Γραφική με Υπολογιστή Computer Graphics

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γραφική με Υπολογιστή Computer Graphics"

Transcript

1 Γραφική με Υπολογιστή Computer Graphics 1. Βασικοίγραφικοίαλγόριθμοι 2. Αρχέςγραφικώνπλεγματικώνοθονώνraster 3. Μετασχηματισμοί2 και3 διαστάσεωνκαι συστήματασυντεταγμένων 4. Προβολέςκαιμετασχηματισμοίπαρατήρησης 5. Aλγόριθμοιαπόκρυψηςεπιφανειώνκαι αλγόριθμοιφωτισμού διαφάνειεςαπόβιβλίοθεοχάρημπέμ, Συμμετρία, Αθήνα1999

2 Ιστορικήαναδρομή

3 Περιοχές σχετικές με την Εικόνα Γραφική με Υπολογιστές (Computer Graphics) Επεξεργασία - ΑνάλυσηΕικόνων (Image Processing -Analysis) Τεχνητήόραση(Computer vision) Αλληλεπίδραση Ανθρώπου - Υπολογιστή

4 Περιοχέςεφαρμογών Γραφικήαλληλεπίδρασημεχρήστη (GUI). Σχεδίαση(CAD): πχαρχιτεκτονική, VLSI design ΓεωγραφικάΣυστήματαΠληροφοριών(GIS). Προσομοιώσεις(π.χ. πτήσεων). Συνθετικές ταινίες& διαφήμιση Computer Animation. Επαυξημένη Πραγματικότητα -Augmented Reality Εικονική Πραγματικότητα Virtual Reality Ιατρικέςεφαρμογές. Οπτικοποίησηδεδομένων. Τέχνη(π.χ. fractals). Παιχνίδια.

5 Γραφικόσύστημαεπεξεργασίας

6 Πλεγματικήήδιανυσματικήαπεικόνιση

7 Πλεγματικήοθόνη (raster display) Σάρωσητηςοθόνηςανάγραμμήκαισε συγκεκριμένοχρονικόρυθμό

8 Πλεγματικήοθόνη: αποθήκευσηεικόναςστημνήμη Αποθήκευσητηςεικόναςστημνήμηως πίνακατριώνδιαστάσεων (πλάτοςx ύψοςx χρώμα) Χρήσηπαλέταςγιαμείωσηαπαιτήσεων χρώματος.

9 Χρήσηπαλέταςχρωμάτων

10 Πλεγματικήοθόνη/ 2 2-Δπλέγμαχρωματιζόμενωνεικονοστοιχείων(pixels) Φρεσκάρισμασεσταθερόρυθμόαπόμνήμη Κανέναςπεριορισμόςσεεικόνα Αποδέσμευσηφρεσκαρίσματοςαπόάλλεςλειτουργίες Μεγάλη(;) απαίτησημνήμης (1024 x 1024 x 24= 3MB) Μείωσημεχρήσηπαλέτας(lookuptable) Προβλήματαταύτισης(aliasing) Νέεςτεχνολογίες(LCD, plasma)

11 Πλεγματικήοθόνη /3 Απαιτούνται αλγόριθμοι απεικόνισης ευθείας, καμπύλης, πλήρωσης πολυγώνου σε πλεγματική οθόνη

12 Αλγόριθμοςγραφικήςαπεικόνισης

13 Παράστασησχημάτων ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣΤΗΝΟΘΟΝΗ Σάρωση Αντιταύτιση Φωτισμός Υφή

14 ΑπεικόνισηΕυθύγραμμουτμήματος Αλγόριθμοιυποστηρίζονταικαιαπό hardware. Κριτήρια «καλού» αλγορίθμου: Όσογίνεταιπιοκοντάστημαθηματικήπορεία Πάχοςσταθερόκαιανεξάρτητοαπόμήκοςκαι κλίση. Μεόσοτοδυνατόνμικρότερουπολογιστικό κόστος(μεγαλύτερηταχύτητα).

15 Αλγόριθμος 1 Έστωευθύγραμμοτμήμαμεταξύpixels P 1 (x 1,y 1 ), P n (x n,y n ) στοπρώτοοκταμόριο. Τότε: όπου y=s*x+b

16 Υλοποίηση void line1( x1, y1, xn, yn, colour) intx1,y1, xn, yn, colour; /* colour: ακέραιααναπαράστασητουχρώματος*/ { float s, b, y; intx; s=( yn-y1)/( xn-x1); b=( y1* xn-yn* x1)/( xn-x1); for (x= x1; x<= xn; x++){ y= s* x+ b; setpixel( x, round( y), colour); } }

17 Αλγόριθμος 2 (αποδοτικότερος) Οπολλαπλασιασμόςμέσαστοβρόγχο μπορείνααποφευχθείμετατρέπονταςτον τύποσεαναδρομικό:

18 Υλοποίηση line2 (x1, y1, xn, yn, colour) intx1,y1, xn, yn, colour; { float s, y; intx; s=( yn-y1)/( xn-x1); y= y1; for (x= x1; x<= xn; x++){ setpixel( x, round( y), colour); y= y+ s; } }

19 Αλγόριθμος 3 Αποφυγήτηςστρογγυλοποίησηςμέσα στο βρόγχομεχωρισμότουy σεακέραιοκαι δεκαδικόμέρος(error)καιχρήσημόνοτου ακεραίουγιαεύρεσητουεπομένου σημείου. Σφάλμα = απόστασηpixel απόιδεατήπορεία.

20 line3 (x1, y1, xn, yn, colour) intx1,y1, xn, yn, colour; Υλοποίηση { float s, error; intx, y; s=( yn-y1)/( xn-x1); y= y1; error= 0; for (x= x1; x<= xn; x++){ setpixel( x, y, colour); error= error+ s; if(error>= 0.5){ y++; error--} } }

21 Αλγόριθμος 4 (Bresenham) Πολλαπλασιάζονταςμεdx=xn-x1, οιμεταβλητές s και error γίνονται ακέραιες. Η σύγκρισηγιατηνεπιλογήτουεπόμενουpixel γίνεταιμεfloor(dx/2). Επίσης, αφαιρώνταςαπό τηναρχικήτιμήτουerrordx, ησύγκρισημπορεί ναγίνεικαιμετο 0. Λειτουργείγιαθετικέςκλίσεις.

22 Υλοποίηση line4 (x1, y1, xn, yn, colour) intx1,y1, xn, yn, colour; { interror, x, y, dx, dy; dx= xn-x1; dy= yn-y1; error=-dx/ 2; y= y1; for (x= x1; x<= xn; x++){ setpixel( x, y, colour); error= error+ dy; if(error>= 0){ y++; error= errordx} } }

23 Περιορισμοί Μόνοστο 1ο ογδοημόριο. Εύκολαμπορείνα επεκταθείκαισταάλλαμεκατάλληλεςεναλλαγές τωνρόλωνx, y,αρχικούκαιτελικούσημείου. Άξονας ταχύτερηςκίνησηςκαιείδοςμεταβολήςτουάλλου άξοναδίνονταιστοσχήμα.

24 Περιορισμοί (συνέχεια) Ευθύγραμματμήματαδιαφορετικώνκλίσεων μπορείναέχουνδιαφορετικήφωτεινότητα. Τοφαινόμενοαυτόμπορείναδιορθωθείμε τεχνικέςαντι-ταύτισης(anti-aliasing).

25 Τοφαινόμενοτηςταύτισης (aliasing) προβλήματαδειγματοληψίας Τεθλασμένηεμφάνισηευθυγράμμωντμημάτωνκαι ακμώνπολυγώνων Λανθασμένηεμφάνισηεπαναλαμβανόμενων τμημάτωνενόςσχήματος Λανθασμένηεμφάνισημικρώνσχημάτωνπου μπορείναεμφανίζονταιήναεξαφανίζονταιανάλογα μετηθέσητους Μέθοδοιαντιταύτισης: Pitteway&Watkinson, postfiltering, stochastic sampling, A-buffer )

26 Αλγόριθμοςσχεδίασηςκύκλουσε πλεγματικήοθόνη Εκμετάλλευση 8-πλής συμμετρίας:

27 Συμμετρίακύκλου circle_ symmetry(x, y, colour) intx, y, colour; { setpixel( x, y, colour); setpixel( y, x, colour); setpixel( y,-x, colour); setpixel( x,-y, colour); setpixel(-x,-y, colour); setpixel(-y,-x, colour); setpixel(-y, x, colour); setpixel(-x, y, colour); }

28 Αλγόριθμος Bresenham Έστωότιεπελέγητοσημείο(x i,y i ). Το επόμενοθαείναι(x i +1,y i ) ή(x i +1,y i -1);

29 Αλγόριθμος Μεταβλητήαπόφασης: e i = d 1 d 2 όπου d 1 = y 2 i -y 2, d 2 = y 2 -(y i -1) 2 Εάνe i 0, επιλέγεταιτο(x i +1,y i -1) αλλιώς επιλέγεταιτο(x i +1,y i )

30 Υπολογισμόςτου e Γιαx=x i +1 ισχύειότιy 2 =r 2, οπότε: e i = y i2 -r 2 + (x i +1) 2 + (y i -1) 2 -r 2 + (x i +1) 2 e i =2 (x i +1) 2 + y i2 + (y i -1) 2 2 r 2

31 Αναδρομικόςυπολογισμός e e i+1 = 2 (x i+1 +1) 2 + y i+12 + (y i+1-1) 2-2 r 2 = 2 (x i +2) 2 + y i+12 + (y i+1-1) 2-2 r 2 = 2x i2 + 8x i + 8+ y i+12 + y i+12-2 y i r 2 = 2(x i +1) 2 + 4x i y i+12-2y i r 2 = e i + 4x i (y i+12 -y i2 ) 2(y i+1 -y i )

32 Τελικόςτύποςυπολογισμού Αν e i <0 y i+1 = y i e i+1 = e i + 4(x i + 1)+ 2 Ανei 0 y i+1 = y i 1 e i+1 = e i + 4x i ((y i -1) 2 -y i2 ) 2(y i -1- y i ) e i+1 = e i + 4(x i +1) + 2 4(y i 1)

33 Παρατηρήσεις Αρχικήτιμή: e 1 =2+ r 2 + (r 1) 2 2r 2 = 3 2r Γιαμεταφοράτουκύκλουαπότο(0,0) στο (x 0,y 0 ) αρκείνααντικατασταθείηκλήση circle_symmetry(x,y,colour); από: circle_symmetry(x-x 0,y-y 0,colour);

34 circle (r, colour) intr, colour; { intx, y, e; x= 0; y= r; e= 3-2* r; while (x<= y){ circle_ symmetry( x, y, colour); x++; if (e>= 0) { y--; e= e-4* y } e= e+ 4* x+ 2; } } Υλοποίηση

35 Λειτουργίεςσεπλεγματικήοθόνη RasterOp Πλεγματικήοθόνη: εικόνααποθηκεύεταιστη μνήμηοθόνης(frame buffer) Πολλέςδιαδικασίεςμεμετακίνησηήσυνδυασμούς στημνήμηοθόνης. (π.χ. επεξεργασίακειμένου)

36 RasterOp Γενικήρουτίναμετακίνησης/συνδυασμού παραλληλογράμμωντμημάτωνεικόνας. Βελτιστοποιημένη, γρήγορηυλοποίηση.

37 Υλοποίηση RasterOp( src_x_min, src_y_min, dst_x_min, dst_y_min, sizex, sizey, funct) intsrc_x_min, src_y_min, dst_x_min, dst_y_min, sizex,sizey; ftypefunct) /* (src_x_min, src_y_min) και(dst_x_min, dst_y_min) */ /* ήκάτωαριστερήγωνίατωνsourceκαιdestination */ /* sizex, sizeyοιx καιy διαστάσειςσεpixel */ /* function κάποιοςτελεστής με pixel */ { inti, j; for (i= 0; i< sizex; i++) } for (j= 0; j< sizey; j++) }} set_pixel( dst_x_min+ i, dst_y_min+ j, funct( read_pixel( dst_x_min+ i, dst_y_min+ j) read_pixel( dst_x_min+ i, dst_y_min + j)));

38 Παράδειγμα: exchange μεχρήσηxor Αντιμετάθεσησχημάτωνχωρίςχρήσηβοηθητικούχώρου. void exchange (src_ x_ min, src_ y_ min, dst_ x_ min, dst_y_ min, sizex, sizey) intsrc_ x_ min, src_ y_ min, dst_ x_ min, dst_ y_ min, sizex, sizey; { RasterOp (src_ x_ min, src_ y_ min, dst_ x_ min, dst_ y_ min, sizex, sizey, XOR); RasterOp (dst_ x_ min, dst_ y_ min, src_ x_ min, src_ y_ min, sizex, sizey, XOR); RasterOp (src_ x_ min, src_ y_ min, dst_ x_ min, dst_ y_ min, sizex, sizey, XOR); }

39 RasterOp: Μετακίνηση Η exchangeμπορείναχρησιμεύσειγια διαδοχικέςμετακινήσειςαντικειμένων (π.χ.cursor)

40 move move (from_x_min, from_y_min, to_x_min, to_y_min, back_x_min, back_y_min, sizex, sizey) intfrom_x_min, from_y_min, to_x_min,to_y_min, back_x_min, back_y_min, sizex, sizey; { exchange (to_x_min, to_y_min,back_x_min,back_y_min, sizex, sizey); exchange (from_x_min, from_y_min,to_x_min, to_y_min, sizex, sizey); }

41 Μετασχηματισμοί 2Δ& 3Δ Συνδυασμοίβασικώνμετασχηματισμών: μετατόπιση,αλλαγήκλίμακας, περιστροφή, στρέβλωση.

42 Σημείακαι Διανύσματα Ε 3 ο3δ Ευκλείδειοςχώροςσημείων, p σημείο. R 3 ο3δ Ευκλείδειοςχώροςδιανυσμάτων, v διάνυσμα. Βασικέςιδιότητες: p 1, p 2 Ε 3, u R 3 με u = p 1 -p 2. p Ε 3, u R 3, p +u = q Ε 3 p, q, r Ε 3, (p q) + (q r) = (p r)

43 Διανυσματικοίχώροι ΣεκάθεδιανυσματικόχώροΔ(π.χ. R 3 ) ορίζονται2 πράξεις Διανυσματικήπρόσθεση(q+ v) Βαθμωτός(scalar) πολλαπλασιασμός(λv) Ιδιότητεςπρόσθεσης: Αντιμεταθετική: q + v = v + q Προσεταιριστική: (p + q) + v = p + (q + v) Ύπαρξηουδετέρου: 0 Δ: 0 + v = v + 0 = v Ύπαρξηαντιθέτου: p Δ -p Δ: p + (-p) = 0

44 Διανυσματικοίχώροι Ιδιότητεςβαθμωτούπολλαπλασιασμού (β.π.) Επιμερισμόςωςπροςτηνπρόσθεση: λ(v + q) = λv + λq Επιμερισμόςπρόσθεσηςωςπροςβαθμωτό πολλαπλασιασμό: (λ + μ) v = λv + μv Προσεταιρισμός: (λμ) v = λ(μv) Ουδέτεροστοιχείο: 1 Δ: v 1 = 1 v =v

45 Διανυσματικοίχώροι Παραδείγματα: 2Δκαι3Δ Ευκλείδειοιχώροι. Πολυώνυμαδιαφόρωνβαθμών. Γραμμικόςσυνδυασμόςx 1, x 2, x ν Δ: y = λ 1 x 1 + λ 2 x λ ν x ν Γραμμικήανεξαρτησίαx 1, x 2, x ν, Δ: αν λ 1 x 1 + λ 2 x λ ν x ν = 0, έχειμόνηλύσητην λ 1 = λ 2 = = λ ν = 0 Παράδειγματα(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) του Ε 3

46 Διανυσματικοίχώροι Βάση: κάθεολοκληρωμένοσύνολο γραμμικώς ανεξαρτήτωνδιανυσμάτων. Τοπλήθοςτουςκαλείταιδιάστασητουχώρου. Ανy = λ 1 i + λ 2 j + λ 3 k όπου(i, j, k) βάση τότε(λ 1, λ 2, λ 3 ) συντεταγμένες. (Ο, i, j, k) ονομάζεταισύστημασυντεταγμένωνμε βάσητοσημείοο, καιβάση(i, j, k) (i, j, k) ορίζουνάξονεςσυντεταγμένων Μήκος: διανύσματος(x,y,z)

47 Διανυσματικοίχώροι Απόστασημεταξύδύοσημείων p 1, p 2

48 Διανυσματικοίχώροι Εσωτερικόγινόμενο (πραγματικόςαριθμός) v w= Σ(v i w i ) π.χ. Ευκλείδειος3Δ: v w= v x w x + v y w y + v z w z Ιδιότητες: Αντιμεταθετική: v w= w v v v= 0 v= 0 v/ v = v, μοναδιαίοδιάνυσμα(κανονικοποίηση) ισχύειv w= v w cos(θ), απ όπουμπορείνα υπολογιστείκαιηγωνίαμεταξύδιανυσμάτων.

49 Διανυσματικοίχώροι Εξωτερικόγινόμενο (διάνυσμα) v x w = (v y w z + v z w y ) i + (v x w z + v z w x )j + (v x w y + v y w x )k v x w είναικάθετοστοεπίπεδοπουορίζουν ταδύοάλλαδιανύσματα. δενισχύειηαντιμεταθετικήιδιότητα. v x w = - w x v

50 Συσχετισμένοι (Affine) Μετασχηματισμοί Συσχετισμένοςήβαρυκεντρικόςμετασχηματισμός σημείωνp 0 p n Ε 3 : p = Σα j p j όπου α j R και Σα j = 1 αποτέλεσμαp Ε 3. {αj} ονομάζονταιοισυσχετισμένεςσυντεταγμένεςτουpως προςp 0 p n. Ομετασχηματισμόςείναικυρτόςανα j 0 Συσχετισμένοςμετασχηματισμός Φ: Ε 3 Ε 3 πουαφήνει τουςσυσχετισμένουςμετασχηματισμούςαναλλοίωτους: Φ(p) = Σα j Φ(p j )

51 Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί π.χ. εφαρμογήσυσχετισμένουμετασχηματισμού πάνωσεευθύγραμμοτμήμαs απεικονίζειτο μέσον του στο μέσο της συσχετισμένης εικόνας Φ(s). Συσχετισμένοςμετασχηματισμόςμεμορφήπίνακα: Φ(p) = Α p + t (A πίνακας, 3x3 γιατο Ε 3 ) Απόδειξη: Φ(Σαjpj) = Α(Σα j p j ) + t = ΣAα j p j + Σα j t = Σα j (A p j + t) = Σα j Φ(p)

52 2D Μετασχηματισμοί Μετατόπιση: x =x+a, y =y+b

53 Μετασχηματισμοί Αλλαγήκλίμακας (διαφορετικήανάάξονα): x =x*a, y =y*b

54 Μετασχηματισμοί Στροφήκατάγωνίαθ (+veαντίθετααπόδείκτεςρολογιού)

55 Μετασχηματισμοί Στρέβλωσηκατάάξονα x καιyμεπαράγοντα2: x =x+2y, y =y+2x

56 Μετασχηματισμοί Οποιοσδήποτεάλλοςμετασχηματισμός, δημιουργείταισανσυνδυασμόςτωντεσσάρων βασικώνμετασχηματισμών: Μμετατόπιση, R στροφή, H στρέβλωση, S αλλαγήκλίμακος.

57 Μετασχηματισμοί: άσκηση Στρέβλωση(shearing), Ναβρεθούνοισχέσεις μετασχηματισμούκατάx καιy με z σταθερό: Απάντηση SH(p) = H x,y p, όπου:

58 Ομογενείςσυντεταγμένες Προβλήματα: Μεταφοράδενυλοποιείταιμεπολλαπλασιασμό πινάκων. ΎπαρξησταθερούσημείουΟ, σταθερούγιαόλους τουςμετασχηματισμούς. Ομογενείςσυντεταγμένες: (x,y) (x,y,w) με w 0. (x,y,w) παριστάνειτο(x/w,y/w) Άπειρεςτριάδεςγιακάθεσημείο. Βασικήπαράσταση: (x,y,1)

59 Ομογενείςσυντεταγμένες

60 ΟμογενείςΣυντεταγμένες Συσχετισμένοιμετασχηματισμοί: πίνακες3x3 Μεταφορά:

61 ΟμογενείςΣυντεταγμένες Αλλαγήκλίμακας (ανsi< 1 σμίκρυνση)

62 Στροφή Ομογενείςσυντεταγμένες

63 Ομογενείςσυντεταγμένες Στρέβλωση (κατάάξονεςx καιy):

64 Σύνθεσημετασχηματισμών Σύνθεσημετασχηματισμών: π.χ. Αλλαγήκλίμακας, ωςπροςc=(cx,cy,1) μεταφοράκατά c= -(O -C) αλλαγήκλίμακας μεταφοράκατάc Γενικάδενισχύειηαντιμετάθεση. Πρώτοςεκτελείται οτελεστήςπουγράφεταιτελευταίος. Σύνθεση: Εκτέλεσησειράςμετασχηματισμώναπόένα τελικόπίνακα. Αυξάνειτηναπόδοση(μειώνειτηνπολυπλοκότητα)

65 Σύνθεσημετασχηματισμών Ιδιότητες: T(x 1,y 1 ) T(x 2,y 2 ) = T(x 2,y 2 ) T(x 1,y 1 ) = T(x1 +x2,y 1 +y 2 ) S(s x1,s y1 ) S(s x2,s y2 )= S(s x2,s y2 ) S(s x1,s y1 ) = S(s x1 s x2,s y1 s y2 ) R(θ 1 ) R(θ 2 ) = R(θ 2 ) R(θ 1 ) = R(θ 1 + θ 2 ) S(s x,s y ) R(θ) = R(θ) S(s x,s y ) μόνοανs x = s y

66 ΓεωμετρικέςΙδιότητες Γιακάθεσυσχετισμένομετασχηματισμό F και σημεία pκαι q ισχύει: F(λp+(1-λ)q) = λf(p)+ (1-λ) F(q) για 0 λ 1 λp+(1-λ)q είναι το ευθύγραμμο τμήμα μεταξύp και q. ΗF παράγειπάλιευθύγραμμοτμήμα. Η σχέσηλ/(1-λ) παραμένειαναλλοίωτηαπό F. Εξακολουθείνααρκείαπεικόνισηάκρωνμόνο. Παράλληλεςευθείεςπαραμένουνπαράλληλες. π.χ. οιμετασχηματισμοίπουείδαμενωρίτερα.

67 Γεωμετρικέςιδιότητες Ορθογώνιοςμετασχηματισμός: ΜετασχηματισμόςΑλέγεταιορθογώνιοςαν α 1 = α 2 = 1 α 1 α 2 = 0 ΟρίζουσατουΑ= 1

68 Γεωμετρικέςιδιότητες ΟΜείναιμετασχηματισμόςομοιότηταςανοΑείναι ορθογώνιος. Έναςμετασχηματισμόςομοιότηταςδιατηρείαναλλοίωταμήκη καιγωνίες. ΟποιαδήποτεσύνθεσηΤ& R είναιμετασχηματισμός ομοιότητας. ΑνστησύνθεσηέχουμεS και Η, έχουμεσυσχετισμένο μετασχηματισμόαλλάόχιομοιότητας(διατηρείταιπαραλληλία αλλάόχιμήκηκαιγωνίες).

69 Άσκηση Ζητείταιναυπολογιστείοπίνακας μετασχηματισμούτηςσυμμετρικήςαπεικόνισης εικόναςως προς τονάξονα w ο οποίος σχηματίζειγωνίαθμετονθετικόάξονατωνχ Βοήθεια: Ομετασχηματισμόςμπορείνα προκύψειαπό: στροφήτηςεικόναςκατά θ ΣυμμετρίαωςπροςτονάξοναΧ Στροφήτηςεικόναςκατάθ

70 Φροντιστηριακήάσκηση #4 1. Ναμελετήσετεκαιναπεριγράψετετην τρέχουσατεχνολογίακαρτώνγραφικών 2. ΔίδεταισημείοΑ(χ=3,ψ=2). Ζητείταινα βρεθείτοσημείοα πουπροκύπτειαπότην περιστροφήτουσημείουαωςπροςσημείοβ ο μεσυντεταγμένεςβ(χ=1, ψ=1)κατάγωνία θ=30

71 2-ΔΜετασχηματισμόςΠαρατήρησης

72 2-ΔΜετασχηματισμόςΠαρατήρησης

73 2-ΔΜετασχηματισμόςΠαρατήρησης

74 Αποκοπή / clipping Αποκοπήαντικειμένου(π.χ. πολυγώνου, πυραμίδας, κύβου) ω.π. σημείοαποκοπής: Αποφυγήαντεστραμμένηςεμφάνισηςαντικειμένων (π.χ. 3-Δ, όπισθενπαρατηρητή). Μείωσητουόγκουδεδομένων(φίλτρο).

75 Αποκοπή 2-Δ: στηναντιταύτιση, απόκρυψη, παράλληλη επεξεργασία, 2Δπακέτα. 3-Δ: γραφικήσωλήνωση(γενίκευση2-δαποκοπής) 2-Δαποκοπήσημείου: εντόςεάνx min x x max και y min y y max.

76 Αποκοπή Ευθύγραμματμήματα: Αλγόριθμοςμέσου. Διαδοχικήδιάσπασηευθυγράμμουτμήματοςστημέση (ολίσθηση). Χρήση «φθηνών» ελέγχωνεντός/ εκτός. Κωδικοποίηση 9 περιοχών τουεπιπέδου Τέλοςεάνp 1 p 2 < pixel.

77 Αλγόριθμος Μέσου typedefstruct {float x, y} point; midpoint (P1, P2, xmin, xmax, ymin, ymax) point P1, P2; float xmin, xmax, ymin, ymax; { point M; /* ΥπολογισμόςΙΧ1, ΙΥ 1, ΙΧ2, ΙΥ 2 */ if (( IX1== 0)&&( IY1== 0)&&( IX2== 0)&&( IY2== 0)) /* ΤοP1P2 είναιεντόςπαραθύρου */ else if (( IX1== IX2)&&( IX1!= 0)) (( IY1== IY2)&&(IY1!= 0)) /* ToP1P2 είναιεκτόςπαραθύρου */ else { M. x=( P1. x+ P2.x)/ 2; M. y=( P1. y+ P2.y)/ 2; midpoint (P1,M, xmin, xmax, ymin, ymax); midpoint (M, P2, xmin, xmax, ymin, ymax); } }

78 Αποκοπήευθυγράμμωντμημάτων Αλγόριθμος Cohen-Sutherland: Αρχικά «φθηνός» έλεγχος γιατιςαπλέςπεριπτώσεις. π.χ. AB έξω, CD μέσα. Γιαάλλαευθύγραμμα τμήματα, κόψιμομε ευθείαπαραθύρουκαι αναδρομή.

79 Αλγόριθμος Cohen-Sutherland Αντιστοίχησηκωδικών σε9 περιοχέςτου επιπέδου. Κώδικεςπροκύπτουναπόταπρόσημαδιαφορών (π.χ. 1 ο bit y max y). Πρώτο bit1, περιοχήπάνωαπότηνευθείαy = y max Δεύτερο bit1, περιοχήκάτωαπότηνευθείαy = y min Τρίτο bit1, περιοχήδεξιάαπότηνευθείαx = x max Τέταρτο bit1, περιοχή αριστερά απότηνευθείαx = x min

80 Αλγόριθμος Cohen-Sutherland Υπολόγισεκώδικεςc 1, c 2 γιαp 1 p 2. Ανc 1 c 2 = 0000, p 1 p 2 είναιεντός(π.χ. CD). Ανc 1 c 2 = 0000, p 1 p 2 είναιεκτός(π.χ. ΑΒ). Διαφορετικά: Εύρεσηευθείαςτουπαραθύρου πουαντιστοιχείσε bit μεδιαφορετικέςτιμές. τομήp 1 p 2 μεευθεία. Αναδρομικήκλήσηγιατοένααπότατμήματαως προςτηνευθείατμήμα(εκείνομε bit=0)

81 Αλγόριθμος Cohen-Sutherland void CS (P1,P2, xmin, xmax, ymin, ymax) point P1, P2; float xmin, xmax, ymin, ymax; { intc1, c2; point I; c1= code( P1); /* ΕύρεσηκώδικαP1*/ c2= code( P2); /* ΕύρεσηκώδικαP2*/ if(( c1 c2)== 0) /* ΤοP1P2 είναιεντόςπαραθύρου */ elseif(( c1& c2)!= 0) /* ΤοP1P2 είναιεκτόςπαραθύρου */ else { intersect (P1,P2,I,xmin,xmax,ymin,ymax); if exoteriko(p1) CS( I,P2,xmin,xmax,ymin,ymax); else CS( P1, I, xmin, xmax, ymin, ymax); } }

82 Αλγόριθμος Sutherland-Hodgman 2-Δ αποκοπήςπολυγώνων Κατάλληλοςγιααποκοπήτυχαίουπολυγώνουμε κυρτόπολύγωνο(παράθυρο) αποκοπής. m βήματα για m πλευρές παραθύρου αποκοπής. είσοδοςστοβήμαi (i = 1 m) μετάαπόαποκοπήμε πλευράi-1.

83 Αλγόριθμος Sutherland-Hodgman2-Δ αποκοπήςπολυγώνων πολύγωνοορίζεταιαπότιςκορυφέςτουp 1, p 2 p n μεθετικήμαθηματικήφορά. Βήμαi εξετάζεισχέσηπλευράςsp μεακμή παραθύρουi.

84 Αλγόριθμος Sutherland-Hodgman2-Δ ΑποκοπήςΠολυγώνων ΠαράδειγμαβήματοςSutherland-Hodgman:

85 Αποκοπήσε 3-Δ Αντικείμενοαποκοπής: Περιορισμένηπυραμίδα(προοπτική) Κύβος(παράλληλη) 6 επίπεδααποκοπήςγιαυτάτααντικείμενα.

86 Cohen Sutherland 3-Δ 6 bit κωδικοίγιακάθεάκροp(x, y, z) Έστωκύβοςαποκοπής: πρώτο bit = 1, z p > z max, σημείοπίσωαπόκύβο. δεύτερο bit = 1, z p < z min, σημείοεμπρόςαπόκύβο τρίτο bit = 1, y p > y max, σημείοπάνωαπόκύβο τέταρτο bit = 1, y p < y min, σημείοκάτωαπόκύβο πέμπτο bit = 1, x p > x max, σημείοδεξιάαπόκύβο έκτο bit = 1, x p < x min, σημείοαριστεράαπόκύβο

87 Αλγόριθμος Cohen Sutherland 3-Δ ΑνC 1 C 2 = , p 1 p 2 εντός. ΑνC 1 C , p 1 p 2 εκτός. Διαφορετικά: Εύρεσηεπιφάνειαςκύβουπουαντιστοιχείσε bit μεδιαφορετικέςτιμές. τομήp 1 p 2 μεεπιφάνεια Αναδρομικήκλήσηγιατοεσωτερικότμήμαως προςεπιφάνεια..

88 Αλγόριθμος Cohen Sutherland 3-Δ Τομή ευθυγράμμου τμήματοςp1p2 με επίπεδο βάσει τηςπαραμετρικήςεξίσωσης: x(t) = x1 + t(x2 x1) = x1 + t Δx y(t) = y1 + t(y2 y1) = y1 + t Δy z(t) = z1 + t(z2 z1) = z1 + t Δz π.χ. τομήμεy = Υ Y = y(t) = y 1 + t Δt t = (Y y 1 ) / Δy Αν t [0,1], υπάρχεισημείο τομής με συντεταγμένες: (x 1 + t Δx, Y, z 1 + t Δz) = (x 1 + (Y y 1 ) Δx/Δy, Y, z 1 + (Y y 1 )Δz/Δy)

89 Αλγόριθμος Sutherland-Hodgman3-Δ 6 στάδιααποκοπήςγιατα 6 επίπεδα έλεγχοςανp(x,y,z) εσωτερικόεπιπέδου (a,b,c,d) απότοπρόσημο f(x,y,z) = ax + by + cz+ d Υπολογισμόςτομήςευθυγράμμουτμήματος μεεπίπεδο: π.χ. όπωςστηπερίπτωσηcohen- Sutherland

90 Μετασχηματισμοί 3-Δ Ομογενείςσυντεταγμένεςσημείων Ε 3 : (x,y,z,w) Βασικήπαράσταση: (x,y,z,1) Δεξιόστροφα(εδώ) ήαριστερόστροφα συστήματα.

91 Μετασχηματισμοί 3-Δ

92 Μετασχηματισμοί 3-Δ Στροφή: Ανάγκηκαθορισμούθετικής / αρνητικήςφοράς Ορθογώνιοιμετασχηματισμοί

93 Μετασχηματισμοί 3-Δ

94 Φροντιστηριακήάσκηση Φ5 Μετασχηματισμοί 3 διαστάσεων Σελ119 (Θεοχάρης) άσκησηα.3.9 Περιστροφήπυραμίδαςωςπροςάξονα

95 ΜΑΘΗΜΑ #9 Προβολές Απαραίτητεςαφού3Δαντικείμενα απεικονίζονταισε2δσυσκευές.

96 Προβολές Προοπτική: πεπερασμένηαπόστασηκέντρου προβολήςαπόεπίπεδοπροβολής. Παράλληλη: άπειρηαπόστασηκέντρου προβολήςαπόεπίπεδοπροβολής. Ιδιότητεςπροβολών: Ευθείεςπροβάλλονταισεευθείες. Αποστάσειςαλλάζουν(γενικά). 3Δπαράλληλεςευθείες, μηπαράλληλεςμεεπίπεδο προβολής, δενπροβάλλονταισεπαράλληλεςευθείες. Γωνίαμεταξύευθειώναλλάζει, εκτόςανεπίπεδο γωνίαςπαράλληλομεεπίπεδοπροβολής.

97 ΠροοπτικήΠροβολή Έστωπροβολήστοεπίπεδο ΧΥμεκέντρο προβολής

98 ΠροοπτικήΠροβολή Δενείναιγραμμικόςμετασχηματισμός (διαίρεσημε z). Δενμπορείναδοθείμεμορφήπίνακα. Ωστόσομπορούμεναχρησιμοποιήσουμεμεταβολήτου w. Ακολουθείδιαίρεσημε w (αφούπρέπειw=1)

99 ΠροοπτικήΠροβολή Χαρακτηριστικό: κεντρικήσμίκρυνση (όπωςτοανθρώπινομάτι).

100 ΠαράλληληΠροβολή Κέντροπροβολήςστοάπειρο, δίνεταικατεύθυνση προβολής. Διατηρείαποστάσεις, χρήσιμοστοιχείο π.χ. στηναρχιτεκτονική. Ορθογώνιαπαράλληληπροβολή: πάνωσεένααπό ταβασικάεπίπεδαμεκάθετεςακτίνεςπροβολής. Πίνακαςμετασχηματισμού γιαορθογώνια π.χ. στο ΧΥ

101 ΠαράλληληΠροβολή Παράλληλεςπροβολέςδιακρίνονταισε: Ορθογραφικές: ακτίνεςπροβολής κάθετεςστοεπίπεδοπροβολής. Πλάγιες: ακτίνεςόχικάθετες. Ορθογραφικέςδιακρίνονταισε: Ορθογώνιες: ακτίνεςπροβολήςπαράλληλεςμε Χ, ΥήΖ. Αξονομετρικές: μηορθογώνιες. Ισομετρικές: ακτίνεςπροβολήςπαράλληλεςμεκύρια διαγώνιοχώρου.

102 Παράδειγμα -άσκηση ΠροβολήμοναδιαίουκύβουστοεπίπεδοΧΥ για προοπτικήπροβολή μεd=1 καιd=10 (μοναδιαίοςκύβοςέχειμιακορυφήστο 0,0,0 καιμίακορυφήστο(1,1,1), περιγράφεταιαπό 8 σημεία, μήτρα 8*4 )

103 ΜετασχηματισμόςΠαρατήρησης ΠαγκόσμιοΣύστημαΣυντεταγμένωνΣύστημα ΣυντεταγμένωνΠαρατηρητή. Σύνθεσηβασικώνμετασχηματισμών. Καθορίζειόριααποκοπής& παραμέτρουςπροβολής ΘαεξετάσουμεΜΠΙ

104 ΜετασχηματισμόςΠαρατήρησηςΙ ΜΠΙχρησιμοποιείπροοπτικήπροβολήκαικαθορίζεταιαπό: α. ΣημείοπαρατήρησηςΟ β. 2 ανύσματαγια Υ Π καιζ Π (αριστερόστροφο). Από Παγκόσμιο Σύστημα Συντεταγμένων(ΠΣΣ) σεσύστημα συντεταγμένων παρατηρητή(σσπ) : 1. ΜεταφοράστηναρχήΠΣΣ. 2. Στροφέςγύρωαπό Χ, ΥκαιΖτουΠΣΣώστεναταυτισθούν με αντίστοιχουςσσπ. 3. Αποκοπή. 4. ΠροοπτικήΠροβολή. Χρησιμοποιούνται 3 ακόμα παράμετροι για καθορισμό ορίωναποκοπής: γ. Μέγεθοςπαραθύρουπροβολής 2h. δ. Απόσταση d έμπροσθενεπιπέδουαποκοπήςαπό (κάθετοστονζ Π ). ε. Απόσταση f όπισθενεπιπέδουαποκοπήςαπό (κάθετοστονζ Π ).

105 ΜετασχηματισμόςΠαρατήρησηςΙ

106 ΜετασχηματισμόςΠαρατήρησηςΙ ΧαρακτηριστικάΜΠΙ: Επίπεδοπροβολήςταυτόσημομεέμπροσθενεπίπεδο αποκοπής z Π =d. Κέντροπροβολήςταυτόσημομεσημείοπαρατήρησης. Προοπτικήπροβολή. Τετράγωνοπαράθυρο, συμμετρικόωςπρος Ζ Π. Πληροφορίαz διατηρείταικατάτηνπροβολή για2 λόγους: 3Δαποκοπήευκολότερησανενδιάμεσοστάδιοτης προβολής. Απόκρυψηαπαιτεί z πληροφορία. (Z-Buffer)

107 Προβολήστον ΜΠΙ Θα χρειαστούμε PΜΠ1 από ΣΣΠ σε ΣΣ Οθόνης(ΣΣΟ):

108 Προβολήστον ΜΠΙ Οπαραπάνωμετασχηματισμόςμπορείναχωρισθείσε: Γραμμικόμέρος(πίνακας). Διαίρεσημεομογενήσυντεταγμένη(= z Π )

109 Προβολήστον ΜΠΙ

110 Προβολήστον ΜΠΙ

111 Φροντιστηριακήάσκηση Φ6 (παραδοτέα-τελευταία) Ναβρεθείημήτραμετασχηματισμούενός σημείου(x,y,z) απόσύστημασυντεταγμένων φυσικούσυστήματοςσεένασύστημασ εταγμένωνπαρατήρησης(σσπ) με χαρακτηριστικά: οάξονας Ζ τουσσπναδείχνεικατευθείανστηναρχήτου φυσικούσυστήματοςκαιοάξοναςχναείναι παράλληλοςστοεπίπεδοχυτουφυσικούσυστήματοςοι δεάξονεςχ,υ τουσσπναείναιπαράλληλοιστουςάξονες τηςοθόνηςπουαποτελείτοεπίπεδοπροβολής

112 Άσκηση (συνέχεια) Χρησιμοποιείστετοσχήμαγιατιςεξισώσεις μετασχηματισμού x= ρ*sinφ* cosθ y= ρ*sinφ* sinθ z = ρ* cosφ

113 Άσκηση (συνέχεια) Στησυνέχειαχρησιμοποιήσατετημήτραμετασχηματισμού καθώςκαιτιςεξισώσειςτηςπροοπτικήςπροβολήςγιανα λύσετετοεξήςπρόβλημα: Ανυποθέσουμεκύβοτουοποίου τοκέντροβρίσκεταιστηναρχήτουφυσικούσυστήματος συντεταγμένων με ακμή 1 εκ, έστω ότι παρατηρούμε τον κύβοαπό σημείο 6,10,8 μετονάξοναπαρατήρησης z να δείχνειπροςτηναρχήτουφυσικούσυστήματος συντεταγμένων. Υποθέτουμεότιοάξοναςτωνχβρίσκεται στοεπίπεδο z=8. Επίσηςυποθέστεότιβλέπουμετο αντικείμενο από απόσταση 0,6 μ. Καιότι ηοθόνη(πεδίο προβολής) είναιδιαστάσεων 0,3*0,3 μ. Μεσυντεταγμένες 1024*1024. Ναβρεθείκαιναυπολογιστείηπροοπτική προβολήτουκύβουστοεπίπεδοτηςοθόνης

114 Αποκοπήστο ΜΠΙ Τιμήορίζεικαιταόριααποκοπής: w x w w y w 0 z w Αποκοπήγίνεταιμετάτηνεφαρμογή P ΜΠΙ αλλάπριντηδιαίρεσημετο w

115 #10 ΠρόβλημαΑπόκρυψης Ποιοείναιτοεμφανέςαντικείμενο(χρώμα) σεκάθε σημείοτουεπιπέδουπροβολής; Χωρίζονταισεαλγόριθμουςαπόκρυψηςακμώνκαι επιφανειών. Χρησιμοποιούνάμεσαήέμμεσαταξινόμησηστις διαστάσεις X Y καιz.

116 ΑλγόριθμοιΑπόκρυψης Χωρίζονταισε αλγόριθμουςχώρουαντικειμένων και αλγόριθμουςχώρουεικόνας. ΑλγόριθμοιχώρουαντικειμένωνείναιO(Π 2 ) ενώαλγόριθμοιχώρουεικόναςείναιο(π-ρ) όπου Ποαριθμόςτωνπολυγώνων και P οαριθμόςτωνpixels.

117 Αλγόριθμοιχώρουαντικειμένων Αλγόριθμοιχώρουαντικειμένωνσυγκρίνουν αντικείμεναμεταξύτουςγιαναβρουντοπλησιέστερο σεκάθεσημείοτουεπιπέδουπροβολής: Γιακάθεαντικείμενοπ { Εύρεσητωνορατώντμημάτωντουπμέσωσύγκρισης (Χ,Υ,Ζ) μεόλαταάλλααντικείμενα; Χρωματισμόςτωνορατώντμημάτωντουπστηνοθόνη }

118 Αλγόριθμοιχώρουεικόνας Αλγόριθμοιχώρουεικόναςέχουντηνεξήςμορφή: Γιακάθεpixelρτηςεικόνας { Εύρεσητουπλησιέστερουαντικειμένουπουτέμνεται απότηνακτίναπροβολήςπουπερνάαπότορ; Χρωματισμόςτουρμετοχρώματουπλησιέστερου αντικειμένουστοσημείοτομής }

119 ΑλγόριθμοιΑπόκρυψης Υπολογιστικήακρίβεια. Αλγόριθμοιχώρουεικόνας: ακρίβειαπουαπαιτείηανάλυσητης εικόνας. Αλγόριθμοιχώρουαντικειμένων: ακρίβειαορισμούαντικειμένων (=ακρίβειαυπολογιστή). Θέσηστηγραφικήσωλήνωσηεξόδου. Αλγόριθμοιχώρουαντικειμένων: μετάτηνπροβολή (διακεκομμένηγραμμή). Αλγόριθμοιχώρουεικόνας: ενσωματώνονταιστηδιαδικασία παράστασηςστηνοθόνη. Διαγραφήπίσωεπιφανειών.

120 ΑλγόριθμοιΑπόκρυψης Τεχνικέςβελτίωσηςαποτελεσματικότητας αλγορίθμωναπόκρυψης. Εκμετάλλευσηπροοπτικούμετασχηματισμού. Εκμετάλλευσησυνάφειας. Περιβάλλοντεςόγκοι. Διαμερισμόςχώρου.

121 Προοπτικός Μετασχηματισμός ΖήτημααπόκρυψηςμεταξύδύοσημείωνΣ 1 (x 1,y 1,z 1 ) καισ 2 (x 2,y 2,z 2 ) υπάρχει μόνοανταδύοσημείαβρίσκονταιπάνωστηνίδιαακτίναπροβολής. Συνθήκηαπόκρυψηςστηνπαράλληληπροβολή: (x 1 =x 2 ) και(y 1 =y 2 ) Συνθήκηαπόκρυψηςστηνπροοπτικήπροβολή:(x 1 /z 1 =x 2 /z 2 ), (y 1 /z 1 =y 2 /z 2 ) Απαιτεί(ακριβή) διαίρεσημε z. Η διαίρεσηαυτήγίνεταικατάτηνπροοπτικήπροβολή. Η προοπτικήπροβολήμετατρέπειτιςακτίνεςπροβολήςσεπαράλληλες. Φυλάμε z συντεταγμένηγιασύγκρισηβάθους.

122 Συνάφεια Συνάφεια: ιδιότηταγεωμετρικώνοντοτήτωννα διατηρούντοπικάσταθερέςτιςτιμέςτων χαρακτηριστικώντουςήνατιςμεταβάλλουν ομαλά. π.χ. αυξητικόςυπολογσμός z σημείωνπολυγώνου. Είδησυνάφειας: Συνάφειαακμής. Συνάφειαεπιφάνειας. Συνάφειαγραμμώνσάρωσης. Συνάφειακαρέ.

123 Περιβάλλοντες Όγκοι Απλούστεροιόγκοιαπότααντικείμεναπου περιβάλλουνγιαμείωσηκόστουςσυγκρίσεωνκατά τηνταξινόμηση στις διαστάσεις Χ, ΥκαιΖ. Συχνάέχουντημορφήορθογώνιουπαραλληλογράμμου (2Δ) ήορθογώνιουπαραλληλεπιπέδου(3δ). Οχιαπαραίτητακλειστοί. Ανοιπεριβάλλοντεςόγκοιδύοαντικειμένωνδεν τέμνονταιτότεούτετααντικείμενατέμνονται. Τοαντίθετοδενισχύειπάντα.

124 ΔιαμερισμόςΧώρου Διαμερισμόςχώρουσεσύνολο διατεταγμένωνμερών (π.χ. voxels). Ταμέρητουχώρουπουκαταλαμβάνειένα αντικείμενοορίζουνέμμεσατηδιάταξήτου σεσχέσημεάλλααντικείμενα.

125 ΔιαγραφήΠίσωΕπιφανειών Ανηγωνίαμεταξύκαιείναιτότεηεπιφάνειαείναι Μιαεπιφάνειαείναιορατήαν Μειώνειόγκοδεδομένωνκατά ~50%. Λύνειπρόβλημααπόκρυψηςγιαένακυρτό αντικείμενο.πίσω(αόρατη).

126 ΔιαγραφήΠίσωΕπιφανειών ΛειτουργείστοχώροαντικειμένωνκαιείναιΟ(Π). V μπορείναυπολογισθείαπόμίακορυφήp της επιφάνειας. ΑνοπαρατηρητήςβρίσκεταιστοκέντροτουΣΣΠτότεV=-P N μπορεί να υπολογισθεί από 3 διαδοχικές, μη συγγραμμικέςκορυφέςp 1, P 2, P 3 και ΠΡΟΣΟΧΗ: Χρήσησειράςκορυφών

127 ΑλγόριθμοιΑπόκρυψηςΕπιφανειών Ακολούθησαντηνεμφάνισητηςπλεγματικής οθόνης. 4 Βασικέςκατηγορίες. z-buffer (πιοδιαδεδομένος). scanline. ταξινόμησηκατάβάθος. υποδιαίρεσηεπιφάνειας.

128 ΑλγόριθμοιΑπόκρυψηςΕπιφανειών Βασικήπράξη: σύγκρισηβάθους 2 στοιχείων μείδιο ΧΥ. Η προοπτικήπροβολή διευκολύνει. Μετατρέπειακτίνεςπροβολής ώστεναείναιπαράλληλεςτου Z. Ίσεςαποστάσειςστον Ζ π δεν μετασχηματίζονταισείσες αποστάσειςστονζ ο. Ζ ο μεταβάλλεταιταχύτερακαθώς πλησιάζειτημέγιστητιμήτου(1).

129 Αλγόριθμος z-buffer Απαιτεί ύπαρξη μνήμης βάθους (z-buffer) για κάθεpixel. Οιτιμέςβάθουςβρίσκονται(γιαταπερισσότερα σχήματα) μεπαρεμβολή. Έμμεσηταξινόμηση. Γιακάθεpixelοz-bufferφυλάειτηνελάχιστη(ως τώρα) τιμήβάθουςστοpixelαυτό. Αρχικοποίηση στο μέγιστο z (πίσωεπίπεδο αποκοπής).

130 Αλγόριθμος z-buffer /* Αρχικοποίηση: m,nοιδιαστάσειςτηςοθόνης */ for (x=0; x<m; x++) { } for (y=0; y<n; y++) { } z_buffer[x,y]=f; /*μέγιστοβάθος*/ frame_buffer[x,y]=background; /*φόντο*/ /*Επεξεργασίαπολυγώνων*/ for (π=0; π<number_of_polygons(); π++) { /*Επεξεργασίαscanlinesπολυγώνουymin ymax*/ for(y=ymin; y<=ymax; y++) { /*Βρεςμεγραμμικήπαρεμβολήμεταξύτωναντίστοιχωνκορυφών, τιςτιμέςτομήςμε scanliney :xleft,xrightτις τιμές βάθους στις τομές:zleft,zrightτις τιμές χρωματισμού στιςτομές:cleft,cright*/ for (x=xleft; x<=xright; x++) { /*Βρεςμεγραμμικήπαρεμβολήμεταξύxleftκαιxrightτηντιμήβάθους z καιχρώματος c σεκάθεpixelx,y*/ if (z<z_buffer[x,y]) { z_buffer[x,y]=z; frame_buffer[x,y]=c;

131 Αλγόριθμος z-buffer Τομέςπλευρώνπολυγώνουμεscanlines βρίσκονταιμελίσταενεργώνπλευρών. Γραμμικήπαρεμβολή z.

132 Αλγόριθμος z-buffer Ο(Π,S), όπου ΠοαριθμόςπολυγώνωνκαιS o μέσοςαριθμόςpixelανάπολύγωνο. Γιατυπικέςσκηνές (σταθερό). Πλεονεκτήματα z-buffer: Ευκολίαυλοποίησηςσε H/W ήs/w. Επεξεργασίαπολυγώνωνμετυχαίασειρά. Δυνατότηταχρήσηςγιαμηπολυγωνικάαντικείμενα (μεσυνάρτησηβάθους). Ανάγκησεμνήμη: Έναςκαλός z-buffer απαιτεί32 bits/pixel. Γιαανάλυση1024x1024 αυτόσυνεπάγεται4mbytes.

133 ΕιδικέςΕφαρμογές z-buffer Συνδυασμόςεικόνων Έστω οι frame και z-buffer εικόνων A και Β. ΑκαιΒμπορείναδημιουργήθηκανχωριστά. Συνδυασμός: for (x=0; x<m; x++) for (y=0; y<n; y++) {Z C [x,y]=(z A [x,y]<z B [x,y])?z A [x,y]:z B [x,y]; F C [x,y]=(z A [x,y]<z B [x,y])?f A [x,y]:f B [x,y];} Τοποθέτηση3Δαντικειμένων σεσκηνήμεχρήση z-buffer. 3Δcursor. Δενμεταβάλλουμεπεριεχόμενα z-buffer.

134 ΑλγόριθμοιΛίσταςΠροτεραιότητας (αλγόριθμοι ζωγράφου) Ταξινόμησηπολυγώνωνκατάβάθοςκαιεμφάνιση μεσωστήσειρά: Οχιπάνταδυνατή(επικάλυψη z-έκτασης, τεμνόμενα πολύγωνα). Διαμερισμόςπολυγώνων. Μεγάληπολυπλοκότητα. Χώροςαντικειμένων, αναποτέλεσμαθεωρηθείη ταξινομημένηλίστα. 1. Αλγόριθμοςταξινόμησηςκατάβάθος(Newell 1972). 2. ΑλγόριθμοςBSP δένδρου(fuchs 1983).

135 ΑλγόριθμοςΤαξινόμησηςκατά Βάθος Ταξινόμησηκατάφθίνουσααπόστασηαπό κέντροπροβολής. Σύγκριση P προq δενείναιπάνταεύκολη. Χρήσηπεριβάλλοντοςπαραλληλεπιπέδου [x min (P), y min (P), z min (P)],[x max (P), y max (P), z max (P)].

136 ΑλγόριθμοιΥποδιαίρεσηςΕπιφάνειας Αναδρομικήδιαίρεσηεπιπέδουπροβολής: Αν1 πολύγωνοκαλύπτειτμήμαπλήρως, τότεαυτόπαίρνειτοχρώματουπολυγώνου. Αναδρομήσταματάεπίσηςστομέγεθοςτουpixel. Εκμετάλλευσησυνάφειαςεπιφάνειας(μεγάλαπολύγωνα, σταθερούχρώματος). Αλγόριθμος Warnock: Αναδρομήσταματά αναπόένα τμήμα περνά τοπολύ1 ακμή πολυγώνου. ΣυγκρίσειςπροβολήςπολυγώνουP μεπεριοχήοθόνηςβ. Χρήσηπεριβάλλοντωνορθογωνίων: 4 περιπτώσειςσχέσης P καιb: (D: Disjoint) P εξωτερικότηςβ. (C: Contained) P εσωτερικότηςβ. (S: Surrounding) P καλύπτονπλήρωςτηνβ. (I: Intersecting) P τέμνοντηνβ. Π.χ.σχέση D εξασφαλίζεται εάνισχύει:

137 ΑλγόριθμοιΥποδιαίρεσηςΕπιφάνειας Αναδρομικές διαιρέσεις Warnock: Μείωσηυποδιαιρέσεων μεβάσηκορυφέςπολυγώνων (Weiler-Atherton):

138 Σύγκριση ΜεθόδωνΑπόκρυψης

139 ΑπόκρυψηκαιΠαρακολούθηση Ακτίνας (Ray Tracing) Αλγόριθμοςπαρακολούθησηςακτίνας(Whitted): Ακτίνεςπουορίζονταιαπόσημείοπαρατήρησηςκαι κάθεpixelακολουθούνταιώσπουνασυναντήσουν αντικείμενο. Εκείδιασπώνταιανάλογαμεμοντέλο. Ουσιαστικάλύνειπρόβλημααπόκρυψης.

#9 Γραφική Υπολογιστή

#9 Γραφική Υπολογιστή #9 Γραφική Υπολογιστή 1. Βασικοί γραφικοί αλγόριθµοι, 2. Αρχές γραφικών πλεγµατικών οθονών raster 3. Μετασχηµατισµοί 2 και 3 διαστάσεων και συστήµατα συντεταγµένων, 4. Προβολές και µετασχηµατισµοί παρατήρησης,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Αποκοπή ευθείας σε 2Δ Αποκοπή πολυγώνου σε 2Δ Αποκοπή σε 3Δ. 3ο Μάθημα Αποκοπή. Γραφικα. Ευάγγελος Σπύρου

Εισαγωγή Αποκοπή ευθείας σε 2Δ Αποκοπή πολυγώνου σε 2Δ Αποκοπή σε 3Δ. 3ο Μάθημα Αποκοπή. Γραφικα. Ευάγγελος Σπύρου Εισαγωγή Αποκοπή ευθείας σε 2Δ Αποκοπή πολυγώνου σε 2Δ Αποκοπή σε 3Δ Γραφικα Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Ακ Έτος 2016-17 Εισαγωγή Αποκοπή ευθείας σε 2Δ Αποκοπή πολυγώνου σε 2Δ Αποκοπή σε

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα Απόκρυψης. Ποιο είναι το εµφανές αντικείµενο (χρώµα) σε κάθε σηµείο του επιπέδου προβολής;

Πρόβληµα Απόκρυψης. Ποιο είναι το εµφανές αντικείµενο (χρώµα) σε κάθε σηµείο του επιπέδου προβολής; Πρόβληµα Απόκρυψης Ποιο είναι το εµφανές αντικείµενο (χρώµα) σε κάθε σηµείο του επιπέδου προβολής; Σ Εµφανές αντικείµενο στο σηµείο Σ Επίπεδο προβολής Χωρίζονται σε αλγόριθµους απόκρυψης ακµών και επιφανειών.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς

Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο Γραφικά με υπολογιστές Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmylonas@ionio.gr Διάλεξη #08 Αποκοπή (εισαγωγή) Σημειακή Αποκοπή Αποκοπή Ευθύγραμμων Τμημάτων (line

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά με υπολογιστές

Γραφικά με υπολογιστές Γραφικά με Υπολογιστές Ενότητα # 3: Εισαγωγή Φοίβος Μυλωνάς Τμήμα Πληροφορικής Φοίβος Μυλωνάς Γραφικά με υπολογιστές 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Παράστασης Βασικών Σχηµάτων

Αλγόριθµοι Παράστασης Βασικών Σχηµάτων Αλγόριθµοι Παράστασης Βασικών Σχηµάτων Προσέγγιση µαθηµατικών σχηµάτων από διακριτά pixels: Ευθύγραµµο τµήµα, κύκλος, κωνικές τοµές, πολύγωνο. S/W ή H/W. Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά με Η/Υ / Εισαγωγή

Γραφικά με Η/Υ / Εισαγωγή Γραφικά με Η/Υ Εισαγωγή Πληροφορίες μαθήματος (1/4) Υπεύθυνος μαθήματος: Μανιτσάρης Αθανάσιος, Καθηγητής ιδάσκοντες: Μανιτσάρης Αθανάσιος: email: manits@uom.gr Μαυρίδης Ιωάννης: email: mavridis@uom.gr

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά με Η/Υ Αποκοπή

Γραφικά με Η/Υ Αποκοπή Γραφικά με Η/Υ Αποκοπή Αποκοπή Οι αλγόριθμοι αποκοπής έχουν σχεδιαστεί έτσι ώστε να είναι αποτελεσματικοί στο να εντοπίζουν τα τμήματα μίας σκηνής ή ενός αντικειμένου σε συντεταγμένες προβολής που βρίσκονται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Γραφικά. Μοντέλο (Πληροφορίες για Περιεχόµενο εικόνας. Επεξεργασία Εικόνων. Εικόνα. Τεχνητή Όραση 1.1. Εργα: : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Εισαγωγή. Γραφικά. Μοντέλο (Πληροφορίες για Περιεχόµενο εικόνας. Επεξεργασία Εικόνων. Εικόνα. Τεχνητή Όραση 1.1. Εργα: : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ Εισαγωγή Μιάεικόνααξίζει1000 λέξεις : Ανθρώπινοοπτικόκανάλι: 30-40 Μbits/s (=64-85 M λέξεις /min µε 4 γράµµατα/λέξη, 7bits/γράµµα). Γραπτό κείµενο: 600-1200 λέξεις/min. 100.000 αποδοτικότερη επικοινωνία

Διαβάστε περισσότερα

Αποκοπή 4.1. Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ) Τµήµα Πληροφορικής 1 2 (SCS) Θέση παρατηρητή. Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών

Αποκοπή 4.1. Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ) Τµήµα Πληροφορικής 1 2 (SCS) Θέση παρατηρητή. Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών Αποκοπή Αποκοπή αντικειµένου (π.χ. πολυγώνου) ως προς αντικείµενο αποκοπής (π.χ. πολύγωνο, πυραµίδα, κύβος). Για αποφυγή αντεστραµµένης εµφάνισης αντικειµένων όπισθεν παρατηρητή. Για σηµαντική µείωση όγκου

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση με Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές

Σχεδίαση με Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Σχεδίαση με Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές Ενότητα # 13: Τεχνικές απεικόνισης στην οθόνη του ΗΥ Καθηγητής Ιωάννης Γ. Παρασχάκης Τμήμα Αγρονόμων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Υλοποίηση Αλγορίθμων Γραφικής σε Περιβάλλον Οπτικού Προγραμματισμού

ΘΕΜΑ: Υλοποίηση Αλγορίθμων Γραφικής σε Περιβάλλον Οπτικού Προγραμματισμού Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΘΕΜΑ: Υλοποίηση Αλγορίθμων Γραφικής σε Περιβάλλον Οπτικού Προγραμματισμού ΣΠΟΥΔΑΣΤΡΙΑ: ΚΛΑΔΑΚΗ ΕΙΡΗΝΗ 275 ΚΑΒΑΛΑ, 2006 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων

Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Ι. Ενότητα 4: Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης. Θεοχάρης Θεοχάρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Γραφικά Ι. Ενότητα 4: Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης. Θεοχάρης Θεοχάρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Γραφικά Ι Ενότητα 4: Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Θεοχάρης Θεοχάρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Ενότητα 4 Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση γραµµών στην οθόνη του Υπολογιστή Γέµισµα πολυγώνων Αποκοπή

Σχεδίαση γραµµών στην οθόνη του Υπολογιστή Γέµισµα πολυγώνων Αποκοπή Σχεδίαση γραµµών στην οθόνη του Υπολογιστή Γέµισµα πολυγώνων Αποκοπή 1 1η προσέγγιση: εφαρµογή της εξίσωσης της ευθείας Έστω ότι επιθυµούµε να σχεδιάσουµε ευθεία y=mx+b Προσέγγιση 1: δίνουµε τιµές στο

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods)

Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods) 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods) Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Προβολές. Απαραίτητες αφού 3 αντικείµενα απεικονίζονται σε 2 συσκευές.

Προβολές. Απαραίτητες αφού 3 αντικείµενα απεικονίζονται σε 2 συσκευές. ροβολές Απαραίτητες αφού 3 αντικείµενα απεικονίζονται σε συσκευές. Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή 3 Μαθηµατικά Μοντέλα ΣΣΑ 3 Μετασχ/σµοί Μοντέλου ΣΣ (WCS) 3 Μετασχ/σµός αρατήρησης

Διαβάστε περισσότερα

4ο Μάθημα Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης

4ο Μάθημα Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης 4ο Μάθημα Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Γραφικα Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Ακ Έτος 2016-17 Εισαγωγή Προοπτική Προβολή Παράλληλη Προβολή Ορθογραφικές Προβολές Πλάγιες Παράλληλες

Διαβάστε περισσότερα

Διαλέξεις #13-#14 Εισαγωγικά στοιχεία Προοπτική, Παράλληλη, Πλάγια Υπολογισμός Παράλληλης Προβολής Υπολογισμός Προοπτικής Προβολής Παραδείγματα

Διαλέξεις #13-#14 Εισαγωγικά στοιχεία Προοπτική, Παράλληλη, Πλάγια Υπολογισμός Παράλληλης Προβολής Υπολογισμός Προοπτικής Προβολής Παραδείγματα Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο Γραφικά με υπολογιστές Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmylonas@ionio.gr Διαλέξεις #13-#14 Εισαγωγικά στοιχεία Προοπτική, Παράλληλη, Πλάγια Υπολογισμός

Διαβάστε περισσότερα

Διαλέξεις #05 & #06. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Γραφικά με υπολογιστές. Αλγόριθμος Σχεδίασης Κύκλου Αλγόριθμος Σχεδίασης Έλλειψης

Διαλέξεις #05 & #06. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Γραφικά με υπολογιστές. Αλγόριθμος Σχεδίασης Κύκλου Αλγόριθμος Σχεδίασης Έλλειψης Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο Γραφικά με υπολογιστές Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmylonas@ionio.gr Διαλέξεις #05 & #06 Αλγόριθμος Σχεδίασης Κύκλου Αλγόριθμος Σχεδίασης Έλλειψης Φοίβος

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά με Η/Υ Αλγόριθμοι σχεδίασης βασικών 22D D σχημάτων (ευθεία

Γραφικά με Η/Υ Αλγόριθμοι σχεδίασης βασικών 22D D σχημάτων (ευθεία Γραφικά με Η/Υ Αλγόριθμοι σχεδίασης βασικών 2D σχημάτων (ευθεία) Σχεδίαση ευθείας θί με σάρωση (παρουσίαση προβλήματος) σχεδίαση ευθείας AB, με σάρωση, όπου A=(0,1) και B=(5,4) ποιο είναι το επόμενο pixel

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών, Τ.Ε.Π Π.Μ, Μάθημα: Γραφικά με Η/Υ

Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών, Τ.Ε.Π Π.Μ, Μάθημα: Γραφικά με Η/Υ ΓΡΑΦΙΚΑ Γέμισμα ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΕΜΙΣΜΑΤΟΣ Για τις πλεγματικές οθόνες υπάρχουν: Αλγόριθμοι γεμίσματος:, που στηρίζονται στη συνάφεια των pixels του εσωτερικού ενός πολυγώνου Αλγόριθμοι σάρωσης: που στηρίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Θέαση στις 3D

Γραφικά Υπολογιστών: Θέαση στις 3D 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Θέαση στις 3D Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιεχόμενα Σήμερα θα δούμε τα παρακάτω θέματα: Μετασχηματισμοί

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών & Εικονική Πραγματικότητα. Μετασχηματισμός απεικόνισης & Αλγόριθμοι αποκοπής

Γραφικά Υπολογιστών & Εικονική Πραγματικότητα. Μετασχηματισμός απεικόνισης & Αλγόριθμοι αποκοπής Γραφικά Υπολογιστών & Εικονική Πραγματικότητα Μετασχηματισμός απεικόνισης & Αλγόριθμοι αποκοπής Βασικές λειτουργίες απεικόνισης μετατροπή του παγκόσμιου συστήματος συντεταγμένων, ενός αντικειμένου, σε

Διαβάστε περισσότερα

Η διαδικασία Παραγωγής Συνθετικής Εικόνας (Rendering)

Η διαδικασία Παραγωγής Συνθετικής Εικόνας (Rendering) Υφή Η διαδικασία Παραγωγής Συνθετικής Εικόνας (Rendering) Θέσεις αντικειμένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή 3D Μοντέλα 3Δ Μετασχ/σμοί Μοντέλου 3Δ Μετασχ/σμός Παρατήρησης Απομάκρυνση Πίσω Επιφανειών

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 10 ο. Περιγραφή Σχήματος ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 1

Μάθημα 10 ο. Περιγραφή Σχήματος ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 1 Μάθημα 10 ο Περιγραφή Σχήματος ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 1 Εισαγωγή (1) Η περιγραφή μίας περιοχής μπορεί να γίνει: Με βάση τα εξωτερικά χαρακτηριστικά (ακμές, όρια). Αυτή η περιγραφή προτιμάται όταν μας ενδιαφέρουν

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Παρατήρησης και Προβολές

Μετασχηματισμοί Παρατήρησης και Προβολές Μετασχ. Γραφικά Παρατήρησης Υπολογιστών και Προβολές Μετασχηματισμοί Παρατήρησης και Προβολές Γ. Γ. Παπαϊωάννου, - 2008 Στάδια Προβολής στο Επίπεδο Περνάμε από WCS στοτοπικόσύστημα συντεταγμένων του παρατηρητή

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί 2 & 3

Μετασχηµατισµοί 2 & 3 Μετασχηµατισµοί & 3 Περιγράφονται σαν σύνεση βασικών: µετατόπιση αλλαγή κλίµακαςπεριστροφή στρέβλωση Χωρίζονται σε γεωµετρικούς (εδώ) και αξόνων (αντίστροφοι) Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών Θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ - ΕΛΛΕΙΨΗΣ

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ - ΕΛΛΕΙΨΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ - ΕΛΛΕΙΨΗΣ Μια εικόνα μπορεί να περιγραφεί με πολλούς τρόπους. Αν υποθέσουμε ότι έχουμε μια προβολή ψηφιδοπλέγματος, μια εικόνα καθορίζεται πλήρως από το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία μετασχηματισμών

Θεωρία μετασχηματισμών Μήτρα Μετασχηματισμού Η γεωμετρία ενός αντικειμένου μπορεί να παρουσιαστεί από ένα σύνολο σημείων κατανεμημένων σε διάφορα επίπεδα. Έτσι λοιπόν ένα πλήθος δεδομένων για κάποιο αντικείμενο μπορεί να αναπαρασταθεί

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Ι. Ενότητα 2: Αλγόριθμοι Σχεδίασης. Θεοχάρης Θεοχάρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Γραφικά Ι. Ενότητα 2: Αλγόριθμοι Σχεδίασης. Θεοχάρης Θεοχάρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Γραφικά Ι Ενότητα 2: Αλγόριθμοι Σχεδίασης Θεοχάρης Θεοχάρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Ενότητα 2 Αλγόριθμοι Σχεδίασης Σχεδίαση 2Δ οθόνες αποτελούνται από διακριτά πλέγματα

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική παρατήρηση & παρατήρηση με υπολογιστή

Κλασσική παρατήρηση & παρατήρηση με υπολογιστή Κλασσική παρατήρηση & παρατήρηση με υπολογιστή Πολλέςαπότιςεργασίεςσχεδίασης (αρχιτεκτονικό, μηχανολογικό σχέδιο, κινούμενα σχέδια) γίνονται με υπολογιστή Ο χρήστης θα πρέπει να μπορεί να παράξει «κλασικές»

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί. Μετασχηµατισµοί είναι πράξεις (Τελεστές) που επιδρούν πάνω στις συντεταγµένες των σηµείων που απαρτίζουν ένα γεωµετρικό σχήµα M(V)

Μετασχηµατισµοί. Μετασχηµατισµοί είναι πράξεις (Τελεστές) που επιδρούν πάνω στις συντεταγµένες των σηµείων που απαρτίζουν ένα γεωµετρικό σχήµα M(V) Μετασχηµατισµοί Μετασχηµατισµοί είναι πράξεις (Τελεστές) που επιδρούν πάνω στις συντεταγµένες των σηµείων που απαρτίζουν ένα γεωµετρικό σχήµα V M(V) 2.1 Αναπαράσταση 3Δ µοντέλων Κάθε 3Δ µοντέλο αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών και Συστήματα Αλληλεπίδρασης

Γραφικά Υπολογιστών και Συστήματα Αλληλεπίδρασης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Γραφικά Υπολογιστών και Συστήματα Αλληλεπίδρασης Γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Διδάσκων: Αν. Καθ. Ιωάννης Φούντος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟΚΟΠΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟΚΟΠΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟΚΟΠΗ Ένα γεωμετρικό μοντέλο είναι μια αριθμητική περιγραφή ενός αντικειμένου, που περιλαμβάνει το μέγεθος, το σχήμα, καθώς και άλλες ιδιότητές του. Η περιγραφή του μοντέλου

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά με υπολογιστές. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Διάλεξη #07

Γραφικά με υπολογιστές. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Διάλεξη #07 Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο Γραφικά με υπολογιστές Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmylonas@ionio.gr Διάλεξη #07 Γραμμές και Πολύγωνα: Εισαγωγή Αναπαράσταση 2D και 3D Χρωματισμός πολυγώνων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ Εισαγωγή /4 Το σχήμα και το μέγεθος των δισδιάστατων αντικειμένων περιγράφονται με τις καρτεσιανές συντεταγμένες x, y. Με εφαρμογή γεωμετρικών μετασχηματισμών στο μοντέλο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Γιατί γραφικά υπολογιστών; Προσέγγιση «από πάνω προς τα κάτω» (top-down). Βαθµίδα διασύνδεσης προγραµµατιστή εφαρµογών (API)

Εισαγωγή. Γιατί γραφικά υπολογιστών; Προσέγγιση «από πάνω προς τα κάτω» (top-down). Βαθµίδα διασύνδεσης προγραµµατιστή εφαρµογών (API) Εισαγωγή Γιατί γραφικά υπολογιστών; Προσέγγιση «από πάνω προς τα κάτω» (top-down). Βαθµίδα διασύνδεσης προγραµµατιστή εφαρµογών (API) Γιατί OpenGL; Άλλα APIs: PHIGS (ANSI), GKS, Direct3D, VRML, JAVA-3D

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Εμφάνιση σε 2D

Γραφικά Υπολογιστών: Εμφάνιση σε 2D 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Εμφάνιση σε 2D Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιεχόμενα Έννοιες παραθύρων (windowing) Αποκοπή (clipping)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ -ΈΛΛΕΙΨΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ -ΈΛΛΕΙΨΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ -ΈΛΛΕΙΨΗΣ Μια εικόνα μπορεί να περιγραφεί με πολλούς τρόπους. Αν υποθέσουμε ότι έχουμε μια προβολή ψηφιδοπλέγματος, μια εικόνα καθορίζεται πλήρως από το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρικοί μετασχηματιμοί εικόνας

Γεωμετρικοί μετασχηματιμοί εικόνας Γεωμετρικοί μετασχηματιμοί εικόνας Μάθημα: Υπολογιστική Οραση 1 Γεωμετρικοί Μετασχηματισμοί Ορισμός σημείου στονευκλείδιοχώρο: p=[x p,y p,z p ] T, όπου x p, y p, z p πραγματικοί αριθμοί. ΕστωΕ 3 τοσύνολοτωνp.

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά & Οπτικοποίηση. Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή. Γραφικά & Οπτικοπίηση: Αρχές & Αλγόριθμοι Κεφάλαιο 1

Γραφικά & Οπτικοποίηση. Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή. Γραφικά & Οπτικοπίηση: Αρχές & Αλγόριθμοι Κεφάλαιο 1 Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Ιστορικά Ιστορική ανασκόπηση : 2 Ιστορικά (2) Ρυθμοί ανάπτυξης CPU και GPU 3 Εφαρμογές Ειδικά εφέ για ταινίες & διαφημίσεις Επιστημονική εξερεύνηση μέσω οπτικοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

Στο Κεφάλαιο 5 µελετώντας την προβολή του τρισδιάστατου χώρου στο επίπεδο της κάµερας εξετάστηκε

Στο Κεφάλαιο 5 µελετώντας την προβολή του τρισδιάστατου χώρου στο επίπεδο της κάµερας εξετάστηκε Κεφάλαιο 6 Αποκοπή (clipping) Στο Κεφάλαιο 5 µελετώντας την προβολή του τρισδιάστατου χώρου στο επίπεδο της κάµερας εξετάστηκε η διαδικασία προβολής µεµονωµένων σηµείων και µόνο προς το τέλος του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Απεικόνιση Υφής. Μέρος Α Υφή σε Πολύγωνα

Απεικόνιση Υφής. Μέρος Α Υφή σε Πολύγωνα Απεικόνιση Γραφικά ΥφήςΥπολογιστών Απεικόνιση Υφής Μέρος Α Υφή σε Πολύγωνα Γ. Γ. Παπαϊωάννου, - 2008 Τι Είναι η Υφή; Η υφή είναι η χωρική διαμόρφωση των ποιοτικών χαρακτηριστικών της επιφάνειας ενός αντικειμένου,

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά με υπολογιστές. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Διαλέξεις #11-#12

Γραφικά με υπολογιστές. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Διαλέξεις #11-#12 Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο Γραφικά με υπολογιστές Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmlonas@ionio.gr Διαλέξεις #-# Σύνθεση Δ Μετασχηματισμών Ομογενείς Συντεταγμένες Παραδείγματα Μετασχηματισμών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕ Η/Υ (Computer Aided Design)

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕ Η/Υ (Computer Aided Design) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕ Η/Υ (Computer Aided Design) Ενότητα # 2: Στερεοί Μοντελοποιητές (Solid Modelers) Δρ Κ. Στεργίου

Διαβάστε περισσότερα

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Πολλά προβλήματα λύνονται μέσω δισδιάστατων απεικονίσεων ενός μοντέλου. Μεταξύ αυτών και τα προβλήματα κίνησης, όπως η κίνηση ενός συρόμενου μηχανισμού.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 - Σχεδίαση

Κεφάλαιο 2 - Σχεδίαση Κεφάλαιο 2 - Σχεδίαση Σύνοψη Στον τομέα των γραφικών, υπάρχει από τη μια μεριά η μαθηματική περιγραφή των σχημάτων που χαρακτηρίζεται από την ανάλογη αυστηρότητα και από την άλλη οι περιορισμοί της πλεγματικής

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι: Βάσεις και Διάσταση Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη 3 η Τα Συστήματα στις Τηλεπικοινωνίες

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Σχεδίασης

Αλγόριθμοι Σχεδίασης Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Σχεδίασης Σχεδίαση 2Δοθόνες αποτελούνται από διακριτά πλέγματα εικονοστοιχείων (pixels) Σχεδίαση: μετατροπή 2Δ στοιχειωδών σχημάτων σε διακριτή παράσταση εικονοστοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλασιαστές Lagrange Δυνάμεις δεσμών

Πολλαπλασιαστές Lagrange Δυνάμεις δεσμών ΦΥΣ - Διαλ.08 Πολλαπλασιαστές Lagrange Δυνάμεις δεσμών q q Το μεγάλο πλεονέκτημα του Lagrangian φορμαλισμού είναι ότι δεν χρειάζεται να υπολογισθούν οι δυνάμεις των δεσμών Ø Υπάρχουν περιπτώσεις που χρειαζόμαστε

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση με Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές

Σχεδίαση με Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Σχεδίαση με Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές Ενότητα # 2: Μετασχηματισμοί συντεταγμένων στις 2 διαστάσεις Καθηγητής Ιωάννης Γ. Παρασχάκης Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Παράστασης Βασικών Σχηµάτων

Αλγόριθµοι Παράστασης Βασικών Σχηµάτων Αλγόριθµοι Παράστασης Βασικών Σχηµάτων Προσέγγιση µαθηµατικών σχηµάτων από διακριτά pls: Ευθύγραµµο τµήµα, κύκλος, κωνικές τοµές, πολύγωνο. S/W ή H/W. Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Ι. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Θεοχάρης Θεοχάρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Γραφικά Ι. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Θεοχάρης Θεοχάρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Γραφικά Ι Ενότητα 1: Εισαγωγή Θεοχάρης Θεοχάρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Ενότητα 1 Εισαγωγή Ιστορικά Ιστορική ανασκόπηση : 3 Ιστορικά (2) Ρυθμοί ανάπτυξης CPU και

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών.

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών. Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών (βλ ενότητες 8 και 8 από το βιβλίο Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Ι Χατζάρας, Θ Γραμμένος, 0) (Δείτε τα παραδείγματα 8 (, ) και

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

Απεικόνιση δεδομένων (data visualization)

Απεικόνιση δεδομένων (data visualization) Απεικόνιση δεδομένων (data visualization) Χρήση γραφικών για την αναπαράσταση δεδομένων από διάφορες πηγές Ιατρικές εφαρμογές (π.χ. αξονική τομογραφία) Μαθηματικά μοντέλα και συναρτήσεις Προσομοίωση διεργασιών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ. Ενότητα 5 η : Παραδείγµατα 3 µηχανισµών. χώρο (3 )

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ. Ενότητα 5 η : Παραδείγµατα 3 µηχανισµών. χώρο (3 ) ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ Ενότητα 5 η Παραδείγµατα µηχανισµών στο χώρο (3 ) Παράδειγµα 1 ο : Ροµποτικός βραχίονας RPPRR R: revolute pair P: prismatic pair Βραχίονας Τηλεσκοπικός βραχίονας

Διαβάστε περισσότερα

Υλοποίηση. Θεωρητική & πρακτική επίδοση αλγορίθµου Υλοποιήσεις σε υλικό ή λογισµικό. Απαιτήσεις της συγκεκριµένης εφαρµογής.

Υλοποίηση. Θεωρητική & πρακτική επίδοση αλγορίθµου Υλοποιήσεις σε υλικό ή λογισµικό. Απαιτήσεις της συγκεκριµένης εφαρµογής. Υλοποίηση Είδαµε τι κάνει η OpenGL, αλλά όχι πως το κάνει. Θα εξετάσουµε αλγορίθµους που χρησιµοποιούνται από τα πακέτα γραφικών για να υλοποιήσουν τις επεξεργασίες που πρέπει να κάνουν. Υλοποίηση Πως

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Περικοπής και Απομάκρυνσης Κρυμμένων Επιφανειών

Αλγόριθμοι Περικοπής και Απομάκρυνσης Κρυμμένων Επιφανειών Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 5 Αλγόριθμοι Περικοπής και Απομάκρυνσης Κρυμμένων Επιφανειών Εισαγωγή Το οπτικό μας πεδίο είναι περιορισμένο ενώ παράλληλα υπάρχει παρεμπόδιση μεταξύ αντικειμένων βλέπουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Σχεδίαση γραμμών Μετασχηματισμοί

Κεφάλαιο 1: Σχεδίαση γραμμών Μετασχηματισμοί Κεφάλαιο 1: Σχεδίαση γραμμών Μετασχηματισμοί Εισαγωγή Όσο κι αν αυτό φαίνεται περίεργο παρατηρώντας ένα πολύπλοκο αρχιτεκτονικό σχέδιο ή μια φωτορεαλιστική εικόνα, η βασική δομική μονάδα των διανυσματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6. a2 x 2 y 2. = y

ΛΥΣΕΙΣ 6. a2 x 2 y 2. = y ΛΥΣΕΙΣ 6. Οι ασκήσεις από το βιβλίο των Marsden - romba. 7.5. Θεωρούμε την παραμετρικοποίηση rx, y = x, y, a 2 x 2 y 2, όπου το x, y διατρέχει τον δίσκο στο xy-επίπεδο που ορίζεται από την x 2 +y 2 a 2.

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιτεκτονική Υπολογιστών

Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Ενότητα 11: Γραφικά VGA Δρ. Μηνάς Δασυγένης mdasyg@ieee.org Εργαστήριο Ψηφιακών Συστημάτων και Αρχιτεκτονικής Υπολογιστών http://arch.icte.uowm.gr/mdasyg

Διαβάστε περισσότερα

Έγχρωµο και Ασπρόµαυρο Φως

Έγχρωµο και Ασπρόµαυρο Φως Έγχρωµο και Ασπρόµαυρο Φως Χρώµα: κλάδος φυσικής, φυσιολογίας, ψυχολογίας, τέχνης. Αφορά άµεσα τον προγραµµατιστή των γραφικών. Αν αφαιρέσουµε χρωµατικά χαρακτηριστικά, λαµβάνουµε ασπρόµαυρο φως. Μόνο

Διαβάστε περισσότερα

14 η εβδομάδα (27/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 39, 41 και 42. Έγινε επανάληψη και λύθηκαν ερωτήματα και απορίες.

14 η εβδομάδα (27/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 39, 41 και 42. Έγινε επανάληψη και λύθηκαν ερωτήματα και απορίες. 14 η εβδομάδα (27/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 39, 41 και 42. Έγινε επανάληψη και λύθηκαν ερωτήματα και απορίες. 13 η εβδομάδα (20/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 31, 32, 33, 34, 36 και 37 11 η 12 η εβδομάδα

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

0 SOLID_LINE 1 DOTTED_LINE 2 CENTER_LINE 3 DASHED_LINE 4 USERBIT_LINE

0 SOLID_LINE 1 DOTTED_LINE 2 CENTER_LINE 3 DASHED_LINE 4 USERBIT_LINE 1. Η κωδικοποίηση των χρωµάτων για σύστηµα γραφικών µε 16 χρώµατα Κωδικός Χρώµα Χρώµατος 0 BLACK 1 BLUE 2 GREEN 3 CYAN 4 RED 5 MAGENTA 6 BROWN 7 LIGHTGRAY 8 DARKGRAY 9 LIGHTBLUE 10 LIGHTGREEN 11 LIGHTCYAN

Διαβάστε περισσότερα

Αντικείμενα και γεωμετρικοί μετασχηματισμοί

Αντικείμενα και γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Αντικείμενα και γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Τα βασικά γεωμετρικά αντικείμενα και οι μεταξύ τους σχέσεις μπορούν να περιγραφούν με τρεις βασικές γεωμετρικές οντότητες: σημεία, βαθμωτά μεγέθη, διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

Διαλέξεις #01 & #02. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Γραφικά με Υπολογιστές. Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο.

Διαλέξεις #01 & #02. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Γραφικά με Υπολογιστές. Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο. Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο Γραφικά με υπολογιστές Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmylonas@ionio.gr Διαλέξεις #01 & #02 Διαδικαστικά μαθήματος Ιστορία και γενικά χαρακτηριστικά Συσκευές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη #10. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Γραφικά με υπολογιστές. Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο.

Διάλεξη #10. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Γραφικά με υπολογιστές. Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο. Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο Γραφικά με υπολογιστές Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmlonas@ionio.gr Διάλεξη # Δ Μετασχηματισμοί (γενικά) Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Απλοί Συσχετισμένοι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Εισαγωγή

Γραφικά Υπολογιστών: Εισαγωγή 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Εισαγωγή Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιγραφή Γραφικά Υπολογιστών Τι είναι? Περιοχές εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Οπτικοποίηση Απαλοιφή

Κεφάλαιο 8. Οπτικοποίηση Απαλοιφή Κεφάλαιο 8. Οπτικοποίηση Απαλοιφή Oι οπτικές επιδράσεις, που μπορεί να προκαλέσει μια εικόνα στους χρήστες, αποτελούν ένα από τα σπουδαιότερα αποτελέσματα των λειτουργιών γραφικών με Η/Υ. Τον όρο της οπτικοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 - Γεωμετρικοί Μετασχηματισμοί και Προβολές

Κεφάλαιο 3 - Γεωμετρικοί Μετασχηματισμοί και Προβολές Κεφάλαιο 3 - Γεωμετρικοί Μετασχηματισμοί και Προβολές Σύνοψη Το παρόν κεφάλαιο είναι θεμελιώδες για τα συστήματα γραφικών. Αποτελεί τη βάση για την υλοποίηση πολλών πιο πολύπλοκων διαδικασιών όπως ο φωτισμός,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΦΙΚΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΦΙΚΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΦΙΚΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ 1 η Σειρά Ασκήσεων Πλαίσια, γεωμετρικοί μετασχηματισμοί και προβολές 1. Y B (-1,2,0) A (-1,1,0) A (1,1,0)

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Γιατί γραφικά υπολογιστών; Προσέγγιση «από πάνω προς τα κάτω»(topdown). Βαθμίδα διασύνδεσης προγραμματιστή εφαρμογών (API)

Εισαγωγή. Γιατί γραφικά υπολογιστών; Προσέγγιση «από πάνω προς τα κάτω»(topdown). Βαθμίδα διασύνδεσης προγραμματιστή εφαρμογών (API) Εισαγωγή Γιατί γραφικά υπολογιστών; Προσέγγιση «από πάνω προς τα κάτω»(topdown). Βαθμίδα διασύνδεσης προγραμματιστή εφαρμογών (API) Γιατί OpenGL; Portable, παιδαγωγική, καλά τεκμηριωμένη, open standard,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικό υπόβαθρο. Κεφάλαιο 3. Μαθησιακοί στόχοι. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Σημεία και διανύσματα

Μαθηματικό υπόβαθρο. Κεφάλαιο 3. Μαθησιακοί στόχοι. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Σημεία και διανύσματα Κεφάλαιο 3 Μαθηματικό υπόβαθρο Μαθησιακοί στόχοι Μετά την ολοκλήρωση αυτού του κεφαλαίου, ο αναγνώστης θα είναι σε θέση: Να γνωρίζει τις βασικές ιδιότητες και να πραγματοποιεί πράξεις των σημείων και των

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ Κλίση συνάρτησης f Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ Αν σε κάθε σημείο Px, y,z ενός τμήματος Δ του χώρου μία τιμή, ορίζεται μια συνάρτηση. f x, y,z : Δ, Δ αντιστοιχίσουμε την οποία ονομάζουμε σημειακή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΨΗ 1 ου Μαθήματος

ΣΥΝΟΨΗ 1 ου Μαθήματος Ενημέρωση Η διδασκαλία του μαθήματος, πολλά από τα σχήματα και όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Φυσική» του Hugh Young των Εκδόσεων Παπαζήση, οι οποίες μας επέτρεψαν τη χρήση

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

OpenGL. Μετασχηματισμοί. Μάθημα: Γραφικά Υπολογιστών και Εικονική Πραγματικότητα. Κατερίνα Παπαδοπούλου /

OpenGL. Μετασχηματισμοί. Μάθημα: Γραφικά Υπολογιστών και Εικονική Πραγματικότητα. Κατερίνα Παπαδοπούλου / OpenGL Μετασχηματισμοί Κατερίνα Παπαδοπούλου / pakate@unipi.gr Μάθημα: Γραφικά Υπολογιστών και Εικονική Πραγματικότητα Τύποι μετασχηματισμών Μετασχηματισμοί μοντέλου (modeling transformations) με glmatrixmode

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Απαλλακτική Εργασία Γραφικά & Εικονική Πραγματικότητα. Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609

Απαλλακτική Εργασία Γραφικά & Εικονική Πραγματικότητα. Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609 Απαλλακτική Εργασία Γραφικά & Εικονική Πραγματικότητα Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609 Αναπαράσταση μοντέλου Το 3D μοντέλο το αποθηκεύουμε στην μνήμη με τις εξής δομές δεδομένων: Λίστα κορυφών Λίστα τριγώνων

Διαβάστε περισσότερα

Συμπίεση Πολυμεσικών Δεδομένων

Συμπίεση Πολυμεσικών Δεδομένων Συμπίεση Πολυμεσικών Δεδομένων Εισαγωγή στο πρόβλημα και επιλεγμένες εφαρμογές Παράδειγμα 2: Συμπίεση Εικόνας ΔΠΜΣ ΜΥΑ, Ιούνιος 2011 Εισαγωγή (1) Οι τεχνικές συμπίεσης βασίζονται στην απόρριψη της πλεονάζουσας

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = 2x+ 3 / Α f Α.

f(x) = 2x+ 3 / Α f Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 8 ο ΜΑΘΗΜΑ.7. Σύνολο τιμών f(a) της f / A B Ορισμός: Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f / Α Β περιλαμβάνει εκείνα τα y Β για τα οποία υπάρχει x Α : «Η εξίσωση y= f ( x) να έχει λύση ως προς x»

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Γεωμετρικός Πυρήνας Προβολικοί Μετασχηματισμοί

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Γεωμετρικός Πυρήνας Προβολικοί Μετασχηματισμοί Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή Γεωμετρικός Πυρήνας Προβολικοί Μετασχηματισμοί Προβολικοί Μετασχηματισμοί Γενικός Ορισμός Μετασχηματισμός των σημείων ενός σημειακού χώρου διάστασης n σε σημεία

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3 η : Εισαγωγικές Ένvοιες ΙI Λουκάς Βλάχος Καθηγητής Αστροφυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρικοί Μετασχηματισμοί

Γεωμετρικοί Μετασχηματισμοί Γεωμετρικοί Μετασχηματισμοί Ορισμός σημείου στον Ευκλείδιο χώρο: p=[ p, p,z p ] T, όπου p, p, z p πραγματικοί αριθμοί. Εστω Ε 3 το σύνολο των p. Ενας γεωμετρικός μετασχηματισμός Τ(π), με διάνυσμα παραμέτρων

Διαβάστε περισσότερα

Χαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738)

Χαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738) ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ Το μαθηματικό λογισμικό GeoGebra ως αρωγός για τη λύση προβλημάτων γεωμετρικών κατασκευών Χαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738) Επιβλέπων Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γράφημα μιας πραγματικής συνάρτησης : ή ( )/ σύνολο: f Οι θέσεις του κινητού σημείου G ( x, y)/ y f( x), xa. f A y f x A είναι το M x, y, ώστε

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστηριακές Ασκήσεις Απεικόνισης - Αποκοπής

Φροντιστηριακές Ασκήσεις Απεικόνισης - Αποκοπής Φροντιστηριακές Άσκηση Βρες τον πίνακα μετασχηματισμού που θα σχεδιάζει σημεία που περιέχονται σε ένα παράθυρο του οποίου η χαμηλότερη αριστερή γωνία είναι στο (3,3) και η ψηλότερη δεξιά γωνία είναι στο

Διαβάστε περισσότερα