Η θεωρία στην ευθεία σε ερωτήσεις - απαντήσεις

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η θεωρία στην ευθεία σε ερωτήσεις - απαντήσεις"

Transcript

1 Η θρία στην υθία σ ρτήσις - απαντήσις Τι ονομάζουμ ξίσση γραμμής Μια ξίσση μ δύο αγνώστους λέγται ξίσση μιας γραμμής C, όταν οι συντταγμένς τν σημίν της C, και μόνο αυτές, την παληθύουν Ποιό ίναι το βασικό αντικίμνο της Αναλυτικής Γμτρίας Μ τις ξισώσις τν γραμμών μπορούμ μ αλγβρικές μθόδους να μλτήσουμ τις γμτρικές ιδιότητς τν γραμμών αυτών ή να αντιμτπίσουμ διάφορα άλλα συναφή προβλήματα Τι λέμ γνία υθίας μ τον άξονα Τη γνία που διαγράφι ο άξονας όταν στραφί γύρ από το Α κατά τη θτική φορά μέχρι να συμπέσι μ την υθία τη λέμ γνία που σχηματίζι η μ τον άξονα Αν η υθία ίναι παράλληλη προς τον άξονα τότ λέμ ότι σχηματίζι μ αυτόν γνία = Σ κάθ πρίπτση για τη γνία ισχύι < 18 ή σ ακτίνια < π Α Α σχ 1 σχ Πς ορίζουμ τον συντλστή διύθυνσης μιας υθίας ( Πότ ίναι θτικός, αρνητικός, μηδέν Πότ δν ορίζται Ως συντλστή διύθυνσης μιας υθίας ( ορίζουμ την φαπτομένη της γνίας που σχηματίζι η μ τον άξονα Είναι: θτικός, αν η γνία που σχηματίζι μ τον άξονα ίναι οξία ( σχ1 αρνητικός, αν ίναι αμβλία( σχ Αν η υθία σχηματίζι μ τον άξονα μηδνική 1

2 Η θρία στην υθία σ ρτήσις - απαντήσις γνία, δηλαδή ίναι παράλληλη στον άξονα, ο συντλστής διύθυνσης ίναι ίσος μ μηδέν Στην πρίπτση που η γνία της υθίας μ τον άξονα ίναι 9, δηλαδή η υθία ίναι κάθτη στον άξονα, δν ορίζουμ συντλστή διύθυνσης για την υθία αυτή Αποδίξτ την πρόταση : Όταν μια υθία και ένα διάνυσμα ίναι παράλληλα, έχουν τον ίδιο συντλστή διύθυνσης Έστ ένα διάνυσμα δ παράλληλο σ μια υθία Αν φ και ίναι οι γνίς που σχηματίζουν το δ και η μ τον αντίστοιχα, τότ θα ισχύι φ = ή φ = π + και πομένς φ φ = φ ( σχ3 σχ4 Σχ3 Σχ4 δ φ φ φ= δ φ=π+ Αποδίξτ την πρόταση : συντλστής διύθυνσης λ μιας υθίας που διέρχται από τα σημία A ( 1, 1 και B (,, μ 1 ίναι 1 λ = 1 Αν ίναι γνστές οι συντταγμένς δύο σημίν μιας μη κατακόρυφης υθίας, δηλαδή μιας υθίας που δν ίναι κάθτη στον άξονα, τότ μπορούμ να βρούμ και το συντλστή διύθυνσης της υθίας αυτής Πράγματι, αν A ( 1, 1 και B (, ίναι δύο σημία της υθίας, τότ ο συντλστής διύθυνσης της ίναι ίσος μ το συντλστή διύθυνσης του - 1 διανύσματος AB = ( - 1, - 1, δηλαδή ίσος μ Επομένς: λ = 1

3 Η θρία στην υθία σ ρτήσις - απαντήσις Να βρθί η ξίσση της υθίας που διέρχται από το σημίο A (, και έχι συντλστή διύθυνσης λ Έστ O ένα σύστημα συντταγμένν στο πίπδο και A (, ένα σημίο του πιπέδου Ζητάμ την ξίσση της υθίας που διέρχται από το Α και έχι συντλστή διύθυνσης λ Ένα σημίο M (, διαφορτικό του A, ανήκι στην, αν και μόνο αν το διάνυσμα αν και μόνο αν το AM και η έχουν τον ίδιο συντλστή διύθυνσης Επιδή ( AM ίναι παράλληλο στην, δηλαδή AM = (,,έχουμ λ AM φ = Επομένς, το σημίο M (, ανήκι στην αν και μόνο αν = λ ή = λ( Η τλυταία ξίσση παληθύται και από το σημίο A, ( Α(, M(, Να βρθί η ξίσση της υθίας, που διέρχται από τα σημία : A 1, και B, ( 1 μ 1 ( Έστ η υθία που διέρχται από τα σημία A ( 1, 1 και B (, Αν 1, τότ ο συντλστής διύθυνσης της υθίας ίναι 1 λ = και πομένς η 1 ξίσση = λ( γίνται: = ( B(, Α( 1, 1 Πότ δν μπορούμ να χρησιμοποιήσουμ τις ξισώσις = λ( και = ( ι ξισώσις = λ( και 1 = ( 1 1 δν μπορούν να χρησιμοποιηθούν, όταν η υθία ίναι κατακόρυφη, αφού στην πρίπτση αυτή δν ορίζται ο συντλστής διύθυνσης της υθίας Όμς η ξίσση μιας κατακόρυφης υθίας που διέρχται από το σημίο A (, μπορί να βρθί αμέσς, αφού κάθ σημίο της Μ έχι ττμημένη και άρα η ξίσσή της ίναι: = 3

4 Η θρία στην υθία σ ρτήσις - απαντήσις Η ξίσση υθίας που τέμνι τον άξονα στο σημίο A (, β και έχι συντλστή διύθυνσης λ ίναι β = λ(, η οποία τλικά γράφται = λ + β Α(,β Ποις ίναι οι ιδικές μορφές της ξίσσης υθίας Αν μια υθία διέρχται από την αρχή τν αξόνν και έχι συντλστή διύθυνσης λ, τότ η ξίσσή της ίναι = λ( ή = λ οι διχοτόμοι τν γνιών O και O έχουν ξισώσις = και = αντιστοίχς o δ δ 1 =- = o αν μια υθία διέρχται από το σημίο A (, και ίναι παράλληλη στον άξονα, δηλαδή ίναι όπς λέμ μια οριζόντια υθία, έχι ξίσση = (, δηλαδή = Α(, 4

5 Η θρία στην υθία σ ρτήσις - απαντήσις Να αποδίξτ το θώρημα : Κάθ υθία του πιπέδου έχι ξίσση της μορφής A + B + Γ = μ A ή B (1 και αντιστρόφς, κάθ ξίσση της μορφής (1 παριστάνι υθία γραμμή Έστ μια υθία στο καρτσιανό πίπδο Αν η υθία τέμνι τον άξονα στο σημίο Σ (, β και έχι συντλστή διύθυνσης λ, τότ θα έχι ξίσση = λ + β, η οποία γράφται λ + ( 1 + β = Αν η υθία ίναι κατακόρυφη και διέρχται από το σημίο P(,, τότ θα έχι ξίσση =, η οποία γράφται ισοδύναμα + + ( = P(, Βλέπουμ, δηλαδή, ότι και στις δύο πριπτώσις η ξίσση της υθίας παίρνι τη μορφή A + B + Γ = μ A ή B Αντιστρόφς, έστ η ξίσση A + B + Γ = μ A ή B A Αν B, τότ η ξίσση γράφται = B Γ B, που ίναι ξίσση υθίας μ συντλστή διύθυνσης λ = A B και η οποία τέμνι τον άξονα στο σημίο Γ, B Αν B =, τότ, λόγ της υπόθσης, ίναι A και η ξίσση γράφται = Γ, που ίναι ξίσση υθίας A Γ κάθτης στον άξονα στο σημίο του P, A Σ όλς λοιπόν τις πριπτώσις η ξίσση A + B + Γ = μ A ή B παριστάνι υθία 5

6 Η θρία στην υθία σ ρτήσις - απαντήσις Να αποδίξτ ότι: Η υθία μ ξίσση A + B + Γ = ίναι παράλληλη στο διάνυσμα δ = ( B, A Έστ O ένα σύστημα συντταγμένν στο πίπδο και μια υθία του πιπέδου μ ξίσση A + B+ Γ = Είδαμ προηγουμένς ότι: A Αν B, τότ η έχι συντλστή διύθυνσης λ= B και πομένς ίναι παράλληλη προς το διάνυσμα δ = ( B, A Αν B =, τότ η ίναι παράλληλη προς τον άξονα και πομένς παράλληλη και πάλι προς το διάνυσμα δ = ( B, A Να αποδίξτ ότι : Η υθία μ ξίσση A + B + Γ = ίναι κάθτη στο διάνυσμα n = ( A, B το διάνυσμα δ = ( B, A ίναι κάθτο στο διάνυσμα n = ( A, B, αφού δ n = ( B, A ( A, B = AB AB = Επομένς: Η υθία μ ξίσση A + B + Γ = ίναι κάθτη στο διάνυσμα n = ( A, B Έστ μια υθία του καρτσιανού πιπέδου, μ ξίσση A + B + Γ = και M (, ένα σημίο κτός αυτής Ποιος ίναι ο τύπος της απόστασης του σημίου Μ από την υθία Είναι : A + B + Γ d( M, = A + B Έστ A ( 1, 1, B (, και Γ ( 3, 3 τρία σημία του καρτσιανού πιπέδου που δν ίναι συνυθιακά Ποιος ίναι ο τύπος για το μβαδό του τριγώνου ΑΒΓ Είναι : 1 ( AB Γ = det( Γ AB, A Ποιος ο τύπος για την ύρση της απόστασης τν υθιών 1 : = λ + β 1 και : = λ + β ( παράλληλς Είναι : β1 β d( 1, = 1 + λ 6

Γωνία που σχηματίζει η ε με τον άξονα. Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ε μια ευθεία που τέμνει τον άξονα

Γωνία που σχηματίζει η ε με τον άξονα. Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ε μια ευθεία που τέμνει τον άξονα ΕΥΘΕΙΑ Γωνία που σχηματίζι η μ τον άξονα. Έστω O ένα σύστημα συντταγμένων στο πίπδο και μια υθία που τέμνι τον άξονα στο σημίο Α. Α ω Α ω Τη γωνία ω που διαγράφι ο άξονας όταν στραφί γύρω από το Α κατά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ( 2.1)

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ( 2.1) ΚΕΦ 2 ο : H υθία στο πίπδο ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ( 2.1) Εξίσση γραµµής C του πιπέδου: Είναι µια ξίσση µ δύο αγνώστους x, που έχι τις ιδιότητς i) Oι συντταγµένς κάθ σηµίου της γραµµής C παληθύουν την ξίσση και

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αx + β

6.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αx + β 1 6.3 Η ΣΥΝΡΤΗΣΗ f() = α + β ΘΕΩΡΙ 1. Η πρίφηµη γωνία ω Έστω υθία που τέµνι τον άξονα σ σηµίο. Στρέφουµ την ηµιυθία κατά θτική φορά µέχρι να πέσι πάνω στην. Η γωνία ω που διαγράφται λέγται γωνία που σχηµατίζι

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρηµα ( ) x x. f (x)

Θεώρηµα ( ) x x. f (x) Η ΣΥΝΡΤΗΣΗ f() = α + ΓΩΝΙ ΕΥΘΕΙΣ ΜΕ ΤΝ ΞΝ Η ΣΥΝΡΤΗΣΗ f() = α + Έστ ( ) µία υθία στ καρτσιανό πίπδ η πία τέµνι τν άξνα στ σηµί A. Γνία της υθίας ( ) µ τν άξνα λέγται η γνία πυ διαγράφι η ηµιυθία, αν στραφί

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης νός συστήματος συντταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης νός σημίου πάνω σ μια πιφάνια προέρχται από την Γωγραφία και ήταν γνωστή στους αρχαίους

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ Πριοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ A. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ Γραμμική ξίσωση μ δύο αγνώστους ονομάζται κάθ ξίσωση της μορφής: α + βψ = γ (), μ α,β,γ π.χ. ψ =, =, ψ =, κλπ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 6) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 6) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 6) Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θτική Τχνολογική Κατύθυνση ασκήσις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ)

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω A ένα υποσύνολο του Ονομάζουμ πραγματική συνάρτηση μ πδίο ορισμού το A, μια διαδικασία f, μ την οποία, κάθ στοιχίο A αντιστοιχίζται σ ένα μόνο πραγματικό αριθμό Το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΦΑΙΡΑΣ. είναι όλοι ίσοι και επιπλέον δεν υπάρχουν οι όροι xy, yz, zx. Γενικά µια εξίσωση της µορφής: 0 + Β + Α.

ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΦΑΙΡΑΣ. είναι όλοι ίσοι και επιπλέον δεν υπάρχουν οι όροι xy, yz, zx. Γενικά µια εξίσωση της µορφής: 0 + Β + Α. Suies & Publishing ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΗΛ.:.38..57 www.arnοs.gr 3 Ο γωµτρικός τόπος των σηµίων που έχουν σταθρή απόσταση από το σηµίο,, του 3 ονοµάζται σφαίρα. Η σφαίρα µ κέντρο το,, και ακτίνα έχι

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση µε τη χρήση Η/Υ

Σχεδίαση µε τη χρήση Η/Υ Σχδίαση µ τη χρήση Η/Υ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 0 Ο Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Τ Ο Υ Χ Ω Ρ Ο Υ Ρ Λ Ε Ω Ν Ι Α Σ Α Ν Θ Ο Π Ο Υ Λ Ο Σ, Ε Π Ι Ο Υ Ρ Ο Σ Α Θ Η Γ Η Τ Η Σ Τ Μ Η Μ Α Ι Ο Ι Η Σ Η Σ Α Ι Ι Α Χ Ε Ι

Διαβάστε περισσότερα

2 1 1+ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ:2 ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ: 2.1 2.2. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός

2 1 1+ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ:2 ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ: 2.1 2.2. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ:.. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 4 5 Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός 8575 Β (Αναρτήθηκ 8 4 ) ίνονται τα σηµία Α(,) και Β(5,6). α) Να βρίτ την ξίσωση της υθίας που διέρχται από τα σηµία Α και B.

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία από τη Γεωμετρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου)

Στοιχεία από τη Γεωμετρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου) Στοιχία από τη Γωμτρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλίδια Γωμτρία Α και Β Ενιαίου Λυκίου) Σχήματα των οποίων τα σημία δν βρίσκονται όλα στο ίδιο πίπδο ονομάζονται γωμτρικά στρά (π.χ. σφαίρα, κύλινδρος,

Διαβάστε περισσότερα

4.1 ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ

4.1 ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ 1 4.1 ΥΙΣ ΚΙ Ι ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΩΡΙ 1. Το πίπδο: ίναι έννοια πρωταρχική για τα µαθηµατικά δηλαδή έννοια που δν πιδέχται ορισµό. H ικόνα του πιπέδου ίναι γνωστή από την µπιρία µας. Την έχουµ ταυτίσι µ τη µορφή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΜΕΡΣ ο ΕΩΜΕΤΡΙ ΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΣ 1ο : ΕΩΜΕΤΡΙ ΚΕΦΛΙ 1ο ΣΙΚΕΣ ΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΙΕΣ νακφαλαίωση σημίο άπιρς υθίς από υθύγραμμο τμήμα Δ παράλληλα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 3 Ευθεία - Επίπεδο ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ/2010-11

ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 3 Ευθεία - Επίπεδο ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ/2010-11 ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΔΙΥ 3 Ευθία - Επίπδο ΣΧΛΗ ΠΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΝΙΚΩΝ/00-.(α) Τα διανύσματα Β = (,, ), Γ = (,, 3) ίναι μη συγγραμμικά και παράλληλα προς το πίπδο Π, νώ το σημίο (,,3) μ διάνυσμα θέσης r = (,,3) ίναι σημίο

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρµογές στη δυναµική του κέντρου µάζας στερεού σώµατος

Εφαρµογές στη δυναµική του κέντρου µάζας στερεού σώµατος Εφαρµογές στη δυναµική του κέντρου µάζας στρού σώµατος Εφαρµογή 1η Οµογνής δίσκος ακτίνας R ηρµί στην άκρη οριζόντιου τραπζιού µ το κέντρο του Κ να βρίσκται στην κατακόρυφη που διέρχται από την ία Ο του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΜΕΡΣ ο ΕΩΜΕΤΡΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΘΕΩΡΙ ΜΕΡΣ ο : ΕΩΜΕΤΡΙ ΚΕΦΛΙ ο ΣΙΚΕΣ ΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΙΕΣ. Ποια η έννοια του σημίου,του υθυγράμμου τμήματος, τι ονομάζουμ άκρα του τμήματος,τι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΔΡ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΑΝΘΟΠΟΥΛΟΣ, ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΔΡ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΑΝΘΟΠΟΥΛΟΣ, ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ Σχδίαση μ τη χρήση Η/Υ ΕΦΑΑΙΟ 12 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΔΡ ΕΩΝΙΔΑΣ ΑΝΘΟΠΟΥΟΣ, ΕΠΙΟΥΡΟΣ ΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΗΣΗΣ ΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΑΡΙΣΑΣ Γωνίς πιπέδων: Η γωνία δυο τμνόμνων πιπέδων ορίζται

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος του Gauss 1. Ηλεκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). είναι διάνυσμα μέτρου Α και κατεύθυνσης κάθετης στην επιφάνεια. Στην γενική περίπτωση:

Νόμος του Gauss 1. Ηλεκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). είναι διάνυσμα μέτρου Α και κατεύθυνσης κάθετης στην επιφάνεια. Στην γενική περίπτωση: Νόμος του Gauss 1. Ηλκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). ( a) cosφ ( b) ίναι διάνυσμα μέτρου Α και κατύθυνσης κάθτης στην πιφάνια. Στην γνική πρίπτωση: d d d ( ) (πιφανιακό ολοκλήρωμα) Νόμος του Gauss

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ Β.2.1. Συμμετρία ως προς άξονα

ΕΝΟΤΗΤΑ Β.2.1. Συμμετρία ως προς άξονα ΕΝΟΤΗΤΑ Β.2.1. Συμμτρία ως προς άξονα ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / Δραστηριότητα 1 Βρίτ το συμμτρικό του Α ως προς την υθία Βρίτ το συμμτρικό του Β ως προς την υθία 1 Α Β Βρίτ το συμμτρικό του Α ως προς

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλιστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσται ο µηχανισµός που θα µας πιτρέψι να µλτήσουµ τις αναλυτικές ιδιότητς των συναρτήσων πολλών µταβλητών. Θα χριαστούµ τις έννοις της ανοικτής σφαίρας

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 6 / ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Γραμμικές απεικονίσεις, Αλλαγή βάσης, Ιδιοτιμές, Ιδιοδιανύσματα

ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 6 / ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Γραμμικές απεικονίσεις, Αλλαγή βάσης, Ιδιοτιμές, Ιδιοδιανύσματα 1 ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 6 / 010-11 ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Γραμμικές αικονίσις, Ααγή βάσης, Ιδιοτιμές, Ιδιοδιανύσματα 1 Έστω η γραμμική αικόνιση T : μ T ( 1,1) = (, 0) και ( 0,1) ( 1,1) T = (α) Βρίτ τον ίνακα της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστα Βακαλόπουλου, Βασίλη Καρκάνη, Άννας Βακαλοπούλου

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστα Βακαλόπουλου, Βασίλη Καρκάνη, Άννας Βακαλοπούλου ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστ Βκλόπουλου, Βσίλη Κρκάνη, Άννς Βκλοπούλου Άσκηση η Δίνοντι τ δινύσμτ, β διάφορ του μηδνικού γι τ οποί ισχύι: β, β κι β i) Ν βρθούν τ μέτρ των δινυσμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Συµπάγεια και οµοιόµορφη συνέχεια

Συµπάγεια και οµοιόµορφη συνέχεια 35 Συµπάγια και οµοιόµορφη συνέχια Μια πολύ σηµαντική έννοια στην Ανάλυση ίναι αυτή της συµπάγιας. Όπως θα δούµ τα συµπαγή υποσύνολα του Ευκλίδιου χώρου R συµπριφέρονται λίγο πολύ ως ππρασµένα σύνολα.

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

φ = ω Β=Γ Α= Β=Ε Γ=Ζ φ Ο

φ = ω Β=Γ Α= Β=Ε Γ=Ζ φ Ο 1 Η Π ΕΙΞΗ ΣΤΗΝ ΕΥΚΛΕΙ ΕΙ ΕΩΜΕΤΡΙ. ΩΝΙΕΣ ΙΣΕΣ ια να αποδίξουμ ότι δύο γωνίς ίναι ίσς πρέπι να αποδίξουμ: 1. Ότι ίναι άθροισμα ή διαφορά γωνιών αντίστοια ίσων. α = β α+ γ = β + δ ν τότ γ = δ α γ = β δ.

Διαβάστε περισσότερα

ÏÌÉÊÑÏÍ ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÄÅËÉÏ

ÏÌÉÊÑÏÍ ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÄÅËÉÏ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 01 ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµροµηνία: Κυριακή Μαΐου 01 ιάρκια Εξέτασης: ώρς ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ο Ρ Α Μ Α Κ Ω Ν Ι Κ Ω Ν Τ Ο Μ Ω Ν - (ΘΕΤΙΚΗ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ) Β ΛΥ Κ Ε Ι Ο Υ σελίδα 1 ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ C 1

Π Α Ν Ο Ρ Α Μ Α Κ Ω Ν Ι Κ Ω Ν Τ Ο Μ Ω Ν - (ΘΕΤΙΚΗ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ) Β ΛΥ Κ Ε Ι Ο Υ σελίδα 1 ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ C 1 Π Ν Ο Ρ Μ Κ Ω Ν Ι Κ Ω Ν Τ Ο Μ Ω Ν - (ΘΕΤΙΚΗ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΗ) Β ΛΥ Κ Ε Ι Ο Υ σλίδ 1 ΚΥΚΛΟ ΟΡΙΜΟ : Ονομάζτι ο ωμτικός τόπος (.τ.) των σημίων του πιπέδου που πέχουν στθή πόστση, ( > ), πό έν συκκιμένο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΑΞΟΝΑ

ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΑΞΟΝΑ 1 1-2 ΣΥΜΜΕΤΡΙ ΩΣ ΠΡΣ ΞΝ ΞΝΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΣ ΘΕΩΡΙ Συµµτρικό σηµίου ως προς υθία Όταν το ν βρίσκται πάνω στην νοµάζουµ συµµτρικό του ως προς την υθία το σηµίο µ το οποίο συµπίπτι το όταν ιπλώσουµ το σχήµα κατά

Διαβάστε περισσότερα

Β ΒΕ=ΒΑ Β ( Β + Ε ) =ΒΑ. Β + α Β = = = x 2. x α x. α α + x

Β ΒΕ=ΒΑ Β ( Β + Ε ) =ΒΑ. Β + α Β = = = x 2. x α x. α α + x ξισώσις ου θµού ωµτρική ϖίλυση ξισώσων ου θµού Οι ρχίοι Έλληνς µθηµτικοί κθιέρωσν την κτσκυή γωµτρικών σχηµάτων µ κνόν κι ιήτη. Τρις τέτοις κτσκυές θ µλτήσουµ στη συνέχι. Κάθ µι ϖό υτές τις κτσκυές ίνι

Διαβάστε περισσότερα

(4) γενικής λύσης το x με το -x. και θα έχουμε : y ομ (x)=c 1 (-x) -1 +c 2 (-x) 3

(4) γενικής λύσης το x με το -x. και θα έχουμε : y ομ (x)=c 1 (-x) -1 +c 2 (-x) 3 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ EULER Ορισμός : Οι γραμμικές διαφορικές ξισώσις, των οποίων οι συντλστές ίναι δυνάμις του βαθμού ίσου μ την τάξη της αντίστοιχης παραγώγου, ονομάζονται ξισώσις του Eule Πχ η ομογνής ξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή : i j όπου i, j μοναδιαία διανύσματα με κοινή αρχή το

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Τοπικά κυρτοί χώροι-βασικές ιδιότητες.

3.2 Τοπικά κυρτοί χώροι-βασικές ιδιότητες. 32 3.2 Τοπικά κυρτοί χώροι-βασικές ιδιότητς. Στην παράγραφο αυτή πρόκιται να ισαγάγουμ μια σημαντική, ίσως την σημαντικότρη, κλάση τοπολογικών γραμμικών χώρων. Αυτή ίναι η κλάση των τοπικά κυρτών χώρων

Διαβάστε περισσότερα

( ) y ) άγνωστη συνάρτηση, f (, )

( ) y ) άγνωστη συνάρτηση, f (, ) 6. Ι ΙΑΣΑΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΝ ΙΜΝ 6. Πρόβληµατα πδίου σ διαστάσις Η νότητα αυτή αναφέρται σ προβλήµατα πδίου, όπου άγνωστη συνάρτηση ίναι µία βαθµωτή συνάρτηση. α προβλήµατα αυτά έχουν σηµαντικές φαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

m i r i z i Αν είναι x, y, z τα µοναδιαία διανύσµατα των τριών αξόνων, τότε τα διανύσµατα ω r και r i µπορούν αντίστοιχα να γραφούν: r r x i y i ω x

m i r i z i Αν είναι x, y, z τα µοναδιαία διανύσµατα των τριών αξόνων, τότε τα διανύσµατα ω r και r i µπορούν αντίστοιχα να γραφούν: r r x i y i ω x ΓΕΝΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ, ΤΑΝΥΣΤΗΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ, ΚΥΡΙΟΙ ΑΞΟΝΕΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Έστ ότι το στερεό του σχήµατος στρέφεται µε γνιακή ταχύτητα (,, γύρ από άξονα που διέρχεται από σταθερό σηµείο Ο. Αν

Διαβάστε περισσότερα

όπου n είναι ο συνολικός αριθμός γραμμομορίων του συστήματος (που συμπεριλαμβάνει και τα τυχόν αδρανή συστατικά), Ή ακόμα και τη σύσταση κατά βάρος

όπου n είναι ο συνολικός αριθμός γραμμομορίων του συστήματος (που συμπεριλαμβάνει και τα τυχόν αδρανή συστατικά), Ή ακόμα και τη σύσταση κατά βάρος Κφάλαιο Στοιχιομτρία αντιδράσων. Σύσταση μιγμάτων αντιδρώντων Ας υποθέσουμ πως μια χημική αντίδραση συμβαίνι μέσα σ μια φάση. Η κατάσταση της κάθ φάσης καθορίζται από την πίση, τη θρμοκρασία Τ, και τη

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Οι ϐασικές έννοιες. 1.1 Αόριστες έννοιες, αξιώµατα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Οι ϐασικές έννοιες. 1.1 Αόριστες έννοιες, αξιώµατα ΚΕΦΛΙΟ 1 Οι ϐασικές έννοις 1.1 όριστς έννοις, αξιώµατα υτό ισχύι ακόµη και για το ίδιο µας το γώ : το αντιλαµβανόµαστ µόνον ως κδήλωση, όχι ως κάτι που µπορίνα υπάρχι καθ αυτό. Thomas Mann, Schopenhauer

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Συμπλήρωμα 2 εδαφίου 3.3: Το γενικό μεταβολικό πρόβλημα για συναρτησιακό ολοκληρωτικού τύπου με ολοκληρωτέα συνάρτηση F κατά 2

Συμπλήρωμα 2 εδαφίου 3.3: Το γενικό μεταβολικό πρόβλημα για συναρτησιακό ολοκληρωτικού τύπου με ολοκληρωτέα συνάρτηση F κατά 2 ΚΕΦ. 3 Η Αρχή των Ήρωνος-Fermat 3.3-8 Συμπλήρωμα 2 δαφίου 3.3: Το νικό μταβολικό πρόβλημα ια συναρτησιακό ολοκληρωτικού τύπου μ ολοκληρωτέα συνάρτηση F κατά 2 τμήματα C, ορισμένο πί καμπυλών που τέμνουν

Διαβάστε περισσότερα

3.3 Η ΕΛΛΕΙΨΗ. 2. Άµεση συνέπεια (ΜΕ ) + (ΜΕ) = 2α Ο γ.τ του σηµείου Μ είναι έλλειψη µε εστίες Ε και Ε. Περιορισµός : Αν ( ΕΕ ) = 2γ, πρέπει γ < α

3.3 Η ΕΛΛΕΙΨΗ. 2. Άµεση συνέπεια (ΜΕ ) + (ΜΕ) = 2α Ο γ.τ του σηµείου Μ είναι έλλειψη µε εστίες Ε και Ε. Περιορισµός : Αν ( ΕΕ ) = 2γ, πρέπει γ < α 3.3 Η ΕΛΛΕΙΨΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµ έλλιψη µ στίς τ σηµί Ε ι Ε, το γωµτριό τόπο των σηµίων του πιπέδου των οποίων το άθροισµ των ποστάσων πό τ Ε ι Ε ίνι στθρό ι µγλύτρο του Ε Ε.. Άµση συνέπι (ΜΕ )

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ

2.1 ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ 1 2.1 ΕΦΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΣ ΩΝΙΣ ΘΕΩΡΙ Εφαπτοµένη οξείας γνίας : Έστ ένα ορθογώνιο τρίγνο και µία από τις οξείες γνίες του. Ονοµάζουµε εφαπτοµένη της γνίας και συµβολίζουµε µε εφ το λόγο της απέναντι κάθετης

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΤΕΜΝΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΜΙΑ ΑΛΛΗ ΕΥΘΕΙΑ

ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΤΕΜΝΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΜΙΑ ΑΛΛΗ ΕΥΘΕΙΑ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΤΕΜΝΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΜΙΑ ΑΛΛΗ ΕΥΘΕΙΑ Έχουµε 2 ευθείες ε 1,ε 2 και τουλάχιστον µία ευθεία που τέµνει αυτές τις 2 ευθείες, εδώ τη (δ). Ονοµάζουµε τις γωνίες µε βάση το: 1. Πού βρίσκονται σε σχέση µε

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

( ) Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Oµάδας

( ) Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Oµάδας 3.3 Ασκήσις σχολικού ιλίου σλίδς 3 A Oµάδς. Ν ρίτ τη ξίσωση της έλλιψης σ κθµιά πό τις πρκάτω πριπτώσις : (i Ότ έχι στίς τ σηµί Ε (, 0 κι Ε(, 0 κι µγάλο άξο 0 (ii Ότ έχι στίς τ σηµί Ε (0, 5 κι Ε(0, 5 κι

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ. Ιωάννης Βανδουλάκης Χαράλαμπος Καλλιγάς Νικηφόρος Μαρκάκης Σπύρος Φερεντίνος

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ. Ιωάννης Βανδουλάκης Χαράλαμπος Καλλιγάς Νικηφόρος Μαρκάκης Σπύρος Φερεντίνος ΥΠΥΡΕΙ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΙ ΕΙΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΤΩΝ ΠΙ ΩΙΚ ΙΝΣΤΙΤΥΤ Ιωάννης ανδουλάκης Χαράλαμπος Καλλιγάς Νικηφόρος Μαρκάκης Σπύρος Φρντίνος ΜΘΗΜΤΙΚ υμνασίου ΜΕΡΣ ωμτρία Τόμος 2ος Μαθηματικά ΥΜΝΣΙΥ ΜΕΡΣ ωμτρία Τόμος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΔΡ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΑΝΘΟΠΟΥΛΟΣ, ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΔΡ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΑΝΘΟΠΟΥΛΟΣ, ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ Σχδίαση μ τη χρήση Η/Υ ΚΕΦΛΙ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΤΣΚΕΥΕΣ ΔΡ ΛΕΩΝΙΔΣ ΝΘΠΥΛΣ, ΕΠΙΚΥΡΣ ΚΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΔΙΙΚΗΣΗΣ ΚΙ ΔΙΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΛΡΙΣΣ Θέμα 16 ο : αρμονική σωτρική ρική διαίρση υθύγραμμου τμήματος σ λόγο

Διαβάστε περισσότερα

Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός

Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός ΕΥΘΕΙΑ Να προσέχεις ότι: Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός Ax+By+Γ=0, με κάποιο Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο Α(x 0,y 0 ) και έχει συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την. Παρατηρήσεις - Σχόλια f

Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την. Παρατηρήσεις - Σχόλια f Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την οποία σε κάθε στοιχείο χ ενός συνόλου Α αντιστοιχούµε ακριβώς ένα στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β. Το σύνολο Α λέγεται πεδίο ορισµού ( ή σύνολο ορισµού ) της

Διαβάστε περισσότερα

και ( n) 1 R. Αν ε > 0, επιλέγουµε για κάθε k 1 ένα καλύπτουµε τότε την ευθεία Α µε την ακολουθία των ορθογωνίων .

και ( n) 1 R. Αν ε > 0, επιλέγουµε για κάθε k 1 ένα καλύπτουµε τότε την ευθεία Α µε την ακολουθία των ορθογωνίων . 80 Σύνολα µέτρου µηδέν στον και ο χαρακτηρισµός του Lebesgue των iema ολοκληρωσίµων συναρτήσων 7. Ορισµός. Έστω για κάθ 0 Α, λέµ ότι το Α έχι διάστατο µέτρο µηδέν αν, > υπάρχι ακολουθία ανοικτών διάστατων

Διαβάστε περισσότερα

Διάθλαση μέσω οπτικού πρίσματος - Υπολογισμός δείκτη διάθλασης.

Διάθλαση μέσω οπτικού πρίσματος - Υπολογισμός δείκτη διάθλασης. Ο Διάθλαση μέσω οπτικού πρίσματος - Υπολογισμός δίκτη διάθλασης. 1 Σκοπός Ο δίκτης διάθλασης νός διαφανούς οπτικού μέσου ίναι ένα ιδιαίτρο σημαντικό φυσικό μέγθος στην οπτική. Ο δίκτης διάθλασης όχι μόνο

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΗΜΙΤΟΝΟ ΚΑΙ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ

2.2 ΗΜΙΤΟΝΟ ΚΑΙ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ 1 2.2 ΗΜΙΤΟΝΟ ΚΙ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΟΞΕΙΣ ΩΝΙΣ ΘΕΩΡΙ 1. Ηµίτονο οξείας γνίας : Έστ ένα ορθογώνιο τρίγνο και µία από τις οξείες γνίες του. Ονοµάζουµε ηµίτονο της γνίας και συµβολίζουµε µε ηµ, το λόγο της απέναντι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής 9 3 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ Ορισμός Παραβολής Έστω μια ευθεία δ και ένα σημείο Ε εκτός της δ Ονομάζεται παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου τα οποία

Διαβάστε περισσότερα

3.3 Το συναρτησοειδές του Minkowski και μετρικοποιησιμότητα σε τοπικά κυρτούς χώρους. x y E (υποπροσθετικότητα ) ) και p( x) p( x)

3.3 Το συναρτησοειδές του Minkowski και μετρικοποιησιμότητα σε τοπικά κυρτούς χώρους. x y E (υποπροσθετικότητα ) ) και p( x) p( x) 4 3.3 Το συναρτησοιδές του Mikowski και μτρικοποιησιμότητα σ τοπικά κυρτούς χώρους. Υπνθυμίζουμ ότι αν E διανυσματικός χώρος, μια συνάρτηση : E R λέγται υπογραμμικό συναρτησοιδές αν (ι) ( λ) λ ( ) =, λ

Διαβάστε περισσότερα

Κατοίκον Εργασία 2. (γ) το ολικό φορτίο που βρίσκεται στον κύβο. (sd p.e 4.9 p146)

Κατοίκον Εργασία 2. (γ) το ολικό φορτίο που βρίσκεται στον κύβο. (sd p.e 4.9 p146) Κατοίκον Εργασία. Ένα σημιακό φορτίο (point charge) 5 mc και ένα - mc βρίσκονται στα σημία (,0,4) και (-3,0,5) αντίστοιχα. (α) Υπολογίστ την δύναμη πάνω σ ένα φορτίο (point charge) nc που βρίσκται στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΦΥΛΛΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙ ΣΙΛΗΣ ΥΕΡΙΝΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙ ΜΕΡΣ ο : ΛΕΡ ΚΕΦΛΙ ο ΦΥΣΙΚΙ ΡΙΘΜΙ. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί, ποια ιδιότητα έχουν και πως χωρίζονται; πάντηση ι

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΩΝΙΚΩΝ ΤΟΜΩΝ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΩΝΙΚΩΝ ΤΟΜΩΝ Μθημτικά Β Λυκίου Θτική & Τν/κή Κτύθυνση ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΩΝ ΚΩΝΙΚΩΝ ΤΟΜΩΝ Κύκλος Πολή Έλλιψη Υπολή Επιμέλι: Γηγόης Μπξνίδης Μθημτικός.1. Κ Υ Κ Λ Ο Σ Οισμός: Ο γωμτικός τόπος των σημίων Μ του πιπέδου, γι τ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου 4 ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (9//4) Θέματα 4 ης Ομάδας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP_4_866 [παράγραφος

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σιρά Προβλημάτων 2 Λύσις Άσκηση Να μτατρέψτ τα πιο κάτω DFA στις κανονικές κφράσις που τα πριγράφουν χρησιμοποιώντας τη διαδικασία που πριγράφται στις διαφάνις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ . Η ΕΝΝΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση πρώτου βαθµού µε αγνώστους και νοµάζεται κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ. Άγνωστοι είναι το και το. Τα α, β και γ λέγοντα συντελεστές. Ειδικότερα το γ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία x x στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο. Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i = 1)

Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία x x στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο. Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i = 1) α.. Άξονας Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i 1). Ο i I Οι ημιευθείες Ο και O λέγονται αντίστοιχα θετικός ημιάξονας και αρνητικός

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία - 1-1. 2-18575 Εξίσωση ευθείας Δίνονται τα σημεία Α(1,2) και Β (5,6 ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

1 1 Χ= x x x x x x x x x x. x x x x x

1 1 Χ= x x x x x x x x x x. x x x x x ΚΕΦΑΛΑΙΟ Επιλογή Μταβλητών Μωυσιάδης Χρόνης 6 o Εξάµηνο Μαθηµατικών Πολυσυγγραµµικότητα Αν ισχύι X = λ + λ X + + λ X + λ X + + λ X + ( ) j j- j- j+ j+ k k ΤΟΤΕ j, j j+, k, j, j j+, k, Χ= x x x x x x x

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

[Ολοκληρωτική μορφή του νόμου του Gauss στο κενό ή τον αέρα]

[Ολοκληρωτική μορφή του νόμου του Gauss στο κενό ή τον αέρα] Παν/μιο Πατρών Τμήμα Φυσικής. Μάθημα : Ηλκτρομαγνητισμός Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΤΡΩΝ - ΤΜΗΜ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΘΗΜ : HΛΕΚΤΡΟΜΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων :Δ.Σκαρλάτος, Επίκουρος

Διαβάστε περισσότερα

v Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων, β

v Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων, β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o α Α Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων, β Μονάδες 4 Β Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7)

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7) ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Άσκηση Δίνονται τα διανύσματα a και με a, = 3 και a =, =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a. β) Αν τα διανύσματα a + και κ a + είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΥΛΛΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 4.1, 4., 4.3, 4.4, 4.5 Παράλληλς υθίς ΤΕΜΝΟΥΣΑ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ Ο γίς α, δ, ζ, η λέγοα ός Ο γίς β, γ,, θ λέγοα κός Δύο γίς που βρίσκοα προς ο ίδο μέρος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΚΕΝΤΡΙΚΕΣ ΥΝΑΜΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΚΕΝΤΡΙΚΕΣ ΥΝΑΜΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΚΕΝΤΡΙΚΕΣ ΥΝΑΜΕΙΣ Οι σηµαντικότερες αντιπρόσποι της κατηγορίας αυτής τν δυνάµεν είναι οι δυνάµεις βαρύτητος και οι ηλεκτροστατικές δυνάµεις, που είναι ανάλογες του αντιστρόφου τετραγώνου της

Διαβάστε περισσότερα

5. Στερεό σώµα. (5.1) Το µέτρο της ταχύτητας είναι ίσο µε υ = ω a, όπου a είναι η απόσταση του σωµατιδίου από τον άξονα περιστροφής.

5. Στερεό σώµα. (5.1) Το µέτρο της ταχύτητας είναι ίσο µε υ = ω a, όπου a είναι η απόσταση του σωµατιδίου από τον άξονα περιστροφής. 5 Στερεό σώµα Βιβλιογραφία C Kttel, W D Knght, A Ruderman, A C Helmholz και B J oyer, Μηχανική (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, 998) Κεφ 8 R Spegel, Θερητική Μηχανική (Εκδόσεις ΕΣΠΙ, Αθήνα, 985) Κεφ 9 5

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 5 Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός 867 (Αναρτήθηκε 8 4 ) ίνονται τα διανύσµατα a και b µε µέτρα, 6 αντίστοιχα και ϕ [, π] a b+ x+ a b y 5= () δίνεται η εξίσωση ( ) ( ) α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 4.4.07. α) Ποια ίναι η σχέση μταξύ των οικονομιών κλίμακας και αποδόσων κλίμακας; β) Πως μτράμ την έκταση των οικονομιών κλίμακας; ΛΥΣΗ α) Οι οικονομίς κλίμακας και οι αποδόσις κλίμακας ίναι

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία 1 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Εξίσωση Γραμμής Μια εξίσωση με δύο αγνώστους, λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C, όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C, και μόνο αυτές, την επαληθεύουν.

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις αντιστοίχισης

Ερωτήσεις αντιστοίχισης Ερωτήσεις αντιστοίχισης 1. ** Να αντιστοιχίσετε κάθε ευθεία που η εξίσωσή της βρίσκεται στη του πίνακα (Ι) µε τον συντελεστή της που βρίσκεται στη, συµπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ) (α, β 0). 1. ε 1 : y =

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (16) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ o Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων α, β. Μονάδες 4 Β. Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο . ΣΥΝΤΕΤΑΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΘΕΩΡΙΑ. Άξονας (Ο, i ) λέγεται κάθε ευθεία εφοδιασµένη µε αρχή Ο και µοναδιαίο διάνυσµα i.. Τετµηµένη σηµείου Μ που ανήκει σε άξονα (Ο, i ) λέγεται ο αριθµός, για τον οποίο ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Ε_.ΒΜλΘ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ηµεροµηνία: Κυριακή 6 Απριλίου 05 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελίδα.

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Άσκηση Σιρά Προβλημάτων 2 Λύσις Να μτατρέψτ τα πιο κάτω DFA στις κανονικές κφράσις που τα πριγράφουν χρησιμοποιώντας τη διαδικασία που παρουσιάζται στις διαφάνις

Διαβάστε περισσότερα

7η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ

7η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ ΜΑΘΗΜΑ : ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 003 004 7η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλια : Γιάννης Κουκούλης, Υποψήιος Διδάκτορας ΕΜΠ ΑΣΚΗΣΗ 7. Απάντηση (α)

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα ΦΥΕ 4 Διανύσματα Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα Δύο διανύσματα θα θεωρούμε ότι είναι ίσα, εάν έχουν το ίδιο μήκος

Διαβάστε περισσότερα

Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει :

Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει : Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για τα Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού της Β Λυκείου, που είναι ένα από τα σημαντικότερα μαθήματα, καθώς περιέχει χρήσιμες γνώσεις για

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10)

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ 4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι AB= ( λ, λ+ 1), AΓ = ( 3 λ, λ 1) είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ AΜ= λ, λ α) Να αποδείξετε ότι ( ), όπου λ 0 και λ, και Μ (Μονάδες 7) β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα