ÏÌÉÊÑÏÍ ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÄÅËÉÏ

Transcript

1 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 01 ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµροµηνία: Κυριακή Μαΐου 01 ιάρκια Εξέτασης: ώρς ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ A Α1 Σχολικό βιβλίο σλ 8 Α Σχολικό βιβλίο σλ 1 Α i Σωστό ii Σωστό iii Σωστό iv Λάθος v Σωστό ΘΕΜΑ Β Β1 Είναι α= και β = β =, οπότ Β π 1 α β = α β συν( α,β ɵ ) = συν = = α γ α γ = 0 α ( α + κβ) = 0 α + καβ = 0 α + κ = 0 κ + 16 = 0 κ = Β i Είναι συν( β, ɵγ) β γ = και αφού β γ β γ = β α β = α β β = β = = 1 και Ε_ΜλΘΤ(α) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 1 ΑΠΟ 6

2 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 01 γ = α β = α β = α 8α β + 16β = α β = + 16 = 8 θα ίναι γ= 8= (αφού γ 0 ) 1 Άρα συν( β ɵ,γ) = = = Είναι 0 ( β, ɵ γ) π, οπότ ( ) π 5π β,γ ɵ = π = 6 6 ii Αφού προβγ β θα υπάρχι λ R ώστ προβγ= λβ Οπότ ΘΕΜΑ Γ Γ1 ηλαδή Έχουµ β β προβ γ = β β γ = β προβ γ β β ( α β ) = β ( λβ ) = = α β β λβ λ λ = 1 λ = x y x 1 0 x x 1 y 0 + = + = x 1 y = 0 x 1 y x 1+ y = 0 x 1 y = 0 ή x 1+ y = 0 Ε_ΜλΘΤ(α) y = x 1 ή y = x + 1 Οπότ η (1) παριστάνι τις υθίς : y= x 1 και : y= x+ 1 1, µ κλίσις αντίστοιχα λ= 1 και λ = 1 1 Αφού λ 1λ = 1 ( 1) = 1 θα ίναι 1 Λύνουµ το σύστηµα y = Σ x 1 y = x + 1 Μ πρόσθση κατά µέλη προκύπτι ότι y = 0 y = 0, οπότ το (Σ) ισοδύναµα γράφται y = 0 y = 0 x = 1 y = x 1 0 = x 1 y = 0 Άρα το σηµίο τοµής των υθιών ίναι το Ε(1,0) β ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 6

3 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ (Α τρόπος) Γ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 01 Η ξίσωση 1 x 1 y 6 1 0, Ε_ΜλΘΤ(α) λ λ + + λ + λ + λ = µ λ R ίναι της µορφής Ax+ By+ Γ= 0 µ Β= λ+ 1 0, οπότ παριστάνι υθία για κάθ λ R : λ λ+ 1 x+ λ+ 1 y λ+ 6λ 1= 0, τότ Αν λ Για λ= 0 η παραπάνω ξίσωση γίνται : x+ y 1= 0 Για λ= 1 η παραπάνω ξίσωση γίνται : y + = 0 y = 1 y = 1 x = Οπότ έχουµ x + y 1 = 0 y = 1 ηλαδή οι υθίς και έχουν κοινό σηµίο το Ζ(,-1) Όµως για x= και y= 1 η () γίνται λ λ λ λ + 6λ 1 = λ 6λ + λ 1 λ + 6λ 1 = 0 Άρα το Ζ λ Εποµένως όλς οι υθίς της παραπάνω οικογένιας θα διέρχονται από το σηµίο Ζ(,-1) (Β τρόπος) Από την 1 x 1 y 6 1 0, λ λ + + λ + λ + λ = µ λ R, έχουµ λ x λx x λ y y λ 6λ = λ x + y + λ x x + y 1 = 0 Για να ίναι µηδνικό πολυώνυµο του λ, πρέπι x + 6 = 0 x = x = x + y = 0 + y = 0 y = 1 x y 1 0 y = + = y = 1 x = Η λύση του συστήµατος ίναι το, άρα όλς οι υθίς της παραπάνω y = 1 Z, 1 οικογένιας διέρχονται από το i Η ζητούµνη παραβολή ίναι της µορφής y = px Αφού Ε(1,0) η στία της, θα ίναι p 1 p = =, οπότ η παραβολή θα ίναι η c : y = x p Η διυθτούσα της ίναι η δ : x=, δηλαδή δ : x= 1 B x, y τα άκρα της χορδής της c µ µέσο το σηµίο Ζ, ii Αν 1 1 τότ A x, y και ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 6

4 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 01 y x 1 = και y = x Αφαιρώντας κατά µέλη έχουµ: y y = x x y y y + y = x x 1 ( 1) ( 1)( 1) ( 1) Όµως το Z(, 1) ίναι µέσο του ΑΒ οπότ y + y = + = Εποµένως η () γίνται y y = x x 1 1 y y1 1 1 Αν x= x 1, τα σηµία Α και Β ίναι συµµτρικά ως προς x x, οπότ το Ζ, που ίναι µέσο του ΑΒ, θα βρίσκται στον x x Αυτό ίναι άτοπο, αφού η τταγµένη του Ζ ίναι -1, οπότ x x 1 Εποµένως y y1 ( y y1)( ) = ( x x1) = λαβ =, x x 1 λ η κλίση της ΑΒ Αφού όπου ΑΒ Z, 1 σηµίο της, έχουµ ΑΒ : y + 1 = x y = x + 1 Είναι N( 6µ ),6λ, µ µ,λ R = = + = + Αν Ν( x,y ) τότ y 6λ 6λ y = = 6λ = y Προσθέτοντας κατά µέλη προκύπτι ότι και αφού x 6µ 6µ x 6µ x 6µ + 6λ = x + + y x + + y = 6 µ + λ µ λ 1 Είναι + =, η παραπάνω γίνται x+ + y = 6 Ε_ΜλΘΤ(α) Κ = = = 6+ 6= 100= 10> ρ, άρα το ίναι ξωτρικό σηµίο του κύκλου (Α τρόπος) Παρατηρούµ ότι η υθία 1 : x= φάπτται στον κύκλο c, διότι ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 6

5 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ d( K,1) = = 6= ρ 1+ 0 Επίσης από το διέρχονται και άπιρς υθίς της µορφής : y 8 = λ x λ x y + 8 λ = 0 Για να φάπτται στον κύκλο θα πρέπι λ + 8 λ d( K,) = 6 = 6 λ λ = 6 λ + 1 ( ) λ = λ λ λ + = λ λ + 16 = 9 λ = Ε_ΜλΘΤ(α) 7 7 Άρα : x y + 8 = 0 7x y + 16 = 0 (Β τρόπος) Η ζητούµνη υθία ίναι της µορφής : Αx+ By+ Γ= 0, µ A 0 ή B 0,8, οπότ Α + 8Β + Γ = 0 Γ = Α 8Β και µ Όµως αντικατάσταση στην παραπάνω προκύπτι: : Αx+ By A 8B= 0 1 Για να ίναι φαπτόµνη στον κύκλο c πρέπι και αρκί Α + 0Β Α 8Β d( K,) = 6 = 6 Α + Β 6Α + 8Β = 6 Α + Β 6Α + 8Β = 6 Α + Β 6Α + 96ΑΒ + 6Β = 6Α + 6Β 96ΑΒ 8Β 0 Β Α 7Β 0 + = + = Β = 0 ή Β = Α 7 Αν Β= 0 τότ ίναι Α 0, διότι η (1) παριστάνι υθία Οπότ από την (1) έχουµ: Αx + 0y A 8 0 = 0 Ax = A x = ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 5 ΑΠΟ 6

6 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 01 Ε_ΜλΘΤ(α) Αν B = A τότ ίναι Α 0, διότι αν ήταν A= 0 θα ίχαµ και Β=0, 7 που ίναι άτοπο διότι η (1) παριστάνι υθία Οπότ από (1) θα έχουµ: 19 Ax Ay A 8 A = 0 x y + = x y x y + 16 Άρα οι ζητούµνς υθίς ίναι οι: 1 : x= και : 7x y+ 16= 0 Παρατηρούµ ότι τα τρίγωνα ΚΑ και ΚΕ ίναι ίσα, διότι Ορθογώνια τρίγωνα ( ο Ε= Α= 90 ) Κ κοινή πλυρά (υποτίνουσα) ΚΑ=ΚΕ=ρ ΚΑ = ΚΕ Έτσι Οπότ 1 ΕΚΑ = ΚΑ = 6 8 = 8τµ Αν ( 1) το σηµίο Σ(,0 ), πρέπι και αρκί ( ΚΜ) = ( KN) ( MN) = ρ ρ 1, ( ρ1< ρ) και ( ΜΣ) = ρ1 Μ,ρ κύκλος που φάπτται σωτρικά στον κύκλο c και διέρχται από ηλαδή έχουµ ΚΜ = ρ ΜΣ ΜΣ + ΜΚ = ρ = 6 Αφού ( ΚΣ) 6 ( ΜΚ) ( ΜΣ) = < = + ο γωµτρικός τόπος των σηµίων Μ ίναι η έλλιψη µ στίς Σ και Κ και µγάλο άξονα 6 Εποµένως γ=, α= και β= α γ = 5 Και η ξίσωσή της ίναι: x y + = ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 6 ΑΠΟ 6