Γραφική με Υπολογιστή Computer Graphics

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γραφική με Υπολογιστή Computer Graphics"

Transcript

1 Γραφική με Υπολογιστή Computer Graphics 1. Βασικοίγραφικοίαλγόριθμοι 2. Αρχέςγραφικώνπλεγματικώνοθονώνraster 3. Μετασχηματισμοί2 και3 διαστάσεωνκαι συστήματασυντεταγμένων 4. Προβολέςκαιμετασχηματισμοίπαρατήρησης 5. Aλγόριθμοιαπόκρυψηςεπιφανειώνκαι αλγόριθμοιφωτισμού διαφάνειεςαπόβιβλίοθεοχάρημπέμ, Συμμετρία, Αθήνα1999

2 Ιστορικήαναδρομή

3 Περιοχές σχετικές με την Εικόνα Γραφική με Υπολογιστές (Computer Graphics) Επεξεργασία - ΑνάλυσηΕικόνων (Image Processing -Analysis) Τεχνητήόραση(Computer vision) Αλληλεπίδραση Ανθρώπου - Υπολογιστή

4 Περιοχέςεφαρμογών Γραφικήαλληλεπίδρασημεχρήστη (GUI). Σχεδίαση(CAD): πχαρχιτεκτονική, VLSI design ΓεωγραφικάΣυστήματαΠληροφοριών(GIS). Προσομοιώσεις(π.χ. πτήσεων). Συνθετικές ταινίες& διαφήμιση Computer Animation. Επαυξημένη Πραγματικότητα -Augmented Reality Εικονική Πραγματικότητα Virtual Reality Ιατρικέςεφαρμογές. Οπτικοποίησηδεδομένων. Τέχνη(π.χ. fractals). Παιχνίδια.

5 Γραφικόσύστημαεπεξεργασίας

6 Πλεγματικήήδιανυσματικήαπεικόνιση

7 Πλεγματικήοθόνη (raster display) Σάρωσητηςοθόνηςανάγραμμήκαισε συγκεκριμένοχρονικόρυθμό

8 Πλεγματικήοθόνη: αποθήκευσηεικόναςστημνήμη Αποθήκευσητηςεικόναςστημνήμηως πίνακατριώνδιαστάσεων (πλάτοςx ύψοςx χρώμα) Χρήσηπαλέταςγιαμείωσηαπαιτήσεων χρώματος.

9 Χρήσηπαλέταςχρωμάτων

10 Πλεγματικήοθόνη/ 2 2-Δπλέγμαχρωματιζόμενωνεικονοστοιχείων(pixels) Φρεσκάρισμασεσταθερόρυθμόαπόμνήμη Κανέναςπεριορισμόςσεεικόνα Αποδέσμευσηφρεσκαρίσματοςαπόάλλεςλειτουργίες Μεγάλη(;) απαίτησημνήμης (1024 x 1024 x 24= 3MB) Μείωσημεχρήσηπαλέτας(lookuptable) Προβλήματαταύτισης(aliasing) Νέεςτεχνολογίες(LCD, plasma)

11 Πλεγματικήοθόνη /3 Απαιτούνται αλγόριθμοι απεικόνισης ευθείας, καμπύλης, πλήρωσης πολυγώνου σε πλεγματική οθόνη

12 Αλγόριθμοςγραφικήςαπεικόνισης

13 Παράστασησχημάτων ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣΤΗΝΟΘΟΝΗ Σάρωση Αντιταύτιση Φωτισμός Υφή

14 ΑπεικόνισηΕυθύγραμμουτμήματος Αλγόριθμοιυποστηρίζονταικαιαπό hardware. Κριτήρια «καλού» αλγορίθμου: Όσογίνεταιπιοκοντάστημαθηματικήπορεία Πάχοςσταθερόκαιανεξάρτητοαπόμήκοςκαι κλίση. Μεόσοτοδυνατόνμικρότερουπολογιστικό κόστος(μεγαλύτερηταχύτητα).

15 Αλγόριθμος 1 Έστωευθύγραμμοτμήμαμεταξύpixels P 1 (x 1,y 1 ), P n (x n,y n ) στοπρώτοοκταμόριο. Τότε: όπου y=s*x+b

16 Υλοποίηση void line1( x1, y1, xn, yn, colour) intx1,y1, xn, yn, colour; /* colour: ακέραιααναπαράστασητουχρώματος*/ { float s, b, y; intx; s=( yn-y1)/( xn-x1); b=( y1* xn-yn* x1)/( xn-x1); for (x= x1; x<= xn; x++){ y= s* x+ b; setpixel( x, round( y), colour); } }

17 Αλγόριθμος 2 (αποδοτικότερος) Οπολλαπλασιασμόςμέσαστοβρόγχο μπορείνααποφευχθείμετατρέπονταςτον τύποσεαναδρομικό:

18 Υλοποίηση line2 (x1, y1, xn, yn, colour) intx1,y1, xn, yn, colour; { float s, y; intx; s=( yn-y1)/( xn-x1); y= y1; for (x= x1; x<= xn; x++){ setpixel( x, round( y), colour); y= y+ s; } }

19 Αλγόριθμος 3 Αποφυγήτηςστρογγυλοποίησηςμέσα στο βρόγχομεχωρισμότουy σεακέραιοκαι δεκαδικόμέρος(error)καιχρήσημόνοτου ακεραίουγιαεύρεσητουεπομένου σημείου. Σφάλμα = απόστασηpixel απόιδεατήπορεία.

20 line3 (x1, y1, xn, yn, colour) intx1,y1, xn, yn, colour; Υλοποίηση { float s, error; intx, y; s=( yn-y1)/( xn-x1); y= y1; error= 0; for (x= x1; x<= xn; x++){ setpixel( x, y, colour); error= error+ s; if(error>= 0.5){ y++; error--} } }

21 Αλγόριθμος 4 (Bresenham) Πολλαπλασιάζονταςμεdx=xn-x1, οιμεταβλητές s και error γίνονται ακέραιες. Η σύγκρισηγιατηνεπιλογήτουεπόμενουpixel γίνεταιμεfloor(dx/2). Επίσης, αφαιρώνταςαπό τηναρχικήτιμήτουerrordx, ησύγκρισημπορεί ναγίνεικαιμετο 0. Λειτουργείγιαθετικέςκλίσεις.

22 Υλοποίηση line4 (x1, y1, xn, yn, colour) intx1,y1, xn, yn, colour; { interror, x, y, dx, dy; dx= xn-x1; dy= yn-y1; error=-dx/ 2; y= y1; for (x= x1; x<= xn; x++){ setpixel( x, y, colour); error= error+ dy; if(error>= 0){ y++; error= errordx} } }

23 Περιορισμοί Μόνοστο 1ο ογδοημόριο. Εύκολαμπορείνα επεκταθείκαισταάλλαμεκατάλληλεςεναλλαγές τωνρόλωνx, y,αρχικούκαιτελικούσημείου. Άξονας ταχύτερηςκίνησηςκαιείδοςμεταβολήςτουάλλου άξοναδίνονταιστοσχήμα.

24 Περιορισμοί (συνέχεια) Ευθύγραμματμήματαδιαφορετικώνκλίσεων μπορείναέχουνδιαφορετικήφωτεινότητα. Τοφαινόμενοαυτόμπορείναδιορθωθείμε τεχνικέςαντι-ταύτισης(anti-aliasing).

25 Τοφαινόμενοτηςταύτισης (aliasing) προβλήματαδειγματοληψίας Τεθλασμένηεμφάνισηευθυγράμμωντμημάτωνκαι ακμώνπολυγώνων Λανθασμένηεμφάνισηεπαναλαμβανόμενων τμημάτωνενόςσχήματος Λανθασμένηεμφάνισημικρώνσχημάτωνπου μπορείναεμφανίζονταιήναεξαφανίζονταιανάλογα μετηθέσητους Μέθοδοιαντιταύτισης: Pitteway&Watkinson, postfiltering, stochastic sampling, A-buffer )

26 Αλγόριθμοςσχεδίασηςκύκλουσε πλεγματικήοθόνη Εκμετάλλευση 8-πλής συμμετρίας:

27 Συμμετρίακύκλου circle_ symmetry(x, y, colour) intx, y, colour; { setpixel( x, y, colour); setpixel( y, x, colour); setpixel( y,-x, colour); setpixel( x,-y, colour); setpixel(-x,-y, colour); setpixel(-y,-x, colour); setpixel(-y, x, colour); setpixel(-x, y, colour); }

28 Αλγόριθμος Bresenham Έστωότιεπελέγητοσημείο(x i,y i ). Το επόμενοθαείναι(x i +1,y i ) ή(x i +1,y i -1);

29 Αλγόριθμος Μεταβλητήαπόφασης: e i = d 1 d 2 όπου d 1 = y 2 i -y 2, d 2 = y 2 -(y i -1) 2 Εάνe i 0, επιλέγεταιτο(x i +1,y i -1) αλλιώς επιλέγεταιτο(x i +1,y i )

30 Υπολογισμόςτου e Γιαx=x i +1 ισχύειότιy 2 =r 2, οπότε: e i = y i2 -r 2 + (x i +1) 2 + (y i -1) 2 -r 2 + (x i +1) 2 e i =2 (x i +1) 2 + y i2 + (y i -1) 2 2 r 2

31 Αναδρομικόςυπολογισμός e e i+1 = 2 (x i+1 +1) 2 + y i+12 + (y i+1-1) 2-2 r 2 = 2 (x i +2) 2 + y i+12 + (y i+1-1) 2-2 r 2 = 2x i2 + 8x i + 8+ y i+12 + y i+12-2 y i r 2 = 2(x i +1) 2 + 4x i y i+12-2y i r 2 = e i + 4x i (y i+12 -y i2 ) 2(y i+1 -y i )

32 Τελικόςτύποςυπολογισμού Αν e i <0 y i+1 = y i e i+1 = e i + 4(x i + 1)+ 2 Ανei 0 y i+1 = y i 1 e i+1 = e i + 4x i ((y i -1) 2 -y i2 ) 2(y i -1- y i ) e i+1 = e i + 4(x i +1) + 2 4(y i 1)

33 Παρατηρήσεις Αρχικήτιμή: e 1 =2+ r 2 + (r 1) 2 2r 2 = 3 2r Γιαμεταφοράτουκύκλουαπότο(0,0) στο (x 0,y 0 ) αρκείνααντικατασταθείηκλήση circle_symmetry(x,y,colour); από: circle_symmetry(x-x 0,y-y 0,colour);

34 circle (r, colour) intr, colour; { intx, y, e; x= 0; y= r; e= 3-2* r; while (x<= y){ circle_ symmetry( x, y, colour); x++; if (e>= 0) { y--; e= e-4* y } e= e+ 4* x+ 2; } } Υλοποίηση

35 Λειτουργίεςσεπλεγματικήοθόνη RasterOp Πλεγματικήοθόνη: εικόνααποθηκεύεταιστη μνήμηοθόνης(frame buffer) Πολλέςδιαδικασίεςμεμετακίνησηήσυνδυασμούς στημνήμηοθόνης. (π.χ. επεξεργασίακειμένου)

36 RasterOp Γενικήρουτίναμετακίνησης/συνδυασμού παραλληλογράμμωντμημάτωνεικόνας. Βελτιστοποιημένη, γρήγορηυλοποίηση.

37 Υλοποίηση RasterOp( src_x_min, src_y_min, dst_x_min, dst_y_min, sizex, sizey, funct) intsrc_x_min, src_y_min, dst_x_min, dst_y_min, sizex,sizey; ftypefunct) /* (src_x_min, src_y_min) και(dst_x_min, dst_y_min) */ /* ήκάτωαριστερήγωνίατωνsourceκαιdestination */ /* sizex, sizeyοιx καιy διαστάσειςσεpixel */ /* function κάποιοςτελεστής με pixel */ { inti, j; for (i= 0; i< sizex; i++) } for (j= 0; j< sizey; j++) }} set_pixel( dst_x_min+ i, dst_y_min+ j, funct( read_pixel( dst_x_min+ i, dst_y_min+ j) read_pixel( dst_x_min+ i, dst_y_min + j)));

38 Παράδειγμα: exchange μεχρήσηxor Αντιμετάθεσησχημάτωνχωρίςχρήσηβοηθητικούχώρου. void exchange (src_ x_ min, src_ y_ min, dst_ x_ min, dst_y_ min, sizex, sizey) intsrc_ x_ min, src_ y_ min, dst_ x_ min, dst_ y_ min, sizex, sizey; { RasterOp (src_ x_ min, src_ y_ min, dst_ x_ min, dst_ y_ min, sizex, sizey, XOR); RasterOp (dst_ x_ min, dst_ y_ min, src_ x_ min, src_ y_ min, sizex, sizey, XOR); RasterOp (src_ x_ min, src_ y_ min, dst_ x_ min, dst_ y_ min, sizex, sizey, XOR); }

39 RasterOp: Μετακίνηση Η exchangeμπορείναχρησιμεύσειγια διαδοχικέςμετακινήσειςαντικειμένων (π.χ.cursor)

40 move move (from_x_min, from_y_min, to_x_min, to_y_min, back_x_min, back_y_min, sizex, sizey) intfrom_x_min, from_y_min, to_x_min,to_y_min, back_x_min, back_y_min, sizex, sizey; { exchange (to_x_min, to_y_min,back_x_min,back_y_min, sizex, sizey); exchange (from_x_min, from_y_min,to_x_min, to_y_min, sizex, sizey); }

41 Μετασχηματισμοί 2Δ& 3Δ Συνδυασμοίβασικώνμετασχηματισμών: μετατόπιση,αλλαγήκλίμακας, περιστροφή, στρέβλωση.

42 Σημείακαι Διανύσματα Ε 3 ο3δ Ευκλείδειοςχώροςσημείων, p σημείο. R 3 ο3δ Ευκλείδειοςχώροςδιανυσμάτων, v διάνυσμα. Βασικέςιδιότητες: p 1, p 2 Ε 3, u R 3 με u = p 1 -p 2. p Ε 3, u R 3, p +u = q Ε 3 p, q, r Ε 3, (p q) + (q r) = (p r)

43 Διανυσματικοίχώροι ΣεκάθεδιανυσματικόχώροΔ(π.χ. R 3 ) ορίζονται2 πράξεις Διανυσματικήπρόσθεση(q+ v) Βαθμωτός(scalar) πολλαπλασιασμός(λv) Ιδιότητεςπρόσθεσης: Αντιμεταθετική: q + v = v + q Προσεταιριστική: (p + q) + v = p + (q + v) Ύπαρξηουδετέρου: 0 Δ: 0 + v = v + 0 = v Ύπαρξηαντιθέτου: p Δ -p Δ: p + (-p) = 0

44 Διανυσματικοίχώροι Ιδιότητεςβαθμωτούπολλαπλασιασμού (β.π.) Επιμερισμόςωςπροςτηνπρόσθεση: λ(v + q) = λv + λq Επιμερισμόςπρόσθεσηςωςπροςβαθμωτό πολλαπλασιασμό: (λ + μ) v = λv + μv Προσεταιρισμός: (λμ) v = λ(μv) Ουδέτεροστοιχείο: 1 Δ: v 1 = 1 v =v

45 Διανυσματικοίχώροι Παραδείγματα: 2Δκαι3Δ Ευκλείδειοιχώροι. Πολυώνυμαδιαφόρωνβαθμών. Γραμμικόςσυνδυασμόςx 1, x 2, x ν Δ: y = λ 1 x 1 + λ 2 x λ ν x ν Γραμμικήανεξαρτησίαx 1, x 2, x ν, Δ: αν λ 1 x 1 + λ 2 x λ ν x ν = 0, έχειμόνηλύσητην λ 1 = λ 2 = = λ ν = 0 Παράδειγματα(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) του Ε 3

46 Διανυσματικοίχώροι Βάση: κάθεολοκληρωμένοσύνολο γραμμικώς ανεξαρτήτωνδιανυσμάτων. Τοπλήθοςτουςκαλείταιδιάστασητουχώρου. Ανy = λ 1 i + λ 2 j + λ 3 k όπου(i, j, k) βάση τότε(λ 1, λ 2, λ 3 ) συντεταγμένες. (Ο, i, j, k) ονομάζεταισύστημασυντεταγμένωνμε βάσητοσημείοο, καιβάση(i, j, k) (i, j, k) ορίζουνάξονεςσυντεταγμένων Μήκος: διανύσματος(x,y,z)

47 Διανυσματικοίχώροι Απόστασημεταξύδύοσημείων p 1, p 2

48 Διανυσματικοίχώροι Εσωτερικόγινόμενο (πραγματικόςαριθμός) v w= Σ(v i w i ) π.χ. Ευκλείδειος3Δ: v w= v x w x + v y w y + v z w z Ιδιότητες: Αντιμεταθετική: v w= w v v v= 0 v= 0 v/ v = v, μοναδιαίοδιάνυσμα(κανονικοποίηση) ισχύειv w= v w cos(θ), απ όπουμπορείνα υπολογιστείκαιηγωνίαμεταξύδιανυσμάτων.

49 Διανυσματικοίχώροι Εξωτερικόγινόμενο (διάνυσμα) v x w = (v y w z + v z w y ) i + (v x w z + v z w x )j + (v x w y + v y w x )k v x w είναικάθετοστοεπίπεδοπουορίζουν ταδύοάλλαδιανύσματα. δενισχύειηαντιμεταθετικήιδιότητα. v x w = - w x v

50 Συσχετισμένοι (Affine) Μετασχηματισμοί Συσχετισμένοςήβαρυκεντρικόςμετασχηματισμός σημείωνp 0 p n Ε 3 : p = Σα j p j όπου α j R και Σα j = 1 αποτέλεσμαp Ε 3. {αj} ονομάζονταιοισυσχετισμένεςσυντεταγμένεςτουpως προςp 0 p n. Ομετασχηματισμόςείναικυρτόςανα j 0 Συσχετισμένοςμετασχηματισμός Φ: Ε 3 Ε 3 πουαφήνει τουςσυσχετισμένουςμετασχηματισμούςαναλλοίωτους: Φ(p) = Σα j Φ(p j )

51 Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί π.χ. εφαρμογήσυσχετισμένουμετασχηματισμού πάνωσεευθύγραμμοτμήμαs απεικονίζειτο μέσον του στο μέσο της συσχετισμένης εικόνας Φ(s). Συσχετισμένοςμετασχηματισμόςμεμορφήπίνακα: Φ(p) = Α p + t (A πίνακας, 3x3 γιατο Ε 3 ) Απόδειξη: Φ(Σαjpj) = Α(Σα j p j ) + t = ΣAα j p j + Σα j t = Σα j (A p j + t) = Σα j Φ(p)

52 2D Μετασχηματισμοί Μετατόπιση: x =x+a, y =y+b

53 Μετασχηματισμοί Αλλαγήκλίμακας (διαφορετικήανάάξονα): x =x*a, y =y*b

54 Μετασχηματισμοί Στροφήκατάγωνίαθ (+veαντίθετααπόδείκτεςρολογιού)

55 Μετασχηματισμοί Στρέβλωσηκατάάξονα x καιyμεπαράγοντα2: x =x+2y, y =y+2x

56 Μετασχηματισμοί Οποιοσδήποτεάλλοςμετασχηματισμός, δημιουργείταισανσυνδυασμόςτωντεσσάρων βασικώνμετασχηματισμών: Μμετατόπιση, R στροφή, H στρέβλωση, S αλλαγήκλίμακος.

57 Μετασχηματισμοί: άσκηση Στρέβλωση(shearing), Ναβρεθούνοισχέσεις μετασχηματισμούκατάx καιy με z σταθερό: Απάντηση SH(p) = H x,y p, όπου:

58 Ομογενείςσυντεταγμένες Προβλήματα: Μεταφοράδενυλοποιείταιμεπολλαπλασιασμό πινάκων. ΎπαρξησταθερούσημείουΟ, σταθερούγιαόλους τουςμετασχηματισμούς. Ομογενείςσυντεταγμένες: (x,y) (x,y,w) με w 0. (x,y,w) παριστάνειτο(x/w,y/w) Άπειρεςτριάδεςγιακάθεσημείο. Βασικήπαράσταση: (x,y,1)

59 Ομογενείςσυντεταγμένες

60 ΟμογενείςΣυντεταγμένες Συσχετισμένοιμετασχηματισμοί: πίνακες3x3 Μεταφορά:

61 ΟμογενείςΣυντεταγμένες Αλλαγήκλίμακας (ανsi< 1 σμίκρυνση)

62 Στροφή Ομογενείςσυντεταγμένες

63 Ομογενείςσυντεταγμένες Στρέβλωση (κατάάξονεςx καιy):

64 Σύνθεσημετασχηματισμών Σύνθεσημετασχηματισμών: π.χ. Αλλαγήκλίμακας, ωςπροςc=(cx,cy,1) μεταφοράκατά c= -(O -C) αλλαγήκλίμακας μεταφοράκατάc Γενικάδενισχύειηαντιμετάθεση. Πρώτοςεκτελείται οτελεστήςπουγράφεταιτελευταίος. Σύνθεση: Εκτέλεσησειράςμετασχηματισμώναπόένα τελικόπίνακα. Αυξάνειτηναπόδοση(μειώνειτηνπολυπλοκότητα)

65 Σύνθεσημετασχηματισμών Ιδιότητες: T(x 1,y 1 ) T(x 2,y 2 ) = T(x 2,y 2 ) T(x 1,y 1 ) = T(x1 +x2,y 1 +y 2 ) S(s x1,s y1 ) S(s x2,s y2 )= S(s x2,s y2 ) S(s x1,s y1 ) = S(s x1 s x2,s y1 s y2 ) R(θ 1 ) R(θ 2 ) = R(θ 2 ) R(θ 1 ) = R(θ 1 + θ 2 ) S(s x,s y ) R(θ) = R(θ) S(s x,s y ) μόνοανs x = s y

66 ΓεωμετρικέςΙδιότητες Γιακάθεσυσχετισμένομετασχηματισμό F και σημεία pκαι q ισχύει: F(λp+(1-λ)q) = λf(p)+ (1-λ) F(q) για 0 λ 1 λp+(1-λ)q είναι το ευθύγραμμο τμήμα μεταξύp και q. ΗF παράγειπάλιευθύγραμμοτμήμα. Η σχέσηλ/(1-λ) παραμένειαναλλοίωτηαπό F. Εξακολουθείνααρκείαπεικόνισηάκρωνμόνο. Παράλληλεςευθείεςπαραμένουνπαράλληλες. π.χ. οιμετασχηματισμοίπουείδαμενωρίτερα.

67 Γεωμετρικέςιδιότητες Ορθογώνιοςμετασχηματισμός: ΜετασχηματισμόςΑλέγεταιορθογώνιοςαν α 1 = α 2 = 1 α 1 α 2 = 0 ΟρίζουσατουΑ= 1

68 Γεωμετρικέςιδιότητες ΟΜείναιμετασχηματισμόςομοιότηταςανοΑείναι ορθογώνιος. Έναςμετασχηματισμόςομοιότηταςδιατηρείαναλλοίωταμήκη καιγωνίες. ΟποιαδήποτεσύνθεσηΤ& R είναιμετασχηματισμός ομοιότητας. ΑνστησύνθεσηέχουμεS και Η, έχουμεσυσχετισμένο μετασχηματισμόαλλάόχιομοιότητας(διατηρείταιπαραλληλία αλλάόχιμήκηκαιγωνίες).

69 Άσκηση Ζητείταιναυπολογιστείοπίνακας μετασχηματισμούτηςσυμμετρικήςαπεικόνισης εικόναςως προς τονάξονα w ο οποίος σχηματίζειγωνίαθμετονθετικόάξονατωνχ Βοήθεια: Ομετασχηματισμόςμπορείνα προκύψειαπό: στροφήτηςεικόναςκατά θ ΣυμμετρίαωςπροςτονάξοναΧ Στροφήτηςεικόναςκατάθ

70 Φροντιστηριακήάσκηση #4 1. Ναμελετήσετεκαιναπεριγράψετετην τρέχουσατεχνολογίακαρτώνγραφικών 2. ΔίδεταισημείοΑ(χ=3,ψ=2). Ζητείταινα βρεθείτοσημείοα πουπροκύπτειαπότην περιστροφήτουσημείουαωςπροςσημείοβ ο μεσυντεταγμένεςβ(χ=1, ψ=1)κατάγωνία θ=30

71 2-ΔΜετασχηματισμόςΠαρατήρησης

72 2-ΔΜετασχηματισμόςΠαρατήρησης

73 2-ΔΜετασχηματισμόςΠαρατήρησης

74 Αποκοπή / clipping Αποκοπήαντικειμένου(π.χ. πολυγώνου, πυραμίδας, κύβου) ω.π. σημείοαποκοπής: Αποφυγήαντεστραμμένηςεμφάνισηςαντικειμένων (π.χ. 3-Δ, όπισθενπαρατηρητή). Μείωσητουόγκουδεδομένων(φίλτρο).

75 Αποκοπή 2-Δ: στηναντιταύτιση, απόκρυψη, παράλληλη επεξεργασία, 2Δπακέτα. 3-Δ: γραφικήσωλήνωση(γενίκευση2-δαποκοπής) 2-Δαποκοπήσημείου: εντόςεάνx min x x max και y min y y max.

76 Αποκοπή Ευθύγραμματμήματα: Αλγόριθμοςμέσου. Διαδοχικήδιάσπασηευθυγράμμουτμήματοςστημέση (ολίσθηση). Χρήση «φθηνών» ελέγχωνεντός/ εκτός. Κωδικοποίηση 9 περιοχών τουεπιπέδου Τέλοςεάνp 1 p 2 < pixel.

77 Αλγόριθμος Μέσου typedefstruct {float x, y} point; midpoint (P1, P2, xmin, xmax, ymin, ymax) point P1, P2; float xmin, xmax, ymin, ymax; { point M; /* ΥπολογισμόςΙΧ1, ΙΥ 1, ΙΧ2, ΙΥ 2 */ if (( IX1== 0)&&( IY1== 0)&&( IX2== 0)&&( IY2== 0)) /* ΤοP1P2 είναιεντόςπαραθύρου */ else if (( IX1== IX2)&&( IX1!= 0)) (( IY1== IY2)&&(IY1!= 0)) /* ToP1P2 είναιεκτόςπαραθύρου */ else { M. x=( P1. x+ P2.x)/ 2; M. y=( P1. y+ P2.y)/ 2; midpoint (P1,M, xmin, xmax, ymin, ymax); midpoint (M, P2, xmin, xmax, ymin, ymax); } }

78 Αποκοπήευθυγράμμωντμημάτων Αλγόριθμος Cohen-Sutherland: Αρχικά «φθηνός» έλεγχος γιατιςαπλέςπεριπτώσεις. π.χ. AB έξω, CD μέσα. Γιαάλλαευθύγραμμα τμήματα, κόψιμομε ευθείαπαραθύρουκαι αναδρομή.

79 Αλγόριθμος Cohen-Sutherland Αντιστοίχησηκωδικών σε9 περιοχέςτου επιπέδου. Κώδικεςπροκύπτουναπόταπρόσημαδιαφορών (π.χ. 1 ο bit y max y). Πρώτο bit1, περιοχήπάνωαπότηνευθείαy = y max Δεύτερο bit1, περιοχήκάτωαπότηνευθείαy = y min Τρίτο bit1, περιοχήδεξιάαπότηνευθείαx = x max Τέταρτο bit1, περιοχή αριστερά απότηνευθείαx = x min

80 Αλγόριθμος Cohen-Sutherland Υπολόγισεκώδικεςc 1, c 2 γιαp 1 p 2. Ανc 1 c 2 = 0000, p 1 p 2 είναιεντός(π.χ. CD). Ανc 1 c 2 = 0000, p 1 p 2 είναιεκτός(π.χ. ΑΒ). Διαφορετικά: Εύρεσηευθείαςτουπαραθύρου πουαντιστοιχείσε bit μεδιαφορετικέςτιμές. τομήp 1 p 2 μεευθεία. Αναδρομικήκλήσηγιατοένααπότατμήματαως προςτηνευθείατμήμα(εκείνομε bit=0)

81 Αλγόριθμος Cohen-Sutherland void CS (P1,P2, xmin, xmax, ymin, ymax) point P1, P2; float xmin, xmax, ymin, ymax; { intc1, c2; point I; c1= code( P1); /* ΕύρεσηκώδικαP1*/ c2= code( P2); /* ΕύρεσηκώδικαP2*/ if(( c1 c2)== 0) /* ΤοP1P2 είναιεντόςπαραθύρου */ elseif(( c1& c2)!= 0) /* ΤοP1P2 είναιεκτόςπαραθύρου */ else { intersect (P1,P2,I,xmin,xmax,ymin,ymax); if exoteriko(p1) CS( I,P2,xmin,xmax,ymin,ymax); else CS( P1, I, xmin, xmax, ymin, ymax); } }

82 Αλγόριθμος Sutherland-Hodgman 2-Δ αποκοπήςπολυγώνων Κατάλληλοςγιααποκοπήτυχαίουπολυγώνουμε κυρτόπολύγωνο(παράθυρο) αποκοπής. m βήματα για m πλευρές παραθύρου αποκοπής. είσοδοςστοβήμαi (i = 1 m) μετάαπόαποκοπήμε πλευράi-1.

83 Αλγόριθμος Sutherland-Hodgman2-Δ αποκοπήςπολυγώνων πολύγωνοορίζεταιαπότιςκορυφέςτουp 1, p 2 p n μεθετικήμαθηματικήφορά. Βήμαi εξετάζεισχέσηπλευράςsp μεακμή παραθύρουi.

84 Αλγόριθμος Sutherland-Hodgman2-Δ ΑποκοπήςΠολυγώνων ΠαράδειγμαβήματοςSutherland-Hodgman:

85 Αποκοπήσε 3-Δ Αντικείμενοαποκοπής: Περιορισμένηπυραμίδα(προοπτική) Κύβος(παράλληλη) 6 επίπεδααποκοπήςγιαυτάτααντικείμενα.

86 Cohen Sutherland 3-Δ 6 bit κωδικοίγιακάθεάκροp(x, y, z) Έστωκύβοςαποκοπής: πρώτο bit = 1, z p > z max, σημείοπίσωαπόκύβο. δεύτερο bit = 1, z p < z min, σημείοεμπρόςαπόκύβο τρίτο bit = 1, y p > y max, σημείοπάνωαπόκύβο τέταρτο bit = 1, y p < y min, σημείοκάτωαπόκύβο πέμπτο bit = 1, x p > x max, σημείοδεξιάαπόκύβο έκτο bit = 1, x p < x min, σημείοαριστεράαπόκύβο

87 Αλγόριθμος Cohen Sutherland 3-Δ ΑνC 1 C 2 = , p 1 p 2 εντός. ΑνC 1 C , p 1 p 2 εκτός. Διαφορετικά: Εύρεσηεπιφάνειαςκύβουπουαντιστοιχείσε bit μεδιαφορετικέςτιμές. τομήp 1 p 2 μεεπιφάνεια Αναδρομικήκλήσηγιατοεσωτερικότμήμαως προςεπιφάνεια..

88 Αλγόριθμος Cohen Sutherland 3-Δ Τομή ευθυγράμμου τμήματοςp1p2 με επίπεδο βάσει τηςπαραμετρικήςεξίσωσης: x(t) = x1 + t(x2 x1) = x1 + t Δx y(t) = y1 + t(y2 y1) = y1 + t Δy z(t) = z1 + t(z2 z1) = z1 + t Δz π.χ. τομήμεy = Υ Y = y(t) = y 1 + t Δt t = (Y y 1 ) / Δy Αν t [0,1], υπάρχεισημείο τομής με συντεταγμένες: (x 1 + t Δx, Y, z 1 + t Δz) = (x 1 + (Y y 1 ) Δx/Δy, Y, z 1 + (Y y 1 )Δz/Δy)

89 Αλγόριθμος Sutherland-Hodgman3-Δ 6 στάδιααποκοπήςγιατα 6 επίπεδα έλεγχοςανp(x,y,z) εσωτερικόεπιπέδου (a,b,c,d) απότοπρόσημο f(x,y,z) = ax + by + cz+ d Υπολογισμόςτομήςευθυγράμμουτμήματος μεεπίπεδο: π.χ. όπωςστηπερίπτωσηcohen- Sutherland

90 Μετασχηματισμοί 3-Δ Ομογενείςσυντεταγμένεςσημείων Ε 3 : (x,y,z,w) Βασικήπαράσταση: (x,y,z,1) Δεξιόστροφα(εδώ) ήαριστερόστροφα συστήματα.

91 Μετασχηματισμοί 3-Δ

92 Μετασχηματισμοί 3-Δ Στροφή: Ανάγκηκαθορισμούθετικής / αρνητικήςφοράς Ορθογώνιοιμετασχηματισμοί

93 Μετασχηματισμοί 3-Δ

94 Φροντιστηριακήάσκηση Φ5 Μετασχηματισμοί 3 διαστάσεων Σελ119 (Θεοχάρης) άσκησηα.3.9 Περιστροφήπυραμίδαςωςπροςάξονα

95 ΜΑΘΗΜΑ #9 Προβολές Απαραίτητεςαφού3Δαντικείμενα απεικονίζονταισε2δσυσκευές.

96 Προβολές Προοπτική: πεπερασμένηαπόστασηκέντρου προβολήςαπόεπίπεδοπροβολής. Παράλληλη: άπειρηαπόστασηκέντρου προβολήςαπόεπίπεδοπροβολής. Ιδιότητεςπροβολών: Ευθείεςπροβάλλονταισεευθείες. Αποστάσειςαλλάζουν(γενικά). 3Δπαράλληλεςευθείες, μηπαράλληλεςμεεπίπεδο προβολής, δενπροβάλλονταισεπαράλληλεςευθείες. Γωνίαμεταξύευθειώναλλάζει, εκτόςανεπίπεδο γωνίαςπαράλληλομεεπίπεδοπροβολής.

97 ΠροοπτικήΠροβολή Έστωπροβολήστοεπίπεδο ΧΥμεκέντρο προβολής

98 ΠροοπτικήΠροβολή Δενείναιγραμμικόςμετασχηματισμός (διαίρεσημε z). Δενμπορείναδοθείμεμορφήπίνακα. Ωστόσομπορούμεναχρησιμοποιήσουμεμεταβολήτου w. Ακολουθείδιαίρεσημε w (αφούπρέπειw=1)

99 ΠροοπτικήΠροβολή Χαρακτηριστικό: κεντρικήσμίκρυνση (όπωςτοανθρώπινομάτι).

100 ΠαράλληληΠροβολή Κέντροπροβολήςστοάπειρο, δίνεταικατεύθυνση προβολής. Διατηρείαποστάσεις, χρήσιμοστοιχείο π.χ. στηναρχιτεκτονική. Ορθογώνιαπαράλληληπροβολή: πάνωσεένααπό ταβασικάεπίπεδαμεκάθετεςακτίνεςπροβολής. Πίνακαςμετασχηματισμού γιαορθογώνια π.χ. στο ΧΥ

101 ΠαράλληληΠροβολή Παράλληλεςπροβολέςδιακρίνονταισε: Ορθογραφικές: ακτίνεςπροβολής κάθετεςστοεπίπεδοπροβολής. Πλάγιες: ακτίνεςόχικάθετες. Ορθογραφικέςδιακρίνονταισε: Ορθογώνιες: ακτίνεςπροβολήςπαράλληλεςμε Χ, ΥήΖ. Αξονομετρικές: μηορθογώνιες. Ισομετρικές: ακτίνεςπροβολήςπαράλληλεςμεκύρια διαγώνιοχώρου.

102 Παράδειγμα -άσκηση ΠροβολήμοναδιαίουκύβουστοεπίπεδοΧΥ για προοπτικήπροβολή μεd=1 καιd=10 (μοναδιαίοςκύβοςέχειμιακορυφήστο 0,0,0 καιμίακορυφήστο(1,1,1), περιγράφεταιαπό 8 σημεία, μήτρα 8*4 )

103 ΜετασχηματισμόςΠαρατήρησης ΠαγκόσμιοΣύστημαΣυντεταγμένωνΣύστημα ΣυντεταγμένωνΠαρατηρητή. Σύνθεσηβασικώνμετασχηματισμών. Καθορίζειόριααποκοπής& παραμέτρουςπροβολής ΘαεξετάσουμεΜΠΙ

104 ΜετασχηματισμόςΠαρατήρησηςΙ ΜΠΙχρησιμοποιείπροοπτικήπροβολήκαικαθορίζεταιαπό: α. ΣημείοπαρατήρησηςΟ β. 2 ανύσματαγια Υ Π καιζ Π (αριστερόστροφο). Από Παγκόσμιο Σύστημα Συντεταγμένων(ΠΣΣ) σεσύστημα συντεταγμένων παρατηρητή(σσπ) : 1. ΜεταφοράστηναρχήΠΣΣ. 2. Στροφέςγύρωαπό Χ, ΥκαιΖτουΠΣΣώστεναταυτισθούν με αντίστοιχουςσσπ. 3. Αποκοπή. 4. ΠροοπτικήΠροβολή. Χρησιμοποιούνται 3 ακόμα παράμετροι για καθορισμό ορίωναποκοπής: γ. Μέγεθοςπαραθύρουπροβολής 2h. δ. Απόσταση d έμπροσθενεπιπέδουαποκοπήςαπό (κάθετοστονζ Π ). ε. Απόσταση f όπισθενεπιπέδουαποκοπήςαπό (κάθετοστονζ Π ).

105 ΜετασχηματισμόςΠαρατήρησηςΙ

106 ΜετασχηματισμόςΠαρατήρησηςΙ ΧαρακτηριστικάΜΠΙ: Επίπεδοπροβολήςταυτόσημομεέμπροσθενεπίπεδο αποκοπής z Π =d. Κέντροπροβολήςταυτόσημομεσημείοπαρατήρησης. Προοπτικήπροβολή. Τετράγωνοπαράθυρο, συμμετρικόωςπρος Ζ Π. Πληροφορίαz διατηρείταικατάτηνπροβολή για2 λόγους: 3Δαποκοπήευκολότερησανενδιάμεσοστάδιοτης προβολής. Απόκρυψηαπαιτεί z πληροφορία. (Z-Buffer)

107 Προβολήστον ΜΠΙ Θα χρειαστούμε PΜΠ1 από ΣΣΠ σε ΣΣ Οθόνης(ΣΣΟ):

108 Προβολήστον ΜΠΙ Οπαραπάνωμετασχηματισμόςμπορείναχωρισθείσε: Γραμμικόμέρος(πίνακας). Διαίρεσημεομογενήσυντεταγμένη(= z Π )

109 Προβολήστον ΜΠΙ

110 Προβολήστον ΜΠΙ

111 Φροντιστηριακήάσκηση Φ6 (παραδοτέα-τελευταία) Ναβρεθείημήτραμετασχηματισμούενός σημείου(x,y,z) απόσύστημασυντεταγμένων φυσικούσυστήματοςσεένασύστημασ εταγμένωνπαρατήρησης(σσπ) με χαρακτηριστικά: οάξονας Ζ τουσσπναδείχνεικατευθείανστηναρχήτου φυσικούσυστήματοςκαιοάξοναςχναείναι παράλληλοςστοεπίπεδοχυτουφυσικούσυστήματοςοι δεάξονεςχ,υ τουσσπναείναιπαράλληλοιστουςάξονες τηςοθόνηςπουαποτελείτοεπίπεδοπροβολής

112 Άσκηση (συνέχεια) Χρησιμοποιείστετοσχήμαγιατιςεξισώσεις μετασχηματισμού x= ρ*sinφ* cosθ y= ρ*sinφ* sinθ z = ρ* cosφ

113 Άσκηση (συνέχεια) Στησυνέχειαχρησιμοποιήσατετημήτραμετασχηματισμού καθώςκαιτιςεξισώσειςτηςπροοπτικήςπροβολήςγιανα λύσετετοεξήςπρόβλημα: Ανυποθέσουμεκύβοτουοποίου τοκέντροβρίσκεταιστηναρχήτουφυσικούσυστήματος συντεταγμένων με ακμή 1 εκ, έστω ότι παρατηρούμε τον κύβοαπό σημείο 6,10,8 μετονάξοναπαρατήρησης z να δείχνειπροςτηναρχήτουφυσικούσυστήματος συντεταγμένων. Υποθέτουμεότιοάξοναςτωνχβρίσκεται στοεπίπεδο z=8. Επίσηςυποθέστεότιβλέπουμετο αντικείμενο από απόσταση 0,6 μ. Καιότι ηοθόνη(πεδίο προβολής) είναιδιαστάσεων 0,3*0,3 μ. Μεσυντεταγμένες 1024*1024. Ναβρεθείκαιναυπολογιστείηπροοπτική προβολήτουκύβουστοεπίπεδοτηςοθόνης

114 Αποκοπήστο ΜΠΙ Τιμήορίζεικαιταόριααποκοπής: w x w w y w 0 z w Αποκοπήγίνεταιμετάτηνεφαρμογή P ΜΠΙ αλλάπριντηδιαίρεσημετο w

115 #10 ΠρόβλημαΑπόκρυψης Ποιοείναιτοεμφανέςαντικείμενο(χρώμα) σεκάθε σημείοτουεπιπέδουπροβολής; Χωρίζονταισεαλγόριθμουςαπόκρυψηςακμώνκαι επιφανειών. Χρησιμοποιούνάμεσαήέμμεσαταξινόμησηστις διαστάσεις X Y καιz.

116 ΑλγόριθμοιΑπόκρυψης Χωρίζονταισε αλγόριθμουςχώρουαντικειμένων και αλγόριθμουςχώρουεικόνας. ΑλγόριθμοιχώρουαντικειμένωνείναιO(Π 2 ) ενώαλγόριθμοιχώρουεικόναςείναιο(π-ρ) όπου Ποαριθμόςτωνπολυγώνων και P οαριθμόςτωνpixels.

117 Αλγόριθμοιχώρουαντικειμένων Αλγόριθμοιχώρουαντικειμένωνσυγκρίνουν αντικείμεναμεταξύτουςγιαναβρουντοπλησιέστερο σεκάθεσημείοτουεπιπέδουπροβολής: Γιακάθεαντικείμενοπ { Εύρεσητωνορατώντμημάτωντουπμέσωσύγκρισης (Χ,Υ,Ζ) μεόλαταάλλααντικείμενα; Χρωματισμόςτωνορατώντμημάτωντουπστηνοθόνη }

118 Αλγόριθμοιχώρουεικόνας Αλγόριθμοιχώρουεικόναςέχουντηνεξήςμορφή: Γιακάθεpixelρτηςεικόνας { Εύρεσητουπλησιέστερουαντικειμένουπουτέμνεται απότηνακτίναπροβολήςπουπερνάαπότορ; Χρωματισμόςτουρμετοχρώματουπλησιέστερου αντικειμένουστοσημείοτομής }

119 ΑλγόριθμοιΑπόκρυψης Υπολογιστικήακρίβεια. Αλγόριθμοιχώρουεικόνας: ακρίβειαπουαπαιτείηανάλυσητης εικόνας. Αλγόριθμοιχώρουαντικειμένων: ακρίβειαορισμούαντικειμένων (=ακρίβειαυπολογιστή). Θέσηστηγραφικήσωλήνωσηεξόδου. Αλγόριθμοιχώρουαντικειμένων: μετάτηνπροβολή (διακεκομμένηγραμμή). Αλγόριθμοιχώρουεικόνας: ενσωματώνονταιστηδιαδικασία παράστασηςστηνοθόνη. Διαγραφήπίσωεπιφανειών.

120 ΑλγόριθμοιΑπόκρυψης Τεχνικέςβελτίωσηςαποτελεσματικότητας αλγορίθμωναπόκρυψης. Εκμετάλλευσηπροοπτικούμετασχηματισμού. Εκμετάλλευσησυνάφειας. Περιβάλλοντεςόγκοι. Διαμερισμόςχώρου.

121 Προοπτικός Μετασχηματισμός ΖήτημααπόκρυψηςμεταξύδύοσημείωνΣ 1 (x 1,y 1,z 1 ) καισ 2 (x 2,y 2,z 2 ) υπάρχει μόνοανταδύοσημείαβρίσκονταιπάνωστηνίδιαακτίναπροβολής. Συνθήκηαπόκρυψηςστηνπαράλληληπροβολή: (x 1 =x 2 ) και(y 1 =y 2 ) Συνθήκηαπόκρυψηςστηνπροοπτικήπροβολή:(x 1 /z 1 =x 2 /z 2 ), (y 1 /z 1 =y 2 /z 2 ) Απαιτεί(ακριβή) διαίρεσημε z. Η διαίρεσηαυτήγίνεταικατάτηνπροοπτικήπροβολή. Η προοπτικήπροβολήμετατρέπειτιςακτίνεςπροβολήςσεπαράλληλες. Φυλάμε z συντεταγμένηγιασύγκρισηβάθους.

122 Συνάφεια Συνάφεια: ιδιότηταγεωμετρικώνοντοτήτωννα διατηρούντοπικάσταθερέςτιςτιμέςτων χαρακτηριστικώντουςήνατιςμεταβάλλουν ομαλά. π.χ. αυξητικόςυπολογσμός z σημείωνπολυγώνου. Είδησυνάφειας: Συνάφειαακμής. Συνάφειαεπιφάνειας. Συνάφειαγραμμώνσάρωσης. Συνάφειακαρέ.

123 Περιβάλλοντες Όγκοι Απλούστεροιόγκοιαπότααντικείμεναπου περιβάλλουνγιαμείωσηκόστουςσυγκρίσεωνκατά τηνταξινόμηση στις διαστάσεις Χ, ΥκαιΖ. Συχνάέχουντημορφήορθογώνιουπαραλληλογράμμου (2Δ) ήορθογώνιουπαραλληλεπιπέδου(3δ). Οχιαπαραίτητακλειστοί. Ανοιπεριβάλλοντεςόγκοιδύοαντικειμένωνδεν τέμνονταιτότεούτετααντικείμενατέμνονται. Τοαντίθετοδενισχύειπάντα.

124 ΔιαμερισμόςΧώρου Διαμερισμόςχώρουσεσύνολο διατεταγμένωνμερών (π.χ. voxels). Ταμέρητουχώρουπουκαταλαμβάνειένα αντικείμενοορίζουνέμμεσατηδιάταξήτου σεσχέσημεάλλααντικείμενα.

125 ΔιαγραφήΠίσωΕπιφανειών Ανηγωνίαμεταξύκαιείναιτότεηεπιφάνειαείναι Μιαεπιφάνειαείναιορατήαν Μειώνειόγκοδεδομένωνκατά ~50%. Λύνειπρόβλημααπόκρυψηςγιαένακυρτό αντικείμενο.πίσω(αόρατη).

126 ΔιαγραφήΠίσωΕπιφανειών ΛειτουργείστοχώροαντικειμένωνκαιείναιΟ(Π). V μπορείναυπολογισθείαπόμίακορυφήp της επιφάνειας. ΑνοπαρατηρητήςβρίσκεταιστοκέντροτουΣΣΠτότεV=-P N μπορεί να υπολογισθεί από 3 διαδοχικές, μη συγγραμμικέςκορυφέςp 1, P 2, P 3 και ΠΡΟΣΟΧΗ: Χρήσησειράςκορυφών

127 ΑλγόριθμοιΑπόκρυψηςΕπιφανειών Ακολούθησαντηνεμφάνισητηςπλεγματικής οθόνης. 4 Βασικέςκατηγορίες. z-buffer (πιοδιαδεδομένος). scanline. ταξινόμησηκατάβάθος. υποδιαίρεσηεπιφάνειας.

128 ΑλγόριθμοιΑπόκρυψηςΕπιφανειών Βασικήπράξη: σύγκρισηβάθους 2 στοιχείων μείδιο ΧΥ. Η προοπτικήπροβολή διευκολύνει. Μετατρέπειακτίνεςπροβολής ώστεναείναιπαράλληλεςτου Z. Ίσεςαποστάσειςστον Ζ π δεν μετασχηματίζονταισείσες αποστάσειςστονζ ο. Ζ ο μεταβάλλεταιταχύτερακαθώς πλησιάζειτημέγιστητιμήτου(1).

129 Αλγόριθμος z-buffer Απαιτεί ύπαρξη μνήμης βάθους (z-buffer) για κάθεpixel. Οιτιμέςβάθουςβρίσκονται(γιαταπερισσότερα σχήματα) μεπαρεμβολή. Έμμεσηταξινόμηση. Γιακάθεpixelοz-bufferφυλάειτηνελάχιστη(ως τώρα) τιμήβάθουςστοpixelαυτό. Αρχικοποίηση στο μέγιστο z (πίσωεπίπεδο αποκοπής).

130 Αλγόριθμος z-buffer /* Αρχικοποίηση: m,nοιδιαστάσειςτηςοθόνης */ for (x=0; x<m; x++) { } for (y=0; y<n; y++) { } z_buffer[x,y]=f; /*μέγιστοβάθος*/ frame_buffer[x,y]=background; /*φόντο*/ /*Επεξεργασίαπολυγώνων*/ for (π=0; π<number_of_polygons(); π++) { /*Επεξεργασίαscanlinesπολυγώνουymin ymax*/ for(y=ymin; y<=ymax; y++) { /*Βρεςμεγραμμικήπαρεμβολήμεταξύτωναντίστοιχωνκορυφών, τιςτιμέςτομήςμε scanliney :xleft,xrightτις τιμές βάθους στις τομές:zleft,zrightτις τιμές χρωματισμού στιςτομές:cleft,cright*/ for (x=xleft; x<=xright; x++) { /*Βρεςμεγραμμικήπαρεμβολήμεταξύxleftκαιxrightτηντιμήβάθους z καιχρώματος c σεκάθεpixelx,y*/ if (z<z_buffer[x,y]) { z_buffer[x,y]=z; frame_buffer[x,y]=c;

131 Αλγόριθμος z-buffer Τομέςπλευρώνπολυγώνουμεscanlines βρίσκονταιμελίσταενεργώνπλευρών. Γραμμικήπαρεμβολή z.

132 Αλγόριθμος z-buffer Ο(Π,S), όπου ΠοαριθμόςπολυγώνωνκαιS o μέσοςαριθμόςpixelανάπολύγωνο. Γιατυπικέςσκηνές (σταθερό). Πλεονεκτήματα z-buffer: Ευκολίαυλοποίησηςσε H/W ήs/w. Επεξεργασίαπολυγώνωνμετυχαίασειρά. Δυνατότηταχρήσηςγιαμηπολυγωνικάαντικείμενα (μεσυνάρτησηβάθους). Ανάγκησεμνήμη: Έναςκαλός z-buffer απαιτεί32 bits/pixel. Γιαανάλυση1024x1024 αυτόσυνεπάγεται4mbytes.

133 ΕιδικέςΕφαρμογές z-buffer Συνδυασμόςεικόνων Έστω οι frame και z-buffer εικόνων A και Β. ΑκαιΒμπορείναδημιουργήθηκανχωριστά. Συνδυασμός: for (x=0; x<m; x++) for (y=0; y<n; y++) {Z C [x,y]=(z A [x,y]<z B [x,y])?z A [x,y]:z B [x,y]; F C [x,y]=(z A [x,y]<z B [x,y])?f A [x,y]:f B [x,y];} Τοποθέτηση3Δαντικειμένων σεσκηνήμεχρήση z-buffer. 3Δcursor. Δενμεταβάλλουμεπεριεχόμενα z-buffer.

134 ΑλγόριθμοιΛίσταςΠροτεραιότητας (αλγόριθμοι ζωγράφου) Ταξινόμησηπολυγώνωνκατάβάθοςκαιεμφάνιση μεσωστήσειρά: Οχιπάνταδυνατή(επικάλυψη z-έκτασης, τεμνόμενα πολύγωνα). Διαμερισμόςπολυγώνων. Μεγάληπολυπλοκότητα. Χώροςαντικειμένων, αναποτέλεσμαθεωρηθείη ταξινομημένηλίστα. 1. Αλγόριθμοςταξινόμησηςκατάβάθος(Newell 1972). 2. ΑλγόριθμοςBSP δένδρου(fuchs 1983).

135 ΑλγόριθμοςΤαξινόμησηςκατά Βάθος Ταξινόμησηκατάφθίνουσααπόστασηαπό κέντροπροβολής. Σύγκριση P προq δενείναιπάνταεύκολη. Χρήσηπεριβάλλοντοςπαραλληλεπιπέδου [x min (P), y min (P), z min (P)],[x max (P), y max (P), z max (P)].

136 ΑλγόριθμοιΥποδιαίρεσηςΕπιφάνειας Αναδρομικήδιαίρεσηεπιπέδουπροβολής: Αν1 πολύγωνοκαλύπτειτμήμαπλήρως, τότεαυτόπαίρνειτοχρώματουπολυγώνου. Αναδρομήσταματάεπίσηςστομέγεθοςτουpixel. Εκμετάλλευσησυνάφειαςεπιφάνειας(μεγάλαπολύγωνα, σταθερούχρώματος). Αλγόριθμος Warnock: Αναδρομήσταματά αναπόένα τμήμα περνά τοπολύ1 ακμή πολυγώνου. ΣυγκρίσειςπροβολήςπολυγώνουP μεπεριοχήοθόνηςβ. Χρήσηπεριβάλλοντωνορθογωνίων: 4 περιπτώσειςσχέσης P καιb: (D: Disjoint) P εξωτερικότηςβ. (C: Contained) P εσωτερικότηςβ. (S: Surrounding) P καλύπτονπλήρωςτηνβ. (I: Intersecting) P τέμνοντηνβ. Π.χ.σχέση D εξασφαλίζεται εάνισχύει:

137 ΑλγόριθμοιΥποδιαίρεσηςΕπιφάνειας Αναδρομικές διαιρέσεις Warnock: Μείωσηυποδιαιρέσεων μεβάσηκορυφέςπολυγώνων (Weiler-Atherton):

138 Σύγκριση ΜεθόδωνΑπόκρυψης

139 ΑπόκρυψηκαιΠαρακολούθηση Ακτίνας (Ray Tracing) Αλγόριθμοςπαρακολούθησηςακτίνας(Whitted): Ακτίνεςπουορίζονταιαπόσημείοπαρατήρησηςκαι κάθεpixelακολουθούνταιώσπουνασυναντήσουν αντικείμενο. Εκείδιασπώνταιανάλογαμεμοντέλο. Ουσιαστικάλύνειπρόβλημααπόκρυψης.

Εισαγωγή. Γραφικά. Μοντέλο (Πληροφορίες για Περιεχόµενο εικόνας. Επεξεργασία Εικόνων. Εικόνα. Τεχνητή Όραση 1.1. Εργα: : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Εισαγωγή. Γραφικά. Μοντέλο (Πληροφορίες για Περιεχόµενο εικόνας. Επεξεργασία Εικόνων. Εικόνα. Τεχνητή Όραση 1.1. Εργα: : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ Εισαγωγή Μιάεικόνααξίζει1000 λέξεις : Ανθρώπινοοπτικόκανάλι: 30-40 Μbits/s (=64-85 M λέξεις /min µε 4 γράµµατα/λέξη, 7bits/γράµµα). Γραπτό κείµενο: 600-1200 λέξεις/min. 100.000 αποδοτικότερη επικοινωνία

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων

Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods)

Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods) 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods) Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Θέαση στις 3D

Γραφικά Υπολογιστών: Θέαση στις 3D 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Θέαση στις 3D Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιεχόμενα Σήμερα θα δούμε τα παρακάτω θέματα: Μετασχηματισμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ -ΈΛΛΕΙΨΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ -ΈΛΛΕΙΨΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ -ΈΛΛΕΙΨΗΣ Μια εικόνα μπορεί να περιγραφεί με πολλούς τρόπους. Αν υποθέσουμε ότι έχουμε μια προβολή ψηφιδοπλέγματος, μια εικόνα καθορίζεται πλήρως από το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Εισαγωγή

Γραφικά Υπολογιστών: Εισαγωγή 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Εισαγωγή Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιγραφή Γραφικά Υπολογιστών Τι είναι? Περιοχές εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ (ΘΕΩΡΙΑ)

ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ (ΘΕΩΡΙΑ) ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : ΝΤΙΝΤΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ (MSC) Καθηγητής Εφαρμογών ΚΑΡΔΙΤΣΑ 2010 ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΦΩΤΟΑΠΟΔΟΣΗ: ΕΝΝΟΟΥΜΕ ΤΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΥ ΟΛΩΝ ΕΚΕΙΝΩΝ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΩΣΤΕ ΝΑ ΕΧΟΥΜΕ

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά µε Η/Υ. Τεχνολογίες Γραφικών & Στοιχεία µαθηµατικών

Γραφικά µε Η/Υ. Τεχνολογίες Γραφικών & Στοιχεία µαθηµατικών Γραφικά µε Η/Υ Τεχνολογίες Γραφικών & Στοιχεία µαθηµατικών Τεχνολογίες Γραφικών 2/ 4 Τεχνολογία παραγωγής συνθετικής εικόνας (Πλεγµατική οθόνη) Πλεγµατική οθόνη (Raster): δισδιάστατο πλέγµα απόpixels Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ENOTHTA. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο. Πώς προσδιορίζουμε τη θέση των αντικειμένων; A O M B ' y P Ì(,y) Ð Για τον προσδιορισμό της θέσης πάνω σε μία ευθεία πρέπει να έχουμε ένα σημείο της

Διαβάστε περισσότερα

Περιοχή εργασίας. Τμ. Γραφιστικής (Γραφιστική με Η/Υ - In Design) 2

Περιοχή εργασίας. Τμ. Γραφιστικής (Γραφιστική με Η/Υ - In Design) 2 Περιοχή εργασίας A. Παράθυρο εγγράφου B. Συγκέντρωση πινάκων συμπτυγμένων σε εικονίδια Γ. Γραμμή τίτλου πίνακα Δ. Γραμμή μενού E. Γραμμή επιλογών Στ. Παλέτα εργαλείων Ζ. Κουμπί σύμπτυξης σε εικονίδια Η.

Διαβάστε περισσότερα

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση Χειμερινό Εξάμηνο 2013-2014 Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση 5 η Παρουσίαση : Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Διδάσκων: Γιάννης Ντόκας Σύνθεση Χρωμάτων Αφαιρετική Παραγωγή Χρώματος Χρωματικά

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά και Εικονική Πραγματικότητα Απαλλακτική εργασία 2012. Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609

Γραφικά και Εικονική Πραγματικότητα Απαλλακτική εργασία 2012. Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609 Γραφικά και Εικονική Πραγματικότητα Απαλλακτική εργασία 2012 0B Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609 Περιεχόμενα Πίνακας Περιεχομένων...2 Περιεχόμενα...2 Προγραμματιστικές λεπτομέρειες υλοποίησης...3 geom.h...3

Διαβάστε περισσότερα

ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ (ΘΕΩΡΙΑ)

ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ (ΘΕΩΡΙΑ) ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : ΝΤΙΝΤΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ (MSC) Καθηγητής Εφαρμογών ΚΑΡΔΙΤΣΑ 2013 ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΦΩΤΟΑΠΟΔΟΣΗ: ΕΝΝΟΟΥΜΕ ΤΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΥ ΟΛΩΝ ΕΚΕΙΝΩΝ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΩΣΤΕ ΝΑ ΕΧΟΥΜΕ

Διαβάστε περισσότερα

Γραφιστική Πληροφορίας σε 3D

Γραφιστική Πληροφορίας σε 3D Γραφιστική Πληροφορίας σε 3D Κωνσταντίνος Σεβεντεκίδης Καθηγητής Πληροφορικής ΠΕ-19, Msc Email: kseventekidis@sch.gr Τμήμα Πληροφορικής και ΜΜΕ ΤΕΙ ΠΥΡΓΟΥ (παράρτημα ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ) Γραφιστική Πληροφορίας

Διαβάστε περισσότερα

Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ

Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ Προγραμματισμός και Αλγόριθμοι Από το και τημ Χελώμα στημ Ευριπίδης Βραχνός http://evripides.mysch.gr/ 2014 2015 1 Προγραμματισμός Ζάννειο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πειραιά Ενότητα:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομη παρουσίαση των Γραφικών με Η/Υ

Σύντομη παρουσίαση των Γραφικών με Η/Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές και συνολικότερα τα προϊόντα της πληροφορικής έχουν μεταμορφώσει (με τρόπο ο οποίος γίνεται άμεσα ή έμμεσα αντιληπτός) τη ζωή δισεκατομμυρίων ανθρώπων στον

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Ενότητα 12 Δομές (Structures) Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Αφαιρετικότητα Με τις συναρτήσεις επιτυγχάνουμε αφαιρετικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3 (μέρος 1 ο )

Ενότητα 3 (μέρος 1 ο ) Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Προγραμματισμός με Εφαρμογές στην Επιστήμη του Μηχανικού Ενότητα 3 (μέρος 1 ο ) Σιέττος Κωνσταντίνος Άδεια Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Εικόνα. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 05-1

Εικόνα. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 05-1 Εικόνα Εισαγωγή Ψηφιακή αναπαράσταση Κωδικοποίηση των χρωμάτων Συσκευές εισόδου και εξόδου Βάθος χρώματος και ανάλυση Συμβολική αναπαράσταση Μετάδοση εικόνας Σύνθεση εικόνας Ανάλυση εικόνας Τεχνολογία

Διαβάστε περισσότερα

To SIMULINK του Matlab

To SIMULINK του Matlab ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Β ΧΗΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΘ. Κ. ΚΥΠΑΡΙΣΣΙΔΗΣ, ΛΕΚΤΟΡΑΣ Χ. ΧΑΤΖΗΔΟΥΚΑΣ Τ.Θ. 472 54 124 ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Μάθημα: ΡΥΘΜΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Ακαδ.

Διαβάστε περισσότερα

Ανακατασκευή εικόνας από προβολές

Ανακατασκευή εικόνας από προβολές Ανακατασκευή εικόνας από προβολές Μέθοδος ανακατασκευής με χρήση χαρακτηριστικών δειγμάτων προβολής Αναστάσιος Κεσίδης Δρ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός Θέματα που θα αναπτυχθούν Εισαγωγή στις τομογραφικές μεθόδους

Διαβάστε περισσότερα

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5 IOYNIOΣ 23 Δίνονται τα εξής πρότυπα: x! = 2.5 Άσκηση η (3 µονάδες) Χρησιµοποιώντας το κριτήριο της οµοιότητας να απορριφθεί ένα χαρακτηριστικό µε βάση το συντελεστή συσχέτισης. Γράψτε εδώ το χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo

Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo ΦΥΣ 145 - Διαλ.09 Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo Χρησιμοποίηση τυχαίων αριθμών για επίλυση ολοκληρωμάτων Η μέθοδος Monte Carlo δίνει μια διαφορετική προσέγγιση για την επίλυση ενός ολοκληρώμτατος Τυχαίοι

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Φυσική Β Γυμνασίου. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Φυσική Β Γυμνασίου Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 2 Εισαγωγή 1.1 Οι φυσικές επιστήμες και η μεθοδολογία τους Φαινόμενα: Μεταβολές όπως το λιώσιμο του πάγου, η

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Γραφική. Διδάσκων: Ε. Θεοδωρίδης Υπεύθυνος καθηγητής: Α. Τσακαλίδης. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών

Υπολογιστική Γραφική. Διδάσκων: Ε. Θεοδωρίδης Υπεύθυνος καθηγητής: Α. Τσακαλίδης. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Υπολογιστική Γραφική Διδάσκων: Ε. Θεοδωρίδης Υπεύθυνος καθηγητής: Α. Τσακαλίδης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Real Time Rendering 3 rd Edition by Tomas Akenine- Moller et al. Γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος της εργασίας και ιδιαιτερότητες του προβλήματος

Στόχος της εργασίας και ιδιαιτερότητες του προβλήματος ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΟΠΤΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ Κουλουμέντας Παναγιώτης Σχολή Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Χανιά,Νοέμβριος 2014 Επιτροπή: Ζερβάκης Μιχάλης (επιβλέπων)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. H Εννοια του διανυσματος. Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. H Εννοια του διανυσματος. Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι Συνολο λεγεται καθε συλλογη 3. Να δειχτει αντικειμενων, οτι α + 0 που προερχονται 0α. Ποτε ισχυει απ την το εμπειρια ισον; μας η τη διανοηση 3 3. μας, Aν α, ειναι

Διαβάστε περισσότερα

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 1 Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Α. Κάνε κατάλληλο σχήμα,τοποθέτησε τα δεδομένα στο σχήμα και ονόμασε

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας με τη διάταξη της αεροτροχιάς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μελέτη της ευθύγραμμης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2009 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (240 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι Αναδρομικός αλγόριθμος (recursive algorithm) Επιλύει ένα πρόβλημα λύνοντας ένα ή περισσότερα στιγμιότυπα του ίδιου προβλήματος. Αναδρομικός αλγόριθμος (recursive algorithm) Επιλύει ένα πρόβλημα λύνοντας

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Γενικά... 2. 2. Γεωμετρία κάτοψης ορόφων... 2. 3. Ορισμός "ελαστικού" άξονα κτιρίου... 2. 4. Προσδιορισμός του κυρίου συστήματος...

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Γενικά... 2. 2. Γεωμετρία κάτοψης ορόφων... 2. 3. Ορισμός ελαστικού άξονα κτιρίου... 2. 4. Προσδιορισμός του κυρίου συστήματος... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Γενικά... 2 2. Γεωμετρία κάτοψης ορόφων... 2 3. Ορισμός "ελαστικού" άξονα κτιρίου.... 2 4. Προσδιορισμός του κυρίου συστήματος.... 3 5. Στρεπτική ευαισθησία κτιρίου... 3 6. Εκκεντρότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 Tel. 6165-617784 - Fax: 64105 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά

Διαβάστε περισσότερα

Α3. Ποια είναι τα πλεονεκτήματα του Δομημένου προγραμματισμού; (Μονάδες 10)

Α3. Ποια είναι τα πλεονεκτήματα του Δομημένου προγραμματισμού; (Μονάδες 10) ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ / Γ ΕΠΑΛ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08 / 02 / 2015 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Ι. ΜΙΧΑΛΕΑΚΟΣ Γ.ΝΙΤΟΔΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. GeoGebra

Κεφάλαιο 4. GeoGebra Κεφάλαιο 4 GeoGebra Στόχοι: Με τη βοήθεια του Οδηγού αυτού, ο εκπαιδευόμενος θα είναι σε θέση να: Εργαστεί με το λογισμικό Geogebra για τη δημιουργία γεωμετρικών σχημάτων Αξιοποιήσει τα εργαλεία του Geogebra

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Οπτικής ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ. Μάκης Αγγελακέρης 2010

Εργαστήριο Οπτικής ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ. Μάκης Αγγελακέρης 2010 ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ Μάκης Αγγελακέρης 2010 Σκοπός της άσκησης Να μπορείτε να περιγράψετε ποιοτικά το φαινόμενο της περίθλασης του φωτός καθώς επίσης να μπορείτε να διακρίνετε τις συνθήκες που χαρακτηρίζουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

Έκδοση 1 η. Σταύρος Κόλλιας

Έκδοση 1 η. Σταύρος Κόλλιας Έκδοση 1 η Σταύρος Κόλλιας Το βιβλίο αυτό γράφτηκε στο πλαίσιο μιας ενημέρωσης, για το Geogebra, που οργάνωσε το παράρτημα της μαθηματικής εταιρείας του νομού Κορινθίας, στους συνάδελφους μαθηματικούς.

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 3 Κεφάλαιο 9: Ζωγραφική

ΕΝΟΤΗΤΑ 3 Κεφάλαιο 9: Ζωγραφική ζωγραφικής, αντιγραφή, Το περιβάλλον του προγράμματος ζωγραφικής «Ζωγραφική» Το περιβάλλον του προγράμματος ζωγραφικής Designer Το περιβάλλον του προγράμματος ζωγραφικής Tux-Paint ζωγραφικής, αντιγραφή,

Διαβάστε περισσότερα

Παιχνιδάκια με τη LOGO

Παιχνιδάκια με τη LOGO Όταν σβήνει ο υπολογιστής ξεχνάω τα πάντα. Κάτι πρέπει να γίνει Κάθε φορά που δημιουργώ ένα πρόγραμμα στη Logo αυτό αποθηκεύεται προσωρινά στη μνήμη του υπολογιστή. Αν θέλω να διατηρηθούν τα προγράμματά

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

Διαδραστικό λογισμικό για τη γεωμετρία του χώρου και τα μαθηματικά

Διαδραστικό λογισμικό για τη γεωμετρία του χώρου και τα μαθηματικά Διαδραστικό λογισμικό για τη γεωμετρία του χώρου και τα μαθηματικά Εξερευνήστε την 3 η διάσταση! Έκδοση 2.1 CABRI 3D V2 Πρωτοποριακά Μαθηματικά Εργαλεία ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΧΡΗΣΤΗ 1 2 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1 -

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ Δραστηριότητα 1 Εξερευνώντας το σχηματισμό των ψηφιδωτών. Ένα Ολλανδός ζωγράφος, ο M.C. Escher ( 1898-1972 ), έφτιαχνε ζωγραφικούς πίνακες χρησιμοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 28 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κυριακή, 13 Απριλίου, 2014 Ώρα: 10:00-13:00 Παρακαλώ διαβάστε πρώτα τα πιο κάτω, πριν απαντήσετε οποιαδήποτε ερώτηση. Γενικές οδηγίες: 1.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1.Εντολές κίνησης

Κεφάλαιο 1.Εντολές κίνησης Προγραμματίζω με το ΒΥΟΒ 1 Κεφάλαιο 1.Εντολές κίνησης Από το μάθημα της Φυσικής γνωρίζουμε ότι κίνηση σημαίνει αλλαγή της θέσης ενός αντικειμένου. Οι εντολές κίνησης που μας παρέχει το ΒΥΟΒ χωρίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

2. ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΧΕ ΙΟΜΕΛΕΤΗΣ ΜΕ Η/Υ

2. ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΧΕ ΙΟΜΕΛΕΤΗΣ ΜΕ Η/Υ 2. ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΧΕ ΙΟΜΕΛΕΤΗΣ ΜΕ Η/Υ Μια τυπική διάταξη συστήµατος σχεδιοµελέτης µε χρήσηh/y - CAD, αποτελείται από τον εξοπλισµό (Hardware), το Λογισµικό του συστήµατος σχεδιοµελέτης (Software)

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Ιουνίου 010 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (40 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ / Γ ΕΠΑΛ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 27/01/2013

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ / Γ ΕΠΑΛ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 27/01/2013 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ / Γ ΕΠΑΛ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 27/01/2013 ΘΕΜΑ Α Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

Τέκτων 10. for Windows. Εκπαιδευτική Έκδοση 5.4.0.104. Σύντομο αρχιτεκτονικό παράδειγμα. Αθήνα, Μάιος 2013. Version_1_0_1

Τέκτων 10. for Windows. Εκπαιδευτική Έκδοση 5.4.0.104. Σύντομο αρχιτεκτονικό παράδειγμα. Αθήνα, Μάιος 2013. Version_1_0_1 Τέκτων 10 for Windows Εκπαιδευτική Έκδοση 5.4.0.104 Σύντομο αρχιτεκτονικό παράδειγμα Αθήνα, Μάιος 2013 Version_1_0_1 2 Τέκτων 10 for Windows Εκπαιδευτική Έκδοση Σύντομο αρχιτεκτονικό παράδειγμα Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαράσταση Μη Αριθμητικών Δεδομένων

Αναπαράσταση Μη Αριθμητικών Δεδομένων Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 2014-15 Αναπαράσταση Μη Αριθμητικών Δεδομένων (κείμενο, ήχος και εικόνα στον υπολογιστή) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/

Διαβάστε περισσότερα

8 Σίσκας Χρήστος Φακόπουλος Επαμεινώνδας. Η έννοια του Διανύσματος

8 Σίσκας Χρήστος Φακόπουλος Επαμεινώνδας. Η έννοια του Διανύσματος ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ - ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ.3 ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 8 Σίσκας Χρήστος Φακόπουλος Επαμεινώνδας Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Υλοποίηση εντοπισμού στα Nao robots μέσω προσέγγισης του φίλτρου Kalman

Υλοποίηση εντοπισμού στα Nao robots μέσω προσέγγισης του φίλτρου Kalman Α Π Ε (Χ 2011/2012) Υλοποίηση εντοπισμού στα Nao robots μέσω προσέγγισης του φίλτρου Kalman Ιωακείμ Πέρρος, ΑΜ: 2007030085 2 Απριλίου 2012 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή / Πρόβλημα 1 2 Προσέγγιση / Λύση 2 2.1

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Ιπτάμενες Μηχανές. Οδηγός για το Μαθητή

Ιπτάμενες Μηχανές. Οδηγός για το Μαθητή Ιπτάμενες Μηχανές Οδηγός για το Μαθητή Το ελικόπτερο Αφού βεβαιωθείτε ότι βρίσκεστε στο περιβάλλον του εκπαιδευτικού προγράμματος, επιλέξτε «Έναυσμα». Ακολουθώντας τις οδηγίες που παρουσιάζονται στην οθόνη

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού

Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού Η γλώσσα προγραμματισμού C Γεώργιος Δημητρίου Εκφράσεις και Λίγες Εντολές Οι εκφράσεις της C Τελεστές Απλές και σύνθετες εντολές Εντολές ελέγχου (επιλογής) Εισαγωγή σε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών. Ανάκτηση Χρονισμού. Τρόποι Συγχρονισμού Συμβόλων. Συγχρονισμός Συμβόλων. t mt

Εισαγωγή. Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών. Ανάκτηση Χρονισμού. Τρόποι Συγχρονισμού Συμβόλων. Συγχρονισμός Συμβόλων. t mt Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών Συγχρονισμός Συμβόλων Εισαγωγή Σε ένα ψηφιακό τηλεπικοινωνιακό σύστημα, η έξοδος του φίλτρου λήψης είναι μια κυματομορφή συνεχούς χρόνου y( an x( t n ) n( n x( είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Spatial Analyst

Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Spatial Analyst Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Spatial Analyst Γενικά Το πρόγραμμα Spatial Analyst είναι μια επέκταση του ArcMap με πολλές επιπλέον δυνατότητες, κυρίως όσον αφορά τα πλεγματικά (raster) δεδομένα. Επιπλέον δέχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

Ατταλείας 9 Ν. μύρνη 17123 Τηλ. (210) 93 70 032 Fax 93 47 234 697.2014 286 ΙΝΤΕRΝΕΤ web site: http://www.ergotech.gr e-mail: nkyra@tee.

Ατταλείας 9 Ν. μύρνη 17123 Τηλ. (210) 93 70 032 Fax 93 47 234 697.2014 286 ΙΝΤΕRΝΕΤ web site: http://www.ergotech.gr e-mail: nkyra@tee. ÍÉÊÏËÁÏÓ Ð. ÊÕÑÁÍÁÊÏÓ ÔïðïãñÜöïò Ìç áíéêüò Å.Ì.Ð. Åñãïë. Äçìïóßùí ñãùí Ìç.Ëïãéóìéêïý ÅËÊÅÐÁ Ατταλείας 9 Ν. μύρνη 17123 Τηλ. (210) 93 70 032 Fax 93 47 234 697.2014 286 ΙΝΤΕRΝΕΤ web site: http://www.ergotech.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΓΑΠΗΤΟΣ Ν. ΧΑΤΖΗΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΓΑΠΗΤΟΣ Ν. ΧΑΤΖΗΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΓΑΠΗΤΟΣ Ν. ΧΑΤΖΗΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 2008 2 Περιεχόμενα 1 ΟΔιανυσματικόςΧώρος R 3 11 1.1 ΗΓεωμετρίατουΕυκλείδιουΧώρου... 11 1.2 ΕσωτερικόκαιΔιανυσματικόΓινόμενο...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΧΡΗΣΗΣ GRS-1

ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΧΡΗΣΗΣ GRS-1 ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΧΡΗΣΗΣ GRS-1 Σελίδα 1 ΓΕΝΙΚΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το GRS-1 της TOPCON διαθέτει λειτουργικό σύστημα Windows CE NET 6.1 παρέχοντας την δυνατότητα εγκατάστασης οποιασδήποτε εφαρμογής και λογισμικού έκδοσης

Διαβάστε περισσότερα

Δ 4. Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του βέλους που μεταφέρεται στο περιβάλλον του συστήματος μήλο-βέλος κατά τη διάρκεια της διάτρησης.

Δ 4. Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του βέλους που μεταφέρεται στο περιβάλλον του συστήματος μήλο-βέλος κατά τη διάρκεια της διάτρησης. Σε οριζόντιο επίπεδο βρίσκεται ακίνητο ένα μήλο μάζας Μ = 200 g. Ένα μικρό βέλος μάζας m = 40 g κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου, υ 1 = 10 m / s, χτυπά το μήλο με αποτέλεσμα να το διαπεράσει. Αν γνωρίζετε

Διαβάστε περισσότερα

Εγχειρίδιο Εγκατάστασης και Χρήσης Εκπαιδευτικής Εφαρμογής

Εγχειρίδιο Εγκατάστασης και Χρήσης Εκπαιδευτικής Εφαρμογής Εγχειρίδιο Εγκατάστασης και Χρήσης Εκπαιδευτικής Εφαρμογής Εγχειρίδιο Εγκατάστασης και Χρήσης Πίνακας Περιεχομένων. Πριν την εγκατάσταση... 3. Ελάχιστες απαιτήσεις σε εξοπλισμό... 3 2. Εγκατάσταση... 4

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 06: Συνδεδεμένες Λίστες & Εφαρμογές Στοιβών και Ουρών

Διάλεξη 06: Συνδεδεμένες Λίστες & Εφαρμογές Στοιβών και Ουρών ΕΠΛ231 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 1 Διάλεξη 06: Συνδεδεμένες Λίστες & Εφαρμογές Στοιβών και Ουρών Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Υλοποίηση ΑΤΔ με Συνδεδεμένες Λίστες -

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 3 Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Μονάδα ελέγχου Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Δομή Αριθμητικής Λογικής Μονάδας

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ Φυσική Β Γυμνασίου Εισαγωγή Τα πάντα γύρω μας κινούνται. Στο διάστημα όλα τα ουράνια σώματα κινούνται. Στο μικρόκοσμο συμβαίνουν κινήσεις που δεν μπορούμε να τις αντιληφθούμε άμεσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ )

ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ ) ο ΕΚΦΕ (Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ) Δ Δ/ΝΣΗΣ Δ. Ε. ΑΘΗΝΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ ) Α. ΣΤΟΧΟΙ Η ικανότητα συναρμολόγησης μιας απλής πειραματικής διάταξης. Η σύγκριση των πειραματικών

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Το περιβάλλον του προγράμματος ζωγραφικής «Ζωγραφική»

Το περιβάλλον του προγράμματος ζωγραφικής «Ζωγραφική» Ζωγραφική Το περιβάλλον του προγράμματος ζωγραφικής «Ζωγραφική» Το περιβάλλον του προγράμματος ζωγραφικής Designer Το περιβάλλον του προγράμματος ζωγραφικής Tux-Paint Η Γραμμή Μενού. Η Εργαλειοθήκη του

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Πολυμέσα. Εφ. Πληροφορικής Κεφ. 11 Καραμαούνας Π. 1

Κεφάλαιο 11 Πολυμέσα. Εφ. Πληροφορικής Κεφ. 11 Καραμαούνας Π. 1 Κεφάλαιο 11 Πολυμέσα Εφ. Πληροφορικής Κεφ. 11 Καραμαούνας Π. 1 Εφαρμογές πολυμέσων: πολλές μορφές πληροφορίας, αποθηκευμένες σε ψηφιακή μορφή, με δυνατότητα αλληλεπίδρασης κατά την παρουσίασή τους 11.1

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις

Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις Σφάλματα Μετρήσεων Συμβατικά όργανα μετρήσεων Χαρακτηριστικά μεγέθη οργάνων Παλμογράφος Λέκτορας Σοφία Τσεκερίδου 1 Σφάλματα μετρήσεων Επιτυχημένη μέτρηση Σωστή εκλογή

Διαβάστε περισσότερα

συναρτησιακό μοντέλο: Ax=l+v (γεωμετρική απόσταση δορυφόρων-δέκτη) μετρήσεις: l στοχαστικό μοντέλο: W=σ 02 V (ψευδοαποστάσεις) (σ i =c cosecφ i )

συναρτησιακό μοντέλο: Ax=l+v (γεωμετρική απόσταση δορυφόρων-δέκτη) μετρήσεις: l στοχαστικό μοντέλο: W=σ 02 V (ψευδοαποστάσεις) (σ i =c cosecφ i ) Τύποι μετρήεων μέθοδοι δορυφορικού εντοπιμού μετρήεις ψευδοαποτάεων μετρήεις φάεων ΑΚΡΙΒΙΑ απόλυτος εντοπιμός χετικός εντοπιμός τατικός εντοπιμός κινηματικός εντοπιμός εκ των υτέρων εντοπιμός εντοπιμός

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Μέσο σφάλμα μεγέθους (που υπολογίζεται από σύνθετη συνάρτηση)

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Μέσο σφάλμα μεγέθους (που υπολογίζεται από σύνθετη συνάρτηση) ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Μέσο σφάλμα μεγέθους (που υπολογίζεται από σύνθετη συνάρτηση) Όταν το πρωτοείδα, κι εγώ δεν το συμπάθησα. Είναι, όμως, λάθος μας, καθώς πρόκειται για κάτι πολύ απλό και σίγουρο ως μέθοδος υπολογισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παρόν βιβλίο περιέχει βασικές γνώσεις ανάλυσης και σύνθεσης των επίπεδων μηχανισμών. Μηχανισμοί είναι μηχανολογικές διατάξεις για την καθοδήγηση της κίνησης διαφόρων εξαρτημάτων, την υλοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με Α.Μ. σε 3, 7, 8 & 9 22/11/07

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με Α.Μ. σε 3, 7, 8 & 9 22/11/07 Ακαδ έτος 2007-2008 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Φερεντίνος 22/11/07 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με ΑΜ σε 3, 7, 8 & 9 22/11/07 Παράδειγμα με if/else if και user input: import javautil*; public class Grades public

Διαβάστε περισσότερα

TEXNOΛΟΓΙΚΟ EΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

TEXNOΛΟΓΙΚΟ EΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ TEXNOΛΟΓΙΚΟ EΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Τομέας Αρχιτεκτονικής Η/Υ & Βιομηχανικών Εφαρμογών Μάθημα: «Γεωγραφικά Συστήματα Πληροφοριών» - Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ 1.1 Προτεραιότητα Πράξεων Η προτεραιότητα των πράξεων είναι: (Από τις πράξεις που πρέπει να γίνονται πρώτες,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΠΙΠΛΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΠΙΠΛΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ & ΑΡΧΙΚΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ (Ε.Π.Ε.Α.Ε.Κ. ΙΙ) ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΥΘΕΡΟ - ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Β Ενιαίου Λυκείου (Μάθημα : Κατεύθυνσης)

ΕΛΕΥΘΕΡΟ - ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Β Ενιαίου Λυκείου (Μάθημα : Κατεύθυνσης) ΕΛΕΥΘΕΡΟ - ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Β Ενιαίου Λυκείου (Μάθημα : Κατεύθυνσης) ΓΕΝΙΚΟΙ ΣΚΟΠΟΙ ΚΑΙ ΣΤΟΧΟΙ Το μάθημα απευθύνεται σε μαθητές με ειδικό ενδιαφέρον για το ΣΧΕΔΙΟ (Ελεύθερο και Προοπτικό) και που ενδέχεται

Διαβάστε περισσότερα

Certified Graphics Designer (CGD)

Certified Graphics Designer (CGD) Certified Graphics Designer (CGD) Εξεταστέα Ύλη (Syllabus) Πνευµατικά ικαιώµατα Το παρόν είναι πνευµατική ιδιοκτησία της ACTA Α.Ε. και προστατεύεται από την Ελληνική και Ευρωπαϊκή νοµοθεσία που αφορά τα

Διαβάστε περισσότερα