Γ Λυκείου. 4 ο ΓΛΧ M. Ι. Παπαγρηγοράκης Χανιά. [Μαθηματικά] Προσανατολισμού

Transcript

1 Γ Λυκείου ο ΓΛΧ 5-6 M. Ι. Πγρηγοράκης Χνιά [Μθημτικά] Προσντολισμού

2 Τξη: Γ Γενικού Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμού Μέρος Γ: Ολοκληρωτικός Λογισμός Έκδοση 5.9 Η συλλογή υτή δινέμετι δωρεάν σε ψηφική μορφή μέσω διδικτύου ροορίζετι γι σχολική χρήση κι είνι ελεύθερη γι ξιοοίηση ρκεί ν μην λλάξει η μορφή της Μίλτος Πγρηγοράκης Μθημτικός M.Ed. Χνιά 5 mail: papagrigorakism@gmail.com Ιστοσελίδ: hp://usrs.sch.gr/mipapagr

3 Γ Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμούύ ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Μι Ν οδείξ. Έστ F γι κάθε, τότε Ν ρείτε τον τύο της. * Έστω F μι ρ F F F γι κάθε, όου. Ν οδειχθεί ότι: Α) η εξίσωση μι τουλάχιστον ρίζ στο.. Bρε.5 Η σ ργωγίσιμη στο κι ισχύουν: κ A) Δείξτε ότι συνάρτησηη : με έχει την ιδιότητ γι κάθε. ξετε ότι συνάρτησηςς :. κι F μι ρχική της στο. Αν, με την ιδιότητ: είτε συνάρτηση : συν, κι συνάρτηση ι τω μι συνεχής συνάρτηση : ρχική της συνεχούς F c c F, είνι δύο φορές () ( () () κι, έχειι ν ισχύει,, c, c..8 Στη δεκετί του 98 ο γκόσμιος ρυθμός κτνάλωσης ετρελίου σε εκτομμύρι ρέλι ετησίως δινότν ό τον τύο () = k (ln), όου ό είνι ο ριθμός των ετών μετά το 98. Στις ρχές του 98 ο ρυθμός ήτν εκτ. ρέλι τον χρόνο. Ν ρείτε: Α) την γκόσμι κτνάλωση ετρελίου χρόνι μετά το 98, ) σε όσ εκτομμύρι ρέλι νερχότν η γκόσμι κτνάλωσηκ η ετρελίου κτά τη ερίοδο ( ln,7)..9 Μι ετιρεί έχει διιστώσει ότι το ορικό κόστοςς λειτουργίς της είνι,5 8 δολάρι την ημέρ, όου είνι ο ριθμός των μονάδων ροϊόντος ου ράγοντι ημερησίως. η Αν η ετιρεί έχει άγι έξοδ δολάρι την ημέρ, ν ρείτε: Α) το ημερήσιο κόστος ργωγής μονάδων ροϊόντος, ) την ύξηση του κόστους, ν ντί μονάδων ρχθούν 6 μονάδες ροϊόντος σε μι ημέρ... Νερό φεύγει ό την ρύση έτσι ώστε min μετά το άνοιγμ της ρύσης ν χύνετι με ρυθμό 8 5 dm/min. d Πόσο νερό έφυγε κτά την διάρκει των τ τριών ρώτων λετών ; Αοδείξτε ότι (),.6 Έστ κι F εξίσωση τω : συνεχής συνάρτηση κι μι ράγουσά της στο. Αν F, F,, ν λύσετε την F.. 'Εν κινητό κ κινείτι άνω σε άξον κι η τχύτητά του σε cm/sc τηη χρονική στιγμή δίνετι ό τον τύο υ() ( ). Αν τη χρονική στιγμή το κινητό ρίσκετι σε όστση cmm ό την ρχή των ξόνων, ν ρεθεί η θέση του τη στιγμή.7 N συνάρτησης ρείτε τις ρχικές συνρτήσεις της ς με

4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΣ TO ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ. H σ συνάρτηση d 5 ν υολογίσετε τ : είνι συνεχής στο κι ισχύει ότι u du, d, d κι d, d. Αν ()d 5, g() d, ρείτε τ: Α) [() g()]d [g() ( () 5]d. Αο.5 Η σ d οδείξτε ότι συνάρτηση γ δ d 5 d είνι συνεχής στο. Γι κάθε,, γ,δ ν δείξετε δ ότι: γ d d δ d.6 Έστ τω ότι ()d κι g()d 5. Ν υολογίσετε το g d d.7 Η σ γ d.8 Η σ d.9 Η σ δ γ συνάρτηση δ d συνάρτηση γ δ d συνάρτηση d d είνι συνεχής στο. Γι κάθε,, γ,δ ν δείξετε δ ότι: d δ είνι συνεχής στο. Γι κάθε,, γ,δ ν οδείξετε ότι: γ d είνι συνεχής στο. Γι κάθε,, γ,δ ν οδείξετε ότι: δ γ γ d δ d d d δ d γ d. Έστ τω ότι ()d κι g()d 5. Ν υολογίσετε το g d d

5 Γ Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμούύ 5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( ) ()d. Βρείτε τo εδίο ορισμού κι την ράγωγο των συνρτήσεων: G F. Ν ln d ράγωγο των συνρτήσεων: M() l H(). Η συ Βρείτε την ράγωγο των συνρτήσεων F H. Ν d ράγωγο της συνάρτησης G ω.5 Ν συνρτήσεις: d F() d κι G().6 Ν F() d ln ρείτε τo εδίο ορισμού κι την d ln 5 F d, υνάρτηση ρείτε τo εδίο ορισμού κι την K οδειχτεί ότι ντιστρέφοντι οι ρείτε τη δεύτερη ράγωγο της d dy ημ y K N d, G είνι συνεχής στο. d με, G d ημ ημ d lnd d ln ln d d..7 N οδείξετε ότι: συν() συν( d () d,,..8 Ν ρεθεί η F Α)..9 Αν σ Α) ) uημη ημuduu.. ) συνεχής στο ώστε ν ισχύει:,y F 6 F 9. Υολογίστε το. Δείξτεε ότι δεν υάρχει συνάρτηση,.. Αν G() ( () u du,, ν οδείξετε ότι: Α) G u du ln d συνεχής στο 6 συνν d 6 udu d ν ln d dy y y, ν δείξετε ότι: ()d, κι συνu u d d y d, y G() lim ημ d u u du ()d du

6 6 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΣ Α ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ Ν υολογίσετε τ ολοκληρώμτ: d Fdd FF ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ. Α) ( ) d 5 d 6 ημ συν d ημη 5 d d 6. Α) 6 d d 5 d d. A) d B) ( ) d 6 d ) d. Α) ln d B) d d ) ( )d. Α) d ( )d d ln ΣΥΝΘΕΣΗ g() g( ()d g g udu - με ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ: u g ή.5 A) ( ) d B) ) d ln(lnl ) d ln d.6 Α) d ( ) d d d.7 Α) d 7 6 d 5 l d lnln(ln) ln d.8 Α) d d d d ln( ) d.9 Α) 5 d ( ) d (ln ) d d

7 Γ Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμούύ 7. Α) 6 ln( ) d ) d d d ΜΟΡΦΗ:,ln d Τότε θέτω: u ln. Α) ln d d lnn ln d (ln ) d Ε) ) ln d ΜΟΡΦΗ: ημ συν d ή συν ημd Τότε θέτω u ημ ή u συν ντίστοιχ. Α) 6 d 6 d 6 d ΜΟΡΦΗ: κ λ ν P, d όου ν Ρητός. P ολυώνυμο Τότε θέτω u,. Α) 7 () d d ( ) ( ) d ( ) ( ) d ΡΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Περίτωση: θμός P < θμός Q. Ελέγχωω ρώτ μήως ο ριθμητής είνι η ράγωγος του ρονομστή δηλδή ν Q P τότε ΜΟΡΦΗ:. Ν A B Η τελευτί ισότητ ισχύει γι κάθεε {,}, ν κι μόνο ν A B Εομένως, ν κ λ μ γ υολογισθεί το ολοκλήρωμ 56 P() d Q() d, με γ. Τότε εργάζομι όως στο ράδειγμ: d 5 dd Q() ) d ln Q( Q() ) lnq() ln Q() d. 5 6 ΛΥΣΗ Η συνάρτηση () έχει A {,} κι είνι () 5 6 ( )( ). Ανζητο ούμε τους A,,B, ώστε A B ν ισχύει ( )( ), γι κάθε {,}, όου έχουμε (AA B) AB, {,}. 7 d... 5ln 7ln n... P() A Α Αν ο ρονομστής είνι της μορφής Q ρ ρ.... ρ ν, τότε: Q() ρ ρ = Q'() d = ln Q() c Q() ή, A B 5 7. Αν.... ρ. ν

8 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΣ.5 Α) 7 d d d 67 d ΜΟΡΦΗ: κ λ P() d γ με P() ολυώνυμο θμού κι γ, τότε κάνουμε τη διίρεση κλ.6 Α) d d d d d ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΜΟΡΦΗ: κ λ, d Τότε: u, ln u, du d ( συνήθως κτλήγω σε ρητή ).7 Α) d d d d.8 Α) d d d ( )ln( d ) d ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Συνήθως ως άση έχουμε το.9 Α) κ ν P() λ d όου d ()g'()d ()g() P ολυώνυμο του. Τότε χρησιμοοιώ ράγουσ της ς d ()g()d d λ την λ. λ ln ΜΟΡΦΗ P()ημ(λ )d ή P()συν(λ ) )d Τότε χρησιμοοιώ ρχική της ημλ ( συνλ ). Α) ( ) ( )d ( )d συνd λ ΜΟΡΦΗ I λ συν(γ δ)d, I λ ημ(γ δ)d. Χρησιμοοιούμε ρχική γι την οότε κάνοντς ργοντική ολοκλήρωση δυο φορές, εμφνίζετι άλι το I. Προκύτει έτσι εξίσωση με «άγνωστο» το I.. Α) ( )d d ΜΟΡΦΗ ()ln( )d. Τότε χρησιμοοιώ ράγουσ της κι οφεύγουμε τονν ράγοντ ln. Μορεί ο λογάριθμος ν είνι υψωμένοςς σε δύνμη κι η ν έχουμε συνάρτηση ιο σύνθετη ό την. d d

9 Γ Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμού 9. Α) ln d ln( )d ln ( )d lnl d. Α) ln( )d ln()d 5 ln( 9)d ΡΙΖΕΣ ΜΟΡΦΗ: λ, ν κ u d Τότε: u ν, u, ν u, νu ν vu duu d δηλδή d v du. Α) Α) d d d d d d d d EIΔ. ΜΟΡΦΗ: Α ν μ,, d Τότε θέτω u λ όου λ ΕΚΠ ν,μ.5 Α) d 8 d 6 d d d EIΔ. ΜΟΡΦΗ: Β d du συν u, d ή, d Τότε εφu με u, τότε.6 Α) d d d EIΔ. ΜΟΡΦΗ: Γ,.7 Α) d d. Τότε: ημu με u, τό ότε d συνudu d d EIΔ. ΜΟΡΦΗ: Δ, d,, ή,τότεε μεε u, συνu ή u,, d ημu du συν u.8 Α) d

10 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΣ ΓΕΝΙΚΕΣ.9 Α) ( ) d d d d 5. Α) ( )d 6 σφln( )d d ln( ) d. Α) d d d d. Α) d d d d ln d. Α) ( ) d ( ) d ( ) d d ( ). Α) d ln d d d.5 Α) ln d d d d.6 Α) 5 d (+ημ)d 9 (ln )d (ln ) d.7 Α) d ημ d d d ημ.8 Α) d. d d d.9 Α) d d d d. Α) d lnd ln d 5 d. Α) d d d d

11 Γ Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμούύ. A) d ln d d d n ln ln d. Α) d ln d d d. Α) d d d d lnl d.5 Α) d 6 d ( )d d.6 Α) d ln d d d.7 Α) log d d d d.8 Α) ln d d ln d ln d.9 A) d B) - (- ) d d d.5 Α) ln d d d ln d.5 Α) d d ln - d d.5 Α) ln d.5 Ν υολογίσετεε τ I, J ότν I d J d d

12 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΣ ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ν.5 Εστω η () ν Α) Αοδείξτε ότι η είνι συνεχής στο Ν ρείτε το.55 Έστ ολοκλήρωμ το υολογίσετε..56 Ν ln, λ,.57 N F lnd με.58 Έστω ργωγί :, με,. Ν ρείτεε το.59 Αο.6 Αν ράγωγο ν οδείξετε ότι ln, τω η συνάρτηση (), I ()d κι στη συνέχει ν ρείτε τις ρχικές των συνρτήσεων ln ημ g ρείτε τη συνάρτηση F ν οδείξτε ότι η συνάρτησηη έχει συνεχή δεύτερη d d. Ν ρείτε γι οι τιμή του ορίζετι το g ημ ίσιμη συνάρτηση d k κι d..6 Αν η συνάρτηση σ έχει συνεχή δεύτερη ράγωγο ν οδείξετε ότι..6 Δίνετι η συνεχής ς συνάρτηση γι την οοί ισχύει, γι κάθε Ν οδείξετεε ότι Α), γι κάθε. ). δείξτε ότι τ..65 Η συνάρτηση είνι συνεχήςς στο, με,,. Αοδείξτε ότι:. Αοδείξτε ότι ν υολογίσετε το. 5.6 Η συνάρτηση είνι συνεχήςς στο,. ε 6 την οοί ισχύει ημ συνd κι d ( 5)d.66 Η συνάρτηση είνι συνεχήςς στο, d ( (), ν υολογίσετε το (). ημ d I y y 6 () )d. (() ()ημd d. Αν συν d συν ημ ημ d ) ddy d +- d κι ρείτε d ημ d κι.67 Έστω μι συνάρτηση με συνεχή γι.6 Έστ τω ργωγίσιμη στο κι,. Υολογίστε το με d

13 Γ Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμούύ.68 Έστ, ()d () κι () c ( ) Α. Ν υολογίσετεε την τιμή του c. Β. Ν δείξετε ότι Γ. Ν υολογίσετεε το.69 Yο.7 Βρε τω συνάρτηση, ργωγίσιμη στο κι γι την οοί ισχύει ότι: ολογίστε το είτε τον τύο της,.7 Αν συν, ( )d ()d d d F τότε ()d d..7 * Αν η είνι συνεχής κι ότι.7 Η συνάρτηση είνι συνεχήςς στο,,.. Αοδείξτε ότι., κι υάρχουν, ώστε δείξετε ότι: d.7 * Αν συνεχής κι g ργωγίσιμη στο g, οδείξτε ότι d ()d g() g() d γι κάθε, ν ν ρείτε το d ΑΡΤΙΑ ΠΕΡΙΤΤΗ.7... Τζουρς κτευθυνσης 5 7 /8.75 Αν η συνάρτηση :, εινι συνεχης κι εριττη τότε συνεχης κι άρτι τότε.77 Έστ την ιδιότητ () ( () () γι κάθε. Αοδείξτε ότι η συνάρτηση, είνι άρτι, κι ότι τω η συνεχής συνάρτηση : μεε η η ()d.76 Αν η συνάρτηση :, εινι ()d 997 ()d. ()d ()d..78 Η συνάρτηση : είνι συνεχής, άρτι κι έχειι ερίοδο T. Ν οδείξετε ότι:. κι άρτι. Ν οδείξετε ότι: A) B). T T ()d.79 Η συνάρτηση είνι συνεχήςς στο, T ()d (ημ)d (συν)d.8 Ν οδείξετε ότιι d συν (ημ)d (συν)d

14 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΣ ΣΤΑΘΕΡΗ, -, ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΗ.8... Τζουάρς 7/5.8 Ν Α) Η Ισχύει.8 Ν () d.8 Δείξτε ότι είνι - οι συνρτήσεις F() d κι ΑΝΑΓΩΓΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ.87 Αν οδείξετε ότι γι κάθε Ι ν ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ.89 Αν εξίσωση της εφτομένη, κθώς κι ο λ ώστε η o y λ οδείξετε ότι: συν( 7, ν είνι κάθετη 6.9 Βρείτε τις εξισώσεις των εφτομένων της γ.. της συνάρτησης d στ σημεί τομής του με τον συν() d ρείτε την ράγωγο τηςς συνάρτησης Ι ν ν () εφ ) d είνι στθερή συν( d.είνι η στθερή; G() d, ν N* v ισχύει Ιν κι ν ν υολογίσετε το Ι 5. ν d, ν ρεθεί η ης ε της C άξον ) d,, ημ d τότε ν στο σημείο η στην ε..8 Έστω συνάρτηση με ντιστρέψιμη κι ργωγίσιμη. Ν οδείξετε ότι είνι στθερή η συνάρτηση G με G. την ιδιότητ Ν οδείξετεε ότι η συνάρτηση είνι στθερή.. ότι η είνι στθερή σ ν..88 Αν I ν οδείξετε ότιι. με Βρείτε την εφτομένη τηςς C στο,,().. : ισχύει ότι d.85 Έστω η συνεχής συνάρτηση.86 Αν, ώστε ώ ν ισχύει:.9 Αν γι την ργωγίσιμη συνάρτηση y () ()d ()d,,y. συνεχής στοο κι ισχύει ότι ()συνuduu d I d,, ν ρείτεε την εφτομένη της C στο σημείο της με ν ν I ν ν, ν Ν * A Δ, είνι d με Δ y, d, ν Ν ν.9 Έστω συνάρτηση ργωγίσιμη στο ()d, d κι : με, ν δείξετε o

15 Γ Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμούύ 5 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΚΟΙΛΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ Κ.Λ.Π Τζουρς κτευθ 6/7.9 Δείξτε ότι η έχει κριώς τρί σημεί κμής..9 Ν μ τ κοίλ τη συνάρτηση F().95 Έστω η συνεχής συνάρτηση g : με g() γι κάθε. Δείξτε ότι η συνάρτηση F() ( )g()d, με, είνι κυρτή στο..96 Ν της συνάρτησης ().97 Βρείτε τη μονοτονί των συνρτήσεων: () μελετήσετε ως ρος τη μονοτονί κιι ρεθεί το o ου είνι θέση μεγίστουυ du u d, G () 5 d () d, u udu d d..98 Η συνάρτηση είνι συνεχής στο, με γι κάθε,. Μελετήσετε τ κοίλ της συνάρτησης g..99 Δίνετι η συνάρτηση : συνεχής στο κι γνησίως φθίνουσ. Ν οδείξετε ότι η g με g() ()d είνι γνήσι φθίνουσ.. Η συνάρτηση είνι συνεχήςς στο, με γι κάθε,, ν μελετήσετε τ ε κοίλ της g d,,.. * Η συνάρτηση συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο κι η συνάρτηση g είνι συνεχής κι θετική στοο. Ν μελετήσετε τη μονοτονί της συνάρτησης h g d, g d d,, ΔΙΝΕΤΑΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ. Η συ κι ισχύει ότι δείξετε ότι. Αν γ ισχύει ( κάθε,, ν οδείξετε ότι: Α) υνάρτηση d γι κάθε. Ν στο, γι τις συνεχείς συνρτήσεις, g ()d g() () ()d g είνι συνεχής στο, γι κάθε, ()d g() g d γι.. Μι συνάρτηση σ είνι συνεχής στο. Ν ρείτε το με ν ισχύει ότι :. ισχύει ότι (, ). Ν δείξετε ότι () ()d.5 Η συνάρτηση είνι συνεχήςς στο κι..6 ** Αν η συνάρτησηη είνι συνεχής στο, με () γι κάθε, κι ισχύει ημ συν ( )d συν γι κάθε ()d ν οδείξετε ότι, ()d.

16 6 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΣ ΝΑ ΒΡΕΘΕΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ.7 Ν : γι τις οοίες γι κάθε ισχύει ότι: ()d.8 Ν είνι ορισμένη κι συνεχής στο, κι ισχύει ότι:.9 Δίν γι την οοί ισχύουν:. Ν d. Ν δείξετε ότι: (), [,] : γι την οοί ισχύει ότι κι. Ν ράγωγο στο () κι γι κάθε, ισχύει ότι: ()σ συνd συν. Ν : ν ισχύει ότι. N ν ισχύε ρείτε τις συνεχείς συνρτήσεις ()d ρείτε τον τύο συνάρτησης, ου ετι η συνάρτηση, συνεχής στο[,] ρείτε τον τύο της συνάρτησης d ρεθεί η συνάρτηση με συνεχή η () ( ) () d, ρεθεί η συνεχής συνάρτηση ( () d,. ρείτε τη συνάρτηση, συνεχής στοο ει d κι γι κάθε εφόσον () 6, ()ημd d,.. * Βρείτε τη συνάρτηση : ου είνι ργωγίσιμη γνησίως μονότονη στο κι ισχύει ότι. είνι συνεχής στο κι ισχύει ότι d d d. ώστε,,. Αοδεί...8 Δίνετι η συνάρτηση ου είνι συνεχής στο κι γι κάθε ισχύει ότι 6 d d c με c. Ν ρείτε την κι κ ν υολογίσετε τη στθερά c...9 Ν ρεθεί συνεχήςς συνάρτησηη : I I ν ισχύει () d,..5 Ν ρεθεί ο τύοςς της συνάρτησης ου ln ()d ln() d κι 5. Ν ρείτε τις συνεχείς συνρτήσεις :, ν ισχύει κι d.6 Έστω συνάρτηση συνεχής στο,,, κι υολογίστε το ν ισχύει ότι ()d () γι κάθε d γι κάθε είξτε ότι ( () d ( ) (),.7 Ν ρεθεί συνεχήςς συνάρτησηη :

17 Γ Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμούύ 7 ΥΠΑΡΧΕΙ ΠΡΟΣΟΧΗ!!! ()d (*). Η συ Ν οδείξετε ότι υάρχουν Α) o (,) ώστε o o γ (,) ώστε. Η συ διάστημ, κι ισχύει: ότι υάρχει ξ, ώστε (ξ) εφξ. Δίνε Ν οδείξετε ότι υάρχ o d οδείξτε ότι υάρχει τουλάχιστον έ τέτοιο ώστε: ξ.5 Αν υάρχει τουλάχιστον έν ξ, τέτοιο ώστε: ξ ξ ξ.6 Ν ξ ln d υνάρτηση είνι συνεχής στο,. υνάρτηση ετι η συνεχής συνάρτηση :, ξ d g ξ d συνεχής στο, ν οδείξετε ότι ξ ξ ξ οδείξετε ότι υάρχει ξ, με ξ lnξ ξ γ ημγ συνγ είνι συνεχής στο χει, o ()d. Δείξτεε ξ d ξ ξ o ()d γ d ()d τέτοιος ώστε:. Αν,g είνι συνρτήσεις συνεχείς στο έν ξ,..7 Η συνάρτηση είνι συνεχήςς στο, κι ισχύει ότι Α) o (,) ) γ (,) ώστε ώ..8 Η συνάρτηση είνι συνεχήςς στο. Δείξτε ότι υάρχει ξ, ώστε. κι ισχύει οδείξετε ότιι υάρχει ξ, ώστε ξ ξ. Ν οδείξετεε ότι υάρχει ξ (,) ώστε. Ν οδείξετεε ότι υάρχε ξ ()d ξ(ξ).9 Η συνάρτηση είνι ργωγίσιμη στο. Η συνάρτηση είνι συνεχήςς στο,. ξ ώστε ()d ξ lnl ξ ξ d o ()d. Δείξτε ότιι υάρχουν:.. Έστω συνάρτηση συνεχής κι γνήσι ύξουσ στο. Ν οδείξετε ότι η εξίσωση ε d d έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο, γ o ()d o ()d γ γ κι ν,. **Η συνάρτηση είνι συνεχής στο,. ει, o ώστε ν d. Ν d

18 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ. Ν Α) d 5 ln. Δείξ.5 Αν η, τότε κι.6 Αν η, με ()d ν οδείξετε ότι.7 Η συ ύξουσ στο. Α) Δείξτε ότι Ν λυθεί η νίσωση Δείξτε ότι.8 Η συ γι κάθε,,. Ν οδείξετε ότι d οδείξετε τις νισότητες: ξτε ότι ημ ln γι κάθε 5 η συνάρτησηη είνι συνεχής στο η συνάρτησηη είνι συνεχής στο () γι κάθε, κι ισχύει υνάρτηση υνάρτηση d d d d d d 5 () d () είνι συνεχής κι γνήσι 6 d είνι συνεχής στο, d d ()d. d d με..9 Έστω ότι η συνάρτηση έχει γνήσι ύξουσ ράγωγο στο, με. Ν οδείξετε ότιι. στο, μεε γι κάθε, η g είνι γνησίως ύξουσ,,. Ν οδείξετε ότι g. με γι κάθε,. Δείξτεε ότι. γι γ κάθε. Ν οδείξετε ότι:. Δείξτε ότι. κι η g είνι φθίνουσ στο,. Αοδείξτε ότι: ) Αν ξ d. Η συνάρτηση είνι συνεχήςς στο, ε d. Δίνετι η συνάρτηση ργωγίσιμη στο με γι την οοί ισχύει ότι d. Έστω. Έστω οι συνεχείς συνρτήσεις, ώστε d. Η συνρτήσεις κι g είνιι συνεχείες d η συνάρτηση, συνεχής στο,. d,,g :,, ώστε ν ισχύει ότ g d τότε υάρχει ξ d g d,, dγι κάθε, γι κάθε. d ι Α) g d d g,

19 Γ Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμούύ 9 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ.5 Α) Η,, -, μ Δείξτε ότι Αν 5 ρείτε το N δείξετε ότι.6 Έστω Η συνάρτησηη είνι ορισμένη στο με συνεχή ρώτη ράγωγο στο,. ()d () () 5 ω συνάρτησ ()d ση ln d ημ, Ν ρείτε τοο ολοκλήρωμ I ()d ()d. d..7 Αν οδείξετε ότιι η είνι γνησίως ύξουσ κι ν λύσετε την εξί..8 Έστω η ργωγίσιμη συνάρτηση : ώστ A) Δείξτεε ότι η είνιι γνησίως φθίνουσ B) Ν δείξετε ότι υάρχει έν τουλάχιστον o, τέ έτοιο ώστε o o ) Ν υολογίσετε τοο σωση: τε ()., d,, ν o d.. ΟΡΙΑ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑΑ.8... Τζουάρς δεσμες 8.6/.9 Ν Α) lim lim.5 Έστω κι η g Α) η g ργωγίσιμη στο κι ότι g η g είνι γνήσι ύξουσ..5 Βρεί οδείξετε ότι: συνd 6 ημ d ημ συν d ω η συνεχής συνάρτηση :, ίτε τη ()d ()d G Ν οδείξετε ότι ν G d..5 Ν υολογίσετε τ όρι: im ln d, lim ln n li lim. κι η συνάρτηση ημ d ημ συν d g ημ εφ Α) Αοδείξτε ότι η g είνι συνεχής στο Β Αν η είνι ργωγίσιμη στο o δείξτε ότι η g είνι ργωγίσιμη στο,. d d..5 Ν δείξετε ότι γι κάθε,,, κι ότι lim d ln.5 Έστω συνάρτηση, συνεχής στο, d d ν ν

20 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΣ ΕΜΒΑΔΑΑ.55 Ν g,.56 Δίνε C, την λάγι σύμτωτη της C τις τ ευθείες, κι τον άξον.57 Δίνε ράστσης της στ σημεί με τετμημένες κι. Ν υολογίσετε το εμδόν του χωρίου Ω, ου ερικλείετιι ό τη C κι τις δύο εφτόμενες...58 Έστω ρείτε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις των συνρτήσεων κι h() ετι η συνάρτηση (). Ν υολογιστεί το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη ετι η συνάρτηση με τύο () ln. Ν ρείτε τις εξισώσεις των εφτομένων της γρφικής ω E(λ) το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την κμύλη y, τον άξον κι τις ευθείες, λ (λ ). Ν ροσδιορίσετε την ευθεί ου χωρίζει το ράνω χωρίο σε δύο ισεμδικά χωρί..59 Δίνε ετι η συνάρτηση () (( ) Α) Ν υολογίσετε το εμδόν E του μέρους του ειέδου, τ σημεί ικνοοιούνν τις σχέσεις: Ν υολογίσετε με το lim E() κι y () M,yy του οοίου,.6 Αν F.6 Έστω ρείτε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη C τον κι τις ευθείες κι.6 Η συ Α) Ν ρείτε τον τύο της Ν ρείτε την οριζόντι σύμτωτη της Ν ρείτε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη C την ράνωω σύμτωτη κι τις ευθείες κι.6 Έστω Αν γνωρίζουμε ότι η Α) Ν ρείτε τη συνάρτηση h dκι τους άξονες, y y ω η συνεχής συνάρτηση με υνάρτηση ω οι συνρτήσεις,g μεε A Ag κι ισχύειι / g / γι κάθε. Ch ν ρείτε το εμδο τουυ χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της είνι ργωγίσιμη κιι ισχύει. της συνάρτησης h() () g() διέρχετι όό το σημείο A(, ) Ν υολογίσετε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τις C,C D ώστε () κι γι κάθε. Ν C στο d, κι ς g

21 Γ Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμού.6 Δίνε ετι η συνάρτηση ερικλείοντι ό τη C ln τον άξον κι την ευθεί Ν υολογίσετεε τ εμδά E των χωρίων ου.65 Α. Α Αν συνεχής στο,, ν οδείξετε ότι Β Αν ln εφ,, ()d ( )d. ) ).66 Έστω τοικό κρόττο στο o με τιμή μηδέν κι γρφικής ράστσης της συνάρτησης, του άξον κι των ευθειών κι.67 Δίνε ερικλείετιι ό την.68 Αν ο N οδείξ Ν υολογίσετε το εμδόν του είεδου χωρίου ου ορίζετι ό την γρφική ράστση της ω η συνάρτηση, δύο φορές ργωγίσιμη με γι κάθε. Αν η ρουσιάζει ετι η συνάρ C ξετε ότι κι τις ευθείες y, κι τηση οι συνρτήσεις, g είνι δύο φορέςς ργωγίσιμες στο κι κ ικνοοιούν τις σχέσεις g γι κάθε, g κ ln γι κάθε, ημ, ερικλείετιι ό τις γρφικές ρστάσεις των κι g. ν ρείτε το εμδόν του χωρίου μετξύ της,, Ν οδείξετε ότι ό το εμδόν του χωρίου ου τον άξον κι τις ευθείες κι είνι ε Ε lnn. ι g. Ν ρείτεε το εμδόνν του χωρίου ου.69 Δίνε ετι η συνάρτηση με τύ ύο υολογίσετεε το εμδόν του χωρίου,, το οοίο ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της τον άξον κι τις ευθείες με εξισώσεις κιι., ln. Ν οδείξετε ότι η είνι συνεχής κι ν,.7 N ln y ρείτε το εμδόν του χωρίου ου εριέχει τ σημεί Μ,yy με κι.7 N οδείξετε ότι το εμδόν του χωρίου ου εριέχετι νάμεσ στην κμύλη y κι την ευθεί y ισούτι με 6

22 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ.7 Δίν Α) ημ γι κάθε. το εμδόν του χωρίου μετξύ των C κι C κι των ευθειώνν κι είνι Ε τμ..7 Η σ. Α) Μελετήστε την ως ρος τη μονοτονί.. Αοδείξτε ότι η ντιστρέφετι. Ν λύσετε τις εξισώσεις κι Υολογίστε το άθροισμ I.7 Έστ,y, με Α) Ν οδείξετε ό Ν λύσετε την εξίσωση Ν υολογίσετεε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τιςς γρφικές ρστάσεις των συνρτήσεων.75 Θεω Αν F είνι μι ράγουσ της στο Δ, ν οδείξετε ότι: A) F Fd.76 Α) ν δείξετε ότι ετι η συνάρτηση: () ορίζετι η :,,. συνάρτηση τω η συνεχής συνάρτηση :, γι την οοί ισχύει ότι y h. ωρούμε την συνάρτηση συνεχή το Δ, ώστε γι κάθε Δ ν ισχύει: d Aνισότητ Bunyakovsky-Cauchy- Schwarz: Αν, g είνι συνεχείς συνρτήσεις στο,, Ν οδείξετε ότι ) είνι ργωγίσιμη στο ότι, g d ln,, g κι την ευθεί. συν d,. Ν οδείξετε ότι: () ()d ()d. d g() d. ()d ο με. B) ()d κι ισχύ F() d d ) ln () γι κάθε ύει: ()d y F()d y γι κάθε ()d. ()d ()d

23 Γ Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμούύ.77 Δίν, γι Α) H δεν έχει σημεί κμής H είνι κοίλη Ε) ετι η συνάρτηση συνεχής στο διάστημ,, ργωγίσιμη δύο φορές στο διάστημ την οοί είσης γνωρίζουμε ότι κι (() )d () (),, γι κάθε,.78 Η σ συνάρτηση : είνι συνεχής κι γι κάθε, ισχύει: Α) Ν δείξετε ότι η συνάρτηση ντιστρέφετι. Ν μελετήσετε τη συνάρτηση ως ρος τη μονοτονί. γ δ Ν λύσετε τις εξισώσεις: Ν οδείξετε ότι d κι.79 *Α) ) ) Δίνετι η συνάρτηση F d,. 9 ) ) Ν ρείτε την F κι ν μελετήσετεε τη μονοτονί της F Ν οδείξετε ότι η F είνι εριττή. Δίνετι η συνάρτηση G ln 9 ) ) Ν υολογίσετε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της F, τον άξον κι τις ευθείες κι.8 * Δί Δίνετι η συνάρτηση lim d Ν οδείξετε ότι G ίνετι η γνησίως ύξουσ κι συνεχής συνάρτηση :, γι την οοί ισχύει: ( ) () ()ln, γι κάθε. Αν g() A) ν μελετήσετε την g ως ρος την μονοτονί κι τ κρόττ, B) ν οδείξετε ότι g() γι κάθε ν οδείξετε ότι η g έχει κριώς έν σημείο κμής, ν ρείτε τη συνάρτηση g γι κάθε,,,,,. Ν οδείξετε ότι 9 F ln, Ε) Αν γι κάθε,,, ν υολογίσετε το εμδόν τουυ χωρίου ουυ ερικλείετι ό την γρφική ράστση της συνάρτησης, τον κι τις ευθείες,. η d, τότε:

24 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΣ.8 *Έσ ότι Α) ) ).8 Έστ Α) Ν οδείξετε ότι ) ) γ) Αν ) τις ευθείες y κι y ) γ) στιγμή κτά την οοί είνι μονάδες.8 ** Δ Α) η h είνι γνήσι ύξουσ σε κθέν ό τ διστήμτ, Αν στω η συνάρτηση συνεχής στο μ d γι κάθε d γνησίως ύξουσ γι κάθε γνησίως φθίνουσ γι κάθε τω : υάρχει ξ, ώστε ξ ξ τότε: Ν ρείτε το εμδόν Ε του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της κι Δίνοντι οι συνεχείς συνρτήσεις g κι φ με g κι φ γι κάθε. Αν ισχύει ότι h d όου h h h d γι Η συνάρτηση h Η συνάρτηση k τότε η h είνι Γι κάθε υάρχει ξ ώστε h d ργωγίσιμη συνάρτηση ώστε: γι τηνν οοί ισχύει ότι γι κάθε. Ν οδείξετε ότι E κάθε συνd d είνι : ημd είνι γνησίως ύξουσ στοο, φ d φ γι κάθε κι 77. Ν οδείξετε με d τότε ν οδείξετε ότι: κι ξ g d ξ ξ h g ξ ξ ξ, υ (mahmaica.gr) Αν το υξάνει με ρυθμό μον/sc, ν ρείτε το ρυθμό μετολής μ του Ε τη χρονική (mahmaica.gr)

25 Γ Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμούύ 5.8 Δίν A) Ν ρείτε το εδίο ορισμού της F κι ν ρείτε την ράγωγό της τ B) Δείξτε ότι η F έχει μονδική ρίζ ξ με ξ,. Βρείτε κι το ρόσημο της F στ διστήμτ,ξ Ν οδείξετε ότι Δείξτε ότι η εξίσωση F έχει κριώς δύο διφορετικές ρίζες ό τις οοίες η μί ρίσκετι στο διάστημ, n Ε) Ν ρείτε το lim ( ) d.85 ** Έ. Α) Ν οδείξετε ό Ν υολογίσετεε το Ε) Ν μελετηθεί η ως ρος τη μονοτονί κι ν ρεθεί το ρόσημό της. Στ) Ν μελετηθεί η ως ρος τ κοίλ κι ν ρεθεί ν υάρχει το σημείο κμής της Z) Ν οδείξετε ότι η ντιστρέφετι κι ν ρεθεί η H) Ν οδείξετε ότι γι κάθε ισχύειι.86 Γι ετι η συνάρτηση F Έστω συνάρτηση συνεχής στο με τη συνεχή συνάρτηση :, ισχύει Α) Ν οδείξετε ότι η είνιι ργωγίσιμη στο, Ν οδείξετε ό F F ln, ότι ότι Ν οδείξετε ότι ln v v ln v, Ν ρείτε τον μονδικό θετικό ργμτικό ριθμό γι τον οοίο ισχύει o n d d, γι κάθε d,.. Ν οδείξετε ότι υάρχει, τέτοιο ώστε d Ε) Ν υολογίσετεε το lim ln n Στ) Αν v, ν υολογίσετε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη C, τον άξον κι τις ευθείες κι. d 5, ξ, γι την οοί ισχύει: Ν ρεθεί η εξίσωση της εφτομένης της C στο σημείο της M,() o.. o C. v * v d,, v N. v v v v d, γι κάθε

26 6 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΣ.87 * Δί κ Α) Η συνάρτηση g.88 Δίν ίνετι η συνάρτηση ργωγίσιμηη στο ώστε ν ισχύουν. Ν οδείξετε ότι: κι d γι κάθε d, είνι γνησίως ύξουσ. οντι: η συνεχής κι εριττή συνάρτηση :, κι η G d με, Α) Ν οδείξετε ότι ) G,, ) G κι G Αν είνι G ημ με, τότε: ν ρείτε τ,, τη συνάρτηση κι ν υολογίσετεε το ολοκλήρωμ I d ν: d γι κάθε.89 Δίν Α) Ν οδείξετε ό Ν ρεθεί ο ώστε η συνάρτηση g ln Γι τις τιμές του ου ρήκτε στο (A ) ερώτημ,οδείξτε ότι γι την συνάρτηση g ισχύει ότι το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την C κι τον άξον δεν είνι μεγλύτερο ό.9 Δίν ετι η συνάρ ετι η συνάρτηση :, η οοί είνι κυρτή με συνεχή ρώτη ράγωγο κ Α) Ν οδείξετε ότι η g είνιι συνεχής στοο, Ν ρείτε τη ράγωγο της g Ν οδείξετε ότι η g είνι γνησίως ύξουσ στο, Ν οδείξετε ότι ρτηση ότι ( )ln, (,) ln, ()d ()d lim y y ( ) y y. Θεωρούμε είσης τη συνάρτηση g, μεε τύο g(), g y, όου θετικός ργμτικός ριθμόςς με. ν ρουσιάζει ελάχιστο. ()d,, Τότεε τ.μ., ι

27 Γ Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμούύ 7.9 Έστ u ερικλείετι ό τη C, τον, τον yy κι την ευθεί u είνι E u u γι κάθε u, () ν δείξετε ότι lim ν ρείτε τον τύο της ) ).9 Δίν γι κάθε, όου είνι στθερός ριθμός. Α) Ν οδείξετε ότι Ν οδείξετε ό Αν γι τη συνάρτηση g ισχύει g () ) g () γι κάθε, ν οδείξετε ότι η εξίσωση ε g τω ργωγίσιμη στο έχει μί τουλάχιστον λύση. Ν οδείξετε ότι η C εφάτετι με τηη C, όου h Ε) Ν ρείτε το εμδόν του χωρίου ου σχημτίζουν η Α) Ν ρεθεί η F' F Ν υολογιστεί το όριο lim ν δείξετε ότι γι κάθε ισχύειι ετι ργωγίσιμη συνάρτηση :, με 6 ν λυθεί η εξίσωση ότι Ν οδείξετε την νίσωση lnf Ν οδείξετε ότι ο άξονς yy είνι σύμτωτη της F, με τότε: Α) ν δείξετε ότι γι κάθε, ημ.9 Δίνετι η συνάρτηση F με F κι ν ρείτε την τιμή του. γι κάθε,. Αν το εμδόν του χωρίου ου h d ln με, C, η C h κι κι οι άξονες κι y y d.9 Δίν ετι η συνάρ Α) Ν μελετήσετε την ως ρος την μονοτονί τ κρόττ τ κοίλ τ σημεί κμής ν ρείτε τις σύμτωτες της γρφικής ράστσής της κι ν σχεδιάσετε τη γρφικήή της ράστση. ν οδείξετε ότι d d ν ρείτε το εμδόν του χωρίου ου ορίζετι ό τις σχέσεις κι y Ν ρείτε το lim ρτηση: ln, d

28 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΣ.95 Δίν Α) Ν οδείξετε ότι η είνιι ργωγίσιμη στο Ν μελετήσετε την ως ρος την μονοτονί Ν οδείξετε ότι η C έχειι οριζόντι σύμτωτη την y στοο Δίνετι η συνάρτηση g: ) ).96 Δίν Δ Δ Δ Δ (ε) της κι ν ρείτε την εξίσωση της εφτομένης της C στο. Ν υολογίσετεε το Αν ειλέον ισχύει ότι E Υολογίστε το εμδόν C Ο, στο τον ρυθμό μετολής του Ε() την χρονική χ στιγμή όου.97 Έστ Γ. Ν δείξετε ότι η συνάρτηση ντιστρέφετι κι ν ρείτε το D Γ. Ν οδείξετε ότι η εξίσωσηη Γ. Ν υολογίσετεε το lim Γ. Αν θεωρήσουμεε ότι η είνι ργωγίσιμη, ) ν δείξετε ότι η είνι κοίλη στο κι ν ρείτε την εφτομένης της ) ν ρείτε το εμδό του χωρίου ου ερικλείετι ό την C τον άξον, κι την εφτομένη ε της C στο.98 * Έσ. Αν, ν οδείξετε ότι: ό A) F ετι η συνάρ Ν οδείξετε ότι οι γρφικές ρστάσεις των g κι ετι η ργωγίσιμη συνάρτηση : γι την οοί ισχύουν γι κάθε κι τις ευθείες κι τω η συνάρτηση με τύο ο στω η συνάρτηση : κι F μι ρχική της με την ιδιό F, ρτηση lim η μ d με g Ν οδείξετε ότι η g ντιστρέφετι του χωρίο ου νάμεσ στη γρφική ράστση της, την εφτομένη ε ο, F έχει κριώς μι ρίζ στο. Ε)., όου. g δεν τέμνοντι. d,ν ρείτε τον τύο τηςς στο,. Δ5. Αν την χρονική στιγμή ο ρυθμός μετολής του ελττώνετι με ρυθμό m/sc,ν ν ρείτε F ότητ C F F στο. γι κάθε