Χρησιμοποιείται για να δηλώσουμε τους διάφορους τύπους ουρών. A/B/C. Κατανομή εξυπηρετήσεων

Transcript

1 Συμβολισμός Kedel Χρησιμοποιείται για να δηλώσουμε τους διάφορους τύπους ουρών. A/B/C Κατανομή αφίξεων Κατανομή εξυπηρετήσεων Αριθμός των εξυπηρετητών Όπου Α,Β μπορεί να είναι: M κατανομή Posso G κατανομή εξυπηρέτησης με αυθαίρετο χρόνο D κατανομή εξυπηρέτησης με σταθερό χρόνο Πχ: M/M/ : Αφίξεις και εξυπηρέτηση ~ κατανομή Posso & μόνο εξυπηρετητής Πχ2: M/G/ ποιο γενική δήλωση Μ/G/ Μ/M/ Μ/D/

2 Ουρά Μ/Μ/ Βασικά χαρακτηριστικά της: αφίξεις : κατανομή Posso εξυπηρετήσεις: ~ εκθετική κατανομή ένας εξυπηρετητής με τρόπο FIFO M/M/: Αφίξεις (Posso λ Εκθετική κατανομή Εξυπηρετητής μ H Ουρά Μ/Μ/ Καταστάσεις μιας ουράς είναι ο αριθμός των στοιχείων τα οποία αναμένουν στην ουρά για εξυπηρέτηση. Σε ένα στοιχειώδες χρονικό διάστημα Δ, υπάρχουν 4 πιθανές περιπτώσεις : ένα πακέτο να εισέλθει στην ουρά ένα πακέτο να εξέλθει από την ουρά ένα πακέτο να εισέλθει και ένα να εξέλθει να μην εισέλθει και να μην εξέλθει από την ουρά ένα πακέτο

3 ΠΡΟΥΠΟΘΕΣΕΙΣ Μοντέλου Μ/Μ/ Οι αφίξεις λ (μέσος αριθμός αφίξεων/μονάδα χρόνου ακολουθούν κατανομή Posso, τα αντικείμενα μπορεί να προέρχονται από ένα άπειρο ή πολύ μεγάλο πλήθος Κάθε αντικείμενο στην άφιξη αναμένει εξυπηρέτηση και δεν εγκαταλείπει την ουρά Η ουρά εξυπηρετεί με τρόπο Frs I Frs Ou (FIFO O ρυθμός εξυπηρέτησης μ (μέσος αριθμός αντικειμένων που εξυπηρετούνται /μονάδα χρόνου ακολουθεί Εκθετική κατανομή O ρυθμός εξυπηρέτησης μ είναι μεγαλύτερος του λ (μ>λ Noe: λ, μ εκφράζονται σε πλήθος αντικειμένων /χρονική μονάδα Π.χ. πελάτες/ώρα messages/m πακέτα δεδομένων/sec

4 Αποτελέσματα μοντέλου: M/M/ Πιθανότητα να υπάρχουν k αντικείμενα στo σύστημα: Πιθανότητα να μην υπάρχουν αντικείμενα στο σύστημα: Μέσος αριθμός αντικειμένων στο σύστημα (ουρά +server: Μέσος αριθμός αντικειμένων στην ουρά: Μέσος όρος αναμονής στο σύστημα Μέσος όρος αναμονής στην ουρά: W = = Ε λ Πιθανότητα να είναι απασχολημένη η μονάδα εξυπηρέτησης (αναμονή στην ουρά:

5 Αν η κατάσταση μιας ουράς είναι σταθερή τότε η πιθανότητα άφιξης των στοιχείων Είναι ίση με την πιθανότητα εξυπηρέτησης των στοιχείων λ=μ! Υπολογισμός πλήθους στοιχείων μιας ουράς, ( ( ( ( Έστω: j, η πιθανότητα να μεταφερθούμε από την κατάσταση j και το αντίθετο με j, j j, j, +,, -,,,,, Πιθανότητα κατάστασης ( : (,,

6 , -, Συνεπώς, για κατάσταση με στοιχεία: +.

7 Μ/Μ/ ουρά με άπειρο πλήθος καταστάσεων Ισχύει: Αν lk ulzao Για να βρούμε την εφαρμόζω το κριτήριο της κανονικοποίησης: Άρα: ( Θα πρέπει ρ< (λ<μ ώστε η ουρά να σταθεροποιηθεί σε κάποια κατάσταση, Αλλιώς, ο πληθυσμός των στοιχείων θα αυξάνει συνεχώς!

8 Μ/Μ/ ουρά με πεπερασμένο πλήθος καταστάσεων Έστω ότι η ουρά έχει την δυνατότητα να αποθηκεύσει Ν το πλήθος στοιχεία. Θα πρέπει να βρούμε την εξίσωση ισορροπίας: Εφαρμόζουμε την συνθήκη κανονικοποίησης σε πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων: N N ( + ( Άρα:

9 Ρυθμοαπόδοση ή ικανότητα μεταφοράς μιας ουράς M/M/ Σε μια στοιχειώδη χρονική διάρκεια κατά την οποία ο server της ουράς εξυπηρετεί με ρυθμό μ, μπορούμε να γράψουμε: Μπορούμε όμως να δηλώσουμε την Ρυθμοαπόδοση ή Throughu μιας Ουράς και συναρτήσει των αφίξεων και της πιθανότητα να είναι άδεια η ουρά: u ( Όπου u είναι η πιθανότητα η ουρά να διαθέτει στοιχείο!

10 Εύρεση πλήθους στοιχείων με τα οποία γεμίζει η ουρά Για μια συγκεκριμένη ουρά με δεδομένο συντελεστή απόδοσης ρ, μπορούμε να βρούμε τον αριθμό των στοιχείων με τον οποίο γεμίζει η ουρά αυτή. Έστω η πιθανότητα να γεμίσει (μπλοκαριστεί η υπό μελέτη ουρά. N B N Επειδή << και Ν >: N ( B ( N Β Οπότε, επιλύοντας βρίσκουμε το N: N log B log( log ρ

11 Μέσος αριθμός στοιχείων E( που έχει μια ουρά Μ/Μ/ ( ( ( * E 2 (.5 2 Ε( E( Όταν Όταν ο δείκτης φορτίου ρ αυξάνεται, τότε η μεταφορική ικανότητα (hroughu αυξάνεται αλλά ο χρόνος καθυστέρησης αυξάνει επίσης.

12 Μέσος συνολικός χρόνος καθυστέρησης μιας ουράς Μ/Μ/ Έστω T o μέσος χρόνος καθυστέρησης των στοιχείων E( E( T ( ( ( ( E(T Όταν ρ με(τ 4 2 E( T.5 δηλ. Ο χρόνος καθυστέρησης γίνεται περίπου ίσος με τον χρόνο εξυπηρέτησης μόνο κι εκπομπής. ρ Όταν όμως το ρ αυξάνει, ο μέσος χρόνος καθυστέρησης αυξάνει σημαντικά.

13 Μέσος Χρόνος καθυστέρησης στοιχείων σε μια ουρά Ε(w Συνολικός χρόνος καθυστέρησης Ε(Τ= Καθυστέρηση στην ουρά E(w+ Kαθυστέρηση εξυπηρέτησης και εκπομπής (/μ λ Ουρά Εξυπηρέτηση μ E( T E( w Ε(=λ Ε(Τ ( E( w ( w (

14 Μέση τιμή των στοιχείων που εξυπηρετούνται Ε(q Δηλαδή το πλήθος των στοιχείων που αναχωρούν από τον server: ( ( 2 2 E Ew q E