ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3/2/2016 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

Transcript

1 ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3/2/2016 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ 2 ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας 2 Kg με αρχική ταχύτητα υ 0 8i κινείται με σταθερή επιτάχυνση α 4j s. Τα μοναδιαία διανύσματα i, j βρίσκονται σε κάθετες διευθύνσεις. α) να βρείτε συναρτήσει του χρόνου το διάνυσμα θέσης, r (t), και την ταχύτητα, υ (t) (0.5 μονάδα) β) να υπολογίσετε τις τιμές r (t) και υ (t) τη χρονική στιγμή t 2 s. (0.5 μονάδα) γ) να βρείτε το έργο που παράγεται στο χρονικό διάστημα από 0 ως 2 s. (0.5 μονάδα) δ) να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας τη χρονική στιγμή t 2 s, από το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας. Δείξτε ότι το αποτέλεσμα συμφωνεί με εκείνο που υπολογίζεται από το ερώτημα β. (0.5 μονάδα) ε) να υπολογίσετε τη συνάρτηση της δυναμικής ενέργειας του σώματος, U, αν στην αρχή των αξόνων ισχύει ότι U(0) 0. (1 μονάδα) α) Στον άξονα x το σώμα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση, ενώ στον άξονα y εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση: α υ 0 Επομένως, έχουμε: Άξονας x: υ x υ 0 Άξονας y: υ y αt x υ 0 t y 1 2 at2 r (t) (υ 0 t, 1 2 at2 ) (8t, 2t 2 ) υ (t) (υ 0, αt) (8, 4t) (1) β) Από τις σχέσεις (1) για t 2 s έχουμε: r (2) (16, 8) υ (2) (8, 8) s (2) γ) Αρχικά, η συνολική δύναμη που ασκείται στο σώμα, F, ικανοποιεί τη σχέση: F α F 8j N (3) οπότε το ζητούμενο έργο θα είναι: r (2) y(2) W F dr Fdy 8 N(y(2) y(0)) 8 N(8 0) 64 J r (0) y(0) δ) Το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας δίνει:

2 W 1 2 υ(2)2 1 2 υ(0)2 1 2 υ(2)2 W υ(0)2 υ(2) 2 2W + υ(0)2 128 J J 2 Kg Από τη σχέση (2) του ερωτήματος β) έχουμε: υ(2) 128 s υ (2) (8, 8) s υ(2) s 128 s ε) Για να υπολογίσουμε τη δυναμική ενέργεια χρησιμοποιούμε τη σχέση: F du dy U du Fdy du Fdy U U 0 8y U(y) 8y + U 0 U 0 0 y Σύμφωνα με την εκφώνηση, στην αρχή των αξόνων ισχύει ότι U(0) 0, οπότε η σταθερά U 0 είναι μηδενική και τελικά: U(y) 8y ΑΣΚΗΣΗ 2 Κιβώτιο μάζας 15 Kg, αρχικά ακίνητο, σπρώχνεται για απόσταση ίση με 3 μέτρα πάνω σε οριζόντιο δάπεδο, με σταθερή ταχύτητα από σταθερή οριζόντια δύναμη F 15 Ν. Αισθητήρας καταγράφει τη θερμοκρασία του κιβωτίου με αποτέλεσμα να γνωρίζουμε ότι στο τέλος της διαδρομής η θερμική ενέργεια του κιβωτίου αυξήθηκε κατά 20 J. Δίνεται ότι g 10. α) να σχεδιάσετε το διάγραμμα ελεύθερου σώματος για το κιβώτιο. (0.5 μονάδα) β) πόσο αυξήθηκε η θερμική ενέργεια του δαπέδου στο τέλος της διαδρομής; (1 μονάδα) γ) να υπολογίσετε το συντελεστή τριβής ολίσθησης μεταξύ κιβωτίου και δαπέδου. (0.5 μονάδα) δ) να βρείτε την αρχική ταχύτητα με την οποία πρέπει να σπρώξουμε το κιβώτιο έτσι ώστε να διανύσει απόσταση ίση με 4.5 χωρίς να ασκήσουμε άλλη δύναμη πάνω του. (0.5 μονάδα) ε) να βρείτε το χρόνο στον οποίο πρέπει να δράσει σταθερή οριζόντια δύναμη F 450 Ν ώστε να δώσει στο ακίνητο κιβώτιο την αρχική τιμή ταχύτητας του προηγούμενου ερωτήματος (0.5 μονάδα) Υποδείξεις: 1) από τη στιγμή που δεν έχουμε περιστροφή, μπορούμε να πάρουμε όλες τις δυνάμεις να ασκούνται στο κέντρο μάζας του κιβωτίου, 2) στο ε) να κάνετε χρήση του θεωρήματος ώθησηςορμής. α) το διάγραμμα ελεύθερου σώματος για το κιβώτιο είναι:

3 N F T g Σημείωση: ισοδύναμα μπορούμε να πάρουμε όλες τις δυνάμεις να ασκούνται στο κέντρο μάζας του κιβωτίου από τη στιγμή που δεν έχουμε περιστροφή. β) Αφού το κιβώτιο κινείται με σταθερή ταχύτητα, ισχύει ότι: F T g N (1) Το έργο της τριβής για τη μετατόπιση του σώματος είναι σε απόλυτη τιμή: W TΔx FΔx 15 N 3 45 J Το έργο αυτό δαπανάται με τη μορφή θερμικής ενέργειας τόσο στο δάπεδο όσο και στο κιβώτιο. Από τη στιγμή που, σύμφωνα με την εκφώνηση, στο τέλος της διαδρομής η θερμική ενέργεια του κιβωτίου αυξήθηκε κατά 20 J συμπεραίνουμε ότι η θερμική ενέργεια, ΘΕ Δ του δαπέδου αυξήθηκε κατά: ΘΕ Δ (45 20)J 25 J γ) Από τις σχέσεις (1) έχουμε ότι: T μν μg μ Τ g F g 15 N 15 Kg δ) Εφαρμόζοντας το θεώρημα μεταβολής κινητικής ενέργειας έχουμε: W υ 0 2 (2) Η μοναδική δύναμη που παράγει έργο είναι η τριβή, οπότε: W ΤΔx (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (3) λαμβάνουμε: 1 2 υ 0 2 ΤΔx υ 2 0 2ΤΔx 30 N Kg υ 0 3 s ε) Χρησιμοποιούμε τη σχέση ώθησης ορμής: t Fdt 0 Δp FΔt Δp (4) και δεδομένου ότι:

4 Δp υ 0 15 Kg 3 s 45 Kg s F 450 N παίρνουμε τελικά: Δt Δp F 45 Kg s 0.1 s 450 N ΑΣΚΗΣΗ 3 Η δυναμική ενέργεια σώματος μάζας 2 Kg δίνεται στο S.I. από τη σχέση: U(x) Ax 2 + U 0, όπου Α θετική σταθερά. Θεωρώντας ότι το σώμα έχει μηχανική ενέργεια ίση με 100 J και για x 0, U 0: α) να βρείτε την τιμή U 0 (0.5 μονάδα) β) να βρείτε τις θέσεις ισορροπίας και το είδος ισορροπίας. (0.5 μονάδα) γ) να περιγράψετε την κίνηση του σώματος. (0.5 μονάδα) δ) να προσδιορίσετε τη μέγιστη ταχύτητά του. (1 μονάδα) ε) σε ποια περιοχή μπορεί να κινηθεί το σώμα; (1 μονάδα) στ) να βρείτε τη διάσταση της σταθεράς Α. (0.5 μονάδα) Υποδείξεις: 1) Η συντηρητική δύναμη και η δυναμική ενέργεια συνδέονται με τη σχέση: F ( U, U, U ), 2) Όταν η δύναμη είναι συντηρητική, η μηχανική ενέργεια διατηρείται. x y z α) Αφού U(x) Ax 2 + U 0 U(0) U 0 U 0 0 β) Οι θέσεις ισορροπίας είναι εκείνες για τις οποίες ισχύει: du dx 0 2Ax 0 x 0 Αφού το Α είναι θετική σταθερά, και d2 U dx2 A, στο σημείο ισορροπίας x 0 έχουμε ευσταθή ισορροπία. γ) Η δύναμη που πηγάζει από τη δυναμική ενέργεια είναι: F du dx 2Ax δηλαδή έχουμε κίνηση υπό την επίδραση ελαστικής δύναμης, που οδηγεί σε απλή αρμονική ταλάντωση. δ) Η δύναμη είναι συντηρητική άρα η μηχανική ενέργεια, Ε, διατηρείται. Επομένως αφού: Ε Ε κ + U 1 2 υ2 + U και η δυναμική ενέργεια είναι πάντα θετική, η μέγιστη κινητική ενέργεια, επομένως και η μέγιστη

5 ταχύτητα, λαμβάνεται όταν U 0, δηλαδή για x 0 στη θέση ισορροπίας. Τότε ισχύει ότι: E 1 2 υ2 υ 2 2E 200 J 2 Kg υ 10 s ε) το σώμα κινείται στην περιοχή όπου U E Ax 2 100J x στ) Η διάσταση της σταθεράς Α είναι: L 2 [Α] [U] M [x] 2 T 2 L 2 M T 2 A 10 Α x 10 Α