Εφαρμοσμένη Υδραυλική

Transcript

1 Εφαρμοσμένη Υδραυλική Σχολή Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Εθνικού Μετσοβίου Πολυτεχνείου Αριστοτέλης Μαντόγλου Αναπληρωτής Καθηγητής Αθήνα 6

2 6 ΜΟΝΙΜΗ ΡΟΗ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟΥΣ ΑΓΩΓΟΥΣ ΚΥΚΛΙΚΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ 6. Χαρακτηρισμός Ροής: Στρωτή και Τυρβώδης Ροή Η Εφαρμοσμένη Υδραυλική εξετάζει τη ροή πραγματικών ρευστών σε κλειστούς και ανοικτούς αγωγούς. Στα πραγματικά ρευστά οι τριβές εντός του ρευστού είναι μη μηδενικές και λόγω της κίνησης του ρευστού μηχανική ενέργεια μετατρέπεται συνεχώς σε θερμότητα δηλαδή υπάρχουν συνεχώς απώλειες ενέργειας λόγω τριβών. Σε πραγματικά ρευστά ο συντελεστής συνεκτικότητας είναι μεγαλύτερος του μηδενός και υπάρχουν εν γένει διατμητικές τάσεις. Η ύπαρξη διατμητικών τάσεων συνεπάγεται δύο δυνατές καταστάσεις ροής Στρωτή ροή Τυρβώδη ροή Τα πειράματα του Rynolds 883 ήταν τα πρώτα πειράματα στα οποία διαπιστώθηκαν οι διάφορες καταστάσεις ροής και πραγματοποιήθηκαν με μια συσκευή όπως εικονίζεται στο Σχήμα 6-. Η παροχή καθώς και η ταχύτητα του νερού ρυθμίζονταν μέσω στρόφιγγας ενώ υπήρχε δυνατότητα χρωματισμού της κίνησης των ρευστών σωματιδίων μέσω μιας χρωστικής ουσίας. Σχήμα 6- Συσκευή Rynolds Μεταβάλλοντας την παροχή καθώς και την ταχύτητα ροής στο σωλήνα μέσω της στρόφιγγας ο Rynolds διαπίστωσε τις ακόλουθες καταστάσεις ροής (Σχήμα 6-) 64

3 . Μικρή ταχύτητα ροής στο σωλήνα: Στρωτή ροή - χρωστική ουσία κινείται παράλληλα με τα τοιχώματα του σωλήνα σε μια ευθεία σαν νήμα γραμμή.. Ταχύτητα ροής μεγαλύτερη: Κυματοειδής ροή - ταλαντώσεις και μικρή διασπορά χρωστικής ουσίας. 3. Ταχύτητα ροής μεγάλη: Τυρβώδης ροή - Διασπορά της χρωστικής ουσίας που καθώς κινείται κατάντη τείνει να χρωματίσει όλη τη διατομή. Σχήμα 6- (a) Στρωτή και (b) τυρβώδης ροή σε σωλήνα κυκλικής διατομής Κάνοντας διάφορα πειράματα με διαφορετικές ταχύτητες ροής, διαφορετικά υγρά και σε αγωγούς με διαφορετικές διαμέτρους ο Rynolds ανακάλυψε ότι η κατάσταση της ροής εξαρτάται από τον εξής αδιάστατο αριθμό R VD = (6.) ν και ο οποίος ονομάστηκε αριθμός του Rynolds. Ανάλογα με τις τιμές του αριθμού Rynolds, έχουμε τις ακόλουθες καταστάσεις ροής. Για R < η ροή είναι στρωτή (ονομάζεται και παράλληλη ροή) και η κίνηση γίνεται σε παράλληλες στρώσεις 65

4 . Για < R < 4- η ροή κυμαίνεται κατά περιοχές μεταξύ στρωτής και τυρβώδους ροής 3. Για 4- < R. Η ροή είναι τυρβώδης, δηλαδή ακανόνιστη και συνεχώς μεταβαλλόμενη (μη παράλληλη) Στην πράξη η πιο συνηθισμένη κατάσταση ροής είναι η τυρβώδης ροή η οποία εμφανίζεται στο 99% των περιπτώσεων. Η στρωτή ροή αν και σπάνια είναι ευκολότερη στην ανάλυση γι αυτό αναφέρεται συχνά στην υδραυλική. Στη στρωτή ροή οι μεταβολές της ταχύτητας ( uvwκαθώς,, ) και η πίεση p είναι βαθμιαίες και ομαλές σαν συνάρτηση του χρόνου και των χωρικών συντεταγμένων( x, yzt,, ). Στην τυρβώδη ροή όμως οι ταχύτητες καθώς και οι πιέσεις σε κάθε σημείο του χώρου είναι ακανόνιστες και μεταβάλλονται συνεχώς σαν συνάρτηση του χρόνου γύρω από μια μέση τιμή (Σχήμα 6-3). Σχήμα 6-3 Τοπική ταχύτητα τυρβώδους ροής συναρτήσει του χρόνου Στην περίπτωση αυτή οι συνιστώσες της ταχύτητας μπορούν να εκφραστούν ως εξής u = u + u v = v + v (6.) w = w + w ενώ η συνιστώσα της τοπικής πίεσης εκφράζεται ως: 66

5 p = p+ p (6.3) όπου uvwpείναι,,, οι μέσες τιμές των ταχυτήτων και πίεσης και u, v, w, p είναι οι αποκλίσεις των ταχυτήτων και πίεσης ως προς τις μέσες τιμές τους αντίστοιχα (Σχήμα 6-4). Επειδή οι τοπικές ταχύτητες και η πίεση είναι ακανόνιστες και συνεχώς μεταβαλλόμενες συναρτήσεις του χρόνου είναι αδύνατο να υπολογιστούν. Αυτό που ενδιαφέρει στην πράξη όμως είναι οι μέσες τιμές των ταχυτήτων και πίεσης και όχι οι τοπικές λεπτομέρειες της ροής που άλλωστε μεταβάλλονται συνεχώς. Σχήμα 6-4. Τοπική ταχύτητα και πίεση τυρβώδους ροής Στην περίπτωση στρωτής ροή ς και όταν η μόνη συνιστώσα της ταχύτητας είναι κατά μια διεύθυνση του άξονα x (δηλαδή ότα ν v= w= ) και όταν οι 67

6 μεταβολές του u είναι μηδενικές κατά τους άξον ες x και z (δηλαδή du = du = ) dx dz η διατμητική τάση στη θέση y είναι ανάλογη της παραγώγου της ταχύτητας στη du διεύθυνση y δηλαδή τ = μ, όπου dy μ = ρν είναι ο συντελεστής δ υναμικής συνεκτικότητας, ρ είναι η πυκνότητα του ρευστού και ν είναι ο συντελεστής κινηματικής συνεκτικότητας. Αντίστοιχα στην περίπτωση της τυρβώδους ροής ορίζεται η μέση διατμητική du τάση τ = η όπου η είναι συντελεστής που ονομάζεται συντελεστής δυναμικής dy συνεκτικότητας και εξαρτάται από το τυρβώδες του ρευστού. 6. Εξίσωση ενέργειας για στρωτή ροή σε αγωγούς ομοιόμορφης κυκλικής διατομής Για μικρές ταχύτητες ροής σε σωλήνες η ροή είναι στρωτή χωρίς τυρβώδες (βλέπε ορισμούς στρωτής και τυρβώδους ροής στο κεφάλαιο 5). Η ροή σε σωλήνα κυκλικής διατομής είναι ομοιόμορφη 4 και παράλληλη αν η διατομή του σωλήνα παραμένει σταθερή κατά μήκος του σωλήνα (Σχήμα 6-5). 4 Ομοιόμορφη είναι η ροή στην οποία η ταχύτητα δεν μεταβάλλεται κατά μήκος του αγωγού. 68

7 Σχήμα 6-5. Κατανομή ταχύτητας στη διατομή Σε παράλληλη ροή γνωρίζουμε ότι η κατανομή της πίεσης είναι υδροστατική σε διατομές κάθετες στον αγωγό. Επομένως σε διατομές κάθετες στον αγωγό το p πιεζομετρικό φορτίο h= z+ είναι σταθερό σε όλη την επιφάνεια της διατομής και γ εξαρτάται μόνο από την απόσταση s κατά μήκος του σωλήνα. Σχήμα 6-6. Μόνιμη στρωτή ροή σε κυκλικό σωλήνα Για ομοιόμορφη ροή δεν η ταχύτητα στη διατομή δεν εξαρτάται από την dv απόσταση s και επομένως = και η εξίσωση (4.65) γράφεται για ασυμπίεστο ds ρευστό του οποίου το ειδικό βάρος γ = ρg είναι σταθερό και ανεξάρτητο του s 69

8 d p γ dh τ = γ + z R= r ds γ ds όπου για κυκλική διατομή η υδραυλική ακτίνα είναι r R =. Ο όρος p h= + z γ εκφράζει το πιεζομετρικό φορτίο στη θέση s. Όταν υπάρχουν απώλειες ενέργειας λόγω τριβών του ρευστού η παράγωγος dh ds έχει αρνητικό πρόσημο. Η διατμητική dv dv τάση δίνεται από τη σχέση τ = μ = dy μ. Οπότε η (6.4) γράφεται dr dv γ dh γ dh μ = r dv = rdr. Για παράλληλη ροή η ποσότητα dr ds μ ds και η dh ds (6.4) p h= +z καθώς γ είναι σταθερή σε όλο το εύρος της διατομής και ανεξάρτητη του r. Ολοκληρώνοντας την σχέση αυτή από έως r = r V = έχουμε r και θέτοντας την οριακή συνθήκη για V γ dh = ( r r ) (6.5) 4μ ds όπου r είναι η ακτίνα του σωλήνα. Η μέγιστη ταχύτητα προκύπτει για r = και είναι ίση με V γ dh = 4μ ds r (6.6) Αντικαθιστώντας την (6.6) στην (6.5) προκύπτει r V = V r Η μέση ταχύτητα στη διατομή του σωλήνα δίνεται από τη σχέση (6.7) Q Q V = = = V da V ( r r ) π r dr V A πr π r = = π r r E 7

9 Από την (6.7) προκύπτει ότι η κατανομή της ταχύτητας σε στρωτή ροή σε αγωγούς κυκλικής διατομής είναι παραβολική V( r) τ V r = r ( r) μ. Επομένως ισχύει dv μvr = = (6.8) dr r Στην περίπτωση αγωγού κυκλικής διατομής διαμέτρου και ακτίνας r όπως D στο Σχήμα 6-6, οι απώλειες ενέργειας ανά μονάδα βάρους ρευστού εκφράζονται από την εξίσωση (4.69) ως εξής: ( r) s s r τ τ h = ds dq = V ( r) π r Q γr Q γr E s s dr ds Θεωρώντας ότι τ είναι πρακτικά σταθερό μεταξύ των σημείων και ισχύει (6.9) s s τ τ τ ds = ( s s ) και αντικαθιστώντας γr γr ( r) ( ) E π r r R = = = Π π r dv r = μ το ολοκλήρωμα στην (6.9) εκφράζεται dr και ( ) τ r 4π 4π μ4vr r V( r) πrdr = τ( r) V( r) dr = V dr = γr γ γ r r r r r r 4 r r r r dr 4 4 3πμV r 3πμV 3πμV 8πμV = = = γr r γr γr γ Επομένως από την (6.9) προκύπτει ( ) s r s τ r 8πμV 8πμV h = V ( r) r dr ds ds L Q π = R Q = Q s γ γ γ s όπου L= s s Rynolds από τη σχέση η απόσταση μεταξύ των δύο διατομών. Ορίζοντας τον αριθμό R VD = (6.) ν όπου ν = μ είναι ο συντελεστής κινηματικής συνεκτικότητας του ρευστού έχουμε ρ 7

10 8πμV 8πμV 64 L V 64 h = L= L= = Q D γ π ρ g VD D g V 4 ν L V R D g (6.) όπου h είναι οι απώλειες ενέργειας λόγω τριβών κατά μήκος του σωλήνα. Συνήθως η μέση ταχύτητα στη διατομή γράφεται απλούστερα V γράφεται = V οπότε παραπάνω εξίσωση L V h = (6.) D g Επειδή οι απώλειες h είναι ανάλογες του μήκους του σωλήνα L ονομάζονται και γραμμικές απώλειες. Ο συντελεστής 64 = (6.3) R ονομάζεται συντελεστής τριβής. Η εξίσωση (6.) εκφράζει τις απώλειες ενέργειας λόγω τριβών κατά μήκος του σωλήνα ονομάζεται εξίσωση του Darcy-Wisbach και, όπως θα εξεταστεί στο κεφάλαιο 5 ισχύει και στην περίπτωση της τυρβώδους ροής σε σωλήνες. 6.3 Απώλειες Ενέργειας σε Σωλήνες Κυκλικής Διατομής: Τυρβώδης Ροή Η κατανομή της ταχύτητας στην περίπτωση τυρβώδους ροής σε σωλήνα παριστάνεται γραφικά στο Σχήμα 6-7 και εκφράζεται από εξισώσεις που δεν ακολουθούν την παραβολική κατανομή όπως στην περίπτωση της στρωτής ροής (εξισώσεις (6.) και (6.)) 7

11 Σχήμα 6-7 Κατανομή ταχύτητας σε τυρβώδη ροή σε σωλήνα Όπως θα αποδειχτεί παρακάτω η εξίσωση (6.) που προέκυψε στην περίπτωση της στρωτής ροής σε κυκλικούς σωλήνες ισχύει γενικότερα και όταν η ροή είναι τυρβώδης με τη διαφορά ότι στην περίπτωση της τυρβώδους ροής ο συντελεστής τριβής δεν δίνεται από την απλή εξίσωση (6.3) αλλά από πολυπλοκώτερες σχέσεις. Οι σχέσεις αυτές προκύπτουν με την εφαρμογή των κατανομών ταχυτήτων στην περίπτωση τυρβώδους ροής. Σχήμα 6-8 Μόνιμη τυρβώδης ροή σε κυκλικό σωλήνα Εξετάζουμε τη ροή ρευστού σε σωλήνα διαμέτρου D που σχηματίζει κλίση με γωνία θ ως προς το οριζόντιο επίπεδο όπως φαίνεται στο Σχήμα 6-8. Η ροή είναι τυρβώδης και τα μεγέθη ( uvwp,,, ) κλπ μεταβάλλονται συνεχώς σαν συνάρτηση του χρόνου. Υποθέτουμε όμως ότι οι μέσες τιμές της ροής δηλαδή μέσες ταχύτητες, μέσες πιέσεις, μέσες διατμητικές τάσεις, κλπ. δεν μεταβάλλονται στο χρόνο δηλαδή η ροή είναι μόνιμη ως προς τις μέσες τιμές. Για ευκολία των συμβολισμών παραλείπεται από εδώ και κάτω η γραμμή πάνω από τις τιμές των ταχυτήτων, της πίεσης, κλπ., που συμβολίζει μέση τιμή (δηλ. V = V, p= p, τ = τ κλπ.). Εξετάζουμε τις δυνάμεις που ασκούνται σε κύλινδρο νερού ακτίνας r και μήκους Δs όπως φαίνεται στο Σχήμα 6-8. Στην περίπτωση της μόνιμης ροής οι επιταχύνσεις του υγρού είναι μηδενικές και χρησιμοποιώντας το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα προκύπτει ότι το άθροισμα των δυνάμεων στον άξονα x κατά μήκος του 73

12 άξονα του αγωγού είναι F x =. Έστω τ οι μέσες διατμητικές τάσεις που ασκούνται στο υγρό από τα τοιχώματα του σωλήνα στο όριο του σωλήνα δηλαδή για r = r. Λόγω παραλληλίας της μέσης ροής η κατανομή της πίεσης σε κάθε διατομή του σωλήνα είναι υδροστατική, δηλαδή p z γ + = σταθερή σε όλη τη διατομή. Αναλύοντας τις συνιστώσες των δυνάμεων στον άξονα s έχουμε π D dp πd π D p p+ Δ s + γ Δs sinθ τ π DΔ s= (6.4) 4 ds 4 4 όπου p είναι η πίεση στο κέντρο βάρους της κυκλικής διατομής, και αντικαθιστώντας sinθ = dz όπου z το υψόμετρο του άξονα του σωλήνα, ds προκύπτει γ D dp dz τ = + 4 γ ds ds (6.5) γ Dd p και για ασυμπίεστα ρευστά με γ = σταθερό, έχουμε τ = z 4 ds γ + δηλαδή όπου D dh τ = γ (6.6) 4 ds p h= z+ είναι το πιεζομετρικό φορτίο σε διατομή κάθετη στο σωλήνα στη γ θέση s. Η εξίσωση αυτή προκύπτει απ ευθείας και από την (6.4) αντικαθιστώντας την υδραυλική ακτίνα της διατομής R = D. Η εξίσωση (6.6) γράφεται 4 4 dh = τ ds και ολοκληρώνοντας μεταξύ s και s έχουμε γ D οπότε h s 4 dh = τ ds γ D h s 4 τ γ D ( h h ) = ( s s ) (6.7) 74

13 Θέτοντας L= s s = μήκος αγωγού και h = h h = H H ύψος απωλειών ενέργειας, προκύπτει h 4τ γ L D = (6.8) Παρατηρούμε ότι αν οριστεί συντελεστής τριβής τυρβώδους ροής 8τ = (6.9) ρ V όπου ρ είναι η πυκνότητα του υγρού, και V είναι η μέση ταχύτητα του υγρού στη διατομή η εξίσωση (6.8) μπορεί να γραφεί h = L V D g (6.) Η εξίσωση αυτή είναι η εξίσωση Darcy-Wisbach η οποία βρέθηκε ότι ισχύει και στην περίπτωση της στρωτής ροής σε σωλήνα. Οι απώλειες h = h h είναι ανάλογες του μήκους του σωλήνα L και γι αυτό ονομάζονται γραμμικές απώλειες. Για να εκφραστεί η σχέση του συντελεστή τριβής με άλλα μεγέθη θα πρέπει να βρεθεί μια σχέση μεταξύ του τ και V. Η σχέση ατή προκύπτει από την θεωρία του οριακού στρώματος στην περίπτωση τυρβώδους ροής που θα εξεταστεί παρακάτω Κατανομή Ταχυτήτων σε Τυρβώδη Ροή: Οριακό Στρώμα Στην Εφηρμοσμένη Υδραυλική μας ενδιαφέρει η ροή πραγματικών ρευστών σε κλειστούς και ανοικτούς αγωγούς. Όπως αναφέρθηκε στη Μηχανική Ρευστών η ταχύτητα πραγματικού ρευστού είναι μηδενική στο όριο με τον αγωγό (φυσική οριακή συνθήκη). Καθώς απομακρυνόμαστε από το όριο η ταχύτητα του ρευστού αυξάνει σαν συνάρτηση της απόστασης μέχρι ότου φτάσει μια μέγιστη τιμή που δεν εξαρτάται πλέον από την επίδραση του ορίου. Έτσι ορίζεται μια ζώνη ρευστού μέσα 75

14 στην οποία η ταχύτητα επηρεάζεται από την ύπαρξη του ορίου. Η ζώνη αυτή ονομάζεται οριακό στρώμα και το πάχος της συμβολίζεται με δ (Σχήμα 6-9). Το πάχος του οριακού στρώματος εξαρτάται εν γένει από το είδος της ροής καθώς την ταχύτητα ροής. Σχήμα 6-9. Γραφική παράσταση ταχύτητας ρευστού πάνω από σταθερό όριο. Για μικρές ταχύτητες (μικρούς αριθμούς Rynolds) η ροή είναι στρωτή και το πάχος του οριακού στρώματος καθώς και η κατανομή ταχύτητας στο στρώμα αυτό μπορεί να υπολογιστεί από τη λύση των εξισώσεων συνεχείας και κίνησης. Σε πραγματικά προβλήματα η ροή είναι συνήθως τυρβώδης και έχουμε εν γένει τρεις περιοχές ροής όπως στο Σχήμα 6-9. Στο πρώτο στρώμα κοντά στο όριο οι ταχύτητες ροής είναι σχετικά μικρές και η ροή είναι στρωτή. Η ζώνη αυτή πλάτους δ ονομάζεται στρωτό οριακό υπόστρωμα. Κατόπιν ακολουθεί μια μεταβατική ζώνη όπου η ροή είναι κατά περιόδους στρωτή και κατά περιόδους τυρβώδης. Τέλος ακολουθεί η πλήρως τυρβώδης ζώνη (Σχήμα 6-9). Στην περίπτωση της τυρβώδους ροής οι εξισώσεις κίνησης είναι πολύπλοκες και εμφανίζονται σ αυτές ορισμένες 76

15 παράμετροι που είναι αδύνατο να εκτιμηθούν μέσω θεωρητικής ανάλυσης έχουν όμως προταθεί ορισμένες ημιεμπειρικές θεωρίες τυρβώδους από τους Taylor, (95, 93) και Kolmogoro (93,933, 94). Οι θεωρίες αυτές καταλήγουν στην εκτίμηση της κατανομής των μέσων ταχυτήτων ροής σε τυρβώδη οριακά στρώματα. Με εφαρμογή των ημιεμπειρικών αυτών θεωριών προκύπτουν οι εξισώσεις Von Karman- Prandtl για την κατανομή της ταχύτητας ροής σε τυρβώδη οριακά στρώματα. Με βάση τις θεωρίες αυτές η μέση ταχύτητα σε απόσταση y από το όριο για λεία τοιχώματα σωλήνα και τυρβώδη ροή ( R 8. ) δίνεται από τη σχέση u τ τ y = 5, 75 log 5,5 ρ ρ ν + (6.) ενώ για τραχέα τοιχώματα σωλήνα και για 5 7 R πολύ μεγάλο ( R ) u τ y = 5, 75 log 8,5 ρ k + (6.) όπου k είναι ένας συντελεστής τραχύτητας που εκφράζει το πάχος των ανωμαλιών στην επιφάνεια του σωλήνα και έχει διαστάσεις μήκους ( Σχήμα 6-), και τ είναι η διατμητική τάση λόγω τριβών στο όριο όπου το υγρό έρχεται σε επαφή με τον σωλήνα. Σχήμα 6-. Τραχύτητα αγωγού Η μέση ταχύτητα ροής σε αγωγό κυκλικής διατομής προκύπτει από 77

16 r r Q V = = u da= u π A A A rdr (6.3) όπου A η επιφάνεια της διατομής του αγωγού. Για σωλήνες κυκλικής διατομής ακτίνας ισχύει r y = r r και κάνοντας την αντικατάσταση των (6.) και (6.) στην (6.3) και ολοκληρώνοντας προκύπτει η μέση ταχύτητα ροής σε κυκλικούς αγωγούς. Για λεία τοιχώματα σωλήνα και τυρβώδη ροή (για R 8. ) V τ τ D = 5,75 log +, ρ ρ ν (6.4) ενώ για τραχέα τοιχώματα και για 5 7 R πολύ μεγάλο ( R ) V τ D 5,75 log 3, ρ k = + (6.5) 6.3. Υπολογισμός συντελεστή τριβής σε τυρβώδη ροή Στην περίπτωση στρωτής ροής ο συντελεστής τριβής της εξίσωσης Darcy- Wisbach εκφράζεται από την απλή σχέση (6.3). Στην περίπτωση τυρβώδους ροής ο συντελεστής τριβής ορίζεται από τη εξίσωση (6.9) όπου τ είναι η μέση διατμητική τάση στο όριο όπου το υγρό έρχεται σε επαφή με τα τοιχώματα του σωλήνα. Χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις (6.4) και (6.5) που εκφράζουν τις μέσες ταχύτητες στη διατομή στην περίπτωση τυρβώδους ροής και την εξίσωση (6.9) που εκφράζει τον συντελεστή τριβής καταλήγουμε στις ακόλουθες εξισώσεις για διαφόρους τύπους τυρβώδους ροής k Για αγωγούς με λεία τοιχώματα ( = ) και τυρβώδη ροή ( R > 8. ) D ισχύει,5 = log ( R ),8= log (6.6) R 78

17 και λύνοντας ως προς, 5 =,5 log R (6.7) k Για τραχέα τοιχώματα ( D > ) και όταν ο 5 7 R είναι μεγάλος (πχ. R, δηλαδή για πλήρως ανεπτυγμένη τυρβώδη ροή) ισχύει k k =.4 log = log D 3, 7D (6.8) και λύνοντας ως προς, 5 = k log D 3, 7 (6.9) Οι συντελεστές των εξισώσεων διορθώθηκαν για καλύτερη προσέγγιση των εργαστηριακών δεδομένων. Η εξίσωση (6.7) δείχνει ότι για λεία τοιχώματα ο συντελεστής τριβής εξαρτάται μόνο από τον αριθμό Rynolds ότι και για τραχέα τοιχώματα και σχετικά μεγάλους αριθμούς R ενώ η (6.9) δείχνει R ο συντελεστής τριβής εξαρτάται μόνο από τη σχετική τραχύτητα k D και είναι ανεξάρτητος του R. Οι παραπάνω εξισώσεις γενικεύτηκαν από τους Colbrook και Whit ως εξής k 9,35 k,5 =,4 log + = log D + (6.3) R D 3, 7 R και λύνοντας ως προς 79

18 , 5 = k,5 log D + R 3, 7 (6.3) Οι εξισώσεις (6.3) και (6.3) είναι γενικές και ισχύουν στην περίπτωση τυρβώδους k ροής σε λείους καθώς και τραχείς σωλήνες. Παρατηρούμε ότι για D δηλαδή για αγωγούς με λεία τοιχώματα η (6.3) ταυτίζεται με την εξίσωση (6.8) και η (6.3) με την (6.7) ενώ για R δηλαδή για μεγάλα R η (6.3) ταυτίζεται με την (6.8) και η (6.3) με την (6.9). Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι ο συντελεστής τριβής εξαρτάται εν γένει από τον αριθμό Rynolds και τη σχετική τραχύτητα k του σωλήνα δηλαδή D k ισχύει: = ( R, ). Η συνάρτηση αυτή που δόθηκε παραπάνω υπό μορφή D εξισώσεων για διάφορες περιοχές του R και k D, μπορεί να παρασταθεί γραφικά υπό μορφή διαγράμματος. Το διάγραμμα αυτό ονομάζεται διάγραμμα Moody και παρουσιάζεται στο Σχήμα

19 Σχήμα 6- Διάγραμμα Moody 8

20 Oι εξισώσεις Colbrook and Whit καθώς και το διάγραμμα Moody και είναι πολύ χρήσιμα στην επίλυση πρακτικών προβλημάτων κλειστών αγωγών και έχουν τα ακόλουθα χαρακτηριστικά. Για στρωτή ροή ο συντελεστής τριβής εξαρτάται μόνο από τον συντελεστή Rynolds R και είναι ανεξάρτητο της σχετικής τραχύτητας k D. Για τυρβώδη ροή και λείους σωλήνες ο εξαρτάται μόνο από τον αριθμό Rynolds. 3. Για τραχείς σωλήνες και πλήρως τυρβώδη ροή ( R πολύ μεγάλο) το εξαρτάται μόνο από το k D και είναι ανεξάρτητο του R. 4. Για τραχείς σωλήνες όταν το R δεν είναι πάρα πολύ μεγάλο (μεταβατική ζώνη), το εξαρτάται ταυτόχρονα από το k D και από το R. Το διάγραμμα Moody έχει χρησιμοποιηθεί πάρα πολύ στην επίλυση προβλημάτων κλειστών αγωγών στο παρελθόν. Στις μέρες μας όμως με την ευχρηστία που προσφέρουν οι υπολογιστές προτιμάται η επίλυση με τη χρήση των εξισώσεων Colbrook and Whit (6.3) ή (6.3). Επειδή οι εξισώσεις αυτές είναι πεπλεγμένης μορφής ως προς εν γένει απαιτείται επίλυση με μια επαναληπτική μέθοδο. Έχουν όμως προταθεί ρητές προσεγγίσεις της εξίσωσης αυτής που διευκολύνουν την επίλυση. Αναφέρουμε εδώ την προσέγγιση των Swam and Jain που δίνει το απευθείας από την, 5 = k 5,74 log D +,9 R 3.7 (6.3) Η εξίσωση αυτή προσεγγίζει την (6.3) με μεγάλη ακρίβεια. Το σφάλμα στο είναι της τάξεως του ± % για κάθε k D όταν R > που είναι σύνηθες στα περισσότερα προβλήματα ροής σε κλειστούς αγωγούς. Στις εφαρμογές μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την (6.3) στην λύση του προβλήματος ή αν απαιτείται 4 8

21 μεγαλύτερη ακρίβεια μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την (6.3) για να βρούμε μια πρώτη εκτίμηση (), 5 = k 5,74 log D +,9 R 3.7 (6.33) και κατόπιν να υπολογίσουμε μια καλύτερη εκτίμηση από την (6.3) ( ), 5 = k,5 log D + () R 3, 7 (6.34) 6.4 Προβλήματα Ροής σε Κλειστούς Αγωγούς Η εξίσωση Darcy-Wisbach (6.) ισχύει στην περίπτωση στρωτής και τυρβώδους ροής και εκφράζει τις γραμμικές απώλειες ενέργειας σε ροή πραγματικών ρευστών σε κλειστούς αγωγούς. Ο συντελεστής τριβής μπορεί να υπολογιστεί σαν συνάρτηση της σχετικής τραχύτητας k D και του αριθμού Rynolds R από το διάγραμμα Moody ή από την εξίσωση Colbrook an Whit (6.3) (ή αντίστοιχα από την προσεγγιστική σχέση (6.3)). Στη λύση προβλημάτων μόνιμης ροής ασυμπίεστων ρευστών σε κλειστούς αγωγούς κυκλικής διατομής χρησιμοποιούμε εν γένει τις ακόλουθες τρεις εξισώσεις όπου. Εξίσωση συνεχείας Q = παροχή όγκου νερού, αγωγού και V = μέση ταχύτητα ροής στη διατομή π D Q= AV = V (6.35) 4 A = επιφάνεια διατομής αγωγού, D =διάμετρος. Εξίσωση γραμμικών απωλειών ενέργειας Darcy-Wisbach 83

22 h = L V D g (6.36) 3. Συναρτησιακή εξίσωση τριβής, k = R (6.37) D η οποία δίνεται από την εξίσωση Colbrook an Whit (6.3) (ή αντίστοιχα από την προσεγγιστική σχέση (6.3)) και παριστάνεται γραφικά στο διάγραμμα Moody Έχουμε δηλαδή 3 εξισώσεις και 8 μεταβλητές h,, L, D, V, Q, ν, k. Για να έχει λύση το πρόβλημα θα πρέπει 5 από τις 8 μεταβλητές να είναι γνωστές. Ανάλογα με τις μεταβλητές που δίνονται και τις μεταβλητές που ζητούνται υπάρχουν 3 βασικές κατηγορίες προβλημάτων Υπολογισμός απώλειας ενέργειας Ζητούνται οι απώλειες ενέργειας h όταν η παροχή ( Q ), το υγρό ( ν ) καθώς και οι διαστάσεις και ο τύπος του σωλήνα ( DLk,, ) είναι γνωστά. Υπολογίζουμε την σχετική τραχύτητα R k D την μέση ταχύτητα Q V = καθώς και τον αριθμό Rynolds π D VD =. Από το διάγραμμα Moody βρίσκουμε το που αντιστοιχεί στο k ν D και R και από την εξίσωση (6.36) υπολογίζονται οι απώλειες ενέργειας h. Αν αντί χρήσης του διαγράμματος Moody προτιμηθεί η χρήση εξισώσεων για το μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την προσεγγιστική εξίσωση (6.3) που δίνει το απευθείας. Αν απαιτείται ακόμη μεγαλύτερη ακρίβεια μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την (6.33) για να εκτιμήσουμε μια πρώτη προσέγγιση () και κατόπιν την (6.34) για να πάρουμε μια καλύτερη εκτίμηση ( ). 84

23 6.4. Υπολογισμός παροχής Ζητείται η παροχή Q όταν οι απώλειες h, το υγρό (ν ) και τα χαρακτηριστικά του σωλήνα ( DLk,, ) είναι γνωστά. Το πρόβλημα αυτό μπορεί να επιλυθεί με χρήση του διαγράμματος Moody ως εξής. Επειδή η ταχύτητα και επομένως ο συντελεστής R VD = δεν είναι γνωστά το ν, k = R δεν μπορεί να υπολογιστεί απ ευθείας από το διάγραμμα Moody και D απαιτείται εφαρμογή μίας μεθόδου δοκιμών. Έστω μια αρχική προσεγγιστική τιμή () που εκτιμάται από το διάγραμμα Moody για τη συγκεκριμένη σχετική τραχύτητα (συνήθως αρχικά υποτίθεται ότι το R είναι πολύ μεγάλο ώστε να βρισκόμαστε στο οριζόντιο τμήμα των καμπυλών όπου το είναι ανεξάρτητο του R ). Λύνουμε την εξίσωση (6.36) ως προς V και παίρνουμε μια πρώτη εκτίμηση της ταχύτητας V () ghd = (6.38) () L Υπολογίζουμε τώρα μια πρώτη εκτίμηση του αριθμού Rynolds R () ( ) V D = (6.39) ν και με βάση την τιμή () R μπορούμε να πάμε πάλι στο διάγραμμα Moody και να υπολογίσουμε μια νέα τιμή του συντελεστή τριβής ( ). Αν ( ) ( ), υπολογίζονται νέες τιμές V ( ) ( ), R από τις εξισώσεις (6.38), (6.39) και από το διάγραμμα Moody υπολογίζεται νέα τιμή ( 3). Η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να υπάρξει σύγκλιση δηλαδή μέχρι ( i+ ) ( i) =. Γενικά - επαναλήψεις αρκούν για επιτυχία σύγκλισης. Με την χρήση των εξισώσεων του η λύση προκύπτει χωρίς ανάγκη δοκιμών ως εξής. Λύνοντας την εξίσωση Darcy-Wisbach (6.36) ως προς V έχουμε 85

24 V gh D = (6.4) L και ο αριθμός Rynolds γράφεται R = D gh L ν D (6.4) οπότε 3 R = D D D gh gh = (6.4) ν L ν L και αντικαθιστώντας στην (6.3), 5 = k,5ν L log D + 3 D gh 3,7 (6.43) Τα δεδομένα στο δεξιό σκέλος της εξίσωσης αυτής είναι γνωστά και ο συντελεστής τριβής υπολογίζεται απλά από την (6.43) χωρίς ανάγκη διαδοχικών προσεγγίσεων. Κατόπιν η ταχύτητα υπολογίζεται από την (6.4) Υπολογισμός Διαμέτρου Αγωγού Ζητείται η διάμετρος D του αγωγού όταν οι απώλειες h, η παροχή ρευστό ν, και τα χαρακτηριστικά και επομένως ο συντελεστής kl, Q, το του αγωγού είναι γνωστά. Επειδή η διάμετρος k καθώς και ο αριθμός D R VD = δεν είναι γνωστά το ν δεν μπορεί να υπολογιστεί απ ευθείας με χρήση του διαγράμματος Moody η της εξίσωσης Colbrook and Whit και απαιτείται μια μέθοδος δοκιμών. Η λύση με τη χρήση του διαγράμματος Moody είναι ως εξής. Εστω μια αρχική προσεγγιστική εκτίμηση του συντελεστή τριβής ( ) =,3. Αντικαθιστώντας την 86

25 (6.35) στην εξίσωση ενέργειας και λύνοντας ως προς D υπολογίζεται μια αρχική εκτίμηση της διαμέτρου του αγωγού D () 5 () 8 LQ = (6.44) π gh Υπολογίζεται μια αρχική τιμή του συντελεστή σχετικής τραχύτητας και του αριθμού Rynolds που να αντιστοιχεί στο ( ) D, δηλαδή k D R () () VD = ν Από το διάγραμμα Moody μπορεί τώρα να υπολογιστεί τώρα μια νέα εκτίμηση του συντελεστή τριβής () ( ) απ όπου υπολογίζεται μια νέα εκτίμηση της διαμέτρου (6.45) D ( ) 5 ( ) 8 LQ = (6.46) π gh Αν D D ( ) ( ) D ( i+ ) ( i) D οι επαναλήψεις συνεχίζονται έως ότου υπάρξει σύγκλιση δηλαδή. Εν γένει επιλέγουμε την αμέσως μεγαλύτερη διάμετρο από αυτές που υπάρχουν στο εμπόριο για το συγκεκριμένο τύπο σωλήνα. Με χρήση της εξίσωσης Colbrook and Whit η διάμετρος υπολογίζεται ως εξής. Από την εξίσωση Darcy Wisbach λύνοντας ως προς τη διάμετρο έχουμε Ο αριθμός Rynolds γράφεται 8 LQ D = π gh 5 5 (6.47) R gh 5 DV DQ 4Q,33Q = = = = ν π D 5 ν L ν 8 LQ 5 4 πν π gh (6.48) και αντικαθιστώντας στην (6.3) παίρνουμε 87

26 , 5 = 5 3 5,89,8 gh ν L k 5 log 3 + Q 5 gh Q 5 L (6.49) Η εξίσωση αυτή είναι πεπλεγμένη ως προς και πρέπει να λυθεί με δοκιμές ξεκινώντας από μια αρχική τιμή πχ. ( ) =,3 και θέτοντας ( i+ ), 5 = 5 3 5,89ν L () i,8k gh () i 5 log 3 + Q 5 gh Q 5 L (6.5) οι επαναλήψεις συνεχίζονται με χρήση της (6.5) έως ότου να υπάρξει σύγκλιση δηλαδή μέχρι ( i+ ) ( i) =. Γενικά - επαναλήψεις αρκούν για επιτυχία σύγκλισης. Αφού υπολογιστεί ο συντελεστής η διάμετρος υπολογίζεται από την (6.47). Συστήματα Κλειστών Αγωγών - Γενικά Στοιχεία Τα συστήματα κλειστών αγωγών χρησιμοποιούνται για την μεταφορά νερού από τις θέσεις υδροληψιών και δεξαμενές αποθήκευσης στις περιοχές κατανάλωσης για ύδρευση κατοικημένων περιοχών, άρδευση αγροτικών εκτάσεων κλπ.. Επίσης χρησιμοποιούνται στην βιομηχανική παραγωγή και στην παραγωγή ηλεκτρικής ενέργειας από υδατοπτώσεις. Τα συστήματα κλειστών αγωγών περιλαμβάνουν εν γένει αγωγούς διάφορων διαμέτρων και υλικών κατασκευής, συνδέσεις, διακλαδώσεις, γωνίες, ρυθμιστικές βαλβίδες ροής, αντλίες, υδροστροβίλους κλπ. Επίσης συχνά γίνεται πρόσθεση και η αφαίρεση νερού σε ορισμένα σημεία του δικτύου. Γενικά η ροή είναι μεταβαλλόμενη αλλά λόγω μαθηματικών δυσκολιών αντιμετώπισης της μεταβαλλόμενης ροής τα περισσότερα προβλήματα επιλύονται με την απλοποιητική παραδοχή της μόνιμης ροής. Επίσης υποθέτουμε ότι το νερό είναι πρακτικά ασυμπίεστο και ότι η ροή είναι ομοιόμορφη στα τμήματα του δικτύου όπου 88

27 ο αγωγός έχει σταθερή διατομή. Ανομοιομορφίες της ροής παρουσιάζονται τοπικά σε γωνίες, συνδέσεις, κλπ. Στην επίλυση συστημάτων κλειστών αγωγών χρησιμοποιούνται η εξίσωση συνέχειας, η εξίσωση ενέργειας, η εξίσωση απωλειών Darcy-Wisbach καθώς και το διάγραμμα Moody ή αντίστοιχα η εξίσωση Colbrook and Whit. Η εξίσωση συνέχειας ορίζει ότι σε κάθε κόμβο του συστήματος (Σχήμα 6-) ισχύει Qεισοδ = Qεξοδ (6.5) και θέτοντας Q = AV η (6.5) γράφεται ( AV i i) = ( AjVj) (6.5) εισ εξοδ Σχήμα 6-. Κόμβος συστήματος κλειστών αγωγών Από την Μηχανική Ρευστών προκύπτει η γενική εξίσωση ενέργειας μεταξύ δύο σημείων Α και Β του συστήματος H = H +Δ H ± H (6.53) ( ) A B a A B m όπου H είναι το ολικό ύψος (φορτίο) ενέργειας στα σημεία Α και Β αντίστοιχα (ο συντελεστής συνόρθωσης της κινητικής ενέργειας στην τυρβώδη ροή λαμβάνεται συνήθως a ), δηλαδή 89

28 H p V = z+ + (6.54) γ g Στην εξίσωση αυτή z είναι το υψόμετρο, p η πίεση και V η μέση ταχύτητα στις διατομές Α και Β αντίστοιχα. Ο όρος p h= z+ εκφράζει το πιεζομετρικό φορτίο και γ ο όρος V g το ύψος κινητικής ενέργειας στα σημεία Α και Β αντίστοιχα. Ο όρος Δ H ) στην (6.53) εκφράζει τις απώλειες ενέργειας λόγω τριβών μεταξύ των ( a A B σημείων Α και Β και H m είναι το μηχανικό έργο που είναι θετικό σε περίπτωση υδροστροβίλου και αρνητικό σε περίπτωση αντλίας. Όπως αναφέρθηκε στη Μηχανική Ρευστών η γραμμή που συνδέει τις τιμές του ύψους ενέργειας H κατά μήκος του αγωγού ονομάζεται γραμμή ενέργειας (ΓΕ) ενώ η γραμμή που συνδέει τις τιμές των πιεζομετρικών φορτίων h ονομάζεται πιεζομετρική γραμμή (ΠΓ). Η πιεζομετρική γραμμή βρίσκεται σε απόσταση κάτω από την γραμμή ενέργειας όπως φαίνεται στο Σχήμα 6-3. V g Σχήμα 6-3. Μεταφορά νερού μεταξύ δύο δεξαμενών Σε ένα απλό αγωγό μεταφοράς νερού οι απώλειες ενέργειας Δ Ha( A B ) μεταξύ δύο σημείων Α και Β εκφράζονται από τις γραμμικές απώλειες h οι οποίες δίνονται από την εξίσωση Darcy Wisbach (6.). Σε σύνθετο αγωγό οι απώλειες ενέργειας περιλαμβάνουν τους εξής όρους 9

29 (6.55) Δ H = h + h aa ( B) L όπου h το άθροισμα των γραμμικών απωλειών ενέργειας κατά μήκος των τμημάτων του σύνθετου αγωγού και hl το άθροισμα των τοπικών απωλειών ενέργειας σε γωνίες, στενώσεις, διευρύνσεις, δικλείδες, εισόδους και εξόδους δεξαμενών, κλπ μεταξύ του Α και Β. Οι γραμμικές απώλειες υπολογίζονται εν γένει από την εξίσωση Darcy Wisbach (6.) ενώ οι τοπικές απώλειες υπολογίζονται στο Κεφάλαιο 6.5. Οι γραμμικές απώλειες είναι ανάλογες του μήκους L επομένως η γραμμή ενέργειας πέφτει ομαλά και γραμμικά κατά μήκος του αγωγού λόγω των γραμμικών απωλειών ενέργειας και επομένως μπορεί να οριστεί η κλίση της γραμμής ενέργειας από h S L όπου L είναι το μήκος του αγωγού. Η πτώση του ύψους ενέργειας είναι απότομη στα σημεία των τοπικών απωλειών. Επίσης όπως θα αναφερθεί στο κεφάλαιο 6.6 η μεταβολή του ενεργειακού ύψους είναι απότομη στα σημεία πρόσθεσης η αφαίρεσης μηχανικού έργου από αντλίες και υδροστρόβιλους. = (6.56) 6.5 Τοπικές Απώλειες Ενέργειας Οι τοπικές απώλειες οφείλονται στην μετατροπή ενέργειας σε θερμότητα που προκαλείται από το επιπρόσθετο τυρβώδες στις απότομες μεταβολές της διατομής ή αλλαγές διευθύνσεως του αγωγού. Το ύψος τοπικών απωλειών είναι ανάλογο του ύψους κινητικής ενέργειας V g και εκφράζεται από τη σχέση V hl = KL (6.57) g όπου KL είναι αδιάστατος συντελεστής τοπικών απωλειών που εξαρτάται από τη γεωμετρία του αγωγού στη θέση των τοπικών απωλειών και τον αριθμό Rynolds Συνήθως ο συντελεστής K L προσδιορίζεται πειραματικά. Οι τοπικές απώλειες είναι R. 9

30 σχετικά μικρές συγκρινόμενες με τις γραμμικές απώλειες ιδίως όταν τα μήκη των αγωγών είναι μεγάλα (της τάξεως χιλιομέτρων). Διακρίνουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις τοπικών απωλειών που έχουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον στις εφαρμογές Τοπικές Απώλειες στην Έξοδο από Δεξαμενή σε Αγωγό Οι απώλειες αυτές δημιουργούνται στην έξοδο νερού από δεξαμενή σε αγωγό όπως φαίνεται στο Σχήμα 6-4. Τοπικές Απώλειες Ενέργειας Σχήμα 6-4. Τοπικές απώλειες στην έξοδο δεξαμενής Οι απώλειες εκφράζονται από την εξίσωση (6.57) όπου ο συντελεστής παίρνει διάφορες τιμές ανάλογα με τον τύπο της σύνδεσης. Στο Σχήμα 6-5 φαίνονται οι κυριότεροι τύποι συνδέσεων που είναι η εγκάρσια με K L,5, η κωδωνοειδής με K =,5 και την εισέχουσα με K =,. Η εγκάρσια διατομή είναι και η L συνηθέστερη. L K L Σχήμα 6-5 Τύποι σύνδεσης σε έξοδο από δεξαμενή 9

31 6.5. Τοπικές Απώλειες Λόγω Απότομης Στενώσεως Αγωγού Οι τοπικές απώλειες δίνονται από την (6.57) όπου ο συντελεστής D περίπτωση αυτή εξαρτάται από τον λόγο D K L στην και δίνεται από τον παρακάτω πίνακα D D,,,,3,4,5,6,7,8,9, K L,5,45,4,39,36,33,8,,5,6, Τα μεγέθη ορίζονται στο Σχήμα 6-6 δηλαδή είναι η μεγαλύτερη D διάμετρος και V hl = KL όπου V είναι η μέση ταχύτητα στην μικρότερη διατομή. g Σχήμα 6-6. Τοπικές απώλειες στη στένωση αγωγού Τοπικές Απώλειες Λόγω Διευρύνσεως Αγωγού Το K L στην περίπτωση διεύρυνσης δίνεται από τη σχέση K L = D D (6.58) όπου οι διάμετροι ορίζονται στο Σχήμα 6-7 και V hl = KL όπου V η ταχύτητα g στην μικρότερη διατομή. Σε περίπτωση εξόδου σε δεξαμενή ο λόγος D D οπότε K. L 93

32 Σχήμα 6-7 Τοπικές Απώλειες στην Διεύρυνση Αγωγού πίνακες. Επίσης υπάρχουν τοπικές απώλειες σε δικλείδες, γωνίες, που δίνονται από 6.6 Αντλίες Υδροστρόβιλοι Οι αντλίες και υδροστρόβιλοι είναι μηχανές που προσφέρουν ή αφαιρούν ενέργεια από το σύστημα των αγωγών. Η εξίσωση ενέργειας στην περίπτωση αυτή προκύπτει από την (6.53) p V p V z z H h γ g γ g A A B B A + + = B + + ± m + ( A B) + L( A B) h (6.59) όπου H m είναι το μηχανικό έργο που προσφέρει η αφαιρεί η μηχανή και ονομάζεται μανομετρικό ύψος της αντλίας ή του υδροστροβίλου. Οι αντλίες προσθέτουν εξωτερική μηχανική ενέργεια στο σύστημα ενώ οι υδροστρόβιλοι αφαιρούν ενέργεια, έτσι το πρόσημο είναι θετικό σε περίπτωση υδροστροβίλου και αρνητικό σε περίπτωση αντλίας. Ο όρος h ( A B) είναι το άθροισμα των γραμμικών απωλειών ενέργειας μεταξύ των σημείων Α και Β και h L( A B) είναι το άθροισμα των τοπικών απωλειών ενέργειας μεταξύ Α και Β. Η γραμμή ενέργειας και η πιεζομετρική γραμμή ανεβαίνει η πέφτει απότομα στην θέση της αντλίας ή υδροστροβίλου κατά στο Σχήμα 6-8. H m όπως 94

33 Σχήμα 6-8 Γραμμή ενέργειας και πιεζομετρική γραμμή στη θέση αντλίαςυδροστροβίλου Η ισχύς της αντλίας ορίζεται από τη σχέση P W γ QH n m = (6.6) όπου n είναι συντελεστής απόδοσης της αντλίας ο οποίος είναι αδιάστατος αριθμός μικρότερος του. Αντικαθιστώντας το ειδικό βάρος του νερού γ = 98 N 3 m, την παροχή σε m 3 και το μανομετρικό της αντλίας σε προκύπτει η ισχύς της αντλίας s σε Watt όπου σχέση HP = 736W. Nm W =. Αν ζητείται το P W σε ίππους αυτό προκύπτει από τη s Η ισχύς υδροστροβίλου προκύπτει από τη σχέση m PW nγ QH m = (6.6) όπου n είναι ο συντελεστής απόδοσης του υδροστροβίλου. 95

34 6.7 Συστήματα κλειστών αγωγών σε σειρά Εξετάζουμε το σύστημα μεταφοράς νερού από την δεξαμενή Α στην δεξαμενή Β που αποτελείται από δύο κλειστούς αγωγούς διαμέτρων και D και μήκους L και L αντίστοιχα. D Σχήμα 6-9 Σύστημα κλειστών αγωγών σε σειρά δίνει Η εξίσωση συνέχειας εφαρμοζόμενη στην περιοχή της ένωσης των δύο αγωγών πd πd D Q Q V V V V (6.6) = = = 4 4 D όπου Q, Qοι παροχές και V, Vοι ταχύτητες στους αγωγούς και αντίστοιχα. Εφαρμόζοντας την εξίσωση ενέργειας μεταξύ των σημείων Α και Β όπου Α και Β δύο σημεία στην επιφάνεια των δεξαμενών Α και Β αντίστοιχα, η εξίσωση ενεργείας γράφεται pa VA pb VB z + A zb hl εισ h hl συστ h h L εξ γ + g = + γ + g (6.63) όπου hl εισ, hl συστ, hl εξ οι τοπικές απώλειες ενέργειας στην είσοδο του σωλήνα, στην συστολή μεταξύ σωλήνα και και στη έξοδο του σωλήνα αντίστοιχα, και h, h οι γραμμικές απώλειες ενέργειας στους σωλήνες και αντίστοιχα. Οι πιέσεις στα σημεία Α και Β είναι pa = pb = p ατμ. Επίσης λόγω των μεγάλων 96

35 διαστάσεων των δεξαμενών μπορεί να θεωρηθεί V V. Οπότε η (6.63) γράφεται A B L Lεισ Lσυστ Lεξ (6.64) H = h + h = h + h + h + h + h όπου H = za zb. Χρησιμοποιώντας την εξίσωση Darcy-Wisbach (6.36) και την εξίσωση τοπικών απωλειών (6.57) η εξίσωση (6.64) γράφεται L V L V V V V H = + + K + K + K Lεισ Lσυστ Lεξ D g D g g g g (6.65) Υποθέτοντας K εισ =,5 και K εξ = και χρησιμοποιώντας την (6.6) έχουμε L L H = K L D L D V,5 Lσυστ D D D D g (6.66) Ο συντελεστής K L συστ προκύπτει από τον πίνακα στενώσεως που αναφέρθηκε D παραπάνω ανάλογα με το λόγο διαμέτρων D. Όταν δίνονται τα χαρακτηριστικά των αγωγών και ζητείται η παροχή (ή αντίστοιχα οι ταχύτητες ροής) ακολουθείται η παρακάτω διαδικασία με δοκιμές. k Αρχικά υπολογίζονται οι σχετικές τραχύτητες D και k. Οι αριθμοί Rynolds D R και R στους αγωγούς και δεν μπορούν να υπολογιστούν αφού οι ταχύτητες δεν είναι γνωστές. Υποτίθεται αρχικά ότι οι R και R είναι μεγάλοι, δηλαδή ότι βρισκόμαστε στο οριζόντιο τμήμα των καμπυλών του διαγράμματος Moody όπου ισχύει η εξίσωση (6.9) και βρίσκουμε από το διάγραμμα Moody ή από την εξίσωση (6.9) αρχικές εκτιμήσεις των συντελεστών τριβής () και (6.66) ως προς V προκύπτει μια πρώτη εκτίμηση της ταχύτητας V (). Λύνοντας την 97

36 V () = gh 4 4 () L D () L D + +,5 + KL συστ + D D D D (6.67) και από την (6.6) προκύπτει V D = D () () V (6.68) Χρησιμοποιώντας τις πρώτες αυτές εκτιμήσεις της ταχύτητας προκύπτουν πρώτες () V D () V D εκτιμήσεις των αριθμών Rynolds R = και R = και από το ν ν διάγραμμα Moody ή από την εξίσωση Colbrook and Whit (6.3) προκύπτουν νέες εκτιμήσεις των συντελεστών τριβής ( ) ( ) και ( ). Αν ( ) ( ) ( ) και ( ) ( ) έχουμε σύγκλιση και οι επαναλήψεις σταματάνε. Αν ( ) ( ) ή ( ) ( ) από τις εξισώσεις (6.67) και (6.68) υπολογίζονται νέες τιμές V, V των ταχυτήτων και αντίστοιχες τιμές των αριθμών Rynolds ( ) ( ) R ( ) ( ) V D = και ν ( ) ( ) V D = και από ν R το διάγραμμα Moody ή την εξίσωση (6.3) υπολογίζονται νέες τιμές ( 3) ( 3),. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να υπάρξει σύγκλιση δηλαδή μέχρι ( i+ ) ( i) = και ( i+ ) ( i) =. Γενικά - επαναλήψεις αρκούν για να έχουμε σύγκλιση. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω η εξίσωση Colbrook and Whit (6.3) είναι πεπλεγμένης μορφής ως προς και πρέπει να λυθεί με δοκιμές σε κάθε στάδιο της διαδικασίας ξεκινώντας τις προσεγγίσεις με αρχικές τιμές αυτές που προκύπτουν από την προσεγγιστική σχέση (6.3). Πάντως στα περισσότερα προβλήματα οι τιμές που προκύπτουν από την εξίσωση (6.3) αναμένεται να έχουν ικανοποιητική ακρίβεια ώστε να αρκεί η πρώτη προσέγγιση που δίνεται από την (6.3). Αφού υπολογιστούν οι ταχύτητες η παροχή υπολογίζεται από την (6.35). Αν τα μήκη των αγωγών είναι μεγάλα (της τάξεως km η περισσότερο), οι τοπικές απώλειες είναι μικρές σχετικά με τις γραμμικές και μπορούν να παραληφτούν με σχετικά μικρό σφάλμα. 98

37 6.8 Συστήματα Παράλληλων Κλειστών Αγωγών Εξετάζουμε το σύστημα παράλληλων κλειστών αγωγών στο Σχήμα 6-. Εφαρμόζοντας την εξίσωση συνέχειας στο σημείο Α έχουμε Q= Q+ Q + Q 3 (6.69) Σχήμα 6- Σύστημα Παράλληλων Κλειστών Αγωγών Τα πιεζομετρικά φορτία ha και h B στα σημεία Α και Β είναι κοινά και για τους τρεις αγωγούς. Εφαρμόζοντας την εξίσωση ενέργειας μεταξύ των σημείων Α και Β για τους αγωγούς,, και 3 έχουμε L V L 8Q ha hb = + Kγων = + Kγων 4 D g D gπ D L V L 8Q ha hb = + Kγων = + Kγων 4 D g D gπ D (6.7) L 3 V 3 L 3 8Q 3 ha hb = 3 + Kγων = 3 + Kγων 4 D3 g D3 gπ D3 Όταν τα μήκη των αγωγών είναι σχετικά μεγάλα (της τάξεως χιλιομέτρων) μπορούμε να αγνοήσουμε τις τοπικές απώλειες λόγω των γωνιών. Οι σχέσεις (6.69), (6.7) ορίζουν 4 εξισώσεις και μπορούμε να λύσουμε ως προς 4 αγνώστους πχ. τα Q, Q, Q3 και Δ h= ha hb όταν δίδονται τα υπόλοιπα 99

38 χαρακτηριστικά των αγωγών. Στην περίπτωση αυτή μπορούμε να λύσουμε το σύστημα (6.69) και (6.7) με δοκιμές ως εξής. Αρχικά υποθέτουμε ότι οι αριθμοί Rylolds στους τρεις σωλήνες είναι πολύ μεγάλοι δηλαδή έχουμε πλήρως τυρβώδη ροή. Αυτό σημαίνει ότι βρισκόμαστε στο οριζόντιο σκέλος των καμπυλών του διαγράμματος Moody όπου οι συντελεστές τριβής εξαρτώνται μόνο από τις σχετικές 3 τραχύτητες k, k, k οπότε μπορούν να υπολογιστούν πρώτες εκτιμήσεις των D D D 3 συντελεστών τριβής ( ) ( ) ( ),, είτε από το διάγραμμα Moody είτε από την 3 εξίσωση (6.9). Οι εξισώσεις (6.7) μπορούν να τώρα να δώσουν πρώτες εκτιμήσεις των παροχών 4 () = L 8 Kγων D Q 4 () L 8 + Kγων D Q 4 () 3 3 = L Kγων D3 Q Δhgπ D + Δhgπ D = Δhgπ D (6.7) Οι παροχές που προκύπτουν από τις παραπάνω εξισώσεις δεν ικανοποιούν την εξίσωση συνεχείας (6.69) γι αυτό γίνεται διόρθωση τους σύμφωνα με την παρακάτω σχέση

39 Q Q Q () = Q () Q () Q () () Q Q () = () Q Q () = () Q 3 Q3 (6.7) όπου () () () () Q = Q + Q + Q 3 (6.73) Κατόπιν με βάση τις εκτιμήσεις της παροχής υπολογίζονται οι ταχύτητες και οι αντίστοιχοι συντελεστές Rynolds. Από το διάγραμμα Moody ή από την επίλυση των εξισώσεων (6.3) με διαδοχικές προσεγγίσεις υπολογίζονται νέες εκτιμήσεις των συντελεστών τριβής ( ) ( ) ( ),, και επαναλαμβάνεται η διαδικασία των (6.7), 3 (6.7) και (6.73) μέχρι να υπάρξει σύγκλιση. Συνήθως απαιτούνται -3 κύκλοι προσέγγισης. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω η εξίσωση Colbrook and Whit (6.3) είναι πεπλεγμένης μορφής ως προς και πρέπει να λυθεί με δοκιμές σε κάθε στάδιο της διαδικασίας ξεκινώντας τις προσεγγίσεις με αρχικές τιμές αυτές που προκύπτουν από την προσεγγιστική σχέση (6.3). Πάντως στα περισσότερα προβλήματα οι τιμές που προκύπτουν από την εξίσωση (6.3) αναμένεται να έχουν ικανοποιητική ακρίβεια ώστε να αρκεί η πρώτη προσέγγιση που δίνεται από την (6.3). 6.9 Μεταφορά Νερού Μεταξύ Δεξαμενών με Απώλειες Νερού Νερό μεταφέρεται από την δεξαμενή Α στην Β και οι στάθμες των οποίων είναι σε υψόμετρα z A και zb αντίστοιχα. Το μήκος του αγωγού μεταφοράς νερού είναι L, η διάμετρος είναι D και η τραχύτητα k. Στο σημείο Γ που βρίσκεται σε απόσταση L από την δεξαμενή Α υπάρχει απώλεια νερού με παροχή υπολογιστούν οι παροχές και Q ανάντη και κατάντη του Γ. Q q. Ζητείται να

40 Σχήμα 6- Μεταφορά Νερού Μεταξύ Δεξαμενών με Απώλειες Η εξίσωση συνεχείας στον κόμβο Γ δίνει πd πd 4q Q = Q + q V = V + q V = V + (6.74) 4 4 π D Θεωρώντας τις τοπικές απώλειες ενέργειας αμελητέες η εξίσωση απωλειών ενέργειας μεταξύ των σημείων Α και Β εκφράζονται από τη σχέση L V L V za zb = H = h+ h = + (6.75) D g D g και αντικαθιστώντας την (6.74) η εξίσωση (6.75) γράφεται 4q V L + L V D g D g π D H = + (6.76) και κάνοντας τις πράξεις προκύπτει η δευτεροβάθμια εξίσωση 8qL 6q L L + L DV + V + ghd 3 = (6.77) π D π D ( )

41 Η εξίσωση αυτή έχει μια ρίζα με φυσική σημασία. Η λύση προχωρά με δοκιμές ως εξής. Επειδή οι ταχύτητες δεν είναι γνωστές οι αριθμοί Rynolds R και R ανάντη και κατάντη του Γ δεν μπορούν να εκτιμηθούν, αλλά υποτίθεται αρχικά ότι τα R και R είναι σχετικά μεγάλα δηλαδή ότι βρισκόμαστε στο οριζόντιο τμήμα των καμπυλών του διαγράμματος Moody και ισχύει η εξίσωση (6.9). Υπολογίζεται η σχετική τραχύτητα k και βρίσκεται από το διάγραμμα Moody ή από την (6.9) μια D πρώτη εκτίμηση των συντελεστών τριβής () () =. Λύνοντας την δευτεροβάθμια εξίσωση (6.77) ως προς προκύπτει μια πρώτη εκτίμηση της ταχύτητας και V ( ) από την (6.74) προκύπτει η V. Χρησιμοποιώντας τις πρώτες αυτές εκτιμήσεις της ταχύτητας προκύπτουν πρώτες εκτιμήσεις των αριθμών Rynolds R ( ) V D ν R V ( ) () V D ν = και = και από το διάγραμμα Moody, ή από την εξίσωση (6.3), προκύπτουν νέες εκτιμήσεις των συντελεστών τριβής ( ) και ( ). Αν ( ) ( ) και ( ) ( ) έχουμε σύγκλιση και οι επαναλήψεις σταματάνε. Αν ( ) ( ) ή ( ) ( ) από τις εξισώσεις (6.77) και (6.74) υπολογίζονται νέες τιμές V, V των ταχυτήτων και αντίστοιχες τιμές των αριθμών Rynolds R ( ) V D ν R ( ) V D ν = και ( ) ( ) =. Από το διάγραμμα Moody ή από την (6.3) υπολογίζονται νέες τιμές ( 3) ( 3),. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να υπάρξει σύγκλιση δηλαδή μέχρι ( i+ ) ( i) i+ i = και ( ) ( ) =. Γενικά - επαναλήψεις αρκούν για να έχουμε σύγκλιση. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω η εξίσωση Colbrook and Whit (6.3) είναι πεπλεγμένης μορφής ως προς και πρέπει να λυθεί με δοκιμές σε κάθε στάδιο της διαδικασίας ξεκινώντας τις προσεγγίσεις με αρχικές τιμές αυτές που προκύπτουν από την προσεγγιστική σχέση (6.3). Πάντως στα περισσότερα προβλήματα οι τιμές που προκύπτουν από την εξίσωση (6.3) αναμένεται να έχουν ικανοποιητική ακρίβεια ώστε να αρκεί η πρώτη προσέγγιση που δίνεται από την (6.3). 3

42 Αφού υπολογιστούν οι ταχύτητες οι παροχές υπολογίζονται από την (6.35). 6. Πρόβλημα Τριών Δεξαμενών Σχήμα 6- Πρόβλημα τριών δεξαμενών Εξετάζουμε τη ροή μεταξύ των δεξαμενών στο Σχήμα 6-. Υποτίθεται ότι ύψη των δεξαμενών είναι τέτοια ώστε η ροή να έχει τη φορά όπως φαίνεται σχήμα. Η εξίσωση συνεχείας εφαρμοζόμενη στο σημείο Δ δίνει πd πd πd D D V 3 (6.78) V = V + V3 V = V + D D Εφαρμόζοντας την εξίσωση ενεργείας μεταξύ Α-Β και Α-Γ, και αγνοώντας τοπικές απώλειες έχουμε L V L V z z = H = h + h = + (6.79) A B D g D g 4

43 L V L V z z = H = h + h = + (6.8) 3 3 A Γ 3 3 D g D3 g Αφαιρώντας την (6.8) από την (6.79) έχουμε L V L V H H = D g (6.8) D3 g Λύνοντας την (6.8) ως προς V 3 έχουμε g D3 L V V3 = H + H 3L3 D g (6.8) Αντικαθιστώντας την (6.78) στην (6.79) έχουμε D D V + V 3 3 D D L L V = + D g D g H (6.83) και αντικαθιστώντας την (6.8) στην (6.83) παίρνουμε D D 3 g D 3 L V = D D 3 L3 D g gd D H L V H H L V (6.84) Η εξίσωση (6.84) έχει ένα μόνο άγνωστο την δοκιμές ως εξής. Αρχ ικά υπολογίζονται οι σχετικές τραχύτητες V και η λύση μπορεί να γίνει με k D, k D και k3 D 3 Οι αριθμοί Rynolds R, R και R 3 στους αγωγούς, και 3 δεν μπορούν να 5

44 υπολογιστούν αφού οι ταχύτητες δεν είναι γνωστές. Υποτίθεται αρχικά ότι οι R, R και 3 R είναι μεγάλοι, δηλαδή ότι βρισκόμαστε στο οριζόντιο τμήμα των καμπυλών του διαγράμματος Moody όπου ισχύει η εξίσωση (6.9) και βρίσκουμε από το διάγραμμα Moody ή απ ό την εξ ίσωση (6.9) αρχικές εκτιμήσεις των () συντελεστών τριβής, () και (). Κατόπιν η (6.84) λύνεται με δοκιμές ως προς 3 V και προκύπτει μια πρώτη εκτίμηση της ταχύτητας V και μετά υπολογίζονται οι ( ) ταχύτητες V και V από τι ς (6.8) και (6.78). Στη συνέχεια υπολογίζονται οι 3 ( ) ( ) συντελεστές Rynolds () R, () R και ( ) R και από το διάγραμμα Moody ή από την 3 προσεγγισ τική σχέση (6.3) υπολογίζονται νέες τιμές των συντελεστών τριβής ( ), ( ) και ( ). Η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να υπάρξει σύγκλιση δηλαδή 3 μέχρι ( i+ ) ( i) =, να έχουμε σύγκλιση. ( i+ ) ( i) = και ( i+ ) ( i) =. Γενικά - επαναλήψεις αρκούν για 3 3 6

45 7 ΑΝΟΙΚΤΟΙ ΑΓΩΓΟΙ Το νερό σε κλειστούς αγωγούς βρίσκεται συνεχώς υπό πίεση σε όλα τα σημεία της διατομής ενώ στους ανοικτούς αγωγούς το νερό παρουσιάζει ελεύθερη επιφάνεια όπου η πίεση είναι ίση με την ατμοσφαιρική. Η ροή στους ανοικτούς αγωγούς οφείλεται στις δυνάμεις βαρύτητας, δημιουργείται όταν ο αγωγός έχει κατά μήκος κλίση και έχει κατεύθυνση από μεγαλύτερα προς μικρότερα υψόμετρα. Εξετάζουμε την ροή πραγματικών ρευστών δηλαδή υποθέτουμε ότι υπάρχει συνεκτικότητα του υγρού και ότι οι τριβές είναι μεγαλύτερες του μηδενός. Οι δυνάμεις συνεκτικότητας (τριβές), επιβραδύνουν την κίνηση του ρευστού. Οι ανοικτοί αγωγοί διακρίνονται σε φυσικούς και τεχνητούς. Οι φυσικοί αγωγοί όπως οι ποταμοί, χείμαρροι, ρέματα, κλπ. έχουν ακανόνιστα σχήματα και μεγάλη ποικιλία τραχύτητας τοιχωμάτων. Οι τεχνητοί αγωγοί έχουν γνωστή γεωμετρία και τα υλικά κατασκευής τους είναι γνωστά. Πρισματικοί αγωγοί ονομάζονται οι αγωγοί που έχουν σταθερή κατά μήκος διατομή και κλίση πυθμένα και διακρίνονται σε ορθογωνικούς, τραπεζοειδείς, τριγωνικούς, ημικυκλικούς, κλπ. Η ροή σε ανοικτούς αγωγούς διακρίνεται σε μόνιμη και μη μόνιμη ροή. Σύμφωνα με τους ορισμούς που δόθηκαν στη Μηχανική Ρευστών η ροή ονομάζεται μόνιμη όταν καμία μεταβλητή (ταχύτητα, βάθος, κλπ.) δεν μεταβάλλεται σαν συνάρτηση του χρόνου. Στην πράξη σε φυσικούς αγωγούς η ροή δεν είναι ποτέ μόνιμη. Επίσης σε τεχνητούς αγωγούς σπάνια επιτυγχάνεται μόνιμη ροή. Παρόλα αυτά οι περισσότερες υδραυλικές μελέτες βασίζονται στην παραδοχή μόνιμης ροής αφού η ανάλυση της μη μόνιμης ροής παρουσιάζει σημαντικές δυσκολίες. Η ροή σε ανοικτούς αγωγούς διακρίνεται σε ομοιόμορφη και ανομοιόμορφη. Σύμφωνα με τον ορισμό της ομοιόμορφης ροής που δόθηκε στη Μηχανική Ρευστών η μέση ταχύτητα ροής είναι σταθερή κατά μέγεθος και διεύθυνση κατά μήκος του αγωγού. Από την εξίσωση συνεχείας προκύπτει ότι το βάθος ροής θα πρέπει να είναι σταθερό σε ομοιόμορφη ροή. Για να επιτευχθεί ομοιόμορφη ροή πρέπει ο αγωγός να είναι ευθύς, να έχει σχετικά μεγάλο μήκος και να έχει σταθερή διατομή και κλίση. Αντίστοιχα με την ροή σε κλειστούς αγωγούς ορίζεται και στους ανοικτούς αγωγούς ο συντελεστής Rynolds που καθορίζει αν δηλαδή η ροή είναι στρωτή ή τυρβώδης. Ο συντελεστής Rynolds σε ανοικτούς αγωγούς ορίζεται από την εξίσωση 7

46 R VR = (6.) όπου V η μέση ταχύτητα στη διατομή, R υ η υδραυλική ακτίνα του ανοικτού αγωγού και ν η κινηματική συνεκτικότητα του ρευστού. Η υδραυλική ακτίνα ορίζεται από τη σχέση υ ν A R υ = Π (6.) όπου A το εμβαδόν της υγρής διατομής και Π το μήκος της βρεχόμενης περιμέτρου (δεν περιλαμβάνει το μήκος που αντιστοιχεί στην ελεύθερη επιφάνεια). Για παράδειγμα σε ημικυκλικό αγωγό η υδραυλική ακτίνα είναι R υ π D 4 D = =. π D 4 7. Κατανομή Ταχύτητας στις Διατομές Ανοικτών Αγωγών. Για μικρούς αριθμούς Rynolds η ροή είναι στρωτή. Για μεγάλα πλάτη πυθμένα η ταχύτητα του νερού είναι μηδενική στο όριο με τον πυθμένα ( y = ) και ακολουθεί την εξής παραβολική κατανομή ( Σχήμα 7-) u gs ν = y y y (6.3) όπου u η ταχύτητα σε απόσταση y από το όριο, y είναι το βάθος ροής, S είναι η κατά μήκος κλίση του πυθμένα και ν είναι η κινηματική συνεκτικότητα του ρευστού. Η μέγιστη ταχύτητα προκύπτει από την (6.3) για y = y και η μέση ταχύτητα είναι u max gs y = (6.4) ν V gs y = = u max (6.5) 3ν 3 8

47 Σχήμα 7- Κατανομή ταχύτητας σε κατακόρυφη τομή ανοικτού αγωγού στην περίπτωση στρωτής ροής Στην περίπτωση τυρβώδους ροής καθώς και όταν τα σχήματα της διατομής είναι ακανόνιστα, η ταχύτητα ροής μεταβάλλεται σε κάθε σημείο της διατομής του αγωγού και εξαρτάται από την συνεκτικότητα του ρευστού, την τραχύτητα των τοιχωμάτων, το σχήμα της διατομής, κλπ. Σε πραγματικά ρευστά που έχουν μη μηδενική συνεκτικότητα, η ταχύτητα στα τοιχώματα του αγωγού είναι μηδενική λόγω της φυσικής οριακής συνθήκης. Γενικά η ταχύτητα αυξάνεται με την απόσταση από τα τοιχώματα και παίρνει τη μέγιστη τιμή της λίγο κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια όπως στο Σχήμα 7-. Σχήμα 7- Κατανομή ταχύτητας σε διατομές αγωγών διαφόρων σχημάτων 9

48 7. Ολική και Ειδική Ενέργεια σε Ανοικτούς Αγωγούς. Σχήμα 7-3 Επιμήκης τομή ανοικτού αγωγού Έστω επιμήκης διατομή ανοικτού αγωγού όπως στο Σχήμα 7-3. Υποθέτουμε ότι η κλίση του αγωγού είναι μικρή δηλαδή η γωνία ϕ είναι σχετικά μικρή. Όπως αναφέρθηκε στην Μηχανική Ρευστών σε παράλληλες ροές η κατανομή της πίεσης σε κάθετες διατομές προς τον πυθμένα είναι υδροστατική. Δηλαδή σε διατομές κάθετες προς τον πυθμένα ισχύει p z + = z+ y= σταθερό, όπου y το βάθος ροής και z η γ κατακόρυφη απόσταση από σταθερό επίπεδο αναφοράς. Για μικρές κλίσεις πυθμένα το βάθος ροής κάθετα προς τον πυθμένα ισούται κατά προσέγγιση με το κατακόρυφο βάθος όπως φαίνεται στο Σχήμα 7-3. Σε κάθε σημείο της διατομής ορίζεται το ύψος ολικής ενέργειας H = p V z + γ + g (6.6) Ορίζουμε την ειδική ενέργεια στη διατομή σαν

49 V E = y+ (6.7) g οπότε. Οι κλίσεις του πυθμένα του αγωγού, της ελεύθερης επιφάνειας και της γραμμής ενέργειας συμβολίζονται με τις σχέσεις H = z+ E S dz dy =, Sw = + S, και S dx dx S, και Sw S αντίστοιχα και ορίζονται από ( ) dh d V = = + Sw. dx g dx Όταν η κλίση του πυθμένα είναι σχετικά μικρή δηλαδή όταν η γωνία ϕ είναι μικρή μπορούμε να θεωρήσουμε υδροστατική κατανομή της πίεσης σε κατακόρυφες διατομές όπως στο Σχήμα 7-3 αφού η κάθετη προς τον πυθμένα διατομή πρακτικά ταυτίζεται με την κατακόρυφη. 7.3 Διαφορικές Εξισώσεις Μη Μόνιμης Ροής σε Ανοικτούς Αγωγούς Οι διαφορικές εξισώσεις μη μόνιμης ροής σε ανοικτούς αγωγούς είναι γνωστές και σαν εξισώσεις Saint-Vnant και εκφράζουν τους νόμους διατήρησης της μάζας (εξίσωση συνεχείας) και το δεύτερο Νόμο του Νεύτωνα (εξίσωση κίνησης). Υποθέτοντας ασυμπίεστο και ομοιογενές ρευστό, υδροστατική κατανομή της πίεσης σε διατομές κάθετες στη ροή, ροή χωρίς ασυνέχειες στο χώρο και χρόνο και ότι η ροή μπορεί να αντιπροσωπευτεί από την μέση ταχύτητα σε κάθε διατομή, η εξίσωση συνεχείας στην περίπτωση ανοικτού αγωγού γράφεται ενώ η εξίσωση κίνησης γράφεται A Q + = I t x (6.8) ( U) V V y I V + V + g + = g S S t x x A ( ) (6.9) όπου A = το εμβαδόν της διατομής Q = παροχή όγκου Q = AV I = t = πλάγια παροχή εισροής ή εκροής νερού χρόνος

50 x = V = g = y = U = οριζόντια απόσταση μέση ταχύτητα στη διατομή επιτάχυνση βαρύτητας βάθος ροής συνιστώσα ταχύτητας πλάγιας εισροής κατά την διεύθυνση x S = κλίση πυθμένα αγωγού S = κλίση γραμμής ενέργειας (ή κλίση τριβής) Η ροή σε ανοικτούς αγωγούς είναι εν γένει πολύπλοκη και τρισδιάστατη και η ακριβής σχέση της κλίσης της γραμμής ενέργειας S σαν συνάρτηση των χαρακτηριστικών της ροής δεν είναι γνωστή. Στην πράξη χρησιμοποιούνται εμπειρικές σχέσεις (Chzy, Manning) που μπορούν να δώσουν λύσεις σε πρακτικά προβλήματα. Η εξίσωση Manning είναι περισσότερο δημοφιλής και γράφεται ως εξής S n V 3 = V = R 4 υ S (6.) R 3 n υ όπου R υ η υδραυλική ακτίνα που ορίζεται από την εξίσωση (6.), και n ένας συντελεστής τριβής που ονομάζεται συντελεστής Manning. Ανάλογα με τη γεωμετρία της διατομής, το εμβαδόν της υγρής διατομής A, η βρεχόμενη περίμετρος βάθους ροής Π, καθώς και η υδραυλική ακτίνα R υ είναι συναρτήσεις του y. Αντικαθιστώντας την (6.) στην (6.9), το σύστημα (6.8) και (6.9) μπορεί να επιλυθεί ως προς τους αγνώστους V ( x, t) και (, ) y x t. Το σύστημα διαφορικών εξισώσεων που προκύπτει δεν έχει εν γένει αναλυτική λύση και συνήθως επιλύεται με αριθμητικές μεθόδους. Παρακάτω διακρίνουμε ορισμένες περιπτώσεις με πρακτικό ενδιαφέρον όπου οι εξισώσεις Saint-Vnant απλοποιούνται 7.3. Ορθογωνικοί αγωγοί Έστω B το πλάτος του ορθογωνικού αγωγού. Το εμβαδόν της υγρής διατομής δίδεται από την A = B y. Έστω Q q = η παροχή ανά μονάδα πλάτους του αγωγού, B