θα επιβρα δύνεται. Επειδή η F! /Μ και θα ισχύει η σχέση: /t!

Transcript

1 Ξύλινο κιβώτιο µάζας M κινείται πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο µε ταχύτητα µέτρου v 0. Ένα βλήµα µάζας m, κινούµενο αντίρροπα προς το κιβώτιο προσπίπτει σ αυτό µε ταχύ τητα µέτρου v 0 και εξέρχεται από αυτό µε ταχύτητα µέτρου v 0 /5. i) Να βρείτε την συνθήκη, ώστε το κιβώτιο λόγω της κρούσεως να αλλάξει φορά κινήσεως. ii) Εάν η αναστροφή κινήσεως του κιβωτίου συµβεί ύστερα απο χρόνο t α από την έναρξη της κρούσεως, να βρέθουν οι µετατοπίσεις του κιβωτίου και του βλήµατος ως προς το ακίνητο δάπεδο, κατά τον χρόνο εισχώρησης του βλήµατος στο κιβώτιο. Nα δεχθείτε ότι η δύναµη που δέχεται το βλήµα από το ξύλο κατά την διεύθυνση της εισχώρησής του µέσα σ αυτό είναι σταθερή. ΛYΣH: i) Στην διάρκεια της εισχώρησης του βλήµατος στο ξύλινο κιβώτιο η συνισταµένη των εξωτερικών δυνάµεων επί του συστήµατος είναι µηδε νική, που σηµαίνει ότι η ορµή του διατηρείται κατά τον χρόνο αυτόν, δηλα δή ισχύει η σχέση: mv 0 - Mv 0 = MV + mv 0 /5 8mv 0-5Mv 0 = 5MV V = v 0 ( 8m - 5M) / 5M (1) όπου V η αλγεβρική τιµή της ταχύτητας V του κιβωτίου αµέσως µετα την έξοδο του βήµατος. Για να αναστραφεί η κίνηση του κιβωτίου πρέπει: Σχήµα 1 (1) V > 0 v 0 ( 8m - 5M) / 5M > 0 8m - 5M > 0 m / M > 5 / 8 ()

2 H () αποτελεί την ζητούµενη συνθήκη. ii) Eάν F είναι η δύναµη που δέχεται το κιβώτιο από το βλήµα στην διάρ κεια της εισχώρησής του µέσα σ αυτό, τότε κατά το αξίωµα της ισότητας µεταξύ δράσεως-αντιδράσεως η δύναµη που δέχεται το βλήµα από το κιβώ τιο θα είναι - F. Tο κιβώτιο υπό την επίδραση της F αρχικά θα επιβραδύ νεται µέχρις ότου µηδενιστεί η ταχύτητα του την στιγµή t α που θα αναστραφεί η κίνησή του και στην συνέχεια θα επιταχύνεται µέχρις ότου το βλήµα εξέλθει από αυτό, ενώ το βλήµα υπό την επίδραση της - F θα επιβρα δύνεται. Επειδή η F είναι σταθερή η κίνηση του κιβωτίου είναι οµαλά µεταβαλλόµενη µε επιτάχυνση F /Μ και θα ισχύει η σχέση: 0 = -v 0 + Ft / M F = Mv 0 /t () όπου F το µέτρο της F. Εφαρµόζοντας για το βλήµα το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου κατά τον χρόνο εισχώρησής του παίρνουµε: ( ) (" K ) ($ B - K ) B = W - m v / 5 0 F - m ( v 0 ) = -FS B () mv mv 0 = -FS B 48mv 0 5 = Mv 0 t S B S B = 48mv 0 t 5M (3) όπου S B η ζητούµενη µετατόπιση του βλήµατος ως προς το ακίνητο δάπεδο. Εφαρµόζοντας εξάλλου για το κιβώτιο το ίδιο θεώρηµα και για τον ίδιο χρό νο, παίρνουµε την σχέση: K K (" ) - K K ($ ) = W F MV - Mv (1) 0 = FS K Mv 0 8m - 5M$ " 5M - Mv () 0 = FS K Mv 0 8m " 5M - 1 $ ) ( ) * - 1, +, = Mv 0 S t K v 0-8m " 5M - $ 8m 5M = S K t S K = 8m 4m 5M " 5M - 1 $ v 0 t (4) όπου S K η ζητούµενη µετατόπιση του κιβωτίου ως προς το ακίνητο δάπεδο. P.M. fysikos

3 Mια σφαίρα είναι δεµένη στο άκρο αβαρούς και µη εκτατού νήµατος, του οποίου το άλλο άκρο είναι στερεωµένο σε ακλόνητο σηµείο Ο. Η σφαίρα κρατείται στην θέση Α όπου το νήµα είναι τεντωµένο και σχηµατίζει γωνία φ=π/4 µε την κατακόρυφη διεύθυνση (σχ. α). Κάποια στιγµή η σφαίρα αφήνεται ελεύθερη και όταν φθάνει στην θέση Β συµµετρική της Α ως προς την κατα κόρυφη συγκρούεται µε όµοια σφαίρα που προσπίπτει σ αυτήν κατακόρυφα µε ταχύτητα v 0, κατά δε την επαφή των σφαιρών η διάκεντρός τους είναι κάθετη στο νήµα. Εάν οι σφαίρες είναι λείες και τελείως ελαστικές να βρεθει το µέτρο της v 0, ώστε η σφαίρα που είναι δεµένη στο νήµα να φθάσει σε µια ανώτατη θέση Γ µε το νήµα τεντωµένο και µε κλiση θ=5π/1 ως προς την κατακόρυφη διεύθυνση. Δίνεται η απόσταση L του κέντρου της σφαίρας από το Ο και η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: H σφαίρα που είναι δεµένη στο νήµα όταν αφεθεί ελεύθερη στην θέση Α εκτελεί κυκλική κίνηση µε κέντρο το Ο και ακτίνα L, φθάνει δε στην θέση Β µε µηδενική ταχύτητα. Σύµφωνα µε τα δεδοµένα του προβλή µατος η σφαίρα αυτή συγκρούεται ελαστικά µε όµοια σφαίρα η κρούση δε αυτή είναι πλάγια κεντρική, διότι η ταχύτητα προσκρουσης σχηµατίζει γωνία φ=π/4 µε την διάκεντρο των δύο σφαιρών η οποία αποτελεί και την ευθεία κρουσης (n) αυτών (σχ. β). Επειδή οι σφαίρες έχουν την ίδια µάζα συµβαίνει αµέσως µετά την ελαστική κρούση τους ανταλλαγή ταχυτήτων, κατά την διεύθυνση (n). Έτσι η ταχύτητα της σφαίρας που είναι δεµένη στο Σχήµα α Σχήµα β νήµα αµέσως µετά την κρούση είναι ίση µε την συνιστώσα v n της ταχύτη τας v 0 κατά την διεύθυνση (n), η δε αντίστοιχη ταχύτητα της άλλης σφαίρας είναι µηδενική. Είναι προφανές ότι η ταχύτητα v n ως κάθετη στο νήµα είναι συµβατή µε τον δεσµό που επιβάλλει το νήµα στην σφαίρα. Η σφαίρα έχοντας αρχική ταχύτητα v n στην θέση Β κινείται υπό την επίδραση του βάρους της και της τάσεως του νήµατος επί κυκλικής τροχιάς κέντρου Ο και ακτίνας L (σχ. 3) και φθάνει στην θέση Γ µε µηδενική ταχύτητα, όπου το νήµα σχηµατίζει µε την κατακόρυφη διεύθυνση γωνία θ=5π/1. Εφαρµόζοντας για την σφαίρα το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας µεταξύ των θέσεων Β και Γ παίρνουµε την σχέση:

4 K B + U B = K + U mv n / + 0 = 0 + mgh ( ) ( v 0 "$ ) = g( L"$ - L" ) v n = g O B - O " v 0 " ($ / 4) = gl ["($ / 4) - "(5$ /1)] (1) Όµως έχουµε: Σχήµα 3 " 5$ ( 1) * = " $ 4 + $ ( 6 ) * = " $ ( 4 ) * " $ ( 6 ) * - +µ $ ( 4 ) * +µ $ ( 6 * ) " 5$ ( * = 1) 3-1 = 4 ( 3-1) οπότε η σχέση (1) γράφεται: $ v 0 " ( ) = gl 3-1 * ) -, ) 4, () +, v 0 = ( 3-3)gL v 0 = ( 3-3)gL P.M. fysikos Σφαιρίδιο µάζας m, προσκρούει πλάγια µε ταχύτητα v πάνω σε σφαίρα µάζας M (M>m) και ακτίνας r, που είναι δεµένη στο ένα άκρο αβαρούς και µη εκτατού νήµατος µή κους L, του οποίου το άλλο άκρο έχει στερεωθεί σε ακλόνητο σηµείο Ο (σχ. 4α). i) Eάν οι δύο σφαίρες είναι λείες, η κρούση τους ελαστική και µετωπική διαρκεί δε πολύ µικρό χρόνο Δt, να βρεθεί η µέση τάση του νήµατος για τον χρόνο αυτό. ii) Nα βρεθεί η τάση του νήµατος αµέσως µετά την κρούση.

5 Δίνεται η γωνία φ που σχηµατίζει ο φορέας της ταχύτητας v µε την οριζόντια διεύθυνση, η επιτάχυνση g της βαρύτητας και ότι η µετα τόπιση των δύο σφαιρών στον χρόνο Δt είναι αµελητέα. ΛYΣH: i) Επειδή οι δύο σφαίρες είναι λείες η ωστική δύναµη κρούσεως f 1 που δέχεται το σφαιρίδιο µάζας m είναι αντίρροπη της ταχύτητας πρόσκρου σής του v, που σηµαίνει ότι η ταχύτητα ανάκλασής του v θα είναι συνευ θειακή της v και έστω ότι η φορά της είναι αυτή του σχήµατος (4γ). Εξάλλου αµέσως µετά την κρούση η ταχύτητα V της σφαίρας µάζας Μ θα είναι αναγκαστικά οριζόντια, λόγω του δεσµού που επιβάλλει στην σφαίρα αυτή το κατακόρυφο νήµα (σχ. 4γ). Πρέπει να παρατηρήσουµε ότι στην διάρ Σχήµα 4α Σχήµα 4β Σχήµα 4γ κεια της κρούσεως το σύστηµα των δύο σφαιρών είναι µηχανικά µονωµένο κατά τον οριζόντιο άξονα x, διότι δεν δέχεται οριζόντιες εξωτερικές δυνά µεις. Έτσι η ορµή του συστήµατος στον οριζόντιο άξονα δεν µεταβάλλεται στη διάρκεια του χρόνου Δt της κρούσεως, δηλαδή ισχύει: mv x + 0 = -m v x + MV mv"$ = -m v "$ + MV m( v + v )"$ = MV v + v = MV/m"$ (1) όπου v x, v x οι οριζόντιες συνιστώσες των ταχυτήτων v και v αντιστοίχως. Επειδή η κρούση των δύο σφαιρών είναι ελαστική η κινητική ενέργεια του συστήµατος λίγο πριν την κρούση είναι ίση µε την κινητική του ενέργεια αµέσως µετά την κρούση, δηλαδή έχουµε την σχέση: mv v + 0 = m + MV m ( v - v ) = MV ( )( v - v ) = MV () m v + v Διαιρώντας κατά µέλη τις (1) και () παίρνουµε: v - v = V"$ (3)

6 Προσθέτοντας κατά µέλη τις (1) και (3) παίρνουµε: v = MV/m"$ + V"$ v = V"$ ( 1 + M/m) V = v ( 1 + M/m)"$ = mv ( m + M)"$ (4) Συνδυάζοντας τις (3) και (4) τελικώς θα έχουµε: ( ) v = v M - m m + M > 0 (5) δηλαδή η φορά του διανύσµατος v σχεδιάστηκε σωστά. Λόγω της πολύ µικρής διάρκειας της κρούσεως η µετατόπιση των σφαιρών στον χρόνο Δt είναι ασήµαντη, οπότε µπορούµε να ισχυριστούµε ότι κατά την κρούση το νήµα παραµένει περίπου κατακόρυφο, δηλαδή η κατεύθυνση της τάσεως T του νήµατος δεν µεταβάλλεται, όµως µεταβάλλεται το µέτρο της µε αποτέλεσµα να συµβάλλει µε ουσιαστικό τρόπο στην µεταβολή της ορµής του συστήµατος κατά την κρούση. Στο σηµείο αυτό είναι απαραίτητο να διευκρινήσουµε την έννοια της µέσης τιµής του µέτρου της τάσεως T για τον χρόνο Δt. Ας φανταστούµε ότι το µέτρο της T µένει σταθερό κατά τον χρόνο Δt µε τιµή T µ τέτοια, ώστε η σταθερή πλέον τάση του νήµατος να συµβάλλει στην διαµόρφωση της µεταβολής της ορµής του συστήµατος όσο και η πραγµατική µεταβλητή τάση. Η σταθερή αυτή τιµή T µ εξ ορισµού αποτελεί το µέτρο της µέσης τάσεως του νήµατος για τον χρόνο Δt. Mε βάση τον ορισµό αυτό µπορούµε να δεχτούµε ότι η µεταβολή της ορµής του συστήµατος κατά την κατακόρυφη διεύθυνση y στον χρόνο Δt οφείλεται στα σταθερά βάρη m g, M g των δύο σφαιρών και στην σταθερή µέση τάση T µ του νήµατος. Εφαρµόζοντας κατά την κατακόρυφη διεύθυνση y για κάθε σφαίρα τον ο νόµο του Νεύτωνα υπό την γενικευµένη µορφή του παίρνου µε: P 1,y /t = -mg + f 1,y " [ m v - ( -mv )] /"t = -mg + f y y 1,y $ P,y /t = -Mg - f,y + T µ $ 0 = -Mg - f,y + T µ m ( v + v)"µ /$t = -mg + f 1,y 0 = -Mg - f,y + T µ ( (+ ) m ( v + v)"µ $t = -( m + M)g + f 1,y - f,y + T µ (6) όπου f 1,y f,y οι µέσες τιµές των µέτρων των κατακόρυφων συνιστώσων των δυνάµεων κρούσεως f 1 και f αντιστοίχως. Όµως κάθε στιγµή οι δυνάµεις κρούσεως είναι αντίθετες, οπότε θα ισχύει f 1,y =f,y και η (6) γράφεται:

7 m ( v + v)"µ $t T µ = m ( v + v )"µ $t = -( m + M)g + T µ (5) + ( m + M)g T µ = mv M - m " m + M + 1 $ µ( )t + ( m + M )g T µ = mmvµ" ( m + M)t + ( m + M )g (7) Παρατήρηση: Λόγω της εµφάνισης του χρόνου Δt στον παρονοµαστή του κλάσµατος στον πρώτο όρο του δεύτερου µέλους της (7) ο όρος αυτός είναι πολύ µεγαλύτερος του όρου (M+m)g και η σχέση (7) µε καλή προσέγγιση παίρνει την µορφή: F µ mmv"µ ( m + M)$t ii) Eάν T είναι η τάση του νήµατος αµέσως µετά την κρούση, τότε η συνι σταµένη αυτής και του βάρους M g της δεµένης στο νήµα σφαίρας αποτελεί κεντροµόλο δύναµη για την σφαίρα την στιγµή αυτή, δηλαδή ισχύει: (8) T - Mg = MV L + r (4) M $ T = Mg + " L + r 4m v ( m + M) () * 4Mm v T = Mg + ( L + r) m + M ( ) " $ (9) P.M. fysikos Το σώµα A του σχήµατος (5α) έχει µάζα M και ηρεµεί πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Κάποια στιγµή προσπίπτει στην λεία κεκλιµένη επιφάνεια του σώµατος ελαστική σφαίρα µάζας m<m µε ταχύτητα v, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στην κεκλιµένη επιφάνεια του σώµατος και ανακλάται. i) Να βρεθεί ποιο κλάσµα της κινητικής ενέργειας της σφαίρας µεταφέρεται µέσω της κρούσεως στο σώµα. ii) Eάν o χρόνος επαφής της σφαιρας µε την κεκλιµένη επιφάνεια είναι Δt µε Δt 0, να βρεθεί η µέση δύναµη κρούσεως που δέχεται η σφαίρα κατά τον χρόνο Δt.

8 Δίνεται η γωνία κλίσεως φ της κεκλιµένης επιφάνειας του σώµατος ως προς την οριζόντια διεύθυνση. ΛΥΣΗ: i) Επειδή η κεκλιµένη επιφάνεια επί της οποίας προσπίπτει η σφαίρα είναι λεία η ωστική δύναµη κρούσεως f 1 που δέχεται η σφαίρα είναι αντίρροπη της ταχύτητας πρόσκρουσής της v, που σηµαίνει ότι η ταχύτητα ανάκλασής της v θα είναι συνευθειακή της v (σχ. 5γ). Εξάλλου αµέσως µετά την κρούση η ταχύτητα V του σώµατος A θα είναι αναγκαστικά οριζόντια, λόγω του δεσµού που επιβάλλει η επαφή του µε το λείο οριζόντιο δάπεδο. Παρατηρούµε ακόµη ότι κατά τον χρόνο Δt της κρούσεως το σύστη µα σφαίρα-σώµα A είναι µηχανικά µονωµένο κατά τον οριζόντιο άξονα x, διότι δεν δέχεται οριζόντιες εξωτερικές δυνάµεις. Έτσι η ορµή του συστή µατος κατά τον άξονα αυτόν δεν µεταβάλλεται στην διάρκεια του χρόνου Δt, δηλαδή ισχύει: -mv x + 0 = -MV + m v x -mvµ" = -MV + m v µ" m( v + v )"µ = MV (1) Σχήµα 5α Σχήµα 5β Σχήµα 5γ όπου v x, v x οι οριζόντιες συνιστώσες των ταχυτήτων v και v αντιστοίχως. Επειδή η κρούση είναι ελαστική η κινητική ενέργεια του συστήµατος λίγο πριν την κρούση είναι ίση µε την κινητική του ενέργεια αµέσως µετά την κρούση, δηλαδή έχουµε την σχέση: mv v + 0 = m + MV m ( v - v ) = MV ( )( v - v ) = MV () m v + v Διαιρώντας κατά µέλη τις (1) και () παίρνουµε: ( v - v ) / "µ = V v - v = V"µ (3) Προσθέτοντας κατά µέλη τις (1) και (3) παίρνουµε: v = MV/mµ" + Vµ" v = Vµ" ( 1 + M/m)

9 v V = ( 1 + M/m)µ" = mv ( m + M)µ" (4) Συνδυάζοντας τις (3) και (4) τελικώς θα έχουµε: ( ) v = v M - m m + M > 0 (5) δηλαδή η φορά του διανύσµατος v είναι αυτή που εξ αρχής σχεδιάστηκε. H κινητική ενέργεια Κ Α που αποκτά το σώµα Α µέσω της κρούσεως, δίνεται από την σχέση: K A = MV (4) K A = 4Mm v ( ) µ " m + M K A = mv 4Mm ( m + M) µ " K 4Mm A = K m + M ( ) "µ K A K = 4Mm ( m + M) "µ (6) όπου Κ Σ η κινητική ενέργεια της σφαίρας λίγο πριν την κρούση. Η σχέση (6) παρέχει το ζητούµενο κλάσµα. ii) Λόγω της πολύ µικρής διάρκειας της κρούσεως η µετατόπιση της σφαιρας και του σώµατος Α είναι ασήµαντη, οπότε µπορούµε να ισχυριστού µε ότι κατά τον χρόνο Δt η δύναµη κρούσεως f 1 που δέχεται η σφαίρα διατη ρεί σχεδόν σταθερή κατεύθυνση, ενώ το µέτρο της µεταβάλλεται. Η µέση τιµή της f 1 για τον χρόνο Δt είναι εξ ορισµού η σταθερή εκείνη δύναµη f 1(µ ) η οποία συµβάλλει στην διαµόρφωση της µεταβολής της ορµής της σφαίρας στον χρόνο Δt όσο και η πραγµατική δύναµη κρούσεως f 1. Εφαρµόζοντας κατά την κατακόρυφη διεύθυνση y για την σφαίρα τον ο νόµο του Νεύτω να υπό την γενικευµένη µορφή του παίρνουµε: y P 1,y /t = -mg + f 1(µ ) y [ ( )] /"t = -mg + f 1(µ ) m v y - -mv y m ( v + v)"$ /t = -mg + f 1(µ ) "$ (7) y όπου f 1(µ ) η µέση τιµή του µέτρου της κατακόρυφης συνιστώσας της δύνα µης κρούσεως f 1 και m g το βάρος της σφαίρας. Συνδυάζοντας την σχέση (7) µε την (5) παίρνουµε: mv M - m " m + M + 1 $ ()* +t = -mg + f 1(µ ) ()*

10 f 1(µ ) "$ = mmv"$ m + M ( )t + mg (8) Όµως η παρουσία του χρόνου Δt στον παρονοµαστή του κλάσµατος στον πρώτο όρο του δεύτερου µέλους της (8) καθιστά τον όρο αυτόν πολύ µεγα λύτερο του όρου mg ο οποίος µπορεί να παραληφθεί και η σχέση (8) µε καλή προσέγγιση γράφεται: f 1(µ ) "$ mmv"$ m + M ( )t f 1(µ ) mmv m + M ( )"t P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος (6) οι τροχαλίες τ 1, τ έχουν αντίστοιχες µάζες Μ 1, Μ και ακτίνες R, R/, µπορούν δε να στρέφονται περί σταθερούς οριζόντιους άξονες που διέρχονται από τα κέντρα τους. Από τα αυλάκια των τροχαλίών διέρχεται αβαρές και µη εκτατό νήµα στις ελεύθερες άκρες του οποίου είναι στερεωµένα τα σώµατα Σ 1, Σ µε αντίστοιχες µάζες m 1, m (m 1 >m ). Κάποια στιγµή τα σώµατα αφήνονται ελεύθερα να κινηθούν. Nα βρεθούν: i) οι επιταχύνσεις των δύο σωµάτων και ii) η τάση του οριζόντιου τµήµατος ΜΝ του νήµατος. Δίνoνται οι ροπές αδράνειας I 1 =Μ 1 R / και Ι =(Μ /)(R/) των τρο χαλιών τ 1 τ αντιστοίχως ως προς τους άξονες περιστροφής τους, η επιτάχυνση g της βαρύτητας και ότι το νήµα δεν ολισθαίνει στα αυλάκια τους. ΛYΣH: i) Εάν το σώµα Σ 1 ανέρχεται µε επιτάχυνση a τότε το σώµα Σ θα κατέρχεται µε επιτάχυνση - a, διότι το νήµα που διέρχεται από τα αυλάκια των δύο τροχαλιών είναι µη εκτατό. Τα σώµατα Σ 1 και Σ δέχονται τα βάρη τους m 1 g, m g αντιστοίχως και τις αντίστοιχες τάσεις T 1, T των νηµάτων που τα συγκρατούν (σχ. 6) σύµφωνα δε µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα θα έχουµε τις σχέσεις: T 1 - m 1 g = m 1 a " m g - T = m a (1) Eξάλλου oι τροχαλίες τ 1 και τ στρέφονται περί τους σταθερούς άξονές τους δεξιόστροφα, η µεν τ 1 υπό την επίδραση των ροπών περί το κέντρο της των τάσεων T 1 και F του νήµατος που περιβάλλει το αυλάκι της, η δε τ υπό την επίδραση των αντίστοιχων ροπών των τάσεων T και - F του αντίστοι χου νήµατος. Εφαρµόζοντας για τις τροχαλίες τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε τις σχέσεις:

11 FR - T 1 R = I 1 " 1 $ T R/ - FR/ = I " FR - T 1 R = M 1 R " 1 / T R/ - FR/ = M R " /8 $ F - T 1 = M 1 R " 1 / T - F = M R " /4 $ () Σχήµα 6 όπου " 1, " οι γωνιακές επιταχύνσεις των τροχαλιών τ 1 και τ αντιστοίχως. Όµως το νήµα είναι αβαρές, οπότε θα ισχύει T 1 =- T 1 και T =- T και επειδή κάθε στιγµή τα σηµεία M και Ν των τροχαλιών έχουν την ίδια ταχύτητα θα ισχύει ακόµη η σχέση: 1 R = R/ 1 = / " 1 = " / (3) όπου 1, οι γωνιακές ταχύτητες των τροχαλιών τ 1 και τ αντιστοίχως. Έτσι οι σχέσεις () σε συνδυασµό και µε την ω 1 R=a παίρνουν την µορφή: F - T 1 = M 1 R " 1 / T - F = M R " 1 / $ F - T = M a/ 1 1 " T - F = M a/ (4) Προσθέτοντας κατά µέλη τις (4) έχουµε: (1) T - T 1 = ( M 1 + M )a/ m g - m a - ( m 1 g + m 1 a) = ( M 1 + M )a/ ( m - m 1 )g = ( M 1 / + M / + m 1 + m )a

12 ( m - m 1 )g = ( M 1 + M + m 1 + m )a a = ( m - m 1 )g ( ) M 1 + M + m 1 + m (5) ii) Συνδυάζοντας µεταξύ τους τις πρώτες σχέσεις των (4) και (1), παίρνουµε: (5) F - ( m 1 g + m 1 a) = M 1 a/ F = m 1 g + ( M 1 / + m 1 )a F = m 1 g + ( m - m 1 )( M 1 / + m 1 )g M 1 + M + m 1 + m ( ) ( F = m 1 g + m - m 1 )( M 1 + m 1 )g M 1 + M + m 1 + m ( ) ( )( M 1 + m 1 ) ( ) F = m 1 + m - m 1 " M 1 + M + m 1 + m $ g P.M. fysikos Μια τροχαλία µάζας m και ακτίνας R εδράζεται πάνω σε δύο λεία ακλόνητα σφαιρίδια Α και Β, που οι επιβατικές τους ακτίνες ως προς το κέντρο Κ της τροχαλίας σχηµατίζουν µε την κατακόρυφη διεύθυνση Κx γωνία φ=π/1 (σχ. 7). Στο αυλάκι της τροχαλίας έχει περιτυλιχθεί αβαρές και µη εκτατό νήµα του οποίου το ελεύθερο άκρο έλκεται κατακόρυφα µε σταθερή δύναµη F, η οποία θέτει την τροχαλία σε περιστροφική κίνηση. i) Εάν σε χρόνο Τ ξετυλίγεται νήµα µήκους L, να βρεθεί η δύναµη έλξεως F. ii) Να υπολογιστούν οι δυνάµεις επαφής των σφαιριδίων επί της τροχαλίας. Δίνεται η ροπή αδράνειας I Κ =mr / της τροχαλίας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της Κ και είναι κάθετος στο επίπεδό της, η επιτάχυνση g της βαρύτητας και ότι το νήµα δεν ολισθαίνει στο αυλάκι της τροχαλίας. ΛYΣH: i) H τροχαλία δέχεται το βάρος της w, την δύναµη έλξεως F η οποία είναι εφαπτοµενική του αυλακιού της και τις δυνάµεις επαφής F A, F B από τα σφαιρίδια A και Β αντιστοίχως, των οποίων οι φορείς διέρχονται από το κέντρο της K. H κίνηση της τροχαλίας είναι γνήσια περιστροφή περί τον γεωµετρικό της άξονα και σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης ισχύει η σχέση:

13 " (K) = I K $ FR = mr " / F = mr " / " = F / mr (1) Από την (1) παρατηρούµε ότι η γωνιακή επιτάχυνση " της τροχαλίας είναι σταθερή, δηλαδή η περιστροφή της είναι οµαλά επιταχυνόµενη, οπότε η γωνία στροφής θ Τ αυτής σε χρόνο Τ θα υπολογίζεται από την σχέση: () T = " T / T = FT / mr () To µήκος L του νήµατος που θα ξετυλιχθεί σε χρόνο Τ είναι: () L = T R L = FT / m F = ml/t (3) Σχήµα 7 ii) Εξάλλου η συνισταµένη δύναµη που δέχεται η τροχαλία κατά την οριζόν τια και κατακόρυφη διεύθυνση είναι µηδενική, δηλαδή ισχύουν οι σχέσεις: F (x) = 0" F (y) = 0$ F Ax - F Bx = 0 " -F Ay - F By + F + mg = 0 F A µ" = F B µ" F A $" + F B $" = F + mg ( F = F A B ( F A + F B )"$ = F + mg (3) F A "$ = F + mg F A = F B = m ( L + ) gt T "$ F A "$ = ml/ T + mg (4) Παρατήρηση: Για τον υπολογισµό του συνφ θα χρησιµοποιήσουµε την τρι γωνοµετρική ταυτότητα "$ = " $ - µ $ = " $ - 1

14 η οπoία για φ=π/1 δίνει: " $ ( $ ( * = " * - 1 6) 1) 3 = $ ( " * - 1 1) $ ( 3 + = 4" 1) * "$ = " ) ( 1 + = * 3 + P.M. fysikos Στο καρούλι του σχήµατος (8) ενεργεί η δύναµη F, η οποία εφαρµόζεται στο άκρο A του νήµατος που περιβάλλει την κεντρική περιοχή του τυµπάνου του καρουλιού. To νήµα παρουσιάζει κλίση φ (0<φ<π/) ως προς την οριζόντια διεύθυνση είναι αβαρές και µη εκτατό και δεν ολισθαίνει πάνω στο καρούλι, ενώ οι κυκλικές βάσεις του καρουλιού εφάπτονται οριζόντιου δαπέ δου. i) Nα βρείτε τις αναγκαίες συνθήκες, ώστε το καρούλι να κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω στο οριζόντιο δάπεδο, στην περίπτωση που αυτό είναι λείο. ii) Εάν αλλάξουµε την διεύθυνση του νήµατος όπως δείχνεται στο σχήµα 9α, να βρείτε τις αναγκαίες συνθήκες, ώστε το καρούλι να κυλίεται χωρίς ολίσθηση µε µετατόπιση του άξονά του προς τα δεξιά, στην περίπτωση που το οριζόντιο δάπεδο δεν είναι λείο. iii) Tι συµβαίνει µε την κίνηση του καρουλιού, όταν ο φορέας της δύναµης F προεκτεινόµενος τέµνει την ευθεία επαφής του καρου λιού µε το οριζόντιο έδαφος; Δίνονται οι ακτίνες r, R του τυµπάνου και των κυκλικών βάσεων αντιστοίχως του καρουλιού (R>r), η ακτίνα αδράνειας Κ αυτού ως προς τον γεωµετρικό του άξονα και η µάζα του m. ΛΥΣΗ i) Έστω ότι το καρούλι κυλίεται στην περίπτωση που το οριζόντιο δάπεδο είναι λείο. Στο καρούλι ενεργεί το βάρος του w, η τάση του νήµατος που περιβάλει το αυλάκι του, ίση µε την δύναµη F που εφαρµόζεται στο άκρο του Α, η οποία αναλύεται στην οριζόντια συνιστώσα F x και στην κατα κόρυφη συνιστώσα F y και τέλος η κατακόρυφη δύναµη επαφής N απο το δάπεδο (σχ. 8). Η κύλιση του καρουλιού µπορεί να θεωρηθεί ως επαλληλία µιας οριζόντιας µεταφορικής κίνησης µε επιτάχυνση a C και µιας περιστρο φικής κίνησης περί τον οριζόντιο άξονά του µε γωνιακή επιτάχυνση. Εφαρµόζοντας για την µεταφορική κίνηση τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα έχουµε την σχέση: F x = ma C F"$ = ma C (1)

15 Εφαρµόζοντας εξάλλου για την περιστροφική κίνηση του καρουλιού τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση: Fr = I C " Fr = mk " Fr = mk a C / R () όπου τέθηκε " =a C /R λόγω της κυλίσεως του καρουλιού. Διαιρώντας κατά µέλη τις (1) και () παίρνουµε: "$ r = R Rr "$ = K K (3) Σχήµα 8 Επειδή κατά την κατακόρυφη διεύθυνση το καρούλι ισορροπεί ισχύει η σχέ ση: N + F y - mg = 0 N = mg - Fµ" (4) Όµως για να διατηρεί συνεχώς το καρούλι επαφή µε το δάπεδο πρέπει Ν 0, οπότε από την (4) προκύπτει: (3) mg F"µ mg > F 1 - " $ mg F 1 - R r K 4 F mgk K 4 - R r (5) µε K >Rr. Η (5) αποτελει την αναγκαία συνθήκη ώστε το καρούλι να κυλί εται πάνω στο λείο οριζόντιο δάπεδο. Παρατηρούµε ότι η κύλιση δεσµέυεται µόνο από το µέτρο της δύναµης F και όχι από την διεύθυνσή της, αφού η (5) είναι ανεξάρτητη της γωνίας φ. ii) Ας δεχθούµε ότι το µέτρο της δύναµης F και η τιµή της γωνίας φ προ καλούν έναρξη κύλισης χωρίς ολίσθηση του καρουλιού, µε µετατόπιση του γεωµετρικού του άξονα προς τα δεξιά. Τότε θα πρέπει το καρούλι να αρχίσει περιστρεφόµενο περί τον άξονά του δεξιόστροφα, ώστε να είναι δυνατός ο

16 µηδενισµός της εφαπτοµενικής επιτάχυνσης των σηµείων επαφής του E µε το οριζόντιο έδαφος. Στο καρούλι ενεργεί το βάρος του w, η δύναµη F που αναλύεται στην οριζόντια συνιστώσα F x και στην κατακόρυφη συνιστώσα F y και η δύναµη επαφής από το έδαφος που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και στην στατική τριβή T (σχ. 9α). Εάν a C είναι η επιτάχυνση του κέντρου µάζας του καρουλιού, σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα θα έχουµε: F x - T = ma C F"$ - T = ma C (6) Εφαρµόζοντας εξάλλου για την περιστροφική κίνηση του καρουλιού τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση: TR - Fr = I C TR - Fr = mk TR - Fr = mk a C /R T - Fr / R = mk a C /R (7) όπου η αντίστοιχη γωνιακή του επιτάχυνση, της οποίας το µέτρο λόγω της κύλισης είναι ίσο µα a C /R. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (6) και (7) παίρνου µε: F"$ - ma C = Fr / R + mk a C /R ( ) ( ) F "$ - r ( * = m 1 + K ( R ) R * ) a a = F "$ - r / R C C m 1 + K / R (8) Σχήµα 9α Σχήµα 9β Όµως για να εξασφαλίζεται η κύλιση προς τα δεξιά πρέπει: (8) a C >0 "$ - r / R > 0 "$ > r / R Ακόµη πρέπει να συµβαίνουν τα εξής: α) Το καρούλι να µη χάνει την επαφή του µε το έδαφος, δηλαδή πρέπει:

17 N 0 mg-fηµφ 0 F mg/ηµφ (9) β) Το καρούλι να µη ολισθαίνει, δηλαδή πρέπει: T nn T n(mg - F"µ) (10) όπου n o συντελεστής οριακής τριβής καρουλιού-δαπέδου. Εξάλλου διαιρών τας κατά µέλη τις (6) και (7) παίρνουµε: T - Fr / R F"$ - T = K R TR - FrR = FK "$ - TK T( R + K ) = F( rr + K "$ ) T = F rr + K "$ Συνδυάζοντας την (10) µε την (11) έχουµε: F rr + K "$( R + K * + n(mg - F,µ$) ) R + K ( * (11) ) F( rr + K "$ + nr µ$ + nk µ$ ) nmg( R + K ) F nmg( R + K ) ( ) + K ( $ + n"µ ) R r + R"µ (1) H σχέση συνφ>r/r σε συνδυασµό µε τις (9) και (1) εξασφαλίζουν την κύλι ση χωρίς ολίσθηση του καρουλιού, µε µετατόπιση του άξονά του προς τα δεξιά. iii) Eάν ο φορέας της δύναµης F προεκτεινόµενος συναντά την ευθεία επαφής του καρουλιού µε το έδαφος (σχ. 9β), τότε θα ισχύει συνφ=r/r και η σχέση (8) δίνει a C =0, µε αποτέλεσµα να είναι και ω =0. Τότε η (7) επιβάλλει την σχέση: T - Fr / R = 0 T = Fr/ R (13) η οποία είναι συµβιβαστή µε την (6). Αν ακόµη απαιτήσουµε η τριβή να είναι στατική πρέπει: (13) T nn Fr / R n(mg - F"µ) F(r / R + nµ") nmg F(r + nrµ") nmrg F nmrg r + nr"µ F nmrg r + nr 1 - "$

18 F nmrg r + nr 1 - r /R F nmrg r + n R - r (14) Τέλος για να µη χάνει το καρούλι την επαφή του µε το έδαφος πρέπει: N 0 w - Fµ" 0 mg F 1 - "$ F mg 1 - r / R F mgr R - r (15) Άρα, όταν ο φορέας της δύναµης F προεκτεινόµενος διέρχεται από την ευθεία επαφής του καρουλιού µε το έδαφος και το µέτρο της ικανοποιεί τις σχέσεις (14) και (15) το καρούλι θα ισορροπεί. P.M. fysikos Στο καρούλι του σχήµατος (10) ενεργεί η δύνα µη F, η οποία εφαρµόζεται στο άκρο A του νήµατος που περιβάλ λει την κεντρική περιοχή του κυλινδρικου κορµού του καρουλιού. To νήµα παρουσιάζει κλίση φ ως προς την οριζόντια διεύθυνση (0<φ<π/), είναι αβαρές και µη εκτατό και δεν ολισθαίνει πάνω στο καρούλι, ενώ οι κυκλικές βάσεις του καρουλιού εφάπτονται µη λείου οριζόντιου δαπέδου. i) Nα βρείτε τις αναγκαίες συνθήκες, ώστε το καρούλι να εκτελεί γνήσια περιστροφική κίνηση περί τον γεωµετρικό του άξονα. ii) Υπό ποία συνθηκη η γνήσια περιστροφή του καρουλιού επιτυγ χά νεται µε την ελάχιστη τιµή του µέτρου της F και ποια είναι η ελάχιστη αυτή τιµή;. Δίνονται η µάζα m του καρουλιού, οι ακτίνες r, R του κυλινδρι κού κορµου και των κυκλικών του βάσεων αντιστοίχως (R>r) και o συντελεστής n τριβής ολισθήσεως καρουλιού-δαπέδου. ΛΥΣΗ i) Στο καρούλι ενεργεί το βάρος του w, η τάση του νήµατος ίση µε την δύναµη F που ασκείται στο άκρο του A και αναλύεται στην οριζόντια συνιστώ σα F x και στην κατακόρυφη συνιστώσα F y τέλος δε η δύναµη επα φής από το δάπεδο που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και στην τριβή T η οποία είναι τριβή ολισθήσεως (σχ. 10). Επειδη απαιτησή µας είναι το καρούλι να εκτελεί γνήσια περιστροφική κίνηση περί τον γεωµετρικό του άξονα, πρέπει η συνισταµένη δύναµη που δέχεται κατά την οριζόντια και κατακόρυφη διεύυνση να είναι µηδενική, δηλαδή πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις: F (x) = 0" F (y) = 0$ F - T= 0 x " F y + N - mg = 0 F"$ = T N = mg - Fµ$ (

19 F"$ = nn N = mg - Fµ$ ( F"$ = n( mg - Fµ$ ) F ("$ + nµ$ ) = nmg F = nmg "$ + nµ$ (1) Εξάλλου σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα έχουµε για το καρούλι την σχέση: " (C) = I C $ Fr - TR = I C " () Σχήµα 10 όπου " η γωνιακή του επιτάχυνση του καρουλιού και Ι C η ροπή αδράνειάς του ως προς τον άξονά του. Όµως πρέπει να ισχύει > 0, οπότε η () δίνει: Fr - TR > 0 F > nnr/r F > nr r ( mg - Fµ" ) F 1 + nrµ" ( > nrmg $ r r (1) nmg ) ( nrµ$ ) ( + > nrmg "$ + nµ$ * r * r 1 + nrµ" r > R ($" + nµ" ) r r + nrµ" > R$" + nrµ" "$ < r / R (3) Τέλος πρέπει να εξετάσουµε αν η τιµή που προκύπτει για το µέτρο της δύνα µης F από την σχέση (1) εξασφαλίζει ότι το καρούλι δεν χάνει την επαφή του µε το έδαφος. Αν δεχθούµε ότι αυτό συµβαίνει, τότε το µέτρο της κάθε της αντίδρασης N θα είναι: (1) N = mg - Fµ" N = mg - nmgµ" $" + nµ"

20 N = mg"$ + nmgµ$ - nmgµ$ "$ + nµ$ = mg"$ "$ + nµ$ > 0 δηλαδή το καρούλι δεν χάνει την επαφή του µε το έδαφος. Η παραπάνω ανά λυση µας επιτρέπει να συµπεράνουµε ότι, αν ισχύει: "$ < r / R και F = nmg "$ + nµ$ τότε το καρούλι θα έχει γνήσια περιστροφική κίνηση µε γωνιακή επιτάχυν ση που καθορίζεται από τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης, σε συνδυασµό βέβαια µε τις δύο προηγούµενες δεσµεύσεις. ii) Θέτοντας στην σχέση (1) όπου n=εφθ, αυτή µετασχηµατίζεται ως εξής: F = nmg "$ + $µ$ = nmg "$ + µµ$ /" F = nmg"$ ""$ + µ$µ = nmg"$ "( - $) (4) Από την (4) παρατηρούµε ότι αν η γωνία φ λάβει την τιµή που ικανοποιεί την σχέση εφφ=εφθ=n, τότε το µέτρο της F παίρνει την µικρότερη τιµή του: F min = nmg"$ = nmg 1 + $ = nmg (5) 1 + n Αν λοιπόν ισχύει: "$ < r/r ή n < r R τότε η γνήσια περιστροφή του καρουλιού επιτυγχάνεται µε την ελάχιστη τιµή του µέτρου της F, η οποία υπολογίζεται από την (5). P.M. fysikos Ένας εργάτης προκαλεί κύλιση ενός κυλίνδρου µάζας Μ σε οριζόντιο έδαφος µε την βοήθεια ενός δοκαριού µάζας m και µήκους L, φροντίζοντας ώστε το δοκάρι να είναι οριζόντιο και να εφάπτεται του κυλίνδρου. Tην χρονική στιγµή t=0 το ένα άκρο B του δοκαριού είναι σ επαφή µε τον κύλινδρο. Nα δείξετε ότι για να µετακινείται το δοκάρι µε σταθερη επιτάχυνση a χωρίς να ολισθαίνει επί του κυλίνδρου, πρέπει ο εργάτης να εξασκεί στο άκρο του Α δύναµη, της οποίας η µεν οριζόντια συνιστώσα είναι σταθερή, ένω η κατακόρυφη συνιστώσα της µεταβάλλεται χρονικά.

21 Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι=ΜR / του κυλίνδρου ως προς τον γεω µετρικό του άξονα και η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: Eξετάζουµε το σύστηµα δοκάρι-κυλινδρος την τυχαία χρονική στιγµή t που ο άξονας του κυλίνδρου έχει µετατοπιστεί κατά x απο την αρχι κή του θέση Ο, που βρίσκεται ακριβώς πάνω από το άκρο Β του δοκαριού. To δοκάρι δέχεται το βάρος του w, την δύναµη F από τον εργάτη που αναλύε ται στην οριζόντια συνιστώσα F x και στην κατακόρυφη συνιστώσα F y και τέλος την δύναµη επαφής από τον κύλινδρο που αναλύεται στην κάθετη Σχήµα 11α Σχήµα 11β αντίδραση N και στην τριβή T που είναι στατική τριβή, διότι το δοκάρι δεν ολισθαίνει επί του κυλίνδρου. Εφαρµόζοντας για την µεταφορική κίνη ση του δοκαριού τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα κατα την οριζόντια και κατακόρυφη διεύθυνση παίρνουµε τις σχέσεις: F x - T = ma " F y + N E - mg = 0 $ F x = T + ma " N E = mg - F y $ Ο κύλινδρος δέχεται το βάρος του W, την δύναµη επαφής από το οριζόντιο έδαφος που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N E και στην τριβή T E που είναι στατική τριβή, διότι ο κύλινδρος κυλίεται πάνω στο οριζόντιο έδαφος και τέλος την δύναµη επαφής από το δοκάρι που αναλύεται στην τριβή T " και στην κάθετη αντίδραση N " που είναι αντίθετες των T E, N E αντιστοίχως, λόγω του αξιώµατος της ισότητας δράσεως-αντιδράσεως (σχ. 11β). Όµως η επίπεδη κίνηση του κυλίνδρου µπορεί να θεωρηθεί ως επαλληλία µιας οριζόντιας µεταφορικής κίνησης και µιας περιστροφής περί τον γεωµετρικό του άξονα, εφαρµόζοντας δε για την µεταφορική κίνηση τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα και για την περιστροφή του τον θεµελιώδη νόµο της στροφι κής κίνησης παίρνουµε τις σχέσεις: (1) T " - T E = Ma C T " R + T E R = I $ T - T = Ma E C T R + T E R = MR " / $ T - T E = Ma C T + T E = MR " / $ T - T E = Ma C T + T E = Ma C / " $ ()

22 όπου " η γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδου και a C η επιτάχυνση του άξο νά του, της οποίας το µέτρο είναι ίσο µε ω R λόγω της κυλίσεως του κυλίν δρου πάνω στο οριζόντιο έδαφος. Όµως η επιτάχυνση a του δοκαριού είναι καθε στιγµή ίση µε την εφαπτοµενική επιτάχυνση του σηµείου επαφής Ε του κυλίνδρου µε το δοκάρι, η οποία είναι ίση µε a C. Έτσι οι σχέσεις () γράφονται: T - T E = Ma/ T + T E = Ma / 4 " $ (+ ) T = 3Ma/4 T = 3Ma/8 (3) Συνδυάζοντας την πρώτη εκ των σχέσεων (1) µε την (3) παίρνουµε: F x - 3Ma/8 = ma F x = ( m + 3M/8)a (4) Από την (4) παρατηρούµε ότι το µέτρο της οριζόντιας συνιστώσας της F είναι σταθερό, αφου η επιτάχυνση a είναι σταθερή. Εξάλλου το δοκάρι δεν περιστρέφεται, που σηµαίνει ότι η συνολική ροπή περί το κέντρο µάζας του Κ των δυνάµεων που δέχεται είναι µηδενική, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε την σχέση: (1) " (K) = 0 F y L/ - N E ( K ) = 0 F y L/ - ( mg - F y )( K ) = 0 (4) Eπείδη κάθε στιγµή η ταχύτητα του δοκαριού είναι διπλάσια της ταχύτητας του κέντρου µάζας του κυλίνδρου η µετατόπιση του άκρου Β του δοκαριου σε χρόνο t είναι διπλάσια της αντίστοιχης µετατόπισης x του κέντρου του κυλίνδρου, οπότε η απόσταση ΚΕ είναι ίση µε L/-x και η (4) γράφεται: F y L/ - ( mg - F y )( L/ - x) = 0 F y L/ - mgl/ + F y L/ + mgx - F y x = 0 F y ( L - x) = mg L/ - x ( ) F y = mg( L/ - x) L - x Από την (6) παρατηρούµε ότι το µέτρο της κατακόρυφης συνιστώσας της F µεταβάλλεται χρονικά, διότι η απόσταση x µεταβάλλεται. P.M. fysikos (6)