The copyright and the Intellectual Property of the Edition of the Codex Vindobonensis phil. Gr. 65 (ff. 11r-126r)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "The copyright and the Intellectual Property of the Edition of the Codex Vindobonensis phil. Gr. 65 (ff. 11r-126r)"

Transcript

1 The copyright and the Intellectual Property of the Edition of the Codex Vindobonensis phil. Gr. 65 (ff. 11r-126r) The Byzantine Mathematics, 3 rd edition Volume Ι Arithmetic, Αlgebra Volume ΙΙ Geometry

2 Τὰ βυζαντινὰ Μαθηματικὰ εἶναι συνήθως ὑποτιμημένα ὡς πρὸς τὴ συνεισφορά τους στὴν ἐξέλιξη τῆς Μαθηματικῆς Ἐπιστήμης ἀνὰ τοὺς αἰῶνες. Οἱ δύο τόμοι τῆς 3 ης Έκδοσης στοχεύουν νὰ ἀποκαταστήσουν στὸ μέτρο τοῦ δυνατοῦ τὴν πραγματικότητα, μιᾶς καὶ πηγὴ γιὰ τὴ συγγραφή τους εἶναι ὁ Ἑλληνικὸς Βιενναῖος κώδικας 65, ἕνα αὐθεντικὸ βυζαντινὸ μαθηματικὸ χειρόγραφο τοῦ 15ου αἰ. μ.χ., τὸ ὁποῖο φυλάσσεται ἐπὶ σειρὰ ἐτῶν στὴν Ἐθνικὴ Βιβλιοθήκη τῆς Αὐστρίας, καὶ τὸ ὁποῖο ἐξέδωσα τὸ 2006 (Κέντρο Βυζαντινῶν Ἐρευνῶν τοῦ Ἀριστοτέλειου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης). Μέλη τοῦ Διοικητικοῦ Συμβουλίου τοῦ Κέντρου Βυζαντινῶν Ἐρευνῶν οἱ Καθηγητές τοῦ Ἀριστοτέλειου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης κκ.: Γεώργιος Βελένης (Πρόεδρος), Ἀλκμήνη Σταυρίδου-Ζαφράκα, Βασίλειος Κατσαρός, Γεώργιος Νάκος, και Βασίλειος Φανουργάκης.

3

4 Ὁ Codex Vindobonensis phil. Gr. 65 (ff. 11r-126r) εἶναι ἕνα ὀγκῶδες χειρόγραφο 250 περίπου πυκνογραμμένων σελίδων μεγέθους Α3, ἀνωνύμου συγγραφέα, τὸ περιεχόμενο τοῦ ὁποίου διδασκόταν πρίν τήν Ἅλωση τῆς Κωνσταντινούπολης σὲ εὐρὺ κοινό προερχόμενο ἀπὸ διάφορα κοινωνικὰ στρώματα, ὅπως συνηθιζόταν ἐκείνη τὴν ἐποχή. Ἡ σημασία τοῦ χειρογράφου εἶναι αξιόλογη, ἀφοῦ, ὅπως προέκυψε ἀπὸ τὴν διενεργηθεῖσα ἐπιστημονικὴ ἔρευνα πρόκειται κατ' οὐσίαν γιὰ τὴν Μαθηματικὴ Ἐγκυκλοπαίδεια τῶν Βυζαντινῶν, καὶ μάλιστα τὴν πρώτη Μαθηματικὴ Ἐγκυκλοπαίδεια. Ἐπιπλέον ἕνα δεύτερο στοιχεῖο ποὺ ἐνισχύει τὴν ἄποψη ὅτι πρόκειται γιὰ ἕνα σημαντικὸ ἐπιστημονικὸ ἔργο τῆς ἐποχῆς του εἶναι ὅτι ἀπὸ τὰ μέχρι στιγμῆς ἐπιστημονικὰ εὑρήματα προκύπτει πὼς εἶναι τὸ πρῶτο ἑλληνικὸ χειρόγραφο στὸ ὁποῖο ἐμφανίζεται τὸ πρόβλημα (κεφ. 177 (ροζ)) τῆς κατασκευῆς τετραγώνου ἐγγεγραμμένου σὲ ἰσόπλευρο τρίγωνο, ὥστε ἡ μία του πλευρὰ νὰ ἐφάπτεται μὲ τὴν πλευρὰ τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου. Βέβαια στὸ χειρόγραφο δὲν καταγράφεται τὸ θεωρητικὸ μέρος τῆς κατασκευῆς, ἀλλὰ ζητεῖται μόνο νὰ ὑπολογισθεῖ ἡ πλευρὰ τοῦ τετραγώνου συναρτήσει τῆς πλευρᾶς τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου.

5 Πρέπει να σημειωθεί ότι στο παρελθόν έγιναν διάφορες απόπειρες έκδοσης του χειρόγραφου από Πανεπιστημιακούς Καθηγητές όπως ο Η. Hunger (1978) και ο J. L. Heiberg (1899), οι οποίες είχαν σαν αποτέλεσμα την έκδοση μικρών τμημάτων του, παρά το ότι η εργασία γινόταν συνήθως από επιστημονικές ομάδες. Αυτό όμως θεωρείται αναμενόμενο, διότι η δυσκολία της έκδοσης μιας τέτοιας μελέτης έγκειται στο ότι απαιτούνται σύνθετες γνώσεις Παλαιογραφίας, Μαθηματικών και πολύ καλή γνώση της Ελληνικής γλώσσας της σύγχρονης αλλά και αυτής του 15 ου αι. Εξέδωσα το χειρόγραφο το 2006, ως βελτιωμένη έκδοση της διδακτορικής μου διατριβής που εγκρίθηκε με ομόφωνο άριστα από το Μαθηματικό Τμήμα του Πανεπιστημίου Αθηνών το Εδώ πρέπει να επισημάνω ότι η επταμελής Επιτροπή για την έγκριση της διδακτορικής διατριβής απαρτιζόταν από 7 διακεκριμένους διεθνώς Καθηγητές: Α) Του Μαθηματικού Τμήματος του Πανεπιστημίου Αθηνών, τους κκ. Μαρία Παπαθανασίου, Σταύρο Παπασταυρίδη, Ιωάννη Αραχωβίτη και Παναγιώτη Τσαγκάρη και Β) τους Βυζαντινολόγους κκ. Κωνσταντίνο Μανάφη, Φώτιο Δημητρακόπουλο και Ταξιάρχη Κόλια της Φιλοσοφικής Σχολής του Πανεπιστημίου Αθηνών.

6

7 Η πλήρης έκδοση του 2006 έγινε από το Κέντρο Βυζαντινών Ερευνών του Αριστοτέλειου Πανεπιστημίου της Θεσσαλονίκης τηρουμένων όλων των απαιτήσεων μιας παγκοσμίως αξιόπιστης και μοναδικής έκδοσης. Το βιβλίο αυτό έγινε δεκτό μετά πολλών επαίνων από την επιστημονική κοινότητα, σχολιάστηκε θετικά σε ελληνικά και ξένα περιοδικά και αναφέρεται κατ εξακολούθηση σε δημοσιεύσεις ερευνητών. Προσωπικά έγινα αποδέκτης συγχαρητηρίων επιστολών από Έλληνες και ξένους γνωστούς Καθηγητές Πανεπιστημίων, Ακαδημαϊκούς και Πρυτάνεις. Το βιβλίο δε, ευρίσκεται με το χαρακτηρισμό ΠΗΓΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ στις βιβλιοθήκες πολλών Πανεπιστημίων της χώρας μας αλλά και του εξωτερικού.

8 Whoever carries out the transcription and the scientific study of a manuscript holds the Intellectual Property of the work! Προσφάτως και συγκεκριμένα στις αρχές του 2014 πληροφορήθηκα από διεθνές επιστημονικό forum, ότι κάποιος Γερμανός συγγραφέας που είχε ξεκινήσει προ 20- ετίας τη μεταγραφή υπό την επίβλεψη του Καθηγητή H. Hunger, και ο οποίος τα τελευταία 8 χρόνια μελετούσε την ελληνική έκδοσή μας, κατάφερε να το εκδώσει (;) όπως ισχυρίζεται μεταφρασμένο και στα γερμανικά. Μάλιστα για να διαφημίσει προφανώς το βιβλίο του γράφει, ότι αυτό είναι το πρώτο και μοναδικό αξιόλογο έργο που έχει εκδοθεί μέχρι το Το κατά πόσον είναι ηθικό να κάνει διαφήμιση μέσω δυσφήμισης, δεν φαίνεται να τον απασχολεί ιδιαίτερα. Εδώ βέβαια τίθενται πρωτίστως ερωτήματα σχετικά με το θέμα της μεταγραφής την οποία βρήκε έτοιμη, όπως και τα μαθηματικά σχόλια με τις πρωτότυπες αποδείξεις μου, τα φιλολογικά σχόλια και γενικότερα την πλήρη και διεξοδική πρωτότυπη μελέτη του χειρόγραφου, όπως αυτή εγκρίθηκε από το Πανεπιστήμιο Αθηνών το 2004 και εκδόθηκε από το Αριστοτέλειο το Δευτερευόντως τίθενται ερωτήματα και για τη διασφάλιση μιας έστω ελάχιστης επιστημονικής αξιοπιστίας αυτής της ελεύθερης μετάφρασης ενός μικρού μέρους του ελληνικού έργου μου στα γερμανικά, αφού κάποιοι επιστημονικοί (;) ισχυρισμοί του Γερμανού μεταφραστή, όπως π.χ. ότι η εμφάνιση των δεκαδικών κλασμάτων συνδέεται με την άνοδο της Οθωμανικής Αυτοκρατορίας (sic!), προκαλούν θυμηδία και σκέψεις σχετικά με τα κίνητρα του συγγραφέα της. Dr. Maria Chalkou, Ph.D., M.Sc. in Mathematics, University of Athens Dept. of Mathematics, State High School Advisor

9 Είναι απολύτως κατανοητή η απογοήτευση ορισμένων ανθρώπων, οι οποίοι επί σειρά ετών αγωνίζονταν να φέρουν σε πέρας αυτό το τεράστιο έργο χωρίς κάποιο αποτέλεσμα. Εκείνο που δεν μπορούν όμως να αλλάξουν είναι το γεγονός ότι οι Έλληνες, όταν θέλουμε, έχουμε επανειλημμένα αποδείξει ότι δημιουργούμε επιστημονικές ανακαλύψεις και πρωτότυπα έργα που μένουν στην Ιστορία, αν και δεν μένουν πάντα στην Ελλάδα, αφού πολλά καταλήγουν μετά την αρπαγή τους να κοσμούν μουσεία, βιβλιοθήκες και άλλους τόπους συλλογής δειγμάτων Ελληνικού Πολιτισμού. Και, όπως και να γίνει, δεν μπορούν να αλλάξουν το ότι το συγκεκριμένο έργο ήταν σύμφωνα με όλες τις ενδείξεις έργο Βυζαντινού συγγραφέα και εκδόθηκε αποδεδειγμένα από Ελληνίδα μαθηματικό το 2006 με την εκδοτική σφραγίδα ενός εκ των σημαντικότερων Κέντρων Βυζαντινών Ερευνών-αυτό του Αριστοτέλειου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης, αφού βέβαια είχε ήδη εγκριθεί με ομόφωνο άριστα ως διδακτορική διατριβή από το Πανεπιστήμιο Αθηνών το Βεβαίως και οι μεταφραστές επιτελούν έργο. Εκείνοι όμως που διαστρεβλώνουν μερικώς ένα μεγάλο έργο, του οποίου μεταφράζουν στη γλώσσα τους ένα μικρό τμήμα και στη συνέχεια το παρουσιάζουν όλο ως δικό τους, προσπαθώντας μάλιστα να απαξιώσουν τον δημιουργό του έργου με εξαιρετικά αστείες και άστοχες παρατηρήσεις, για να διαφημίσουν το αντίγραφό τους, πώς ακριβώς χαρακτηρίζονται; Έντιμοι Επιστήμονες-Ερευνητές, ή μήπως κάτι άλλο;

10 Σε μία τέτοια μελέτη το δυσκολότερο και πιο επίπονο μέρος είναι η μεταγραφή. Για να αντιληφθεί κανείς τί ακριβώς σημαίνει μεταγραφή ενός χειρόγραφου, αρκεί να κατανοήσει ότι χρειάζονται περί τα 3 χρόνια σπουδές Παλαιογραφίας, δηλαδή χρειάζεται να μάθει κάποιος τη γλώσσα των αρχαίων χειρόγραφων για να μεταγράψει το κείμενο, εν προκειμένω του 15 ου αι. στην ελληνική γλώσσα ώστε να μπορεί να γίνει κατανοητό πρωτίστως από τους γνωρίζοντες την ελληνική γλώσσα επιστήμονες, και ασφαλώς από τους Βυζαντινολόγους παγκοσμίως.

11 Δείγμα από το κείμενο του 15 ου αι. Στο πλάι της σελίδας βλέπουμε και τις πράξεις που έχουν γίνει σ αυτό το πρόβλημα του υπολογισμού του όγκου του εικονιζόμενου δοχείου

12 Αφού ολοκληρωθεί η μεταγραφή διαβάζονται προσεκτικά οι διατυπώσεις των προβλημάτων καθώς και οι επιλύσεις που έχουν χρησιμοποιηθεί από τον συγγραφέα του χειρόγραφου. Το τμήμα αυτό της μελέτης παρουσιάζει σοβαρές δυσκολίες, επειδή οι σύγχρονοι μαθηματικοί δεν είμαστε εξοικειωμένοι ούτε με τη γλώσσα του μεταγραμμένου ήδη κειμένου, αλλά ούτε και με τις μεθόδους των επιστημόνων εκείνων των εποχών. Αρκεί να σκεφθεί κανείς, ότι τότε, η επίλυση μιας εξίσωσης επί παραδείγματι δεν περιελάμβανε κάποια μαθηματική σχέση όπως τη γνωρίζουμε σήμερα, αλλά γινόταν περιγραφικά σε όλη την έκτασή της. Για να γίνει κατανοητό αυτό το τμήμα της διαδικασίας της έκδοσης ενός χειρόγραφου, παρουσιάζω για το πρόβλημα 171 (ροα) της γεωμετρίας: 1) Τη διατύπωση και την επίλυσή του από τον συγγραφέα του 15 ου αι. 2) Τμήμα από το κείμενο όπως διαμορφώθηκε μετά τη μεταγραφή, και 3) Τον μαθηματικό σχολιασμό.

13

14 ΤΟ ΚΕΙΜΕΝΟ ΜΕΤΑ ΤΗ ΜΕΤΑΓΡΑΦΗ ροα' Περὶ τοῦ πῶς ἐστὶ ἐντὸς ἡμισφαιρίου σχήματος, τεθῆναι τετράγωνον σχῆμα ἰσόπλευρον καὶ εἰδέναι ἑκάστη πλευρὰν πόσων σπιθαμῶν ἐστί. Ἔστω ἡμισφαίριον σχῆμα ὅπερ ἐστὶ ἡ διάμετρος αὐτοῦ σπιθαμῶν ιβ, τεθημένου δὲ ἐντός, σχῆμα τετράγωνον ἰσόπλευρον κατὰ τὸ ἐγχωροῦν μεῖζον μέγεθος. Ζητεῖς εἰδέναι ἑκάστη πλευρὰν πόσων σπιθαμῶν ἐστί. Ἔχεις δὲ τοῦτο εἰδέναι οὕτως: Πολλαπλασίασον εἰς ἑαυτὴ τὴν διάμετρον τοῦ ἡμισφαιρίου ἥτις ἐστὶ σπιθαμῶν ιβ ὡς εἴπομεν ιβ-κις οὖν ιβ γίνονται ρμδ. Μέρισον ταῦτα πάντοτε μετὰ τῶν ε. Γίνεταί δε νῦν ὁ τούτων διαμερισμὸς κη καὶ δ/ε. Ζήτει τὴν ρίζαν τοῦ κη καὶ δ/ε ἥτις ἐστὶ ε καὶ ια/λ. Τὰ γὰρ ε καὶ ια/λ τεχνικῶς πολλαπλασιαζόμενα εἰς ἑαυτὰ πολλαπλασιάζοσιν κη καὶ ψκα/ϡ ἅπερ ἐστὶ κη καὶ δ/ε. Ἐστὶ δὲ ἑκάστη πλευρὰ τοῦ τετραγώνου τοῦ σχήματος σπιθαμῶν ε καὶ ια/λ μιᾶς σπιθαμῆς

15 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΟΛΙΑΣΜΟΣ κεφ (ροα). Μὲ πλευρὰ τμῆμα τῆς διαμέτρου ΑΒ= 12 ἑνός κύκλου, ο συγγραφέας ζητεῖ νὰ κατασκευαστεῖ τετράγωνο μὲ δύο διαδοχικές κορυφὲς ἐπὶ τῆς περιφέρειας καὶ τὶς ἄλλες δύο ἐπὶ τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου. Ἔστω ΓΕΖΔ τὸ ζητούμενο τετράγωνο. Τὰ ὀρθογώνια τρίγωνα ΔΖΟ καὶ ΓΕΟ εἶναι ἴσα ἐπειδὴ ἔχουν ΔΖ=ΓΕ (ὡς πλευρὲς τετραγώνου), καὶ ΟΖ=ΟΕ=ρ=6. Ἄρα ΟΔ=ΟΓ=χ/2, ὅπου χ ἡ πλευρὰ τοῦ ζητούμενου τετραγώνου. Ἐφαρμόζουμε τὸ Πυθαγόρειο θεώρημα στὸ ὀρθογώνιο τρίγωνο ΔΖΟ: 6²= χ²+(χ/2)², ἢ χ²= 144/5, ἢ χ= (144/5). Ὁ συγγραφέας τοῦ χειρόγραφου γνωρίζει προφανῶς τή μέθοδο, ἀλλά περιγράφει μόνο τὸ τελευταῖο βῆμα τῆς πιὸ πάνω διαδικασίας, δηλαδὴ ὑπολογίζει κατευθείαν τὸ χ ὡς τὴν τετραγωνικὴ ρίζα τοῦ ΑΒ²/5, χωρὶς κάποια αἰτιολόγηση.

16

17 Σχετικά με την ολοκλήρωση της έκδοσης ενός χειρόγραφου, αφού γίνει η μεταγραφή, η μελέτη των μεθόδων του συγγραφέα, και ο μαθηματικός τους σχολιασμός, εκείνο που απομένει πλέον είναι το κεφάλαιο της ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ, όπου αναλύονται διεξοδικά με αποδεικτικά στοιχεία τα εξής: 1) Η περιγραφή του χειρογράφου 2) Η χρονολογία συγγραφής του 3) Η γλώσσα, η σύνταξη και οι γραμματικές παρατηρήσεις 4) Η ορολογία που χρησιμοποιεί ο συγγραφέας 5) Τα νομίσματα, τα μέτρα και τα σταθμά 6) Οι επιστημονικές επιρροές που έχει δεχθεί ο συγγραφέας 7) Η προσωπικότητα του συγγραφέα, και 8) Οι θεματικές ενότητες του περιεχομένου του χειρογράφου ΟΛΑ ΤΑ ΑΝΩΤΕΡΩ ΠΕΡΙΕΧΟΝΤΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΤΟ ΚΕΙΜΕΝΟ ΤΗΣ ΟΠΟΙΑΣ ΕΥΡΙΣΚΕΤΑΙ ΕΔΩ ΚΑΙ ΑΡΚΕΤΑ ΧΡΟΝΙΑ ΣΤΟ ΕΘΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΤΕΚΜΗΡΙΩΣΗΣ ΚΑΙ ΕΊΝΑΙ ΣΤΗ ΔΙΑΘΕΣΗ ΤΩΝ ΕΡΕΥΝΗΤΩΝ ΓΙΑ ΝΑ ΤΟ ΜΕΛΕΤΗΣΟΥΝ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΩΣ ΟΧΙ ΓΙΑ ΝΑ ΤΟ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΟΥΝ ΩΣ ΔΙΚΟ ΤΟΥΣ ΚΑΝΟΝΤΑΣ ΚΑΠΟΙΕΣ ΑΛΛΑΓΕΣ ΓΙΑ ΝΑ ΔΙΚΑΙΟΛΟΓΗΣΟΥΝ ΤΗΝ ΠΡΑΞΗ ΤΟΥΣ

18 Όσον αφορά στην Γ έκδοση των δύο τόμων των Βυζαντινών Μαθηματικών, σημειώνω ότι πρόκειται για μια πιο εκλαϊκευμένη παρουσίαση της επίσημης έκδοσης του έργου, που έγινε από το Κέντρο Βυζαντινών Ερευνών του Αριστοτέλειου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης το Οι δύο αυτοί τόμοι περιέχουν έναν μεγάλο αριθμό προβλημάτων ποικίλης θεματολογίας, γεγονός που επιτρέπει την ασφαλή εξαγωγή συμπερασμάτων σχετικά με τον ρόλο που διαδραμάτισαν οι Βυζαντινοί λόγιοι στην πρόοδο της Επιστήμης των Μαθηματικών και της Μαθηματικής Παιδείας γενικότερα. Επιπλέον, προσφέρει πλήθος πληροφοριών σχετικά με τα προβλήματα που αντιμετώπιζαν οι Βυζαντινοί στην καθημερινή τους ζωή, σχετικά με το εμπόριο, τις συναλλαγές, την αργυροχρυσοχοΐα, την οχυρωματική τέχνη, κ. ά.

19 Στὸν πρῶτο τόμο τῆς Γ ἔκδοσης τοῦ βιβλίου μου τό ὁποῖο ἐκδόθηκε τό 2006 (Α ἔκδοση) μέ τίτλο Τά μαθηματικά στό Βυζάντιο ἀπό τίς Ἐκδόσεις Ἐπικαιρότητα καί ἐπανεκδόθηκε τό 2007 (Β ἔκδοση) ἀπό τίς Ἐκδόσεις Παῦλος, γίνεται ἀναφορὰ στὴν περιγραφὴ τοῦ χειρογράφου καὶ τοῦ περιεχομένου τῶν 10 πρώτων ἑνοτήτων, σχολιάζονται μαθηματικῶς τὰ προβλήματα τῆς Ἀριθμητικῆς καὶ τῆς Ἄλγεβρας, καὶ παρατίθενται μεταγραμμένα τμήματα τοῦ κειμένου τοῦ 15ου αἰ. Σημαντικά στοιχεῖα περιέχονται στά κεφάλαια πού ἀναφέρονται στή Θεωρία Ἀριθμῶν, στὴν πρώιμη μέθοδο ὀλοκλήρωσης και στα κλάσματα, γεγονός πού καταδεικνύει την καθόλου εὐκαταφρόνητη Μαθηματική Παιδεία τῶν Βυζαντινῶν. Στὸν δεύτερο τόμο τῆς Γ ἔκδοσης τοῦ βιβλίου πού ἐκδόθηκε τό 2006 (Α ἔκδοση) μέ τίτλο Τά προβλήματα τῆς Γεωμετρίας στό Βυζάντιο ἀπό τίς Ἐκδόσεις Ἐπικαιρότητα καί ἐπανεκδόθηκε τό 2007 (Β ἔκδοση) ἀπό τίς Ἐκδόσεις Παύλος, περιγράφεται τὸ περιεχόμενο τῶν 3 τελευταίων ἑνοτήτων τῆς Γεωμετρίας, σχολιάζονται μαθηματικῶς τὰ προβλήματα καὶ παρατίθενται τμήματα τοῦ ἀντιστοίχου μεταγραμμένου κειμένου. Καί στούς δύο τόμους τῆς Γ ἔκδοσης ἔχουν προστεθεῖ νέα στοιχεῖα προερχόμενα ἀπό δημοσιεύσεις μου πού ἔγιναν κυρίως κατά τήν τελευταία 8ετία σέ ἐπιστημονικά περιοδικά καθώς καί εἰσηγήσεις μου σέ ἑλληνικά καί διεθνῆ Συνέδρια.

20

21 Παρουσίαση καὶ περιγραφὴ τῆς Β Ἔκδοσης τῶν δύο τόμων ἔγινε καὶ στὸ γερμανικὸ περιοδικὸ Bereitgestellt von/ De Gruyter/TCS, Angemeldet/ , Heruntergeladen am/ , pp.1052,1053, τοῦ 2014 ἀπό τὸν Ἱστορικό καὶ μέλος τῆς Ἐπιτροπῆς Βυζαντινῶν Σπουδῶν τοῦ Ε.Ι.Ε. κ. Ι. Τελέλη, Συνιστᾶται στοὺς ἀναγνῶστες-μελετητὲς τῶν δύο τόμων, νὰ ἀφιερώσουν στὴν ἀρχὴ λίγο χρόνο γιὰ τὴν ἐκμάθηση τοῦ ἀρχαίου ἑλληνικοῦ συστήματος ἀρίθμησης, ὥστε νὰ κατανοοῦν χωρὶς δυσκολία τὶς μεθοδολογίες καὶ τὶς πράξεις τοῦ συγγραφέα τοῦ 15 ου αἰ.

22 α 1 ι 10 ρ 100, α 1000 β 2 κ 20 σ 200,β 2000 γ 3 λ 30 τ 300,γ 3000 δ 4 μ 40 υ 400 ɥ (σε όλες τις εκδόσεις μου συμβολίζεται με το γράμμα u) 0 ε 5 ν 50 φ 500 ς 6 ξ 60 χ 600 ζ 7 ο 70 ψ 700 η 8 π 80 ω 800 θ 9 Ϟ 90 Ϡ 900

23 Σημειώσεις 1. Στοὺς δύο αὐτοὺς τόμους, ὅπως καὶ στὴν ἔκδοση του Κέντρου Βυζαντινῶν Ἐρευνῶν του 2006, ἀλλὰ καὶ στὴ Διδακτορικὴ Διατριβή, τὸ καλλιγραφικὸ ἀνεστραμμένο h ποὺ χρησιμοποιεῖ ὁ συγγραφέας γιὰ τὸ ψηφίο 0, ἔχει συμβολισθεῖ μὲ τὸ γράμμα u. 2. Οἱ ἀριθμοὶ τῶν κάτωθι παραδειγμάτων γράφονται με δύο τρόπους. Ὁ δεύτερος τρόπος μπορεῖ νὰ χρησιμοποιεῖται ἐπειδὴ πρόκειται γιὰ ἀριθμητικὸ σύστημα θέσης, ποὺ σημαίνει ὅτι τὸ κάθε γράμμα λαμβάνει ἀξία ἀνάλογα μὲ τὴ θέση ποὺ ἔχει στὸν ἀριθμό. Παραδείγματα Ὁ ρκγ δηλώνει τὸν ἀριθμὸ 123. Ὅμοια καὶ ὁ αβγ. Ὁ Ϡ Ϟε δηλώνει τὸν ἀριθμὸ 995. Ὅμοια καὶ ὁ θθε. Ὁ ˏετξ δηλώνει τὸν ἀριθμὸ Ὅμοια καὶ ὁ εγςu.

24 Οι δύο τόμοι της 3 ης έκδοσης διατίθενται σε μορφή epub στο ηλεκτρονικό βιβλιοπωλείο Kobo στη διεύθυνση (όρος αναζήτησης : Μαρία Χάλκου) Διατίθενται επίσης και στο ελληνικό ηλεκτρονικό βιβλιοπωλείο yantzi στη διεύθυνση (όρος αναζήτησης : Μαρία Χάλκου) Οι 2 τόμοι και των τριών εκδόσεων ευρίσκονται στη Βιβλιοθήκη του Κέντρου Βυζαντινών Ερευνών Dumbarton Oaks του Πανεπιστημίου Harvard (Όρος αναζήτησης: Chalkou Maria D.)

Εὐκλείδεια Γεωµετρία

Εὐκλείδεια Γεωµετρία Εὐκλείδεια Γεωµετρία Φθινοπωρινὸ Εξάµηνο 010 Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Μάθηµα 9 ευτέρα 18-10-010 Συνοπτικὴ περιγραφή Υπενθύµιση τοῦ Θεωρήµατος τοῦ Θαλῆ. εῖτε καὶ ἐδάφιο 7.7 τοῦ σχολικοῦ ϐιβλίου. Τονίσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Στὴν ἀρχὴ ἦταν ὁ Λόγος. Ὁ Λόγος ἦταν μαζὶ μὲ

Στὴν ἀρχὴ ἦταν ὁ Λόγος. Ὁ Λόγος ἦταν μαζὶ μὲ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α ἤ 01ο (01-52) 01-05 Ὁ Λόγος εἶναι Θεὸς καὶ ημιουργὸς τῶν πάντων Στὴν ἀρχὴ ἦταν ὁ Λόγος. Ὁ Λόγος ἦταν μαζὶ μὲ τὸ Θεὸ Πατέρα καὶ ἦταν Θεὸς ὁ Λόγος. Αὐτὸς ἦταν στὴν ἀρχὴ μαζὶ μὲ τὸ Θεὸ Πατέρα.

Διαβάστε περισσότερα

Παραθέτουμε απόσπασμα του άρθρου: ΟΡΘΟΔΟΞΟΣ ΤΥΠΟΣ ΑΠΙΣΤΕΥΤΟΝ- Οι Ιεχωβάδες και οι Μασόνοι κεφάλαια εις το βιβλίον των θρ

Παραθέτουμε απόσπασμα του άρθρου: ΟΡΘΟΔΟΞΟΣ ΤΥΠΟΣ ΑΠΙΣΤΕΥΤΟΝ- Οι Ιεχωβάδες και οι Μασόνοι κεφάλαια εις το βιβλίον των θρ Με ένα από τα αγαπημένα της θέματα ασχολήθηκε για μια ακόμη φορά, στο φύλλο 1991 της 27ης Σεπτεμβρίου 2013, η εφημερίδα ΟΡΘΟΔΟΞΟΣ ΤΥΠΟΣ. Αιτία, το κεφάλαιο του βιβλίου των Θρησκευτικών που διδάσκεται στην

Διαβάστε περισσότερα

Ἑλένη Γλύκατζη-Ἀρβελέρ. Γιατὶ τὸ Βυζάντιο. Ἐκδόσεις «Ἑλληνικὰ Γράμματα», Ἀθήνα 2009, σελίδες 292.

Ἑλένη Γλύκατζη-Ἀρβελέρ. Γιατὶ τὸ Βυζάντιο. Ἐκδόσεις «Ἑλληνικὰ Γράμματα», Ἀθήνα 2009, σελίδες 292. Ἑλένη Γλύκατζη-Ἀρβελέρ Γιατὶ τὸ Βυζάντιο Ἐκδόσεις «Ἑλληνικὰ Γράμματα», Ἀθήνα 2009, σελίδες 292. Κατ ἐπανάληψιν ἔχει ἐπισημανθῆ ὅτι ἐπιβάλλεται νὰ ἀναθεωρήσουμε ἐμεῖς οἱ Ἕλληνες τὴν ὀπτικὴ εἰκόνα ποὺ ἔχουν

Διαβάστε περισσότερα

Ὄχι στὴν ρινόκερη σκέψη τοῦ ρινόκερου Κοινοβουλίου μας! (ε ) Tὸ Παγκόσμιο Οἰκονομικὸ Φόρουμ προωθεῖ τὴν ὁμοφυλοφιλία*

Ὄχι στὴν ρινόκερη σκέψη τοῦ ρινόκερου Κοινοβουλίου μας! (ε ) Tὸ Παγκόσμιο Οἰκονομικὸ Φόρουμ προωθεῖ τὴν ὁμοφυλοφιλία* Ὄχι στὴν ρινόκερη σκέψη τοῦ ρινόκερου Κοινοβουλίου μας! (ε ) Tὸ Παγκόσμιο Οἰκονομικὸ Φόρουμ προωθεῖ τὴν ὁμοφυλοφιλία* «Οἱ ὁμοφυλόφιλοι ἀπὸ τὴν δεκαετία τοῦ 2000 ἐμφανίζονται πανίσχυροι οἰκονομικὰ καὶ κοινωνικά,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΑ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΝ

ΙΕΡΑ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΝ ΙΕΡΑ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΝ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2012 ΙΕΡΑ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 1. Ἡ Καινή Διαθήκη, Θεσσαλονίκη 2010. 2. Ἱερός Ναός ἁγίου Γεωργίου (Ροτόντα), Κατάθεση μαρτυρία, Θεσσαλονίκη

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Εφαρμογὲς τῶν συνεχῶν κλασμάτων 1 1. Η τιμὴ τοῦ π μὲ σωστὰ τὰ 50 πρῶτα δεκαδικὰ ψηφία μετὰ τὴν ὑποδιαστολή, εἶναι 3.14159265358979323846264338327950288419716939937511.

Διαβάστε περισσότερα

ICAMLaw Application Server Χειροκίνηση Ἀναβάθμιση

ICAMLaw Application Server Χειροκίνηση Ἀναβάθμιση Εἰσαγωγή Ὁ ICAMLaw Application Server (στὸ ἑξῆς γιά λόγους συντομίας IAS) ἀποτελεῖ τὸ ὑπόβαθρο ὅλων τῶν δικηγορικῶν ἐφαρμογῶν τῆς ICAMSoft. Εἶναι αὐτός ποὺ μεσολαβεῖ ἀνάμεσα: α) στὴν τελική ἐφαρμογὴ ποὺ

Διαβάστε περισσότερα

ODBC Install and Use. Κατεβάζετε καὶ ἐγκαθιστᾶτε εἴτε τήν ἔκδοση 32bit εἴτε 64 bit

ODBC Install and Use. Κατεβάζετε καὶ ἐγκαθιστᾶτε εἴτε τήν ἔκδοση 32bit εἴτε 64 bit Oἱ ἐφαρμογές Law4 χρησιμοποιοῦν τὸν Firebird SQL Server 32 ἤ 64 bit, ἔκδοση 2.5.x Γιὰ νὰ κατεβάσετε τὸν ODBC πηγαίνετε στό site www.firebirdsql.org στήν δ/νση http://www.firebirdsql.org/en/odbc-driver/

Διαβάστε περισσότερα

Παρέλαση-Μαντήλα-Δωδεκάποντα*

Παρέλαση-Μαντήλα-Δωδεκάποντα* Ἀξίες -Ἰδανικά -Ἱστορικὴ Μνήμη Παρέλαση-Μαντήλα-Δωδεκάποντα* «Ἡ σεμνότητα καὶ ἡ ταπεινότητα εἶναι προαπαιτούμενο...» α. Στὴν χώρα ποὺ θὰ ριζώσεις νὰ σεβαστεῖς τὴν σημαία της, τοὺς ἀνθρώπους της, τὴν φύση

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Συνόλων - Set Theory

Θεωρία Συνόλων - Set Theory Θεωρία Συνόλων - Set Theory Ἐπισκόπηση γιὰ τὶς ἀνάγκες τῶν Πρωτοετῶν Φοιτητῶν τοῦ Τµήµατος Διοίκησης, στὸ µάθηµα Γενικὰ Μαθηµατικά. Ὑπὸ Γεωργίου Σπ. Κακαρελίδη, Στὸ Τµῆµα Διοίκησης ΤΕΙ Δυτικῆς Ἑλλάδος

Διαβάστε περισσότερα

Στήν Σελίδα Παρατηρήσεις στὸ κάτω μέρος καταγράφονται / ἐμφανίζονται τυχόν ἐντοπισθέντα περιουσιακά στοιχεῖα (IX, άκίνητα, ἀγροτεμάχια κλπ)

Στήν Σελίδα Παρατηρήσεις στὸ κάτω μέρος καταγράφονται / ἐμφανίζονται τυχόν ἐντοπισθέντα περιουσιακά στοιχεῖα (IX, άκίνητα, ἀγροτεμάχια κλπ) Κάρτα Ἀντιδίκου Στήν Σελίδα Παρατηρήσεις στὸ κάτω μέρος καταγράφονται / ἐμφανίζονται τυχόν ἐντοπισθέντα περιουσιακά στοιχεῖα (IX, άκίνητα, ἀγροτεμάχια κλπ) Ἡ Εἰσαγωγή/Μεταβολή/Διαγραφή γίνεται μέσω τῶν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ Αναστασία Πέτρου Κωνσταντίνος Χρήστου Β 3 ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ Ο Πυθαγόρας ο Σάμιος, υπήρξε σημαντικός Έλληνας φιλόσοφος, μαθηματικός, γεω μέτρης και θεωρητικός της μουσικής. Είναι ο κατεξοχήν

Διαβάστε περισσότερα

Χριστιάνα Ἀβρααμίδου ΜΑΤΙΑ ΑΝΑΠΟΔΑ. Ποιήματα

Χριστιάνα Ἀβρααμίδου ΜΑΤΙΑ ΑΝΑΠΟΔΑ. Ποιήματα Χριστιάνα Ἀβρααμίδου ΜΑΤΙΑ ΑΝΑΠΟΔΑ Ποιήματα ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ Αὒγουστος 2011 12 ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ Χριαστιάνα Ἀβρααμίδου ΜΑΤΙΑ ΑΝΑΠΟΔΑ Ποιήματα Τεῦχος 12 - Αὒγουστος 2011 ISSN: 1792-4189 Μηνιαία

Διαβάστε περισσότερα

Εἰσαγωγὴ. Αὐτόματη Δημιουργία Οἰκονομικῶν Κινήσεων Ἀμοιβῶν. Αὐτόματη Δημιουργία Οἰκονομικῶν Κινήσεων Ἀμοιβῶν. ICAMSoft Law Applications Σημειώ σεις

Εἰσαγωγὴ. Αὐτόματη Δημιουργία Οἰκονομικῶν Κινήσεων Ἀμοιβῶν. Αὐτόματη Δημιουργία Οἰκονομικῶν Κινήσεων Ἀμοιβῶν. ICAMSoft Law Applications Σημειώ σεις Εἰσαγωγὴ Ὅπως γνωρίζουν ὅλοι οἱ χρῆστες τῶν δικηγορικῶν ἐφαρμογῶν μας, τὰ εἴδη τῶν ἐνεργειῶν ποὺ μποροῦν νὰ καταγραφοῦν σὲ μία ὑπόθεση εἶναι 1. Ἐνέργειες Ἐξέλιξης, 2. Οἰκονομικές, 3. Λοιπές Ἐνέργειες &

Διαβάστε περισσότερα

Συγκρίσεις ιατονικής Κλίµακας ιδύµου µε άλλες διατονικές κλίµακες.

Συγκρίσεις ιατονικής Κλίµακας ιδύµου µε άλλες διατονικές κλίµακες. Page 1 of 5 Βυζαντινή Μουσική Κλίμακες Σύγκριση τῆς Διατονικῆς Κλίμακας τοῦ Διδύμου, μὲ τὶς ἀντίστοιχες τοῦ Χρυσάνθου, τῆς Ἐπιτροπῆς 1881, καὶ ἄλλων Σὲ αὐτὴ τὴν ἱστοσελίδα δίνουμε τὴν σύγκριση (σὲ συχνότητες)

Διαβάστε περισσότερα

Α1. Να δώσετε το περιεχόμενο των όρων που ακολουθούν: γ. Εκλεκτικοί Μονάδες 15

Α1. Να δώσετε το περιεχόμενο των όρων που ακολουθούν: γ. Εκλεκτικοί Μονάδες 15 Α1. Να δώσετε το περιεχόμενο των όρων που ακολουθούν: α. Ανόρθωση (1910) β. Κλήριγκ γ. Εκλεκτικοί Μονάδες 15 Α2. Γιατί δεν προέκυψαν ταξικά κόμματα στην Ελλάδα το τελευταίο τέταρτο του 19ου αιώνα; Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Έγκατάσταση καὶ Χρήση Πολυτονικοῦ Πληκτρολογίου σὲ Περιβάλλον Ubuntu Linux.

Έγκατάσταση καὶ Χρήση Πολυτονικοῦ Πληκτρολογίου σὲ Περιβάλλον Ubuntu Linux. Έγκατάσταση καὶ Χρήση Πολυτονικοῦ Πληκτρολογίου σὲ Περιβάλλον Ubuntu Linux. Μακρῆς Δημήτριος, Φυσικός. mailto: jd70473@yahoo.gr 1. Εἰσαγωγή. Τὸ πολυτονικὸ σύστημα καταργήθηκε τὸ 1982. Δὲν θὰ ἀσχοληθοῦμε

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: «Περὶ τοῦ προσώπου τοῦ Ἀναδόχου εἰς τὸ Μυστήριον τοῦ Βαπτίσματος».

Θέμα: «Περὶ τοῦ προσώπου τοῦ Ἀναδόχου εἰς τὸ Μυστήριον τοῦ Βαπτίσματος». ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ ὑπ ἀριθμ. 18 Πρὸς Ἅπαντας τοὺς Ἐφημερίους τῆς καθ ἡμᾶς Ἱερᾶς Μητροπόλεως. Θέμα: «Περὶ τοῦ προσώπου τοῦ Ἀναδόχου εἰς τὸ Μυστήριον τοῦ Βαπτίσματος». Ἀγαπητοὶ Πατέρες, Ἐξ αἰτίας τοῦ ὅτι παρατηρεῖται

Διαβάστε περισσότερα

1814-2014 200 ΧΡΟΝΙΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΚΑΘΙΕΡΩΣΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΜΕΘΟΔΟΥ

1814-2014 200 ΧΡΟΝΙΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΚΑΘΙΕΡΩΣΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΜΕΘΟΔΟΥ Σ Χ Ο Λ Ε Ι Ο Ν Ψ Α Λ Τ Ι Κ Η Σ 1814-2014 200 ΧΡΟΝΙΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΚΑΘΙΕΡΩΣΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΔΙΕΘΝΕΣ, ΕΠΕΤΕΙΑΚΟ ΜΟΥΣΙΚΟΛΟΓΙΚΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ἀφιερωμένο στὴ μνήμη τῶν τριῶν μεγάλων εὐεργετῶν τοῦ ἔθνους Χρυσάνθου τοῦ

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Ἀσκητὲς καὶ ἀσκητήρια στὴ νῆσο Σκόπελο

Ἀσκητὲς καὶ ἀσκητήρια στὴ νῆσο Σκόπελο Ἀσκητὲς καὶ ἀσκητήρια στὴ νῆσο Σκόπελο (Μιὰ πρώτη προσέγγιση στὸ θέμα) Εἰπώθηκε, πὼς ὁλόκληρο τὸ Ἅγιον Ὄρος μοιάζει μὲ τὸ Καθολικὸ ἑνὸς ἰεροῦ Ναοῦ καὶ ὅτι ἡ περιοχὴ ἀπὸ τὴν Ἁγία Ἄννα καὶ πέρα εἶναι τὸ

Διαβάστε περισσότερα

Σᾶς εὐαγγελίζομαι τὸ χαρμόσυνο ἄγγελμα τῆς γεννήσεως τοῦ. Χριστοῦ, ποὺ ἀποτελεῖ τὴν κορυφαία πράξη τοῦ Θεοῦ νὰ σώσει τὸν

Σᾶς εὐαγγελίζομαι τὸ χαρμόσυνο ἄγγελμα τῆς γεννήσεως τοῦ. Χριστοῦ, ποὺ ἀποτελεῖ τὴν κορυφαία πράξη τοῦ Θεοῦ νὰ σώσει τὸν Χριστούγεννα 2013 Ἀρ. Πρωτ. 1157 Πρός τό Χριστεπώνυμο πλήρωμα τῆς καθ ἡμᾶς Ἱερᾶς Μητροπόλεως Χριστὸς γεννᾶται, δοξάσατε. Ἀδελφοί μου ἀγαπητοί, Σᾶς εὐαγγελίζομαι τὸ χαρμόσυνο ἄγγελμα τῆς γεννήσεως τοῦ Χριστοῦ,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ. Αριστοτέλους Πολιτικά, Θ 2, 1 4)

ΔΙΔΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ. Αριστοτέλους Πολιτικά, Θ 2, 1 4) 53 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪΔΗ-ΜΑΝΩΛΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Φιλολάου & Εκφαντίδου 26 : Τηλ.: 2107601470 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2013 ΔΙΔΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ Αριστοτέλους Πολιτικά,

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

Ι ΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ Αριστοτέλους Πολιτικά (Γ1, 1-2, 3-4/6/12) Τῷ περὶ πολιτείας ἐπισκοποῦντι, καὶ τίς ἑκάστη καὶ ποία

Ι ΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ Αριστοτέλους Πολιτικά (Γ1, 1-2, 3-4/6/12) Τῷ περὶ πολιτείας ἐπισκοποῦντι, καὶ τίς ἑκάστη καὶ ποία ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ʹ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 29 ΜΑΪΟΥ 2006 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) Ι ΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ Αριστοτέλους

Διαβάστε περισσότερα

Γενικὴ Ἐκκλησιαστικὴ Ἱστορία Α

Γενικὴ Ἐκκλησιαστικὴ Ἱστορία Α Γενικὴ Ἐκκλησιαστικὴ Ἱστορία Α Δρ. Ἰωάννης Ἀντ. Παναγιωτόπουλος Λέκτορας Γενικῆς Ἐκκλησιαστικῆς Ἱστορίας Ἐθνικὸ καὶ Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Ἀθηνῶν Τμῆμα Θεολογίας - Θεολογικὴ Σχολή Οἰκουμενικὸς Πατριάρχης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ Β ΔΙΗΜΕΡΙΔΑ ΤΗΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΣΥΝΟΔΙΚΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ ΓΑΜΟΥ, ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑΣ, ΠΡΟΣΤΑΣΙΑΣ ΤΟΥ ΠΑΙΔΙΟΥ ΚΑΙ ΔΗΜΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ Β ΔΙΗΜΕΡΙΔΑ ΤΗΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΣΥΝΟΔΙΚΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ ΓΑΜΟΥ, ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑΣ, ΠΡΟΣΤΑΣΙΑΣ ΤΟΥ ΠΑΙΔΙΟΥ ΚΑΙ ΔΗΜΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ Β ΔΙΗΜΕΡΙΔΑ ΤΗΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΣΥΝΟΔΙΚΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ ΓΑΜΟΥ, ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑΣ, ΠΡΟΣΤΑΣΙΑΣ ΤΟΥ ΠΑΙΔΙΟΥ ΚΑΙ ΔΗΜΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ (5-6 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2004, Διορθόδοξον Κέντρον τῆς Ἐκκλησίας τῆς Ἑλλάδος

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Τὴν ὥρα ποὺ γραφόταν μία ἀπὸ τὶς πιὸ θλιβερὲς καὶ αἱματοβαμμένες

Τὴν ὥρα ποὺ γραφόταν μία ἀπὸ τὶς πιὸ θλιβερὲς καὶ αἱματοβαμμένες Τιμὴ καὶ εὐγνωμοσύνη Ἰαπωνικὸ πλοῖο πέταξε πανάκριβο μετάξι γιὰ νὰ σώσει Μικρασιάτες* Ἡ ἄγνωστη ἱστορία τοῦ ἐμπορικοῦ καραβιοῦ ἀπὸ τὴν Ἄπω Ἀνατολὴ ποὺ ἔδωσε παράδειγμα ἀνθρωπιᾶς, ἐνῶ οἱ δυτικοὶ «σύμμαχοί»

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: Αποδείξεις της τριγωνικής ανισότητας

Θέμα: Αποδείξεις της τριγωνικής ανισότητας Πειραματικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Μάθημα: Γεωμετρία Θεματική Ενότητα: Ανισοτικές Σχέσεις Θέμα: Αποδείξεις της τριγωνικής ανισότητας Ομάδα εργασίας: Γιώργος Ρούμελης Ρωμανός Τζουνάκος Διονύσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗ ΓΑΛΛΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗ ΓΑΛΛΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗ ΓΑΛΛΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ Τὰ Ἕξι μεγάλα ἐρωτήματα τῆς δυτικῆς μεταφυσικῆς καταλαμβάνουν μιὰ ξεχωριστὴ θέση στὴν ἱστορία τῆς φιλοσοφικῆς ἱστοριογραφίας. Ὁ συγγραφέας του βιβλίου, Χάιντς Χάιμζετ (1886-1975),

Διαβάστε περισσότερα

BYZANTINA ΣΥΜΜΕΙΚΤΑ 23 (2013) 279-283

BYZANTINA ΣΥΜΜΕΙΚΤΑ 23 (2013) 279-283 Paul Canart, Études de paléographie et de codicologie reproduites avec la collaboration de Maria Luisa Agati et Marco D Agostino, τόμ. I-II [Studi e Testi 450-451], Città del Vaticano 2008, σσ. XXVIII+748+VI+749-1420.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΟ ΒΤΖΑΝΣΙΟΝ ΗΣΟ ΕΛΛΗΝΟΥΩΝΟΝ ΚΑΙ ΕΩΕ ΣΟΝ ΕΛΛΗΝΙΚΟΝ ΠΟΛΙΣΙΜΟΝ

ΣΟ ΒΤΖΑΝΣΙΟΝ ΗΣΟ ΕΛΛΗΝΟΥΩΝΟΝ ΚΑΙ ΕΩΕ ΣΟΝ ΕΛΛΗΝΙΚΟΝ ΠΟΛΙΣΙΜΟΝ ΣΟ ΒΤΖΑΝΣΙΟΝ ΗΣΟ ΕΛΛΗΝΟΥΩΝΟΝ ΚΑΙ ΕΩΕ ΣΟΝ ΕΛΛΗΝΙΚΟΝ ΠΟΛΙΣΙΜΟΝ Μὲ ἀφορμὴν τὴν ἐπέτειον τῆς Ἁλώσεως τῆς Κωνσταντινουπόλεως ὑπὸ τῶν Σούρκων κατὰ τὴν 29ην Μαΐου 1453, πολλοὶ «θολοκουλτουριάρηδες», ἀνιστόρητοι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΜΑ ΑΡΧΑΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ. Αριστοτέλη «Πολιτικά»

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΜΑ ΑΡΧΑΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ. Αριστοτέλη «Πολιτικά» Ελευθερίου Βενιζέλου 237, Γάζι Τηλ./Fax: 2810 823411 email: syxekp@gmail. com www.syekp.gr Βρέντζου Μαρία, Φιλόλογος ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΜΑ ΑΡΧΑΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΚΕΙΜΕΝΟ Αριστοτέλη «Πολιτικά»

Διαβάστε περισσότερα

Φ. Ἀ. Δημητρακόπουλος Γ. Β. Ἀνδρειωμένος Μ. Χρόνη Χ. Κοντονικολῆς - Ἀ. Βακαλόπουλος Η ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΤΗΣ ΙΕΡΑΣ ΜΟΝΗΣ ΤΙΜΙΟΥ ΣΤΑΥΡΟΥ ΙΕΡΟΣΟΛΥΜΩΝ

Φ. Ἀ. Δημητρακόπουλος Γ. Β. Ἀνδρειωμένος Μ. Χρόνη Χ. Κοντονικολῆς - Ἀ. Βακαλόπουλος Η ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΤΗΣ ΙΕΡΑΣ ΜΟΝΗΣ ΤΙΜΙΟΥ ΣΤΑΥΡΟΥ ΙΕΡΟΣΟΛΥΜΩΝ 1 Φ. Ἀ. Δημητρακόπουλος Γ. Β. Ἀνδρειωμένος Μ. Χρόνη Χ. Κοντονικολῆς - Ἀ. Βακαλόπουλος Η ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΤΗΣ ΙΕΡΑΣ ΜΟΝΗΣ ΤΙΜΙΟΥ ΣΤΑΥΡΟΥ ΙΕΡΟΣΟΛΥΜΩΝ Ἀπὸ 2 ἕως 12 Ἰουνίου 2010, ὑπὸ τὴν ἐπίβλεψη τοῦ καθηγητῆ Φωτίου

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

μαθη ματικῶν, ἀλλὰ καὶ τὴ βαθιά του ἐκτίμηση γιὰ τὴ χαϊντεγκεριανὴ ἱστορικὴ κατανόηση τοῦ ἀνθρώπινου κόσμου. Καταγράφοντας ὅλες αὐτὲς τὶς ἐπιδράσεις,

μαθη ματικῶν, ἀλλὰ καὶ τὴ βαθιά του ἐκτίμηση γιὰ τὴ χαϊντεγκεριανὴ ἱστορικὴ κατανόηση τοῦ ἀνθρώπινου κόσμου. Καταγράφοντας ὅλες αὐτὲς τὶς ἐπιδράσεις, ΠΡΟΛΟΓΟΣ Τὸ βιβλίο αὐτὸ εἶναι προϊὸν μακρόχρονης ἐξέλιξης. Γιὰ εἴκοσι περίπου χρόνια, τὸ ἐνδιαφέρον μου γιὰ τὸν Φρέγκε ἀποτέλεσε μέρος ἑνὸς ὁδοιπορικοῦ ποὺ ξεκίνησε ἀπὸ τὸ Μόναχο καί, μέσω τῆς Ὀξφόρδης

Διαβάστε περισσότερα

Ἑλληνικὰ σταυρόλεξα μὲ τὸ L A T E X

Ἑλληνικὰ σταυρόλεξα μὲ τὸ L A T E X eutypon32-33 2014/11/30 12:03 page 19 #23 Εὔτυπον, τεῦχος 32-33 Ὀκτώβριος/October 2014 19 Ἑλληνικὰ σταυρόλεξα μὲ τὸ L A T E X Ἰωάννης Α. Βαμβακᾶς Ιωάννης Α. Βαμβακᾶς Παπαθεοφάνους 12 853 00 Κῶς Η/Τ: gavvns

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Γενικὴ Ἐκκλησιαστικὴ Ἱστορία Α

Γενικὴ Ἐκκλησιαστικὴ Ἱστορία Α Γενικὴ Ἐκκλησιαστικὴ Ἱστορία Α Ενότητα 9: Δρ. Ἰωάννης Ἀντ. Παναγιωτόπουλος Λέκτορας Γενικῆς Ἐκκλησιαστικῆς Ἱστορίας Ἐθνικὸ καὶ Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Ἀθηνῶν Τμῆμα Θεολογίας - Θεολογικὴ Σχολή 1 2 433:

Διαβάστε περισσότερα

Πάπυροι - Επιστημονικό Περιοδικό τόμος 3, 2014

Πάπυροι - Επιστημονικό Περιοδικό τόμος 3, 2014 ΜΑΡΙΑ ΧΑΛΚΟΥ, Ph.D., M.Sc., Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικῶν, Α Διεύθυνσης Β θμιας Ἐκπαίδευσης Ἀθηνῶν. Ελλάς Θεσσαλονίκη 2014 Thessaloniki 2014 ΜΑΡΙΑ ΧΑΛΚΟΥ MARIA CHALKOU Abstract In early Byzantine times Greek

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΑ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. ΙΕΡΟΣ ΝΑΟΣ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΕΩΣ ΤΟΥ ΣΩΤΗΡΟΣ (Δελφῶν καί Μιαούλη) Τηλ:2310-828989. Ἡ Θεία Κοινωνία.

ΙΕΡΑ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. ΙΕΡΟΣ ΝΑΟΣ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΕΩΣ ΤΟΥ ΣΩΤΗΡΟΣ (Δελφῶν καί Μιαούλη) Τηλ:2310-828989. Ἡ Θεία Κοινωνία. ΙΕΡΑ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΙΕΡΟΣ ΝΑΟΣ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΕΩΣ ΤΟΥ ΣΩΤΗΡΟΣ (Δελφῶν καί Μιαούλη) Τηλ:2310-828989 Ἡ Θεία Κοινωνία κατ οἶκον Θεσσαλονίκη 2008 Κάποιοι συσχετίζουν κάκιστα τὴν παρουσία τοῦ ἱερέως στό

Διαβάστε περισσότερα

«Ἁγιογραφικὴ Σύναξις Πατρῶν Α»

«Ἁγιογραφικὴ Σύναξις Πατρῶν Α» Ἕνα δεύτερο σημαντικὸ Ἁγιογραφικὸ βῆμα «Ἁγιογραφικὴ Σύναξις Πατρῶν Α» Μία ἐλπιδοφόρος ἀρχὴ Μὲ τὴν Χάρι τοῦ Θεοῦ, τὴν εὐχὴ τοῦ ἀσθενοῦντος Σεβασμιωτάτου Μητροπολίτου μας Ὠρωποῦ καὶ Φυλῆς κ. Κυπριανοῦ, τὴν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Μήκος κύκλου) Το μήκος του κύκλου (Ο, R) συμβολίζεται με L. Ο Ιπποκράτης ο Χίος απέδειξε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Η Α.Θ.Π. ο Οικουμενικός Πατριάρχης κ.κ. Βαρθολομαίος. τίμησε με την παρουσία του τις εκδηλώσεις για τον εορτασμό

Η Α.Θ.Π. ο Οικουμενικός Πατριάρχης κ.κ. Βαρθολομαίος. τίμησε με την παρουσία του τις εκδηλώσεις για τον εορτασμό Θέρμη 25/10/2013 Η Α.Θ.Π. ο Οικουμενικός Πατριάρχης κ.κ. Βαρθολομαίος τίμησε με την παρουσία του τις εκδηλώσεις για τον εορτασμό των 35 χρόνων των Εκπαιδευτηρίων Ε. Μαντουλίδη. Τον εορτασμό των 35 χρόνων

Διαβάστε περισσότερα

Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ

Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ 3 η Θεματική ενότητα: Ανάλυση μεθοδολογίας ερευνητικής εργασίας Σχεδιασμός έρευνας: Θεωρητικό πλαίσιο και ανάλυση μεθοδολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Χρήση τῶν Στατιστικῶν / Ἐρευνητικῶν Ἐργαλείων τοῦ

Χρήση τῶν Στατιστικῶν / Ἐρευνητικῶν Ἐργαλείων τοῦ ICAMSoft SmartMedicine v.3 Στατιστικά Χρήση τῶν Στατιστικῶν / Ἐρευνητικῶν Ἐργαλείων τοῦ ICAMSoft Applications White Papers Φεβρουάριος 2010 Σελίς: 1 / 14 Στατιστικά ICAMSoft SmartMedicine v.3 Μenu Στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

Γενικὴ Ἐκκλησιαστικὴ Ἱστορία Α

Γενικὴ Ἐκκλησιαστικὴ Ἱστορία Α Γενικὴ Ἐκκλησιαστικὴ Ἱστορία Α Ενότητα 7: Δρ. Ἰωάννης Ἀντ. Παναγιωτόπουλος Λέκτορας Γενικῆς Ἐκκλησιαστικῆς Ἱστορίας Ἐθνικὸ καὶ Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Ἀθηνῶν Τμῆμα Θεολογίας - Θεολογικὴ Σχολή 2 Εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1 Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου A(x, y), αν αυτές επαληθεύουν την ισότητα: x 2 6xy + 11y 2 8y + 8 = 0

Άσκηση 1 Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου A(x, y), αν αυτές επαληθεύουν την ισότητα: x 2 6xy + 11y 2 8y + 8 = 0 Άσκηση 1 Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου A(x, y), αν αυτές επαληθεύουν την ισότητα: x 6xy + 11y 8y + 8 = 0 Τι είναι αυτό που έχει δοθεί στην άσκηση; Μία ισότητα την οποία επαληθεύουν οι x, y. Τι

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

Τευχος πρωτο. αρχεία. Πηγεσ γνωσησ, πηγεσ μνημησ Ένα σύγχρονο αρχείο. Το ΙΑ/ΕΤΕ ανοίγει τα χαρτιά του

Τευχος πρωτο. αρχεία. Πηγεσ γνωσησ, πηγεσ μνημησ Ένα σύγχρονο αρχείο. Το ΙΑ/ΕΤΕ ανοίγει τα χαρτιά του Τευχος πρωτο αρχεία Πηγεσ γνωσησ, πηγεσ μνημησ Ένα σύγχρονο αρχείο Το ΙΑ/ΕΤΕ ανοίγει τα χαρτιά του Άσκηση Υπόθεση παραχάραξης Το 1938, το Υφυπουργείον Δημοσίας Ασφαλείας του ελληνικού κράτους δημοσιεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θέλουν ὅμως ὅλοι τὴν ἀλλαγὴ τῆς ὑπάρχουσας κατάστασης:

Θέλουν ὅμως ὅλοι τὴν ἀλλαγὴ τῆς ὑπάρχουσας κατάστασης: /0L`qshchr^Σχέδιο 0 0/./2.1/00 1906 μ-μ- O`fd 087 Θέλουν ὅμως ὅλοι τὴν ἀλλαγὴ τῆς ὑπάρχουσας κατάστασης: Μά+ θὰ μοῦ πεῖτε+ ποιός τυφλὸς δὲν θέλει τὸ φῶς του+ ποιός ἄρρωστος δὲν θέλει τὴν γιατρειά του καὶ

Διαβάστε περισσότερα

Εκδόσεις του ΕΣΕ. 38 Εκδόσεις του ΕΣΕ

Εκδόσεις του ΕΣΕ. 38 Εκδόσεις του ΕΣΕ Εκδόσεις του ΕΣΕ ΕΛΛΗΝΙΣ, Περιοδική έκδοση του ΕΣΕ, 1921-1940, µε περιλήψεις στα Γαλλικά. Σε ηλεκτρονική µορφή: www.genderpanteion.gr HELLENIA, Περιοδική έκδοση 1948-1975, στα Αγγλικά. Συνεργασία των:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΣΧΑΛΙΟΣ ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ Ο ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΤΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΘΙΜΟΣ

ΠΑΣΧΑΛΙΟΣ ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ Ο ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΤΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΘΙΜΟΣ ΙΕΡΑ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 2015 ἀριθμ. πρωτ.: 181.- ΑΓΙΟΝ ΠΑΣΧΑ 12 ΑΠΡΙΛΙΟΥ ΠΑΣΧΑΛΙΟΣ ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ Ο ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΤΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΘΙΜΟΣ Πρὸς τὸν ἱερὸ Κλῆρο καὶ τὸν εὐσεβῆ Λαὸ τῆς καθ ἡμᾶς Ἱερᾶς Μητροπόλεως

Διαβάστε περισσότερα

Χρήσιμες ὁδηγίες γιὰ τοὺς ἐνηλίκους ποὺ ἐπιθυμοῦν νὰ βαπτισθοῦν Χριστιανοὶ Ὀρθόδοξοι.

Χρήσιμες ὁδηγίες γιὰ τοὺς ἐνηλίκους ποὺ ἐπιθυμοῦν νὰ βαπτισθοῦν Χριστιανοὶ Ὀρθόδοξοι. Χρήσιμες ὁδηγίες γιὰ τοὺς ἐνηλίκους ποὺ ἐπιθυμοῦν νὰ βαπτισθοῦν Χριστιανοὶ Ὀρθόδοξοι. Σὰ τελευταῖα χρόνια καὶ ἰδιαίτερα μετὰ τὸ ἄνοιγμα τῶν συνόρων τῶν χωρῶν τῆς ἀνατολικῆς Εὐρώπης, ἀλλὰ καὶ γειτόνων χωρῶν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Γυμνασίου

Μαθηματικά A Γυμνασίου Μαθηματικά A Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Α - Άλγεβρα 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ. 15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστηριακὸ Μάθημα Ἁγιογραφίας Β

Φροντιστηριακὸ Μάθημα Ἁγιογραφίας Β Φροντιστηριακὸ Μάθημα Ἁγιογραφίας Β Στὴν Ἱερὰ Μονή μας, τῶν Ἁγίων Μαρτύρων Κυπριανοῦ καὶ Ἰουστίνης, στὴν Φυλὴ Ἀττικῆς, μὲ τὴν Χάρι τοῦ Θεοῦ, τὴν εὐχὴ τοῦ ἀσθενοῦντος Σεβασμιωτάτου Πνευματικοῦ Πατρός μας,

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Ελληνορωμαϊκές-Ελληνοϊταλικές Σπουδές» του Τμήματος Ιταλικής Γλώσσας και Φιλολογίας του ΕΚΠΑ και το Σεμινάριο Ιταλικής Ιστορίας και Ιστοριογραφίας, σας προσκαλούν στη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ ὑπ ἀριθμ. 17

ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ ὑπ ἀριθμ. 17 Πρὸς Ἅπαντας τοὺς Ἐφημερίους τῆς καθ ἡμᾶς Ἱερᾶς Μητροπόλεως. ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ ὑπ ἀριθμ. 17 Θέμα: «Περὶ τῆς νομιμότητας τελέσεως τοῦ Μυστηρίου τοῦ Βαπτίσματος ἀνηλίκων». Ἀγαπητοὶ Πατέρες, Σχετικὰ μὲ τὶς προϋποθέσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΑΙΟ ΚΕΙΜΕΝΟ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η

ΑΡΧΑΙΟ ΚΕΙΜΕΝΟ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΑΡΧΑΙΟ ΚΕΙΜΕΝΟ ΕΝΟΤΗΤΑ 4η 15. Bούλομαι δὲ καὶ ἃς βασιλεῖ πρὸς τὴν πόλιν συνθήκας ὁ Λυκοῦργος ἐποίησε διηγήσασθαι: μόνη γὰρ δὴ αὕτη ἀρχὴ διατελεῖ οἵαπερ ἐξ ἀρχῆς κατεστάθη: τὰς δὲ ἄλλας πολιτείας εὕροι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Περικλέους Σταύρου 31 34100 Χαλκίδα Τ: 2221-300524 & 6937016375 F: 2221-300524 @: chalkida@diakrotima.gr W: www.diakrotima.gr

Περικλέους Σταύρου 31 34100 Χαλκίδα Τ: 2221-300524 & 6937016375 F: 2221-300524 @: chalkida@diakrotima.gr W: www.diakrotima.gr Προς: Μαθητές Α, Β & Γ Λυκείου / Κάθε ενδιαφερόμενο Αγαπητοί Φίλοι Όπως σίγουρα γνωρίζετε, από τον Ιούνιο του 2010 ένα νέο «ΔΙΑΚΡΟΤΗΜΑ» λειτουργεί και στη Χαλκίδα. Στο Φροντιστήριό μας, κάνοντας χρήση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: . Σχολικό βιβλίο σελ.9. Σχολικό βιβλίο σελ.88 3. Σχολικό βιβλίο σελ.5. α) Λ Β. β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5/5/5 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: Έστω z=+yi. Κάνοντας πράξεις στη

Διαβάστε περισσότερα

Τὰ Προλεγόμενα. (π. Γεώργιος Δ. Μεταλληνὸς)

Τὰ Προλεγόμενα. (π. Γεώργιος Δ. Μεταλληνὸς) Ἁγίου Ἀθανασίου τοῦ Παρίου Ἀλεξίκακον Φάρμακον καὶ ἡ ἐπιστολὴ στὸν Κοραῆ Περὶ Νηστείας Εὐρωπαϊκῶν Νοσημάτων Θεραπευτικὴ Προλεγόμενα: π. Γεώργιος Μεταλληνός, Ἐκδόσεις «Γρηγόρη», Ἀθήνα 2016, σελίδες 229.

Διαβάστε περισσότερα

eutypon1315 2005/11/25 11:49 page 27 #31

eutypon1315 2005/11/25 11:49 page 27 #31 eutypon1315 2005/11/25 11:49 page 27 #31!)*."$ DA D 0@$)%!"$ >EE 27! "#$%&' ( ) * +,-./&' Ἁγίου Δημητρίου 38 162 31 Βύρωνας Ἀθήνα E-mail: vtrizonis@yahoo.com Abstract Sotiris Zisis (b. 1902, Koulakia,

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία των Μαθηματικών

Ιστορία των Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4: Διόφαντος και Αραβικά Μαθηματικά. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ευτέρα Ἔκδοσις ΙΟΥΝΙΟΣ 2007

ευτέρα Ἔκδοσις ΙΟΥΝΙΟΣ 2007 ΙΟΥΝΙΟΣ 2007 ευτέρα Ἔκδοσις Τίπρέπεινὰγνωρίζῃ ΕΝΑΣΕΛΛΗΝΑΣΜΑΚΕΔΟΝΑΣ 1. Ὅτι οἱ Σκοπιανοὶ λένε τεράστια ψέματα καὶ ὅτι ἔστησαν ἕνα φαντασιώδη μύθο γιὰ τὴν καταγωγή τους. Στὴν πλειονότητά τους εἶναι Σλαῦοι

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

LAHGLATA ACIOCQAVIAS PEQIODOS Bò L hgla Aò

LAHGLATA ACIOCQAVIAS PEQIODOS Bò L hgla Aò LAHGLATA ACIOCQAVIAS PEQIODOS Bò L hgla Aò Μὲ τὴν εὐκαιρία τῆς μνήμης τοῦ Ἁγίου ἐνδόξου Ἀποστόλου καὶ πρώτου Ἁγιογράφου, Εὐαγγελιστοῦ Λουκᾶ (18η Ὀκτωβρίου) καὶ πρὸς τιμήν Του, πραγματοποιήθηκε, μὲ τὴν

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», «

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», « .1 Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη διατύπωση μαθηματικών εννοιών, προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Θεοδόσης Βολκὼφ ΠΟΙΗΜΑΤΑ

Θεοδόσης Βολκὼφ ΠΟΙΗΜΑΤΑ Θεοδόσης Βολκὼφ ΠΟΙΗΜΑΤΑ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ Ἰανουάριος 2011 5 ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ Θεοδόσης Βολκὼφ ΠΟΙΗΜΑΤΑ Τεῦχος 5 - Ἰανουάριος 2011 ISSN: 1792-4189 Μηνιαία ψηφιακὴ ἔκδοση τοῦ ἠλεκτρονικοῦ περιοδικοῦ

Διαβάστε περισσότερα

Το ταξίδι του ελληνικού χρήματος από την αρχαιότητα έως σήμερα. Από τον αντιπραγματισμό στο κερματόμορφο νόμισμα. Υπεύθυνος καθηγητής Βασιλική

Το ταξίδι του ελληνικού χρήματος από την αρχαιότητα έως σήμερα. Από τον αντιπραγματισμό στο κερματόμορφο νόμισμα. Υπεύθυνος καθηγητής Βασιλική Το ταξίδι του ελληνικού χρήματος από την αρχαιότητα έως σήμερα. Από τον αντιπραγματισμό στο κερματόμορφο νόμισμα. Υπεύθυνος καθηγητής Βασιλική Κατσούλη, οικονομολόγος Παιδαγωγική διαδικασία Α. Σκοπός έρευνας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΩΠΗ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΙΑ: ΠΑΡΕΛΘΟΝ, ΠΑΡΟΝ ΚΑΙ ΜΕΛΛΟΝ

ΕΥΡΩΠΗ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΙΑ: ΠΑΡΕΛΘΟΝ, ΠΑΡΟΝ ΚΑΙ ΜΕΛΛΟΝ 127 ΕΥΡΩΠΗ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΙΑ: ΠΑΡΕΛΘΟΝ, ΠΑΡΟΝ ΚΑΙ ΜΕΛΛΟΝ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΤΗΣ ΠΕΡΓΑΜΟΥ ΙΩΑΝΝΗΣ (ΖΗΖΙΟΥΛΑΣ) Εἰσαγωγὴ Ἡ δημιουργία τῆς ἑνωμένης Εὐρώπης εἶναι πάνω ἀπ ὅλα γεγονὸς πνευματικῆς σημασίας. Ἡ πολιτικὴ ἡγεσία

Διαβάστε περισσότερα

Ἐμεῖς καί οἱ Ἕλληνες ( μιά ἄσκηση αὐτογνωσίας)

Ἐμεῖς καί οἱ Ἕλληνες ( μιά ἄσκηση αὐτογνωσίας) Ἐμεῖς καί οἱ Ἕλληνες ( μιά ἄσκηση αὐτογνωσίας) Παραλλάσσοντας τον, δανείζομαι τὸν τίτλο ἀπὸ τὸ κείμενο τοῦ Ph. Lacoue- Labarthe «Ὁ Χέλντερλιν καὶ οἱ Ἕλληνες», ἕνα κείμενο πού, μὲ τὴ συγγενική του θεματογραφία,

Διαβάστε περισσότερα

Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Γ Γυμνασίου» των Δημητρίου Αργυράκη, Παναγιώτη Βουργάνα, Κωνσταντίνου Μεντή, Σταματούλας Τσικοπούλου, Μιχαήλ Χρυσοβέργη, έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

2 ος. Γυμνασίου. ΘΕΜΑ 1 ο Με τα. αριθμός που μπορούμε να σχηματίσουμε ώστε. Απάντηση = β) Γνωρίζουμε ότι διψήφιο τμήμα

2 ος. Γυμνασίου. ΘΕΜΑ 1 ο Με τα. αριθμός που μπορούμε να σχηματίσουμε ώστε. Απάντηση = β) Γνωρίζουμε ότι διψήφιο τμήμα ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΗΜΑΘΙΑ ΑΣ 2 ος Ημαθιώτικος Μαθητικός Διαγωνισμός στα Μαθηματικά. «Κ. ΚΑΡΑΘΕΟΔΩΡΗ» Σάββατο 23 Ιανουαρίου 2010 Α Γυμνασίου ΘΕΜΑ 1 ο Με τα ψηφία 0, 1, 2, 3, 4, 5 σχηματίζουμ

Διαβάστε περισσότερα

ÌÉÓÏ ÃÑÁÍÁÆÉ ÎÁÍÁÃÑÁÖÅÉ ÔÇÍ ÉÓÔÏÑÉÁ ÔÇÓ ÔÅ ÍÏËÏÃÉÁÓ

ÌÉÓÏ ÃÑÁÍÁÆÉ ÎÁÍÁÃÑÁÖÅÉ ÔÇÍ ÉÓÔÏÑÉÁ ÔÇÓ ÔÅ ÍÏËÏÃÉÁÓ ÌÉÓÏ ÃÑÁÍÁÆÉ ÎÁÍÁÃÑÁÖÅÉ ÔÇÍ ÉÓÔÏÑÉÁ ÔÇÓ ÔÅ ÍÏËÏÃÉÁÓ Κατασκευάστηκε τὸν γ αἰ. π.χ. στὴν Κάτω Ἰταλία. Εἶναι ἀνώτερης τεχνολογίας τοῦ Ὑπολογιστῆ τῶν Ἀντικυθήρων καὶ ἐφάμιλλο τῶν γραναζιῶν τῆς σύγχρονης Μηχανολογίας.

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

Σημείο Επίπεδο ο χώρος η ευθεία η έννοια του σημείου μεταξύ δύο άλλων σημείων και η έννοια της ισότητας δύο σχημάτων.

Σημείο Επίπεδο ο χώρος η ευθεία η έννοια του σημείου μεταξύ δύο άλλων σημείων και η έννοια της ισότητας δύο σχημάτων. ΜΑΘΗΜΑ 1 αόριστες έννοιες Έννοιες που είναι τόσο απλές και οικείες από την εμπειρία μας, ώστε δεν μπορούμε να βρούμε πιο απλές με τη βοήθεια των οποίων να τις περιγράψουμε Σημείο Επίπεδο ο χώρος η ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΟΜΙΚΟ ΑΠΟΓΡΑΦΙΚΟ ΕΛΤΙΟ ΓΙΑ ΜΕΛΟΣ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ

ΑΤΟΜΙΚΟ ΑΠΟΓΡΑΦΙΚΟ ΕΛΤΙΟ ΓΙΑ ΜΕΛΟΣ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΑΤΟΜΙΚΟ ΑΠΟΓΡΑΦΙΚΟ ΕΛΤΙΟ ΓΙΑ ΜΕΛΟΣ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ Πανεπιστήμιο Σχολή Τμήμα: Τομέας: Όνομα και τίτλος διδάσκοντος: Επιστημονική ειδίκευση Τίτλοι και κωδικοί διδασκόμενων μαθημάτων ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης

Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης Οι τεχνικές επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων εμφανίζονται τουλάχιστον πριν 4000 χρόνια, στην αρχαία Μεσοποταμία, σημερινό Ιράκ. Οι μέθοδοι πιθανόν προήλθαν

Διαβάστε περισσότερα

(Θ. Λειτουργία Ἰωάννου Χρυσοστόμου)

(Θ. Λειτουργία Ἰωάννου Χρυσοστόμου) Οἱ πιστοὶ ὑπὲρ τῶν κατηχουμένων δεηθῶμεν. Ἵνα ὁ Κύριος αὐτοὺς ἐλεήσῃ. Κατηχήσῃ αὐτοὺς τὸν λόγον τῆς ἀληθείας. Ἀποκαλύψῃ αὐτοῖς τὸ εὐαγγέλιον τῆς δικαιοσύνης. Ἑνώσῃ αὐτοὺς τῇ ἁγίᾳ αὐτοῦ καθολικῇ καὶ ἀποστολικῇ

Διαβάστε περισσότερα

Κώστα Β. Καραστάθη. Ἕλληνες ἀπὸ τὸ Ἄρβανον, Ἡ ἀλήθεια γιὰ τὴν ταυτότητα τῶν Ἀρβανιτῶν ἐποίκων μας. Ἱστορικὴ μελέτη

Κώστα Β. Καραστάθη. Ἕλληνες ἀπὸ τὸ Ἄρβανον, Ἡ ἀλήθεια γιὰ τὴν ταυτότητα τῶν Ἀρβανιτῶν ἐποίκων μας. Ἱστορικὴ μελέτη Κώστα Β. Καραστάθη Ἕλληνες ἀπὸ τὸ Ἄρβανον, Ἡ ἀλήθεια γιὰ τὴν ταυτότητα τῶν Ἀρβανιτῶν ἐποίκων μας Ἱστορικὴ μελέτη Ἐκδόσεις «Ἄθως», Ἀθήνα 2014, σελ. 433. Τί ὁρίζεται μὲ τὴν τοπωνυμία «Ἄρβανον»; Οἱ ὅροι «Ἄρβανον»

Διαβάστε περισσότερα

Γενικὴ Ἐκκλησιαστικὴ Ἱστορία Α

Γενικὴ Ἐκκλησιαστικὴ Ἱστορία Α Γενικὴ Ἐκκλησιαστικὴ Ἱστορία Α Ενότητα 11: Μονοθελητισμός και Μονοενεργητισμός Δρ. Ἰωάννης Ἀντ. Παναγιωτόπουλος Λέκτορας Γενικῆς Ἐκκλησιαστικῆς Ἱστορίας Ἐθνικὸ καὶ Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Ἀθηνῶν Τμῆμα

Διαβάστε περισσότερα

Εγκώμιο στὴν Κοίμηση της Θεοτόκου

Εγκώμιο στὴν Κοίμηση της Θεοτόκου Εγκώμιο στὴν Κοίμηση της Θεοτόκου Ἅγιος Ἰωάννης ὁ Δαμασκηνός Τί εἶναι αὐτὸ τὸ μυστήριο τὸ μέγα, ποὺ συντελεῖται γύρω ἀπὸ τὸ πρόσωπό σου, ἱερὴ Μητέρα καὶ Παρθένε; «Εὐλογημένη σὺ ἐν γυναιξὶ καὶ εὐλογημένος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Συσχετισμένων Ἀρχείων & Εἰκόνων

Διαχείριση Συσχετισμένων Ἀρχείων & Εἰκόνων Διαχείριση Συσχετισμένων Ἀρχείων & Εἰκόνων Εἰσαγωγὴ Μιὰ ἀπὸ τὶς βασικὲς πρόσθετες δυνατότητες τῆς ἔκδοσης 3 τῶν ἰατρικῶν ἐφαρμογῶν μας, εἶναι ἡ δυνατότητα συσχετισμοῦ ὅσων ψηφιακῶν ἀρχείων ἀπαιτεῖται στὴν

Διαβάστε περισσότερα

Μαρία Ψωμᾶ - Πετρίδου ΔΕΥΤΕΡΟ ΖΕΥΓΑΡΙ ΦΤΕΡΑ. Ποιήματα

Μαρία Ψωμᾶ - Πετρίδου ΔΕΥΤΕΡΟ ΖΕΥΓΑΡΙ ΦΤΕΡΑ. Ποιήματα Μαρία Ψωμᾶ - Πετρίδου ΔΕΥΤΕΡΟ ΖΕΥΓΑΡΙ ΦΤΕΡΑ Ποιήματα ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ Νοέμβριος 2011 15 ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ Μαρία Ψωμᾶ - Πετρίδου ΔΕΥΤΕΡΟ ΖΕΥΓΑΡΙ ΦΤΕΡΑ Ποιήματα Τεῦχος 15 - Νοέμβριος 2011 ISSN:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΊΑ ΠΙΘΑΝΟΤΉΤΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΊΑ ΠΙΘΑΝΟΤΉΤΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΊΑ ΠΙΘΑΝΟΤΉΤΩΝ Α τάξης Γενικού Λυκείου Η συγγραφή και η επιμέλεια του βιβλίου πραγματοποιήθηκε υπό την αιγίδα του Παιδαγωγικού

Διαβάστε περισσότερα

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 15 Μαρτίου 2006 1/5 Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Ν:6 ο Οι απαρχές των Μαθηματικών Τα μαθηματικά είναι η επιστήμη εκείνη η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΙΑΣ ΦΙΛΟΘΕΗΣ 19-21, ΑΘΗΝΑ ΤΗΛ FAX: ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ

ΑΓΙΑΣ ΦΙΛΟΘΕΗΣ 19-21, ΑΘΗΝΑ ΤΗΛ FAX: ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΑΓΙΑΣ ΦΙΛΟΘΕΗΣ 19-21, 105 56 ΑΘΗΝΑ ΤΗΛ. 2103352364 FAX: 2103237654 www.iaath.gr, E-Mail: ipe.iaath@gmail.com ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ 5 Η ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΓΙΑ ΤΗ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΚΟΝΙΑ ΛΑΤΡΕΙΑΣ ΚΑΙ ΑΦΟΣΙΩΣΕΩΣ

ΔΙΑΚΟΝΙΑ ΛΑΤΡΕΙΑΣ ΚΑΙ ΑΦΟΣΙΩΣΕΩΣ Μητροπολίτου Γουμενίσσης, Ἀξιουπόλεως καί Πολυκάστρου ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΔΙΑΚΟΝΙΑ ΛΑΤΡΕΙΑΣ ΚΑΙ ΑΦΟΣΙΩΣΕΩΣ ΑΘΗΝΑ 1987 Προσφώνηση στοὺς Νεωκόρους τῶν Ἱ. Ναῶν τῆς Ἀρχιεπισκοπῆς Ἀθηνῶν, κατὰ τὴ διάρκεια γεύματος ποὺ

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία Ελληνικού και Ρωμαϊκού Δικαίου

Ιστορία Ελληνικού και Ρωμαϊκού Δικαίου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ιστορία Ελληνικού και Ρωμαϊκού Δικαίου Ενότητα 2: Οι πηγές του αρχαίου ελληνικού δικαίου Παπακωνσταντίνου Καλλιόπη Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΑΣ Εν Αθήναις e-book 2012

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΑΣ Εν Αθήναις e-book 2012 ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΑΣ Εν Αθήναις e-book 2012 Συγγραφέας: dimdom 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΑΣ Εν Αθήναις e-book 2012 ΦΑΚΟΙ Τό φῶς ἀπό τά κοντινά ἀντικείμενα συγκλίνει πίσω ἀπό τό φακό, στό ἐπίπεδό

Διαβάστε περισσότερα