ΜΙΑ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΗ ΜΕΘΟ ΟΣ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΕΝΟΣ ΟΧΗΜΑΤΟΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΙΑ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΗ ΜΕΘΟ ΟΣ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΕΝΟΣ ΟΧΗΜΑΤΟΣ"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΙΑ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΗ ΜΕΘΟ ΟΣ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΕΝΟΣ ΟΧΗΜΑΤΟΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΟΥ ΕΚΠΟΝΗΘΗΚΕ ΑΠΟ ΤΟ: ΜΑΡΚΟ ΖΑΜΠΟΓΛΟΥ, Α.Μ. 63/00 ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: Γ. ΠΑΠΑ ΗΜΗΤΡΙΟΥ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ, ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2004

2 Περιεχόµενα 1. Εισαγωγή Προϊστορία 9 3. Περιγραφή της µεθόδου 25 Α) Γενική περιγραφή 25 Β) Επεξεργασία φωτογραφίας αναφοράς. 25 Γ) Επεξεργασία εικόνων κινούµενου αυτοκινήτου ) Αναγωγή των δεδοµένων των εικόνων του κινούµενου αυτοκινήτου στην εικόνα του ακίνητου αυτοκινήτου.. 51 Ε) Υπολογισµός της ταχύτητας στην εικόνα του ακίνητου αυτοκινήτου Πειραµατική υλοποίηση της µεθόδου και αποτελέσµατα. 59 Α) Γενικα Β) Πείραµα 1 ο Επεξεργασία εικόνας αναφοράς Επεξεργασία εικόνων κινούµενου αυτοκινήτου 63 α) Πρώτη εικονοσειρά.. 64 β) εύτερη εικονοσειρά 70 Γ) Πείραµα 2 ο Επεξεργασία εικόνας αναφοράς Επεξεργασία εικόνων κινούµενου αυτοκινήτου.. 79 α) Πρώτη εικονοσειρά.. 79 β) εύτερη εικονοσειρά 84 γ) Τρίτη εικονοσειρά Συµπεράσµατα παρατηρήσεις 94 Βιβλιογραφία. 97 1

3 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η όραση, δηλαδή η συλλογή και ανάλυση των οπτικών ερεθισµάτων είναι το κυριότερο µέσο που χρησιµοποιεί ο άνθρωπος για να αντιλαµβάνεται το περιβάλλον του. Ο τρόπος µε τον οποίο ο ανθρώπινος εγκέφαλος επεξεργάζεται τα ερεθίσµατα αυτά τράβηξε από πολύ νωρίς το ενδιαφέρον των ερευνητών. Ήταν όµως µε την ανάπτυξη των πρώτων ισχυρών υπολογιστικών συστηµάτων κατά τη δεκαετία του 70 που ο κλάδος της επεξεργασίας ψηφιακής εικόνας απέκτησε ιδιαίτερη σηµασία ως πεδίο έρευνας και εφαρµογών. Στα πρώτα βήµατα του, ο κλάδος κλήθηκε να δώσει απαντήσεις σε ζητήµατα όπως ο τρόπος καταγραφής µιας ψηφιακής εικόνας και η βελτίωση της ποιότητας των καταγεγραµµένων εικόνων. Πλέον, η έρευνα έχει επεκταθεί σε ζητήµατα που ενδιαφέρουν άλλες επιστήµες, όπως η αστρονοµία, η ιατρική και πολλές άλλες. Με την αλµατώδη αύξηση της υπολογιστικής ισχύος των ηλεκτρονικών υπολογιστών και της ταχύτητας των µέσων µετάδοσης ψηφιακών δεδοµένων, η έρευνα γύρω από την επεξεργασία της ψηφιακής εικόνας αποκτά ιδιαίτερη αξία. Η µεταφορά εικονοσειρών σε πραγµατικό χρόνο, τα συστήµατα αυτόµατης πλοήγησης µε τη χρήση εικόνων, η ψηφιακή τηλεόραση θέτουν νέες προκλήσεις στην έρευνα γύρω από την ψηφιακή εικόνα και γεννούν νέες εφαρµογές της. Απαραίτητο είναι σε αυτό το σηµείο να κατηγοριοποιήσουµε τις ψηφιακές εικόνες. Ένα κριτήριο που µπορούµε να θέσουµε είναι η πηγή της ακτινοβολίας που δηµιουργεί την εικόνα. Έτσι έχουµε τις εικόνες που προκύπτουν ως αποτέλεσµα ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας, εικόνες υπέρηχων, ήχου και ηλεκτρονίων. Οι πιο διαδεδοµένες εικόνες είναι αυτές που δηµιουργούνται ως καταγραφή ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας. Τα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα αντιµετωπίζονται ως ηµιτονοειδή κύµατα µε διάφορα µήκη κύµατος, ή ως ακτίνες σωµατιδίων χωρίς µάζα, τα οποία ταξιδεύουν µε κυµατοειδή τρόπο και καθένα εκ των οποίων περιέχει µια συγκεκριµένη ποσότητα ενέργειας. Η ποσότητα αυτή της ενέργειας ονοµάζεται φωτόνιο. Η ηλεκτροµαγνητική ακτινοβολία µπορεί να διαιρεθεί περαιτέρω σε κατηγορίες βάσει του µήκους κύµατος ή της ενέργειας του κάθε φωτονίου. Έτσι, έχουµε µια κλίµακα τύπων ακτινοβολίας η οποία ξεκινάει από ακτινοβολίες υψηλής ενέργειας και µεγάλου µήκους κύµατος (πχ. ακτίνες Γ) ως τις ακτινοβολίες χαµηλής 2

4 ενέργειας και µικρού µήκους κύµατος, όπως τα ραδιοκύµατα. Τα όρια όµως µεταξύ των διάφορων τύπων ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας δεν είναι διακριτά, αντίθετα η µετάβαση από τον έναν τύπο στον άλλο γίνεται οµαλά. Οι ακτίνες Γάµµα χρησιµοποιούνται κυρίως στην ιατρική και την αστρονοµία. Στην ιατρική, συνήθως εγχέεται στο αίµα ενός ασθενή ένα ραδιενεργό ισότοπο, το οποίο εκπέµπει ακτίνες γάµµα καθώς διασπάται. Οι ακτίνες που εκπέµπονται συλλέγονται και σχηµατίζουν µια εικόνα. Παρόµοια στη λογική της είναι και η τοµογραφία που στηρίζεται στη χρήση εκποµπής ποζιτρονίων. Το ισότοπο στην περίπτωση αυτή εκπέµπει ποζιτρόνια, τα οποία καθώς συγκρούονται µε ηλεκτρόνια εκπέµπουν ακτίνες γάµµα. Οι τεχνικές αυτές χρησιµοποιούνται στον εντοπισµό όγκων και µολύνσεων σε ασθενείς. Στην αστρονοµία, οι ακτίνες γάµµα χρησιµεύουν στη «φωτογράφηση» σωµάτων τα οποία εκπέµπουν ακτινοβολία στις συχνότητες αυτές. Στην περίπτωση αυτή δεν υπάρχει πηγή ακτινοβολίας ανεξάρτητη από το αντικείµενο που καταγράφεται αλλά είναι το ίδιο το αντικείµενο που εκπέµπει την ακτινοβολία. Τέλος, µια εικόνα στο φάσµα των ακτινών γάµµα µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον εντοπισµό ραδιενεργής ακτινοβολίας, όπως η διαρροή από έναν αντιδραστήρα. Οι ακτίνες Χ επίσης χρησιµοποιούνται για ιατρικούς σκοπούς, στη γνωστή µας ακτινογραφία. Ο ασθενής συνήθως τοποθετείται ανάµεσα σε µια πηγή ακτινών Χ και ένα φιλµ το οποίο είναι ευαίσθητο στις ακτίνες αυτές. Η ένταση της ακτινοβολίας µεταβάλλεται καθώς απορροφάται από το σώµα του ασθενή και η ενέργεια που τελικά φθάνει στο φιλµ δηµιουργεί την εικόνα, η οποία έπειτα µπορεί να ψηφιοποιηθεί. Επίσης, µε την εισαγωγή ενός υλικού που απορροφά τις ακτίνες Χ στο αίµα ενός ασθενή, είναι δυνατόν µε την ίδια µέθοδο να φωτογραφηθούν ανωµαλίες στο κυκλοφοριακό του σύστηµα. Μια ακόµα σηµαντική εφαρµογή των ακτινών Χ στην ιατρική είναι η αξονική τοµογραφία, η οποία ουσιαστικά συνίσταται στην αποτύπωση µιας εγκάρσιας τοµής του εσωτερικού του ασθενή. Συγκεντρώνοντας έναν αριθµό από τέτοιες τοµές µπορεί να δηµιουργηθεί µια αναπαράσταση του εσωτερικού ενός ασθενή. 3

5 Άλλες χρήσεις των ακτινών Χ είναι στη βιοµηχανία, κατά τον έλεγχο ποιότητας ενός προϊόντος και στην αστρονοµία, µε τον ίδιο τρόπο που χρησιµοποιούνται οι ακτίνες γάµµα. Η υπεριώδης ακτινοβολία βρίσκει εφαρµογή σε πολλούς διαφορετικούς τοµείς, όπως η λιθογραφία, ο βιοµηχανικός έλεγχος, τα µικροσκόπια, οι ακτίνες λέιζερ, η βιολογία και η αστρονοµία. Στα µικροσκόπια, η χρήση της υπεριώδους ακτινοβολίας συνίσταται στην αξιοποίηση του φαινοµένου του φθορισµού. Υπάρχει µια κατηγορία στοιχείων τα οποία όταν βοµβαρδίζονται µε υπεριώδη ακτινοβολία εκπέµπουν ενέργεια µε τη µορφή ορατής ακτινοβολίας. Η παρατήρηση αντικειµένων µέσω ενός µικροσκοπίου γίνεται σαφώς ευκολότερη όταν ένα φθορίζον αντικείµενο τοποθετείται πάνω σε ένα σκοτεινό φόντο. Όπως και οι περισσότερες µορφές ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας, η υπεριώδης ακτινοβολία έχει εφαρµογή στην αστρονοµία, κατά την παρατήρηση σωµάτων που εκπέµπουν ηλεκτροµαγνητική ακτινοβολία στο υπεριώδες φάσµα. Η ορατή ακτινοβολία, ακριβώς επειδή είναι αντιληπτή µε την αίσθηση της όρασης είναι η πιο συχνά χρησιµοποιούµενη µορφή ακτινοβολίας. Από τα µικροσκόπια φωτός και τους τεχνητούς δορυφόρους παρακολούθησης καιρικών φαινοµένων µέχρι το βιοµηχανικό έλεγχο ποιότητας και την επεξεργασία δακτυλικών αποτυπωµάτων, η ορατή ακτινοβολία παίζει ένα σηµαντικότατο ρόλο σε πάρα πολλούς τοµείς της έρευνας και της βιοµηχανίας. Η υπέρυθρη ακτινοβολία, από την άλλη, χρησιµεύει για τον εντοπισµό ακτινοβολιών που βρίσκονται λίγο πιο χαµηλά από την ορατή ακτινοβολία, όπως πχ. τα φώτα µιας κατοικηµένης περιοχής τη νύχτα σε µια φωτογραφία από τεχνητό δορυφόρο. Η πιο γνωστή εφαρµογή των µικροκυµάτων είναι το ραντάρ. Το ραντάρ χρησιµοποιεί τη δική του πηγή ακτινοβολίας η οποία εκπέµπει παλµούς µικροκυµάτων και καταγράφει την ενέργεια που επιστρέφει στο δέκτη του. Τα ραδιοκύµατα χρησιµοποιούνται κυρίως στην ιατρική και την αστρονοµία. Στην αστρονοµία χρησιµεύουν στον εντοπισµό των σωµάτων που εκπέµπουν τέτοιου είδους ακτινοβολία, τα οποία ονοµάζονται Πάλσαρ. Τα ηχητικά κύµατα χρησιµοποιούνται σαφώς λιγότερο από τα ηλεκτροµαγνητικά. Η σηµασία τους όµως είναι µεγάλη στην γεωλογία όπου ήχοι χαµηλής συχνότητας χρησιµοποιούνται για τον εντοπισµό κοιτασµάτων πετρελαίου και µεταλλευµάτων. 4

6 Παράγοντας στο έδαφος δονήσεις χαµηλής συχνότητας και φωτογραφίζοντας την ένταση και την ταχύτητα επιστροφής του ήχου µπορούν να εξαχθούν συµπεράσµατα για τη σύσταση του υπεδάφους. Με τη χρήση ήχων επίσης µπορεί να χαρτογραφηθεί ο πυθµένας της θάλασσας. Η πιο γνωστή χρήση των υπέρηχων είναι το υπερηχογράφηµα. Υπέρηχοι εκπέµπονται προς το ανθρώπινο σώµα. ιασχίζοντάς το, ένα ποσοστό αντανακλάται κάθε φορά που τα κύµατα συναντούν µια µετάβαση από ένα υλικό σε άλλο (πχ. από ιστό σε υγρό). Μετρώντας την ένταση και ταχύτητα µετάδοσης των κυµάτων που επιστρέφονται, ένας υπολογιστής µπορεί να συνθέσει µια διδιάστατη εικόνα. Τέλος µια ιδιαίτερη µορφή εικόνας είναι αυτή που προκύπτει κατά τη χρήση ηλεκτρονικών µικροσκοπίων. Η γενική αρχή λειτουργίας ενός ηλεκτρονικού µικροσκοπίου είναι η εξής: Μια ακτίνα ηλεκτρονίων δηµιουργείται και κατευθύνεται πάνω στο δείγµα προς µελέτη. Η ακτίνα πέφτει πάνω στο δείγµα και µια εικόνα σχηµατίζεται βάσει του τρόπου µε τον οποίο τα ηλεκτρόνια αντανακλώνται ή απορροφώνται από τα διάφορα αντικείµενα µε τον ίδιο τρόπο που σχηµατίζεται µια εικόνα ορατής ακτινοβολίας. Η προσφορά των ηλεκτρονικών µικροσκοπίων είναι τεράστια αφού οι δυνατότητες µεγέθυνσής τους ξεπερνούν το , ενώ τα µικροσκόπια φωτός δεν µπορούν να µεγεθύνουν το δείγµα πάνω από φορές. Ως ψηφιακή εικόνα λοιπόν, [Pap 01, σελ 14] µπορεί να οριστεί ως η καταγραφή µιας ακτινοβολίας σε κάποιο µέσο. Οι ακτίνες ξεκινούν από την πηγή τους και προσκρούουν στην πορεία τους σε κάποια εµπόδια (αντικείµενα), η προβολή των οποίων φτάνει στο µέσο καταγραφής. Ένας άλλος ορισµός αναφερόµενος στην µορφή της ψηφιακής εικόνας είναι ότι είναι µια διδιάστατη συνάρτηση ακτινοβολίας, I(x,y), όπου η τιµή της I στις συντεταγµένες (x,y) αναφέρεται στη ένταση της ακτινοβολίας της εικόνας σε εκείνο το σηµείο. Η συνάρτηση έντασης της ακτινοβολίας Ι είναι µη µηδενική και πεπερασµένη: 0<Ι(x,y)< Από όλες τις µορφές ψηφιακής εικόνας που προαναφέρθηκαν, στην εργασία αυτή θα ασχοληθούµε αποκλειστικά µε τις εικόνες που προκύπτουν ως καταγραφή ορατής ακτινοβολίας. Στις εικόνες αυτές, η ένταση της ακτινοβολίας ταυτίζεται µε τη 5

7 φωτεινότητα και αυτός είναι ο όρος που θα χρησιµοποιούµε από εδώ και πέρα, αντί του γενικότερου «ένταση ακτινοβολίας». Η ψηφιακή εικόνα όπως την ορίσαµε έχει δυο χαρακτηριστικά που την καθιστούν ακατάλληλη για επεξεργασία µε ηλεκτρονικό υπολογιστή. Πρώτον, οι διαστάσεις της δεν είναι πεπερασµένες και δεύτερον η συνάρτηση Ι ορίστηκε ως συνεχής. Για να µετατρέψουµε µια εικόνα σε πίνακα πεπερασµένου µεγέθους χρησιµοποιούµε τη διαδικασία της δειγµατοποίησης εικόνας. Τοποθετούµε ένα πλέγµα διαστάσεων N M πάνω στην εικόνα. Προτιµούµε οι αριθµοί Μ και Ν να είναι ακέραιες δυνάµεις του 2, δηλαδή n N = 2 και m M = 2 Κάθε κελί του πλέγµατος αυτού αντιπροσωπεύει τη µικρότερη ψηφίδα της εικόνας (picture element ή pixel). Έτσι, µετά την ολοκλήρωση της διαδικασίας, σε κάθε pixel θα πρέπει να αντιστοιχεί µια τιµή. Επειδή ένα κελί πιθανόν να περιέχει διάφορες τιµές της συνάρτησης I(x,y), συνήθως η ένταση του pixel αντιστοιχεί στο µέσο όρο της ακτινοβολίας που καταγράφεται στο κελί. Με την ολοκλήρωση της δειγµατοποίησης, η εικόνα έχει µετατραπεί σε έναν διδιάστατο πίνακα πεπερασµένου µεγέθους του οποίου κάθε σηµείο είναι ένας πραγµατικός αριθµός που περιγράφει την ακτινοβολία του pixel. I I(1,1) = M I( N,1) L O L I(1, M ) M I( N, M ) Για να µετατρέψουµε τις συνεχείς τιµές της συνάρτησης φωτεινότητας σε διακριτές, χρησιµοποιούµε τη µέθοδο της ψηφιοποίησης εικόνας ή κβαντισµό (picture quantization). Κατά τη διαδικασία αυτή, το αναλογικό σήµα µετατρέπεται σε ψηφιακό µε Q επίπεδα, όπου Q είναι ακέραια δύναµη του 2 q Q = 2 Η συνάρτηση φωτεινότητας κανονικοποιείται ώστε η ελάχιστη τιµή να εξισώνεται µε 0 και να αντιπροσωπεύει την µικρότερη τιµή έντασης της 6

8 q ακτινοβολίας (απόλυτο µαύρο) ενώ αντίστοιχα η µέγιστη να εξισώνεται µε 2-1 (απόλυτο λευκό). Οι ενδιάµεσες τιµές αντιπροσωπεύουν την κλιµάκωση της ακτινοβολίας ανάµεσα στις ακραίες τιµές καταγραφής. Οι πραγµατικές τιµές της συνάρτησης I(x,y) στρογγυλοποιούνται στην πλησιέστερη ακέραια τιµή Q(x,y). Μετά από τις δυο διαδικασίες αυτές µια εικόνα µη πεπερασµένου µεγέθους µε πραγµατικές τιµές µετατρέπεται σε έναν πεπερασµένο πίνακα Ν Μ µε ακέραιες τιµές. Στο σηµείο αυτό πρέπει να σηµειώσουµε πως οι διαδικασίες δειγµατοποίησης και ψηφιοποίησης έχουν σαν αποτέλεσµα την εισαγωγή κάποιου σφάλµατος, το οποίο είναι µεγαλύτερο όσο µικρότεροι είναι οι αριθµοί Q, M και Ν. Η ψηφιακή εικονοσειρά (digital image sequence ή digital video) ορίζεται παρόµοια µε την ψηφιακή εικόνα ως µια συνάρτηση έντασης της ακτινοβολίας, η οποία όµως αναφέρεται τόσο στο χώρο όσο και στο χρόνο. Έτσι, η συνάρτηση που ορίζει µια ψηφιακή εικονοσειρά είναι Ι(x,y,t) [Tek 95, σελ. 1] όπου x και y είναι οι χωρικές µεταβλητές, όπως στην ψηφιακή εικόνα, και t είναι η χρονική µεταβλητή. Επειδή η επεξεργασία µε υπολογιστή προϋποθέτει διακριτές µεταβλητές, µπορούµε να πούµε πως µια ψηφιακή εικονοσειρά αποτελείται από µια σειρά από διαδοχικές ψηφιακές εικόνες, κάθε µια από της οποίες αντιστοιχεί σε διαφορετική τιµή της διακριτής µεταβλητής t (Σχήµα 1). Έτσι, µπορούµε να πούµε πως σε µια εικονοσειρά, Ι(x,y,t) είναι η ένταση του pixel µε συντεταγµένες (x,y) τη χρονική στιγµή t. I(x,y,t) I(x,y,t+1) I(x,y,t+2) I(x,y,t+3) I(x,y,t+4) Στην παρούσα πτυχιακή εργασία παρουσιάζεται µια µέθοδος υπολογισµού της ταχύτητας ενός οχήµατος χρησιµοποιώντας ψηφιακές εικονοσειρές. Χρησιµοποιώντας δυο διαδοχικές εικόνες κίνησης και µια εικόνα αναφοράς η µέθοδος εξάγει µια εκτίµηση για την ταχύτητα κίνησης του οχήµατος σε πραγµατικά µεγέθη. Στο κεφάλαιο που ακολουθεί παρουσιάζεται µια ανασκόπηση των µεθόδων που έχουν προταθεί στο παρελθόν για την εκτίµηση της κίνησης αντικειµένων από 7

9 εικονοσειρές. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζεται η µέθοδος εκτίµησης της ταχύτητας βήµα προς βήµα. Στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα από την πειραµατική εφαρµογή της µεθόδου πάνω σε πραγµατικά δεδοµένα. Τέλος, στο πέµπτο κεφάλαιο γίνεται µια ανακεφαλαίωση πάνω στην αποτελεσµατικότητα της µεθόδου και τις περαιτέρω προοπτικές της. 8

10 2. ΠΡΟΪΣΤΟΡΙΑ Η πτυχιακή εργασία αυτή ασχολείται µε τον υπολογισµό της πραγµατικής ταχύτητας ενός αυτοκινήτου που κινείται στον τρισδιάστατο κόσµο, χρησιµοποιώντας προβολές του σε διδιάστατες εικόνες. Είναι ιδιαίτερα σηµαντικό, για να επιτευχθεί κάτι τέτοιο, να παρουσιαστούν τα βασικά συστήµατα προβολικής απεικόνισης και να αναλυθούν τα χαρακτηριστικά στοιχεία τους. Η προοπτική προβολή είναι το σύστηµα που υιοθετείται συχνότερα για να περιγράψει τη σχέση του τρισδιάστατου κόσµου και της προβολής του µέσω µιας κάµερας (pinhole camera). Ο τρόπος µε τον οποίο τα σηµεία του χώρου αποτυπώνονται στο επίπεδο της εικόνας σύµφωνα µε το µοντέλο της προοπτικής προβολής φαίνεται στο σχήµα 2.1. Η προβολή ενός σηµείου Α στην εικόνα είναι το σηµείο τοµής του επιπέδου της εικόνας µε την ευθεία που ορίζεται από τα σηµεία Α και Κ, όπου Κ το οπτικό κέντρο της κάµερας. Η απόσταση του Κ από το επίπεδο της εικόνας ονοµάζεται εστιακό µήκος (focal length). Το µοντέλο αυτό ονοµάζεται µοντέλο προοπτικής προβολής (perspective projection model) [Tek 95, σελ 28]. Σχήµα 2.1: Το µοντέλο προοπτικής προβολής Στην πράξη, συνήθως χρησιµοποιείται µια απλοποιηµένη µορφή του µοντέλου αυτού, στην οποία το κέντρο του συστήµατος αναφοράς και το οπτικό κέντρο συµπίπτουν. Στο απλοποιηµένο αυτό µοντέλο της προοπτικής προβολής, το επίπεδο της εικόνας βρίσκεται µεταξύ του οπτικού κέντρου και των αντικειµένων (Σχήµα 2.2). 9

11 Σχήµα 2.2: Το απλοποιηµένο µοντέλο προοπτικής προβολής. Υπάρχουν κάποια φαινόµενα στην προοπτική προβολική γεωµετρία τα οποία παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Η κατανόηση αυτών των φαινοµένων θα αναδείξει τους περιορισµούς του συγκεκριµένου µοντέλου. Όσο πιο µακριά από την κάµερα βρίσκεται ένα αντικείµενο, τόσο µικρότερη είναι η προβολή του [Har 93, σελ 47]. Η γεωµετρική ερµηνεία του φαινοµένου φαίνεται στο σχήµα 2.3. Μια δεύτερη µορφή αυτής της ιδιότητας είναι όταν αντικείµενα διαφορετικού µεγέθους έχουν κοινή προβολή. Γενικά, δυο τρισδιάστατα σηµεία Α και Α θα έχουν την ίδια προβολή στο επίπεδο της εικόνας εάν το Α βρίσκεται πάνω στην ευθεία που ορίζεται από τα σηµεία Ο και Α. Στο σχήµα 2.4 φαίνεται µια τέτοια περίπτωση, όπου δυο ευθύγραµµα τµήµατα διαφορετικού µεγέθους και συντεταγµένων στον χώρο (ΑΒ και Α Β ) έχουν την ίδια προβολή στο επίπεδο της εικόνας. 10

12 Σχήµα 2.3: Σµίκρυνση λόγω απόστασης. Τα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΒ και Α Β έχουν ίσα µήκη. Επειδή το Α Β όµως είναι πιο αποµακρυσµένο από την κάµερα, η προβολή του, Γ είναι µικρότερη από την προβολή του ΑΒ, ΓΕ. Σχήµα 2.4: Τα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΒ και Α Β έχουν διαφορετικό µήκος και διαφορετικές συντεταγµένες. Επειδή όµως τα σηµεία Α, Α, Ο και Β, Β, Ο είναι συνευθειακά, οι προβολές τους είναι ίδιες. Η προβολή της πλευράς ενός αντικειµένου που βρίσκεται στο κέντρο της εικόνας φαίνεται µεγαλύτερη όταν είναι κάθετη στον οπτικό άξονα. Καθώς το αντικείµενο περιστρέφεται από τη θέση αυτή, η προβολή του µικραίνει (Σχήµα 2.5). 11

13 Σχήµα 2.5: Περιστροφή ενός ευθύγραµµου τµήµατος στο χώρο και η προβολή του για τρεις διαφορετικές γωνίες. Όταν το τµήµα είναι παράλληλο στο επίπεδο της εικόνας, η προβολή του έχει το µέγιστο µέγεθος. Όσο περιστρέφεται η προβολή µικραίνει ενώ όταν το ευθύγραµµο τµήµα γίνει κάθετο µε το επίπεδο της εικόνας, η προβολή έχει το ελάχιστο µέγεθος. Το δεύτερο µοντέλο προβολής τρισδιάστατων αντικειµένων σε διδιάστατες εικόνες είναι η ορθογραφική προβολή (orthographic projection) [Tek 95, σελ 30]. Στο µοντέλο αυτό, η προβολή ενός σηµείου Α του τρισδιάστατου χώρου στην εικόνα είναι το σηµείο τοµής της κάθετης, στο επίπεδο της εικόνας, ευθείας που περνάει από το Α, µε το επίπεδο της εικόνας (Σχήµα 2.6). Επειδή όλες οι προβολές των σηµείων είναι παράλληλες, το µοντέλο της ορθογραφικής προβολής δεν είναι σε θέση να περιγράψει το φαινόµενο της προοπτικής. Όταν όµως τα απεικονιζόµενα αντικείµενα δεν παρουσιάζουν µεγάλες διαφορές βάθους, τότε η ορθογραφική προβολή είναι µια καλή προσέγγιση της προοπτικής προβολής. Από όσα ειπώθηκαν, συµπεραίνεται πως δεν είναι δυνατόν να εξαχθούν συµπεράσµατα για το βάθος, το µέγεθος, και το σχήµα από µια µόνο εικόνα. Για την αντιµετωπιστεί το πρόβληµα µπορούν να χρησιµοποιηθούν περισσότερες από µία εικόνες. 12

14 Σχήµα 2.6: Το µοντέλο ορθογραφικής προβολής. Έστω ότι ένα αντικείµενο κινείται µπροστά σε µια κάµερα. Η προβολή του στο επίπεδο της εικόνας επίσης θα κινείται. Εάν έχουµε στη διάθεσή µας περισσότερες από µία εικόνες του αντικειµένου, µπορούµε να παρακολουθήσουµε την κίνηση αυτή της προβολής του. Βάσει του µοντέλου προοπτικής προβολής, η µετατόπιση της προβολής του αντικειµένου θα είναι µικρότερη όσο πιο αποµακρυσµένο είναι το αντικείµενο από την κάµερα. Με τον ίδιο τρόπο, οι προβολές των διάφορων τµηµάτων ενός αντικειµένου, από τη στιγµή που τα τµήµατα αυτά βρίσκονται σε διαφορετικά βάθη, θα κινούνται µε διαφορετική ταχύτητα. Το φαινόµενο αυτό µπορούµε να το χρησιµοποιήσουµε ώστε να υπολογίσουµε τις αποστάσεις µεταξύ των σηµείων του αντικειµένου και την ταχύτητα κίνησής του ως συνάρτηση της απόστασής του από την κάµερα. Είναι δηλαδή δυνατόν να υπολογιστούν τα χαρακτηριστικά αυτά σε σχετικά µεγέθη, όχι όµως και σε απόλυτα. Αυτό συµβαίνει επειδή δύο αντικείµενα που βρίσκονται σε διαφορετική απόσταση και κινούνται µε ανάλογη προς την απόσταση ταχύτητα δίνουν την ίδια προβολή. Εάν η απόσταση ενός αντικειµένου από την κάµερα είναι γνωστή, βάσει των όσων προαναφέρθηκαν, είναι δυνατόν να υπολογιστεί η πραγµατική ταχύτητά του, καθώς και το σχήµα του. Με τον ίδιο τρόπο, εάν είναι γνωστή η πραγµατική απόσταση που διήνυσε από τη µια εικόνα στην άλλη µπορεί να προσδιοριστεί η απόστασή του από την κάµερα. Το ίδιο αποτέλεσµα µπορούµε να πετύχουµε µετακινώντας την κάµερα σε σχέση µε το αντικείµενο. Εάν η κίνηση της κάµερας µεταξύ δυο εικόνων είναι γνωστή, είναι 13

15 δυνατόν να έχουµε ακριβή εκτίµηση του βάθους, δηλαδή της απόστασης του κάθε σηµείου από την κάµερα. Αυτό µπορούµε επίσης να το πετύχουµε χρησιµοποιώντας δύο διαφορετικές κάµερες αντί για µια κινούµενη. Εάν η γωνία που σχηµατίζουν οι κάµερες και η µεταξύ τους απόσταση είναι γνωστές, είναι δυνατόν να έχουµε αίσθηση του βάθους. Σε αυτήν ακριβώς την αρχή στηρίζεται η ανθρώπινη όραση. Ένα µάτι δεν είναι αρκετό για να δώσει την αίσθηση του βάθους. Χρησιµοποιώντας δυο µάτια των οποίων η απόσταση είναι γνωστή όµως, µπορούµε να υπολογίσουµε την απόσταση των αντικειµένων από αυτά. Για τον ίδιο λόγο, τα αυτοκινούµενα ροµπότ χρησιµοποιούν δυο κάµερες για την αντίληψη του χώρου. Όσα προαναφέρθηκαν αφορούν την προοπτική προβολή. Με την ορθογραφική προβολή είναι δυσκολότερο να αντιµετωπιστεί το πρόβληµα του βάθους, αφού δεν λαµβάνει υπόψη το φαινόµενο της προοπτικής. Η κίνηση ενός αντικειµένου σε σχέση µε το µέγεθος και το σχήµα του είναι δυνατόν να εκτιµηθεί χρησιµοποιώντας περισσότερες από µία εικόνες, η απόστασή του όµως από την κάµερα αντιµετωπίζεται εντελώς ανεξάρτητα. Αυτό συµβαίνει επειδή στην ορθογραφική προβολή το µέγεθος και η κίνηση της προβολής ενός αντικειµένου δεν εξαρτώνται από την απόστασή του από την κάµερα. Για τον ίδιο λόγο, είναι αδύνατον να χρησιµοποιηθεί το ορθογραφικό µοντέλο για να περιγράψει κίνηση παράλληλη µε τον οπτικό άξονα. Όταν χρησιµοποιείται το µοντέλο αυτό, η κίνηση προς την κατεύθυνση αυτή είναι πάντα άγνωστη. Το βασικότερο πλεονέκτηµα όµως του ορθογραφικού µοντέλου είναι πως, λόγω της παράλληλης προβολής, όταν ένα σηµείο κινείται πάνω σε ένα επίπεδο παράλληλο µε αυτό της εικόνας, η µετατόπισή και η περιστροφή του ισούνται µε τη µετατόπιση και την περιστροφή της προβολής του. Από αυτά που αναφέρθηκαν ήδη, συµπεραίνεται πως το πρόβληµα της εκτίµησης της κίνησης και το πρόβληµα του προσδιορισµού των αποστάσεων µεταξύ των σηµείων ενός αντικειµένου είναι σε κάθε περίπτωση σύµφυτα. Θα αναφερθούµε συνέχεια σε διάφορες προσεγγίσεις που έχουν προταθεί στο παρελθόν για την επίλυση των προβληµάτων αυτών. Υπάρχουν δυο γενικές κατηγορίες µεθόδων εκτίµησης της κίνησης. Αυτές που µελετούν την οπτική ροή των εικόνων και αυτές που στηρίζονται σε αντιστοιχήσεις χαρακτηριστικών σηµείων. Η πρώτη κατηγορία µελετάει την µεταβολή της φωτεινότητας στο χρόνο για κάθε pixel της εικόνας. Η κίνηση σε αυτές τις µεθόδους περιγράφεται µε ένα πυκνό πεδίο διανυσµάτων, όπου σε κάθε pixel αντιστοιχείται 14

16 ένα διάνυσµα µετατόπισης από τη µια εικόνα στην άλλη, το οποίο υπόκειται σε συγκεκριµένους κανόνες. [Zhu 86], [Tsa 82], [Tsa 84]. Η µελέτη της οπτικής ροής ξεφεύγει από το σκοπό της εργασίας αυτής και δεν θα µελετηθεί εις βάθος. Στη συνέχεια θα µελετηθεί η δεύτερη κατηγορία µεθόδων. Οι µέθοδοι αυτές στηρίζονται στην εκτίµηση της διδιάστατης κίνησης χαρακτηριστικών σηµείων της εικόνας, που αντιστοιχούν σε ευδιάκριτα σηµεία του τρισδιάστατου αντικειµένου. Από τη διδιάστατη µετατόπιση των προβολών των σηµείων αυτών στην εικόνα µπορούν να εξαχθούν συµπεράσµατα για τις σχετικές θέσεις τους στον χώρο και για την τρισδιάστατη κίνησή τους. Όταν χρησιµοποιούνται αντιστοιχίες σηµείων από τη µια εικόνα στην άλλη, ουσιαστικά το πρόβληµα καταλήγει στην επίλυση ενός συστήµατος εξισώσεων. Κάθε αντιστοιχία ενός σηµείου από τη µια εικόνα σε µια άλλη, δηµιουργεί µια νέα εξίσωση. Ανάλογα µε το µοντέλο που χρησιµοποιείται (προοπτικό-ορθογραφικό), διαφέρει ο αριθµός σηµείων και εικόνων που απαιτούνται. Αναφέρθηκε πως µε τη χρήση του µοντέλου ορθογραφικής προβολής είναι αδύνατον να προσδιοριστεί η απόσταση ενός αντικειµένου από την κάµερα. Χρησιµοποιώντας δυο εικόνες, είναι δυνατόν να εκτιµηθεί η µετατόπιση του αντικειµένου. Είναι επίσης δυνατόν να εκτιµηθούν οι αποστάσεις µεταξύ των σηµείων του, όσον αφορά τους άξονες που είναι παράλληλοι στο επίπεδο της εικόνας. Πέραν όµως του ότι η απόσταση του αντικειµένου από την κάµερα είναι άγνωστη, το σχετικό βάθος ανάµεσα σε δύο σηµεία του αντικειµένου υπολογίζεται µόνο συναρτήσει της ταχύτητας περιστροφής. Αυτό οφείλεται στο γεγονός πως, στην ορθογραφική προβολή, δύο σηµεία που βρίσκονται σε διαφορετικές απόσταση και περιστρέφονται µε αντιστρόφως ανάλογη προς την απόσταση ταχύτητα δίνουν την ίδια προβολή. Για το λόγο αυτό, στην ορθογραφική προβολή το πρόβληµα της εκτίµησης της κίνησης από δύο εικόνες έχει άπειρες λύσεις, ανεξαρτήτως του αριθµού σηµείων που παρακολουθούνται. [Tek 95, σελ 154]. Το ζήτηµα αυτό του σχετικού βάθους µπορεί να αντιµετωπιστεί. Το πρόβληµα όµως της απόστασης του αντικειµένου από την κάµερα στην ορθογραφική προβολή σε κάθε περίπτωση παραµένει άλυτο. Τα σχετικά βάθη των σηµείων µπορούν να υπολογιστούν, εάν είναι ήδη γνωστή µια χονδρική εκτίµηση τους [Aiz 93]. Στην περίπτωση αυτή, έχοντας έναν µεγάλο αριθµό αντιστοιχίσεων σηµείων, είναι δυνατόν η εκτίµηση αυτή να τελειοποιηθεί 15

17 έτσι ώστε όλες οι αντιστοιχίες να ικανοποιούνται όσο το δυνατόν καλύτερα. Για να επιτευχθεί αυτό, χρησιµοποιείται ένας επαναληπτικός αλγόριθµος, όπου σε κάθε βήµα η προηγούµενη εκτίµηση του βάθους χρησιµοποιείται για την εκτίµηση της κίνησης, και στη συνέχεια η νέα εκτίµηση της κίνησης χρησιµοποιείται για µια νέα καλύτερη εκτίµηση του βάθους. Επειδή όµως το ορθογραφικό µοντέλο µε δυο εικόνες δίνει σε κάθε περίπτωση άπειρες λύσεις, εάν η αρχικές εκτιµήσεις περιέχουν µεγάλο σφάλµα, τότε υπάρχει µεγάλη πιθανότητα τα τελικά αποτελέσµατα να είναι εσφαλµένα. Μια αποτελεσµατικότερη µέθοδος είναι η χρήση και τρίτης εικόνας. Είναι δυνατόν, χρησιµοποιώντας αντιστοιχίες τεσσάρων σηµείων για τρεις εικόνες, δηλαδή τέσσερα σηµεία από την πρώτη εικόνα στη δεύτερη και από τη δεύτερη στην τρίτη, να δοθεί µοναδική λύση στο πρόβληµα της κίνησης και δυο λύσεις για τη δοµή (µία συν τη συµµετρική της). Οι Huang και Lee [Hua 89] παρουσίασαν ένα γραµµικό αλγόριθµο για τον υπολογισµό της δοµής και της κίνησης ενός αντικειµένου µε τρεις εικόνες και τέσσερις αντιστοιχίες σηµείων. Το µοντέλο της προοπτικής προβολής είναι πιο κοντά στην πραγµατικότητα, παρουσιάζει όµως κι αυτό δυο βασικές αδυναµίες. Στην περίπτωση που µελετάµε την κίνηση ενός αντικειµένου σε δυο εικόνες, εάν η συνιστώσα της µετατόπισης που είναι κάθετη στο επίπεδο της εικόνας είναι ίση µε 0, το βάθος δεν µπορεί να προσδιοριστεί. Από την άλλη πλευρά, ακόµα και στην περίπτωση που η συνιστώσα αυτή δεν είναι 0, το βάθος µπορεί να προσδιοριστεί µόνο συναρτήσει του µεγέθους του αντικειµένου και της ταχύτητας του. Το βασικό πλεονέκτηµα του προοπτικού µοντέλου σε σχέση µε το ορθογραφικό είναι ακριβώς αυτό. Η απόσταση του αντικειµένου από την κάµερα δεν είναι ανεξάρτητη από τις υπόλοιπες παραµέτρους, όπως στο ορθογραφικό αλλά είναι ανάλογη του µεγέθους και της ταχύτητας του. Έτσι, αν γνωρίζουµε µία από αυτές τις παραµέτρους είµαστε σε θέση να υπολογίσουµε τις υπόλοιπες. Το µοντέλο προοπτικής προβολής είναι σε θέση να δώσει λύση στο πρόβληµα της µετατόπισης και της δοµής, χρησιµοποιώντας δύο λήψεις από διαφορετικές οπτικές γωνίες και αντιστοιχίες οχτώ σηµείων, χρησιµοποιώντας γραµµικούς αντί για επαναληπτικούς αλγόριθµους. Μη γραµµικοί αλγόριθµοι υπάρχουν και για πέντε, έξι και επτά αντιστοιχίες σηµείων [Hua 90]. 16

18 Οι Weng et al [Wen 89] παρουσίασαν έναν ανθεκτικό γραµµικό αλγόριθµο για τον υπολογισµό των παραµέτρων κίνησης και τις σχετικές αποστάσεις µεταξύ των σηµείων. Για το σκοπό αυτό, χρησιµοποίησαν δύο εικόνες µε προοπτική προβολή και ένα µεγάλο αριθµό αντιστοιχίσεων σηµείων. Ο µεγάλος αριθµός σηµείων συµβάλλει σηµαντικά στην αύξηση της ανθεκτικότητας του αλγόριθµου στα σφάλµατα. Μελετώντας τις αιτίες των σφαλµάτων, καταλήγουν σε µια σειρά συµπερασµάτων για τη σχέση της θέσης και της κίνησης της κάµερας και των αντικειµένων µε την ποιότητα των αποτελεσµάτων. Έτσι, τονίζουν ότι το µικρό εστιακό µήκος συµβάλει στην ποιότητα των αποτελεσµάτων, όπως και η µικρή απόσταση των αντικειµένων από το φακό. Επίσης επισηµαίνουν πως η µετατόπιση προσδιορίζεται ευκολότερα όταν είναι µεγάλη και η κατεύθυνσή της είναι κάθετη στο επίπεδο της εικόνας. Τέλος οι συγγραφείς σηµειώνουν πως, αν και στην προοπτική προβολή το σφάλµα στις παραµέτρους περιστροφής δεν επηρεάζει σηµαντικά τα υπόλοιπα αποτελέσµατα, ο άξονας περιστροφής είναι ευκολότερο να εκτιµηθεί όταν αυτός πλησιάζει την κάθετη στο επίπεδο της εικόνας. Μια διαφορετική προσέγγιση για την επίλυση του προβλήµατος µέσω προοπτικής προβολής ανέπτυξαν οι ίδιοι συγγραφείς στο άρθρο [Wen 92], όπου απέδειξαν ότι είναι δυνατόν να δοθεί µοναδική λύση χρησιµοποιώντας αντιστοιχίες γραµµών αντί σηµείων. Για να υπάρξει µοναδική λύση µε τον τρόπο αυτό, χρειάζονται τρεις διαφορετικές εικόνες της σκηνής. Το γεγονός πως µια γραµµή αποτελείται από ένα µεγάλο αριθµό σηµείων συµβάλλει στην αποτελεσµατικότητα του αλγόριθµου. Στο άρθρο [Zha 95] παρουσιάζεται ένας αλγόριθµος για τον υπολογισµό της τρισδιάστατης δοµής και κίνησης βασισµένος σε ευθύγραµµα τµήµατα. Σε αντίθεση µε την τεχνική των Weng et al, σε αυτήν την πρόταση αρκούν δύο εικόνες για να υπολογιστούν η δοµή και η κίνηση. Επειδή ένα ευθύγραµµο τµήµα, ορίζεται από τα άκρα του, υπάρχουν συγκεκριµένες περιπτώσεις αλληλοκάλυψης ευθύγραµµων τµηµάτων σε διαφορετικές λήψεις. Ο περιορισµός αυτός οδηγεί στην επίλυση του προβλήµατος χρησιµοποιώντας δύο εικόνες. Αξίζει να σηµειωθεί πως ο αλγόριθµος αυτός µπορεί να χρησιµοποιηθεί και σε συνδυασµό µε αντιστοιχίες σηµείων. Οι Papadimitriou et al [Pap 00] παρουσίασαν έναν ανθεκτικό στον θόρυβο αλγόριθµο για τον εντοπισµό των παραµέτρων κίνησης βάσει της αντιστοίχισης σηµείων. Χρησιµοποιώντας τη µέθοδο των ολικά ελάχιστων τετραγώνων ανέπτυξαν 17

19 έναν αλγόριθµο ο οποίος είναι σε θέση να δίνει ικανοποιητικά αποτελέσµατα σε σύνολα δεδοµένων µε ποσοστό σφάλµατος έως και 50%. Ως τώρα αναφέρθηκαν προσεγγίσεις στο πρόβληµα της τρισδιάστατης κίνησης µε τη λήψη διαδοχικών φωτογραφιών ενός αντικειµένου από µία κάµερα. Μια αποτελεσµατικότερη προσέγγιση στον υπολογισµό της δοµής και της κίνησης είναι η ταυτόχρονη λήψη φωτογραφιών του αντικειµένου από δύο κάµερες [Tek 95, σελ. 219]. Με τη µέθοδο αυτή, σε κάθε χρονική στιγµή λαµβάνεται ένα ζεύγος εικόνων, µία αριστερή και µια δεξιά. Οι εκτιµήσεις για τη δοµή και την κίνηση είναι πολύ ανθεκτικότερες µε τη µέθοδο αυτή. Το βασικότερο πλεονέκτηµα όµως της µεθόδου αυτής, είναι πως, αν η σχετική θέση της µιας κάµερας ως προς την άλλη είναι γνωστή, το πρόβληµα του βάθους λύνεται οριστικά και είναι δυνατόν να υπολογιστεί η πραγµατική απόσταση του κάθε σηµείου από τις κάµερες. Η µέθοδος αυτή είναι που χρησιµοποιείται στα αυτόνοµα ροµπότ αλλά και στην ανθρώπινη όραση. Για τον υπολογισµό της δοµής και της κίνησης των αντικειµένων στην περίπτωση αυτή, χρησιµοποιείται το µοντέλο της προοπτικής προβολής για κάθε κάµερα. Τα χαρακτηριστικά σηµεία αντιστοιχούνται από την εικόνα της µιας κάµερας στην εικόνα της άλλης, για την ίδια χρονική στιγµή. Έτσι, από τις δυο εικόνες εξάγονται οι πληροφορίες για τη θέση, το σχήµα και το µέγεθος των αντικειµένων στη συγκεκριµένη χρονική στιγµή. Στη συνέχεια τα σηµεία αυτά αναζητούνται από τη µία από τις δύο εικόνες, στην αντίστοιχη του επόµενου ζεύγους. Έτσι, εξάγονται πληροφορίες για την µεταβολή της θέσης του αντικειµένου από τη µια χρονική στιγµή στην άλλη. Εναλλακτικά, είναι δυνατό να υπολογίζονται οι τρισδιάστατες συντεταγµένες των σηµείων του αντικειµένου για κάθε ζεύγος. Η αντιστοίχιση στην περίπτωση αυτή γίνεται από ζεύγος σε ζεύγος και όχι από τη µια εικόνα στην επόµενη της ίδιας κάµερας. Αναφέρθηκε πως στην παράλληλη φωτογράφηση από δυο κάµερες χρησιµοποιείται το µοντέλο της προοπτικής προβολής για κάθε κάµερα. Κατά συνέπεια, οι µέθοδοι που χρησιµοποιούνται βασίζονται σε παρόµοιες µεθόδους µε αυτές της εκτίµησης τρισδιάστατης κίνησης από µία προοπτική κάµερα. Έτσι ο προσδιορισµός των τρισδιάστατων χαρακτηριστικών µπορεί να γίνει µε αντιστοιχίες είτε σηµείων, είτε ευθειών, είτε ευθύγραµµων τµηµάτων. Οι Chen και Huang παρουσίασαν [Che 90] έναν ανθεκτικό αλγόριθµο αντιστοίχισης ευθύγραµµων τµηµάτων για το σκοπό αυτό. Στον αλγόριθµο αυτό, από 18

20 κάθε ζεύγος εικόνων υπολογίζονται οι συντεταγµένες στο χώρο όλων των ορατών ευθύγραµµων τµηµάτων. Στη συνέχεια, δηµιουργούνται αντιστοιχίες από τη µια χρονική στιγµή στην άλλη, µεταξύ των τµηµάτων που βρίσκονται σε παρόµοιο βάθος και έχουν παρόµοια διεύθυνση. Αν όµως υπάρχουν πολλά ευθύγραµµα τµήµατα µε παρόµοια διεύθυνση και βάθος, ο αλγόριθµος δεν είναι σε θέση να κάνει τις αντιστοιχίσεις σωστά. Μια άλλη πρακτική που µπορεί να αυξήσει την ανθεκτικότητα των αλγορίθµων αυτών είναι η παρακολούθηση του αντικειµένου για ένα µεγάλο αριθµό καρέ. Το µεγάλο πλήθος δεδοµένων συµβάλλει στον εντοπισµό και απόρριψη των λανθασµένων παρατηρήσεων. Επιπλέον, µε τον τρόπο αυτό είναι δυνατόν, να εξαχθεί ένα µοντέλο κίνησης το οποίο λαµβάνει υπόψη τη µεταβολή της ταχύτητας στο χρόνο, αντί να υπολογιστεί η ταχύτητα του αντικειµένου σε µια µόνο χρονική στιγµή. Στο άρθρο [You 90] οι Young και Chellappa παρουσιάζουν έναν αλγόριθµο ο οποίος χρησιµοποιεί ένα σχετικά µεγάλο αριθµό ζευγών εικόνων για να υπολογίσει το µοντέλο της κίνησης. Με τέσσερα ζεύγη εικόνων και τρία µη συγγραµικά σηµεία υπολογίζεται µε µοναδικό τρόπο η δοµή καθώς και το µοντέλο της κίνησης. Μια προσέγγιση εντελώς διαφορετική παρουσιάζεται στο άρθρο [Ari 00]. Ο αλγόριθµος ασχολείται αποκλειστικά µε τον προσδιορισµό της κίνησης ενός επίπεδου αντικειµένου. Χρησιµοποιείται µια εικόνα αναφοράς που περιέχει το αντικείµενο υπό γνωστή γωνία. Το µοντέλο που χρησιµοποιείται είναι αυτό της ορθογραφικής προβολής. Χρησιµοποιώντας ένα µεγάλο αριθµό διαδοχικών εικόνων, προσδιορίζεται η σχέση της κάθε µιας µε την εικόνα αναφοράς. Εάν υπολογιστεί η γωνία του αντικειµένου ως προς την εικόνα αναφοράς, µπορεί να υπολογιστεί η τρισδιάστατη κίνηση του αντικειµένου. Οι αλγόριθµοι που αναφέρθηκαν έως τώρα δεν είναι σε θέση να υπολογίσουν την πραγµατική απόσταση. Η παράλληλη φωτογράφηση από δυο κάµερες σε γνωστή απόσταση είναι η µοναδική εξαίρεση. Το προοπτικό καθώς και το ορθογραφικό µοντέλο καταλήγουν σε ένα σηµείο όπου ενώ οι σχετικές αποστάσεις είναι γνωστές, οι πραγµατικές αποστάσεις παραµένουν άγνωστες. Στην προοπτική προβολή, που µας ενδιαφέρει περισσότερο γιατί προσεγγίζει καλύτερα την ανθρώπινη όραση, το βάθος και το µέγεθος είναι αλληλένδετα. Με την έννοια αυτή, αν γνωρίζουµε το πραγµατικό τρισδιάστατο µέγεθος ενός αντικειµένου και το συγκρίνουµε µε το µέγεθος της προβολής του, µπορούµε να συµπεράνουµε την απόστασή του από την 19

21 κάµερα. Από τη στιγµή που θα γίνει αυτό, όλες οι παράµετροι που αφορούν τη θέση και την κίνηση κάθε σηµείου είναι δυνατόν να υπολογιστούν. Σε τελική ανάλυση λοιπόν, σε περίπτωση που χρησιµοποιούµε µία µόνο κάµερα, χρειαζόµαστε ένα µέτρο των πραγµατικών διαστάσεων του αντικειµένου, για να υπολογίσουµε την κίνηση σε απόλυτα µεγέθη. Η µελέτη προς την κατεύθυνση αυτή είναι περιορισµένη. Στο άρθρο [Gar 96] παρουσιάζεται µια µέθοδος για την εκτίµηση της κίνησης οχηµάτων, η οποία στηρίζεται στον προσδιορισµό του µοντέλου του οχήµατος. Η µέθοδος στηρίζεται σε δυο βασικές υποθέσεις: 1) Οποιαδήποτε µετατόπιση του οχήµατος γίνεται πάνω σε ένα επίπεδο το οποίο είναι κάθετο στο διάνυσµα της βαρύτητας. 2) Η κίνηση του οχήµατος οφείλεται σχεδόν αποκλειστικά στη µετατόπιση, αφού η περιστροφή είναι πάρα πολύ οµαλή. Αρχικά, η µέθοδος απαιτεί από το χρήστη να εισάγει τη διεύθυνση του διανύσµατος της βαρύτητας και κατ επέκταση να ορίσει το επίπεδο πάνω στο οποίο θα µπορεί να κινηθεί το όχηµα. Έπειτα, ο χρήστης καλείται να ορίσει το γενικό τρισδιάστατο περίγραµµα του οχήµατος, επιλέγοντας ένα προσχεδιασµένο µοντέλο και προσαρµόζοντάς το στην κλίση και τις διαστάσεις του οχήµατος στην εικόνα. Η µέθοδος αναζητά χαρακτηριστικά σηµεία µέσα στο περίγραµµα αυτό. Αφού η αναζήτηση ολοκληρωθεί, είναι δυνατόν να οριστεί το πραγµατικό περίγραµµα του οχήµατος περιορίζοντας το περίγραµµα που όρισε ο χρήστης στις περιοχές που εντοπίστηκαν χαρακτηριστικά σηµεία. Στη συνέχεια, τα σηµεία χωρίζονται σε τρεις οµάδες ανάλογα µε τις θέση τους στο αυτοκίνητο: µπροστά, µέση και πίσω. Ανάλογα µε την διδιάστατη µετατόπιση των σηµείων της κάθε οµάδας υπολογίζεται η µετατόπιση και περιστροφή στον τρισδιάστατο κόσµο. Όταν το όχηµα περιστραφεί αισθητά σε σχέση µε την αρχική εικόνα, γίνεται εκ νέου αναζήτηση των χαρακτηριστικών σηµείων ώστε να αντικατασταθούν αυτά που επικαλύφθηκαν λόγω της περιστροφής. Μετά τον υπολογισµό της µετατόπισης και της περιστροφής σε σχετικές αποστάσεις, η πραγµατική ταχύτητα του οχήµατος µπορεί να υπολογιστεί, εάν είναι γνωστό το µήκος του. Η µέθοδος αυτή έχει δύο βασικά µειονεκτήµατα. Πρώτον, απαιτείται από το χρήστη να προσδιορίσει τη διεύθυνση της βαρύτητας και κατ επέκταση το επίπεδο στο οποίο θα κινείται το όχηµα. Απαιτείται επίσης από το χρήστη να προσδιορίσει το καταλληλότερο µοντέλο το οποίο µπορεί να περιγράψει το σκελετό του οχήµατος και 20

22 να προσαρµόσει την κλίση και το µέγεθός του στην προβολή του οχήµατος στην πρώτη από τις εικόνες. Αυτή η παρέµβαση του χρήστη µειώνει την αυτονοµία της µεθόδου. εύτερον, η υπόθεση πως το όχηµα κινείται αποκλειστικά σε ένα επίπεδο κάθετο στο διάνυσµα της βαρύτητας δεν ισχύει πάντα. Στην περίπτωση που έχουµε κίνηση σε ανηφόρα ή κατηφόρα, για παράδειγµα, η συνιστώσα της κίνησης που είναι παράλληλη στο διάνυσµα της βαρύτητας είναι µη µηδενική. Ο αλγόριθµος είναι ανθεκτικός για σχετικά µικρές κλίσεις, δεν είναι όµως σε θέση να δώσει σωστές εκτιµήσεις όταν η κατεύθυνση της κίνησης σχηµατίζει µεγάλη γωνία µε το διάνυσµα της βαρύτητας.. Οι Dailey et al [Dai 00] παρουσιάζουν έναν αλγόριθµο για την εκτίµηση της µέσης ταχύτητας των αυτοκινήτων σε ένα δρόµο ο οποίος στηρίζεται σε µια εντελώς διαφορετική προσέγγιση του προβλήµατος. Ξεκινούν µε µια σειρά υποθέσεων οι οποίες περιορίζουν το πρόβληµα από τις τρεις διαστάσεις σε µία. Οι υποθέσεις αυτές είναι: 1) Η ταχύτητα των αυτοκινήτων είναι πεπερασµένη, λόγω των φυσικών και νοµικών περιορισµών. 2) Η κίνηση είναι οµαλή. Στο χρονικό διάστηµα µεταξύ δύο εικόνων (200 ms στην υλοποίηση) δεν υπάρχουν απότοµες αλλαγές κατεύθυνσης. 3) Η κίνηση περιορίζεται πάνω στο επίπεδο του δρόµου. Η κίνηση των οχηµάτων είναι µονοδιάστατη. 4) Η κλίµακα (µέτρα/pixel) µεταβάλλεται γραµµικά κατά µήκος της κατεύθυνσης κίνησης των αυτοκινήτων. Τα αυτοκίνητα όταν κινούνται γενικά είτε πλησιάζουν είτε αποµακρύνονται από την κάµερα. 5) Οι διαστάσεις των οχηµάτων που απεικονίζονται προκύπτουν από µια γνωστή κατανοµή διαστάσεων. Η υπόθεση 4) ισχύει όταν η κάµερα βρίσκεται σε κάποιο ύψος πάνω από το δρόµο µε κλίση προς τα κάτω. Όταν ισχύουν οι παραπάνω υποθέσεις, οι προβολές των αυτοκινήτων στην εικόνα κινούνται από πάνω προς τα κάτω ή αντίστροφα. Τα αυτοκίνητα που βρίσκονται µακριά από την κάµερα προβάλλονται στο πάνω µέρος της εικόνας. Το νόηµα της υπόθεσης αυτής είναι πως τα αυτοκίνητα αυτά έχουν µικρότερη προβολή από αυτά που βρίσκονται πιο κοντά στην κάµερα. Όσο ένα αυτοκίνητο πλησιάζει την κάµερα, η προβολή του κινείται προς τα κάτω και µεγαλώνει, και ανάλογα µεταβάλλεται η σχέση µέτρα/pixel. Για να υπολογιστεί η πραγµατική ταχύτητα από τις µετατοπίσεις των προβολών θα πρέπει να συγκριθούν οι διαστάσεις των προβολών µε τις πραγµατικές διαστάσεις των αυτοκινήτων. Θα πρέπει όµως να ληφθεί υπόψη ότι το µέγεθος του περιγράµµατος της προβολής κάθε αυτοκινήτου µεταβάλλεται κατά την κίνηση. Ο αλγόριθµος πρώτα εξάγει τα 21

23 περιγράµµατα των αυτοκινήτων. Βάσει των διαστάσεων των περιγραµµάτων για διάφορα ύψη, δηµιουργείται η γραµµική συνάρτηση που περιγράφει τη µεταβολή των διαστάσεων των προβολών συναρτήσει του ύψους της προβολής στην εικόνα. Ο αλγόριθµος χρειάζεται ως δεδοµένο το µέσο πραγµατικό πλάτος ενός αυτοκινήτου, και την κατανοµή που ακολουθούν τα πλάτη των αυτοκινήτων στον πραγµατικό κόσµο. Προσαρµόζοντας στην κατανοµή αυτή τα πλάτη των προβολών πολλών διαφορετικών αυτοκινήτων και χρησιµοποιώντας τη γραµµική συνάρτηση που αναφέρθηκε προηγουµένως, κατασκευάζεται µια συνάρτηση που είναι σε θέση να δώσει τη σχέση pixel/µέτρο συναρτήσει του ύψους στην εικόνα. Στη συνέχεια, βάσει της συνάρτησης αυτής, υπολογίζεται η ταχύτητα των αυτοκινήτων από τη θέση της προβολής τους στην εικόνα και από τις αποστάσεις σε pixel που αυτά διήνυσαν από καρέ σε καρέ. Ο αλγόριθµος είναι αποτελεσµατικός αλλά προορίζεται για την εκτίµηση της µέσης ταχύτητας όλων των αυτοκινήτων που είναι ορατά, όταν η κάµερα βρίσκεται σε µεγάλη απόσταση από το δρόµο. Για να δηµιουργηθεί η συνάρτηση υπολογισµού της σχέσης pixels/µέτρο πρέπει να παρακολουθηθεί ένας µεγάλος αριθµός αυτοκινήτων ώστε στη συνέχεια οι παρατηρήσεις να προσαρµοστούν στη θεωρητική κατανοµή. Επιπλέον, αφού από την κατανοµή υπολογιστεί η σχέση αυτή, ο αλγόριθµος δεν είναι σε θέση να εκτιµήσει µε ακρίβεια την ταχύτητα µεµονωµένων αυτοκινήτων. Αντίθετα, χρησιµοποιώντας ένα µεγάλο αριθµό εκτιµήσεων, υπολογίζει τη µέση ταχύτητα κατά προσέγγιση. Πιο κοντά στους στόχους της εργασίας αυτής είναι ο αλγόριθµος των Schoepflin και Dailey [Sch 03] για τον αυτόµατο υπολογισµό των εσωτερικών χαρακτηριστικών µιας κάµερας και της θέσης της σε σχέση µε το δρόµο. Με την χρήση των κατάλληλων µετασχηµατισµών είναι εφικτός ο υπολογισµός της ταχύτητας, στη συνέχεια, µε οποιαδήποτε µέθοδο. Στο πρώτο στάδιο, η θέση της κάµερας σε σχέση µε το δρόµο είναι άγνωστη. Η κάµερα θα πρέπει όµως να είναι τοποθετηµένη σε ύψος πάνω από το δρόµο, σχετικά παράλληλα µε αυτόν και µε κλίση προς τα κάτω, ώστε οι προβολές των αυτοκινήτων να κινούνται από το πάνω µέρος της εικόνας προς τα κάτω, ή αντίστροφα. Παρατηρώντας το δρόµο για ένα µεγάλο χρονικό διάστηµα, µπορεί να εξαχθεί ένας χάρτης δραστηριότητας. Ο χάρτης αυτός για κάθε σηµείο της εικόνας παίρνει µία τιµή, ανάλογα µε τις µεταβολές του συγκεκριµένου pixel στο χρόνο. Οι περιοχές της 22

24 εικόνας που εµφανίζουν έντονη κίνηση παίρνουν υψηλές τιµές στο χάρτη δραστηριότητας. Με τον τρόπο αυτό, ξεχωρίζουν και επιλέγονται οι περιοχές που εµφανίζουν συχνή κίνηση, δηλαδή οι λωρίδες κυκλοφορίας. Στη συνέχεια, καθορίζονται τα όρια των λωρίδων αυτών. Οι ευθείες αυτές είναι παράλληλες στον τρισδιάστατο κόσµο, άρα στην εικόνα οι προβολές τους θα τέµνονται σε κάποιο σηµείο του επιπέδου της εικόνας, ως αποτέλεσµα της προοπτικής. Έτσι, εντοπίζεται σηµείο τοµής των ευθειών αυτών. Στη συνέχεια εξάγονται τα περιγράµµατα των αυτοκινήτων. Εάν τα αυτοκίνητα είναι αρκετά µακριά από την κάµερα ώστε να µην είναι ορατές οι λεπτοµέρειές τους, τα περιγράµµατά τους θα έχουν τη µορφή πεπλατυσµένου κύκλου (Σχήµα 2.7). Το κάτω µέρος των περιγραµµάτων αυτών, όσο αυτά πλησιάζουν την κάµερα, σταδιακά µετατρέπεται από καµπύλη σε ένα µικρό ευθύγραµµο τµήµα. Σχήµα 2.7: Τα περιγράµµατα των αυτοκινήτων όταν λόγω της απόστασης οι λεπτοµέρειές τους δεν είναι ορατές, µοιάζουν µε πεπλατυσµένους κύκλους. Το κάτω µέρος των περιγραµµάτων ορίζει ευθείες οι οποίες είναι κάθετες στις λωρίδες κυκλοφορίας. Από τη διεύθυνση των ευθύγραµµων τµηµάτων αυτών προκύπτει µια σειρά ευθειών οι οποίες στον πραγµατικό κόσµο είναι κάθετες στις λωρίδες κυκλοφορίας. Οι προβολές των ευθειών αυτών, όπως και οι προβολές των λωρίδων, τέµνονται στο επίπεδο της εικόνας. Εντοπίζεται λοιπόν το σηµείο τοµής των κάθετων αυτών ευθειών. Οι συγγραφείς αποδεικνύουν πως γνωρίζοντας τις συντεταγµένες των δύο σηµείων τοµής είναι δυνατόν να υπολογιστεί η θέση της κάµερας ως προς το δρόµο. Όπως αναφέρθηκε προηγουµένως όµως, η θέση της κάµερας ως προς τα αντικείµενα µπορεί να προσδιοριστεί µόνο σε σχετικά µεγέθη. Για να είναι δυνατή η εκτίµηση 23

25 των αποστάσεων και της ταχύτητας σε πραγµατικά µεγέθη, πρέπει να είναι γνωστή η σχέση pixel/µέτρο. Στο συγκεκριµένο αλγόριθµο, προτείνεται η µέτρηση εκ των προτέρων του πλάτους µιας λωρίδας κυκλοφορίας. Από τη σύγκριση του πλάτους αυτού µε το πλάτος της προβολής της λωρίδας στην εικόνα λύνεται το πρόβληµα του βάθους. Η θέση της κάµερας ως προς το δρόµο υπολογίζεται σε πραγµατικές αποστάσεις. Από την προβολή ενός αυτοκινήτου είναι δυνατόν να υπολογιστεί η πραγµατική του θέση στο δρόµο, και κατά συνέπεια, η µετατόπιση της προβολής να χρησιµοποιηθεί για την εκτίµηση της πραγµατικής του ταχύτητας. Όλες οι µέθοδοι που αναφέρθηκαν βασίζονταν σε στοιχεία προβολικής γεωµετρίας για να υπολογίσουν την τρισδιάστατη κίνηση των αντικειµένων. Στην µέθοδο που παρουσιάζεται στην εργασία αυτή το πρόβληµα αντιµετωπίζεται από άλλη οπτική γωνία. Η µέθοδος µας στηρίζεται στη χρήση εικόνων αναφοράς. Μια εικόνα αναφοράς περιέχει ένα αυτοκίνητο υπό γνωστή γωνία. Οποιαδήποτε άλλη εικόνα του ίδιου αυτοκινήτου υπό διαφορετική γωνία, θα το παρουσιάζει παραµορφωµένο και σε διαφορετικές διαστάσεις λόγω προοπτικής. Η παραµόρφωση αυτή, στην πραγµατικότητα οφείλεται στην προοπτική προβολή και υπολογίζεται βάσει αυτής. Θα δείξουµε παρακάτω ότι η παραµόρφωση αυτή µπορεί να προσεγγιστεί µε µια διδιάστατη συνάρτηση µετασχηµατισµού µε ικανοποιητική ακρίβεια. Έτσι, οι εικόνες που περιέχουν το αυτοκίνητο εν κινήσει, ανάγονται στην εικόνα αναφοράς µέσω µιας τέτοιας συνάρτησης µετασχηµατισµού. Στο αυτοκίνητο της εικόνας αναφοράς η σχέση pixel/µέτρο είναι γνωστή. Ανάγοντας τις εικόνες κίνησης στην εικόνα αναφοράς, από τις µετατοπίσεις των ανηγµένων προβολών µπορεί να εκτιµηθεί η πραγµατική ταχύτητα του αυτοκινήτου. Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα παρουσιαστεί η µέθοδος µε την οποία µπορεί να επιτευχθεί αυτό. 24

26 3. Περιγραφή της µεθόδου Σε αυτό το κεφάλαιο θα παρουσιαστεί η προτεινόµενη µέθοδος εκτίµησης της ταχύτητας σε εικονοσειρές µε κινούµενα αυτοκίνητα. Στη συνέχεια θα χωριστεί η µέθοδος σε βασικές ενότητες και θα περιγραφεί η κάθε ενότητα λεπτοµερώς. Α. Γενική περιγραφή Η προτεινόµενη µέθοδος υπολογισµού της ταχύτητας, µπορεί να χωριστεί σε 4 ενότητες: 1) Επεξεργασία εικόνας ακίνητου αυτοκινήτου (ή εικόνας αναφοράς). 2) Επεξεργασία εικόνων κινούµενου αυτοκινήτου. 3) Αναγωγή των δεδοµένων των εικόνων του κινούµενου αυτοκινήτου στην εικόνα του ακίνητου αυτοκινήτου. 4) Υπολογισµός της ταχύτητας στην εικόνα του ακίνητου αυτοκινήτου. Τα αποτελέσµατα της πρώτης ενότητας χρησιµοποιούνται ως δεδοµένα αναφοράς για κάθε εικονοσειρά που απεικονίζει το συγκεκριµένο αυτοκίνητο εν κινήσει. Β. Επεξεργασία φωτογραφίας αναφοράς. Στόχος σε αυτή την ενότητα είναι να εξάγουµε τα πιο έντονα χαρακτηριστικά του αυτοκινήτου από µία εικόνα του αυτοκινήτου σε ακινησία. Οι εικόνες ενός κινούµενου αυτοκινήτου, συνήθως, δεν είναι αξιόπιστες, καθώς τα δεδοµένα τους περιέχουν παραµορφώσεις λόγω της κίνησης. Για να αυξήσουµε την ακρίβεια των εκτιµήσεων κάνουµε τις µετρήσεις σε µια εικόνα του αυτοκινήτου σε κίνηση και ανάγουµε τα δεδοµένα των κινούµενων αυτοκινήτων σε συνθήκες ακινησίας. Το πρώτο πράγµα που πρέπει να γίνει, όπως είπαµε, είναι να ληφθεί µια στατική εικόνα του αυτοκινήτου. Στην εικόνα αυτήν θα εντοπίσουµε τα χαρακτηριστικότερα σηµεία του αυτοκινήτου, τα οποία στην συνέχεια θα αναζητηθούν στις διάφορες εικονοσειρές που το απεικονίζουν εν κινήσει. Τα σηµεία αυτά θα πρέπει να είναι ορατά από όσο το δυνατόν περισσότερες γωνίες του αυτοκινήτου, αφού θεωρούµε ότι 25

27 δεν γνωρίζουµε την γωνία λήψης των εικονοσειρών εκ των προτέρων. Για το σκοπό αυτό, το προτιµότερο θα είναι στην αρχική φωτογραφία ο άξονας της φωτογραφικής µηχανής να είναι κάθετος στην πλαϊνή πλευρά του αυτοκινήτου (Σχήµα 3.1). Έτσι όλα τα σηµεία της µιας πλευράς του αυτοκινήτου θα είναι ορατά, χωρίς όµως να φαίνονται τα σηµεία του µπροστά ή του πίσω µέρους του αυτοκινήτου, τα οποία δεν είναι πάντα ορατά στις εικονοσειρές. Σχήµα 3.1: Σχηµατική αναπαράσταση της θέσης της φωτογραφικής µηχανής ως προς το αυτοκίνητο. Στην εικόνα αναφοράς θα ανάγονται τα δεδοµένα από τις εικόνες κίνησης. Στη συνέχεια, από αυτά θα υπολογίζεται η πραγµατική ταχύτητα του αυτοκινήτου. Για να επιτευχθεί αυτό όµως, χρειάζεται ένα µέτρο της σχέσης pixel/µέτρο. Όπως αναφέρθηκε στο προηγούµενο κεφάλαιο, αυτός είναι ο απλούστερος τρόπος να λυθεί το πρόβληµα του βάθους. Για να υπολογιστεί η σχέση pixel/µέτρο, θα µπορούσε να υπολογιστεί η απόσταση στον πραγµατικό κόσµο µεταξύ δυο σηµείων της εικόνας και να συγκριθεί µε την απόσταση σε pixel των σηµείων αυτών στην εικόνα. Θα µπορούσαµε λοιπόν να γνωρίζουµε την απόσταση µεταξύ δυο σηµείων του αυτοκινήτου και να την συγκρίνουµε µε την απόσταση σε pixel των ίδιων σηµείων στην εικόνα. Επειδή όµως η τεχνική αυτή εµπεριέχει την πιθανότητα σφάλµατος, προτιµήθηκε να κολληθεί στο αυτοκίνητο ένα τετράγωνο λευκό χαρτόνι διαστάσεων 0,5 x 0,5 µέτρα. Οι γωνίες του χαρτονιού αυτού είναι πολύ εύκολο να εντοπιστούν µε ικανοποιητική ακρίβεια στην εικόνα και η ακριβής απόσταση µεταξύ των γωνιών στον πραγµατικό κόσµο είναι εκ των προτέρων σχεδιασµένη µε ακρίβεια. 26

28 Σχήµα 3.2 Μια φωτογραφία αυτοκινήτου και το φόντο της. Α: Μια περιοχή της εικόνας που δεν περιέχει τµήµατα του αυτοκινήτου (παρόµοιες τιµές φωτεινότητας). Β: Μια περιοχή της εικόνας που περιέχει τµήµα του αυτοκινήτου (σηµαντικές διαφορές στις τιµές φωτεινότητας). 27

29 Στην εικόνα επιθυµούµε να περιορίσουµε τον χώρο αναζήτησης στην περιοχή που απεικονίζεται η προβολή του αυτοκινήτου, τόσο για υπολογιστικούς λόγους, όσο και για λόγους ορθότητας των αποτελεσµάτων. Ένας τρόπος να επιτευχθεί αυτό είναι να διαγραφεί το φόντο της εικόνας ώστε αντικείµενα εκτός της περιοχής του αυτοκινήτου να µην επεξεργάζονται. Για το σκοπό αυτό λαµβάνεται και µια φωτογραφία χωρίς το αυτοκίνητο. Συγκρίνοντας τις δυο εικόνες και εντοπίζοντας τα pixel που έχουν ίδιες τιµές φωτεινότητας µπορούµε να εντοπίσουµε συνολικά την περιοχή του φόντου. Ένα τέτοιο ζευγάρι φωτογραφιών αυτοκινήτου-φόντου φαίνεται στο σχήµα 3.2. ιαπιστώνεται ότι ενώ η περιοχή του φόντου δεν αλλάζει σηµαντικά στις δύο εικόνες (παρόµοιες τιµές φωτεινότητας), η περιοχή του αυτοκινήτου µεταβάλλεται σηµαντικά (Σχήµα 3.2 A-B). Η βασική ιδέα για τον εντοπισµό του φόντου αναφέρθηκε ήδη: Από µία εικόνα του αυτοκινήτου και µία εικόνα της ίδιας περιοχής χωρίς το αυτοκίνητο συγκρίνουµε τις τιµές της φωτεινότητας για κάθε pixel. Τα pixel που εµφανίζουν κοντινές τιµές φωτεινότητας ανήκουν στο φόντο, ενώ τα pixel µε σηµαντική διαφορά φωτεινότητας ανήκουν στο αυτοκίνητο. Αντί το φόντο να σηµειωθεί κατευθείαν πάνω στην εικόνα, είναι προτιµότερο να αποθηκευτεί µε τη µορφή ενός δυαδικού πίνακα µε τις διαστάσεις της εικόνας. Με τον τρόπο αυτό είναι ευκολότερη η περαιτέρω επεξεργασία του. Ο πίνακας αυτός θα έχει την τιµή 1 για τα pixel του φόντου και 0 για τα pixel του αυτοκινήτου. Έτσι θα ισχύει ( i, j) = 1, αν ( i, j) = 0, αν I I α α ( i, j) = I ( i, j) I φ φ ( i, j) ( i, j) (1) Επειδή µεταξύ των δύο φωτογραφιών ενδέχεται να αλλάξουν οι συνθήκες καταγραφής (µικρή µετακίνηση κάµερας, µεταβολή του φωτισµού στο περιβάλλον, αυτόµατη αλλαγή των ρυθµίσεων της φωτογραφικής µηχανής, κινούµενα αντικείµενα στο φόντο), είναι πολύ πιθανό η φωτεινότητα των δυο εικόνων στην περιοχή του φόντου να µην είναι, όπως θα θέλαµε, ίδια. Έτσι, υπάρχει ένα σοβαρό ενδεχόµενο pixel που αντιστοιχούν στις ίδιες περιοχές του φόντου να έχουν σηµαντική διαφορά φωτεινότητας. Για να αντιµετωπίσουµε αυτό το πρόβληµα, σε ένα προπαρασκευαστικό στάδιο κανονικοποιούµε τις εικόνες ως προς τη 28

Doppler Radar. Μεταφορά σήµατος µε την βοήθεια των µικροκυµάτων.

Doppler Radar. Μεταφορά σήµατος µε την βοήθεια των µικροκυµάτων. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 101 10. Άσκηση 10 Doppler Radar. Μεταφορά σήµατος µε την βοήθεια των µικροκυµάτων. 10.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών

Διαβάστε περισσότερα

Όλα τα θέματα των εξετάσεων έως και το 2014 σε συμβολή, στάσιμα, ηλεκτρομαγνητικά κύματα, ανάκλαση - διάθλαση Η/Μ ΚΥΜΑΤΑ. Ερωτήσεις Πολλαπλής επιλογής

Όλα τα θέματα των εξετάσεων έως και το 2014 σε συμβολή, στάσιμα, ηλεκτρομαγνητικά κύματα, ανάκλαση - διάθλαση Η/Μ ΚΥΜΑΤΑ. Ερωτήσεις Πολλαπλής επιλογής Η/Μ ΚΥΜΑΤΑ 1. Τα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα: Ερωτήσεις Πολλαπλής επιλογής α. είναι διαµήκη. β. υπακούουν στην αρχή της επαλληλίας. γ. διαδίδονται σε όλα τα µέσα µε την ίδια ταχύτητα. δ. Δημιουργούνται από

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΦΩΤΟΓΡΑΜΜΕΤΡΙΑΣ. Βασίλης Γιαννακόπουλος, Δρ. Δασολόγος

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΦΩΤΟΓΡΑΜΜΕΤΡΙΑΣ. Βασίλης Γιαννακόπουλος, Δρ. Δασολόγος ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΦΩΤΟΓΡΑΜΜΕΤΡΙΑΣ Βασίλης Γιαννακόπουλος, Δρ. Δασολόγος Φωτογραμμετρία Εισαγωγή Ορισμοί Πλεονεκτήματα Μειονεκτήματα Εφαρμογές Εισαγωγή Προσδιορισμός θέσεων Με τοπογραφικά όργανα Σχήμα Μέγεθος Συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

6.10 Ηλεκτροµαγνητικά Κύµατα

6.10 Ηλεκτροµαγνητικά Κύµατα Πρόταση Μελέτης Λύσε απο τον Α τόµο των Γ. Μαθιουδάκη & Γ.Παναγιωτακόπουλου τις ακόλουθες ασκήσεις : 11.1-11.36, 11.46-11.50, 11.52-11.59, 11.61, 11.63, 11.64, 1.66-11.69, 11.71, 11.72, 11.75-11.79, 11.81

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Επαναληπτικό στη Φυσική 1. Θέµα 1 ο

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Επαναληπτικό στη Φυσική 1. Θέµα 1 ο ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Επαναληπτικό στη Φυσική 1 Θέµα 1 ο 1. Το διάγραµµα του διπλανού σχήµατος παριστάνει τη χρονική µεταβολή της αποµάκρυνσης ενός σώµατος που εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση. Ποια από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Αντικείµενο εξέτασης: Όλη η διδακτέα ύλη Χρόνος εξέτασης: 3 ώρες

ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Αντικείµενο εξέτασης: Όλη η διδακτέα ύλη Χρόνος εξέτασης: 3 ώρες ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Αντικείµενο εξέτασης: Όλη η διδακτέα ύλη Χρόνος εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ 1ο Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο φύλλο απαντήσεών σας τον αριθµό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΤΙΚΗ FOURIER. Γ. Μήτσου

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΤΙΚΗ FOURIER. Γ. Μήτσου ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΙΚΗΣ - ΟΠΟΗΛΕΚΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & /Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΙΚΗ FOURIER Γ. Μήτσου Μάρτιος 8 Α. Θεωρία. Εισαγωγή Η επεξεργασία οπτικών δεδοµένων, το φιλτράρισµα χωρικών συχνοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ

Εισαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ Τα τελευταία 25 χρόνια, τα προβλήµατα που σχετίζονται µε την διαχείριση της Γεωγραφικής Πληροφορίας αντιµετωπίζονται σε παγκόσµιο αλλά και εθνικό επίπεδο µε την βοήθεια των Γεωγραφικών

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 32 Φως: Ανάκλασηκαι ιάθλαση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 32 Φως: Ανάκλασηκαι ιάθλαση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 32 Φως: Ανάκλασηκαι ιάθλαση Γεωµετρική θεώρηση του Φωτός Ανάκλαση ηµιουργίαειδώλουαπόκάτοπτρα. είκτης ιάθλασης Νόµος του Snell Ορατό Φάσµα και ιασπορά Εσωτερική ανάκλαση Οπτικές ίνες ιάθλαση σε

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

δ. εξαρτάται µόνο από το υλικό του οπτικού µέσου. Μονάδες 4

δ. εξαρτάται µόνο από το υλικό του οπτικού µέσου. Μονάδες 4 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 7 ΙΟΥΛΙΟΥ 2003 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1ο Στις ερωτήσεις 1-5 να

Διαβάστε περισσότερα

Επαλληλία Αρµονικών Κυµάτων. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, MSc Φυσικός. http://www.perifysikhs.com

Επαλληλία Αρµονικών Κυµάτων. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, MSc Φυσικός. http://www.perifysikhs.com Επαλληλία Αρµονικών Κυµάτων - εκέµβρης 2014 Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, MSc Φυσικός http://www.perifysikhs.com 1. Θέµα Α - Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1.1. ύο σύγχρονες κυµατικές πηγές Α και

Διαβάστε περισσότερα

Κατάτµηση Εικόνων: Ανίχνευση Ακµών και Κατάτµηση µε Κατωφλίωση

Κατάτµηση Εικόνων: Ανίχνευση Ακµών και Κατάτµηση µε Κατωφλίωση ΤΨΣ 50 Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Κατάτµηση Εικόνων: Ανίχνευση Ακµών και Κατάτµηση µε Κατωφλίωση Τµήµα ιδακτικής της Τεχνολογίας και Ψηφιακών Συστηµάτων Πανεπιστήµιο Πειραιώς Περιεχόµενα Βιβλιογραφία

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1. Να αναφέρετε ποια από τα σώματα που φαίνονται στην εικόνα κινούνται. Α. Ως προς τη Γη B. Ως προς το αυτοκίνητο. Α. Ως προς τη Γη κινούνται το αυτοκίνητο, το αεροπλάνο και ο γλάρος.

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση Χειμερινό Εξάμηνο 2013-2014 Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση 5 η Παρουσίαση : Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Διδάσκων: Γιάννης Ντόκας Σύνθεση Χρωμάτων Αφαιρετική Παραγωγή Χρώματος Χρωματικά

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο.

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 63 6. Άσκηση 6 Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. 6.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης αυτής, καθώς και των δύο εποµένων, είναι η γνωριµία των σπουδαστών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων Περιεχόµενα Κεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά των Κυµάτων Είδη κυµάτων: Διαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της Διάδοσης κυµάτων Η Εξίσωση του Κύµατος

Διαβάστε περισσότερα

Φύση του φωτός. Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο. μήκος κύματος φωτός. συχνότητα φωτός

Φύση του φωτός. Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο. μήκος κύματος φωτός. συχνότητα φωτός Γεωμετρική Οπτική Φύση του φωτός Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: ΚΥΜΑΤΙΚΗ Βασική ιδέα Το φως είναι μια Η/Μ διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο Βασική Εξίσωση Φαινόμενα που εξηγεί καλύτερα (κύμα) μήκος

Διαβάστε περισσότερα

Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση:

Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση: Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει το ατοµικό πρότυπο του Bohr καθώς και τα µειονεκτήµατά του. Να υπολογίζει την ενέργεια που εκπέµπεται ή απορροφάται

Διαβάστε περισσότερα

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1 ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΑΝΑΓΛΥΦΟ Το προοπτικό ανάγλυφο, όπως το επίπεδο προοπτικό, η στερεοσκοπική εικόνα κ.λπ. είναι τρόποι παρουσίασης και απεικόνισης των αρχιτεκτονικών συνθέσεων. Το προοπτικό ανάγλυφο είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ακτίνες επιτρεπόμενων τροχιών (2.6)

Ακτίνες επιτρεπόμενων τροχιών (2.6) Αντικαθιστώντας το r με r n, έχουμε: Ακτίνες επιτρεπόμενων τροχιών (2.6) Αντικαθιστώντας n=1, βρίσκουμε την τροχιά με τη μικρότερη ακτίνα n: Αντικαθιστώντας την τελευταία εξίσωση στη 2.6, παίρνουμε: Αν

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Βασικό Θεωρητικό Υπόβαθρο

Εισαγωγή Βασικό Θεωρητικό Υπόβαθρο ΤΨΣ 150 Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Εισαγωγή Βασικό Θεωρητικό Υπόβαθρο Νικόλας Τσαπατσούλης Επίκουρος Καθηγητής Π..407/80 Τµήµα ιδακτικής της Τεχνολογίας και Ψηφιακών Συστηµάτων Πανεπιστήµιο Πειραιώς Τι

Διαβάστε περισσότερα

ΗΈνταξητουλογισµικού SalsaJσε. σεµιαδιαθεµατική προσέγγισητης Αστρονοµίας. Γρηγόρης Ζυγούρας Φυσικός Τεχνολόγος 2 ο Γυµνάσιο Χαλανδρίου

ΗΈνταξητουλογισµικού SalsaJσε. σεµιαδιαθεµατική προσέγγισητης Αστρονοµίας. Γρηγόρης Ζυγούρας Φυσικός Τεχνολόγος 2 ο Γυµνάσιο Χαλανδρίου ΗΈνταξητουλογισµικού SalsaJσε σεµιαδιαθεµατική προσέγγισητης Αστρονοµίας Γρηγόρης Ζυγούρας Φυσικός Τεχνολόγος 2 ο Γυµνάσιο Χαλανδρίου ΧΡΗΣΗΤΟΥ ΤΟΥΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ SALSAJ ΓΙΑΤΟΝ ΤΟΝΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΤΗΣΜΑΖΑΣ ΜΑΖΑΣΤΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 ΚίνησηΚυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 ΚίνησηΚυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 ΚίνησηΚυµάτων ΠεριεχόµεναΚεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά Κυµατικής Είδη κυµάτων: ιαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της ιάδοσης κυµάτων ΗΕξίσωσητουΚύµατος Κανόνας

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ / Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/10/2014 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Άρχων Μάρκος, Γεράσης Δημήτρης, Τζαγκαράκης Γιάννης

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ / Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/10/2014 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Άρχων Μάρκος, Γεράσης Δημήτρης, Τζαγκαράκης Γιάννης ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 214-2 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ / Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/1/214 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Άρχων Μάρκος, Γεράσης Δημήτρης, Τζαγκαράκης Γιάννης ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων ΘΕ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες που αφορούν την

Διαβάστε περισσότερα

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 1 Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Α. Κάνε κατάλληλο σχήμα,τοποθέτησε τα δεδομένα στο σχήμα και ονόμασε

Διαβάστε περισσότερα

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων?

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? ΣΧΕΔΙΑΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - Εξεταστέα ύλη Β εξαμήνου 2011 1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? Τρεις μέθοδοι προβολών

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1: ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ENOTHTA 1: ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER ENOTHT 1: ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Κρούση: Κρούση ονομάζουμε το φαινόμενο κατά το οποίο δύο ή περισσότερα σώματα έρχονται σε επαφή για πολύ μικρό χρονικό διάστημα κατά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας 1 Εισαγωγή Το μεγαλύτερο μέρος των δεδομένων που καλούμαστε να επεξεργαστούμε είναι πολυδιάστατα.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 22 ΜΑΪΟΥ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÓÕÃ ÑÏÍÏ

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 22 ΜΑΪΟΥ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÓÕÃ ÑÏÍÏ Θέµα Α ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β ΜΑΪΟΥ 03 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις Α-Α να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία συµπληρώνει

Διαβάστε περισσότερα

Σ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1

Σ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1 Στη συνέχεια θεωρούµε ένα τυχαίο διάνυσµα Σ 1 γράφεται ως, το οποίο στο σύστηµα Το ίδιο διάνυσµα µπορεί να γραφεί στο Σ 1 ως ένας άλλος συνδυασµός τριών γραµµικώς ανεξαρτήτων διανυσµάτων (τα οποία αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΥ ΔΙΑΔΙΔΕΤΑΙ ΤΟ ΦΩΣ

ΠΟΥ ΔΙΑΔΙΔΕΤΑΙ ΤΟ ΦΩΣ 1 ΦΩΣ Στο μικρόκοσμο θεωρούμε ότι το φως έχει δυο μορφές. Άλλοτε το αντιμετωπίζουμε με τη μορφή σωματιδίων που ονομάζουμε φωτόνια. Τα φωτόνια δεν έχουν μάζα αλλά μόνον ενέργεια. Άλλοτε πάλι αντιμετωπίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ο15. Κοίλα κάτοπτρα. 2. Θεωρία. 2.1 Γεωμετρική Οπτική

Ο15. Κοίλα κάτοπτρα. 2. Θεωρία. 2.1 Γεωμετρική Οπτική Ο15 Κοίλα κάτοπτρα 1. Σκοπός Σκοπός της άσκησης είναι η εύρεση της εστιακής απόστασης κοίλου κατόπτρου σχετικά μεγάλου ανοίγματος και την μέτρηση του σφάλματος της σφαιρικής εκτροπής... Θεωρία.1 Γεωμετρική

Διαβάστε περισσότερα

HY 571 - Ιατρική Απεικόνιση. ιδάσκων: Kώστας Μαριάς

HY 571 - Ιατρική Απεικόνιση. ιδάσκων: Kώστας Μαριάς HY 571 - Ιατρική Απεικόνιση ιδάσκων: Kώστας Μαριάς 7. Υπολογιστική τοµογραφία Η ανάγκη απεικόνισης στις 3- ιαστάσεις Στην κλασική ακτινολογία η τρισδιάστατη ανθρώπινη ανατοµία προβάλλεται πάνω στο ακτινογραφικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΟΣΗΜΟ ΓΛΥΦΑΔΑΣ. 7.1 Τι είναι το ταλαντούμενο ηλεκτρικό δίπολο; Πως παράγεται ένα ηλεκτρομαγνητικό

ΟΡΟΣΗΜΟ ΓΛΥΦΑΔΑΣ. 7.1 Τι είναι το ταλαντούμενο ηλεκτρικό δίπολο; Πως παράγεται ένα ηλεκτρομαγνητικό ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ηλεκτρομαγνητικά κύματα. Ηλεκτρομαγνητικά κύματα 7. Τι είναι το ταλαντούμενο ηλεκτρικό δίπολο; Πως παράγεται ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα; 7.2 Ποιες εξισώσεις περιγράφουν την ένταση του ηλεκτρικού

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις - 4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Συνολικός Χάρτης Πόλης

Συνολικός Χάρτης Πόλης Στα πλαίσια εφαρµογής της οδηγίας 2002/49/ΕΚ, για την αντιµετώπιση των σοβαρών περιβαλλοντικών προβληµάτων που αντιµετωπίζουν οι πόλεις, εξαιτίας του οδικού Θορύβου, µε σοβαρές επιπτώσεις στην ανθρώπινη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΟΠΤΙΚΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΟΠΤΙΚΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΟΠΤΙΚΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ Άσκηση 4. Διαφράγματα. Θεωρία Στο σχεδιασμό οπτικών οργάνων πρέπει να λάβει κανείς υπόψη και άλλες παραμέτρους πέρα από το πού και πώς σχηματίζεται το είδωλο ενός

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΟΝΙΚΗ ΤΟΜΟΓΡΑΦΙΑ. Ευάγγελος Παντελής Επ. Καθ. Ιατρικής Φυσικής Εργαστήριο Ιατρικής Φυσικής Ιατρική Σχολή Αθηνών

ΑΞΟΝΙΚΗ ΤΟΜΟΓΡΑΦΙΑ. Ευάγγελος Παντελής Επ. Καθ. Ιατρικής Φυσικής Εργαστήριο Ιατρικής Φυσικής Ιατρική Σχολή Αθηνών ΑΞΟΝΙΚΗ ΤΟΜΟΓΡΑΦΙΑ Ευάγγελος Παντελής Επ. Καθ. Ιατρικής Φυσικής Εργαστήριο Ιατρικής Φυσικής Ιατρική Σχολή Αθηνών ΙΑΤΡΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Διαγνωστικές και θεραπευτικές εφαρμογές ακτινοβολιών : Κεφάλαιο 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες Bézier και Geogebra

Καµπύλες Bézier και Geogebra Καµπύλες Bézier και Geogebra Κόλλιας Σταύρος Ένα από τα προβλήµατα στη σχεδίαση δυσδιάστατων εικόνων στα προγράµµατα γραφικών των υπολογιστών είναι η δηµιουργία οµαλών καµπυλών. Η λύση στο πρόβληµα αυτό

Διαβάστε περισσότερα

Doppler. f 2 > f s > f 2. f 1 =3600Ηz. www.ylikonet.gr

Doppler. f 2 > f s > f 2. f 1 =3600Ηz. www.ylikonet.gr 4.2. Ασκήσεις στο φαινόµενο 4.2.1. Συχνότητα και διάρκεια ενός ήχου Μια ηχητική πηγή κινείται µε ταχύτητα υ s =40m/s πλησιάζοντας έναν ακίνητο παρατηρητή Α. Σε µια στιγµή εκπέµπει έναν ήχο διάρκειας 1,7s

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΔΟΣΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ. υ=, υ=λ.f, υ= tτ

ΔΙΑΔΟΣΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ. υ=, υ=λ.f, υ= tτ 1 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΥΜΑΤΩΝ ΔΙΑΔΟΣΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ Μήκος κύματος Ταχύτητα διάδοσης Συχνότητα Εξίσωση αρμονικού κύματος Φάση αρμονικού κύματος Ταχύτητα ταλάντωσης, Επιτάχυνση Κινητική Δυναμική ενέργεια ταλάντωσης

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος της εργασίας και ιδιαιτερότητες του προβλήματος

Στόχος της εργασίας και ιδιαιτερότητες του προβλήματος ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΟΠΤΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ Κουλουμέντας Παναγιώτης Σχολή Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Χανιά,Νοέμβριος 2014 Επιτροπή: Ζερβάκης Μιχάλης (επιβλέπων)

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Οπτικής ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ

Εργαστήριο Οπτικής ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ Μάκης Αγγελακέρης 010 Σκοπός της άσκησης Να μπορείτε να εξηγήσετε το φαινόμενο της Συμβολής και κάτω από ποιες προϋποθέσεις δύο δέσμες φωτός, μπορεί να συμβάλουν. Να μπορείτε να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

δ) µειώνεται το µήκος κύµατός της (Μονάδες 5)

δ) µειώνεται το µήκος κύµατός της (Μονάδες 5) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 011-01 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: 1 η (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 30/1/11 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 ο Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό κάθε µίας από τις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Τετάρτη 18 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Τετάρτη 18 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 18 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις 1 έως 4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ. Ανάκλαση. Κάτοπτρα. Διάθλαση. Ολική ανάκλαση. Φαινόμενη ανύψωση αντικειμένου. Μετατόπιση ακτίνας. Πρίσματα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ. Ανάκλαση. Κάτοπτρα. Διάθλαση. Ολική ανάκλαση. Φαινόμενη ανύψωση αντικειμένου. Μετατόπιση ακτίνας. Πρίσματα ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ Ανάκλαση Κάτοπτρα Διάθλαση Ολική ανάκλαση Φαινόμενη ανύψωση αντικειμένου Μετατόπιση ακτίνας Πρίσματα ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ - Ανάκλαση Επιστροφή σε «γεωμετρική οπτική» Ανάκλαση φωτός ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 20 ΜΑΪΟΥ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 20 ΜΑΪΟΥ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Θέµα Α ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 0 ΜΑΪΟΥ 013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ [Κ. ΠΑΠΑΜΙΧΑΛΗΣ ρ ΦΥΣΙΚΗΣ] Τίτλος του Σεναρίου ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Μελέτη των µετασχηµατισµών

Διαβάστε περισσότερα

Ακτίνες Χ (Roentgen) Κ.-Α. Θ. Θωμά

Ακτίνες Χ (Roentgen) Κ.-Α. Θ. Θωμά Ακτίνες Χ (Roentgen) Είναι ηλεκτρομαγνητικά κύματα με μήκος κύματος μεταξύ 10 nm και 0.01 nm, δηλαδή περίπου 10 4 φορές μικρότερο από το μήκος κύματος της ορατής ακτινοβολίας. ( Φάσμα ηλεκτρομαγνητικής

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΩ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ (Εισαγωγή)

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΩ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ (Εισαγωγή) ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΩ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ (Εισαγωγή) ΑΣΚΗΣΗ : Η μετατόπιση κύματος που κινείται προς αρνητική -κατεύθυνση είναι D( (5,cm)in(5,5 7, όπου το είναι σε m και το σε. Να υπολογίσετε (α) τη συχνότητα,

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Θέµα: Εναλλακτικές Τεχνικές Εντοπισµού Θέσης Όνοµα: Κατερίνα Σπόντου Επιβλέπων: Ιωάννης Βασιλείου Συν-επιβλέπων: Σπύρος Αθανασίου 1. Αντικείµενο της διπλωµατικής Ο εντοπισµός

Διαβάστε περισσότερα

EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003

EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003 1 EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003 1. Από την ίδια γραµµή αφετηρίας(από το ίδιο ύψος) ενός κεκλιµένου επιπέδου αφήστε να κυλήσουν, ταυτόχρονα προς τα κάτω, δύο κυλίνδροι της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 3 ΟΡΓΑΝΑ ΚΑΙ ΥΛΙΚΑ ΑΕΡΟΦΩΤΟΓΡΑΦΗΣΗΣ. 1. Εξέδρες για αεροφωτογράφηση

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 3 ΟΡΓΑΝΑ ΚΑΙ ΥΛΙΚΑ ΑΕΡΟΦΩΤΟΓΡΑΦΗΣΗΣ. 1. Εξέδρες για αεροφωτογράφηση ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 3 ΟΡΓΑΝΑ ΚΑΙ ΥΛΙΚΑ ΑΕΡΟΦΩΤΟΓΡΑΦΗΣΗΣ 1. Εξέδρες για αεροφωτογράφηση Από τη στιγμή που άνθρωπος ανακάλυψε τη σπουδαιότητα της αεροφωτογραφίας, άρχισε να αναζητά τρόπους και μέσα που θα του επέτρεπαν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ )

ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ ) ο ΕΚΦΕ (Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ) Δ Δ/ΝΣΗΣ Δ. Ε. ΑΘΗΝΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ ) Α. ΣΤΟΧΟΙ Η ικανότητα συναρμολόγησης μιας απλής πειραματικής διάταξης. Η σύγκριση των πειραματικών

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

Νέα Οπτικά Μικροσκόπια

Νέα Οπτικά Μικροσκόπια Νέα Οπτικά Μικροσκόπια Αντίθεση εικόνας (contrast) Αντίθεση πλάτους Αντίθεση φάσης Αντίθεση εικόνας =100 x (Ι υποβ -Ι δειγμα )/ Ι υποβ Μικροσκοπία φθορισμού (Χρησιμοποιεί φθορίζουσες χρωστικές για το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΑΙ ΦΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΗ ΙΟΝΙΖΟΥΣΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΑΙ ΦΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΗ ΙΟΝΙΖΟΥΣΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΑΙ ΦΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΗ ΙΟΝΙΖΟΥΣΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ Οποτε ακούτε ραδιόφωνο, βλέπετε τηλεόραση, στέλνετε SMS χρησιµοποιείτε ηλεκτροµαγνητική ακτινοβολία (ΗΜΑ). Η ΗΜΑ ταξιδεύει µε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α : α. 3000 V/m β. 1500 V/m γ. 2000 V/m δ. 1000 V/m

ΘΕΜΑ Α : α. 3000 V/m β. 1500 V/m γ. 2000 V/m δ. 1000 V/m ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α : Για να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής αρκεί να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό δυναμικό Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρικό δυναμικό Θα συνδέσουμε τον ηλεκτρομαγνητισμό με την ενέργεια. Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μπορούμε να λύνουμε διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ÊÏÑÕÖÇ ÊÁÂÁËÁ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ

ÊÏÑÕÖÇ ÊÁÂÁËÁ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ZHTHMA Στις ερωτήσεις έως 4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα σε κάθε αριθµό το γράµµα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Σχετικιστική μάζα 5 Σχετικιστική μάζα Όπως έχουμε διαπιστώσει στην ειδική θεωρία της Σχετικότητας οι μετρήσεις των χωρικών και χρονικών αποστάσεων εξαρτώνται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ιάθλαση. Ολική ανάκλαση. ιάδοση µέσα σε κυµατοδηγό.

ιάθλαση. Ολική ανάκλαση. ιάδοση µέσα σε κυµατοδηγό. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 91 9. Άσκηση 9 ιάθλαση. Ολική ανάκλαση. ιάδοση µέσα σε κυµατοδηγό. 9.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε τα φαινόµενα

Διαβάστε περισσότερα

4.5.6 ΡΗΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ 4.5.6.1 Η ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΜΕ ΒΑΡΟΣ 4.5.6.2 ΤΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΤΜΗΜΑ

4.5.6 ΡΗΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ 4.5.6.1 Η ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΜΕ ΒΑΡΟΣ 4.5.6.2 ΤΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΤΜΗΜΑ 4.5.6 ΡΗΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ Ευθείες γραµµές και παραβολικά τµήµατα µπορούν να µοντελοποιηθούν µε τη χρήση κυβικών πολυωνυµικών τµηµάτων. Τα κυκλικά ελλειπτικά ή υπερβολικά τµήµατα όµως προσεγγίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό διαγώνισµα στα Κύµατα

Επαναληπτικό διαγώνισµα στα Κύµατα ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1 Επαναληπτικό διαγώνισµα στα Κύµατα Θέµα 1 0 Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

Έγχρωµο και Ασπρόµαυρο Φως

Έγχρωµο και Ασπρόµαυρο Φως Έγχρωµο και Ασπρόµαυρο Φως Χρώµα: κλάδος φυσικής, φυσιολογίας, ψυχολογίας, τέχνης. Αφορά άµεσα τον προγραµµατιστή των γραφικών. Αν αφαιρέσουµε χρωµατικά χαρακτηριστικά, λαµβάνουµε ασπρόµαυρο φως. Μόνο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 25 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 25 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1ο ΑΡΧΗ 1ΗΣΣΕΛΙ ΑΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 5 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΘΕΣΗ ΤΡΟΧΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΗΜΑ. Παρατηρώντας τις εικόνες προσπαθήστε να ορίσετε τις θέσεις των διαφόρων ηρώων των κινουμένων σχεδίων. Ερώτηση: Πότε ένα σώμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ. Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Κυριακή 26 Απριλίου 2015 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ. Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Κυριακή 26 Απριλίου 2015 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 015 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Κυριακή 6 Απριλίου 015 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Εκτίµηση παχών ασφαλτικών στρώσεων οδοστρώµατος µε χρήση γεωφυσικής µεθόδου

Εκτίµηση παχών ασφαλτικών στρώσεων οδοστρώµατος µε χρήση γεωφυσικής µεθόδου Εκτίµηση παχών ασφαλτικών στρώσεων οδοστρώµατος µε χρήση γεωφυσικής µεθόδου Ανδρέας Λοΐζος Αν. Καθηγητής ΕΜΠ Χριστίνα Πλατή Πολιτικός Μηχανικός ΕΜΠ Γεώργιος Ζάχος Πολιτικός Μηχανικός ΕΜΠ ΠΕΡΙΛΗΨΗ Τα τελευταία

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας με τη διάταξη της αεροτροχιάς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μελέτη της ευθύγραμμης

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Πόλωση ηλεκτρικού πεδίου

Πόλωση ηλεκτρικού πεδίου ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 15 2. Άσκηση 2 Πόλωση ηλεκτρικού πεδίου 2.1 Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την πόλωση των µικροκυµάτων και την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗΣ ΥΝΑΜΙΚΗΣ Έλλειµµα µάζας και ενέργεια σύνδεσης του πυρήνα του ατόµου A

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗΣ ΥΝΑΜΙΚΗΣ Έλλειµµα µάζας και ενέργεια σύνδεσης του πυρήνα του ατόµου A ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗΣ ΥΝΑΜΙΚΗΣ Έλλειµµα µάζας και ενέργεια σύνδεσης του πυρήνα του ατόµου A Ένα ισότοπο, το οποίο συµβολίζουµε µε Z X, έχει ατοµικό αριθµό Ζ και µαζικό αριθµό Α. Ο πυρήνας του ισοτόπου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΕΙΣ ΑΚΤΙΝΩΝ Χ ΚΑΙ ΥΛΗΣ

ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΕΙΣ ΑΚΤΙΝΩΝ Χ ΚΑΙ ΥΛΗΣ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΕΙΣ ΑΚΤΙΝΩΝ Χ ΚΑΙ ΥΛΗΣ Όταν οι ακτίνες Χ περνούν μέσα από την ύλη (πχ το σώμα του ασθενή) μπορεί να συμβεί οποιοδήποτε από τα 4 φαινόμενα που αναλύονται στις επόμενες σελίδες. Πρέπει να γίνει

Διαβάστε περισσότερα

Απεικόνιση Υφής. Μέρος Α Υφή σε Πολύγωνα

Απεικόνιση Υφής. Μέρος Α Υφή σε Πολύγωνα Απεικόνιση Γραφικά ΥφήςΥπολογιστών Απεικόνιση Υφής Μέρος Α Υφή σε Πολύγωνα Γ. Γ. Παπαϊωάννου, - 2008 Τι Είναι η Υφή; Η υφή είναι η χωρική διαμόρφωση των ποιοτικών χαρακτηριστικών της επιφάνειας ενός αντικειμένου,

Διαβάστε περισσότερα