The copyright and the Intellectual Property of the Edition of the Codex Vindobonensis phil. Gr. 65 (ff. 11r-126r)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "The copyright and the Intellectual Property of the Edition of the Codex Vindobonensis phil. Gr. 65 (ff. 11r-126r)"

Transcript

1 The copyright and the Intellectual Property of the Edition of the Codex Vindobonensis phil. Gr. 65 (ff. 11r-126r) The Byzantine Mathematics, 3 rd edition Volume Ι Arithmetic, Αlgebra Volume ΙΙ Geometry

2 Τὰ βυζαντινὰ Μαθηματικὰ εἶναι συνήθως ὑποτιμημένα ὡς πρὸς τὴ συνεισφορά τους στὴν ἐξέλιξη τῆς Μαθηματικῆς Ἐπιστήμης ἀνὰ τοὺς αἰῶνες. Οἱ δύο τόμοι τῆς 3 ης Έκδοσης στοχεύουν νὰ ἀποκαταστήσουν στὸ μέτρο τοῦ δυνατοῦ τὴν πραγματικότητα, μιᾶς καὶ πηγὴ γιὰ τὴ συγγραφή τους εἶναι ὁ Ἑλληνικὸς Βιενναῖος κώδικας 65, ἕνα αὐθεντικὸ βυζαντινὸ μαθηματικὸ χειρόγραφο τοῦ 15ου αἰ. μ.χ., τὸ ὁποῖο φυλάσσεται ἐπὶ σειρὰ ἐτῶν στὴν Ἐθνικὴ Βιβλιοθήκη τῆς Αὐστρίας, καὶ τὸ ὁποῖο ἐξέδωσα τὸ 2006 (Κέντρο Βυζαντινῶν Ἐρευνῶν τοῦ Ἀριστοτέλειου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης). Μέλη τοῦ Διοικητικοῦ Συμβουλίου τοῦ Κέντρου Βυζαντινῶν Ἐρευνῶν οἱ Καθηγητές τοῦ Ἀριστοτέλειου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης κκ.: Γεώργιος Βελένης (Πρόεδρος), Ἀλκμήνη Σταυρίδου-Ζαφράκα, Βασίλειος Κατσαρός, Γεώργιος Νάκος, και Βασίλειος Φανουργάκης.

3

4 Ὁ Codex Vindobonensis phil. Gr. 65 (ff. 11r-126r) εἶναι ἕνα ὀγκῶδες χειρόγραφο 250 περίπου πυκνογραμμένων σελίδων μεγέθους Α3, ἀνωνύμου συγγραφέα, τὸ περιεχόμενο τοῦ ὁποίου διδασκόταν πρίν τήν Ἅλωση τῆς Κωνσταντινούπολης σὲ εὐρὺ κοινό προερχόμενο ἀπὸ διάφορα κοινωνικὰ στρώματα, ὅπως συνηθιζόταν ἐκείνη τὴν ἐποχή. Ἡ σημασία τοῦ χειρογράφου εἶναι αξιόλογη, ἀφοῦ, ὅπως προέκυψε ἀπὸ τὴν διενεργηθεῖσα ἐπιστημονικὴ ἔρευνα πρόκειται κατ' οὐσίαν γιὰ τὴν Μαθηματικὴ Ἐγκυκλοπαίδεια τῶν Βυζαντινῶν, καὶ μάλιστα τὴν πρώτη Μαθηματικὴ Ἐγκυκλοπαίδεια. Ἐπιπλέον ἕνα δεύτερο στοιχεῖο ποὺ ἐνισχύει τὴν ἄποψη ὅτι πρόκειται γιὰ ἕνα σημαντικὸ ἐπιστημονικὸ ἔργο τῆς ἐποχῆς του εἶναι ὅτι ἀπὸ τὰ μέχρι στιγμῆς ἐπιστημονικὰ εὑρήματα προκύπτει πὼς εἶναι τὸ πρῶτο ἑλληνικὸ χειρόγραφο στὸ ὁποῖο ἐμφανίζεται τὸ πρόβλημα (κεφ. 177 (ροζ)) τῆς κατασκευῆς τετραγώνου ἐγγεγραμμένου σὲ ἰσόπλευρο τρίγωνο, ὥστε ἡ μία του πλευρὰ νὰ ἐφάπτεται μὲ τὴν πλευρὰ τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου. Βέβαια στὸ χειρόγραφο δὲν καταγράφεται τὸ θεωρητικὸ μέρος τῆς κατασκευῆς, ἀλλὰ ζητεῖται μόνο νὰ ὑπολογισθεῖ ἡ πλευρὰ τοῦ τετραγώνου συναρτήσει τῆς πλευρᾶς τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου.

5 Πρέπει να σημειωθεί ότι στο παρελθόν έγιναν διάφορες απόπειρες έκδοσης του χειρόγραφου από Πανεπιστημιακούς Καθηγητές όπως ο Η. Hunger (1978) και ο J. L. Heiberg (1899), οι οποίες είχαν σαν αποτέλεσμα την έκδοση μικρών τμημάτων του, παρά το ότι η εργασία γινόταν συνήθως από επιστημονικές ομάδες. Αυτό όμως θεωρείται αναμενόμενο, διότι η δυσκολία της έκδοσης μιας τέτοιας μελέτης έγκειται στο ότι απαιτούνται σύνθετες γνώσεις Παλαιογραφίας, Μαθηματικών και πολύ καλή γνώση της Ελληνικής γλώσσας της σύγχρονης αλλά και αυτής του 15 ου αι. Εξέδωσα το χειρόγραφο το 2006, ως βελτιωμένη έκδοση της διδακτορικής μου διατριβής που εγκρίθηκε με ομόφωνο άριστα από το Μαθηματικό Τμήμα του Πανεπιστημίου Αθηνών το Εδώ πρέπει να επισημάνω ότι η επταμελής Επιτροπή για την έγκριση της διδακτορικής διατριβής απαρτιζόταν από 7 διακεκριμένους διεθνώς Καθηγητές: Α) Του Μαθηματικού Τμήματος του Πανεπιστημίου Αθηνών, τους κκ. Μαρία Παπαθανασίου, Σταύρο Παπασταυρίδη, Ιωάννη Αραχωβίτη και Παναγιώτη Τσαγκάρη και Β) τους Βυζαντινολόγους κκ. Κωνσταντίνο Μανάφη, Φώτιο Δημητρακόπουλο και Ταξιάρχη Κόλια της Φιλοσοφικής Σχολής του Πανεπιστημίου Αθηνών.

6

7 Η πλήρης έκδοση του 2006 έγινε από το Κέντρο Βυζαντινών Ερευνών του Αριστοτέλειου Πανεπιστημίου της Θεσσαλονίκης τηρουμένων όλων των απαιτήσεων μιας παγκοσμίως αξιόπιστης και μοναδικής έκδοσης. Το βιβλίο αυτό έγινε δεκτό μετά πολλών επαίνων από την επιστημονική κοινότητα, σχολιάστηκε θετικά σε ελληνικά και ξένα περιοδικά και αναφέρεται κατ εξακολούθηση σε δημοσιεύσεις ερευνητών. Προσωπικά έγινα αποδέκτης συγχαρητηρίων επιστολών από Έλληνες και ξένους γνωστούς Καθηγητές Πανεπιστημίων, Ακαδημαϊκούς και Πρυτάνεις. Το βιβλίο δε, ευρίσκεται με το χαρακτηρισμό ΠΗΓΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ στις βιβλιοθήκες πολλών Πανεπιστημίων της χώρας μας αλλά και του εξωτερικού.

8 Whoever carries out the transcription and the scientific study of a manuscript holds the Intellectual Property of the work! Προσφάτως και συγκεκριμένα στις αρχές του 2014 πληροφορήθηκα από διεθνές επιστημονικό forum, ότι κάποιος Γερμανός συγγραφέας που είχε ξεκινήσει προ 20- ετίας τη μεταγραφή υπό την επίβλεψη του Καθηγητή H. Hunger, και ο οποίος τα τελευταία 8 χρόνια μελετούσε την ελληνική έκδοσή μας, κατάφερε να το εκδώσει (;) όπως ισχυρίζεται μεταφρασμένο και στα γερμανικά. Μάλιστα για να διαφημίσει προφανώς το βιβλίο του γράφει, ότι αυτό είναι το πρώτο και μοναδικό αξιόλογο έργο που έχει εκδοθεί μέχρι το Το κατά πόσον είναι ηθικό να κάνει διαφήμιση μέσω δυσφήμισης, δεν φαίνεται να τον απασχολεί ιδιαίτερα. Εδώ βέβαια τίθενται πρωτίστως ερωτήματα σχετικά με το θέμα της μεταγραφής την οποία βρήκε έτοιμη, όπως και τα μαθηματικά σχόλια με τις πρωτότυπες αποδείξεις μου, τα φιλολογικά σχόλια και γενικότερα την πλήρη και διεξοδική πρωτότυπη μελέτη του χειρόγραφου, όπως αυτή εγκρίθηκε από το Πανεπιστήμιο Αθηνών το 2004 και εκδόθηκε από το Αριστοτέλειο το Δευτερευόντως τίθενται ερωτήματα και για τη διασφάλιση μιας έστω ελάχιστης επιστημονικής αξιοπιστίας αυτής της ελεύθερης μετάφρασης ενός μικρού μέρους του ελληνικού έργου μου στα γερμανικά, αφού κάποιοι επιστημονικοί (;) ισχυρισμοί του Γερμανού μεταφραστή, όπως π.χ. ότι η εμφάνιση των δεκαδικών κλασμάτων συνδέεται με την άνοδο της Οθωμανικής Αυτοκρατορίας (sic!), προκαλούν θυμηδία και σκέψεις σχετικά με τα κίνητρα του συγγραφέα της. Dr. Maria Chalkou, Ph.D., M.Sc. in Mathematics, University of Athens Dept. of Mathematics, State High School Advisor

9 Είναι απολύτως κατανοητή η απογοήτευση ορισμένων ανθρώπων, οι οποίοι επί σειρά ετών αγωνίζονταν να φέρουν σε πέρας αυτό το τεράστιο έργο χωρίς κάποιο αποτέλεσμα. Εκείνο που δεν μπορούν όμως να αλλάξουν είναι το γεγονός ότι οι Έλληνες, όταν θέλουμε, έχουμε επανειλημμένα αποδείξει ότι δημιουργούμε επιστημονικές ανακαλύψεις και πρωτότυπα έργα που μένουν στην Ιστορία, αν και δεν μένουν πάντα στην Ελλάδα, αφού πολλά καταλήγουν μετά την αρπαγή τους να κοσμούν μουσεία, βιβλιοθήκες και άλλους τόπους συλλογής δειγμάτων Ελληνικού Πολιτισμού. Και, όπως και να γίνει, δεν μπορούν να αλλάξουν το ότι το συγκεκριμένο έργο ήταν σύμφωνα με όλες τις ενδείξεις έργο Βυζαντινού συγγραφέα και εκδόθηκε αποδεδειγμένα από Ελληνίδα μαθηματικό το 2006 με την εκδοτική σφραγίδα ενός εκ των σημαντικότερων Κέντρων Βυζαντινών Ερευνών-αυτό του Αριστοτέλειου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης, αφού βέβαια είχε ήδη εγκριθεί με ομόφωνο άριστα ως διδακτορική διατριβή από το Πανεπιστήμιο Αθηνών το Βεβαίως και οι μεταφραστές επιτελούν έργο. Εκείνοι όμως που διαστρεβλώνουν μερικώς ένα μεγάλο έργο, του οποίου μεταφράζουν στη γλώσσα τους ένα μικρό τμήμα και στη συνέχεια το παρουσιάζουν όλο ως δικό τους, προσπαθώντας μάλιστα να απαξιώσουν τον δημιουργό του έργου με εξαιρετικά αστείες και άστοχες παρατηρήσεις, για να διαφημίσουν το αντίγραφό τους, πώς ακριβώς χαρακτηρίζονται; Έντιμοι Επιστήμονες-Ερευνητές, ή μήπως κάτι άλλο;

10 Σε μία τέτοια μελέτη το δυσκολότερο και πιο επίπονο μέρος είναι η μεταγραφή. Για να αντιληφθεί κανείς τί ακριβώς σημαίνει μεταγραφή ενός χειρόγραφου, αρκεί να κατανοήσει ότι χρειάζονται περί τα 3 χρόνια σπουδές Παλαιογραφίας, δηλαδή χρειάζεται να μάθει κάποιος τη γλώσσα των αρχαίων χειρόγραφων για να μεταγράψει το κείμενο, εν προκειμένω του 15 ου αι. στην ελληνική γλώσσα ώστε να μπορεί να γίνει κατανοητό πρωτίστως από τους γνωρίζοντες την ελληνική γλώσσα επιστήμονες, και ασφαλώς από τους Βυζαντινολόγους παγκοσμίως.

11 Δείγμα από το κείμενο του 15 ου αι. Στο πλάι της σελίδας βλέπουμε και τις πράξεις που έχουν γίνει σ αυτό το πρόβλημα του υπολογισμού του όγκου του εικονιζόμενου δοχείου

12 Αφού ολοκληρωθεί η μεταγραφή διαβάζονται προσεκτικά οι διατυπώσεις των προβλημάτων καθώς και οι επιλύσεις που έχουν χρησιμοποιηθεί από τον συγγραφέα του χειρόγραφου. Το τμήμα αυτό της μελέτης παρουσιάζει σοβαρές δυσκολίες, επειδή οι σύγχρονοι μαθηματικοί δεν είμαστε εξοικειωμένοι ούτε με τη γλώσσα του μεταγραμμένου ήδη κειμένου, αλλά ούτε και με τις μεθόδους των επιστημόνων εκείνων των εποχών. Αρκεί να σκεφθεί κανείς, ότι τότε, η επίλυση μιας εξίσωσης επί παραδείγματι δεν περιελάμβανε κάποια μαθηματική σχέση όπως τη γνωρίζουμε σήμερα, αλλά γινόταν περιγραφικά σε όλη την έκτασή της. Για να γίνει κατανοητό αυτό το τμήμα της διαδικασίας της έκδοσης ενός χειρόγραφου, παρουσιάζω για το πρόβλημα 171 (ροα) της γεωμετρίας: 1) Τη διατύπωση και την επίλυσή του από τον συγγραφέα του 15 ου αι. 2) Τμήμα από το κείμενο όπως διαμορφώθηκε μετά τη μεταγραφή, και 3) Τον μαθηματικό σχολιασμό.

13

14 ΤΟ ΚΕΙΜΕΝΟ ΜΕΤΑ ΤΗ ΜΕΤΑΓΡΑΦΗ ροα' Περὶ τοῦ πῶς ἐστὶ ἐντὸς ἡμισφαιρίου σχήματος, τεθῆναι τετράγωνον σχῆμα ἰσόπλευρον καὶ εἰδέναι ἑκάστη πλευρὰν πόσων σπιθαμῶν ἐστί. Ἔστω ἡμισφαίριον σχῆμα ὅπερ ἐστὶ ἡ διάμετρος αὐτοῦ σπιθαμῶν ιβ, τεθημένου δὲ ἐντός, σχῆμα τετράγωνον ἰσόπλευρον κατὰ τὸ ἐγχωροῦν μεῖζον μέγεθος. Ζητεῖς εἰδέναι ἑκάστη πλευρὰν πόσων σπιθαμῶν ἐστί. Ἔχεις δὲ τοῦτο εἰδέναι οὕτως: Πολλαπλασίασον εἰς ἑαυτὴ τὴν διάμετρον τοῦ ἡμισφαιρίου ἥτις ἐστὶ σπιθαμῶν ιβ ὡς εἴπομεν ιβ-κις οὖν ιβ γίνονται ρμδ. Μέρισον ταῦτα πάντοτε μετὰ τῶν ε. Γίνεταί δε νῦν ὁ τούτων διαμερισμὸς κη καὶ δ/ε. Ζήτει τὴν ρίζαν τοῦ κη καὶ δ/ε ἥτις ἐστὶ ε καὶ ια/λ. Τὰ γὰρ ε καὶ ια/λ τεχνικῶς πολλαπλασιαζόμενα εἰς ἑαυτὰ πολλαπλασιάζοσιν κη καὶ ψκα/ϡ ἅπερ ἐστὶ κη καὶ δ/ε. Ἐστὶ δὲ ἑκάστη πλευρὰ τοῦ τετραγώνου τοῦ σχήματος σπιθαμῶν ε καὶ ια/λ μιᾶς σπιθαμῆς

15 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΟΛΙΑΣΜΟΣ κεφ (ροα). Μὲ πλευρὰ τμῆμα τῆς διαμέτρου ΑΒ= 12 ἑνός κύκλου, ο συγγραφέας ζητεῖ νὰ κατασκευαστεῖ τετράγωνο μὲ δύο διαδοχικές κορυφὲς ἐπὶ τῆς περιφέρειας καὶ τὶς ἄλλες δύο ἐπὶ τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου. Ἔστω ΓΕΖΔ τὸ ζητούμενο τετράγωνο. Τὰ ὀρθογώνια τρίγωνα ΔΖΟ καὶ ΓΕΟ εἶναι ἴσα ἐπειδὴ ἔχουν ΔΖ=ΓΕ (ὡς πλευρὲς τετραγώνου), καὶ ΟΖ=ΟΕ=ρ=6. Ἄρα ΟΔ=ΟΓ=χ/2, ὅπου χ ἡ πλευρὰ τοῦ ζητούμενου τετραγώνου. Ἐφαρμόζουμε τὸ Πυθαγόρειο θεώρημα στὸ ὀρθογώνιο τρίγωνο ΔΖΟ: 6²= χ²+(χ/2)², ἢ χ²= 144/5, ἢ χ= (144/5). Ὁ συγγραφέας τοῦ χειρόγραφου γνωρίζει προφανῶς τή μέθοδο, ἀλλά περιγράφει μόνο τὸ τελευταῖο βῆμα τῆς πιὸ πάνω διαδικασίας, δηλαδὴ ὑπολογίζει κατευθείαν τὸ χ ὡς τὴν τετραγωνικὴ ρίζα τοῦ ΑΒ²/5, χωρὶς κάποια αἰτιολόγηση.

16

17 Σχετικά με την ολοκλήρωση της έκδοσης ενός χειρόγραφου, αφού γίνει η μεταγραφή, η μελέτη των μεθόδων του συγγραφέα, και ο μαθηματικός τους σχολιασμός, εκείνο που απομένει πλέον είναι το κεφάλαιο της ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ, όπου αναλύονται διεξοδικά με αποδεικτικά στοιχεία τα εξής: 1) Η περιγραφή του χειρογράφου 2) Η χρονολογία συγγραφής του 3) Η γλώσσα, η σύνταξη και οι γραμματικές παρατηρήσεις 4) Η ορολογία που χρησιμοποιεί ο συγγραφέας 5) Τα νομίσματα, τα μέτρα και τα σταθμά 6) Οι επιστημονικές επιρροές που έχει δεχθεί ο συγγραφέας 7) Η προσωπικότητα του συγγραφέα, και 8) Οι θεματικές ενότητες του περιεχομένου του χειρογράφου ΟΛΑ ΤΑ ΑΝΩΤΕΡΩ ΠΕΡΙΕΧΟΝΤΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΤΟ ΚΕΙΜΕΝΟ ΤΗΣ ΟΠΟΙΑΣ ΕΥΡΙΣΚΕΤΑΙ ΕΔΩ ΚΑΙ ΑΡΚΕΤΑ ΧΡΟΝΙΑ ΣΤΟ ΕΘΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΤΕΚΜΗΡΙΩΣΗΣ ΚΑΙ ΕΊΝΑΙ ΣΤΗ ΔΙΑΘΕΣΗ ΤΩΝ ΕΡΕΥΝΗΤΩΝ ΓΙΑ ΝΑ ΤΟ ΜΕΛΕΤΗΣΟΥΝ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΩΣ ΟΧΙ ΓΙΑ ΝΑ ΤΟ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΟΥΝ ΩΣ ΔΙΚΟ ΤΟΥΣ ΚΑΝΟΝΤΑΣ ΚΑΠΟΙΕΣ ΑΛΛΑΓΕΣ ΓΙΑ ΝΑ ΔΙΚΑΙΟΛΟΓΗΣΟΥΝ ΤΗΝ ΠΡΑΞΗ ΤΟΥΣ

18 Όσον αφορά στην Γ έκδοση των δύο τόμων των Βυζαντινών Μαθηματικών, σημειώνω ότι πρόκειται για μια πιο εκλαϊκευμένη παρουσίαση της επίσημης έκδοσης του έργου, που έγινε από το Κέντρο Βυζαντινών Ερευνών του Αριστοτέλειου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης το Οι δύο αυτοί τόμοι περιέχουν έναν μεγάλο αριθμό προβλημάτων ποικίλης θεματολογίας, γεγονός που επιτρέπει την ασφαλή εξαγωγή συμπερασμάτων σχετικά με τον ρόλο που διαδραμάτισαν οι Βυζαντινοί λόγιοι στην πρόοδο της Επιστήμης των Μαθηματικών και της Μαθηματικής Παιδείας γενικότερα. Επιπλέον, προσφέρει πλήθος πληροφοριών σχετικά με τα προβλήματα που αντιμετώπιζαν οι Βυζαντινοί στην καθημερινή τους ζωή, σχετικά με το εμπόριο, τις συναλλαγές, την αργυροχρυσοχοΐα, την οχυρωματική τέχνη, κ. ά.

19 Στὸν πρῶτο τόμο τῆς Γ ἔκδοσης τοῦ βιβλίου μου τό ὁποῖο ἐκδόθηκε τό 2006 (Α ἔκδοση) μέ τίτλο Τά μαθηματικά στό Βυζάντιο ἀπό τίς Ἐκδόσεις Ἐπικαιρότητα καί ἐπανεκδόθηκε τό 2007 (Β ἔκδοση) ἀπό τίς Ἐκδόσεις Παῦλος, γίνεται ἀναφορὰ στὴν περιγραφὴ τοῦ χειρογράφου καὶ τοῦ περιεχομένου τῶν 10 πρώτων ἑνοτήτων, σχολιάζονται μαθηματικῶς τὰ προβλήματα τῆς Ἀριθμητικῆς καὶ τῆς Ἄλγεβρας, καὶ παρατίθενται μεταγραμμένα τμήματα τοῦ κειμένου τοῦ 15ου αἰ. Σημαντικά στοιχεῖα περιέχονται στά κεφάλαια πού ἀναφέρονται στή Θεωρία Ἀριθμῶν, στὴν πρώιμη μέθοδο ὀλοκλήρωσης και στα κλάσματα, γεγονός πού καταδεικνύει την καθόλου εὐκαταφρόνητη Μαθηματική Παιδεία τῶν Βυζαντινῶν. Στὸν δεύτερο τόμο τῆς Γ ἔκδοσης τοῦ βιβλίου πού ἐκδόθηκε τό 2006 (Α ἔκδοση) μέ τίτλο Τά προβλήματα τῆς Γεωμετρίας στό Βυζάντιο ἀπό τίς Ἐκδόσεις Ἐπικαιρότητα καί ἐπανεκδόθηκε τό 2007 (Β ἔκδοση) ἀπό τίς Ἐκδόσεις Παύλος, περιγράφεται τὸ περιεχόμενο τῶν 3 τελευταίων ἑνοτήτων τῆς Γεωμετρίας, σχολιάζονται μαθηματικῶς τὰ προβλήματα καὶ παρατίθενται τμήματα τοῦ ἀντιστοίχου μεταγραμμένου κειμένου. Καί στούς δύο τόμους τῆς Γ ἔκδοσης ἔχουν προστεθεῖ νέα στοιχεῖα προερχόμενα ἀπό δημοσιεύσεις μου πού ἔγιναν κυρίως κατά τήν τελευταία 8ετία σέ ἐπιστημονικά περιοδικά καθώς καί εἰσηγήσεις μου σέ ἑλληνικά καί διεθνῆ Συνέδρια.

20

21 Παρουσίαση καὶ περιγραφὴ τῆς Β Ἔκδοσης τῶν δύο τόμων ἔγινε καὶ στὸ γερμανικὸ περιοδικὸ Bereitgestellt von/ De Gruyter/TCS, Angemeldet/ , Heruntergeladen am/ , pp.1052,1053, τοῦ 2014 ἀπό τὸν Ἱστορικό καὶ μέλος τῆς Ἐπιτροπῆς Βυζαντινῶν Σπουδῶν τοῦ Ε.Ι.Ε. κ. Ι. Τελέλη, Συνιστᾶται στοὺς ἀναγνῶστες-μελετητὲς τῶν δύο τόμων, νὰ ἀφιερώσουν στὴν ἀρχὴ λίγο χρόνο γιὰ τὴν ἐκμάθηση τοῦ ἀρχαίου ἑλληνικοῦ συστήματος ἀρίθμησης, ὥστε νὰ κατανοοῦν χωρὶς δυσκολία τὶς μεθοδολογίες καὶ τὶς πράξεις τοῦ συγγραφέα τοῦ 15 ου αἰ.

22 α 1 ι 10 ρ 100, α 1000 β 2 κ 20 σ 200,β 2000 γ 3 λ 30 τ 300,γ 3000 δ 4 μ 40 υ 400 ɥ (σε όλες τις εκδόσεις μου συμβολίζεται με το γράμμα u) 0 ε 5 ν 50 φ 500 ς 6 ξ 60 χ 600 ζ 7 ο 70 ψ 700 η 8 π 80 ω 800 θ 9 Ϟ 90 Ϡ 900

23 Σημειώσεις 1. Στοὺς δύο αὐτοὺς τόμους, ὅπως καὶ στὴν ἔκδοση του Κέντρου Βυζαντινῶν Ἐρευνῶν του 2006, ἀλλὰ καὶ στὴ Διδακτορικὴ Διατριβή, τὸ καλλιγραφικὸ ἀνεστραμμένο h ποὺ χρησιμοποιεῖ ὁ συγγραφέας γιὰ τὸ ψηφίο 0, ἔχει συμβολισθεῖ μὲ τὸ γράμμα u. 2. Οἱ ἀριθμοὶ τῶν κάτωθι παραδειγμάτων γράφονται με δύο τρόπους. Ὁ δεύτερος τρόπος μπορεῖ νὰ χρησιμοποιεῖται ἐπειδὴ πρόκειται γιὰ ἀριθμητικὸ σύστημα θέσης, ποὺ σημαίνει ὅτι τὸ κάθε γράμμα λαμβάνει ἀξία ἀνάλογα μὲ τὴ θέση ποὺ ἔχει στὸν ἀριθμό. Παραδείγματα Ὁ ρκγ δηλώνει τὸν ἀριθμὸ 123. Ὅμοια καὶ ὁ αβγ. Ὁ Ϡ Ϟε δηλώνει τὸν ἀριθμὸ 995. Ὅμοια καὶ ὁ θθε. Ὁ ˏετξ δηλώνει τὸν ἀριθμὸ Ὅμοια καὶ ὁ εγςu.

24 Οι δύο τόμοι της 3 ης έκδοσης διατίθενται σε μορφή epub στο ηλεκτρονικό βιβλιοπωλείο Kobo στη διεύθυνση (όρος αναζήτησης : Μαρία Χάλκου) Διατίθενται επίσης και στο ελληνικό ηλεκτρονικό βιβλιοπωλείο yantzi στη διεύθυνση (όρος αναζήτησης : Μαρία Χάλκου) Οι 2 τόμοι και των τριών εκδόσεων ευρίσκονται στη Βιβλιοθήκη του Κέντρου Βυζαντινών Ερευνών Dumbarton Oaks του Πανεπιστημίου Harvard (Όρος αναζήτησης: Chalkou Maria D.)

Εὐκλείδεια Γεωµετρία

Εὐκλείδεια Γεωµετρία Εὐκλείδεια Γεωµετρία Φθινοπωρινὸ Εξάµηνο 010 Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Μάθηµα 9 ευτέρα 18-10-010 Συνοπτικὴ περιγραφή Υπενθύµιση τοῦ Θεωρήµατος τοῦ Θαλῆ. εῖτε καὶ ἐδάφιο 7.7 τοῦ σχολικοῦ ϐιβλίου. Τονίσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Στὴν ἀρχὴ ἦταν ὁ Λόγος. Ὁ Λόγος ἦταν μαζὶ μὲ

Στὴν ἀρχὴ ἦταν ὁ Λόγος. Ὁ Λόγος ἦταν μαζὶ μὲ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α ἤ 01ο (01-52) 01-05 Ὁ Λόγος εἶναι Θεὸς καὶ ημιουργὸς τῶν πάντων Στὴν ἀρχὴ ἦταν ὁ Λόγος. Ὁ Λόγος ἦταν μαζὶ μὲ τὸ Θεὸ Πατέρα καὶ ἦταν Θεὸς ὁ Λόγος. Αὐτὸς ἦταν στὴν ἀρχὴ μαζὶ μὲ τὸ Θεὸ Πατέρα.

Διαβάστε περισσότερα

Ἑλένη Γλύκατζη-Ἀρβελέρ. Γιατὶ τὸ Βυζάντιο. Ἐκδόσεις «Ἑλληνικὰ Γράμματα», Ἀθήνα 2009, σελίδες 292.

Ἑλένη Γλύκατζη-Ἀρβελέρ. Γιατὶ τὸ Βυζάντιο. Ἐκδόσεις «Ἑλληνικὰ Γράμματα», Ἀθήνα 2009, σελίδες 292. Ἑλένη Γλύκατζη-Ἀρβελέρ Γιατὶ τὸ Βυζάντιο Ἐκδόσεις «Ἑλληνικὰ Γράμματα», Ἀθήνα 2009, σελίδες 292. Κατ ἐπανάληψιν ἔχει ἐπισημανθῆ ὅτι ἐπιβάλλεται νὰ ἀναθεωρήσουμε ἐμεῖς οἱ Ἕλληνες τὴν ὀπτικὴ εἰκόνα ποὺ ἔχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΑ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΝ

ΙΕΡΑ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΝ ΙΕΡΑ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΝ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2012 ΙΕΡΑ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 1. Ἡ Καινή Διαθήκη, Θεσσαλονίκη 2010. 2. Ἱερός Ναός ἁγίου Γεωργίου (Ροτόντα), Κατάθεση μαρτυρία, Θεσσαλονίκη

Διαβάστε περισσότερα

ICAMLaw Application Server Χειροκίνηση Ἀναβάθμιση

ICAMLaw Application Server Χειροκίνηση Ἀναβάθμιση Εἰσαγωγή Ὁ ICAMLaw Application Server (στὸ ἑξῆς γιά λόγους συντομίας IAS) ἀποτελεῖ τὸ ὑπόβαθρο ὅλων τῶν δικηγορικῶν ἐφαρμογῶν τῆς ICAMSoft. Εἶναι αὐτός ποὺ μεσολαβεῖ ἀνάμεσα: α) στὴν τελική ἐφαρμογὴ ποὺ

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Εφαρμογὲς τῶν συνεχῶν κλασμάτων 1 1. Η τιμὴ τοῦ π μὲ σωστὰ τὰ 50 πρῶτα δεκαδικὰ ψηφία μετὰ τὴν ὑποδιαστολή, εἶναι 3.14159265358979323846264338327950288419716939937511.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Συνόλων - Set Theory

Θεωρία Συνόλων - Set Theory Θεωρία Συνόλων - Set Theory Ἐπισκόπηση γιὰ τὶς ἀνάγκες τῶν Πρωτοετῶν Φοιτητῶν τοῦ Τµήµατος Διοίκησης, στὸ µάθηµα Γενικὰ Μαθηµατικά. Ὑπὸ Γεωργίου Σπ. Κακαρελίδη, Στὸ Τµῆµα Διοίκησης ΤΕΙ Δυτικῆς Ἑλλάδος

Διαβάστε περισσότερα

Χριστιάνα Ἀβρααμίδου ΜΑΤΙΑ ΑΝΑΠΟΔΑ. Ποιήματα

Χριστιάνα Ἀβρααμίδου ΜΑΤΙΑ ΑΝΑΠΟΔΑ. Ποιήματα Χριστιάνα Ἀβρααμίδου ΜΑΤΙΑ ΑΝΑΠΟΔΑ Ποιήματα ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ Αὒγουστος 2011 12 ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ Χριαστιάνα Ἀβρααμίδου ΜΑΤΙΑ ΑΝΑΠΟΔΑ Ποιήματα Τεῦχος 12 - Αὒγουστος 2011 ISSN: 1792-4189 Μηνιαία

Διαβάστε περισσότερα

Έγκατάσταση καὶ Χρήση Πολυτονικοῦ Πληκτρολογίου σὲ Περιβάλλον Ubuntu Linux.

Έγκατάσταση καὶ Χρήση Πολυτονικοῦ Πληκτρολογίου σὲ Περιβάλλον Ubuntu Linux. Έγκατάσταση καὶ Χρήση Πολυτονικοῦ Πληκτρολογίου σὲ Περιβάλλον Ubuntu Linux. Μακρῆς Δημήτριος, Φυσικός. mailto: jd70473@yahoo.gr 1. Εἰσαγωγή. Τὸ πολυτονικὸ σύστημα καταργήθηκε τὸ 1982. Δὲν θὰ ἀσχοληθοῦμε

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: «Περὶ τοῦ προσώπου τοῦ Ἀναδόχου εἰς τὸ Μυστήριον τοῦ Βαπτίσματος».

Θέμα: «Περὶ τοῦ προσώπου τοῦ Ἀναδόχου εἰς τὸ Μυστήριον τοῦ Βαπτίσματος». ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ ὑπ ἀριθμ. 18 Πρὸς Ἅπαντας τοὺς Ἐφημερίους τῆς καθ ἡμᾶς Ἱερᾶς Μητροπόλεως. Θέμα: «Περὶ τοῦ προσώπου τοῦ Ἀναδόχου εἰς τὸ Μυστήριον τοῦ Βαπτίσματος». Ἀγαπητοὶ Πατέρες, Ἐξ αἰτίας τοῦ ὅτι παρατηρεῖται

Διαβάστε περισσότερα

Α1. Να δώσετε το περιεχόμενο των όρων που ακολουθούν: γ. Εκλεκτικοί Μονάδες 15

Α1. Να δώσετε το περιεχόμενο των όρων που ακολουθούν: γ. Εκλεκτικοί Μονάδες 15 Α1. Να δώσετε το περιεχόμενο των όρων που ακολουθούν: α. Ανόρθωση (1910) β. Κλήριγκ γ. Εκλεκτικοί Μονάδες 15 Α2. Γιατί δεν προέκυψαν ταξικά κόμματα στην Ελλάδα το τελευταίο τέταρτο του 19ου αιώνα; Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

1814-2014 200 ΧΡΟΝΙΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΚΑΘΙΕΡΩΣΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΜΕΘΟΔΟΥ

1814-2014 200 ΧΡΟΝΙΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΚΑΘΙΕΡΩΣΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΜΕΘΟΔΟΥ Σ Χ Ο Λ Ε Ι Ο Ν Ψ Α Λ Τ Ι Κ Η Σ 1814-2014 200 ΧΡΟΝΙΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΚΑΘΙΕΡΩΣΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΔΙΕΘΝΕΣ, ΕΠΕΤΕΙΑΚΟ ΜΟΥΣΙΚΟΛΟΓΙΚΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ἀφιερωμένο στὴ μνήμη τῶν τριῶν μεγάλων εὐεργετῶν τοῦ ἔθνους Χρυσάνθου τοῦ

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

Ἀσκητὲς καὶ ἀσκητήρια στὴ νῆσο Σκόπελο

Ἀσκητὲς καὶ ἀσκητήρια στὴ νῆσο Σκόπελο Ἀσκητὲς καὶ ἀσκητήρια στὴ νῆσο Σκόπελο (Μιὰ πρώτη προσέγγιση στὸ θέμα) Εἰπώθηκε, πὼς ὁλόκληρο τὸ Ἅγιον Ὄρος μοιάζει μὲ τὸ Καθολικὸ ἑνὸς ἰεροῦ Ναοῦ καὶ ὅτι ἡ περιοχὴ ἀπὸ τὴν Ἁγία Ἄννα καὶ πέρα εἶναι τὸ

Διαβάστε περισσότερα

Σᾶς εὐαγγελίζομαι τὸ χαρμόσυνο ἄγγελμα τῆς γεννήσεως τοῦ. Χριστοῦ, ποὺ ἀποτελεῖ τὴν κορυφαία πράξη τοῦ Θεοῦ νὰ σώσει τὸν

Σᾶς εὐαγγελίζομαι τὸ χαρμόσυνο ἄγγελμα τῆς γεννήσεως τοῦ. Χριστοῦ, ποὺ ἀποτελεῖ τὴν κορυφαία πράξη τοῦ Θεοῦ νὰ σώσει τὸν Χριστούγεννα 2013 Ἀρ. Πρωτ. 1157 Πρός τό Χριστεπώνυμο πλήρωμα τῆς καθ ἡμᾶς Ἱερᾶς Μητροπόλεως Χριστὸς γεννᾶται, δοξάσατε. Ἀδελφοί μου ἀγαπητοί, Σᾶς εὐαγγελίζομαι τὸ χαρμόσυνο ἄγγελμα τῆς γεννήσεως τοῦ Χριστοῦ,

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ Β ΔΙΗΜΕΡΙΔΑ ΤΗΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΣΥΝΟΔΙΚΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ ΓΑΜΟΥ, ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑΣ, ΠΡΟΣΤΑΣΙΑΣ ΤΟΥ ΠΑΙΔΙΟΥ ΚΑΙ ΔΗΜΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ Β ΔΙΗΜΕΡΙΔΑ ΤΗΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΣΥΝΟΔΙΚΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ ΓΑΜΟΥ, ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑΣ, ΠΡΟΣΤΑΣΙΑΣ ΤΟΥ ΠΑΙΔΙΟΥ ΚΑΙ ΔΗΜΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ Β ΔΙΗΜΕΡΙΔΑ ΤΗΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΣΥΝΟΔΙΚΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ ΓΑΜΟΥ, ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑΣ, ΠΡΟΣΤΑΣΙΑΣ ΤΟΥ ΠΑΙΔΙΟΥ ΚΑΙ ΔΗΜΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ (5-6 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2004, Διορθόδοξον Κέντρον τῆς Ἐκκλησίας τῆς Ἑλλάδος

Διαβάστε περισσότερα

Ι ΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ Αριστοτέλους Πολιτικά (Γ1, 1-2, 3-4/6/12) Τῷ περὶ πολιτείας ἐπισκοποῦντι, καὶ τίς ἑκάστη καὶ ποία

Ι ΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ Αριστοτέλους Πολιτικά (Γ1, 1-2, 3-4/6/12) Τῷ περὶ πολιτείας ἐπισκοποῦντι, καὶ τίς ἑκάστη καὶ ποία ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ʹ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 29 ΜΑΪΟΥ 2006 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) Ι ΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ Αριστοτέλους

Διαβάστε περισσότερα

ΣΟ ΒΤΖΑΝΣΙΟΝ ΗΣΟ ΕΛΛΗΝΟΥΩΝΟΝ ΚΑΙ ΕΩΕ ΣΟΝ ΕΛΛΗΝΙΚΟΝ ΠΟΛΙΣΙΜΟΝ

ΣΟ ΒΤΖΑΝΣΙΟΝ ΗΣΟ ΕΛΛΗΝΟΥΩΝΟΝ ΚΑΙ ΕΩΕ ΣΟΝ ΕΛΛΗΝΙΚΟΝ ΠΟΛΙΣΙΜΟΝ ΣΟ ΒΤΖΑΝΣΙΟΝ ΗΣΟ ΕΛΛΗΝΟΥΩΝΟΝ ΚΑΙ ΕΩΕ ΣΟΝ ΕΛΛΗΝΙΚΟΝ ΠΟΛΙΣΙΜΟΝ Μὲ ἀφορμὴν τὴν ἐπέτειον τῆς Ἁλώσεως τῆς Κωνσταντινουπόλεως ὑπὸ τῶν Σούρκων κατὰ τὴν 29ην Μαΐου 1453, πολλοὶ «θολοκουλτουριάρηδες», ἀνιστόρητοι

Διαβάστε περισσότερα

Φ. Ἀ. Δημητρακόπουλος Γ. Β. Ἀνδρειωμένος Μ. Χρόνη Χ. Κοντονικολῆς - Ἀ. Βακαλόπουλος Η ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΤΗΣ ΙΕΡΑΣ ΜΟΝΗΣ ΤΙΜΙΟΥ ΣΤΑΥΡΟΥ ΙΕΡΟΣΟΛΥΜΩΝ

Φ. Ἀ. Δημητρακόπουλος Γ. Β. Ἀνδρειωμένος Μ. Χρόνη Χ. Κοντονικολῆς - Ἀ. Βακαλόπουλος Η ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΤΗΣ ΙΕΡΑΣ ΜΟΝΗΣ ΤΙΜΙΟΥ ΣΤΑΥΡΟΥ ΙΕΡΟΣΟΛΥΜΩΝ 1 Φ. Ἀ. Δημητρακόπουλος Γ. Β. Ἀνδρειωμένος Μ. Χρόνη Χ. Κοντονικολῆς - Ἀ. Βακαλόπουλος Η ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΤΗΣ ΙΕΡΑΣ ΜΟΝΗΣ ΤΙΜΙΟΥ ΣΤΑΥΡΟΥ ΙΕΡΟΣΟΛΥΜΩΝ Ἀπὸ 2 ἕως 12 Ἰουνίου 2010, ὑπὸ τὴν ἐπίβλεψη τοῦ καθηγητῆ Φωτίου

Διαβάστε περισσότερα

μαθη ματικῶν, ἀλλὰ καὶ τὴ βαθιά του ἐκτίμηση γιὰ τὴ χαϊντεγκεριανὴ ἱστορικὴ κατανόηση τοῦ ἀνθρώπινου κόσμου. Καταγράφοντας ὅλες αὐτὲς τὶς ἐπιδράσεις,

μαθη ματικῶν, ἀλλὰ καὶ τὴ βαθιά του ἐκτίμηση γιὰ τὴ χαϊντεγκεριανὴ ἱστορικὴ κατανόηση τοῦ ἀνθρώπινου κόσμου. Καταγράφοντας ὅλες αὐτὲς τὶς ἐπιδράσεις, ΠΡΟΛΟΓΟΣ Τὸ βιβλίο αὐτὸ εἶναι προϊὸν μακρόχρονης ἐξέλιξης. Γιὰ εἴκοσι περίπου χρόνια, τὸ ἐνδιαφέρον μου γιὰ τὸν Φρέγκε ἀποτέλεσε μέρος ἑνὸς ὁδοιπορικοῦ ποὺ ξεκίνησε ἀπὸ τὸ Μόναχο καί, μέσω τῆς Ὀξφόρδης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ. Αριστοτέλους Πολιτικά, Θ 2, 1 4)

ΔΙΔΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ. Αριστοτέλους Πολιτικά, Θ 2, 1 4) 53 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪΔΗ-ΜΑΝΩΛΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Φιλολάου & Εκφαντίδου 26 : Τηλ.: 2107601470 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2013 ΔΙΔΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ Αριστοτέλους Πολιτικά,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗ ΓΑΛΛΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗ ΓΑΛΛΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗ ΓΑΛΛΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ Τὰ Ἕξι μεγάλα ἐρωτήματα τῆς δυτικῆς μεταφυσικῆς καταλαμβάνουν μιὰ ξεχωριστὴ θέση στὴν ἱστορία τῆς φιλοσοφικῆς ἱστοριογραφίας. Ὁ συγγραφέας του βιβλίου, Χάιντς Χάιμζετ (1886-1975),

Διαβάστε περισσότερα

BYZANTINA ΣΥΜΜΕΙΚΤΑ 23 (2013) 279-283

BYZANTINA ΣΥΜΜΕΙΚΤΑ 23 (2013) 279-283 Paul Canart, Études de paléographie et de codicologie reproduites avec la collaboration de Maria Luisa Agati et Marco D Agostino, τόμ. I-II [Studi e Testi 450-451], Città del Vaticano 2008, σσ. XXVIII+748+VI+749-1420.

Διαβάστε περισσότερα

Ἑλληνικὰ σταυρόλεξα μὲ τὸ L A T E X

Ἑλληνικὰ σταυρόλεξα μὲ τὸ L A T E X eutypon32-33 2014/11/30 12:03 page 19 #23 Εὔτυπον, τεῦχος 32-33 Ὀκτώβριος/October 2014 19 Ἑλληνικὰ σταυρόλεξα μὲ τὸ L A T E X Ἰωάννης Α. Βαμβακᾶς Ιωάννης Α. Βαμβακᾶς Παπαθεοφάνους 12 853 00 Κῶς Η/Τ: gavvns

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

eutypon1315 2005/11/25 11:49 page 27 #31

eutypon1315 2005/11/25 11:49 page 27 #31 eutypon1315 2005/11/25 11:49 page 27 #31!)*."$ DA D 0@$)%!"$ >EE 27! "#$%&' ( ) * +,-./&' Ἁγίου Δημητρίου 38 162 31 Βύρωνας Ἀθήνα E-mail: vtrizonis@yahoo.com Abstract Sotiris Zisis (b. 1902, Koulakia,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΑ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. ΙΕΡΟΣ ΝΑΟΣ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΕΩΣ ΤΟΥ ΣΩΤΗΡΟΣ (Δελφῶν καί Μιαούλη) Τηλ:2310-828989. Ἡ Θεία Κοινωνία.

ΙΕΡΑ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. ΙΕΡΟΣ ΝΑΟΣ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΕΩΣ ΤΟΥ ΣΩΤΗΡΟΣ (Δελφῶν καί Μιαούλη) Τηλ:2310-828989. Ἡ Θεία Κοινωνία. ΙΕΡΑ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΙΕΡΟΣ ΝΑΟΣ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΕΩΣ ΤΟΥ ΣΩΤΗΡΟΣ (Δελφῶν καί Μιαούλη) Τηλ:2310-828989 Ἡ Θεία Κοινωνία κατ οἶκον Θεσσαλονίκη 2008 Κάποιοι συσχετίζουν κάκιστα τὴν παρουσία τοῦ ἱερέως στό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΣΧΑΛΙΟΣ ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ Ο ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΤΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΘΙΜΟΣ

ΠΑΣΧΑΛΙΟΣ ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ Ο ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΤΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΘΙΜΟΣ ΙΕΡΑ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 2015 ἀριθμ. πρωτ.: 181.- ΑΓΙΟΝ ΠΑΣΧΑ 12 ΑΠΡΙΛΙΟΥ ΠΑΣΧΑΛΙΟΣ ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ Ο ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΤΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΘΙΜΟΣ Πρὸς τὸν ἱερὸ Κλῆρο καὶ τὸν εὐσεβῆ Λαὸ τῆς καθ ἡμᾶς Ἱερᾶς Μητροπόλεως

Διαβάστε περισσότερα

Τευχος πρωτο. αρχεία. Πηγεσ γνωσησ, πηγεσ μνημησ Ένα σύγχρονο αρχείο. Το ΙΑ/ΕΤΕ ανοίγει τα χαρτιά του

Τευχος πρωτο. αρχεία. Πηγεσ γνωσησ, πηγεσ μνημησ Ένα σύγχρονο αρχείο. Το ΙΑ/ΕΤΕ ανοίγει τα χαρτιά του Τευχος πρωτο αρχεία Πηγεσ γνωσησ, πηγεσ μνημησ Ένα σύγχρονο αρχείο Το ΙΑ/ΕΤΕ ανοίγει τα χαρτιά του Άσκηση Υπόθεση παραχάραξης Το 1938, το Υφυπουργείον Δημοσίας Ασφαλείας του ελληνικού κράτους δημοσιεύει

Διαβάστε περισσότερα

ευτέρα Ἔκδοσις ΙΟΥΝΙΟΣ 2007

ευτέρα Ἔκδοσις ΙΟΥΝΙΟΣ 2007 ΙΟΥΝΙΟΣ 2007 ευτέρα Ἔκδοσις Τίπρέπεινὰγνωρίζῃ ΕΝΑΣΕΛΛΗΝΑΣΜΑΚΕΔΟΝΑΣ 1. Ὅτι οἱ Σκοπιανοὶ λένε τεράστια ψέματα καὶ ὅτι ἔστησαν ἕνα φαντασιώδη μύθο γιὰ τὴν καταγωγή τους. Στὴν πλειονότητά τους εἶναι Σλαῦοι

Διαβάστε περισσότερα

Περικλέους Σταύρου 31 34100 Χαλκίδα Τ: 2221-300524 & 6937016375 F: 2221-300524 @: chalkida@diakrotima.gr W: www.diakrotima.gr

Περικλέους Σταύρου 31 34100 Χαλκίδα Τ: 2221-300524 & 6937016375 F: 2221-300524 @: chalkida@diakrotima.gr W: www.diakrotima.gr Προς: Μαθητές Α, Β & Γ Λυκείου / Κάθε ενδιαφερόμενο Αγαπητοί Φίλοι Όπως σίγουρα γνωρίζετε, από τον Ιούνιο του 2010 ένα νέο «ΔΙΑΚΡΟΤΗΜΑ» λειτουργεί και στη Χαλκίδα. Στο Φροντιστήριό μας, κάνοντας χρήση

Διαβάστε περισσότερα

Χρήσιμες ὁδηγίες γιὰ τοὺς ἐνηλίκους ποὺ ἐπιθυμοῦν νὰ βαπτισθοῦν Χριστιανοὶ Ὀρθόδοξοι.

Χρήσιμες ὁδηγίες γιὰ τοὺς ἐνηλίκους ποὺ ἐπιθυμοῦν νὰ βαπτισθοῦν Χριστιανοὶ Ὀρθόδοξοι. Χρήσιμες ὁδηγίες γιὰ τοὺς ἐνηλίκους ποὺ ἐπιθυμοῦν νὰ βαπτισθοῦν Χριστιανοὶ Ὀρθόδοξοι. Σὰ τελευταῖα χρόνια καὶ ἰδιαίτερα μετὰ τὸ ἄνοιγμα τῶν συνόρων τῶν χωρῶν τῆς ἀνατολικῆς Εὐρώπης, ἀλλὰ καὶ γειτόνων χωρῶν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Μήκος κύκλου) Το μήκος του κύκλου (Ο, R) συμβολίζεται με L. Ο Ιπποκράτης ο Χίος απέδειξε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Θεοδόσης Βολκὼφ ΠΟΙΗΜΑΤΑ

Θεοδόσης Βολκὼφ ΠΟΙΗΜΑΤΑ Θεοδόσης Βολκὼφ ΠΟΙΗΜΑΤΑ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ Ἰανουάριος 2011 5 ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ Θεοδόσης Βολκὼφ ΠΟΙΗΜΑΤΑ Τεῦχος 5 - Ἰανουάριος 2011 ISSN: 1792-4189 Μηνιαία ψηφιακὴ ἔκδοση τοῦ ἠλεκτρονικοῦ περιοδικοῦ

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστηριακὸ Μάθημα Ἁγιογραφίας Β

Φροντιστηριακὸ Μάθημα Ἁγιογραφίας Β Φροντιστηριακὸ Μάθημα Ἁγιογραφίας Β Στὴν Ἱερὰ Μονή μας, τῶν Ἁγίων Μαρτύρων Κυπριανοῦ καὶ Ἰουστίνης, στὴν Φυλὴ Ἀττικῆς, μὲ τὴν Χάρι τοῦ Θεοῦ, τὴν εὐχὴ τοῦ ἀσθενοῦντος Σεβασμιωτάτου Πνευματικοῦ Πατρός μας,

Διαβάστε περισσότερα

ÌÉÓÏ ÃÑÁÍÁÆÉ ÎÁÍÁÃÑÁÖÅÉ ÔÇÍ ÉÓÔÏÑÉÁ ÔÇÓ ÔÅ ÍÏËÏÃÉÁÓ

ÌÉÓÏ ÃÑÁÍÁÆÉ ÎÁÍÁÃÑÁÖÅÉ ÔÇÍ ÉÓÔÏÑÉÁ ÔÇÓ ÔÅ ÍÏËÏÃÉÁÓ ÌÉÓÏ ÃÑÁÍÁÆÉ ÎÁÍÁÃÑÁÖÅÉ ÔÇÍ ÉÓÔÏÑÉÁ ÔÇÓ ÔÅ ÍÏËÏÃÉÁÓ Κατασκευάστηκε τὸν γ αἰ. π.χ. στὴν Κάτω Ἰταλία. Εἶναι ἀνώτερης τεχνολογίας τοῦ Ὑπολογιστῆ τῶν Ἀντικυθήρων καὶ ἐφάμιλλο τῶν γραναζιῶν τῆς σύγχρονης Μηχανολογίας.

Διαβάστε περισσότερα

Κώστα Β. Καραστάθη. Ἕλληνες ἀπὸ τὸ Ἄρβανον, Ἡ ἀλήθεια γιὰ τὴν ταυτότητα τῶν Ἀρβανιτῶν ἐποίκων μας. Ἱστορικὴ μελέτη

Κώστα Β. Καραστάθη. Ἕλληνες ἀπὸ τὸ Ἄρβανον, Ἡ ἀλήθεια γιὰ τὴν ταυτότητα τῶν Ἀρβανιτῶν ἐποίκων μας. Ἱστορικὴ μελέτη Κώστα Β. Καραστάθη Ἕλληνες ἀπὸ τὸ Ἄρβανον, Ἡ ἀλήθεια γιὰ τὴν ταυτότητα τῶν Ἀρβανιτῶν ἐποίκων μας Ἱστορικὴ μελέτη Ἐκδόσεις «Ἄθως», Ἀθήνα 2014, σελ. 433. Τί ὁρίζεται μὲ τὴν τοπωνυμία «Ἄρβανον»; Οἱ ὅροι «Ἄρβανον»

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΑΙΟ ΚΕΙΜΕΝΟ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η

ΑΡΧΑΙΟ ΚΕΙΜΕΝΟ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΑΡΧΑΙΟ ΚΕΙΜΕΝΟ ΕΝΟΤΗΤΑ 4η 15. Bούλομαι δὲ καὶ ἃς βασιλεῖ πρὸς τὴν πόλιν συνθήκας ὁ Λυκοῦργος ἐποίησε διηγήσασθαι: μόνη γὰρ δὴ αὕτη ἀρχὴ διατελεῖ οἵαπερ ἐξ ἀρχῆς κατεστάθη: τὰς δὲ ἄλλας πολιτείας εὕροι

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Συσχετισμένων Ἀρχείων & Εἰκόνων

Διαχείριση Συσχετισμένων Ἀρχείων & Εἰκόνων Διαχείριση Συσχετισμένων Ἀρχείων & Εἰκόνων Εἰσαγωγὴ Μιὰ ἀπὸ τὶς βασικὲς πρόσθετες δυνατότητες τῆς ἔκδοσης 3 τῶν ἰατρικῶν ἐφαρμογῶν μας, εἶναι ἡ δυνατότητα συσχετισμοῦ ὅσων ψηφιακῶν ἀρχείων ἀπαιτεῖται στὴν

Διαβάστε περισσότερα

LAHGLATA ACIOCQAVIAS PEQIODOS Bò L hgla Aò

LAHGLATA ACIOCQAVIAS PEQIODOS Bò L hgla Aò LAHGLATA ACIOCQAVIAS PEQIODOS Bò L hgla Aò Μὲ τὴν εὐκαιρία τῆς μνήμης τοῦ Ἁγίου ἐνδόξου Ἀποστόλου καὶ πρώτου Ἁγιογράφου, Εὐαγγελιστοῦ Λουκᾶ (18η Ὀκτωβρίου) καὶ πρὸς τιμήν Του, πραγματοποιήθηκε, μὲ τὴν

Διαβάστε περισσότερα

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Κύκλου μέτρησις Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Η ιστορία του π 2 Κυ κλου με τρησις Η μέθοδος του Αρχιμήδη για την προσέγγιση του π και ο ρόλος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΩΠΗ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΙΑ: ΠΑΡΕΛΘΟΝ, ΠΑΡΟΝ ΚΑΙ ΜΕΛΛΟΝ

ΕΥΡΩΠΗ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΙΑ: ΠΑΡΕΛΘΟΝ, ΠΑΡΟΝ ΚΑΙ ΜΕΛΛΟΝ 127 ΕΥΡΩΠΗ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΙΑ: ΠΑΡΕΛΘΟΝ, ΠΑΡΟΝ ΚΑΙ ΜΕΛΛΟΝ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΤΗΣ ΠΕΡΓΑΜΟΥ ΙΩΑΝΝΗΣ (ΖΗΖΙΟΥΛΑΣ) Εἰσαγωγὴ Ἡ δημιουργία τῆς ἑνωμένης Εὐρώπης εἶναι πάνω ἀπ ὅλα γεγονὸς πνευματικῆς σημασίας. Ἡ πολιτικὴ ἡγεσία

Διαβάστε περισσότερα

Ἡδιά ζώσης διδασκαλία (ἀκουστική παράδοση) τῆς Ψαλτικῆς Τέχνης ὃπως τήν μεταλαμπάδευσε ὁ Θρασύβουλος Στανίτσας

Ἡδιά ζώσης διδασκαλία (ἀκουστική παράδοση) τῆς Ψαλτικῆς Τέχνης ὃπως τήν μεταλαμπάδευσε ὁ Θρασύβουλος Στανίτσας Γ Συνέδριο «Θεωρία καί Πράξη τῆς Ψαλτικῆς Τέχνης ἡ Ὁκταηχία» Τετάρτη 18 Ὀκτωβρίου 2006 Ἡδιά ζώσης διδασκαλία (ἀκουστική παράδοση) τῆς Ψαλτικῆς Τέχνης ὃπως τήν μεταλαμπάδευσε Ἀθανάσιος Ἰ. Παϊβανᾶς www.paivanas.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ ὑπ ἀριθμ. 17

ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ ὑπ ἀριθμ. 17 Πρὸς Ἅπαντας τοὺς Ἐφημερίους τῆς καθ ἡμᾶς Ἱερᾶς Μητροπόλεως. ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ ὑπ ἀριθμ. 17 Θέμα: «Περὶ τῆς νομιμότητας τελέσεως τοῦ Μυστηρίου τοῦ Βαπτίσματος ἀνηλίκων». Ἀγαπητοὶ Πατέρες, Σχετικὰ μὲ τὶς προϋποθέσεις,

Διαβάστε περισσότερα

(Θ. Λειτουργία Ἰωάννου Χρυσοστόμου)

(Θ. Λειτουργία Ἰωάννου Χρυσοστόμου) Οἱ πιστοὶ ὑπὲρ τῶν κατηχουμένων δεηθῶμεν. Ἵνα ὁ Κύριος αὐτοὺς ἐλεήσῃ. Κατηχήσῃ αὐτοὺς τὸν λόγον τῆς ἀληθείας. Ἀποκαλύψῃ αὐτοῖς τὸ εὐαγγέλιον τῆς δικαιοσύνης. Ἑνώσῃ αὐτοὺς τῇ ἁγίᾳ αὐτοῦ καθολικῇ καὶ ἀποστολικῇ

Διαβάστε περισσότερα

Χίος, ὡραῖο νησί κι ἄν δέν φόρεσες δαφνόκλαρα, σοῦ φτάνει γιά δόξα σου τό ἀκάνθινο τοῦ μαρτυρίου στεφάνι.

Χίος, ὡραῖο νησί κι ἄν δέν φόρεσες δαφνόκλαρα, σοῦ φτάνει γιά δόξα σου τό ἀκάνθινο τοῦ μαρτυρίου στεφάνι. Χίος, ὡραῖο νησί κι ἄν δέν φόρεσες δαφνόκλαρα, σοῦ φτάνει γιά δόξα σου τό ἀκάνθινο τοῦ μαρτυρίου στεφάνι. Ἡ Χἀρις τῆς Τρισηλίου Θεότητος, τοῦ ἀνάρχου Πατρός, τοῦ συνανάρχου Υἱοῦ καί τοῦ συναϊδίου Ἁγίου

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: . Σχολικό βιβλίο σελ.9. Σχολικό βιβλίο σελ.88 3. Σχολικό βιβλίο σελ.5. α) Λ Β. β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5/5/5 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: Έστω z=+yi. Κάνοντας πράξεις στη

Διαβάστε περισσότερα

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 15 Μαρτίου 2006 1/5 Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Ν:6 ο Οι απαρχές των Μαθηματικών Τα μαθηματικά είναι η επιστήμη εκείνη η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΜΗΝΙΑΙΑ ΕΚ ΟΣΗ Ι. Ν. ΑΓΙΑΣ ΜΑΡΙΝΗΣ ΑΝΩ ΙΛΙΣΙΩΝ

ΙΜΗΝΙΑΙΑ ΕΚ ΟΣΗ Ι. Ν. ΑΓΙΑΣ ΜΑΡΙΝΗΣ ΑΝΩ ΙΛΙΣΙΩΝ 1 ΙΜΗΝΙΑΙΑ ΕΚ ΟΣΗ Ι. Ν. ΑΓΙΑΣ ΜΑΡΙΝΗΣ ΑΝΩ ΙΛΙΣΙΩΝ χαλ νωτη γλ σσα Ἡ γλῶσσα εἶναι ἕνα ἀπὸ τὰ σημαντικότερα μέλη τοῦ ἀνθρώπινου ὀργανισμοῦ. Σὲ σύγκριση μὲ ἄλλα ἀνθρώπινα μέλη, ὅπως γιὰ παράδειγμα τὰ χέρια

Διαβάστε περισσότερα

Ὁ Γάμος. Ἀγαπητοί μας μελλόνυμφοι,

Ὁ Γάμος. Ἀγαπητοί μας μελλόνυμφοι, Ὁ Γάμος Ἀγαπητοί μας μελλόνυμφοι, ὲ λίγες ἡμέρες πρόκειται νὰ ἑνωθεῖτε μὲ τὰ δεσμὰ τοῦ Γάμου διὰ τῶν εὐλογιῶν τῆς Ἁγίας Ἐκκλησίας τοῦ Κυρίου μας. Αὐτὸ τὸ γεγονὸς χρειάζεται ὡς καταλύτη τὸν τελειωτῆ καὶ

Διαβάστε περισσότερα

Ἑλλάδα. Μεγάλη. Καλαβρία Ἀπουλία Καμπανία STUDIUM HISTORICORUM Ε ΔΙΕΘΝΗΣ ΣΥΝΑΝΤΗΣΗ ΤΗΣ ΑΝΑΦΗΣ

Ἑλλάδα. Μεγάλη. Καλαβρία Ἀπουλία Καμπανία STUDIUM HISTORICORUM Ε ΔΙΕΘΝΗΣ ΣΥΝΑΝΤΗΣΗ ΤΗΣ ΑΝΑΦΗΣ STUDIUM HISTORICORUM Ε ΔΙΕΘΝΗΣ ΣΥΝΑΝΤΗΣΗ ΤΗΣ ΑΝΑΦΗΣ Ἡ Μεγάλη Ἑλλάδα Καλαβρία Ἀπουλία Καμπανία 27-30 ΑΥΓΟΥΣΤΟΥ 2015 Ἱερὰ Μονὴ Παναγίας Καλαμιώτισσας (Μονὴ τῆς Ζωοδόχου Πηγῆς), Ἀνάφη 2 Τρίτη 25 Αὐγούστου,

Διαβάστε περισσότερα

Ἡδιά ζώσης διδασκαλία (ἀκουστική παράδοση) τῆς Ψαλτικῆς Τέχνης ὃπως τήν μεταλαμπάδευσε ὁ Θρασύβουλος Στανίτσας

Ἡδιά ζώσης διδασκαλία (ἀκουστική παράδοση) τῆς Ψαλτικῆς Τέχνης ὃπως τήν μεταλαμπάδευσε ὁ Θρασύβουλος Στανίτσας Γ Συνέδριο «Θεωρία καί Πράξη τῆς Ψαλτικῆς Τέχνης ἡ Ὁκταηχία» Τετάρτη 18 Ὀκτωβρίου 2006 Ἡδιά ζώσης διδασκαλία (ἀκουστική παράδοση) τῆς Ψαλτικῆς Τέχνης ὃπως τήν μεταλαμπάδευσε Ἀθανάσιος Ἰ. Παϊβανᾶς www.paivanas.gr

Διαβάστε περισσότερα

Τὰ ὅρια τῶν φυσικῶν νόμων

Τὰ ὅρια τῶν φυσικῶν νόμων Τὰ ὅρια τῶν φυσικῶν νόμων Γεώργιος Κοντόπουλος Ἀκαδημία Ἀθηνῶν 1) Εἰσαγωγή Mία ἀπὸ τὶς μεγαλύτερες ἀνακαλύψεις ὅλων τῶν ἐποχῶν εἶναι τὸ ὅτι οἱ φυσικοὶ νόμοι εἶναι παγκόσμιοι. Δηλαδὴ οἱ ἴδιοι φυσικοὶ νόμοι

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

H ΜΥΣΤΙΚΗ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ ΣΤΟ ΓΛΥΠΤΙΚΟ ΕΡΓΟ ΤΗΣ ΕΛΕΝΗΣ ΠΟΤΑΓΑ*

H ΜΥΣΤΙΚΗ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ ΣΤΟ ΓΛΥΠΤΙΚΟ ΕΡΓΟ ΤΗΣ ΕΛΕΝΗΣ ΠΟΤΑΓΑ* H ΜΥΣΤΙΚΗ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ ΣΤΟ ΓΛΥΠΤΙΚΟ ΕΡΓΟ ΤΗΣ ΕΛΕΝΗΣ ΠΟΤΑΓΑ* Κ ΑΠΟΤΕ ΥΠΗΡΧΕ ΜΙΑ ΜΟΝΟ ΤΕΧΝΗ, αὐτὴ ποὺ θὰ ὑπάρχει στοὺς αἰῶνες, ὅσο βέβαια θὰ ὑπάρχουν ἄνθρωποι ἐπὶ τῆς γῆς ἐννοοῦμε τὴν ἱερὴ καὶ τελετουργικὴ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ http://edu.klimaka.gr ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ http://edu.klimaka.gr ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ʹ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ ΑΣ Β ) ΠΕΜΠΤΗ 27 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΑΣ Εν Αθήναις e-book 2012

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΑΣ Εν Αθήναις e-book 2012 ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΑΣ Εν Αθήναις e-book 2012 Συγγραφέας: dimdom 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΑΣ Εν Αθήναις e-book 2012 ΦΑΚΟΙ Τό φῶς ἀπό τά κοντινά ἀντικείμενα συγκλίνει πίσω ἀπό τό φακό, στό ἐπίπεδό

Διαβάστε περισσότερα

Σκέψεις γιὰ τὴν διατροφὴ καὶ τὴ νηστεία

Σκέψεις γιὰ τὴν διατροφὴ καὶ τὴ νηστεία Σκέψεις γιὰ τὴν διατροφὴ καὶ τὴ νηστεία Ἀλήθεια, πόσο σημαντικὸ εἶναι τὸ θέμα τῆς διατροφῆς. Εἴμαστε αὐτὸ ποὺ τρῶμε, λένε μερικοὶ ὑλιστὲς φιλόσοφοι. Καὶ ἐννοοῦν τίποτα παραπάνω. Ἡ λογικὴ αὐτὴ εἶναι λίγο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

η ἀκτινοβολιἀ τῶν ἑλληνικῶν δικἀιικῶν ιδἑῶν κἀι θἑσμῶν στο ἑὐρῶπἀϊκο στἑρἑῶμἀ

η ἀκτινοβολιἀ τῶν ἑλληνικῶν δικἀιικῶν ιδἑῶν κἀι θἑσμῶν στο ἑὐρῶπἀϊκο στἑρἑῶμἀ 171 η ἀκτινοβολιἀ τῶν ἑλληνικῶν δικἀιικῶν ιδἑῶν κἀι θἑσμῶν στο ἑὐρῶπἀϊκο στἑρἑῶμἀ μἀριἀνοὐ δ. κἀρἀση Ἕνας ἀπὸ τοὺς λάτρεις τοῦ ἀρχαίου ἑλληνικοῦ πολιτισμοῦ, ὁ Nietzsche, λέει στὴν Γέννηση τῆς τραγωδίας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Φιλοσοφία

Εισαγωγή στη Φιλοσοφία Εισαγωγή στη Φιλοσοφία Ενότητα 3: Είναι - Συνειδέναι Κωνσταντίνος Μαντζανάρης Πρόγραμμα Ιερατικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαρία Ψωμᾶ - Πετρίδου ΔΕΥΤΕΡΟ ΖΕΥΓΑΡΙ ΦΤΕΡΑ. Ποιήματα

Μαρία Ψωμᾶ - Πετρίδου ΔΕΥΤΕΡΟ ΖΕΥΓΑΡΙ ΦΤΕΡΑ. Ποιήματα Μαρία Ψωμᾶ - Πετρίδου ΔΕΥΤΕΡΟ ΖΕΥΓΑΡΙ ΦΤΕΡΑ Ποιήματα ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ Νοέμβριος 2011 15 ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ Μαρία Ψωμᾶ - Πετρίδου ΔΕΥΤΕΡΟ ΖΕΥΓΑΡΙ ΦΤΕΡΑ Ποιήματα Τεῦχος 15 - Νοέμβριος 2011 ISSN:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Ορισμός κανονικού πολυγώνου) Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΙΜΕΝΟ Κωνσταντῖνος Καβάφης. Μελαγχολία τοῦ Ἰάσωνος Κλεάνδρου ποιητοῦ ἐν Κομμαγηνῇ 595 μ.χ.

ΚΕΙΜΕΝΟ Κωνσταντῖνος Καβάφης. Μελαγχολία τοῦ Ἰάσωνος Κλεάνδρου ποιητοῦ ἐν Κομμαγηνῇ 595 μ.χ. ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 25 ΜΑΪΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΙΜΕΝΟ Κωνσταντῖνος Καβάφης Μελαγχολία

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

200 ΧΡΟΝΙΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΚΑΘΙΕΡΩΣΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ESTABLISHMENT OF THE NEW. Συμμετοχή των χορών: ΜΟΥΣΙΚΗΣ ΑΘΗΝΩΝ

200 ΧΡΟΝΙΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΚΑΘΙΕΡΩΣΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ESTABLISHMENT OF THE NEW. Συμμετοχή των χορών: ΜΟΥΣΙΚΗΣ ΑΘΗΝΩΝ Διοργάνωση Σχολείον Ψαλτικής Yπό τη αιγίδα της Ι. Αρχιεπισκοπής Αθηνών ΔΙΕΘΝΕΣ ΣΥΝΕΔΡΙΟ International Conference ΜΟΥΣΙΚΟΛΟΓΙΑΣ of Musicology 1814-2014: 1814-2014: 200 ΧΡΟΝΙΑ ΑΠΟ ΤΗΝ 200 YEARS FROM THE

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΙΟΣ ΜΑΡΤΥΡΑΣ ΑΓΑΘΟΠΟΥΣ

ΑΓΙΟΣ ΜΑΡΤΥΡΑΣ ΑΓΑΘΟΠΟΥΣ ΑΓΙΟΣ ΜΑΡΤΥΡΑΣ ΑΓΑΘΟΠΟΥΣ Ἡ συνεισφορὰ τῆς νήσου Κρήτης στὴ συγκρότηση τοῦ «ἔσω ἀνθρώπου», καθὼς καὶ στὴν πνευματικὴ προαγωγή, δὲν συνίσταται μονάχα στὴν καλλιέργεια τῶν Γραμμάτων καὶ τῶν Τεχνῶν, ἀλλὰ καὶ

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Καταστάσεων προβλημάτων στο Νηπιαγωγείο. Από τη μοιρασιά της τούρτας στην ανάπτυξη γεωμετρικών εννοιών

Διαχείριση Καταστάσεων προβλημάτων στο Νηπιαγωγείο. Από τη μοιρασιά της τούρτας στην ανάπτυξη γεωμετρικών εννοιών Διαχείριση Καταστάσεων προβλημάτων στο Νηπιαγωγείο Από τη μοιρασιά της τούρτας στην ανάπτυξη γεωμετρικών εννοιών Το πρόβλημα Ζητήθηκε από τα παιδιά να χωριστούν σε ομάδες και να προσπαθήσουν να μοιράσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

Ἀγαπητοί ἐθελοντές τῆς Διακονίας Ἀσθενῶν τῆς Ἐκκλησίας μας.

Ἀγαπητοί ἐθελοντές τῆς Διακονίας Ἀσθενῶν τῆς Ἐκκλησίας μας. ΕΚΚΛΗΣΙΑ & ΕΘΕΛΟΝΤΙΣΜΟΣ ΕΝΟΡΙΑ & ΔΙΑΚΟΝΙΑ ΑΣΘΕΝΩΝ Σεβασμιώτατε, Αἰδεσιμολογιώτατοι, Πρωτοπρεσβύτερος π. Βασίλειος Κοντογιάννης Ἐφημ. ΙΠΠΟΚΡΑΤΕΙΟΥ Γ.Ν.Α. Ἀγαπητοί ἐθελοντές τῆς Διακονίας Ἀσθενῶν τῆς Ἐκκλησίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Ι ΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ Πλάτωνος Πρωταγόρας 323C-324Α

Ι ΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ Πλάτωνος Πρωταγόρας 323C-324Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ʹ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) Ι ΑΓΜΕΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΝ τελευταῖο καιρὸ παρετηρήθη ἔντονος κίνησις, γιὰ τὴν ἐπίσημη

ΤΟΝ τελευταῖο καιρὸ παρετηρήθη ἔντονος κίνησις, γιὰ τὴν ἐπίσημη Θαῦμα τῆς Ἁγίας Γεροντίσσης Μυρτιδιωτίσσης τῆς Ἀσκητρίας τῆς Κλεισούρας ( 1974) Ἀποδεικτικὸ καὶ Βεβαιωτικὸ τῆς Μοναχικῆς Ἱδιότητος καὶ Ὀνομασίας Αὐτῆς ΤΟΝ τελευταῖο καιρὸ παρετηρήθη ἔντονος κίνησις, γιὰ

Διαβάστε περισσότερα

Ι ΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ Αριστοτέλους Ηθικά Νικομάχεια Β 1,5-8

Ι ΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ Αριστοτέλους Ηθικά Νικομάχεια Β 1,5-8 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ʹ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 28 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) Ι ΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ Αριστοτέλους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 3.2 : Απαρίθμηση Συνδυαστική (ΙΙ). Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

μπορεῖ νὰ κάνει θαύματα. Ἔτσι ὁ ἅγιος Νέστωρ, παρότι ἦταν τόσο νέος, δὲν λυπήθηκε τὴν ζωή του καὶ ἦταν ἕτοιμος νὰ θυσιάσει τὰ πάντα γιὰ τὸν Χριστό.

μπορεῖ νὰ κάνει θαύματα. Ἔτσι ὁ ἅγιος Νέστωρ, παρότι ἦταν τόσο νέος, δὲν λυπήθηκε τὴν ζωή του καὶ ἦταν ἕτοιμος νὰ θυσιάσει τὰ πάντα γιὰ τὸν Χριστό. Ο Μ Ι Λ Ι Α ΤΗΣ Α.Θ.ΠΑΝΑΓΙΟΤΗΤΟΣ ΤΟΥ ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΟΥ ΠΑΤΡΙΑΡΧΟΥ κ.κ. Β Α Ρ Θ Ο Λ Ο Μ Α Ι Ο Υ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΕΠΙΣΚΕΨΙΝ ΑΥΤΟΥ ΕΙΣ ΤΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥΛΙΔΟΥ (25 Ὀκτωβρίου 2013) Ἱερώτατε καὶ φίλτατε ἐν Χριστῷ ἀδελφὲ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Περὶ νεύρωσης, ψύχωσης καὶ διαστροφῆς 15 ΝΕΥΡΩΣΕΙΣ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Περὶ νεύρωσης, ψύχωσης καὶ διαστροφῆς 15 ΝΕΥΡΩΣΕΙΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Περὶ νεύρωσης, ψύχωσης καὶ διαστροφῆς 15 ΝΕΥΡΩΣΕΙΣ Πρόλογος 23 Α. Συμπτωματολογία καὶ ψυχοπαθολογικὰ χαρακτηριστικά 33 Ι. Σημειολογία τῶν νευρώσεων 33 Τὸ ἄγχος καὶ οἱ μορφές του 34 Σωματικὲς

Διαβάστε περισσότερα

Αρχαίοι Έλληνες Ιστοριογράφοι Α Λυκείου

Αρχαίοι Έλληνες Ιστοριογράφοι Α Λυκείου Αρχαίοι Έλληνες Ιστοριογράφοι Α Λυκείου Ξενοφώντος Αγησίλαος Κεφάλαιο 7, 1 Διδακτική πρόταση: Πόπη Πούγιουρου, Σύμβουλος Φιλολογικών Μαθημάτων Εποπτεία:Λουκία Χατζημιχαήλ, ΕΜΕ Φιλολογικών Μαθημάτων Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

Μὲ τὴν Χάρι τοῦ Κυρίου μας

Μὲ τὴν Χάρι τοῦ Κυρίου μας Ἱερὸ Τελετὴ Λήξεως Μαθημάτων Ἁγιογραφίας τῆς Μητροπόλεώς μας Περίοδος ΣΤ, 2013-2014 Ζωὴ καὶ Δημιουργικὴ Συνέχεια στὴν Ὀρθόδοξη Ἁγιογραφία + Κυριακὴ Ἁγιορειτῶν Πατέρων, 9/22.6.2014 Μὲ τὴν Χάρι τοῦ Κυρίου

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσκληση απασχόλησης στο έργο ''Πανδέκτης: Ψηφιακός θησαυρός πρωτογενών τεκµηρίων ελληνικής ιστορίας και πολιτισµού''

Πρόσκληση απασχόλησης στο έργο ''Πανδέκτης: Ψηφιακός θησαυρός πρωτογενών τεκµηρίων ελληνικής ιστορίας και πολιτισµού'' Πρόσκληση απασχόλησης στο έργο ''Πανδέκτης: Ψηφιακός θησαυρός πρωτογενών τεκµηρίων ελληνικής ιστορίας και πολιτισµού'' Οι παρακάτω προσκλήσεις εντάσσονται στο Έργο «ΠΑΝ ΕΚΤΗΣ Νο2- Ψηφιακός Θησαυρός Πρωτογενών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ;

ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ; ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ; Γιώργου Τσαπακίδη Είναι εύκολο να παρατηρήσουμε ότι τα συμμετρικά σχήματα έχουν πολύ περισσότερες ιδιότητες από τα μη συμμετρικά σχήματα. Το ισοσκελές τρίγωνο, που έχει άξονα

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται αριθµητική πρόοδος, αν και µόνο αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο του µε πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθµού.. Μαθηµατική έκφραση

Διαβάστε περισσότερα

Ἔχουμε κρίση θεσμῶν γιατί ἔχουμε κρίση προσώπων καὶ ἔχουμε κρίση προσώπων γιατί ἀγαπήσαμε τὴν ἀπατηλὴ ζωὴ τοῦ κόσμου τούτου, μὲ τὶς πολλὲς

Ἔχουμε κρίση θεσμῶν γιατί ἔχουμε κρίση προσώπων καὶ ἔχουμε κρίση προσώπων γιατί ἀγαπήσαμε τὴν ἀπατηλὴ ζωὴ τοῦ κόσμου τούτου, μὲ τὶς πολλὲς Ὁμιλία Σεβασμιωτάτου Μητροπολίτου Πέτρας & Χερρονήσου κ. Νεκταρίου στὴν εἰς Πρεσβύτερον χειροτονία τοῦ ιακόνου Νεκταρίου Κιοστεράκη Χερσόνησος, 30 εκεμβρίου 2010 Χειροτονεῖσαι σήμερα ἱερεὺς καὶ συνάπτεσαι

Διαβάστε περισσότερα

Π. Τ Ε Τ Σ Η Σ Χ Α Λ Κ Ο Γ Ρ Α Φ Ι Ε Σ

Π. Τ Ε Τ Σ Η Σ Χ Α Λ Κ Ο Γ Ρ Α Φ Ι Ε Σ ENTYPO TETSIS FIN:Layout 1 6/4/09 12:59 PM Page 1 Π. Τ Ε Τ Σ Η Σ Χ Α Λ Κ Ο Γ Ρ Α Φ Ι Ε Σ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ-3 ΙΟΥλΙΟΥ 2009 ΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΕΘΝΙΚΗΣ ΤΡΑΠΕΖΗΣ ΘΟΥΚΥΔΙΔΟΥ 13, ΠλΑΚΑ, ΑΘΗΝΑ ENTYPO TETSIS FIN:Layout

Διαβάστε περισσότερα

Διδαγμένο κείμενο. Ἀριστοτέλους Πολιτικά (Α1,1/Γ1,2/Γ1,3-4/6/12)

Διδαγμένο κείμενο. Ἀριστοτέλους Πολιτικά (Α1,1/Γ1,2/Γ1,3-4/6/12) Διδαγμένο κείμενο Ἀριστοτέλους Πολιτικά (Α1,1/Γ1,2/Γ1,3-4/6/12) Ἐπειδὴ πᾶσαν πόλιν ὁρῶμεν κοινωνίαν τινὰ οὖσαν καὶ πᾶσαν κοινωνίαν ἀγαθοῦ τινος ἕνεκεν συνεστηκυῖαν (τοῦ γὰρ εἶναι δοκοῦντος ἀγαθοῦ χάριν

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΙΠΑ ΜΙΕΤ ΠΑΛΙΜΨΗΣΤΟ ΧΦ. Φυσική λήψη Ετος 1999 MuSIS System

ΙΠΑ ΜΙΕΤ ΠΑΛΙΜΨΗΣΤΟ ΧΦ. Φυσική λήψη Ετος 1999 MuSIS System ΙΠΑ ΜΙΕΤ ΠΑΛΙΜΨΗΣΤΟ ΧΦ. Φυσική λήψη Ετος 1999 MuSIS System ΙΠΑ ΜΙΕΤ ΠΑΛΙΜΨΗΣΤΟ ΧΦ. 480 nm ΙΠΑ ΜΙΕΤ ΠΑΛΙΜΨΗΣΤΟ ΧΦ. 500 nm ΙΠΑ ΜΙΕΤ ΠΑΛΙΜΨΗΣΤΟ ΧΦ. 520 nm ΙΠΑ ΜΙΕΤ ΠΑΛΙΜΨΗΣΤΟ ΧΦ. 540 nm ΙΠΑ ΜΙΕΤ ΠΑΛΙΜΨΗΣΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

Γεωργία Ε. Αντωνέλου Επιστημονικό Προσωπικό ΕΕΥΕΜ Μαθηματικός, Msc. antonelou@ecomet.eap.gr

Γεωργία Ε. Αντωνέλου Επιστημονικό Προσωπικό ΕΕΥΕΜ Μαθηματικός, Msc. antonelou@ecomet.eap.gr Γεωργία Ε. Αντωνέλου Επιστημονικό Προσωπικό ΕΕΥΕΜ Μαθηματικός, Msc. antonelou@ecomet.eap.gr Θεμελίωση μιας λύσης ενός προβλήματος από μια πολύπλευρη (multi-faceted) και διαθεματική (multi-disciplinary)

Διαβάστε περισσότερα