Προσεγγιστική κατασκευή κανονικού 9-γώνου με κανόνα και διαβήτη

Transcript

1 Προσεγγιστική κατασκευή κανονικού 9-γώνου με κανόνα και διαβήτη Η επίκεντρη γωνία ενός κανονικού 9-γώνου είναι: Η γωνία αυτή δεν κατασκευάζεται με κανόνα και διαβήτη και επομένως ένα κανονικό 9-γωνο δεν μπορεί να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη Πρώτη προσεγγιστική κατασκευή με χαμηλή ακρίβεια Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η κατασκευή ενός ορθογωνίου τριγώνου με λόγο πλευρών AB AK 5 Οπότε, 5 Με χρήση υπολογιστή 9, 805 και 9 58,50 που υπολείπεται του πλήρους κύκλου κατά,75 ή ισοδύναμα κατά 0,9 0 0 Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ο κύκλος με κέντρο K και ακτίνα στον οποίο θέλουμε να εγγράψουμε ένα «κανονικό» 9-γωνο Με κέντρο το A και ακτίνα τη χορδή A A σχεδιάζουμε κύκλο και με τον τρόπο αυτό κατα- σκευάζουμε την κορυφή A 9 Σχήμα Γιώργος Δασκαλάκης & Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, Φεβρουάριος 0

2 Στο βήμα αυτό κατασκευάσαμε τις κορυφές A και A 8 Στο βήμα αυτό κατασκευάσαμε τις κορυφές A και A 7 Στο βήμα αυτό κατασκευάσαμε και τις τελευταίες κορυφές A 5 και A Γιώργος Δασκαλάκης & Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, Φεβρουάριος 0

3 Στο παραπάνω σχήμα βλέπετε την ατέλεια της μεθόδου Η χορδή A A 5 είναι κατά τι μεγαλύτερη από τις υπόλοιπες χορδές Γιώργος Δασκαλάκης & Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, Φεβρουάριος 0

4 Δεύτερη προσεγγιστική κατασκευή με χαμηλή ακρίβεια Προσεγγιστική τριχοτόμηση τόξου 0 ο Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η τριχοτόμηση του κύκλου, με την εγγραφή ενός ισόπλευρου τριγώνου, με χρήση της διαμέτρου M M, A και τον σχεδιασμό του κύκλου Με τον τρόπο αυτό ορίζουμε από τις 9 κορυφές του εννεαγώνου που θέλουμε να εγγράψουμε Το μήκος της χορδής A A7 Πρόκειται να τριχοτομήσουμε (προσεγγιστικά) τα τρία τόξα που αντιστοιχούν στις πλευρές του ισόπλευρου τριγώνου Σχεδιάζουμε το αντεστραμμένο ισόπλευρο τρίγωνο MAB που απαιτείται στο σχεδιασμό ενός κανονικού εξαγώνου Το ευθύγραμμο τμήμα TH είναι κομβικό μήκος στην τριχοτόμηση των τόξων NH ZH AB r TH TN NH Γιώργος Δασκαλάκης & Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, Φεβρουάριος 0

5 Γιώργος Δασκαλάκης & Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, Φεβρουάριος 0 Με κέντρο το μέσον E της πλευράς MB του αντεστραμμένου ισόπλευρου τριγώνου και ακτίνα το r Z E γράφουμε κύκλο που τέμνει τον αρχικό κύκλο στα σημεία A και A Θα δείξουμε ότι πράγματι τα σημεία αυτά μπορεί να είναι σε κάποια προσέγγιση κορυφές του κανονικού εννεαγώνου Έστω το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων K Το κέντρο E του νέου κύκλου έχει πολικές συντεταγμένες 0,, οπότε οι καρτεσιανές συνταγμένες του θα είναι:, 0, 0 Η καρτεσιανή εξίσωση του νέου κύκλου είναι: r Δεδομένου ότι ο αρχικός κύκλος K, έχει καρτεσιανή εξίσωση:, θα βρούμε τα κοινά σημεία των δύο κύκλων λύνοντας το σύστημα των δύο εξισώσεων Η εξίσωση του νέου κύκλου με τη βοήθεια της εξίσωσης του πρώτου γίνεται: Εξ() Αντικαθιστώντας στην εξίσωση του πρώτου κύκλου: 0 9

6 Οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι:, 5 Αντικαθιστώντας στην Εξ() έχουμε:, 05 Επομένως, το σημείο A έχει καρτεσιανές συντεταγμένες: και το σημείο A έχει καρτεσιανές συντεταγμένες: 5, 05 5, 05 Με τη βοήθεια των καρτεσιανών συντεταγμένων των σημείων A και A μπορούμε να υπολογίσουμε τις γωνίες και : 5 και Με χρήση υπολογιστή 9, 59 και 0, 059 Δεδομένου ότι: Δηλαδή, 0, ακριβώς Γιώργος Δασκαλάκης & Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, Φεβρουάριος 0

7 Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία και με κέντρο το σημείο E σχεδιάζουμε κύκλο με α- κτίνα r Με τον τρόπο αυτό ορίζουμε τις κορυφές A 5 και A 9 Λόγω συμμετρίας τα τόξα A A9 A A5, A A A7 A και A A A A9 Συνεπώς το τόξο 0 που αντιστοιχεί στην πλευρά A 7A του ισοπλεύρου τριγώνου χωρίζεται σε τρία τόξα, ως εξής: A A A A 9, 59 και A A 0, Τα πρώτα δύο ακριανά τόξα είναι μικρότερα κατά ~ % του επιθυμητού τόξου των 0 ενώ το μεσαίο τόξο είναι μεγαλύτερο κατά ~ % του επιθυμητού τόξου των 0 Η μέθοδος αυτή είναι μικρότερης ακρίβειας από την προηγούμενη Ολοκληρώνουμε την κατασκευή του «κανονικού» εννεαγώνου σχεδιάζοντας τον κύκλο με κέντρο το σημείο E και ακτίνα r Γιώργος Δασκαλάκης & Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, Φεβρουάριος 0

8 Τρίτη προσεγγιστική κατασκευή κανονικού 9γώνου με μίξη των δύο προηγούμενων μεθόδων Ξεκινάμε από το Σχήμα της πρώτης μεθόδου με 9, 805 Σχήμα Τριχοτομούμε τον κύκλο έτσι ώστε η κορυφή A να είναι μία από τις κορυφές του ισοπλεύρου τριγώνου Με κέντρο τις κορυφές A και A 7 σχεδιάζουμε τους κύκλους με ακτίνα το ευθύγραμμο τμήμα A A Γιώργος Δασκαλάκης & Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, Φεβρουάριος 0

9 Τέταρτη προσεγγιστική κατασκευή κανονικού 9γώνου (με χαμηλή ακρίβεια) Ξεκινάμε με κάθετες διαμέτρους, και ορίζουμε το σημείο Z, σχεδιάζοντας τον κύκλο με κέντρο το σημείο A και ακτίνα Το σημείο Z έχει συντεταγμένες, Με κέντρο το σημείο και με ακτίνα το ευθύγραμμο τμήμα Z σχεδιάζουμε κύκλο που τέμνει την οριζόντια διάμετρο σε σημείο Z Z Z Z Με κέντρο το σημείο Z και ακτίνα το ευθύγραμμο τμήμα Z σχεδιάζουμε κύκλο που τέμνει την οριζόντια διάμετρο σε σημείο Z Το ευθύγραμμο τμήμα A Z ι- σούται με την πλευρά του «κανονικού» 9γώνου A Z A Z Z Z Η επίκεντρη γωνία που αντιστοιχεί στη χορδή A A A A9 A Z είναι: A A 9, 8855 που είναι μικρότερη κατά ~ 0,% του επιθυμητού τόξου των 0 Z K KZ Γιώργος Δασκαλάκης & Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, Φεβρουάριος 0

10 Με τη μέθοδο της ακριβούς τριχοτόμησης του κύκλου, η γωνία 0 0, 9 είναι μεγαλύτερη κατά ~ 0,% του επιθυμητού τόξου των 0 Γιώργος Δασκαλάκης & Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, Φεβρουάριος 0

11 Πέμπτη προσεγγιστική κατασκευή 9-γώνου (με υψηλή ακρίβεια) Βήμα : Ξεκινάμε με κάθετες διαμέτρους Βήμα : Κατασκευάζουμε τη διχοτόμο A K ˆ K της γωνίας Βήμα : Κατασκευάζουμε την κάθετη E στην ακτίνα KA Το ευθύγραμμο τμήμα KE Γιώργος Δασκαλάκης & Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, Φεβρουάριος 0

12 Βήμα : Κατασκευάζουμε τη μεσοκάθετη της ακτίνας K Με τον τρόπο αυτό ορίζεται το κομβικό για την κατασκευή σημείο M, με συντεταγμένες, Βήμα 5: Τριπλασιάζουμε το ευθύγραμμο τμήμα KM και με τον τρόπο αυτό κατασκευάζουμε το σημείο N με συντεταγμένες, Βήμα : Γράφουμε την ευθεία A N που τέμνει τη μεσοκάθετο της κατακόρυφης α- κτίνας στο σημείο P Η εξίσωση της ευθείας A N είναι: Το σημείο P έχει τεταγμένη και η τετμημένη μπορεί να υπολογιστεί από την εξίσωση της ευθείας: Συνοψίζοντας οι συντεταγμένες του σημείου P είναι, Γιώργος Δασκαλάκης & Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, Φεβρουάριος 0

13 Βήμα 7: Η ευθεία KP τέμνει τον κύκλο K, στο σημείο Z Γράφοντας τον κύκλο Z, ZA ορίζεται η η κορυφή A του 9-γώνου Ξέροντας τις συντεταγμένες του σημείου P, γράφουμε για τη γωνία : 0,9, οπότε 9,9995 και η επίκεντρη γωνία του 9-γώνου είναι 9, και 9 59, 99 που υπολείπεται του πλήρους κύκλου κατά ~ 0,008 ή ισοδύναμα κατά 0,00 0 0!!! Βήμα 8: Με κέντρο την κορυφή A σχεδιάζουμε κύκλο με ακτίνα A A και με τον τρόπο αυτό ορίζουμε την κορυφή A Βήμα 9: Ολοκλήρωση του σχεδιασμού του «κανονικού» 9-γώνου Αναφορές: Γιώργος Δασκαλάκης & Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, Φεβρουάριος 0