ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ"

Transcript

1 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΑΛΟΝΙΚΙΔΗΣ ΣΑΛΟΝΙΚΟΣ Επιβλέπων: Σταυρουλάκης Γεώργιος Συνεργάτες: Παπαχρήστου Ιωάννης Διπλωµατική εργασία Μελέτη για την απόδοση ενός ασαφούς συστήµατος ελέγχου για την µείωση των ταλαντώσεων σε µηχανικές κατασκευές

2 Περιεχόµενα Εισαγωγή 3/ Ασαφής λογική 4/ Ασαφής ελεγκτής 5/ Παράδειγµα ανάπτυξης αλγορίθµου 6/ Ορισµός προβλήµατος (µοντέλο Α)14/ Ορισµός προβλήµατος (µοντέλο Β) 15/ Μορφές δυνάµεως εξωτερικής φόρτισης 17/ Μοντελοποίηση δοκού σε περιβάλλον SIMULINNK 19/ Μορφή κλειστού βρόγχου 21/ Ελεγκτής LQR 22/ Ελεγκτής Mamdani 23/ Ελεγκτής Sugeno 25/ Σύστηµα ANFIS 28/ Αποτελέσµατα ηµιτονοειδούς φόρτισης 32-36/ Αποτελέσµατα φόρτιση µορφής ράµπας 35-44/ Αποτελέσµατα φόρτιση µορφής µικτής ράµπας 44-50/ Συµπεράσµατα από διαγράµµατα 51-57/ Επίλογος 58/ Βιβλιογραφία 60-61/. 2

3 Κεφάλαιο 1 ο 1. Εισαγωγή Η διπλωµατική εργασία έγινε µε την βοήθεια και την επίβλεψη του καθηγητή του τµήµατος Μηχανικών Παραγωγής και Διοίκησης του Πολυτεχνείου Κρήτης κ. Γεωργίου Σταυρουλάκη. Aφορά την µελέτη ενός προκατασκευασµένου συστήµατος ασαφούς ελεγκτή παραµετροποιώντας τον οποίο προσπαθούµε να µελετήσουµε την αποτελεσµατικότητά του. Το σύστηµα πάνω στο οποίο δοκιµάζουµε τον ελεγκτή έχει σχεδιαστεί και χρησιµοποιηθεί χωρίς παραµετρική διερεύνηση από τον κ. Γεώργιο Ταϊρίδη στα πλαίσια της µεταπτυχιακής του διατριβής. Επίσης στοχεύουµε στην σύγκριση των αποτελεσµάτων του ελεγκτή που χρησιµοποίησε ο κ. Ταϊρίδης και αυτού που θα χρησιµοποιήσουµε παρακάτω. Το σύστηµα που εξετάζουµε αποτελείται από µια πακτωµένη ράβδο (πρόβολο δοκού) η οποία εκτίθεται σε αρµονική ταλάντωση. Προσοµοιώνουµε µε την βοήθεια του προγράµµατος Simulink της Matlab και µε την χρήση ενος νευροασαφούς ελεγχτή που παρέχεται στην βασική βιβλιοθίκη της Matlab. Στόχος µας είναι να ελέγξουµε όσο το δυνατό περισσότερο την ταλάντωση, τόσο ως προς το εύρος της όσο και προς τις δυνάµεις, τις επιταχύνσεις και συνεπώς τις καταπονήσεις που ασκούνται στην δοκό και να παρατηρήσουµε την αποτελεσµατικότητα του ελεγκτή µας µετά από ένα πεπερασµένο αριθµό επαναλήψεων εκπαίδευσης. 3

4 Κεφάλαιο 2ο 1. Ασαφής λογική Η ασαφής λογική (fuzzy logic) είναι µια επέκταση της κλασσικής αριστοτέλειας λογικής. Σύµφωνα µε το µαθηµατικό µοντέλο που ισχύει µέχρι σήµερα µια πρόταση µπορεί να είναι αληθής ή ψευδής. Ακολουθώντας την ασαφή λογική όµως µπορούµε να πούµε ότι µία πρόταση είναι αληθής "µε κάποιο βαθµό αληθείας". Για παράδειγµα ας υποθέσουµε ότι ένα Α προϊόν κοστίζει 100, Το αντίστοιχο προϊόν Β από µια ανταγωνιστική εταιρεία κάνει 110 η κλασσική λογική ορίζει ότι η πρόταση το προϊόν Α είναι ακριβότερο από το Β είναι αληθής. Η ασαφής λογική ορίζει ότι η παραπάνω πρόταση είναι αληθής, αλλά σε κάποιον βαθµό(ποσοστό), π.χ. 20%. Με την ασαφή λογική µπορούµε να λάβουµε υπ όψιν µας και ποιοτικές µεταβλητές, όπως η ποιότητα, η χρηστικότητα κ.λ.π. Συνεπώς το βασικό πλεονέκτηµα της λογικής αυτής είναι ότι µπορεί να λειτουργεί σε περιβάλλον ασάφειας και αβεβαιότητας.μπορούµε επίσης εµπειρικά να κωδικοποιήσουµε λεκτικές µεταβλητές και να χρησιµοποιήσουµε µια αυτοµατοποιηµένη µεθοδολογία επίλυσης που πλησιάζει περισσότερο στην ανθρώπινη λογική και αναλύει συστήµατα αρκετά πιο πολύπλοκα από την κλασσική µεθοδολογία ελέγχου µιας µηχανής. 4

5 2. Ασαφής ελεγκτής Οι ελεγκτές που χρησιµοποιούνται είναι M.I.S.O. (Multiple Inputs One Output). Αρχικά εισάγουµε τις συναρτήσεις συµµετοχής των δεδοµένων εισόδου και στη συνέχεια τους κανόνες και το βάρος του καθενός. Θα συγκρίνουµε τα αποτελέσµατα µας χρησιµοποιώντας τον ελεγκτή Μamdani τον ελεγκτή Takagi-Sugeno και ελεγκτή LQR (από το fuzzy toolbox του matlab). Η διαφορά των τριών ελεγκτών είναι ότι ο Μamdany δέχεται ως εξισώσεις συµµετοχής εξόδου καµπύλες διαφόρων µορφών, όπως Gauss, ενώ ο Sugeno δέχεται µόνο σταθερά σηµεία και συναρτήσεις της µορφής y=a*x. Επίσης ο Sugeno, αντίθετα µε τον Μamdani, έχει την δυνατότητα εκπαίδευσης µε την χρήση του εκπαιδευτή ANFIS της Matlab, ο οποίος χρησιµοποιώντας δεδοµένα από δοκιµές επεµβαίνει στις συναρτήσεις συµµετοχής του ελεγκτή και τις τροποποιεί ανάλογα µε τις απαιτήσεις µας. Εποµένως, συνοπτικά οι ελεγκτές που χρησιµοποιούνται : LQR: Ελεγκτής βασισµένος σε µαθηµατικό µοντέλο Madman: Ελεγκτής βασισµένος στην ασαφή λογική, προκατασκευασµένος Sugeno: Ελεγκτής βασισµένος στην ασαφή λογική, ο οποίος εκπαιδεύεται µε χρήση νευροασαφούς λογικής (ANFIS) 5

6 3. Παράδειγµα ανάπτυξης αλγόριθµου Πριν αναλύσουµε το µοντέλο προβόλου δοκού αναλύουµε ένα πιο απλό παράδειγµα. Το συγκεκριµένο µοντέλο αφορά ένα δευτεροβάθµιο σύστηµα µάζας-ταλαντωτή- αποσβεστήρα µε ένα βαθµό ελευθερίας. Η εξίσωση που περιγράφει το παραπάνω πρόβληµα είναι m u + c u + k u = F u = m c m u k m u F Αρχικά, ανοίγουµε την Μatlab και επιλέγουµε τον χώρο εργασίας µας(c:\..) και µετά το εικονίδιο της Simulink. 6

7 Ανοίγουµε ένα καινούριο µοντέλο και χρησιµοποιώντας τα drag and drop εικονίδια της βιβλιοθήκης (Simulink library browser) δηµιουργούµε το µοντέλο µας. Παρατηρούµε ότι στους πολλαπλασιαστές (gain) έχουµε βάλει µεταβλητές (π.χ. c/m). Για να κάνουµε simulate το µοντέλο µας πρέπει να αρχικοποιήσουµε τις µεταβλητές µας στο παράθυρο εντολών του προγράµµατος (Μatlab). Οι αρχικές τιµές είναι: Σταθερά ελατηρίου k=5000 N/m Μάζα Απόσβεση m=0.002 kg c=30 N*s/m Η φυσική συχνότητα του συστήµατος είναι: 7

8 Η διέγερση είναι αρµονική, της µορφής: µε πλάτος και. Στα δύο διαγράµµατα βλέπουµε στο πάνω το πεδίο µετακινήσεων και στο κάτω το πεδίο ταχυτήτων. Έπειτα προσθέτουµε στο σύστηµα τον ελεγκτή γράφοντας fuzzy στην γραµµή εντολών, εισάγουµε τα δεδοµένα µας και στην συνέχεια τον κάνουµε export στο περιβάλλον εργασίας µας. 8

9 και τον µεταφέρουµε στο µοντέλο µας. 1. Παράδειγµα ανάπτυξης αλγόριθµου Πριν αναλύσουµε το µοντέλο προβόλου δοκού αναλύουµε ένα πιο απλό παράδειγµα. 9

10 Το συγκεκριµένο µοντέλο αφορά ένα δευτεροβάθµιο σύστηµα µάζας-ταλαντωτή- αποσβεστήρα µε ένα βαθµό ελευθερίας. Η εξίσωση που περιγράφει το παραπάνω πρόβληµα είναι m u + c u + k u = F u = m c m u k m u F Αρχικά, ανοίγουµε την Μatlab και επιλέγουµε τον χώρο εργασίας µας (C:\..) και µετά το εικονίδιο της Simulink. 10

11 Ανοίγουµε ένα καινούριο µοντέλο και χρησιµοποιώντας τα drag and drop εικονίδια της βιβλιοθήκης (Simulink library browser) δηµιουργούµε το µοντέλο µας. Παρατηρούµε ότι στους πολλαπλασιαστές (gain) έχουµε βάλει µεταβλητές (π.χ. c/m). Για να κάνουµε Simulate το µοντέλο µας πρέπει να αρχικοποιήσουµε τις µεταβλητές µας στο παράθυρο εντολών του προγράµµατος (Μatlab). Οι αρχικές τιµές είναι: Σταθερά ελατηρίου k=5000 N/m Μάζα Απόσβεση m=0.002 kg c=30 N*s/m Η φυσική συχνότητα του συστήµατος είναι: 11

12 Η διέγερση είναι αρµονική, της µορφής: µε πλάτος και. Στα δύο διαγράµµατα βλέπουµε στο πάνω το πεδίο µετακινήσεων και στο κάτω το πεδίο ταχυτήτων. Έπειτα προσθέτουµε στο σύστηµα τον ελεγκτή γράφοντας fuzzy στην γραµµή εντολών, εισάγουµε τα δεδοµένα µας και στην συνέχεια τον κάνουµε export στο περιβάλλον εργασίας µας. 12

13 και τον µεταφέρουµε στο µοντέλο µας. 13

14 Μεταφέρουµε τον ελεγκτή στο µοντέλο µας το οποίο είναι µορφής ελέγχου κλειστού βρόγχου όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήµα, γεγονός το οποίο είναι αναπόφευκτο αφού στόχος µας είναι να λειτουργεί το σύστηµα ελέγχου για οποιαδήποτε τιµή εξωτερικής φόρτισης. Αν και αξίζει να σηµειωθεί ότι οι παρούσες ρυθµίσεις του ελεγκτή αφορούν συγκεκριµένο εύρος τάσεων οποιασδήποτε µορφής (γραµµική, ηµιτονοειδή, κτλ.). x = A * x + B * u y = C * x µε την βοήθεια της Μatlab. από αυτό το σηµείο µοντελοποιούµε µε την βοήθεια του State-Space Block το πρόβληµα µας σε περιβάλλον Simulink. Στο µοντέλο αυτό οι µετρήσεις γίνονται µε βάση την απόκλιση θέσης του σηµείου ελέγχου από τον άξονα συµµετρίας της ράβδου. 14

15 Μοντέλο Β: Εξετάζουµε επίσης την συµπεριφορά µίας ράβδου διαφορετική από την προηγούµενη στην οποία οι µετρήσεις των δεδοµένων για τον έλεγχο γίνονται µε βάση την ταχύτητα σε κάθε χρονική στιγµή. 15

16 Σε αυτό το παράδειγµα έχουµε χωρίσει την ράβδο σε τέσσερεις ράβδους ελέγχου. Όµως ο έλεγχος δεν γίνεται µε βάση την απόκλιση ενός σηµείου ελέγχου από κάποιο σηµείο ισορροπίας αλλά από την µέτρηση της κάµψης ενός ή περισσοτέρων τµηµάτων της ράβδου. 16

17 Αυτή η µέθοδος ελέγχου είναι πιο ρεαλιστική αφού τα πιεζοηλεκτρικά υλικά αλλάζουν τις ιδιότητες τους ανάλογα µε τις δυνάµεις, είτε θλιπτικές είτε καµτικές, που ασκούνται σε αυτά. Οπότε οι µετρήσεις και η δύναµη ελέγχου θα µπορούσαν να γίνουν µέσω µίας ή περισσοτέρων πακτωµένων πιεζοηλεκτρικών ράβδων στο σύστηµα. Μορφές δυνάμεων εξωτερικής φόρτισης: Ηµιτονοειδούς Ράµπας Μικτής φόρτισης 17

18 18

19 Μοντελοποίηση δοκού σε περιβάλλον SIMULINK. Μοντέλο Α: 19

20 Μοντέλο Β: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΛΕΓΚΤΗ ΣΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 20

21 Μορφή Κλειστού Βρόγχου Για να λειτουργήσει το σύστηµα σε οποιαδήποτε µορφή εξωτερικής φόρτισης ή δύναμη Εξωτερικ σύστημα έλεγχος Μέτρηση αποτελεσμάτων 21

22 Ελεγκτής LQR : 22

23 Ελεγκτής Mamdani :συναρτήσεις συµµετοχής 23

24 Ελεγκτής Mamdani : Κανόνες ελέγχου 24

25 Ελεγκτής Mamdani : Γραφική αναπαράσταση κανόνων Ελεγκτής Sugeno : Συναρτήσεις συµµετοχής µετατοπίσεων 25

26 26

27 Ελεγκτής Sugeno: Συναρτήσεις συµµετοχής ταχύτητας 27

28 Ελεγκτής Sugeno: Δοµή κανόνων ANFIS 28

29 Ελεγκτής Sugeno: Γραφική αναπαράσταση κανόνων 29

30 30

31 Κατά την διάρκεια εκπόνησης των τριών διπλωµατικών εργασιών (Ταΐρίδη, Παπαχρήστου, Σαλονικίδη) επιλύθηκαν τα ακόλουθα παραδείγµατα 23#παραδείγματα#επιλύθηκαν## Χωρίς#έλεγχο# ημιτονοειδή# LQR# Μοντέλο#Α# ράμπας# Mamdani# μικτής# Sugeno# 31

32 Παρουσιάζουµε κάποια αποτελέσµατα προσοµοιώσεων : Μοντέλο Α µε ηµιτονοειδή µορφή φόρτισης: LQR, Sugeno 32

33 Μοντέλο Α µε ηµιτονοειδή µορφή φόρτισης: LQR, Sugeno Μοντέλο Α µε ηµιτονοειδή µορφή φόρτισης: LQR, Sugeno 33

34 Μοντέλο Α µε ηµιτονοειδή µορφή φόρτισης: LQR, Sugeno Συγκριτικά αποτελέσµατα : 34

35 Μοντέλο Α µε φόρτιση µορφής ράµπας: Χωρίς έλεγχο, Mamdani 35

36 Μοντέλο Α µε φόρτιση µορφής ράµπας: Χωρίς έλεγχο, Mamdani Μοντέλο Α µε φόρτιση µορφής ράµπας: Χωρίς έλεγχο, Mamdani 36

37 Μοντέλο Α µε φόρτιση µορφής ράµπας: Χωρίς έλεγχο, Mamdani Μοντέλο Α µε φόρτιση µορφής ράµπας: Mamdani,Sugeno 37

38 Μοντέλο Α µε φόρτιση µορφής ράµπας: Mamdani,Sugeno Μοντέλο Α µε φόρτιση µορφής ράµπας: Mamdani,Sugeno 38

39 Μοντέλο Α µε φόρτιση µορφής ράµπας: Mamdani, Sugeno Μοντέλο Α µε φόρτιση µορφής ράµπας: Mamdani, Sugeno 39

40 Μοντέλο Α µε φόρτιση µορφής ράµπας: Mamdani, Sugeno Μοντέλο Α µε φόρτιση µορφής ράµπας: Mamdani, Sugeno 40

41 Μοντέλο Α µε φόρτιση µορφής ράµπας: Sugeno, LQR Μοντέλο Α µε φόρτιση µορφής ράµπας: Sugeno, LQR 41

42 Μοντέλο Α µε φόρτιση µορφής ράµπας: Sugeno, LQR Μοντέλο Α µε φόρτιση µορφής ράµπας: Sugeno, LQR 42

43 Μοντέλο Α µε µικτή µορφή ράµπας: Χωρίς έλεγχο, Mamdani Μοντέλο Α µε µικτή µορφή ράµπας: Χωρίς έλεγχο, Mamdani 43

44 Μοντέλο Α µε µικτή µορφή ράµπας: Χωρίς έλεγχο, Mamdani Μοντέλο Α µε µικτή µορφή ράµπας: Χωρίς έλεγχο, Mamdani 44

45 Μοντέλο Α µε µικτή µορφή ράµπας: Χωρίς έλεγχο, Sugeno 2 Μοντέλο Α µε µικτή µορφή ράµπας: Mamdani, Sugeno 45

46 Μοντέλο Α µε µικτή µορφή ράµπας: Mamdani, Sugeno Μοντέλο Α µε µικτή µορφή ράµπας: Mamdani, Sugeno 46

47 Μοντέλο Α µε µικτή µορφή ράµπας: Mamdani, Sugeno Μοντέλο Α µε µικτή µορφή ράµπας: Mamdani, Sugeno 47

48 Μοντέλο Α µε µικτή µορφή ράµπας: Mamdani, Sugeno Μοντέλο Α µε µικτή µορφή ράµπας: Mamdani, Sugeno 48

49 Μοντέλο Α µε µικτή µορφή ράµπας: Sugeno, LQR Μοντέλο Α µε µικτή µορφή ράµπας: Sugeno, LQR 49

50 Μοντέλο Α µε µικτή µορφή ράµπας: Sugeno, LQR Μοντέλο Α µε µικτή µορφή ράµπας: Sugeno, LQR 50

51 Συµπεράσµατα Στην ηµιτονοειδή µορφή φόρτισης µε LQR και Sugeno έχουµε ως βασικό στόχο την µείωση της ταλάντωσης της δοκού. Έτσι παρατηρώντας το διάγραµµα διαπιστώνουµε µια πιο οµαλή ταλάντωση µε µείωση της τάξεως 10%. Επίσης, ο Sugeno µετά το 0.4 δευτερόλεπτο έχει µεγαλύτερη τιµή στην ταχύτητα από τον άλλον ελεγκτή. Ο Sugeno είναι πιο οµαλός ελεγκτής από τον LQR µετά το 0.4 δευτερόλεπτο σε αντίθεση µε τον LQR που οµαλοποιείται µετά το 1 δευτερόλεπτο. Αυτό φαίνεται χαρακτηριστικά στο παρακάτω γράφηµα: 51

52 Επίσης κριτήριο για το εύρος καταπόνησης της δοκού είναι η επιτάχυνση και η εξωτερική δύναµη που εξασκείται σε αυτή. Από τα δυο παρακάτω συγκεντρωτικά γραφήµατα παρατηρούµε ότι ο LQR ελεγκτής έχει την µικρότερη µέγιστη επιτάχυνση και συνολική δύναµη. 52

53 53

54 Προχωρώντας στο µοντέλο Α στη µορφή φόρτισης ράµπας παρατηρούµε πως οι Sugeno ελεγκτές είναι πολύ πιο σταθεροί από οποιαδήποτε απλό ασαφή ελεγκτή.αυτό το αντιλαµβανόµαστε εύκολα στο παρακάτω διάγραµµα. Κατόπιν της σύγκρισης του Sugeno µε τον LQR παρατηρούµε πως η µετατόπιση στον δεύτερο είναι µεγαλύτερη συγκριτικά µε τον πρώτο στην πάροδο του χρόνου. 54

55 Όπως επίσης η ταλάντωση της ταχύτητας στον LQR ελεγκτή αργεί να οµαλοποιηθεί συγκριτικά µε τον Sugeno ελεγκτή. 55

56 Τελειώνοντας το µοντέλο A θα µελετήσουµε τα διαγράµµατα σύγκρισης που έχουν επέλθει υπό µικτή µορφή φόρτισης. Στο από πάνω διάγραµµα παρατηρούµε πως η µετατόπιση του sugeno ελεγκτή είναι µικρότερη απο του mamdani και πιο σταθερή.αρα ο sugeno είναι καλύτερος αφού στόχος µας είναι να µειώσουµε τη µετατόπιση 56

57 Στο τελευταίο διάγραµµα παρατηρούµε ότι ο LQR ελεγκτής είναι πιο ασταθής απο τον sugeno και ειδικότερα µετά το 2 ο δευτερόλεπτο. 57

58 Επίλογος Οι ασαφής ελεγκτές είναι κατάλληλοι για τον έλεγχο περίπλοκων συστηµάτων ακόµα και για µη γραµµικές δοµές προσαρµοσµένοι ασαφής ελεγκτές µπορούν να καλύψουν τις υψηλές απαιτήσεις σχετικά µε την αποτελεσµατικότητα και την οµαλότητα του προκύπτοντος ελεγχόµενου συστήµατος.περαιτέρω έρευνα για την πιο περίπλοκη ανάλυση τρισδιάστατων δοµών καθώς και εφαρµογές άλλων µεθόδων σε νευρωνικά δίκτυα θα µας βοηθήσει να κατανοήσουµε τις προτεινόµενες τεχνικές. 58

59 References [1] H. Adeli, A. Saleh, Control, optimization and smart structures: High performance bridges and buildings of the future, Wiley, [2] M. Betti, G.E. Stavroulakis, C.C. Baniotopoulos, Active vibration suppression of smart beams, PAMM, 6(1), , [3] R.L. Clark, W.R. Saunders, G.P. Gibbs, Adaptive structures: Dynamics and Control, Wiley-Interscience, [4] I.Z. Mar Darus, M.O. Tokhi, Soft computing-based active vibration control of a flexible structure, Engineering Applications of Artificial Intelligence, 18, , [5] P. Gaudenzi, Smart Structures: Physical behaviour, mathematical modelling and applications, Wiley, [6] Z.Q. Gu, S. Olutunde Oyadiji, Application of MR damper in structural control using ANFIS method, Computers & Structures, 86, , [7] M. Marinaki, Y. Marinakis, G.E. Stavroulakis, Fuzzy control optimized by PSO for vibration suppression of beams, Control Engineering Practice, 18(6), , [8] M. Marinaki, Y. Marinakis, G.E. Stavroulakis, Fuzzy control optimized by a multi-objective particle swarm optimization algorithm for vibration suppression of smart structures, Structural and Multidisciplinary Optimization, 43(1), 29-42, [9] B. Miara, G.E. Stavroulakis, V. Valente (eds), Topics on Mathematics for Smart Systems, European Conference, Roma October 2006, World Scientific Publishers, [10] A. Moutsopoulou, G.E. Stavroulakis, A. Pouliezos, Uncertainty modeling and robust control for smart structures, In: M. Papadrakakis, M. Fragiadakis, N.D. Lagaros (eds), Computational Methods in Earthquake Engineering, , Springer, [11] A. Moutsopoulou, G.E. Stavroulakis, A. Pouliezos, Robust control in smart structures using the Hinfinity criterion and m-analysis, In: B.H.V. Topping, et al. (eds), Proceedings of the Tenth International Conference 59

60 on Computational Structures Technology, Paper 208, Civil-Comp Press, Stirlingshire, U.K., [12] R.E. Precup, H. Hellendoorn, A survey on industrial applications of fuzzy control, Computers in Industry, 62, , [13] A. Preumont, Mechatronics: Dynamics of electromechanical and piezoelectric systems, Springer, [14] G.K. Tairidis, G.E. Stavroulakis, D.G. Marinova, E.C. Zacharenakis, Classical and soft robust active control of smart beams, In: M. Papadrakakis et al. eds, Computational Structural Dynamics and Earthquake Engineering, Ch. 11, , CRC Press, Balkema and Taylor & Francis, London, [15] R. Vepa, Dynamics of smart structures, Wiley,

Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής και Διοίκησης. Διπλωματική εργασία: Νευροασαφής έλεγχος σε ευφυή ράβδο

Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής και Διοίκησης. Διπλωματική εργασία: Νευροασαφής έλεγχος σε ευφυή ράβδο Πολυτεχνείο Κρήτης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής και Διοίκησης Καταγάς Μιχαήλ Α.Μ.:2006010074 Επιβλέπων καθηγητής: Σταυρουλάκης Γεώργιος Διπλωματική εργασία: Νευροασαφής έλεγχος σε ευφυή ράβδο Χανιά, Οκτώβριος

Διαβάστε περισσότερα

Κιλιμπέρης Χαράλαμπος

Κιλιμπέρης Χαράλαμπος ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Διπλωματική Εργασία Παραμετρική Διερεύνηση Συστήματος Ασαφούς Ελέγχου με Εφαρμογή σε Πιεζοηλεκτρική Ευφυή Δοκό Κιλιμπέρης Χαράλαμπος Χανιά 2008

Διαβάστε περισσότερα

'Διερεύνηση αποτελεσματικότητας ασαφούς ελεγκτή για διαφορετικές θέσεις αισθητήρα-διεγέρτη'

'Διερεύνηση αποτελεσματικότητας ασαφούς ελεγκτή για διαφορετικές θέσεις αισθητήρα-διεγέρτη' 'Διερεύνηση αποτελεσματικότητας ασαφούς ελεγκτή για διαφορετικές θέσεις αισθητήρα-διεγέρτη' ΟΝΟΜΑ ΦΟΙΤΗΤΗ: ΣΕΛΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΗΤΡΩΟΥ: 2004010054 ΤΜΗΜΑ: ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ ΠΡΑΚΤΙΚΟΥ. ΑΝΑΡΤΗΤΕΟ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ Aρ. Συμβουλίου: 1 o Άρτα, 13/01/2015

ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ ΠΡΑΚΤΙΚΟΥ. ΑΝΑΡΤΗΤΕΟ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ Aρ. Συμβουλίου: 1 o Άρτα, 13/01/2015 ΑΝΑΡΤΗΤΕΟ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ Aρ. Συμβουλίου: 1 o Άρτα, 13/01/2015 ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΙΔΙΚΟΥ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΥ ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ ΠΡΑΚΤΙΚΟΥ Σήμερα 13 Ιανουαρίου 2015 ημέρα Τρίτη και ώρα 10:00 π.μ. η Ολομέλεια της Επιτροπής

Διαβάστε περισσότερα

«Έλεγχος σύνθετων πιεζοηλεκτρικών πλακών με χρήση ασαφούς λογικής»

«Έλεγχος σύνθετων πιεζοηλεκτρικών πλακών με χρήση ασαφούς λογικής» ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Εργαστήριο Υπολογιστικής Μηχανικής & Βελτιστοποίησης ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Έλεγχος σύνθετων πιεζοηλεκτρικών πλακών με χρήση ασαφούς λογικής» Αντώνιος

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΑΜΑΛΙΑΣ ΜΟΥΤΣΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚΟΥΡΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΑΜΑΛΙΑΣ ΜΟΥΤΣΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚΟΥΡΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΑΜΑΛΙΑΣ ΜΟΥΤΣΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚΟΥΡΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ Ηράκλειο, 2016 ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΠΡΟΣΩΠΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Ονοματεπώνυμο Μουτσοπούλου Αμαλία Διεύθυνση Ρόδων 23-25 Ηράκλειο Κρήτης

Διαβάστε περισσότερα

M m l B r mglsin mlcos x ml 2 1) Να εισαχθεί το µοντέλο στο simulink ορίζοντας από πριν στο MATLAB τις µεταβλητές Μ,m,br

M m l B r mglsin mlcos x ml 2 1) Να εισαχθεί το µοντέλο στο simulink ορίζοντας από πριν στο MATLAB τις µεταβλητές Μ,m,br ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ένα σύστηµα εκκρεµούς όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα: Πάνω στη µάζα Μ επιδρά µια οριζόντια δύναµη F l την οποία και θεωρούµε σαν είσοδο στο σύστηµα. Έξοδος του συστήµατος θεωρείται η απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής ver. 0.2 10/2012 Εισαγωγή στο Simulink Το SIMULINK είναι ένα λογισµικό πακέτο που επιτρέπει τη µοντελοποίηση, προσοµοίωση οίωση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Εργαστήριο Υπολογιστικής Μηχανικής & Βελτιστοποίησης Διπλωματική εργασία: «Ιδιομορφική ανάλυση και έλεγχος κατασκευών με χρήση ασαφούς λογικής και

Διαβάστε περισσότερα

Νευροασαφής έλεγχoς σε μοντέλο πλάκας με αποκόλληση

Νευροασαφής έλεγχoς σε μοντέλο πλάκας με αποκόλληση Πολυτεχνείο Κρήτης Σχολή Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Νευροασαφής έλεγχoς σε μοντέλο πλάκας με αποκόλληση Διπλωματική εργασία του Ορέστη Μπερτίδη Επιβλέπων: καθ. Γεώργιος Ε. Σταυρουλάκης Χανιά, Ιούνιος

Διαβάστε περισσότερα

Βιομηχανικοί Ελεγκτές

Βιομηχανικοί Ελεγκτές ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τ.Τ Βιομηχανικοί Ελεγκτές Ενότητα #7: Ευφυής Ελεγκτής Μέρος Α Κωνσταντίνος Αλαφοδήμος Τμήματος Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις Ελατηρίου Απλή αρµονική κίνηση Ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή Σχέση απλού αρµονικού ταλαντωτή και κυκλικής κίνησης Τοαπλόεκκρεµές Περιεχόµενα 14 Το φυσικό εκκρεµές

Διαβάστε περισσότερα

Simulation Users Manual

Simulation Users Manual Simulation Users Manual πτυχιακή αυτή ασχολήθηκε µε την εφαρµογή των συστηµάτων και των τεχνολογιών του αυτόµατου ελέγχου στην ελληνική βιοµηχανία. Συγκεκριµένα, ανέπτυξε και µοντελοποίησε ένα τµήµα της

Διαβάστε περισσότερα

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας 7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων

Διαβάστε περισσότερα

MATLAB. Εισαγωγή στο SIMULINK. Μονάδα Αυτόματης Ρύθμισης και Πληροφορικής

MATLAB. Εισαγωγή στο SIMULINK. Μονάδα Αυτόματης Ρύθμισης και Πληροφορικής MATLAB Εισαγωγή στο SIMULINK Μονάδα Αυτόματης Ρύθμισης και Πληροφορικής Εισαγωγή στο Simulink - Βιβλιοθήκες - Παραδείγματα Εκκίνηση BLOCKS click ή Βιβλιοθήκες Νέο αρχείο click ή Προσθήκη block σε αρχείο

Διαβάστε περισσότερα

Σ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1

Σ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1 Στη συνέχεια θεωρούµε ένα τυχαίο διάνυσµα Σ 1 γράφεται ως, το οποίο στο σύστηµα Το ίδιο διάνυσµα µπορεί να γραφεί στο Σ 1 ως ένας άλλος συνδυασµός τριών γραµµικώς ανεξαρτήτων διανυσµάτων (τα οποία αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

Στόχοι: Με τη βοήθεια των γραφικών παραστάσεων των ταλαντώσεων µέσω του ΣΣΛ-Α ο µαθητής αποκτά δεξιότητες στο:

Στόχοι: Με τη βοήθεια των γραφικών παραστάσεων των ταλαντώσεων µέσω του ΣΣΛ-Α ο µαθητής αποκτά δεξιότητες στο: 1 ο & ο ΕΚΦΕ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ελλατόλας Στέλιος - Λεβεντάκης Γιάννης ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ - ΜΕΛΕΤΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ Για τον καθηγητή Στόχοι: Με τη βοήθεια των γραφικών παραστάσεων των ταλαντώσεων µέσω

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις Ελατηρίου Απλή αρµονική κίνηση Ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή Σχέση απλού αρµονικού ταλαντωτή και κυκλικής κίνησης Το απλό εκκρεµές Περιεχόµενα 14 Το φυσικό εκκρεµές

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 10. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 10. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 10 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Προσομοίωση απόκρισης συστήματος στο MATLAB μέσω της συνάρτησης ode45 (Runge-Kutta) Προσομοίωση απόκρισης

Διαβάστε περισσότερα

Εξαγωγή κανόνων από αριθµητικά δεδοµένα

Εξαγωγή κανόνων από αριθµητικά δεδοµένα Εξαγωγή κανόνων από αριθµητικά δεδοµένα Συχνά το σύστηµα που θέλουµε να µοντελοποιήσουµε η να ελέγξουµε αντιµετωπίζεται ως µαύρο κουτί και η πληροφορία για τη λειτουργία του διατίθεται υπό µορφή ζευγών

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία εισηγητή Ημερομηνία: 10/10/2017

Στοιχεία εισηγητή Ημερομηνία: 10/10/2017 Θέμα μεταπτυχιακής διατριβής: Λογισμικά μελέτης και σχεδίασης ρομποτικών συστημάτων - συγκρτική μελέτη και εφαρμογές. 1) Μελέτη των δημοφιλών λογισμικών σχεδίασης ρομποτικών συστημάτων VREP και ROS. 2)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ. Ρύθμιση παραμέτρων ασαφούς ελέγχου σε ευφυείς κατασκευές

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ. Ρύθμιση παραμέτρων ασαφούς ελέγχου σε ευφυείς κατασκευές ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Εργαστήριο Υπολογιστικής Μηχανικής & Βελτιστοποίησης ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ρύθμιση παραμέτρων ασαφούς ελέγχου σε ευφυείς κατασκευές Επιμέλεια: Βαλσαμόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή άσκηση 1: ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ (Βαγγέλης ηµητριάδης, 4 ο ΓΕΛ Ζωγράφου)

Εργαστηριακή άσκηση 1: ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ (Βαγγέλης ηµητριάδης, 4 ο ΓΕΛ Ζωγράφου) ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Εργαστηριακή άσκηση 1: ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ (Βαγγέλης ηµητριάδης, 4 ο ΓΕΛ Ζωγράφου) ΣΤΟΧΟΙ Με τη βοήθεια των γραφικών

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Αριθμητική Επίλυση Δυναμικών Συστημάτων στο Περιβάλλον MATLAB και Simulink

Δυναμική Μηχανών I. Αριθμητική Επίλυση Δυναμικών Συστημάτων στο Περιβάλλον MATLAB και Simulink Δυναμική Μηχανών I 5 6 Αριθμητική Επίλυση Δυναμικών Συστημάτων στο Περιβάλλον MATLAB και Simulink 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 19 Ταλαντώσεις Απλή αρμονική κίνηση ΦΥΣ102 1 Ταλαντώσεις Ελατηρίου Όταν ένα αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΖΑΣ-ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ-ΑΠΟΣΒΕΣΤΗΡΑ

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΖΑΣ-ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ-ΑΠΟΣΒΕΣΤΗΡΑ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΖΑΣ-ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ-ΑΠΟΣΒΕΣΤΗΡΑ Μ. Σφακιωτάκης mfak@taff.teicrete.gr Χειµερινό Οκτώβριος εξάµηνο 2010-11 2017 Σύστηµα Μάζας-Ελατηρίου-Αποσβεστήρα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας 6 Ncola Tapaoul Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο 4 Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 4.1: Εισαγωγή βρόγχου while-loop.

Σχήµα 4.1: Εισαγωγή βρόγχου while-loop. Ο βρόγχος While-loop 1. Ο βρόγχος while-loop εκτελείται έως ότου ικανοποιηθεί µία προκαθορισµένη συνθήκη. 2. Ο αριθµός των επαναλήψεων ενός βρόγχου while-loop δεν είναι εκ των προτέρων προκαθορισµένος,

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι µελέτης και βελτίωσης της ευστάθειας συστηµάτων. Συχνοτικά διαγράµµατα

Μέθοδοι µελέτης και βελτίωσης της ευστάθειας συστηµάτων. Συχνοτικά διαγράµµατα Μέθοδοι µελέτης και βελτίωσης της ευστάθειας συστηµάτων. Συχνοτικά διαγράµµατα Εισαγωγή Μελέτη συστήµατος αιώρησης µαγνητικού τρένου. Τις προηγούµενες δύο δεκαετίες, κατασκευάστηκαν πρωτότυπα µαγνητικά

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI Ταλαντωτής µε µεταβλητή συχνότητα

Μηχανική ΙI Ταλαντωτής µε µεταβλητή συχνότητα Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 22/5/2000 Μηχανική ΙI Ταλαντωτής µε µεταβλητή συχνότητα Τι θα συµβεί στην περίοδο ενός εκκρεµούς εάν το µήκος του νήµατος µεταβάλλεται µε αργό ρυθµό; Το πρόβληµα προτάθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΓΕΝΙΚΑ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΠΟΥΔΩΝ Μηχανικών Ηλεκτρολόγων και Ηλεκτρονικών Μηχανικών Προπτυχιακό ΚΩΔΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Ζ.Γ.3 ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ 7 ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Υπολογιστική Νοημοσύνη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 5 Μαθηµατικό Παράρτηµα Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις διαφορών

Διαβάστε περισσότερα

T 4 T 4 T 2 Τ Τ Τ 3Τ Τ Τ 4

T 4 T 4 T 2 Τ Τ Τ 3Τ Τ Τ 4 ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 29 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 1. Σηµειακό αντικείµενο εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση. Η αποµάκρυνση χ από τη θέση ισορροπίας του είναι: α. ανάλογη του χρόνου. β. αρµονική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Προσαρμοστικό Σύστημα Νευρο-ασαφούς Συμπερασμού ANFIS (Adaptive Network based Fuzzy Inference System)

Προσαρμοστικό Σύστημα Νευρο-ασαφούς Συμπερασμού ANFIS (Adaptive Network based Fuzzy Inference System) ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών DEMOCRITUS UNIVERSITY OF THRACE SCHOOL OF ENGINEERING Department of Civil Engineering Προσαρμοστικό Σύστημα Νευρο-ασαφούς Συμπερασμού

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικό λογισµικό µονοβάθµιου ταλαντωτή Educational Single Degree Of Freedom Software. ESDOFsoftware

Εκπαιδευτικό λογισµικό µονοβάθµιου ταλαντωτή Educational Single Degree Of Freedom Software. ESDOFsoftware Εκπαιδευτικό λογισµικό µονοβάθµιου ταλαντωτή Educational Single Degree Of Freedom Software ESDOFsoftware Ως οδηγίες χρήσης του λογισµικού ESDOFsoftware δίνονται εδώ οι επιλύσεις µιας σειράς παραδειγµάτων.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων

Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων Control Systems Laboratory Περιγραφή Δυναµικών Συστηµάτων Εξίσωση µεταβολής όγκου Η µεταβολή όγκου ισούται µε τη παροχή υγρού Q που σχετίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι Ενότητα 1 - Εισαγωγή. Ευστράτιος Γαλλόπουλος

Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι Ενότητα 1 - Εισαγωγή. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Ενότητα 1 - Εισαγωγή Ευστράτιος Γαλλόπουλος c Ε. Γαλλόπουλος 201-2015 Ασκηση 1 Τι ονοµάζουµε υπολογιστικούς πυρήνες ; πυρήνων. Να δώσετε 3 παραδείγµατα τέτοιων Απάντηση ιαδικασίες (που µπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

Προσομoίωση Απόκρισης Συστήματος στο MATLAB

Προσομoίωση Απόκρισης Συστήματος στο MATLAB Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Προσομoίωση Απόκρισης Συστήματος στο MATLAB Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Προσομoίωση Απόκρισης Συστήματος στο MATLAB του καθ. Ιωάννη

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Τρέχοντα Κύµατα. Οµάδα.

2.1 Τρέχοντα Κύµατα. Οµάδα. 2.1 Τρέχοντα Κύµατα. Οµάδα. 2.1.41. Κάποια ερωτήµατα πάνω σε µια κυµατοµορφή. Ένα εγκάρσιο αρµονικό κύµα, πλάτους 0,2m, διαδίδεται κατά µήκος ενός ελαστικού γραµµικού µέσου, από αριστερά προς τα δεξιά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

2. Missing Data mechanisms

2. Missing Data mechanisms Κεφάλαιο 2 ο 2. Missing Data mechanisms 2.1 Εισαγωγή Στην προηγούµενη ενότητα περιγράψαµε κάποια από τα βασικά µοτίβα εµφάνισης των χαµένων τιµών σε σύνολα δεδοµένων. Ένα άλλο ζήτηµα που µας απασχολεί

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ετερογενών υλικών με χρήση ανάλυσης πολλών κλιμάκων

Μελέτη ετερογενών υλικών με χρήση ανάλυσης πολλών κλιμάκων Μελέτη ετερογενών υλικών με χρήση ανάλυσης πολλών κλιμάκων Γεώργιος Α. Δροσόπουλος Επιβλέπων Καθηγητής: Γεώργιος Ε. Σταυρουλάκης Εργαστήριο Υπολογιστικής Μηχανικής & Βελτιστοποίησης The research project

Διαβάστε περισσότερα

4. Ο αισθητήρας (perceptron)

4. Ο αισθητήρας (perceptron) 4. Ο αισθητήρας (perceptron) Σκοπός: Προσδοκώµενα αποτελέσµατα: Λέξεις Κλειδιά: To µοντέλο του αισθητήρα (perceptron) είναι από τα πρώτα µοντέλα νευρωνικών δικτύων που αναπτύχθηκαν, και έδωσαν µεγάλη ώθηση

Διαβάστε περισσότερα

α. την χρονική στιγµή t=1sec η επιτάχυνση του σώµατος είναι µέγιστη β. την χρονική στιγµή t=2sec η κινητική ενέργεια του σώµατος είναι µηδενική

α. την χρονική στιγµή t=1sec η επιτάχυνση του σώµατος είναι µέγιστη β. την χρονική στιγµή t=2sec η κινητική ενέργεια του σώµατος είναι µηδενική Φυσική κατεύθυνσης ΘΕΜΑ 1 ο Στις ερωτήσεις από 1-4 να επιλέξετε την σωστή απάντηση. 1. Κατά την διάρκεια µίας απλής αρµονικής ταλάντωσης διπλασιάζουµε µε κάποιο τρόπο το πλάτος ταλάντωσης του σώµατος χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

Παραµετρική διερεύνηση της οριακής κατάστασης πριν την κατάρρευση µικτών επίπεδων πλαισίων οπλισµένου σκυροδέµατος µε τη βοήθεια των δεικτών αστοχίας

Παραµετρική διερεύνηση της οριακής κατάστασης πριν την κατάρρευση µικτών επίπεδων πλαισίων οπλισµένου σκυροδέµατος µε τη βοήθεια των δεικτών αστοχίας Παραµετρική διερεύνηση της οριακής κατάστασης πριν την κατάρρευση µικτών επίπεδων πλαισίων οπλισµένου σκυροδέµατος µε τη βοήθεια των δεικτών αστοχίας Π. Παπαδόπουλος & Α.Μ. Αθανατοπούλου Επίκουρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

5. Ένα σώµα ταλαντώνεται µεταξύ των σηµείων Α και Ε. Στο σχήµα φαίνονται πέντε θέσεις Α,Β,Γ, και Ε, οι οποίες ισαπέχουν µεταξύ 1

5. Ένα σώµα ταλαντώνεται µεταξύ των σηµείων Α και Ε. Στο σχήµα φαίνονται πέντε θέσεις Α,Β,Γ, και Ε, οι οποίες ισαπέχουν µεταξύ 1 1. Σώµα 10g εκτελεί α.α.τ. γύρω από σηµείο Ο και η αποµάκρυνση δίνεται από τη σχέση: x=10ηµπt (cm), ζητούνται: i) Πόσο χρόνο χρειάζεται για να πάει από το Ο σε σηµείο Μ όπου x=5cm ii) Ποια η ταχύτητά του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93 ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 5.. Εισαγωγή Η παρουσία εξωτερικών διεγέρσεων σε ένα σύστηµα πολλών Β.Ε. δηµιουργεί σ'

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Θέµα Α Στις ερωτήσεις -4 να βρείτε τη σωστή απάντηση. Α. Για κάποιο χρονικό διάστηµα t, η πολικότητα του πυκνωτή και

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονικοί ταλαντωτές

Αρµονικοί ταλαντωτές Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 131 - Διαλ.30 2 Αρµονικοί ταλαντωτές q Μερικά από τα θέµατα που θα καλύψουµε: q Μάζες σε ελατήρια, εκκρεµή q Διαφορικές εξισώσεις: d 2 x dt 2 + K m x = 0 Ø Mε λύση της µορφής:

Διαβάστε περισσότερα

Ελεύθερη αρµονική ταλάντωση χωρίς απόσβεση

Ελεύθερη αρµονική ταλάντωση χωρίς απόσβεση Ελεύθερη αρµονική ταλάντωση χωρίς απόσβεση Παρακολουθώντας τη συζήτηση που έχει αναπτυχθεί, σχετικά µε το «... Αν η αποµάκρυνση x του σώµατος δίνεται από τη σχέση x=αηµ(ωt+φ) η κίνηση του σώµατος ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Ελεγκτικής. ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας)

Ελεγκτικής. ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Management Information Systems Εργαστήριο 2 Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: Προσοµοίωση (Simulation) και τυχαίες µεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων

Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων Control Systems Laboratory Περιγραφή Δυναµικών Συστηµάτων Εξίσωση µεταβολής όγκου Η µεταβολή όγκου ισούται µε τη παροχή υγρού Q που σχετίζεται

Διαβάστε περισσότερα

προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ- ΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ- ΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ σύγχρονο Φάσµα Group προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. µαθητικό φροντιστήριο Γραβιάς 85 ΚΗΠΟΥΠΟΛΗ 50.51.557 50.56.296 25ης Μαρτίου 111 ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗ 50.27.990 50.20.990 25ης Μαρτίου 74 Πλ.ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ 50.50.658

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη

ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα µελετήσουµε την κυκλική κίνηση µίας σηµειακής µάζας και ιδιαίτερα την εξάρτηση της κεντροµόλου δύναµης από τη µάζα,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ. ενέργεια είναι ίση µε την κινητική ενέργεια. Σε αποµάκρυνση θα ισχύει: 1 της ολικής ενέργειας. t π cm/s.

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ. ενέργεια είναι ίση µε την κινητική ενέργεια. Σε αποµάκρυνση θα ισχύει: 1 της ολικής ενέργειας. t π cm/s. Ονοµατεπώνυµο: ιάρκεια: 3 ώρες ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 Οδηγία: Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Έστω ένα σωµα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

µε την βοήθεια του Συστήµατος Συγχρονικής Λήψης Απεικόνισης.

µε την βοήθεια του Συστήµατος Συγχρονικής Λήψης Απεικόνισης. 1 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ () ΜΕ ΤΟ ΑΠΛΟ ΕΚΚΡΕΜΕΣ µε την βοήθεια του Συστήµατος Συγχρονικής Λήψης Απεικόνισης. Το φύλλο εργασίας στηρίζεται στο αντίστοιχο του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου που

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

k c (1) F ελ f ( t) F απ http://www.didefth.gr/mathimata/ 1

k c (1) F ελ f ( t) F απ http://www.didefth.gr/mathimata/ 1 Την παρακάτω ανάλυση στο θέµα των Εξαναγκασµένων Ταλαντώσεων έκαναν οι : ρ. Μιχάλης Αθανασίου ρ. Απόστολος Κουιρουκίδης Φυσικοί, Επιστηµονικοί Συνεργάτες ΤΕΙ Σερρών, στα Τµήµατα Πληροφορικής -Επικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

, Snowdon. . Frahm.

, Snowdon. . Frahm. - :..... ( ). :., Snowdon.. Frohrib Jennige -.[ ]...[ ] Ghannadi-Asl Zahrai..,.[ ]... Frahm Frahm [ ] Den Hartog. mzahrai@ut.ac.ir, hashemif@conwag.com . - Den Hartog g(t)=0 ω f(t)=p 0 sinωt. ω y st =P

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i.

( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i. Στροφορμή στερεού q Η στροφορµή του στερεού γράφεται σαν: q Αλλά ο τανυστής αδράνειας έχει οριστεί σαν: q H γωνιακή ταχύτητα δίνεται από: ω = 2 l = m a ra ω ω ra ω e a ΦΥΣ 211 - Διαλ.31 1 r a I j = m a

Διαβάστε περισσότερα

ή/και με απόσβεση), και να υπολογίσουν αναλυτικά την απόκριση τους σε ελεύθερη ταλάντωση.

ή/και με απόσβεση), και να υπολογίσουν αναλυτικά την απόκριση τους σε ελεύθερη ταλάντωση. Τίτλος μαθήματος: Δυναμική Κατασκευών Ι Κωδικός μαθήματος: CE08_S02 Πιστωτικές μονάδες: 5 Φόρτος εργασίας (ώρες): 153 Επίπεδο μαθήματος: Προπτυχιακό Μεταπτυχιακό Τύπος μαθήματος: Υποχρεωτικό Επιλογής Κατηγορία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ A. 1 Εισαγωγή στην Ανάλυση των Κατασκευών 3

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ A. 1 Εισαγωγή στην Ανάλυση των Κατασκευών 3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ A 1 Εισαγωγή στην Ανάλυση των Κατασκευών 3 1.1 Κατασκευές και δομοστατική 3 1.2 Διαδικασία σχεδίασης κατασκευών 4 1.3 Βασικά δομικά στοιχεία 6 1.4 Είδη κατασκευών 8 1.4.1 Δικτυώματα 8

Διαβάστε περισσότερα

Περι-Φυσικής. Βαθµολογία % E = E max ηµπ(10 15 t 2x )

Περι-Φυσικής. Βαθµολογία % E = E max ηµπ(10 15 t 2x ) Εξέταση Προσοµοίωσης Γ τάξης Ενιαίου Λυκείου Τετάρτη 17 Απριλίου 2013 Φυσική Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Σύνολο σελίδων : επτά (7) Ονοµατεπώνυµο: Βαθµολογία % Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις Α.1

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΣΗ ΠΡΟΟ ΟΥ Υποψήφιος ιδάκτορας: Ιωάννης Κυριαζής

ΕΚΘΕΣΗ ΠΡΟΟ ΟΥ Υποψήφιος ιδάκτορας: Ιωάννης Κυριαζής ΕΚΘΕΣΗ ΠΡΟΟ ΟΥ Υποψήφιος ιδάκτορας: Ιωάννης Κυριαζής Το πρόβληµα Το πρόβληµα που καλείται ο υποψήφιος διδάκτορας να επιλύσει είναι η εξαγωγή χαρακτηριστικών (feature extraction) από ένα 3 αντικείµενο,

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Εφαρµοσµένης Πληροφορικής και Πολυµέσων Εργαστήριο Νευρωνικών Δικτύων

Α. ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Εφαρµοσµένης Πληροφορικής και Πολυµέσων Εργαστήριο Νευρωνικών Δικτύων Α. ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Εφαρµοσµένης Πληροφορικής και Πολυµέσων Εργαστήριο Νευρωνικών Δικτύων 5 BACKPROPAGATION MULTILAYER FEEDFORWARD ΔΙΚΤΥΑ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα νευρωνικά δίκτυα που εξετάσαµε µέχρι τώρα είχαν

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Θέµα Α Στις ερωτήσεις 1-4 να βρείτε τη σωστή απάντηση. Α1. Για κάποιο χρονικό διάστηµα t, η πολικότητα του πυκνωτή και

Διαβάστε περισσότερα

Χρονοεξαρτώµενη «Δυναµική Ενέργεια»

Χρονοεξαρτώµενη «Δυναµική Ενέργεια» Χρονοεξαρτώµενη «Δυναµική Ενέργεια» Άσκηση Σώµα µάζας m στερεώνεται στο ένα άκρο ιδανικού ελατηρίου του οποίου το άλλο άκρο Ζ εκτελεί αρµονική ταλάντωση της µορφής x1 = Bηµω t. Να βρεθεί η εξίσωση κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID. Ελεγκτής τριών όρων Η συνάρτηση μεταφοράς του PID ελεγκτή είναι η ακόλουθη:

ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID. Ελεγκτής τριών όρων Η συνάρτηση μεταφοράς του PID ελεγκτή είναι η ακόλουθη: ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID Εισαγωγή Αυτό το βοήθημα θα σας δείξει τα χαρακτηριστικά καθενός από τους τρεις ελέγχους ενός PID ελεγκτή, του αναλογικού (P), του ολοκληρωτικού (I) και του διαφορικού (D) ελέγχου, καθώς και

Διαβάστε περισσότερα

ANFIS(Από την Θεωρία στην Πράξη)

ANFIS(Από την Θεωρία στην Πράξη) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Βασ. Σοφίας 12 67100 Ξάνθη HELLENIC REPUBLIC DEMOCRITUS UNIVERSITY OF THRACE SCHOOL OF ENGINEERING Department

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΖΑΣ-ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ-ΑΠΟΣΒΕΣΤΗΡΑ

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΖΑΣ-ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ-ΑΠΟΣΒΕΣΤΗΡΑ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ, ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗ & ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΖΑΣ-ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ-ΑΠΟΣΒΕΣΤΗΡΑ Μ. Σφακιωτάκης fak@taff.teirete.gr Χειµερινό

Διαβάστε περισσότερα

Διάρκεια 90 min. Στις ερωτήσεις 1-4 να επιλέξετε το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση:

Διάρκεια 90 min. Στις ερωτήσεις 1-4 να επιλέξετε το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση: 2ο ΓΕΛ ΠΕΙΡΑΙΑ Α Οµάδα ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ονοµατεπώνυµο: Τµήµα: Ηµεροµηνία: 2/2/200 Διάρκεια 90 min Ζήτηµα ο Στις ερωτήσεις -4 να επιλέξετε το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

min x = f x, + y& f u f u

min x = f x, + y& f u f u ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ιευθυντής Γ.Π. Παπαβασιλόπουλος Άσκηση για το µάθηµα: «Προχωρηµένες Τεχνικές Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου» Τίτλος Άσκησης: Βέλτιστος Έλεγχος Ηλεκτρικού Τρένου Επιµέλεια:

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα στις Ταλαντώσεις ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1

ιαγώνισµα στις Ταλαντώσεις ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1 ιαγώνισµα στις Ταλαντώσεις ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1 ΘΕΜΑ 1 0 Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Το

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανουργική Τεχνολογία ΙΙ

Μηχανουργική Τεχνολογία ΙΙ Μηχανουργική Τεχνολογία ΙΙ Χαρακτηριστικά διεργασιών - Παραμετροποίηση-Μοντελοποίηση Associate Prof. John Kechagias Mechanical Engineer, Ph.D. Παραμετροποίηση - Μοντελοποίηση Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόγραµµα FESPA for Windows

Το Πρόγραµµα FESPA for Windows Το Πρόγραµµα FESPA for Windows Το πρόγραµµα FESPA for Windows αποτελεί ένα πολύ διαδεδοµένο εµπορικό πακέτο λογισµικού, το οποίο δίδει την δυνατότητα ανάλυσης και διαστασιολόγησης κατασκευών καθώς και

Διαβάστε περισσότερα

. Αυτό σηµαίνει ότι το κέντρο µάζας κινείται ευθύγραµµα µε σταθερή επιτάχυνση a! = F!

. Αυτό σηµαίνει ότι το κέντρο µάζας κινείται ευθύγραµµα µε σταθερή επιτάχυνση a! = F! Οµογενής κυκλικός δίσκος µάζας m και ακτίνας, βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος µε τον άξονα συµµετρίας του κατα κόρυφο. Εάν σ ένα σηµείο της περιφέρειας του δίσκου εξασκείται συνεχώς µια σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων

Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων Control Systems Laboratory Περιγραφή Δυναµικών Συστηµάτων Εξίσωση µεταβολής όγκου Η µεταβολή όγκου ισούται µε τη παροχή υγρού Q που σχετίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σχεδίαση µε το Γεωµετρικό Τόπο Ριζών

Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σχεδίαση µε το Γεωµετρικό Τόπο Ριζών ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σχεδίαση µε το Γεωµετρικό Τόπο Ριζών ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος []: Εφαρµογές, Κεφάλαιο 9: Ενότητες 9.-9.4

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

vi) Η δύναµη που δέχεται το σώµα στο σηµείο Ν έχει µέτρο 4Ν και

vi) Η δύναµη που δέχεται το σώµα στο σηµείο Ν έχει µέτρο 4Ν και Ταλαντώσεις 1) Σώµα 10g εκτελεί α.α.τ. γύρω από σηµείο Ο και η αποµάκρυνση δίνεται από τη σχέση: x=10ηµπt (cm), ζητούνται: i) Πόσο χρόνο χρειάζεται για να πάει από το Ο σε σηµείο Μ όπου x=5cm ii) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

Πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και διάµεσος µιας τυχαίας µεταβλητής ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Τρέχοντα Κύματα. Ομάδα Δ.

2.1 Τρέχοντα Κύματα. Ομάδα Δ. 2.1 Τρέχοντα Κύματα. Ομάδα Δ. 2.1.41. Κάποια ερωτήματα πάνω σε μια κυματομορφή. Α d B Γ d Δ t 0 E Ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα, πλάτους 0,2m, διαδίδεται κατά μήκος ενός ελαστικού γραμμικού μέσου, από αριστερά

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Εισαγωγή στον Υπολογισμό της Χρονικής. Απόκρισης Δυναμικών Εξισώσεων

Δυναμική Μηχανών I. Εισαγωγή στον Υπολογισμό της Χρονικής. Απόκρισης Δυναμικών Εξισώσεων Δυναμική Μηχανών I Εισαγωγή στον Υπολογισμό της Χρονικής 5 1 Απόκρισης Δυναμικών Εξισώσεων 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Το πρόγραµµα ALGOR και εφαρµογές σε ναυπηγικές κατασκευές

Το πρόγραµµα ALGOR και εφαρµογές σε ναυπηγικές κατασκευές Παράρτηµα Γ Το πρόγραµµα ALGOR και εφαρµογές σε ναυπηγικές κατασκευές 1. Εισαγωγή Το σύνολο των προγραµµάτων ALGOR είναι ένα εργαλείο µελέτης (σχεδιασµού και ανάλυσης) κατασκευών και βασίζεται στη µέθοδο

Διαβάστε περισσότερα

α. 0,5 Hz β. 2 Hz γ. 4 Hz δ. 8 Hz. Μονάδες 5

α. 0,5 Hz β. 2 Hz γ. 4 Hz δ. 8 Hz. Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΟΝΟΜΑ ΤΜΗΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΤΕΤΑΡΤΗ 24 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1ο Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο

Διαβάστε περισσότερα

Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές

Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές x h γραµµική εξίσωση διαφορών µε σταθερούς συντελεστές της µορφής x µπορεί να θεωρηθεί ως ένας αλγόριθµος υπολογισµού

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονικοί ταλαντωτές

Αρµονικοί ταλαντωτές Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 131 - Διαλ. 31 Εκκρεµή - Απλό εκκρεµές θ l T mg r F Αυτή η εξίσωση είναι δύσκολο να λυθεί. Δεν µοιάζει µε τη γνωστή εξίσωση Για µικρές γωνίες θ µπορούµε όµως να γράψουµε Εποµένως

Διαβάστε περισσότερα

To SIMULINK του Matlab

To SIMULINK του Matlab ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Β ΧΗΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΘ. Κ. ΚΥΠΑΡΙΣΣΙΔΗΣ, ΛΕΚΤΟΡΑΣ Χ. ΧΑΤΖΗΔΟΥΚΑΣ Τ.Θ. 472 54 124 ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Μάθημα: ΡΥΘΜΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Ακαδ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ Πρόλογος... 11 Μέρος Α: Στοιχεία Αλγοριθμικής... 15 1 Επίλυση προβλημάτων με Η/Υ... 19 1.1 Εισαγωγή... 19 1.2 Αλγόριθμοι-αλγοριθμικά προβλήματα... 20 1.3 Το μαθηματικό μοντέλο... 26

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικό Βιογραφικό Σημείωμα

Αναλυτικό Βιογραφικό Σημείωμα 1. Προσωπικά Στοιχεία Αναλυτικό Βιογραφικό Σημείωμα Ευαγγέλου Β. Λιαράκου Διπλ. Μηχανικού Ορυκτών Πόρων, MSc, PhD. Ημερομηνία Γέννησης: 29-9-1981 Τόπος Διαμονής: Χανιά, Δήμος Χανίων Εθνικότητα: Ελληνική

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΣΜΩΝ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΣΜΩΝ Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών Κατασκευαστικός Τομέας ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΣΜΩΝ Αργύρης Δέντσορας, Καθηγητής ΔΟΜΗ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ (1/2) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Οι βασικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 17-10-11 ΑΠΟΦΟΙΤΟΙ ΣΕΙΡΑ Α Θέµα 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (hhp://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγή στο Χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα