ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο. 1.1 Εισαγωγή Γενικά για χαµένες τιµές (missing values) στα δεδοµένα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο. 1.1 Εισαγωγή Γενικά για χαµένες τιµές (missing values) στα δεδοµένα"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο 1.1 Εισαγωγή Με τον όρο «χαµένες τιµές» (missing values), εννοούµε τιµές που απουσιάζουν σύνολα δεδοµένων, όπως έρευνες, δηµοσκοπήσεις, έργα λογισµικού για διάφορους λόγους. Το πρόβληµα των «χαµένων τιµών» (missing values), είναι ένα από τα πιο συχνά εµφανιζόµενα προβλήµατα που συναντάµε κατά την ανάλυση περιπτώσεων, όπως οι παραπάνω. Πολλές µέθοδοι χειρισµού των missing data έχουν προταθεί κατά καιρούς. Σε επόµενη ενότητα αναφερόµαστε σε κάποιες από τις πιο συχνά χρησιµοποιούµενες Γενικά για χαµένες τιµές (missing values) στα δεδοµένα Κατά την συλλογή δεδοµένων που προέρχονται από έρευνες ή δηµοσκοπήσεις, δηµιουργούνται πίνακες, όπου αποθηκεύονται τα αποτελέσµατα των ερευνών. Τα δεδοµένα αυτά µπορούν να έχουν διάφορες µορφές. Μπορεί να είναι αριθµοί (π.χ. ηλικία, εισόδηµα), κατηγορίες δεδοµένων, όπου υπάρχει βαθµωτή αξιολόγηση (π.χ. επίπεδο µόρφωσης) ή µπορεί να έχουν τη µορφή απαντήσεων (π.χ. φύλλο). Όταν οι γραµµές και οι στήλες ενός πίνακα είναι συµπληρωµένες (πράγµα εξαιρετικά σπάνιο και αδύνατο) η έρευνα µας είναι πλήρης και µπορούµε να δούµε τα ακριβή αποτελέσµατά της. Στην αντίθετη περίπτωση, έχουµε ελλιπή δεδοµένα και εδώ είναι που εµφανίζεται το πρόβληµα των χαµένων τιµών. Οι τιµές αυτές µπορεί να µην συµπληρώνονται για διάφορους λόγους. Οι πιο συνηθισµένοι παράγοντες που οδηγούν σε χαµένες τιµές στην περίπτωση που έχουµε συµπλήρωση ερωτηµατολογίων είναι, είτε γιατί δεν 10

2 υπάρχει χρόνος για τη συµπλήρωση τους είτε γιατί οι ερωτηθέντες δεν καταλαβαίνουν τις ερωτήσεις. Επίσης κάποιοι µπορεί να µην έχουν την επαρκή γνώση για να απαντήσουν στις ερωτήσεις και εποµένως επιλέγουν να τις αφήσουν κενές. Ίσως κάποιοι όλοι να µην επιθυµούν να αποκαλύψουν κάποια συγκεκριµένη πληροφορία που αφορά τους εαυτούς τους, την οποία θεωρούν ότι µπορεί να είναι επιβλαβής ή προσβλητική για τους ίδιους. Για παράδειγµα σε έρευνες στα νοικοκυριά µπορεί να µην επιθυµούν να αναφερθεί το εισόδηµα. Σε έρευνες σε βιοµηχανίες δεδοµένα µπορεί να λείπουν εξαιτίας µηχανικών βλαβών άσχετων µε την πορεία της έρευνας. Σε έρευνες που ζητείται η γνώµη των συµµετεχόντων (π.χ. σε πολιτικές έρευνες) µπορεί κάποιος να µην επιθυµεί να εκφράσει την προτίµηση του σε κάποιον από τους προτεινόµενους υποψήφιους σε σχέση µε κάποιον άλλον Χαµένες τιµές στα δεδοµένα κόστους λογισµικού Πολύ συχνά παρατηρούµενο πρόβληµα και στην εκτίµηση κόστους λογισµικού είναι η διαχείριση των χαµένων τιµών (missing values) σε βάσεις δεδοµένων που χρησιµοποιούνται για την ανάπτυξη µοντέλων πρόβλεψης. Η σπουδαιότητα της εκτίµησης κόστους στα έργα λογισµικού ως µία από τις πιο κρίσιµες φάσες τους έχει αναγνωριστεί εδώ και πολύ καιρό. Προσπάθειες για εκτίµηση των προσπαθειών και του χρόνου που απαιτείται για την ανάπτυξη ενός προϊόντος λογισµικού, συνήθως περιλαµβάνει και την κατασκευή ενός ή περισσοτέρων µοντέλων εκτίµησης µε την εισαγωγή στατιστικών µεθόδων σε ιστορικά πακέτα δεδοµένων µε ολοκληρωµένα λογισµικά έργα. Πιο συνηθισµένα, τα µοντέλα κόστους δηµιουργούνται από εφαρµοζόµενες µεθόδους παλινδρόµησης. Γνωρίζοντας το µοντέλο εκτίµησης ενός συγκεκριµένου έργου λογισµικού από τα αρχικά στάδια του κύκλου ανάπτυξης είναι ένα πολύ σηµαντικό βοήθηµα για την µελέτη µας. Η διαχείριση αυτών των εκτιµήσεων κόστους µας δίνει την δυνατότητα να εγκρίνουµε ή να απορρίψουµε κάποια προτεινόµενα έργα ή ακόµα µας βοηθά να διαχειριστούµε την διαδικασία ανάπτυξης ακόµα πιο αποδοτικά. Για παράδειγµα, είναι απαραίτητο ένα 11

3 τέτοιο µοντέλο, όταν κάποια εταιρία χρειάζεται να προσλάβει κάποιους επιπρόσθετους εργαζόµενους σε έργα ανάπτυξης λογισµικού για να συµµετέχουν σε κάποιο έργο ή σε περιοχές µελέτης που χρειάζονται ένα µεγαλύτερο βαθµό προσπάθειας. Επιπλέον, οι ακριβείς εκτιµήσεις λογισµικού επιτρέπουν σε οργανισµούς να κάνουν περισσότερο ρεαλιστικές προσφορές στα διάφορα συµβόλαια που υπογράφουν. Η εκτίµηση κόστους µοντέλων δεν αναλώνεται µόνο στην πρόβλεψη του τελικού έργου κόστους. Για παράδειγµα, πρόσφατη εργασία στον τοµέα αυτό προχώρησε σε κατασκευή µοντέλου εκτίµησης της προσπάθειας για απόδοση σε µία διαδικασία λογισµικού και στην εκτίµηση της προσπάθειας που χρειάζεται για να λάβει πιστοποίηση ISO Ένα µεγάλο πρόβληµα στη δηµιουργία τέτοιων µοντέλων προκύπτει από το γεγονός ότι υπάρχουν συνήθως χαµένες τιµές στα «ιστορικά σύνολα». Η απουσία των τιµών των δεδοµένων σε ένα σηµαντικό έργο αποδίδεται σε ένα συνηθισµένο φαινόµενο, το οποίο µπορεί να προκαλέσει παραπλανητικά αποτελέσµατα, όσο αφορά την ακρίβεια του µοντέλου και την ικανότητα του να προβλέπει καταστάσεις. Η αλήθεια είναι ότι οι περισσότερες βάσεις δεδοµένων λογισµικού υποφέρουν από αυτό το πρόβληµα, το οποίο είναι αποτέλεσµα πολλών λόγων σχετιζοµένων µε την πολύ απαιτητική εργασία της συλλογής δεδοµένων. Για την ακρίβεια, η συλλογή δεδοµένων απαιτεί συνέπεια, συνοχή, πείρα, χρόνο, κόστος και µεθοδολογία για την εταιρία. Επίσης, όταν το µοντέλο είναι βασισµένο σε multi-organizational δεδοµένα (δεδοµένα που έχουν παρθεί από διαφορετικούς οργανισµούς), το πρόβληµα των χαµένων τιµών προκαλείται από διαφορετικές µεθόδους όπου οι διάφορες εταιρίες χρησιµοποιούν για να µετρήσουν και να αποθηκεύσουν τα δεδοµένα τους. Επιπλέον, όσο περισσότερες µεταβλητές περιέχονται στο σύνολο των δεδοµένων, τόσο περισσότερες χαµένες τιµές θα εµφανιστούν στο σύνολο αυτό. Είναι σύνηθες φαινόµενο για τα σύνολα δεδοµένων να έχουν πολλές παραµέτρους παραγωγικότητας. Σε τέτοιες περιπτώσεις η πιο διάσηµη και εύκολη µέθοδος για τον χειρισµό των χαµένων τιµών είναι να αγνοήσουµε είτε ολόκληρο το έργο είτε τις µεταβλητές που περιέχουν χαµένες τιµές. Αυτή η τεχνική προκαλεί την 12

4 απώλεια σηµαντικών πληροφοριών και εποµένως µπορεί να οδηγήσει σε µη ακριβή µοντέλα εκτίµησης έργων λογισµικού. Αυτά τα µειονεκτήµατα είναι σχεδόν πάντα φανερά ιδιαίτερα, αν υπάρχει και κάποιο µοτίβο (pattern) στα χαµένα δεδοµένα π.χ., όταν οι παρατηρήσεις των χαµένων τιµών εξαρτώνται από συγκεκριµένη παρατήρηση των δεδοµένων. Στο παράδειγµα των ψηφοφόρων, που αναφέρθηκε παραπάνω, αν δεν έχουµε την σαφή απάντηση από τον συµµετέχοντα στην έρευνα, θα αγνοήσουµε όλες τις απαντήσεις του και θα προχωρήσουµε στον επόµενο συµµετέχονταπερίπτωση. Οι περισσότεροι θυµόµαστε την περίπτωση µε τα ανακριβή αποτελέσµατα των exit-poles στις βουλευτικές εκλογές λίγα χρόνια πριν. Για να το αντιµετωπίσουµε αυτό, θα µπορούσαµε να συµπεριλάβουµε στο ερωτηµατολόγιο επιλογές και του τύπου «όχι προτίµηση» ή «δεν γνωρίζω-δεν απαντώ». Στην αντίθετη περίπτωση, θα µπορούσαµε να χρησιµοποιήσουµε µία από τις µεθόδους συµπλήρωσης των δεδοµένων που λείπουν. Οι µέθοδοι αυτές απευθύνονται κυρίως σε αριθµητικά δεδοµένα και παράγουν συνεχώς εκτιµήσεις. Το ολοκληρωµένο σύνολο δεδοµένων που προκύπτει από µία τέτοια διαδικασία έπειτα αναλύεται από πρότυπες (standard) µεθόδους στατιστικής ανάλυσης, για παράδειγµα η ανάλυση παλινδρόµησης (regression analysis). Αυτές οι τεχνικές είναι ευρέως γνωστές ως µέθοδοι εισαγωγής (imputation methods). Το πρόβληµα είναι ότι περισσότερες από τις πιο γνωστές µεθόδους εισαγωγής παράγουν γενικά εκτιµήσεις συνεχών τιµών, πράγµα που δεν είναι ρεαλιστικό στην περίπτωση που αντικαθιστούν µεταβλητές που είναι κατηγορικές. Από την στιγµή που η πλειοψηφία των µεταβλητών στα δεδοµένα λογισµικού είναι κατηγορικές τιµές µε χαµένα δεδοµένα, είναι λογικό να χρησιµοποιούµε µία µέθοδο εισαγωγής δεδοµένων που να παράγει κατηγορικές τιµές, έτσι ώστε να συµπληρώνει τα ανολοκλήρωτα σύνολα δεδοµένων και έπειτα να τα χρησιµοποιεί ως µοντέλο πρόβλεψης. Το να διαλέξουµε όµως την σωστή µέθοδο χειρισµού των χαµένων τιµών είναι πολύ δύσκολο και µπορεί να αποβεί καταστροφικό για τη µελέτη µας. Αυτό συµβαίνει εξαιτίας της διασποράς των χαµένων τιµών ανάµεσα στα δεδοµένα. Ιδιαίτερα δύσκολο είναι να εκτιµήσουµε το µηχανισµό µε τον οποίο 13

5 λείπουν οι τιµές σε µικρότερα πακέτα δεδοµένων λόγω του ότι δεν µπορούµε να κρίνουµε σωστά εξαιτίας του µικρού µεγέθους του δείγµατος. 1.2 Στην παρούσα εργασία Εµείς προσπαθήσαµε να εφαρµόσουµε κάποιες συγκεκριµένες µεθόδους χειρισµού χαµένων τιµών σε διάφορα σύνολα δεδοµένων, για να βρούµε ποια µας δίνει ικανοποιητικότερα αποτελέσµατα. Τα δεδοµένα που χρησιµοποιούµε για τα πειράµατα και τις συγκρίσεις προέρχονται από την International Software Benchmarking Standards Group (ISBSG) και πιο συγκεκριµένα από την έκδοση ISBSG7. Στη συνέχεια αυτού του κεφαλαίου, παραθέτουµε κάποια από τα πιο συχνά µοτίβα εµφάνισης χαµένων τιµών. Γνωρίζοντας ποιο µοτίβο υπάρχει κάθε φορά, µπορούµε να επιλέξουν την τεχνική που θα µας δώσει πιο αποδοτικά αποτελέσµατα. Στο επόµενο κεφάλαιο περιγράφουµε κάποια από τους βασικούς µηχανισµούς δηµιουργίας χαµένων τιµών (Missing Data Mechanisms). Στο τρίτο κεφάλαιο παραθέτουµε τις τεχνικές που χρησιµοποιήσαµε στην έρευνα µας (Listwise Deletion (LD), Mean Imputation (MI), Expectation Maximization (EM), Regression Imputation (RI)) καθώς και κάποιες άλλες ενδιαφέρουσες τεχνικές που χρησιµοποιήθηκαν κατά καιρούς σε διάφορες µελέτες. Αυτές είναι οι: pairwise deletion (όπου µαζί µε την LD είναι τεχνικές της κατηγορίας των Deletion Methods), multinomial logistic regression (MLR), hot deck imputation (HDI), cold deck imputation(cdi), similar response pattern imputation (SRPI), full information maximum likelihood (FIML). Στο τέταρτο κεφάλαιο αναφερόµαστε σε κάποιες εργασίες που έχουν γραφτεί σχετικά µε το πρόβληµα των χαµένων τιµών. Στο πρακτικό κοµµάτι, περιγράφουµε τις διαδικασίες του SPSS που χρησιµοποιήσαµε (5 ο κεφάλαιο), ενώ στο επόµενο περιγράφουµε την διαδικασία που ακολουθήσαµε όταν εφαρµόσαµε σε ένα υποσύνολο έργων λογισµικού της ISBSG7 τις τέσσερεις µεθόδους: Listwise Deletion (LD), Mean Imputation (MI), Expectation Maximization (EM) και Regression Imputation 14

6 (RI) και τις συγκρίναµε τα αποτελέσµατα τους για να δούµε ποια από όλες δίνει τα καλύτερα. 1.3 Μοτίβα εµφάνισης χαµένων τιµών (Missing-Data Patterns) Πολλές φορές βρίσκουµε εξαιρετικά χρήσιµο να ξεχωρίζουµε τα διαφορετικά µοτίβα µε τα οποία εµφανίζονται οι χαµένες τιµές στα διάφορα σύνολα δεδοµένων. Τα µοτίβα αυτά περιγράφουν ποιες από τις τιµές παρατηρούνται στον πίνακα δεδοµένων και ποιες από αυτές λείπουν. Επίσης απεικονίζουν και το µηχανισµό ή τους µηχανισµούς µερικές φορές των χαµένων τιµών, ο οποίος σχετίζεται µε την σχέση µεταξύ της απουσίας µερικών τιµών και των τιµών που παίρνουν οι άλλες µεταβλητές στον πίνακα δεδοµένων. Κάποιες µέθοδοι ανάλυσης χρησιµοποιούνται µόνο όταν παρατηρούνται συγκεκριµένα µοτίβα απουσίας χαµένων τιµών. Άλλες µέθοδοι σχετίζονται περισσότερο µε γενικότερα µοτίβα χαµένων τιµών. Αυτές οι µέθοδοι όµως περιλαµβάνουν περισσότερο προγραµµατισµό για την επίλυση τους, από ότι αυτές που είναι σχεδιασµένες για συγκεκριµένα µοτίβα. Έτσι και αλλιώς είναι ιδιαίτερα χρήσιµο να κατατάσσουµε τα δεδοµένα µας σε στήλες και γραµµές σύµφωνα µε κάποιο µοτίβο χαµένων τιµών για να διαπιστώσουµε αν αυτό το µοτίβο όντως υφίσταται σε αυτή την περίπτωση. Σε πολλές περιπτώσεις µας είναι ιδιαίτερα χρήσιµη αυτή η γνώση, γιατί µπορούµε να επιλέξουµε µία πιο κατάλληλη τεχνική ανάλυσης των δεδοµένων, που θα προβεί σε ποιο έγκυρα αποτελέσµατα από ότι θα είχε µία άλλη τεχνική που τα αποτελέσµατα της επηρεάζονται από κάποιο µοτίβο χαµένων τιµών. Έτσι θεωρούµε ότι: έστω Y = ( y ij ) δηλώνει ένα ορθογώνιο σύνολο δεδοµένων χωρίς χαµένες τιµές, µε την i-οστη γραµµή yi = ( yi1,..., yik ) όπου y ij είναι η τιµή της µεταβλητής Y i την φορά j. Όταν έχουµε να κάνουµε µε 15

7 χαµένα δεδοµένα, ορίζουµε τον πίνακα δείκτη χαµένων τιµών: M = ( m ij ), έτσι ώστε m ij = 1, όταν το y ij λείπει και m ij = 0, όταν το y ij είναι παρόν. Ο πίνακας M τότε καθορίζει το µοτίβο µε το οποίο λείπουν οι χαµένες τιµές. Όπως προαναφέρθηκε, κάποιες µέθοδοι που χειρίζονται χαµένα δεδοµένα χρησιµοποιούνται µόνο όταν υφίσταται ένα συγκεκριµένο µοτίβο χαµένων τιµών, ενώ άλλες µπορούν να εφαρµοστούν όταν οποιοδήποτε µοτίβο υπάρχει. Παρακάτω παραθέτουµε µερικά από τα µοτίβα που συναντάµε πιο συχνά κατά της επεξεργασία δεδοµένων µε χαµένες τιµές Μοτίβο UN (Univariate Nonresposnse Missing Data Pattern) Ένα από τα πιο συνηθισµένα µοτίβα που συναντούµε κατά την µελέτη των χαµένων τιµών, είναι αυτό του univariate nonresponse. Σε αυτό το µοντέλο η απώλεια πληροφοριών παρατηρείται σε µία µόνο µεταβλητή. Έστω ότι έχουµε πέντε µεταβλητές, που αφορούν σε διαφορετικά πεδία Y1, Y2, Y3, Y4και Y 5. Αν οι τέσσερεις από αυτές τις µεταβλητές είναι πλήρως συµπληρωµένες, π.χ. οι Y1, Y2, Y3, Y 4 και µόνο η Y 5 είναι ελλιπώς συµπληρωµένη, ακολουθείται το παραπάνω µοτίβο. Ένα σχεδιάγραµµα αυτής της περίπτωσης δείχνει και το σχήµα 1.1. σχήµα 1.1 Ένα από τα προβλήµατα ασυµπλήρωτων δεδοµένων, που προσελκύει την προσοχή µας συστηµατικά στην ιστορία της στατιστικής, είναι 16

8 το παραπάνω µοτίβο εµφάνισης των χαµένων τιµών σε σχεδιασµένα πειράµατα. Μπορούµε να φανταστούµε ως παράδειγµα αυτής της περίπτωσης τα πειραµάτα που έχουν ως αντικείµενό τους τις δοκιµές σε γεωργικές εφαρµογές, όπου σε αυτές τις περιπτώσεις τους δίνεται ο χαρακτηρισµός του missing-plot προβλήµατος. Έτσι προκαλεί ενδιαφέρον η σχέση µεταξύ της ανεξάρτητης µεταβλητής Y k, η οποία έστω ότι αντιπροσωπεύει το χωράφι, όπου καλλιεργείται µία σοδειά, µε ένα σύνολο από µεταβλητές Y1,..., Yk 1, που αντιπροσωπεύουν άλλους παράγοντες, όπως τύπος εδάφους, θερµοκρασία κ.τ.λ., όλες όµως είναι πλήρως παρακολουθήσιµες. Έτσι, όπως συνήθως συµβαίνει στην πραγµατικότητα, κάποιες φορές τα αποτελέσµατα κάποιων τµηµάτων των πειραµάτων λείπουν, είτε γιατί δεν αναπτύχθηκαν οι σπόροι (στο παράδειγµα µας) είτε γιατί κάποια δεδοµένα δεν συλλέχθηκαν σωστά. Στην περίπτωση που έχουµε ελλιπή δεδοµένα µόνο στο ένα πεδίο, οι διάφορες τεχνικές που χρησιµοποιούµε στη µελέτη των χαµένων δεδοµένων, προσπαθούν να συµπληρώσουν τις χαµένες τιµές στην µεταβλητή από όπου απουσιάζουν έτσι ώστε να υπάρχει κάποια ισορροπία στην µελέτη των πειραµάτων Multivariate Two Missing-Data Patterns Ένα άλλο επίσης συνηθισµένο µοτίβο που παρατηρείται κατά τη µελέτη µας είναι η περίπτωση όπου η µοναδική ασυµπλήρωτη µεταβλητή Ykτης περίπτωσης του µοτίβου UN (Univariate Nonresposnse Pattern), έχει αντικατασταθεί από ένα σύνολο ασυµπλήρωτων µεταβλητών Y,..., 1 Y J+ K. Στην περίπτωση αυτή κάποιες µεταβλητές είναι πλήρως συµπληρωµένες ενώ κάποιες άλλες έχουν χαµένες τιµές στα ίδια πεδία τιµών. Στο σχήµα 1.2, θέτοντας J = 2 και K = 5παρατηρούµε το σχετικό µοτίβο: 17

9 σχήµα 1.2 Χαρακτηριστικό παράδειγµα αυτής της περίπτωσης είναι η συµπλήρωση ερωτηµατολογίων. Πολύ συχνά κάποιο υποσύνολο των ερωτηθέντων αφήνουν ασυµπλήρωτα µερικά πεδία στα διάφορα ερωτηµατολόγια. Αυτό συµβαίνει για διάφορους λόγους, προσωπικούς, οικονοµικούς κ.τ.λ Μονότονο Μοτίβο εµφάνισης χαµένων τιµών (Monotone Missing Data Pattern) Ακόµα ένα µοτίβο που συναντάµε συχνά στην περίπτωση των χαµένων τιµών είναι το µονότονο µοτίβο (monotone missing data pattern). Σε αυτή την περίπτωση οι µεταβλητές είναι οργανωµένες µε τέτοιο τρόπο έτσι ώστε όλα τα Y,..., J+ 1 YK λείπουν για όλες τις περιπτώσεις όπου το Y j απουσιάζει, για κάθε J = 1,..., K 1 Βλέποντας το παρακάτω σχήµα (σχήµα 1.3), το διαπιστώνουµε για K = 5. εικόνα

10 Οι ερευνητές θεωρούν ως πιο χαρακτηριστικό παράδειγµα αυτής της περίπτωσης το παράδειγµα της σταδιακής µείωσης ανθρώπινου δυναµικού (είτε αυτό αφορά σπουδαστές είτε εργαζόµενους) σε γεωγραφικό πλάτος. Σε αυτές τις περιπτώσεις ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα αποτελεί το γεγονός ότι κάποια από τα θέµατα της έρευνας παρατώνται πριν το τέλος της µελέτης. Για παράδειγµα, σε µελέτες που αφορούν συµβούλια ανθρώπων (ένορκων, εταιριών, κ.τ.λ.) κάποια µέλη του συµβουλίου µερικές φορές εγκαταλείπουν λόγω π.χ. αλλαγής κατοικίας που είναι απρόσιτη στους ερευνητές, είτε λόγω υγείας, π.χ. εξαιτίας παρενεργειών από φάρµακα, είτε λόγω ανάρρωσης από κάποια ασθένεια. Στην πράξη το µοτίβο εµφάνισης των χαµένων τιµών µε αυτή την µορφή σπάνια ακολουθεί αυστηρά το monotone pattern αλλά συνήθως συγκλίνει σε αυτό. Επιπλέον στα περισσότερα παραδείγµατα η δηµιουργία του monotone missing data pattern προκαλεί µεγάλη απώλεια σηµαντικών πληροφοριών Γενικό µοτίβο εµφάνισης χαµένων τιµών (General Missing Data Pattern) Πολλοί αναλυτές ερευνών αποκαλούν τις χαµένες τιµές σε κάποια συγκεκριµένα έργα «αντικείµενα που δεν απαντήθηκαν». Αυτές οι τιµές συνήθως βρίσκονται σε ακατάστατη µορφή µέσα στο σύνολο δεδοµένων παρόµοια µε την κατανοµή που βλέπουµε στο σχήµα 1.4: σχήµα

11 Αυτή η περίπτωση της απουσίας δεδοµένων συνήθως αντιµετωπίζεται µε διάφορες µεθόδους εισαγωγής τιµών. Γενικά είναι δυσκολότερο να χειριστούµε ένα σύνολο δεδοµένων που περιέχει αυτό το µοτίβο εµφάνισης των χαµένων τιµών από ότι θα µπορούσαµε να χειριστούµε κάποια από τα παραπάνω µοτίβα, όπως το monotone missing data pattern File Matching Missing Data Pattern Στις περιπτώσεις, όπου έχουµε να κάνουµε µε χειρισµό µεγάλου όγκου δεδοµένων, η πιθανότητα του να µην µπορούν να παρατηρηθούν οι τιµές των µεταβλητών από δύο διαφορετικές µελέτες µαζί, υπάρχει σε πιο έντονο βαθµό. Όταν συµβαίνει αυτό, είναι πολύ σηµαντικό να είµαστε προσεχτικοί στο πρόβληµα που µας δίνεται αφού υπάρχει η πιθανότητα κάποιες παράµετροι, που έχουν να κάνουν µε τη σχέση µεταξύ κάποιων από των µεταβλητών, να µην εκτιµώνται από τα δεδοµένα και οι προσπάθειες µας να τα εκτιµήσουµε µπορεί να οδηγήσει σε παραπλανητικά αποτελέσµατα. Η εικόνα 1.5 δείχνει µία ακραία περίπτωση αυτού το προβλήµατος που προκύπτει από το συνδυασµό δεδοµένων από δύο διαφορετικές πηγές. σχήµα 1.5 Σε αυτό το µοτίβο εµφάνισης των χαµένων τιµών η µεταβλητή Y 1 παρουσιάζει ένα σύνολο δεδοµένων το οποίο είναι κοινό και στις δύο πηγές 20

12 που εξετάζονται ενώ είναι και πλήρως παρατηρούµενες οι τιµές της. Η µεταβλητή Y 2 απεικονίζει το σύνολο δεδοµένων, που έχουν παρθεί από την πρώτη µελέτη αλλά δεν υπάρχουν στην δεύτερη και η µεταβλητή Y 3 απεικονίζει τα δεδοµένα που πάρθηκαν από την δεύτερη µελέτη, αλλά δεν υπάρχουν στην πρώτη. Προφανώς δεν υπάρχει κάποια πληροφορία σε αυτό το µοτίβο δεδοµένων σχετικά µε την µερική σχέση των δύο µεταβλητών Y 2 και Y 3 που δίνεται από την Y 1. Στην πράξη η ανάλυση των δεδοµένων που ακολουθούν αυτό το µοτίβο, τυπικά δηµιουργεί την εντύπωση ότι αυτή η µερική σχέση είναι µηδενική Factor Analysis Missing Data Pattern Σε κάποιες περιπτώσεις µας είναι χρήσιµο να θεωρούµε κάποια προβλήµατα που περιέχουν µη παρατηρήσιµες, «κρυµµένες» (latent), µεταβλητές σαν προβλήµατα χαµένων τιµών, όπου οι «κρυµµένες» µεταβλητές απουσιάζουν εντελώς και έπειτα παίρνοντας ιδέες από την θεωρία των χαµένων τιµών να εκτιµούµε τις παραµέτρους. Αν λάβουµε υπόψη µας, για παράδειγµα στο σχήµα 1.6 θα δούµε ότι η X παριστάνει το σύνολο των κρυµµένων δεδοµένων που λείπουν εντελώς και η Y παριστάνει το σύνολο των µεταβλητών που είναι πλήρως παρατηρήσιµες. Η factor analysis µπορεί να θεωρηθεί ως µία ανάλυση της Y επάνω στην X. Συγκεκριµένες µορφές αυτού του µοτίβου εµφάνισης τιµών υποθέτουν την ανεξαρτησία των µερών του Y που µας δίνουν X. 21

13 σχήµα 1.6 Κάποια εκτίµηση µπορεί να γίνει, αν χειριστούµε τις τιµές του πεδίου X σαν χαµένες τιµές. Εάν τιµές του πεδίου Y λείπουν, ακολουθώντας επίσης ένα ανοργάνωτο µοτίβο, τότε οι εκτιµήσεις που µπορούν να αναπτυχθούν θα χειρίζονται ταυτόχρονα και τις τιµές του πεδίου X και τις τιµές του πεδίου Y σαν χαµένες τιµές. Στην συνέχεια, στο δεύτερο κεφαλαίο, θα προχωρήσουµε στην περιγραφή των µηχανισµών που οδηγούν σε χαµένες τιµές και των τεχνικών που αντιµετωπίζουµε τα προβλήµατα χαµένων τιµών. 22

2. Missing Data mechanisms

2. Missing Data mechanisms Κεφάλαιο 2 ο 2. Missing Data mechanisms 2.1 Εισαγωγή Στην προηγούµενη ενότητα περιγράψαµε κάποια από τα βασικά µοτίβα εµφάνισης των χαµένων τιµών σε σύνολα δεδοµένων. Ένα άλλο ζήτηµα που µας απασχολεί

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφή των εργαλείων ρουτινών του στατιστικού

Περιγραφή των εργαλείων ρουτινών του στατιστικού Κεφάλαιο 5 ο Περιγραφή των εργαλείων ρουτινών του στατιστικού πακέτου SPSS που χρησιµοποιήθηκαν. 5.1 Γενικά Το στατιστικό πακέτο SPSS είναι ένα λογισµικό που χρησιµοποιείται ευρέως ανά τον κόσµο από επιχειρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙ Η Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΣΥΛΛΟΓΗ, ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙ Η Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΣΥΛΛΟΓΗ, ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙ Η Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΣΥΛΛΟΓΗ, ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές µορφές Ερωτήσεων - απαντήσεων Ανοιχτές Κλειστές Κλίµακας ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 2 Ανοιχτές ερωτήσεις Ανοιχτές

Διαβάστε περισσότερα

Διπλωματική εργασία της Στυλιανής Κ. Παπαδάκη

Διπλωματική εργασία της Στυλιανής Κ. Παπαδάκη Πολυτεχνείο Κρήτης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής και Διοίκησης Διπλωματική εργασία της Στυλιανής Κ. Παπαδάκη Διατριβή που υπεβλήθη για τη μερική ικανοποίηση των απαιτήσεων για την απόκτηση Μεταπτυχιακού Διπλώματος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Έλεγχος Υποθέσεων. Ένα παράδειγµα

Κεφάλαιο 7. Έλεγχος Υποθέσεων. Ένα παράδειγµα Κεφάλαιο 7 Έλεγχος Υποθέσεων 1 Ένα παράδειγµα Ένας ερευνητής θέλησε να διαπιστώσει κατά πόσο η από απόσταση εκπαίδευση είναι καλύτερη από τη δια ζώσης εκπαίδευση. Για το σκοπό αυτό, επέλεξε δύο οµάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΙΤΛΟΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ: ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ ΕΛΛΕΙΠΟΝΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΟΙ ΝΕΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗΣ ΤΟΥ Επιβλέπον Μέλος.Ε.Π.: Ιωάννης Πανάρετος Καθηγητής Οικονοµικού

Διαβάστε περισσότερα

3. Missing Data Techniques (MDTs)

3. Missing Data Techniques (MDTs) Κεφάλαιο 3 ο 3. (MDTs) 3. Εισαγωγή Όσα έχουν γραφτεί για τα προβλήµατα που περιέχουν χαµένες τιµές είναι σχετικά πρόσφατα. Οι µέθοδοι χειρισµού χαµένων τιµών (Mssng Data Technques (MDTs)) που έχουν προταθεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 20. Ανακάλυψη Γνώσης σε Βάσεις δεδοµένων. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η.

Κεφάλαιο 20. Ανακάλυψη Γνώσης σε Βάσεις δεδοµένων. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Κεφάλαιο 20 Ανακάλυψη Γνώσης σε Βάσεις δεδοµένων Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου Τεχνητή Νοηµοσύνη, B' Έκδοση - 1 - Ανακάλυψη Γνώσης σε

Διαβάστε περισσότερα

Η ακρίβεια ορίζεται σαν το πηλίκο των ευρεθέντων συναφών εγγράφων προς τα ευρεθέντα έγγραφα. Άρα για τα τρία συστήµατα έχουµε τις εξής τιµές:

Η ακρίβεια ορίζεται σαν το πηλίκο των ευρεθέντων συναφών εγγράφων προς τα ευρεθέντα έγγραφα. Άρα για τα τρία συστήµατα έχουµε τις εξής τιµές: Πανεπιστήµιο Κρήτης, Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY463 - Συστήµατα Ανάκτησης Πληροφοριών 2005-2006 Εαρινό Εξάµηνο 1 η Σειρά Ασκήσεων (Αξιολόγηση Αποτελεσµατικότητας Ανάκτησης) Άσκηση 1 (4 βαθµοί) Θεωρείστε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Παλαιότερες ασκήσεις

Παλαιότερες ασκήσεις Πανεπιστήµιο Κρήτης, Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY6 - Συστήµατα Ανάκτησης Πληροφοριών Παλαιότερες ασκήσεις η Σειρά Ασκήσεων (Αξιολόγηση της Αποτελεσµατικότητας της Ανάκτησης) Άσκηση ( η σειρά ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

6. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

6. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 6. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 6. Διανυσματικοί χώροι παραμέτρων και μετρήσεων. Θα δανειστούµε για µία ακόµη φορά έννοιες της Γραµµικής Άλγεβρας προκειµένου να δούµε πως µπορούµε να χειριστούµε

Διαβάστε περισσότερα

Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ

Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ Ενότητα 2: Επαγωγική-περιγραφική στατιστική, παραµετρικές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Θέµα: Εναλλακτικές Τεχνικές Εντοπισµού Θέσης Όνοµα: Κατερίνα Σπόντου Επιβλέπων: Ιωάννης Βασιλείου Συν-επιβλέπων: Σπύρος Αθανασίου 1. Αντικείµενο της διπλωµατικής Ο εντοπισµός

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

1.Γ.2 Αποτελέσµατα ΜΕΡΟΣ Γ: Ο ΠΟΛΕΜΟΣ ΣΤΟ ΙΡΑΚ Γ.1 Εισαγωγή...196

1.Γ.2 Αποτελέσµατα ΜΕΡΟΣ Γ: Ο ΠΟΛΕΜΟΣ ΣΤΟ ΙΡΑΚ Γ.1 Εισαγωγή...196 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο...188 ΜΕΡΟΣ Α: Η ΚΡΙΣΗ ΣΤΟ ΙΡΑΚ...188 1.Α.1 Εισαγωγή...188 1.Α.2 Αποτελέσµατα...188 ΜΕΡΟΣ Β: Η ΣΥΝΟ ΟΣ ΚΟΡΥΦΗΣ ΓΙΑ ΤΟ ΙΡΑΚ...194 1.Β.1 Εισαγωγή...194 1.Β.2

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2 η ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΡΟΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (WORKFLOW MANAGEMENT) 2.1 Εισαγωγή

ΕΝΟΤΗΤΑ 2 η ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΡΟΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (WORKFLOW MANAGEMENT) 2.1 Εισαγωγή ΕΝΟΤΗΤΑ 2 η ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΡΟΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (WORKFLOW MANAGEMENT) 2.1 Εισαγωγή Οι σηµερινές δραστηριότητες των επιχειρήσεων δηµιουργούν την ανάγκη για όσο το δυνατό µεγαλύτερη υποστήριξη από τα πληροφοριακά τους

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων

Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων 1. Αναζήτηση των κατάλληλων δεδοµένων. 2. Έλεγχος µεταβλητών και κωδικών για συµβατότητα. 3. Αποθήκευση σε ηλεκτρονική µορφή (αρχεία

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ

Εισαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ Τα τελευταία 25 χρόνια, τα προβλήµατα που σχετίζονται µε την διαχείριση της Γεωγραφικής Πληροφορίας αντιµετωπίζονται σε παγκόσµιο αλλά και εθνικό επίπεδο µε την βοήθεια των Γεωγραφικών

Διαβάστε περισσότερα

Εκτίµηση της ζήτησης. Ανάλυση. Μέθοδοι έρευνας µάρκετινγκ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4

Εκτίµηση της ζήτησης. Ανάλυση. Μέθοδοι έρευνας µάρκετινγκ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Εκτίµηση της ζήτησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ανάλυση Παλινδρόµησης και Μέθοδοι έρευνας µάρκετινγκ Το πρόβληµα του προσδιορισµού της (πραγµατικής) καµπύλης ζήτησης Η απλή συνένωση στα πλαίσια ενός διαγράµµατος των παρατηρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΛΛΟΓΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ

ΣΥΛΛΟΓΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΤΕΤΑΡΤΟ ΠΑΚΕΤΟ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΣΥΛΛΟΓΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΓΕΝΙΚΑ Η συλλογή των στατιστικών δεδοµένων αποτελεί σηµαντικό στάδιο κάθε Στατιστικής έρευνας. Απαιτεί ιδιαίτερη προσοχή, διότι,

Διαβάστε περισσότερα

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή Ανάλυση Συνδιακύµανσης Alsis of Covrice Η ανάλυση συνδιακύµανσης είναι µία άλλη τεχνική για να βελτιώσουµε την ακρίβεια της προσέγγισης του µοντέλου µας στο πείραµα. Ας υποθέσουµε ότι σ ένα πείραµα εκτός

Διαβάστε περισσότερα

Εγχειρίδιο SPSS 7. Εισαγωγή δεδοµένων

Εγχειρίδιο SPSS 7. Εισαγωγή δεδοµένων Εγχειρίδιο SPSS 7 Εισαγωγή εδοµένων Για να εισάγετε δεδοµένα στην εφαρµογή, απλώς κάντε κλικ µε το αριστερό πλήκτρο του ποντικιού στο άκρο αριστερά φατνίο του φύλλου δεδοµένων. Αρχίστε να πληκτρολογείτε

Διαβάστε περισσότερα

Ανάκτηση Πληροφορίας

Ανάκτηση Πληροφορίας Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Ανάκτηση Πληροφορίας Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmylonas@ionio.gr Διάλεξη #08 Συµπίεση Κειµένων Φοίβος Μυλωνάς fmylonas@ionio.gr Ανάκτηση Πληροφορίας 1 Άδεια χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 ο. Περιγραφή εδοµένων - Συµπεράσµατα. 6.1 Γενικά. 6.2 Περιγραφή δεδοµένων

Κεφάλαιο 6 ο. Περιγραφή εδοµένων - Συµπεράσµατα. 6.1 Γενικά. 6.2 Περιγραφή δεδοµένων Κεφάλαιο 6 ο Περιγραφή εδοµένων - Συµπεράσµατα 6.1 Γενικά Η βάση δεδοµένων που χρησιµοποιήσαµε για να δηµιουργήσουµε το δικό µας σύνολο δεδοµένων, προήλθε από την βάση της International Software Benchmarking

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος;

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Για να εξετάσουµε το κύκλωµα LC µε διδακτική συνέπεια νοµίζω ότι θα πρέπει να τηρήσουµε τους ορισµούς που δώσαµε στα παιδιά στη Β Λυκείου. Ας ξεκινήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β

Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 4 Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΙΤΩΝ

ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΙΤΩΝ ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΙΤΩΝ Αστική Μη Κερδοσκοπική Εταιρεία- ISO 9001 Σαπφούς 3, 81100 Μυτιλήνη (1ος Όροφος) 2251054739 (09:00-14:30) academy@aigaion.org civilacademy.ucoz.org «ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

3. Τρόποι ιεξαγωγής Έρευνας Οι κύριοι τρόποι διεξαγωγής έρευνας είναι: Προσωπική Συνέντευξη (Personal Interview) όπου ο ερευνητής κάνει τις ερωτήσεις και συµπληρώνει το ερωτηµατολόγιο Τηλεφωνική Συνέντευξη

Διαβάστε περισσότερα

οµή δικτύου ΣΧΗΜΑ 8.1

οµή δικτύου ΣΧΗΜΑ 8.1 8. ίκτυα Kohonen Το µοντέλο αυτό των δικτύων προτάθηκε το 1984 από τον Kοhonen, και αφορά διαδικασία εκµάθησης χωρίς επίβλεψη, δηλαδή δεν δίδεται καµία εξωτερική επέµβαση σχετικά µε τους στόχους που πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες)

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2013-2014 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ε. Μαρκάκης Πρόβληµα 1 (5 µονάδες) 2 η Σειρά Ασκήσεων Προθεσµία Παράδοσης: 19/1/2014 Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΚ ΞΑΝΘΗΣ. Μάθημα : Στατιστική Ι. Υποενότητα : Κωδικοποίηση

ΙΕΚ ΞΑΝΘΗΣ. Μάθημα : Στατιστική Ι. Υποενότητα : Κωδικοποίηση ΙΕΚ ΞΑΝΘΗΣ Μάθημα : Στατιστική Ι Υποενότητα : Κωδικοποίηση Επαμεινώνδας Διαμαντόπουλος Ιστοσελίδα : http://users.sch.gr/epdiaman/ Email : epdiamantopoulos@yahoo.gr 1 Στόχοι της υποενότητας Μετά τη μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο 2.5 µονάδες ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 7 Ιανουαρίου 2005 ιάρκεια εξέτασης: 5:00-8:00 Έστω ότι

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-27: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 205- ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τέταρτης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση. (αʹ) Σύµφωνα µε το αξίωµα της κανονικοποίησης,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

4. Αναδροµικός τύπος Είναι ο τύπος που συσχετίζει δύο ή περισσότερους γενικούς όρους µιας ακολουθίας

4. Αναδροµικός τύπος Είναι ο τύπος που συσχετίζει δύο ή περισσότερους γενικούς όρους µιας ακολουθίας 5. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το το σύνολο N * = {,, 3, 4.} και σύνολο αφίξεως το R Η ακολουθία συµβολίζεται (α ν ) ή (β ν ) κ.λ.π.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Αθανάσιος Γαγάτσης Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής Πανεπιστήµιο Κύπρου Χρήστος Παντσίδης Παναγιώτης Σπύρου Πανεπιστήµιο

Διαβάστε περισσότερα

Περιβαλλοντική Στατιστική

Περιβαλλοντική Στατιστική Περιβαλλοντική Στατιστική ηµήτρης Λέκκας Τµήµα Στατιστικής και Αναλογιστικών Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών Περιγραφή Παρουσιάζονται τα κύρια θέµατα του µαθήµατος και αναλύονται τα προβλήµατα κατά την

Διαβάστε περισσότερα

Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson

Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson Ιαν. 009 Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson Έστω y, y,, yn παρατηρήσεις µιας m -διάστατης τυχαίας µεταβλητής µε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας p( y; θ) η οποία περιγράφεται από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι

Διαβάστε περισσότερα

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας 7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΛΕΤΗ ΑΠΟ ΟΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΗΜΟΣΙΩΝ ΚΑΙ Ι ΙΩΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΛΕΤΗ ΑΠΟ ΟΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΗΜΟΣΙΩΝ ΚΑΙ Ι ΙΩΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΛΕΤΗ ΑΠΟ ΟΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΗΜΟΣΙΩΝ ΚΑΙ Ι ΙΩΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουµε την απόδοση και την επιτυχία των υποψηφίων η µερησίων δηµοσίων και ιδιωτικών λυκείων

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική

Περιγραφική Στατιστική Ιωάννης Παραβάντης Επίκουρος Καθηγητής Τµήµα ιεθνών και Ευρωπαϊκών Σπουδών Πανεπιστήµιο Πειραιώς Φεβρουάριος 2010 Περιγραφική Στατιστική 1. εδοµένα Θεωρούµε το ακόλουθο σύνολο δεδοµένων (data set): NUM1

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

7. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΑΙ ΣΥΝ ΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ

7. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΑΙ ΣΥΝ ΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ 7. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΑΙ ΣΥΝ ΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΜΕΘΟ ΩΝ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 7.. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΩΝ Στα προηγούµενα κεφάλαια αναφέρθηκαν λεπτοµερώς τα πλεονεκτήµατα και µειονεκτήµατα των διαφόρων στρατηγικών

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι

ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι Η ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΣ ΣΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις της µορφής σωστό-λάθος Σηµειώστε αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

Η Μεγάλη Μεγάλη Ύφεση Ύφεση

Η Μεγάλη Μεγάλη Ύφεση Ύφεση Η Μεγάλη Ύφεση παρακίνησε πολλούς οικονοµολόγους να να αναρωτηθούν σχετικά µε µε την την εγκυρότητα της της Κλασικής Οικονοµικής Θεωρίας. Τότε Τότε δηµιουργήθηκε η πεποίθηση ότι ότι ένα ένα καινούριο υπόδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 08-09 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 4 Ασκηση Το πείραµά µας συνίσταται στη ϱίψη 3 τίµιων κερµάτων. Συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΗ ΕΡΕΥΝΑΣ I: ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ & ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ

ΕΙΔΗ ΕΡΕΥΝΑΣ I: ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ & ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΡΕΥΝΑΣ (# 252) Ε ΕΞΑΜΗΝΟ 9 η ΕΙΣΗΓΗΣΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΔΗ ΕΡΕΥΝΑΣ I: ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ & ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ ΛΙΓΗ ΘΕΩΡΙΑ Στην προηγούμενη διάλεξη μάθαμε ότι υπάρχουν διάφορες μορφές έρευνας

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μη Παραµετρική Στατιστική, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μη Παραµετρική Στατιστική, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Εισαγωγή Στα προβλήµατα που έχουµε ασχοληθεί µέχρι τώρα, υποστηρίζουµε ότι έχουµε ένα δείγµα X = (X 1, X 2,...,X n ) F(,θ). π.χ. X 1, X 2,...,X n τ.δ. N(µ,σ 2 ),

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Α Κ Α Η Μ Α Ι Κ Ο Ε Τ Ο Σ 2 0 1 1-2 0 1 2 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT Ο συγκεκριµένος οδηγός για το πρόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΧΡΗΣΕΩΝ ΓΗΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΧΡΗΣΕΩΝ ΓΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΧΡΗΣΕΩΝ ΓΗΣ Όταν εξετάζουµε µία συγκεκριµένη αγορά, πχ. την αστική αγορά εργασίας, η ανάλυση αυτή ονοµάζεται µερικής ισορροπίας. Όταν η ανάλυση µας περιλαµβάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση κατά Συστάδες. Cluster analysis

Ανάλυση κατά Συστάδες. Cluster analysis Ανάλυση κατά Συστάδες Cluster analysis 1 H ανάλυση κατά συστάδες είναι µια µέθοδος που σκοπό έχει να κατατάξει σε οµάδες τις υπάρχουσες παρατηρήσεις χρησιµοποιώντας την πληροφορία που υπάρχει σε κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α Κάθε µια από τις παρακάτω φράσεις (1α, 1β, 1γ, 2α κτλ) µπορεί να είναι σωστή ή λανθασµένη. Ποιες είναι σωστές και ποιες όχι;

ΜΕΡΟΣ Α Κάθε µια από τις παρακάτω φράσεις (1α, 1β, 1γ, 2α κτλ) µπορεί να είναι σωστή ή λανθασµένη. Ποιες είναι σωστές και ποιες όχι; 2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ. ΣΚΟΠΟΣ στο τέλος της ενότητας είναι να γνωρίζετε - Τι είναι η «δειγµατοληπτική κατανοµή» π.χ. της µέσης τιµής - τι είναι και σε τι χρησιµεύει το «τυπικό σφάλµα της µέσης

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 0 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο - Συνδυαστική Ανάλυση Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Θεωρία. Η ϐασική αρχή της απαρίθµησης

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

2. Δυναμικό και χωρητικότητα αγωγού.

2. Δυναμικό και χωρητικότητα αγωγού. . Δυναμικό και χωρητικότητα αγωγού. Σε όλα τα σηµεία ενός αγωγού, σε ηλεκτροστατική ισορροπία, το δυναµικό είναι σταθερό. Για παράδειγµα, στην φορτισµένη σφαίρα του διπλανού σχήµατος τα σηµεία Α και Β

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος της ψυχολογικής έρευνας:

Στόχος της ψυχολογικής έρευνας: Στόχος της ψυχολογικής έρευνας: Συστηματική περιγραφή και κατανόηση των ψυχολογικών φαινομένων. Η ψυχολογική έρευνα χρησιμοποιεί μεθόδους συστηματικής διερεύνησης για τη συλλογή, την ανάλυση και την ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα 2 (12 µονάδες)

Πρόβληµα 2 (12 µονάδες) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2015-2016 ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ: Ε. Μαρκάκης, Θ. Ντούσκας Λύσεις 2 ης Σειράς Ασκήσεων Πρόβληµα 1 (12 µονάδες) 1) Υπολογίστε τον

Διαβάστε περισσότερα

Εξέταση Φεβρουαρίου (2011/12) στο Μάθηµα: Γεωργικός Πειραµατισµός. Ζήτηµα 1 ο (2 µονάδες) Για κάθε λανθασµένη απάντηση δεν λαµβάνεται υπόψη µία σωστή

Εξέταση Φεβρουαρίου (2011/12) στο Μάθηµα: Γεωργικός Πειραµατισµός. Ζήτηµα 1 ο (2 µονάδες) Για κάθε λανθασµένη απάντηση δεν λαµβάνεται υπόψη µία σωστή Σειρά Β Εξέταση Φεβρουαρίου (0/) στο Μάθηµα: Γεωργικός Πειραµατισµός Θεσσαλονίκη: 4/0/0 Επώνυµο Όνοµα Αρ. Μητρώου Κατεύθυνση Ζήτηµα ο ( µονάδες) Για κάθε λανθασµένη απάντηση δεν λαµβάνεται υπόψη µία σωστή

Διαβάστε περισσότερα

P (A) = 1/2, P (B) = 1/2, P (C) = 1/9

P (A) = 1/2, P (B) = 1/2, P (C) = 1/9 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-1: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 011 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις εύτερης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : /11/011 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 1/11/011

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2017 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2017 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 07 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 4 ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές ( Ι ) Επιµέλεια : Στιβακτάκης Ραδάµανθυς Ασκηση.

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµένοι ερευνητές υποστηρίζουν ότι χρειαζόµαστε µίνιµουµ 30 περιπτώσεις για να προβούµε σε κάποιας µορφής ανάλυσης των δεδοµένων.

Ορισµένοι ερευνητές υποστηρίζουν ότι χρειαζόµαστε µίνιµουµ 30 περιπτώσεις για να προβούµε σε κάποιας µορφής ανάλυσης των δεδοµένων. ειγµατοληψία Καθώς δεν είναι εφικτό να παίρνουµε δεδοµένα από ολόκληρο τον πληθυσµό που µας ενδιαφέρει, διαλέγουµε µια µικρότερη οµάδα που θεωρούµε ότι είναι αντιπροσωπευτική ολόκληρου του πληθυσµού. Τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ειγµατοληψία ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μέρη της Έρευνας Μέθοδος Πώς ερευνήθηκε το πρόβληµα? Μέθοδος

ειγµατοληψία ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μέρη της Έρευνας Μέθοδος Πώς ερευνήθηκε το πρόβληµα? Μέθοδος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ & ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΕΠΕΑΕΚ: ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥ ΩΝ ΤΟΥ ΤΕΦΑΑ ΠΘ ΑΥΤΕΠΙΣΤΑΣΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

2.5.1 Χρήση δεξιοτήτων αρχειοθέτησης για τη διατήρηση ενός καθιερωμένου συστήματος

2.5.1 Χρήση δεξιοτήτων αρχειοθέτησης για τη διατήρηση ενός καθιερωμένου συστήματος 2.5 Σύστημα αρχειοθέτησης, έγγραφα και βάσεις δεδομένων 2.5.1 Χρήση δεξιοτήτων αρχειοθέτησης για τη διατήρηση ενός καθιερωμένου συστήματος Να είναι σε θέση να διατηρήσει ένα καθιερωμένο, ηλεκτρονικό και

Διαβάστε περισσότερα

11ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-31/03, 1-2/04/2006. Πρακτικά Συνεδρίου

11ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-31/03, 1-2/04/2006. Πρακτικά Συνεδρίου ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-3/03, -/04/006. Πρακτικά Συνεδρίου Έµµεσες µετρήσεις φυσικών µεγεθών. Παράδειγµα: Ο πειραµατικός υπολογισµός του g µέσω της µέτρησης του χρόνου των αιωρήσεων απλού

Διαβάστε περισσότερα

Πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και διάµεσος µιας τυχαίας µεταβλητής ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδοµένων Βασικές Έννοιες. Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2014-2015

Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδοµένων Βασικές Έννοιες. Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2014-2015 Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδοµένων Βασικές Έννοιες Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2014-2015 Περιγραφική και Επαγωγική Στατιστική Η περιγραφική στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Outlook Express-User Instructions.doc 1

Outlook Express-User Instructions.doc 1 Οδηγίες προς τους υπαλλήλους του ήµου Θεσσαλονίκης για την διαχείριση της ηλεκτρονικής τους αλληλογραφίας µε το Outlook Express (Ver 1.0 22-3-2011) (Για οποιοδήποτε πρόβληµα ή απορία επικοινωνήστε µε τον

Διαβάστε περισσότερα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για τον καθορισμό του καλύτερου υποσυνόλου από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o Κεφάλαιο 1o Θεωρία Παιγνίων Η θεωρία παιγνίων εξετάζει καταστάσεις στις οποίες υπάρχει αλληλεπίδραση µεταξύ ενός µικρού αριθµού ατόµων. Άρα σε οποιαδήποτε περίπτωση, αν ο αριθµός των ατόµων που συµµετέχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΟΣ FOURIER ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΤΡΟΠΟ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΟΣ FOURIER ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΤΡΟΠΟ ΣΧΟΛΗ Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ Σ.Α.Ε. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΟΣ FOURIER ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΤΡΟΠΟ ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 3 ) Αρχικό σήµα ( ) Στο παρακάτω σχήµα φαίνεται ένα περιοδικό σήµα ( ), το οποίο έχει ληφθεί από

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

ζωγραφίζοντας µε τον υπολογιστή

ζωγραφίζοντας µε τον υπολογιστή ζωγραφίζοντας µε τον υπολογιστή Μια από τις εργασίες που µπορούµε να κάνουµε µε τον υπολογιστή είναι και η ζωγραφική. Για να γίνει όµως αυτό πρέπει ο υπολογιστής να είναι εφοδιασµένος µε το κατάλληλο πρόγραµµα.

Διαβάστε περισσότερα