ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ Κυκλική Συνέλιξη. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Transcript

1 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ Κυκλική Συνέλιξη Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

2 Διακριτού Χρόνου Σειρές Fourier Περιοδική Επέκταση Σήµατος Πεπερασµένης Χρονικής Διάρκειας. [n] Ν- ~ [ n ]... Ν- Ν Ν-... n

3 Διακριτού Χρόνου Σειρές Fourier Περιοδική Επέκταση Σήµατος Πεπερασµένης Χρονικής Διάρκειας. ~ [ n ]... ] [n Ν- Ν Ν-... n ~ [ n] [ nmod N] [ n] N

4 Διακριτού Χρόνου Σειρές Fourier Περιοδική Επέκταση Σήµατος Πεπερασµένης Χρονικής Διάρκειας. ~ [ n] [ nmod N] [ n] N Εξίσωση Σύνθεσης: ~ [ n] N N k ~ X[ k] e jπnk N Εξίσωση Ανάλυσης: ~ N X[ k] ~ [ n] e n jπnk N

5 Κυκλική Συνέλιξη y[ n] [ n] [ n] m [( n m) mod ] [ m] m y[] [( m) mod ] [ m] y[] m [( m) mod ] [ m]

6 ] [ [] [] ] [ [] ] [ [] [] ] [ ] ) mod [( [] m m y m ] [ [] [] ] [ [] [] [] [] ] [ ] ) mod [( [] m m y m ] [ [] [] 3] [ [] ] [ [] ] [ ] [ ] ) mod [( ] [ m m y m... Κυκλική Συνέλιξη

7 y y y y H ή ισοδύναµα Κυκλική Συνέλιξη Μητρική µορφή

8 H Κυκλικό Μητρώο Κυκλική Συνέλιξη & Κυκλικά Μητρώα

9 U Μ στοιχεία Μ- Το πιο Απλό Κυκλικό Μητρώο Κυκλική Συνέλιξη & Κυκλικά Μητρώα

10 U [ ] t Αν, τότε -η στήλη του Μητρώου H Κυκλική Συνέλιξη & Κυκλικά Μητρώα

11 3 U U U 3-η στήλη του Μητρώου H Κυκλική Συνέλιξη & Κυκλικά Μητρώα

12 + ) ( ) ( ) ( k k k k k k k U U U (k+) στήλη του Μητρώου H Κυκλική Συνέλιξη & Κυκλικά Μητρώα

13 ] [ ] [ U U U U U U U H Άρα Το µητρώο : H. Έχει σαν ιδιο-διανύσµατα τις στήλες του αντιστρόφου του µητρώου FΜΜ του Διακριτού Μετασχηµατισµού Fourier και. ιδιοτιµές, τις τιµές του ΔΜF της κρουστικής απόκρισης [n], δηλαδή τον ΔΜF του διανύσµατος [ ] t Κυκλική Συνέλιξη & Κυκλικά Μητρώα

14 j j j j j j e e e e e e π π π π π π ) ( ) 4( ) ( ) ( F Κυκλική Συνέλιξη & Κυκλικά Μητρώα

15 Κυκλική Συνέλιξη & Κυκλικά Μητρώα Θα πρέπει να θυµηθούµε τώρα ότι, αν f * t k F f l [ f f f f ], αν k, αν k l l, τότε (Ορθογωνιότητα) και ότι F * F I ή ισοδύναµα: F * F

16 Κυκλική Συνέλιξη & Κυκλικά Μητρώα Παίρνοντας υπόψη µας τα παραπάνω έχουµε ότι: H F DF όπου D diag( H[] H[] H[ ]) ΑΡΑ!!!! y H F DF

17 Κυκλική Συνέλιξη & Κυκλικά Μητρώα ΑΡΑ!!!! y H F DF F X X [ X [] X[] X[ ]] t D diag( H[] H[] H[ ])

18 Κυκλική Συνέλιξη & Κυκλικά Μητρώα D F D [ H [] H[] H[ ]] t F X X [ X [] X[] X[ ]] t

19 ΑΡΑ!!!! Y F DF F H y ] [ [] [] [] ] [ [] [] [] ] [ [] [] [] Y Y Y Y X X X X H H H H X D DF Κυκλική Συνέλιξη & Κυκλικά Μητρώα

20 Υπολογισµός Κυκλικής Συνέλιξης Υπολογισµός στο ΠΕΔΙΟ του ΧΡΟΝΟΥ: y H Υπολογιστικό κόστος: µ r ( ) ( ) ( ) a r πραγµατικοί πολλαπλασιασµοί πραγµατικές προσθέσεις. Υπολογισµός στο ΠΕΔΙΟ της ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ & επιστροφή στο ΠΕΔΙΟ του ΧΡΟΝΟΥ: y F DF F Y Υπολογιστικό κόστος: µ ( ) 3 a c c ( ) 3 ( ) µιγαδικοί πολλαπλασιασµοί µιγαδικές προσθέσεις.

21 Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier (FFT) Αποδοτικές Υλοποιήσεις του ΔΜF Η Στρατηγική του Διαίρει και Βασίλευε Π Π Π Π Π Π Π Π Π

22 Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier (FFT) Αποδοτική Υλοποίηση του ΔΜF µε Αποδεκατισµό στο Χρόνο Αποδοτική Υλοποίηση του ΔΜF µε Αποδεκατισµό στή Συχνότητα X[ k] [ n] e, k,,,...,, n jπnk m

23 Υλοποίηση FFT

24 Υπολογιστικό Κόστος Ταχύ Μετασχηµατισµού Fourier (FFT) Υπολογιστικό κόστος ΔΜF Μήκους Μ συναρτήσει ΔΜF µήκους Μ/ : µ c( m ) µ c( m ) + a ( m) a ( m ) + c c m m µιγαδικοί πολλαπλασιασµοί µιγαδικές προσθέσεις. Συνολικό Υπολογιστικό κόστος: m µ c ( m) m log( a ( m ) m m log( ) c )

25 Υπολογιστικό Κόστος Ταχύ Μετασχηµατισµού Fourier (FFT)

26 Γραµµική Συνέλιξη [n] n y[ n] [ n]* [ n] m [( n m)] [ m]

27 Υποθέσεις: Γραµµική Συνέλιξη. Το µήκος της κρουστικής απόκρισης του αιτιατού συστήµατος είναι Μ.. Το σήµα που θέλουµε να επεξεργαστούµε µε το σύστηµα έχει µήκος Ν δείγµατα, µε Ν>>Μ

28 Γραµµική Συνέλιξη -η Μεταβατική Περίοδος: y [ ] [] [] y [ ] [] [] + [] []... y[ ] [ ] [] + [ 3] [] + + [] [ ]

29 Γραµµική Συνέλιξη Περίοδος Μόνιµης Κατάστασης: y[ ] [ ] [] + [ ] [] + + [] [ ] y [ ] [ ] [] + [ ] [] + + [] [ ] y[ + ] [ ] [] + [ ] [3] + + [] [ + ]... y[ N ] [ ] [ N ] + [ ] [ N ] + + [] [ N ]

30 Γραµµική Συνέλιξη -η Μεταβατική Περίοδος: y[ N] [ ] [ N ] + [ ] [ N ] + + [] [ N ] y[ + N 3] [ ] [ N ] + [ ] [ N ] y[ + N ] [ ] [ N ]...

31 N στήλες -η Μεταβατική Περίοδος: 3 3 ) ( N T Γραµµική Συνέλιξη

32 + ) ( N N T Περίοδος Μόνιµης Κατάστασης: N στήλες Γραµµική Συνέλιξη

33 N στήλες -η Μεταβατική Περίοδος: 3 3 ) ( 3 N T Γραµµική Συνέλιξη

34 Γραµµική Συνέλιξη N στήλες Μ- T ( ) N Ν-Μ+ T (N + ) N Μ- 3T ( ) N

35 Γραµµική Συνέλιξη-Συµπλήρωση (Πρόσθεση) N+Μ- στήλες T ( ) N Ν+Μ- T (N + ) N 3T ( ) N Μ- Μ-

36 Αποδοτικός Υπολογισµός Γραµµικής Συνέλιξης N L X L FFT L-Σηµείων y N + FFT L-Σηµείων FFT L-Σηµείων N + H

37 Αποδοτικός Υπολογισµός Γραµµικής Συνέλιξης N L X L FFT L-Σηµείων y N + FFT L-Σηµείων H

38 Γραµµική Συνέλιξη-Επικάλυψης & Άθροισης N στήλες Μ- T ( ) N Ν-Μ+ T (N + ) N Μ- 3T ( ) N

39 Μέθοδοι Υλοποίησης Γραµµικής Συνέλιξης Μέθοδος Επικάλυψης & Άθροισης Ν FC FC FC Ν-Μ+ -η -η -η -η -η Μ- Ν+Μ-

40 Γραµµική Συνέλιξη-Διατήρηση N στήλες Μ- T + T 3 Ν-Μ+ T (N + ) N

41 Μέθοδοι Υλοποίησης Γραµµικής Συνέλιξης Μέθοδος Επικάλυψης & Διατήρησης Ν-Μ+ Μ- Ν Ν Ν FC FC FC Ν-Μ+ Μ- Μ- Μ- Ν