ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Τόµος I

Transcript

1 Γιάννης Α. Θεοδώρου Καθηγητής ΑΕΙ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Τόµος I ιαφορικός & Ολοκληρωτικός Λογισµός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής, Στοιχεία Γραµµικής Άλγεβρας- ιανυσµατικού Λογισµού- Αναλυτικής Γεωµετρίας, Μιγαδικοί Αριθµοί, Γενικευµένα Ολοκληρώµατα, Σειρές

2 - 2 - ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ-ΙΙ (Γιάννης Θεοδώρου) Τίτλος πρωτότυπου: ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, Τόµος Ι ISBN Συγγραφέας-Εκδότης: Γιάννης Α. Θεοδώρου Copyright 2016, Ιωάννης Αθαν. Θεοδώρου Πρώτη Έκδοση: Αθήνα-Αύγουστος 2016, Αριθµός ΕΥ ΟΞΟΥ: Αυτοέκδοση- ιάθεση: Ιωάννης Αθαν. Θεοδώρου, ρ. Μαθηµατικών Καθηγητής ΑΕΙ Τ.Ε. Στερεάς Ελλάδας-ΣΤΕΦ-Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών teo@teilam.gr ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ-Ι, ISBN Συγγραφέας-Εκδότης: Ιωάννης Αθαν. Θεοδώρου Απαγορεύεται η αναπαραγωγή του παρόντος βιβλίου ή µέρους αυτού, µε οποιοδήποτε µέσο (φωτοτυπία, εκτύπωση, σάρωση, µικροφίλµ, αποθήκευση σε αρχείο πληροφοριών ή άλλη µηχανική ή ηλεκτρονική µέθοδο) χωρίς την έγγραφη άδεια του συγγραφέα και αυτοεκδότη. All rights reserved. No part of this book may be reproduced in any form or by any means, without the author and auto publisher written permission. Κάθε γνήσιο αντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογραφή του συγγραφέα και εκδότη.

3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΦΙΕΡΩΝΕΤΑΙ Σ αυτούς που κοπιάζουν για τη Γνώση και σε όσους αγωνίζονται για την Αλήθεια M.C. Escher

4 - 4 - ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ-ΙΙ (Γιάννης Θεοδώρου) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογοι-Περιεχόµενα ΜΕΡΟΣ Α ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ & ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ µιας ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Κεφάλαιο 1 ο : ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ µιας ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 13 Βασικές έννοιες-υπενθυµίσεις 1. Έννοια συνάρτησης Ορισµός συνάρτησης Παρατηρήσεις Παραδείγµατα Συναρτήσεις εντός, επί, «1-1» Αντίστροφη συνάρτηση Παραδείγµατα Πράξεις συναρτήσεων ιάφορες µορφές και χαρακτηριστικά συναρτήσεων (άρτια-περιττή-περιοδική συνάρτηση, ιδιότητες) Μονοτονία συνάρτησης Παρατηρήσεις-Ακρότατα Παραδείγµατα (στη µονοτονία) Όριο συνάρτησης Παρατηρήσεις-πλευρικά όρια (φράγµα-µέγιστο-ελάχιστο) Αξιοσηµείωτα όρια Συνέχεια Παρατηρήσεις-Είδη ασυνέχειας Βασικές κατηγορίες συναρτήσεων Αλγεβρικές συναρτήσεις (πολυωνυµικές, ρητές, άρρητες, κλπ) Υπερβατικές συναρτήσεις (εκθετικές-λογαριθµικές, τριγωνοµετρικές-υπερβολικές και αντίστροφες αυτών) Στοιχειώδεις τύποι (Βασικό Τυπολόγιο) Κεφάλαιο 2 ο : ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας ανεξάρτητης µεταβλητής 69 Παράγωγοι και ιαφορικά 1. Ορισµός παραγώγου Παραγώγιση βασικών συναρτήσεων Ιδιότητες (πράξεις) παραγώγων Παραγώγιση συναρτήσεων..76

5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης Παράγωγος αντίστροφων συναρτήσεων Ερµηνεία της παραγώγου συνάρτησης Φυσική σηµασία παραγώγου Γεωµετρική σηµασία παραγώγου Βασικό Τυπολόγιο παραγώγων Παραδείγµατα-Ασκήσεις παραγώγων ιαφορικό συνάρτησης Παραδείγµατα-Εφαρµογές στο διαφορικό Παράγωγοι και διαφορικά ανώτερης τάξης Παραδείγµατα (στις ανώτερης τάξης παραγώγους και διαφορικά) Ασκήσεις-Εφαρµογές για λύση (στις παραγώγους και διαφορικά) Μελέτη συναρτήσεων (µέσω του διαφορικού λογισµού) Βασικά Θεωρήµατα στις παραγωγίσιµες συναρτήσεις Πλήρης µελέτη και γράφηµα συνάρτησης Παραδείγµατα (στη µελέτη συναρτήσεων) υναµοσειρές-τύποι Taylor και Maclaurin Θεώρηµα-Τύπος Taylor Παραδείγµατα (ανάπτυξης κατά Taylor) Τύπος Maclaurin Παραδείγµατα (αναπτυγµάτων κατά Maclaurin) Μέγιστα-ελάχιστα-σηµεία καµπής µέσω Τύπου Taylor Ανακεφαλαίωση (στους τύπους Taylor-Maclaurin) Πίνακας πολυωνυµικών προσεγγίσεων 171 Κεφάλαιο 3 ο : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Εισαγωγή Παράγουσα συνάρτηση-ολοκλήρωµα Αόριστο Ολοκλήρωµα Γεωµετρική ερµηνεία της ολοκλήρωσης Υπολογισµός αόριστου ολοκληρώµατος Βασικοί τύποι ολοκλήρωσης Κανόνες ολοκλήρωσης Μέθοδοι ολοκλήρωσης Α. Μέθοδος Αντικατάστασης (για άρρητες, κλπ, συναρτήσεις) Β. Μέθοδος ολοκλήρωσης ρητών συναρτήσεων Γ. Μέθοδος ολοκλήρωσης κατά παράγοντες.208 kx. Ολοκληρώµατα µορφής f (e )..213 Ε. Τριγωνοµετρικά ολοκληρώµατα (Μορφές Ι-V) Ζ. Ολοκλήρωση µέσω ανάπτυξης σε σειρά...221

6 - 6 - ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ-ΙΙ (Γιάννης Θεοδώρου) 6. Ορισµένο Ολοκλήρωµα Ιδιότητες ορισµένου ολοκληρώµατος Παραδείγµατα στο ορισµένο ολοκλήρωµα Θεώρηµα Μέσης Τιµής του ολοκληρωτικού λογισµού Άλλες εφαρµογές του ορισµένου ολοκληρώµατος Γενικές Ασκήσεις στα ολοκληρώµατα (Αόριστα-Ορισµένα-Εφαρµογές) Γενικές Ασκήσεις για λύση (στα ολοκληρώµατα) Πίνακας-Ι (Τυπολόγιο-Συνήθη Ολοκληρώµατα) ΜΕΡΟΣ Β 258 Κεφάλαιο 4 ο : ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ & Θεωρίας Πινάκων Εισαγωγή- Στοιχεία Συνολοθεωρίας Έννοια και ιδιότητες Συνόλων Πράξεις συνόλων Καρτεσιανό γινόµενο συνόλων Άνω-κάτω φράγµα, sup-inf, max-min, ενός συνόλου ικτυωτά Οµοµορφισµός-Ισοµοργισµός Στοιχεία Αλγεβρικών οµών Πράξεις Εσωτερική πράξη (νόµος) σύνθεσης Εξωτερική πράξη (νόµος) σύνθεσης Οµάδα ακτύλιος Σώµα ιανυσµατικός χώρος Παρατηρήσεις Άλγεβρα Γραµµικός µετασχηµατισµός (γραµµική απεικόνιση) Παραδείγµατα (στις γραµ. απεικονίσεις) Αντιστοιχία γραµµικής απεικόνισης και πίνακα Παρατηρήσεις (γραµ. απεικόνισης και αντίστοιχου πίνακα) Η δράση των πινάκων στη Τεχνολογία Ισοδυναµία µεταξύ Πίνακα-Γραµµικού Συστήµατος- ιαν. Εξίσωσης Πίνακες (πράξεις πινάκων) Άθροισµα πινάκων Γινόµενο πίνακα επί αριθµό Γινόµενο πινάκων Ανάστροφος ενός πίνακα 299

7 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τετραγωνικοί πίνακες Ορίζουσα τετραγωνικού πίνακα Αντίστροφος πίνακα Σύνοψη πινάκων ιάφορα είδη πινάκων (συµµετρικοί-ορθογώνιοι-ερµιτιανοί, κλπ, πίνακες) Γραµµικά Συστήµατα Λύση γραµµικών συστηµάτων µε ορίζουσες Οµογενή Γραµµικά Συστήµατα Ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα ενός τετραγωνικού πίνακα Παρατηρήσεις Παραδείγµατα (στις Ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα) ιάφοροι ειδικοί πίνακες (όµοιοι, ισοδύναµοι, διαγωνιοποιήσιµοιδιαγωνιοποίηση πίνακα, θετικά-αρνητικά ορισµένοι πίνακες, τετραγωνικές µορφές) Γενικές Παρατηρήσεις-Συµπληρώµατα (Θεώρηµα Caylay-Hamilton, αλγεβρική-γεωµετρική πολλαπλότητα ιδιοτιµής, Θεώρηµα φάσµατος, Ρίζες πίνακα, Ιδιόµορφες τιµές (singular values-έναντι ιδιοτιµών) Γενικές Ασκήσεις Άλγεβρες Boole Ορισµός Άλγεβρας Boole Ιδιότητες Άλγεβρας Boole Παραδείγµατα αλγεβρών Boole 378 Κεφάλαιο 5 ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Εισαγωγή- Ιστορικό στα διανύσµατα Βασικές έννοιες (υποµνήσεις) διανυσµάτων Γινόµενα διανυσµάτων Γενικές Ασκήσεις-Εφαρµογές (στον ιανυσµατικό Λογισµό) Κεφάλαιο 6 ο : ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γενικά - Συστήµατα συντεταγµένων Ευθεία στο επίπεδο ( R ) Εξίσωση ευθείας-συντελεστής διεύθυνσης Εξίσωση ευθείας (από σηµείο και γνωστό συντελεστή διεύθυνσης) Εξίσωση ευθείας (από 2 γνωστά σηµεία) Εξίσωση ευθείας (από σηµείο και παράλληλη σε διάνυσµα) Γενική εξίσωση ευθείας Γωνία δυο ευθειών Παράλληλες και κάθετες ευθείες...416

8 - 8 - ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ-ΙΙ (Γιάννης Θεοδώρου) 2.8. Σχετική θέση δυο ευθειών Απόσταση σηµείου από ευθεία Κύκλος στο επίπεδο ( R ) Επίπεδο στον χώρο ( R ) ιανυσµατική εξίσωση επιπέδου Άλλες αναλυτικές µορφές του επιπέδου Τέσσερα σηµεία συνεπίπεδα Η ευθεία στον χώρο ( R ) Συνθήκες παραλληλίας-τοµής δυο επιπέδων Απόσταση σηµείου από επίπεδο Γωνία δυο επιπέδων Συνθήκη συνεπίπεδων ευθειών Καµπύλες 2 ου βαθµού Έλλειψη Υπερβολή Παραβολή Παρατηρήσεις Πολικό σύστηµα συντεταγµένων Ευθεία σε πολικές συντεταγµένες Κύκλος σε πολικές συντεταγµένες Εξίσωση σφαίρας Εφαπτόµενο επίπεδο σφαίρας Σφαιρικές συντεταγµένες Κυλινδρικές συντεταγµένες Μετασχηµατισµός συντεταγµένων στον χώρο Περί επιφανειών Ελλειψοειδές Άλλες επιφάνειες 2 ου βαθµού..443 Κεφάλαιο 7 ο : ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Εισαγωγή-Μιγαδικοί Αριθµοί Ιδιότητες µιγαδικών Μέτρο µιγαδικού αριθµού Γεωµετρική παράσταση µιγαδικών αριθµών σε καρτεσιανές συντεταγµένες Όρισµα µιγαδικού αριθµού Πολική µορφή µιγαδικού αριθµού Τριγωνοµετρική µορφή µιγαδικού αριθµού Εκθετική µορφή µιγαδικού αριθµού Παραδείγµατα-Εφαρµογές (στις µορφές των µιγαδικών) Ιδιότητες µιγαδικών αριθµών. 465

9 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ν-οστές ρίζες µιγαδικού αριθµού Λογάριθµος µιγαδικού αριθµού Παραδείγµατα-Εφαρµογές (στους µιγαδικούς) Στοιχεία µιγαδικών συναρτήσεων Γενικές Ασκήσεις..485 Κεφάλαιο 8 ο : ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Γενικευµένα Ολοκληρώµατα Γενικευµένα Ολοκληρώµατα 1 ου είδους Γενικευµένα Ολοκληρώµατα 2 ου είδους και µικτού είδους Κεφάλαιο 9 ο : ΣΕΙΡΕΣ Γενικά περί σειρών Ορισµός σειράς-σύγκλιση σειράς Ιδιότητες συγκλινουσών σειρών Σύγκλιση θετικών σειρών-κριτήρια σύγκλισης Εναλλάσσουσες σειρές (σύγκλιση) Απολύτως συγκλίνουσες και ηµι-συγκλίνουσες σειρές Ακέραιες σειρές ( υναµοσειρές) Ορισµός δυναµοσειράς Ιδιότητες δυναµοσειρών Ανάπτυγµα συνάρτησης σε δυναµοσειρά Μιγαδικές σειρές Γενικές Ασκήσεις 535 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ όρων (Index) ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΤΟΜΟΓΡΑΦΙΕΣ - ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ

10 ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ-ΙΙ (Γιάννης Θεοδώρου) Από την ελευθερία στο συρµατόπλεγµα, αρκεί µόνο ένα επιδέξιο χέρι. «στην Ελλάδα δεν έγινε Γαλλική Επανάσταση. Πράγµατι, στην Ελλάδα δεν έχει υπάρξει εποχή που ο λαός να έχει επιβάλει, έστω και στοιχειωδώς, τα δικαιώµατά του. Και η ευθύνη, εκφράζεται µε την ανευθυνότητα της παροιµιώδους φράσης: «εγώ θα διορθώσω το ρωµέϊκο; -Ναι, κύριε, εσύ θα διορθώσεις το ρωµέϊκο, στο χώρο και στον τοµέα όπου βρίσκεσαι.» Κορνήλιος Καστοριάδης Ε ιφανής Έλληνας φιλόσοφος ( )

11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (Τόµος-Ι) γράφεται µετά από πολύχρονη διδακτική εµπειρία του συγγραφέα σε όλες σχεδόν τις βαθµίδες εκπαίδευσης και κυρίως σε Τεχνολογικές Σχολές ΑΕΙ της χώρας. Είναι αρκετά δύσκολο σήµερα να πείσεις πραγµατικά (και όχι να πειθαναγκάσεις όπως συνήθως γίνεται) ένα σπουδαστή τεχνολογικής σχολής (όπως Ηλεκτρονικών Μηχανικών, ή Ηλεκτρολόγων, Πληροφορικής, κλπ), ότι δεν µπορείς να κατανοήσεις τα σύγχρονα τεχνολογικά προβλήµατα χωρίς σταθερά µαθηµατικά θεµέλια. Ότι δεν µπορείς να µελετήσεις π.χ. Θεωρία Σηµάτων-Συστηµάτων ή ΣΑΕ χωρίς επαρκές µαθηµατικό υπόβαθρο στους Γραµµικούς Μετασχηµατισµούς & ιαφορικές εξισώσεις, ή ηλεκτροµαγνητισµό, τηλεπικοινωνίες και προγραµµατισµό, χωρίς Μιγαδικούς, Ολοκληρώµατα, Πίνακες και ιανύσµατα. Προφανώς και δεν ευθύνονται βέβαια οι φοιτητές για αυτά τα προβλήµατα ασυµβατότητας µεταξύ Θεωρίας και Πράξης, όσο ίσως ο τρόπος εισαγωγής τους στα ΑΕΙ, αλλά κυρίως (κατά τη γνώµη του γράφοντος) η έλλειψη παραγωγικής διαδικασίας και σύνδεσης µε την εκπαίδειση, καθώς και η ανυπαρξία κατασκευαστικής δράστηριότητας στη χώρα µας ιδίως κατά τα τελευταία χρόνια. Το βιβλίο αυτό χωρίζεται σε δύο Μέρη, Μέρος Α ( ιαφορικός & Ολοκληρωτικός Λογισµός µιας Μεταβλητής) και Μέρος Β (Στοιχεία Μιγαδικών, ιανυσµάτων, Αναλ. Γεωµετρίας, κλπ), και σε 9 Κεφάλαια, όπου επιχειρείται να παρουσιαστούν οι βασικές µαθηµατικές έννοιες και υπολογιστικές διαδικασίες µε τρόπο εύληπτο για αυτόν που δεν έχει για αυτοσκοπό αλλά χρησιµοποιεί ως εργαλείο τα µαθηµατικά, χωρίς όµως υπεραπλουστεύσεις και πρακτικισµούς που θα διαστρέβλωναν τη σαφήνεια και τη στοιχειώδη αυστηρότητα του µαθηµατικού κελύφους των λογισµών. ίνονται αρκετά λυµένα παραδείγµατα µετά από κάθε ενότητα (συνήθως όπως αυτά που έχουν υποστεί τη δοκιµασία της αίθουσας διδασκαλίας) καθώς και αρκετές παρόµοιες άλυτες ασκήσεις µε τις απαντήσεις τους, ενώ υποδεικνύεται κατάλληλη βιβλιογραφία για αυτόν που επιθυµεί να επεκταθεί ή να εµβαθύνει περαιτέρω. Επιχειρείται επίσης να δοθεί ει δυνατόν το νόηµα, δηλ. η διαισθητική-ρεαλιστική έννοια των µαθηµατικών όρων, ενώ συχνά αναφέρονται σχετικά ιστορικά στοιχεία. Ευχαριστίες οφείλω και από αυτή τη θέση σε όλους όσοι βοήθησαν στη δηµιουργία αυτού του βιβλίου, όπως οι εκατοντάδες σπουδαστές µου επί χρόνια µε τις παρεµβάσεις τους και τις απορίες τους στα µαθήµατα, στους συναδέλφους µου για τις εύστοχες παρατηρήσεις τους, καθώς βέβαια και στη γυναίκα µου φιλόλογο Βασιλική Πολυµέρου για την ανοχή της και την εν γένει συµβολή της. Τέλος, µε δεδοµένο «ότι κανένα βιβλίο δεν έλαβε ποτέ την τελική του µορφή-honoré De Balzac», είναι αυτονόητο ότι κάθε παρατήρηση ή υπόδειξη είναι ευπρόσδεκτη, teo@teilam.gr. Γιάννης Αθ. Θεοδώρου ρ. Μαθηµατικών-Καθηγητής ΑΕΙ Στερεάς Ελλάδας Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών τ.ε.

12 ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ-ΙΙ (Γιάννης Θεοδώρου) Από τα Μαθηµατικά της Φύσης στα Μαθηµατικά του Ανθρώπου ΤΑ ΝΕΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η σηµερινή προσπάθεια των επιστηµόνων και κυρίως αυτών που ασχολούνται µε την τεχνητή νοηµοσύνη είναι να µελετήσουν και να κατανοήσουν τη δοµή της φυσικής γλώσσας του ανθρώπου και κατ επέκταση του τρόπου σκέπτεσθαι, της νόησης του ανθρώπου. Η γλώσσα κατά τον Πλάτωνα-Σωκράτη είναι µια θεϊκή εφεύρεση, η οποία αποτέλεσε ένα από τους βασικούς λόγους απόσχισης του ανθρώπινου είδους από τα υπόλοιπα ζωικά είδη και την εµφάνιση του λεγόµενου πολιτισµού. Γενικότερα η προσπάθεια των επιστηµόνων, στην περίοδο της «Κοινωνίας της Πληροφορίας» έχει εστιασθεί στην κατανόηση του ίδιου του ανθρώπου και κύρια των µηχανισµών πάνω στους οποίους στηρίζεται η ανθρώπινη ευφυΐα. Έτσι η σηµαντικότερη συνέπεια της µετάβασης στην κοινωνία της πληροφορίας, είναι η µετατόπιση του κέντρου του ενδιαφέροντος από τα µαθηµατικά της φύσης στα µαθηµατικά του ανθρώπου! Πώς βλέπει, πώς ακούει, πώς αντιλαµβάνεται τα χρώµατα, ποια είναι η δοµή και η λειτουργία (νευροφυσιολογία) του εγκεφάλου του ανθρώπου, πώς λειτουργούν τα νευρωνικά του δίκτυα κλπ. Τις τελευταίες δεκαετίες η σχετική παραγωγή γνώσης είναι πολύ µεγαλύτερη από όλα τα προηγούµενα χρόνια! Ας δούµε όµως ποια είναι τα βασικά χαρακτηριστικά αυτής της µετατόπισης. Αυτά τα χαρακτηριστικά περιγράφονται µε θαυµάσιο τρόπο στο άρθρο του J.E. Cohen: «Τα Μαθηµατικά είναι το επόµενο µικροσκόπιο της Βιολογίας, µόνο που είναι καλύτερο η Βιολογία είναι η επόµενη Φυσική των Μαθηµατικών, µόνο που είναι καλύτερη» (Mathematics is biology s next microscope, only better; biology is mathematics next physics, only better, PLOS Biology 2 (2004) No.12.). Στο πιο πάνω άρθρο, διαθέσιµο από την διεύθυνση βρίσκουµε: «Η Βιολογία (στα επόµενα χρόνια) θα υποκινήσει θεµελιωδώς νέα µαθηµατικά γιατί η έµβια φύση είναι ποιοτικά πιο ετερογενής (ανοµοιόµορφη) από ότι η ανόργανη φύση. Για παράδειγµα, έχει εκτιµηθεί ότι υπάρχουν είδη πετρωµάτων και ορυκτών στο επιφανειακό στρώµα της γης, τα οποία έχουν παραχθεί από τα περίπου εκατό στοιχεία που εµφανίζονται στη φύση. Αντίθετα υπάρχουν πιθανώς µεταξύ 3 και 100 εκατοµµυρίων βιολογικά είδη στη γη που έχουν παραχθεί από ένα µικρό ποσοστό των στοιχείων που εµφανίζονται στη φύση. Αν τα είδη των πετρωµάτων και ορυκτών µπορούσαν να συγκριθούν µε τα είδη των ζώντων οργανισµών, ο έµβιος κόσµος έχει τουλάχιστον εκατονταπλάσια ποικιλοµορφία από ότι ο ανόργανος... Για να αντιµετωπισθεί αυτή η υπερποικιλοµορφία της ζωής σε κάθε επίπεδο πραγµατικότητας της χωρικής και χρονικής οργάνωσης θα χρειασθούν θεµελιώδεις εννοιολογικές εξελίξεις στα µαθηµατικά». [Βλ. και Εισαγωγή στη Μαθηµατική Σκέψη, Κώστα Α. ρόσου, Πάτρα, 2000].