Απαρίθµηση Μονοπατιών. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3) Μονοπάτια και Κυκλώµατα Euler. Ορέστης Τελέλης

Transcript

1 Απαρίθµηση Μονοπατιών Εστω γράφηµα G(V, E) µε πίνακα γειτνίασης A Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3) Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς ως προς µια διάταξη των κόµβων του, v 1,..., v n. Μπορεί το G να είναι κατευθυνόµενο η µη. Μπορεί να είναι πολυγράφηµα ή να έχει ϐρόχους. Το πλήθος διαφορετικών µονοπατιών µήκους r Z + από τον v i στον v j δίνεται από το στοιχείο (i, j) του πίνακα A r. Παράδειγµα: A = A4 = Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3) 1 / 23 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3) 2 / 23 Απαρίθµηση Μονοπατιών Μονοπάτια και Κυκλώµατα Eulr Παράδειγµα: A = A4 = Σε γράφηµα G(V, E): Κύκλωµα Eulr: Απλό κύκλωµα που διασχίζει κάθε ακµή του G. Μονοπάτι Eulr: Απλό µονοπάτι που διασχίζει κάθε ακµή του G. «Οι γέφυρες του Konigsrg» Παρατηρήσεις: Το κάθε στοιχείο του A 4 µετράει όλα τα µονοπάτια µήκους 4, όχι µόνο τα απλά. Υπάρχουν 8 µονοπάτια µήκους 4 από τον στον :,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Lonhr Eulr, Κύκλωµα Eulr; Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3) 3 / 23 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3) 4 / 23

2 Παραδείγµατα Κριτήρια Υπαρξης Συνδεδεµένο πολυγράφηµα µε δύο τουλάχιστον κόµβους έχει κύκλωµα Eulr αν και µόνο αν κάθε κόµβος έχει άρτιο βαθµό. G 1 G 2 Το G 1 έχει κύκλο Eulr,,,,. Το G 2 δεν έχει κύκλο, ούτε µονοπάτι Eulr. G 3 Συνδεδεµένο πολυγράφηµα έχει µονοπάτι Eulr αλλά όχι κύκλώµα Eulr αν και µόνο αν έχει ακριβώς δύο κόµβους περιττού βαθµού. Το G 3 έχει µονοπάτι Eulr,,,,,, αλλά όχι κύκλο. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3) 5 / 23 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3) 6 / 23 Παραδείγµατα (Κατευθυνόµενα Γραφήµατα) Αλγόριθµος Εύρεσης Κύκλου Eulr Ξεκινάµε από αυθαίρετα επιλεγµένο κόµβο και επιλέγουµε συνεχόµενες ακµές... G 1 g G 2 G Το G 1 δεν έχει κύκλο, ούτε µονοπάτι Eulr. Το G 2 έχει κύκλο Eulr:, g,,, g,,,, Το G 3 δεν έχει κύκλο, αλλά έχει µονοπάτι Eulr:,,,,,. Ενα κατευθυνόµενο γράφηµα έχει κύκλωµα Eulr αν και µόνο αν κάθε κόµβος έχει εισερχόµενο βαθµό ίσο µε τον εξερχόµενο βαθµό του.... µέχρι να κλείσει ένας κύκλος (να επιστρέψουµε εκεί από όπου ξεκινήσαµε) Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3) 7 / 23 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3) 8 / 23

3 Εύρεση Κύκλου Eulr Συνένωση επιµέρους κύκλων Αφαιρούµε τις ακµές του κύκλου που ϐρήκαµε. Επιλέγουµε έναν κόµβο που ήταν άκρο µίας από τις ακµές που αφαιρέθηκαν και επαναλαµβάνουµε µέχρι να έχουµε διατρέξει όλες τις ακµές του γραφήµατος. Στο τέλος: συνενώνουµε τους επιµέρους κύκλους σε έναν, στα κοινά τους σηµεία. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3) 9 / 23 Ξεκινάµε από τον 1ο κόµβο που είχαµε επιλέξει (αυθαίρετα) στην αρχή. Από κάθε κόµβο ακολουθούµε την ακµή που είναι επισηµειωµένη µε τον ελάχιστο αριθµό (προσέχοντας να µην ακολουθήσουµε δεύτερη ϕορά κάποια ακµή):,,,,,,, Αν σε κάποιον κόµβο πρόσκεινται 2 ακµές επισηµειωµένες µε τον ίδιο ελάχιστο αριθµό, ακολουθούµε οποιαδήποτε. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3) 10 / 23 Μονοπάτια και Κύκλοι Hmilton Κύκλος/Μονοπάτι Hmilton (Παραδείγµατα) Μονοπάτι Hmilton: απλό µονοπάτι που περνά από κάθε κόµβο του γραφήµατος ακριβώς µία ϕορά. Κύκλος Hmilton: απλός κύκλος που περνά από κάθε κόµβο του γραφήµατος ακριβώς µία ϕορά. εν έχουν κύκλο Hmilton. Το αριστερό έχει κόµβο ϐαθµού 1: πρέπει να τον επισκεφθούµε, αλλά τότε ϑα περάσουµε δύο ϕορές από τον. Κύκλος Hmilton Το δεξιό έχει κόµβο αποκοπής (): αναγκαστικά ϑα τον επισκεφθούµε δύο ϕορές σε οποιονδήποτε κύκλο διέρχεται από όλους τους κόµβους. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3) 11 / 23 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3) 12 / 23

4 Κύκλος/Μονοπάτι Hmilton (Παραδείγµατα) ικαιολόγηση g g Αν είχε µονοπάτι Hmilton: ϑα είχε «άκρα» σε δύο από τους τρεις κόµβους ϐαθµού 1. Το πρώτο έχει κύκλο Hmilton:,,,,,. Το δεύτερο δεν έχει κύκλο Hmilton, διότι ένας κόµβος έχει ϐαθµό 1. Εχει µονοπάτι Hmilton:,,,. Το τρίτο δεν έχει κύκλο, ούτε µονοπάτι Hmilton. Εξ ορισµού ϑα περνούσε και από τον τρίτο κόµβο ϐαθµού 1. Τότε όµως, ϑα έπρεπε, µε κατεύθυνση από το ένα άκρο προς το άλλο: να «ϕτάνει» τον τρίτο κόµβο ϐαθµού 1 από τη µοναδική του ακµή, να «επιστρέφει» από την ίδια ακµή. Εποµένως, ϑα περνούσε από τον γείτονά του δύο ϕορές άτοπο. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3) 13 / 23 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3) 14 / 23 Κύκλος/Μονοπάτι Hmilton (Παραδείγµατα) ικαιολόγηση Το αριστερό δεν έχει κύκλο Hmilton, έχει µονοπάτι:,,,,,. ε µπορεί να υπάρχει κύκλος, λόγω του κόµβου ϐαθµού 1. Το δεξιό δεν έχει κύκλο Hmilton, έχει µονοπάτι:,,,,. Ενας κύκλος ϑα έπρεπε να συνδέει το µε το µε δύο µονοπάτια: τα οποία έχουν κοινούς κόµβους µόνο τους και. Υπάρχουν τρεις δυνατότητες για το ένα από τα δύο αυτά µονοπάτια. Καµία από αυτές δεν επιτρέπει την εύρεση δεύτερου µονοπατιού: που να κλείνει κύκλο που περνά µία ϕορά από όλους τους κόµβους. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3) 15 / 23 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3) 16 / 23

5 Κριτήρια Υπαρξης Επίπεδα Γραφήµατα Θεώρηµα (Gril A. Dir) Απλό γράφηµα n 3 κόµβων, καθένας ϐαθµού τουλάχιστον n/2, έχει κύκλο Hmilton. Θεώρηµα (Øystin Or) Απλό γράφηµα n 3 κόµβων, όπου (u) + (v) n για κάθε Ϲεύγος µη γειτονικών u,v, έχει κύκλο Hmilton. Ενα γράφηµα είναι επίπεδο (plnr) αν µπορεί να απεικονιστεί στο επίπεδο χωρίς τεµνόµενες ακµές. = Παρατηρήσεις: Παρέχουν ικανές αλλά όχι αναγκαίες συνθήκες (π.χ. ο C 5 είναι κύκλος Hmilton και δεν ικανοποιεί κανένα κριτήριο). ε γνωρίζουµε «καλό» αλγόριθµο για την απόφαση του αν ένα γράφηµα έχει κύκλο/µονοπάτι Hmilton. = Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3) 17 / 23 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3) 18 / 23 Ο τύπος του Eulr Ο Βαθµός των Περιοχών του Επιπέδου Η επίπεδη αναπαράσταση ενός γραφήµατος χωρίζει το επίπεδο σε περιοχές: R 2 R 4 R 3 R 1 R 5 R 6 Θεώρηµα Εστω G(V, E) είναι επίπεδο απλό συνδεδεµένο γράφηµα: µε m = E ακµές, µε n = V κόµβους, του οποίου η επίπεδη αναπαράσταση χωρίζει το επίπεδο σε r περιοχές. Τότε r = m n + 2 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3) 19 / 23 R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6 Βαθµός περιοχής είναι το πλήθος των ακµών που συναντάµε όταν διατρέχουµε το σύνορό της, ξεκινώντας από κάποιον κόµβο και καταλήγοντας στον ίδιο. Οι περιοχές R 1, R 2,..., R 5 έχουν ϐαθµό 3. Η περιοχή R 6 έχει ϐαθµό 7. Τι ϐαθµό έχει η µοναδική περιοχή που ορίζει το ακόλουθο γράφηµα; Εχει ϐαθµό 6: διατρέχουµε όλο το σύνορο ξεκινώντας από έναν κόµβο και επιστρέφοντας σε αυτόν. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3) 20 / 23

6 Χρήσιµα Πορίσµατα Απόδειξη Πορίσµατος 1 κυρίως για την αναγνώριση µη επίπεδων γραφηµάτων: Αν G απλό, συνδεδεµένο, επίπεδο γράφηµα µε n 3 κόµβους: 1. Τότε έχει m 3n 6 ακµές. 2. Τότε έχει κόµβο ϐαθµού το πολύ Αν δεν έχει κύκλο µήκους 3, τότε έχει m 2n 4 ακµές. Αρα: Αν δεν ισχύουν τα συµπεράσµατα 1,2,3, αντιφάσκεται κάποια υπόθεση Εύκολα ϐεβαιωνόµαστε ότι ισχύουν όλες οι υποθέσεις,... Επειδή n 3 και G συνδεδεµένος, ϑα είναι ϐαθµός(r) 3 για κάθε περιοχή R. Κάθε ακµή συναντάται: είτε από µία ϕορά στο σύνορο 2 περιοχών, είτε 2 ϕορές στο σύνορο µίας περιοχής Αρα: 2m = R ϐαθµός(r) 3r = 2 3 m r. Από τον τύπο του Eulr έχουµε m n + 2 = r, εποµένως: m n m = m 3n , εκτός της «επιπεδότητας», που δε ϑα ισχύει, αν ισχύουν όλες οι άλλες. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3) 21 / 23 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3) 22 / 23 Εφαρµογή Πορίσµατος 1 Το γράφηµα K 5 δεν είναι επίπεδο. Αν ήταν, ϑα έπρεπε m 3n 6. Αλλά: m = 10 και n = 5, οπότε m > 3n 6. Αρα, κάθε γράφηµα που «περιέχει» το K 5 ως υπογράφηµα δεν είναι επίπεδο. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3) 23 / 23