Όπως είναι φανερό, το προηγούµενο άθροισµα, ακριβώς επειδή έχει άπειρους προσθετέους, δεν είναι πάντοτε ένας πεπερασµένος πραγµατικός αριθµός Έτσι, θα λέµε ότι η παραπάνω σειρά: o Συγκλίνει στο S R αν το όριο lim s = S υπάρχει και είναι πραγµατικός αριθµός o Απειρίζεται θετικά (αντ αρνητικά) αν lim s = (αντ ) o Κυµαίνεται αν το όριο lim s δεν υπάρχει στο R= R {, } o Συγκλίνει απολύτως αν συγκλίνει η σειρά των αντίστοιχων απόλυτων τιµών Σηµειώστε εδώ ότι η απόλυτη σύγκλιση είναι ισχυρότερη της απλής αφού = = = = Έτσι, αν µια σειρά συγκλίνει απολύτως τότε θα συγκλίνει και απλά

2 Παραδείγµατα o Η σειρά = κατασκευάζεται από την ακολουθία + = ονοµάζεται αρµονική σειρά και απειρίζεται θετικά o Η σειρά ( ) = κατασκευάζεται από την ακολουθία = ονοµάζεται γεωµετρική σειρά και συγκλίνει στον αριθµό =, N, = ( ), N, o Η ( ) = κατασκευάζεται από την ακολουθία 4 5 = ονοµάζεται εναλλάσσουσα σειρά και συγκλίνει ( ) =, N, Το βασικό ερώτηµα που µας απασχολεί στις σειρές είναι αν αυτές συγκλίνουν ή όχι Αντίθετα, η εύρεση του ορίου τους είναι ένα πρόβληµα εξετάζεται δευτερευόντως και σε κάθε περίπτωση αφού πρώτα εξασφαλιστεί η σύγκλιση τους Για τον έλεγχο της σύγκλισης ή µη σειρών πραγµατικών αριθµών παρουσιάζουµε στις επόµενες Ενότητες τα βασικότερα κριτήρια που χρησιµοποιούνται ΕΙ ΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΕΙΡΩΝ Στην παράγραφο αυτή παρουσιάζουµε ορισµένες ιδιαίτερες κατηγορίες σειρών των οποίων η συµπεριφορά τόσο ως προς τη σύγκλιση όσο και ως προς το τελικό άθροισµα είναι γνωστή Γεωµετρικές Σειρές Γεωµετρική ονοµάζεται κάθε σειρά της µορφής: r, = όπου r είναι πραγµατικός αριθµός Πρόκειται δηλαδή για το άθροισµα άπειρων όρων της γεωµετρικής προόδου µε λόγο r Μπορούµε, εποµένως, να προσδιορίσουµε ακριβώς τόσο τους όρους της ακολουθίας των µερικών αθροισµάτων:

3 s = r = s = r + r = + r,, s = r + r + r = + r+ r, + r = =, r s r r r όσο και την τελική συµπεριφορά της σειράς: r + r = lim s = lim = r Λαµβάνοντας υπόψη µας τις ιδιότητες των ορίων ακολουθιών συµπεραίνουµε ότι: Η γεωµετρική σειρά r συγκλίνει όταν = r < (αφού τότε lim r + = ) και το τελικό άθροισµά της είναι ίσο µε r Απειρίζεται θετικά όταν r, αφού τότε Κυµαίνενται όταν r, αφού τότε το όριο lim r + lim r + = και + r lim = = r r δεν υπάρχει Παραδείγµατα Η σειρά Η σειρά = συγκλίνει, αφού < και το άθροισµά της είναι ίσο µε = = απειρίζεται θετικά, αφού > Η σειρά ( ) κυµαίνεται, αφού < Πράγµατι, αν υπολογίσουµε τους πρώτους όρους της = ακολουθίας των µερικών αθροισµάτων βλέπουµε ότι: s s s s s 4 = = + ( ), = + = = ( ) ( ), = + + = + = + ( ) ( ) ( ) 4, = = + = ( ) ( ) ( ) ( ) 4 8 5, = = + + = + 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 8 6

4 ηλαδή οι όροι της δεν συγκλίνουν προς κάποια συγκεκριµένη κατεύθυνση αλλά κυµαίνονται εναλλασσόµενοι µεταξύ αρνητικών και θετικών τιµών 4 Προσοχή πρέπει να δείξει κανείς στις περιπτώσεις εκείνες που η υπό µελέτη σειρά έχει όρους που ξεκινάνε από τον δείκτη =, και όχι από = Αν, για παράδειγµα, θεωρήσουµε την =, τότε ως προς την σύγκλιση ή µη δεν υπάρχει καµία διαφοροποίηση (η σειρά συγκλίνει αφού < ) αλλά υπάρχει αλλαγή στο τελικό άθροισµά αφού έχουµε έναν όρο λιγότερο, αυτόν που προκύπτει για = Έτσι: = = = = Γενικότερα ισχύει ότι: r r =, όταν r = r < p-σειρές Ιδιαίτερα χρήσιµη στην σύγκριση µε άλλες σειρές, και µέσω αυτής στον έλεγχο της σύγκλισής τους ή µη, είναι η κατηγορία των p-σειρών Πρόκειται, συγκεκριµένα, για τις σειρές που έχουν την µορφή: (p) = p ζ =, οι οποίες συγκλίνουν όταν p> ενώ αποκλίνουν για p Παραδείγµατα Η σειρά (γνωστή και ως αρµονική σειρά) δεν συγκλίνει αφού είναι p-σειρά µε p= = Η σειρά συγκλίνει αφού είναι p-σειρά µε p=> = Τηλεσκοπικές Σειρές Μια σειρά = της οποίας οι όροι µπορούν να γραφούν στην µορφή: 4

5 ( ) = b b + N ονοµάζεται τηλεσκοπική σειρά Ο έλεγχος της σύγκλισης καθώς και ο προσδιορισµός του τελικού αθροίσµατος των σειρών αυτών είναι σχετικά απλός αφού για την ακολουθία των µερικών αθροισµάτων ισχύει ότι: s = = = ( b b) + ( b b) + ( b b4) + + ( b b) + ( b b+ ) = =b b + Εποµένως η σειρά θα συγκλίνει αν και µόνο αν υπάρχει το όριο lim b + και το τελικό άθροισµά της θα είναι ίσο µε = b lim b+ = Παραδείγµατα Η σειρά είναι τηλεσκοπική γιατί = ( + )( + ) ( )( ) = Εποµένως, = lim = = = ( )( ) Η σειρά είναι τηλεσκοπική γιατί = ( )(+ ) = ( )(+ ) + και = = = ( )( ) = + + ισχύει ότι lim ( ) Η σειρά είναι τηλεσκοπική γιατί 4 = / / = 4 + και ισχύει ότι / = lim = = + 4 = 4Εναλλάσσουσες Σειρές Οι σειρές των οποίων οι όροι εναλλάσσουν το πρόσηµό τους συνεχώς ονοµάζονται εναλλάσσουσες Πρόκειται, δηλαδή, για σειρές της µορφής: ( ) = 5

6 Αν σε µια τέτοια σειρά η ακολουθία ( ) N που την παράγει είναι θετική και φθίνουσα (ισχύει δηλαδή ότι: + για κάθε δεικτη =,, ), τότε η σειρά συγκλίνει και για το τελικό άθροισµά της S ισχύει ότι k ( ) k = S + ηλαδή, όταν προσεγγίσουµε το άθροισµα της σειράς µε το µερικό άθροισµα των όρων µέχρι και τάξης k, το σφάλµα που προκύπτει δεν υπερβαίνει, κατ απόλυτη τιµή, τον όρο της επόµενης τάξης Παραδείγµατα Η σειρά = ( ) = + + L πληρεί τις υποθέσεις που αναφέραµε προηγουµένως + 4 αφού είναι εναλλάσσουσα και η ακολουθία είναι θετική και φθίνουσα Εποµένως + συγκλίνει Αν τώρα προσεγγίσουµε το άθροισµά της µε το µερικό άθροισµα τάξης 8 (αν κρατήσουµε δηλαδή τους όρους για =,,,,8): 8 ( ) = + + L +, = τότε το σφάλµα είναι µικρότερο ή ίσο του όρου τάξης 9: 9+ = (προφανώς όχι και τόσο καλή εκτίµηση Πρέπει να φτάσουµε µέχρι τον όρο µε =98 για να είµαστε βέβαιοι, ότι το σφάλµα είναι µικρότερο ή ίσο του ) Η σειρά ( ) συγκλίνει για κάθε p> (σε αντίθεση µε τις p-σειρές που παρουσιάσαµε p = προηγουµένως) Πράγµατι, πρόκειται, προφανώς, για µία εναλλάσσουσα σειρά ενώ η ακολουθία p είναι φθίνουσα (αφού p>): N p p p p p ( + ) Η εναλλάσσουσα σειρά ( ) συγκλίνει γιατί η ακολουθία! = = είναι προφανώς! θετική και φθίνουσα: 6

7 + + ( + )! = = + ( + )! 4 Η εναλλάσσουσα σειρά φθίνουσα: ( ) συγκλίνει γιατί η ακολουθία + = = +, = ( ) = N = είναι θετική και + Επιπλέον, αν θέλουµε να πετύχουµε ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων, δηλαδή το σφάλµα της προσέγγισης να είναι µικρότερο του, θα πρέπει: + < < > 49 + Εποµένως, θα πρέπει να υπολογίσουµε το άθροισµα τουλάχιστον των πρώτων 5 όρων της σειράς Ασκήσεις Βρείτε τα αθροίσµατα των επόµενων σειρών στις περιπτώσεις εκείνες που αυτές συγκλίνουν: i (Απάντηση: 4 ) 5 = ii iii iv + + (Απάντηση: ) (Απάντηση: αποκλίνει) 9 7 ( ) (Απάντηση: κυµαίνεται) = + (Απάντηση: ) v = ( + ) vi (Απάντηση: = ( + 4)( + 5) 5 ) Ελέγξτε ως προς τη σύγκλιση τις επόµενες σειρές: 7

8 i ii iii iv v ( ) (Απάντηση: συγκλίνει) = ( ) (Απάντηση: συγκλίνει) e = (Απάντηση: συγκλίνει) = ( ) (Απάντηση: συγκλίνει) = ( ) (Απάντηση: αποκλίνει) = 5 vi (Απάντηση: συγκλίνει) 5 = vii viii l ( ) (Απάντηση: συγκλίνει) = + ( ) (Απάντηση: αποκλίνει) = ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ Τα βασικότερα κριτήρια σύγκλισης σειρών, δηλαδή κανόνες που µας βοηθούν να αποφασίζουµε αν µια σειρά συγκλίνει ή όχι, παρουσιάζονται στην Ενότητα αυτή Ένα πρώτο βασικό συµπέρασµα Αρχικά µπορεί κανείς να παρατηρήσει ότι για να υπάρχει πιθανότητα σύγκλισης µιας σειράς =, δεδοµένου ότι αυτή είναι µια άθροιση άπειρων αριθµών, θα πρέπει οι προσθετέοι να µικραίνουν συνεχώς τείνοντας στο µηδέν: Αν η σειρά συγκλίνει, τότε lim α = Αυτό που πρέπει να προσέξει ο αναγνώστης εδώ είναι ότι το αντίστροφο συµπέρασµα δεν ισχύει: = 8

9 εν αρκεί η διαπίστωση ότι το όριο της ακολουθίας α, που παράγει τη σειρά, είναι µηδέν για να εξασφαλίσουµε ότι η σειρά συγκλίνει Υπάρχουν, όπως θα δούµε στης συνέχεια, παραδείγµατα σειρών που δεν συγκλίνουν παρά το γεγονός ότι παράγονται από µηδενικές ακολουθίες Σε κάθε περίπτωση όµως, το προηγούµενο συµπέρασµα µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την διαπίστωση της µη σύγκλισης της σειράς αν η ακολουθία που την παράγει δεν τείνει στο µηδέν: Αν lim α, τότε η σειρά = δεν συγκλίνει Παραδείγµατα Η σειρά ( ) έχει πιθανότητες να συγκλίνει αφού = lim ( ) = εν µπορούµε όµως πέρα από αυτό να πούµε τίποτε άλλο θετικότερα Άλλωστε, όπως είδαµε στην προηγούµενη Ενότητα, η υπό µελέτη σειρά εντάσσεται στη κατηγορία των γεωµετρικών σειρών και συγκλίνει στον αριθµό = Η σειρά έχει επίσης πιθανότητες σύγκλισης αφού = lim = Όµως, όπως επίσης είδαµε στην προηγούµενη Ενότητα, η εν λόγω σειρά απειρίζεται αφού είναι µία p-σειρά µε p= (πρόκειται, συγκεκριµένα, για την αρµονική σειρά) Έχουµε έτσι και ένα συγκεκριµένο (αντί)παράδειγµα που βεβαιώνει ότι δεν αρκεί η σύγκλιση της ακολουθίας, από την οποία προέρχεται η σειρά, στο µηδέν για να εξασφαλισθεί η σύγκλισή της Η + δεν συγκλίνει αφού = + lim = 4 Αν α είναι ακολουθία µη µηδενικών αριθµών ώστε α + α - α + = α α +, αποδείξτε ότι η σειρά α δεν συγκλίνει = α+ Πράγµατι, η υπόθεση δίνει ότι + = + = + = () Έτσι αν υποθέσουµε ότι η σειρά α α α lim = lim = συγκλίνει, θα πρέπει = α + α + α κάτι που έρχεται σε αντίθεση µε την σχέση (): Θα είχαµε τότε ότι += 9

10 Το Κριτήριο Λόγου (d Alembert) Έστω σειρά πραγµατικών αριθµών µε = α, για κάθε N µε p, όπου p σταθερός φυσικός αριθµός Υποθέτουµε, µε άλλα λόγια, ότι το µηδέν δεν περιέχεται στους όρους της σειράς από κάποιον δείκτη και µετά Τότε: Αν + r <, για κάθε φυσικό ( N ), (ή, ειδικότερα, αν η σειρά συγκλίνει + lim < ), τότε Αν +, για κάθε φυσικό ( N ), (ή, ειδικότερα, αν + lim > ), τότε η σειρά δεν συγκλίνει στο R, οπότε είτε θα απειρίζεται είτε θα κυµαίνεται Αν + lim =, τότε δεν µπορούµε να απαντήσουµε θετικά αν η σειρά συγκλίνει ή όχι µε βάση το Κριτήριο του Λόγου Παραδείγµατα Η σειρά συγκλίνει γιατί: ( )! = ( + )! ( + )! = = = = <, ( + )! + 4 ( + )! για κάθε φυσικό Επίσης µπορεί κανείς να παρατηρήσει ότι + lim = lim = < + Η σειρά + = 5 συγκλίνει γιατί: Την µετατρέπουµε αρχικά σε άθροισµα δύο, απλούστερων, σειρών: + = = = = Κάθε µία από τις δύο νέες σειρές συγκλίνει γιατί:

11 = = < και 5 5 b + b = = < 5 5 Εποµένως, και το άθροισµά τους (ως άθροισµα δύο συγκλινουσών ακολουθιών) θα είναι συγκλίνουσα σειρά Εναλλακτικά θα µπορούσαµε να παρατηρήσουµε ότι πρόκειται για δύο γεωµετρικές σειρές µε λόγους απολύτως µικρότερους της µονάδας και άρα συγκλίνουσες Η σειρά συγκλίνει γιατί: = + = = = < +, + για κάθε φυσικό N 4 Η σειρά δεν συγκλίνει γιατί: = ( + ) = = = ( ) ( + ) + Όµως το όριο της προηγούµενης παράστασης είναι µεγαλύτερο του αφού: + + lim ( ) = lim( ) = = > 5 Η σειρά συγκλίνει γιατί:! =! 6 Η σειρά συγκλίνει γιατί: = ( + )!!! = = = = < ( + )!! ( + ) +!

12 ( + )! + + ( + ) ( + )!! ( + )! + ( + )! ( + ) ( + )! ( + ) = = = = = = = = < ( + ) + e + 7 Η σειρά = συγκλίνει γιατί:! ( + ) + ( + )! ( + )! +! + = = = ( ) = ( ) = < ( + )!! ( + ) +! 8 Για την σειρά (c > ) = c παρατηρούµε ότι: ( + ) + + c ( + ) c + = = = ( ) = + c c c c c Εποµένως η υπό µελέτη σειρά συγκλίνει όταν c> (οπότε c <) και αποκλίνει όταν c (οπότε c ) 9 Για την σειρά παρατηρούµε ότι: 4 Ο γενικός όρος της είναι ( + ), αφού Για =: για =: για =: = ( + ) (+ ) = ( + ) (+ ) = ( + ) (+ ) 4,,, κοκ Εφαρµόζοντας έτσι το Κριτήριο του Λόγου έχουµε:

13 συνεπώς η σειρά αποκλίνει ( + ) ( + ) + + ( + ) = = = = >, ( + ) Όπως γίνεται φανερό και από τα προηγούµενα παραδείγµατα, το Κριτήριο του Λόγου είναι ιδιαίτερα αποτελεσµατικό σε εκείνες τις περιπτώσεις σειρών όπου οι όροι τους είναι µορφής που οδηγεί σε απλοποιήσεις όταν κανείς θεωρήσει το πηλίκο + Κυριότερες περιπτώσεις αυτής της κατηγορίας σειρών είναι εκείνες που εµφανίζουν παραγοντικά ή δυνάµεις του Το Κριτήριο Ρίζας (Cuchy) Έστω = σειρά πραγµατικών αριθµών Τότε: Αν r<, για κάθε φυσικό ( N ), (ή, ειδικότερα, αν lim < ), τότε η σειρά συγκλίνει Αν, για άπειρο πλήθος δεικτών (ή, ειδικότερα, αν lim > ), τότε η σειρά δεν συγκλίνει στο R Αν lim =, τότε δεν µπορούµε να απαντήσουµε θετικά αν η σειρά συγκλίνει ή όχι µε βάση το Κριτήριο της Ρίζας Παραδείγµατα Η σειρά = 4 5 συγκλίνει γιατί: 4 4 = = <, για κάθε φυσικό 5 5 Η σειρά L+ + L συγκλίνει γιατί: 4

14 Ο γενικός της όρος είναι = και = = < Η σειρά = 5 συγκλίνει γιατί: = = = < Η δεν συγκλίνει γιατί: = = = = > 5 Η σειρά συγκλίνει γιατί: 7 = = = = < Η σειρά + = δεν συγκλίνει γιατί: + + = = > 7 Η σειρά = α + συγκλίνει όταν η παράµετρος α είναι αρνητική γιατί: α α = + = + e α Οπότε για να είναι το όριο µικρότερο της µονάδας θα πρέπει e e e α α < < < 4

15 4 Κριτήρια Σύγκρισης Σειρών Παρουσιάζουµε εδώ δύο από τους βασικότερους κανόνες σύγκρισης σειρών Πρόκειται για ιδιαίτερα αποτελεσµατικά κριτήρια σύγκλισης τα οποία χρησιµοποιούνται όταν τα (πιο στοιχειώδη) κριτήρια του Λόγου και της Ρίζας δεν οδηγούν σε ασφαλή συµπεράσµατα 4 Ένα απλό Κριτήριο Σύγκρισης Θεωρούµε δύο σειρές θετικών όρων:, = β για τις οποίες ισχύει ότι = M β ( N ), όπου Μ θετικός πραγµατικός αριθµός Τότε: Αν η σειρά των µεγαλύτερων όρων = β συγκλίνει, τότε συγκλίνει και αυτή των µικρότερων = Αν η σειρά των µικρότερων όρων = δεν συγκλίνει, τότε δεν συγκλίνει και αυτή των µεγαλύτερων β = Παραδείγµατα Η σειρά + 4 = 4 δεν συγκλίνει γιατί: και όπως είδαµε η αρµονική σειρά, + 4 > 4 = δεν συγκλίνει = Η συγκλίνει γιατί: 5 = + και η = 5 και η αρχική συγκλίνουν < = , είναι γεωµετρική σειρά µε λόγο µικρότερο της µονάδας Άρα τόσο αυτή όσο 5

16 Η δεν συγκλίνει γιατί: = + = = + + Πρόκειται δηλαδή για σειρά µε όρους µεγαλύτερους από ότι η (αποκλίνουσα) αρµονική 4 Η σειρά συγκλίνει Πράγµατι, παρατηρούµε αρχικά ότι 5 = (5 + ) = + (5 + ) Εποµένως, = + (5 + ) = = = Όµως, και οι δύο επιµέρους σειρές που εµφανίσαµε συγκλίνουν γιατί: < = ( ) Η 5 = και η γεωµετρική σειρά είναι p-σειρά µε p=5> ( ) συγκλίνει, αφού = 5 5 <, Έτσι, και η αρχική σειρά θα συγκλίνει ως άθροισµα συγκλινουσών σειρών 5 Για την σειρά + παρατηρούµε ότι: + = / / + > = + + / για κάθε > Όµως, η σειρά ζ (/) = αποκλίνει, εποµένως και η αρχική σειρά αποκλίνει / = 6 Αντίστοιχα, για την έχουµε: < = = + + συγκλίνει, εποµένως το ίδιο ισχύει και για την αρχική σειρά Όµως, η ζ (/ ) = / = συν(π) 7 Η σειρά συγκλίνει για οποιεσδήποτε τιµές των πραγµατικών παραµέτρων, b: b + = 6

17 Ελέγχουµε την (ισχυρότερη) απόλυτη σύγκλιση συγκρίνοντας µε την συγκλίνουσα ζ () = Πράγµατι: = συν ( π ) < b + b +, συν(π) εποµένως η συγκλίνει απολύτως, άρα και απλά b + = 4 Το Γενικευµένο Κριτήριο Σύγκρισης Σειρών Θεωρούµε δύο σειρές θετικών πραγµατικών αριθµών:, β (ιδιαίτερα για την δεύτερη = = υποθέτουµε ότι > β ) για τις οποίες ισχύει ότι lim = c > Τότε οι δύο σειρές έχουν την β ίδια συµπεριφορά ως προς τη σύγκλιση ηλαδή είτε συγκλίνουν και οι δύο είτε αποκλίνουν και οι δύο Παραδείγµατα Η σειρά δεν συγκλίνει γιατί αν συγκριθεί µέσω του Γενικευµένου Κριτηρίου µε την 4 = αρµονική σειρά έχουµε: = 4 4 = > Έτσι, αφού η αρµονική σειρά δεν συγκλίνει, το ίδιο θα ισχύει και για την υπό µελέτη σειρά Η σειρά συγκλίνει γιατί αν την συγκρίνουµε µε την (συγκλίνουσα) γεωµετρική σειρά = + ( ) έχουµε: = 7

18 lim + = lim = lim = = > Για την ηµ ( ) παρατηρούµε (χρησιµοποιώντας τον κανόνα de l Hospitl για τον + = υπολογισµό ορίων) ότι: Εποµένως η ηµ ( ) = ( ) ( ( )) lim ηµ ηµ = lim = lim = limσυν = συν = > ηµ ( ) έχει την ίδια συµπεριφορά ως προς τη σύγκλιση µε την αρµονική σειρά, + = δηλαδή αποκλίνει 4 Η σειρά συγκλίνει γιατί : = ( + ) ( + ) + lim = lim = lim = lim = lim = > / Εποµένως αφού ή ζ (/ ) = συγκλίνει, το ίδιο θα ισχύει και για την αρχική σειρά = Ασκήσεις Ελέγξτε ως προς τη σύγκλιση τις επόµενες σειρές χρησιµοποιώντας το Κριτήριο του Λόγου: i ii iii ( + )( + ) (Απάντηση: συγκλίνει)! = (Απάντηση: αποκλίνει) = + (Απάντηση: αποκλίνει) (l ) = 8

19 iv v vi ( + ) (Απάντηση: συγκλίνει)! = (Απάντηση: αποκλίνει) = ( + ) (Απάντηση: αποκλίνει) = Ελέγξτε ως προς τη σύγκλιση τις επόµενες σειρές χρησιµοποιώντας το Κριτήριο της Ρίζας: i ii (Απάντηση: συγκλίνει) (l ) = (Απάντηση: συγκλίνει) = iii ( ) (Απάντηση: συγκλίνει) = + iv ( + ) ( ) (Απάντηση: συγκλίνει) = Ελέγξτε ως προς τη σύγκλιση τις επόµενες σειρές χρησιµοποιώντας το Κριτήριο της Σύγκρισης: i (Απάντηση: συγκλίνει) = + ii (Απάντηση: αποκλίνει) + = iii l (Απάντηση: συγκλίνει για p>) p = iv (Απάντηση: αποκλίνει) 4 = v + (Απάντηση: αποκλίνει) = 9

20 4 ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = , όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται εδώ πραγµατικοί αριθµοί Κάποιες από τις βασικότερες ιδιότητες των πολυωνύµων: o Το πολυώνυµο p() λέµε ότι είναι -βαθµού αν είναι η µεγαλύτερη δύναµη της µεταβλητής που εµφανίζεται σε αυτό Με το συµβολισµό που χρησιµοποιήσαµε παραπάνω, αυτό εξασφαλίζεται αν o Κάθε πολυώνυµο είναι απεριόριστες φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση µε παραγώγους που υπολογίζονται εύκολα: p = ( ), p = κλπ ( ) 6 ( ), o Τα πολυώνυµα είναι επίσης απεριόριστες φορές ολοκληρώσιµες συνάρτησεις µε ολοκληρώµατα που υπολογίζονται χωρίς δυσκολίες: + pd ( ) = Όπως γίνεται φανερό, πρόκειται για συναρτήσεις µε ευκολίες που δεν συναντά κανείς σε όλες τις συναρτήσεις Γι αυτόν ακριβώς τον λόγο είναι ιδιαίτερα χρήσιµη στην Μαθηµατική Ανάλυση η δυνατότητα προσέγγισης µιας συνάρτησης µέσω πολυωνύµων 4 Πολυωνυµική προσέγγιση µέσω του αναπτύγµατος Tylor Θα ξεκινήσουµε µελετώντας την πολυωνυµική προσέγγιση συναρτήσεων µέσω του αναπτύγµατος Tylor Θεωρούµε µια πραγµατική συνάρτηση f ( ) ορισµένη στο διάστηµα [,b] (το οποίο µπορεί να είναι και ολόκληρο το σύνολο των πραγµατικών αριθµών), για την οποία υποθέτουµε ότι έχει παραγώγους µέχρι και + τάξεως Ζητάµε να προσδιορίσουµε το

21 πολυώνυµο εκείνο p() που αποτελεί την καλύτερη προσέγγιση της f() βάσει του εξής κριτηρίου: Οι τιµές των f() και p() καθώς και των παραγώγων τους µέχρι -τάξης συµπίπτουν στο σηµείο : ( ) ( ) p( ) = f ( ), p ( ) = f ( ), p ( ) = f ( ),, p ( ) = f ( ) Αποδεικνύεται τότε ότι το ζητούµενο προσεγγιστικό πολυώνυµο είναι το ( ) f ( ) f ( ) p( ) = f( ) + f ( ) ( ) + ( ) + + ( )!! Το σφάλµα της προσέγγισης αυτής στο σηµείο είναι ίσο µε ( + ) f ( ξ ) R( ) = f( ) p( ) = ( ) ( + )! όπου ξ σηµείο του διαστήµατος (α,) Αξίζει επίσης να τονισθεί ιδιαίτερα ότι στην περίπτωση που η συνάρτηση f() είναι απεριόριστες φορές παραγωγίσιµη, τότε ο βαθµός του προσεγγιστικού πολυωνύµου µπορεί να θεωρηθεί ότι τείνει στο άπειρο ενώ το αντίστοιχο σφάλµα αποδεικνύεται ότι τείνει στο µηδέν Έτσι επιτυγχάνεται η ισότητα (και όχι προσέγγιση πια): = + ( ) f ( ) f ( ) = ( ) (4)! Το προηγούµενο ανάπτυγµα της συνάρτησης f σε σειρά δυνάµεων ονοµάζεται ανάπτυγµα Tylor (Mcluri αν ως κέντρο της σειράς επιλεγεί το σηµείο α=) και συγκλίνει, σύµφωνα µε το κριτήριο της ρίζας, όταν: f ( ) < < < = r ( ) ( ) f ( ) lim ( ( ) ) lim ( )!! ( ) f ( ), lim ( )! Ο αριθµός r ονοµάζεται ακτίνα σύγκλισης της σειράς Tylor Έτσι, η σειρά συγκλίνει για όλους τους πραγµατικούς αριθµούς που ανήκουν στο διάστηµα (-r,+r) το οποίο και ονοµάζεται διάστηµα σύγκλισης 4 Αναπτύγµατα Tylor βασικών (στοιχειωδών) συναρτήσεων Στην παράγραφο αυτή δίνουµε τα αναπτύγµατα σε σειρές Tylor των βασικότερων στοιχειωδών συναρτήσεων Βασιζόµενοι σε αυτά, καθώς και σε τεχνικές που θα αναπτύξουµε στην επόµενη Ενότητα, µπορούµε να επιτύχουµε την ανάπτυξη σε σειρά Tylor µεγάλης κατηγορίας συναρτήσεων

22 4 Η εκθετική συνάρτηση Για την συνάρτηση f()=e, R, η οποία, όπως είναι γνωστό, είναι απεριόριστες φορές παραγωγίσιµη, ισχύει ότι: f e f e ( ) = () = = ( ) f e e f e ( ) = = () = = f = f = e = e f = e = ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) f ( ) = e f () = e = Αντικαθιστώντας τις τιµές αυτές στον τύπο (4), µε κέντρο το σηµείο α=, παίρνουµε το ανάπτυγµα Mcluri της εκθετικής συνάρτησης: ( ) f () ( ) e = e =!! = = 4 Η λογαριθµική συνάρτηση l Για την συνάρτηση f()=l η οποία είναι, επίσης, απεριόριστες φορές παραγωγίσιµη στο πεδίο ορισµού της (, ), επιλέγουµε ως κέντρο το σηµείο = και έχουµε: f( ) = l f() = l= f ( ) = ( l ) = f () = = f ( ) = ( f ( ) ) = = f () = f ( ) = ( f ( ) ) = f () = = (4) (4) f ( ) ( f ( ) ) = = f () = = 4 ( ) ( )! ( ) f ( ) = ( ) f () = ( ) ( )! Αντικαθιστώντας τις τιµές αυτές στον τύπο (4), µε κέντρο το σηµείο α=, έχουµε: ( ) f () ( ) ( )! l = ( ) = ( )!! = = ( ) l = ( ), < = Ισοδύναµα ο προηγούµενος τύπος µπορεί να γραφεί και ως εξής:

23 ( ) l( + ) =, < = 4 Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις Οι συναρτήσεις του ηµιτόνου f()=si και του συνηµιτόνου g()=cos είναι παραγωγίσιµες σε όλο το σύνολο των πραγµατικών αριθµών και αναπτύσσονται σε σειρές Tylor µε κέντρο µηδέν ως εξής: f ( ) = si f () = si =, g( ) = cos g () = cos =, f ( ) = si = cos f () = cos =, g ( ) = cos = si g () = si = ( ) ( ) f ( ) cos si f () ( ) si =, g ( ) = si = cos g () = cos = = ( ) = = ( ) f ( ) = si = cos f () = cos =, g ( ) = cos = si g () = si = f ( ) ( ), = k () = k ( ), = k + k ( ) ( ), = k g () =, = k + Έτσι, αντικαθιστώντας στον γενικό τύπο (4), έχουµε: si ( ) = R, (k + )! k k+, k= ( ) = R ( k)! k k c os, k= 44 Η συνάρτηση f( ) = + Το ανάπτυγµα Mcluri της συνάρτησης εναλλάσσουσα γεωµετρική σειρά δυνάµεων του : f( ) =, <, + µας δίνει την

24 f( ) = f() = + f ( ) = = f () = + ( + ) f ( ) = f () ( ) = = + ( + ) f ( ) = f () 4 ( ) = = + ( + ) (4) 4 (4) f ( ) = f () ( ) = = + ( + ) f ( )! ( ) ( ) = f () ( )! ( + ) = + Συνεπώς, ( ) f () ( )! = ( ) = +!! = = = ( ), < + = 45 Η διωνυµική σειρά Γενίκευση της προηγούµενης περίπτωσης αποτελεί το ανάπτυγµα της συνάρτησης f( ) = ( + ), R : ( ) f( ) = ( + ) f() =, ( ) f f ( ) = ( + ) = ( + ) () =, f = + = + f = ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ), ( ) ( ) f f ( ) = ( ) ( + ) ( + ) () = ( ) ( + ) Εποµένως, 4

25 ( ) ( + ) ( + ) = =, < =! = 4 Ανάπτυγµα σε σειρά Tylor τυχούσας συνάρτησης Χρησιµοποιώντας τα αποτελέσµατα της προηγούµενης παραγράφου θα δώσουµε εδώ παραδείγµατα τεχνικών υπολογισµού αναπτυγµάτων Tylor πιο σύνθετων συναρτήσεων 4 Υπολογισµός σειράς Tylor µε συνδυασµό ή σύνθεση των αναπτυγµάτων των στοιχειωδών συναρτήσεων Οι συναρτήσεις υπερβολικού ηµιτόνου και συνηµιτόνου Με την βοήθεια του αναπτύγµατος της εκθετικής συνάρτησης (44) αναπτύσσουµε άµεσα σε σειρές Tylor και τις υπερβολικές τριγωνοµετρικές συναρτήσεις: e e ( ) sih = = e e = ( ) = ( ) =!!!! = = = = [ ( ) ]! (k+ )!! 5! k+ 5 = = = = k= =, αν = k+ [ ( ) ]!! κι αυτό γιατί =! =, αν = k! Ανάλογα υπολογίζεται και το ανάπτυγµα του υπερβολικού συνηµιτόνου: e + e ( ) cosh = = e + e = + ( ) = ( + ) =!!!! = = = = [ + ( ) ]! ( k)! 4! k 4 = = = = k= Τα αναπτύγµατα αυτά ισχύουν για κάθε πραγµατικό αριθµό Η συνάρτηση Χρησιµοποιώντας το ανάπτυγµα (44) έχουµε: 5

26 = = = = < + ( ) ( ) ( ) ( ), = = = 44 Εφαρµογές Στην παράγραφο αυτή παρουσιάζουµε κάποιες από τις βασικότερες εφαρµογές/δυνατότητες που αποκτάµε µε την χρήση των αναπτυγµάτων Tylor 44 Υπολογισµός απροσδιόριστων µορφών ορίων Οι σειρές Tylor χρησιµοποιούνται συχνά για τον υπολογισµό ορίων απροσδιορίστων µορφών Πιο συγκεκριµένα, εάν P ( ), Q ( ) είναι πραγµατικές συναρτήσεις και P( ) =, µπορούµε να lim Q ( ) αναλύσουµε τον αριθµητή και παρανοµαστή σε σειρές Tylor κέντρου και να υπολογίσουµε τα ζητούµενα όρια µετά από απλοποιήσεις των κοινών παραγόντων που θα εµφανιστούν si Παράδειγµα Να υπολογιστεί το όριο lim Το ανάπτυγµα Tylor (κέντρου ) του αριθµητή είναι: και άρα το όριο γίνεται! 5! 6 si = si lim = lim ( + ) = lim( + ) =! 5!! 5! 44 Προσεγγιστικοί υπολογισµοί Η προσέγγιση συναρτήσεων από πολυώνυµα µέσω των σειρών Tylor µπορεί να χρησιµοποιηθεί και ως βάση για τον προσεγγιστικό υπολογισµό παραστάσεων που προκύπτουν από µη πολυωνυµικές συναρτήσεις Ας υποθέσουµε, για παράδειγµα, ότι θέλουµε να υπολογίσουµε προσεγγιστικά την τιµή του e Είναι προφανές ότι αυτή προκύπτει ως η τιµή της συνάρτησης f()=e στην θέση = Χρησιµοποιώντας έτσι το ανάπτυγµα Tylor της τελευταίας (βλ και 4) e = = !!! 4! = έχουµε, αντικαθιστώντας όπου =: 4 6

27 Προσέγγιση µε πολυώνυµο ης τάξης: + = + = Προσέγγιση µε πολυώνυµο ης τάξης: + + =,5! Προσέγγιση µε πολυώνυµο ης τάξης: = !! 4 Προσέγγιση µε πολυώνυµο 4ης τάξης: = 78!! 4! 4 5 Προσέγγιση µε πολυώνυµο 5ης τάξης: = 76666!! 4! 5! Προσέγγιση µε πολυώνυµο 6ης τάξης: = 7855!! 4! 5! 6! κλπ Αν θέλαµε λοιπόν στον προηγούµενο προσεγγιστικό υπολογισµό µας ακρίβεια δεκαδικών ψηφίων θα µπορούσαµε να σταµατήσουµε στο πολυώνυµο 5 ης τάξης αφού αυτό και το επόµενο (6 ης τάξης) δίνουν το ίδιο αποτέλεσµα στα πρώτα δεκαδικά ψηφία 44 Υπολογισµός Ολοκληρωµάτων Χρησιµοποιώντας το γεγονός ότι Αν f ( ) = ( ) είναι δυναµοσειρά µε ακτίνα σύγκλισης R, τότε = για κάθε α, β ( -R, +R) ισχύει f ( d ) = ( ( ) d) β α β, = α µπορούµε να υπολογίζουµε ορισµένα ολοκληρώµατα χρησιµοποιώντας τα αντίστοιχα αναπτύγµατα Tylor Παράδειγµα Υπολογίστε το ολοκλήρωµα cos d, χρησιµοποιώντας την κατάλληλη δυναµοσειρά για το cos µε = Μέχρι ποιας τάξης όρους πρέπει να κρατήσετε για να µπορείτε να ισχυρισθείτε ότι βρήκατε το αποτέλεσµα µε ακρίβεια 5 δεκαδικών ψηφίων; Χρησιµοποιώντας το ανάπτυγµα του συνηµιτόνου ζητούµενο ολοκλήρωµα: cos = + +, υπολογίζουµε το! 4! 6! 8! 7

28 cos I = d = ( ) d ( ) d + =! 4! 6! 8! +! 4! 6! 8! ( ) ( ) = ( ( ) ) d = d = = ( )! ( )! ( )! = = = = Το αποτέλεσµα, κρατώντας στο ανάπτυγµα του συνηµιτόνου όρους µέχρι και 8 ης τάξης, είναι: Ι 8 = 9874 Αν σταµατούσαµε όµως σε όρους 6 ης τάξης θα παίρναµε την εκτίµηση Ι 6 = 9848, η οποία είναι ακριβής όσον αφορά στα 5 πρώτα δεκαδικά ψηφία αφού ο όρος 8 ης τάξης αφαιρεί ποσότητα που είναι περίπου Άλλα Παραδείγµατα Λυµένες Ασκήσεις ώστε το ανάπτυγµα σε σειρά Tylor για την συνάρτηση = ( ), = < = = γύρω από το Να υπολογίσετε προσεγγιστικά την ποσότητα µε ακρίβεια 6 δεκαδικών ψηφίων Η ζητούµενη ποσότητα είναι ίση µε την τιµή της συνάρτησης f ( ) = + στο σηµείο = Αναπτύσσουµε, εποµένως, πρώτα την f() σε σειρά Tylor µε κέντρο το σηµείο =: f ( ) = + f ( ) = f ( ) = f ( ) = + f ( ) = f ( ) = f ( ) = f ( ) = ( 4 ) 5 ( 4 f ( ) = ) 5 f ( ) = ( f ( ) ( ) ) f f ( ) f ( ) = f ( ) + f ( ) =!!! 4 5 = ! 8! 6 4! 8

29 Αντικαθιστώντας = στην προηγούµενη σχέση βρίσκουµε τις εξής προσεγγίσεις για την τετραγωνική ρίζα του :, Προσέγγιση µε πολυώνυµο ης τάξης: + = + =,5,, Προσέγγιση µε πολυώνυµο ης τάξης: + = + =, , (,) (,) Προσέγγιση µε πολυώνυµο ης τάξης: + + = + + =, κλπ Είναι φανερό επίσης ότι ακρίβεια 6 δεκαδικών ψηφίων επιτυγχάνουµε αν σταµατήσουµε στο πολυώνυµο ης τάξης αφού αυτό και το επόµενο ( ης τάξης) δίνουν το ίδιο αποτέλεσµα στα πρώτα 6 δεκαδικά ψηφία (α) Αναπτύξτε σε σειρά Tylor την συνάρτηση f ( ) = si( ) µε κέντρο το, µέχρι και τον όρο 5 Στη συνέχεια, µετατρέψτε τις π = 459 o 46 σε ακτίνια και υπολογίστε την ποσότητα si(46 ), χρησιµοποιώντας (β) Επαναλάβετε τα ανωτέρω, αναπτύσσοντας την ίδια συνάρτηση σε σειρά µε κέντρο το 4 π, µέχρι π και τον όρο ( ) Ποιός από τους δύο τρόπους υπολογισµού είναι ακριβέστερος και ταχύτερος, αν 4 συγκριθεί µε την «ακριβή» τιµή που σας δίνει ένας απλός υπολογιστής «τσέπης»; (α) Σύµφωνα µε όσα αναφέραµε στην παράγραφο 4, το ανάπτυγµα Tylor της f()=si µε κέντρο το k ( ) k+ µηδέν είναι si = Έτσι, αν κρατήσουµε όρους µέχρι και τάξεως 5, έχουµε την k= (k + )! προσέγγιση: 5 si = + Αντικαθιστώντας τώρα, όπου την ποσότητα π, που µας δίνει η άσκηση βρίσκουµε: 6 o 46π 46 =,885, και χρησιµοποιώντας την τιµή του 8 o si 46 = 798 9

30 (β) Ο τύπος της σειράς µε κέντρο το = π /4 είναι επιµέρους ποσότητες: ( ) f ( π /4) π si = ( )! 4 = Υπολογίζουµε τις f( ) = si =, f '( ) = (si ) = (cos ) =, f ''( ) = (cos ) = (si ) = π π π ' π ' π π 4 π π = = = = Εποµένως, η σειρά γίνεται π π si = o 46π Αντικαθιστώντας τώρα, όπου την ποσότητα 46 = και χρησιµοποιώντας την τιµή του π, που µας 8 o δίνει η άσκηση βρίσκουµε: si 46 = 794 Η ακριβής τιµή, που δίνει ένας υπολογιστής τσέπης είναι: o si 46 = 794 και άρα η δεύτερη µέθοδος είναι ακριβέστερη και γρηγορότερη 4 Χρησιµοποιώντας τα αναπτύγµατα των εµπλεκόµενων συναρτήσεων σε σειρές Mcluri, υπολογίστε το e e όριο lim si Το ανάπτυγµα Mcluri του αριθµητή και του παρονοµαστή είναι: 5 e e = + + +L 6 5 si = + +L 6 και το όριο γίνεται L lim 6 = L 6 Το τελευταίο αποτέλεσµα αποκτάται διαιρώντας αριθµητή και παρανοµαστή µε, και αντικαθιστώντας όπου το 5 Αναλύστε την συνάρτηση y ( ) = e σε σειρά Tylor µε κέντρο =, µέχρι και τον υπολογίστε προσεγγιστικά το ορισµένο ολοκλήρωµα αν είχατε κρατήσει και όρους 4 ( ) Το ζητούµενο ανάπτυγµα γράφεται: e ( ) όρο και d Πόσο διαφορετικό θα ήταν το αποτέλεσµα ; Θεωρείτε επιτυχή τη προσέγγιση µέχρι τον όρο ( ) ;

31 4 e = e e ( ) + e ( ) e ( ) + e ( )!! 4! Αντικαθιστώντας στο ολοκλήρωµα και κάνοντας τις πράξεις έχουµε: 4 e e ( ) ( ) ( ) I = d = ( ( ) ) d + +!! 4! = d e + + +, όπου σε τετράγωνες παρενθέσεις έχουµε συµπεριλάβει τους όρους 4 ης τάξης του αναπτύγµατος Υπολογίζοντας τα επί µέρους ολοκληρώµατα µέχρι όρους ης τάξης βρίσκουµε το αποτέλεσµα: Ι = e + l + = 4595 e Αν συµπεριλαµβάναµε και τους όρους 4 ης τάξης θα βρίσκαµε: Ι 4 = e + l + + = 464 e Από το γεγονός ότι τα αυτά αποτελέσµατα έχουν µικρή διαφορά, µπορούµε να συµπεράνουµε ότι βρίσκονται κοντά στη σωστή απάντηση 6 Έστω ότι για µία συνάρτηση y = f( ) δίνεται ότι: ( )! f() =, f '() =, f ''() =, f '''() =,, f () = 4 Να γραφεί η σειρά Tylor της συνάρτησης αυτής γύρω από το = Για ποιές τιµές του συγκλίνει αυτή η σειρά; Ποιά είναι η τιµή της f () ; Χρησιµοποιώντας τον γενικό τύπο ( ) f ( ) f ( ) = ( ) στην θέση =, έχουµε:! = ( ) f() f () f () f () f () f( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) + =!!!!!! 4 ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) + =!!!!! = ( ) = ( )! = = Χρησιµοποιώντας το κριτήριο της ρίζας µπορούµε να προσδιορίσουµε το διάστηµα σύγκλισης της σειράς αυτής Συγκεκριµένα, για να συγκλίνει η σειρά αρκεί να ισχύει ότι: lim ( ( ) ) lim ( ) < < < < < < < <

32 Τέλος, δεδοµένου ότι το σηµείο = περιλαµβάνεται στο διάστηµα σύγκλισης της σειράς, η ζητούµενη τιµή f() υπολογίζεται ως εξής: ( ) f () = ( ) = ( ) = = = = = = ( ) Ασκήσεις Αναπτύξτε σε σειρά Tylor µε κέντρο µηδέν την συνάρτηση f()=( +)e και αποδείξτε ότι = e! = Υπολογίστε προσεγγιστικά τις τιµές: i /e µε ακρίβεια 5 δεκαδικών ψηφίων (Απάντηση: 6788) ii si6 o µε ακρίβεια 5 δεκαδικών ψηφίων (Απάντηση: 8895) iii l(97) µε ακρίβεια 7 δεκαδικών ψηφίων (Απάντηση: -459) iv t o µε ακρίβεια 4 δεκαδικών ψηφίων (Απάντηση: 69) Πόσους όρους από το ανάπτυγµα Tylor (κέντρου ) του l(+) πρέπει να κρατήσουµε ώστε να υπολογίσουµε το l() µε σφάλµα µικρότερο του 5; 4 Χρησιµοποιώντας δυναµοσειρές δείξτε ότι: (i) e lim e si = (ii) 6 cosh cos = si lim sih 5 είξτε ότι: i ii iii cos( d ) 7655 / + 4 d 494 si d 9468

33 5 ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Η προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων, την οποία µελετήσαµε στην προηγούµενη Ενότητα, παρά την αποτελεσµατικότητα και την, σχετική, απλότητά της, αποδεικνύεται ανεπαρκής για την περιγραφή/προσέγγιση περιοδικών συναρτήσεων Το πρόβληµα αυτό αντιµετωπίζεται µε την διαδικασία ανάπτυξης συναρτήσεων σε σειρές Fourier κατά την οποία οι υπό µελέτη συναρτήσεις προσεγγίζονται από απεικονίσεις της µορφής φ ( ) = ( cos( k) + β si( k)), k k k= όπου οι συντελεστές k, β κ είναι πραγµατικοί αριθµοί ενώ η (επίσης πραγµατική) παράµετρος k καθορίζει την περίοδο των προσεγγιστικών συναρτήσεων φ () Οι τελευταίες ονοµάζονται τριγωνοµετρικά πολυώνυµα Στη συνέχεια δίνουµε µια συνοπτική περιγραφή της µεθόδου βάσει της οποίας γίνεται η προσέγγιση αυτή: Αρχικά παρατηρούµε ότι µέσω κατάλληλου µετασχηµατισµού οποιαδήποτε συνάρτηση f(t) ορισµένη στο διάστηµα [α,β] µπορεί να θεωρηθεί ότι έχει ως πεδίο ορισµού το [,π] (συγκεκριµένα π ( t ) ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση = ) Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας, β α θα περιορίσουµε την µελέτη µας σε συναρτήσεις που είναι ορισµένες στο διάστηµα [,π] Ισοδύναµα, χρησιµοποιώντας ανάλογο µετασχηµατισµό, µπορούµε να υποθέτουµε ότι η συνάρτηση που µελετάµε έχει πεδίο ορισµού το διάστηµα [-π,π] Από την άλλη µεριά, χρειαζόµαστε ένα κριτήριο προσέγγισης ολικού χαρακτήρα, ένα κριτήριο δηλαδή το οποίο θα λαµβάνει υπόψη του την συµπεριφορά της συνάρτησης σε όλο το πεδίο ορισµού της και όχι µόνο στην περιοχή ενός σηµείου του, όπως συµβαίνει µε το κριτήριο των παραγώγων στην προσέγγιση Tylor Υιοθετήθηκε λοιπόν η χρήση των ορισµένων ολοκληρωµάτων σε όλο το πεδίο ορισµού [,π] των υπό µελέτη συναρτήσεων Έτσι απαιτούµε: π π π π π π φ ( d ) = f( d ), φ ( ) cos( k) d = f ( ) cos( k) d, k =,,,, φ ( ) si( k) d = f ( ) si( k) d, k =,,,

34 Οι προηγούµενες σχέσεις, αν θεωρήσουµε ότι ο βαθµός του προσεγγιστικού τριγωνοµετρικού πολυωνύµου τείνει στο άπειρο, οδηγούν στο ανάπτυγµα Fourier της συνάρτησης f(): f ( ) = ( cos( ) + β si( )), όπου = = π π π π f( ) d, = f( ) cos( ) d,, π N β = f ( ) si( ) d, π N Οι τύποι αυτοί απλοποιούνται σηµαντικά στην περίπτωση άρτιων ή περιττών συναρτήσεων Συγκεκριµένα: Αν η συνάρτηση f(), [-π,π], είναι άρτια (ισχύει δηλαδή ότι f(-)=f(), για κάθε [-π,π]) τότε το ανάπτυγµά της σε σειρά Fourier διαµορφώνεται ως εξής: f ( ) = cos( ), όπου α = f ( ) cos( ) d, N = π π π Αν η συνάρτηση f(), [-π,π], είναι περιττή (ισχύει δηλαδή ότι f(-)=-f(), για κάθε [-π,π]) τότε το ανάπτυγµά της σε σειρά Fourier γίνεται: f ( ) = β si( ), όπου = π β = f ( ) si( ) d, N π π Παραδείγµατα Να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier η συνάρτηση f ( ) =, < π όπου οι = Η ζητούµενη σειρά Fourier δίνεται από την παράσταση ( cos( ) + β si( ) ) συντελεστές υπολογίζονται ως εξής: π π ( ) π 8 4 π π π π π π, = f d= d= = = 4

35 ( ) ( ) ( ) = π π f ( ) cos( ) d cos( ) d π = π = si cos si + π ( ) ( ) ( ) 4π si π 4cos π si π 4 + = π π = ( ) ( ) ( ) π π cos si cos β = f ( ) si( ) d si( ) d π = π = + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( π) cos π 4π si π cos π cos = + + = 4 Αρα, το ανάπτυγµα Fourier της f()= έχει ως εξής: = + ( cos( ) βsi( )) = = 4π = π π cos( ) si( ) π (α) Να αναπτυχθεί η συνάρτηση, < < π f( ) =, π < < µε f() =, σε σειρά Fourier στο διάστηµα [-π, π] (β) Να υπολογισθεί το άθροισµα ακρίβεια δεκαδικών ψηφίων; ( ) Πόσους όρους πρέπει να κρατήσετε για να επιτύχετε + = (α) Η συνάρτηση είναι περιττή άρα θέλουµε µόνο τους συντελεστές β : π π π β = f ( )si( ) d si( ) d [ cos( π) ] [ cos( π) ] π = π = = = π π π π 4, αν = k + = (k + ) π, αν = k+ = ( ( ) ) Άρα 4 f ( ) = si[(k+ ) ] (k + ) π k= (β) Για =π/ ισχύει ότι f()= Άρα: 5

36 k 4 (k + ) π 4 π 4( ) si[ ] = si[ kπ + ] = = k= (k+ ) π k= (k+ ) π k= (k+ ) π k ( ) π ( ) π = = k= k+ 4 = + 4 Τώρα = Για να πετύχουµε ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων θα πρέπει, σύµφωνα µε τα όσα + αναπτύχθηκαν και στην παράγραφο 4 για τις εναλλάσσουσες σειρές και το σφάλµα προσέγγισής τους, να ισχύει ότι + < Άρα + = < 49 + Αναπτύξτε σε σειρά Fourier στο διάστηµα [-π, π] την περιοδική συνάρτηση µε γραφική παράσταση: και αποδείξτε ότι π = 8 = ( ) Από το σχήµα γίνεται φανερό ότι η υπό µελέτη συνάρτηση στο διάστηµα [-π,] είναι σταθερά ίση µε µηδέν, ενώ στο [,π] ο τύπος της είναι f()=, ώστε η γραφική της παράσταση να είναι το ευθύγραµµο τµήµα µε αρχή το σηµείο (,) και τέλος το (π,π) Άρα ο γενικός τύπος της θα είναι:, -π < f( ) =, < π Εποµένως, έχουµε το ανάπτυγµα Fourier της f() ως εξής: f ( ) = ( cos( ) + β si( )), όπου: = π = π π π π = f( ) d= ( d+ d) = ( + ) π π π = = π 4 π π = 6

37 π π π si( ) = f( ) cos( d ) ( cos( d ) cos( d ) ) ( ( ) d) π = π + = + = π π = π π π si( ) si( ) si( π ) = ( d) ( π si( ) d) π = = π = = π cos( ) = ( π ) ( π = cos( π ) cos()) (( ) ) π = π = π Η τελευταία σχέση µπορεί να αναλυθεί περαιτέρω αν λάβουµε υπόψη µας ότι, αν =k ( ) =, ως εξής:, αν =k+ Ανάλογα υπολογίζουµε ότι:, αν =k =, k=,,,, αν =k- π (k ) π π π cos( ) β = f ( ) si( ) d ( si( ) d si( ) d) ( ( ) d) π = π + = + = π π cos( ) cos( ) cos( π ) = ( d) ( π cos( ) d) π = + + = π ( ) si( ) = ( π + π π = π π π = = π = + ( ) ( ) ) = ( π + ) = π Έτσι συµπεραίνουµε ότι το ζητούµενο ανάπτυγµα Fourier της f() είναι: + π ( ) f ( ) = ( cos((k ) ) + ( si( )) 4 π (k ) k= = Εφαρµόζοντας τον τελευταίο τύπο για = έχουµε: + π ( ) π π f () = ( cos()) + ( si()) = = 4 π(k ) 4 π (k ) 8 (k ) k= = k= k= Ασκήσεις Αναπτύξτε σε σειρές Fourier τις επόµενες συναρτήσεις: (i), -π < f( ) =, < π (Απάντηση: 4 si((κ + ) ) f ( ) = ) π (k + ) k= π (ii) f( ) =, (, π ) (Απάντηση: si( ) f ( ) = ) = 7

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 - ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση. (6 µον.) Ελέγξτε ποια από τα επόµενα σύνολα είναι διανυσµατικοί χώροι

Διαβάστε περισσότερα

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές φορές δεν μπορούμε να αποφανθούμε για την τιμή του άπειρου αθροίσματος.

Μερικές φορές δεν μπορούμε να αποφανθούμε για την τιμή του άπειρου αθροίσματος. Σειρές Σειρές και μερικά αθροίσματα: Το πρόβλημα της άθροισης μιας σειράς άπειρων όρων είναι πολύ παλιό. Μερικές φορές μια τέτοια σειρά καταλήγει σε πεπερασμένο αποτέλεσμα, μερικές φορές απειρίζεται και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Ι ΣΕΙΡΕΣ Διδάσκουσα : Δρ Μαρία Αδάμ Λυμένες ασκήσεις ) Να μελετηθούν ως προς τη σύγκλισή

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a 7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας,

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. Η ροσέγγιση συναρτήσεων µέσω ολυωνύµων, την οοία µελετήσαµε στην ροηγούµενη Ενότητα, αρά την αοτελεσµατικότητα και την, σχετική, αλότητά της, αοδεικνύεται ανεαρκής για την εριγραφή/ροσέγγιση

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

Όταν η s n δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει.

Όταν η s n δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει. Όταν η s δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει. Παρατήρηση: Το αντίστροφο του προηγουμένου θεωρήματος δεν ισχύει. Παράδειγμα η σειρά με νιοστό όρο α = +-. Τότε lim α =0. Όμως s =α +α + +α = - + 3- +...+

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες & Σειρές. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Ακολουθίες, Σειρές, Δυναμοσειρές. τεχνικές.

Ακολουθίες & Σειρές. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Ακολουθίες, Σειρές, Δυναμοσειρές. τεχνικές. Ακολουθίες & Σειρές Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Ακολουθίες Σειρές Δυναμοσειρές τεχνικές 0 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr / / 0 9 εκδόσεις Καλό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Mαίου 8 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 00- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ. (5 µον.) ίνεται ο πίνακας 0 0 A. 0 (α) (α) Να βρεθούν όλες οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. (β) Είναι δυνατή η διαγωνιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 8// Γ ΕΡΓΑΣΙΑ Μαθηµατικά για την Πληροφορική Ι (ΘΕ ΠΛΗ Η ύλη της εργασίας είναι παράγραφοι 6 και 6 από τη Γραµµική Άλγεβρα και Ενότητες,,, από τον Λογισµό

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες & Σειρές. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Ακολουθίες, Σειρές, Δυναμοσειρές. τεχνικές.

Ακολουθίες & Σειρές. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Ακολουθίες, Σειρές, Δυναμοσειρές. τεχνικές. Ακολουθίες & Σειρές Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Ακολουθίες, Σειρές, Δυναμοσειρές τεχνικές 0 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr / / 0 7 εκδόσεις Καλό

Διαβάστε περισσότερα

Τρία συνηθισµένα λάθη που κάνουν µαθητές της Γ Λυκείου σε ασκήσεις του ιαφορικού Λογισµού ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ3 e-mail@p-thedrpuls.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή επισηµαίνονται

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 5 Ορισµοί Εστω α δοθείσα πραγµατική ακολουθία Ορίζουµε µία νέα ακολουθία ως εξής: 3 3 = + + + = = + = + + Ορισµός 5 Εάν υπάρχει το lim + = τότε η ακολουθία καλείται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγµατικό µέρος φανταστικό µέρος u( x, y) x y = και v( x, y) = ( x + y xy), όπου = x+

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Συνοπτικές Ενδεικτικές Λύσεις

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Συνοπτικές Ενδεικτικές Λύσεις ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ 00 Συνοπτικές Ενδεικτικές Λύσεις Άσκηση. ( µον.) ίνεται το σύστηµα y +

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.). Έστω z ο µιγαδικός αριθµός z i, µε, R. (α) ίνεται η εξίσωση: z

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 5 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Μαρτίου 8 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: Μαϊου 8 Πριν από την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Ορισμός 1. Μια 1 1 (ένα προς ένα) συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο X του, δηλαδή μία 1 1 συνάρτηση

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Ορισμός 1. Μια 1 1 (ένα προς ένα) συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο X του, δηλαδή μία 1 1 συνάρτηση ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΕΙΡΕΣ 1. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Ορισμός 1. Μια 1 1 (ένα προς ένα) συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο X του, δηλαδή μία 1 1 συνάρτηση : 1 λέγεται ακολουθία πραγματικών αριθμών ή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. v. Σε αυτή την περίπτωση το lim v

ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. v. Σε αυτή την περίπτωση το lim v ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Η ακολουθία { α ν } λέγεται αθροίσιμη αν η ακολουθία {S ν } συγκλίνει, όπου S 2 3.... Σε αυτή την περίπτωση το lim S συμβολίζεται με και λέγεται το άθροισμα της ακολουθίας {

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης

Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης Αγνοώ το πώς με βλέπει ο κόσμος αλλά στον εαυτό μου, φαίνομαι σαν να μην ήμουν τίποτα άλλο από ένα αγοράκι που παίζει στην ακρογιαλιά και κατά καιρούς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ (ΘΕ ΠΛΗ ) ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ TEΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 7 Ιουνίου 8 Θέµα ο ( µονάδες) α) ( µονάδες) yz yz του διανυσµατικού

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Lplce- Σειρές Fourier Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 4 Περιεχόµενα Κεφάλαιο Επισκόπηση γνωστών εννοιών Σειρές πραγµατικών αριθµών Σειρές συναρτήσεων 3 Γενικευµένα

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 5. Κεφάλαιο: ιαφορικός Λογισµός. Θεµατικές ενότητες: 1. Συνέχεια συνάρτησης

Μάθηµα 5. Κεφάλαιο: ιαφορικός Λογισµός. Θεµατικές ενότητες: 1. Συνέχεια συνάρτησης Μάθηµα 5 Κεφάλαιο: ιαφορικός Λογισµός Θεµατικές ενότητες: Συνέχεια συνάρτησης Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σηµείο («σηµείο» σηµαίνει «τιµή του χ») του πεδίου ορισµού της; Ορισµός: Μια

Διαβάστε περισσότερα

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα.

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα Αντιπαράγωγος μίας συνάρτησης f() ορισμένης σε ένα διάστημα [α,β] λέγεται κάθε συνάρτηση F() που επαληθεύει την ισότητα F( ) f ( ) F( ) c επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y.

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y. ΛΥΣΕΙΣ ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση 6 6 Λύση: α) 7z + z (cosπ + isi π ) π+ kπ π+ kπ Κατά συνέπεια z (cos + isi ), k,,, 5 Παίρνουµε τις ρίζες 6 6 z (cos + isi ) ( + i ) + i, π π 6 6 6 z (cos + isi ) (cos

Διαβάστε περισσότερα

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x A3. ΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. εύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σηµεία καµπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. εύτερη πλεγµένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισµός

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

Σειρές πραγματικών αριθμών

Σειρές πραγματικών αριθμών ΚΕΦΑΛΑΙΟ Σειρές πραγματικών αριθμών Προσέγγιση του π < π < Αρχιμήδης ο Συρακούσιος (87 π.χ - π.χ.) 7 7 π = Frçois Viète (54-6) + + + π 4 4 6 6 8 8 = Joh Wllis (66-7) 5 5 7 7 9 4 π = + Viscout Broucker

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003 http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Διαγωνισμάτος 1 Ενότητα: Ακολουθίες-Σειρές

Λύσεις Διαγωνισμάτος 1 Ενότητα: Ακολουθίες-Σειρές Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegea.gr Λύσεις Διαγωνισμάτος Ενότητα: Ακολουθίες-Σειρές Άσκηση. Έστω ακολουθία (a ), για την οποία ισχύει ότι Θεωρούμε

Διαβάστε περισσότερα

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Φεβρουαρίου Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Μαρτίου Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό είναι να

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Ακουλουθίες ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου

Ακουλουθίες ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Ακουλουθίες ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 Εισαγωγικά Βασικοί Ορισµοί Μονοτονία Ακολουθίας Φραγµένη Ακολουθία Υπακολουθίες Σύγκλιση - Απόκλιση Ακολουθιών N = {1, 2,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 8 Ιουνίου 005 Από τα κάτωι Θέµατα καλείσε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Εισαγωγή Οι γεννήτριες συναρτήσεις είναι ένα από τα ισχυρά εργαλεία για μια ενοποιημένη αντιμετώπιση πολλών κατηγοριών προβλημάτων απαρίθμησης Ο Lplce έθεσε πρώτος τις

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1 (α) ============================================================== Έχουµε L = π, εποµένως η σειρά Fourier είναι: 1 2 a. cos. a n. b n.

Άσκηση 1 (α) ============================================================== Έχουµε L = π, εποµένως η σειρά Fourier είναι: 1 2 a. cos. a n. b n. http://elear.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 69795 Ενδεικτικές απαντήσεις 6ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 7-8: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση)

ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΜΑΣ00: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΣΕΙΡΕΣ:. Να γράψετε τους πρώτους πέντε όρους της κάθε ακολουθίας: (β) (γ), Απαντήσεις: {/, /, 7/8, 5/6, /} (β) {, /5, /,5/, /7} (γ) {, /,, /,

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Η ύλη της εργασίας είναι οι ενότητες 5, 6 και 7 από τον Λογισµό µιας Μεταβλητής Η άσκηση αφορά στην έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΚΟΣΤΟ ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 9--3 Μ. Παπαδημητράκης. Εκτός από το κριτήριο του Cauchy, όλα τα άλλα κριτήρια σύγκλισης μιας σειράς που είδαμε μέχρι τώρα (απόλυτης σύγκλισης, σύγκρισης δυο σειρών, λόγου,

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n +

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n + ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ ) Να υπολογιστούν τα όρια των κάτωθι ακολουθιών με : (α) + 5 + 7 + + (β) + 5 + + (γ) + + + (δ) ( 5 ) + + 4 + ( ) + 5 ) Να βρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 18 Φεβρουαρίου 005. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΤΜΗΜΑ 1β. 2n + 1 n(n + 1) xn. n=1. 2n + 1 ln(1 x)(1 + x) + x. a n = 2n + 1 n(n + 1) = 1 n + 1. a n+1 x n+1 a n x n.

ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΤΜΗΜΑ 1β. 2n + 1 n(n + 1) xn. n=1. 2n + 1 ln(1 x)(1 + x) + x. a n = 2n + 1 n(n + 1) = 1 n + 1. a n+1 x n+1 a n x n. ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΤΜΗΜΑ β 4 Ιανουαρίου 005 Τα ϑέµατα,, και 4 είναι υποχρεωτικά. Από τα ϑέµατα 5 και 6 ϑα επίλέξετε ϑέµα. ηλαδή ϑα γράψετε ΜΟΝΟ 5 ϑέµατα. ΘΕΜΑ o.5 + 0.5 = ϐ.) α) Να αποδειχθεί ότι η δυναµοσειρά

Διαβάστε περισσότερα

x + ax x x 4 να είναι παραγωγίσιμη στο x Υπόδειξη: Μπορείτε να εφαρμόσετε κανόνα L Hospital ή μπορεί σας χρειαστεί η sin sin = 2sin cos

x + ax x x 4 να είναι παραγωγίσιμη στο x Υπόδειξη: Μπορείτε να εφαρμόσετε κανόνα L Hospital ή μπορεί σας χρειαστεί η sin sin = 2sin cos http://lar.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 69795 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Άσκηση. (5 μονάδες) i) ( μονάδες) Υπολογίστε την παράγωγο για κάθε μία από τις επόμενες συναρτήσεις: a)

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 4 Φεβρουαρίου 006 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από τον Φοιτητή:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

4 η ΕΚΑ Α. = g(t)dt, x [0, 1] i) είξτε ότι F(x) > 0 για κάθε x (0, 1] ii) είξτε ότι f(x)g(x) > F(x) για κάθε x (0, 1] και G(x) για κάθε x (0, 1]

4 η ΕΚΑ Α. = g(t)dt, x [0, 1] i) είξτε ότι F(x) > 0 για κάθε x (0, 1] ii) είξτε ότι f(x)g(x) > F(x) για κάθε x (0, 1] και G(x) για κάθε x (0, 1] ΜΑΘΗΜΑ 48 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 η ΕΚΑ Α 3. Έστω f συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο [, ], µε f() >. ίνεται επίσης συνάρτηση g συνεχής στο [, ], για την οποία ισχύει g() > για κάθε [, ] Ορίζουµε τις

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Καταρχήν θα µελετήσουµε την συνάρτηση f Η f γράφεται f ( ) = ( x + )( x ) ( x ) ή ακόµα f ( ) = u( x,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Τελική Εξέταση 5 Ιουνίου 00 Απαντήστε όλα τα κάτωθι ερωτήµατα, παρέχοντας επεξηγηµατικά σχόλια όπου

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο ο Ιδιότητες των ορίων Όριο και διάταξη ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν f >, τότε f > κοντά στο Αν f

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτές Συναρτήσεις και Ανισώσεις Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο e-mail: zenon7@otenetgr Ιούλιος-Αύγουστος 2004 Περίληψη Το σχολικό ϐιβλίο της Γ Λυκείου ορίζει σαν κυρτή (αντ κοίλη)

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η

1. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση G () = F (α + β) είναι µια παράγουσα της h () = f (α + β), α α στο R. β + γ α+ γ. ** α) Να δείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ MSc PROGRAM ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Ι Ι ΚΟΥΓΙΑΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΑΝΤΙΡΡΙΟ 0-0 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

sup(a + B) = sup A + sup B inf(a + B) = inf A + inf B.

sup(a + B) = sup A + sup B inf(a + B) = inf A + inf B. Ασκήσεις, Φυλλάδιο. Βρειτε το συνολο Φ A ολων των ανω ϕραγματων του A, και το συνολο φ A ολων των κατω ϕραγματων του A, οταν: a) A = m :, m N}, b) A = + m 2. Βρειτε το if και sup οποτε υπαρχουν) των συνολων

Διαβάστε περισσότερα

n sin 1 n. 2 n n+1 6 n. = 1. = 1 2, = 13 4.

n sin 1 n. 2 n n+1 6 n. = 1. = 1 2, = 13 4. ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΟΛΟΗΜΕΡΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Λύσεις ασκήσεων φυλλαδίου. Άσκηση : Εξετάστε ως προς τη σύγκλιση τη σειρά si. Λύση: Παρατηρούμε ότι si 0 άρα η σειρά δεν συγκλίνει. Συγκεκριμένα

Διαβάστε περισσότερα

Thanasis Xenos ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΗΜΑΘΙΑΣ

Thanasis Xenos ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΗΜΑΘΙΑΣ thanasisenos@yahoo.gr Thanasis Xenos )Αν µια συνάρτηση f είναι, τότε είναι γνησίως µονότονη; Η πρόταση δεν αληθεύει, διότι για παράδειγµα η συνάρτηση, f ( ) = είναι - και δεν είναι γνησίως µονότονη., >

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Γιάννης Σαραντόπουλος Αθήνα 7 Οκτωβρίου 5 Περιεχόµενα Συµβολισµός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ...23 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΥΘΕΙΕΣ...32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...43

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ...23 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΥΘΕΙΕΣ...32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...43 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΘΕΙΕΣ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται αριθµητική πρόοδος, αν και µόνο αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο του µε πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθµού.. Μαθηµατική έκφραση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα