Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Μεταπτυχιακό Μάθημα ΠΜΣ/ΕΤΥ 1η Ενότητα: Εισαγωγικά
|
|
- Ήράκλειτος Πολίτης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Μεταπτυχιακό Μάθημα ΠΜΣ/ΕΤΥ 1η Ενότητα: Εισαγωγικά Χρήστος Ζαρολιάγκης Σπύρος Κοντογιάννης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών ευτέρα 10 Οκτωβρίου 2016
2 Σκελετός Ομιλίας 1 Εισαγωγικά 2 Παραδείγματα Γραμμικών Προγραμμάτων Οικονομίες Leontief Πρόβλημα της ίαιτας Επιλογή Επενδυτικού Προγράμματος Πρόβλημα Παραγωγής 3 Ιστορική Αναδρομή ΓΠ Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [2 / 28]
3 Τεχνολογία Αλγορίθμων Πώς Επιλύουμε ένα Πρόβλημα (συνδυαστικής / συνεχούς) Βελτιστοποίησης... Τεχνικές Επίλυσης: Simplex, Interior Point, Ellipsoid, Branch & Bound,... Μοντελοποίηση: Ελαχιστοποίηση κόστους, δεδομένων περιορισμών (κυκλοφορίας, καιρού, κ.λπ.) Λεπτομέρειες Υλοποίησης: ομές αναπαράστασης, σημείο εκκίνησης, αποφυγή κύκλων, αριθμητική αστάθεια,... Αξιολόγηση Λύσεων: Θεωρία υϊκότητας, συνθήκες βελτιστότητας, ανάλυση ευαισθησίας,... Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [3 / 28]
4 Τεχνολογία Αλγορίθμων Πώς Επιλύουμε ένα Πρόβλημα (συνδυαστικής / συνεχούς) Βελτιστοποίησης... Τεχνικές Επίλυσης: Simplex, Interior Point, Ellipsoid, Branch & Bound,... Μοντελοποίηση: Ελαχιστοποίηση κόστους, δεδομένων περιορισμών (κυκλοφορίας, καιρού, κ.λπ.) Λεπτομέρειες Υλοποίησης: ομές αναπαράστασης, σημείο εκκίνησης, αποφυγή κύκλων, αριθμητική αστάθεια,... Αξιολόγηση Λύσεων: Θεωρία υϊκότητας, συνθήκες βελτιστότητας, ανάλυση ευαισθησίας,... Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [3 / 28]
5 Τεχνολογία Αλγορίθμων Πώς Επιλύουμε ένα Πρόβλημα (συνδυαστικής / συνεχούς) Βελτιστοποίησης... Τεχνικές Επίλυσης: Simplex, Interior Point, Ellipsoid, Branch & Bound,... Μοντελοποίηση: Ελαχιστοποίηση κόστους, δεδομένων περιορισμών (κυκλοφορίας, καιρού, κ.λπ.) Λεπτομέρειες Υλοποίησης: ομές αναπαράστασης, σημείο εκκίνησης, αποφυγή κύκλων, αριθμητική αστάθεια,... Αξιολόγηση Λύσεων: Θεωρία υϊκότητας, συνθήκες βελτιστότητας, ανάλυση ευαισθησίας,... Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [3 / 28]
6 Τεχνολογία Αλγορίθμων Πώς Επιλύουμε ένα Πρόβλημα (συνδυαστικής / συνεχούς) Βελτιστοποίησης... Τεχνικές Επίλυσης: Simplex, Interior Point, Ellipsoid, Branch & Bound,... Μοντελοποίηση: Ελαχιστοποίηση κόστους, δεδομένων περιορισμών (κυκλοφορίας, καιρού, κ.λπ.) Λεπτομέρειες Υλοποίησης: ομές αναπαράστασης, σημείο εκκίνησης, αποφυγή κύκλων, αριθμητική αστάθεια,... Αξιολόγηση Λύσεων: Θεωρία υϊκότητας, συνθήκες βελτιστότητας, ανάλυση ευαισθησίας,... Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [3 / 28]
7 Τεχνολογία Αλγορίθμων Πώς Επιλύουμε ένα Πρόβλημα (συνδυαστικής / συνεχούς) Βελτιστοποίησης... Τεχνικές Επίλυσης: Simplex, Interior Point, Ellipsoid, Branch & Bound,... Μοντελοποίηση: Ελαχιστοποίηση κόστους, δεδομένων περιορισμών (κυκλοφορίας, καιρού, κ.λπ.) Λεπτομέρειες Υλοποίησης: ομές αναπαράστασης, σημείο εκκίνησης, αποφυγή κύκλων, αριθμητική αστάθεια,... Αξιολόγηση Λύσεων: Θεωρία υϊκότητας, συνθήκες βελτιστότητας, ανάλυση ευαισθησίας,... Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [3 / 28]
8 Γιατί Βελτιστοποίηση; Leonhard Euler: «Nothing happens in the Universe that does not have a sense of either a certain maximum or minimum». Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [4 / 28]
9 Γιατί Βελτιστοποίηση; Leonhard Euler: «Nothing happens in the Universe that does not have a sense of either a certain maximum or minimum». Σύστημα: Σύνολο οντοτήτων που αλληλεπιδρούν σύμφωνα με συγκεκριμένους κανόνες, για την επίτευξη κάποιου στόχου (πχ, ελαχιστοποίηση κόστους / μεγιστοποίηση κοινωνικής ωφέλειας, κ.λπ.). Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [4 / 28]
10 Γιατί Βελτιστοποίηση; Leonhard Euler: «Nothing happens in the Universe that does not have a sense of either a certain maximum or minimum». Σύστημα: Σύνολο οντοτήτων που αλληλεπιδρούν σύμφωνα με συγκεκριμένους κανόνες, για την επίτευξη κάποιου στόχου (πχ, ελαχιστοποίηση κόστους / μεγιστοποίηση κοινωνικής ωφέλειας, κ.λπ.). Μοντέλο: Περιγράφει κάποιο σύστημα (πχ, χάρτης που απεικονίζει οδικό δίκτυο, ένα στοχαστικό μοντέλο που μελετά την εξέλιξη της οικονομίας μιας χώρας, κ.λπ.) με σκοπό την πρόβλεψη ή τον υπολογισμό μιας βέλτιστης λύσης (πχ, εξοικονόμηση ενέργειας, μεγιστοποίηση κέρδους, κ.λπ.) ως προς το σύστημα. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [4 / 28]
11 Γιατί Βελτιστοποίηση; Leonhard Euler: «Nothing happens in the Universe that does not have a sense of either a certain maximum or minimum». Σύστημα: Σύνολο οντοτήτων που αλληλεπιδρούν σύμφωνα με συγκεκριμένους κανόνες, για την επίτευξη κάποιου στόχου (πχ, ελαχιστοποίηση κόστους / μεγιστοποίηση κοινωνικής ωφέλειας, κ.λπ.). Μοντέλο: Περιγράφει κάποιο σύστημα (πχ, χάρτης που απεικονίζει οδικό δίκτυο, ένα στοχαστικό μοντέλο που μελετά την εξέλιξη της οικονομίας μιας χώρας, κ.λπ.) με σκοπό την πρόβλεψη ή τον υπολογισμό μιας βέλτιστης λύσης (πχ, εξοικονόμηση ενέργειας, μεγιστοποίηση κέρδους, κ.λπ.) ως προς το σύστημα. Trade-off: Ακρίβεια του μοντέλου αλλά και δυνατότητα αποδοτικής επίλυσης (computational tractability). Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [4 / 28]
12 Τι σημαίνει «Βελτιστοποίηση»... ΕΡΩΤΗΣΗ: Ποια απάντηση θα επιστρέψει καθένας από τους ακόλουθους τελεστές ελαχιστοποίησης; min{5 2x : x R} min{y : y = 5 2x; x, y R} Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [5 / 28]
13 Τι σημαίνει «Βελτιστοποίηση»... ΕΡΩΤΗΣΗ: Ποια απάντηση θα επιστρέψει καθένας από τους ακόλουθους τελεστές ελαχιστοποίησης; min{5 2x : x R} min{y : y = 5 2x; x, y R} min{5 2x : 2 x 2} min{y : y = 5 2x, 2 x 2, y R} Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [5 / 28]
14 Τι σημαίνει «Βελτιστοποίηση»... ΕΡΩΤΗΣΗ: Ποια απάντηση θα επιστρέψει καθένας από τους ακόλουθους τελεστές ελαχιστοποίησης; min{5 2x : x R} min{y : y = 5 2x; x, y R} min{5 2x : 2 x 2} min{y : y = 5 2x, 2 x 2, y R} min{y = 5 2x : x 2, y 0} Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [5 / 28]
15 Τι σημαίνει «Βελτιστοποίηση»... ΕΡΩΤΗΣΗ: Ποια απάντηση θα επιστρέψει καθένας από τους ακόλουθους τελεστές ελαχιστοποίησης; min{5 2x : x R} min{y : y = 5 2x; x, y R} min{5 2x : 2 x 2} min{y : y = 5 2x, 2 x 2, y R} min{y = 5 2x : x 2, y 0} min{y = 5 2x : y 2 + 2x, y 0, 2y + x 4} Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [5 / 28]
16 Τι σημαίνει «Βελτιστοποίηση»... ΕΡΩΤΗΣΗ: Ποια απάντηση θα επιστρέψει καθένας από τους ακόλουθους τελεστές ελαχιστοποίησης; min{5 2x : x R} min{y : y = 5 2x; x, y R} min{5 2x : 2 x 2} min{y : y = 5 2x, 2 x 2, y R} min{y = 5 2x : x 2, y 0} min{y = 5 2x : y 2 + 2x, y 0, 2y + x 4} min{y + 2x : y 2 + 2x, y 0, 2y + x 4} Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [5 / 28]
17 Τι σημαίνει «Βελτιστοποίηση»... ΕΡΩΤΗΣΗ: Ποια απάντηση θα επιστρέψει καθένας από τους ακόλουθους τελεστές ελαχιστοποίησης; min{5 2x : x R} min{y : y = 5 2x; x, y R} min{5 2x : 2 x 2} min{y : y = 5 2x, 2 x 2, y R} min{y = 5 2x : x 2, y 0} min{y = 5 2x : y 2 + 2x, y 0, 2y + x 4} min{y + 2x : y 2 + 2x, y 0, 2y + x 4} Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [5 / 28]
18 Τι σημαίνει «Βελτιστοποίηση»... ΕΡΩΤΗΣΗ: Ποια απάντηση θα επιστρέψει καθένας από τους ακόλουθους τελεστές ελαχιστοποίησης; min{5 2x : x R} min{y : y = 5 2x; x, y R} min{5 2x : 2 x 2} min{y : y = 5 2x, 2 x 2, y R} min{y = 5 2x : x 2, y 0} min{y = 5 2x : y 2 + 2x, y 0, 2y + x 4} min{y + 2x : y 2 + 2x, y 0, 2y + x 4} Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [5 / 28]
19 Τι σημαίνει «Βελτιστοποίηση»... ΕΡΩΤΗΣΗ: Ποια απάντηση θα επιστρέψει καθένας από τους ακόλουθους τελεστές ελαχιστοποίησης; min{5 2x : x R} min{y : y = 5 2x; x, y R} min{5 2x : 2 x 2} min{y : y = 5 2x, 2 x 2, y R} min{y = 5 2x : x 2, y 0} min{y = 5 2x : y 2 + 2x, y 0, 2y + x 4} min{y + 2x : y 2 + 2x, y 0, 2y + x 4} min{5y 2x + 3z : 2x + y 2, 5x y + z 0, y 0, z 0} Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [5 / 28]
20 Μαθηματικός Προγραμματισμός; Μελέτη στρατηγικών επιλογής τιμών σε ένα σύστημα διαπλεκόμενων παραμέτρων (μεταβλητές απόφασης) που μοντελοποιεί κάποιο πρόβλημα λήψης αποφάσεων, με στόχο την καλύτερη δυνατή τιμή για μια συνάρτηση στόχο (χαρακτηρίζει την ποιότητα της παρεχόμενης λύσης). Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [6 / 28]
21 Μαθηματικός Προγραμματισμός; Μελέτη στρατηγικών επιλογής τιμών σε ένα σύστημα διαπλεκόμενων παραμέτρων (μεταβλητές απόφασης) που μοντελοποιεί κάποιο πρόβλημα λήψης αποφάσεων, με στόχο την καλύτερη δυνατή τιμή για μια συνάρτηση στόχο (χαρακτηρίζει την ποιότητα της παρεχόμενης λύσης). Κατηγορίες Μαθηματικού Προγραμματισμού: Γραμμικός Προγραμματισμός: Βελτιστοποίηση (της τιμής) γραμμικών συναρτήσεων, δεδομένων περιορισμών που εκφράζονται ως γραμμικές εξισώσεις / ανισότητες. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [6 / 28]
22 Μαθηματικός Προγραμματισμός; Μελέτη στρατηγικών επιλογής τιμών σε ένα σύστημα διαπλεκόμενων παραμέτρων (μεταβλητές απόφασης) που μοντελοποιεί κάποιο πρόβλημα λήψης αποφάσεων, με στόχο την καλύτερη δυνατή τιμή για μια συνάρτηση στόχο (χαρακτηρίζει την ποιότητα της παρεχόμενης λύσης). Κατηγορίες Μαθηματικού Προγραμματισμού: Γραμμικός Προγραμματισμός: Βελτιστοποίηση (της τιμής) γραμμικών συναρτήσεων, δεδομένων περιορισμών που εκφράζονται ως γραμμικές εξισώσεις / ανισότητες. Μη Γραμμικός Προγραμματισμός: Βελτιστοποίηση (της τιμής) μη γραμμικών συναρτήσεων. ίχως περιορισμούς. Με περιορισμούς που εκφράζονται ως (συνήθως γραμμικές) εξισώσεις / ανισότητες. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [6 / 28]
23 Προαπαιτούμενα Μαθήματος 1 Στοιχειώδης γνώση γραμμικής άλγεβρας!!! Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [7 / 28]
24 Προαπαιτούμενα Μαθήματος 1 Στοιχειώδης γνώση γραμμικής άλγεβρας!!! 2 Όρεξη για μάθηση!!! Κατανόηση μιας πλέον ώριμης τεχνολογίας επίλυσης προβλημάτων. υνατότητα αξιοποίησης του ΜΠ ως μοντέλου αναπαράστασης προβλημάτων βελτιστοποίησης. Ερμηνεία των παρεχόμενων λύσεων του ΜΠ, σε σχέση με το πραγματικό προς επίλυση πρόβλημα. Παρουσίαση επιλεγμένων θεμάτων από τους ίδιους τους φοιτητές. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [7 / 28]
25 Προαπαιτούμενα Μαθήματος 1 Στοιχειώδης γνώση γραμμικής άλγεβρας!!! 2 Όρεξη για μάθηση!!! Κατανόηση μιας πλέον ώριμης τεχνολογίας επίλυσης προβλημάτων. υνατότητα αξιοποίησης του ΜΠ ως μοντέλου αναπαράστασης προβλημάτων βελτιστοποίησης. Ερμηνεία των παρεχόμενων λύσεων του ΜΠ, σε σχέση με το πραγματικό προς επίλυση πρόβλημα. Παρουσίαση επιλεγμένων θεμάτων από τους ίδιους τους φοιτητές. 3 ιάθεση για πειραματισμό!!! Αρκετα (απλά) προγραμματιστικά παραδείγματα (σε Matlab, ή C++), για καλύτερη κατανόηση της ύλης. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [7 / 28]
26 Προαπαιτούμενα Μαθήματος 4 Ενεργή συμμετοχή στις διαλέξεις!!! Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [7 / 28] 1 Στοιχειώδης γνώση γραμμικής άλγεβρας!!! 2 Όρεξη για μάθηση!!! Κατανόηση μιας πλέον ώριμης τεχνολογίας επίλυσης προβλημάτων. υνατότητα αξιοποίησης του ΜΠ ως μοντέλου αναπαράστασης προβλημάτων βελτιστοποίησης. Ερμηνεία των παρεχόμενων λύσεων του ΜΠ, σε σχέση με το πραγματικό προς επίλυση πρόβλημα. Παρουσίαση επιλεγμένων θεμάτων από τους ίδιους τους φοιτητές. 3 ιάθεση για πειραματισμό!!! Αρκετα (απλά) προγραμματιστικά παραδείγματα (σε Matlab, ή C++), για καλύτερη κατανόηση της ύλης.
27 Σκελετός Ομιλίας 1 Εισαγωγικά 2 Παραδείγματα Γραμμικών Προγραμμάτων Οικονομίες Leontief Πρόβλημα της ίαιτας Επιλογή Επενδυτικού Προγράμματος Πρόβλημα Παραγωγής 3 Ιστορική Αναδρομή ΓΠ Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [8 / 28]
28 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1: Οικονομίες Leontief (Ι) n τομείς παραγωγής (ένα προϊόν ανά τομέα). A[k, j]: Η ποσότητα του προϊόντος (του τομέα) k που καταναλώνεται για παρασκευή μιας μονάδας του προϊόντος (του τομέα) j. x[k]: Η συνολική ποσότητα του προϊόντος (που παράγεται στον τομέα) k. d[k]: Η συνολική ποσότητα του προϊόντος k που προορίζεται (όχι για παραγωγή άλλων προϊόντων, αλλά) για διατήρηση ως απόθεμα (πχ, προκειμένου να καταναλωθεί από τρίτους). Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [9 / 28]
29 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1: Οικονομίες Leontief (Ι) n τομείς παραγωγής (ένα προϊόν ανά τομέα). A[k, j]: Η ποσότητα του προϊόντος (του τομέα) k που καταναλώνεται για παρασκευή μιας μονάδας του προϊόντος (του τομέα) j. x[k]: Η συνολική ποσότητα του προϊόντος (που παράγεται στον τομέα) k. d[k]: Η συνολική ποσότητα του προϊόντος k που προορίζεται (όχι για παραγωγή άλλων προϊόντων, αλλά) για διατήρηση ως απόθεμα (πχ, προκειμένου να καταναλωθεί από τρίτους). Περιορισμός εισροών εκροών: Σε κάθε τομέα παραγωγής, θα πρέπει η συνολική ποσότητα που παραγόμενου προϊόντος του να ισούται με αυτήν που καταναλίσκεται για παραγωγή προϊόντων, συν την προς αποθήκευση ποσότητα του προϊόντος. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [9 / 28]
30 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1: Οικονομίες Leontief (ΙΙ) A[k, j] 0 (σταθεροί συντελεστές παραγωγής, μη αρνητικοί). x[k] 0 (μεταβλητές απόφασης για ποσότητα παραγωγής, μη αρνητικές). d[k] 0 (σταθεροί όροι, μη αρνητικοί). Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [10 / 28]
31 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1: Οικονομίες Leontief (ΙΙ) A[k, j] 0 (σταθεροί συντελεστές παραγωγής, μη αρνητικοί). x[k] 0 (μεταβλητές απόφασης για ποσότητα παραγωγής, μη αρνητικές). d[k] 0 (σταθεροί όροι, μη αρνητικοί). Ισορροπία εισροών εκροών: Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [10 / 28]
32 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1: Οικονομίες Leontief (ΙΙ) A[k, j] 0 (σταθεροί συντελεστές παραγωγής, μη αρνητικοί). x[k] 0 (μεταβλητές απόφασης για ποσότητα παραγωγής, μη αρνητικές). d[k] 0 (σταθεροί όροι, μη αρνητικοί). Ισορροπία εισροών εκροών: k {1,..., n}, x[k] n j=1 A[k, j] x[j] = d[k] Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [10 / 28]
33 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1: Οικονομίες Leontief (ΙΙ) A[k, j] 0 (σταθεροί συντελεστές παραγωγής, μη αρνητικοί). x[k] 0 (μεταβλητές απόφασης για ποσότητα παραγωγής, μη αρνητικές). d[k] 0 (σταθεροί όροι, μη αρνητικοί). Ισορροπία εισροών εκροών: k {1,..., n}, x[k] n j=1 A[k, j] x[j] = d[k] Αναπαράσταση σε μορφή μητρώων (πινάκων): [I A]x = d, x 0 Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [10 / 28]
34 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1: Οικονομίες Leontief (ΙΙ) A[k, j] 0 (σταθεροί συντελεστές παραγωγής, μη αρνητικοί). x[k] 0 (μεταβλητές απόφασης για ποσότητα παραγωγής, μη αρνητικές). d[k] 0 (σταθεροί όροι, μη αρνητικοί). Ισορροπία εισροών εκροών: k {1,..., n}, x[k] n j=1 A[k, j] x[j] = d[k] Αναπαράσταση σε μορφή μητρώων (πινάκων): [I A]x = d, x 0 ΠΡΟΣΟΧΗ: Πρόκειται για γραμμικό σύστημα εξισώσεων ανισοτήτων, όχι για γραμμικό πρόγραμμα (ΓΙΑΤΙ;). Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [10 / 28]
35 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2: Πρόβλημα της ίαιτας (Ι) Ο Κώστας θέλει να ακολουθήσει μια υγιεινή διατροφή αλλά έχει μόνο ένα πεπερασμένο εισόδημα. Θέλει να ξοδέψει όσο το δυνατόν λιγότερα χρήματα, έτσι όμως ώστε να ικανοποιούνται οι διατροφικές του ανάγκες ανά ημέρα. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [11 / 28]
36 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2: Πρόβλημα της ίαιτας ΒΗΜΑ 1: Καταγραφή δεδομένων Είδος οσολογία Θερμίδες (kcal) Πρωτεΐνη (gr) Ασβέστιο (mgr) Τιμή (ευρώ) ημητριακά 28gr Κοτόπουλο 100gr Αβγά Γάλα 237ml Γλυκό 170gr Χοιρινό Ο διαιτολόγος δίνει στον Κώστα το μητρώο δεδομένων, και τις ποσότητες για την κατάρτιση μιας υγιεινής ημερήσιας διατροφής. Πρέπει να λαμβάνει τουλάχιστον: 2000 Kcals. 55gr πρωτεΐνης. 800mgr ασβέστιο. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [12 / 28]
37 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2: Πρόβλημα της ίαιτας ΒΗΜΑ 2: Μεταβλητές (Λήψης) Απόφασης Είδος οσολογία Θερμίδες (kcal) Πρωτεΐνη (gr) Ασβέστιο (mgr) Τιμή (ευρώ) ημητριακά 28gr Κοτόπουλο 100gr Αβγά Γάλα 237ml Γλυκό 170gr Χοιρινό Εστω ότι ο Κώστας λαμβάνει ημερησίως: x 1 «μονάδες» δημητριακά. x 4 «μονάδες» γάλα. x 2 «μονάδες» κοτόπουλο. x 5 «μονάδες» γλυκό. x 3 «μονάδες» αβγά. x 6 «μονάδες» χοιρινό. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [13 / 28]
38 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2: Πρόβλημα της ίαιτας ΒΗΜΑ 2: Μεταβλητές (Λήψης) Απόφασης Είδος οσολογία Θερμίδες (kcal) Πρωτεΐνη (gr) Ασβέστιο (mgr) Τιμή (ευρώ) ημητριακά 28gr Κοτόπουλο 100gr Αβγά Γάλα 237ml Γλυκό 170gr Χοιρινό Εστω ότι ο Κώστας λαμβάνει ημερησίως: x 1 «μονάδες» δημητριακά. x 4 «μονάδες» γάλα. x 2 «μονάδες» κοτόπουλο. x 5 «μονάδες» γλυκό. x 3 «μονάδες» αβγά. x 6 «μονάδες» χοιρινό. Περιορισμοί; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [13 / 28]
39 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2: Πρόβλημα της ίαιτας ΒΗΜΑ 3: Αποτύπωση (μη τετριμμένων) Περιορισμών και Στόχου Είδος οσολογία Θερμίδες (kcal) Πρωτεΐνη (gr) Ασβέστιο (mgr) Τιμή (ευρώ) ημητριακά 28gr 110x 1 4x 1 2x Κοτόπουλο 100gr +205x 2 +32x 2 +12x Αβγά x 3 +13x 3 +54x Γάλα 237ml +160x 4 +8x x Γλυκό 170gr +420x 5 +4x 5 +22x Χοιρινό x 6 +14x 6 +80x Περιορισμοί Εστω ότι ο Κώστας λαμβάνει ημερησίως: x 1 «μονάδες» δημητριακά. x 4 «μονάδες» γάλα. x 2 «μονάδες» κοτόπουλο. x 5 «μονάδες» γλυκό. x 3 «μονάδες» αβγά. x 6 «μονάδες» χοιρινό. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [14 / 28]
40 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2: Πρόβλημα της ίαιτας ΒΗΜΑ 3: Αποτύπωση (μη τετριμμένων) Περιορισμών και Στόχου Είδος οσολογία Θερμίδες (kcal) Πρωτεΐνη (gr) Ασβέστιο (mgr) Τιμή (ευρώ) ημητριακά 28gr 110x 1 4x 1 2x Κοτόπουλο 100gr +205x 2 +32x 2 +12x Αβγά x 3 +13x 3 +54x Γάλα 237ml +160x 4 +8x x Γλυκό 170gr +420x 5 +4x 5 +22x Χοιρινό x 6 +14x 6 +80x Περιορισμοί Εστω ότι ο Κώστας λαμβάνει ημερησίως: x 1 «μονάδες» δημητριακά. x 4 «μονάδες» γάλα. x 2 «μονάδες» κοτόπουλο. x 5 «μονάδες» γλυκό. x 3 «μονάδες» αβγά. x 6 «μονάδες» χοιρινό. Στόχος; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [14 / 28]
41 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2: Πρόβλημα της ίαιτας ΒΗΜΑ 3: Αποτύπωση (μη τετριμμένων) Περιορισμών και Στόχου Είδος οσολογία Θερμίδες (kcal) Πρωτεΐνη (gr) Ασβέστιο (mgr) Τιμή (ευρώ) ημητριακά 28gr 110x 1 4x 1 2x 1 0.3x 1 Κοτόπουλο 100gr +205x 2 +32x 2 +12x x 2 Αβγά x 3 +13x 3 +54x x 3 Γάλα 237ml +160x 4 +8x x x 4 Γλυκό 170gr +420x 5 +4x 5 +22x x 5 Χοιρινό x 6 +14x 6 +80x x 6 Περιορισμοί Εστω ότι ο Κώστας λαμβάνει ημερησίως: x 1 «μονάδες» δημητριακά. x 4 «μονάδες» γάλα. x 2 «μονάδες» κοτόπουλο. x 5 «μονάδες» γλυκό. x 3 «μονάδες» αβγά. x 6 «μονάδες» χοιρινό. Στόχος; min.{0.3x x x x x x 6 } Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [14 / 28]
42 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2: Πρόβλημα της ίαιτας ΒΗΜΑ 4: Μοντελοποίηση minimize 0.3x x x x 4 +2x x 6 συνάρτηση στόχος Subject to : μη τετριμμένοι περιορισμοί 110x x x x x x x 1 +32x 2 +13x 3 +8x 4 +4x 5 +14x x 1 +12x 2 +54x x 4 +22x 5 +80x περιορισμοί προσήμου x 1 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0, x 5 0, x 6 0 Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [15 / 28]
43 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2: Πρόβλημα της ίαιτας ΒΗΜΑ 4: Μοντελοποίηση Επίλυση minimize 0.3x x x x 4 +2x x 6 συνάρτηση στόχος Subject to : μη τετριμμένοι περιορισμοί 110x x x x x x x 1 +32x 2 +13x 3 +8x 4 +4x 5 +14x x 1 +12x 2 +54x x 4 +22x 5 +80x Επόμενα Βήματα: περιορισμοί προσήμου x 1 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0, x 5 0, x Υπολογισμός βέλτιστης λύσης (μοντέλου): x 1 = 14.24; x 2 = x 3 = 0; x 4 = 2.707; x 5 = x 6 = 0. 2 Κόστος Βέλτιστης Λύσης: ευρώ ανά ημέρα. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [15 / 28]
44 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2: Πρόβλημα της ίαιτας ΒΗΜΑ 4: Μοντελοποίηση Επίλυση Επαναπροσδιορισμός Μοντέλου minimize 0.3x x x x 4 +2x x 6 συνάρτηση στόχος Subject to : μη τετριμμένοι περιορισμοί 110x x x x x x x 1 +32x 2 +13x 3 +8x 4 +4x 5 +14x x 1 +12x 2 +54x x 4 +22x 5 +80x Επόμενα Βήματα: περιορισμοί προσήμου x 1 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0, x 5 0, x Υπολογισμός βέλτιστης λύσης (μοντέλου): x 1 = 14.24; x 2 = x 3 = 0; x 4 = 2.707; x 5 = x 6 = 0. 2 Κόστος Βέλτιστης Λύσης: ευρώ ανά ημέρα. 3 Αξιολόγηση λύσης και επαναπροσδιορισμός μοντέλου. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [15 / 28]
45 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3: Επενδυτικό Πρόγραμμα Εταιρεία επενδύει 80K ευρώ σε κοινές (c), προνομιούχες (p) μετοχές και σε ομόλογα του δημοσίου (o). Κοινές & προνομιούχες μετοχές Υψηλό ρίσκο. Επένδυση το πολύ 25% του κεφαλαίου σε αυτές. Το πολύ 75% της επένδυσης Κ+Π για Π. Τουλάχιστον 20% της συνολικής επένδυσης, σε ομόλογα. Αναμενόμενη απόδοση: 15% για κοινές, 17% για προνομιούχες, και 12% για ομόλογα. Στόχος: Η μεγιστοποίηση της απόδοσης της επένδυσης. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [16 / 28]
46 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3: Επενδυτικό Πρόγραμμα Εταιρεία επενδύει 80K ευρώ σε κοινές (c), προνομιούχες (p) μετοχές και σε ομόλογα του δημοσίου (o). x c 0, x p 0, x o 0, x c + x p + x o = Κοινές & προνομιούχες μετοχές Υψηλό ρίσκο. Επένδυση το πολύ 25% του κεφαλαίου σε αυτές. Το πολύ 75% της επένδυσης Κ+Π για Π. Τουλάχιστον 20% της συνολικής επένδυσης, σε ομόλογα. Αναμενόμενη απόδοση: 15% για κοινές, 17% για προνομιούχες, και 12% για ομόλογα. Στόχος: Η μεγιστοποίηση της απόδοσης της επένδυσης. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [16 / 28]
47 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3: Επενδυτικό Πρόγραμμα Εταιρεία επενδύει 80K ευρώ σε κοινές (c), προνομιούχες (p) μετοχές και σε ομόλογα του δημοσίου (o). x c 0, x p 0, x o 0, x c + x p + x o = Κοινές & προνομιούχες μετοχές Υψηλό ρίσκο. Επένδυση το πολύ 25% του κεφαλαίου σε αυτές. x c + x p Το πολύ 75% της επένδυσης Κ+Π για Π. Τουλάχιστον 20% της συνολικής επένδυσης, σε ομόλογα. Αναμενόμενη απόδοση: 15% για κοινές, 17% για προνομιούχες, και 12% για ομόλογα. Στόχος: Η μεγιστοποίηση της απόδοσης της επένδυσης. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [16 / 28]
48 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3: Επενδυτικό Πρόγραμμα Εταιρεία επενδύει 80K ευρώ σε κοινές (c), προνομιούχες (p) μετοχές και σε ομόλογα του δημοσίου (o). x c 0, x p 0, x o 0, x c + x p + x o = Κοινές & προνομιούχες μετοχές Υψηλό ρίσκο. Επένδυση το πολύ 25% του κεφαλαίου σε αυτές. x c + x p Το πολύ 75% της επένδυσης Κ+Π για Π. 3x c x p 0 Τουλάχιστον 20% της συνολικής επένδυσης, σε ομόλογα. Αναμενόμενη απόδοση: 15% για κοινές, 17% για προνομιούχες, και 12% για ομόλογα. Στόχος: Η μεγιστοποίηση της απόδοσης της επένδυσης. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [16 / 28]
49 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3: Επενδυτικό Πρόγραμμα Εταιρεία επενδύει 80K ευρώ σε κοινές (c), προνομιούχες (p) μετοχές και σε ομόλογα του δημοσίου (o). x c 0, x p 0, x o 0, x c + x p + x o = Κοινές & προνομιούχες μετοχές Υψηλό ρίσκο. Επένδυση το πολύ 25% του κεφαλαίου σε αυτές. x c + x p Το πολύ 75% της επένδυσης Κ+Π για Π. 3x c x p 0 Τουλάχιστον 20% της συνολικής επένδυσης, σε ομόλογα. x o Αναμενόμενη απόδοση: 15% για κοινές, 17% για προνομιούχες, και 12% για ομόλογα. Στόχος: Η μεγιστοποίηση της απόδοσης της επένδυσης. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [16 / 28]
50 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3: Επενδυτικό Πρόγραμμα Εταιρεία επενδύει 80K ευρώ σε κοινές (c), προνομιούχες (p) μετοχές και σε ομόλογα του δημοσίου (o). x c 0, x p 0, x o 0, x c + x p + x o = Κοινές & προνομιούχες μετοχές Υψηλό ρίσκο. Επένδυση το πολύ 25% του κεφαλαίου σε αυτές. x c + x p Το πολύ 75% της επένδυσης Κ+Π για Π. 3x c x p 0 Τουλάχιστον 20% της συνολικής επένδυσης, σε ομόλογα. x o Αναμενόμενη απόδοση: 15% για κοινές, 17% για προνομιούχες, και 12% για ομόλογα. Στόχος: Η μεγιστοποίηση της απόδοσης της επένδυσης. max. f(x c, x p, x o ) = 1.15 x c x p x o Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [16 / 28]
51 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3: Επενδυτικό Πρόγραμμα Μοντελοποίηση maximize 1.15x c +1.17x p +1.12x o subject to : x c +x p +x o = x c +x p x c x p 0 x o x c 0 x p 0 x o 0 Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [17 / 28]
52 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3: Επενδυτικό Πρόγραμμα Μοντελοποίηση Απλοποίηση maximize 1.15x c +1.17x p +1.12x o subject to : x c +x p +x o = x c +x p x c x p 0 x o x c 0 x p 0 x o 0 1 maximize 100 (3xc +5xp) subject to : x c +x p +x o = x c +x p x c x p 0 x c +x p x c 0 x p 0 x o 0 Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [17 / 28]
53 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3: Επενδυτικό Πρόγραμμα Μοντελοποίηση Απλοποίηση Επίλυση 1 maximize 100 (3xc +5xp) subject to : x c +x p +x o = x c +x p x c x p 0 x c +x p x c 0 x p 0 x o 0 xp + xc = xp xp - 3xc = 0 Βέλτιστη λύση; xc Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [17 / 28]
54 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3: Επενδυτικό Πρόγραμμα Μοντελοποίηση Απλοποίηση Επίλυση 1 maximize 100 (3xc +5xp) subject to : x c +x p +x o = x c +x p x c x p 0 x c +x p x c 0 x p 0 x o 0 xp + xc = xp xp - 3xc = 0 Βέλτιστη λύση; x c = 5000, x p = Για το αρχικό πρόβλημα; xc Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [17 / 28]
55 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3: Επενδυτικό Πρόγραμμα Μοντελοποίηση Απλοποίηση Επίλυση Ερμηνεία Λύσης 1 maximize 100 (3xc +5xp) subject to : x c +x p +x o = x c +x p x c x p 0 x c +x p x c 0 x p 0 x o 0 xp + xc = xp xp - 3xc = 0 Βέλτιστη λύση; x c = 5000, x p = xc Για το αρχικό πρόβλημα; x c = 5000, x p = 15000, x o = 60000, αξία: ευρώ. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [17 / 28]
56 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μια φάρμα παράγει 22 λίτρα γάλα ανά εβδομάδα. Ο αγρότης παράγει από το γάλα παγωτό και βούτυρο. Κάθε κιλό βουτύρου απαιτεί 2 λίτρα γάλα. Κάθε κιλό παγωτού απαιτεί 3 λίτρα γάλα: Το ψυγείο του χωρά απεριόριστη ποσότητα βουτύρου, αλλά το πολύ 6 κιλά παγωτού: Ο αγρότης εργάζεται το πολύ 6 ώρες ανά εβδομάδα. Απαιτείται μια ώρα εργασίας για την παραγωγή 4 κιλών παγωτού, ή 1 κιλού βουτύρου: Το παγωτό πωλείται προς 5 ευρώ το κιλό, ενώ το βούτυρο προς 4 ευρώ το κιλό. Ποια η αναλογία παγωτού / βουτύρου που μεγιστοποιεί τον τζίρο του αγρότη; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [18 / 28]
57 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μια φάρμα παράγει 22 λίτρα γάλα ανά εβδομάδα. Ο αγρότης παράγει από το γάλα παγωτό και βούτυρο. Κάθε κιλό βουτύρου απαιτεί 2 λίτρα γάλα. Κάθε κιλό παγωτού απαιτεί 3 λίτρα γάλα: 2x b + 3x i 22 Το ψυγείο του χωρά απεριόριστη ποσότητα βουτύρου, αλλά το πολύ 6 κιλά παγωτού: Ο αγρότης εργάζεται το πολύ 6 ώρες ανά εβδομάδα. Απαιτείται μια ώρα εργασίας για την παραγωγή 4 κιλών παγωτού, ή 1 κιλού βουτύρου: Το παγωτό πωλείται προς 5 ευρώ το κιλό, ενώ το βούτυρο προς 4 ευρώ το κιλό. Ποια η αναλογία παγωτού / βουτύρου που μεγιστοποιεί τον τζίρο του αγρότη; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [18 / 28]
58 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μια φάρμα παράγει 22 λίτρα γάλα ανά εβδομάδα. Ο αγρότης παράγει από το γάλα παγωτό και βούτυρο. Κάθε κιλό βουτύρου απαιτεί 2 λίτρα γάλα. Κάθε κιλό παγωτού απαιτεί 3 λίτρα γάλα: 2x b + 3x i 22 Το ψυγείο του χωρά απεριόριστη ποσότητα βουτύρου, αλλά το πολύ 6 κιλά παγωτού: x i 6 Ο αγρότης εργάζεται το πολύ 6 ώρες ανά εβδομάδα. Απαιτείται μια ώρα εργασίας για την παραγωγή 4 κιλών παγωτού, ή 1 κιλού βουτύρου: Το παγωτό πωλείται προς 5 ευρώ το κιλό, ενώ το βούτυρο προς 4 ευρώ το κιλό. Ποια η αναλογία παγωτού / βουτύρου που μεγιστοποιεί τον τζίρο του αγρότη; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [18 / 28]
59 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μια φάρμα παράγει 22 λίτρα γάλα ανά εβδομάδα. Ο αγρότης παράγει από το γάλα παγωτό και βούτυρο. Κάθε κιλό βουτύρου απαιτεί 2 λίτρα γάλα. Κάθε κιλό παγωτού απαιτεί 3 λίτρα γάλα: 2x b + 3x i 22 Το ψυγείο του χωρά απεριόριστη ποσότητα βουτύρου, αλλά το πολύ 6 κιλά παγωτού: x i 6 Ο αγρότης εργάζεται το πολύ 6 ώρες ανά εβδομάδα. Απαιτείται μια ώρα εργασίας για την παραγωγή 4 κιλών παγωτού, ή 1 κιλού βουτύρου: x b x i 6 Το παγωτό πωλείται προς 5 ευρώ το κιλό, ενώ το βούτυρο προς 4 ευρώ το κιλό. Ποια η αναλογία παγωτού / βουτύρου που μεγιστοποιεί τον τζίρο του αγρότη; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [18 / 28]
60 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μια φάρμα παράγει 22 λίτρα γάλα ανά εβδομάδα. Ο αγρότης παράγει από το γάλα παγωτό και βούτυρο. Κάθε κιλό βουτύρου απαιτεί 2 λίτρα γάλα. Κάθε κιλό παγωτού απαιτεί 3 λίτρα γάλα: 2x b + 3x i 22 Το ψυγείο του χωρά απεριόριστη ποσότητα βουτύρου, αλλά το πολύ 6 κιλά παγωτού: x i 6 Ο αγρότης εργάζεται το πολύ 6 ώρες ανά εβδομάδα. Απαιτείται μια ώρα εργασίας για την παραγωγή 4 κιλών παγωτού, ή 1 κιλού βουτύρου: x b x i 6 Το παγωτό πωλείται προς 5 ευρώ το κιλό, ενώ το βούτυρο προς 4 ευρώ το κιλό. Ποια η αναλογία παγωτού / βουτύρου που μεγιστοποιεί τον τζίρο του αγρότη; max. 4x b + 5x i Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [18 / 28]
61 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μοντελοποίηση Προβλήματος κι Επίλυση maximize 4x b +5x i subject to : 2x b +3x i 22 x b +0.25x i 6 x i 6 x b 0 x i 0 Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [19 / 28]
62 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μοντελοποίηση Προβλήματος κι Επίλυση maximize 4x b +5x i subject to : 2x b +3x i 22 Συμπαγείς Ευθείες (υπερεπίπεδα): Οριοθετούν το χώρο εφικτών λύσεων (σκιασμένη περιοχή). x b +0.25x i 6 x b 0 x i 0 Ισοσταθμικές (διακεκομμένες) Ευθείες: Σημεία που εξασφαλίζουν συγκεκριμένες τιμές συνάρτησης στόχου (τζίρος). x i 6 Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [19 / 28]
63 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μοντελοποίηση Προβλήματος κι Επίλυση maximize 4x b +5x i subject to : 2x b +3x i 22 x b +0.25x i 6 x i 6 x b 0 x i 0 Συμπαγείς Ευθείες (υπερεπίπεδα): Οριοθετούν το χώρο εφικτών λύσεων (σκιασμένη περιοχή). 25 xb xi =< 6 Ισοσταθμικές (διακεκομμένες) Ευθείες: Σημεία που εξασφαλίζουν συγκεκριμένες τιμές συνάρτησης στόχου (τζίρος). xi 4xb + 5xi = 40 xi =< 6 4xb + 5xi = 20 2xb + 3xi =< 22 4xb + 5xi = 30 Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [19 / 28] x b 10
64 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μοντελοποίηση Προβλήματος κι Επίλυση maximize 4x b +5x i subject to : 2x b +3x i 22 Συμπαγείς Ευθείες (υπερεπίπεδα): Οριοθετούν το χώρο εφικτών λύσεων (σκιασμένη περιοχή). x b +0.25x i 6 x b 0 x i 0 Ισοσταθμικές (διακεκομμένες) Ευθείες: Σημεία που εξασφαλίζουν συγκεκριμένες τιμές συνάρτησης στόχου (τζίρος). Βέλτιστη λύση; x i 6 25 xi xb xi =< 6 4xb + 5xi = 40 x b xi =< 6 4xb + 5xi = 20 2xb + 3xi =< 22 4xb + 5xi = 30 Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [19 / 28] 10
65 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μοντελοποίηση Προβλήματος κι Επίλυση maximize 4x b +5x i subject to : 2x b +3x i 22 Συμπαγείς Ευθείες (υπερεπίπεδα): Οριοθετούν το χώρο εφικτών λύσεων (σκιασμένη περιοχή). x b +0.25x i 6 x b 0 x i 0 Ισοσταθμικές (διακεκομμένες) Ευθείες: Σημεία που εξασφαλίζουν συγκεκριμένες τιμές συνάρτησης στόχου (τζίρος). Βέλτιστη λύση; (x b, x i ) = (5, 4). x i 6 25 xi xb xi =< 6 4xb + 5xi = 40 x b xi =< 6 4xb + 5xi = 20 2xb + 3xi =< 22 4xb + 5xi = 30 Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [19 / 28] 10
66 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μια παραλλαγή... Ερώτηση 1: Τι θα γινόταν αν ο αγρότης δοκίμαζε να μεταβάλει μόνο την τιμή p i του παγωτού; Μέχρι ποιο σημείο μπορεί να γίνει αυτή η μεταβολή (δεδομένης της μη αρνητικότητάς της), δίχως να αλλάξει η βέλτιστη λύση; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [20 / 28]
67 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μια παραλλαγή... Ερώτηση 1: Τι θα γινόταν αν ο αγρότης δοκίμαζε να μεταβάλει μόνο την τιμή p i του παγωτού; Μέχρι ποιο σημείο μπορεί να γίνει αυτή η μεταβολή (δεδομένης της μη αρνητικότητάς της), δίχως να αλλάξει η βέλτιστη λύση; Απάντηση: Μεταβολή του p i Ισοσταθμικές διαφορετικής κλίσης. Μέγιστη/ελάχιστη τιμή παγωτού ώστε είναι βέλτιστη λύση το (x b = 5, x i = 4); Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [20 / 28]
68 2xb + 3xi =< 22 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μια παραλλαγή... Ερώτηση 1: Τι θα γινόταν αν ο αγρότης δοκίμαζε να μεταβάλει μόνο την τιμή p i του παγωτού; Μέχρι ποιο σημείο μπορεί να γίνει αυτή η μεταβολή (δεδομένης της μη αρνητικότητάς της), δίχως να αλλάξει η βέλτιστη λύση; Απάντηση: Μεταβολή του p i Ισοσταθμικές διαφορετικής κλίσης. Μέγιστη/ελάχιστη τιμή παγωτού ώστε είναι βέλτιστη λύση το (x b = 5, x i = 4); p max i = 6, p min i = xb xi =< 6 xi 4xb + 5xi = 40 xi =< 6 4xb + 5xi = 20 x b 4xb + 5xi = 30 Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [20 / 28] 10
69 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μια παραλλαγή... Ερώτηση 1: Τι θα γινόταν αν ο αγρότης δοκίμαζε να μεταβάλει μόνο την τιμή p i του παγωτού; Μέχρι ποιο σημείο μπορεί να γίνει αυτή η μεταβολή (δεδομένης της μη αρνητικότητάς της), δίχως να αλλάξει η βέλτιστη λύση; Απάντηση: Μεταβολή του p i Ισοσταθμικές διαφορετικής κλίσης. Μέγιστη/ελάχιστη τιμή παγωτού ώστε είναι βέλτιστη λύση το (x b = 5, x i = 4); p max i = 6, p min i = 1. Εξήγηση: Εστω ότι η νέα τιμή του παγωτού γίνεται p i = 5 + γ, για κάποιο γ > 5. Ισοσταθμικά υπερεπίπεδα: x i = δ 5+γ 4 x b, για σταθερές δ. Κόκκινο υπερεπίπεδο: x i = 24 4x b. Πράσινο υπερεπίπεδο: x i = x b. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [20 / 28]
70 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μια παραλλαγή... Ερώτηση 1: Τι θα γινόταν αν ο αγρότης δοκίμαζε να μεταβάλει μόνο την τιμή p i του παγωτού; Μέχρι ποιο σημείο μπορεί να γίνει αυτή η μεταβολή (δεδομένης της μη αρνητικότητάς της), δίχως να αλλάξει η βέλτιστη λύση; Απάντηση: Μεταβολή του p i Ισοσταθμικές διαφορετικής κλίσης. Μέγιστη/ελάχιστη τιμή παγωτού ώστε είναι βέλτιστη λύση το (x b = 5, x i = 4); p max i = 6, p min i = 1. Εξήγηση: Εστω ότι η νέα τιμή του παγωτού γίνεται p i = 5 + γ, για κάποιο γ > 5. Ισοσταθμικά υπερεπίπεδα: x i = δ 5+γ 4 x b, για σταθερές δ. Κόκκινο υπερεπίπεδο: x i = 24 4x b. Πράσινο υπερεπίπεδο: x i = x b γ 4 4 γ [ 4, 1] p i [1, 6]. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [20 / 28]
71 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μια παραλλαγή... Ερώτηση 1: Τι θα γινόταν αν ο αγρότης δοκίμαζε να μεταβάλει μόνο την τιμή p i του παγωτού; Μέχρι ποιο σημείο μπορεί να γίνει αυτή η μεταβολή (δεδομένης της μη αρνητικότητάς της), δίχως να αλλάξει η βέλτιστη λύση; Απάντηση: Μεταβολή του p i Ισοσταθμικές διαφορετικής κλίσης. Μέγιστη/ελάχιστη τιμή παγωτού ώστε είναι βέλτιστη λύση το (x b = 5, x i = 4); p max i = 6, p min i = xb xi =< 6 xi 4xb + 5xi = 40 xi =< 6 4xb + 5xi = 20 2xb + 3xi =< 22 4xb + 5xi = 30 xb Ερώτηση 2: Βέλτιστη λύση για p i = 6.01, ή p i = 0.99; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [20 / 28] 10
72 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μια άλλη παραλλαγή... Ερώτηση 3: Πώς αλλάζει το πρόβλημα, αν ο αγρότης μπορεί να αγοράσει y λίτρα γάλα επιπλέον, προς 1 ευρώ το λίτρο, για να φτιάξει βούτυρο και παγωτό; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [21 / 28]
73 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μια άλλη παραλλαγή... Ερώτηση 3: Πώς αλλάζει το πρόβλημα, αν ο αγρότης μπορεί να αγοράσει y λίτρα γάλα επιπλέον, προς 1 ευρώ το λίτρο, για να φτιάξει βούτυρο και παγωτό; Απάντηση: Θα αγοραστούν επιπλέον 5 λίτρα γάλακτος. Μεταβλητή απόφασης y ποσότητα γάλακτος που αγοράζεται. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [21 / 28]
74 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μια άλλη παραλλαγή... Ερώτηση 3: Πώς αλλάζει το πρόβλημα, αν ο αγρότης μπορεί να αγοράσει y λίτρα γάλα επιπλέον, προς 1 ευρώ το λίτρο, για να φτιάξει βούτυρο και παγωτό; Απάντηση: Θα αγοραστούν επιπλέον 5 λίτρα γάλακτος. Μεταβλητή απόφασης y ποσότητα γάλακτος που αγοράζεται. Νέο ΓΠ; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [21 / 28]
75 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μια άλλη παραλλαγή... Ερώτηση 3: Πώς αλλάζει το πρόβλημα, αν ο αγρότης μπορεί να αγοράσει y λίτρα γάλα επιπλέον, προς 1 ευρώ το λίτρο, για να φτιάξει βούτυρο και παγωτό; Απάντηση: Θα αγοραστούν επιπλέον 5 λίτρα γάλακτος. Μεταβλητή απόφασης y ποσότητα γάλακτος που αγοράζεται. maximize 4x b +5x i y Νέο ΓΠ; Απλούστερη μορφή; subject to : 2x b +3x i y 22 x b +0.25x i 6 x i 6 x b 0 x i 0 y 0 Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [21 / 28]
76 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μια άλλη παραλλαγή... Ερώτηση 3: Πώς αλλάζει το πρόβλημα, αν ο αγρότης μπορεί να αγοράσει y λίτρα γάλα επιπλέον, προς 1 ευρώ το λίτρο, για να φτιάξει βούτυρο και παγωτό; Απάντηση: Θα αγοραστούν επιπλέον 5 λίτρα γάλακτος. Μεταβλητή απόφασης y ποσότητα γάλακτος που αγοράζεται. Νέο ΓΠ; Απλούστερη μορφή; maximize 2x b +2x i +22 subject to : 2x b +3x i y = 22 2x b +3x i 22 x b +0.25x i 6 x i 6 x b 0 x i 0 y 0 Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [21 / 28]
77 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μια άλλη παραλλαγή... Ερώτηση 3: Πώς αλλάζει το πρόβλημα, αν ο αγρότης μπορεί να αγοράσει y λίτρα γάλα επιπλέον, προς 1 ευρώ το λίτρο, για να φτιάξει βούτυρο και παγωτό; Απάντηση: Θα αγοραστούν επιπλέον 5 λίτρα γάλακτος. Μεταβλητή 25 απόφασης y ποσότητα γάλακτος που αγοράζεται. Νέο ΓΠ; Απλούστερη μορφή; xi xb xi =< 6 2xb + 2xi = 18 2xb + 2xi = 12 2xb + 2xi = 8 x b xi =< 6 2xb + 3xi >= 22 Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [21 / 28] 10
78 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Μη Γραμμικά Προβλήματα? Άσκηση: Συνάρτηση f(x) διέρχεται από ( 1, 8), (0, 4) και (1, 6). Να βρεθεί ευθεία g(x) = ax + b που ελαχιστοποιεί τη μέγιστη απόκλιση max x { 1,0,1} { f(x) g(x) } από τα σημεία. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [22 / 28]
79 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Μη Γραμμικά Προβλήματα? Άσκηση: Συνάρτηση f(x) διέρχεται από ( 1, 8), (0, 4) και (1, 6). Να βρεθεί ευθεία g(x) = ax + b που ελαχιστοποιεί τη μέγιστη απόκλιση max x { 1,0,1} { f(x) g(x) } από τα σημεία. Απάντηση: Το ζητούμενο πρόβλημα αποτυπώνεται από το εξής πρόγραμμα (μη γραμμικής) βελτιστοποίησης: (NLP) minimize { max x { 1,0,1} [ f(x) a x b ] : a, b R } Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [22 / 28]
80 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Μη Γραμμικά Προβλήματα? Άσκηση: Συνάρτηση f(x) διέρχεται από ( 1, 8), (0, 4) και (1, 6). Να βρεθεί ευθεία g(x) = ax + b που ελαχιστοποιεί τη μέγιστη απόκλιση max x { 1,0,1} { f(x) g(x) } από τα σημεία. Απάντηση: Το ζητούμενο πρόβλημα αποτυπώνεται από το εξής πρόγραμμα (μη γραμμικής) βελτιστοποίησης: (NLP) minimize { max x { 1,0,1} [ f(x) a x b ] : a, b R } Ερώτηση: Τι σχέση έχει το πρόβλημα με τον ΓΠ; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [22 / 28]
81 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Μη Γραμμικά Προβλήματα? Άσκηση: Συνάρτηση f(x) διέρχεται από ( 1, 8), (0, 4) και (1, 6). Να βρεθεί ευθεία g(x) = ax + b που ελαχιστοποιεί τη μέγιστη απόκλιση max x { 1,0,1} { f(x) g(x) } από τα σημεία. Απάντηση: Το ζητούμενο πρόβλημα αποτυπώνεται από το εξής πρόγραμμα (μη γραμμικής) βελτιστοποίησης: (NLP) minimize { max x { 1,0,1} [ f(x) a x b ] : a, b R } Ερώτηση: Τι σχέση έχει το πρόβλημα με τον ΓΠ; (NLP) min. d s.t : d a b 0 d + 4 b 0 d + 6 a b 0 d 0 Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [22 / 28]
82 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Μη Γραμμικά Προβλήματα? Άσκηση: Συνάρτηση f(x) διέρχεται από ( 1, 8), (0, 4) και (1, 6). Να βρεθεί ευθεία g(x) = ax + b που ελαχιστοποιεί τη μέγιστη απόκλιση max x { 1,0,1} { f(x) g(x) } από τα σημεία. Απάντηση: Το ζητούμενο πρόβλημα αποτυπώνεται από το εξής πρόγραμμα (μη γραμμικής) βελτιστοποίησης: (NLP) minimize { max x { 1,0,1} [ f(x) a x b ] : a, b R } Ερώτηση: Τι σχέση έχει το πρόβλημα με τον ΓΠ; (NLP) min. d s.t : d a b 0 d + 4 b 0 d + 6 a b 0 d 0 min. d s.t : d +a b 8 d a + b 8 d b 4 d +b 4 d a b 6 d +a + b 6 d 0 Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [22 / 28]
83 Σκελετός Ομιλίας 1 Εισαγωγικά 2 Παραδείγματα Γραμμικών Προγραμμάτων Οικονομίες Leontief Πρόβλημα της ίαιτας Επιλογή Επενδυτικού Προγράμματος Πρόβλημα Παραγωγής 3 Ιστορική Αναδρομή ΓΠ Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [23 / 28]
84 Σύντομη Ιστορική Αναδρομή Καθιερώθηκε ως επιστημονική περιοχή από τους George Dantzig, John von Neumann, και Leonid Kantorovich τη δεκαετία του Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [24 / 28]
85 Σύντομη Ιστορική Αναδρομή Καθιερώθηκε ως επιστημονική περιοχή από τους George Dantzig, John von Neumann, και Leonid Kantorovich τη δεκαετία του Το 1947, ο Dantzig ανακάλυψε τη διάσημη μέθοδο του Simplex για επίλυση γραμμικών προγραμμάτων. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [24 / 28]
86 Σύντομη Ιστορική Αναδρομή Καθιερώθηκε ως επιστημονική περιοχή από τους George Dantzig, John von Neumann, και Leonid Kantorovich τη δεκαετία του Το 1947, ο Dantzig ανακάλυψε τη διάσημη μέθοδο του Simplex για επίλυση γραμμικών προγραμμάτων. Υπάρχουν στιγμιότυπα για τα οποία ο Simplex απαιτεί εκθετικό πλήθος κινήσεων μέχρι τη βέλτιστη λύση!!! Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [24 / 28]
87 Σύντομη Ιστορική Αναδρομή Καθιερώθηκε ως επιστημονική περιοχή από τους George Dantzig, John von Neumann, και Leonid Kantorovich τη δεκαετία του Το 1947, ο Dantzig ανακάλυψε τη διάσημη μέθοδο του Simplex για επίλυση γραμμικών προγραμμάτων. Υπάρχουν στιγμιότυπα για τα οποία ο Simplex απαιτεί εκθετικό πλήθος κινήσεων μέχρι τη βέλτιστη λύση!!! Το 1979, ο Leonid Khachiyan ανακάλυψε τη μέθοδο του ελλειψοειδούς (Ellipsoid), τον πρώτο πολυωνυμικού χρόνου αλγόριθμο επίλυσης ΓΠ. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [24 / 28]
88 Σύντομη Ιστορική Αναδρομή Καθιερώθηκε ως επιστημονική περιοχή από τους George Dantzig, John von Neumann, και Leonid Kantorovich τη δεκαετία του Το 1947, ο Dantzig ανακάλυψε τη διάσημη μέθοδο του Simplex για επίλυση γραμμικών προγραμμάτων. Υπάρχουν στιγμιότυπα για τα οποία ο Simplex απαιτεί εκθετικό πλήθος κινήσεων μέχρι τη βέλτιστη λύση!!! Το 1979, ο Leonid Khachiyan ανακάλυψε τη μέθοδο του ελλειψοειδούς (Ellipsoid), τον πρώτο πολυωνυμικού χρόνου αλγόριθμο επίλυσης ΓΠ. ΠΟΛΥ ΑΡΓΟΣ, στην πράξη πολύ χειρότερος του Simplex!!! Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [24 / 28]
89 Σύντομη Ιστορική Αναδρομή Καθιερώθηκε ως επιστημονική περιοχή από τους George Dantzig, John von Neumann, και Leonid Kantorovich τη δεκαετία του Το 1947, ο Dantzig ανακάλυψε τη διάσημη μέθοδο του Simplex για επίλυση γραμμικών προγραμμάτων. Υπάρχουν στιγμιότυπα για τα οποία ο Simplex απαιτεί εκθετικό πλήθος κινήσεων μέχρι τη βέλτιστη λύση!!! Το 1979, ο Leonid Khachiyan ανακάλυψε τη μέθοδο του ελλειψοειδούς (Ellipsoid), τον πρώτο πολυωνυμικού χρόνου αλγόριθμο επίλυσης ΓΠ. ΠΟΛΥ ΑΡΓΟΣ, στην πράξη πολύ χειρότερος του Simplex!!! Το 1984, ο Narendra Karmarkar ανακάλυψε τη μέθοδο των εσωτερικών σημείων. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [24 / 28]
90 Σύντομη Ιστορική Αναδρομή Καθιερώθηκε ως επιστημονική περιοχή από τους George Dantzig, John von Neumann, και Leonid Kantorovich τη δεκαετία του Το 1947, ο Dantzig ανακάλυψε τη διάσημη μέθοδο του Simplex για επίλυση γραμμικών προγραμμάτων. Υπάρχουν στιγμιότυπα για τα οποία ο Simplex απαιτεί εκθετικό πλήθος κινήσεων μέχρι τη βέλτιστη λύση!!! Το 1979, ο Leonid Khachiyan ανακάλυψε τη μέθοδο του ελλειψοειδούς (Ellipsoid), τον πρώτο πολυωνυμικού χρόνου αλγόριθμο επίλυσης ΓΠ. ΠΟΛΥ ΑΡΓΟΣ, στην πράξη πολύ χειρότερος του Simplex!!! Το 1984, ο Narendra Karmarkar ανακάλυψε τη μέθοδο των εσωτερικών σημείων. Θεωρητικά βέλτιστος αλγόριθμος επίλυσης ΓΠ, αλλά και στην πράξη πολύ σκληρός ανταγωνιστής του Simplex. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [24 / 28]
91 Σημασία της Αποδοτικής Επίλυσης ΓΠ Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [25 / 28]
92 Σημασία της Αποδοτικής Επίλυσης ΓΠ Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [25 / 28]
93 Σημασία της Αποδοτικής Επίλυσης ΓΠ Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [25 / 28]
94 Σημασία της Αποδοτικής Επίλυσης ΓΠ Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [25 / 28]
95 Βιβλιογραφία Μαθήματος (Ι) ιαφάνειες / Σημειώσεις (ανά διάλεξη). R. Ahuja, T. Magnanti, J. Orlin: Network Flows (1993). D. Luenberger, Y. Ye: Linear and Nonlinear Programming (3rd edition, 2008). D. Bertsekas: Nonlinear Optimization. S. Boyd, L. Vanderberge: Convex Optimization (2004). Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [26 / 28]
96 Βιβλιογραφία Μαθήματος (ΙΙ) Βιβλίο [ ] Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα (έκδοση 1η / 2012). Κολέτσος Ιωάννης, Στογιάννης ημήτρης. ISBN: Βιβλίο [691] Γραμμικός Προγραμματισμός: Αριστοποίηση σε ίκτυα (έκδοση 3η / 2010). Μανώλης Λουκάκης. ISBN: Βιβλίο [2599] Γραμμικός Προγραμματισμός (έκδοση 5η/2000). Γιάννης Σίσκος. ISBN: Βιβλίο [ ] Γραμμικός Προγραμματισμός (έκδοση 1η / 2011). ημήτρης εσπότης. ISBN: Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [27 / 28]
97 Ευχαριστώ για την προσοχή σας! Ερωτήσεις / Σχόλια ; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [28 / 28]
Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση
Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση ΠΜΣ/ΕΤΥ: Μεταπτυχιακό Μάθημα 8η Ενότητα: Γραμμικός Προγραμματισμός ως Υπορουτίνα για Επίλυση Προβλημάτων Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης (kontog@cs.uoi.gr)
Διαβάστε περισσότεραΑς υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,
Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Μεταπτυχιακό Μάθημα ΠΜΣ/ΕΤΥ 2η Ενότητα: Μοντελοποίηση Προβλημάτων ως ΓΠ, Ισοδυναμες Μορφές ΓΠ, Γεωμετρία Χωρου Λύσεων
Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Μεταπτυχιακό Μάθημα ΠΜΣ/ΕΤΥ 2η Ενότητα: Μοντελοποίηση Προβλημάτων ως ΓΠ, Ισοδυναμες Μορφές ΓΠ, Γεωμετρία Χωρου Λύσεων Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης
Διαβάστε περισσότεραCSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα
Θέματα Αλγορίθμων Αλγόριθμοι και Εφαρμογές στον Πραγματικό Κόσμο CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα 10η Ενότητα: Χρονικά Εξελισσόμενες ικτυακές Ροές Σπύρος Κοντογιάννης kntg@cse.ui.gr Τμήμα Μηχανικών Η/Υ &
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ
ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Την ευθύνη του εκπαιδευτικού υλικού έχει ο επιστημονικός συνεργάτης των Πανεπιστημιακών Φροντιστηρίων «ΚOΛΛΙΝΤΖΑ», οικονομολόγος συγγραφέας θεμάτων ΑΣΕΠ, Παναγιώτης Βεργούρος.
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ
ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο
Διαβάστε περισσότεραΠροτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της
Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ): ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση
Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση ΠΜΣ / ΕΤΥ : Μεταπτυχιακό Μάθημα 4η Ενότητα: Γραμμικά Συστήματα Εξισωσεων και Pivots Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης (kontog@cs.uoi.gr) Τμήμα Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Bias (απόκλιση) και variance (διακύμανση) Ελεύθεροι Παράμετροι Ελεύθεροι Παράμετροι Διαίρεση dataset Μέθοδος holdout Cross Validation Bootstrap Bias (απόκλιση) και variance
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις
Αναγνώριση Προτύπων Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις 1 Λόγος Πιθανοφάνειας Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ταξινομήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΣυντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ
Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη
Διαβάστε περισσότεραΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΑΠΟΦΑΣΗ. Άσκηση με θέμα τη μεγιστοποίηση της χρησιμότητας του καταναλωτή
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 07 08 ΛΕΥΚΑΔΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ
Διαβάστε περισσότεραΤο υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά
1/35 Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά Νίκος Γιαννακόπουλος Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2014-2015 Εαρινό Εξάμηνο Τι γνωρίζουμε; 2/35 Αγορά αγαθών και
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΟΜΑΔΑ Α Για τις προτάσεις Α1 μέχρι και Α6 να
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ
ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate Κατηγορίες οφέλους και κόστους που προέρχονται από τις δημόσιες δαπάνες Για την αξιολόγηση
Διαβάστε περισσότεραΤρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ
Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ 1 Α. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αλήθειας δύο προτάσεων
Διαβάστε περισσότερα{ i f i == 0 and p > 0
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση δικτύων διανομής
ΑστικάΥδραυλικάΈργα Υδρεύσεις Επίλυση δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης & Ανδρέας Ευστρατιάδης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διατύπωση του προβλήματος Δεδομένου ενός δικτύου αγωγών
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ
HMEΡΟΜΗΝΙΑ ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗΣ: 4 ΑΠΡΙΛΙΟΥ: ΩΡΑ 10μ.μ Τα παρακάτω θέματα δημοσιεύονται αποκλειστικά και μόνο για όσους υποψήφιους του φροντιστηρίου μας δεν κατάφεραν να προσέλθουν στα επαναληπτικά μαθήματα που
Διαβάστε περισσότεραΕξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος
ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία
ΘΕΜΑ: ποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία Σύνταξη: Μπαντούλας Κων/νος, Οικονομολόγος, Ms Χρηματοοικονομικών 1 Η πρώτη θεωρία σχετικά με τον αυτόματο
Διαβάστε περισσότερα2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες
20 Φεβρουαρίου 2010 1. Ένας έμπορος αγόρασε 720 κιλά κρασί προς 2 το κιλό. Πρόσθεσε νερό, το πούλησε προς 2,5 το κιλό και κέρδισε 500. Το νερό που πρόσθεσε ήταν σε κιλά: α) 88 β) 56 γ) 60 δ) 65 2. Κατάθεσε
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Ερευνα Ι
Επιχειρησιακή Ερευνα Ι Μ. Ζαζάνης Κεφάλαιο 1 Τετραγωνικές μορφές στον R n και το ϑεώρημα του Taylor Ορισμός 1. Εστω a 11 a 1n A =.. a n1 a nn συμμετρικός πίνακας n n με στοιχεία στους πραγματικούς αριθμούς.
Διαβάστε περισσότερα1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη
Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΓΩΓΙΚΕΣ ΔΥΝΑΤΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2017 2018 ΛΕΥΚΑΔΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Εξάμηνο
Διαβάστε περισσότεραΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983
20 Φεβρουαρίου 2010 ΑΣΕΠ 2000 1. Η δεξαμενή βενζίνης ενός πρατηρίου υγρών καυσίμων είναι γεμάτη κατά τα 8/9. Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας το πρατήριο διέθεσε τα 3/4 της βενζίνης αυτής και έμειναν 4000
Διαβάστε περισσότεραΕυρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα
17 Ευρωπαϊκά παράγωγα 17.1 Ευρωπαϊκά δικαιώματα Ορισμός 17.1. 1) Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς σε μία μετοχή είναι ένα συμβόλαιο που δίνει στον κάτοχό του το δικαίωμα να αγοράσει μία μετοχή από τον εκδότη
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Οικονομική Επιστήμη ΙΙ
Εισαγωγή στην Οικονομική Επιστήμη ΙΙ Νικόλαος Γιαννακόπουλος Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2015-2016 Εαρινό Εξάμηνο 1/12 Ημέρες/ Ωρες ιδασκαλίας &
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ
15 Επίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ Σε αυτό το κεφάλαιο θα δούμε κάποιες ειδικές μορφές ΣΔΕ για τις οποίες υπάρχει μέθοδος επίλυσης. Περισσότερες μπορεί να δει κανείς στο Kloeden and Plaen (199), 4.-4.4. Θα
Διαβάστε περισσότεραΔήμος Σωτήριος Υ.Δ. Εργαστήριο Λογικής & Επιστήμης Υπολογιστών. Τομέας Τεχνολογίας Πληροφορικής & Υπολογιστών Σ.Η.Μ.Μ.Υ. Ε.Μ.Π.
Δήμος Σωτήριος Υ.Δ. Εργαστήριο Λογικής & Επιστήμης Υπολογιστών Τομέας Τεχνολογίας Πληροφορικής & Υπολογιστών Σ.Η.Μ.Μ.Υ. Ε.Μ.Π. Θεωρία Παιγνίων (;) αυτά είναι video παίγνια...... αυτά δεν είναι θεωρία παιγνίων
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ
ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο
Διαβάστε περισσότερα3. Με βάση τη βραχυχρόνια καμπύλη Phillips η σχέση πληθωρισμού και ανεργίας είναι:
1. Σε περίπτωση που το κράτος φορολογεί τους πολίτες το διαθέσιμο εισόδημα του κάθε ατόμου είναι: α) το σύνολο του εισοδήματός του β) το σύνολο του εισοδήματός του, αφού προηγουμένως αφαιρέσουμε τους φόρους
Διαβάστε περισσότεραΓενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016
Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου Άλγεβρα Β λυκείου Εργασία2 η : «Συναρτήσεις» 13 Οκτώβρη 2016 Ερωτήσεις Θεωρίας 1.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςάυξουσασεέναδιάστημα του πεδίου ορισμού της; 2.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςφθίνουσασεέναδιάστημα
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2.3: Marketing Κοινωνικών Επιχειρήσεων. Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζονται εν τάχει τα βασικά
Κεφάλαιο 2.3: Marketing Κοινωνικών Επιχειρήσεων Περίληψη Κεφαλαίου: Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζονται εν τάχει τα βασικά χαρακτηριστικά του μείγματος Marketing (Μ.Κ.Τ.), στο πλαίσιο της εύρυθμης λειτουργίας
Διαβάστε περισσότεραΥΔΡΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΓΝΩΣΗ
Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΓΝΩΣΗ Ενότητα 1: Υδρολογική προσομοίωση 1.2. Βελτιστοποίηση (Βαθμονόμηση) Υδρολογικών Μοντέλων Καθ. Αθανάσιος Λουκάς Εργαστήριο
Διαβάστε περισσότερα1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι:
1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι: α) Ανεξάρτητα από το ύψος της τιμής των οσπρίων, ο καταναλωτής θα δαπανά πάντα ένα σταθερό
Διαβάστε περισσότερα14 Φεβρουαρίου 2014, Βόλος
ιαφορικές Εξισώσεις Εισαγωγή Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 14 Φεβρουαρίου 2014, Βόλος ιαδικαστικά Θέματα Ο τελικός βαθμός προτείνω να υπολογισθεί
Διαβάστε περισσότερα1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται
1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται από: α) Τη ροπή για αποταμίευση β) Το λόγο κεφαλαίου προϊόντος και τη ροπή για αποταμίευση γ) Το λόγο κεφαλαίου προϊόντος
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Εκτίμηση Πυκνότητας με k NN k NN vs Bayes classifier k NN vs Bayes classifier Ο κανόνας ταξινόμησης του πλησιέστερου γείτονα (k NN) lazy αλγόριθμοι O k NN ως χαλαρός
Διαβάστε περισσότεραΗ εξίσωση Black-Scholes
8 Η εξίσωση Black-Scholes 8. Μια απλή αγορά Θεωρούμε ότι έχουμε μια αγορά που έχει μόνο δύο προϊόντα. Το ένα είναι η δυνατότητα κατάθεσης σε μια τράπεζα (ισοδύναμα, αγορά ομολόγων της τράπεζας) και το
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στη βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων
Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εισαγωγή στη βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Η βελτιστοποίηση για απλή πραγματική στοχική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗ ΚΡΗΤΗ
ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗ ΚΡΗΤΗ ΑΝΤΙΟΠΗ ΓΙΓΑΝΤΙ ΟΥ Τοµεάρχης Λειτουργίας Κέντρων Ελέγχου Συστηµάτων Μεταφοράς ιεύθυνσης ιαχείρισης Νησιών ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΚΡΗΤΗΣ 2009 Εγκατεστηµένη Ισχύς (Ατµοµονάδες, Μονάδες
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση ΠΜΣ-ΕΤΥ : Μεταπτυχιακό Μάθημα
Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση ΠΜΣ-ΕΤΥ : Μεταπτυχιακό Μάθημα 9η Ενότητα: Προβλήματα ικτυακών Ροών Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης (kontog@cse.uoi.gr) Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Διαβάστε περισσότεραα) Το έλλειμμα ή το πλεόνασμα του εμπορικού ισοζυγίου δεν μεταβάλλεται
1. Ο πληθωρισμός ορίζεται ως εξής: (Δ= μεταβολή, Ρ= επίπεδο τιμών, Ρ e = προσδοκώμενο επίπεδο τιμών): α) Δ Ρ e /Ρ β) Ρ e / Ρ γ) Δ Ρ/Ρ δ) (Ρ Ρ e )/Ρ 2. Όταν οι εξαγωγές αυξάνονται: α) Το έλλειμμα ή το πλεόνασμα
Διαβάστε περισσότεραΔ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. 1η σειρά ασκήσεων
Δ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α 1η σειρά ασκήσεων Ονοματεπώνυμο: Αριθμός μητρώου: Ημερομηνία παράδοσης: Μέχρι την Τρίτη 2 Απριλίου 2019 Σημειώστε τις ασκήσεις για τις οποίες έχετε παραδώσει λύση: 1
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στη βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων
Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εισαγωγή στη βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Η βελτιστοποίηση για απλή πραγματική στοχική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότερα17 Μαρτίου 2013, Βόλος
Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία
1 Εισαγωγικά 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία Στη θεωρία μέτρου, όταν δουλεύει κανείς σε έναν χώρο X, συνήθως έχει διαλέξει μια αρκετά μεγάλη σ-άλγεβρα στον X έτσι ώστε όλα τα σύνολα που εμφανίζονται να ανήκουν
Διαβάστε περισσότεραΣυναρτήσεις. Σημερινό μάθημα
Συναρτήσεις Σημερινό μάθημα C++ Συναρτήσεις Δήλωση συνάρτησης Σύνταξη συνάρτησης Πρότυπο συνάρτησης & συνάρτηση Αλληλο καλούμενες συναρτήσεις συναρτήσεις μαθηματικών Παράμετροι συναρτήσεων Τοπικές μεταβλητές
Διαβάστε περισσότεραΑντικειμενοστραφής. Προγραμματισμού
Αντικειμενοστραφής προγραμματισμός Σημερινό μάθημα Μειονεκτήματα Δομημένου Προγραμματισμού Αντικειμενοστραφής προγραμματισμός Ορισμοί Κλάσεις Αντικείμεναμ Χαρακτηριστικά ΑΠ C++ Class 1 Δομημένος Προγραμματισμός
Διαβάστε περισσότερα9η Ενότητα: Προβλήματα ικτυακών Ροών
Θέματα Αλγορίθμων Αλγόριθμοι και Εφαρμογές στον Πραγματικό Κόσμο CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα 9η Ενότητα: Προβλήματα ικτυακών Ροών Σπύρος Κοντογιάννης kontog@cse.uoi.gr Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Διαβάστε περισσότεραΑνεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές
10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,
Διαβάστε περισσότεραΗμέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης
Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης (β) Η απόλυτη υπεραξία Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Στο κεφάλαιο για την αγορά και την πώληση της εργατικής δύναμης (ελληνική έκδοση: τόμος
Διαβάστε περισσότεραΗμέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης
Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Η εργασιακή διαδικασία και τα στοιχεία της. Η κοινωνική επικύρωση των ιδιωτικών
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ
ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο
Διαβάστε περισσότεραΧαρτοφυλάκια και arbitrage
16 Χαρτοφυλάκια και arbitrage 16.1 Αγορές μετοχών Ποια είναι η χρήση και η σημασία των μετοχών μιας εταιρείας; Κατά τη σύστασή της ή σε άλλες στιγμές του χρόνου ύπαρξής της χρειάζεται να συγκεντρώσει κεφάλαιο
Διαβάστε περισσότεραΦόρμα Σχεδιασμού Διάλεξης (ημ/α: 17/03/08, έκδοση: 1.0)
1. Κωδικός Μαθήματος: (Εισαγωγή στον Προγραμματισμό) 2. Α/Α Διάλεξης: 1 1. Τίτλος: Εισαγωγή στους υπολογιστές. 2. Μαθησιακοί Στόχοι: Συνοπτική παρουσίαση της εξέλιξης των γλωσσών προγραμματισμού και των
Διαβάστε περισσότεραΟ Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών
1 Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων, τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών. Η διατύπωση που θα αποδείξουμε
Διαβάστε περισσότερα1. Η Μακροοικονομική ασχολείται με τη λειτουργία και τα προβλήματα: α) των δημοσίων επιχειρήσεων και των οργανισμών. β) των ιδιωτικών επιχειρήσεων
1. Η Μακροοικονομική ασχολείται με τη λειτουργία και τα προβλήματα: α) των δημοσίων επιχειρήσεων και των οργανισμών. β) των ιδιωτικών επιχειρήσεων γ) του στενού δημόσιου τομέα. δ) της συμπεριφοράς ολόκληρης
Διαβάστε περισσότεραΣχέσεις και ιδιότητές τους
Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση
Διαβάστε περισσότεραΕστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο.
2 Μέτρα 2.1 Μέτρα σε μετρήσιμο χώρο Εστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο. Ορισμός 2.1. Μέτρο στον (X, A) λέμε κάθε συνάρτηση µ : A [0, ] που ικανοποιεί τις
Διαβάστε περισσότεραΦόρμα Σχεδιασμού Διάλεξης (ημ/α: 17/03/08, έκδοση: 1.0)
2. Α/Α Διάλεξης: 1 1. Τίτλος: Εισαγωγή στο Λογικό Προγραμματισμό. 2. Μαθησιακοί Στόχοι: Εισαγωγή στις έννοιες του διαδικαστικού και του δηλωτικού προγραμματισμού. 3. Θέματα που καλύπτει: Εισαγωγή στις
Διαβάστε περισσότεραΣυντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ
Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος
Γραμμικές Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία Μανόλης Βάβαλης
Διαβάστε περισσότερα(3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις
(3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις Είναι πράγματι τα «προβλήματα» τόσο δύσκολα; Είδαμε (σύντομα) στα προηγούμενα
Διαβάστε περισσότεραΠαντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα.
2 Δεσμευμένη μέση τιμή 2.1 Ορισμός Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα. Ορισμός 2.1. Για X : Ω R τυχαία
Διαβάστε περισσότεραΜονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο.
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ
Διαβάστε περισσότεραΗ ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων.
A A N A B P Y T A Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς 9 5 0 Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. Δρ. Νίκος Σωτηρόπουλος, Μαθηματικός Εισαγωγή Το άρθρο αυτό γράφεται με
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Νοημοσύνη
Υπολογιστική Νοημοσύνη Σημερινή Διάλεξη Περιεχόμενο μαθήματος Διαδικαστικά Εργασίες Μαθήματος Εισαγωγή στο αντικείμενο του μαθήματος Εφαρμογές 1 Περιεχόμενο μαθήματος οµή και Χαρακτηριστικά ενός Γενετικού
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ
ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΠΕ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2017-2018 Φροντιστήριο 3 - Λύσεις 1. Εστω ο πίνακας Α = [12, 23, 1, 5, 7, 19, 2, 14]. i. Να δώσετε την κατάσταση
Διαβάστε περισσότεραΤµήµα Μαθηµατικών & Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Κρήτης. Ινστιτούτο Υπολογιστικών Μαθηµατικών Ιδρύµατος Τεχνολογίας & Έρευνας
Τµήµα Μαθηµατικών & Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Κρήτης Ινστιτούτο Υπολογιστικών Μαθηµατικών Ιδρύµατος Τεχνολογίας & Έρευνας Έκθεση Αναφοράς Θερινού Σχολείου Μαθηµατικών 2002 Ηράκλειο,
Διαβάστε περισσότερατεσσάρων βάσεων δεδομένων που θα αντιστοιχούν στους συνδρομητές
Σ Υ Π Τ Μ Α 8 Ιουνίου 2010 Άσκηση 1 Μια εταιρία τηλεφωνίας προσπαθεί να βρει πού θα τοποθετήσει τις συνιστώσες τηλεφωνικού καταλόγου που θα εξυπηρετούν τους συνδρομητές της. Η εταιρία εξυπηρετεί κατά βάση
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 27 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6)
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 27 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1ο Στις ερωτήσεις 1-3, να γράψετε στο τετράδιό
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α.Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ - Εισαγωγικές έννοιες - Ταξινόμηση προβλημάτων - Παραδείγματα ΠΕΡΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΑνεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές
10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,
Διαβάστε περισσότεραProjects για το εργαστήριο. των Βάσεων Δεδομένων
Projects για το εργαστήριο των Βάσεων Δεδομένων Θεσσαλονίκη, Νοέμβριος Δεκέμβριος 2013 1. Το πολυκατάστημα Το πολυκατάστημα έχει ένα σύνολο από εργαζομένους. Κάθε εργαζόμενος χαρακτηρίζεται από έναν κωδικό
Διαβάστε περισσότεραΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΤΟΧΟΙ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΤΗΣ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2017 2018 ΛΕΥΚΑΔΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Εξάμηνο
Διαβάστε περισσότεραΙόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής. Ακαδημαϊκό Έτος ΠΑΡΑΔΟΤΕΟ: Έκθεση Προόδου Υλοποίησης του Μαθήματος «Λογικός Προγραμματισμός»
Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Ακαδημαϊκό Έτος 2007 2008 ΠΑΡΑΔΟΤΕΟ: Έκθεση Προόδου Υλοποίησης του Μαθήματος «Λογικός Προγραμματισμός» Διδάσκοντες: Θεόδωρος Ανδρόνικος & Μιχαήλ Στεφανιδάκης Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότερα5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις
5 Μετρήσιμες συναρτήσεις 5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις Ορισμός 5.1. Εστω (Ω, F ), (E, E) μετρήσιμοι χώροι. Μια συνάρτηση f : Ω E λέγεται F /Eμετρήσιμη αν f 1 (A) F για κάθε A E. (5.1) Συμβολίζουμε το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΣυναρτήσεις ΙΙ. Σημερινό μάθημα
Συναρτήσεις ΙΙ 1 Σημερινό μάθημα Εμβέλεια Εμφωλίαση Τύπος αποθήκευσης Συναρτήσεις ως παράμετροι Πέρασμα με τιμή Πολλαπλά return Προκαθορισμένοι ρ Παράμετροι ρ Υπερφόρτωση συναρτήσεων Inline συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΑνελίξεις σε συνεχή χρόνο
4 Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο Σε αυτό το κεφάλαιο είναι συγκεντρωμένοι ορισμοί και αποτελέσματα από τη θεωρία των στοχαστικών ανελιξεων συνεχούς χρόνου. Με εξαίρεση την Παράγραφο 4.1, η οποία είναι εντελώς
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων 1
Αναγνώριση Προτύπων 1 Σημερινό Μάθημα Βασικό σύστημα αναγνώρισης προτύπων Προβλήματα Πρόβλεψης Χαρακτηριστικά και Πρότυπα Ταξινομητές Classifiers Προσεγγίσεις Αναγνώρισης Προτύπων Κύκλος σχεδίασης Συστήματος
Διαβάστε περισσότεραΣυντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ
Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2.4: Τα βασικά στοιχεία ενός Επιχειρηματικού Σχεδίου (Business Plan) Μέσα από αυτό το κεφάλαιο φαίνεται ότι αφενός η σωστή δημιουργία και
Κεφάλαιο 2.4: Τα βασικά στοιχεία ενός Επιχειρηματικού Σχεδίου (Business Plan) Περίληψη Κεφαλαίου: Μέσα από αυτό το κεφάλαιο φαίνεται ότι αφενός η σωστή δημιουργία και αφετέρου η σωστή εφαρμογή του Επιχειρηματικού
Διαβάστε περισσότεραΤαξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα
Διαβάστε περισσότεραΘεμελιώδεις έννοιες βελτιστοποίησης και κλασικές μαθηματικές μέθοδοι
Σημειώσεις στα πλαίσια του μαθήματος: Βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων Υδροπληροφορική Θεμελιώδεις έννοιες βελτιστοποίησης και κλασικές μαθηματικές μέθοδοι Ανδρέας Ευστρατιάδης & Χρήστος Μακρόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ. (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ
ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ ΚΑΙ ΔΗΜΟΤΙΚΩΝ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ Επιμέλεια Άγγελου Αργυρακόπουλου
Διαβάστε περισσότεραΕκπαίδευση και Πολιτισμός Πρόγραμμα Δια Βίου Μάθηση Erasmus
Εκπαίδευση και Πολιτισμός Πρόγραμμα Δια Βίου Μάθηση Erasmus ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗ Τομεακό πρόγραμμα Erasmus HMΕΡΙΔΑ ΕΠΕΑΕΚ TA ENTATIKA ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ERASMUS ERASMUS IP
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2.5: Εντοπισμός Επιχειρηματικών Ευκαιριών. Δεδομένου ότι στο νέο παγκόσμιο οικονομικό περιβάλλον, η
Κεφάλαιο 2.5: Εντοπισμός Επιχειρηματικών Ευκαιριών Περίληψη Κεφαλαίου: Δεδομένου ότι στο νέο παγκόσμιο οικονομικό περιβάλλον, η κοινωνική οικονομία προσφέρει μία διαφορετική προσέγγιση στην τοπική ανάπτυξη
Διαβάστε περισσότεραΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ Σχεδίαση Λογικών Κυκλωμάτων
ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ Σχεδίαση Λογικών Κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος [gliaperd@teikal.gr] Μάρτιος 2012 1 Ηλεκτρονικά Ελεγχόμενοι ιακόπτες Για την υλοποίηση των λογικών κυκλωμάτων χρησιμοποιούνται ηλεκτρονικά
Διαβάστε περισσότεραΤο κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή:
Ας πούμε και κάτι για τις δύσκολες μέρες που έρχονται Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein 1879-1955 Πηγή: http://www.cognosco.gr/gnwmika/ 1 ΚΥΚΛΙΚΟΣ
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΔΡΟΜΟΛΟΓΗΣΗΣ
Μ Π Σ Λ Θ Α Υ m l ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΔΡΟΜΟΛΟΓΗΣΗΣ Δ Ε Γεώργιος Ζώης Επιβλέπων: Σταύρος Γ. Κολλιόπουλος, Επ. Καθηγητής, Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Ε.Κ.Π.Α. Αθήνα, Μάρτιος
Διαβάστε περισσότερατους στην Κρυπτογραφία και τα
Οι Ομάδες των Πλεξίδων και Εφαρμογές τους στην Κρυπτογραφία και τα Πολυμερή Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών ΕΜΠ Επιβλέπουσα Καθηγήτρια: Λαμπροπούλου Σοφία Ιούλιος, 2013 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΠολυκριτηριακή ανάλυση
Διαχείριση Υδατικών Πόρων Πολυκριτηριακή ανάλυση Ανδρέας Ευστρατιάδης & Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τυπικά κριτήρια που διέπουν τη διαχείριση
Διαβάστε περισσότεραΠροτεινόμενα θέματα. στο μάθημα. Αρχές οργάνωσης και διοίκησης επιχειρήσεων. ΟΜΑΔΑ Α: Ερωτήσεις Σωστού Λάθους.
Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές οργάνωσης και διοίκησης επιχειρήσεων ΟΜΑΔΑ Α: Ερωτήσεις Σωστού Λάθους Στις παρακάτω προτάσεις να γράψετε δίπλα στον αριθμό της καθεμιάς τη λέξη Σωστό αν κρίνετε ότι
Διαβάστε περισσότεραΗ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ : ΜΙΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ
ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΡΟΦΙΜΩΝ & ΓΕΩΡΓΙΑΣ ΣΥΝΕΡΓΑΖΟΜΕΝΟ ΤΜΗΜΑ: ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10
Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου Εκλογής Προέδρου με O(nlogn) μηνύματα Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Περιγραφικός Αλγόριθμος Αρχικά στείλε μήνυμα εξερεύνησης προς τα δεξιά
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Η κατάρα της διαστατικότητας Μείωση διαστάσεων εξαγωγή χαρακτηριστικών επιλογή χαρακτηριστικών Αναπαράσταση έναντι Κατηγοριοποίησης Ανάλυση Κυρίων Συνιστωσών PCA Γραμμική
Διαβάστε περισσότερα