ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)"

Transcript

1 ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο

2 2 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά καλή βαθμολογική εικόνα ( μ.ο.: 6.5 ). Σημαντική προσπάθεια και ενθαρρυντική εικόνα. Δικαιολογημένες δυσκολίες σε κάποια ερωτήματα (π.χ. 3.β.2). Αρκετές εργασίες έδειχναν μελέτη σε βάθος και μεγάλη διάθεση. Θέματα εξετάσεων αντίστοιχης δυσκολίας με ερ. 1.β, 3.α.2, 3.β.3 και 4 (β μέρος) και ερ. 2.5 και 5 (α μέρος). Χρειάζεται μεγάλη προσοχή σε: Ταυτολογικές συνεπαγωγές, τυπικές αποδείξεις, εγκυρότητα-πληρότητα, μαθηματική επαγωγή. Σαφήνεια και ακρίβεια στη διατύπωση. Βαθμολογία δεν αποδίδει (μόνη της) τη γενική εικόνα. «Ποιοτικά» σχόλια αντικατοπτρίζουν εικόνα με ακρίβεια. Σε συγκεκριμένα ερωτήματα (π.χ., 1.β, 2, 3.α.2), η βαθμολόγηση ήταν αρκετά επιεικής. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 3η ΟΣΣ(Κατηγορηματική Λογική) 2

3 Κατηγορηματική Λογική Προτασιακή Λογική: πλαίσιο διατύπωσης και μελέτης επιχειρημάτων για πεπερασμένο πλήθος «λογικών αντικειμένων». «Λογικό αντικείμενο»: παίρνει τιμές αλήθειας, ΑήΨ. Διαφορετικά, «μη λογικό αντικείμενο», π.χ. αριθμοί, σύνολα,... Κατηγορηματική (ή Πρωτοβάθμια) Λογική: πλαίσιο διατύπωσης και μελέτης επιχειρημάτων για: «Μη λογικά αντικείμενα» (αριθμούς, σύνολα, γραφήματα). Πράξεις (συναρτήσεις) και σχέσεις (κατηγορήματα) μεταξύ τους. Άπειρο πλήθος αντικειμένων: ποσοδείκτες. «Κάθε φυσικός αριθμός είναι είτε άρτιος είτε περιττός». «Υπάρχει σύνολο που είναι υποσύνολο κάθε συνόλου». Τύποι ΚΛ είναι «λογικά αντικείμενα» που μπορεί να αφορούν / αναφέρονται σε «μη λογικά αντικείμενα». ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 3η ΟΣΣ(Κατηγορηματική Λογική) 3

4 Δομή Στόχοι Κατανόηση συντακτικού πρωτοβάθμιας γλώσσας και δομής όρων και τύπων. Εφαρμογή ποσοδεικτών, ελεύθερες και δεσμευμένες μεταβλητές. Εκφραστικότητα πρωτοβάθμιας γλώσσας. Παραδείγματα όπου απλές ιδιότητες εκφράζονται σε πρωτοβάθμια γλώσσα (συνήθως υποθέτουμε κατάλληλη ερμηνεία). Προτάσεις τις πρωτοβάθμιας γλώσσας «μεταφράζονται» σε φυσική γλώσσα (συνήθως υποθέτουμε κατάλληλη ερμηνεία). Ερμηνεία, σημασιολογική προσέγγιση, ορισμός αλήθειας Tarski. Εφαρμογή ορισμού αλήθειας Tarski. Νόμοι ποσοδεικτών, κανονική ποσοδεικτική μορφή. Βοηθούν σημαντικά παλιές 3 ες εργασίες (ειδικά των τεσσάρων τελευταίων ετών). ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 3η ΟΣΣ(Κατηγορηματική Λογική) 4

5 Συντακτικό Πρωτοβάθμιας Γλώσσας «Λογικά Σύμβολα»: έχουν συγκεκριμένη ερμηνεία, λειτουργούν πάντα με τον ίδιο τρόπο: Λογικοί σύνδεσμοι:,,,, Ποσοδείκτες: και (για κάθε): σύζευξη για όλα στοιχεία δομής (δυνάμει άπειρη). (υπάρχει): διάζευξη για όλα στοιχεία δομής (δυνάμει άπειρη). Ισότητα =: ελέγχει ταύτιση. Λειτουργεί ως κατηγορηματικό σύμβολο, αλλά εντάσσεται στα «λογικά σύμβολα» γιατί έχει συγκεκριμένη ερμηνεία. Σημεία στίξης και παρενθέσεις. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 3η ΟΣΣ(Κατηγορηματική Λογική) 5

6 Συντακτικό Πρωτοβάθμιας Γλώσσας «Μη Λογικά Σύμβολα»: ερμηνεία καθορίζει λειτουργία τους. Ορισμός γλώσσας και έλεγχος αλήθειας απαιτούν ερμηνεία (πολυσημία, εκφραστικότητα!). Μεταβλητές x, y, z, Ερμηνεία καθορίζει πεδίο ορισμού μεταβλητών: σύμπαν. Ελεύθερες: τιμή τους καθορίζεται με αποτίμηση. Δεσμευμένες: ποσοδείκτες καθορίζουν «συμπεριφορά» τους. Σύμβολα σταθερών c, c 1, c 2, Αναπαριστούν συμβολικά συγκεκριμένες τιμές σύμπαντος. Ερμηνεία καθορίζει τιμή κάθε συμβόλου σταθεράς. Πρόκειται για 0-θέσια συναρτησιακά σύμβολα. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 3η ΟΣΣ(Κατηγορηματική Λογική) 6

7 Συντακτικό Πρωτοβάθμιας Γλώσσας «Μη Λογικά Σύμβολα»: ερμηνεία καθορίζει λειτουργία τους. Συναρτησιακά σύμβολα f, g, h,, με αντίστοιχο πλήθος ορισμάτων. Π.χ. f είναι 2-θέσιο συναρτησιακό σύμβολο. Εκφράζουν «πράξεις» μεταξύ στοιχείων σύμπαντος. Ερμηνεία καθορίζει πεδίο ορισμού, πεδίο τιμών, και λειτουργία. Κατηγορηματικά σύμβολα P, Q, R,, με αντίστοιχο πλήθος ορισμάτων. Π.χ. Q είναι 2-μελές κατηγορηματικό σύμβολο. Εκφράζουν «σχέσεις» μεταξύ στοιχείων σύμπαντος. Ερμηνεία καθορίζει πεδίο ορισμού και λειτουργία. Κατηγορηματικά σύμβολα υλοποιούν «μετάβαση» από «μη λογικό» σε «λογικό» κόσμο. Q(x, y) δέχεται δύο στοιχεία σύμπαντος (π.χ. αριθμούς), «ελέγχει» αν σχετίζονται με συγκεκριμένο τρόπο, και «απαντά» ΑήΨ. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 3η ΟΣΣ(Κατηγορηματική Λογική) 7

8 Δομή Τύπων Πρωτοβάθμιας Γλώσσας ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 3η ΟΣΣ(Κατηγορηματική Λογική) 8

9 Δομή Τύπων Πρωτοβάθμιας Γλώσσας: Όροι Όροι παίρνουν τιμές στο σύμπαν. Μεταβλητές x, y, z,... Σταθερές c, c 1, c 2,.. Οτιδήποτε προκύπτει από (σωστή) εφαρμογή συναρτησιακού συμβόλου σε ήδη σχηματισμένους όρους. Π.χ. f(x, y), f(g(x), c), g(f(x, g(y)), c f(x, y), Όροι δεν μπορούν να συνδέονται με λογικούς συνδέσμους! Δομή αναπαρίσταται με δενδροδιάγραμμα, ισχύει μοναδική αναγνωσιμότητα, ιδιότητες αποδεικνύονται με δομική επαγωγή. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 3η ΟΣΣ(Κατηγορηματική Λογική) 9

10 Δομή Τύπων Πρωτοβάθμιας Γλώσσας: Τύποι Ατομικοί τύποι προκύπτουν εφαρμόζοντας ισότητα ή κατηγορηματικό σύμβολο σε όρους. Π.χ. x = c, f(x, y) = g(c), Q(x, y), R(f(x, y)), «Λογικές» τιμές Α ή Ψ, βασικά («λογικά») δομικά στοιχεία τύπων. Τύπος: Ατομικός τύπος (βάση επαγωγικού ορισμού). Εφαρμογή λογικών συνδέσμων σε τύπους φ, ψ: φ, φ ψ, φ ψ, φ ψ, φ ψ. Εφαρμογή ποσοδεικτών σε τύπο φ: xφ, xφ. Τύποι: τιμή ΑήΨ. Όροι: τιμές στο σύμπαν. Δομή αναπαρίσταται με δενδροδιάγραμμα, ισχύει μοναδική αναγνωσιμότητα, ιδιότητες αποδεικνύονται με δομική επαγωγή. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 3η ΟΣΣ(Κατηγορηματική Λογική) 10

11 Παράδειγμα Ποιά από τα παρακάτω είναι όροι ή τύποι (ή συντακτικό λάθος); Q(f(c, y), P(x)) g(q(c, y), P(y)) Q(f(c, y), P(x)) g(q(c, y), P(y)) x P(g(x)) x g(p(x)) x P(g(x)) (τ) x g(p(x)) x = y c x = f(y, c) x = y c x = f(y, c) (ατ) x P(P(x)) x Q(x, c 1 ) x P(P(x)) x Q(x, c 1 )(τ) x (P(x) x P(x, x)) x(x = y Q(x, y)) x (P(x) x P(x, x)) x(x = y Q(x, y)) (τ) ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 3η ΟΣΣ(Κατηγορηματική Λογική) 11

12 Παράδειγμα Ποιά από τα παρακάτω είναι όροι ή τύποι (ή συντακτικό λάθος); P(x) g(x) y x (Q(x, g(y)) P(g(x))) P(x) g(x) y x (Q(x, g(y)) P(g(x))) (τ) x Q(x, c) x Q(x, y) x Q(x, c) (τ) x Q(x, y) x+ y= x y (3 + 1) + 10 x+ y= x y(ατ) (3 + 1) + 10 (ορ) x y (x + y = x y) x y (P(x) (Q(x, y) P(x))) x y (x + y = x y) (τ) x y (P(x) (Q(x, y) P(x))) (τ) ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 3η ΟΣΣ(Κατηγορηματική Λογική) 12

13 Ελεύθερες και Δεσμευμένες Μεταβλητές Δεσμευμένη εμφάνιση μεταβλητής: εμπίπτει σε πεδίο εφαρμογής ποσοδείκτη. Ποσοδείκτης καθορίζει πως αποτιμάται η μεταβλητή. ( ): σύζευξη (διάζευξη) για όλες τιμές σύμπαντος. Δεσμευμένες εμφανίσεις μεταβλητής x που εμπίπτουν στον ίδιο ποσοδείκτη: «ίδια» δεσμευμένη μεταβλητή. Δεσμευμένες εμφανίσεις μεταβλητής x που εμπίπτουν σε διαφορετικό ποσοδείκτη: «διαφορετικές» δεσμευμένες μεταβλητές. Ελεύθερη εμφάνιση μεταβλητής: δεν εμπίπτει σε πεδίο εφαρμογής κάποιου ποσοδείκτη. Μπορεί να έχει οποιαδήποτε τιμή, ηοποίακαθορίζεταιαπόαποτίμηση. Όλες οι ελεύθερες εμφανίσεις μεταβλητής y: «ίδια» μεταβλητή. x(p(x) Q(x, y)) P(y) P(x) και xp(x) xq(x, y) P(y) ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 3η ΟΣΣ(Κατηγορηματική Λογική) 13

14 Ελεύθερες και Δεσμευμένες Μεταβλητές Ελεύθερη μεταβλητή αν εμφανίζεται ελεύθερη (τουλ. μία φορά), διαφορετικά δεσμευμένη. Πρόταση: τύπος χωρίς ελεύθερες μεταβλητές. Τιμή αλήθειας πρόταση δεν εξαρτάται από αποτίμηση. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 3η ΟΣΣ(Κατηγορηματική Λογική) 14

15 Ελεύθερες και Δεσμευμένες Μεταβλητές Ποιές εμφανίσεις μεταβλητών είναι ελεύθερες και ποιές δεσμευμένες; Ποιοι τύποι είναι προτάσεις; y x(p(x, f(y)) Q(x)) x y(q(x) P(x, y)) Q(x) y x(p(x, f(y)) Q(x)) x y(q(x) P(x, y)) Q(x) xp(x, y) zp(z, x) Q(z) x yp(x, y) xp(x, y) zp(z, x) Q(z) x yp(x, y) xq(x) yp(x, y) x y z(x > y y > z) w(x > w) xq(x) yp(x, y) x y z(x > y y > z) w(x > w) y + x = x + y y(x + x = x y) y + x = x + y y(x + x = x y) Μετονομασία όλων εμφανίσεων της «ίδιας» μεταβλητής διατηρεί απαράλλακτο τον τύπο: αλφαβητική παραλλαγή. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 3η ΟΣΣ(Κατηγορηματική Λογική) 15

16 Ελεύθερες και Δεσμευμένες Μεταβλητές Ελεύθερη μεταβλητή αν εμφανίζεται ελεύθερη (τουλ. μία φορά), διαφορετικά δεσμευμένη. Πρόταση: τύπος χωρίς ελεύθερες μεταβλητές. Τιμή αλήθειας πρόταση δεν εξαρτάται από αποτίμηση. Ελεύθερεςμεταβλητέςχρειάζονται«αρχικοποίηση». Όλες οι ελεύθερες εμφανίσεις μιας μεταβλητής «αρχικοποιούνται» στην ίδια τιμή (αυτή που καθορίζεται από αποτίμηση). Δεσμευμένες εμφανίσεις μεταβλητών δεν χρειάζονται «αρχικοποίηση». Ποσοδείκτης που τις δεσμεύει καθορίζει αποτίμηση. Μεταβλητές που δεσμεύονται από διαφορετικούς ποσοδείκτες είναι «διαφορετικές» (ακόμη και αν έχουν το ίδιο όνομα). ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 3η ΟΣΣ(Κατηγορηματική Λογική) 16

17 Ερμηνεία (ή Δομή) Ορισμός Πρωτοβάθμιας Γλώσσας απαιτεί ερμηνεία «μη λογικών» συμβόλων. Ερμηνεία (ή δομή) A καθορίζει: Σύμπαν Α : πεδίο ορισμού σταθερών, μεταβλητών, συναρτήσεων, και κατηγορημάτων. Α είναι το σύνολο αντικειμένων στα οποία αναφερόμαστε. Ορισμός τιμής για κάθε σύμβολο σταθεράς. Ορισμός συναρτησιακών συμβόλων: «πράξη» που αντιστοιχούν. Τι «επιστρέφει» κάθε συναρτησιακό σύμβολο. Ορισμός κατηγορηματικών συμβόλων: «σχέση» που αντιστοιχούν. Πότε κατηγορηματικό σύμβολο «επιστρέφει» ΑκαιπότεΨ. Γλώσσα Θεωρίας Αριθμών: Σύμπαν Ν, σταθερά 0, συναρτησιακά,, και, κατηγορηματικό <. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 3η ΟΣΣ(Κατηγορηματική Λογική) 17

18 Εξάσκηση με Εναλλαγή Ποσοδεικτών P(x, y): ο x θαυμάζει τον y P(x, y): x y όλοι θαυμάζουν κάποιον (όχι αναγκαία τον ίδιο, μπορεί τον εαυτό τους). όλοι θαυμάζονται από κάποιον (όχι αναγκαία από τον ίδιο, μπορεί από τον εαυτό τους). όλοι θαυμάζουν τους πάντες (και τον εαυτό τους). υπάρχει κάποιους που τους θαυμάζει όλους (και εαυτό του). υπάρχει κάποιος που τον θαυμάζουν όλοι (και εαυτός του). υπάρχει ζευγάρι (όχι αναγκαία διαφορετικών) που οένας θαυμάζει τον άλλο. κάθε αριθμός έχει κάποιον μεγαλύτερο ή ίσο του. κάθε αριθμός έχει κάποιον μικρότερο ή ίσο του. για κάθε ζευγάρι αριθμών, ο ένας είναι μικρότερος ή ίσος του άλλου. υπάρχει αριθμός μικρότερος ή ίσος όλων (κάτω φράγμα). υπάρχει αριθμός μεγαλύτερος ή ίσος όλων (άνω φράγμα) υπάρχουν αριθμοί που ο ένας είναι μικρότερος ή ίσος του άλλου. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 3η ΟΣΣ(Κατηγορηματική Λογική) 18

19 Νόμοι Άρνησης Ποσοδεικτών: Εκφραστικότητα Πρωτοβάθμιας Γλώσσας Δεδομένης ερμηνείας (π.χ. φυσικοί αριθμοί, σύνολα, γραφήματα), διατύπωση προτάσεων ιδιοτήτων σε πρωτοβάθμια γλώσσα. Όλοι οι άνθρωποι θαυμάζουν κάποιον άλλο. Υπάρχει κάποιος που δεν θαυμάζει κανέναν άλλο. Υπάρχει κάποιος που θαυμάζει τον εαυτό του και μόνον αυτόν. Όλοι θαυμάζονται από κάποιον άλλο. Υπάρχει κάποιος που θαυμάζει όλους τους άλλους. Υπάρχει κάποιος που δεν θαυμάζει κανέναν. Δεν υπάρχει κανένας άνθρωπος που να τον θαυμάζουν όλοι οι άλλοι. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 3η ΟΣΣ(Κατηγορηματική Λογική) 19

20 Εκφράσεις Ελληνικής σε Πρωτοβάθμια Γλώσσα Απλές γλωσσικές δομές συνήθως επαρκούν. Κάθε αντικείμενο με ιδιότητα P έχει ιδιότητα Q. Ο επόμενος κάθε περιττού αριθμού είναι άρτιος. Κάθε πολλαπλάσιο του 4 είναι άρτιος. Υπάρχει αντικείμενο με ιδιότητα P και ιδιότητα Q Δεν είναι όλοι οι άρτιοι πολλαπλάσια του 4. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 3η ΟΣΣ(Κατηγορηματική Λογική) 20

21 Εκφράσεις Ελληνικής σε Πρωτοβάθμια Γλώσσα Υπάρχει μοναδικό αντικείμενο με ιδιότητα Ρ. Υπάρχει μέγιστο (ελάχιστο) στοιχείο με ιδιότητα Ρ. Υπάρχει μοναδικός φυσικός που είναι μικρότερος του 1. Το άθροισμα δύο περιττών είναι άρτιος. Ο x διαιρεί ακριβώς τον y: O x είναι μικρότερος ή ίσος του y: Ο x είναι πρώτος αριθμός: ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 3η ΟΣΣ(Κατηγορηματική Λογική) 21

22 Εκφράσεις Ελληνικής σε Πρωτοβάθμια Γλώσσα Ερμηνεία με σύμπαν δυναμοσύνολο πεπερασμένου συνόλου S, 2-μελές κατηγορηματικό σύμβολο Q με ερμηνεία Q(x, y) x y, και σταθερά c που ερμηνεύεται με το κενό σύνολο ( ). Δυναμοσύνολο P(S): σύνολο με στοιχεία όλα τα υποσύνολα του S. Π.χ. δυναμοσύνολο {1, 2, 3}: P({1,2,3}) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} Υπάρχει σύνολο που περιέχει (ως υποσύνολα) κάθε σύνολο. Το κενό σύνολο έχει μόνο ένα υποσύνολο, τον εαυτό του. Για κάθε ζευγάρι συνόλων υπάρχει κοινό υποσύνολο που είναι το μεγαλύτερο δυνατό (τομή συνόλων). Για κάθε ζευγάρι συνόλων υπάρχει κοινό υπερσύνολο που είναι το ελάχιστο δυνατό (ένωση συνόλων). ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 3η ΟΣΣ(Κατηγορηματική Λογική) 22

23 Ερ. 1, 3 η Εργ Διατύπωση σε πρωτοβάθμια γλώσσα: Υπάρχει πληροφορικός που δεν συμπαθεί κανένα μαθηματικό. Κανένας μαθηματικός δεν συμπαθεί δύο ή περισσότερους πληροφορικούς. Αν ένας μαθηματικός συμπαθεί δύο πληροφορικούς, τότε τουλάχιστον ένας από αυτούς είναι μαθηματικός. Αν ένα λειτουργικό σύστημα χρησιμοποιείται από τουλάχιστον δύο πληροφορικούς, τότε κάποιος μαθηματικός δεν το χρησιμοποιεί. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 3η ΟΣΣ(Κατηγορηματική Λογική) 23

24 Ερ. 1, 3 η Εργ Τι εκφράζουν σε φυσική γλώσσα: Υπάρχει πληροφορικός που χρησιμοποιεί κάθε λειτουργικό σύστημα. Κανένα λειτουργικό δεν χρησιμοποιείται από όλους τους πληροφορικούς. Όλοι όσοι είναι μαθηματικοί και πληροφορικοί ταυτόχρονα χρησιμοποιούν κάποιο λειτουργικό σύστημα. Όποτε κάποιος πληροφορικός συμπαθεί κάποιον μαθηματικό, αυτοί χρησιμοποιούν ένα κοινό λειτουργικό σύστημα. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 3η ΟΣΣ(Κατηγορηματική Λογική) 24

25 Σημασιολογική Προσέγγιση Α = φ[v] : στην ερμηνεία Α, η αποτίμηση v επαληθεύει (ή ικανοποιεί) τον φ. Αποτίμηση v καθορίζει τιμές ελεύθερων μεταβλητών του φ και μόνο. Α = φ : ο φ ικανοποιείται από κάθε αποτίμηση στην ερμηνεία Α. Ο φαληθήςστηναήηερμηνείαα αποτελεί μοντέλο για τον φ. = φ : ο φ ικανοποιείται σε κάθε ερμηνεία. Ο φείναι(λογικά) έγκυρος (αντίστοιχο ταυτολογίας). Ταυτολογίες «δίνουν» λογικά έγκυρους τύπους με συντακτική αντικατάσταση. Εγκυρότητα / ικανοποιησιμότητα / αλήθεια φ ελέγχεται με εφαρμογή του ορισμού αλήθειας του Tarski. Δεν είναι ανάγκη να επιμείνετε στον βαρύ συμβολισμό του βιβλίου, να επιμείνετε μόνο στην ουσία του ορισμού. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 3η ΟΣΣ(Κατηγορηματική Λογική) 25

26 Ορισμός Tarski Ερμηνεύει λογικούς συνδέσμους και ποσοδείκτες. Ορίζει ότι ένας τύπος φ αληθεύει (σε μια ερμηνεία Α, για μια αποτίμηση v) ανν το νόημα του εκφράζει μια αλήθεια στην Α. Η έννοια Α = φ[v] ορίζεται αναδρομικά ως εξής: Α = (x = y)[v] ανν ( v(x) = v(y) ). A = Q(x 1,, x n )[v] ανν ( (v(x 1 ),, v(x n )) Q A ). A = ψ[v] ανν ( δεν ισχύει ότι A = ψ[v] ). A = (ψ χ)[v] ανν ( A = ψ[v] και A = χ[v] ). A = (ψ χ)[v] ανν ( A = ψ[v] ή A = χ[v] ). A = (ψ χ)[v] ανν ( όταν A = ψ[v], τότε A = χ[v] ). A = (ψ χ)[v] ανν ( A = ψ[v] ανν A = χ[v] ). A = xψ[v] ανν ( για κάθε α Α, Α = ψ[v(x α)] ). A = xψ[v] ανν ( υπάρχει α Α τέτοιο ώστε Α = ψ[v(x α)] ). ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 3η ΟΣΣ(Κατηγορηματική Λογική) 26

27 Σημασιολογική Προσέγγιση Γιαναελέγξουμεανμιαπρότασηαληθεύει σε συγκεκριμένη ερμηνεία, συνήθως δεν ακολουθούμε κατά γράμμα τον φορμαλισμό του ορισμού Tarski, αλλά απλά «αποκωδικοποιούμε» την πρόταση (στην συγκεκριμένη ερμηνεία) και εξηγούμε πειστικά αν αληθεύει ή όχι. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 3η ΟΣΣ(Κατηγορηματική Λογική) 27

28 Ερώτημα 2, 3 η Εργ Αληθεύουν οι παρακάτω τύποι στους φυσικούς: Οι φυσικοί έχουν ελάχιστο στοιχείο: ναι, το 0. Για κάθε ζεύγος φυσικών x, y ισχύει ότι: Υπάρχει φυσικός z τέτοιος ώστε οι x, y και μόνον αυτοί είναι μικρότεροι του z. Όχι, π.χ. για x = 0 και y = 5, κανένα z δεν έχει την ιδιότητα. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 3η ΟΣΣ(Κατηγορηματική Λογική) 28

29 Ερώτημα 2, 3 η Εργ Αληθεύουν οι παρακάτω τύποι στους φυσικούς: Δύο φυσικοί είναι ίσοι ανν έχουν το ίδιο σύνολο μικρότερων. Ναι. Θεωρούμε δύο τυχόντες φυσικούς x, y: Αν x = y, προφανές. Αν x y, υπάρχει φυσικός (ο μικρότεροςτωνx, y) που είναι μικρότερος του ενός αλλά όχι του άλλου. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 3η ΟΣΣ(Κατηγορηματική Λογική) 29

30 Ερώτημα 1, 3 η Εργασία Τύπος φ(x) με ελεύθερη μεταβλητή x ορίζει σύνολο Α φ = { α Α : φ(α) αληθεύει στην Α } φ(x): ιδιότητα στοιχείων της δομής (όπως κατηγορήματα). Πρόταση ψ: ιδιότητα τηςίδιαςτηςδομής. Να ορίσετε έτσι τα {0} και {1} (χωρίς σταθερά 0, συνάρτηση ). x είναι ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης: φ 0 (x) y(x + y = y). Η δομή έχει ουδέτερο στοιχείο για την πρόσθεση: x y(x + y = y). x είναι ουδέτερο στοιχείο του πολ/μού: φ 1 (x) y(x y = y). Η δομή έχει ουδέτερο στοιχείο για τον πολ/μό: x y(x y = y). ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 3η ΟΣΣ(Κατηγορηματική Λογική) 30

31 Σημασιολογική Προσέγγιση Δίνεται συγκεκριμένη πρόταση και ζητείται δομή που να (μην) την ικανοποιεί. Νδο παρακάτω πρόταση δεν είναι λογικά έγκυρη περιγράφοντας ερμηνεία της Γλώσσας Θ. Αριθμών που δεν την ικανοποιεί. Αν Q(x, y) x < y, υπόθεση αληθής και συμπέρασμα ψευδές! ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 3η ΟΣΣ(Κατηγορηματική Λογική) 31

32 Λογική Εγκυρότητα Να εξετάσετε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι λογικά έγκυρες: Ότι μια πρόταση δεν είναι λογικά έγκυρη αποδεικνύεται με «αντιπαράδειγμα» (ερμηνεία που δεν την ικανοποιεί): Για την (i), φυσικοί αριθμοί, P(x) δηλώνει ότι x άρτιος, Q(x) δηλώνει ότι x περιττός. Λογική εγκυρότητα αποδεικνύεται με εφαρμογή ορισμού Tarski. Επιμένουμε περισσότερο στην ουσία και λιγότερο στον συμβολισμό. Για αυθαίρετη ερμηνεία Α, πρόταση (ii) δηλώνει ότι: αν για κάθε στοιχείο α Α, Α = P(α) και Α = Q(α), τότε για κάθε στοιχείο α Α, Α = P(α) ήα = Q(α). Αυτό αληθεύει για κάθε δομή Α. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 3η ΟΣΣ(Κατηγορηματική Λογική) 32

33 Λογική Εγκυρότητα Νδο = x(p(x) Q(x)) ( xp(x) xq(x)) Θεωρούμε αυθαίρετη δομή Α. Πρέπει νδο: Αν (i) υπάρχει α Α : Α = P(α) Q(α), τότε (ii) αν για κάθε β Α, Α = Ρ(β), τότε (iii) υπάρχει γ Α : Α = Q(γ). Αρκεί νδο αν ισχύουν τα (i) και (ii), τότε ισχύει και το (iii). Λόγω (i): υπάρχει α Α : Α = P(α) Q(α). Λόγω (ii): A = P(α). Άρα Α = Q(α). Συνεπώς, αν ισχύουν τα (i) και (ii), υπάρχει στοιχείο του Α για το οποίο αληθεύει το Q στην ερμηνεία Α. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 3η ΟΣΣ(Κατηγορηματική Λογική) 33

34 Λογική Εγκυρότητα: Ερώτημα 3, 3 η Εργ Να διερευνήσετε αν οι παρακάτω τύποι είναι λογικά έγκυροι: Αν σχέση P είναι π.χ. ανακλαστική, τότε σχέση Ρ δεν έχει «ελάχιστο στοιχείο». Δεν είναι λογικά έγκυρο, π.χ. φυσικοί με P(x, y) x y. Αν όταν το Ραληθεύειπάντατότε και το Q αληθεύει πάντα, τότε τα κατηγορήματα ΡκαιQταυτίζονται. Δεν είναι λογικά έγκυρο, π.χ. Ρ δεν αληθεύει για κάποια στοιχεία και Q αληθεύει για όλα τα στοιχεία. Λογικά έγκυρο, π.χ. μετακίνηση ποσοδεικτών. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 3η ΟΣΣ(Κατηγορηματική Λογική) 34

35 Λογική Συνεπαγωγή: Ερ. 4, 3 η Εργ Δίνονται τρεις προτάσεις: ΗσχέσηΡείναιμεταβατική. ΗσχέσηΡείναιαντισυμμετρική. Αν κάθε στοιχείο Ρ-σχετίζεται με κάποιο στοιχείο, υπάρχει στοιχείο με το οποίο Ρ-σχετίζονται όλα τα στοιχεία. { (α), (β) } = (γ); Όχι, π.χ. φυσικοί με P(x, y) x y. { (α), (γ) } = (β); Όχι, π.χ. αν P(x, y) αληθεύει πάντα. { (β), (γ) } = (α); Όχι, π.χ. σύμπαν = {0, 1, 2} και P(x, y) αληθεύει για {(0,1), (1,2)}. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 3η ΟΣΣ(Κατηγορηματική Λογική) 35

36 Κανονική Ποσοδεικτική Μορφή Για κάθε τύπο φ, μπορούμε να βρούμε λογικά ισοδύναμο τύπο όπου Q i ποσοδείκτες και φ (x 1,, x n ) ανοικτός τύπος. φ * αποτελεί Κανονική Ποσοδεικτική Μορφή (ΚΠΜ) φ. Για υπολογισμό ΚΠΜ, χρησιμοποιούμε: Νόμους μετακίνησης ποσοδεικτών (μόνο αν x δεν εμφανίζεται ελεύθερη στον φ): Νόμους άρνησης ποσοδεικτών: Νόμους κατανομής ποσοδεικτών: ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 3η ΟΣΣ(Κατηγορηματική Λογική) 36

37 Κανονική Ποσοδεικτική Μορφή Να βρείτε μια ΚΠΜ του τύπου ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 3η ΟΣΣ(Κατηγορηματική Λογική) 37

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 2 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική βαθμολογική εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορηµατική Λογική Προτασιακή Λογική: πλαίσιο διατύπωσης και µελέτης επιχειρηµάτων για πεπερασµένο πλήθος «λογικών αντικειµένων». «Λογικό αντικείµε

Κατηγορηµατική Λογική Προτασιακή Λογική: πλαίσιο διατύπωσης και µελέτης επιχειρηµάτων για πεπερασµένο πλήθος «λογικών αντικειµένων». «Λογικό αντικείµε Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηµατική

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60

Περιεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60 Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5)

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή στον Κατηγορηματικό Λογισμό Σύνταξη Κανόνες Συμπερασμού Σημασιολογία ΕΠΛ 412 Λογική στην

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Μαθηματικές Προτάσεις Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος.

4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος. Κεφάλαιο 10 Μαθηματική Λογική 10.1 Προτασιακή Λογική Η γλώσσα της μαθηματικής λογικής στηρίζεται βασικά στις εργασίες του Boole και του Frege. Ο Προτασιακός Λογισμός περιλαμβάνει στο αλφάβητό του, εκτός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αξιόλογη προσπάθεια,

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτέμβριος 2014 α Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά απαιτητικά ερωτήματα,

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικής Λογικής. Χειμερινό Εξάμηνο Δ. Ζώρος, Ν. Καρβέλας Σύμφωνα με παραδόσεις του Λ. Κυρούση

Σημειώσεις Μαθηματικής Λογικής. Χειμερινό Εξάμηνο Δ. Ζώρος, Ν. Καρβέλας Σύμφωνα με παραδόσεις του Λ. Κυρούση Σημειώσεις Μαθηματικής Λογικής Χειμερινό Εξάμηνο 2011-2012 Δ. Ζώρος, Ν. Καρβέλας Σύμφωνα με παραδόσεις του Λ. Κυρούση Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 1 2 Προτασιακή Λογική 3 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές

Διαβάστε περισσότερα

, για κάθε n N. και P είναι αριθμήσιμα.

, για κάθε n N. και P είναι αριθμήσιμα. ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Διδάσκοντες: Δ.Φωτάκης Θ. Σούλιου η Γραπτή Εργασία Ημ/νια παράδοσης 5/4/8 Θέμα (Διαδικασίες Απαρίθμησης.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική εικόνα, αντίστοιχη

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική (προπτυχιακό) Εξέταση Ιανουαρίου 2018 Σελ. 1 από 5

Μαθηματική Λογική (προπτυχιακό) Εξέταση Ιανουαρίου 2018 Σελ. 1 από 5 Μαθηματική Λογική (προπτυχιακό) Εξέταση Ιανουαρίου 2018 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτεμβρίου 2015 Σελ. 1 από 6 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης Σημειώσεις Λογικής I Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Καθηγητής: Λ. Κυρούσης 2 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37. Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 2 Προτασιακή Λογική 7 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις...................

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Παρασκευή, 16/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 17-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 2 η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική)

ΠΛΗ 20, 2 η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) ΠΛΗ 20, 2 η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 1 η Εργασία: Γενική Εικόνα Πολύ καλή εικόνα με εξαιρετική βαθμολογία

Διαβάστε περισσότερα

ψ φ2 = k χ φ2 = 4k χ φ1 = χ φ1 + χ φ2 + 3 = 4(k 1 + k 2 + 1) + 1 ψ φ1 = ψ φ1 + χ φ2 = k k = (k 1 + k 2 + 1) + 1

ψ φ2 = k χ φ2 = 4k χ φ1 = χ φ1 + χ φ2 + 3 = 4(k 1 + k 2 + 1) + 1 ψ φ1 = ψ φ1 + χ φ2 = k k = (k 1 + k 2 + 1) + 1 Ασκήσεις στο μάθημα της Λογικής 15 Οκτωβρίου 2015 Άσκηση 1. Να δειχτεί ότι δεν υπάρχουν τύποι μήκους 2,3,6 αλλά κάθε άλλο (θετικό ακέραιο) μήκος είναι δυνατό (άσκηση 2, σελίδα 39) Απόδειξη. Δείχνουμε πρώτα

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 20/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 20-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Πρώτης Τάξης. Γιώργος Κορφιάτης. Νοέµβριος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Λογική Πρώτης Τάξης. Γιώργος Κορφιάτης. Νοέµβριος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Λογική Πρώτης Τάξης Γιώργος Κορφιάτης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Νοέµβριος 2008 Σύνταξη Ορισµός (Σύνταξη της λογικής πρώτης τάξης) Λεξιλόγιο Σ = (Φ, Π, r) Συναρτήσεις f Φ Σχέσεις R Π r( ) η πληθικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Τελική εξέταση Ιούλιος 2014 α Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις (Μαθηματική)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 2 η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική)

ΠΛΗ 20, 2 η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) ΠΛΗ 20, 2 η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 1 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική εικόνα (μ.ο.: 7.09). Πολλά

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 15/02/2018 Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε Αντώνης διαφάνειες Α. Αργυρός του Kees van e-mail: argyros@csd.uoc.gr Deemter, από το University of Aberdeen 15-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα. Ορισμός Συνόλου. Υποσύνολα και Κενό Σύνολο. Στοιχεία ενός συνόλου:

Σύνολα. Ορισμός Συνόλου. Υποσύνολα και Κενό Σύνολο. Στοιχεία ενός συνόλου: Ορισμός Συνόλου Σύνολα Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σύνολο είναι μια συλλογή διακεκριμένων

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Δείγμα Ενδιάμεσης Εξέτασης Λύσεις Άσκηση 1 [30 μονάδες] Να αποδείξετε τα πιο κάτω λογικά επακόλουθα χρησιμοποιώντας τα συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΛΗ20, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 203, Α ΜΕΡΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΤΕ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΑΣ ΚΑΙ ΜΗΝ ΑΝΟΙΞΕΤΕ ΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΑΝ ΔΕΝ ΣΑΣ ΠΕΙ Ο ΕΠΙΤΗΡΗΤΗΣ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ... ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ...ΤΜΗΜΑ..

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Επαγωγή. Τεχνικές Απόδειξης. Αποδείξεις Ύπαρξης. Μαθηματική Επαγωγή

Μαθηματική Επαγωγή. Τεχνικές Απόδειξης. Αποδείξεις Ύπαρξης. Μαθηματική Επαγωγή Μαθηματική Επαγωγή Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τεχνικές Απόδειξης Εξαντλητική

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2 Άσκηση 1 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2 Ακολουθεί η διατύπωση των προτάσεων στον Κατηγορηματικό Λογισμό. (α) Δεν υπάρχουν δύο διαφορετικές πτήσεις με τον ίδιο αριθμό. x 1, d 1, a 1, s 1, t 1, x 2, d 2, a 2,

Διαβάστε περισσότερα

Κατ οίκον Εργασία 2 Λύσεις

Κατ οίκον Εργασία 2 Λύσεις Κατ οίκον Εργασία 2 Λύσεις Άσκηση 1 Ακολουθεί η διατύπωση των προτάσεων στον προτασιακό λογισμό. (α) Κάθε ενεργός χρήστης είναι είτε διαχειριστής είτε κανονικός χρήστης του συστήματος. x [Ενεργός (x) Διαχειριστής(x)

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Γιάννης Εμίρης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών http://eclass.uoa.gr/ Οκτώβριος 2017 Οργάνωση Μαθήματος Προτασιακή Λογική, Αποδείξεις Κατηγορήματα και ποσοδείκτες Συνεπαγωγή Αποδείξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Ενδιάμεση Εξέταση Ημερομηνία : Πέμπτη, 30 Οκτωβρίου 2014 Διάρκεια : 10:30 12.00 Διδάσκουσα : Άννα Φιλίππου ΠΡΟΤΥΠΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Οδηγίες:

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτεμβρίου 2016 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Εξέταση Ιουλίου 2015 Σελ. 1 από 6 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις σας

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Μαθηματική Επαγωγή ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τεχνικές Απόδειξης Εξαντλητική

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Γιάννης Εμίρης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών http://eclass.uoa.gr/ Οκτώβριος 2018 Οργάνωση και περιεχόμενα Μαθήματος Προτασιακή Λογική, Αποδείξεις Κατηγορήματα και ποσοδείκτες

Διαβάστε περισσότερα

\5. Κατηγορηματικός Λογισμός (Predicate Calculus)

\5. Κατηγορηματικός Λογισμός (Predicate Calculus) \5 Κατηγορηματικός Λογισμός (Predicate Calculus) 51 Αντικείμενα Ιδιότητες και Σχέσεις Θεωρείστε την παρακάτω εξαγωγή συμπεράσματος: Κανένας ακέραιος δεν είναι μεγαλύτερος από το τετράγωνό του Το 1 2 είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι

ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι Για τον προτασιακό λογισμό παρουσιάσαμε την αποδεικτική θεωρία (natural deduction/λογικό συμπέρασμα) τη σύνταξη (ορίζεται με γραμματική χωρίς συμφραζόμενα και εκφράζεται με συντακτικά

Διαβάστε περισσότερα

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις Βασικές έννοιες της Λογικής 1 Πρόταση Στην καθημερινή μας ομιλία χρησιμοποιούμε εκφράσεις όπως: P1: «Καλή σταδιοδρομία» P2: «Ο Όλυμπος είναι το ψηλότερο βουνό της Ελλάδας» P3: «Η Θάσος είναι το μεγαλύτερο

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 23/02/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 2/23/2017

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ MYY204 Διακριτά Μαθηματικά Μθ άii Προτασιακή Λογική ιδακτικές Σημειώσεις EPP : Παράγραφοι 1.1 1.2 Rosen: Παράγραφοι 1.1 1.3 1 η +2 η Εβδομάδα Άνοιξη 2015 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Ενδιάμεση Εξέταση Σκελετοί Λύσεων Ημερομηνία : Σάββατο, 27 Οκτωβρίου 2012 Διάρκεια : 11:00 13:00 Διδάσκουσα : Άννα Φιλίππου Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Πολύ ενθαρρυντική εικόνα. Σαφώς καλύτερη

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης Σημειώσεις Λογικής I Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Καθηγητής: Λ. Κυρούσης 2 Τελευταία ενημέρωση 12/5/2012, στις 06:52. Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 2 Προτασιακή Λογική 7 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις...................

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ : Λογική στην Πληροφορική Δείγμα Ενδιάμεσης Εξέτασης Σκελετοί Λύσεων Άσκηση [0 μονάδες] α Να αναφέρετε τρεις μεθόδους μέσω των οποίων μπορούμε να αποφασίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Τα πρώτα μαθήματα, σχεδόν σε όλους τους κλάδους των μαθηματικών, περιέχουν, ή θεωρούν γνωστές, εισαγωγικές έννοιες που αφορούν σύνολα, συναρτήσεις, σχέσεις ισοδυναμίας, αλγεβρικές δομές, κλπ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ME ΠΟΛΛΕΣ ΚΑΙ ΕΓΚΑΡΔΙΕΣ ΕΥΧΕΣ ΓΙΑ ΚΑΛΕΣ ΓΙΟΡΤΕΣ, ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΠΡΟΟΔΟ ΣΕ ΕΣΑΣ ΚΑΙ ΤΙΣ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΕΣ ΣΑΣ Φυλλάδιο 2: Σχεσιακή Λογική ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2006 ΠΑΡΑΔΟΣΗ: 12/11/2006

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Παρασκευή, 02/03/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 02-Mar-18

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Νόµοι ισοδυναµίας. Κατηγορηµατικός Λογισµός. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο Παρασκευή, 24/02/2017

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Νόµοι ισοδυναµίας. Κατηγορηµατικός Λογισµός. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο Παρασκευή, 24/02/2017 HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 24/02/2017 Κατηγορηµατικός Λογισµός Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική A Ενδιάμεση εξέταση Μάρτιος 2014 Σελ. 1 από 6 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Δώστε έναν επαγωγικό ορισμό για το παραπάνω σύνολο παραστάσεων.

Δώστε έναν επαγωγικό ορισμό για το παραπάνω σύνολο παραστάσεων. Εισαγωγή στη Λογική Α Τάξης Σ. Κοσμαδάκης Συντακτικό τύπων Α τάξης Α Θεωρούμε δεδομένο ένα λεξιλόγιο Λ, αποτελούμενο από (1) ένα σύνολο συμβόλων για σχέσεις, { R, S,... } (2) ένα σύνολο συμβόλων για συναρτήσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 01/03/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 02-Mar-18

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 21/02/2017 Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε Αντώνης διαφάνειες Α. Αργυρός του Kees van e-mail: argyros@csd.uoc.gr Deemter, από το University of Aberdeen 2/21/2017

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Σύντομο ιστορικό σημείωμα: Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών, αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο (~600 π.χ.). Ο Θαλής απέδειξε, ότι η διάμετρος διαιρεί τον κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Περιεχόμενα 1 Ορισμός της

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 21/02/2017 Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε Αντώνης διαφάνειες Α. Αργυρός του Kees van e-mail: argyros@csd.uoc.gr Deemter, από το University of Aberdeen 2/21/2017

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118 - Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο 2013

ΗΥ118 - Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο 2013 ΗΥ118 - Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2013 2 η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Άσκηση 2.1 [2 μονάδες] Έστω μεταβλητές και σταθερές στο σύνολο των ανθρώπων και η προτασιακή μορφή Ρ(x, y) με το νόημα "o x αγαπά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

(ii) X P(X). (iii) X X. (iii) = (i):

(ii) X P(X). (iii) X X. (iii) = (i): Θεωρία Συνόλων Χειμερινό Εξάμηνο 2016 2017 Λύσεις 1. Δείξτε ότι ισχύουν τα ακόλουθα: (i) ω / ω (με άλλα λόγια, το ω δεν είναι φυσικός αριθμός). (ii) Για κάθε n ω, ισχύει ω / n. (iii) Για κάθε n ω, το n

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι το τμήμα Φυσικής, Χημείας, των τμημάτων του Πολυτεχνείου,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΛΗ0, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 015, Α ΜΕΡΟΣ 1. Στους παρακάτω τύπους τα,, είναι προτασιακοί τύποι. Ισχύει ότι: 1. ( Σ / Λ ) O τύπος ( ) ( ) είναι αντίφαση.

Διαβάστε περισσότερα

Προτάσεις. Εισαγωγή στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών. Ποιες είναι προτάσεις; Προτάσεις 6/11/ ο Μάθημα Μαθηματική Λογική (επανάληψη)

Προτάσεις. Εισαγωγή στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών. Ποιες είναι προτάσεις; Προτάσεις 6/11/ ο Μάθημα Μαθηματική Λογική (επανάληψη) Εισαγωγή στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών 5 ο Μάθημα Μαθηματική Λογική (επανάληψη) Προτάσεις Η πρόταση είναι μια γλωσσική ενότητα, η οποία εκφράζει κάποιο νόημα. Παραδείγματα: Η Μαρία σχεδιάζει ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ισότητα, Αλγεβρικές και Αναλυτικές Ιδιότητες Πραγματικών Ακολουθιών

Ισότητα, Αλγεβρικές και Αναλυτικές Ιδιότητες Πραγματικών Ακολουθιών Ισότητα, Αλγεβρικές και Αναλυτικές Ιδιότητες Πραγματικών Ακολουθιών Συμβολισμοί Σε αναλογία με τους ορισμούς συμβολίζουμε μια ακολουθία: 1 είτε μέσω του διανυσματικού ορισμού, παραθέτοντας αναγκαστικά

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Ι

Διακριτά Μαθηματικά Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Μαθηματική λογική και αποδεικτικές τεχνικές Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2 Άσκηση 1 N φιλόσοφοι κάθονται γύρω από ένα τραπέζι με N καρέκλες, N πιάτα και N πιρούνια. Όταν κάποιος φιλόσοφος πεινάσει παίρνει τα δύο πιρούνια που βρίσκονται δίπλα από το πιάτο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 2 ης Σειράς Ασκήσεων

Λύσεις 2 ης Σειράς Ασκήσεων Λύσεις 2 ης Σειράς Ασκήσεων Άσκηση 1 Στην άσκηση αυτή σας ζητείται να διατυπώσετε στον Κατηγορηματικό Λογισμό ένα σύνολο από απαιτήσεις/προτάσεις που σχετίζονται με ένα κοινωνικό δίκτυο χρησιμοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης. 5ο μέρος σημειώσεων: Κατηγορηματικός Λογισμός (Predicate Calculus)

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης. 5ο μέρος σημειώσεων: Κατηγορηματικός Λογισμός (Predicate Calculus) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 5ο μέρος σημειώσεων: Κατηγορηματικός Λογισμός (Predicate Calculus) Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Ασκήσεις στον Κατηγορηματικό Λογισμό Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Ασκήσεις στον Κατηγορηματικό Λογισμό Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Ασκήσεις στον Κατηγορηματικό Λογισμό Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης Creative Commons και ειδικότερα Αναφορά

Διαβάστε περισσότερα

Π(n) : 1 + a + + a n = an+1 1 a 1. a 1. + a k+1 = ak+2 1

Π(n) : 1 + a + + a n = an+1 1 a 1. a 1. + a k+1 = ak+2 1 Διακριτά Μαθηματικά [Rosen, κεφ. 5] Γιάννης Εμίρης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών, ΕΚΠΑ Νοέμβριος 2018 Επαγωγή και Αναδρομή [Rosen, κεφ. 5] Μαθηματική επαγωγή [Rosen 5.1] Μέθοδος απόδειξης μιας μαθηματικής

Διαβάστε περισσότερα

κ.λπ. Ισχύει πως x = 100. Οι διαφορετικές λύσεις αυτής της εξίσωσης χωρίς κανένα περιορισμό είναι

κ.λπ. Ισχύει πως x = 100. Οι διαφορετικές λύσεις αυτής της εξίσωσης χωρίς κανένα περιορισμό είναι Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Διακριτά Μαθηματικά 3 η γραπτή εργασία, Σχέδιο Λύσεων Επιμέλεια: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου ΘΕΜΑ (Συνδυαστική,.6 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 10η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 10η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 10η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Τι θα ακούσετε σήμερα Σημασιολογία πρωτοβάθμιας κατηγορηματικής λογικής. Υπενθύμιση: συντακτικό ΠΚΛ τύπος ατομικός_τύπος

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις

Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις Άσκηση 1 Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις (α) Το επακόλουθο (A (B C)) ((A C) (A B)) είναι ψευδές. Αυτό φαίνεται στην ανάθεση τιμών [Α] = Τ, [Β] = F, [C] = T. (β) Ακολουθεί η απόδειξη του επακόλουθου. 1. x(p(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 2ο μέρος σημειώσεων: Συστήματα Αποδείξεων για τον ΠΛ, Μορφολογική Παραγωγή, Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα άμεσης απόδειξης. HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της μορφής εάν-τότε

Παράδειγμα άμεσης απόδειξης. HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της μορφής εάν-τότε HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 27/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 27-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Να βρείτε το σφάλμα στην πιο κάτω απόδειξη. Ισχυρισμός: Όλα τα βιβλία που έχουν γραφτεί στη Θεωρία Υπολογισμού έχουν τον ίδιο

Διαβάστε περισσότερα

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων 4ο Κεφάλαιο 9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΛΗ0, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 014, Α ΜΕΡΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΤΕ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΑΣ ΚΑΙ ΜΗΝ ΑΝΟΙΞΕΤΕ ΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΑΝ ΔΕΝ ΣΑΣ ΠΕΙ Ο ΕΠΙΤΗΡΗΤΗΣ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ... ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ...ΤΜΗΜΑ..

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 27/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 27-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα