Είναι φ =180 ο 120 ο = 60 ο άρα ω = 50 ο + 60 ο = 110 ο. ˆ ΑΓ, να υπολογίσετε την γωνία φ. ˆ ΑΓ = 110 ο άρα ω =70 ο, οπότε. Είναι
|
|
- Κορνήλιος Κούνδουρος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 σκήσεις σχλικύ βιβλίυ σελίδας ρωτήσεις Κατανόησης. Να υπλγίσετε την γωνία ω στ παρακάτω σχήµα πάντηση ω ίναι φ =8 = 6 άρα ω = = 5 φ. ν = και x διχτόµς της γωνίας πάντηση ω φ ω 55 x ίναι, να υπλγίσετε την γωνία φ = άρα ω =7, πότε φ = 8 ω = 8 4 = 4 3. Υπάρχει κυρτό ν γων ώστε τ άθρισµα των εσωτερικών γωνιών τυ να ισύται µε τ άθρισµα των εξωτερικών γωνιών τυ ; πάντηση Ναι τ τετράπλευρ 4. Να εξηγήσετε γιατί αν ένα ισσκελές τρίγων έχει µία γωνία τυ 6 θα είναι ισόπλευρ Έστω ω = 6 τότε φ =8 ω =8 = 6 φ φύ τ τρίγων έχει τις γωνίες τυ ίσες θα είναι ισόπλευρ Έστω φ = 6 τότε ω ω ω = 8 φ = Άρα ω= 6, πότε πάλι τ τρίγων θα έχει τις γωνίες ίσες, πότε θα είναι ισόπλευρ.
2 5. Τ άθρισµα των εξωτερικών γωνιών ενός τριγώνυ είναι τίπτα από αυτά πιλέξτε την σωστή απάντηση και αιτιλγήστε την απάντηση σας. πάντηση Σωστή απάντηση είναι η, διότι τ άθρισµα των εξωτερικών γωνιών πιυδήπτε ν γώνυ ισύται µε 36. σκήσεις µπέδωσης. Σε ρθγώνι τρίγων µια γωνία τυ είναι ίση µε τα 3 µιας άλλης γωνίας τυ. Να υπλγισθύν όλες ι γωνίες τυ (δύ περιπτώσεις). Έστω τ τρίγων µε = 9 Όταν B = 3 Οµίως όταν = 3 Όταν B = 3, τότε B = 3 9 = 6 και = 9 B = 9 6 = 3, τότε B = 3 ( 9 B ) 3 B = ( 9 B ) 3 B = 8 B 5 B = 8 B = 36 και = 9 B = 9 36 = 54
3 3. Σε ισσκελές τρίγων ( = ) είναι =. ν Ι τ έκκεντρ τυ τριγώνυ, να υπλγισθεί η γωνία Ι. πό εφαρµγή τυ σχ. ιβλίυ έχυµε = B = () τρ. ισσκελές B = (3) + B + = 8 (),(3) () Ι = = 8 Ι = = 8 () 5 = 8 = Σε τρίγων η γωνία είναι τριπλάσια της γωνίας B. ν εξ = 44 να βρεθεί τ είδς τυ τριγώνυ ως πρς τις πλευρές τυ. εξ = + B 44 = 3 B + B 44 = 4 B B = 36 = 8 εξ = 8 44 = 36 Άρα B = τρ. ισσκελές µε = 4. ίνεται ρθγώνι τρίγων ( = 9 ) και τ ύψς τυ. Να απδείξετε ότι B = και =. Οξείες γωνίες µε κάθετες πλευρές.
4 4 5. Στ παρακάτω σχήµα είναι = = και x = 8. Να υπλγισθεί η γωνία. φ 8 Στ τρίγων έχυµε λλά Â = 8 φ + 8 4φ + 8 = 8 3φ = 8 φ = 36 = Â =ϕ εξωτερική τυ τριγώνυ = ϕ + Â = ϕ + ϕ = ϕ = = = ϕ 8 + += + ϕ+ ϕ= = ϕ 6. Στ παρακάτω σχήµα είναι ωφ 9 =, διχτόµς,. ν η γωνία είναι µεγαλύτερη από τη, να υπλγίσετε τις γωνίες ω και φ. Υπόθεση: λλά φ = = 55 και ω = = = 45 = + + = = 9 = 7 =35 και = Τ άθρισµα των γωνιών κυρτύ πλυγώνυ είναι 9. Να βρεθεί τ πλήθς των πλευρών τυ. Έστω ν τ πλήθς των πλευρών. ( ν 4) 9 = 9 ν 4 = ν = 4 ν = 7
5 5 πδεικτικές σκήσεις. Σε τρίγων είναι = 9 +. Να απδείξετε ότι = εξ = = 9 + εξ + = 8 + = 8 8 = 8 = =. ίνεται τρίγων µε > και η διχτόµς τυ. Να απδείξετε ότι i) = ii) = 9, = 9 + i) Â διχτόµς Â = Â = εξωτερική τυ τριγώνυ Â = + εξωτερική τυ τριγώνυ = + Â () () = () () ii) H () = + Οµίως για τη 9 = 9 + = 9
6 6 3. Σε τρίγων µε > φέρυµε τ ύψς και τη διχτόµ. Να απδείξετε ότι =. = - E αλλά = Â λόγω της διχτόµυ και = 9 από τ ρθ. τρίγων Άρα Â = ( 9 ) Â = 9 + = = Â + = 4. ν ι διχτόµι των γωνιών, κυρτύ τετραπλεύρυ τέµννται σε σηµεί, να απδείξετε ότι + = πό τ τρίγων έχυµε = 8 = 8 Â 36 = πειδή τ άθρισµα των γωνιών τετραπλεύρυ είναι 36, θα έχυµε +++ = = +
7 7 5. πό τυχαί σηµεί της βάσης ισσκελύς τριγώνυ φέρυµε τη. Να απδείξετε ότι = ++= 8 + = 8 () τρ. : = 9 () + ( 9 ) = = 8 = 6. Σε ρθγώνι τρίγων ( Â = 9 ) τ ύψς τυ και η διχτόµς τυ Ζ τέµννται σε σηµεί. Να απδείξετε ότι τ τρίγων Ζ είναι ισσκελές. Ζ Τρ. ρθγώνι: Ê = Ê = 9 B = 9 B Τρ. Ζ ρθγώνι: Ẑ = 9 B = 9 B πό τις () και () έχυµε Ê = Ẑ τρ. Ζ ισσκελές. () () 7. ίνεται ρθγώνι τρίγων ( Â = 9 ). Η διχτόµς της γωνίας B τέµνει την στ Ζ και την κάθετη στη στ σηµεί, στ Η. Να απδείξετε ότι Ζ = Η. Ζ Η Τρ. Η ρθγώνι: Ĥ = 9 B = 9 B Τρ. Ζ ρθγώνι: Ẑ = Ẑ = 9 B = 9 B πό τις () και () έχυµε Ĥ = Ẑ τρ. ΗΖ ισσκελές. () ()
8 8 Σύνθετα Θέµατα. ίνεται ισσκελές τρίγων ( = ) και τυχαί σηµεί της πλευράς. Στην πρέκταση της, πρς τ, παίρνυµε τµήµα =. Να απδείξετε ότι. ρκεί να απδείξυµε ότι += 9 Ζ = = λλά = + σαν εξωτερική τυ τρ. Άρα = = = () = =. λλά + + = 8 Άρα + = 8 = 8 = 9 () () + () += 9. ίνεται τρίγων µε > και η διχτόµς τυ. πό την κρυφή φέρυµε ευθεία κάθετη στην, πυ τέµνει την στ. Να απδείξετε ότι = Ζ Τρ. Ζ ρθγώνι B = 9 λλά = + = + σαν εξωτερική τυ τριγώνυ Άρα B = 9 ( + ) = = + + = = =
9 9 3. Σε ρθγώνι τρίγων πρεκτείνυµε την υπτείνυσα κατά τµήµα =. Φέρυµε κάθετη στη στ σηµεί και παίρνυµε σε αυτή πρς τ µέρς τυ τµήµα =. Να απδείξετε ότι τα σηµεία,, είναι συνευθειακά. Φέρυµε τα τµήµατα,. ρκεί να απδείξυµε ότι + + = 8 ή αρκεί + = 9 αφύ = 9 B εξωτερική τυ ισσκελύς τριγώνυ B = = Στ ισσκελές τρίγων έχυµε = και + + = 8 = 8 = 9 () ίναι = B σαν ξείες µε πλευρές κάθετες () = 9 (3) () + (3) + = 9 ()
10 4. ίνεται ισσκελές τρίγων ( = ) και τ ύψς τυ. Φέρυµε Η, πυ τέµνει την πρέκταση της στ. Να απδείξετε ότι i) B = ii) > Η i) ρκεί να απδείξυµε ότι = Ορθ. τρίγων : = 9 Ορθ. τρίγων Η : = 9 Ισσκελές : = Άρα = ii) Τα τρίγωνα και έχυν δύ πλευρές ίσες. ια να είναι >, αρκεί να απδείξυµε ότι >. πειδή, όµως, = 9, αρκεί να απδείξυµε ότι η είναι ξεία. Ισσκελές τρίγων ξεία, άρα αµβλεία. Έτσι, στ τρίγων η είναι ξεία.
11 5. Σε τρίγων, πρεκτείνυµε τα ύψη τυ και πρς τ µέρς των κρυφών και επί των πρεκτάσεων παίρνυµε τµήµατα Ζ = και Η = αντίστιχα. Να απδείξετε ότι i) AZ = AH ii) AZ AH Η i) Συγκρίνυµε τα τρίγωνα Ζ, Η. Έχυν = Η και Ζ = ια να είναι ίσα, αρκεί να Ζ απδείξυµε ότι Ζ=Η, ή αρκεί = αφύ είναι παραπληρωµατικές τυς. υτό ισχύει διότι, από τα ρθ. τρίγωνα και, ι γωνίες και είναι συµπληρωµατικές της γωνίας τυ τριγώνυ. ii) τρ.ζ = τρ.η = Η Στ ρθ. τρίγων Η, η Η είναι συµπληρωµατική της Η, άρα και η. 6. Θεωρύµε τετράπλευρ µε > και νµάζυµε φ την ξεία γωνία των διχτόµων των γωνιών και. Να απδείξετε ότι φ = Στ τρίγων Ζ είναι φ = 8 Ζ Ζ = + φ σαν εξωτ. τυ τριγώνυ Ζ Άρα φ = 8 ( Ζ + ) +++ φ = +++ φ = =
12 7. ύ επίπεδα κάτπτρα Κ, Κ είναι κάθετα. Φωτεινή ακτίνα α πρσπίπτει αρχικά στ Κ και µετά την ανάκλαση στ Κ, εξέρχεται κατά την ακτίνα β. Τι πρεία θα ακλυθήσει, σε σχέση µε την αρχική ακτίνα α; Κ ω x ω α y φ φ β Κ Θα απδείξυµε ότι α β. Πρς τύτ, αρκεί να απδείξυµε ότι x + y = 8. ίναι ω + x + ω = 8 () και φ + y + φ = 8 () () + () ω + φ + x + y =36 x + y =36 (ω + φ) λλά ω + φ = 9 αφύ Κ Κ Άρα x + y =36 9 x + y = 8
3.2 ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
3. ΘΡΟΙΣΜ ΩΝΙΩΝ ΤΡΙΩΝΟΥ ΙΙΟΤΗΤΕΣ ΙΣΟΣΚΕΛΟΥΣ ΤΡΙΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙ. Άθρισµα γωνιών τριγώνυ Σε πιδήπτε τρίγων τ άθρισµα των γωνιών τυ είναι ίσ µε 80. Ιδιότητες ισσκελύς τριγώνυ Η ευθεία της διαµέσυ πυ αντιστιχεί
Διαβάστε περισσότερα1. Πότε µία γωνία λέγεται εγγεγραµµένη; Απάντηση Όταν η κορυφή της είναι σηµείο του κύκλου και οι πλευρές της είναι τέµνουσες του κύκλου
6. 6.4 σκήσεις σχλικύ βιβλίυ σελίδας 9 30 Ερωτήσεις Κατανόησης. Πότε µία γωνία λέγεται εγγεγραµµένη; πάντηση Όταν η κρυφή της είναι σηµεί τυ κύκλυ και ι πλευρές της είναι τέµνυσες τυ κύκλυ. ν φ και ω είναι
Διαβάστε περισσότεραΑ = Δ = 90 με ˆ ο. Β = 60. Αν είναι ΒΓ = ΔΓ = 8 να βρεθεί το μήκος της διαμέσου του τραπεζίου.
Γεωμετρία της Α Λυκείυ 34. Δίνεται ρθγώνι τραπέζι ΑΒΓΔ Α = Δ = 90 με Β = 60. Αν είναι ΒΓ = ΔΓ = 8 να βρεθεί τ μήκς της διαμέσυ τυ τραπεζίυ. Φέρνυμε τ ύψς ΓΕ τυ τραπεζίυ. Στ ρθγώνι τρίγων ΓΕΒ είναι Άρα
Διαβάστε περισσότεραάθροισµα των τετραγώνων των διαγωνίων του είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των βάσεών του.
1. Αν ι µη παράλληλες πλευρές ενός τραπεζίυ είναι κάθετες, να απδείξετε ότι τ άθρισµα των τετραγώνων των διαγωνίων τυ είναι ίσ µε τ άθρισµα των τετραγώνων των βάσεών τυ.. Να υπλγίσετε τ ύψς και τις διαγώνιες
Διαβάστε περισσότερα( ) 11.4 11.7. Μέτρηση κύκλου. α 180. Μήκος τόξου µ ο : Μήκος τόξου α rad : l = αr. Σχέση µοιρών ακτινίων : Εµβαδόν κυκλικού δίσκου : Ε = πr 2
1 11. 11.7 Μέτρηση κύκλυ ΘΩΡΙ Μήκς τόξυ µ : µ 180 Μήκς τόξυ α rad : αr Σχέση µιρών ακτινίων : α π µ 180 µβαδόν κυκλικύ δίσκυ : ( ) µβαδόν κυκλικύ τµέα µ : µ µβαδόν κυκλικύ τµέα α rad : ( ) 1 αr µβαδόν
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 4 ï ÐáñÜëëçëåò åõèåßåò
ÊåöÜëáéï 4 ï ÐáñÜëëçëåò åõèåßåò Ο µαθητής πυ έχει µελετήσει τ κεφάλαι 4 θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει τη σχετική θέση δύ ευθειών. Να γνωρίζει τη σχέση µεταξύ γωνιών πυ σχηµατίζνται από δύ παράλληλες
Διαβάστε περισσότερααποδείξεις µερικών θεωρηµάτων της γεωµετρίας α λυκείου 1
απδείξεις µερικών θεωρηµάτων της γεωµετρίας α λυκείυ www.sonom.gr αν δύ χρδές ενός κύκλυ είναι ίσες τότε και τα απστήµατά τυς και αντιστρόφως αν τα απστήµατα δύ χρδών ενός κύκλυ τότε και ι χρδές είναι
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ. Ποιες οι σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο ; Πως ορίζονται οι παράλληλες ευθείες και πως συμβολίζονται ;
ΚΦΛΙΟ 4ο ΠΡΛΛΗΛΣ ΥΘΙΣ Ποιες οι σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο ; Πως ορίζονται οι παράλληλες ευθείες και πως συμβολίζονται ; Οι σχετικές θέσεις δυο ευθειών ε και ε, οι οποίες βρίσκονται στο ίδιο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Αν οι αριθμοί x και ψ είναι αντίστροφοι να βρεθεί η τιμή της παράστασης
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αν ι αριθμί και ψ είναι αντίστρφι να βρεθεί η τιμή της παράστασης y y A y Αν α,β είναι θετικί πραγματικί αριθμί να απλπιηθύν ι παραστάσεις : 4 4 A 6αβ 49α
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί;
5. 5.2 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 99 00 ρωτήσεις ατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί; 3 Π 5 4 Π 2 5 5 Ο 3 4 Ο 4 Π 3 Ν 3 3 Μ 3,5 3,5 Λ Ρ φ Π 4 φ ω
Διαβάστε περισσότερα6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης
6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας
5. 5.5 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 0 04 ρωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι Ορθογώνια, ρόµβοι, i τετράγωνα, ποια όχι και γιατί; (α) 5 (β) 5 (γ) (δ) (ε) (ζ) φ 5 φ 5 φ φ (η)
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 1. Αν οι αριθμοί x και ψ είναι αντίστροφοι να βρεθεί η τιμή της παράστασης
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αν ι αριθμί και ψ είναι αντίστρφι να βρεθεί η τιμή της παράστασης A y y y Αν α,β είναι θετικί πραγματικί αριθμί να απλπιηθύν ι παραστάσεις :
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ web:
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίυ (Ελευθερίυ Βενιζέλυ) 3 06 79 ΑΘΗΝΑ email: info@hms.gr web: www.hms.gr Πρόβλημα ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 79 ς ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ «Ο ΘΑΛΗΣ»
Διαβάστε περισσότερα8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179
8. 8. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 ρωτήσεις Κατανόησης. i) ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε είναι όµοια; ii) ν δύο τρίγωνα είναι όµοια προς τρίτο τότε είναι µεταξύ τους όµοια πάντηση i) Προφανώς
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις κατανόησης σελίδας 114. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ
5.0 5. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 4 5 ρωτήσεις κατανόησης σελίδας 4. Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ 3 3 (α) x 0 ψ 4 (β) x ψ 7 (γ) x (δ) θ x+ 3x ω 0 ο πάντηση + 0 Στο σχήµα (α) το
Διαβάστε περισσότερα5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) :
5.6 5.9 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 0 ρωτήσεις Κατανόησης. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ (α ) ( β ) A x x, 5 ( γ) ψ x +, 5 x, 5 ε ε ε ε 4 δ δ ε ε B ε ε 4 (δ ) ψ ψ x 60 o 4 (ε) B 5
Διαβάστε περισσότερα2. Σε τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουµε τη διάµεσο ΑΜ κατά Μ = ΑΜ. λυµένες ασκήσεις γεωµετρίας α λυκείου 1. ΒΜ = ΓΜ (υπόθεση)
λυµένες ασκήσεις γεωµετρίας α λυκείυ www.sonom.gr. Στις πρεκτάσεις των ίσων πλευρών ΒΑ και ΓΑ ισσκελύς τριγώνυ ΑΒΓ θεωρύµε ίσα τµήµατα Α, ΑΕ αντιστίχως. Αν Μ είναι τ µέσ της ΒΓ, να απδείξεις ότι τ τρίγων
Διαβάστε περισσότερααπεναντι καθετη πλευρα υποτεινουσα
ΜΑΘΗΜΑ 7 Κεφάλαι o : Τριγωνµετρία Υπενότητα.: Τριγωνµετρικί αριθµί γωνίας ω µε 0 ω 80 Θεµατικές Ενότητες:. Επανάληψη από Β Γυµνασίυ.. Τριγωνµετρικί αριθµί πιασδήπτε γωνίας ω. Α. ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΠΟ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Διαβάστε περισσότερα(Ανάλογα εργαζόµαστε και για να αποδείξουµε ότι δύο γωνίες έχουν κοινή διχοτόµο ή δύο τόξα κοινό µέσο).
1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΕΙΞΗΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ (η τεχνική τυ αρκεί να απδείξυµε ότι... ) Παναγιώτης Λ. Θεδωρόπυλς Σχλικός Σύµβυλς κλάδυ ΠΕ03 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σηµειώσεις αυτές γράφτηκαν µε σκπό να βηθήσυν τυς µαθητές της
Διαβάστε περισσότερα1. Να υπολογίσεις το εμβαδόν κυκλικού δίσκου που είναι περιγεγραμμένος. Στο διπλανό σχήμα, να υπολογίσεις το μήκος και το. εμβαδόν του κύκλου.
Δ 1. Να υπλγίσεις τ εμβαδόν κυκλικύ δίσκυ πυ είναι περιγεγραμμένς σε τετράγων πλευράς α = 6 cm Α Α 8cm. 6cm Στ διπλανό σχήμα, να υπλγίσεις τ μήκς και τ Β Γ εμβαδόν τυ κύκλυ. Ο Β Γ 3. Λυγίζυμε ένα σύρμα
Διαβάστε περισσότερα9 o ìüèçìá. Êýêëïò. 6 ÊåöÜëáéï. 10 o ìüèçìá. ÅããåãñáììÝíá êáé åããñüøéìá ôåôñüðëåõñá à Ã
x 9 o ìüèçìá Êýêëïò Ê Ì ø o 6 ÊåöÜëáéï 0 o ìüèçìá ÅããåãñáììÝíá êáé åããñüøéìá ôåôñüðëåõñá Ê 9 Κύκλς Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ Ορισµί i) Μια γωνία λέγεται εγγεγραµµένη σε κύκλ, όταν
Διαβάστε περισσότεραΕγγεγραµµένα και εγγράψιµα τετράπλευρα
0 Εγγεγραµµένα και εγγράψιµα τετράπλευρα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΣΕ ΚΥΚΛΟ i) Ένα πλύγων ΑΑΑ 3...Α ν λέγεται εγγεγραµµέν σε κύκλ όταν ι κρυφές τυ είναι σηµεία ενός κύκλυ. ii)
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 6 ï. ÅããåãñáììÝíá ó Þìáôá. Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 6 θα πρέπει να είναι σε θέση:
ÊåöÜëáéï 6 ï ÅããåãñáììÝíá ó Þìáôá Ο µαθητής πυ έχει µελετήσει τ κεφάλαι 6 θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει και να εφαρµόζει τη σχέση µεταξύ µιας εγγεγραµµένης γωνίας και της αντίστιχης επίκεντρης
Διαβάστε περισσότεραιατυπώστε την ιδιότητα αυτή µε τη βοήθεια µεταβλητών.
Μαθηµατικά B υµνασίυ Eρωτήσεις θεωρίας 1. Τι νµάζυµε µεταβλητή;. Τι νµάζυµε αριθµητική παράσταση; 3. Τι νµάζυµε αλγεβρική παράσταση; 4. Πια είναι η επιµεριστική ιδιότητα; 5. Τι συµβαίνει αν και στα δύ
Διαβάστε περισσότερα7.7 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 156
1 7.7 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 156 ρωτήσεις ατανόησης 1. Στα παρακάτω σχήματα να βρείτε τα x, ψ (α) ε 1 ε x 1 2 ε 2 ψ 6 ε 2 3 3 ε 4 ε 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 3 ε 2 ε 1 ε 2 4 x 1,5 ψ 3 4 ε 3 (β) (γ) ε 1
Διαβάστε περισσότερα1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ
1 1.1 Η ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ ΘΕΩΡΙ 1. ιάνυσµα Λέγεται κάθε πρσανατλισµέν ευθύγραµµ τµήµα. (έχει αρχή και πέρας) A B 2. Μηδενικό διάνυσµα 0 Λέγεται τ διάνυσµα τυ πίυ η αρχή και τ πέρας συµπίπτυν. AA= 0 3.
Διαβάστε περισσότερα3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ
3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΘΕΩΡΙΑ. Οµασία: Έα πλύγω µε κρυφές θα τ λέµε -γω µε εξαίρεση τ πλύγω µε τέσσερις κρυφές πυ θα τ λέµε τετράπλευρ. 2. Καικό πλύγω: Έα πλύγω λέγεται καικό ότα όλες ι πλευρές τυ είαι
Διαβάστε περισσότερα1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία
1.0 Βασικές Έννιες στην Τριγωνμετρία 1 η Μρφή Ασκήσεων: Ασκήσεις όπυ θέλυμε να βρύμε στιχεία ενός γεωμετρικύ σχήματς 1. Στ διπλανό σχήμα να απδείξετε ότι: ΒΓ υ εφω + εφθ. Τ τρίγων ΑΔΒ είναι ρθγώνι στ Δ,
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας
1 7.8 7.9 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 162 163 ρωτήσεις Κατανόησης 1. Να εξηγήσετε γιατί τα ίχνη, της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας τριγώνου είναι συζυγή αρμονικά των και. πάντηση
Διαβάστε περισσότερα1 η εκάδα θεµάτων επανάληψης
η εκάδα θεµάτων επανάληψης. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο µε υποτείνουσα την και ɵ = 30 ο. Έστω διάµεσος του και, Ζ, Η τα µέσα των, και αντίστοιχα. Στην προέκταση του Ζ παίρνουµε τµήµα ΖΚ= Ζ. Να δείξετε ότι
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης
0. 0.3 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 7 8 Ερωτήσεις κατανόησης. Να γράψετε τους τύπους υπολογισµού του εµβαδού Τετραγώνου Ορθογωνίου i Παραλληλογράµµου iν) Τριγώνου ν) Τραπεζίου πάντηση Ε = α Ε = α β
Διαβάστε περισσότεραΚ. Μέτρηση Κύκλου. Παράρτημα. Ι13. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση:
Ι12. Αν σε ένα τρίγων ΑΒΓ ισχύει η σχέση ημ 3 Β ημ 2 ΑημΒ ημ 2 ΑημΓ ημ 3 Γ, να απδείξετε ότι Βˆ Γˆ 120. Ι13. Αν σε ένα τρίγων ΑΒΓ ισχύει η σχέση: 1 1 2 1, να α β α β γ α β γ β γ 2 απδείξετε ότι 4συν Β
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας Α Λύκειου
Περιδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας Α Λύκειυ Γιάννης Κυριαζής Κωστά Βακαλόπυλς Άσκηση Θεωρύμε τρίγωνα και για τα πία ισχύει ότι: α) B ˆ B ˆ β) Γ ˆ Γ ˆ γ) r=r, όπυ r,r ι περίμετρι
Διαβάστε περισσότερα3.5 3.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48. Ερωτήσεις κατανόησης
.5.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48 ρωτήσεις κατανόησης. Έστω ευθεία ε και σηµείο εκτός αυτής. ν ε και ε (, σηµεία της ε) τότε i) Σ Λ ii) Σ Λ iii) = Σ Λ ιτιολογήστε την απάντηση σας i) ιότι από ένα
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Γενικές ασκήσεις 5 ου Κεφαλαίου (1) (2) (1)
σκήσεις σχ. ιβλίου σελίδας 6 7 ενικές ασκήσεις 5 ου Κεφαλαίου. ίνεται τρίγωνο (β γ) µε Â = 60 ο, τα ύψη του, και τα µέσα Μ, Ν των, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι Μ = Ν. Τρ. ορθογώνιο µε Â = 60 ο M N ˆB
Διαβάστε περισσότεραΓενικές ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου σελίδας 140
ενικές ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου σελίδας 40. ίνεται τρίγωνο ορθογώνιο στο. πό τα άκρα, της υποτείνουσας φέρουµε κάθετες x και y στη και προς το ίδιο µέρος της. πό το µέσο Μ της φέρουµε κάθετη στην, που τέµνει
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΩΝ ΕΤΩΝ - ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ
Α ΤΑΞΗ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΩΝ ΕΤΩΝ - ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α. α) Πιι αριθμί λέγνται μόσημι. Να γράψετε δύ παραδείγματα μόσημων αριθμών. β) Πιι αριθμί λέγνται ετερόσημι. Δώστε ένα παράδειγμα. Β. Να μεταφέρετε στην κόλλα
Διαβάστε περισσότεραΑΓ=ΑΔ(υπόθεση) ΒΔ = ΓΕ υποθεση
ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ Άσκηση 1.Συγκρίνουμε τα τρίγωνα και. 2 1 =(υπόθεση) = (υπόθεση) = 2 1 κατακορυφήν γωνίες πό το κριτήριο Π--Π τα τρίγωνα είναι ίσα άρα και = Άσκηση 2 Χαράζουμε τις και επειδή τα, είναι σημεία
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1
ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το μισό
Διαβάστε περισσότερα6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών
6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη
Διαβάστε περισσότερα2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης
η εκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω τρίγωνο µε + Ένα πρόχειρο σχήµα είναι το διπλανό
Διαβάστε περισσότερα10.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης. ΑΒΓ =λ. ύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ έχουν υ β = υ β και =. β ποιος είναι ο λόγος β
0.5 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 4 5 ρωτήσεις κατανόησης. ( ) ύο τρίγωνα και έχουν υ β = υ β και =. ( ) β ποιος είναι ο λόγος β : : : 9 : 4 5 4 4 9 Κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ web:
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίυ (Ελευθερίυ Βενιζέλυ) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ email: info@hms.gr web: www.hms.gr Πρόβλημα 1 ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 79 ς ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ «Ο
Διαβάστε περισσότερα4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης
4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και το µέσο του. Η τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i Ο = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν = και = άρα είναι
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος
3. 3.9 ΘΕΩΡΙ. Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος 2. Είδη τριγώνων Ως προς τις πλευρές : Σκαληνό, ισοσκελές, ισόπλευρο. Ως προς τις γωνίες
Διαβάστε περισσότεραΜετρικές σχέσεις σε τυχαίο τρίγωνο
5 Μετρικές σχέσεις σε τυχί τρίγων Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµ I (Γενίκευση τυ Πυθγρείυ θεωρήµτς γι πλευρά πυ βρίσκετι πένντι πό ξεί γωνί) Τ τετράγων πλευράς τριγώνυ, πυ βρίσκετι πένντι πό ξεί
Διαβάστε περισσότεραΒρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd
ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd..0 σκήσεις σχολικού βιβλίου (σελ. 3 4) ρωτήσεις Κατανόησης. ύο διαφορετικές ευθείες μπορεί να έχουν i) κανένα κοινό σημείο ii) Ένα
Διαβάστε περισσότερα2.1. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Oµάδας. 1.i) 1.ii) 1.iii) = 0. f x = x + 1 στο x ο. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης ( ) Λύση
. Ασκήσεις σχλικύ βιβλίυ σελίδας 9 A Oµάδας. Να βρείτε την παράγωγ της συνάρτησης ( D R ( ( ( στ. Να βρείτε την παράγωγ της συνάρτησης ( D ( R ( ( ( στ ( ( ( ( ( ( ( (.i Να βρείτε την παράγωγ της συνάρτησης
Διαβάστε περισσότερα5 η εκάδα θεµάτων επανάληψης
5 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4. ίνεται παραλληλόγραµµο και έστω, Μ τα µέσα των και αντίστοιχα Οι προεκτάσεις των τµηµάτων Μ και τέµνονται στο Ζ. Να αποδείξετε ότι Τα τρίγωνα Μ και ΜΖ είναι ίσα i Το τετράπλευρο
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία - Ασκήσεις με γωνίες
Σελίδα 1 από 19 Γεωμετρία - Ασκήσεις με γωνίες Χαρακτηριστικές ασκήσεις με γωνίες πυ αρέσυν γητεύυν τυς μαθητές πυ ασχλύνται με τυς μαθηματικύς διαγωνισμύς! Μπάμπης Στεργίυ Φεβρυάρις 01 11 ίννται στη σειρά
Διαβάστε περισσότεραΘεώρηµα ( ) x x. f (x)
Η ΣΥΝΡΤΗΣΗ f() = α + ΓΩΝΙ ΕΥΘΕΙΣ ΜΕ ΤΝ ΞΝ Η ΣΥΝΡΤΗΣΗ f() = α + Έστ ( ) µία υθία στ καρτσιανό πίπδ η πία τέµνι τν άξνα στ σηµί A. Γνία της υθίας ( ) µ τν άξνα λέγται η γνία πυ διαγράφι η ηµιυθία, αν στραφί
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή
ΚΦΛΙΟ 5ο ΠΡΛΛΗΛOΡΜΜ - ΤΡΠΙ ισαγωγή. Τι καλείται τετράπλευρο ; Πόσες διαγώνιες έχει ένα κυρτό τετράπλευρο ; Τι καλείται παραλληλόγραμμο και τι τραπέζιο ; Το ευθύγραμμο σχήμα που έχει τέσσερις πλευρές λέγεται
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό
Διαβάστε περισσότερα3.3 ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ
1 3 ΠΛΛΗΛΟΜΜΟ ΟΘΟΩΝΙΟ ΤΤΩΝΟ ΟΜΟΣ ΤΠΙΟ ΙΣΟΣΛΣ ΤΠΙΟ ΘΩΙ Παραλληλόγραµµο Λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές παράλληλες. ( // και // ) άσεις και ύψη στο παραλληλόγραµµο άθε πλευρά του µπορεί
Διαβάστε περισσότεραB Θέματα (Έκδοση: )
B Θέματα (Έκδση: 26 1 215) Οι απαντήσεις και ι λύσεις είναι απτέλεσμα της συλλγικής δυλειάς των συνεργατών τυ δικτυακύ τόπυ http://lisari.blogspot.gr Έκδση: 26 1 215 (συνεχής ανανέωση) Τ βιβλί διατίθεται
Διαβάστε περισσότερα4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης
4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και Μ το µέσο του. Η Μ τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i ΟΜ = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα Μ και Μ έχουν Μ =
Διαβάστε περισσότεραΟρισµοί. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου.
6.5 6.6 ΘΩΡΙ. Ορισµοί Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγράψιµο σε κύκλο, όταν µπορεί να γραφεί κύκλος που να διέρχεται
Διαβάστε περισσότεραΑπέναντι πλευρές παράλληλες
5. 5.5 ΘΩΡΙ. Παραλληλόγραµµο πέναντι πλευρές παράλληλες. Ιδιότητες παραλληλογράµµου πέναντι πλευρές ίσες πέναντι γωνίες ίσες Οι διαγώνιοι διχοτοµούνται Το σηµείο τοµής των διαγωνίων είναι κέντρο συµµετρίας
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Αντιστοιχίστε κάθε µέγεθος της στήλης Α µε την τιµή του στην στήλη Β
1 11.6 11.8 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 50 51 Ερωτήσεις Κατανόησης 1. ντιστοιχίστε κάθε µέγεθος της στήλης µε την τιµή του στην στήλη Στήλη Στήλη Εµβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας Εµβαδόν κυκλικού τοµέα
Διαβάστε περισσότεραΠαράλληλες Ευθείες. Αθανασίου Δημήτριος (Μαθηματικός)
Παράλληλες Ευθείες Αθανασίου Δημήτριος (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 4.1 Εισαγωγή 2 ΟΡΙΣΜΟΣ Δυο ευθείες ε 1 και ε 2 που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κοινό σημείο λέγονται παράλληλες
Διαβάστε περισσότερα5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες.
5.0 5. ΘΕΩΡΙ. Ορισµοί Τραπέζιο λέγεται το τετράπλευρο που έχει µόνο δύο πλευρές παράλληλες. άσεις τραπεζίου λέγονται οι παράλληλες πλευρές του. Ύψος τραπεζίου λέγεται η απόσταση των βάσεων. ιάµεσος τραπεζίου
Διαβάστε περισσότεραΓενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α
ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς
Διαβάστε περισσότεραΛ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1
υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 Προεκτεινουµε τις πλευρες και παραλληλογραμμου κατα τμηματα = και = αντιστοιχως. Να αποδειξετε οτι τα σημεια, και ειναι συνευθειακα. = παραλληλογραμμο
Διαβάστε περισσότεραΣωστό -λάθος. 3) Δύο ευθείες κάθετες προς μία τρίτη ευθεία είναι μεταξύ τους παράλληλες.
Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1) Οι οξείες
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ
Διαβάστε περισσότερα1.2 ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ
1 1. ΛΟΟΣ ΥΘΥΡΜΜΩΝ ΤΜΗΜΤΩΝ ΘΩΡΙ 1. Παραλληλία και ισότητα ν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ορίζουν ίσα ευθύγραµµα τµήµατα σε µία ευθεία τότε θα ορίζουν ίσα ευθύγραµµα τµήµατα και σε οποιαδήποτε άλλη ευθεία
Διαβάστε περισσότερα1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A
1 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A Οξυγώνιο τρίγωνο, όλες οι γωνίες οξείες B A µβλυγώνιο τρίγωνο,
Διαβάστε περισσότεραΣτα παρακάτω σχήµατα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων. Να βρείτε τα σηµεία στα οποία αυτές δεν είναι συνεχείς. 2 3,5 1 O. x 2.
.8 Ασκήσεις σχλικύ βιβλίυ σελίδας 97 0 A µάδας. Στα αρακάτω σχήµατα δίννται ι γραφικές αραστάσεις δύ συναρτήσεων. Να βρείτε τα σηµεία στα ία αυτές δεν είναι συνεχείς. 3 3,5 3 - εν είναι συνεχής στ αφύ
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 / 11 / 09 ΘΕΜΑ 1 ο
ΥΣΕΙΣ ΙΩΝΙΣΜΤΣ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΥΚΕΙΥ 1 / 11 / 09 ΘΕΜ 1 ο ) Χαρακτηρίστε ως σωστή (Σ) ή ως λάθος () καθεµία από τις επόµενες προτάσεις. ύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα, όταν οι αντίστοιχες χορδές τους είναι ίσες.
Διαβάστε περισσότερα1.8 ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ
1 8 ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗΝ ΓΩΝΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑ Παραπληρµατικές γνίες : Είναι γνίες πυ έχυν άθρισµα 180 Κάθε µία λέγεται παραπλήρµα της άλλης Συµπληρµατικές γνίες : Είναι γνίες πυ έχυν άθρισµα
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΝΟΜΟΣ ΗΜΙΤΟΝΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ. α β γ ΜΑΘΗΜΑ 10. Κεφάλαιο 2o : Τριγωνοµετρία. Υποενότητα 2.4: Νόµος των Ηµιτόνων Νόµος των Συνηµιτόνων. Θεµατικές Ενότητες:
ΜΑΘΗΜΑ 10 Κεφάλαι o : Τριγωνµετρία Υπενότητα.4: Νόµς των Ηµιτόνων Νόµς των Συνηµιτόνων Θεµατικές Ενότητες: 1. Νόµς Ηµιτόνων.. Νόµς Συνηµιτόνων. Α. ΝΟΜΟΣ ΗΜΙΤΟΝΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Τ σηµαντικότερ πρόβληµα στη τριγωνµετρία
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ
ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : Θεωρύμε τυς μιγαδικύς αριθμύς α) z(t) + z(t) = z(t)
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι
Διαβάστε περισσότερα2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ
1 4-5 ΣΥΜΜΤΡΙ ΩΣ ΠΡΣ ΣΗΜΙ ΚΝΤΡ ΣΥΜΜΤΡΙΣ ΘΩΡΙ Το συµµετρικό σηµείου ως προς κέντρο σηµείο νοµάζουµε συµµετρικό του ως προς κέντρο το σηµείο µε το οποίο συµπίπτει το περιστρεφόµενο περί το κατά γωνία 180
Διαβάστε περισσότεραγεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 )
γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες µη κυρτή ευθεία ( ) πλήρης (4 ) κυρτή, οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) συµπληρωµατικές παραπληρωµατικές φ ω ω
Διαβάστε περισσότεραΘέματα πανελληνίων διαγωνισμών Ε.Μ.Ε. Β γυμνασίου Θαλής
Θέματα πανελληνίων διαγωνισμών Ε.Μ.Ε. Β γυμνασίυ Θαλής 1995-1996 Κ, 3cm. Με κέντρ τ σημεί Λ τυ κύκλυ να χαράξετε δεύτερ κύκλ Λ, 3cm. Η διάκεντρς ΚΛ τέμνει τν Κ στ Α και τν Λ στ Β, αν πρεκταθεί. Να κατασκευάσετε
Διαβάστε περισσότεραΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ : 7077 594 ΑΡΤΑΚΗΣ Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ : 99 9494 www.syghrono.gr ΕΠΩΝΥΜΟ:... ΟΝΟΜΑ:... ΤΜΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.... ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 0--07 ΘΕΜΑ Α Α. Σχλικό Βιβλί σελ.
Διαβάστε περισσότεραΜπάμπης Στεργίου. Ασκήσεις στη Γεωμετρία. Διαγωνισμός. Αρχιμήδης. Juniors-Μικροί. *** Αφιερωμένο στους μαθητές και τους συναδέλφους
Μπάμπης Στεργίυ ιαγωνισμός Αρχιμήδης Juniors-Μικρί Ασκήσεις στη Γεωμετρία *** Αφιερωμέν στυς μαθητές και τυς συναδέλφυς 017 Σελίδα 1 από 5 Οι εκφωνήσεις των ασκήσεων Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός 5/0/017
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Μια τεντωμένη κλωστή με άκρα δύο σημεία Α και Β μας δίνει μια εικόνα της έννοιας του.. Τα σημεία Α και Β λέγονται.. 2. Τι ονομάζεται ευθεία;..
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ & ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΘΕΜΤ & ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΣ ΜΘΗΜΤΙΚΩΝ ΥΜΝΣΙΟΥ ΘΕΜ 1. α) Να συµπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες. α+0=.. α 1=. α-α=.. α:α=. 0 α=. 0:α=. Το α είναι ένας αριθµός διαφορετικός του 0. β) Στις παρακάτω προτάσεις να
Διαβάστε περισσότεραγραπτή εξέταση στο µάθηµα ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
η εξεταστική περίδς από 6/0/ έως 06// γραπτή εξέταση στ µάθηµα ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ Λυκείυ Τµήµα: Βαθµός: Ονµατεπώνυµ: Καθηγητές: ΑΤΡΕΙ ΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΘΕΜΑ Στις παρακάτω ερωτήσεις να γράψετε
Διαβάστε περισσότεραΑ λ γ ε β ρ Λ υ κ ε ι ο υ Γ ε ω μ ε τ ρ ι α Α Λ υ κ ε ι ο υ
Κ Κ α α ι ι τ τ ο ο Λ Λ υ υ σ σ α α ρ ρ ι ι............ λ λ λ λ ι ι ω ς ς!!!!!! λ γ ε β ρ Λ υ κ ε ι ο υ ε ω μ ε τ ρ ι α Λ υ κ ε ι ο υ π ι μ ε λ ε ι α Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς w w w. d r m a t h s
Διαβάστε περισσότεραΜΕΘΟ ΟΣ ΡΕΥΜΑΤΩΝ ΒΡΟΧΩΝ
Εισαγωγή Ρεύµατα βρόχων ΜΕΘΟ ΟΣ ΡΕΥΜΑΤΩΝ ΒΡΟΧΩΝ Η µέθδς ρευµάτων βρόχων για την επίλυση κυκλωµάτων (ή δικτύων) είναι υσιαστικά εφαρµγή τυ νόµυ τάσεων τυ Kirchhff µε κατάλληλη εκλγή κλειστών βρόχων ρεύµατς.
Διαβάστε περισσότερα1. Οµόλογες πλευρές : Στα όµοια τρίγωνα οι οµόλογες πλευρές βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες και αντίστροφα.
1 1.5. ΟΜΟΙ ΤΡΙΩΝ ΘΩΡΙ 1. Όµοια τρίγωνα : ια τα όµοια τρίγωνα ισχύουν όλα όσα αναφέραµε στα όµοια πολύγωνα. 2. ποκλειστικά για τα τρίγωνα : ύο τρίγωνα είναι όµοια όταν έχουν δύο γωνίες ίσες ΣΧΟΛΙ 1. Οµόλογες
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης
4. -4.5 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 8 83 ρωτήσεις Κτνόησης. i) Πώς ονοµάζοντι οι γωνίες κι β του πρκάτω σχήµτος κι τι σχέση έχουν µετξύ τους; ii) Tι ισχύει γι τις γωνίες γ κι δ ; ε δ ε ε ε γ β ε πάντηση
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜA. Ιδιότητες παραλληλογράμμων
εωμετρία και Λυκείου ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜA Ορισμός Παραλληλόγραμμο λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. ηλαδή το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, όταν // και //. Ιδιότητες παραλληλογράμμων
Διαβάστε περισσότερα(Έκδοση: 13 01 2015)
(Έκδση: 13 1 215) Οι απαντήσεις και ι λύσεις είναι απτέλεσμα της συλλγικής δυλειάς των συνεργατών τυ δικτυακύ τόπυ http://lisari.blogspot.gr Έκδση: 13 1 215 (συνεχής ανανέωση) Τ βιβλί διατίθεται απκλειστικά
Διαβάστε περισσότεραΣωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα
Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα
Διαβάστε περισσότεραΠροεκτείνουµε την ΒΓ προς το Γ και στην προέκταση παίρνουµε τµήµα ΓΗ =ΑΕ. Τα τρίγωνα Α Ε και ΓΗ είναι ίσα, άρα Ε = Η και. Η γωνία
ΑΣΚΗΣΗ η ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ Έστω Ε σηµείο της πλευράς ΑΒ τετραγώνου ΑΒΓ. Αν η διχοτόµος της γωνίας την πλευρά ΒΓ στο σηµείο Ζ, να δείξετε ότι Ε = ΑΕ + ΓΖ. Λύση Αθανάσιος Μπεληγιάννης ( mathfinder )
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις ανάπτυξης. 1. Τα σηµεία Β και Γ είναι σηµεία του επιπέδου p, η ΒΓ είναι ευθεία του p. Η ΒΓ τέµνει την ΑΜ στον
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. Τα σηµεία και είναι σηµεία του επιπέδου, η είναι ευθεία του. Η τέµνει την Μ στον Μ Ν Ν. Το Ν σαν σηµείο της ανήκει στο, άρα και το Μ σαν σηµείο της Ν ανήκει στο. B. Έστω ε µια ευθεία
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α
1 ΣΚΗΣΙΣ ΠΝΛΗΨΗΣ 3 η Κ 1. Στο διπλανό σχήµα το τετράπλευρο παριστάνει µία τετράγωνη πλατεία και τα τετράπλευρα ΚΛΘ και ΗΜΡΖ παριστάνουν δύο κήπους. Η πλευρά του είναι 30m και η απόσταση των ΚΛ και ΡΜ είναι
Διαβάστε περισσότεραΓ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α - Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1
Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α - Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 Εμβαδά Επίπεδων Σχημάτων & Πυθαγόρειο Θεώρημα Η συλλογή των ασκήσεων προέρχεται από μια ποικιλία πηγών, σημαντικότερες από τις οποίες είναι το Mathematica.gr, παλιότερα
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ
Προαγωγικές εξετάσεις στα Μαθηματικά της Α Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 214-215 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑ 1 ο Α. ΘΕΩΡΙΑ Α. Να γράψετε με πιο σύντομο τρόπο τις επόμενες
Διαβάστε περισσότεραΣε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ
ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε
Διαβάστε περισσότεραΓραμμή. Σημείο. κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή. αποτελείται. Ευθεία κι αν αρχή και χωρίς. τέλος! x x
1. Οι Πρωταρχικές Γεωμετρικές Έννοιες Σημείο Γραμμή Δεν έχει διαστάσεις!! Υπάρχει μόνο στο μυαλό μας. Συμβολίζεται με κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή αποτελείται από άπειρα σημεία. Ευθεία Δεν είναι εύκολο
Διαβάστε περισσότερα5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Σε κύκλο (Ο, R) προεκτείνουµε µία διάµετρο του εκατέρωθεν των και και στις προεκτάσεις παίρνουµε τµήµατα = = R. Έστω ΕΜ τέµνουσα του κύκλου τέτοια ώστε Μ = R 7 Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει
Διαβάστε περισσότερα