FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH"

Transcript

1 FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011

2 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE N PREMENNÝCH Za základný priestor považujeme teda n-rozmerný euklidovský metrický) priestor, s n vzdialenost ou metrikou) d x,ȳ) = x i y i ) 2, kde x = x 1,x 2,...,x n ), ȳ = y 1,y 2,...,y n ). i=1 Namiesto E n ale použijeme obvyklé značenie R n. Definícia 1.. Funkciu, ktorej definičným oborom D f ) je R n alebo jej podmnožina) a oborom hodnôt H f ) je R 1 alebo jej podmnožina) nazývame reálnou funkciou n reálnych premenných. Reálna funkcia n reálych premenných prirad uje teda n-ticiam reálnych čísel x = x 1,x 2,...,x n ) reálne čísla y - funkčné hodnoty. Píšeme y = f x) alebo podrobnejšie y = f x 1,x 2,...,x n ). Niekedy vyslovíme, kvôli prehl adnosti a zrozumitel nosti definície a vety pre n = 2 Poznámka 1. Funkciu dvoch premenných budeme značit z = f x,y) a funkciu troch premenných ako u = f x,y,z). Definícia 2.. Grafom funkcie f x 1,x 2,...,x n ) definovanej na M f ) je množina všetkých bodov x 1,x 2,...,x n,x n+1 ), pre ktoré platí: x 1,x 2,...,x n ) M a x n+1 = f x 1,x 2,...,x n ). Poznámka 2. Pri zostrojovaní grafu funkcie dvoch premenných je výhodné zostrojit priesečnice grafu funkcie rovinami rovnobežnými so súradnicovými rovinami, alebo rovinami prechádzajúcimi niektorou zo súradnicových osí priesečnice grafu funkcie rovinami rovnobežnými so súradnicovými rovinami - rezy rezy rovnobežné s rovinou xy - vrstevnice Príklad 1. : a) f x,y) = 5 x y - graf je rovina b) f x,y) = x 2 + y graf je rotačný paraboloid 2

3 a) f x,y) = 1 x 2 y 2 - graf je polgul a b) f x,y) = x 2 y 2 - graf je hyperbolický paraboloid c) f x,y) = x 2 + y 2 - graf je kuželová plocha d) f x,y) = 1 y 2 - graf je parabolická valcová plocha 2. LIMITA A SPOJITOSŤ FUNKCIE N PREMENNÝCH Definícia.. Hovoríme, že funkcia f má v hromadnom bode ā svojho definičného oboru D f ) itu b, ak Ob) Oā) x Oā) D f ), x ā : f x) Ob). Označenie: f x) = b alebo x ā f x 1,x 2,...,x n ) = b. x 1 a... 1 x n a n ε > 0 δ > 0 x D f ) s vlastnost ou 0 < d x,ā) < δ : f x) b < ε Pod symbolom x budeme rozumiet x i pre všetky i = 1,2,...,n. Poznámka. Podobne ako v prípade ity reálnej funkcie jednej reálnej premennej aj pre funkie z R n do R platia vety o ite súčtu, súčinu funkcií, o ite zloženej funkcie atd.

4 Príklad 2. x,y) 0,0) x + y)sin 1 x sin 1 y =? Je to ita typu 0.ohraničená funkcia, teda výsledok je 0. Dokážeme to z definície: Nech ε > 0 je l ubovol né číslo, potrebujeme nájst takú δ, že ak platí 0 < d x, 0) < δ, čo v našom prípade znamená x 2 + y 2 < δ, platí aj x + y)sin 1 x sin 1 y 0 < ε. Lenže platí, že a < a 2 + b 2, preto x < δ a y < δ. Ďalej platí x + y)sin 1 x sin 1 y 0 x + y x + y < 2δ. Teda stačí si zvolit δ tak, aby platila nerovnost 2δ ε, t.j. δ ε 2. Ak hromadným bododm je bod, tak ita je definovaná nasledovne: Definícia 4.. Nech funkcia f je definovaná na množine M, ktorá obsahuje body l ubovol ne vzdialené od bodu 0 = 0,0,...,0). Číslo b sa nazýva itou funkcie f pre x práve vtedy, ak ε > 0 K > 0 x M s vlastnost ou d x, 0) > K : f x) b < ε. Definícia 5.. Nech f : M R, M R n. Hovoríme, že funkcia f je spojitá v bode ā M, ak ε > 0 δ > 0 x M s vlastnost ou 0 < d x,ā) < δ : f x) f ā) < ε. Poznámka 4. Ak v definícii bod ā je hromadným bodom množiny M, tak definícia je ekvivalentná s tým, že x ā f x) = f ā). S nasledujúcou vetou sme sa stretli v predchádzajúcej časti, uvedieme ju bez dôkazu. Veta 1. Heineho definícia ity) Nech ā je hromadný bod množiny M D f ). Funkcia f má v bode ā itu číslo b práve vtedy, ak pre každú postupnost bodov { x n } n=1 z množiny M, ktorá konverguje k bodu ā pre n, pričom x n ā,n = 1,2,..., je f x n ) = b. n Príklad. Zistit spojitost funkcie f x,y) = { x y x+y x,y) 0,0) 0 x,y) = 0,0) v bode 0,0)! Ked že bod 0, 0) je hromadným bodom definičného oboru, stačí zistit, či existuje. Využijeme pritom predchádzajúcu vetu. x,y) 0,0) x y x+y Vezmime dve postupnosti: {x n,y n )} n=1 = { 1 n, 1 n)} n=1 a {x n,y n)} n=1 = { 2 n, 1 n)} n=1. Tieto postupnosti spĺňajú podmienku, že konvergujú k bodu 0,0) pre n. Ale po dosadení dostaneme, že f x n,y n )) = n 0 n 2 n = 0 n f x n,y n)) = n 1 n n = 1. Z čoho vlastne vidíme, že nie pre každú postupnost je splnená tá podmienka z vety, teda ita neexistuje, preto tá funkcia nie je spojitá v bode 0,0). To, že ita existuje resp. neexistuje možo ukázat aj inak: 4

5 Príklad 4. Zistit spojitost funkcie f x,y) = Teraz existenciu ity bode 0,0), tak x,y) 0,0) x 2 y 2 x,y) 0,0) x 4 +4y 4 x 2 y 2 x 4 +4y 4 { x 2 y 2 x 4 +4y 4 x,y) 0,0) 0 x,y) = 0,0) zistíme inak. Keby tá funkcia bola spojitá v by musela byt 0. Ale to znamená, že ked sa blížime k bodu 0,0) hociakým spôsobom, pozdĺž hociakej krivky, tak výsledok musí byt vždy rovnaký, a to 0. Ked však k 0,0) ideme popri priamke napr. y = x resp. y = 2x, dostaneme }! x,y) 0,0) x 2 y 2 x 4 + 4y 4 = x 0 x 4 7x 4 = 1 7 resp. x,y) 0,0) x 2 y 2 x 4 + 4y 4 = x 0 4x 4 67x 4 = Teda tá ita neexistuje, t.j. funkcia nie je spojitá v 0,0). Poznámka 5. Ak itu v bode 0,0) skúmame pozdĺž priamok y = mx a výsledok závisí od m, tak môžeme konštatovat, že ita neexistuje: x,y) 0,0) x 2 y 2 x 4 + 4y 4 = x 0 m 2 x 4 + 4m 4 )x 4 = m2 + 4m 4. Definícia 6.. Nech funkcia f x,y) je definovaná na množine M R 2 a nech x 0,y 0 ) je hromadným bodom množiny M. Nech pre každé x x 0 také, že x,y) M existuje f x,y) = gx) a nech táto y y0 funkcia má v bode x 0 itu, potom gx) = x x 0 x x0 ) f x,y) y y 0 sa nazýva dvojnásobná ita funkcie f v bode x 0,y 0 ) podl a y a x. Analogicky sa definuje dvojnásobná ita funkcie f v bode x 0,y 0 ) podl a x a y. ) ) Označme: l 12 = f x,y),l 21 = f x,y), l = x x0 y y 0 y y0 x x 0 x x0 f x,y), y y 0 x y Príklad 5. V príklade. sme ukázali, že x+y x,y) 0,0) ity existujú a nerovnajú sa l 12 = x 0 y 0 ) x y x+y = 1, l 21 = y 0 x 0 neexistuje, ale dvojná- Príklad 6. V príklade 4. sme ukázali, že x,y) 0,0) sobné ity existujú a sa aj rovnajú l 12 = x 0 y 0 ) x 2 y 2 = 0, l x 4 +4y 4 21 = y 0 x 0 ) x y x+y = 1 neexistuje, ale dvojnásobné x 2 y 2 x 4 +4y 4 ) x 2 y 2 = 0 x 4 +4y 4 5

6 Príklad 7. V príklade 2. sme ukázali, že x + y)sin 1 x sin 1 y = 0. Ale dvojná- x,y) 0,0) sobné ity l 12 = x 0 y 0 x + y)sin 1 x sin 1 y u 0 u + k)sin 1 u sin 1 k ) ), l 21 = x + y)sin 1 y 0 x 0 x sin 1 y neexistujú, lebo, kde k 0 je konštanta, neexistuje. Veta 2. veta o dvojnásobných itách) Nech existuje x x0 f x,y) = b a nech existujú vnútorné ity obidvoch dvojnásobných ít.. y y 0 Potom existujú aj dvojnásobné ity x x0 rovnajú b. Dôkaz y y 0 f x,y) Poznámka 6. Ak existuje l,l 12,l 21 potom l = l 12 = l 21. ) ) a f x,y) y y0 x x 0 Ak existuje l 12,l 21 ale l 12 l 21, potom ita funkcie f v bode x 0,y 0 ) neexistuje. a obidve sa! Z existencie l 12,l 21 a z ich rovnosti l 12 = l 21 nevyplýva existencia ity funkcie f v bode x 0,y 0 ).! Z existencie ity funkcie f v bode x 0,y 0 ) nevyplýva existencia dvojnásobých ít l 12,l 21. Definícia 7.. Hovoríme, že funkcia f, definovaná na množine M R n, je na tej množine rovnomerne spojitá, ak ε > 0 δ > 0 x,ȳ M s vlastnost ou d x,ȳ) < δ : f x) f ȳ) < ε. Veta. veta o spojitosti na kompakte) Funkcia f spojitá na uzavretej ohraničenej kompaktnej) množine M R n má tieto vlastnosti: 1. f je ohraničená na množine M 2. f má na množine M maximum a minimum. f je na množine M rovnomerne spojitá Dôkaz Príklad 8. : Zistite, či je funkcia f x,y) = x 2 + y 2 rovnomerne spojitá na množine M = { x,y) R 2 : x 2 + y 2 1 }! Ak áno dokážte to aj pomocou definície! Ked že množina M je uzavretá a ohraničená, t.j. kompaktná a funkcia f je spojitá na M, na základe vety je aj rovnomerne spojitá. 6

7 Dôkaz: ε > 0 δ > 0 1 x = x 1,y 1 ) M, 2 x = x 2,y 2 ) M s vlastnost ou 0 < d 1 x, 2 x) = x 1 x 2 ) 2 + y 1 y 2 ) 2 < δ, potom platí x1 2 + y2 1 x2 2 + y2 2 ) < ε. Teda x1 2 + y2 1 x2 2 + y2 2 ) = x2 1 x2 2 + y2 1 y2 2 x 1 x 2 x 1 + x 2 + y 1 y 2 y 1 + y 2 x 1 x 2 ) 2 + y 1 y 2 ) 2 x 1 + x 2 ) + x 1 x 2 ) 2 + y 1 y 2 ) 2 y 1 + y 2 ) < 4δ. Stačí si zvolit δ ε 4. Využili sme nerovnosti: x 1 x 2 = y 1 y 2, d alej ak x 2 + y 2 1, tak x 1 aj y 1) x 1 x 2 ) 2 x 1 x 2 ) 2 + y 1 y 2 ) 2, podobne pre. DIFERENCIÁLNY POČET FUNKCIÍ N PREMENNÝCH.1 DIFERENCOVATEL NOSŤ A DERIVÁCIE FUNKCIE Definícia 8.. Funkcia f : M R definovaná na množine M R n sa nazýva diferencovatel ná v bode ā = a 1,a 2,...,a n ) M, ktorý je hromadným bodom množiny M, ak existujú čísla A 1,A 2,...,A n a funkcia ε x) s vlastnost ou ε x) = 0 tak, že platí x ā Funkciu d f ā, x). n i=1 f x) f ā) = n A i x i a i ) + ε x)d x,ā). i=1 A i x i a i ) nazývame totálnym diferenciálom f x) v bode ā, označujeme ho Vektor so súradnicami A 1,A 2,...,A n nazveme gradientom funkcie f v bode ā, označujeme grad f ā). Ak vektor h = h 1,...,h n ) má zložky h i = x i a i,i = 1,...,n, tak totálny diferenciál možno písat v tvare d f ā, h) = n A i h i. i=1 Definícia 9.. Nech funkcia f : M R je definovaná na množine M R n a ā = a 1,a 2,...,a n ) je vnútorným bodom tejto množiny. Ak existuje f a 1,...,a i 1,x i,a i+1,...,a n ) f a 1,...,a i 1,a i,a i+1,...,a n ) x i a i x i a i hovoríme, že f má v bode ā parciálnu deriváciu podl a premennej x i, označujeme: x i ā) alebo f x i ā). 7

8 Ak označíme x 1 a 1 = h a x 2 a 2 = k, tak definíciu môžeme písat aj inak, uvedieme to pre funkciu f x,y) v bode a 1,a 2 ): x a f a 1 + h,,a 2 ) f a 1,a 2 ) 1,a 2 ) = h 0 h y a f a 1,,a 2 + k) f a 1,a 2 ) 1,a 2 ) = k 0 k Poznámka 7. Parciálne derivácie funkcie n premenných sú opät funkcie n premenných. Príklad 9. Zistite, či je funkcia f x,y) = x 2 + y 2 v bode ā = 1,2) diferencovatel ná a nájdite tam jej diferenciál. Parciálne derivácie sú x x) = 2x a teda x 1,2) = 2, y x) = 2y a teda y 1,2) = 4. Nech A 1 = 2 a A 2 = 4. Treba ešte nájst funkciu ε x) s vlastnost ou ε x) = εā) = 0 tak, aby platila rovnost x ā f x) f ā) = n A i x i a i ) + ε x)d x,ā), čo v našom prípade znamená, že i=1 ε x) = x2 + y ) 2x 1) + 4y 2)) = x2 2x y2 4y + 4 = x 1) 2 + y 2) x 2 1) 2 + y 2) 2 x 1) 2 + y 2) 2 Vidíme, že ε x) = 0, čím je dokázané, že naša funkcia je diferencovatel ná v x,y) 1,2) danom bode. Diferenciál je d f 1,2),x,y)) = 2x 1) + 4y 2). Aj pri funkcií viac premenných platí Lagrangeova veta, uvedieme ju bez dôkazu. Veta 4. Lagrangeova veta o prírastku funkcie) Nech funkcia f x 1,...,x n ) je definovaná na istom gul ovom okolí bodu ā = a 1,a 2,...,a n ) a nech na tom okolí má parciálnu deriváciu podl a každej svojej premennej. Nech x = x 1,...,x n ) je l ubovol ný bod toho okolia. Potom existujú v tom okolí také body P 1 = ξ 1,x 2,x,...,x n ), P 2 = a 1,ξ 2,x,...,x n ),..., P n = a 1,a 2,...,a n 1,ξ n ), že f x) f ā) = f x 1 P 1 )x 1 a 1 ) + f x 2 P 2 )x 2 a 2 ) + + f x n P n )x n a n ) a dp i,ā) < d x,ā), i = 1,...,n a body ξ i ležia medzi bodmi x i a a i. Z tejto vety bezprostredne vyplýva d alšia veta: Veta 5. veta o parciálnych deriváciach) Ak funkcia f x 1,...,x n ) má na otvorenej množine M ohraničené parciálne derivácie podl a svojich premenných, je na tej množine spojitá. Dôkaz: 8

9 Veta 6. nutné podmienky diferencovatel nosti) x i ā) = A i, kde A i je číslo z defi- Ak funkcia f je v bode ā diferencovatel ná, potom 1. je v tom bode spojitá, 2. existujú parciálne derivácie x i ā), i = 1,2,...,n a platí: nície diferencovatel nej funkcie. Dôkaz: Poznámka 8. Ak funkcia f je diferencovatel ná v bode ā, potom jej diferenciál má tvar: d f ā, x) = n i=1 ā) x i x i a i ) resp. d f ā, h) = n ā) x i=1 i h i, ) grad f ā) = x 1 ā), x 2 ā),..., x n ā) Veta 7. postačujúca podmienka diferencovatel nosti). Ak má funkcia f v nejakom okolí bodu ā parciálne derivácie podl a všetkých premenných a tieto parciálne derivácie sú spojité v bode ā, potom je funkcia f diferencovatel ná v bode ā. Dôkaz: Geometrický význam parciálnych derivácií a diferenciálu funkcie dvoch premenných: Nech je daná funkcia z = f x,y), x,y) M R 2. Jej grafom je plocha v R. Ďalej, uvažujme bod P = x 0,y 0,z 0 ) na tejto ploche. Rezom plochy z = f x,y) rovinou y = y 0 je krivka, označme gx) = f x,y 0 ). Ak počítam parciálnu deriváciu funkcie f x,y) podl a premennej x v bode P 0 = x 0,y 0 ), t.j. x x f x,y 0,y 0 ) = 0 ) f x 0,y 0 ) x x0 x x 0, dostaneme deriváciu funkcie gx) v bode x 0. Ale vieme, že derivácia funkcie jednej premennej v nejakom bode zadá smernicu dotyčnice ku krivke v tom bode. Teda pomocou parciálnej derivácie funkcie f x, y) podl a premennej x [resp. y] v bode 9

10 P 0 môžeme vypočítat smernicu dotyčnice ku kvivke plochy z = f x,y) v bode P, pričom tá dotyčinca leží v rovine rovnobežnej s rovinou xy [resp. yz] t.j. kolmej na os y [resp. x]). Smerové vektory týchto dotyčníc sú 1,0, f xx 0,y 0 )) a 1,0, f yx 0,y 0 )). Ak funkcia je diferncovatel ná v bode P, tak tieto dotyčnice ležia v rovine, ktorá je dotyková rovina plochy z = f x,y) v bode x 0,y 0,z 0 = f x 0,y 0 )), a má normálový vektor f xx 0,y 0 ), f yx 0,y 0 ), 1) a teda rovnica dotykovej roviny je z z 0 = f xx 0,y 0 )x x 0 ) + f yx 0,y 0 )y y 0 ). Ked si pozrieme definíciu.1, vidíme, že v okolí bodu P 0, vd aka podmienke x,y) x 0,y 0 ) εx,y) = 0 môžeme písat f x,y) f x 0,y 0 ) f xx 0,y 0 )x x 0 ) + f yx 0,y 0 )y y 0 ). Z poznámky.1 zase máme, že f x,y) f x 0,y 0 ) d f x 0,y 0 ),x,y)). To vlaste znamená, že čím bližšie je bod x,y) k bodu P 0 = x 0,y 0 ), tým bude menší rozdiel medzi diferecniálom a diferenciou f x,y) f x 0,y 0 ) a pre bod x,y) dost blízky k bodu P 0 bude sa diferencia rovnat približne diferenciálu. Geometricky to teda znamená, že v malom okolí bodu P 0 = x 0,y 0 ) graf funkcie f možno nahradit dotykovou rovinou plochy v bode P = x 0,y 0,y 0 ). 10

11 .2 PARCIÁLNE DERIVÁCIE ZLOŽENÝCH FUNKCIÍ, DERIVÁCIA V SMERE A PARCIÁLNE DERIVÁCIE VYŠŠÍCH RÁDOV Ak máme zloženú funkciu napr. uxy) = x 2 + y 2 ) x+y l ahko vypočítat., parciálne derivácie môžeme Ale, čo ak máme funkciu definovanú nasledovne: Je daná funkcia f t 1,t 2 ), pričom t 1 = x.siny a t 2 = x.cosy. Funkciu teda možno písat aj ako f t 1,t 2 ) = f xsiny,xcosy), ale to by sa dalo vyjadrit aj v tvare f t 1,t 2 ) = f xsiny,xcosy) = ux,y). Keby sme chceli počítat u x a u, narazili sme na taký problém, že nemáme konkrétnu funkciu čo by až tak vel mi nevadilo) a že aj v prvej aj v y druhej zložke máme premenné x,y. Veta 8. veta o parciálnych deriváciach zložených funkcií) Nech funkcie t i = ϕ i x 1,x 2,...,x n ),i = 1,...,m, sú diferencovatel né v bode ā = a 1,a 2,...,a n ). Nech ϕ i ā) = b i a funkcia f t 1,t 2,...,t m ) je diferencovatel ná v bode b = b 1,b 2,...,b m ). Potom je v bode ā diferencovatel ná aj funkcia ux 1,x 2,...,x n ) = f t 1,t 2,...,t m ) = f ϕ 1 x 1,x 2,...,x n ),...,ϕ m x 1,x 2,...,x n )) a pre jej derivácie v bode ā platí: u ā) = ϕ 1 ā),...,ϕ m ā)) = x k x k m b) ϕ i ā), pre k = 1,...,n. i=1 t i x k Ale touto metódou možno počítat aj prvý príklad, ak si uvedomujeme, že ux,y) = f t 1,t 2 ), kde t 1 = x 2 + y 2,t 2 = x + y a f t 1,t 2 ) = t t 2 1. Definícia 10.. Nech funkcia f : M R je definovaná na množine M R n, ā = a 1,a 2,...,a n ) M a ē je f ā +tē) f ā) jednotkový vektor so začiatkom v bode ā. Ak existuje ita hovoríme, t 0 + t že f má deriváciu v bode ā v smere ē, označujeme: ē ā). Geometrický význam derivácie v smere: Pomocou derivácie funkcie f x,y) v bode P 0 = x 0,y 0 ) a v smere ē môžeme vypočítat smernicu dotyčnice ku kvivke plochy z = f x,y) v bode P = x 0,y 0,z 0 ), kde tá krivka je rezom plochy rovinou, ktorá je kolmá na rovinu xy, rovnobežná s vektorom ē a obsahuje bod P. Poznámka 9. Pre n = 2: parciálna derivácia funkcie f x,y) podl a x v bode x 0,y 0 ) je derivácia v bode x 0,y 0 ) v smere ē = 1,0), parciálna derivácia funkcie f x,y) podl a y v bode x 0,y 0 ) je derivácia v bode x 0,y 0 ) v smere ē = 0,1). 11

12 Veta 9. veta o derivácii v smere) Ak funkcia f je diferencovatel ná v bode ā, potom v tomto bode existuje v každom smere derivácia a počíta sa to nasledovne: ) ē ā) = grad f ā)ē, pričom grad f ā) = x 1 ā),..., x n ā) a ē = 1. Dôkaz: Poznámka 10. Ak α i,i = 1,...,n sú uhly, ktorý zviera vektor ē s osami x i a funkcia f x 1,...,x n ) je diferencovatel ná v bode ā = a 1,...,a n ), potom n ē ā) = ā)cosα i. i=1 x i Ak α je uhol, ktorý zviera vektor ē s osou x a funkcia f x, y) je diferencovatel ná v bode x 0,y 0 ), potom ē x 0,y 0 ) = x x 0,y 0 )cosα + y x 0,y 0 )sinα. gradient funkcie f v bode ā charakterizuje smer a vel kost maximálneho rastu tejto funkcie v bode ā. A naozaj, lebo ā) = grad f ā)ē = grad f ā) ē cosϕ = grad f ā) cosϕ, pričom ϕ je ē uhol, ktorý zviera vektor gradientu a vektor ē, a najväčšiu hodnotu nadobúda vtedy ak cosϕ = 1. Definícia 11.. Nech funkcia f : M R je definovaná na množine M R n a má na tejto množine v bode ā derivácie: ā), ā),..., ā). Parciálne derivácie týchto derivácií v bode ā nazývame parciálne derivácie druhého rádu funkcie f podl a x i,x j v bode ā, označujeme: x 1 x 2 x n 2 f ā) alebo fx n x i x i,x j ā), pre i = j zvyčajne 2 f j xi 2 ā) alebo f n xi 2 ā). 12

13 Ak i j parciálne derivácie nazývame zmiešanými parciálnými deriváciami. Podobne sa definujú parciálne derivácie k-tého rádu. Veta 10. Youngova veta) Nech funkcia f : M R je definovaná na otvorenej množine M R n. Ak má táto funkcia také parciálne derivácie a x x i j, ktoré sú diferencovatel né v bode ā, tak potom nezávisí od poradia derivovania pri zmiešaných deriváciach druhého rádu, t.j. platí Dôkaz: 2 f ā) = 2 f ā). x j x i x i x j Definícia 12.. Hovoríme, že funkcia f x 1,...,x n ) je k-krát diferencovatel ná v bode ā, ak sú diferencovatel né všetky parciálne derivácie funkcie f x 1,...,x n ) rádu k 1-ého a ak všetky parciálne derivácie tejto funkcie, ktoré sú rádu nižšie ako k 1, sú diferencovatel né v istom okolí bodu ā. Poznámka 11. Ak funkcia je dvakrát diferencovatel ná, tak totálny diferenciál totálného diferenciálu, t.j. d [ d f x, h) ] x, h) sa rovná d [ d f x, h) ] x, h) = d [ f xx,y)h 1 + f yx,y)h 2 ] x, h) = x [ f x x,y)h 1 + f yx,y)h 2 ] h1 + + y [ f x x,y)h 1 + f yx,y)h 2 ] h2 = f xxx,y)h f xyx,y)h 1 h 2 + f yyx,y)h 2 2, pričom sme využili Youngovu vetu pre rovnost parciálnych derivácií Definícia f x y = 2 f y x. Ak funkcia f x 1,...,x n ) je k -krát diferencovatel ná v bode ā, potom výraz d k f ā, x) = [ x 1 a 1 ) ] k x n a n ) f ā) nazývame k -tym diferenciálom funkcie x 1 x n f x 1,...,x n ) v bode ā. Pritom pod symbolom, ktorý sme použili, rozumieme toto: použijeme vzorec pre k- tu mocninu výrazu v zátvorke a potom namiesto mocnín znakov x i berieme parciálne derivácie funkcie f x 1,...,x n ) v bode ā takého rádu, aká je mocnina. Mocniny čísel x i a i ) zostávajú mocninami. 1

14 . EXTRÉMY FUNKCIE VIAC PREMENNÝCH Definícia 14.. Nech funkcia y = f x 1,...,x n ) je definavaná na množine M. Hovoríme, že funkcia f má v bode ā M lokálne minimum lokálne maximum), ak existuje také okolie Oā) bodu ā, že pre každé x Oā) \ ā ) M je f x) f ā) f x) f ā)). Ak pre každé x ā platí ostrá nerovnost f x) > f ā) f x) < f ā)), tak hovoríme, že funkcia má v bode ā ostré lokálne minimum ostré lokálne maximum). Lokálne minimá a maximá sa nazývajú extrémy funkcie f. Veta 11. Nutná podmienka existencie lokálneho extrému) Ak má funkcia f v bode ā extrém a ak existujú všetky jej parciálne derivácie prvého rádu v bode ā, tak sa všetky rovnajú nule: ā) = 0,i = 1,...,n. x i Dôkaz: Definícia 15.. Bod, v ktorom uvažovaná funkcia má všetky parciálne derivácie prvého rádu nulové, sa nazýva stacionárnym bodom tej funkcie. Poznámka 12. Pri funkcii dvoch premenných to vlastne znamená, že v bode, kde je lokálny extrém, má graf tejto funkcie dotykovú rovinu rovnobežnú s rovinou xy. V stacionárnom bode nemusí mat ešte funkcia extrém Ak má funkcia extrém v nejakom bode, to ešte neznamená, že ten bod je aj stacionárnym bodom. Funkcia môže mat lokálny extrém len v tých bodoch, v ktorých sa všetky parciálne derivácie prvého rádu, ktoré existujú, rovnajú nule, alebo v ktorých žiadna parciálna derivácia neexistuje. Príklad 10. Zistite lokálne extrémy funkcie f x,y) = x 2 + y 2, ak existujú. Parciálne derivácie sú: x x) = 2x, x) = 2y, nutná podmienka je splnená v bode y 0,0), teda je to stacionárny bod. Pretože f 0,0) = 0 a f x,y) > 0 pre každý bod x,y) 0,0), má táto funkcia v bode 0,0) ostré lokálne minimum. Dotyková rovina v tomto bode je rovina xy. Príklad 11. Zistite lokálne extrémy funkcie f x,y) = xy, ak existujú. Parciálne derivácie sú: x x) = y, x) = x, stacionárny bod je teda bod 0,0). Táto y funkcia v tomto bode však extrém nemá, lebo nech si zvolíme akékol vek okolie bodu 0,0), vždy v ňom budú existovat body, v ktorých je tá funkcia kladná, a aj body, ) v ktorých je záporná. Napr. ak máme okolie O0,0) = δ,δ), tak pre bod A 1 = δ2, 2 δ, ) ktorý je z toho okolia platí f A 1 ) = δ2 4 > 0 ale pre bod A 2 = 2 δ, 2 δ, ktorý je z toho okolia platí f A 2 ) = δ2 4 < 0. Teda bod 0,0) nie je lokálnym extrémom. 14

15 Príklad 12. Zistite lokálne extrémy funkcie f x,y) = x 2 + y 2, ak existujú. Vieme, že bod 0,0) je bodom lokálneho minima, lebo f x,y) = x 2 + y 2 > 0 = f 0,0) pre body x,y) 0,0). Ale bod 0,0) nie je stacionárnym bodom, lebo parciálne derivácie v tomto bode neexistujú. Veta 12. Postačujúca podmienka existencie lokálneho extrému) Nech funkcia f : M R je v bode ā M dvakrát diferencovatel ná a nech bod ā je jej stacionárnym bodom. Potom pre funkciu f platí: a) ak druhý diferenciál d 2 f ā, x) je kladný pre každé x M, x ā tak má funkcia v bode ā ostré lokálne minimum, b) ak druhý diferenciál d 2 f ā, x) je záporný pre každé x M, x ā tak má funkcia v bode ā ostré lokálne maximum, c) ak existujú také body ȳ a z, že d 2 f ā,ȳ).d 2 f ā, z) < 0, tak funkcia nemá v bode ā lokálny extrém. Dôkaz: Poznámka 1. Táto veta udáva postačujúcu podmienku existencie extrému, ale ak ju máme prakticky využit, treba vediet metódu určovania znamienka 2. diferenciálu: Druhý diferenciál d 2 f ā, x) = ā)x i a i )x j a j ) je kvadratická forma premenných x i x j n i, j=1 x 1 a 1,x 2 a 2,...,x n a n a parciálne derivácie x i x j ā) sú koeficienty tejto kvadratickej formy, preto predchádzajúca veta sa dá písat aj nasledovne: a) ak d 2 f ā, x) je kladne definitná pre každé x M, x ā, tak f má v ā ostré lokálne minimum, b) ak d 2 f ā, x) je záporne definitná pre každé x M, x ā, tak f v ā ostré lokálne maximum, c) ak d 2 f ā, x) je indefinitná kvadratická forma, tak f nemá v ā lokálny extrém. Platí nasledujúca veta: Veta 1. Sylvestrova veta) Ak D k je determinant symetrickej matice zostavenej z koeficientov kvadratickej formy d 2 x 1 x 1 ā)... x 1 x ā) k f ā, x), t.j. D k ā) =..... pre k = 1,...,n tak kvadratická forma je: x k x 1 ā)... x k x ā) k a) kladne definitná práve vtedy, ak D k ā) > 0 pre k = 1,...,n, b) záporne definitná práve vtedy, ak D 1 ā) < 0, D 2 ā) > 0, D ā) < 0,..., 1) n D n ā) > 0. Ak k = n, tak determinant D n sa nazýva Hessian. Príklad 1. Nech f x,y) = x + y x y a) Zistite lokálne extrémy funkcie, ak existujú! b) Má funkcia f min. a max. na množine M = {x,y R 2 : 0 y 1 x,0 x 1)}? Funkcia je diferencovatel ná všade, existujú totiž parciálne derivácie v každom bode a sú spojité. Stacionárne body sú, ),, 1 ), 1 1, ), 1, 1 ), 15

16 lebo parciálne derivácie prvého rádu sú: f x = x 2 1 = 0 pre x = ± 1, f y = y 2 1 = 0 pre y = ± 1. Parciálne derivácie druhého rádu sú: f xx = 6x, f xy = 0, f yy = 6y a teda D 1 x,y) = 6x a D 2 x,y) = 6x 0 0 6y. ) ) 1 V bode, je lokálne minimum, lebo D 1, = 6 1 > 0 a ) D 2, = = 12 > 0. 1 V bode, 1 ) 1 neexistuje lokálny extrém, lebo D 1, 1 ) = 6 1 > 0 a 1 D 2, 1 ) 6 1 = 0 = 12 < 0. V bode 1, ) 1 neexistuje lokálny extrém, lebo D 1 1, ) 1 = 6 1 < 0 a D 2 1 ) 1 6 1, = = 12 < 0. V bode 1, 1 ) je lokálne maximum, lebo D 1 1, 1 ) = 6 1 < 0 a D 2 1, 1 ) 6 1 = = 12 > 0. Chceme ešte zistit minimum a maximum funkcie na množine M. To, že má táto funkcia na tejto množine najmenšiu a najväčšiu hodnotu vyplýva z 2. Weierstrassovej vety, totiž množina M je ohraničená a uzavretá, teda kompaktná. Minimum a maximum by mohli byt v tých bodoch, v ktorých sú lokálne extrémy zistené v predchádzajúcej časti, lenže tie body teraz do našej množiny nepatria. Okrem toho môžu byt tie extrémy už len na hranici tejto množiny, t.j. na stranách trojuholníka s vrcholmi v bodoch [0,0],[0,1],[1,0]. 1. Na úsečke s vrcholmi v bodoch [0,0],[0,1], t.j. v bodoch 0,y) pre y 0,1, funkcia f je funkcia s jednou premennou, ktorej extrémy l ahko možno nájst : gy) = f 0,y) = y y,y 0,1, g y) = y 2 1 = 0 pre y = ± 1, z čoho nám vyhovuje iba y = 1, v ktorom má funkcia g lokálne minimum. Minimálna hodnota je ) 1 f 0, = 2. V krajných bodoch úsečky je maximum: f 0,0) = f 0,1) = Na úsečke s vrcholmi v bodoch [0,0],[1,0], t.j. v bodoch x,0) pre x 0,1, funkcia f je teraz funkciou premennej x: hx) = f x,0) = x x,x 0,1, h x) = x 2 1 = 0 pre x = 1,v ktorom má funkcia 16

17 ) 1 h lokálne minimum. Minimálna hodnota je f,0 = 2 opät maximum: f 0,0) = f 1,0) = 0.. Na poslednej strane trojuholníka funkcia f vyzerá nasledovne:. V krajných bodoch je lx) = f x,1 x) = x x,x 0,1, l x) = 6x = 0 pre x = 1 a má tam lokálne minimum. Minimálna hodnota je f 2 1 2, 1 ) =. Maximálna hodnota je v krajných bodoch 2 4 tejto úsečky, ale tie už máme vypočítané. Teda funkcia f má na množine M 1 minimum v bode f 2, 1 ) = 2 4 maximum v f 0,0) = f 1,0) = f 0,1) = 0. Definícia 16.. Nech f x 1,...,x n ) je funkcia definovaná na množine M. Označme N množinu všetkých bodov x = x 1,...,x n ), ktorých súradnice spĺňajú rovnice g ix 1,...,x n ) = 0 pre i = 1,...,m, kde m < n. Potom lokálne extrémy funkcie f na množine N sa nazývajú viazané lokélne extrémy a rovnice g i x 1,...,x n ) = 0, ktoré určujú množinu N väzbami. Poznámka 14. : V predchádzajúcom príklade sme už počítali viazané extrémy a to pri väzbe napr. gx,y) = x, alebo gx,y) = y resp. gx,y) = x + y 1. Pre n = 2: ak predpokladáme, že funkcie f a g sú dvakrát diferencovatel né, môžeme postupovat dvoma spôsobmi: a) z rovnosti gx,y) = 0 vyjadríme y = ϕx) ak sa dá) a hl adáme extrémy funkcie jednej premennej f x, ϕx)) b) Lagrangeovou metódou, ktorá spočíva v tom, že nájdeme extrémy funkcie Fx, y, λ) = f x,y)+λgx,y), kde λ je zatial neurčité reálne číslo, tzv. Lagrangeov multiplikátor. Táto funkcia je definovaná na množine N. Pre každý bod x, y) N je gx, y) = 0, teda pre tieto body Fx,y,λ) = f x,y). Predpokladajme, že v bode x 0,y 0 ) N má funkcia Fx,y,λ) napr. lokálne maximum. Teda vieme, že pre bod x 0,y 0 ) N platí Fx 0,y 0,λ) = f x 0,y 0 ) a pre každý bod x,y) z istého okolia O bodu x 0,y 0 ), v ktorom je Fx,y,λ) definovaná platí: Fx,y,λ) = f x,y) + λgx,y) < Fx 0,y 0,λ) = f x 0,y 0 ). Ale každý bod x,y) z okolia O je aj z množiny N, preto f x,y) + λgx,y) = f x,y), a teda f x,y) f x 0,y 0 ), t.j. v bode x 0,y 0 ) má lokálne maximum aj funkcia f x,y) na N. Čím sme vlastne dokázali naledujúcu vetu. 17

18 Veta 14. veta o viazaných extrémoch) Ak funkcia Fx,y,λ) = f x,y) + λgx,y) má v bode f x 0,y 0 ) lokálny extrém, tak funkcia f x, y) má v tomto bode lokálny extrém viazaný podmienkou gx, y) = 0. Poznámka 15. : Opačná implikácia neplatí, teda je to len postačujúca podmienka, preto táto metóda hl adania viazaných lokálnych extrémov nezaručuje nájdenie všetkých viazaných lokálnych extrémov. Príklad 14. : Nájdite viazané extrémy funkcie f x,y) = 2xy pri väzbe x y = 0. Nájdeme lokálne extrémy Lagrangeovej funkcie Fx, y, λ) = 2xy + λx y). Systém rovníc F xx,y,λ) = 2y + λ = 0 F yx,y,λ) = 2x λ = 0 F λ x,y,λ) = x y = 0 má jediné riešenie 0, 0, 0). Sylvestrovu vetu teraz nemôžeme využit, lebo D 1 0,0,0) = 0. Dosadíme čiastočne za λ:fx,y,λ) = f x,y) = 2xy, ale táto funkcia nemá v bode 0,0) extrém, lebo v susedné kvadranty majú opačné znamienko, teda neexistuje okolie bodu 0,0) take, že by v ňom mala funkcia konštantné znamienko. Na druhej strane, ak použijeme metódu a), dostaneme z väzby y = x a funkcia f x,y) = 2x 2 má v bode x = 0 minimum. Preto funkcia f x,y) = 2xy má v bode 0,0) pri väzbe x y = 0 viazané minimum. 18

19 Literatúra [1] M. BARNOVSKÁ, K. SMÍTALOVÁ, Matematická analýza IV. [2] M. BARNOVSKÁ A KOLEKTÍV, Cvičenie z matematickej analýzy III. [] I. KLUVÁNEK, L. MIŠÍK, M. ŠVEC, Matematika I. 19

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014

Matematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk

Διαβάστε περισσότερα

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej . Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny

Διαβάστε περισσότερα

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu 6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis

Διαβάστε περισσότερα

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(

Διαβάστε περισσότερα

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov

Διαβάστε περισσότερα

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE 7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje

Διαβάστε περισσότερα

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia pojmu derivácia

Motivácia pojmu derivácia Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)

Διαβάστε περισσότερα

Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh

Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II Zbierka riešených a neriešených úloh Anna Grinčová Jana Petrillová Košice 06 Technická univerzita v Košiciach Fakulta

Διαβάστε περισσότερα

Funkcie - základné pojmy

Funkcie - základné pojmy Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny

Διαβάστε περισσότερα

Ekvačná a kvantifikačná logika

Ekvačná a kvantifikačná logika a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných

Διαβάστε περισσότερα

NUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky

NUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Táto publikácia vznikla za finančnej podpory

Διαβάστε περισσότερα

Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.

Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita. Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [

Διαβάστε περισσότερα

Reálna funkcia reálnej premennej

Reálna funkcia reálnej premennej (ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. časť: Analytická geometria

Matematika 2. časť: Analytická geometria Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010. 14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12

Διαβάστε περισσότερα

Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich

Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:

Διαβάστε περισσότερα

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop 1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s

Διαβάστε περισσότερα

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude

Διαβάστε περισσότερα

Mini minimaliz acia an BUˇ Koˇ sice 2011

Mini minimaliz acia an BUˇ Koˇ sice 2011 Mini minimalizácia Ján BUŠA Košice 2011 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Noname, CSc. Doc. RNDr. Emanname, PhD. Prvé vydanie Za odbornú stránku učebného textu zodpovedá autor. Rukopis neprešiel redakčnou ani jazykovou

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

x x x2 n

x x x2 n Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol

Διαβάστε περισσότερα

Príklady na precvičovanie Fourierove rady

Príklady na precvičovanie Fourierove rady Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru

Διαβάστε περισσότερα

Tomáš Madaras Prvočísla

Tomáš Madaras Prvočísla Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,

Διαβάστε περισσότερα

Obvod a obsah štvoruholníka

Obvod a obsah štvoruholníka Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka

Διαβάστε περισσότερα

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc

Διαβάστε περισσότερα

Súradnicová sústava (karteziánska)

Súradnicová sústava (karteziánska) Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme

Διαβάστε περισσότερα

Prednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák

Prednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické substitúcie

Goniometrické substitúcie Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať

Διαβάστε περισσότερα

PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz

PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)

Διαβάστε περισσότερα

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1 Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené

Διαβάστε περισσότερα

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x

Διαβάστε περισσότερα

VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b

VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený

Διαβάστε περισσότερα

4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti

4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICKÁ ANALÝZA 1

MATEMATICKÁ ANALÝZA 1 UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied Božena Mihalíková, Ján Ohriska MATEMATICKÁ ANALÝZA Vysokoškolský učebný text Košice, 202 202 doc. RNDr. Božena

Διαβάστε περισσότερα

Derivácia funkcie. Pravidlá derivovania výrazov obsahujúcich operácie. Derivácie elementárnych funkcií

Derivácia funkcie. Pravidlá derivovania výrazov obsahujúcich operácie. Derivácie elementárnych funkcií Derivácia funkcie Derivácia funkcie je jeden z najužitočnejších nástrojov, ktoré používame v matematike a jej aplikáciách v ďalších odboroch. Stručne zhrnieme základné informácie o deriváciách. Podrobnejšie

Διαβάστε περισσότερα

4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti

4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti 4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme

Διαβάστε περισσότερα

Spojitosť a limity trochu inak

Spojitosť a limity trochu inak Spojitosť a limity trochu inak Štefan Tkačik Abstrakt Spojitosť funkcie alebo oblastí je základným stavebným kameňom matematickej analýzy. Pochopenie jej podstaty uľahčí chápanie diferenciálneho a integrálneho

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické funkcie

Goniometrické funkcie Goniometrické funkcie Oblúková miera Goniometrické funkcie sú funkcie, ktoré sa používajú pri meraní uhlov (Goniometria Meranie Uhla). Pri týchto funkciách sa uvažuje o veľkostiach uhlov udaných v oblúkovej

Διαβάστε περισσότερα

TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA 1. Funkcia jednej premennej a jej diferenciálny počet

TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA 1. Funkcia jednej premennej a jej diferenciálny počet TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA časťa Funkcia jednej premennej a jej diferenciáln počet Dušan Knežo, Miriam Andrejiová, Zuzana Kimáková 200 RECENZOVALI: prof. RNDr. Jozef

Διαβάστε περισσότερα

BANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY

BANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY BANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY 1. ZÁKLADNÉ POJMY Normovaným lineárnym priestorom (NLP) nazývame lineárny (= vektorový) priestor X nad telesom IK, na ktorom je daná nezáporná reálna funkcia : X IR + (norma)

Διαβάστε περισσότερα

viacrozmerných a nekonečnorozmerných priestoroch. A ako nasvedčuje jej názov, pôjde o rovnice nelineárne.

viacrozmerných a nekonečnorozmerných priestoroch. A ako nasvedčuje jej názov, pôjde o rovnice nelineárne. Nelineárna analýza 1. Úvod Na začiatok by bolo načim ako-tak vymedzit, čím sa nelineárna analýza zaoberá. Čitatel by už mal však mat dostatok skúseností, aby vedel, že je to dost t ažké u l ubovol nej

Διαβάστε περισσότερα

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny 24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá

Διαβάστε περισσότερα

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009 Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica

Διαβάστε περισσότερα

Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8

Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8 Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA I ZBIERKA ÚLOH

MATEMATIKA I ZBIERKA ÚLOH TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STAVEBNÁ FAKULTA ÚSTAV TECHNOLÓGIÍ, EKONOMIKY A MANAŽMENTU V STAVEBNÍCTVE KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY RNDr. Pavol PURCZ, PhD. Mgr. Adriana ŠUGÁROVÁ MATEMATIKA I ZBIERKA

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIE. Funkcia základné pojmy. Graf funkcie

FUNKCIE. Funkcia základné pojmy. Graf funkcie FUNKCIE Funkcia základné pojm. Graf funkcie V prai sa často stretávame so skúmaním závislosti veľkosti niektorých veličín od veľkosti iných veličín, napríklad dĺžka kružnice l závisí od jej priemeru d

Διαβάστε περισσότερα

Ján Buša Štefan Schrötter

Ján Buša Štefan Schrötter Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako

Διαβάστε περισσότερα

Obyčajné diferenciálne rovnice

Obyčajné diferenciálne rovnice (ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú

Διαβάστε περισσότερα

Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus

Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus 1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových

Διαβάστε περισσότερα

Integrovanie racionálnych funkcií

Integrovanie racionálnych funkcií Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie

Διαβάστε περισσότερα

2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin

2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin 2. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Verzia: 27. 9. 2009 Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi

Διαβάστε περισσότερα

TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT. k predmetu Matematika pre

TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT. k predmetu Matematika pre TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT k predmetu Matematika pre 2. ročník SOŠ v Strážskom, študijný odbor 3760 6 00 prevádzka a ekonomika dopravy Operačný program: Vzdelávanie Programové obdobie:

Διαβάστε περισσότερα

Metódy vol nej optimalizácie

Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných

Διαβάστε περισσότερα

Analytická geometria

Analytická geometria Analytická geometria Analytická geometria je oblasť matematiky, v ktorej sa študujú geometrické útvary a vzťahy medzi nimi pomocou ich analytických vyjadrení. Praktický význam analytického vyjadrenia je

Διαβάστε περισσότερα

Súčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.

Súčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =. Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií

Διαβάστε περισσότερα

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18

Διαβάστε περισσότερα

7. Dokážte, že z každej nekonečnej množiny môžeme vydeliť spočítateľnú podmnožinu.

7. Dokážte, že z každej nekonečnej množiny môžeme vydeliť spočítateľnú podmnožinu. Teória množín To, že medzi množinami A, B existuje bijektívne zobrazenie, budeme symbolicky označovať A B alebo A B. Vtedy hovoríme, že množiny A, B sú ekvivalentné. Hovoríme tiež, že také množiny A, B

Διαβάστε περισσότερα

3. prednáška. Komplexné čísla

3. prednáška. Komplexné čísla 3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet

Διαβάστε περισσότερα

23. Zhodné zobrazenia

23. Zhodné zobrazenia 23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:

Διαβάστε περισσότερα

Zložené funkcie a substitúcia

Zložené funkcie a substitúcia 3. kapitola Zložené funkcie a substitúcia Doteraz sme sa pri funkciách stretli len so závislosťami medzi dvoma premennými. Napríklad vzťah y=x 2 nám hovoril, ako závisí premenná y od premennej x. V praxi

Διαβάστε περισσότερα

Funkcie komplexnej premennej

Funkcie komplexnej premennej (prezentácia k prednáške FKP/10) doc. RNDr., PhD. 1 1 ondrej.hutnik@upjs.sk umv.science.upjs.sk/analyza Prednáška 1 16. februára 2016 Podmienky Obsah nepovinná účast (!prelínanie prednášok a cvičení!)

Διαβάστε περισσότερα

Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií

Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií Ma-Go-2-T List Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií RNDr. Marián Macko U: Predstav si, že ti zadám hodnotu jednej z goniometrických funkcií. Napríklad sin x = 0,6. Vedel by si určiť

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA

MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA S MATEMATICÁ OLYMPIÁDA skmo.sk 2008/2009 58. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO. Nech n je kladné celé číslo a a,..., a k (k 2) sú navzájom rôzne celé čísla z množiny {,..., n} také, že n

Διαβάστε περισσότερα

Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium

Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu

Διαβάστε περισσότερα

Matematická analýza pre fyzikov IV.

Matematická analýza pre fyzikov IV. 119 Dodatok - klasické riešenia PDR 8.1. Parciálne diferenciálne rovnice Príklady parciálnych diferenciálnych rovníc: Lalpaceova rovnica u = 0 Helmholtzova rovnica u = λu n Lineárna transportná rovnica

Διαβάστε περισσότερα

Úvod 2 Predhovor... 2 Sylaby a literatúra... 2 Označenia... 2

Úvod 2 Predhovor... 2 Sylaby a literatúra... 2 Označenia... 2 Obsah Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Označenia Euklidovské vektorové priestory 3 Skalárny súčin 3 Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces 8 Kvadratické formy 6 Definícia a základné vlastnosti 6 Kanonický

Διαβάστε περισσότερα

Planárne a rovinné grafy

Planárne a rovinné grafy Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia

Διαβάστε περισσότερα

DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c)

DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c) Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach Božena Mihalíková, Ivan Mojsej Strana 1 z 43 DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c) 1 Obyčajné diferenciálne rovnice 3 1.1 Úlohy

Διαβάστε περισσότερα

primitívnoufunkcioukfukncii f(x)=xnamnožinereálnychčísel.avšakaj 2 +1 = x, tedaajfunkcia x2

primitívnoufunkcioukfukncii f(x)=xnamnožinereálnychčísel.avšakaj 2 +1 = x, tedaajfunkcia x2 Neurčitý integrál. Primitívna funkcia a neurčitý integrál Funkcia F(x)sanazývaprimitívnoufunkcioukfunkcii f(x)naintervale(a,b),akpre každé x (a,b)platí F (x)=f(x). Z definície vidíme, že pojem primitívnej

Διαβάστε περισσότερα

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny

Διαβάστε περισσότερα

Deliteľnosť a znaky deliteľnosti

Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a

Διαβάστε περισσότερα

Nelineárne optimalizačné modely a metódy

Nelineárne optimalizačné modely a metódy Nelineárne optimalizačné modely a metódy Téma prednášky č. 8 Metódy transformujúce úlohu naviazaný extrém na úlohu na voľný extrém Prof. Ing. Michal Fendek, CSc. Katedra operačného výskumu a ekonometrie

Διαβάστε περισσότερα

Základy matematickej štatistiky

Základy matematickej štatistiky 1. Náhodný výber, výberové momenty a odhad parametrov Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 6. mája 2015 1 Náhodný výber 2 Výberové momenty 3 Odhady parametrov

Διαβάστε περισσότερα

Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch

Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch Martin Kollár, L ubica Kossaczká a Daniel Ševčovič Vysokoškolský

Διαβάστε περισσότερα

Príklady k Matematike 1

Príklady k Matematike 1 Príklady k Matematike 1 1. Definícia derivácie 1. Nájdite deriváciu y = + 1) 2 tak, že prejdete od k t = + 1. 2. Zistite z definície, čomu sa rovnajú derivácie funkcií y = 3, y = 1/ 2 a y =. Návod k tretej

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. (prednáška pre 1. roč. iai) V. Balek

Matematika 1. (prednáška pre 1. roč. iai) V. Balek Matematika prednáška pre. roč. iai) V. Balek . Definícia derivácie Č o j e t o m a t e m a t i c k á a n a l ý z a? Matematická analýza je náuka o deriváciach diferenciáln počet) a integráloch integráln

Διαβάστε περισσότερα

Kapitola K2 Plochy 1

Kapitola K2 Plochy 1 Kapitola K2 Plochy 1 Plocha je množina bodov v priestore, ktorá vznikne spojitým pohybom čiary u, ktorá nie je dráhou tohto pohybu, pričom tvar čiary u sa počas pohybu môže meniť. Čiara u sa nazýva tvoriaca

Διαβάστε περισσότερα

1. písomná práca z matematiky Skupina A

1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi

Διαβάστε περισσότερα

Spojité rozdelenia pravdepodobnosti. Pomôcka k predmetu PaŠ. RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 26. marca Domovská stránka. Titulná strana.

Spojité rozdelenia pravdepodobnosti. Pomôcka k predmetu PaŠ. RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 26. marca Domovská stránka. Titulná strana. Spojité rozdelenia pravdepodobnosti Pomôcka k predmetu PaŠ Strana z 7 RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 6. marca 3 Zoznam obrázkov Rovnomerné rozdelenie Ro (a, b). Definícia.........................................

Διαβάστε περισσότερα

Obsah. 1.1 Základné pojmy a vzťahy Základné neurčité integrály Cvičenia Výsledky... 11

Obsah. 1.1 Základné pojmy a vzťahy Základné neurčité integrály Cvičenia Výsledky... 11 Obsah Neurčitý integrál 7. Základné pojmy a vzťahy.................................. 7.. Základné neurčité integrály............................. 9.. Cvičenia..........................................3

Διαβάστε περισσότερα

stereometria - študuje geometrické útvary v priestore.

stereometria - študuje geometrické útvary v priestore. Geometria Geometria (z gréckych slov Geo = zem a metro = miera, t.j. zememeračstvo) je disciplína matematiky prvýkrát spopularizovaná medzi starovekými grékmi Tálesom (okolo 624-547 pred Kr.), ktorý sa

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRA. Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov

ALGEBRA. Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov ALGEBRA Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov Definícia Množinu považujeme za určenú, ak vieme o ľubovoľnom objekte rozhodnúť, či je alebo nie je prvkom množiny. Množinu určujeme

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 Elementárny kalkulus

Matematika 1 Elementárny kalkulus Matematika Elementárny kalkulus Úvod Prehl ad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika na špecializácii Aplikovaná informatika: jedná sa o 2 dvojhodinových prednášok doplnených dvojhodinovými

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA II ZBIERKA ÚLOH

MATEMATIKA II ZBIERKA ÚLOH TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STAVEBNÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATIKY A DESKRIPTÍVNEJ GEOMETRIE RNDr. Pavol PURCZ, PhD. RNDr. Martina RÉVAYOVÁ MATEMATIKA II ZBIERKA ÚLOH KOŠICE 6 Copyright c 6, RNDr. Pavol

Διαβάστε περισσότερα

DESKRIPTÍVNA GEOMETRIA

DESKRIPTÍVNA GEOMETRIA EKRIÍN GEERI meódy zobrzovni priesorových úvrov do roviny (premieni) mericé polohové vzťhy priesorových úvrov riešené v rovine bsh predmeu G Zobrzovcie meódy: olohové mericé úlohy: ongeov projeci Rezy

Διαβάστε περισσότερα

Technická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach

Technická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Technická univerzita v Košiciach Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Martin Bača Ján Buša Andrea Feňovčíková Zuzana Kimáková Denisa Olekšáková Štefan

Διαβάστε περισσότερα

Vektorové a skalárne polia

Vektorové a skalárne polia Vetorové a salárne pola Ω E e prestorová oblasť - otvorená alebo uavretá súvslá podmnožna bodov prestoru E určených arteánsm súradncam usporadaným trocam reálnch čísel X [ ] R. Nech e salárna unca torá

Διαβάστε περισσότερα

G. Monoszová, Analytická geometria 2 - Kapitola III

G. Monoszová, Analytická geometria 2 - Kapitola III text obsahuje znenia viet, ktoré budeme dokazovat na prednáškach text je doplnený aj o množstvo poznámok, ich ciel om je dopomôct študentom k lepšiemu pochopeniu pojmov aj súvislostí medzi nimi text je

Διαβάστε περισσότερα

3. Striedavé prúdy. Sínusoida

3. Striedavé prúdy. Sínusoida . Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa

Διαβάστε περισσότερα

XVIII. ročník BRKOS 2011/2012. Pomocný text. Kde by bola matematika bez čísel? Čísla predstavujú jednu z prvých abstrakcií, ktorú

XVIII. ročník BRKOS 2011/2012. Pomocný text. Kde by bola matematika bez čísel? Čísla predstavujú jednu z prvých abstrakcií, ktorú Pomocný text Číselné obory Číselné obory Kde by bola matematika bez čísel? Čísla predstavujú jednu z prvých abstrakcií, ktorú ľudia začali vnímať. Abstrakcia spočívala v tom, že množstvo, ktoré sa snažili

Διαβάστε περισσότερα

(IP3) (f, g) = (g, f) (symetria), (IP4) (f, f) > 0 pre f 0 (kladná definitnosť). Z podmienok (IP1) (IP4) sa ľahko dokážu rovnosti:

(IP3) (f, g) = (g, f) (symetria), (IP4) (f, f) > 0 pre f 0 (kladná definitnosť). Z podmienok (IP1) (IP4) sa ľahko dokážu rovnosti: Hilbertove priestory Veľké množstvo aplikácií majú lineárne normované priestory, v ktorých norma je odvodená od skalárneho (vnútorného) súčinu, podobne ako v bežnom trojrozmernom euklidovskom priestore.

Διαβάστε περισσότερα

Diferenciálne rovnice

Diferenciálne rovnice Diferenciálne rovnice Juraj Tekel Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky FMFI UK Mlynska Dolina 842 48 Bratislava juraj(a)tekel(b)gmail(c)com http://fks.sk/~juro/phys_teaching.html Aktualizované

Διαβάστε περισσότερα

6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH

6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 6. Otázky Definujte pojem produkčná funkcia. Definujte pojem marginálny produkt. 6. Produkčná funkcia a marginálny produkt Definícia 6. Ak v ekonomickom procese počet

Διαβάστε περισσότερα

1 Polynómy a racionálne funkcie Základy Polynómy Cvičenia Racionálne funkcie... 17

1 Polynómy a racionálne funkcie Základy Polynómy Cvičenia Racionálne funkcie... 17 Obsah 1 Polynómy a racionálne funkcie 3 11 Základy 3 1 Polynómy 7 11 Cvičenia 13 13 Racionálne funkcie 17 131 Cvičenia 19 Lineárna algebra 3 1 Matice 3 11 Matice - základné vlastnosti 3 1 Cvičenia 6 Sústavy

Διαβάστε περισσότερα

Metódy vol nej optimalizácie

Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/52 Metódy minimalizácie funkcie jednej premennej Metódy minimalizácie funkcie jednej premennej p. 2/52 Metódy minimalizácie funkcie jednej

Διαβάστε περισσότερα