Α Λυκείου. Άλγεβρα Μίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Α Λυκείου. Άλγεβρα Μίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά"

Transcript

1 Α Λυκείου Άλγεβρα Μίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά

2 Ταξη: Α Γενικού Λυκείου Άλγεβρα Έκδοση 7.08 Η συλλογή αυτή διανέμεται δωρεάν σε ψηφιακή μορφή μέσω διαδικτύου προορίζεται για σχολική χρήση και είναι ελεύθερη για αξιοποίηση αρκεί να μην αλλάξει η μορφή της Μίλτος Παπαγρηγοράκης Μαθηματικός M.Ed. Χανιά 06 Ιστοσελίδα: mail : papagrigorakism@gmail.com

3 Α Λυκείου Άλγεβρα 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Μαθηματική Λογική 0.0 Δι Α) Υπάρχει τρίγωνο που είναι ορθογώνιοο Β) Μερικοί ακέραιοι είναι πρώτοι, Γ) Υπάρχει πραγματικός αριθμός που το τετράγωνό του είναι αρνητικό, Δ) Κάθε τετράπλευρο είναι τετράγωνο. 0.0 Δι Α) Ανν α τότε Β) Ανν ένα τρίγωνο έχει δύο γωνίες του ίσες τότε είναι ισοσκελές, Γ) Ανν ένα τρίγωνο είναι ισόπλευρο τότε είναι ισοσκελές. 0.0 Ν αντιθετοαντίστροφες προτάσεις των προτάσεων: : Α) Αν ο περιττός, Β) Αν ένα τετράπλευρο έχει άνισες διαγωνίους, τότε αυτό δεν είναι ορθογώνιο Ν Α) p q Γ) p q q p q 0.05 Χα μια από τις συνεπαγωγές: (με R ): A) α B) Γ) Δ) Ε) α α α α 0.06 Δε ιατυπώστε τις αρνήσεις των προτάσεων ιατυπώστε τις αντίστροφες προτάσειςς : α διατυπώσετε τις είναι περιττός τότε και ο είναι α αποδείξετεε ότι: αρακτηρίστε ως Σωστή ή Λάθος κάθεε α 4 α, 4 α αα α 9, Β) p q Δ) p p. α. είξτε ότι p q q. p, p q Σύνολα Α) Να Ν γράψετε με αναγραφή των στοιχείων του το σύνολο: Β={,y / ακέραιος με καιι y R με y }. Β) ) Γράψτε το σύνολο σ Γ={,,4,6,8} με περιγραφή Δ) ) Για τα προηγούμενα σύνολα να χαρακτηρίσετε σωστές ή λάθος τις προτάσεις: Γ, (0,)Β, 8Β, -Γ, 0Γ Δίνονται τα σύνολα: A R/( 4)( )( 64) 0 B y R/(yy )(y 6) )(y 9) 0 Να βρείτε τα σύνολα σ A B και A B. 0. συνόλων: α) A R, και B R,, β) ) A R, και B,, γ) A, Β,4 τότεε να αποδείξετε ότι: AA B A B και A B A B B. 0. Ν Ζ..., R Z..., R Q...,R N Να βρεθεί β η ένωση και η τομή των ) και Β, Αν Ω,,, 4,. Να συμπληρώσεσ ετε τις ισότητες. Έστωω ότι τα σύνολα Α και Β είναι υποσύνολα ενός συνόλου αναφοράς Ω. Να χαρακτηρίσετε αν είναι σωστή ή λάθοςς κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις: Α) Αν A B τότε A B A. Β) ) Αν B A τότε A B B. Γ) ) Αν A B Ω και AB τότε τ A B. Δ) ) Είναι A,για κάθε A.,5, Α, και και 06-07

4 4 Πιθανότητες ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ισοπίθανα Ενδεχόμενα.0 Έστω τα σύνολα Ω,,, 4,5 Α ω Ω/ω 4 B ω Ω/ω περιττός. Αν εκλέξουμε τυχαία ένα στοιχείο του Ω, να βρείτε τις πιθανότητες να ανήκει: Α) στο Α ή στο Β, Β) στο Α και στο Β Γ) στο Α και όχι στο Β Δ) σε ένα το πολύ από τα Α και Β..0 Ρίχνουμε δύο αμερόληπτα ζάρια μαζί. Να βρείτε την πιθανότητα να φέρουμε 6 στο ένα και 5 στο άλλο..0 Ρίχνουμε ένα αμερόληπτο ζάρι διαδοχικά δύο φορές. Βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων Α) Το αποτέλεσμα της πρώτης ρίψης είναι μικρότερο από το αποτέλεσμα της δεύτερης ρίψης. Β) Οι ενδείξεις και στις δύο ρίψεις είναι ίδιες. Γ) Το άθροισμα των ενδείξεων στις δύο ρίψεις είναι μεγαλύτερο του Έστω το σύνολο Ω 0,,,4. Εκλέγουμε τυχαία ένα λ Ω. Να βρείτε την πιθανότητα ο λ να είναι ρίζα της εξίσωσης λ λ 0.05 Σε ένα Λύκειο οι μαθητές της Α τάξης είναι 54. Αν εκλέξουμε τυχαία ένα μαθητή του Λυκείου η πιθανότητα να είναι μαθητής της Α τάξης είναι 0,6 και η πιθανότητα να είναι της Β τάξης είναι 0,4. Να βρείτε: Α) το πλήθος όλων των μαθητών του Λυκείου, Β) το πλήθος των μαθητών της Β τάξης, Γ) την πιθανότητα να είναι ένας μαθητής που εκλέξαμε τυχαία μαθητής της Γ τάξης..06 Ένα κουτί περιέχει άσπρες και κόκκινες σφαίρες. Βγάζουμε διαδοχικά δύο σφαίρες. Να βρεθεί η πιθανότητα: Α) να είναι δύο κόκκινες, Β) να είναι η πρώτη άσπρη και η δεύτερη κόκκινη, Γ) να είναι και οι δύο άσπρες..07 Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μερικές κόκκινες και μερικές μαύρες μπάλες. Παίρνουμε τυχαία μία μπάλα. Η πιθανότητα να πάρουμε κόκκινη μπάλα είναι και η πιθανότητα να πάρουμε μαύρη μπάλα είναι. Να βρείτε πόσες κόκκινες και πόσες μαύρες μπάλες υπάρχουν στο κουτί..08 Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού ΡΑ χώρου Ω τέτοια, ώστε, ΡΒ και 4 PA B. Να βρεθούν οι πιθανότητες των 6 ενδεχομένων. Γ:«Πραγματοποιείται ένα μόνο από τα A και B» Δ: «Δεν πραγματοποιείται ούτε το A ούτε το B»..09 Από τους 50 μαθητές της A τάξης ενός οι 0 ασχολούνται με το ποδόσφαιρο, οι 40 με το μπάσκετ και καθένας ασχολείται με το ποδόσφαιρο ή το μπάσκετ. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή. Nα βρεθεί η πιθανότητα: Α) Να μην ασχολείται με το ποδόσφαιρο, Β) Να ασχολείται με το ποδόσφαιρο και με το μπάσκετ, Γ) Να ασχολείται με το ποδόσφαιρο αλλά όχι με το μπάσκετ.

5 Α Λυκείου Άλγεβρα.0 Έστω Α,Β δύο δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι η πιθανότηταα Να μην πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β είναι 4, Nα πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α και Β είναι. Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιείταιι ένα το πολύ από τα Α και Β.. Έστω Α,Β ενδ χώρου με μη μηδενικές πιθανότητες, για τα οποία ισχύει ΡΑ ΡΑ ότι το Α είναι βέβαιο ενδεχόμενο και το Β αδύνατο.. Έστω Α,Β δύο δειγματικού χώρου για τα οποία ισχύει ότι η πιθανότητα: να πραγματοποιείταιι το Α είναι 0,, να μην πραγματοποιείται το Β είναι 0,6 και ι να πραγματοποιούνται και τα δύο είναι 0,5. Ν πραγματοποιείται: Α) ένα τουλάχιστον από τα Α και Β, Β) το πολύ ένα από τα Α και Β, Γ) κανένα από τα Α και Β, Δ) μόνο το Α, Ε) μόνο ένα από τα Α και Β, ΣΤ) το Αή να μην πραγματοποιείται το Β.4 Σε ο ενδεχόμενα ενός δεχόμενα ενός δειγματικού ΡΑ Ρ Β. Να αποδείξετε ο ενδεχόμενα ενός α βρείτε την πιθανότηταα να ε μια επιχείρηση το 60% δεν ξέρει αγγλικά, το 80% δεν ξέρει γαλλικά και το 50% δεν ξέρει ούτε αγγλικά ούτε γαλλικά. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή ποια είναι η πιθανότηταα να ξέρει αγγλικά και γαλλικά...5 Σε μια μ έρευνα που έγινε μεταξύ των μαθητών μιαςς τάξης βρέθηκε ότι το 50% θα πάει το καλοκαίρι διακοπές σε «νησί», το 50% θα πάει το καλοκαίρι διακοπές σε «βουνό», το 0% θα πάει διακοπέςς το καλοκαίρι σε «νησί» και σε «βουνό» ενώ τρείς τ μαθητέςς δεν θα πάνε πουθενά. Πόσα άτομα έει έ η τάξη;..6 Σε ένα σχολείο το 50% των μαθητών έχει κινητό τηλέφωνο ή δεν έχει Η/Υ και το 5% των μαθητών έχει κινητό και Η/Υ. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή. Αν η πιθανότητα να έχει κινητό και να μην έχει Η/ /Υ είναι 5, βρείτε την πιθανότητα ναα μην έχει ούτε Η/Υ ούτε κινητό...7 Ένα κουτί περιέχει άσπρες και κόκκινες σφαίρες. Βγάζουμε διαδοχικά δύο σφαίρες. Να βρεθεί β η πιθανότητα: Α) να είναι δύο κόκκινες, Β) ) να είναι η πρώτηη άσπρη και η δεύτερη κόκκινη Γ) ) να είναι και οι δύο άσπρες...8 Μέσα σε ένα κουτί υπάρχουν 4 μπάλες από τις οποίεςς οι είναι άσπρες και οι κόκκινες. Επιλέγουμε την μία μπάλα μετά από την άλλη μέχρι να μείνουνν στο κουτί ο μικρότερος αριθμός με μπάλες του ίδιου χρώματος. Ναα βρείτε : Α) Τις πιθανότητες των ενδεχομένων: Α: «Οι μπάλεςς που επιλέξαμε ήταν του ίδιου χρώματος». Β: : «Στο κουτί έμεινε μόνο μία μπάλα». Γ: : «Από τις μπάλες που επιλέξαμε οι κόκκινες ήταν περισσότερες από τιςς άσπρες». Β) ) Τις πιθανότητες των ενδεχομένων : Α Β, ΒΓ, Γ Α, Α Β

6 6 Πιθανότητεςί Λογισμός Πιθανοτήτων.9 Δίνονται τα ενδεχόμενα A,B,Γ του ίδιου δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει : P(A B) P(A B) 0,5 και βρείτε την PB. PA 0,8. Να.0 Αν Α,Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου και ισχύουν PAB, PB 4 PA,, τότε βρείτε τις PA B, PA B.. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα A,B ενός πειράματος τύχης, με πιθανότητες τέτοιες ώστε: P A 4 B, PA, PA B βρείτε τις PA, PB, PA B. Να 4.. Αν για δύο ενδεχόμενα A,B ενός, 5 δειγματικού χώρου Ω ισχύουν: PA B 0 PΒ να βρείτε την PA B PA.. Αν για δύο ενδεχόμενα A,B ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν: PA 0,5, PA 5 6 B να υπολογίσετε την PΒ Α.4 Αν A,B είναι ενδεχόμενα ενός. δειγματικού χώρου Ω και ισχύουν οι ισότητες PA 6 PA 6, και PA Β, βρείτε τις: 5 Α) PA, Β) PA Β, Γ) PA Β. 5.5 Αν να βρείτε τις Ρ(Α ) Ρ(Α) 6 PA και P A..6 Για τα ενδεχόμενα A,B ενός δ.χ. Ω ισχύει: PA B ΡΑ Β να υπολογίσετε την πιθανότητα P Β..7 Αν για δύο ενδεχόμενα A,B ενός, δειγματικού χώρου Ω ισχύει ότι: PA PΑ PA PΒ και PA B τις πιθανότητες PΑ Β, PΒ Α, PA B.8 Εστω A, B ενδεχόμενα ενός, υπολογίστε δειγματικού χώρου για τα οποία ισχύουν. AB Ω, ΡΑ α, και ΡΒ οι: PA B PA B PA B PA B β. Να βρεθούν..9 Αν A, B ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και ισχύουν PA B και PABAB, να βρείτε την 6 πιθανότητα PA B..0 Δίνονται δύο ενδεχόμενα A και B ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύουν: P(A B), P(A B) και PB A. 4 0 Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β.. Έστω Α,Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι: ΡΑ Β και ΡΒ. Να βρείτε την 4 πιθανότητα να μην πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β.

7 Α Λυκείου Άλγεβρα Παραμετρικές. 'Έστω ο δειγματικός χώρος Ω α,β,γ. Αν πειράματος τύχης με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα ΝΩ με A, B συμπληρωματικά ενδεχόμενα, να βρεθούνν οι πιθανότη.4 Αν δειγματικού χώρου Ω μ 7λ P B.5 Έν 6λ, να δείξετε ότι λ. 4 φτιαγμένο ώστε η εμφάνιση κάθε αρ είναι ανάλο βρείτε τη πιθανότητα εμφάνισης κάθε αριθμού..6 Έσ χώρος ενός πειράματος τύχης και τα ενδεχόμενάά του Α=ω,ω,ω και Β=ω,ω. Αν ισχύουν πιθανότητες P(ω ), P(ωω )..7 Έστ δειγματικός χώρος. Αν Α 0,, Ρ Α λ 5 πιθανότητα ΡΑ Β ν Ω δειγματικός χώρος ενός ε 0 και ΝΑ PA κα ητες ν A,B ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός να μη αμερόληπτο ζάρι είναι ε έτσι ογη του κ με κ,,,...,6. Να στω Ω ω,ω,ω,ω ν : ΡΑ κ κ P(ω 4 ), να βρεθεί ο κ R * και οι κκ ς τω το σύνολοο Ω 0,,,,4,5 ένας και ΡΒ α λ Αν ισχύουν οι ισότητες Ρ α, Ρβ 4λ 4 PB. αι, P με PA λ 4, ΡΒ 4 λ 5 και Ρ γ 7λ, να υπολογίσετε την τιμή του λ B, με 6, ριθμού κ να ο δειγματικός κ και κ, Β,5 με. Να βρείτε την ν. Ανισότητες..8 Αν Α,Β Α είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου χ Ω, ναα αποδείξετε ότι: Α) 0 4P(A)P(A 4 ), Β) ) 0,5 Γ) ) P(A B) P(A)P(B) P((A Β)), Δ) ) P(AA B) P(A) P(B) P(A B)...9 Έστωω A,B ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου χ Ω με Α) Να αποδείξετε α ότι τα ενδεχόμενα A και B δεν είναι ασυμβίβαστα.. Β) ) Να αποδείξετε α ότι: P(A 6 B)...40 Έστωω A,B ενδεχόμενα με P(A) 0,, P(B) 0,78. Να Ν δείξετε ότι: 0, P(A B) 0,...4 Έστωω Α, Β ενδεχόμενα ενός δ.χ με Ρ Α, Ρ Α Β. Δείξτε ότι 4..4 Έστωω A,B ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου χ Ω με αποδείξετε ότι: 6P(A B)...4 Αν A αι 5P κα P A και P B.. δειγματικού χώρου χ Ω τέτοια, ώστε Γ Α Β. Να αποδειχθεί ότι: Β) Ρ Γ A 8 9P A.44 Έστωω Α,Β,Γ ενδεχόμενα ενός Α) ΡΓ Ρ Α ΡΒ ) Ρ Γ) ΡΑΒΡΑ ) P(A) P(A ), A, B συμπληρωματικά ενδεχόμενα ε, ΑΒΡ P(A), P(B). ΡΒ Γ. 5 ΡΒ 4 P(A), P(B). Να P B, να βρεθούν οι ΑΒ Ρ Α Β,

8 8 Πιθανότητεςί ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Iδιότητες των πράξεων.0 Αν α 0,5, β 0,00 να υπολογιστεί η παράσταση α β4α α β..0 Δείξτε ότι αν είναι αντίθετοι οι αριθμοί Α y 4z και B y z, τότε y z..0 Αν οι αριθμοί α α και β β είναι αντίστροφοι, να αποδείξετε ότι οι α και β είναι αντίθετοι..04 Αν α β να βρεθεί η τιμή της παράστασης α(α ) 4β( α) β(α 8)..05 Αν y(y ) 0 δείξτε ότι είναι ανεξάρτητη των,y η παράσταση y.06 Αν y y y, y 0 να βρεθεί ο λόγος y και η τιμή της παράστασης Α= y y. Δυνάμεις.0 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: αβ α β Α) αβ αβ 4, B) y 4 y. y. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: 5 y : y Α) Β) y y y αν 0,4και y,5 αν, 0 y 0. Α) Να απλοποιηθούνοι παραστάσεις: 7 8 αβ αβ και α β α β 7 7. Αν ν είναι φυσικός με v, δείξτε ότι: v v v v ( ) ( ) ( ) ( ) 0..4 Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που μπορούμε να φτιάξουμε με: α) τρία δυάρια, β) τρία τριάρια, γ) τρία τεσσάρια;.07 Αν ο α είναι περιττός ακέραιος δείξτε ότι ο α α είναι πολλαπλάσιο του 4..5 Για ποια τιμή του κ η παράσταση α κ κ β γράφεται ως δύναμη με βάση αβ ;.08 Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των τετραγώνων δύο διαδοχικών περιττών αριθμών είναι άρτιος..09 Αν α β γ να αποδειχτεί ότι: y ω ν ν ν ν ν α α β γ α β γ ν ν ν. y ω y ω.6 Να βρεθεί ο ν Z ν 6 ν6 αν αβ βγ γα α β γ.7 Δείξτε ότι β γ α.8 Να γράψετε την παράσταση: { :[(5 : 5 ) :( ) ( ) ]} ως δύναμη με βάση το 8

9 Α Λυκείου Άλγεβρα Ταυτότητες Παραγοντοποίηση.9 Ν Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε να είναι τέλεια τετράγωνα οι παραστάσεις: Α) Β) 9αα... αββ Γ) 4 y 6 y... Δ) 4... E) Αν α,β, α γ είναι τα μήκη πλευρών τριγώνου και ισχύει ότι α βγ α β γ, να β γ αποδείξετε ότιι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο...7 Αν β α να αποδείξετε ότι: αα β α β Αν α y β α β 8 8 α β α 4 α βy τότε 6 6 β. 9.0 Α) α β Β) Να γραφεί το γινόμενο 5 6 ως άθροισμα τετραγώνων δύο ακεραίων.. Ν Α) Β). Αν ) (Lagrange) Να αποδείξετε ότι y α βy α αποδειχτεί ότι m m m m y y y ν αβ να αποδείξετεε ότι αy β να αποδείξετε ότι α και y β...9 Αν α 5 α..0 Αν y y,.. Αν α οι παραστάσεις: βρείτε τα y,, y y, y α β,, α α β α, α. α α καιι y υπολογίστε τα β, αβ, να υπολογιστούν β, α β, α β,. y α β 4αα αβ 4β... Aν 4α α, y4β ββ και. N Α) Αν α β α τότε α Β) Αν αβ 4, αβ 0 τότε α β. α β.4 Γι α β γ.5 Γι αν y ω α αποδείξετεε ότι: ια κάθε α,β, γ R, δείξτεε ότι: αν αβ βγ γα τότε α β γ. ια κάθε,y,ωω R, να αποδείξετε ότι: α β y β. ω τότε y ω. α β ναα αποδείξετε ότι. α βγ 0, να ν αποδείξετε ότι: α β βγ β γ αγ γ α αβ 0. α β β γ α γ. ισχύει ότι.. Αν α β 0, β γ 0, γ α 0 και.4 *Αν για τους θετικούς ακέραιους,y,ω y ω y 7 ω.5 ** Ανν αβγ και βγ β 0 y. δείξτε ότι y ω. αποδείξτε ότι α αβ α β γ βγ β γα γ 06-07

10 0 Πραγματικοί Αριθμοί.6 ** Να αποδείξετε ότι αν 0 τότε α β γ βγ γα αβ. α β γ.4 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: Α) α β αβα : αβ β α β.7 ** Αν αβγ 0 να αποδειχτεί ότι η παράσταση ανεξάρτητη των α,β, γ α β γ αβ(γ ) α β γ είναι Β) Γ) αβ α β α αββ α β αβ α β : αβ α β α β.8 Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: Α) 4 8 Β) Γ) 6 9 Δ).44 Να κάνετε τις πράξεις: : Α) β Β) α : β α β α α β.9 Παραγοντοποιήστε τις παραστάσεις: Α) Β) Γ) Δ) α 4αβ 4β y ω ω y m n np p.40 Απλοποιήστε τις παραστάσεις, αφού βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ορίζονται:.45 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: Α) α α α α α β βγ γα Β) (β γ)(γ α) (γ α)(αβ) (αβ)(β γ).46 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: μ μ 4 μ μ Α) * : 9 μ μ μ 6μ 9 μ μ A) Β) ( ), Β) 4 : 4 9 Γ) Δ) ( ) Γ) y y : y y y.4 Αν 0,5, y=-, βρείτε την τιμή της y y παράστασης : y y y Αν m,n είναι ακέραιοι και,y πραγματικοί αριθμοί με y 0, y, y αποδείξτε ότι m nm mn y y y n mn mn y y..47 Για κάθε φυσικό ν, δείξτε ότι Α) Ο αριθμός είναι άρτιος. Β) Ο αριθμός 4 διαιρεί τον ν Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων α α α Α) α α 4 4α για α 4 Β) 6 4 4α : αν α 4α α 4α α 0,

11 Α Λυκείου Άλγεβρα Διάταξη Ανισότητες.49 Αν μεγαλύτερη προς την μικρότερη τις τιμές α, α,,.50 Αν τιμές που μπορεί να πάρουν οι παραστάσεις y, y,,, y, y.5 Αν ποιών τιμών βρίσκονται οι παραστάσεις,,,.5 Δείξτε ότι y yy y 0.5 Ν αβ β Α) Aνν α β τότε α. 4 Β) Αν α τότε α α α. Γ) Αν y τότε.54 Ν α να διατάξετε από την τ α, α. ν 4 ν είναι 8 να βρείτε μεταξύ α αποδείξετεε ότι: α αποδείξετεε ότι αν: και y7 να βρείτε τις y. 7 y5 α Α) α,,β είναι ομόσημοι τότε β. β α...58 Αν α,β α θετικοί ακέραιοι αριθμοί τέτοιοι ώστε α 4β 0, να αποδειχτεί ότι 0 αβ Αν α, α β, γ R να αποδείξετε ότι: A) B) α β. Α) Β) ). Α). ισχύει ότι α β γ α, να αποδείξετε ότι το τρίγωνοο είναι ισόπλευρο.. α β αβ,.60 Αν α,βα R αριθμοί να δείξετε ότι:.6 Αν α, α β θετικοί,, να αποδείξετε ότι αβ α β α β 4.6 Αν α, α β, γ είναιι πλευρές τριγώνου και α αβ β 0, α β γ αβ, Β) α β γ 8αβγ. βγ γα. β γ *.6 Για κάθε κ α,β, γ R, να αποδείξετε ότι: α β γ α γ β. β γ α γ β α αβ α β Β) α,,β είναι ετερόσημοι τότε Γ) α 0 τότε α α. α β β α..64 Για κάθε κ α,β R να δείξετε ότι Α) α β Β) ) αα α α β, 4α α α Αν ν για τους α,β, γ 0 ισχύει ότι α+β β+γ γ+ α αβ γ βγ -α γα -β 0 να α..65 Αν είναι ε,y 0 και 4 αποδείξετε ότιι y 5. y 64 να αποδείξετε ότι αβγ..56 Δείξτε ότι Συ υγκρίνετε τους αριθμούς 5 και Αν α,,β, γ πραγματικοί αριθμοί να αποδείξετε ότιι Α) Β) ) α β γ αβ βγ γα αβ β γ γ α αβγ(αβ γ) Γ) ) Αν αβγ τότε α β γ αβ γ 06-07

12 Πραγματικοί Αριθμοί Απόλυτη Τιμή.67 Nα βρείτε τις απόλυτες τιμές: 7...,..., π...,... α..., π..., , 0 ημ8... α Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: Α) Β).77 Να αποδείξετε ότι: Α) y y 4y Β) ( )( ) 0 Γ) Αν αβ γ να γράψετε χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής την παράσταση Α αβ γ α β γ..69 Αν γράψτε χωρίς τις απόλυτες τιμές τις παραστάσεις: Α 6 Δ 4.70 Αν να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: Α Β Γ) y y y κ y.78 Αν, m να y κ κ y αποδείξετε ότι m..79 Nα αποδείξετε ότι: Αν και y τότε y 7.80 Nα αποδείξετε ότι: Αν και y τότε y 9.7 Αν α<β< να απλοποιήσετε την.8 Αποδείξτε ότι 6 4 παράσταση: αβ α+ β 7.7 Γράψτε χωρίς απόλυτα τις παραστάσεις A 8, Β 6, Γ 4.8 Βρείτε τις τιμές των α, α,...,α 9 αν 0 α α... α Να αποδείξετε ότι:.7 Nα γράψτε χωρίς τις απόλυτες τιμές τις παραστάσεις: Δ 4 4, Ε, ΣΤ Αν y, να αποδείξετε ότι: y y y Α) Β) Γ) y, αν,y 0. y αν 0. 5y. 5 y y.75 Να αποδείξετε τις ισότητες: Α) α β α β α β..84 Αν α 5 και β βρείτε μεταξύ ποιων τιμών μεταβάλλεται η παράσταση α β. Β) Γ) α β βα α α α α, α 0.85 Να βρεθεί το όταν: d, 7, d(, ), d, d,.

13 Α Λυκείου Άλγεβρα Ρίζες..94 Αν α 0 να δείξετε ότι:.86 ΕΡ ΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ: Α) α α α Β) α α α. Α) Ισχύει ότι Β) Για κάθε 0 ισχύει: Γ) Για κάθε είναι Δ) Αν,y>0 τότε Ε) Ισχύει πάντα ότι.87 Γι παραστάσει.88 Αν, παράσταση.89 Ν , αν..90 Ν α απλοποιήσετε τις παραστάσεις: Α) , Β) Γ).9 Ν και να απλοποιήσετε την παράσταση: Ν.9 Ν ια κάθε 0 να απλοποιηθούν οι ις: , Α= α απλοποιηθεί η παράσταση α υπολογίσετε τα α αποδείξετεε ότι 5 5 για κ 6, ( ) α α υπολογίσετε τον αριθμό. y. β α β., ( )., να απλοποιήσετε την κάθε R.. y. 45 5,,...95 Να μετατραπούνμ ν οι παραστάσεις σε ισοδύναμες μεε ρητό παρονομαστή: A, B Γ. Α) Β) ) Γ) ). Α) 4, Λύσ..0 Να α..0 Να α Α) Β) ).96 Να απλοποιήσετα τε τις παραστάσεις:..0 Να β A Να απλοποιήσετα τε τις παραστάσεις:.98 Να δείξετε δ ότι:.99 Συγκρίνετε το Δ 5 Β) 9, Γ) 5 6. αποδειχθεί ότι ο αριθμόςς αποδείξετε ότι: βρεθεί η τιμήή της παράστασης , 0 5 με το 0 00 Q, είναι φυσικός.. 5. τε την εξίσωση

14 4 Πραγματικοί Αριθμοί ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.0 Να λύσετε τις εξισώσεις: Α) 4 Β).0 Να λυθούν για κάθε λ R 0. οι εξισώσεις: Α) λ λ Β) λ λ Γ) λ λ Δ).0 Να λύσετε τις εξισώσεις: Α) α β αα β λ λ., α,β R. Β) α α α 4 α α, α R.04 Από τις ισότητες v v0 αt και v v S v0t αt, να δείξετε ότι S 0 t..05 Ένα βαρέλι Α περιέχει 54 κιλά κρασί των ευρώ το κιλό και ένα βαρέλι Β περιέχει 456 κιλά κρασί των,5 ευρώ το κιλό. Αφαιρούμε από κάθε βαρέλι την ίδια ποσότητα κρασιού και βάζουμε αυτή που αφαιρέσαμε από το Α στο Β και αυτή που αφαιρέσαμε από το Β στο Α. Αν μετά το ανακάτεμα των κρασιών, το περιεχόμενο των δύο βαρελιών έχει την ίδια αξία, να βρείτε πόσα κιλά μεταφέρθηκαν από το ένα βαρέλι στο άλλο..06 Ένα ελαιουργείο έχει δύο συγκροτήματα το Α και το Β. Όταν δουλεύουν και τα δύο μαζί τελειώνουν όλες τις ελιές μίας περιοχής σε μέρες. Φέτος ξεκίνησαν μαζί και μετά από μέρες το Α σταμάτησε οριστικά λόγω βλάβης ενώ το Β συνέχισε να δουλεύει. Το Β έχει τα της απόδοσης του Α. Να βρείτε σε πόσες μέρες συνολικά θα τελειώσουν οι ελιές της περιοχής Εξισώσεις με Απόλυτα.07 Να λύσετε τις εξισώσεις: A), B) 7 9 5, Γ) 4 5, Δ) Να λύσετε τις εξισώσεις Α) Β), Να λύσετε τις εξισώσεις: A) 5 0 B) Γ) Δ).0 Να λύσετε τις εξισώσεις: Α) 4 Β) 4 Γ) Δ).. Να λύσετε τις εξισώσεις Α) Γ) 4 Β) Δ). Α) Δείξτε ότι: Β) Λύστε την εξίσωση. Α) Να λυθεί η εξίσωση Β) Αν η εξίσωση: έχουν κοινή λύση να βρείτε το α. Γ) Αν η εξίσωση, 0. λ λ λ, λ R. 8 0 (). 4 4α 0 και η () 5 0 (β+) 0 και η () έχουν κοινή λύση να βρείτε το β.

15 Α Λυκείου Άλγεβρα Δευτεροβάθμια Εξίσωση.. Η εξίσωση λ 5λ λ 0, 5.4 Ν Α) 4 α λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: 0 Β) 4 λ R έχει ρίζα το. Ναα βρείτε το λ να δείξετε ότι το είναι διπλή ρίζα. και μετά Γ) Ε) Δ) ΣΤ) Να αποδείξετε α ότι η εξίσωση α β γ αβ αγβγ 0, α,β, γ R.5 Ν προς για κάθε τιμή των παραμέτρων τους Α) αβ αγ β γ 0, αβ 0. Β) αβ αβ Γ) β.6 Αν.7 Ν εξίσωση λ λ α λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις ως να έχει δύο ρίζες πραγματικές. Α) Για ποιες τιμές του λ έχει μία μόνο ρίζα; Β) Για ποιες τιμές του λ έχει διπλή ρίζα; Γ) Αν ρ είναι η διπλή ρίζα της εξίσωσης, ε ναα υπολογίσετεε την παράσταση ( ρ) ρ για κάθε πραγματικό αριθμό. όπου Δ είναι η διακρίνουσά της.0 Ν λ λ Α) να έχει μία μόνο ρίζα, Β) να έχει διπλή ρίζα. αβ αβ 0, β 0 ν η εξίσωση αβ 0 έχει α βρεθούν οι τιμές του λ R ώστε η α βρεθεί ο λ R ώστε η εξίσωση λ 0: 0, α λ 0.8 Έστω η εξίσωση λ 5 0, λ R..9 Λύστε την εξίσωση Δ Δ 6 β 0. ως ρίζα τον αριθμό α β, αποδείξετε ότι α β έχει μια διπλήή ρίζα, αν και μόνον αν α β γ...4 Να αποδείξετε α ότι αν η εξίσωση έχει διπλή ρίζα, τότε η εξίσωση αα β. είναι αδύνατηη στο R, να δείξετε ότι η εξίσωση.. ρίζα, δείξτε ότι το ίδιο θα συμβαίνει και για την μ εξίσωση: μ κ+ κ μ +κ+κ κ Αν α,β,γα 0, μια τουλάχιστον από τις παρακάτω εξισώσεις έχει ρίζες πραγματικές, α β γ 0,..0 Αν αβ 0 έχει ρίζες άνισες..5 Αν η εξίσωση β 5γ 0 δεν έχει ρίζες στο R..6 Για ποιες π τιμές του α R οι εξισώσεις ε α0.7 Αν η εξίσωση.8 Λύστε την εξίσωση 0 και γ α β 0, β α β αγ 9 και β γ αβ 8 και α,β,γ R* α 0 έχουν κοινή ρίζα; γ α 0 α β 4α4β 0, α,β R 0 βγ μ κ 0 να αποδείξετε ότι και ισχύει: 0, β, γ R, έχει διπλή. Αν τις τιμές του y y με,y R* να βρείτε y γ α αγ 5, να υπολογιστεί η τιμή του α β γ 06-07

16 6 Εξισώσεις Άθροισμα Γινόμενο Ριζών.7 Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης. Δίνεται η εξίσωση 0 με ρίζες,. Βρείτε τις τιμές των παραστάσεων,, και ( ).. Έστω η εξίσωση όπου είναι α,β R με α 0. α α β β 0 Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες για οποιεσδήποτε τιμές των α,β. Β) Αν, οι δύο ρίζες της εξίσωσης να αποδείξετε ότι. Γ) Αν μία ρίζα της εξίσωσης είναι ο αριθμός α με α,να αποδείξετε ότι β α. Ένας μαθητής αντί της εξίσωσης α β 0 (), έλυσε την β α 0 και βρήκε δύο ρίζες. Από αυτές η μία ήταν ίση με μία ρίζα της () και η δεύτερη ήταν μικρότερη κατά της άλλης ρίζας της (). Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α και β..4 Να βρεθούν οι α,β R αν οι ρίζες της α β 0 είναι ίσες με α και β..5 Έστω ρ, ρ οι ρίζες της εξίσωσης 4 0. Βρείτε τις τιμές των λ 0 να βρεθεί ο πραγματικός λ, έτσι ώστε να ισχύει: Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης α β γ 0 με α,β,γ R 0 της και ρ, ρ ρίζες 0, να αποδειχθεί ότι, αν οι, είναι ετερόσημες, τότε και οι ρ, ρ είναι ετερόσημες..9 Αν ρ, ρ είναι οι ρίζες της εξίσωσης α β γ 0, α,β,γ R, α 0 και, οι ρίζες της εξίσωσης κ λ μ 0, κ, λ, μ R, κ 0 να βρείτε εξίσωση με ρίζες τις παραστάσεις ρ ρ και ρ ρ..40 Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες η εξίσωση Α) δύο ρίζες ετερόσημες, λ 0 έχει: Β) δύο ρίζες θετικές και άνισες, Γ) δύο ρίζες αντίστροφες..4 Έστω η εξίσωση λ λ 0 Α) Να λυθεί η ανίσωση d(, λ) 5-λ όταν η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα. Β) Να βρεθεί ο λ R ώστε να έχει ρίζες αντίθετες ρ ρ, ρ ρ ρ, ρ ρ, ρ ρ ρ.4 Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 7 0 έχει δύο θετικές ρίζες,.6 Έστω η εξίσωση β γ 0, γ 0 Α) Αν, οι δύο ρίζες της εξίσωσης να γράψετε συναρτήσει των αριθμών β,γ τις παραστάσεις,,. Β) Να αποδείξετε ότι: d, όπου Δ η διακρίνουσα της εξίσωσης. Δ, Β) Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων Α= B Αν, είναι ρίζες της να βρεθεί εξίσωση που να έχει ρίζες τις: A) ρ, ρ, Β) ρ και ρ. 57 0,

17 Α Λυκείου Άλγεβρα.44 Έσ λ λ λ 0 Α) Βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει μιαα διπλή ρίζα την οποία και να υπολογίσετε. Β) Βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει δύο ρίζες ετερόσημες..45 Δί οποία έχει ρίζες τους αριθμούς και. Βρείτεε το πρόσημο του.46 Δί πραγματικές ρίζες, έστω,. Να αποδείξετε ότι: 0.47 Δί ισχύει η σχέση και 0. Α) Να αποδείξετεε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και ομόσημες, τιςς ρ και ρ. Β) Να αποδείξετεε ότι ρ ρ Γ) Αν για το άθροισμα S των ριζών ισχύει S 4, να λύσετε την ανίσωση β γ Δί πραγματικοί αριθμοί,,. Αν δίνεται ότι: Η εξίσωση τους, Η εξίσωση στω η εξίσωση ίνεται η εξίσωση 005 ίδεται η εξίσωση λ λ λ 0 η οποία έχει έ δύο ίνεται η εξίσωση β 6γ. ίνονται οι διαφορετικοί ανά δυο α 5β 0, (β IR) έχει ρίζες ω η β γ 0 και 0, (α IR) ) έχει ρίζες. 7 Τριώνυμο Παραγοντοποίηση-- μορφές.49 Να απλοποιηθούα ύν τα κλάσματα : α6α 5α6α. γ γ α μήκη πλευρώνν ενός τριγώνου δεν έχει πραγματικές ρίζες. ρ. αντί euro και υπολόγισε ότι ζημιώθηκε τόσο επί τοις εκατό όσο την αγόρασε. Να βρείτε πόσα euro έχασε ( λύσεις).. Βγάζουμε μια ποσότητα κρασί και προσθέτουμε την ίδια ποσότητα νερού. Μετά ξαναβγάζουμε την ίδια ποσότητα από το μείγμα. Στο βαρέλι παραμένει έναα μείγμα πουυ περιέχει 4 lt καθαρό κρασί. Να βρείτε πόσα λίτρα κρασί βγάλαμε αρχικά...50 Να αποδείξετε α ότι το τριώνυμο.5 Ένας επενδυτής πούλησε μια μετοχή β β όπου τα α, β, γ είναι.5 Ένα βαρέλι περιέχει 54 lt κρασί..5 Σε μια μ γεωργικήή περιοχή αναλογεί ως έκτακτη ενίσχυση, εξ αιτίας φυσικής καταστροφής,, το ποσό τωνν 000 euro.. Σε κάθε παραγωγό αναλογεί το ίδιο ποσό. Επειδή είχε γραφτεί κατά λάθος ένας παραγωγός παραπάνω, τον έσβησαν και κ οι υπόλοιποι πήραν, ο καθένας 00 euro περισσότερα. Ναα βρείτε πόσοι ήταν τελικά οι δικαιούχοι. (Απ: 5) αβ α αβ και. 4αβ α αβ τους, Η εξίσωση τους, 4γ 0, (γ IR) έχει ρίζες Να προσδιορίσετε τους α,β, γ R 06-07

18 8 Ανισώσεις 4 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Ανισώσεις Πρώτου Βαθμού 4.0 Να λύσετε την ανίσωση: ( )( ) A) 4.0 Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: 56 και Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων και Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων. 6 και Να λύσετε το (Σ):, Ανισώσεις με απόλυτα 4.09 Να λύσετε τις ανισώσεις: Α) 5 Β) Γ) Δ) 4 Να λύσετε τις ανισώσεις: Α) 6 Β) 4 0 Γ) Δ) 6 0 Να λύσετε τις ανισώσεις: A) 5 B) 5 Γ) Δ) Nα λύσετε τις ανισώσεις: Α) 5 Β) 8 Γ) 9 Δ) 4 4. Να λύσετε τις ανισώσεις: Α) 5 6 Β) 4. Να λύσετε τις ανισώσεις: Α) Β) 4 Γ) Δ) 4.06 Nα λύσετε τα συστήματα Α) 4 Β) 4.07 Nα λύσετε τα συστήματα: Α) Β) Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ να λύσετε τις ανισώσεις Α) λ λ Β) λ 4. Αν, γράψτε χωρίς απόλυτα την παράσταση A 6 και την παράσταση: Β 4.4 Να λύσετε τις ανισώσεις Α) 6 στο * R Β) 5 4 στο R Γ) 0, στο R Δ) 4 στο Z 4

19 Α Λυκείου Άλγεβρα 4.5 Ν ανισώσεων: 5 7 και 4.6 Ν Α) Β) Γ) 4.7 Βρ 4.8 Αν α α βρεθούν οι κοινές λύσεις των α λύσετε τις ανισώσεις: ρείτε τις τιμές του ώστεε να ισχύουν: 0 0 κα, όπου α Z, να βρεθεί η τιμή της παράστασης: A α αι Ανισώσεις Δευτέρου Δ Βαθμού 4.. Να λύσετε λ τις ανισώσεις: Α) 4 0 Β) 4.. Να λύσετε λ τις ανισώσεις: Α) 4. Α) 7 6 0, Β) ) Β).4 Να λύσετε λ τις ανισώσεις:.5 Να λύσετε λ τις ανισώσεις: Α) 5 Β) ) , Ν κάθε μια από τις παραστάσεις: Α) Γ) α βρείτε για ποιες τιμές του τ ορίζεται B) 6 Δ) Να λυθούν λ οι ανισώσεις: Α) Γ) ) , Β) 0, - ( 8 7)( 9) 0. 4 Ε) Στ) Να λυθούν λ οι ανισώσεις: 4.0 Ν α βρείτε για ποιες τιμές του τ ορίζεται κάθε μια από τις παρακάτω παραστάσεις: Α) Α 5 Α) Β) Β) ) Δ) + 4 -,. Β) Β 4. Ν παρακάτω συναρτήσεωνν Α f( () Β g( () Γ k( () Δ α βρεθούν τα πεδία ορισμού των 6 m() Να λύσετε λ τα συστήματα ανισώσεων: Α) 4. Α) 4 B) Γ) ) Να λύσετε λ τις ανισώσεις ριζών της εξίσωσης: Για κάθε κ κ R να βρείτε το πλήθος των Β) 7 κκ

20 0 Ανισώσεις 4. Να λύσετε τις ανισώσεις: Α) Β). 4 ( ) 4. Να συναληθεύσετε τις ανισώσεις και 06 0 ; - 4. Βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων Α) Β) f() 4 f() Το τριώνυμο f 5 6 έχει ρίζες τους αριθμούς και 6. Ποια από τις παρακάτω ανισότητες είναι σωστή; Α) f 0,999 0, B f 0,999 0, Γ) f999 0 Δ) f Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ ώστε η εξίσωση λ λ λ 0 Α) Να έχει μία μόνο ρίζα Β) Να είναι αδύνατη. 4.6 Έστω f (λ ) λ λ, λ Α) Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε η ανίσωση f() 0 να αληθεύει για κάθε R Β) Αν λ 4 να λύσετε την εξίσωση f Να βρείτε τις τιμές του λ R ώστε η ανίσωση: λ- λ+ λ+>0 να είναι αδύνατη για κάθε R. 4.8 Για τις διάφορες πραγματικές τιμές του λ, βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης λ λ λ Δίνεται η εξίσωση λ λ λ λ λ λ 0 Α) Βρείτε για ποιες τιμές του λ R η εξίσωση έχει ρίζες άνισες Β) Υπάρχει τιμή του λ ώστε να έχει η εξίσωση άπειρες ρίζες; 4.40 Να βρείτε το λ ώστε το τριώνυμο λ 4λ να έχει: Α) σταθερό πρόσημο για κάθε R, Β) αρνητικό πρόσημο για κάθε R. 4.4 Να βρεθούν αν υπάρχουν οι τιμές του λ R για τις οποίες η ανίσωση λ λλ 0 να αληθεύει για όλες τις πραγματικές τιμές του. 4.4 Να προσδιοριστεί ο ανίσωση * λ R ώστε η λ λ λ 0 να είναι αληθής για κάθε R. 4.4 Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωης λ λ λ 0, λ R να βρεθεί ο λ R ώστε Έστω, ρίζες της εξίσωσης λ λ 0 λ R. Να βρεθεί ο λ ώστε να ισχύει Δίνεται το τριώνυμο f() λ 4 λ 6, R, λ R Α Να βρείτε τις τιμές του λ R για τις οποίες το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές Β Αν, R είναι ρίζες του f βρείτε: α) για ποιες τιμές του λ R ισχύει 0 β) για ποιες τιμές του λ R ισχύει

21 Α Λυκείου Άλγεβρα 4.46 Ν σχέση πραγματικό Α) - λ λλ 0 (), λ R Β) Βρείτε για ποιες τιμές του λ R ισχύειι ότι d(, 4.48 Έσ α βρεθούν οι τιμές του R ώστε η ) Να λυθεί στο R, η εξίσωση ) όπου, τις α,β. Αποδείξτε ότι να ισχύει για κάθε R οι ρίζες της () στω η εξίσωση 0 με ρίζες ς 8 4. Α IR να αποδείξετε ότι f(00) 0 Β.5 Δίδεται η συνάρτηση f() με IR και 0. αποδείξετε ότιι η εξίσωση f() 0 έχει δύο ρίζες πραγματικές και κ άνισες. 4. Αν ισχύει ι η σχέση f() 0 για κάθε Αν ισχύει ι η σχέση να.5 Αν για γ κάθε IR ισχύει: ( )( ) 0 να δείξετε ότι: Να αποδείξετε α ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούςς αριθμούς α, β ισχύει (mathematica.gr) 4.49 Δί α,β R. Αν και ισχύει Α Β 4.50 Αν ίνεται το τριώνυμο f() α β ν, R Να δείξετε ότι α 6, β 5 Να λυθεί η ανίσωση f 4 0 γ αβγ 0, α 0, να αποδείξετε ότι: A) Η εξίσωση α f να έχει ρίζες τους αριθμούς 0 και. B) Η α β γ 0 έχει δύο ρίζες άνισες. Γ) Αν, οι ρίζες της εξίσωσης, να αποδείξετε ότι: Δ) Να αποδείξετεε ότι μία μόνο ρίζα της εξίσωσης θα είναι στο διάστημα 0, ν για τους αριθμούς α,β, γ ισχύει ν είναι οι ρίζε β γ 0 ες του f δεν μπορεί 0. με ( ) Να βρείτε β την μεγαλύτερη τιμή του πραγματικού ώστε η εξίσωση 0 να έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα Αν οι ρίζες, της εξίσωσης ικανοποιούν τη τ σχέση: Για ποιες π τιμές της παραμέτρου, μία ακριβώς ρίζα της εξίσωσηςς ( ) 0 ανήκει στο διάστημα (0,)) ; (mathematica.gr) Να βρεθεί β δευτεροβάθμια εξίσωση της μορφής και ως λύσεις τουςς αριθμούς και (mathematica.gr), να αποδείξετε ότι. 0, 0, όπου, R που να έχει 4.5 Έσ Να αποδείξετε ότι: A) Αν P στω P 00 με 0. 0 για κάθε R τότε P B) Αν είναι 00, τότε η εξίσωση Έστωω η εξίσωση ρίζες τις, Βρείτε τις τιμές των παραστάσεων A 4 9 και B που έχει 00 0 έχει ρίζες πραγματικές

22 Πρόοδοι 5 ΠΡΟΟΔΟΙ Αριθμητική Πρόοδος 5.0 Να βρείτε την αριθμητική πρόοδο όταν το άθροισμα των S0 00 και Να βρείτε την αριθμητική πρόοδο στην οποία είναι S0 60 και S. 5.0 Για ποια τιμή του ακεραίου οι αριθμοί, 5, 9 είναι διαδοχικοί αριθμητικής προόδου; 5.04 Βρείτε τρεις διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου με άθροισμα και γινόμενο Αν οι αριθμοί α,β,γ R είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, δείξτε ότι οι α βγ, β γα, γ αβ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Ποιος είναι ο λόγος των διαφορών των δυο προόδων αυτών; 5.06 Αν α,α,...αv είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου να δείξετε ότι: ν... α α α α α α α α v v ν 5.07 Αν α,α,...,αvείναι -μη μηδενικοί- διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να δείξετε ότι v.... α α α α α α α α α α 4 v v v 5.08 Να παρεμβάλετε μεταξύ του 5 και του 50 όρους ώστε να αποτελούν όλοι μαζί διαδοχικούς αριθμητικής προόδου και ο τελευταίος από τους παρεμβαλλόμενους όρους να είναι -πλάσιος από τον δεύτερό τους; 5.09 Σε αριθμητική πρόοδο ισχύει α7 α7 0 και α9 α0 40. Να βρείτε το άθροισμα των όρων της που βρίσκονται μεταξύ του α 8 και α Αποδείξτε ότι η ακολουθία με γενικό όρο αν 4ν 5, νν* είναι αριθμητική πρόοδος. Να βρείτε το άθροισμα των όρων της που είναι μεταξύ των αριθμών 7 και Για μια ακολουθία ισχύει v S v v, *. Αποδείξτε ότι είναι αριθμητική πρόοδος. 5. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος,,,4,5,... και παίρνουμε ομάδες όρων ως εξής:,,,4,,4,5,6,7, 4,5,6,7,8,9,0... Να υπολογιστεί το άθροισμα των όρων της ν- οστής ομάδας. 5. Έχουμε ν κιβώτια μέσα στα οποία τοποθετούμε αριθμημένες μπάλες ως εξής: Στο πρώτο κιβώτιο τη μπάλα με τον αριθμό στο ο τις μπάλες, στο ο τις 4,5,6 κ.ο.κ. Α. Πόσες μπάλες έχει το ν -οστό κιβώτιο; Β. Να δειχτεί ότι στο ν -στό κιβώτιο η μπάλα με τον μικρότερο αριθμό είναι η ν (ν ). Γ. Σε ποιο κιβώτιο βρίσκεται η μπάλα με τον αριθμό 00 ; Δ. Αν v 50, πόσες μπάλες έχουμε συνολικά; 5.4 Να αποδείξετε ότι σε κάθε αριθμητική πρόοδο με λ,μ, ν * Ν ισχύει ότι λμ μν ν λ ν λ μ 0 ν λ μ

23 Α Λυκείου Άλγεβρα Γεωμετρική Πρόοδος 5.5 Ν κάθε μια από τις περιπτώσεις: A) Αν S 0 κα B) Αν S 6 κα 5.6 Π καθέναν από τους αριθμούς, 6, 58 για να γίνουν τρεις διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου; 5.7 Ν αποτελούν αύξουσα γεωμετρική πρόοδο, αν το άκρων όρων τους είναι Ν γεωμετρικής προόδου αν έχουν γινόμενο 6 και άθροισμα μεσαίων όρων Αν πρόοδοι εξετάστε σε ποια περίπτωση σχηματίζεται γεωμετρική πρόοδος:, 5.0 Ν γενικό όρο α είναι γεωμετρική πρόοδοςς. 5. Σε α α α 4 5. Ν για τους οποίους ισχύουν συγχρόνως τα εξής: α) οι τρεις πρώτοι είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, β) οι τρεις τελευταίοι είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και γ) το άθροισμα των άκρων όρων είναι 44 και των μεσαίων. α βρείτε τη γεωμετρική πρόοδο σε ν 4 ν οιον αριθμό πρέπει να προσθέσουμε σε α βρεθούν τρεις αριθμοί που α βρεθούν τέσσερις διαδοχικοί όροι ν ν ν (α ), (β ) είναι δυο γεωμετρικές, α αποδειχτεί ότι η ακολουθία με ν ν ε μια γεωμετρική πρόοδοο έχουμε α αι 5 6 α α α α 480. αι 4 α α 5 5. άθροισμά τους είναι 65 και η διαφορά των, 7 8. Να βρεθεί ο λόγοςς της. α βρείτε τέσσερις ακέραιους αριθμούς 5.. Βρείτε τρεις αριθμούς οι οποίοι: είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, έχουν άθροισμα 5 και ανν σε αυτούς προσθέσουμε τους αριθμούς, 4, 9 αντίστοιχα θα γίνουν διαδοχικοί γεωμετρικής προόδου Αν αβ, α β, γ εί αριθμητικής προόδου, π να αποδείξετε ότι οι αριθμοί β, γ, β α αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου Α) Να Ν δειχθεί ότι η ακολουθία για την οποία ισχύει ότι ό S πρόοδος. Β) ) Πόσους όρους της πρέπει να πάρουμε, για να έχουμε άθροισμα 484 ; 5..6 Να αποδείξετε α ότι ο Αριθμητικός μέσος δύο θετικών αριθμών α είναι μεγαλύτερος ή ίσος του γεωμετρικού μέσου τους 5..7 Να βρεθούν β τρεις αριθμοί,,y, ω αν αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου, έχουν άθροισμαα 8 και αν ο μεσαίος αυξηθεί κατά τότε οι αριθμοί που προκύπτουν είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου Οι αριθμοί α α,β, γ,δ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδουυ και οι αριθμοί α, β, γ 5, γεωμετρικής προόδου. π Nαα βρεθούν οι α,β,γ,δ (mathematica.gr) 5..9 Μια μπάλα πέφτει από ύψοςς 60 μέτρων και αναπηδά σε έδαφος φθάνοντας κάθε φορά στ το του ύψους της προηγούμενης στην 6 η αναπήδηση. v v δ 5 είναι ίναι διαδοχικοί όροι αναπήδησης. Να βρείτε σε τι ύψος θα φθάσει είναι γεωμετρική διαδοχικοί όροι 06-07

24 4 Συναρτήσεις 6 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Η έννοια της Συνάρτησης 6.0 Απλοποιείστε τον τύπο της συνάρτησης 4 4 f αν και να βρείτε την αν τιμή της παράστασης: ff0f 6.0 Έστω οι συναρτήσεις f και g με, f(),, τα f( ), f(0), f( ), f(/4), g(0). - 0 g() Βρείτε Αν f 6, να βρεθούν οι, R ώστε να ισχύει: f α Για την συνάρτηση ισχύουν f και f 0 και f8 β. f α β. Βρείτε το f 6.09 Αν f ισχύει f f Αν f τότε να δείξετε ότι, R,δείξτε ότι για κάθε α β α,β R ισχύει f αf β f 6. Αν f να λύσετε την εξίσωση f f f0 f. Πεδίο Ορισμού 6. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των: Α) f Β) f Γ) h Δ) f 4- - α4, 6.05 Έστω ότι f(). Να αβ, βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f και να βρεθούν τα, R ώστε f(-)=f(). 6. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των: f g m k 6.06 Αν f()= βρείτε για ποια 5 5 τιμή του 6.07 Αν f R ισχύει fλf0 57., να δείξετε ότι: A) ffff 8. B) ffff Αν f για κάθε R, 6.4 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των: Α) f Γ) f 4 Β) f Δ) f Για ποιες τιμές του α R η συνάρτηση - f() = ορίζεται στο R; α να υπολογίσετε τις παραστάσεις:, f, f f(0), f f() f

25 Α Λυκείου Άλγεβρα Γεωμετρικές Απόσταση Σημείων Γραφική Παράσταση Ν κορυφές τα σημεία A ορθογώνιο και ισοσκελές. 6.7 Δί βρεθεί η απόσταση των σημείων Α,f() και Β,f( ). 6.8 Ν τέτοιο ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ισοσκελές με ίσες πλευρές τις ΑΓ, ΒΓ, 6.9 Δί Να βρείτε σημείο Μ της ευθείας y= ώστε το τρίγωνο ΑΜΒ να είναι ισοσκελές με ίσες πλευρέςς τις ΜΑ και ΜΒ. Συμμετρικά Σημεία 6.0 Δί B,, Γ Ζ δ,. Να βρείτε τους πραγματικούς α, β, γ, δ αν γνωρίζετε ότι: Τα Α και Β είναι συμμετρικά ως προς τον, τα Ε και Ζ είναι συμμετρικά ως προς το στον και το σημείο Δ βρίσκεταιι στον yy. 6. Ν Α) Α λ, λ, B, 4 5λ να είναι συμμετρικά ως προς το σημείο Ο 0,,0. Β) A λ,4λλ, Β λ,λλ να είναι συμμετρικά ως Γ) A4, προς τον άξονα. α αποδείξετεε ότι το τρίγωνο με ίνεται η συνάρτηση f()=. Να α βρεθεί σημείο Γ του άξονα ίνονται τα σημεία A, ίνονται τα σημεία Α,4α, 4,β 6, Δ γ, 4, Ε,, καιι α βρεθεί η τιμή του λ ώστε τα σημεία: προς την ευθεία y.,, B0,,, όπου A,,, B4, λ να είναι συμμετρικά ως 0,0, το Γ Γ, είναι B 4,., B,4. βρίσκεται 6.. Δίνεται η συνάρτ βρεθεί το α R ώστε η C σημείο M 4,. 6. βρείτε τα σημεία τομής τηςς γραφικής παράστασης της f με τους y. 6. f μ με μ<0. Να βρεθεί το μ ώστε το C να τέμνει τους άξονες σε σημεία που απέχουν απόσταση ίση με ε γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: Β) f 6. των συναρτήσεων: f()=+ +, g()=-+, h()=+ στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων και να υπολογίσετε το εμβαδόν της περιοχής που περικλείεται από α αυτές συνάρτησης f( ()= 0 6. γραφική παράσταση συνάρτησης. 6.. Δίνεται η συνάρτ.4 Δίνεται η συνάρτηση: f.5 Να βρείτε β τα σημεία τομής των f Α) ) και g..6 Να κάνετε κ τις γραφικές παραστάσεις.7 Nα κάνετε κ τη γραφική παράσταση της.8 Εξηγήστε γιατί ο κύκλος δεν είναι.9 Να επιλυθούν ε γραφικά οι ανισώσεις: 4 0, 40, και. f άξονες yy, και g τηση f α. Nα να διέρχεται από το τηση f. Να και την ευθεία.,,., 06-07

26 6 Συναρτήσεις Ευθεία 6.5 Έστω η συνάρτηση f λ, λ Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει η ευθεία y= + με τον άξονα. λ λ 6. Δίνεται η ευθεία ε :y λ λ. Να προσδιοριστεί ο λ ώστε η ε να είναι: Α) παράλληλη στην ευθεία y=-, Β) παράλληλη στην ευθεία y 5, Γ) κάθετη στην ευθεία y=-8+, Δ) να διέρχεται από το σημείο (,-) 6. Αν οι ευθείες ε :y λ λ και ε : y λ είναι παράλληλες να δείξετε ότι οι ευθείες ε : y λ 4 είναι κάθετες. ε : y λ 8, λ 4 6. Για την ευθεία ε: y 5, να λ- βρείτε: Α) Τις τιμές του λ ώστε η ευθεία ε να είναι παράλληλη προς την ευθεία δ: y 6. Β) Τις τιμές του λ ώστε το σημείο A(, ) να ανήκει στην γραφική παράστασης της ευθείας ε. Γ) Τις τιμές του λ ώστε η ευθεία ε να είναι παράλληλη προς τον άξονα. Δ) Τα σημεία τομής της με τους άξονες. 6.4 Έστω τα σημεία A κ, και Β,κ, όπου κ R. Α) Να αποδείξετε ότι AB 5 κ. Β) Αν AB 5 να βρείτε τις τιμές του κ. Γ) Αν κ 0 να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση y διέρχεται από τα Α και Β. 4 Να βρείτε: Α) Τα σημεία τομής της γραφικής της παράστασης με τους άξονες. Β) Το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από τη γραφική παράσταση και τους άξονες. Γ) Την τιμή του λ ώστε το εμβαδόν του παραπάνω τριγώνου να είναι τμ 6.6 Δίνεται η συνάρτηση f. Α) Να εξετάσετε αν είναι άρτια ή περιττή. Β) Να γραφτεί ο τύπος της χωρίς την απόλυτη τιμή. Γ) Να γίνει η γραφική της παράσταση. Δ) Να βρείτε αν υπάρχουν- τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες. Ε) Να βρείτε τα σημεία τομής της συνάρτησης με την ευθεία y. Στ) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης και την ευθεία y Θ) Να δείξετε ότι το τρίγωνο αυτό είναι ισοσκελές. 6.7 Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση ε : α y 4 η οποία διέρχεται από το σημείο M(, 6). Α) Να βρεθεί η τιμή του α. Β) Να βρεθούν τα κοινά σημεία της ευθείας ε με τους άξονες. Γ) Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ε. Δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της ευθείας ε 7 με την παραβολή y

27 Α Λυκείου Άλγεβρα 7 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 6.8 Στ ο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμούύ το R. A) Να βρείτε το f(0) και f(). B) Να λύσετε την εξίσωση: f() 0. Γ) Να λύσετε την ανίσωση: f( ) 0. Δ) Να λύσετε την ανίσωση: f( ) Δίνεται η συνάρτηση f() Α) Να βρεθεί β το πεδίο ορισμού της. Β) ) Να βρεθούν β τα σημεία τομήςς της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα. Γ) ) Να εξετάσετε ε αν ν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα yy Έστωω η συνάρτηση f με. 0 f( () κ +,,κ R. 5 A) Να βρεθεί β η τιμήή του κ ώστε το σημείο Α(,8) να ανήκει στη γραφική παράσταση της f. Για την τιμή του κ που βρήκατε στο Α ερώτημα: Β) ) Να βρεθεί β η απόσταση των σημείων Α(, 8) και Β( 8, f(8)). 6.9 Έσ οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Παρατηρώντας την γραφική παράσταση να απαντήσετε στα ερωτήματα Α) Ποιό είναι το πεδίο ορισμού της g; Β) Να βρεθεί η τιμή της παράστασης: στω μια συνάρτηση y g της g() g( ) g( ). Γ) Είναι σωστό ότι g(0)>g(); (γιατί;)( Δ) Για ποιες τιμές του ισχύειι ότι g()=; Ε) Για ποιες τιμές του ισχύειι ότι g()>;, 6..4 Αν f() f, f ανίσωση: Δίνονται οι συναρτήσεις: τομής των 6. Cf, g.44 Έστωω η συνάρτηση f() Α. Να βρεθεί β το πεδίο ορισμού της f. Β.. Να εξετάσετε ε αν ν η γραφική παράσταση της f τέμνει τους τ άξονες και σε ποια σημεία ; Γ.. Να βρεθεί β η τιμήή της παράστασης f., να λυθεί η g, 0 και f()=, 0. Nα βρεθούν τα σημεία C καθώς και η απόστασή τους. 4. f f7 f 9 f

28 8 Συναρτήσεις 6.45 Δίνεται η συνάρτηση : f() αν 0 με λ R. 6λ λ αν 0 Α) Να βρείτε το λ ώστε f0 f 8. Β) Αν λ τότε: α) Να βρείτε την απόσταση των σημείων A,f() και B 5,f( 5) παράστασης. β) Να υπολογίσετε την τιμή της 6.46 Δίνονται οι ευθείες: ε : y λ 4 και f 4 f 9 4. ε : y λ με λ R. Α) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε οι ε και ε να είναι παράλληλες. Β) Για λ 5 : οι α) Να γράψετε τη μορφή που παίρνουν ε και ε. β) Αν A και Β είναι τα σημεία στα οποία η ε τέμνει τον και η ε τον yy αντίστοιχα, να βρείτε την απόσταση AB Δίνεται η συνάρτηση f Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να απλοποιήσετε τον τύπο της. Β) Να αποδείξετε ότι η ff0 Γ) Να λύσετε την ανίσωση f Έστω η συνάρτηση f 4 Α) Να αποδείξετε ότι η ff0 Β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης f() f( ) Δίνεται η συνάρτηση : αν 0 f() με λ R 6λ λ αν 0 Α) Να βρεθεί ο λ ώστε f(0) f 8 Β) Αν λ τότε: α) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης f8. β) Να βρείτε την απόσταση των σημείων,f και 0,f Έστω η συνάρτηση f 0 0 Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Αf της f, Β) Να δείξετε ότι f, για κάθε Α f Γ) Να λύσετε την εξίσωση 9 =f() 6.5 Έστω η συνάρτηση f() 9 Α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f. Β) Να αποδείξετε ότι η ff0 Γ) Υπολογίστε την τιμή της παράστασης f(008) f( 008) Έστω η συνάρτηση f. Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. Β) Να αποδείξετε ότι η ff0

29 Α Λυκείου Άλγεβρα 9 7 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΘΕΜΑΤΑΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 7.0 Δί ίνεται η εξίσωση λ λ λ 0 (), λr. Α) Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε να έχει πραγματικές και ίσες ρίζες. ρ Β) Αν 4λ και 6 6 A ι., είναι οι ρίζες τηςς (), βρείτε την τιμή τηςς παράστασης: 7.0 Δί ίδονται τα τριώνυμα Ρ 4 4 Q, K 5 6. Α) Να βρεθεί το πρόσημο σε κάθε ένα απόό τα παραπάνω τριώνυμα για κάθε R. Β) Να λυθεί η ανίσωση Q() 0 K( ) 7.0 Δί ίνεται η εξίσωση α α β β 0 με α 0, β R. Α) Να αποδείξετεε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες για όλες τις τιμές των α,β. Β) Αν, είναι οι δύο ρίζες της εξίσωσης να αποδείξετε ότι. Γ) Αν μία ρίζα της εξίσωσης είναι ε ο αριθμός α,μεε α να αποδείξετε ότι β α Οι ι αριθμοί και είναι οι ρίζες εξίσωσης ου βαθμού με S, P τέτοια ώστε Ρ S και Ρ S 0. Α) Να δείξετε ότι S = και Ρ = 4. Β) Να βρείτε την εξίσωση κ λ 0 που έχει ρίζες τους ρ και ρ. Γ) Να λύσετε την ανίσωση κ λ Έσ στω η εξίσωση λ Α) Για ποια τιμή του λ η εξίσωση έχει ρίζαα τον αριθμό ; Β) Για ποιες τιμές του λ η παραπάνω εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες; Γ) Αν ρ, ρ είναι οι δύο οι ρίζες της παρα πάνω εξίσωσης να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε για αυτές ν να ισχύει η ανίσωση: ρρ ρ ρ ρ. λλ 0 με λ Έστω f (λλ ) λ λ, όπου λ. Α) Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες η ανίσωση f() 0 αληθεύει για όλες τις πραγματικές τιμές του. Β) Αν λ 4 να λύσετε την εξίσωση ε f

30 0 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7.07 Έστω η συνάρτηση f() (λ-)-λ. Α) Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε η f να έχει δύο ρίζες άνισες. Β) Αν, ρίζες της συνάρτησης f να βρεθεί η τιμή του λ R ώστε:. Γ) Να λυθεί η ανίσωση d(, λ) 5-λ όταν η f έχει μία διπλή ρίζα Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες η ανίσωση αληθεύει για όλες τις πραγματικές τιμές του. λ (5λ ) 4λ 0, λ 0, 7.09 Δίνεται η συνάρτηση f (λ ) λ με λ IR, της οποίας η γραφική παράσταση είναι μια παραβολή που περνά από το σημείο Α(,0). Α) Να βρείτε το λ. Β) Για την τιμή λ= να μελετήσετε την συνάρτηση ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. Γ) Να σχηματίσετε την εξίσωση που έχει ρίζες τις ρ, ρ όπου, οι ρίζες της f()= Δίνεται η συνάρτηση : f Α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της Β) Να βρεθούν τα σημεία τομής Α, Β της C f με τους άξονες και yy. Γ) Να υπολογίσετε την απόσταση ΑΒ. 7. Δίνεται η συνάρτηση f κ κ, όπου κ R. A) Αν κ 0,για ποιες τιμές του κ, η συνάρτηση f γράφεται σαν τέλειο τετράγωνο ; B) 00 Για κ=0 να λυθεί η ανίσωση f(). Γ) α. Bρείτε την τιμή κ R ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το σημείο Μ(,). β. Για την τιμή του κ που βρήκατε στο ερώτημα (α) να βρείτε, αν υπάρχουν, τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες. 7. Δίνονται οι Α 4, Β. Α) Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις Α() και Β(). Β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να απλοποιήσετε την παράσταση f Γ) Να λύσετε την ανίσωση f 0 ( )Β() Α()

31 Α Λυκείου Άλγεβρα 7. Έστω η εξίσωση λ λ-λ 0 με λ. Α) Να αποδείξετεε ότι έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες,. Β) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις και Γ) Να βρείτε το λ ώστε: Δί A) Να βρείτε για ποια τιμή του λ είναι: Β) Για την τιμή αυτή του λ να λυθεί η (). Γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε να σχηματίσετε άλλη εξίσωση ου βαθμού με ρίζες ρ, ρ ίνεται η εξίσωση. λ- 0 () με ρίζες, Δί ίνεται η συνά άρτηση f αν αν Α) Να βρείτε τα f, f, f και f. Β) Να υπολογίσετε την απόσταση των σημείων,f και,f. Γ) Να βρείτε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς f και f. 7.6 Δί ίνεται η εξίσωση (α ) α 0, α R (). Α) Να αποδείξετεε ότι η εξίσωση () έχει δύο ρίζες άνισες για κάθε τιμή του α. Β) Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης (): α) ) να βρείτε τις τιμές του α ώστε 005 β) ) για α, να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθμού με ρίζες και. 7.7 Έσ στω οι συναρτήσεις: f() (λ ) Α) Να βρεθεί η τιμή του λ R ώστε η γραφική παράσταση της f ναα είναι ευθεία. Β) Να βρεθεί η τιμή του μ R ώστε η γραφική παράσταση της g να ν εφάπτεταιι στον. Γ) Για τις τιμές των λ, μ που βρήκατε να βρείτε τα κοινά σημεία τ Δ) Να βρεθούν τα σημεία που τέμνει η C υποτείνουσας του ορθογωνίου τριγώνου που σχηματίζεται. f 4λ και g() 4μ μ με μ C,C. ων f g 0. τους άξονες και y y y και να βρεθεί το μήκοςς της 06-07

32 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7.8 Έστω η εξίσωση μ =0, μ R (). Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει δύο ρίζες άνισες για κάθε μ R. Β) Αν ρ,ρ είναι οι ρίζες της εξίσωσης (), να βρείτε για ποιες τιμές του μ : α) η παράσταση Α ρμ+ρ (μ ρ ) παίρνει το πολύ την τιμή. β) οι ευθείες ε : y ρ 006 και ε : y (7 ρ ) 007 είναι παράλληλες. 7.9 Δίνεται ο πραγματικός αριθμός λ και η εξίσωση πραγματικές και άνισες, τις και. Α) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία παίρνει τιμές ο λ. Β) Να λύσετε την ανίσωση: 0, ως προς λ. λ 0, η οποία έχει δύο ρίζες 7.0 Δίνονται τα τριώνυμα: P 5 4, Q 9 και Α) Να λύσετε κάθε μια από τις ανισώσεις: P 0, Q 0 Β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f P K. και K 0. K. Q 7. Δίνεται η συνάρτηση f 6. 4 Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να απλοποιήσετε τον τύπο της. Β) Να λύσετε την εξίσωση f. Γ) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ισχύει 0 f. 7. Για κάθε λ R ε : y λ 6 5 και, δίνονται οι ευθείες ε : y 5λ 8. Α) Να βρείτε αν υπάρχει- τιμή του λ ώστε η ε να διέρχεται από το σημείο,4. Β) Να βρείτε το λ ώστε οι ευθείες ε και ε να είναι παράλληλες. Γ) Αν λ να βρείτε τα σημεία στα οποία η ε τέμνει τους άξονες. 7. Δίνεται η συνάρτηση f() Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Af της f. Β) Να αποδείξετε ότι: 0, για κάθε πραγματικό αριθμό. Γ) Να αποδείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης f απλοποιείται στη μορφή f(), A. 4 Δ) Να λύσετε την ανίσωση f(5) f()

33 Β ΜΕΡΟΣ ΕΠΙΛΟΓΕΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

34 4 Επιλογές από την Τράπεζα Θεμάτων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -- Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Τ.Θ.. 4_96 Η εξέταση σε έναν διαγωνισμό των Μαθηματικών περιλάμβανε δύο θέματα τα οποία έπρεπε να απαντήσουν οι εξεταζόμενοι. Για να βαθμολογηθούν με άριστα έπρεπε να απαντήσουν και στα δύο θέματα, ενώ για να περάσουν την εξέταση έπρεπε να απαντήσουν σε ένα τουλάχιστον από τα δύο θέματα. Στο διαγωνισμό εξετάσθηκαν 00 μαθητές. Στο πρώτο θέμα απάντησαν σωστά 60 μαθητές. Στο δεύτερο θέμα απάντησαν σωστά 50 μαθητές, ενώ και στα δύο θέματα απάντησαν σωστά 0 μαθητές. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή. α. Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και με χρήση της γλώσσας των συνόλων (ορίζοντας τα κατάλληλα ενδεχόμενα) τα παραπάνω δεδομένα. β. Να υπολογίσετε την πιθανότητα ο μαθητής: i) Να απάντησε σωστά μόνο στο δεύτερο θέμα. ii) iii) iv) Να βαθμολογηθεί με άριστα. Να μην απάντησε σωστά σε κανένα θέμα. Να πέρασε την εξέταση. Τ.Θ.. 4_064 Σε μια ομάδα που αποτελείται από 7 άνδρες και γυναίκες, 4 από τους άνδρες και από τις γυναίκες παίζουν σκάκι. Επιλέγουμε τυχαία ένα από τα άτομα αυτά. α. Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και με χρήση της γλώσσας των συνόλων το ενδεχόμενο το άτομο που επιλέχθηκε: i) να είναι άνδρας ή να παίζει σκάκι. ii) να μην είναι άνδρας και να παίζει σκάκι. β. Να υπολογίσετε την πιθανότητα το άτομο που επιλέχθηκε να είναι γυναίκα και να παίζει σκάκι. Τ.Θ.. 4_644 Μια ημέρα, στο τμήμα ενός Λυκείου, το 4 των μαθητών δεν έχει διαβάσει ούτε Άλγεβρα ούτε Γεωμετρία, ενώ το των μαθητών έχει διαβάσει και τα δύο αυτά μαθήματα. Η καθηγήτρια των μαθηματικών επιλέγει τυχαία ένα μαθητή για να τον εξετάσει. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα: : ο μαθητής να έχει διαβάσει Άλγεβρα : ο μαθητής να έχει διαβάσει Γεωμετρία α. Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και με χρήση της γλώσσας των συνόλων τα δεδομένα του προβλήματος. β. Να υπολογίσετε την πιθανότητα ο μαθητής: i) να έχει διαβάσει ένα τουλάχιστον από τα δύο μαθήματα ii) να έχει διαβάσει ένα μόνο από τα δυο μαθήματα. γ. Αν γνωρίζουμε επιπλέον ότι οι μισοί από τους μαθητές έχουν διαβάσει Γεωμετρία, να βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής: i) να έχει διαβάσει Γεωμετρία ii) να έχει διαβάσει Άλγεβρα. Μ. Παπαγρηγοράκης

35 Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου 5. _Πραγματικοί Αριθμοί Τ.Θ. 4. _874 Δίνονται οι μη μηδενικοί αριθμοί,, με γιαα τους οποίους ισχύει: α. Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί και είναιι αντίστροφοι. β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 8 5 Τ.Θ. 5. _070 Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί,,, με 0 και ώστε να ισχύουν: 4 και 4. Να αποδείξετε ότι και 5 και να βρείτε την τιμή της παράστασης:. _Διάταξη πραγματικών αριθμών Τ.Θ. 6. _486 Αν 0, τότε να διατάξετε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τους αριθμούς: 0,,,, Τ.Θ. 7. _487 A) Να βρείτε τους αριθμούς, y ώστε: y 6y 0 0. B) Από το ορθογώνιο ABZH αφαιρέθηκε το τετράγωνο πλευράς y. α. Αν ισχύει 5 8 και y, να βρείτε μεταξύ ποιών αριθμών βρίσκεται β η τιμή της περιμέτρου του παραπάνω γραμμοσκιασμένου σχήματος. Τ.Θ. 8. _54 Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει μήκος εκατοστά και πλάτος y εκατοστά, αντίστοιχα. Αν για τα μήκη και y ισχύει: 4 7 και y, τότε: α. Να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή της περιμέτρουυ του ορθογωνίου παραλληλογράμμου. β. Αν το μειωθεί κατά και το y τριπλασιαστεί, να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή της περιμέτρου του νέου ορθογωνίου παραλληλογράμμου. Τ.Θ. 9. _85 Για τους πραγματικούς αριθμούς, ισχύουν: ι 4 και 4. Να βρείτε ταα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή καθεμιάς από τις παραστάσεις: α) β. Τ.Θ. 0. _870 Δίνονται οι παραστάσεις: 9 και, όπου,. α. Να δείξετε ότι, για κάθε τιμή των,. β. Για ποιες τιμές των, ισχύειι η ισότητα ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Τ.Θ.. _759 Δίνονται πραγματικοί αριθμοί,, με 0και 0. Να αποδείξετε ότι: 4 α. 4 β

36 6 Επιλογές από την Τράπεζα Θεμάτων. Απόλυτη τιμή πραγματικών αριθμών Τ.Θ.. _996 Δίνεται η παράσταση: A y, με,y πραγματικούς αριθμούς, για τους οποίους ισχύει: 4 και y. Να αποδείξετε ότι: A y και ότι 0 A 4. Τ.Θ.. _09 Δίνεται η παράσταση: A. α. Για, να δείξετε ότι: β. Για, να δείξετε ότι η παράσταση έχει σταθερή τιμή (ανεξάρτητη του ), την οποία και να προσδιορίσετε. Τ.Θ. 4. _70 Δίνονται οι παραστάσεις 4 και, όπου πραγματικός αριθμός. α. Για κάθε να αποδείξετε ότι. β. Υπάρχει, Μ. Παπαγρηγοράκης ώστε να ισχύει ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Τ.Θ. 5. _884 Για τον πραγματικό αριθμό ισχύει: d,. Να αποδείξετε ότι η παράσταση: K είναι ανεξάρτητη του. Τ.Θ. 6. _7 Δίνονται δύο τμήματα με μήκη και y, για τα οποία ισχύουν: και y 6 4. α. Να δείξετε ότι 5 και y 0 β. Να βρεθεί η μικρότερη και η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει η περίμετρος ενός ορθογωνίου με διαστάσεις και y. Τ.Θ. 7. 4_0 Δίνονται τα σημεία A,B και M που παριστάνουν στον άξονα των πραγματικών αριθμών τους αριθμούς,7 και αντίστοιχα, με 7. α. Δώστε τη γεωμετρική ερμηνεία των παραστάσεων., 7 και 7 β. Να δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία του αθροίσματος:. γ. Να βρείτε την τιμή της παράστασης A 7 γεωμετρικά και αλγεβρικά..4 Ρίζες πραγματικών αριθμών Τ.Θ. 8. _96 Δίνεται η παράσταση: A 4 4 α. Για ποιες τιμές του ορίζεται η παράσταση A ; β. Να αποδείξετε ότι η παράσταση A είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη του. Τ.Θ. 9. _98 α. Να δείξετε ότι: 0 4. β. Να συγκρίνετε τους αριθμούς 0 και Τ.Θ. 0. _ Δίνεται η παράσταση: A 6 0.

37 Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου 7 α. Για ποιες τιμές του ορίζεται η παράσταση A ; β. Αν, να αποδείξετε ότι: Τ.Θ.. _955 Δίνονται οι αριθμοί: A 6 και B 6 α. Να δείξετε ότι: A B 4. A A A 0. β. Να διατάξετε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αριθμούς:,,. Τ.Θ.. _76 Δίνεται η παράσταση K α. Να βρεθούν οι τιμές που πρέπει να πάρει το, ώστε η παράσταση K να έχει νόημα πραγματικού αριθμού. β. Αν, να αποδείξετε ότι η παράσταση K είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη του. Τ.Θ.. _ Δίνονται οι αριθμητικές παραστάσεις:,, 6 α. Να δείξετε ότι: β. Να συγκρίνετε τους αριθμούς:, 6 6. α. Να συγκρίνετε τους αριθμούς 5 και. Εξισώσεις ου βαθμού Τ.Θ. 4. _485 Δίνεται η εξίσωση, με παράμετρο. α. Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα: ( ) ( ),. β. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση. γ. Για ποια τιμή του η παραπάνω εξίσωση είναι ταυτότητα στο σύνολο των πραγματικών αριθμών; Τ.Θ. 5. _8 Δίνεται η παράσταση Να δείξετε ότι A 4 και να λύσετε την εξίσωση. Τ.Θ. 6. _40 Δίνεται η εξίσωση 9, με παράμετρο. Να βρείτε τις τιμές του, για τις οποίες η εξίσωση έχει μοναδική λύση και να προσδιορίσετε την λύση αυτή. Τ.Θ. 7. 4_0 Σε έναν άξονα τα σημεία A,B και M αντιστοιχούν στους αριθμούς 5,9 και αντίστοιχα. α. Να διατυπώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία των παραστάσεων 5 και 9 β. Αν ισχύει 5 9, i) Ποια γεωμετρική ιδιότητα του σημείου M αναγνωρίζετε; ii) επιβεβαιώσετε με αλγεβρικό τρόπο την απάντησή σας. Με χρήση του άξονα, να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό που παριστάνει το σημείο M. Να 06-07

38 8 Επιλογές από την Τράπεζα Θεμάτων. Εξισώσεις ου βαθμού Τ.Θ. 8. _ () με παράμετρο. Δίνεται η εξίσωση α. Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε. β. Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης (), βρείτε για ποια τιμή του ισχύει: 5 0. Τ.Θ. 9. _09 Να κατασκευάσετε μια εξίσωση ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς 5 5 και 5 5 Τ.Θ. 0. _75 Δίνεται το τριώνυμο 5 α. Να δείξετε ότι το τριώνυμο έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες και β. Να προσδιορίσετε μια εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς. και Τ.Θ.. _86 Έστω, πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν: και α. Να αποδείξετε ότι:. β. Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς, και να τους βρείτε. Τ.Θ.. _409 Δίνεται ορθογώνιο με περίμετρο 0 cm και εμβαδό E 4 cm. α. Να κατασκευάσετε μία εξίσωση ου βαθμού που έχει ως ρίζες τα μήκη των πλευρών αυτού του ορθογωνίου. β. Να βρείτε τα μήκη των πλευρών του ορθογωνίου. Τ.Θ.. _47 Δίνεται η εξίσωση 0, με παράμετρο. α. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. β. Αν, είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, να βρείτε το ώστε. Τ.Θ. 4. 4_455 Δίνεται το τριώνυμο: ( ), 0 α. Να βρείτε τη διακρίνουσα του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε 0. β. Αν, είναι οι ρίζες του τριωνύμου, να εκφράσετε το άθροισμα S συναρτήσει του 0 και να βρείτε την τιμή του γινομένου P των ριζών. γ. Αν 0, τότε: i) το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ii) να αποδείξετε ότι, όπου, είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου. Τ.Θ. 5. 4_4558 Δίνεται το τριώνυμο: f() ( ) 0. α. Να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες θετικές για κάθε 0. Μ. Παπαγρηγοράκης

39 Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου 9 β. Αν οι ρίζες του τριωνύμου είναι τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου, τότε: i) να βρείτε το εμβαδόν του ορθογωνίου. ii) να βρείτε την περίμετρο του ορθογωνίου ως συνάρτηση του και να δείξετε ότι 4 για κάθε 0. iii) για την τιμή του που η περίμετρος γίνεται ελάχιστη, δηλαδή ίση με 4, τι συμπεραίνετε για το ορθογώνιο; Τ.Θ. 6. 4_4654 α. Δίνεται η διτετράγωνη εξίσωση Να δείξετε ότι η εξίσωση αυτή έχει τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες, τις οποίες και να προσδιορίσετε. β. Γενικεύοντας το παράδειγμα του προηγούμενου ερωτήματος, θεωρούμε τη διτετράγωνη εξίσωση: 4 0 με παραμέτρους,,. Να δείξετε ότι: Αν 0, 0 και 4 0, τότε η εξίσωση Τ.Θ Δίνεται η εξίσωση: α 5α 0, με παράμετρο α 0. έχει τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες. 5 α) Να αποδείξετε ότι αν α, τότε η εξίσωση έχει ρίζες, που είναι αντίστροφοι πραγματικοί αριθμοί. β) Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης, όταν α. γ) Να λύσετε την εξίσωση: 5 0 Τ.Θ α) Να λύσετε την εξίσωση: 4 0 (). β) Δίνονται οι ομόσημοι αριθμοί α, β για τους οποίους ισχύει: α αβ 4β 0. i) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός α β είναι λύση της εξίσωσης (). ii) Να αιτιολογήσετε γιατί ο α είναι τετραπλάσιος του β. Τ.Θ λ λ λ, λir{0}. Δίνεται το τριώνυμο α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λir{0}. β) Αν, είναι οι ρίζες του τριωνύμου, να εκφράσετε το άθροισμα S συναρτήσει του λ 0 και να βρείτε την τιμή του γινομένου P των ριζών. γ) Αν λ 0, το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. δ) Για κάθε λ 0, αν, είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου, να αποδείξετε ότι. Τ.Θ λ λ λ, λir{0}. Δίνεται το τριώνυμο α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λir{0}. β) Αν, είναι οι ρίζες του τριωνύμου, να εκφράσετε το άθροισμα S συναρτήσει του λ 0 και να βρείτε την τιμή του γινομένου P των ριζών

40 40 Επιλογές από την Τράπεζα Θεμάτων γ) Αν λ 0, το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. δ) Αν 0 λ και, είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου, τότε να συγκρίνεται τους αριθμούς και. Τ.Θ Δίνεται η εξίσωση: λ6 0 () με παράμετρο λir. α) Να δείξετε ότι, για κάθε τιμή του λ, η εξίσωση () έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. β) Υποθέτουμε τώρα ότι μία από τις ρίζες της εξίσωσης () είναι ο αριθμός ρ. i) Να δείξετε ότι ο αριθμός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης λ6 0 ii) Να δείξετε ότι : ρ 0 και ότι ο αριθμός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης 6 λ 0. Τ.Θ α) Δίνεται η διτετράγωνη εξίσωση: Να δείξετε ότι η εξίσωση αυτή έχει δύο μόνο πραγματικές ρίζες, τις οποίες και να προσδιορίσετε. β) Γενικεύοντας το παράδειγμα του προηγούμενου ερωτήματος, θεωρούμε τη διτετράγωνη εξίσωση: 4 β γ 0 () με παραμέτρους β,γir. Να δείξετε ότι: Αν γ 0 τότε: i) ii) β 4γ 0. η εξίσωση () έχει δύο μόνο διαφορετικές πραγματικές ρίζες. Τ.Θ Δίνεται η εξίσωση: 5λ 0, με παράμετρο λir. α) Να αποδείξετε ότι, για κάθε λir, η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. (Μονάδες 7) β) Αν, είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε: i) Να προσδιορίσετε τις τιμές του λir, για τις οποίες ισχύει: ii) Για λ, να βρείτε την τιμή της παράστασης: A Τ.Θ Οι πλευρές, ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι οι ρίζες της εξίσωσης: 4λ 60, με λ(0,4) λ α) Να βρείτε: i) την περίμετρο Π του ορθογωνίου συναρτήσει του λ. ii) το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου. β) Να αποδείξετε ότι Π 6, για κάθε λ(0,4). γ) Για ποια τιμή του λ η περίμετρος Π του ορθογωνίου γίνεται ελάχιστη, δηλαδή ίση με 6; Τ.Θ Δίνεται η εξίσωση: λ 0, με παράμετρο λ. α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες, διαφορετικές μεταξύ τους. β) Να δείξετε ότι:. γ) Αν για τις ρίζες, ισχύει επιπλέον:, τότε να δείξετε ότι: 4 και να προσδιορίσετε τις ρίζες, και την τιμή του λ. Μ. Παπαγρηγοράκης

41 Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου 4 Τ.Θ Στο διπλανό σχήμα το ABΓΔ είναι τετράγωνο πλευράς ΑΒ και το Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο της διαγωνίου ΑΓ. Έστω Ε το συνολικό εμβαδόν των σκιασμένων τετραγώνων του σχήματος. α) Να αποδείξετε ότι Ε 6 9 με (0,). β) Να αποδείξετε ότι 9 E για κάθε (0,). γ) Για ποια θέση του Μ πάνω στην ΑΓ το συνολικό εμβαδόν των σκιασμένων τετραγώνων του σχήματος γίνεται ελάχιστο, δηλαδή ίσο με 9 ; Τ.Θ Τα σπίτια τεσσάρων μαθητών, της Άννας, του Βαγγέλη, του Γιώργου και της Δήμητρας βρίσκονται πάνω σε ένα ευθύγραμμο δρόμο, ο οποίος ξεκινάει από το σχολείο τους. Οι αποστάσεις των τεσσάρων σπιτιών από το σχολείο, s, A sa sb s B, s Γ και s Δ αντίστοιχα, ικανοποιούν τις σχέσεις: sa sβ, sγ και sδ sα sδ sβ 4 Στον παρακάτω άξονα, το σχολείο βρίσκεται στο σημείο O και τα σημεία A,B παριστάνουν τις θέσεις των σπιτιών της Άννας και του Βαγγέλη αντίστοιχα. α) Να τοποθετήσετε πάνω στον άξονα τα σημεία Γ και Δ, που παριστάνουν τις θέσεις των σπιτιών του Γιώργου και της Δήμητρας. β) Αν επιπλέον, για τις τιμές των αποστάσεων s, A s B σε km ισχύει ότι sα sβ,4 και sa sb 0,45 τότε: i) Να κατασκευάσετε μία εξίσωση ου βαθμού που να έχει ρίζες τους αριθμούς s, A s B. ii) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις s, A s B, s Γ και s Δ. Τ.Θ α α α 0, με παράμετρο α 0. Δίνεται η εξίσωση: α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι: Δ α β) Να αποδείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι: ρ γ) Να βρεθούν οι τιμές του α ώστε: ρ ρ.. α και ρ. α Τ.Θ α) Να λύσετε τις εξισώσεις () και (). β) Ένας μαθητής παρατήρησε ότι οι ρίζες της εξίσωσης () είναι οι αντίστροφοι των ριζών της εξίσωσης () και ισχυρίστηκε ότι το ίδιο θα ισχύει για οποιοδήποτε ζευγάρι εξισώσεων της μορφής γ β α 0 (4), με αγ 0. Αποδείξτε τον ισχυρισμό του μαθητή, δείχνοντας ότι: Αν ο αριθμός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης () και αγ 0, τότε i) ρ 0 και α β γ 0 () και ii) ο ρ επαληθεύει την εξίσωση (4)

42 4 Επιλογές από την Τράπεζα Θεμάτων 4. Ανισώσεις ου Βαθμού Τ.Θ. 50. _99 Αν ο πραγματικός αριθμός ικανοποιεί τη σχέση:, να δείξετε ότι η τιμή της παράστασης: K είναι αριθμός ανεξάρτητος του. 4 Τ.Θ. 5. _09 α. Να λύσετε την ανίσωση 5. β. Να βρείτε τους αριθμούς που απέχουν από το 5 απόσταση μικρότερη του. γ. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των (α) και (β). Τ.Θ. 5. _06 α. Να βρείτε για ποιες πραγματικές τιμές του y ισχύει: y. β. Αν,y είναι τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου, με και y 4, τότε να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή του εμβαδού E του ορθογωνίου. Τ.Θ. 5. _05 α. Να λύσετε την ανίσωση 4. β. Αν α -, να γράψετε την παράσταση A 4 χωρίς απόλυτες τιμές. Τ.Θ. 54. _75 i) Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις και να παραστήσετε τις λύσεις τους στον άξονα των πραγματικών αριθμών: 5 και α. Να βρείτε τις ακέραιες τιμές του για τις οποίες συναληθεύουν οι παραπάνω ανισώσεις. Τ.Θ _890 0, με παράμετρο. Δίνεται η εξίσωση α. Να βρείτε τις τιμές του, ώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. β. Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του ώστε για τις άνισες ρίζες, της εξίσωσης να ισχύει η σχέση: 0. Τ.Θ _08 0 Δίνεται η εξίσωση με παράμετρο 0. i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές και άνισες, τις οποίες στη συνέχεια να βρείτε. ii) Αν και είναι οι δύο ρίζες της (), να προσδιορίσετε τις τιμές του, για τις οποίες ισχύει. Τ.Θ _87 Δίνεται ένας πραγματικός αριθμός που ικανοποιεί τη σχέση: d,5 9. Να δείξετε ότι: Τ.Θ _485 Δίνεται η εξίσωση 0 με, πραγματικούς αριθμούς. Αν η παραπάνω εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες για τις οποίες ισχύει 4, τότε: α. Να βρείτε τις δυνατές τιμές του. β. Να αποδείξετε ότι 4. Μ. Παπαγρηγοράκης

43 Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου 4 γ. Δίνεται επιπλέον η εξίσωση 0 Να εξετάσετε για ποια από τις τιμές του που βρήκατε στο (α) ερώτημα, η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες. Τ.Θ _4946 α. Να λύσετε την ανίσωση 5. β. Να απεικονίσετε το σύνολο των λύσεων της ανίσωσης αυτής πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών και να ερμηνεύσετε το αποτέλεσμα, με βάση τη γεωμετρική σημασία της παράστασης. γ. Να βρείτε όλους τους ακέραιους αριθμούς που ικανοποιούν την ανίσωση 5. δ. Να βρείτε το πλήθος των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν την ανίσωση 5. Τ.Θ _495 α. Θεωρούμε την εξίσωση i) Να βρείτε για ποιες τιμές του η εξίσωση ii), με παράμετρο. έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. Να βρείτε την τιμή του ώστε η εξίσωση να έχει διπλή ρίζα, την οποία και να προσδιορίσετε. β. Δίνεται το τριώνυμο f(),. i) Να αποδείξετε ότι f(), για κάθε. ii) Να λύσετε την ανίσωση f(). Τ.Θ. 6. 4_76 Δίνεται το τριώνυμο: 6 7, όπου α. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες το τριώνυμο έχει πραγματικές ρίζες. β. Να δείξετε ότι, για κάθε με 7 6, το τριώνυμο έχει δύο άνισες ομόσημες ρίζες. Ποιο είναι τότε το πρόσημο των ριζών; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. γ. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η εξίσωση πραγματικές ρίζες. δ. Έχει η εξίσωση για 0 τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες; Τ.Θ. 6. 4_779 Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί και για τους οποίους ισχύει η ανίσωση: α. Να αποδείξετε ότι το είναι μεταξύ των,. 6 7 έχει τέσσερις διαφορετικές 0 β. Αν επιπλέον 4, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας είτε, γεωμετρικά είτε αλγεβρικά Τ.Θ. 6. 4_844 α. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει 4. β. Θεωρούμε πραγματικό αριθμό που η απόστασή του από το 4 στον άξονα των πραγματικών αριθμών είναι μικρότερη του 4. i) Να αποδείξετε ότι η απόσταση του τριπλασίου του αριθμού αυτού από το 4 είναι μεγαλύτερη του και μικρότερη του 4. ii) Να βρείτε μεταξύ ποιων τιμών περιέχεται η τιμή της απόστασης του από το

44 44 Επιλογές από την Τράπεζα Θεμάτων 4. Ανισώσεις ου Βαθμού Τ.Θ. 64. _490 α. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες: 0 β. Να εξετάσετε αν οι αριθμοί και είναι λύσεις της ανίσωσης: 0 Τ.Θ. 65. _78 Δίνεται πραγματικός αριθμός για τον οποίο ισχύει d,. Να δείξετε ότι: α. β. 4 0 Τ.Θ. 66. _97 α. Να λύσετε την ανίσωση: 4 0 β. Αν α, β δυο αριθμοί που είναι λύσεις της παραπάνω ανίσωσης, να αποδείξετε ότι ο αριθμός 6 είναι 9 επίσης λύση της ανίσωσης. Τ.Θ. 67. _544 Να γράψετε χωρίς απόλυτες τιμές την παράσταση: Τ.Θ. 68. _80 Δίνεται το τριώνυμο f 9, B α. Να λύσετε την ανίσωση f 0 και να παραστήσετε το σύνολο των λύσεων της στον άξονα των πραγματικών αριθμών. β. Να ελέγξετε αν ο αριθμός είναι λύση του ερωτήματος (α). Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. Τ.Θ _874 Δίνεται η εξίσωση: ( ) λ+5=0 (), με παράμετρο λ. α. Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. β. Αν η εξίσωση έχει ρίζες τους αριθμούς,και d(, ) είναι η απόσταση των, στον άξονα των πραγματικών αριθμών, να βρείτε για ποιες τιμές του λ ισχύει: d, 4. Τ.Θ _44 Δίνονται οι ανισώσεις: και 8 0 α. Να δείξετε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για, 4. β. Αν οι αριθμοί και ανήκουν στο σύνολο των κοινών λύσεων των δυο ανισώσεων, να δείξετε ότι και ο αριθμός είναι κοινή τους λύση. Τ.Θ. 7. 4_7 Δίνονται οι ανισώσεις και 0. α. Να δείξετε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για,. β. Αν οι αριθμοί και ανήκουν στο σύνολο των κοινών λύσεων των δυο ανισώσεων, να δείξετε ότι,. Μ. Παπαγρηγοράκης

45 Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου 45 Τ.Θ. 7. 4_6 α. Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου 5 6 για τις διάφορες τιμές του. 0 4 β. Δίνεται η εξίσωση με παράμετρο. i) Να αποδείξετε ότι, για κάθε,,, η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες. ii) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες οι ρίζες της είναι ομόσημοι αριθμοί. Τ.Θ. 7. 4_454 α. Να λύσετε την ανίσωση: στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. β. Δίνεται ένας πραγματικός αριθμός με 0. i) Να βάλετε στη σειρά, από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο και να τοποθετήσετε πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών, τους αριθμούς: 0,,,. ii) Να κάνετε το ίδιο για τους αριθμούς:,,. iii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα:. Τ.Θ _ Δίνεται η εξίσωση, με παράμετρο. α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε. β. Για ποια τιμή του η εξίσωση έχει δυο ρίζες ίσες; γ. Να αποδείξετε ότι η παράσταση A αντίστοιχα, έχει νόημα πραγματικού αριθμού για κάθε πραγματικό αριθμό. Τ.Θ _4680 Δίνεται η εξίσωση: 0, όπου S,P το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης S P με παράμετρο α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε β. Για ποια τιμή του η εξίσωση έχει δύο ρίζες ίσες; γ. Αν, είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης Τ.Θ _468 Δίνεται η εξίσωση: 0 με παράμετρο α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε β. Για ποια τιμή του η εξίσωση έχει δύο ρίζες ίσες; 0d, τότε να βρείτε για ποιες τιμές του ισχύει, γ. Αν και, είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποιες τιμές του ισχύει d,. d, Τ.Θ _468 Δίνεται η εξίσωση: 0 με παράμετρο α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε 06-07

46 46 Επιλογές από την Τράπεζα Θεμάτων β. Για ποια τιμή του η εξίσωση () έχει δύο ρίζες ίσες; γ. Να βρείτε το, ώστε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Τ.Θ _489 Δίνεται το τριώνυμο f() με α. Να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε. β. Για ποια τιμή του το τριώνυμο έχει δύο ρίζες ίσες; γ. Αν και, είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου με i) Nα δείξετε ότι. f() να είναι το σύνολο., τότε: ii) Να διατάξετε από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο τους αριθμούς f, f, f Τ.Θ _486 Δίνεται η εξίσωση 0 με παράμετρο. α. Να βρείτε για ποιες τιμές του η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές και άνισες.. β. Να αποδείξετε ότι αν ο αριθμός είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε και ο αριθμός είναι επίσης ρίζα της εξίσωσης. γ. Για, να αποδείξετε ότι οι ρίζες, της εξίσωσης είναι αριθμοί θετικοί και ότι Τ.Θ _4859 Θεωρούμε το τριώνυμο f() 4 με παράμετρο α. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιμή του, το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές και άνισες. β. Οι ρίζες του τριωνύμου είναι ομόσημες ή ετερόσημες; γ. Αν, οι ρίζες του τριωνύμου και, β δύο πραγματικοί ώστε να ισχύει:, να προσδιορίσετε το πρόσημο του γινομένου f( ) f( ). Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Τ.Θ. 8. 4_5 Δίνεται το τριώνυμο: 8 α. Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού. β Αν, είναι η τιμή της παράστασης: 8 μηδέν, θετικός ή αρνητικός αριθμός; 4444 γ. Αν ισχύει 4 4, τι μπορείτε να πείτε για το πρόσημο της τιμής της παράστασης: 8; Τ.Θ. 8. 4_485 Δίνεται το τριώνυμο, 0,με ρίζες τους αριθμούς και. α. Αποδείξετε ότι: και. β. Αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι το τριώνυμο παίρνει θετικές τιμές για κάθε (, ),τότε: i) Να αποδείξετε ότι 0. ii) Να λύσετε την ανίσωση 0. Μ. Παπαγρηγοράκης

47 Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου 47 Τ.Θ. 8. 4_5884 Δίνεται το τριώνυμο f 6, με. α. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες το τριώνυμο έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες. β. Αν, τότε: i) Να δείξετε ότι το τριώνυμο έχει δύο άνισες θετικές ρίζες. ii) Αν, με είναι οι δύο ρίζες του τριωνύμου και, είναι δύο αριθμοί με 0 και, να προσδιορίσετε το πρόσημο του γινομένου f f. Τ.Θ _5885 i) Να λύσετε τις εξισώσεις και Τ.Θ _66 Οι πλευρές, ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι οι ρίζες της εξίσωσης:, με 0, 0 α. Να βρείτε: i) την περίμετρο του ορθογωνίου. ii) το εμβαδόν του ορθογωνίου συναρτήσει του. β. Να αποδείξετε ότι, για κάθε 0,. γ. Για ποια τιμή του το εμβαδόν του ορθογωνίου γίνεται μέγιστο, δηλαδή ίσο με ; Τ.Θ _67 α. Να λύσετε την ανίσωση: β. Να βρείτε το πρόσημο του αριθμού K 5 6 και να αιτιολογήσετε το συλλογισμό σας γ. Αν 6, 6, να βρείτε το πρόσημο της παράστασης Τ.Θ _7684 Να κατασκευάσετε ένα τριώνυμο της μορφής ανίσωσης και να έχει θετική τιμή, για κάθε 0. Τ.Θ _7958 α. Να λύσετε την ανίσωση: β. Δίνονται δύο αριθμοί, i) Να δείξετε ότι το είναι μεταξύ των, το οποίο να έχει ρίζες δύο από τις ακέραιες λύσεις της οι οποίοι είναι λύσεις της ανίσωσης και ικανοποιούν επιπλέον τη σχέση: ii) Να δείξετε ότι:. Τ.Θ _8445 α. Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου,. β. Αν για πραγματικούς αριθμούς, διαφορετικούς του μηδενός με για τους οποίους ισχύει 0, να αποδείξετε ότι

48 48 Επιλογές από την Τράπεζα Θεμάτων 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Τ.Θ Δίνεται η εξίσωση: β (β 4) 0, () με παράμετρο βιr. α) Να δείξετε ότι η εξίσωση () έχει ρίζες τις: β και β β) Αν, είναι οι ρίζες της (), να εξετάσετε αν οι αριθμοί, β, με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Τ.Θ Δίνεται η αριθμητική πρόοδος α ν με α και α 9.Να βρείτε το μικρότερο θετικό ακέραιο ν, ώστε να ισχύει αν 0. Τ.Θ Σε αριθμητική πρόοδο (α ν ) ισχύουν: α4 α9 5 και α 4. Να βρείτε το θετικό ακέραιο ν, ώστε αν ν. Τ.Θ Σε αριθμητική πρόοδο (α ν ) με διαφορά ω 4, ισχύει: α6 α 40. Πόσους πρώτους όρους της προόδου πρέπει να προσθέσουμε ώστε το άθροισμά τους να είναι ίσο με το μηδέν; Τ.Θ Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι κ α και α κ, κ ακέραιος με κ. α) Να αποδείξετε ότι η διαφορά ω της προόδου είναι αριθμός περιττός. β) Αν επιπλέον ο πρώτος όρος της είναι α, τότε να εξετάσετε αν ο αριθμός 07 είναι όρος της προόδου. Τ.Θ Οι αριθμοί: 5,, 4, με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. α) Να βρείτε τις δυνατές τιμές του αριθμού. β) Αν και ο αριθμός 5 είναι ο 4 ος όρος της προόδου, να βρείτε το άθροισμα S α5 α 6... α4. Τ.Θ Σε μια αριθμητική πρόοδο α ν, ο ος όρος είναι α 8 και ο 8 ος όρος είναι α8. α) Να αποδείξετε ότι ο ος όρος της αριθμητικής προόδου είναι α και η διαφορά της ω. β) Να υπολογίσετε τον ο όρο της. γ) Να υπολογίσετε το άθροισμα: S α α α... α Τ.Θ Δίνεται αριθμητική πρόοδος α ν με α 0 και α0 6. Εξετάστε αν υπάρχουν διαδοχικοί όροι και y της παραπάνω προόδου α ν y, ώστε να ισχύει:. Τ.Θ Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος α, όπου ν *. ν Αν οι τρεις πρώτοι όροι της προόδου είναι: α,, α, όπου, τότε, α 4 α) Να βρεθεί ο α ν όρος και να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει όρος της προόδου που να ισούται με 04. β) να υπολογιστεί το άθροισμα S α α α 5... α5. Μ. Παπαγρηγοράκης

49 Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Τ.Θ Να βρεθεί ο αριθμός ώστε οι αριθμοί 4,, να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής και γεωμετρικής προόδου. Τ.Θ Δίνεται η εξίσωση: 5ββ 0 (), με παράμετρο β 0. Αν, είναι οι ρίζες της (), να εξετάσετε αν οι αριθμοί, β, με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου Τ.Θ Οι αριθμοί κ, κ και 7κ 4, κ είναι, με τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου α) Να αποδείξετε ότι κ 4 και να βρείτε το λόγο λ της προόδου. β) i) Να εκφράσετε το ο όρο, τον 5 ο και τον 4 ο όρο της παραπάνω γεωμετρικής προόδου ως συνάρτηση του α ii) Να αποδείξετε ότι α α5 4(α α 4) Τ.Θ Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με μήκη πλευρών α,β και εμβαδόν Ε, τέτοια ώστε οι αριθμοί α, Ε, β, με τη σειρά που δίνονται να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. α) Να αποδείξετε ότι Ε. (Μονάδες 0) β) Αν αβ 0 τότε να κατασκευάσετε μια εξίσωση ου βαθμού με ρίζες τα μήκη α,β. και να βρείτε τα α,β Τ.Θ Δίνεται γεωμετρική πρόοδος α ν με λόγο λ για την οποία ισχύουν τα ακόλουθα: α 4, α 5 5 και λ 0. α) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία ν ν αντίστροφο του λόγου της α. β με βν αποτελεί επίσης γεωμετρική πρόοδο με λόγο τον α β) Αν S 0 και S 0 είναι τα αθροίσματα των δέκα πρώτων όρων των ακολουθιών ν ν α και ν α. β αντίστοιχα, ν να αποδειχθεί ότι S 0 0 S. 9 Τ.Θ Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν βακτήρια. Μετά από ώρα υπάρχουν 0400 βακτήρια, μετά από ώρες 500 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα. α) Πόσα βακτήρια θα υπάρχουν μετά από 6 ώρες; β) Τη χρονική στιγμή όμως που τα βακτήρια ήταν 00, ο οργανισμός παρουσίασε ξαφνική επιδείνωση. Ο αριθμός των βακτηρίων άρχισε πάλι να αυξάνεται ώστε κάθε μια ώρα να τριπλασιάζεται. Το φαινόμενο αυτό διήρκεσε για 5 ώρες. Συμβολίζουμε με β ν το πλήθος των βακτηρίων ν ώρες μετά από την στιγμή της επιδείνωσης (ν 5). i) Να δείξετε ότι η ακολουθία β ν είναι γεωμετρική πρόοδος, και να βρείτε τον πρώτο όρο και το λόγο της. ii) iii) Να εκφράσετε το πλήθος β ν των βακτηρίων συναρτήσει του ν. Πόσα βακτήρια θα υπάρχουν στον οργανισμό ώρες μετά από την στιγμή της επιδείνωσης; 06-07

50 50 Επιλογές από την Τράπεζα Θεμάτων 6. Η έννοια της συνάρτησης Τ.Θ. 05. ΑΣΚΗΣΗ , Δίνεται η συνάρτηση f, με: f, 0 α) Να γράψετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f σε μορφή διαστήματος. β) Να υπολογίσετε τις τιμές f(), f() και f(5) και να λύσετε την εξίσωση f 5. Τ.Θ Η απόσταση y (σε χιλιόμετρα) ενός αυτοκινήτου από μια πόλη Α, μετά από λεπτά, δίνεται από τη σχέση: y5 0,8 α) Ποια θα είναι η απόσταση του αυτοκινήτου από την πόλη Α μετά από 5 λεπτά; β) Πόσα λεπτά θα έχει κινηθεί το αυτοκίνητο, όταν θα απέχει 75 χιλιόμετρα από την πόλη Α; Τ.Θ ο Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ Α 90 με κάθετες πλευρές που έχουν μήκη,y τέτοια, ώστε: y 0. α) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ συναρτήσει του δίνεται από τον τύπο:, (0,0). E() 0 β) 5 Να αποδείξετε ότι E() για κάθε (0,0). γ) Για ποια τιμή του (0,0) το εμβαδόν E() γίνεται μέγιστο; Τι παρατηρείτε τότε για το τρίγωνο ΑΒΓ; Τ.Θ Για τους πραγματικούς αριθμούς α,βιr ισχύει: α Η απόσταση του αριθμού β από τον αριθμό είναι μικρότερη του. α) Να αποδειχθεί ότι α. β) Να αποδειχθεί ότι β α. γ) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση 4 4β πραγματικών αριθμών. f β έχει πεδίο ορισμού όλο το σύνολο ΙR των Τ.Θ Δίνεται συνάρτηση g(), η οποία έχει πεδίο ορισμού το ΙR{,}. κ λ α) Να βρείτε τις τιμές των κ και λ. β) Για κ & λ, απλοποιήστε τον τύπο της g και να δείξετε ότι g(α ) g(α), όταν α(,)(,) Τ.Θ Δίνεται η εξίσωση: λλ 0 με παράμετρο λir α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ της εξίσωσης αποδείξτε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λir β) Για ποια τιμή του λ η εξίσωση () έχει δύο ρίζες ίσες; γ) Να βρείτε το λ, ώστε η συνάρτηση f() λ λ να έχει πεδίο ορισμού το IR. Μ. Παπαγρηγοράκης

51 Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου 5 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Τ.Θ Δίνεται η συνάρτηση f, με f. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f καθώς και τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες και y y. Τ.Θ Δείξτε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g έχουν μοναδικό κοινό σημείο. Τ.Θ f Δίνονται οι συναρτήσεις: και g λ λ, IR και λ παράμετρος με λ 0. α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις C και f C g έχουν για κάθε τιμή του λ ένα τουλάχιστον κοινό σημείο. β) Για ποια τιμή της παραμέτρου λ οι C και f C g έχουν ένα μόνο κοινό σημείο; Ποιο είναι το σημείο αυτό; γ) Αν λ και, ώστε να ισχύει:. Τ.Θ f α α Δίνονται οι συναρτήσεις και είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων των f g α με αir. C και C g, να βρεθεί η παράμετρος λ α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο (,) για κάθε τιμή του α. β) Αν οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέμνονται σε σημείο με τετμημένη, τότε: i) Να βρείτε την τιμή του α. ii) Για την τιμή του α που βρήκατε, υπάρχει άλλο σημείο τομής των γραφικών παραστάσεων των f και g; γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του α οι γραφικές παραστάσεις των f και g έχουν δύο σημεία τομής. Τ.Θ Δίνεται η συνάρτηση f α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f και να δείξετε ότι για κάθε A ισχύει: f. β) Για A, να λύσετε την εξίσωση: Τ.Θ f 4 α f 4f 5 0 Δίνονται οι συναρτήσεις: και g α 5, με αir. Αν ισχύει ότι f g Α) να αποδείξετε ότι α και να λύσετε την εξίσωση: f g Β) να λύσετε την ανίσωση: f g και την εξίσωση: f g f g Τ.Θ α τότε: Δίνεται η συνάρτηση: f() 4 α) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού α, ώστε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f να είναι το IR. β) Αν είναι γνωστό ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο A0,, τότε: i) Να αποδείξετε ότι α και να λύσετε την εξίσωση f()

52 5 Επιλογές από την Τράπεζα Θεμάτων Τ.Θ Θεωρούμε τις συναρτήσεις f() και g() α, με IR και αir. α) Για α, να προσδιορίσετεε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g. β) Να βρείτε για ποιες τιμές του α οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g τέμνονται σεε δύο σημεία. γ) Για α, να εξετάσετε αν οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεωνν f και g είναι ομόσημες ή ετερόσημες. ε Τ.Θ Δίνονται οι συναρτήσεις f() ( ) 4 και g() ) με IR. α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξονα. β) Να δείξετε ότι για κάθε IR η γραφική παράσταση της συνάρτησης g βρίσκεται πάνω από τον άξονα. γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g.. Τ.Θ. 0. Στο διπλανό της συνάρτησης g. Με τη βοήθεια τουυ σχήματος, να βρείτε: α) Τις τιμές του για τις οποίες β) Τις τιμές f(), f(0), f(). γ) Τις τιμές του, για τις οποίεςς η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g. δ) Τις τιμές του, για τις οποίεςς η παράστασηη A νόημα πραγματικού αριθμού. Τ.Θ.. Δίνεται η συν σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f: IRIR και νάρτηση f α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της τ f και να αποδειχθεί ότι f β) Να γίνει η γραφική παράσταση της f και να βρεθούν τα σημεία τομήςς της με τους άξονες και y y. γ) Να λύσετε την ανίσωση f 0. Τ.Θ α α Δίνεται η συνάρτηση f, όπου αιr. α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της τ f. β) Να αποδειχθεί ό ότι f ισχύει f α για κάθε που ανήκει στο πεδίο ορισμού της f. γ) Να βρεθεί η τιμή του α αν η γραφική γ παράσταση της f διέρχεται από το σημείο (,). δ) Να βρεθούν (αν υπάρχουν) τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες και y y. f έχει,, Μ. Παπαγρηγοράκης

53 Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου 5 6. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f() α β Τ.Θ f α β, όπου α,β πραγματικοί αριθμοί. Δίνεται η συνάρτηση α) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από τα σημεία Α(,6), Β(,4) να βρείτε τις τιμές των α,β. β) Αν α και β 5, να προσδιορίσετε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τους άξονες και y y. Τ.Θ f α β Δίνεται η συνάρτηση, με α,βιr, για την οποία ισχύει: f0 5 και α) Να δείξετε ότι α και β 5. f. β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες και y y. γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f. Τ.Θ f Δίνονται οι συναρτήσεις και g, ΙR. α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f, g τέμνονται σε τρία σημεία τα οποία και να βρείτε. β) Αν Α, Ο, Β είναι τα σημεία τομής των παραπάνω γραφικών παραστάσεων, όπου O(0,0), να αποδείξτε ότι Α, Β είναι συμμετρικά ως προς το Ο. Τ.Θ Δίνεται η συνάρτηση f, με f() 6 α) Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού A της συνάρτησης f. β) Να αποδείξετε ότι f(), για κάθε A. γ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f για 0. Τ.Θ Δίνεται η συνάρτηση f, με f() 9 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. β) Αν Α και Β είναι τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τους άξονες και y y αντίστοιχα, να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που ορίζεται από τα Α και Β. Τ.Θ Για την κάλυψη, με τετράγωνα πλακάκια, μέρους ενός τοίχου, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε πλακάκια τύπου Α με πλευρά d cm ή πλακάκια τύπου Β με πλευρά (d ) cm. α) Να βρείτε, ως συνάρτηση του d, το εμβαδόν που καλύπτει κάθε πλακάκι τύπου Α και κάθε πλακάκι τύπου Β. β) Αν η επιφάνεια μπορεί να καλυφθεί είτε με 00 πλακάκια τύπου Α είτε με 8 τύπου Β, να βρείτε: i) Τη διάσταση που έχει το πλακάκι κάθε τύπου. ii) Το εμβαδόν της επιφάνειας που καλύπτουν

54 54 Επιλογές από την Τράπεζα Θεμάτων Τ.Θ Για την τύπωση επαγγελματικής κάρτας επιλέγεται τετράγωνο χαρτόνι πλευράς cm 5 0 στο οποίο η περιοχή τύπωσης περιβάλλεται από περιθώρια cm στο πάνω και στο κάτω μέρος της και cm δεξιά και αριστερά (όπως στο σχήμα). α) Να δείξετε ότι το εμβαδόν Ε της περιοχής τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων εκφράζεται από τη συνάρτηση: E 4 β) Να βρεθεί η τιμή του ώστε το εμβαδόν της περιοχής τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων να είναι 5 cm. γ) Να βρεθούν οι τιμές που μπορεί να πάρει η πλευρά του τετραγώνου, αν η περιοχή τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων έχει εμβαδόν τουλάχιστον 4 Τ.Θ Για δεδομένο λir, θεωρούμε τη συνάρτηση f, με cm. f λ λ, IR. α) Να δείξετε ότι, για οποιαδήποτε τιμή του λ, η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο A(0,). β) Για λ, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f. γ) Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα στο σημείο B(,0), να βρείτε την τιμή του λ και να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα και σε άλλο σημείο. δ) Για λ, να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται ολόκληρη πάνω από τον άξονα. Τ.Θ , αν 0 Δίνεται η συνάρτηση f, με f, αν 0 α) Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης C f της f με τον άξονα y y. β) i) Να χαράξετε τη C f και την ευθεία y, και στη συνέχεια να εκτιμήσετε τις συντεταγμένες των σημείων τομής τους. ii) Nα εξετάσετε αν τα σημεία αυτά είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα y y. γ) i) Για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού α, η ευθεία y α τέμνει τη C f σε δυο σημεία; ii) Για τις τιμές του α που βρήκατε στο ερώτημα (γi), να προσδιορίσετε αλγεβρικά τα σημεία τομής της C με f την ευθεία y α και να εξετάσετε αν ισχύουν τα συμπεράσματα του ερωτήματος (βii). Τ.Θ Δίνονται οι συναρτήσεις f και g, με f και g() 4, IR. α) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g. β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f είναι κάτω από εκείνη της g. γ) Να αποδείξετε ότι κάθε ευθεία της μορφής y α, Δ, βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της f. Τ.Θ f, IR. Δίνεται η συνάρτηση α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση C f της συνάρτησης f δεν τέμνει τον άξονα. β) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων της C f που βρίσκονται κάτω από την ευθεία y. γ) Έστω M(,y) σημείο της C f. Αν για την τετμημένη του σημείου Μ ισχύει:, τότε να δείξετε ότι το σημείο αυτό βρίσκεται κάτω από την ευθεία y. Μ. Παπαγρηγοράκης

55 Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου 555 Τ.Θ & Μία μπάλα που εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω, αφού διαγράψει μια τροχιά, μετά από κάποιο χρόνο θα πέσει στο έδαφος. Το ύψος h (σε m) από το έδαφος, στο οποίο βρίσκεται η μπάλα κάθε χρονική στιγμή t (σε sec) ) κατά την κίνησή της προσδιορίζεται από τη συνάρτηση h(t) 5t 0t,05. α) Να βρείτε τις τιμές h(0), h() ) και h() και να εξηγήσετε τι παριστάνουν στο πλαίσιο του προβλήματος. β) Να βρείτε μετά από πόσο χρόνο η μπάλα θα πέσει στο έδαφος. γ) Να αποδείξετε ότι h(t) 5, (t). δ) Υπάρχει χρονική στιγμή t (σε( sec) που τοο ύψος h της μπάλας από τοο έδαφος θα είναι πάνω από 6,05 m.; Τ.Θ Αν ένας κάτοικος μιας πόλης A καταναλώσει κυβικά νερού σε ένα χρόνο, το ποσό π που θα πρέπει να πληρώσει δίνεται 0,5 ανν 0 0 (σε ευρώ) από τη συνάρτηση: f(). 0,7 6 ανν 0 α) Να βρείτε πόσα ευρώ θα πληρώσει όποιος: α) δεν είχε καταναλώσει νερό. ν β) έχει καταναλώσει 0 κυβικά μέτρα νερού. γ) έχει καταναλώσει 50 κυβικά μέτρα νερού. β) Σε μια άλλη πόλη Β το ποσό (σε ευρώ) πουυ αντιστοιχεί σε κατανάλωση κυβικώνν μέτρων δίνεται από τον τύπο g() 0,6, για 0. Ένας κάτοικος της πόλης A και ένας κάτοικος της πόληςς B κατανάλωσαν τα ίδια κυβικά νερού για το 0. Αν ο κάτοικος της πόλης A πλήρωσε μεγαλύτερο λογαριασμό απόό τον κάτοικο της πόλης B, να αποδείξετε ότι ο κάθε ένας από τους δυο κατανάλωσε περισσότερα από 60 κυβικά μέτρα νερού. Τ.Θ Στο παρακάτω σχήμα, δίνονται οι γραφικές παραστάσεις C και C f g των συναρτήσεων f και g αντίστοιχα, μεε f() και g(), IR. α) Να εκτιμήσετε τις συντεταγμένες των σημείων τομής των C f και C g. β) Επιβεβαιώσετε αλγεβρικά την απάντησή στο ερώτημα α). γ) Με την βοήθεια των γραφικών παραστάσεων, βρείτε για ποιες τιμές του τ η C βρίσκεται πάνω από την f Cg δ) Με την βοήθεια του ερωτήματος γ), να βρείτε για ποιες τιμές του έχει νόημα πραγματικού αριθμού η παράσταση K. Τ.Θ Στο διπλανό σχήμα το ABΓΔ είναι τετράγωνο πλευράς ΑΒ και το Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο της διαγωνίου ΑΓ. Έστω Ε το συνολικό εμβαδόν των σκιασμένων τετραγώνων του τ σχήματος. α) Να αποδείξετε ότι Ε 6 9 με (0,). β) Να αποδείξετε ότι 9 E για κάθε (0, ). γ) Για ποια θέση του Μ πάνω στην ΑΓ το συνολικό εμβαδόν των σκιασμένων τετραγώνων του σχήματος γίνεται ελάχιστο, δηλαδή ίσο με 9 ; 06-07

56 56 Επιλογές από την Τράπεζα Θεμάτων Τ.Θ Ένα δημοτικό κολυμβητήριο έχει σχήμα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, με διαστάσεις 5 m και 5 m. Ο δήμος, για λόγους ασφαλείας, θέλει να κατασκευάσει γύρω από το κολυμβητήριο μια πλακοστρωμένη ζώνη με σταθερό πλάτος m ( 0), όπως φαίνεταιι στο παρακάτω σχήμα. α) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν της ζώνης δίνεται από τη σχέση: E 4 80, 0 β) Να βρεθεί το πλάτος της ζώνης, αν αυτήή έχει εμβαδό E 500 m. γ) Ποιο μπορεί να είναι το πλάτος της ζώνης,, αν αυτή έχει εμβαδόν μικρότερο από 500 την απάντησή σας. m ; Να αι ιτιολογήσετε Τ.Θ Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει περίμετρο Π 40 cm. Αν cm είναι τοο μήκος του παραλληλογράμμου, τότε: α) Nα αποδείξετε ότι β) Nα αποδείξετε ότι το εμβαδόν E() του ορθογωνίου δίνεται από τη σχέση: E 0. γ) Nα αποδείξετε ότι ισχύει E 00, για κάθε (0,0). δ) Nα αποδείξετε ότι από όλα τα ορθογώνια με σταθερή περίμετρο 40 cm, εκείνο πουυ έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν είναι το τετράγωνο πλευράς 0 cm. Τ.Θ Μια μικρή εταιρεία πουλάει βιολογικό ελαιόλαδο ε στοο διαδίκτυο. Στο παραπάνω σχήμα, παρουσιάζεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης που περιγράφει τα έξοδα Κ() και τα έσοδα E() από την πώληση λίτρων λαδιού σε ένα μήνα. α) Να εκτιμήσετε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των δύο ευθειών και να ερμηνεύσετε τη σημασία του. β) Ποια είναι τα αρχικά (πάγια) έξοδα της εταιρείας; γ) Πόσα λίτρα ελαιόλαδο πρέπει να πουλήσει η εταιρεία για να μην έχει ζημιά δ) Να βρείτε τον τύπο των συναρτήσεων K() και E() και να επαληθεύσετε την απάντηση του ερωτήματος (γ). Τ.Θ Δίνονται οι συναρτήσεις f() 4 και g() 9 με πεδίο ορισμού το ΙR. α) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g με τον άξονα. β) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες σε κάποιο κ από τα σημεία (,0) και (,0). γ) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g δεν έχουν κοινόό σημείο πάνω σε κάποιον από τους άξονες. δ) Να βρείτε συνάρτηση h της οποίας η γραφική παράσταση είναι ευθεία, διέρχεται από το Α(0,) και τέμνει τη γραφική παράσταση της g σε σημείο του ημιάξονα Ο. Μ. Παπαγρηγοράκης

Α Λυκείου. Άλγεβρα Μίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά

Α Λυκείου. Άλγεβρα Μίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά Α Λυκείου Άλγεβρα 07-08 Μίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά Άλγεβρα Ταξη: Α Γενικού Λυκείου Άλγεβρα Έκδοση 707 Η συλλογή αυτή διανέμεται δωρεάν σε ψηφιακή μορφή μέσω διαδικτύου προορίζεται για σχολική χρήση και

Διαβάστε περισσότερα

Α ΛYKEIOY ΆΛΓΕΒΡΑ Άλγεβρα. Μίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά

Α ΛYKEIOY ΆΛΓΕΒΡΑ Άλγεβρα. Μίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά Άλγεβρα Α ΛYKEIOY ΆΛΓΕΒΡΑ 09-00 Μίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά Ταξη: Α Γενικού Λυκείου Άλγεβρα Έκδοση 907 Η συλλογή αυτή διανέμεται δωρεάν σε ψηφιακή μορφή μέσω διαδικτύου προορίζεται για σχολική χρήση και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α.

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 6 3 α) Να λύσετε την εξίσωση : 3 β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : < α. ΘΕΜΑ α) Να λύσετε την ανίσωση : + < 7. β) Αν ο είναι λύση της ανίσωσης του

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος 013-014, Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω. ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και αβ + αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου 4 ΓΛΧ. Μ. Παπαγρηγοράκης Χανιά. Άλγεβρα 12.09

Α Λυκείου 4 ΓΛΧ. Μ. Παπαγρηγοράκης Χανιά. Άλγεβρα 12.09 Α Λυκείου ΓΛΧ Μ Παπαγρηγοράκης Χανιά Άλγεβρα 9 Ευχαριστώ το συνάδελφο Θανάση Νικολόπουλο από το Γυμνάσιο ΛΤ Βολιμών Ζακύνθου για τις εύστοχες παρατηρήσεις και τις διορθώσεις που έκανε στην αρχική έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο Μιχάλης (Μ) και γυναίκες:

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου

Άλγεβρα Α Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου Άλγεβρα Α Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Άλγεβρα Α Λυκείου Οι πράξεις των πραγματικών αριθμών και οι ιδιότητες τους Αν οι αριθμοί α,β είναι αντίστροφοι, να αποδείξετε ότι: 7 4 : 8 0 7 Να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ. Δύο ομάδες Ο, Ο παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ με ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3()

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3() ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ Ι Παπαγρηγοράκης http://usersschgr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0%. Να βρείτε: i. Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1-

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1- 3. Εξισώσεις ου Βαθμού 3. Η εξίσωση 3.3 Εξισώσεις ου Βαθμού Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α- Εξεταστέα ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός. 150 ασκήσεις επανάληψης. και. Θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός. 150 ασκήσεις επανάληψης. και. Θέματα εξετάσεων Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός Περιέχονται 50 συνδυαστικές ασκήσεις επανάληψης και θέματα εξετάσεων. Δεν συμπεριλαμβάνεται το κεφάλαιο των πιθανοτήτων, της γεωμετρικής προόδου, της μονοτονίας συνάρτησης,

Διαβάστε περισσότερα

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας . Δίνεται η εξίσωση, (). i) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. ii) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες. iii) Να βρεθεί ο

Διαβάστε περισσότερα

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α).

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α). 1.: Έννοια της Πιθανότητας Κεφάλαιο 1ο: Πιθανότητες ΑΣΚΗΣΗ 1 (_497) Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕ.Λ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου

ΓΕ.Λ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : 013-014 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς

Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς Μεθοδική Επανάληψη www.askisopolis.gr Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς Ε. Σύνολα i. Τι είναι το σύνολο; ii. Ποιοι είναι οι βασικοί τρόποι παράστασης συνόλων και τι γνωρίζετε γι αυτούς; iii. Πότε

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. x x x x β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 9). Να λυθούν οι εξισώσεις :

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 9). Να λυθούν οι εξισώσεις : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ). Να λυθούν οι εξισώσεις: α). + ( 3 ) 6 = 0 β). 4 ( 3 ) + 3 = 0 γ). + ( ) = 0 δ). 5 + 5 = 0 ε). 4( 3) + 5 + 6 6 = 0 στ).( + 3 ) ( 3 + ) ( 3 ) = 0 η). + (3 ) + (4 3 ) = 0

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις

Άλγεβρα Α Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις Άλγεβρα Α Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις Δημήτρης Πατσιμάς Στέλιος Μιχαήλογλου ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {,,, 4, 5, 6,7,8,9, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {,,4,6},

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις:

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ Στέλιιος Μιιχαήλογλου-Δημήτρης Πατσιιμάς Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. 14ο Λύκειο Περιστερίου

ΑΛΓΕΒΡΑ. 14ο Λύκειο Περιστερίου ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ 4ο Λύκειο Περιστερίου Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν ααννάά εεννόόττηητταα ΑΛΓΕΒΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν

Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς 868 936 064 073 080

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου. Επαναληπτικά θέματα από διαγωνίσματα ΟΕΦΕ Πραγματικοί αριθμοί

Άλγεβρα Α Λυκείου. Επαναληπτικά θέματα από διαγωνίσματα ΟΕΦΕ Πραγματικοί αριθμοί wwwaskisopolisgr Άλγεβρα Α Λυκείου Επαναληπτικά θέματα από διαγωνίσματα ΟΕΦΕ 006-08 Δίνεται ότι και y Πραγματικοί αριθμοί α) i Να βρεθούν τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται το ii Να βρεθούν τα όρια μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

B =, όπου ο x είναι πραγματικός αριθμός. x x α) Να αποδείξετε ότι για να ορίζονται ταυτόχρονα οι παραστάσεις Α, Β πρέπει: x 1 και x 0.

B =, όπου ο x είναι πραγματικός αριθμός. x x α) Να αποδείξετε ότι για να ορίζονται ταυτόχρονα οι παραστάσεις Α, Β πρέπει: x 1 και x 0. 1 Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 16. Επιλέγουμε μια μπάλα στην τύχη. Δίνονται τα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. 1 x < 4. (Μονάδες 9) 2. α) Να λύσετε την ανίσωση: β) Να λύσετε την ανίσωση: x (Μονάδες 9)

ΘΕΜΑ 2. 1 x < 4. (Μονάδες 9) 2. α) Να λύσετε την ανίσωση: β) Να λύσετε την ανίσωση: x (Μονάδες 9) α) Να λύσετε την ανίσωση: 1 x < 4. (Μονάδες 9) 2 β) Να λύσετε την ανίσωση: x+ 5 3. (Μονάδες 9) γ) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων των ερωτημάτων (α) και (β) με χρήση του άξονα των πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

(α > β και γ > δ)=> αγ > βδ. τύπο S. άνισες. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f( χ )= y j x »/ Ç + 3. παρακάτω προτάσεις: ΜΟΝΑΔΕΣ 2x5=10

(α > β και γ > δ)=> αγ > βδ. τύπο S. άνισες. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f( χ )= y j x »/ Ç + 3. παρακάτω προτάσεις: ΜΟΝΑΔΕΣ 2x5=10 ΓΕ.Λ. ΛΙΒΑΔΕΙΑΣ ΖΗΤΗΜΑ A ΑΊ. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 05 ΛΙΒΑΔΕΙΑ 4 ΜΑΪΟΥ 05 ΤΑΞΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) κάθε μία

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

1. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 2. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 3. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: 4. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων:

1. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 2. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 3. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: 4. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ. Nα λυθούν οι ανισώσεις α) 4 β) 4. Nα λυθούν οι ανισώσεις ( )( ) α) + > - (+) β). Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: ( ) ( ) 8 4 8 και

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα

Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα Ερωτήσεις Θεωρίας Θέματα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Α. Θεωρία - Αποδείξεις.. Σελ. Β. Θεωρία-Ορισμοί. Σελ.16 Γ. Ερωτήσεις Σωστού Λάθους...

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = x2 5x + 6 x 3 S 2 P 2 0

f (x) = x2 5x + 6 x 3 S 2 P 2 0 Η ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΟ ΘΕΜΑ Β 1. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,... (αʹ) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4.

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4. ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. Δειγματικοί χώροι. Διαγράμματα Venn Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Κλασικός ορισμός πιθανότητας 4. Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων η Κατηγορία : Δειγματικοί χώροι ) Ρίχνουμε

Διαβάστε περισσότερα

x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z.

x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. ο A. Ταυτότητες, ιδιότητες δυνάμεων, διάταξη.1 Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 1. 15a x 15a y 5a x 5a y. a x a x a x a x 3 3 4 3 3 3 3. x 4xy 16 4 y

Διαβάστε περισσότερα

[ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 ο ΘΕΜΑ

[ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 ο ΘΕΜΑ [ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Από τους μαθητές ενός Λυκείου, το 5% συμμετέχει στη ομάδα, το 30% συμμετέχει στη θεατρική ομάδα ποδοσφαίρου και το 15%

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο f ( ), να δείξετε ότι αβ+=0.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 4 ο ΘΕΜΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 4 ο ΘΕΜΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 4 ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Σε μια ομάδα που αποτελείται από 7 άνδρες και 3 γυναίκες, 4 από τους άνδρες και από τις γυναίκες παίζουν σκάκι. Επιλέγουμε τυχαία ένα από τα άτομα αυτά.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ. Ε.1 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής

Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ. Ε.1 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ Ε. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής i) Αν Α= {0,5,8,3,89}, τότε το Α. ii) Αν Α = {, {,5}, 8, 0}, τότε το Α. iii) Τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89. Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις Σ Λ 2. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει η ισότητα: A ( ) ( ') ( ' )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89. Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις Σ Λ 2. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει η ισότητα: A ( ) ( ') ( ' ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89 Ον/μο:.. Α Λυκείου Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις 6-0- Θέμα ο : Α.. Να δώσετε τον ορισμό της εξίσωσης ου βαθμού (μον.) Α.. Αν, ρίζες της εξίσωσης 0, να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ τράπεζαθεμάτων θέμαδεύτεροκαιτέταρτο Επιμέλεια: ΕμμανουήλΚ.Σκαλίδης ΑντώνηςΚ.Αποστόλου ΚόμβοςΑτσιποπούλου014-15 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Ένα κουτί περιέχει 5 άσπρες,

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου Ορισμένες σελίδες του βιβλίου 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 2ο. οι πράξεις και οι ιδιότητές τους

Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 2ο. οι πράξεις και οι ιδιότητές τους οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Μερικές ακόμη ταυτότητες (επιπλέον από τις αξιοσημείωτες που βρίσκονται στο σχολικό βιβλίο) ) Διαφορά δυνάμεων με ίδιο εκθέτη: ειδικά αν ο εκθέτης ν είναι άρτιος υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

1, 2, Β 3, 2,λ. 7, να 2 βρείτε την τιμή του k. x x y y Α)Να βρείτε τις τιμές των x,y για τις οποίες ορίζεται η παράσταση. Β)Να αποδείξετε ότι Α=-1

1, 2, Β 3, 2,λ. 7, να 2 βρείτε την τιμή του k. x x y y Α)Να βρείτε τις τιμές των x,y για τις οποίες ορίζεται η παράσταση. Β)Να αποδείξετε ότι Α=-1 ,, Β,,λ. Δίνονται τα σημεία Β.Αν τα Α,Β είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα y y να βρείτε το λ. Β. Βρείτε τις τιμές του λ, ώστε το σημείο Β να βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο του ορθοκανονικού συστήματος.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1.ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Σε ένα σχολείο με 00 μαθητές, οι 90 έχουν ποδήλατο, 36 έχουν «παπί», ενώ 84 άτομα δεν έχουν ούτε ποδήλατο ούτε παπί. Διαλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 2 ο : Ο ι Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ί Α ρ ι θ μ ο ί. 2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους. 2.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 2 ο : Ο ι Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ί Α ρ ι θ μ ο ί. 2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους. 2.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών Άλγεβρα Α Λυκείου, Κεφάλαιο ο ΘΕΩΡΙΑ-ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ο : Ο ι Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ί Α ρ ι θ μ ο ί. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές

Διαβάστε περισσότερα

Οι εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα

Οι εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα Οι εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα Ιούνιος 04 . Έννοια της πιθανότητας GI_A_ALG 497 Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται µε ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης;

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; =. β) Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1.Δίνεται η εξίσωση f x x 4x. Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1.Δίνεται η εξίσωση f x x 4x. Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται η εξίσωση fx x 4x Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η εξίσωση f x 0 έχει: α) ρίζα το β) δύο ρίζες πραγματικές και άνισες γ) ρίζες ετερόσημες δ) Αν 3,

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις θεμάτων Άλγεβρας Τράπεζας θεμάτων ανά ενότητα. 2ο θέμα

Εκφωνήσεις θεμάτων Άλγεβρας Τράπεζας θεμάτων ανά ενότητα. 2ο θέμα .497 Πιιθαννότητεεςς ο θέμα Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο Μιχάλης (Μ) και γυναίκες: η Ειρήνη (Ε)

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο Γενικό Επαναληπτικό Διαγώνισμα ΘΕΜΑ ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα

Διαβάστε περισσότερα

B= πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β ii) B = πραγματοποιούνται ταυτόχρονα τα ενδεχόμενα Β και Γ iii)

B= πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β ii) B = πραγματοποιούνται ταυτόχρονα τα ενδεχόμενα Β και Γ iii) Πιθανότητες.3096. α) Αν Α,Β,Γ είναι τρία ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης που αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα, να διατυπώσετε λεκτικά τα παρακάτω ενδεχόμενα: i) A B ii)

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Επιμέλεια Σταύρος Κόλλιας

Τράπεζα Θεμάτων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Επιμέλεια Σταύρος Κόλλιας Τράπεζα Θεμάτων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια Σταύρος Κόλλιας Έκδοση. Θέμα 7958: Το τελευταίο κλάσμα (στην ανισότητα) από 3 έγινε 3. ΘΕΜΑ - 474 Κόλλιας Σταύρος - Κόρινθος Θεωρούμε την ακολουθία ( α ν ) των

Διαβάστε περισσότερα

Ανισώσεις. Κώστας Γλυκός. Τράπεζα θεμάτων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. εκδόσεις / 1 0 /

Ανισώσεις. Κώστας Γλυκός. Τράπεζα θεμάτων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. εκδόσεις / 1 0 / Ανισώσεις Κώστας Γλυκός Τράπεζα θεμάτων ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 5 / 1 0 / 0 1 6 εκδόσεις τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-300.88.88

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις:

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις: 1 Παρατηρήσεις Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις: Απόλυτες τιμές:.504(δεν χρειάζεται το α

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ~ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ~ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 000-014 ΘΕΜΑ 4 ο 00 Έστω Α,Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β). Δίνεται ακόμα η συνάρτηση: f(x) = (x - P(AB)) 3 - (x - P(AB)) 3, x R. α. Να δείξετε ότι P(AB) P(AB). Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Πιθανότητες Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 7 / 0 / 0 6 Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις και τεχνικές σε 8 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο ΓΛΥΚΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ τηλ.

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της x x x x β Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν γ Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο x x f ( x), να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

Β Περιφερειακό Γυμνάσιο Λευκωσίας Σχολική Χρονιά: Επαναληπτικές ασκήσεις Β Γυμνασίου

Β Περιφερειακό Γυμνάσιο Λευκωσίας Σχολική Χρονιά: Επαναληπτικές ασκήσεις Β Γυμνασίου Β Περιφερειακό Γυμνάσιο Λευκωσίας Σχολική Χρονιά: 014-015 Επαναληπτικές ασκήσεις Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Πραγματικοί αριθμοί 1. Να υπολογίσετε τις πιο κάτω παραστάσεις: α) 5 = β) (-10) - = γ) + 3 δ) ( 7

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παρόν τεύχος δημιουργήθηκε για να διευκολύνει τους μαθητές στην ΆΜΕΣΗ κατανόηση των απαιτήσεων των ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΏΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ της Α Λυκείου δίνοντας τους τις εκφωνήσεις μαζί με τις λύσεις (ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Άσκηση 1102 Δίνονται δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και οι πιθανότητες α) Να υπολογίσετε την (Μονάδες 9) β) i) Να υπολογίσετε με διάγραμμα Venn και να γράψετε στη γλώσσα των συνόλων το ενδεχόμενο:

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ()=, g()= +3,h()= -3 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

ικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 4 ο ΓΛΧ M. Ι. Παπαγρηγοράκης Χανιά [Μαθηματικά] Θετικών Σπουδών Α ΜΕΡΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ

ικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 4 ο ΓΛΧ M. Ι. Παπαγρηγοράκης Χανιά [Μαθηματικά] Θετικών Σπουδών Α ΜΕΡΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 4 ο ΓΛΧ 5-6 M. Ι. Παπαγρηγοράκης Χανιά [Μαθηματικά] Θετικών Σπουδών Α ΜΕΡΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ταξη: Γ Γενικού Λυκείου Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Μέρος Α: Συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

7. α) Να λύσετε την ανίσωση x 5 <4. β) Αν κάποιος αριθμός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι

7. α) Να λύσετε την ανίσωση x 5 <4. β) Αν κάποιος αριθμός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήματος (α). x 1. Δίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού 108 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθµό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ο Γυμναστής ενός λυκείου προκειμένου να στελεχώσει την ομάδα μπάσκετ του λυκείου ψάχνει στην τύχη μεταξύ των μαθητών να βρει τρεις κοντούς (Κ) και τρεις ψηλούς (Ψ). Να

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ www.askisopolis.gr 3 4 .5381 Ένα κουτί περιέχει άσπρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 0, οι κόκκινες είναι 7, ενώ όλες οι μπάλες μαζί είναι

Διαβάστε περισσότερα

Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου

Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 0-0 Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου ΣΥΝΟΛΑ. Σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις:

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ Στέλιιος Μιιχαήλογλου-Δημήτρης Πατσιιμάς Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

α) Αν Α, Β, Γ είναι τρία ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης, να διατυπώσετε λεκτικά τα παρακάτω ενδεχόμενα:

α) Αν Α, Β, Γ είναι τρία ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης, να διατυπώσετε λεκτικά τα παρακάτω ενδεχόμενα: ΘΕΜΑ 2 (479) α) Αν Α, Β, Γ είναι τρία ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης, να διατυπώσετε λεκτικά τα παρακάτω ενδεχόμενα: i) A B ii) B Γ iii) (A B) Γ iv) A (Μονάδες 12) β) Στο παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις

ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις ΘΕΜΑ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις (, x R 3 f ( x) = x και g x) = x α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g τέμνονται σε τρία σημεία τα οποία και να βρείτε. (Μονάδες 13) β) Αν Α, Ο,

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα.

Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα. Μαθηματικά B Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα. Άλγεβρα. Κεφάλαιο 1 ο. 1. Να υπολογιστούν οι παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις : 1 7 1 7 1 1 ) - 1 4 : ) -1 1 : 1 4 10 9 6. Να λυθούν οι εξισώσεις:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα