Γραφική με Υπολογιστή Computer Graphics

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γραφική με Υπολογιστή Computer Graphics"

Transcript

1 Γραφική με Υπολογιστή Computer Graphics 1. Βασικοίγραφικοίαλγόριθμοι 2. Αρχέςγραφικώνπλεγματικώνοθονώνraster 3. Μετασχηματισμοί2 και3 διαστάσεωνκαι συστήματασυντεταγμένων 4. Προβολέςκαιμετασχηματισμοίπαρατήρησης 5. Aλγόριθμοιαπόκρυψηςεπιφανειώνκαι αλγόριθμοιφωτισμού διαφάνειεςαπόβιβλίοθεοχάρημπέμ, Συμμετρία, Αθήνα1999

2 Ιστορικήαναδρομή

3 Περιοχές σχετικές με την Εικόνα Γραφική με Υπολογιστές (Computer Graphics) Επεξεργασία - ΑνάλυσηΕικόνων (Image Processing -Analysis) Τεχνητήόραση(Computer vision) Αλληλεπίδραση Ανθρώπου - Υπολογιστή

4 Περιοχέςεφαρμογών Γραφικήαλληλεπίδρασημεχρήστη (GUI). Σχεδίαση(CAD): πχαρχιτεκτονική, VLSI design ΓεωγραφικάΣυστήματαΠληροφοριών(GIS). Προσομοιώσεις(π.χ. πτήσεων). Συνθετικές ταινίες& διαφήμιση Computer Animation. Επαυξημένη Πραγματικότητα -Augmented Reality Εικονική Πραγματικότητα Virtual Reality Ιατρικέςεφαρμογές. Οπτικοποίησηδεδομένων. Τέχνη(π.χ. fractals). Παιχνίδια.

5 Γραφικόσύστημαεπεξεργασίας

6 Πλεγματικήήδιανυσματικήαπεικόνιση

7 Πλεγματικήοθόνη (raster display) Σάρωσητηςοθόνηςανάγραμμήκαισε συγκεκριμένοχρονικόρυθμό

8 Πλεγματικήοθόνη: αποθήκευσηεικόναςστημνήμη Αποθήκευσητηςεικόναςστημνήμηως πίνακατριώνδιαστάσεων (πλάτοςx ύψοςx χρώμα) Χρήσηπαλέταςγιαμείωσηαπαιτήσεων χρώματος.

9 Χρήσηπαλέταςχρωμάτων

10 Πλεγματικήοθόνη/ 2 2-Δπλέγμαχρωματιζόμενωνεικονοστοιχείων(pixels) Φρεσκάρισμασεσταθερόρυθμόαπόμνήμη Κανέναςπεριορισμόςσεεικόνα Αποδέσμευσηφρεσκαρίσματοςαπόάλλεςλειτουργίες Μεγάλη(;) απαίτησημνήμης (1024 x 1024 x 24= 3MB) Μείωσημεχρήσηπαλέτας(lookuptable) Προβλήματαταύτισης(aliasing) Νέεςτεχνολογίες(LCD, plasma)

11 Πλεγματικήοθόνη /3 Απαιτούνται αλγόριθμοι απεικόνισης ευθείας, καμπύλης, πλήρωσης πολυγώνου σε πλεγματική οθόνη

12 Αλγόριθμοςγραφικήςαπεικόνισης

13 Παράστασησχημάτων ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣΤΗΝΟΘΟΝΗ Σάρωση Αντιταύτιση Φωτισμός Υφή

14 ΑπεικόνισηΕυθύγραμμουτμήματος Αλγόριθμοιυποστηρίζονταικαιαπό hardware. Κριτήρια «καλού» αλγορίθμου: Όσογίνεταιπιοκοντάστημαθηματικήπορεία Πάχοςσταθερόκαιανεξάρτητοαπόμήκοςκαι κλίση. Μεόσοτοδυνατόνμικρότερουπολογιστικό κόστος(μεγαλύτερηταχύτητα).

15 Αλγόριθμος 1 Έστωευθύγραμμοτμήμαμεταξύpixels P 1 (x 1,y 1 ), P n (x n,y n ) στοπρώτοοκταμόριο. Τότε: όπου y=s*x+b

16 Υλοποίηση void line1( x1, y1, xn, yn, colour) intx1,y1, xn, yn, colour; /* colour: ακέραιααναπαράστασητουχρώματος*/ { float s, b, y; intx; s=( yn-y1)/( xn-x1); b=( y1* xn-yn* x1)/( xn-x1); for (x= x1; x<= xn; x++){ y= s* x+ b; setpixel( x, round( y), colour); } }

17 Αλγόριθμος 2 (αποδοτικότερος) Οπολλαπλασιασμόςμέσαστοβρόγχο μπορείνααποφευχθείμετατρέπονταςτον τύποσεαναδρομικό:

18 Υλοποίηση line2 (x1, y1, xn, yn, colour) intx1,y1, xn, yn, colour; { float s, y; intx; s=( yn-y1)/( xn-x1); y= y1; for (x= x1; x<= xn; x++){ setpixel( x, round( y), colour); y= y+ s; } }

19 Αλγόριθμος 3 Αποφυγήτηςστρογγυλοποίησηςμέσα στο βρόγχομεχωρισμότουy σεακέραιοκαι δεκαδικόμέρος(error)καιχρήσημόνοτου ακεραίουγιαεύρεσητουεπομένου σημείου. Σφάλμα = απόστασηpixel απόιδεατήπορεία.

20 line3 (x1, y1, xn, yn, colour) intx1,y1, xn, yn, colour; Υλοποίηση { float s, error; intx, y; s=( yn-y1)/( xn-x1); y= y1; error= 0; for (x= x1; x<= xn; x++){ setpixel( x, y, colour); error= error+ s; if(error>= 0.5){ y++; error--} } }

21 Αλγόριθμος 4 (Bresenham) Πολλαπλασιάζονταςμεdx=xn-x1, οιμεταβλητές s και error γίνονται ακέραιες. Η σύγκρισηγιατηνεπιλογήτουεπόμενουpixel γίνεταιμεfloor(dx/2). Επίσης, αφαιρώνταςαπό τηναρχικήτιμήτουerrordx, ησύγκρισημπορεί ναγίνεικαιμετο 0. Λειτουργείγιαθετικέςκλίσεις.

22 Υλοποίηση line4 (x1, y1, xn, yn, colour) intx1,y1, xn, yn, colour; { interror, x, y, dx, dy; dx= xn-x1; dy= yn-y1; error=-dx/ 2; y= y1; for (x= x1; x<= xn; x++){ setpixel( x, y, colour); error= error+ dy; if(error>= 0){ y++; error= errordx} } }

23 Περιορισμοί Μόνοστο 1ο ογδοημόριο. Εύκολαμπορείνα επεκταθείκαισταάλλαμεκατάλληλεςεναλλαγές τωνρόλωνx, y,αρχικούκαιτελικούσημείου. Άξονας ταχύτερηςκίνησηςκαιείδοςμεταβολήςτουάλλου άξοναδίνονταιστοσχήμα.

24 Περιορισμοί (συνέχεια) Ευθύγραμματμήματαδιαφορετικώνκλίσεων μπορείναέχουνδιαφορετικήφωτεινότητα. Τοφαινόμενοαυτόμπορείναδιορθωθείμε τεχνικέςαντι-ταύτισης(anti-aliasing).

25 Τοφαινόμενοτηςταύτισης (aliasing) προβλήματαδειγματοληψίας Τεθλασμένηεμφάνισηευθυγράμμωντμημάτωνκαι ακμώνπολυγώνων Λανθασμένηεμφάνισηεπαναλαμβανόμενων τμημάτωνενόςσχήματος Λανθασμένηεμφάνισημικρώνσχημάτωνπου μπορείναεμφανίζονταιήναεξαφανίζονταιανάλογα μετηθέσητους Μέθοδοιαντιταύτισης: Pitteway&Watkinson, postfiltering, stochastic sampling, A-buffer )

26 Αλγόριθμοςσχεδίασηςκύκλουσε πλεγματικήοθόνη Εκμετάλλευση 8-πλής συμμετρίας:

27 Συμμετρίακύκλου circle_ symmetry(x, y, colour) intx, y, colour; { setpixel( x, y, colour); setpixel( y, x, colour); setpixel( y,-x, colour); setpixel( x,-y, colour); setpixel(-x,-y, colour); setpixel(-y,-x, colour); setpixel(-y, x, colour); setpixel(-x, y, colour); }

28 Αλγόριθμος Bresenham Έστωότιεπελέγητοσημείο(x i,y i ). Το επόμενοθαείναι(x i +1,y i ) ή(x i +1,y i -1);

29 Αλγόριθμος Μεταβλητήαπόφασης: e i = d 1 d 2 όπου d 1 = y 2 i -y 2, d 2 = y 2 -(y i -1) 2 Εάνe i 0, επιλέγεταιτο(x i +1,y i -1) αλλιώς επιλέγεταιτο(x i +1,y i )

30 Υπολογισμόςτου e Γιαx=x i +1 ισχύειότιy 2 =r 2, οπότε: e i = y i2 -r 2 + (x i +1) 2 + (y i -1) 2 -r 2 + (x i +1) 2 e i =2 (x i +1) 2 + y i2 + (y i -1) 2 2 r 2

31 Αναδρομικόςυπολογισμός e e i+1 = 2 (x i+1 +1) 2 + y i+12 + (y i+1-1) 2-2 r 2 = 2 (x i +2) 2 + y i+12 + (y i+1-1) 2-2 r 2 = 2x i2 + 8x i + 8+ y i+12 + y i+12-2 y i r 2 = 2(x i +1) 2 + 4x i y i+12-2y i r 2 = e i + 4x i (y i+12 -y i2 ) 2(y i+1 -y i )

32 Τελικόςτύποςυπολογισμού Αν e i <0 y i+1 = y i e i+1 = e i + 4(x i + 1)+ 2 Ανei 0 y i+1 = y i 1 e i+1 = e i + 4x i ((y i -1) 2 -y i2 ) 2(y i -1- y i ) e i+1 = e i + 4(x i +1) + 2 4(y i 1)

33 Παρατηρήσεις Αρχικήτιμή: e 1 =2+ r 2 + (r 1) 2 2r 2 = 3 2r Γιαμεταφοράτουκύκλουαπότο(0,0) στο (x 0,y 0 ) αρκείνααντικατασταθείηκλήση circle_symmetry(x,y,colour); από: circle_symmetry(x-x 0,y-y 0,colour);

34 circle (r, colour) intr, colour; { intx, y, e; x= 0; y= r; e= 3-2* r; while (x<= y){ circle_ symmetry( x, y, colour); x++; if (e>= 0) { y--; e= e-4* y } e= e+ 4* x+ 2; } } Υλοποίηση

35 Λειτουργίεςσεπλεγματικήοθόνη RasterOp Πλεγματικήοθόνη: εικόνααποθηκεύεταιστη μνήμηοθόνης(frame buffer) Πολλέςδιαδικασίεςμεμετακίνησηήσυνδυασμούς στημνήμηοθόνης. (π.χ. επεξεργασίακειμένου)

36 RasterOp Γενικήρουτίναμετακίνησης/συνδυασμού παραλληλογράμμωντμημάτωνεικόνας. Βελτιστοποιημένη, γρήγορηυλοποίηση.

37 Υλοποίηση RasterOp( src_x_min, src_y_min, dst_x_min, dst_y_min, sizex, sizey, funct) intsrc_x_min, src_y_min, dst_x_min, dst_y_min, sizex,sizey; ftypefunct) /* (src_x_min, src_y_min) και(dst_x_min, dst_y_min) */ /* ήκάτωαριστερήγωνίατωνsourceκαιdestination */ /* sizex, sizeyοιx καιy διαστάσειςσεpixel */ /* function κάποιοςτελεστής με pixel */ { inti, j; for (i= 0; i< sizex; i++) } for (j= 0; j< sizey; j++) }} set_pixel( dst_x_min+ i, dst_y_min+ j, funct( read_pixel( dst_x_min+ i, dst_y_min+ j) read_pixel( dst_x_min+ i, dst_y_min + j)));

38 Παράδειγμα: exchange μεχρήσηxor Αντιμετάθεσησχημάτωνχωρίςχρήσηβοηθητικούχώρου. void exchange (src_ x_ min, src_ y_ min, dst_ x_ min, dst_y_ min, sizex, sizey) intsrc_ x_ min, src_ y_ min, dst_ x_ min, dst_ y_ min, sizex, sizey; { RasterOp (src_ x_ min, src_ y_ min, dst_ x_ min, dst_ y_ min, sizex, sizey, XOR); RasterOp (dst_ x_ min, dst_ y_ min, src_ x_ min, src_ y_ min, sizex, sizey, XOR); RasterOp (src_ x_ min, src_ y_ min, dst_ x_ min, dst_ y_ min, sizex, sizey, XOR); }

39 RasterOp: Μετακίνηση Η exchangeμπορείναχρησιμεύσειγια διαδοχικέςμετακινήσειςαντικειμένων (π.χ.cursor)

40 move move (from_x_min, from_y_min, to_x_min, to_y_min, back_x_min, back_y_min, sizex, sizey) intfrom_x_min, from_y_min, to_x_min,to_y_min, back_x_min, back_y_min, sizex, sizey; { exchange (to_x_min, to_y_min,back_x_min,back_y_min, sizex, sizey); exchange (from_x_min, from_y_min,to_x_min, to_y_min, sizex, sizey); }

41 Μετασχηματισμοί 2Δ& 3Δ Συνδυασμοίβασικώνμετασχηματισμών: μετατόπιση,αλλαγήκλίμακας, περιστροφή, στρέβλωση.

42 Σημείακαι Διανύσματα Ε 3 ο3δ Ευκλείδειοςχώροςσημείων, p σημείο. R 3 ο3δ Ευκλείδειοςχώροςδιανυσμάτων, v διάνυσμα. Βασικέςιδιότητες: p 1, p 2 Ε 3, u R 3 με u = p 1 -p 2. p Ε 3, u R 3, p +u = q Ε 3 p, q, r Ε 3, (p q) + (q r) = (p r)

43 Διανυσματικοίχώροι ΣεκάθεδιανυσματικόχώροΔ(π.χ. R 3 ) ορίζονται2 πράξεις Διανυσματικήπρόσθεση(q+ v) Βαθμωτός(scalar) πολλαπλασιασμός(λv) Ιδιότητεςπρόσθεσης: Αντιμεταθετική: q + v = v + q Προσεταιριστική: (p + q) + v = p + (q + v) Ύπαρξηουδετέρου: 0 Δ: 0 + v = v + 0 = v Ύπαρξηαντιθέτου: p Δ -p Δ: p + (-p) = 0

44 Διανυσματικοίχώροι Ιδιότητεςβαθμωτούπολλαπλασιασμού (β.π.) Επιμερισμόςωςπροςτηνπρόσθεση: λ(v + q) = λv + λq Επιμερισμόςπρόσθεσηςωςπροςβαθμωτό πολλαπλασιασμό: (λ + μ) v = λv + μv Προσεταιρισμός: (λμ) v = λ(μv) Ουδέτεροστοιχείο: 1 Δ: v 1 = 1 v =v

45 Διανυσματικοίχώροι Παραδείγματα: 2Δκαι3Δ Ευκλείδειοιχώροι. Πολυώνυμαδιαφόρωνβαθμών. Γραμμικόςσυνδυασμόςx 1, x 2, x ν Δ: y = λ 1 x 1 + λ 2 x λ ν x ν Γραμμικήανεξαρτησίαx 1, x 2, x ν, Δ: αν λ 1 x 1 + λ 2 x λ ν x ν = 0, έχειμόνηλύσητην λ 1 = λ 2 = = λ ν = 0 Παράδειγματα(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) του Ε 3

46 Διανυσματικοίχώροι Βάση: κάθεολοκληρωμένοσύνολο γραμμικώς ανεξαρτήτωνδιανυσμάτων. Τοπλήθοςτουςκαλείταιδιάστασητουχώρου. Ανy = λ 1 i + λ 2 j + λ 3 k όπου(i, j, k) βάση τότε(λ 1, λ 2, λ 3 ) συντεταγμένες. (Ο, i, j, k) ονομάζεταισύστημασυντεταγμένωνμε βάσητοσημείοο, καιβάση(i, j, k) (i, j, k) ορίζουνάξονεςσυντεταγμένων Μήκος: διανύσματος(x,y,z)

47 Διανυσματικοίχώροι Απόστασημεταξύδύοσημείων p 1, p 2

48 Διανυσματικοίχώροι Εσωτερικόγινόμενο (πραγματικόςαριθμός) v w= Σ(v i w i ) π.χ. Ευκλείδειος3Δ: v w= v x w x + v y w y + v z w z Ιδιότητες: Αντιμεταθετική: v w= w v v v= 0 v= 0 v/ v = v, μοναδιαίοδιάνυσμα(κανονικοποίηση) ισχύειv w= v w cos(θ), απ όπουμπορείνα υπολογιστείκαιηγωνίαμεταξύδιανυσμάτων.

49 Διανυσματικοίχώροι Εξωτερικόγινόμενο (διάνυσμα) v x w = (v y w z + v z w y ) i + (v x w z + v z w x )j + (v x w y + v y w x )k v x w είναικάθετοστοεπίπεδοπουορίζουν ταδύοάλλαδιανύσματα. δενισχύειηαντιμεταθετικήιδιότητα. v x w = - w x v

50 Συσχετισμένοι (Affine) Μετασχηματισμοί Συσχετισμένοςήβαρυκεντρικόςμετασχηματισμός σημείωνp 0 p n Ε 3 : p = Σα j p j όπου α j R και Σα j = 1 αποτέλεσμαp Ε 3. {αj} ονομάζονταιοισυσχετισμένεςσυντεταγμένεςτουpως προςp 0 p n. Ομετασχηματισμόςείναικυρτόςανα j 0 Συσχετισμένοςμετασχηματισμός Φ: Ε 3 Ε 3 πουαφήνει τουςσυσχετισμένουςμετασχηματισμούςαναλλοίωτους: Φ(p) = Σα j Φ(p j )

51 Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί π.χ. εφαρμογήσυσχετισμένουμετασχηματισμού πάνωσεευθύγραμμοτμήμαs απεικονίζειτο μέσον του στο μέσο της συσχετισμένης εικόνας Φ(s). Συσχετισμένοςμετασχηματισμόςμεμορφήπίνακα: Φ(p) = Α p + t (A πίνακας, 3x3 γιατο Ε 3 ) Απόδειξη: Φ(Σαjpj) = Α(Σα j p j ) + t = ΣAα j p j + Σα j t = Σα j (A p j + t) = Σα j Φ(p)

52 2D Μετασχηματισμοί Μετατόπιση: x =x+a, y =y+b

53 Μετασχηματισμοί Αλλαγήκλίμακας (διαφορετικήανάάξονα): x =x*a, y =y*b

54 Μετασχηματισμοί Στροφήκατάγωνίαθ (+veαντίθετααπόδείκτεςρολογιού)

55 Μετασχηματισμοί Στρέβλωσηκατάάξονα x καιyμεπαράγοντα2: x =x+2y, y =y+2x

56 Μετασχηματισμοί Οποιοσδήποτεάλλοςμετασχηματισμός, δημιουργείταισανσυνδυασμόςτωντεσσάρων βασικώνμετασχηματισμών: Μμετατόπιση, R στροφή, H στρέβλωση, S αλλαγήκλίμακος.

57 Μετασχηματισμοί: άσκηση Στρέβλωση(shearing), Ναβρεθούνοισχέσεις μετασχηματισμούκατάx καιy με z σταθερό: Απάντηση SH(p) = H x,y p, όπου:

58 Ομογενείςσυντεταγμένες Προβλήματα: Μεταφοράδενυλοποιείταιμεπολλαπλασιασμό πινάκων. ΎπαρξησταθερούσημείουΟ, σταθερούγιαόλους τουςμετασχηματισμούς. Ομογενείςσυντεταγμένες: (x,y) (x,y,w) με w 0. (x,y,w) παριστάνειτο(x/w,y/w) Άπειρεςτριάδεςγιακάθεσημείο. Βασικήπαράσταση: (x,y,1)

59 Ομογενείςσυντεταγμένες

60 ΟμογενείςΣυντεταγμένες Συσχετισμένοιμετασχηματισμοί: πίνακες3x3 Μεταφορά:

61 ΟμογενείςΣυντεταγμένες Αλλαγήκλίμακας (ανsi< 1 σμίκρυνση)

62 Στροφή Ομογενείςσυντεταγμένες

63 Ομογενείςσυντεταγμένες Στρέβλωση (κατάάξονεςx καιy):

64 Σύνθεσημετασχηματισμών Σύνθεσημετασχηματισμών: π.χ. Αλλαγήκλίμακας, ωςπροςc=(cx,cy,1) μεταφοράκατά c= -(O -C) αλλαγήκλίμακας μεταφοράκατάc Γενικάδενισχύειηαντιμετάθεση. Πρώτοςεκτελείται οτελεστήςπουγράφεταιτελευταίος. Σύνθεση: Εκτέλεσησειράςμετασχηματισμώναπόένα τελικόπίνακα. Αυξάνειτηναπόδοση(μειώνειτηνπολυπλοκότητα)

65 Σύνθεσημετασχηματισμών Ιδιότητες: T(x 1,y 1 ) T(x 2,y 2 ) = T(x 2,y 2 ) T(x 1,y 1 ) = T(x1 +x2,y 1 +y 2 ) S(s x1,s y1 ) S(s x2,s y2 )= S(s x2,s y2 ) S(s x1,s y1 ) = S(s x1 s x2,s y1 s y2 ) R(θ 1 ) R(θ 2 ) = R(θ 2 ) R(θ 1 ) = R(θ 1 + θ 2 ) S(s x,s y ) R(θ) = R(θ) S(s x,s y ) μόνοανs x = s y

66 ΓεωμετρικέςΙδιότητες Γιακάθεσυσχετισμένομετασχηματισμό F και σημεία pκαι q ισχύει: F(λp+(1-λ)q) = λf(p)+ (1-λ) F(q) για 0 λ 1 λp+(1-λ)q είναι το ευθύγραμμο τμήμα μεταξύp και q. ΗF παράγειπάλιευθύγραμμοτμήμα. Η σχέσηλ/(1-λ) παραμένειαναλλοίωτηαπό F. Εξακολουθείνααρκείαπεικόνισηάκρωνμόνο. Παράλληλεςευθείεςπαραμένουνπαράλληλες. π.χ. οιμετασχηματισμοίπουείδαμενωρίτερα.

67 Γεωμετρικέςιδιότητες Ορθογώνιοςμετασχηματισμός: ΜετασχηματισμόςΑλέγεταιορθογώνιοςαν α 1 = α 2 = 1 α 1 α 2 = 0 ΟρίζουσατουΑ= 1

68 Γεωμετρικέςιδιότητες ΟΜείναιμετασχηματισμόςομοιότηταςανοΑείναι ορθογώνιος. Έναςμετασχηματισμόςομοιότηταςδιατηρείαναλλοίωταμήκη καιγωνίες. ΟποιαδήποτεσύνθεσηΤ& R είναιμετασχηματισμός ομοιότητας. ΑνστησύνθεσηέχουμεS και Η, έχουμεσυσχετισμένο μετασχηματισμόαλλάόχιομοιότητας(διατηρείταιπαραλληλία αλλάόχιμήκηκαιγωνίες).

69 Άσκηση Ζητείταιναυπολογιστείοπίνακας μετασχηματισμούτηςσυμμετρικήςαπεικόνισης εικόναςως προς τονάξονα w ο οποίος σχηματίζειγωνίαθμετονθετικόάξονατωνχ Βοήθεια: Ομετασχηματισμόςμπορείνα προκύψειαπό: στροφήτηςεικόναςκατά θ ΣυμμετρίαωςπροςτονάξοναΧ Στροφήτηςεικόναςκατάθ

70 Φροντιστηριακήάσκηση #4 1. Ναμελετήσετεκαιναπεριγράψετετην τρέχουσατεχνολογίακαρτώνγραφικών 2. ΔίδεταισημείοΑ(χ=3,ψ=2). Ζητείταινα βρεθείτοσημείοα πουπροκύπτειαπότην περιστροφήτουσημείουαωςπροςσημείοβ ο μεσυντεταγμένεςβ(χ=1, ψ=1)κατάγωνία θ=30

71 2-ΔΜετασχηματισμόςΠαρατήρησης

72 2-ΔΜετασχηματισμόςΠαρατήρησης

73 2-ΔΜετασχηματισμόςΠαρατήρησης

74 Αποκοπή / clipping Αποκοπήαντικειμένου(π.χ. πολυγώνου, πυραμίδας, κύβου) ω.π. σημείοαποκοπής: Αποφυγήαντεστραμμένηςεμφάνισηςαντικειμένων (π.χ. 3-Δ, όπισθενπαρατηρητή). Μείωσητουόγκουδεδομένων(φίλτρο).

75 Αποκοπή 2-Δ: στηναντιταύτιση, απόκρυψη, παράλληλη επεξεργασία, 2Δπακέτα. 3-Δ: γραφικήσωλήνωση(γενίκευση2-δαποκοπής) 2-Δαποκοπήσημείου: εντόςεάνx min x x max και y min y y max.

76 Αποκοπή Ευθύγραμματμήματα: Αλγόριθμοςμέσου. Διαδοχικήδιάσπασηευθυγράμμουτμήματοςστημέση (ολίσθηση). Χρήση «φθηνών» ελέγχωνεντός/ εκτός. Κωδικοποίηση 9 περιοχών τουεπιπέδου Τέλοςεάνp 1 p 2 < pixel.

77 Αλγόριθμος Μέσου typedefstruct {float x, y} point; midpoint (P1, P2, xmin, xmax, ymin, ymax) point P1, P2; float xmin, xmax, ymin, ymax; { point M; /* ΥπολογισμόςΙΧ1, ΙΥ 1, ΙΧ2, ΙΥ 2 */ if (( IX1== 0)&&( IY1== 0)&&( IX2== 0)&&( IY2== 0)) /* ΤοP1P2 είναιεντόςπαραθύρου */ else if (( IX1== IX2)&&( IX1!= 0)) (( IY1== IY2)&&(IY1!= 0)) /* ToP1P2 είναιεκτόςπαραθύρου */ else { M. x=( P1. x+ P2.x)/ 2; M. y=( P1. y+ P2.y)/ 2; midpoint (P1,M, xmin, xmax, ymin, ymax); midpoint (M, P2, xmin, xmax, ymin, ymax); } }

78 Αποκοπήευθυγράμμωντμημάτων Αλγόριθμος Cohen-Sutherland: Αρχικά «φθηνός» έλεγχος γιατιςαπλέςπεριπτώσεις. π.χ. AB έξω, CD μέσα. Γιαάλλαευθύγραμμα τμήματα, κόψιμομε ευθείαπαραθύρουκαι αναδρομή.

79 Αλγόριθμος Cohen-Sutherland Αντιστοίχησηκωδικών σε9 περιοχέςτου επιπέδου. Κώδικεςπροκύπτουναπόταπρόσημαδιαφορών (π.χ. 1 ο bit y max y). Πρώτο bit1, περιοχήπάνωαπότηνευθείαy = y max Δεύτερο bit1, περιοχήκάτωαπότηνευθείαy = y min Τρίτο bit1, περιοχήδεξιάαπότηνευθείαx = x max Τέταρτο bit1, περιοχή αριστερά απότηνευθείαx = x min

80 Αλγόριθμος Cohen-Sutherland Υπολόγισεκώδικεςc 1, c 2 γιαp 1 p 2. Ανc 1 c 2 = 0000, p 1 p 2 είναιεντός(π.χ. CD). Ανc 1 c 2 = 0000, p 1 p 2 είναιεκτός(π.χ. ΑΒ). Διαφορετικά: Εύρεσηευθείαςτουπαραθύρου πουαντιστοιχείσε bit μεδιαφορετικέςτιμές. τομήp 1 p 2 μεευθεία. Αναδρομικήκλήσηγιατοένααπότατμήματαως προςτηνευθείατμήμα(εκείνομε bit=0)

81 Αλγόριθμος Cohen-Sutherland void CS (P1,P2, xmin, xmax, ymin, ymax) point P1, P2; float xmin, xmax, ymin, ymax; { intc1, c2; point I; c1= code( P1); /* ΕύρεσηκώδικαP1*/ c2= code( P2); /* ΕύρεσηκώδικαP2*/ if(( c1 c2)== 0) /* ΤοP1P2 είναιεντόςπαραθύρου */ elseif(( c1& c2)!= 0) /* ΤοP1P2 είναιεκτόςπαραθύρου */ else { intersect (P1,P2,I,xmin,xmax,ymin,ymax); if exoteriko(p1) CS( I,P2,xmin,xmax,ymin,ymax); else CS( P1, I, xmin, xmax, ymin, ymax); } }

82 Αλγόριθμος Sutherland-Hodgman 2-Δ αποκοπήςπολυγώνων Κατάλληλοςγιααποκοπήτυχαίουπολυγώνουμε κυρτόπολύγωνο(παράθυρο) αποκοπής. m βήματα για m πλευρές παραθύρου αποκοπής. είσοδοςστοβήμαi (i = 1 m) μετάαπόαποκοπήμε πλευράi-1.

83 Αλγόριθμος Sutherland-Hodgman2-Δ αποκοπήςπολυγώνων πολύγωνοορίζεταιαπότιςκορυφέςτουp 1, p 2 p n μεθετικήμαθηματικήφορά. Βήμαi εξετάζεισχέσηπλευράςsp μεακμή παραθύρουi.

84 Αλγόριθμος Sutherland-Hodgman2-Δ ΑποκοπήςΠολυγώνων ΠαράδειγμαβήματοςSutherland-Hodgman:

85 Αποκοπήσε 3-Δ Αντικείμενοαποκοπής: Περιορισμένηπυραμίδα(προοπτική) Κύβος(παράλληλη) 6 επίπεδααποκοπήςγιαυτάτααντικείμενα.

86 Cohen Sutherland 3-Δ 6 bit κωδικοίγιακάθεάκροp(x, y, z) Έστωκύβοςαποκοπής: πρώτο bit = 1, z p > z max, σημείοπίσωαπόκύβο. δεύτερο bit = 1, z p < z min, σημείοεμπρόςαπόκύβο τρίτο bit = 1, y p > y max, σημείοπάνωαπόκύβο τέταρτο bit = 1, y p < y min, σημείοκάτωαπόκύβο πέμπτο bit = 1, x p > x max, σημείοδεξιάαπόκύβο έκτο bit = 1, x p < x min, σημείοαριστεράαπόκύβο

87 Αλγόριθμος Cohen Sutherland 3-Δ ΑνC 1 C 2 = , p 1 p 2 εντός. ΑνC 1 C , p 1 p 2 εκτός. Διαφορετικά: Εύρεσηεπιφάνειαςκύβουπουαντιστοιχείσε bit μεδιαφορετικέςτιμές. τομήp 1 p 2 μεεπιφάνεια Αναδρομικήκλήσηγιατοεσωτερικότμήμαως προςεπιφάνεια..

88 Αλγόριθμος Cohen Sutherland 3-Δ Τομή ευθυγράμμου τμήματοςp1p2 με επίπεδο βάσει τηςπαραμετρικήςεξίσωσης: x(t) = x1 + t(x2 x1) = x1 + t Δx y(t) = y1 + t(y2 y1) = y1 + t Δy z(t) = z1 + t(z2 z1) = z1 + t Δz π.χ. τομήμεy = Υ Y = y(t) = y 1 + t Δt t = (Y y 1 ) / Δy Αν t [0,1], υπάρχεισημείο τομής με συντεταγμένες: (x 1 + t Δx, Y, z 1 + t Δz) = (x 1 + (Y y 1 ) Δx/Δy, Y, z 1 + (Y y 1 )Δz/Δy)

89 Αλγόριθμος Sutherland-Hodgman3-Δ 6 στάδιααποκοπήςγιατα 6 επίπεδα έλεγχοςανp(x,y,z) εσωτερικόεπιπέδου (a,b,c,d) απότοπρόσημο f(x,y,z) = ax + by + cz+ d Υπολογισμόςτομήςευθυγράμμουτμήματος μεεπίπεδο: π.χ. όπωςστηπερίπτωσηcohen- Sutherland

90 Μετασχηματισμοί 3-Δ Ομογενείςσυντεταγμένεςσημείων Ε 3 : (x,y,z,w) Βασικήπαράσταση: (x,y,z,1) Δεξιόστροφα(εδώ) ήαριστερόστροφα συστήματα.

91 Μετασχηματισμοί 3-Δ

92 Μετασχηματισμοί 3-Δ Στροφή: Ανάγκηκαθορισμούθετικής / αρνητικήςφοράς Ορθογώνιοιμετασχηματισμοί

93 Μετασχηματισμοί 3-Δ

94 Φροντιστηριακήάσκηση Φ5 Μετασχηματισμοί 3 διαστάσεων Σελ119 (Θεοχάρης) άσκησηα.3.9 Περιστροφήπυραμίδαςωςπροςάξονα

95 ΜΑΘΗΜΑ #9 Προβολές Απαραίτητεςαφού3Δαντικείμενα απεικονίζονταισε2δσυσκευές.

96 Προβολές Προοπτική: πεπερασμένηαπόστασηκέντρου προβολήςαπόεπίπεδοπροβολής. Παράλληλη: άπειρηαπόστασηκέντρου προβολήςαπόεπίπεδοπροβολής. Ιδιότητεςπροβολών: Ευθείεςπροβάλλονταισεευθείες. Αποστάσειςαλλάζουν(γενικά). 3Δπαράλληλεςευθείες, μηπαράλληλεςμεεπίπεδο προβολής, δενπροβάλλονταισεπαράλληλεςευθείες. Γωνίαμεταξύευθειώναλλάζει, εκτόςανεπίπεδο γωνίαςπαράλληλομεεπίπεδοπροβολής.

97 ΠροοπτικήΠροβολή Έστωπροβολήστοεπίπεδο ΧΥμεκέντρο προβολής

98 ΠροοπτικήΠροβολή Δενείναιγραμμικόςμετασχηματισμός (διαίρεσημε z). Δενμπορείναδοθείμεμορφήπίνακα. Ωστόσομπορούμεναχρησιμοποιήσουμεμεταβολήτου w. Ακολουθείδιαίρεσημε w (αφούπρέπειw=1)

99 ΠροοπτικήΠροβολή Χαρακτηριστικό: κεντρικήσμίκρυνση (όπωςτοανθρώπινομάτι).

100 ΠαράλληληΠροβολή Κέντροπροβολήςστοάπειρο, δίνεταικατεύθυνση προβολής. Διατηρείαποστάσεις, χρήσιμοστοιχείο π.χ. στηναρχιτεκτονική. Ορθογώνιαπαράλληληπροβολή: πάνωσεένααπό ταβασικάεπίπεδαμεκάθετεςακτίνεςπροβολής. Πίνακαςμετασχηματισμού γιαορθογώνια π.χ. στο ΧΥ

101 ΠαράλληληΠροβολή Παράλληλεςπροβολέςδιακρίνονταισε: Ορθογραφικές: ακτίνεςπροβολής κάθετεςστοεπίπεδοπροβολής. Πλάγιες: ακτίνεςόχικάθετες. Ορθογραφικέςδιακρίνονταισε: Ορθογώνιες: ακτίνεςπροβολήςπαράλληλεςμε Χ, ΥήΖ. Αξονομετρικές: μηορθογώνιες. Ισομετρικές: ακτίνεςπροβολήςπαράλληλεςμεκύρια διαγώνιοχώρου.

102 Παράδειγμα -άσκηση ΠροβολήμοναδιαίουκύβουστοεπίπεδοΧΥ για προοπτικήπροβολή μεd=1 καιd=10 (μοναδιαίοςκύβοςέχειμιακορυφήστο 0,0,0 καιμίακορυφήστο(1,1,1), περιγράφεταιαπό 8 σημεία, μήτρα 8*4 )

103 ΜετασχηματισμόςΠαρατήρησης ΠαγκόσμιοΣύστημαΣυντεταγμένωνΣύστημα ΣυντεταγμένωνΠαρατηρητή. Σύνθεσηβασικώνμετασχηματισμών. Καθορίζειόριααποκοπής& παραμέτρουςπροβολής ΘαεξετάσουμεΜΠΙ

104 ΜετασχηματισμόςΠαρατήρησηςΙ ΜΠΙχρησιμοποιείπροοπτικήπροβολήκαικαθορίζεταιαπό: α. ΣημείοπαρατήρησηςΟ β. 2 ανύσματαγια Υ Π καιζ Π (αριστερόστροφο). Από Παγκόσμιο Σύστημα Συντεταγμένων(ΠΣΣ) σεσύστημα συντεταγμένων παρατηρητή(σσπ) : 1. ΜεταφοράστηναρχήΠΣΣ. 2. Στροφέςγύρωαπό Χ, ΥκαιΖτουΠΣΣώστεναταυτισθούν με αντίστοιχουςσσπ. 3. Αποκοπή. 4. ΠροοπτικήΠροβολή. Χρησιμοποιούνται 3 ακόμα παράμετροι για καθορισμό ορίωναποκοπής: γ. Μέγεθοςπαραθύρουπροβολής 2h. δ. Απόσταση d έμπροσθενεπιπέδουαποκοπήςαπό (κάθετοστονζ Π ). ε. Απόσταση f όπισθενεπιπέδουαποκοπήςαπό (κάθετοστονζ Π ).

105 ΜετασχηματισμόςΠαρατήρησηςΙ

106 ΜετασχηματισμόςΠαρατήρησηςΙ ΧαρακτηριστικάΜΠΙ: Επίπεδοπροβολήςταυτόσημομεέμπροσθενεπίπεδο αποκοπής z Π =d. Κέντροπροβολήςταυτόσημομεσημείοπαρατήρησης. Προοπτικήπροβολή. Τετράγωνοπαράθυρο, συμμετρικόωςπρος Ζ Π. Πληροφορίαz διατηρείταικατάτηνπροβολή για2 λόγους: 3Δαποκοπήευκολότερησανενδιάμεσοστάδιοτης προβολής. Απόκρυψηαπαιτεί z πληροφορία. (Z-Buffer)

107 Προβολήστον ΜΠΙ Θα χρειαστούμε PΜΠ1 από ΣΣΠ σε ΣΣ Οθόνης(ΣΣΟ):

108 Προβολήστον ΜΠΙ Οπαραπάνωμετασχηματισμόςμπορείναχωρισθείσε: Γραμμικόμέρος(πίνακας). Διαίρεσημεομογενήσυντεταγμένη(= z Π )

109 Προβολήστον ΜΠΙ

110 Προβολήστον ΜΠΙ

111 Φροντιστηριακήάσκηση Φ6 (παραδοτέα-τελευταία) Ναβρεθείημήτραμετασχηματισμούενός σημείου(x,y,z) απόσύστημασυντεταγμένων φυσικούσυστήματοςσεένασύστημασ εταγμένωνπαρατήρησης(σσπ) με χαρακτηριστικά: οάξονας Ζ τουσσπναδείχνεικατευθείανστηναρχήτου φυσικούσυστήματοςκαιοάξοναςχναείναι παράλληλοςστοεπίπεδοχυτουφυσικούσυστήματοςοι δεάξονεςχ,υ τουσσπναείναιπαράλληλοιστουςάξονες τηςοθόνηςπουαποτελείτοεπίπεδοπροβολής

112 Άσκηση (συνέχεια) Χρησιμοποιείστετοσχήμαγιατιςεξισώσεις μετασχηματισμού x= ρ*sinφ* cosθ y= ρ*sinφ* sinθ z = ρ* cosφ

113 Άσκηση (συνέχεια) Στησυνέχειαχρησιμοποιήσατετημήτραμετασχηματισμού καθώςκαιτιςεξισώσειςτηςπροοπτικήςπροβολήςγιανα λύσετετοεξήςπρόβλημα: Ανυποθέσουμεκύβοτουοποίου τοκέντροβρίσκεταιστηναρχήτουφυσικούσυστήματος συντεταγμένων με ακμή 1 εκ, έστω ότι παρατηρούμε τον κύβοαπό σημείο 6,10,8 μετονάξοναπαρατήρησης z να δείχνειπροςτηναρχήτουφυσικούσυστήματος συντεταγμένων. Υποθέτουμεότιοάξοναςτωνχβρίσκεται στοεπίπεδο z=8. Επίσηςυποθέστεότιβλέπουμετο αντικείμενο από απόσταση 0,6 μ. Καιότι ηοθόνη(πεδίο προβολής) είναιδιαστάσεων 0,3*0,3 μ. Μεσυντεταγμένες 1024*1024. Ναβρεθείκαιναυπολογιστείηπροοπτική προβολήτουκύβουστοεπίπεδοτηςοθόνης

114 Αποκοπήστο ΜΠΙ Τιμήορίζεικαιταόριααποκοπής: w x w w y w 0 z w Αποκοπήγίνεταιμετάτηνεφαρμογή P ΜΠΙ αλλάπριντηδιαίρεσημετο w

115 #10 ΠρόβλημαΑπόκρυψης Ποιοείναιτοεμφανέςαντικείμενο(χρώμα) σεκάθε σημείοτουεπιπέδουπροβολής; Χωρίζονταισεαλγόριθμουςαπόκρυψηςακμώνκαι επιφανειών. Χρησιμοποιούνάμεσαήέμμεσαταξινόμησηστις διαστάσεις X Y καιz.

116 ΑλγόριθμοιΑπόκρυψης Χωρίζονταισε αλγόριθμουςχώρουαντικειμένων και αλγόριθμουςχώρουεικόνας. ΑλγόριθμοιχώρουαντικειμένωνείναιO(Π 2 ) ενώαλγόριθμοιχώρουεικόναςείναιο(π-ρ) όπου Ποαριθμόςτωνπολυγώνων και P οαριθμόςτωνpixels.

117 Αλγόριθμοιχώρουαντικειμένων Αλγόριθμοιχώρουαντικειμένωνσυγκρίνουν αντικείμεναμεταξύτουςγιαναβρουντοπλησιέστερο σεκάθεσημείοτουεπιπέδουπροβολής: Γιακάθεαντικείμενοπ { Εύρεσητωνορατώντμημάτωντουπμέσωσύγκρισης (Χ,Υ,Ζ) μεόλαταάλλααντικείμενα; Χρωματισμόςτωνορατώντμημάτωντουπστηνοθόνη }

118 Αλγόριθμοιχώρουεικόνας Αλγόριθμοιχώρουεικόναςέχουντηνεξήςμορφή: Γιακάθεpixelρτηςεικόνας { Εύρεσητουπλησιέστερουαντικειμένουπουτέμνεται απότηνακτίναπροβολήςπουπερνάαπότορ; Χρωματισμόςτουρμετοχρώματουπλησιέστερου αντικειμένουστοσημείοτομής }

119 ΑλγόριθμοιΑπόκρυψης Υπολογιστικήακρίβεια. Αλγόριθμοιχώρουεικόνας: ακρίβειαπουαπαιτείηανάλυσητης εικόνας. Αλγόριθμοιχώρουαντικειμένων: ακρίβειαορισμούαντικειμένων (=ακρίβειαυπολογιστή). Θέσηστηγραφικήσωλήνωσηεξόδου. Αλγόριθμοιχώρουαντικειμένων: μετάτηνπροβολή (διακεκομμένηγραμμή). Αλγόριθμοιχώρουεικόνας: ενσωματώνονταιστηδιαδικασία παράστασηςστηνοθόνη. Διαγραφήπίσωεπιφανειών.

120 ΑλγόριθμοιΑπόκρυψης Τεχνικέςβελτίωσηςαποτελεσματικότητας αλγορίθμωναπόκρυψης. Εκμετάλλευσηπροοπτικούμετασχηματισμού. Εκμετάλλευσησυνάφειας. Περιβάλλοντεςόγκοι. Διαμερισμόςχώρου.

121 Προοπτικός Μετασχηματισμός ΖήτημααπόκρυψηςμεταξύδύοσημείωνΣ 1 (x 1,y 1,z 1 ) καισ 2 (x 2,y 2,z 2 ) υπάρχει μόνοανταδύοσημείαβρίσκονταιπάνωστηνίδιαακτίναπροβολής. Συνθήκηαπόκρυψηςστηνπαράλληληπροβολή: (x 1 =x 2 ) και(y 1 =y 2 ) Συνθήκηαπόκρυψηςστηνπροοπτικήπροβολή:(x 1 /z 1 =x 2 /z 2 ), (y 1 /z 1 =y 2 /z 2 ) Απαιτεί(ακριβή) διαίρεσημε z. Η διαίρεσηαυτήγίνεταικατάτηνπροοπτικήπροβολή. Η προοπτικήπροβολήμετατρέπειτιςακτίνεςπροβολήςσεπαράλληλες. Φυλάμε z συντεταγμένηγιασύγκρισηβάθους.

122 Συνάφεια Συνάφεια: ιδιότηταγεωμετρικώνοντοτήτωννα διατηρούντοπικάσταθερέςτιςτιμέςτων χαρακτηριστικώντουςήνατιςμεταβάλλουν ομαλά. π.χ. αυξητικόςυπολογσμός z σημείωνπολυγώνου. Είδησυνάφειας: Συνάφειαακμής. Συνάφειαεπιφάνειας. Συνάφειαγραμμώνσάρωσης. Συνάφειακαρέ.

123 Περιβάλλοντες Όγκοι Απλούστεροιόγκοιαπότααντικείμεναπου περιβάλλουνγιαμείωσηκόστουςσυγκρίσεωνκατά τηνταξινόμηση στις διαστάσεις Χ, ΥκαιΖ. Συχνάέχουντημορφήορθογώνιουπαραλληλογράμμου (2Δ) ήορθογώνιουπαραλληλεπιπέδου(3δ). Οχιαπαραίτητακλειστοί. Ανοιπεριβάλλοντεςόγκοιδύοαντικειμένωνδεν τέμνονταιτότεούτετααντικείμενατέμνονται. Τοαντίθετοδενισχύειπάντα.

124 ΔιαμερισμόςΧώρου Διαμερισμόςχώρουσεσύνολο διατεταγμένωνμερών (π.χ. voxels). Ταμέρητουχώρουπουκαταλαμβάνειένα αντικείμενοορίζουνέμμεσατηδιάταξήτου σεσχέσημεάλλααντικείμενα.

125 ΔιαγραφήΠίσωΕπιφανειών Ανηγωνίαμεταξύκαιείναιτότεηεπιφάνειαείναι Μιαεπιφάνειαείναιορατήαν Μειώνειόγκοδεδομένωνκατά ~50%. Λύνειπρόβλημααπόκρυψηςγιαένακυρτό αντικείμενο.πίσω(αόρατη).

126 ΔιαγραφήΠίσωΕπιφανειών ΛειτουργείστοχώροαντικειμένωνκαιείναιΟ(Π). V μπορείναυπολογισθείαπόμίακορυφήp της επιφάνειας. ΑνοπαρατηρητήςβρίσκεταιστοκέντροτουΣΣΠτότεV=-P N μπορεί να υπολογισθεί από 3 διαδοχικές, μη συγγραμμικέςκορυφέςp 1, P 2, P 3 και ΠΡΟΣΟΧΗ: Χρήσησειράςκορυφών

127 ΑλγόριθμοιΑπόκρυψηςΕπιφανειών Ακολούθησαντηνεμφάνισητηςπλεγματικής οθόνης. 4 Βασικέςκατηγορίες. z-buffer (πιοδιαδεδομένος). scanline. ταξινόμησηκατάβάθος. υποδιαίρεσηεπιφάνειας.

128 ΑλγόριθμοιΑπόκρυψηςΕπιφανειών Βασικήπράξη: σύγκρισηβάθους 2 στοιχείων μείδιο ΧΥ. Η προοπτικήπροβολή διευκολύνει. Μετατρέπειακτίνεςπροβολής ώστεναείναιπαράλληλεςτου Z. Ίσεςαποστάσειςστον Ζ π δεν μετασχηματίζονταισείσες αποστάσειςστονζ ο. Ζ ο μεταβάλλεταιταχύτερακαθώς πλησιάζειτημέγιστητιμήτου(1).

129 Αλγόριθμος z-buffer Απαιτεί ύπαρξη μνήμης βάθους (z-buffer) για κάθεpixel. Οιτιμέςβάθουςβρίσκονται(γιαταπερισσότερα σχήματα) μεπαρεμβολή. Έμμεσηταξινόμηση. Γιακάθεpixelοz-bufferφυλάειτηνελάχιστη(ως τώρα) τιμήβάθουςστοpixelαυτό. Αρχικοποίηση στο μέγιστο z (πίσωεπίπεδο αποκοπής).

130 Αλγόριθμος z-buffer /* Αρχικοποίηση: m,nοιδιαστάσειςτηςοθόνης */ for (x=0; x<m; x++) { } for (y=0; y<n; y++) { } z_buffer[x,y]=f; /*μέγιστοβάθος*/ frame_buffer[x,y]=background; /*φόντο*/ /*Επεξεργασίαπολυγώνων*/ for (π=0; π<number_of_polygons(); π++) { /*Επεξεργασίαscanlinesπολυγώνουymin ymax*/ for(y=ymin; y<=ymax; y++) { /*Βρεςμεγραμμικήπαρεμβολήμεταξύτωναντίστοιχωνκορυφών, τιςτιμέςτομήςμε scanliney :xleft,xrightτις τιμές βάθους στις τομές:zleft,zrightτις τιμές χρωματισμού στιςτομές:cleft,cright*/ for (x=xleft; x<=xright; x++) { /*Βρεςμεγραμμικήπαρεμβολήμεταξύxleftκαιxrightτηντιμήβάθους z καιχρώματος c σεκάθεpixelx,y*/ if (z<z_buffer[x,y]) { z_buffer[x,y]=z; frame_buffer[x,y]=c;

131 Αλγόριθμος z-buffer Τομέςπλευρώνπολυγώνουμεscanlines βρίσκονταιμελίσταενεργώνπλευρών. Γραμμικήπαρεμβολή z.

132 Αλγόριθμος z-buffer Ο(Π,S), όπου ΠοαριθμόςπολυγώνωνκαιS o μέσοςαριθμόςpixelανάπολύγωνο. Γιατυπικέςσκηνές (σταθερό). Πλεονεκτήματα z-buffer: Ευκολίαυλοποίησηςσε H/W ήs/w. Επεξεργασίαπολυγώνωνμετυχαίασειρά. Δυνατότηταχρήσηςγιαμηπολυγωνικάαντικείμενα (μεσυνάρτησηβάθους). Ανάγκησεμνήμη: Έναςκαλός z-buffer απαιτεί32 bits/pixel. Γιαανάλυση1024x1024 αυτόσυνεπάγεται4mbytes.

133 ΕιδικέςΕφαρμογές z-buffer Συνδυασμόςεικόνων Έστω οι frame και z-buffer εικόνων A και Β. ΑκαιΒμπορείναδημιουργήθηκανχωριστά. Συνδυασμός: for (x=0; x<m; x++) for (y=0; y<n; y++) {Z C [x,y]=(z A [x,y]<z B [x,y])?z A [x,y]:z B [x,y]; F C [x,y]=(z A [x,y]<z B [x,y])?f A [x,y]:f B [x,y];} Τοποθέτηση3Δαντικειμένων σεσκηνήμεχρήση z-buffer. 3Δcursor. Δενμεταβάλλουμεπεριεχόμενα z-buffer.

134 ΑλγόριθμοιΛίσταςΠροτεραιότητας (αλγόριθμοι ζωγράφου) Ταξινόμησηπολυγώνωνκατάβάθοςκαιεμφάνιση μεσωστήσειρά: Οχιπάνταδυνατή(επικάλυψη z-έκτασης, τεμνόμενα πολύγωνα). Διαμερισμόςπολυγώνων. Μεγάληπολυπλοκότητα. Χώροςαντικειμένων, αναποτέλεσμαθεωρηθείη ταξινομημένηλίστα. 1. Αλγόριθμοςταξινόμησηςκατάβάθος(Newell 1972). 2. ΑλγόριθμοςBSP δένδρου(fuchs 1983).

135 ΑλγόριθμοςΤαξινόμησηςκατά Βάθος Ταξινόμησηκατάφθίνουσααπόστασηαπό κέντροπροβολής. Σύγκριση P προq δενείναιπάνταεύκολη. Χρήσηπεριβάλλοντοςπαραλληλεπιπέδου [x min (P), y min (P), z min (P)],[x max (P), y max (P), z max (P)].

136 ΑλγόριθμοιΥποδιαίρεσηςΕπιφάνειας Αναδρομικήδιαίρεσηεπιπέδουπροβολής: Αν1 πολύγωνοκαλύπτειτμήμαπλήρως, τότεαυτόπαίρνειτοχρώματουπολυγώνου. Αναδρομήσταματάεπίσηςστομέγεθοςτουpixel. Εκμετάλλευσησυνάφειαςεπιφάνειας(μεγάλαπολύγωνα, σταθερούχρώματος). Αλγόριθμος Warnock: Αναδρομήσταματά αναπόένα τμήμα περνά τοπολύ1 ακμή πολυγώνου. ΣυγκρίσειςπροβολήςπολυγώνουP μεπεριοχήοθόνηςβ. Χρήσηπεριβάλλοντωνορθογωνίων: 4 περιπτώσειςσχέσης P καιb: (D: Disjoint) P εξωτερικότηςβ. (C: Contained) P εσωτερικότηςβ. (S: Surrounding) P καλύπτονπλήρωςτηνβ. (I: Intersecting) P τέμνοντηνβ. Π.χ.σχέση D εξασφαλίζεται εάνισχύει:

137 ΑλγόριθμοιΥποδιαίρεσηςΕπιφάνειας Αναδρομικές διαιρέσεις Warnock: Μείωσηυποδιαιρέσεων μεβάσηκορυφέςπολυγώνων (Weiler-Atherton):

138 Σύγκριση ΜεθόδωνΑπόκρυψης

139 ΑπόκρυψηκαιΠαρακολούθηση Ακτίνας (Ray Tracing) Αλγόριθμοςπαρακολούθησηςακτίνας(Whitted): Ακτίνεςπουορίζονταιαπόσημείοπαρατήρησηςκαι κάθεpixelακολουθούνταιώσπουνασυναντήσουν αντικείμενο. Εκείδιασπώνταιανάλογαμεμοντέλο. Ουσιαστικάλύνειπρόβλημααπόκρυψης.

Πρόβληµα Απόκρυψης. Ποιο είναι το εµφανές αντικείµενο (χρώµα) σε κάθε σηµείο του επιπέδου προβολής;

Πρόβληµα Απόκρυψης. Ποιο είναι το εµφανές αντικείµενο (χρώµα) σε κάθε σηµείο του επιπέδου προβολής; Πρόβληµα Απόκρυψης Ποιο είναι το εµφανές αντικείµενο (χρώµα) σε κάθε σηµείο του επιπέδου προβολής; Σ Εµφανές αντικείµενο στο σηµείο Σ Επίπεδο προβολής Χωρίζονται σε αλγόριθµους απόκρυψης ακµών και επιφανειών.

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά με Η/Υ / Εισαγωγή

Γραφικά με Η/Υ / Εισαγωγή Γραφικά με Η/Υ Εισαγωγή Πληροφορίες μαθήματος (1/4) Υπεύθυνος μαθήματος: Μανιτσάρης Αθανάσιος, Καθηγητής ιδάσκοντες: Μανιτσάρης Αθανάσιος: email: manits@uom.gr Μαυρίδης Ιωάννης: email: mavridis@uom.gr

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Γραφικά. Μοντέλο (Πληροφορίες για Περιεχόµενο εικόνας. Επεξεργασία Εικόνων. Εικόνα. Τεχνητή Όραση 1.1. Εργα: : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Εισαγωγή. Γραφικά. Μοντέλο (Πληροφορίες για Περιεχόµενο εικόνας. Επεξεργασία Εικόνων. Εικόνα. Τεχνητή Όραση 1.1. Εργα: : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ Εισαγωγή Μιάεικόνααξίζει1000 λέξεις : Ανθρώπινοοπτικόκανάλι: 30-40 Μbits/s (=64-85 M λέξεις /min µε 4 γράµµατα/λέξη, 7bits/γράµµα). Γραπτό κείµενο: 600-1200 λέξεις/min. 100.000 αποδοτικότερη επικοινωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Υλοποίηση Αλγορίθμων Γραφικής σε Περιβάλλον Οπτικού Προγραμματισμού

ΘΕΜΑ: Υλοποίηση Αλγορίθμων Γραφικής σε Περιβάλλον Οπτικού Προγραμματισμού Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΘΕΜΑ: Υλοποίηση Αλγορίθμων Γραφικής σε Περιβάλλον Οπτικού Προγραμματισμού ΣΠΟΥΔΑΣΤΡΙΑ: ΚΛΑΔΑΚΗ ΕΙΡΗΝΗ 275 ΚΑΒΑΛΑ, 2006 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων

Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods)

Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods) 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods) Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Θέαση στις 3D

Γραφικά Υπολογιστών: Θέαση στις 3D 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Θέαση στις 3D Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιεχόμενα Σήμερα θα δούμε τα παρακάτω θέματα: Μετασχηματισμοί

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Παρατήρησης και Προβολές

Μετασχηματισμοί Παρατήρησης και Προβολές Μετασχ. Γραφικά Παρατήρησης Υπολογιστών και Προβολές Μετασχηματισμοί Παρατήρησης και Προβολές Γ. Γ. Παπαϊωάννου, - 2008 Στάδια Προβολής στο Επίπεδο Περνάμε από WCS στοτοπικόσύστημα συντεταγμένων του παρατηρητή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ -ΈΛΛΕΙΨΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ -ΈΛΛΕΙΨΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ -ΈΛΛΕΙΨΗΣ Μια εικόνα μπορεί να περιγραφεί με πολλούς τρόπους. Αν υποθέσουμε ότι έχουμε μια προβολή ψηφιδοπλέγματος, μια εικόνα καθορίζεται πλήρως από το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

Απεικόνιση Υφής. Μέρος Α Υφή σε Πολύγωνα

Απεικόνιση Υφής. Μέρος Α Υφή σε Πολύγωνα Απεικόνιση Γραφικά ΥφήςΥπολογιστών Απεικόνιση Υφής Μέρος Α Υφή σε Πολύγωνα Γ. Γ. Παπαϊωάννου, - 2008 Τι Είναι η Υφή; Η υφή είναι η χωρική διαμόρφωση των ποιοτικών χαρακτηριστικών της επιφάνειας ενός αντικειμένου,

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά & Οπτικοποίηση. Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή. Γραφικά & Οπτικοπίηση: Αρχές & Αλγόριθμοι Κεφάλαιο 1

Γραφικά & Οπτικοποίηση. Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή. Γραφικά & Οπτικοπίηση: Αρχές & Αλγόριθμοι Κεφάλαιο 1 Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Ιστορικά Ιστορική ανασκόπηση : 2 Ιστορικά (2) Ρυθμοί ανάπτυξης CPU και GPU 3 Εφαρμογές Ειδικά εφέ για ταινίες & διαφημίσεις Επιστημονική εξερεύνηση μέσω οπτικοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Περικοπής και Απομάκρυνσης Κρυμμένων Επιφανειών

Αλγόριθμοι Περικοπής και Απομάκρυνσης Κρυμμένων Επιφανειών Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 5 Αλγόριθμοι Περικοπής και Απομάκρυνσης Κρυμμένων Επιφανειών Εισαγωγή Το οπτικό μας πεδίο είναι περιορισμένο ενώ παράλληλα υπάρχει παρεμπόδιση μεταξύ αντικειμένων βλέπουμε

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Έγχρωµο και Ασπρόµαυρο Φως

Έγχρωµο και Ασπρόµαυρο Φως Έγχρωµο και Ασπρόµαυρο Φως Χρώµα: κλάδος φυσικής, φυσιολογίας, ψυχολογίας, τέχνης. Αφορά άµεσα τον προγραµµατιστή των γραφικών. Αν αφαιρέσουµε χρωµατικά χαρακτηριστικά, λαµβάνουµε ασπρόµαυρο φως. Μόνο

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Εισαγωγή

Γραφικά Υπολογιστών: Εισαγωγή 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Εισαγωγή Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιγραφή Γραφικά Υπολογιστών Τι είναι? Περιοχές εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

Απαλλακτική Εργασία Γραφικά & Εικονική Πραγματικότητα. Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609

Απαλλακτική Εργασία Γραφικά & Εικονική Πραγματικότητα. Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609 Απαλλακτική Εργασία Γραφικά & Εικονική Πραγματικότητα Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609 Αναπαράσταση μοντέλου Το 3D μοντέλο το αποθηκεύουμε στην μνήμη με τις εξής δομές δεδομένων: Λίστα κορυφών Λίστα τριγώνων

Διαβάστε περισσότερα

ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ (ΘΕΩΡΙΑ)

ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ (ΘΕΩΡΙΑ) ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : ΝΤΙΝΤΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ (MSC) Καθηγητής Εφαρμογών ΚΑΡΔΙΤΣΑ 2010 ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΦΩΤΟΑΠΟΔΟΣΗ: ΕΝΝΟΟΥΜΕ ΤΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΥ ΟΛΩΝ ΕΚΕΙΝΩΝ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΩΣΤΕ ΝΑ ΕΧΟΥΜΕ

Διαβάστε περισσότερα

με τόξο ακτίνας R 43 1.2.14 Σύνδεση ευθείας τ με δύο τόξα ακτίνας R και R 1

με τόξο ακτίνας R 43 1.2.14 Σύνδεση ευθείας τ με δύο τόξα ακτίνας R και R 1 Πρόλογος 19 1 1.1 ΒΑΣΙΚΟΙ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΑ ΣΧΕΔΙΟΥ 21 1.1.1 Χαρτί σχεδίου 21 1.1.2 Κανονισμοί στο σχέδιο 21 1.1.3 Τοποθέτηση του χαρτιού 23 1.1.4 Αναδίπλωση 23 1.1.5 Υπόμνημα 24 1.1.6 Κλίμακα 25 1.1.7

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Περιοχή εργασίας. Τμ. Γραφιστικής (Γραφιστική με Η/Υ - In Design) 2

Περιοχή εργασίας. Τμ. Γραφιστικής (Γραφιστική με Η/Υ - In Design) 2 Περιοχή εργασίας A. Παράθυρο εγγράφου B. Συγκέντρωση πινάκων συμπτυγμένων σε εικονίδια Γ. Γραμμή τίτλου πίνακα Δ. Γραμμή μενού E. Γραμμή επιλογών Στ. Παλέτα εργαλείων Ζ. Κουμπί σύμπτυξης σε εικονίδια Η.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή Η προβολή τρισδιάστατου αντικειμένου πάνω σε δισδιάστατη επιφάνεια αποτέλεσε μια από τις βασικές αναζητήσεις μεθόδων απεικόνισης και απασχόλησε από πολύ παλιά τους ανθρώπους. Με την

Διαβάστε περισσότερα

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j Κεφάλαιο Πίνακες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος Α 56 Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004 Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-004 Περιεχόµενα 1 Θέµατα 1999.......................................... 3 Θέµατα 000..........................................

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ENOTHTA. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο. Πώς προσδιορίζουμε τη θέση των αντικειμένων; A O M B ' y P Ì(,y) Ð Για τον προσδιορισμό της θέσης πάνω σε μία ευθεία πρέπει να έχουμε ένα σημείο της

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ Η συνάρτηση y αχ + βχ + γ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y αx + βx + γ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y αx + βx + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ξεφυλλίζοντας τα σχολικά βιβλία της Α και Β Λυκείου θα συναντήσουμε τις παρακάτω 10 "βασικές" συναρτήσεις των οποίων τη γραφική παράσταση πρέπει να γνωρίζουμε:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms. Τηλ 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel 361653-3617784 - Fax: 364105 17 Ιανουαρίου 015 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 7 49 3 4 3 6 11 Υπολογίστε την τιμή της παράστασης: Α= + + : 3 9 7 3 5 10 Πρόβλημα Μία οικογένεια αγόρασε

Διαβάστε περισσότερα

Εργαλεία Δημιουργίας Τρισδιάστατων Γραφικών

Εργαλεία Δημιουργίας Τρισδιάστατων Γραφικών Τεχνικός Εφαρμογών Πληροφορικής Εργαλεία Δημιουργίας Τρισδιάστατων Γραφικών Εισαγωγή Εξάμηνο: 2014Β Διδάσκουσα: Ηλεκτρονική Τάξη: http://moodleforall.ictlab.edu.gr/ Περιεχόμενα Τι είναι τα γραφικά Είδη

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση του Mathematica

Παρουσίαση του Mathematica Παρουσίαση του Mathematica Εργαστήριο Σκυλίτσης Θεοχάρης Καλαματιανός Ρωμανός Καπλάνης Αθανάσιος Ιόνιο Πανεπιστήμιο (www.ionio.gr)( Εισαγωγή Σύμβολα πράξεων ή συναρτήσεων: Πρόσθεση + Αφαίρεση - Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0).

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0). Κεφάλαιο 3 Ο εφαπτόμενος χώρος Σύνοψη Ο εφαπτόμενος χώρος μιας κανονικής επιφάνειας αποτελεί τη βέλτιση γραμμική προσέγγιση της επιφάνειας σε ένα σημείο της. Αποτελείται από όλα τα εφαπτόμενα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές σκίασης/απεικόνισης βασισμένες στις φυσικές αρχές σχηματισμού εικόνας

Τεχνικές σκίασης/απεικόνισης βασισμένες στις φυσικές αρχές σχηματισμού εικόνας Τεχνικές σκίασης/απεικόνισης βασισμένες στις φυσικές αρχές σχηματισμού εικόνας Η αρχιτεκτονική αλυσίδας γραφικών (κάθε πολύγωνο περνάει χωριστά από την αλυσίδα) σε συνδυασμό με τοπικά μοντέλα σκίασης έχει

Διαβάστε περισσότερα

Γραφιστική Πληροφορίας σε 3D

Γραφιστική Πληροφορίας σε 3D Γραφιστική Πληροφορίας σε 3D Κωνσταντίνος Σεβεντεκίδης Καθηγητής Πληροφορικής ΠΕ-19, Msc Email: kseventekidis@sch.gr Τμήμα Πληροφορικής και ΜΜΕ ΤΕΙ ΠΥΡΓΟΥ (παράρτημα ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ) Γραφιστική Πληροφορίας

Διαβάστε περισσότερα

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση Χειμερινό Εξάμηνο 2013-2014 Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση 5 η Παρουσίαση : Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Διδάσκων: Γιάννης Ντόκας Σύνθεση Χρωμάτων Αφαιρετική Παραγωγή Χρώματος Χρωματικά

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά µε Η/Υ. Τεχνολογίες Γραφικών & Στοιχεία µαθηµατικών

Γραφικά µε Η/Υ. Τεχνολογίες Γραφικών & Στοιχεία µαθηµατικών Γραφικά µε Η/Υ Τεχνολογίες Γραφικών & Στοιχεία µαθηµατικών Τεχνολογίες Γραφικών 2/ 4 Τεχνολογία παραγωγής συνθετικής εικόνας (Πλεγµατική οθόνη) Πλεγµατική οθόνη (Raster): δισδιάστατο πλέγµα απόpixels Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Απόδειξη. Η ιδιότητα(vi) του ορισμού δεν ισχύει στην πράξη αυτή. Πράγματι, έχουμε. 1 (x, y, z) =(1 x, 1 y, 2 1 z) =(x, y, 2z)

Απόδειξη. Η ιδιότητα(vi) του ορισμού δεν ισχύει στην πράξη αυτή. Πράγματι, έχουμε. 1 (x, y, z) =(1 x, 1 y, 2 1 z) =(x, y, 2z) 1 ιανυσματικοί χώροι Άσκηση 1.1 Στο σύνολο R 3 όλων των διατεταγμένων τριάδων διατηρούμε την πρόσθεση, που ορίσαμε στο αντίστοιχο παράδειγμα, και ορίζουμε εξωτερικό πολλαπλασιασμό με τη σχέση λ(a 1,a 2,a

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 4

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 4 Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 4 Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης (Λύσεις Άσκηση 1: Μία έλλειψη µε µεγάλο ηµιάξονα 5m και µικρό 3m έχει κέντρο την αρχή των αξόνων. Να υπολογισθούν τα ακρότατα στην

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 6: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1. ΚΕ Φ ΑΛ ΑΙ Ο 2 : Περ ιγ ραφ ή της κ ίν ησ ης

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1. ΚΕ Φ ΑΛ ΑΙ Ο 2 : Περ ιγ ραφ ή της κ ίν ησ ης 1 Σκοπός ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΚΕ Φ ΑΛ ΑΙ Ο 2 : Περ ιγ ραφ ή της κ ίν ησ ης Να αποκτήσουν οι μαθητές τη δυνατότητα να απαντούν σε ερωτήματα που εμφανίζονται στην καθημερινή μας ζωή και έχουν σχέση με την

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ (ΘΕΩΡΙΑ)

ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ (ΘΕΩΡΙΑ) ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : ΝΤΙΝΤΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ (MSC) Καθηγητής Εφαρμογών ΚΑΡΔΙΤΣΑ 2013 ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΦΩΤΟΑΠΟΔΟΣΗ: ΕΝΝΟΟΥΜΕ ΤΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΥ ΟΛΩΝ ΕΚΕΙΝΩΝ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΩΣΤΕ ΝΑ ΕΧΟΥΜΕ

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά και Εικονική Πραγματικότητα Απαλλακτική εργασία 2012. Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609

Γραφικά και Εικονική Πραγματικότητα Απαλλακτική εργασία 2012. Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609 Γραφικά και Εικονική Πραγματικότητα Απαλλακτική εργασία 2012 0B Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609 Περιεχόμενα Πίνακας Περιεχομένων...2 Περιεχόμενα...2 Προγραμματιστικές λεπτομέρειες υλοποίησης...3 geom.h...3

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΘΕΣΗ ΤΡΟΧΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΗΜΑ. Παρατηρώντας τις εικόνες προσπαθήστε να ορίσετε τις θέσεις των διαφόρων ηρώων των κινουμένων σχεδίων. Ερώτηση: Πότε ένα σώμα

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΗ ΜΕ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ. 2. Συσκευές Γραφικών και ο Έλεγχος τους

ΓΡΑΦΙΚΗ ΜΕ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ. 2. Συσκευές Γραφικών και ο Έλεγχος τους ΓΡΑΦΙΚΗ ΜΕ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑ 6 ΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ Η/Υ & ΜΗΧ Η\Υ. Εισαγωγή στη Γραφική με Η/Υ 2. Συσκευές Γραφικών και ο Έλεγχος τους 3. Αρχικές Έννοιες Σχεδίασης Εικόνων 4. Σχεδίαση γραμμών - Κύκλων 5. Μετασχηματισμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ / Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/10/2014 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Άρχων Μάρκος, Γεράσης Δημήτρης, Τζαγκαράκης Γιάννης

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ / Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/10/2014 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Άρχων Μάρκος, Γεράσης Δημήτρης, Τζαγκαράκης Γιάννης ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 214-2 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ / Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/1/214 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Άρχων Μάρκος, Γεράσης Δημήτρης, Τζαγκαράκης Γιάννης ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2014 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2014 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 04 Α Λυκείου 9 Μαρτίου 04 ΟΔΗΓΙΕΣ:. Η επεξεργασία των θεμάτων θα γίνει γραπτώς σε χαρτί Α4 ή σε Τετράδιο το οποίο θα σας δοθεί και το οποίο θα παραδώσετε

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομη παρουσίαση των Γραφικών με Η/Υ

Σύντομη παρουσίαση των Γραφικών με Η/Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές και συνολικότερα τα προϊόντα της πληροφορικής έχουν μεταμορφώσει (με τρόπο ο οποίος γίνεται άμεσα ή έμμεσα αντιληπτός) τη ζωή δισεκατομμυρίων ανθρώπων στον

Διαβάστε περισσότερα

Οπτικός προγραμματισμός και έλεγχος εργαλειομηχανής CNC τριών αξόνων

Οπτικός προγραμματισμός και έλεγχος εργαλειομηχανής CNC τριών αξόνων Εισαγωγή Στην παρακάτω εργασία θα μιλήσουμε και θα αναδείξουμε τον τρόπο και τα βήματα που απαιτούνται για την κατασκευή ενός ελεγκτή αριθμητικού ελέγχου τριών αξόνων υποβοηθούμενου από υπολογιστή. Επίσης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Περιβάλλον Επιστημονικού Προγραμματισμού MATLAB-Simulink. Δημήτριος Τζεράνης Λεωνίδας Αλεξόπουλος

Εισαγωγή στο Περιβάλλον Επιστημονικού Προγραμματισμού MATLAB-Simulink. Δημήτριος Τζεράνης Λεωνίδας Αλεξόπουλος Εισαγωγή στο Περιβάλλον Επιστημονικού Προγραμματισμού MATLAB-Simulink Δημήτριος Τζεράνης Λεωνίδας Αλεξόπουλος 1 Τι είναι τα Matlab και Simulink? Το Matlab (MATrix LABoratory) είναι ένα περιβάλλον επιστημονικού

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 26 Γραφικά δύο διαστάσεων... 11. 27 Γραφικά τριών διαστάσεων... 45

Περιεχόμενα. 26 Γραφικά δύο διαστάσεων... 11. 27 Γραφικά τριών διαστάσεων... 45 Περιεχόμενα 26 Γραφικά δύο διαστάσεων... 11 26.1 Η συνάρτηση plot...11 26.2 Στυλ γραμμών, σημειωτές, και χρώματα...14 26.3 Κάνναβοι διαγραμμάτων, πλαίσιο αξόνων, και ετικέτες...16 26.4 Προσαρμογή αξόνων

Διαβάστε περισσότερα

Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ

Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ Προγραμματισμός και Αλγόριθμοι Από το και τημ Χελώμα στημ Ευριπίδης Βραχνός http://evripides.mysch.gr/ 2014 2015 1 Προγραμματισμός Ζάννειο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πειραιά Ενότητα:

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Προσανατολισμένο Ευθύγραμμο Τμήμα (π.ε.τ.) είναι το ευθύγραμμο τμήμα PQ στο οποίο ορίζουμε το άκρο Ρ αυτού να είναι η αρχή του π.ε.τ. και το άκρο Q αυτού να είναι το

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Ε.Α.Υ. Υπολογιστική Όραση. Κατάτμηση Εικόνας

Ε.Α.Υ. Υπολογιστική Όραση. Κατάτμηση Εικόνας Ε.Α.Υ. Υπολογιστική Όραση Κατάτμηση Εικόνας Γεώργιος Παπαϊωάννου 2015 ΚΑΤΩΦΛΙΩΣΗ Κατωφλίωση - Γενικά Είναι η πιο απλή μέθοδος segmentation εικόνας Χωρίζουμε την εικόνα σε 2 (binary) ή περισσότερες στάθμες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 8: Διπλά ολοκληρώματα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Τυπικές χρήσεις της Matlab

Τυπικές χρήσεις της Matlab Matlab Μάθημα 1 Τι είναι η Matlab Ολοκληρωμένο Περιβάλλον Περιβάλλον ανάπτυξης Διερμηνευμένη γλώσσα Υψηλή επίδοση Ευρύτητα εφαρμογών Ευκολία διατύπωσης Cross platform (Wintel, Unix, Mac) Τυπικές χρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος της εργασίας και ιδιαιτερότητες του προβλήματος

Στόχος της εργασίας και ιδιαιτερότητες του προβλήματος ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΟΠΤΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ Κουλουμέντας Παναγιώτης Σχολή Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Χανιά,Νοέμβριος 2014 Επιτροπή: Ζερβάκης Μιχάλης (επιβλέπων)

Διαβάστε περισσότερα

Ανακατασκευή εικόνας από προβολές

Ανακατασκευή εικόνας από προβολές Ανακατασκευή εικόνας από προβολές Μέθοδος ανακατασκευής με χρήση χαρακτηριστικών δειγμάτων προβολής Αναστάσιος Κεσίδης Δρ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός Θέματα που θα αναπτυχθούν Εισαγωγή στις τομογραφικές μεθόδους

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Ενότητα 4 : Δειγματοληψία και κβάντιση (Sampling and Quantization) Ιωάννης Έλληνας Τμήμα Η/ΥΣ Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ» ΠΑ. 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012

ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ» ΠΑ. 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΠΑ. 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ Δίνονται τα εξής πρότυπα: [ ] [ ] [ ] [ ] Άσκηση η (3 μονάδες) Χρησιμοποιώντας το κριτήριο της ομοιότητας να απορριφθεί ένα χαρακτηριστικό με βάση το συντελεστή συσχέτισης. (γράψτε ποιο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ()=, g()= +3,h()= -3 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 5 Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός 867 (Αναρτήθηκε 8 4 ) ίνονται τα διανύσµατα a και b µε µέτρα, 6 αντίστοιχα και ϕ [, π] a b+ x+ a b y 5= () δίνεται η εξίσωση ( ) ( ) α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Τα αντικείμενα ή Χειριστήρια και οι βασικές ιδιότητες τους (properties)

Τα αντικείμενα ή Χειριστήρια και οι βασικές ιδιότητες τους (properties) Καθηγητής : Κώστας Αχιλλέως ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΣΤΗ VISUAL BASIC A ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Α) Τι είναι η Visual Basic Είναι μια γλώσσα οπτικού προγραμματισμού υψηλού επιπέδου. Β) Οπτικός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Εικόνα. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 05-1

Εικόνα. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 05-1 Εικόνα Εισαγωγή Ψηφιακή αναπαράσταση Κωδικοποίηση των χρωμάτων Συσκευές εισόδου και εξόδου Βάθος χρώματος και ανάλυση Συμβολική αναπαράσταση Μετάδοση εικόνας Σύνθεση εικόνας Ανάλυση εικόνας Τεχνολογία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2009 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (240 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί 1 Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες 1. Ο χάρτης δείχνει

Διαβάστε περισσότερα

Παράλληλοι Αλγόριθμοι: Ανάλυση Εικόνας και Υπολογιστική Γεωμετρία. Πέτρος Ποτίκας CoReLab 4/5/2006

Παράλληλοι Αλγόριθμοι: Ανάλυση Εικόνας και Υπολογιστική Γεωμετρία. Πέτρος Ποτίκας CoReLab 4/5/2006 Παράλληλοι Αλγόριθμοι: Ανάλυση Εικόνας και Υπολογιστική Γεωμετρία Πέτρος Ποτίκας CoReLab 4/5/2006 Επισκόπηση Ετικέτες σε συνιστώσες (Component labelling) Hough μετασχηματισμοί (transforms) Πλησιέστερος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS LEVEL: 7 8 (A - Β Γυμνασίου) 10:00 11:00, 20 March 2010 THALES FOUNDATION 1 3 βαθμοί 1. Ποιά η τιμή: 12 + 23 + 34 + 45 + 56 + 67 + 78 + 89 ; A) 389 B) 396 C) 404 D) 405 E) άλλη απάντηση

Διαβάστε περισσότερα

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q)

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q) Κεφάλαιο 2 Κανονικές επιφάνειες Σύνοψη Προκειμένου να ορίσουμε την έννοια της επιφάνειας στον R 3, έχουμε δύο δυνατές προσεγγίσεις. Με την πρώτη μπορούμε να ορίσουμε μια επιφάνεια ως ένα υποσύνολο του

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Ενότητα 12 Δομές (Structures) Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Αφαιρετικότητα Με τις συναρτήσεις επιτυγχάνουμε αφαιρετικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Απεικόνιση Υφής. Μέρος B Δημιουργία Συντεταγμένων Υφής

Απεικόνιση Υφής. Μέρος B Δημιουργία Συντεταγμένων Υφής Απεικόνιση Γραφικά ΥφήςΥπολογιστών Απεικόνιση Υφής Μέρος B Δημιουργία Συντεταγμένων Υφής Γ. Γ. Παπαϊωάννου, - 2008 Γενικά Είδαμε ότι μπορούμε να αποθηκεύσουμε συντεταγμένες υφής στις κορυφές των τριγώνων

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Γραφική. Διδάσκων: Ε. Θεοδωρίδης Υπεύθυνος καθηγητής: Α. Τσακαλίδης. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών

Υπολογιστική Γραφική. Διδάσκων: Ε. Θεοδωρίδης Υπεύθυνος καθηγητής: Α. Τσακαλίδης. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Υπολογιστική Γραφική Διδάσκων: Ε. Θεοδωρίδης Υπεύθυνος καθηγητής: Α. Τσακαλίδης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Real Time Rendering 3 rd Edition by Tomas Akenine- Moller et al. Γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιμήδης Μεγάλοι 1996-1997. 1. Έστω μια ακολουθία θετικών αριθμών για την οποία: i) α ν 2 α ν. για κάθε ν φυσικό διαφορετικό του 0.

Αρχιμήδης Μεγάλοι 1996-1997. 1. Έστω μια ακολουθία θετικών αριθμών για την οποία: i) α ν 2 α ν. για κάθε ν φυσικό διαφορετικό του 0. Αρχιμήδης Μεγάλοι 1996-1997 1. Έστω μια ακολουθία θετικών αριθμών για την οποία: i) α ν 2 α ν = 1 4 για κάθε ν φυσικό διαφορετικό του 0. ii) α n 1 α n Να αποδείξετε: α ν 1 =1 για κάθε n - ν 1 α ν α) ότι

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Γενικά... 2. 2. Γεωμετρία κάτοψης ορόφων... 2. 3. Ορισμός "ελαστικού" άξονα κτιρίου... 2. 4. Προσδιορισμός του κυρίου συστήματος...

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Γενικά... 2. 2. Γεωμετρία κάτοψης ορόφων... 2. 3. Ορισμός ελαστικού άξονα κτιρίου... 2. 4. Προσδιορισμός του κυρίου συστήματος... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Γενικά... 2 2. Γεωμετρία κάτοψης ορόφων... 2 3. Ορισμός "ελαστικού" άξονα κτιρίου.... 2 4. Προσδιορισμός του κυρίου συστήματος.... 3 5. Στρεπτική ευαισθησία κτιρίου... 3 6. Εκκεντρότητες

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3 (μέρος 1 ο )

Ενότητα 3 (μέρος 1 ο ) Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Προγραμματισμός με Εφαρμογές στην Επιστήμη του Μηχανικού Ενότητα 3 (μέρος 1 ο ) Σιέττος Κωνσταντίνος Άδεια Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 1. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε το άθροισμα.

Διαβάστε περισσότερα