ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΔΙΑΤΗΡΗΤΙΚΟΥ ΡΥΠΟΥ ΣΕ ΑΝΟΙΚΤΟ ΑΓΩΓΟ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΔΙΑΤΗΡΗΤΙΚΟΥ ΡΥΠΟΥ ΣΕ ΑΝΟΙΚΤΟ ΑΓΩΓΟ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΑΡΕΤΗ ΑΡΙΣΤ. ΝΙΚΟΛΑΚΟΠΟΥΛΟΥ Α.Μ.:462 Διπλωματούχος Πολιτικός Μηχανικός ΠΑΤΡΑ 2014

2 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα Διατριβή Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης εκπονήθηκε στο Εργαστήριο Υδραυλικής Μηχανικής, του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών, του Πανεπιστημίου Πατρών, υπό την επίβλεψη του Καθηγητή κ. Αλέξανδρου Κ. Δημητρακόπουλου. Εκ προοιμίου θα ήθελα να εκφράσω τις ευχαριστίες μου σε όλους όσους συνέβαλλαν στην πραγματοποίηση της. Αρχικά θα ήθελα να ευχαριστήσω τον καθηγητή κ. Αλέξανδρο Κ. Δημητρακόπουλο για την προθυμία του να λύσει κάθε απορία που μου προέκυψε κατά τη διάρκεια της Μεταπτυχιακής μου Διατριβής αλλά και για την καθοδήγησή του. Ένα ιδιαίτερο ευχαριστώ στον κ. Δημήτρη Παππά, τεχνικό σύμβουλο της εταιρίας Simtec Software and Services για την πολύτιμη βοήθειά του όσον αφορά την τεχνική υποστήριξη του λογισμικού που χρησιμοποιήθηκε στην παρούσα εργασία αλλά και για την υπομονή του. Επιπλέον, θερμά ευχαριστώ τoυς μεταπτυχιακούς φοιτητές του Εργαστηρίου Υδραυλικής Μηχανικής κ. Θεοφανώ Κουτρουβέλη, κ. Κωνσταντίνα Γαλάνη, κ. Γεράσιμο Κολοκυθά και ιδιαίτερα τον κ. Ευστράτιο Φονιά και κ. Γεώργιο Λευθεριώτη για την βοήθειά τους σε ό,τι κι αν χρειάστηκα σε όποια δυσκολία συνάντησα. Ιδιαίτερα θα ήθελα επίσης να ευχαριστήσω τη μεταπτυχιακή φοιτήτρια του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών κ. Μαρία Βούστρου για όποια στήριξη και βοήθεια μου παρείχε καθ όλη την διάρκεια των μεταπτυχιακών μου σπουδών. Ευχαριστίες αποδίδονται και στα μέλη της τριμελούς εξεταστικής επιτροπής κ. Αθανάσιο Α. Δήμα, Καθηγητή του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών του Πανεπιστήμιου Πατρών και κ. Γεώργιο Μ. Χορς, Αναπληρωτή Καθηγητή του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών του Πανεπιστήμιου Πατρών. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω τους γονείς μου, Αριστοτέλη και Βικτωρία, για την αγάπη που μου δείχνουν συνεχώς και ειδικότερα για την συμπαράσταση που μου προσέφεραν όλο αυτό το δύσκολο διάστημα των δυο ετών Αρετή Αριστ. Νικολακοπούλου Πάτρα, Φεβρουάριος 2014

3 3 Στον Ο.

4 4 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η παρούσα Διατριβή Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης πραγματεύεται την μεταφορά διατηρητικού ρύπου συνεχούς αλλά και στιγμιαίας εγχύσεως σε διαφορετικά βάθη ενός ανοικτού αγωγού με επίπεδο και υπό κλίση πυθμένα. Η ροή θεωρήθηκε μόνιμη και τυρβώδης. Για την επίλυση χρησιμοποιήθηκαν οι εξισώσεις RANS, ενώ για το κλείσιμο της τύρβης χρησιμοποιήθηκε τo μοντέλo δύο εξισώσεων k-ε. Η διαχείριση της ελεύθερης επιφάνειας έγινε με την μέθοδο Volume of Fluid (VOF), ενώ η αριθμητική επίλυση βασίστηκε στην μέθοδο των πεπερασμένων όγκων και πραγματοποιήθηκε με τον εμπορικό κώδικα ANSYS FLUENT v.13. Το πρόβλημα της μεταφοράς ρύπου αναφέρεται σε γραμμική πηγή σταθερού μήκους (ύψους) η οποία τοποθετείται σε διαφορετικά βάθη εντός του αγωγού. Για την περίπτωση συνεχούς έγχυσης ρύπου, η γραμμική πηγή τοποθετήθηκε σε τρία διαφορετικά βάθη: πλησίον του πυθμένα, πλησίον της επιφανείας και στο ενδιάμεσο του βάθους. Από την πηγή εκρέει σταθερή παροχή μάζας κάθε φορά. Για την περίπτωση της στιγμιαίας έγχυσης ρύπου, η γραμμική πηγή τοποθετήθηκε τη μία φορά σε όλο το βάθος του καναλιού και την άλλη στο ενδιάμεσο του βάθους του. Συνοψίζοντας, αφού επιλύθηκε αριθμητικά το πρόβλημα συγκρίθηκε με τις αναλυτικές λύσεις, όπου αυτό ήταν δυνατό, οι οποίες έδειξαν να βρίσκουν ικανοποιητική συμφωνία με τα αριθμητικά αποτελέσματα.

5 5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 2 ΠΕΡΙΛΗΨΗ... 4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... 5 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΙΚΟΝΩΝ... 8 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ΤΥΡΒΩΔΗΣ ΡΟΗ ΣΕ ΑΝΟΙΚΤΟΥΣ ΑΓΩΓΟΥΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΔΙΕΠΟΥΝ ΤΗΝ ΤΥΡΒΩΔΗ ΡΟΗ ΜΕ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Οι εξισώσεις RANS ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ Η μέθοδος VOF για την προσέγγιση της ελεύθερης επιφάνειας ΜΟΝΤΕΛΑ ΚΛΕΙΣΙΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΤΥΡΒΗΣ Η έννοια του τυρβώδους ιξώδους Το μοντέλο δύο εξισώσεων k ε Άλλα μοντέλα κλεισίματος της τύρβης ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΡΥΠΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΟΝΤΕΛΟ ΜΕΡΙΚΗΣ ΑΝΑΜΙΞΕΩΣ Γενικά Μοριακή Διάχυση Μεταγωγή και Διάχυση Τυρβώδης Διάχυση Διασπορά... 35

6 Στρωτή Ροή Τυρβώδης Ροή ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΤΗΣ ΡΟΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΤΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΡΥΠΟΥ Συνεχής Έγχυση Στιγμιαία Έγχυση ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ANSYS FLUENT v ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΡΕΥΣΤΟΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟΥ ΠΛΕΓΜΑΤΟΣ Ο ΚΩΔΙΚΑΣ FLUENT ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΡΟΗΣ Γενικά Επίλυση προβλήματος με τον κώδικα Fluent ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΗΣ ΕΓΧΥΣΗ ΑΠΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΗΓΗ ΠΛΗΣΙΟΝ ΤΟΥ ΠΥΘΜΕΝΑ ΣΥΝΕΧΗΣ ΕΓΧΥΣΗ ΑΠΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΗΓΗ ΠΛΗΣΙΟΝ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΣΥΝΕΧΗΣ ΕΓΧΥΣΗ ΑΠΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΗΓΗ ΣΤΟ ΕΝΔΙΑΜΕΣΟ ΤΟΥ ΒΑΘΟΥΣ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΕΓΧΥΣΗ ΑΠΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΗΓΗ ΣΕ ΟΛΟ ΤΟ ΒΑΘΟΣ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΕΓΧΥΣΗ ΑΠΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΗΓΗ ΣΤΟ ΕΝΔΙΑΜΕΣΟ ΤΟΥ ΒΑΘΟΥΣ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ - ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΑΝΑΦΟΡΕΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Εξαγωγή εξίσωσης μεταφοράς μάζας με ανεξάρτητες συντεταγμένες την διαμήκη απόσταση και την σωρευτική παροχή

7 7 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β - Πρόγραμμα FORTRAN για τον προσδιορισμό της κατανομής κλάσματος μάζας ρύπου στο επίπεδο x-y για συνεχή έγχυση από γραμμική πηγή ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ Πρόγραμμα FORTRAN για τον προσδιορισμό της κατανομής κλάσματος μάζας ρύπου στο επίπεδο x-t για στιγμιαία έγχυση από γραμμική πηγή μήκους ίσου με το βάθος της ροής

8 8 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΙΚΟΝΩΝ Εικόνα 5.1 Αρχικό παράθυρο νέου project του Ansys Workbench Εικόνα 5.2 Εισαγωγή προγράμματος σχεδίασης της γεωμετρίας Εικόνα 5.3 Επιλογή του δισδιάστατου τύπου ανάλυσης Εικόνα 5.4 Επιλογή του συστήματος μονάδων Εικόνα 5.5 Παράθυρο για τη δημιουργία γεωμετρίας Εικόνα 5.6 Σχηματοποίηση της διατομής Εικόνα 5.7 Εισαγωγή διαστάσεων της διατομής Εικόνα 5.8 Ορισμός της διατομής σαν μια ενιαία επιφάνεια Εικόνα 5.9 Επιλογή επιπέδου Εικόνα 5.10 Δημιουργία επιπέδου και τομής Εικόνα 5.11 Τελική γεωμετρία ζώνης ρύπου Εικόνα 5.12 Τελική γεωμετρία διατομής Εικόνα 5.13 Εισαγωγή προγράμματος δημιουργίας υπολογιστικού πλέγματος Εικόνα 5.14 Παράθυρο δημιουργίας υπολογιστικού πλέγματος Εικόνα 5.15 Εντολή Sizing Εικόνα 5.16 Δημιουργία υποδιαιρέσεων στις οριζόντιες ακμές της γεωμετρίας Εικόνα 5.17 Δημιουργία υποδιαιρέσεων στις κατακόρυφες ακμές της γεωμετρίας Εικόνα 5.18 Εντολή Mapped Face Meshing Εικόνα 5.19 Δημιουργία πλέγματος Εικόνα 5.20 Επιλογή ονομάτων στις διάφορες ζώνες Εικόνα 5.21 Επιλογή δισδιάστατης προσομοίωσης και διπλής ακρίβειας Εικόνα 5.22 Επιλογή παραμέτρων για μόνιμη ροή-καθορισμός συνιστωσών επιτάχυνσης της βαρύτητας Εικόνα 5.23 Προσομοίωση ελεύθερης επιφάνειας Εικόνα 5.24 Μοντέλο τύρβης k-ε Εικόνα 5.25 Ενεργοποίηση μεταφοράς μάζας... 82

9 9 Εικόνα 5.26 Δημιουργία ρευστού με τις ιδιότητες του νερού και ορισμός Mixture template Εικόνα 5.27 Ορισμός φάσεων Εικόνα 5.28 Ορισμός παροχής μάζας ρύπου στην αντίστοιχη ζώνη ρύπου στην περίπτωση συνεχούς έγχυσης Εικόνα 5.29 Ορισμός mass fraction μάζας ρύπου στην αντίστοιχη ζώνη ρύπου στην περίπτωση στιγμιαίας έγχυσης Εικόνα 5.30 Οριακές συνθήκες εισόδου Εικόνα 5.31 Ορισμός κλάσματος φάσεων στη διατομή Εικόνα 5.32 Οριακή συνθήκη εξόδου Εικόνα 5.33 Οριακή συνθήκη πυθμένα Εικόνα 5.34 Οριακή συνθήκη ελεύθερης επιφάνειας αέρα Εικόνα 5.35 Πίεση αναφοράς Εικόνα 5.36 Καθορισμός της ζώνης ισχύος των τιμών αναφοράς Εικόνα 5.37 Μέθοδοι επίλυσης Εικόνα 5.38 Συντελεστές υπό-χαλάρωσης Εικόνα 5.39 Κριτήρια σύγκλισης Εικόνα 5.40 Αρχικές συνθήκες σε όλο το πεδίο και στη ζώνη του νερού Εικόνα 5.41 Προσδιορισμός της συχνότητας αποθήκευσης των αποτελεσμάτων Εικόνα 5.42 Επιλογή αριθμού επαναλήψεων και ενημέρωσης της κονσόλας... 93

10 10 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας 2.1 Τιμές των συντελεστών στο κανονικό k-ε μοντέλο Πίνακας 5.1 Τιμές της μεταβλητής Φ για τις διάφορες ποσότητες... 73

11 11 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Σχήμα 5.1: Γεωμετρία των στοιχείων υπολογιστικού πλέγματος Σχήμα 5.2: Ροϊκό πεδίο αγωγού διακριτοποιημένο σε πεπερασμένο αριθμό όγκων ελέγχου (υπολογιστικό πλέγμα) Σχήμα 6.1 Κατανομής της διαμήκους ταχύτητας ως προς το βάθος σύμφωνα με τον λογαριθμικό νόμο σε διάφορες θέσεις Σχήμα 6.2 Κατανομής της διαμήκους ταχύτητας και της μέσης τιμής αυτής Σχήμα 6.3 Κατανομή του τυρβώδους ιξώδους ως προς το βάθος σε διάφορες θέσεις Σχήμα 6.4 Κατανομή του τυρβώδους ιξώδους και της μέσης τιμής του στη διατομή x=150m, καθώς και η τιμή του θεωρητικού τυρβώδους ιξώδους Σχήμα 6.5 Κατανομή της διατμητικής τάσης στον πυθμένα Σχήμα 6.6 Χρωματική απεικόνιση του κλάσματος μάζας του ρύπου στην κατάσταση ισορροπίας Σχήμα 6.7 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=85m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση Σχήμα 6.8 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=90m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση Σχήμα 6.9 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=100m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση Σχήμα 6.10 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=110m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση Σχήμα 6.11 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=160m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση Σχήμα 6.12 Χρωματική απεικόνιση του κλάσματος μάζας του ρύπου στην κατάσταση ισορροπίας Σχήμα 6.13 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=85m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση Σχήμα 6.14 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=90m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση

12 12 Σχήμα 6.15 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=100m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση Σχήμα 6.16 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=110m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση Σχήμα 6.17 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=160m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση Σχήμα 6.18 Χρωματική απεικόνιση του κλάσματος μάζας του ρύπου στην κατάσταση ισορροπίας Σχήμα 6.19 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=85m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση Σχήμα 6.20 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=90m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση Σχήμα 6.21 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=100m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση Σχήμα 6.22 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=110m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση Σχήμα 6.23 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=160m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση Σχήμα 6.24 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου τη χρονική στιγμή t=4 sec Σχήμα 6.25 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου τη χρονική στιγμή t=10 sec Σχήμα 6.26 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου τη χρονική στιγμή t=20 sec Σχήμα 6.27 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου τη χρονική στιγμή t=30 sec Σχήμα 6.28 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου τη χρονική στιγμή t=40 sec Σχήμα 6.29 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου τη χρονική στιγμή t=50 sec Σχήμα 6.30 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου τη χρονική στιγμή t=54 sec Σχήμα 6.31 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου σε σχέση με το μήκος του καναλιού και σε βάθος y=0.2m για τις χρονικές στιγμές t=4, 24, 54 sec Σχήμα 6.32 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου σε σχέση με το μήκος του καναλιού και σε βάθος y=0.5m για τις χρονικές στιγμές t=4, 24, 54 sec

13 13 Σχήμα 6.33 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου σε σχέση με το μήκος του καναλιού και σε βάθος y=0.7m για τις χρονικές στιγμές t=4, 24, 54 sec Σχήμα 6.34 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου σε σχέση με το μήκος του καναλιού και σε βάθος y=1m για τις χρονικές στιγμές t=4, 24, 54 sec Σχήμα 6.35 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου σε συνάρτηση με το βάθος του καναλιού στη διατομή x=85m για τις χρονικές στιγμές t=4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 sec Σχήμα 6.36 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου σε συνάρτηση με το βάθος του καναλιού στη διατομή x=115m για τις χρονικές στιγμές t=42, 44, 46, 48, 50, 52, 54 sec 115 Σχήμα 6.37 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου τη χρονική στιγμή t=4 sec Σχήμα 6.38 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου τη χρονική στιγμή t=10 sec Σχήμα 6.39 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου τη χρονική στιγμή t=20 sec Σχήμα 6.40 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου τη χρονική στιγμή t=30 sec Σχήμα 6.41 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου τη χρονική στιγμή t=40 sec Σχήμα 6.42 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου τη χρονική στιγμή t=50 sec Σχήμα 6.43 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου τη χρονική στιγμή t=52 sec Σχήμα 6.44 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου σε σχέση με το μήκος του καναλιού και σε βάθος y=0.2m για τις χρονικές στιγμές t=4, 24, 52 sec Σχήμα 6.45 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου σε σχέση με το μήκος του καναλιού και σε βάθος y=0.5m για τις χρονικές στιγμές t=4, 24, 52 sec Σχήμα 6.46 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου σε σχέση με το μήκος του καναλιού και σε βάθος y=0.7m για τις χρονικές στιγμές t=4, 24, 52 sec Σχήμα 6.47 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου σε σχέση με το μήκος του καναλιού και σε βάθος y=1m για τις χρονικές στιγμές t=4, 24, 52 sec Σχήμα 6.48 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου σε συνάρτηση με το βάθος του καναλιού στη διατομή x=85m για τις χρονικές στιγμές t=4, 6, 8, 10, 12 sec Σχήμα 6.49 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου σε συνάρτηση με το βάθος του καναλιού στη διατομή x=115m για τις χρονικές στιγμές t=42, 44, 46, 48, 50, 52 sec

14 14 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μέχρι τα μέσα του εικοστού αιώνα η υδραυλική μηχανική κυρίως ασχολείτο με ροές σε κλειστούς και τεχνητούς ανοικτούς αγωγούς, με ροές σε ποταμούς και παράκτια ύδατα, καθώς και με υδραυλικές κατασκευές για την αποθήκευση ή τον έλεγχο της ροής. Από την αρχή, όμως, της δεκαετίας του 50 ο υδραυλικός μηχανικός άρχισε να ανταποκρίνεται στον αυξανόμενο προβληματισμό για το περιβάλλον και την προστασία των υδατικών πόρων. Έτσι, πλέον, η υδραυλική δεν ασχολείται μόνον με την ποσότητα του ύδατος αλλά και με την ποιότητα. Ρύποι εισέρχονται στον υδρολογικό κύκλο, εσκεμμένως ή μη. Η κατάντη ποιότητα του ύδατος εξαρτάται τόσο από την υδροδυναμική διαδικασία της μεταφοράς και μίξεως, όσον και από τις βιολογικές και χημικές διαδικασίες που λαμβάνουν χώρα εντός της υδατικής μάζας. Οι ρύποι που μεταφέρονται από τα επιφανειακά ύδατα μπορεί να είναι είτε εν διαλύσει ή να είναι προσκολλημένοι σε διακριτά στερεά σωματίδια τα οποία μεταφέρονται εν αιωρήσει από τη ροή. Το θεωρητικό υπόβαθρο που υπάρχει, σε συνδυασμό με τη ραγδαία ανάπτυξη της τεχνολογίας των ηλεκτρονικών υπολογιστών, έδωσε τη δυνατότητα αριθμητικής επίλυσης τέτοιου είδους προβλημάτων και την εξαγωγή βασικών συμπερασμάτων για την συμπεριφορά των φαινομένων αυτών. Στην παρούσα εργασία γίνεται μια προσπάθεια μελέτης της μεταφοράς και μίξεως ενός διατηρητικού εν διαλύσει ρύπου σε ανοικτό αγωγό επίπεδου και υπό κλίση πυθμένα με τυρβώδη ροή. Η μεταπτυχιακή διατριβή διαρθρώνεται σε επτά κεφάλαια. Στο πρώτο κεφάλαιο παρατίθεται μια σύντομη εισαγωγή για το αντικείμενο μελέτης και παρουσιάζεται η δομή καθώς και το περιεχόμενο των κεφαλαίων της παρούσας εργασίας. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρατίθενται οι διαφορικές εξισώσεις της τυρβώδους ροής που χρησιμοποιούνται για την επίλυση του φυσικού φαινομένου υπό το πρίσμα της μεθόδου VOF, καθώς και το χρησιμοποιούμενο μοντέλο κλεισίματος της τύρβης k-ε. Στο τρίτο κεφάλαιο γίνεται λόγος για τους μηχανισμούς μεταφοράς και τα μοντέλα μίξεως των ρύπων.

15 15 Στο τέταρτο κεφάλαιο γίνεται περιγραφή των αρχικών και συνοριακών συνθηκών που χρησιμοποιούνται για την προσομοίωση του φυσικού προβλήματος και πιο συγκεκριμένα γίνεται η εφαρμογή όλων των παραμέτρων στο πρόβλημα της μεταφοράς μάζας ρύπου. Στο πέμπτο κεφάλαιο γίνεται περιγραφή της διαδικασίας μοντελοποίησης του προβλήματος (τρόπου κατασκευής της γεωμετρίας και του αριθμητικού πλέγματος) καθώς και της αριθμητικής μεθοδολογίας επίλυσης μέσω του αριθμητικού κώδικα Fluent. Επιπλέον παρουσιάζεται η μέθοδος των πεπερασμένων όγκων που χρησιμοποιείται για την διακριτοποίηση των διαφορικών εξισώσεων που διέπουν τη ροή. Στο έκτο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα αποτελέσματα που προέκυψαν από την αριθμητική επίλυση του προβλήματος σε σύγκριση με την αναλυτική επίλυση. Στο έβδομο και τελευταίο κεφάλαιο γίνεται ανακεφαλαίωση του προβλήματος και παρατίθενται τα συμπεράσματα που προέκυψαν από την προσεκτική παρατήρηση των αποτελεσμάτων. Στη συνέχεια παρατίθεται η βιβλιογραφία πάνω στην οποία βασίστηκε η συγγραφή της παρούσας εργασίας. Τέλος παρατίθενται τρία παραρτήματα στα οποία υπάρχουν κώδικες και δεδομένα τα οποία χρησιμοποιήθηκαν για την πραγματοποίηση της παρούσας εργασίας.

16 16 2. Η ΤΥΡΒΩΔΗΣ ΡΟΗ ΣΕ ΑΝΟΙΚΤΟΥΣ ΑΓΩΓΟΥΣ 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Οι περισσότερες και πιο συνηθισμένες ροές στην φύση αλλά και σε πρακτικές εφαρμογές είναι τυρβώδεις. Παραδείγματα από την καθημερινή ζωή που κάνουν διαισθητικά πιο κατανοητό το φαινόμενο είναι ο άνεμος, η κίνηση νερού σε ποταμούς κ.α. Η τύρβη δημιουργείται λόγω αστάθειας (instability) που αναπτύσσεται στις στρωτές ροές καθώς αυξάνεται η ταχύτητα ροής. Η αστάθεια αυτή ενισχύει τις διαταράξεις (perturbations) στις οποίες υπόκειται το ρευστό και οι οποίες προκαλούν την τύρβη. Οι διαταράξεις αυτές εισάγονται από την είσοδο του αγωγού ή από τυχόν ανωμαλίες στα τοιχώματά του. Το ιξώδες (ή συνεκτικότητα) του ρευστού έχει την τάση να εξομαλύνει (damp out) τις διαταράξεις, καθώς αυτές μεταφέρονται στα κατάντη και στην περίπτωση της στρωτής ροής πράγματι οι διαταράξεις αυτές εξαλείφονται (attenuated). Όμως αυξανομένης της ταχύτητας οι αδρανειακές δυνάμεις υπερισχύουν των δυνάμεων του ιξώδους, με αποτέλεσμα οι διαταράξεις αυτές να μην μπορούν να εξαλειφθούν πλέον, ενώ συχνά μπορεί ακόμα και να μεγεθυνθούν. Το φαινόμενο αυτό οδηγεί στη δημιουργία της τύρβης. Στην κλασική περίπτωση μελέτης της ροής σε κλειστό αγωγό, η αστάθεια οδηγεί στην κατάρρευση της ροής Poiseuille και στην δημιουργία τυρβώδους μη-παράλληλης ροής, στην οποία η κατανομή της ταχύτητας δεν ακολουθεί πλέον την τυπική παραβολική μορφή. Η φάση μεταβολής της στρωτής ροής σε τυρβώδη λέγεται και μεταβατική φάση. Η παράμετρος η οποία, μαζί με το μέγεθος και τον τύπο της διαταράξεως, ορίζει την έναρξη της τυρβώδους φάσεως της ροής, είναι ο αριθμός Reynolds, Re UL, όπου U κλίμακα ταχύτητας, L κλίμακα μήκους των στροβίλων και το ιξώδες. Σε υψηλούς αριθμούς Reynolds προκαλείται αστάθεια στη ροή η οποία δεν είναι δυνατόν να εξαλειφθεί από το ιξώδες του ρευστού. Η αστάθεια αυτή είναι υπαίτια για την δημιουργία της τύρβης, παράγοντας στροβίλους μεγάλης κλίμακας. Οι στρόβιλοι αυτοί είναι επίσης ασταθείς και προκαλούν την δημιουργία μικρότερων στροβίλων, και ούτω καθ εξής, έως ότου το ιξώδες γίνει σημαντικό στις μικρότερες κλίμακες. Αυτή η διαδικασία καταπτώσεως (cascade process), κατά την οποία στρόβιλοι μεγάλης κλίμακας εκφυλίζονται σε όλο και μικρότερης κλίμακας στροβίλους, συνεχίζεται ακατάπαυστα μέσα σε μια ροή υψηλού Reynolds αφαιρώντας με αυτόν τον τρόπο ενέργεια από τις μεγάλες

17 17 κλίμακες και μεταβιβάζοντας την στις μικρότερες, μέχρις ότου αυτή η ενέργεια αναλωθεί (dissipated) από την δράση του ιξώδους στις μικρότερες κλίμακες. Συνεπώς η διαδικασία καταπτώσεως συνδέεται από μια μέση ροή ενέργειας (energy flux) από τις μεγαλύτερες στις μικρότερες κλίμακες. Η ροή αυτή ενέργειας ελέγχεται από τις μεγαλύτερες κλίμακες και καταλήγει στην ανάλωση μηχανικής ενέργειας από το ιξώδες στις μικρότερες κλίμακες (μετατροπή σε θερμότητα). Η τύρβη είναι εγγενώς τρισδιάστατη και η τυρβώδης ροή εμφανίζεται ως τυχαία στον χώρο και στο χρόνο και ως εκ τούτου δεν μπορεί να αναπαραχθεί πειραματικά επακριβώς. Παρ όλα αυτά η εμπειρία δείχνει ότι οι τυρβώδεις ροές μπορούν να περιγραφούν από τις ίδιες δυναμικές εξισώσεις που περιγράφουν και τις στρωτές ροές, με τις κατάλληλες, φυσικά, προσαρμογές. Η ανάπτυξη που ακολουθεί αφορά ασυμπίεστα, Νευτώνεια ρευστά. Επιπλέον, θεωρείται ότι το ιξώδες και η πυκνότητα του ρευστού είναι σταθερά. Τότε η ταχύτητα μπορεί να υπολογιστεί από την εξίσωση της συνέχειας και από την εξίσωση της ορμής (εξ. Navier-Stokes), όπως παρουσιάζονται παρακάτω: Εξίσωση συνέχειας: U x i i 0 (2.1) Εξίσωση ορμής: U i t U j U x j i ij x j g i (2.2) όπου U i είναι η στιγμιαία συνιστώσα της ταχύτητας στη διεύθυνση x i και U j αντίστοιχα στη διεύθυνση x j, g i το διάνυσμα της επιτάχυνσης της βαρύτητας στη διεύθυνση x i και ij ο τανυστής των τάσεων, ο οποίος για ένα ασυμπίεστο ρευστό εκφράζεται από την ακόλουθη καταστατική σχέση: P d (2.3) ij ij ij

18 18 όπου P η δυναμική πίεση, ij το δέλτα του Kroneker, οριζόμενο ως: ij 1 για 0 για i i j j (2.4) και d ij το διατμητικό τμήμα του τανυστή των τάσεων: d 2 (2.5) ij e ij με e ij 1 U U i j για i 2 xj x i j (2.6) Βάσει των ανωτέρω, η εξίσωση της ορμής λαμβάνει την παρακάτω μορφή: Ui U i P U i U j g t x j xi x j x j i (2.7) όπου το δυναμικό ιξώδες του ρευστού. Στην παρουσίαση των εξισώσεων χρησιμοποιείται ο συμβολισμός των τανυστών και η σύμβαση του Einstein. Οι παραπάνω εξισώσεις πρέπει να συνοδεύονται από τις κατάλληλες αρχικές και συνοριακές συνθήκες. 2.2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΔΙΕΠΟΥΝ ΤΗΝ ΤΥΡΒΩΔΗ ΡΟΗ ΜΕ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Οι εξισώσεις RANS Λόγω, γενικώς, της αδυναμίας να επιλυθούν οι εξισώσεις Navier-Stokes για τυρβώδεις ροές, πλην αριθμητικών λύσεων με την μέθοδο DNS (Direct Numerical Simulation) για μικρούς αριθμούς Reynolds, είναι αναγκαία η μετατροπή τους σε εξισώσεις που να περιγράφουν τις μέσες τιμές των μεταβλητών. Ακολουθώντας την

19 19 πρακτική που εισήγαγε ο O. Reynolds και εφαρμόζοντας την διαδικασία του μέσου όρου, η εξίσωση της συνέχειας λαμβάνει την εξής μορφή: U x i i 0 (2.8) Παρομοίως, η εξ. (2.2) λαμβάνει την μορφή: U i t U j U x j i x j ij u u i j (2.9) Σημειώνεται ότι στην εξ. (2.9) έχει αμεληθεί ο όρος της δυνάμεως πεδίου ( ) αφού δεν επηρεάζεται από την διαδικασία του μέσου όρου, αν και θα εισαχθεί πάλι στις εξισώσεις ορμής, για την επίλυση του προβλήματος της παρούσας εργασίας. Ο όρος u i u j που εμφανίζεται στην εξ. (2.9) είναι προϊόν της διαδικασίας υπολογισμού του μέσου όρου για τον μεταγωγικό όρο U U x εξισώσεως της ορμής είναι η παρακάτω: j i j gi. Η τελική έκφραση της U i U i P U i U j u iu j (2.10) t x j xi x j x j Οι εξ. (2.8) και (2.10) αποτελούν τις Reynolds Averaged Navier-Stokes (RANS) εξισώσεις. Από την μορφή της εξ. (2.10) είναι προφανές ότι ο όρος u i u j συμπεριφέρεται στην εξίσωση της ορμής σαν μια επιπλέον τάση, η οποία δρα στο πεδίο ροής, εκτός από την μέση τάση, ij. Ο όρος αυτός ονομάζεται τανυστής των τάσεων Reynolds (ή τυρβωδών τάσεων) και παρακάτω, όπου απαιτηθεί, θα συμβολίζεται ως: u u (2.11) t ij i j Οι εξ. (2.8) και (2.10) στην πραγματικότητα διέπουν την ροή ενός "φανταστικού" ασυμπίεστου ρευστού το οποίο κινείται με ταχύτητα U i (i = 1, 2, 3). Με τον όρο "φανταστικό" εδώ ερμηνεύεται το γεγονός ότι δεν υπάρχει πραγματικό ρευστό που να

20 20 κινείται με την μέση ταχύτητα, U i. Η κατάστρωση μιας εξίσωσης ορμής για το ρευστό αυτό θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει δυο εσωτερικές δυνάμεις: μια που προέρχεται από τον μέσο τανυστή των τάσεων, ij, και μια άλλη που προέρχεται από τον τανυστή των τάσεων Reynolds. Έτσι, μπορεί να προκύψει η εξ. (2.9) σε αντίθεση με την ισορροπία δυνάμεων σε πραγματικό ρευστό, η οποία δίδει την εξ. (2.2). Θα πρέπει πάντως να υπενθυμιστεί ότι, λόγω της προέλευσης των όρων u i u j από τους μεταγωγικούς όρους του αριστερού σκέλους της εξίσωσης της ορμής, εξ. (2.2), στην πραγματικότητα αυτοί αντιπροσωπεύουν μεταφορά τυρβώδους διεύθυνση x j (ή και το αντίστροφο) και δρουν ως τάσεις επί του ρευστού. x i ορμής στην Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό των εξ. RANS, εξ. (2.8) και (2.10), σε σχέση με τις εξισώσεις Navier-Stokes εξ. (2.1) και (2.7), είναι ότι οι πρώτες δεν αποτελούν ένα κλειστό t σύστημα εξισώσεων, αφού δεν υπάρχει μια ευθεία σχέση που να συνδέει τον ij με τις και P. Η εύρεση ενός τέτοιου "κλεισίματος" των εξ. RANS μέσω ενός καταστατικού νόμου για τον μοντέλων τύρβης. t ij έχει αποτελέσει και εξακολουθεί να αποτελεί τον κύριο στόχο των U i 2.3 ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ Η ανάλυση ροών με ελεύθερη επιφάνεια με την βοήθεια των τρισδιάστατων εξισώσεων RANS (Reynolds-Averaged Navier-Stokes) βρίσκει ιδιαίτερη εφαρμογή τα τελευταία χρόνια μετά την ανάπτυξη των σύγχρονων ισχυρών υπολογιστών. Ωστόσο, όλα τα μοντέλα επίλυσης που χρησιμοποιούν τις εξισώσεις RANS αντιμετωπίζουν το πρόβλημα προσέγγισης της ελεύθερης επιφάνειας, η οποία αποτελεί έναν δευτερεύοντα άγνωστο των εξισώσεων επίλυσης του προβλήματος. Έχουν αναπτυχθεί αρκετές μέθοδοι για την αντιμετώπιση του προβλήματος της ελεύθερης επιφάνειας, οι οποίες σε συνδυασμό με τις εξισώσεις RANS καταφέρνουν να δώσουν ολοκληρωμένες απαντήσεις στα προβλήματα ροών του τύπου αυτού. Ίσως η πιο απλή μέθοδος είναι η μέθοδος προσέγγισης της ελεύθερης επιφάνειας ως «άκαμπτο κάλυμμα» (rigid lid), η οποία θεωρεί την ελεύθερη επιφάνεια ως ένα επίπεδο συμμετρίας (symmetry plane) ή ως το αποτέλεσμα της δισδιάστατης μοντελοποίησης Saint-Venant (2- D Saint-Venant modelling). Η πρώτη παραλλαγή (επίπεδο συμμετρίας) είναι ευρέως

21 21 χρησιμοποιούμενη για προσομοιώσεις μεγάλων υδατικών όγκων όπως λίμνες και θάλασσες, ενώ η δεύτερη (Saint-Venant) προτιμάται για την προσομοίωση ροών μικρότερης κλίμακας, όπως ποτάμια και ανοικτά κανάλια (Demuren & Rodi 1983, Fischer-Antze et al. 2001). Ωστόσο, σε κάθε περίπτωση είναι αδύνατο με τις παραπάνω μεθόδους να παρακολουθήσει κανείς πλήρως την μετακίνηση ή την παραμόρφωση της ελεύθερης επιφάνειας. H ίσως αποτελεσματικότερη μέθοδος για την προσομοίωση προβλημάτων ελεύθερης επιφάνειας είναι η μέθοδος VOF (Volume of Fluid) των Hirt and Nicholls, (1981). Για την χρήση της μεθόδου απαιτούνται τρία πράγματα: μια μεθοδολογία (scheme) προκειμένου να καθοριστεί η θέση της ελεύθερης επιφάνειας, ένας αλγόριθμος που να παρακολουθεί την ελεύθερη επιφάνεια σαν μια κινούμενη διεπιφάνεια (sharp interface) η οποία κινείται διαμέσου του υπολογιστικού χώρου και ένα μέσο προκειμένου να καθοριστούν οι οριακές συνθήκες στην ελεύθερη επιφάνεια. Η χρήση της μεθόδου VOF επιβάλει, ωστόσο, κάποιους περιορισμούς. Στο υπολογιστικό πεδίο το οποίο αποτελείται από διάφορες φάσεις (π.χ. αέρας-νερό) θα πρέπει όλοι οι πεπερασμένοι όγκοι να είναι γεμάτοι με κάποια από τις δυο φάσεις ή με συνδυασμό τους. Η μέθοδος VOF δεν επιτρέπει κενές περιοχές στο υπολογιστικό πεδίο, όπου καμιά από τις δυο φάσεις, ή συνδυασμός τους, δεν είναι παρούσες. Επιπλέον, η μέθοδος απαιτεί η ροή να είναι ασυμπίεστη. Η μέθοδος VOF εφαρμόζεται για την προσομοίωση της ροής σε ένα ανοιχτό κανάλι με τη βοήθεια μιας ζώνης αέρα που τοποθετείται πάνω από την επιφάνεια του νερού. Στην είσοδο του καναλιού θεωρείται ξεχωριστή εισαγωγή αέρα (air inflow) και νερού (water inflow), οι οποίες όμως επιλύονται ταυτόχρονα προκειμένου να γίνει πρόβλεψη της ελεύθερης επιφάνειας Η μέθοδος VOF για την προσέγγιση της ελεύθερης επιφάνειας Η μέθοδος VOF (Volume of Fluid) βασίζεται στην υπόθεση ότι δύο ή περισσότερα ρευστά δεν αναμιγνύονται. Για κάθε επιπλέον ρευστό εισάγεται μια νέα μεταβλητή, το ποσοστό όγκου κάθε ρευστού σε κάθε στοιχειώδη όγκο του ροϊκού πεδίου. Σε κάθε στοιχειώδη όγκο το άθροισμα των ποσοστών όγκου όλων των ρευστών ισούται με τη μονάδα. Όλες οι μεταβλητές και οι ιδιότητες σε κάθε στοιχειώδη όγκο αντιπροσωπεύουν μέσες τιμές σύμφωνα με το ποσοστό όγκου κάθε ρευστού. Αν θέσουμε ως a q το ποσοστό

22 22 όγκου του ρευστού q στον στοιχειώδη όγκο, τότε αν aq 0, ο όγκος είναι άδειος από το ρευστό q, αν aq 1 είναι γεμάτος, ενώ αν 0a q 1 ο όγκος είναι μερικώς κατειλημμένος από το ρευστό q. Τότε η εξίσωση ορμής επιλύεται σε όλο το ροϊκό πεδίο και το πεδίο ταχυτήτων το οποίο προκύπτει διαμοιράζεται στις υπάρχουσες φάσεις. Η εξίσωση ορμής εξαρτάται από τα ποσοστά όγκου των διαφόρων φάσεων μέσω των ιδιοτήτων της πυκνότητας και του ιξώδους του ρευστού. Στο διφασικό σύστημα (αέρας-νερό) που εξετάζεται και στο οποίο η φάση του αέρα θεωρείται κύρια και του νερού δευτερεύουσα, η πυκνότητα και το ιξώδες σε κάθε υπολογιστικό κελί δίνονται από τις εξισώσεις: (1 ) (2.12) water water water air (1 ) (2.13) water water water air Οι εξισώσεις RANS ορίζονται με βάση το ποσοστό όγκου του κάθε ρευστού σαν ένα είδος μέσων τιμών των φυσικών ιδιοτήτων για το νερό και τον αέρα. Οι φυσικές, λοιπόν, ιδιότητες και των εξισώσεων RANS αντικαθίστανται από τις εκφράσεις (2.12) και (2.13) και επιλύονται σε όλο το υπολογιστικό πεδίο (νερό και αέρα). Για τον προσδιορισμό της ελεύθερης επιφάνειας χρησιμοποιείται μια εξίσωση μεταφοράς του ποσοστού όγκου των ρευστών. Γενικότερα, για την φάση q, η εξίσωση αυτή έχει την ακόλουθη μορφή: q q Ui t x i 0 (2.14) Η εξίσωση (2.14) επιλύεται για κάθε ρευστό εκτός από εκείνο που ορίζεται ως κύριο. Για το κύριο ρευστό το ποσοστό όγκου υπολογίζεται με βάση τον ακόλουθο περιορισμό: N q 1 (2.15) q1

23 ΜΟΝΤΕΛΑ ΚΛΕΙΣΙΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΤΥΡΒΗΣ Η έννοια του τυρβώδους ιξώδους Όσον αφορά στις εξισώσεις RANS, επισημαίνεται ότι το κύριο πρόβλημα προσομοίωσης ροών κατά την ανάλυση ενός σημείου (one point modelling) αποτελούν οι τάσεις Reynolds. Το παλαιότερο μοντέλο προσομοίωσης των τάσεων αυτών αποτελεί, μέχρι σήμερα, τον συνηθέστερο πρακτικό τρόπο αρχικής αντιμετώπισης του προβλήματος της τύρβης. Το μοντέλο αυτό βασίζεται στην υπόθεση ότι όπως οι διατμητικές τάσεις λόγω ιξώδους στην στρωτή ροή, έτσι και οι τυρβώδεις τάσεις, ή αλλιώς τάσεις Reynolds, είναι ανάλογες των βαθμίδων της μέσης ταχύτητας. Η ιδέα αυτή αποδίδεται στον Boussinesq (Rodi, 1980) και μαθηματικά εκφράζεται ως: Ui U j 2 uiu j t k ij xj x i 3 (2.16) όπου t είναι το τυρβώδες κινηματικό ιξώδες το οποίο, σε αντίθεση με το κινηματικό ιξώδες της στρωτής ροής ( ), δεν αποτελεί μια ιδιότητα του ρευστού, αλλά εξαρτάται από την κατάσταση της τύρβης. Ως εκ τούτου, το t μπορεί να διαφέρει σημαντικά από σημείο σε σημείο του ροϊκού πεδίου και από ροϊκό πεδίο σε ροϊκό πεδίο. Με k συμβολίζεται η τυρβώδης κινητική ενέργεια ανά μονάδα μάζας. Η εξ. (2.16), λόγω της συμπεριφοράς του t, δεν αποτελεί αυτή καθ αυτή μια καταστατική σχέση για το πρόβλημα κλεισίματος της τύρβης αλλά δίνει το πλαίσιο προς αυτή την κατεύθυνση. Το πρόβλημα τώρα εστιάζεται στον καθορισμό της κατανομής του t. Αντικαθιστώντας την εξ. (2.16) στην εξ. (2.10) λαμβάνεται η παρακάτω έκφραση: U t i U j U x j i x i 2 P 2 U i k 3 x jx j x j U i t x j U x i j (2.17) Αξίζει να σημειωθεί ότι ο δεύτερος όρος του δεξιού σκέλους της εξ. (2.17) έχει ενσωματωθεί στον όρο της πιέσεως, με αποτέλεσμα η επίδραση της στατικής πίεσης να 2 αντικαθίσταται στις εξισώσεις ορμής από την φαινόμενη πίεση ( P k ). Έτσι, η 3

24 24 διαδικασία επίλυσης των RANS εξισώσεων μπορεί να προχωρήσει χωρίς να απαιτείται ο προσδιορισμός της k, δεδομένου ότι σε στερεά όρια ή ελεύθερες επιφάνειες ισχύει ότι k 0 και επομένως μπορούν να προσδιοριστούν οι τιμές της P. Ωστόσο, ο προσδιορισμός της P σε εσωτερικά σημεία του ροϊκού πεδίου απαιτεί μια ξεχωριστή διαδικασία για τον προσδιορισμό της k. Η ιδέα του τυρβώδους ιξώδους συνελήφθη υπό την υπόθεση ότι υπάρχει μια αναλογία μεταξύ της μοριακής κινήσεως, η οποία διέπεται από τον νόμο του ιξώδους του Newton, και της τυρβώδους κινήσεως. Οι στρόβιλοι της τύρβης θεωρήθηκαν ότι κινούν «πακέτα» ρευστού τα οποία, όπως και τα μόρια, συγκρούονται και ανταλλάσσουν ορμή. Το μοριακό ιξώδες είναι ανάλογο προς τη μέση ταχύτητα και τον «μέσο ελεύθερο δρόμο» (mean free path) των μορίων. Αντιστοίχως, το τυρβώδες ιξώδες θεωρείται ανάλογο της χαρακτηριστικής ταχύτητας και της χαρακτηριστικής κλίμακας μήκους των μεγάλων στροβίλων. Έχει βεβαίως επισημανθεί (Rodi, 1980) ότι η αναλογία μεταξύ μοριακής και τυρβώδους κινήσεως δεν μπορεί να είναι ορθή, δεδομένου ότι αφενός οι στρόβιλοι δεν είναι άκαμπτα σώματα τα οποία διατηρούν την ταυτότητά τους και αφετέρου οι μεγάλοι στρόβιλοι, οι οποίοι είναι υπεύθυνοι για την μεταφορά της ορμής, έχουν "διαδρομές" (αντιστοίχως με τον μέσο ελεύθερο δρόμο των μορίων) που δεν είναι μικρές συγκρινόμενες με το μέγεθος του ροϊκού πεδίου, όπως προβλέπει και απαιτεί η αντίστοιχη θεωρία στο μοριακό επίπεδο. Παρ όλες όμως αυτές τις αντιρρήσεις, η ιδέα του τυρβώδους ιξώδους έχει δώσει ικανοποιητικά αποτελέσματα σε πρακτικές εφαρμογές, επειδή το ν t, όπως ορίζεται από την εξ. (2.16), μπορεί να προσδιοριστεί με ικανοποιητική ακρίβεια σε πολλές ροές. Εδώ επισημαίνεται ότι το τυρβώδες ιξώδες είναι ανάλογο της κλίμακας ταχυτήτων, στροβίλους, δηλαδή u L, και της κλίμακας μήκους, L, που χαρακτηρίζει τους μεγάλους t u L L (2.18) και ότι η κατανομή αυτών των κλιμάκων είναι αυτή η οποία μπορεί να προσεγγιστεί ικανοποιητικά σε πολλές ροές. Η μεγαλύτερη επιτυχία της ιδέας του τυρβώδους ιξώδους ήταν στην πρόβλεψη δισδιάστατων ροών τύπου οριακού στρώματος. Στην περίπτωση αυτή η διατμητική τυρβώδης τάση που ενδιαφέρει τον μελετητή είναι η (2.16) δίδει: uv και η εξ.

25 25 U t (2.19) y όπου u, v οι διακυμάνσεις της ταχύτητας κατά την x (διαμήκη) και y (εγκάρσια) διεύθυνση της ροής αντίστοιχα. Όμως, ακόμα και γι αυτή την κατηγορία σχετικά απλών ροών, η ιδέα του τυρβώδους ιξώδους είναι πιθανόν να αστοχήσει. Για παράδειγμα, σε φλέβες προσκολλημένες σε τοίχωμα ή για ασύμμετρα διατμητικά στρώματα τοιχώματος (π.χ. ροές σε ορθογωνική διατομή με διαφορετική τραχύτητα σε κάθε τοίχωμα) υπάρχουν περιοχές της ροής όπου η διατμητική τάση, και η βαθμίδα της ταχύτητας, U, έχουν αντίθετα y πρόσημα. Σύμφωνα με την εξ. (2.19), απαιτείται αρνητική τιμή του ν t σ αυτές τις περιοχές, πράγμα όμως που δεν έχει φυσική έννοια αφού οι κλίμακες ταχύτητας και μήκους των μεγάλων στροβίλων είναι πάντοτε θετικές ποσότητες. Επιπλέον, σε ροές πολυπλοκότερες από τις ροές τύπου οριακού στρώματος, περισσότερες από μια τυρβώδεις τάσεις είναι σημαντικές. Η εξ. (2.16) έχει εισάγει το t ως ένα βαθμωτό μέγεθος, δηλαδή το τυρβώδες ιξώδες είναι το ίδιο για όλες τις συνιστώσες του τανυστή των τυρβωδών τάσεων. Αυτή η υπόθεση ισότροπου t είναι περιοριστική σε πολλές πολύπλοκες ροές. Συνεπώς, διαφορετικά τυρβώδη ιξώδη εισάγονται αρκετές φορές για την περιγραφή των τυρβωδών τάσεων σε διαφορετικές διευθύνσεις. Για παράδειγμα, σε μεγάλα υδατικά σώματα, το t καθορίζεται διαφορετικά για την μεταφορά ορμής (τυρβώδεις τάσεις) στην οριζόντια και την κατακόρυφη διεύθυνση. Παρ όλους όμως τους περιορισμούς και τις αστοχίες του, η ιδέα του τυρβώδους ιξώδους χρησιμοποιείται ευρύτατα και έχει δώσει ικανοποιητικά αποτελέσματα σε πολλές πρακτικές εφαρμογές Το μοντέλο δύο εξισώσεων k ε Λόγω της δυσκολίας καθορισμού της κλίμακας μήκους L, το δημοφιλέστερο και πιο διαδεδομένο μοντέλο είναι το γνωστό μοντέλο δύο εξισώσεων k στο μοντέλο Kolmogorov-Prandtl αλλά και στη βασική ιδέα του Richardson., το οποίο βασίστηκε

26 26 Το μοντέλο Kolmogorov-Prandtl ονομάστηκε έτσι γιατι αναπτύχθηκε ανεξάρτητα από τους Kolmogorov (1942) και Prandtl (1945) και περιγράφεται από την εξής εξίσωση: t c kl (2.20) όπου c είναι μια εμπειρική σταθερά και k είναι μια κλίμακα ταχύτητας για τους μεγάλους στροβίλους με χαρακτηριστική κλίμακα μήκους L. Για την ανάλωση της τυρβώδους κινητικής ενέργειας χρησιμοποιείται η βασική ιδέα του Richardson περί κατάπτωσης της τυρβώδους κινητικής ενέργειας και το γεγονός ότι ο ρυθμός ανάλωσης προκαθορίζεται από το πρώτο βήμα της διαδικασίας, δηλαδή την μεταφορά ενέργειας από τους μεγαλύτερους στροβίλους στους επόμενους, οπότε και ε ~ u L 3 L. Βάσει των ανωτέρω η ποσότητα ε προσομοιώνεται ως: 3 2 k c D (2.21) L όπου c D είναι ένας εμπειρικός συντελεστής. δίνει: Ο συνδυασμός των εξ. (2.20) και (2.21) για την απαλοιφή της κλίμακας μήκους L 2 k t c (2.22) όπου c c cd είναι μια εμπειρική σταθερά. Δεχόμενος κάποιος την εξ. (2.22) ως την βάση για το τυρβώδες ιξώδες, διαπιστώνει αμέσως ότι προκύπτει ανάγκη για την προσομοίωση της μεταφοράς των ποσοτήτων k και. Η εξίσωση μεταφοράς για την k είναι: k t U j k x j t k (2.23) xi k xi

27 27 όπου U i U U i j t (2.24) x j x j xi Σημειωτέον ότι ο όρος στην εξ. (2.23) δεν περιγράφεται από αλγεβρική σχέση, δεδομένου ότι η προσομοίωση της μεταφοράς της αποτελεί αναπόσπαστο μέρος του μοντέλου. Η διαδικασία μοντελοποίησης για την ποσότητα απαιτεί πολλές περισσότερες παραδοχές απ ότι η αντίστοιχη διαδικασία για την k -εξίσωση. Μια αρκετά λεπτομερής παρουσίαση αυτής της διαδικασίας δίδεται από τους Bernard & Wallace (2002). Για τις ανάγκες της παρούσας ανάλυσης, δίνεται μόνο το τελικό αποτέλεσμα: U t j 2 t c 1 c 2 (2.25) x j k k xi xi Συνοψίζοντας, το μοντέλο k συμπληρώνει τις εξισώσεις RANS, εξ. (2.17), μέσω της προσομοίωσης του τυρβώδους ιξώδους από την εξ. (2.22) και τις εξισώσεις μεταφοράς για τις ποσότητες k και, δηλαδή τις εξ. (2.23), (2.24) και (2.25). Οι τιμές των εμπειρικών συντελεστών που καθορίζουν την κανονική (standard) μορφή του μοντέλου παρουσιάσθηκαν από τους Launder & Spalding (1972) και δίδονται στον πίνακα 2.1. Πίνακας 2.1 Τιμές των συντελεστών στο κανονικό k-ε μοντέλο c c 1 c 2 k Οι τιμές των συντελεστών έχουν προκύψει είτε μέσω βελτιστοποίησης των αποτελεσμάτων του μοντέλου μετά από σύγκριση με πειραματικές μετρήσεις, είτε λόγω απαίτησης συμφωνίας με πειραματικά αποτελέσματα ορισμένων απλών περιπτώσεων ροής.

28 28 Σχετικά με τον συντελεστή c, λαμβάνεται υπόψη η συμπεριφορά διατμητικών ροών, στις οποίες η τύρβη ευρίσκεται σε κατάσταση τοπικής ισορροπίας. Τότε η εξ. (2.23) δίνει: (2.26) δίνει: Για ροές τύπου οριακού στρώματος, η εξ. (2.26) σε συνδυασμό με την εξ. (2.24) 2 U t (2.27) y η οποία, σε συνδυασμό με την εξ. (2.16) και (2.22) τελικά δίνει: 2 uv c (2.28) k Σε τέτοιου τύπου ροές, πειραματικές μετρήσεις πλησίον του τοιχώματος έχουν δώσει τιμές uv k 0. 3, οπότε από την εξ. (2.28) προκύπτει η τιμή c Η τιμή του c 2 έχει βασιστεί σε πειραματικά δεδομένα για την αποδόμηση (decay) τύρβης πλέγματος, η οποία δίδει τιμές για τον c 2 στο διάστημα 1.8 έως 2.0. Τέλος, για ροές τοιχώματος και πλησίον του τοιχώματος ισχύουν τα ακόλουθα: (α) η διαμήκης ταχύτητα κατά την εγκάρσια διεύθυνση περιγράφεται από τον λογαριθμικό νόμο και η διατμητική τάση είναι περίπου σταθερή, (β) η παραγωγή τυρβώδους κινητικής ενέργειας είναι σε ισορροπία με την ανάλωση, δηλαδή δεν υπάρχει μεταγωγική ούτε διαχυτική μεταφορά k και (γ) δεν υπάρχει μεταγωγή της ανάλωσης και υπάρχει διαχυτική μεταφορά αυτής μόνο κατά την διεύθυνση εγκαρσίως του τοιχώματος. Βάση των ανωτέρω, η εξ. (2.25) τελικά δίνει: c 2 (2.29) c 1 c 2 Επομένως, η τιμή του c 1 προσδιορίζεται, αφού έχουν πρώτα προσδιοριστεί οι τιμές των c 2, και c. Σημειώνεται επίσης ότι η τιμή του c 1 στον Πιν. 2.1 αντιστοιχεί στην

29 29 τιμή για την σταθερά του von Karman. Τέλος, οι συντελεστές k και θεωρήθηκαν αρχικά ίσοι με μονάδα και στη συνέχεια τόσο αυτοί, όσο και ο συντελεστής c 2, βαθμονομήθηκαν υπολογιστικά (βελτιστοποίηση) μέσω συγκρίσεως με διάφορα πειραματικά δεδομένα για ελεύθερες διατμητικές ροές, αλλά έχουν χρησιμοποιηθεί με ακόμα μεγαλύτερη επιτυχία για ροές τοιχώματος. Ανάλυση ευαισθησίας έχει δείξει ότι τα αποτελέσματα του μοντέλου είναι περισσότερο ευαίσθητα στις τιμές των c 1 και c 2. Αξίζει να σημειωθεί ότι οι τιμές του κανονικού (standard) μοντέλου k αποτελούν έναν συμβιβασμό. Για κάθε ειδικό πρόβλημα είναι πολύ πιθανόν η ακρίβεια να μπορεί να βελτιωθεί μέσω αναπροσαρμογής των συντελεστών (π.χ. συζήτηση από Rodi, 1993 και Pope, 2000). Έχει όμως διαπιστωθεί ότι όταν k μοντέλα με αναπροσαρμοσμένους συντελεστές εφαρμόζονται σε ένα ευρύ φάσμα προβλημάτων, τότε τα αποτελέσματά τους είναι κατώτερα των αποτελεσμάτων του κανονικού μοντέλου Άλλα μοντέλα κλεισίματος της τύρβης Όπως επισημάνθηκε και παραπάνω, η ιδέα του τυρβώδους ιξώδους αστοχεί σε πολλές περιπτώσεις τυρβωδών ροών, αστοχία η οποία δεν οφείλεται μόνο στην πιθανή κακή επιλογή του t, αλλά κυρίως γιατί η όλη ιδέα είναι ακατάλληλη καμία τιμή του t δεν θα αποδώσει ικανοποιητικά αποτελέσματα. Αυτό είχε ως αποτέλεσμα να οδηγηθούν διάφοροι ερευνητές στην προσπάθεια ανάπτυξης μοντέλων κλεισίματος της τύρβης, τα οποία δεν θα στηρίζονται στην εξ. (2.16). Υπάρχουν τρεις βασικοί άξονες για την βελτίωση της ικανότητάς μας να προβλέψουμε τις τυρβώδεις τάσεις, πέραν της εξ. (2.16). Ένας είναι να αναζητήσουμε εναλλακτικές σχέσεις, οι οποίες προσομοιώνουν καλύτερα την πραγματική μηχανική συμπεριφορά της τυρβώδους μεταφοράς. Σ αυτήν την περίπτωση δίδεται ιδιαίτερη προσοχή στην κατανόηση των φυσικών μηχανισμών που διέπουν την τυρβώδη μεταφορά και στην επινόηση καταστατικών σχέσεων οι οποίες απεικονίζουν αυτή την κατανόηση. Αυτού του τύπου τα μοντέλα προσπαθούν να γενικεύσουν την γραμμική σχέση μεταξύ τάσεων και ρυθμού παραμορφώσεων και να συμπεριλάβουν μη γραμμικά φαινόμενα και είναι γνωστά ως μοντέλα μη γραμμικού τυρβώδους ιξώδους (non linear eddy viscosity models).

30 30 Ο δεύτερος άξονας είναι να προσδιοριστούν οι τυρβώδεις τάσεις (τάσεις Reynolds) από την λύση διαφορικών εξισώσεως που διέπουν τις τάσεις αυτές. Κάτι τέτοιο απαιτεί την προσομοίωση των φυσικών μηχανισμών που καθορίζουν την διατήρηση αυτών των τάσεων. Στενά συνδεδεμένη με τα δύο προηγούμενα, είναι μια τρίτη προσέγγιση όπου όροι βαθμίδων (gradient terms) στις διαφορικές εξισώσεις για τις τάσεις Reynolds, απαλείφονται από προσεγγίσεις (αλγεβρικά μοντέλα), οι οποίες μετατρέπουν τις διαφορικές εξισώσεις σε αλγεβρικές εκφράσεις. Τα μοντέλα που προκύπτουν κατ αυτόν τον τρόπο ονομάζονται και μοντέλα αλγεβρικών τάσεων Reynolds. Όλα τα παραπάνω δεν θα αναπτυχθούν περαιτέρω. Για περισσότερες λεπτομέρειες μπορεί κανείς να αναζητήσει πληροφορίες σε συγγραφείς όπως οι Rodi (1993), Fischer (1979) καθώς και άλλες κλασικές εργασίες σχετιζόμενες με μοντέλα κλεισίματος της τύρβης.

31 31 3. ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΡΥΠΩΝ 3.1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Κατά τη μελέτη της μεταφοράς ρύπων μέσω υδατικών συστημάτων προτείνονται διάφορες εξιδανικεύσεις για την περιγραφή του φαινομένου. Το πρόβλημα της μεταφοράς ρύπων είναι άμεσα συνδεδεμένο με τα χαρακτηριστικά των υδατικών συστημάτων συνεπώς οι μέθοδοι αντιμετώπισής του ξεκινούν από μια υπόθεση για τα υδραυλικά χαρακτηριστικά του συστήματος. Αναλόγως με τα χαρακτηριστικά αυτά τα μοντέλα κατατάσσονται στις εξής τρείς κατηγορίες: Μοντέλα Πλήρους Αναμίξεως Μοντέλα Ροής Εμβόλου Μοντέλα Μερικής Αναμίξεως Στα μοντέλα πλήρους αναμίξεως θεωρείται ότι ο ρύπος εισερχόμενος στο σύστημα αναμιγνύεται στιγμιαίως σε όλο τον όγκο του συστήματος, έτσι ώστε η συγκέντρωση εκροής να είναι ίση με τη συγκέντρωση εντός του όγκου του συστήματος. Τα μοντέλα αυτά χρησιμοποιούνται, όταν αυτό είναι επιτρεπτό από τις συνθήκες του προβλήματος, στη μελέτη λιμνών και ταμιευτήρων με συνεχή φορτία εισόδου και εξόδου. Στα μοντέλα ροής εμβόλου θεωρείται ότι δεν υπάρχει καθόλου ανάμιξη και ότι ο ρύπος μετακινείται μέσω του συστήματος με τη μέση ταχύτητα της ροής. Τα μοντέλα αυτά χρησιμοποιούνται σε ορισμένες μόνο περιπτώσεις ροής ποταμών κι υδατορρευμάτων. Τα παραπάνω μοντέλα αποτελούν εξιδανικεύσεις της πραγματικής διαδικασίας μεταφοράς ρύπου σε συστήματα με ροή, όπου στην πραγματικότητα συνυπάρχει η διαδικασία της αναμίξεως με τη μεταγωγή του ρύπου λόγω της μέσης ταχύτητας (μοντέλα μερικής αναμίξεως). Στην παρούσα εργασία δίνεται έμφαση στο μοντέλο μερικής αναμίξεως, σύμφωνα με το οποίο γίνεται και η επίλυση του φυσικού προβλήματος και το οποίο θα αναλυθεί εκτενώς παρακάτω. Κατά τη μεταφορά ρύπου εντός υδατικού συστήματος είναι δυνατόν μέρος της μάζας του ρύπου να «απωλεσθεί» λόγων χημικών, βιολογικών ή άλλων διεργασιών. Όταν αυτό συμβαίνει ο ρύπος ονομάζεται μη-διατηρητικός (non-conservative). Στην αντίθετη περίπτωση ο ρύπος ονομάζεται διατηρητικός (conservative). Η παρούσα εργασία πραγματεύεται την μεταφορά διατηρητικού ρύπου.

32 ΜΟΝΤΕΛΟ ΜΕΡΙΚΗΣ ΑΝΑΜΙΞΕΩΣ Γενικά Η διαδικασία μεταφοράς ρύπων σε ένα φυσικό σύστημα είναι αρκετά πολύπλοκη και καθορίζεται από μια σειρά μηχανισμών, οι οποίοι δρουν σωρευτικά επί του συστήματος. Οι κύριοι μηχανισμοί οι οποίοι καθορίζουν την μεταφορά ενός ρύπου είναι η μοριακή διάχυση, η μεταγωγή λόγω ταχύτητας, η δράση της τύρβης και η διατμητική διασπορά. Αναλόγως της φύσεως του προβλήματος, ένας ή περισσότεροι από τους παραπάνω μηχανισμούς μπορεί να είναι είτε σημαντικοί είτε αμελητέοι Μοριακή Διάχυση Η ανηγμένη ροή μάζας (ανά μονάδα επιφανείας) είναι ανάλογη της βαθμίδας συγκέντρωσης σύμφωνα με τον νόμο του Fick. Η γενίκευση του νόμου αυτού δίνεται από τον παρακάτω τύπο: q i c D x i (3.1) όπου D ο συντελεστής μοριακής διάχυσης (L 2 /T) και το αρνητικό πρόσημο υποδηλώνει ότι η ροή μάζας λαμβάνει χώρα από περιοχές υψηλής συγκέντρωσης σε περιοχές χαμηλής συγκέντρωσης. Αρχή διατήρησης της μάζας επί του στοιχειώδους όγκου ελέγχου δίδει: c q i t x i 0 (3.2) διαχύσεως: Ο συνδυασμός των εξ. (3.1) και (3.2) δίδει την γενική μορφή της εξίσωσης c c D t xi xi (3.3)

33 Μεταγωγή και Διάχυση Όταν η μοριακή διάχυση λαμβάνει χώρα εντός υγρού στο οποίο υπάρχει στρωτή ροή ταχύτητας u, τότε η συνολική παροχή μάζας μέσω μοναδιαίας επιφάνειας είναι το συνδυασμένο αποτέλεσμα της μεταγωγής, δηλαδή της μεταφοράς μάζας λόγω της ταχύτητας, καθώς και της διαχύσεως. c qi uic D x i (3.4) διάχυσης: Αντικαθιστώντας την εξ. (3.4) στην εξ. (3.2) προκύπτει η εξίσωση μεταγωγής c c uic D t xi xi xi (3.5) Κάνοντας χρήση τη εξίσωσης συνέχειας του υγρού εξ. (2.1) η παραπάνω εξίσωση γράφεται εναλλακτικά στη μορφή: c c c ui D t xi xi xi (3.6) Τυρβώδης Διάχυση Η επίπτωση της τύρβης στην διαδικασία μεταφοράς μάζας μπορεί να εξετασθεί μέσω της εξισώσεως μεταγωγής διαχύσεως, (εξ. 3.5), αν αναγνωριστεί ότι σε ένα τυρβώδες ροϊκό πεδίο οι ποσότητες u i και c παριστούν τις στιγμιαίες τιμές των ταχυτήτων και της συγκεντρώσεως. Οι στιγμιαίες τιμές μπορούν να αναλυθούν στις μέσες (ως προς το χρόνο) και τις κυμαινόμενες (λόγω τύρβης) συνιστώσες τους: ui Ui u i (3.7α) c C c (3.7β)

34 34 Συνδυάζοντας τις εξ. (3.5), (3.7α) και (3.7β) και λαμβάνοντας τις μέσες (ως προς το χρόνο) τιμές των όρων της προκύπτουσας εξίσωσης έχουμε τελικώς: C C UiC D u ic t xi xi xi (3.8) τους όρους Είναι προφανές ότι η διαδικασία αυτή εισάγει στην εξίσωση μεταγωγής διάχυσης uc i, οι οποίοι αντιπροσωπεύουν την επίδραση της τύρβης στην μεταφορά μάζας και ονομάζονται όροι τυρβώδους διαχύσεως. Κατ αντιστοιχία προς το μοντέλο Boussinesq για τις τυρβώδεις διατμητικές τάσεις και κατ αναλογία προς το νόμο του Fick οι όροι αυτοί εκφράζονται μέσω της σχέσεως: C uc i ti x i (3.9) όπου ti ο συντελεστής τυρβώδους διαχύσεως της μάζας. Λόγω της αναλογίας μεταξύ t και t, οι παράμετροι αυτές συνδέονται μέσω του αριθμού Schmidt: t t (3.10) t Για ροές τύπου οριακού στρώματος επί αδιαπέρατου ορίου (όπως οι ροές εντός υδατορρευμάτων) ο αριθμός Schmidt λαμβάνει τιμές πλησίον της μονάδας (0,9~1). Η προσομοίωση των όρων τυρβώδους διαχύσεως μέσω της εξ. (3.9) μπορεί να γίνει μόνο όταν ένα χρονικό διάστημα (ή ένα μήκος μετακίνησης) έχει παρέλθει από τη στιγμή (η από το σημείο) της εισαγωγής του ρύπου. Το χρονικό αυτό διάστημα (ή το μήκος μετακίνησης) ορίζεται ως (ή l ) και ονομάζεται χρονική κλίμακα (ή κλίμακα μήκους) κατά Lagrange. Ο συντελεστής τυρβώδους διαχύσεως ορίζεται τότε ως: 2 2 1/2 t U T U l (3.11)

35 35 όπου 2 1/2 U ένα μέτρο έντασης της τύρβης. Επειδή η τυρβώδης διάχυση είναι σημαντικά υψηλότερη από τη μοριακή διάχυση, η δεύτερη συνήθως παραλείπεται σε πρόβλημα μεταφοράς μάζας εντός τυρβώδους ροϊκού πεδίου. Έτσι η εξίσωση μεταγωγής διάχυσης γράφεται: C C UC i ti t xi xi xi (3.12) Διασπορά Στρωτή Ροή Στην παρούσα ανάλυση θα χρησιμοποιηθεί μια στρωτή δισδιάστατη ροή. Για μια εγκάρσια κατανομή της διαμήκους ταχύτητας uy, ( ) η μέση χωρικώς ταχύτητα δίνεται από την παρακάτω σχέση: 1 u udy (3.13) h και η απόκλιση της ταχύτητας από τη μέση τιμή είναι: u( y) u( y) u (3.14) Αν το ρευστό μεταφέρει ρύπο με συγκέντρωση c η οποία έχει μέση τιμή: 1 h c cdy h (3.15) 0 και απόκλιση: c( y) c( y) c (3.16)

36 36 τότε η εξίσωση μεταφοράς μάζας θα είναι: c c u u c c D c c 2 2 c 2 2 t x x y (3.17) 2 c Ας σημειωθεί ότι ο όρος είναι μηδέν αφού η μέση συγκέντρωση c είναι σταθερή 2 y κατά τη διεύθυνση y. Σε αυτό το σημείο γίνεται εισαγωγή νέων ανεξάρτητων μεταβλητών: x ut και t (3.18) Με εφαρμογή του κανόνα της εσωτερικής παραγώγισης εξάγεται η εξής λύση: c c u c c D c c 2 2 c 2 2 y (3.19) Σε αυτό το σημείο γίνεται η υπόθεση ότι ο ρυθμός διαμήκους εξαπλώσεως του ρύπου λόγω εγκάρσιας μεταβολής της ταχύτητας είναι πολύ υψηλότερος από τη μοριακή διάχυση, δηλαδή: 2 2 c u c c D c c 2 2 y (3.20) Σύμφωνα με αυτή την υπόθεση η εξ. (3.19) γίνεται: 2 c c c u c c D y 2 (3.21) Εφαρμογή του τελεστή h dy / h στην παραπάνω εξίσωση δίδει τελικώς: 0 c c u 0 t (3.22)

37 37 Αφαίρεση της εξ. (3.22) από την (3.21) δίδει: 2 c c c c c u u u D y 2 (3.23) Εφόσον τώρα οι c και c μεταβάλλονται σε πολύ αργούς ρυθμούς και c c, τότε ο τρίτος και τέταρτος όρος της εξ. (3.23) περίπου αλληλοαναιρούνται. Έτσι η εξ. (3.23) γίνεται: 2 c c c D u 2 y (3.24) Η εξ. (3.24) είναι μια εξίσωση διαχύσεως με έναν όρο πηγής, c u, μεταβλητής εντάσεως. Η καθαρή προσθήκη, κατά την εγκάρσια διεύθυνση, του όρου πηγής είναι μηδενική, αφού u 0. Αν επιπλέον το c παραμένει σταθερό για μεγάλο χρονικό διάστημα, ώστε η πηγή να είναι σταθερά, τότε αποκαθίστανται συνθήκες μόνιμης μεταφοράς μάζας και η εξ. (3.24) γίνεται: 2 c c u D y 2 (3.25) Τυρβώδης Ροή Τώρα ο συντελεστής μοριακής διαχύσεως στην εξ. (3.25) αντικαθίστανται από τον μεταβλητό συντελεστή τυρβώδους διαχύσεως ( y) και προκύπτει: c c u ( y) y y (3.26)

38 38 οπότε ο συντελεστής τυρβώδους διασποράς εκφράζεται ως: h y t 1 1 DL u udydydy h ( y) u (3.27) Η θεωρία του Taylor εφαρμόστηκε από τον Elder (1959) για ροή ελεύθερης επιφάνειας επί κεκλιμένου επιπέδου πολύ μεγάλου πλάτους. Ο Elder χρησιμοποίησε το λογαριθμικό προφίλ της ταχύτητας το οποίο για τη συνιστώσα u γράφεται: u 1 1 ln y (3.28) u y όπου κ η σταθερά του von Karman και y όπου d το βάθος ομοιόμορφης ροής. d Ισορροπία δυνάμεων επί στοιχειώδους όγκου ελέγχου δίδει τελικώς οτι η διατμητική τάση, τ, είναι γραμμική συνάρτηση της διατμητικής τάσης στο στερεό όριο, τ ο, δηλαδή: 1 y (3.29) 0 Χρησιμοποιώντας την υπόθεση Boussinesq και υποθέτοντας ότι οι συντελεστές τυρβώδους ιξώδους και τυρβώδους διαχύσεως είναι ίσοι, ο Elder έγραψε: du (3.30) dy Σημειώνεται ότι η υπόθεση του Elder συμφωνεί με την τιμή του αριθμού Schmidt ( t 1), για ροές επί αδιαπέρατου ορίου. Συνδυάζοντας τις εξ. (3.28) και (3.30) και ολοκληρώνοντας προκύπτει: ( y) y 1 y du (3.31)

39 39 0 Υπενθυμίζεται ότι u. Συνδυασμός των εξ. (3.27), (3.28), και (3.31) τελικώς δίδει: t DL du 3 (3.32) και για κ=0.41προκύπτει t DL 5.93du (3.33)

40 40 4. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Στην παρούσα εργασία μελετήθηκε το πρόβλημα μεταφοράς διατηρητικού ρύπου, σαν αποτέλεσμα συνεχούς αλλά και στιγμιαίας εγχύσεως, υπό μόνιμη τυρβώδη ροή μέσα σε δισδιάστατο κανάλι επίπεδου υπό κλίση πυθμένα. Εξετάστηκε η περίπτωση ανοικτού αγωγού μήκους L 200m, βάθους ροής d 1m και οριζόντιας κλίσης πυθμένα S Το πλάτος του αγωγού θεωρείται αρκετά μεγάλο σε σχέση με το βάθος ροής, έτσι ώστε η τύρβη να επιδεικνύει δισδιάστατη συμπεριφορά και το πρόβλημα να μπορεί να αντιμετωπιστεί ως δύο διαστάσεων. 4.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΤΗΣ ΡΟΗΣ Για τον ορισμό των παραμέτρων της τυρβώδους ροής χρησιμοποιήθηκε η μονοδιάστατη ανάλυση. Θεωρούμε ότι ο αγωγός έχει ήπια κλίση πυθμένα, και ότι η ροή στον αγωγό είναι υποκρίσιμη. Σύμφωνα με το πρόβλημα, η διατομή του αγωγού παραμένει σταθερή καθώς και η κλίση του πυθμένα του. Υπενθυμίζεται ότι το βάθος ομοιόμορφης ροής, δηλαδή το κανονικό βάθος d, υπολογίζεται από την εξίσωση Manning: 1 2/3 1/2 U R S0 (4.1) n όπου, S 0 η κλίση του αγωγού, R η υδραυλική ακτίνα και n ο συντελεστής τραχύτητας κατά Manning. Η υδραυλική ακτίνα ισούται με το βάθος ροής d εφόσον θεωρούμε μοναδιαίο το πλάτος του αγωγού για τη διευκόλυνση της ανάλυσης. Με U ορίζεται η μέση ταχύτητα στον αγωγό. Επιλέγουμε βάθος ροής d 1m, αριθμό Froude Fr 0.3 έτσι ώστε η ροή να διατηρείται υποκρίσιμη και συντελεστή Manning n Με βάση την έκφραση του αριθμού Froude και επιλύοντας ως προς την μέση ταχύτητα U έχουμε: U Fr gd * m / s (4.2) water Αυτή αποτελεί την ταχύτητα εισόδου του νερού στο κανάλι. Για τον καθορισμό των οριακών συνθηκών του προβλήματος, θεωρήσαμε στην είσοδο του καναλιού για την

41 41 ταχύτητα του νερού ότι αυτή διατηρείται σταθερή (τύπου Diriclet) και έχει ομοιόμορφη κατανομή (velocity inlet). Η ταχύτητα του αέρα θεωρήσαμε ότι ισούται με το 10% της ταχύτητας του νερού, δηλαδή: U 10% U m / s (4.3) air water Σημειώνεται ότι η ταχύτητα του αέρα χρησιμοποιείται ως μέρος της επίλυσης με τη μέθοδο VOF, η οποία εξηγήθηκε στην ενότητα Γνωρίζοντας την τιμή του συντελεστή Manning και του αριθμού Froude, μπορούμε να υπολογίσουμε την κλίση του αγωγού, έτσι ώστε η ροή να διατηρείται υποκρίσιμη. Συνδυασμός των εξ. (4.1) και (4.2) και λαμβάνοντας υπ όψιν ότι Rd 1, προκύπτει: 1 1/2 Fr g S0 S (4.4) n Με βάση αυτή την κλίση οι τιμές της επιτάχυνσης της βαρύτητας κατά τους άξονες x,y αντίστοιχα έχουν ως εξής: gx m / s, g y m / s 2 (4.5) Το αρνητικό πρόσημο στη συνιστώσα g y υποδηλώνει τη θετική διεύθυνση του κατακόρυφου άξονα προς τα επάνω. Με βάση τα παραπάνω μπορεί να υπολογιστεί ο αριθμός Reynolds ως εξής: U4R 4Fr g Re (4.6) Για τον υπολογισμό του ισοδυνάμου ύψους τραχύτητας εξίσωση των Colebrook-White και εφαρμόζεται η παρακάτω διαδικασία: k s, χρησιμοποιείται η 1 k 2.5 2log s f 12 d Re f (4.7)

42 42 όπου f είναι ο συντελεστής τριβής που υπολογίζεται από την παρακάτω εξίσωση: 2 n n 8g f 8g f 1/3 1/3 d d (4.8) Συνδυάζοντας τις εξ. (4.1) και (4.2) ο αριθμός Froude μπορεί να εκφραστεί από την παρακάτω εξίσωση: S 0 1/6 U d Fr gd n g (4.9) Με βάση τις εξ. (4.8) και (4.9) προκύπτει: f 8S 0 Fr (4.10) Από τις εξ. (4.7) και (4.10) η εξίσωση των Colebrook-White μπορεί να εκφραστεί ως εξής: ks d Fr 4 2S0 15Fr 1210 (4.11) Re 2S 0 Αντικαθιστώντας στην παραπάνω εξ. (4.11) την έκφραση (4.6) και θεωρώντας ως βάθος ροής d 1m λαμβάνουμε για το ύψος τραχύτητας την παρακάτω εξίσωση: k s d Fr 4 2S (4.12) 2gS 0 ks Από την παραπάνω εξίσωση υπολογίζεται το ισοδύναμο ύψος τραχύτητας 0.018m. Επίσης όσον αφορά την τυρβώδη κινητική ενέργεια του νερού υπολογίστηκε ως ένα μικρό ποσοστό της χρησιμοποιούμενης μέσης ταχύτητας U : water ( ) / k IU m s (4.13) water

43 43 και του αέρα ως: air ( ) / k IU m s air (4.14) όπου I η ένταση της τύρβης η οποία θεωρείται ότι έχει τιμή της τάξεως του 3%, όπως αυτό προτείνεται στην εργασία των Rameshwaran & Naden (2004). Όσον αφορά τον ρυθμό ανάλωσης της τυρβώδους κινητικής ενέργειας του νερού υπολογίστηκε ως εξής: water kwater ( ) (0.09) / c m s 0.1d 0.11 (4.15) και του αέρα ως εξής: air kair ( ) (0.09) / c m s 0.1d 0.11 (4.16) Με βάση τη μονοδιάστατη ανάλυση υπολογίστηκε η διατμητική τάση ως: w gds Pa (4.17) Τότε η διατμητική ταχύτητα (ταχύτητα τριβής) στον πυθμένα του αγωγού υπολογίζεται από την παρακάτω εξίσωση: U * w m / s (4.18) όπου η πυκονότητα του νερού η οποία ελήφθη ίση με kg/m 3 Όσον αφορά την μέγιστη τιμή του τυρβώδους ιξώδους, αυτή παρατηρείται στο μέσον του βάθους ροής για επίπεδο πυθμένα (Nezu & Nakagawa, 1993). Η παρακάτω εξίσωση δίνει την κατανομή του τυρβώδους ιξώδους: y y t Ud d d 1 (4.19)

44 44 y οπότε για 0.5 προκύπτει η μέγιστη τιμή του τυρβώδους ιξώδους: d 2 t m / s (4.20) max και για το δυναμικό ιξώδες προκύπτει: t kg s (4.21) m max t 6.04 max Επειδή στο πρόβλημα θεωρούμε ότι η ροή είναι πλήρως ανεπτυγμένη, δίνουμε στον αγωγό αρκετά μεγάλο μήκος έτσι ώστε να είμαστε σίγουροι ότι αποκαθίσταται πλήρως η ροή. Για να έχουμε ένα μέτρο του μήκους εισόδου (entrance length) που απαιτείται, χρησιμοποιούμε από την μονοδιάστατη ανάλυση την έκφραση που μας δίδει την απόσταση από την είσοδο του αγωγού συναρτήσει του πάχους του οριακού στρώματος. Η ταχύτητα στην είσοδο του αγωγού υποθέτουμε ότι παρουσιάζει ομοιόμορφη κατανομή Ux x 1/5 (4.22) Κάνοντας χρήση της παραπάνω εξίσωσης και θεωρώντας ως τελικό πάχος του οριακού στρώματος στην κατάσταση της πλήρους ανάπτυξης της ροής d 1m, υπολογίζουμε το μήκος εισόδου που απαιτείται: xl ό /4 Re 1/4 (4.23) Προκύπτει έτσι τιμή του μήκους εισόδου l 101.5m. Ωστόσο, η τιμή αυτή ό ισχύει για την περίπτωση όπου ο πυθμένας του αγωγού είναι λείος. Στον αγωγό τον οποίο εξετάζουμε θεωρούμε ότι υπάρχει τραχύτητα. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα το μήκος εισόδου στον αγωγό να είναι αρκετά μικρότερο σε σχέση με την υπολογισθείσα τιμή, αφού έχουμε ανάπτυξη τυρβώδους οριακού στρώματος σχεδόν αμέσως, από την είσοδο του αγωγού. Για λόγους ασφαλείας επιλέγουμε μήκος αγωγού 200 m, ώστε να μπορούμε να μελετήσουμε την ροή στην πλήρως ανεπτυγμένη περιοχή.

45 45 Παράλληλα θεωρούμε βάθος ροής d 1m. Επειδή όμως πρόκειται να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος VOF για την πρόβλεψη της ελεύθερης επιφάνειας, πάνω από το σώμα του νερού θεωρούμε μια ζώνη αέρα μέσα στην οποία θα μπορεί να διαμορφώνεται ελεύθερα η ελεύθερη επιφάνεια. Λόγω της διαφοράς που παρουσιάζει το ιξώδες του αέρα με εκείνο του νερού (περίπου 50 φορές μικρότερο), αναμένεται στην διεπιφάνεια νερούαέρα να δημιουργηθούν διατμητικές τάσεις. Η ελεύθερη επιφάνεια του νερού θα παρασύρει τον αέρα, εφόσον στην ελεύθερη επιφάνεια θα πρέπει να έχουν κοινή ταχύτητα, με αποτέλεσμα ο αέρας να δημιουργεί ένα εκθετικό προφίλ ταχύτητας που θα καταλήγει μειούμενο στο πάνω όριό του. Προκειμένου το πάχος του αέρα να είναι αρκετό για την ανάπτυξη προφίλ ταχύτητας, θεωρούμε ζώνη αέρα με πάχος 4 φορές το βάθος του νερού. Με βάση τα παραπάνω, διαμορφώνεται και το υπολογιστικό πεδίο που θα χρησιμοποιηθεί για την ανάλυση της ροής με την μέθοδο VOF, αποτελούμενο από ύψος ίσο με 5d και μήκος 200d. Η περιοχή αυτή θα διακριτοποιηθεί με μεγάλο αριθμό όγκων ελέγχου (υπολογιστικά κελιά) στα οποία θα επιλυθούν στην συνέχεια οι εξισώσεις που διέπουν την ροή (κοινές για νερό και αέρα). 4.2 ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΤΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΡΥΠΟΥ Ο ρύπος που εξετάζεται όπως έχει ήδη αναφερθεί είναι διατηρητικός και έχει πυκνότητα ίδια με το νερό. Η έγχυση του στο κανάλι γίνεται υπό συνθήκες μηδενικής αρχικής ορμής και από γραμμική πηγή σταθερού μήκους (ύψους), η οποία τοποθετείται κάθε φορά σε διαφορετική θέση κατά το βάθος Συνεχής Έγχυση Στην περίπτωση συνεχούς έγχυσης, για την υπολογιστική επίλυση του προβλήματος, η παράμετρος που μας ενδιαφέρει, σύμφωνα με τις απαιτήσεις του κώδικα επίλυσης FLUENT, είναι η παροχή μάζας ρύπου ανά όγκο. Αυτή λαμβάνεται ίση με: M 0.01 kg (4.24) 3 ms Συνεπώς η συνολική παροχή μάζας ρύπου προκύπτει:

46 46 M tot M V (4.25) CZ όπου V CZ ο όγκος της ζώνης από την οποία εξέρχεται η μάζα του ρύπου και ο οποίος υπολογίζεται σύμφωνα με τη σχέση: V 2x h b (4.26) CZ όπου b το πλάτος του αγωγού, το οποίο θα θεωρηθεί μονάδα προκειμένου να εξεταστεί το πρόβλημα στις δύο διαστάσεις, h το ύψος της γραμμικής πηγής το οποίο είναι σε κάθε περίπτωση h 0.25m ασχέτως της κατακόρυφης θέσεως στην οποία είναι τοποθετημένη η πηγή και x η διακριτοποίηση του κανάβου κατά x η οποία ισούται με x 0.1m. Σύμφωνα με τα παραπάνω ο όγκος της ζώνης απελευθέρωσης του ρύπου ισούται με: VCZ m (4.27) Συνδυάζοντας τις εξ. (4.24), (4.25) και (4.27) προκύπτει συνολική παροχή μάζας: M tot kg s (4.28) Η αναλυτική λύση σύμφωνα με την οποία γίνεται η σύγκριση της αριθμητικής λύσης λαμβάνεται από τους Elhadi et al. (1984) για δισδιάστατη μίξη και παρουσιάζεται παρακάτω: r r erf erf C C 2r x 2m r 2m r 2m r 2m r erf erf erf erf m (4.29) όπου r είναι το αδιαστατοποιημένο με το βάθος ροής, ύψος της ζώνης του ρύπου, μια αδιαστατοποιημένη με το βάθος ροής, τυχαία κατακόρυφη απόσταση από τον πυθμένα και πιο συγκεκριμένα για το παρόν πρόβλημα από τον πυθμένα, μια αδιάστατη διαμήκης απόσταση που δείχνει πόσο μακριά είναι η συγκέντρωση του ρύπου από τη ζώνη έγχυσης,

47 47 C η συγκέντρωση του ρύπου κατάντη όταν έχει επέλθει πλήρης μίξη και C η συγκέντρωση του ρύπου σε κάποια τυχαία διατομή. Η εξ. (4.29) αποτελεί λύση της διαφορικής εξίσωσης (4) του Παραρτήματος Α και αφορά γραμμική πηγή η οποία εκκινεί από τον πυθμένα και περατώνεται σε κάποιο τυχαίο βάθος y. Όλες οι παραπάνω μεταβλητές παρουσιάζονται αναλυτικά παρακάτω: r q Uhb h Q Udb d c r (4.30) όπου q c η σωρευτική παροχή του ύδατος, Q η συνολική παροχή του υδατορεύματος Q U d b και U η μέση ταχύτητα του υδατορεύματος όπως αυτή προέκυψε από την εξ. (4.33). q Uyb y Q Udb d c (4.31) όπου y τυχαία κατακόρυφη απόσταση και λαμβάνει τιμές 0 y d. Συνεπώς 0 1 με 0 να θεωρείται η απόσταση ακριβώς στον πυθμένα Ub mxety x 2Ub mxety x 2b mxety x (4.32) Q U d Ud όπου m x συντελεστής ο οποίος προσδιορίζεται βάσει των καμπυλώσεων ενός φυσικού υδατορεύματος, e ty η μέση τιμή του συντελεστή τυρβώδους διάχυσης και x η διαμήκης απόσταση από το σημείο έγχυσης. Για την περίπτωση που εξετάζεται στην παρούσα εργασία ο συντελεστής ευθύγραμμος. m x λαμβάνεται ίσος με τη μονάδα μιας και ο αγωγός είναι Σε αυτό το σημείο πρέπει να αναφερθεί ότι λόγω της επίλυσης του προβλήματος με τη μέθοδο VOF η ελεύθερη επιφάνεια κατάντη υπερυψώθηκε με αποτέλεσμα να αυξηθεί το βάθος ροής κατά 35%. Αυτό συνεπάγεται ότι όλοι οι υπολογισμοί της αναλυτικής λύσης προσαρμόστηκαν στην καινούρια πλέον τιμή βάθους ροής d 1.35m.

48 48 Η μέση τιμή της ταχύτητας του υδατορεύματος προέκυψε από την ολοκλήρωση του προφίλ της διαμήκους ταχύτητας της αριθμητικής επίλυσης ως προς το νέο βάθος ροής και υπολογίστηκε ως εξής: U m udy 0.69 (4.33) s 0 Επίσης η μέση τιμή του συντελεστή τυρβώδους διάχυσης προέκυψε από την ολοκλήρωση ως προς το νέο βάθος ροής του προφίλ του τυρβώδους ιξώδους της αριθμητικής επίλυσης και υπολογίστηκε ως εξής: 1 t kg tdy 4.56 (4.34) ms m s 2 t 3 t (4.35) προκύπτει: Σύμφωνα με την εξ. (3.10), όμως, και για αριθμό Schmidt ίσο με τη μονάδα m s 2 3 t et (4.36) Όσον αφορά την συγκέντρωση του ρύπου στην κατάσταση πλήρους μίξεως δίνεται από τη σχέση: M tot C Q (4.37) Συνδυάζοντας τις εξ. (4.28) και (4.37) λαμβάνεται τιμή συγκέντρωσης στην κατάσταση πλήρους μίξεως ίση με : C kg 3 m (4.38)

49 49 Για λόγους παρουσίασης των αποτελεσμάτων όμως, χρειάστηκε να μετατραπούν οι συγκεντρώσεις σε κλάσματα μάζας ρύπου. Αυτό έγινε με την παρακάτω διαδικασία: mf m m C m V p p (4.39) w w w w όπου το mf το κλάσμα μάζας ρύπου (mass fraction), m p η μάζα του ρύπου και μάζα του νερού. Επειδή υπάρχει όμως αναλογία με την κατάσταση πλήρους μίξεως: m w η C mf (4.40) w Συνεπώς η εξ. (4.29) μετατρέπεται ως εξής: r r erf erf mf C mf C 2r x 2m r 2m r 2m r 2m r erf erf erf erf m (4.41) Και τελικά λύνοντας και ως προς mf λαμβάνεται: mf r r erf erf mf 2 2 2r x 2m r 2m r 2m r 2m r erf erf erf erf m (4.42) Αυτή είναι η εξίσωση που χρησιμοποιείται τελικά στην αναλυτική λύση προκειμένου να συγκριθούν τα αποτελέσματα με την αριθμητική λύση. Για την επίλυση της συγκεκριμένης εξίσωσης προγραμματίστηκε κώδικας με τη βοήθεια της FORTRAN ο οποίος παρουσιάζεται αναλυτικά στο Παράρτημα Β. Λόγω της γραμμικότητας της εξίσωσης, η λύση για γραμμική πηγή που βρίσκεται σε οποιαδήποτε θέση κατά το βάθος μπορεί να προκύψει από το γραμμικό συνδυασμό λύσεων της μορφής της εξίσωσης (4.42).

50 Στιγμιαία Έγχυση Στην περίπτωση στιγμιαίας έγχυσης η παράμετρος που μας ενδιαφέρει, σύμφωνα με τις απαιτήσεις του κώδικα επίλυσης FLUENT, είναι το αδιάστατο κλάσμα της μάζας ρύπου το οποίο απορρίπτεται ακαριαία στην ζώνη του ρύπου. Η τιμή αυτή λαμβάνεται ίση με mfinst 0.2 και χρησιμοποιείται στην υπολογιστική επίλυση του προβλήματος. Η αναλυτική λύση σύμφωνα με την οποία γίνεται η σύγκριση της αριθμητικής λύσης λαμβάνεται και πάλι από τους Elhadi et al. (1984) για μονοδιάστατη μίξη (γραμμική πηγή καθ όλο το βάθος) και παρουσιάζεται παρακάτω: M C 2A Dt exp x Ut 2 4Dt (4.43) όπου M η συνολική μάζα του ρύπου, A το εμβαδό της διατομής από το οποίο εξέρχεται η μάζα του ρύπου, x η διαμήκης απόσταση από το σημείο έγχυσης, U η μέση ταχύτητα υδατορρεύματος, t το χρονικό διάστημα εξάπλωσης του ρύπου και D ο συντελεστής διαμήκους διασποράς ο οποίος δίνεται από τον παρακάτω τύπο: D 5.93dU (4.44) Η εξίσωση (4.43) αφορά γραμμική πηγή η οποία καταλαμβάνει όλο το βάθος ροής. Για λόγους παρουσίασης των αποτελεσμάτων όμως, χρειάστηκε να μετατραπούν και πάλι οι συγκεντρώσεις σε κλάσματα μάζας ρύπου. Αυτό έγινε με την παρακάτω διαδικασία: C M mf C mf mf inst inst inst w inst w inst w VCZ M mf V w inst CZ (4.45) Υπάρχει όμως αναλογία του κλάσματος μάζας ρύπου κατά τη χρονική στιγμή t=0s, που γίνεται ακαριαία η απόρριψη, με το κλάσμα της μάζας ρύπου την τυχαία χρονική στιγμή: C mf C mf (4.46) inst w inst w

51 51 Συνδυάζοντας την εξ. (4.45) και (4.46) με την (4.43) προκύπτει η εξίσωση που χρησιμοποιήθηκε τελικά στην αναλυτική λύση προκειμένου να συγκριθούν τα αποτελέσματα με την αριθμητική λύση: 2 mfinstv x Ut CZ mf ( x, y) exp 2A Dt 4Dt (4.47) Για την επίλυση της συγκεκριμένης εξίσωσης προγραμματίστηκε επίσης κώδικας με τη βοήθεια της FORTRAN ο οποίος παρουσιάζεται αναλυτικά στο Παράρτημα Γ.

52 52 5. ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ANSYS FLUENT v ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΡΕΥΣΤΟΔΥΝΑΜΙΚΗ H Υπολογιστική Ρευστοδυναμική (Computational Fluid Dynamics, CFD) είναι η επιστήμη πρόβλεψης της συμπεριφοράς των ρευστών, της μετάδοσης θερμότητας, της μεταφοράς μάζας και άλλων σχετικών φαινομένων, η οποία βασίζεται στην αριθμητική επίλυση των εξισώσεων συνέχειας και ορμής (εξισώσεις Navier-Stokes) σε συνδυασμό με τις εξισώσεις διατήρησης μάζας και ενέργειας, σε γεωμετρία που ορίζεται από το μελετητή. Αποτελεί ένα αποτελεσματικό και εύχρηστο εργαλείο προσομοίωσης της συμπεριφοράς των ρευστών. Έτσι μπορεί να μελετηθεί η επίδραση διαφόρων παραμέτρων (γεωμετρικά χαρακτηριστικά του αγωγού, ιδιότητες του ρευστού, συνοριακές συνθήκες κλπ) στα χαρακτηριστικά της ροής (κατανομή ταχύτητας, πτώση πίεσης, μετάδοση θερμότητας, μεταφορά μάζας κλπ). Η εφαρμογή ξεκινά από ένα μαθηματικό μοντέλο κάποιου φυσικού προβλήματος. Για να επιλυθεί το φυσικό πρόβλημα με CFD, το πρώτο βήμα είναι να χωριστεί το πεδίο ροής σε δίκτυο κελιών που καθορίζουν το πλέγμα (ή κάναβο) επίλυσης (computational mesh) για το οποίο διακριτοποιούνται οι εξισώσεις που περιγράφουν το φαινόμενο. Οι εξισώσεις διατήρησης μάζας, ορμής και ενέργειας πρέπει να ικανοποιούνται στο πεδίο ροής. Η υπολογιστική ρευστοδυναμική χρησιμοποιεί αριθμητικές μεθόδους (ή μεθόδους διακριτοποίησης), ώστε να μπορεί να προσεγγίσει αυτές τις εξισώσεις για την περιοχή ενδιαφέροντος. Με τον τρόπο αυτό οι διαφορικές εξισώσεις μετατρέπονται σε εξισώσεις διαφορών, δηλαδή αλγεβρικές εξισώσεις, που επιλύονται διαδοχικά με τη χρήση ηλεκτρονικού υπολογιστή, για κάθε μεταβλητή της ροής και σε κάθε κελί του υπολογιστικού πλέγματος. Τέλος, στα αποτελέσματα μπορούν να παρουσιασθούν γραφήματα των παραμέτρων της ροής (πχ. ταχύτητας, πίεσης, διατμητικής τάσης) με διάφορες μορφές (π.χ.contours, streamlines κλπ). Τα αποτελέσματα μιας ανάλυσης με τη βοήθεια της υπολογιστικής ρευστοδυναμικής είναι χρήσιμα δεδομένα για ένα μηχανικό, ώστε να τα χρησιμοποιήσει στην αρχική μελέτη νέων σχεδίων (conceptual design), στην ανίχνευση προβλημάτων (troubleshooting) ή ακόμα και στον ανασχεδιασμό - βελτιστοποίηση (redesign-optimization) κατασκευών ή τμημάτων τους.

53 53 Το σημαντικότερο πλεονέκτημα της υπολογιστικής ρευστοδυναμικής είναι ότι η ανάλυση αυτού του είδους προσφέρει γρήγορα και σε χαμηλό κόστος πλούσια πληροφορία εξασφαλίζοντας, σε συνεργασία και με το πείραμα, την πλήρη περιγραφή του φυσικού φαινομένου ενώ ταυτόχρονα δίνει τη δυνατότητα προσομοίωσης του φυσικού προβλήματος σε πραγματική κλίμακα, χωρίς περιορισμούς και όρια. Συν τοις άλλοις, η ανάλυση με CFD δίνει πληροφορίες σε όλο το πεδίο που επιλύεται, ενώ ταυτόχρονα επιτρέπει την ανάλυση σεναρίων, όπως και παραμετρική ανάλυση χωρίς ιδιαίτερες δυσκολίες. Ωστόσο, η τεχνολογία της υπολογιστικής ρευστοδυναμικής δεν παύει να διέπεται και από αρκετούς σημαντικούς περιορισμούς. Καταρχάς, ως προς τα μαθηματικά μοντέλα τα οποία χρησιμοποιεί. Οι επιλύσεις βασίζονται σε μοντέλα πραγματικών φαινομένων, όπως μοντέλα τύρβης, συμπιεστότητας, πολυφασικής ροής ή ακόμα και χημικών αντιδράσεων. Έτσι, οι λύσεις που λαμβάνονται από αυτά προκύπτουν τόσο ακριβείς όσο και τα μοντέλα που χρησιμοποιούνται. Επιπλέον, το αριθμητικό σφάλμα επηρεάζει σημαντικά την ποιότητα της λύσης. Η επίλυση με τον ηλεκτρονικό υπολογιστή αναπόφευκτα εισάγει σφάλμα, αφενός επειδή εξαιτίας της πεπερασμένης μνήμης αποθήκευσης των αριθμών απαιτείται στρογγυλοποίηση και αφετέρου εξαιτίας της αποκοπής που πραγματοποιείται κατά τη διακριτοποίηση των εξισώσεων (μετατροπή διαφορικών εξισώσεων σε αλγεβρικές). Το σφάλμα λόγω της στρογγυλοποίησης είναι σχεδόν αναπόφευκτο, ενώ το σφάλμα αποκοπής είναι δυνατόν να περιοριστεί στο ελάχιστο είτε πυκνώνοντας το υπολογιστικό πλέγμα, είτε χρησιμοποιώντας σχήματα μεγαλύτερης ακρίβειας. Περιορισμοί, όμως, προκύπτουν και λόγω των συνοριακών συνθηκών. Όπως και με τα μαθηματικά μοντέλα έτσι και εδώ, η ακρίβεια της λύσης είναι τόσο καλή όσο και οι αρχικές ή οι συνοριακές συνθήκες που χρησιμοποιούνται. Η ποιότητα των αρχικών - συνοριακών συνθηκών ουσιαστικά εκφράζεται μέσω της ρεαλιστικότητας με την οποία αυτές χρησιμοποιούνται. Για παράδειγμα, αν αναλύεται ένα πρόβλημα ροής σε αγωγό και δεν χρησιμοποιείται κατάλληλο μήκος ανάπτυξης της ροής, τότε το προφίλ της ταχύτητας στην είσοδο του αγωγού θα πρέπει να ορίζεται για πλήρως ανεπτυγμένη ροή και να μην δίνεται ως ομοιόμορφο.

54 54 Καταλήγουμε, λοιπόν, στο συμπέρασμα ότι η υπολογιστική ρευστοδυναμική μπορεί να αποτελεί ένα ισχυρό εργαλείο για την προσομοίωση της ροής των ρευστών, έχοντας πάντα υπόψη τις όποιες απλοποιητικές παραδοχές, προσεγγίσεις και περιορισμούς που αναπόφευκτα εισάγονται. Όπως αναφέρθηκε και παραπάνω, η εφαρμογή των μεθόδων της υπολογιστικής ρευστοδυναμικής πραγματοποιείται στην παρούσα εργασία με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή. Για την κατασκευή του υπολογιστικού πεδίου και την ανάλυση της ροής χρησιμοποιείται ο εμπορικός κώδικας Fluent και συγκεκριμένα η έκδοση Κατά την επίλυση γίνονται απλοποιητικές παραδοχές ώστε να καταστεί δυνατή και πρακτική η προσέγγιση του φυσικού προβλήματος. Έτσι, λοιπόν, μπορεί να θεωρηθεί, ως προς το χρόνο, μόνιμη κατάσταση της ροής, ως προς το χώρο δισδιάστατη ροή και ως προς τη φύση ασυμπίεστη ή ακόμα και άτριβη ροή. Στη συνέχεια γίνεται εφαρμογή των κατάλληλων αρχικών και συνοριακών συνθηκών για το συγκεκριμένο πρόβλημα. 5.2 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Η εισαγωγή ή κατασκευή της γεωμετρίας ουσιαστικά καθορίζει και τα όρια του υπολογιστικού πεδίου. Η γεωμετρία αυτή μπορεί να είναι δύο ή τριών διαστάσεων, ανάλογα με τις απαιτήσεις της ανάλυσης. Αυτό προκύπτει τόσο από την γεωμετρία του ροϊκού πεδίου όσον και από τις απαιτήσεις ακρίβειας και συνδέεται και με το γεγονός ότι η δισδιάστατη γεωμετρία και κατ' επέκταση η δισδιάστατη ανάλυση επιτρέπει υψηλότερο βαθμό ανάλυσης πλέγματος (resolution), με αποτέλεσμα ακόμα πιο αξιόπιστη ποιότητα αποτελεσμάτων. Για την κατασκευή της γεωμετρίας στο συγκεκριμένο φυσικό πρόβλημα ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Ανοίγουμε το ANSYS WORKBENCH για την δημιουργία του νέου project (Εικ.5.1). Ύστερα πηγαίνουμε στο υπομενού Component Systems το οποίο εμφανίζεται στο μενού Toolbox όπου κάνουμε διπλό κλικ στην επιλογή Geometry, (Εικ.5.2). Με τον τρόπο αυτό εισάγουμε στο project το πρόγραμμα με το οποίο θα σχεδιάσουμε την γεωμετρία του φυσικού μας προβλήματος. Στο πινακίδιο που εμφανίζεται, έχουμε την δυνατότητα να καθορίσουμε όνομα για τη γεωμετρία που θα δημιουργήσουμε.

55 55 Εικόνα 5.1 Αρχικό παράθυρο νέου project του Ansys Workbench Εικόνα 5.2 Εισαγωγή προγράμματος σχεδίασης της γεωμετρίας Έπειτα κάνουμε δεξί κλικ στο πλαίσιο Geometry και επιλέγoυμε την εντολή Properties. Στο παράθυρο που εμφανίζεται και από το υπομενού Advanced Geometry Options διαλέγουμε Analysis Type 2D και τσεκάρουμε την επιλογή Import Coordinate Systems έτσι ώστε να εισάγουμε το σύστημα των συντεταγμένων αναφοράς (Εικ.5.3). Από την κεντρική γραμμή εργαλείων στην καρτέλα Units επιλέγουμε το σύστημα μονάδων στο οποίο θα εργαστούμε (Εικ.5.4).

56 56 Εικόνα 5.3 Επιλογή του δισδιάστατου τύπου ανάλυσης Εικόνα 5.4 Επιλογή του συστήματος μονάδων Στην συνέχεια κάνουμε διπλό κλικ στην επιλογή Geometry που εμφανίζεται στο πινακίδιο έτσι ώστε να ανοίξουμε το Design Modeler (DM), στο οποίο όπως προαναφέρθηκε θα κατασκευάσουμε την γεωμετρία. Διαλέγουμε το επίπεδο XY (XY plane) για να εργαστούμε, που βρίσκεται στο Τree Οutline, και πατώντας το κουμπί Νew Sketch από την κεντρική γραμμή εργαλείων θα δημιουργήσουμε τις δυο βασικές διατομές της γεωμετρίας του καναλιού (Εικ. 5.5). Η πρώτη διατομή του καναλιού θα αναφέρεται στο νερό και η δεύτερη στον αέρα.

57 57 Μεταβαίνουμε από την καρτέλα Modelling στην καρτέλα Sketching και πιο συγκεκριμένα στην υποκαρτέλα Draw όπου διαλέγουμε το σχήμα του ορθογωνίου (Rectangle) προκειμένου να σχηματοποιήσουμε τη διατομή του νερού αρχικά (Sketch 1) (Εικ. 5.6). Εικόνα 5.5 Παράθυρο για τη δημιουργία γεωμετρίας Εικόνα 5.6 Σχηματοποίηση της διατομής Ύστερα πηγαίνουμε στην υποκαρτέλα Dimensions όπου επιλέγουμε General και δηλώνουμε στο παράθυρο Details View τις διαστάσεις στον οριζόντιο και τον κατακόρυφο

58 58 άξονα που επιθυμούμε για τη διατομή του νερού (Εικ. 5.7). Το συνολικό μήκος του καναλιού το οποίο ισχύει και για τις δύο διατομές είναι 200m, επομένως Η=200m. Για τη μεν διατομή του νερού το βάθος ροής ορίζεται στο 1m, επομένως V=1m, το δε πάχος στρώματος αέρα ορίζεται στα 4m, επομένως V=4m. Εικόνα 5.7 Εισαγωγή διαστάσεων της διατομής Βοηθητικά προς τη σχεδίαση μπορούμε από την υποκαρτέλα Settings να ενεργοποιήσουμε στην εντολή Grid την επιλογή Snap προκειμένου να εισαχθεί κάνναβος σχεδίασης. Μεταβαίνουμε πάλι στην καρτέλα Modelling όπου από την επιλογή Concept του κεντρικού μενού επιλέγουμε Surfaces from Sketches έτσι ώστε να ορίσουμε το σχήμα που δημιουργήσαμε σαν μια ενιαία επιφάνεια (Εικ. 5.8). Αυτό επιτυγχάνεται ορίζοντας σαν Base Object στο παράθυρο Details View που εμφανίζεται το Sketch 1 και πατώντας apply. Προσοχή στη λειτουργία Operation να διαλέξουμε Add Frozen.

59 59 Εικόνα 5.8 Ορισμός της διατομής σαν μια ενιαία επιφάνεια Ομοίως κατασκευάζουμε και τη διατομή του αέρα (Sketch 2) επιλέγοντας τις αντίστοιχες διαστάσεις. Για να δημιουργήσουμε τη ζώνη από την οποία θα εξέρχεται ο ρύπος πρέπει να «τεμαχίσουμε» τη γεωμετρία. Αυτό σημαίνει πως πρέπει να δημιουργήσουμε τα κατάλληλα επίπεδα στα οποία θα τμήσουμε εγκαρσίως τη γεωμετρία που έχουμε ήδη δημιουργήσει. Συνεπώς αρχικά επιλέγουμε το επίπεδο ΥΖ (ΥΖ plane) και πατάμε το κουμπί New Plane (Εικ. 5.9). Στο παράθυρο Details View που εμφανίζεται (Εικ. 5.10) δηλώνουμε τις εξής επιλογές: Type From Plane Base Plane YZ Plane Transform 1 Offset Z Value 1 80m Έπειτα κάνουμε κλικ στο κουμπί Generate και με αυτό τον τρόπο δημιουργούμε το επίπεδο στο οποίο θέλουμε να τμήσουμε τη γεωμετρία μας. Ο ρύπος εξέρχεται στη διατομή x=80m για αυτό το λόγο το πρώτο επίπεδο κατασκευάζεται στα 80m και από ζώνη Δx=0.2m.

60 60 Εικόνα 5.9 Επιλογή επιπέδου Εικόνα 5.10 Δημιουργία επιπέδου και τομής Από την κεντρική γραμμή εργαλείων και την καρτέλα Tools επιλέγουμε την εντολή Freeze η οποία θα μας βοηθήσει να δημιουργήσουμε την τομή στις διατομές που επιθυμούμε. Για τη δημιουργία της εν λόγω τομής πάμε στην καρτέλα Create της κεντρικής γραμμής εργαλείων και επιλέγουμε την εντολή Slice. Στο παράθυρο Details View που εμφανίζεται διαλέγουμε ως:

61 61 Slice Type Slice by Plane Base Plane Plane 4 Slice Targets All Bodies. Με τον ίδιο τρόπο δημιουργούμε και το επόμενο Plane Slice το οποίο θα μας δώσει τη ζώνη του ρύπου σε απόσταση 0.2 από το προηγούμενο Plane. Με αυτό τον τρόπο κατασκευάζουμε το πλάτος της ζώνης του ρύπου. Όμως επειδή ο ρύπος μελετάται σαν πρόβλημα γραμμικής πηγής που εξέρχεται από διάφορα βάθη προκύπτει η ανάγκη να δημιουργήσουμε τομές και στο επίπεδο ΧΖ (ΧΖ plane). Συνεπώς επιλέγουμε το επίπεδο XΖ (XΖ plane) και πατάμε το κουμπί New Plane. Στο παράθυρο Details View που εμφανίζεται δηλώνουμε τις εξής επιλογές: Type From Plane Base Plane XZ Plane Transform 1 Offset Z Value m Έπειτα κάνουμε κλικ στο κουμπί Generate και με αυτό τον τρόπο δημιουργούμε το επίπεδο στο οποίο θέλουμε να τμήσουμε τη γεωμετρία μας. Για τη δημιουργία της εν λόγω τομής πάμε πάλι στην καρτέλα Create της κεντρικής γραμμής εργαλείων και επιλέγουμε την εντολή Slice. Στο παράθυρο Details View που εμφανίζεται διαλέγουμε τα αντίστοιχα πεδία όπως προηγουμένως. Με αυτό τον τρόπο δημιουργούμε μια ζώνη ύψους 0.25m το οποίο θα είναι και το μήκος της γραμμικής πηγής. Ομοίως δημιουργούμε και το επόμενο Plane Slice το οποίο θα μας δώσει την επόμενη γραμμική πηγή. Τελικά η γεωμετρία μας για τη ζώνη του ρύπου παίρνει τη μορφή που φαίνεται στην Εικ. (5.11).

62 62 Εικόνα 5.11 Τελική γεωμετρία ζώνης ρύπου Στη συνέχεια επιλέγουμε όλα τα parts που εμφανίζονται στο Tree Outline και κάνουμε δεξί κλικ. Από τις εντολές που εμφανίζονται διαλέγουμε την εντολή Form New Part και πατάμε Generate. Με αυτό τον τρόπο δημιουργείται το ένα και μοναδικό multi body part, το οποίο ονομάζουμε domain. Η τελική γεωμετρία του σχήματος φαίνεται στην Εικ. (5.12). Εικόνα 5.12 Τελική γεωμετρία διατομής

63 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟΥ ΠΛΕΓΜΑΤΟΣ Εφόσον η γεωμετρία του προβλήματος έχει καθοριστεί στη συνέχεια απαιτείται η διαμόρφωση του υπολογιστικού πλέγματος. Εδώ θα πρέπει να αποφασιστεί τι είδους πλέγμα θα χρησιμοποιηθεί για την ανάλυση. Ο κώδικας δίνει τη δυνατότητα χρήσης εξαεδρικού, τετραεδρικού, πυραμιδικού ή πρισματικού πλέγματος για τρισδιάστατη ανάλυση και τριγωνικού ή ορθογωνικού πλέγματος για δισδιάστατη ανάλυση (Σχ. 5.1). Επιπλέον, επιτρέπει και τη δημιουργία υβριδικού πλέγματος που μπορεί να αποτελείται από συνδυασμό των παραπάνω ανάλογα με τις απαιτήσεις της γεωμετρίας και της φύσης του προβλήματος. Σχήμα 5.1: Γεωμετρία των στοιχείων υπολογιστικού πλέγματος

64 64 Βασικό στοιχείο στη δημιουργία του υπολογιστικού πλέγματος αποτελεί ο βαθμός ανάλυσής του, ο οποίος μπορεί να ποικίλει σε κάθε τμήμα του πεδίου καθώς και ο αριθμός των στοιχείων του πλέγματος που απαιτούνται για το συγκεκριμένο πρόβλημα. Στην επιλογή και των δύο αυτών χαρακτηριστικών του υπολογιστικού πλέγματος βασικό παράγοντα αποτελεί η υπολογιστική ισχύς που διαθέτει ο υπολογιστής που θα χρησιμοποιηθεί για την ανάλυση. Η ποιότητα των αποτελεσμάτων της ανάλυσης εξαρτάται από την κατάλληλη πύκνωση του πλέγματος σε περιοχές όπου αυτό απαιτείται. Περιοχές πλησίον στερεού τοιχώματος, πίσω από εμπόδια και κοντά σε απότομες αλλαγές της γεωμετρίας, όπου αναμένονται σημαντικές μεταβολές των παραμέτρων της ροής, είναι μερικές από τις περιπτώσεις όπου επιβάλλεται υψηλότερη ανάλυση του υπολογιστικού πεδίου. Για τον περιορισμό της αριθμητικής διάχυσης η οποία μπορεί να επηρεάζει σημαντικά την ποιότητα της λύσης θα πρέπει ο λόγος ύψους προς πλάτος των υπολογιστικών κελιών, Δy/Δx, να είναι μεγαλύτερος του 1/10 εκτός από περιοχές όπου η ροή θεωρείται πλήρως αναπτυγμένη, όπου ο λόγος αυτός μπορεί να λαμβάνει τιμές έως και 1/20 ή 1/50. Έτσι στο παρόν πρόβλημα για την δημιουργία του υπολογιστικού πλέγματος ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία: Κλείνουμε το Design Modeler και βρισκόμαστε στο αρχικό Project όπου σύρουμε με το ποντίκι την επιλογή Mesh από το υπομενού Component Systems του μενού Toolbox πάνω στο πινακίδιο της γεωμετρίας (Εικ. 5.13). Εικόνα 5.13 Εισαγωγή προγράμματος δημιουργίας υπολογιστικού πλέγματος

65 65 Με αυτόν τον τρόπο συνδέουμε τη γεωμετρία με το πρόγραμμα με το οποίο θα σχεδιάσουμε τον υπολογιστικό πλέγμα. Ύστερα πατάμε το κουμπί Update Project από την κεντρική γραμμή εργαλειών έτσι ώστε να εισάγουμε τη γεωμετρία στο ANSYS Meshing. Κάνοντας διπλό κλικ στο Mesh ανοίγουμε το ANSYS Meshing όπου θα δημιουργήσουμε το αριθμητικό πλέγμα της γεωμετρίας μας (Εικ. 5.14). Εικόνα 5.14 Παράθυρο δημιουργίας υπολογιστικού πλέγματος Αρχικά για την κατασκευή του πλέγματος κάνουμε δεξί κλίκ στο Μesh του Outline και επιλέγουμε insert sizing (Εικ. 5.15). Επιλέγουμε από την κεντρική γραμμή εργαλείων, το εργαλείο edge, ώστε να μπορούμε ακολούθως να επιλέξουμε τις διάφορες ακμές της γεωμετρίας που θέλουμε να πυκνώσουμε. Έτσι αρχικά επιλέγουμε τις οριζόντιες ακμές που έχουν το ίδιο μήκος και τις κάνουμε apply δίπλα από την επιλογή geometry στην καρτέλα κάτω από το Details of Sizing. Ακολούθως επιλέγουμε στο πεδίο Type, το Number of Divisions και τον επιθυμητό αριθμό των υποδιαιρέσεων που θέλουμε να κάνουμε για κάθε ομάδα ακμών. Επίσης στο πεδίο Behavior επιλέγουμε το Hard και στο Bias Type το No Bias εφόσον θέλουμε οι υποδιαιρέσεις των ακμών αυτών να είναι ίδιες. Η διακριτοποίηση του κανάβου κατά x γίνεται για όλες τις οριζόντιες ακμές με Δx=0.1m (Εικ. 5.16).

66 66 Εικόνα 5.15 Εντολή Sizing Εικόνα 5.16 Δημιουργία υποδιαιρέσεων στις οριζόντιες ακμές της γεωμετρίας Στη συνέχεια κάνουμε μια παρόμοια διαδικασία δηλαδή ένα νέο sizing επιλέγοντας εκείνες τις ακμές που αφορούν το ύψος της διατομής τις οποίες κάνουμε apply δίπλα στην επιλογή geometry στην καρτέλα κάτω από το Details of Sizing που έχει παρουσιασθεί, (Εικ. 5.17). Επιλέγουμε σαν Type το Number of Divisions και τον αντίστοιχο αριθμό υποδιαιρέσεων που επιθυμούμε. Σαν Behavior επιλέγουμε το Hard και σαν Bias Type αυτό έτσι ώστε το πλέγμα να είναι πιο πυκνό κοντά στην ελεύθερη επιφάνεια του νερού και αραιότερο όσο απομακρυνόμαστε από αυτή.

67 67 Εικόνα 5.17 Δημιουργία υποδιαιρέσεων στις κατακόρυφες ακμές της γεωμετρίας Τέλος κάνουμε δεξί κλικ στο Μesh και επιλέγουμε insert mapped face meshing. Στην καρτέλα κάτω από το Details of Μapped Face Meshing στην επιλογή geometry κάνουμε apply όλες τις επιφάνειες της γεωμετρίας μας, χρησιμοποιώντας το κουμπί face της κεντρικής γραμμής εργαλείων (Εικ. 5.18). Ύστερα από όλα αυτά κάνουμε δεξί κλικ πάνω στο Μesh και πατάμε Generate Μesh (Εικ. 5.19).

68 68 Εικόνα 5.18 Εντολή Mapped Face Meshing Εικόνα 5.19 Δημιουργία πλέγματος Μετά από όλη την παραπάνω διαδικασία, το υπολογιστικό πλέγμα είναι έτοιμο. Τα υπολογιστικά κελιά πλησίον των τοιχωμάτων έχουν τέτοιο μέγεθος ώστε το κέντρο τους να βρίσκεται σε απόσταση μεγαλύτερη από το y. Σημειώνεται ότι το y U * y, όπου U * w. Αν διαπιστωθεί ότι οι οριακές διαστάσεις των κελιών του πλέγματος δεν

69 69 ικανοποιούν το κριτήριο για το πλέγμα εκεί που απαιτείται. y, τότε επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία πυκνώνοντας το Κατόπιν των ανωτέρω το μόνο που υπολείπεται είναι να ονομάσουμε τις ακμές και τις επιφάνειες στο πεδίο της γεωμετρίας (Geometry). Για να γίνει αυτό ενεργοποιούμε από την γραμμή εργαλείων την εντολή Εdge ή Face, αναλόγως τι θέλουμε να ονομάσουμε, πηγαίνουμε στην ακμή ή την επιφάνεια που θέλουμε, πατάμε δεξί κλικ και επιλέγουμε Create Named Selection (Εικ. 5.20). Με αυτή την επιλογή που κάναμε εμφανίζεται στην επιφάνεια εργασίας ένα παράθυρο στο οποίο πληκτρολογούμε το όνομα το οποίο θέλουμε να δώσουμε στην κάθε επιφάνεια και πατάμε OK. Με αυτό τον τρόπο έχουμε τελικά ορίσει τις εξής ζώνες: water inlet για την είσοδο του νερού water outlet για την έξοδο του νερού air inlet για την είσοδο του αέρα air outlet για τη έξοδο του αέρα bottom για το τοίχωμα του πυθμένα top για την ελεύθερη επιφάνεια του αέρα pollutant για τη γραμμική πηγή έγχυσης του ρύπου air pollutant για τη ζώνη αέρα πάνω ακριβώς από τη ζώνη του ρύπου water για την επιφάνεια του νερού air για τη επιφάνεια του αέρα Η ζώνη του ρύπου δεν παραμένει σταθερή στο τελευταίο κελί όπως φαίνεται στην Εικ. 5.20, αλλά μεταβάλλεται κάθε φορά αναλόγως με το ποια περίπτωση βάθους έγχυσης θέλουμε να μελετήσουμε. Συνεπώς πρέπει να κατασκευαστούν τόσα αριθμητικά πλέγματα όσες και οι περιπτώσεις που θέλουμε να μελετήσουμε.

70 70 Εικόνα 5.20 Επιλογή ονομάτων στις διάφορες ζώνες Με αυτό τον τρόπο ολοκληρώσαμε και το αριθμητικό πλέγμα του καναλιού και είμαστε έτοιμοι να το περάσουμε στο Fluent για να ξεκινήσει η επίλυση της ροής. 5.4 Ο ΚΩΔΙΚΑΣ FLUENT ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΡΟΗΣ Γενικά Αφού γίνει η διαμόρφωση της γεωμετρίας και του υπολογιστικού πλέγματος του προβλήματος, κατόπιν γίνεται εισαγωγή αυτών στον κώδικα Fluent για την ανάλυση. Το υπολογιστικό πεδίο ελέγχεται (check) από τον κώδικα και αναγνωρίζονται οι ζώνες και οι οριακές συνθήκες τους, που έχουν καθοριστεί στα προηγούμενα στάδια. Μπορεί να γίνει διαβάθμιση του πλέγματος και των μονάδων, ωστόσο το Fluent έχει καθορισμένες (default) μονάδες σε S.I σύστημα. Έτσι, όλες οι διαστάσεις του πλέγματος θεωρούνται αρχικά μέτρα (m). Στο Fluent περιέχονται διάφορα μοντέλα για την προσομοίωση της ροής. Μοντελοποιείται, έτσι, η ροή ρευστού και η μετάδοση θερμότητας μέσω των εξισώσεων ορμής, συνέχειας και ενέργειας. Για την προσομοίωση της τύρβης χρησιμοποιούνται οι RANS εξισώσεις και περιλαμβάνονται στον κώδικα Fluent μοντέλα κλεισίματος της τύρβης τύπου k-ε, k-ω και RSM. Άλλα διαθέσιμα μοντέλα, ίσως πιο εξειδικευμένα, είναι το μοντέλο μιας εξίσωσης Spalart-Allmaras, το RNG k-ε που αποτελεί παραλλαγή του standard k-ε, καθώς και η μέθοδος της προσομοίωσης των μεγάλων δινών, LES. Τέλος, μοντέλα χρησιμοποιούνται και για την προσέγγιση

71 71 πολυφασικών ροών, όπως για παράδειγμα το VOF model για την περίπτωση μη αναμίξιμων ρευστών. Μετά την επιλογή των μοντέλων που θα χρησιμοποιηθούν για την προσομοίωση του φυσικού προβλήματος, θα πρέπει να καθοριστούν τα είδη και οι ιδιότητες των υλικών του μοντέλου. Επομένως, το επόμενο βήμα της ανάλυσης είναι ο καθορισμός των ιδιοτήτων του νερού, όπως για παράδειγμα η πυκνότητα και το ιξώδες. Τέλος, για λόγους πληρότητας αναφέρουμε ότι ο ορισμός των υλικών του μοντέλου γίνεται μέσα σε κάθε cell zone. Για να έχει ένα πρόβλημα μοναδική λύση, θα πρέπει να δοθούν πληροφορίες για όλες τις εξαρτημένες μεταβλητές σε όλα τα όρια του υπολογιστικού πεδίου. Αυτό επιτυγχάνεται με τον καθορισμό των συνοριακών συνθηκών και πιο συγκεκριμένα με τον καθορισμό της θέσης των ορίων (π.χ. είσοδοι, έξοδοι, τοιχώματα, συμμετρίες) και με την προμήθεια πληροφορίας για τα όρια αυτά. Διαθέσιμα είδη οριακών συνθηκών: Ο κώδικας Fluent περιέχει αρκετά είδη οριακών συνθηκών που μπορούν να χρησιμοποιηθούν ανάλογα με το είδος του προβλήματος και τη φύση της ροής που μας ενδιαφέρει. Γενικά, για εξωτερικές επιφάνειες εισόδου κάποιες από τις διαθέσιμες οριακές συνθήκες είναι pressure/velocity inlet, mass flow inlet ενώ για εξωτερικές επιφάνειες εξόδου pressure outlet, outflow και pressure far - field. Ειδικότερα, η οριακή συνθήκη velocity inlet χρησιμοποιείται τόσο για ασυμπίεστες όσο και για συμπιεστές ροές όταν έχουμε τη δυνατότητα καθορισμού της ταχύτητας στην είσοδο. Η οριακή συνθήκη pressure inlet επίσης χρησιμοποιείται και για ασυμπίεστες και για συμπιεστές ροές όταν έχουμε τη δυνατότητα καθορισμού της πίεσης στην είσοδο. Τέλος η οριακή συνθήκη mass flow inlet χρησιμοποιείται για συμπιεστές ροές, δεν υποστηρίζει πολυφασικές ροές (VOF) και η σύγκλιση επιτυγχάνεται πολύ πιο αργά. Όσον αφορά τις οριακές συνθήκες εξόδου, η οριακή συνθήκη outflow χρησιμοποιείται για ασυμπίεστες ροές, ενώ δεν υποστηρίζονται πολυφασικές ροές. Στην περίπτωση των πολυφασικών ροών χρησιμοποιείται η οριακή συνθήκη pressure outlet. Τέλος η οριακή συνθήκη pressure far - field δεν υποστηρίζει πολυφασικές ροές. Άλλα είδη οριακών συνθηκών, κυρίως για τον καθορισμό στερεών ορίων, είναι οι τύποι wall, symmetry και periodic. Για εσωτερικά όρια του πεδίου επιλύσεως χρησιμοποιούνται συνήθως οριακές συνθήκες τύπου interior, fan, porous jump και radiator. Όλες οι παραπάνω οριακές συνθήκες συνήθως προκαθορίζονται κατά την κατασκευή της γεωμετρίας και του πλέγματος και ακολούθως εισάγονται στον κώδικα

72 72 Fluent. Ωστόσο, όλα τα είδη των οριακών συνθηκών, που έχουν προκαθοριστεί, μπορούν εύκολα να μεταβληθούν στον κώδικα Fluent. Έτσι, μπορούμε κάθε φορά να τροποποιούμε τα αποτελέσματα και την ποιότητα της λύσης, μεταβάλλοντας κατάλληλα τα είδη των οριακών συνθηκών του υπό μελέτη προβλήματος. Με την επιλογή κάθε οριακής συνθήκης θα πρέπει να καθορίσουμε και τις τιμές των παραμέτρων που εκφράζουν την συγκεκριμένη οριακή συνθήκη. Για παράδειγμα, η επιλογή της οριακής συνθήκης velocity inlet επιβάλει τον καθορισμό του μέτρου της ταχύτητας κάθετα στο όριο ή των συνιστωσών της ή διαφορετικά το μέτρο και την διεύθυνσή της. Το προφίλ της ταχύτητας τότε θεωρείται ομοιόμορφο. Είναι δυνατόν να εισάγει κανείς και το πλήρως αναπτυγμένο προφίλ της ταχύτητας, ως εναλλακτική λύση, χρησιμοποιώντας κατάλληλη υπορουτίνα. Ωστόσο και στις δύο περιπτώσεις απαιτείται ο καθορισμός στο όριο των τυρβωδών χαρακτηριστικών της ροής, δηλαδή της τυρβώδους κινητικής ενέργειας (turbulent kinetic energy) και της τυρβώδους ανάλωσης (turbulence dissipation rate), αναλόγως με το μοντέλο τύρβης που έχει επιλεχτεί στον κώδικα. Με ανάλογη διαδικασία ορίζονται οι παράμετροι και των άλλων οριακών συνθηκών. Επιλογή λύτη: Αφού καθοριστούν οι συνοριακές συνθήκες, το επόμενο βήμα είναι η επιλογή του λύτη (solver) που θα χρησιμοποιηθεί για την επίλυση του προβλήματος. Στο υπάρχον δύο είδη λυτών είναι διαθέσιμοι. Ένας με βάση την πίεση (Pressure Based) και ένας με βάση την πυκνότητα (Density Based). Οι αλγόριθμοι επίλυσης με βάση την πίεση είναι εφαρμόσιμοι σε ένα μεγάλο εύρος ροών, από ασυμπίεστες ροές χαμηλών ταχυτήτων μέχρι συμπιεστές ροές υψηλών ταχυτήτων. Είναι πιο ευέλικτοι και απαιτούν λιγότερη μνήμη. Οι αλγόριθμοι επίλυσης με βάση την πυκνότητα εφαρμόζονται κυρίως σε συμπιεστές ροές υψηλών ταχυτήτων με ανάφλεξη και υπερηχητικές ροές. Στους λύτες με βάση την πίεση είναι διαθέσιμοι δύο αλγόριθμοι: α) Διαχωριστικοί (Segregated Solver) στους οποίους η επίλυση των εξισώσεων γίνεται διαδοχικά και οι λύσεις της προηγούμενης εξίσωσης μεταβιβάζονται στην επόμενη. β) Συζευγμένοι (Coupled Solver) στους οποίους οι εξισώσεις λύνονται ταυτόχρονα. Τα βήματα που ακολουθεί ένας αλγόριθμος τύπου Pressure Based Segregated Solver, που όπως θα δούμε χρησιμοποιείται στην παρούσα εργασία για λόγους οικονομίας σε μνήμη του υπολογιστή, είναι τα ακόλουθα: α) Γίνεται η ενημέρωση των ιδιοτήτων του ρευστού όπως πυκνότητα, ιξώδες κλπ., με βάση την υπάρχουσα λύση. β) Επιλύονται διαδοχικά οι εξισώσεις Navier-Stokes χρησιμοποιώντας τις πρόσφατα ενημερωμένες τιμές πίεσης και ροής μάζας στις επιφάνειες. γ) Επιλύονται οι εξισώσεις συνέχειας και πιο συγκεκριμένα επιλύεται η

73 73 διόρθωση της πίεσης χρησιμοποιώντας το πρόσφατα ενημερωμένο πεδίο ταχυτήτων και ροής μάζας ανά επιφάνεια. δ) Γίνεται ενημέρωση της ροής μάζας, πίεσης και πεδίου ταχυτήτων με βάση τη διορθωμένη πίεση από το προηγούμενο βήμα. ε) Επιλύονται οι εξισώσεις ενέργειας και τύρβης χρησιμοποιώντας τις τρέχουσες τιμές των μεταβλητών που επιλύονται. στ) Γίνεται έλεγχος για τον αν έχει επιτευχθεί σύγκλιση ή όχι και ζ) ανάλογα με το αν έχει επιτευχθεί η σύγκλιση επανερχόμαστε στο αρχικό στάδιο ή τερματίζεται η διαδικασία. Διακριτοποίηση (μέθοδοι παρεμβολής): Οι λύτες του FLUENT βασίζονται στη μέθοδο των πεπερασμένων όγκων και για τον λόγο αυτό το πεδίο διακριτοποιείται σε έναν πεπερασμένο αριθμό όγκων ελέγχου (κελιών) (Σχ.5.2). Οι γενικές εξισώσεις μεταφοράς μάζας, ορμής, ενέργειας κ.λπ. εφαρμόζονται σε κάθε κελί και διακριτοποιούνται. Για κάθε κελί (cell) ισχύει: dv V da da S dv t V A A V ό ή ά ή (5.1) όπου Φ είναι μια συνάρτηση που καθορίζεται αναλόγως με το είδος της εξίσωσης που αναλύεται. Οι τιμές της Φ για τις εξισώσεις συνέχειας, ορμής και ενέργειας δίνονται στον Πίν Πίνακας 5.1 Τιμές της μεταβλητής Φ για τις διάφορες ποσότητες Εξίσωση Φ συνέχειας 1 x - ορμής U y - ορμής V ενέργειας h

74 74 Σχήμα 5.2: Ροϊκό πεδίο αγωγού διακριτοποιημένο σε πεπερασμένο αριθμό όγκων ελέγχου (υπολογιστικό πλέγμα). Όλες οι παραπάνω εξισώσεις επιλύονται για την εύρεση του πεδίου ροής. Κάθε εξίσωση μεταφοράς διακριτοποιείται σε μια αντίστοιχη αλγεβρική. Οι παράμετροι της ροής, οι οποίες αποθηκεύονται στα κέντρα των κελιών, πρέπει να παρεμβληθούν στις επιφάνειες των πεπερασμένων όγκων. Το Fluent προσφέρει έναν αριθμό από σχήματα παρεμβολής για τον υπολογισμό της πυκνότητας που επιγραμματικά αναφέρονται παρακάτω. Το σχήμα παρεμβολής First - Order Upwind Scheme, προσφέρει εύκολη σύγκλιση αλλά σχετικά χαμηλή ακρίβεια (ακρίβεια πρώτου βαθμού). Η επιλογή Power Law Scheme προσφέρει ίσως μεγαλύτερη ακρίβεια, αλλά για ροές με σχετικά χαμηλό αριθμό Reynolds. Προκειμένου να πετύχουμε ακρίβεια δευτέρου βαθμού χρησιμοποιείται η επιλογή Second Order Upwind Scheme. Η μέθοδος αυτή επιλέγεται απαραίτητα σε περιπτώσεις όπου το υπολογιστικό πλέγμα αποτελείται από τριγωνικά/ τετραεδρικά κελιά με μοναδικό μειονέκτημα την πιο αργή σύγκλιση σε περίπτωση που η ροή δεν είναι ευθυγραμμισμένη με το πλέγμα. Σε περίπτωση που το πλέγμα αποτελείται από τετραπλευρικά/ εξαεδρικά κελιά, κατάλληλο για την παρεμβολή είναι το σχήμα Quadratic Upwind Interpolation (QUICK). Το σχήμα αυτό χρήζει ιδιαίτερης εφαρμογής σε ροές με έντονη συστροφή ενώ σε περίπτωση ομοιόμορφου πλέγματος προσφέρει ακρίβεια τρίτου βαθμού. Η διακριτοποίηση των κλίσεων και των βαθμίδων είναι απαραίτητη αφού οι κλίσεις δεν χρειάζονται μόνο για τον υπολογισμό των τιμών ενός βαθμωτού μεγέθους στις πλευρές των κελιών, αλλά και για τον υπολογισμό δευτερευόντων όρων διάχυσης και παραγώγους ταχύτητας. Οι κλίσεις υπολογίζονται στο Fluent σύμφωνα με τις μεθόδους

75 75 Green-Gauss Cell-Based η οποία είναι η λιγότερο υπολογιστικά απαιτητική και η οποία μπορεί να έχει λάθος στη διάχυση. Ακόμα υπάρχει η μέθοδος Green Gauss Node-Based η οποία είναι περισσότερο ακριβής, είναι υπολογιστικά απαιτητική, ελαχιστοποιεί τα λάθη στη διάχυση και συνίσταται για μη δομημένα πλέγματα. Τέλος υπάρχει δυνατότητα χρησιμοποίησης της μεθόδου Least Squares Cell-Based, η οποία έχει την ίδια ακρίβεια και τις ιδιότητες με τη μέθοδο Green Gauss Node-Based για τις κλίσεις αλλά είναι λιγότερο απαιτητική. Επιπλέον μέθοδοι παρεμβολής διατίθενται για τον υπολογισμό της πίεσης στις επιφάνειες των κελιών, στην περίπτωση που χρησιμοποιείται ο Segregated λύτης. Το δεδομένο (default) σχήμα για την πίεση είναι το standard, που προσφέρει χαμηλή ακρίβεια για ροές με μεγάλες μεταβολές κάθετα στα όρια. Το σχήμα Linear θα πρέπει να χρησιμοποιείται μόνο όταν τα άλλα σχήματα δημιουργούν πρόβλημα σύγκλισης ή παράγουν μη λογικά αποτελέσματα. Στην περίπτωση συμπιεστής ροής και όταν δεν χρησιμοποιούνται πολυφασικά μοντέλα τύπου V.O.F., μπορεί να χρησιμοποιείται το σχήμα Second Order Upwind Scheme. Όταν οι δυνάμεις πεδίου είναι σημαντικές, για παράδειγμα ροή ελεύθερης συναγωγής υψηλού αριθμού Reynolds, τότε χρησιμοποιείται το σχήμα Body Force Weighted. Τέλος, για ροές με υψηλή συστροφή ή για πεδία ροής που εμφανίζουν μεγάλη καμπυλότητα, καταλληλότερη είναι η επιλογή PRESTO!. Η σύνδεση πίεσης - ταχύτητας επηρεάζει τον τρόπο με τον οποίο μεταφράζεται η διατήρηση της μάζας στον Segregated λύτη. Υπάρχουν, λοιπόν, τρεις διαθέσιμες μέθοδοι. Η μέθοδος SIMPLE είναι η σταθερή (default) μέθοδος που διαθέτει το πρόγραμμα και χαρακτηρίζεται ως αρκετά ευσταθής. Στην περίπτωση που η ροή είναι εξαιρετικά απλή και επιθυμείται ταχύτερη σύγκλιση, για παράδειγμα στην περίπτωση στρωτής ροής χωρίς άλλα φυσικά μοντέλα, προτιμάται η μέθοδος SIMPLEC. Ωστόσο, η ευρέως χρησιμοποιούμενη μέθοδος είναι η PISO, η οποία είναι εξαιρετικά χρήσιμη για μη μόνιμες ροές ή για πλέγματα που έχουν κελιά με υψηλή ασυμμετρία (skewness). Περισσότερα στοιχεία μπορεί να αναζητήσει κανείς σε κλασικά βιβλία όπως Patankar (1980) και Malalasekera (1995). Επίλυση του φυσικού προβλήματος: Η διαδικασία της επίλυσης είναι επαναληπτική, επομένως είναι αναγκαίο όλες οι προς επίλυση μεταβλητές να πάρουν μια αρχική τιμή πριν τον υπολογισμό τους. Οι αρχικές αυτές τιμές που αποτελούν μια πρώτη εκτίμηση της πραγματικής τιμής είναι αρκετά σημαντικές, αφού όσο πιο ρεαλιστικές είναι, τόσο περισσότερο βελτιώνουν την ευστάθεια της λύσης και επιταχύνουν τη σύγκλιση.

76 76 Οι αρχικές αυτές τιμές των μεταβλητών ορίζονται ως μια διαδικασία "initialize" σε όλο το πεδίο επίλυσης και είναι δυνατόν να τροποποιούνται σε συγκεκριμένες περιοχές του πεδίου, επιτρέποντας έτσι μια περισσότερο ρεαλιστική έναρξη της επίλυσης. Η επιλογή σωστών αρχικών συνθηκών είναι εξίσου σημαντική με τον καθορισμό των συνοριακών συνθηκών για την επίτευξη ευσταθούς λύσης. Όσο πιο κοντά στις πραγματικές τιμές των μεταβλητών βρίσκονται οι αρχικές τους εκτιμήσεις, τόσο πιο γρήγορα θα επέλθει η σύγκλιση. Η διακριτοποιημένη εξίσωση μεταφοράς για την ποσότητα Φ μπορεί να γραφεί σε πιο απλή μορφή ως εξής: b (5.2) p p nb nb p nb όπου p είναι κάποιο κελί του υπολογιστικού πλέγματος και nb τα γειτονικά του. Οι συντελεστές α p, α nb γενικά εξαρτώνται από τη λύση, επομένως ανανεώνονται σε κάθε επανάληψη. Στην αρχή κάθε επανάληψης η εξ. (5.2) δεν ικανοποιείται. Η διαφορά, R p, ονομάζεται υπόλοιπο και είναι: R b (5.3) p p p nb nb p nb Το R p πρέπει να ελαχιστοποιηθεί τόσο, όσο να θεωρείται αμελητέο με την πάροδο των επαναλήψεων. Τα υπόλοιπα τα οποία παρακολουθούμε είναι το άθροισμα σε όλα τα cells: R R cells p (5.4) Με την πάροδο των επαναλήψεων οι τιμές των υπολοίπων μειώνονται και βαθμιαία οδηγούμαστε στη σύγκλιση. Κατά τη σύγκλιση όλες οι διακριτοποιημένες εξισώσεις (ορμής, ενέργειας, κ.λπ) ικανοποιούνται σε όλα τα κελιά σύμφωνα με ένα προκαθορισμένο βαθμό ακρίβειας. Η λύση πλέον δεν αλλάζει με παραπάνω επαναλήψεις, ενώ τα ολικά ισοζύγια μάζας, ορμής, ενέργειας και άλλων παραμέτρων ικανοποιούνται. Η ποιότητα της σύγκλισης παρακολουθείται μέσω των υπολοίπων. Γενικά, μια μείωση κατά τρεις τάξεις μεγέθους υποδεικνύει μια τουλάχιστον ποιοτική σύγκλιση και στο σημείο αυτό τα βασικά στοιχεία της ροής έχουν υπολογιστεί. Ειδικά για την

77 77 περίπτωση του Segregated λύτη η ενέργεια θα πρέπει να πέσει κάτω από το 10-6 για ποιοτική σύγκλιση. Επιπλέον, η σύγκλιση μπορεί να παρακολουθείται μέσω της "ιστορίας" μεταβλητών ή συναρτήσεων (π.χ. ολοκλήρωμα σε επιφάνεια) σε ένα όριο ή σε μια τεχνητή επιφάνεια. Η σύγκλιση επιτυγχάνεται όταν εμφανιστεί πλατό σταθερότητας της "ιστορίας" της μεταβλητής ή της συνάρτησης που παρακολουθούμε. Στην περίπτωση που από την παρακολούθηση της ιστορίας μιας μεταβλητής δεν προκύπτει πλατό, η λύση δεν έχει συγκλίνει, αλλά συνεχίζει να αλλάζει με περαιτέρω επαναλήψεις. Για να πετύχουμε συγκλίνουσα λύση θα πρέπει να μειώσουμε το κριτήριο σύγκλισης σε αρκετά χαμηλές τιμές, έτσι ώστε να μην υπάρχει περιορισμός, και να συνεχίσουμε τις επαναλήψεις έως τη σύγκλιση της λύσης με βάση το νέο κριτήριο. Βασικό παράγοντα στην διαδικασία και στο χρόνο σύγκλισης αποτελούν και οι συντελεστές υπό-χαλάρωσης. Οι συντελεστές αυτοί είναι απαραίτητοι για την ευστάθεια της επαναληπτικής λύσης στον Segregated λύτη. Ο κώδικας Fluent διαθέτει σταθερές αρχικά (default) τιμές των συντελεστών υπό-χαλάρωσης οι οποίες χρησιμοποιούνται για την εκκίνηση της λύσης. Οι τιμές αυτές θα μπορούσαν να χαρακτηριστούν "επιθετικές", ωστόσο δεν παύουν να είναι κατάλληλες για μεγάλο εύρος εφαρμογών. Συνήθως, οι καταλληλότερες τιμές των συντελεστών προκύπτουν εμπειρικά. Η λογική των συντελεστών υπό-χαλάρωσης για μια μεταβλητή Φ περικλείεται στην παρακάτω έκφραση: (5.5) p p, old p όπου Φ p η τιμή της μεταβλητής με την οποία ξεκινά η i επανάληψη, Φ p,old η τιμή της μεταβλητής που προκύπτει από την i-1 επανάληψη και α ο συντελεστής υπό-χαλάρωσης. Καταλήγουμε, λοιπόν, στο συμπέρασμα ότι η ποιότητα της λύσης του φυσικού προβλήματος εξαρτάται άμεσα από την ποιότητα της σύγκλισης η οποία έχει επιτευχθεί. Η σύγκλιση μπορεί να επιταχυνθεί και να βελτιωθεί με την δημιουργία ενός καλού υπολογιστικού πλέγματος, με τον καθορισμό όσο το δυνατόν πιο ρεαλιστικών αρχικών τιμών και την σχετική αύξηση των συντελεστών υπό-χαλάρωσης, σε τιμές ανεκτές ώστε να μην οδηγούμαστε σε αστάθεια ή ακόμα και απόκλιση από την πραγματική λύση. Επεξεργασία των αποτελεσμάτων επίλυσης: Στον κώδικα Fluent είναι διαθέσιμα πολλά εργαλεία επεξεργασίας των αποτελεσμάτων που προκύπτουν από την επίλυση. Οι εργασίες επεξεργασίας συνήθως συμβαίνουν πάνω σε επιφάνειες. Επιφάνειες

78 78 δημιουργούνται αυτόματα από τα zones (π.χ. είσοδοι, έξοδοι, στερεά όρια κ.λπ.), ενώ ταυτόχρονα δίνεται και η δυνατότητα δημιουργίας επιπλέον επιφανειών. Για παράδειγμα, μπορούμε να ορίσουμε μια επιφάνεια στο υπολογιστικό πεδίο του προβλήματος και να δούμε εκεί τις τιμές των διαφόρων μεταβλητών που χαρακτηρίζουν το πεδίο ροής. Το Fluent υπολογίζει τις τιμές των μεταβλητών στα κέντρα των υπολογιστικών κελιών (cells). Οι κομβικές τιμές του πλέγματος υπολογίζονται είτε ως μέσες τιμές των γειτονικών τιμών των κελιών, είτε καθορίζονται από τις οριακές συνθήκες όταν πρόκειται για zones οριακών κελιών. Οι κομβικές τιμές σε επιφάνειες εξάγονται από γραμμική παρεμβολή από τις κομβικές τιμές του πλέγματος. Όλα τα αρχεία δεδομένων (data) που εισάγονται στον κώδικα αποθηκεύονται στα κέντρα των κελιών (cells). Εξαίρεση αποτελεί η αποθήκευση κομβικών τιμών των μεταβλητών μόνο σε οριακούς κόμβους. Επιπλέον, ο κώδικας δίνει την δυνατότητα της αναφοράς της ροής (report flux) για τη μάζα σε διάφορες ζώνες του υπολογιστικού πεδίου. Σημαντικότερη είναι η έκθεση του ρυθμού της παροχής μάζας του ρευστού (mass flow rate) στην είσοδο (inlet) και έξοδο (outflow) του υπολογιστικού πεδίου. Η ικανοποίηση της εξίσωσης της συνέχειας, έστω και με μικρές αποκλίσεις, αποτελεί ένδειξη της ποιοτικής σύγκλισης και κυρίως του καλού "στησίματος" του προβλήματος. Τέλος, το πρόγραμμα δίνει την δυνατότητα της εποπτικής παρουσίασης των αποτελεσμάτων των μεταβλητών σε οποιαδήποτε θέση ή επιφάνεια του υπολογιστικού πεδίου, επιτρέποντας την γενική εποπτεία των χαρακτηριστικών της ροής σε κάθε σημείο του πεδίου ανάλυσης Επίλυση προβλήματος με τον κώδικα Fluent Στο παρόν πρόβλημα ακολουθήσαμε την παρακάτω διαδικασία για τον καθορισμό των προαναφερθεισών παραμέτρων: Για να συνδέσουμε το πλέγμα που κατασκευάσαμε στο Mesh με το πρόγραμμα επίλυσης πηγαίνουμε στο Project το οποίο έχουμε δημιουργήσει στο Ansys Workbench, επιλέγουμε το Fluent από το υπομενού Component Systems του μενού Toolbox και το σύρουμε πάνω στο Mesh. Ύστερα πατάμε το κουμπί Update Project από τη κεντρική γραμμή εργαλείων για να εισάγουμε τον κάναβο στο Fluent. Κάνοντας διπλό κλικ στην επιλογή Setup θα εμφανιστεί στην οθόνη το παρακάτω παράθυρο, στο οποίο καλούμαστε να επιλέξουμε αν θα χρησιμοποιήσουμε διπλή η μονή ακρίβεια και αν έχουμε

79 79 τρισδιάστατο ή διαδσιάστατο πράβλημα. Για τη συγκεκριμένη εργασία θα επιλέξουμε δισδιάστατο πρόβλημα και διπλή ακρίβεια (Εικ. 5.21). Εικόνα 5.21 Επιλογή δισδιάστατης προσομοίωσης και διπλής ακρίβειας Εισάγουμε το αριθμητικό πλέγμα στο Fluent και πρέπει τώρα να εισάγουμε τις κατάλληλες παραμέτρους για την επίλυση της δισδιάστατης τυρβώδους ροής. Αρχικά θα επιλέξουμε τον τύπο της λύσης. Για το σκοπό αυτό επιλέγουμε στο πεδίο General Pressure-Based και Steady γιατί επιλύουμε για μόνιμη ροή (Εικ. 5.22). Επειδή το κανάλι μας είναι υπό κλίση ( S ) θέτουμε την επιτάχυνση της βαρύτητας στη διαμήκη έννοια ίση με gx m / s και κατά τη κατακόρυφο ίση με gx m / s και με αυτό τον τρόπο λαμβάνουμε υπόψη μας την επίδραση της κλίσης του καναλιού θεωρώντας στη συνέχεια οριζόντιο πυθμένα. Σημειώνουμε ότι όταν θα λύσουμε το πρόβλημα μεταφοράς ρύπου, θα εισάγουμε ένα καινούριο αρχείο FLUENT στο project στο οποίο στη συνέχεια θα κάνουμε Import όλα τα case και data της ροής έτσι ώστε να «τρέξουμε» με τη μόνιμη ροή τόσο την Steady State όσο και την Transient μεταφορά ρύπου.

80 80 Εικόνα 5.22 Επιλογή παραμέτρων για μόνιμη ροή-καθορισμός συνιστωσών επιτάχυνσης της βαρύτητας Στη συνέχεια πηγαίνουμε στο Problem Setup Models Multiphase και πατάμε Edit. Στην καρτέλα που ανοίγει επιλέγουμε τη μέθοδο Volume of Fluid (VOF) με 2 φάσεις για τη προσομοίωση της ελεύθερης επιφάνειας, σαν σχήμα επίλυσης επιλέγουμε το άρρητο (implicit) και ενεργοποιούμε την παράμετρο Implicit Body Force (Εικ. 5.23). Εικόνα 5.23 Προσομοίωση ελεύθερης επιφάνειας

81 81 Έπειτα επιλέγουμε το μοντέλο της τύρβης που θα χρησιμοποιήσουμε. Για την επίλυση της ροής χρησιμοποιούμε το Standard k-ε model με Standard Wall Functions. Για να ορίσουμε το μοντέλο αυτό πηγαίνουμε στο Problem Setup Models Viscous k - ε Standard και ενεργοποιούμε την επιλογή Standard Wall Functions. Επίσης στην επιλογή Turbulent Schmidt Number που θα εμφανιστεί αφού εισαχθεί το Species Transport ορίζουμε τον συντελεστή ίσο με τη μονάδα (Εικ. 5.24). Εικόνα 5.24 Μοντέλο τύρβης k-ε Έπειτα ενεργοποιούμε τη μεταφορά μάζας πηγαίνοντας στο Problem Setup Models Species Transport και ενεργοποιόντας την επιλογή Species Transport (Εικ. 5.25).

82 82 Εικόνα 5.25 Ενεργοποίηση μεταφοράς μάζας Το υλικό που έχει προεπιλεγμένο το Fluent είναι ο αέρας, στη συγκεκριμένη περίπτωση όμως θέλουμε να έχουμε και μία ζώνη με νερό. Για το λόγο αυτό θα πρέπει να δημιουργήσουμε ένα ρευστό με τις ιδιότητες που επιθυμούμε. Από το Problem Setup επιλέγουμε το πεδίο Materials και πατάμε Create/Edit. Στην καρτέλα που ανοίγει, διαλέγουμε την επιλογή Fluent Database και επιλέγουμε το υλικό water-liquid κάτω από το πεδίο Fluent Fluid Materials. Πατάμε Copy και με αυτό τον τρόπο έχουμε αντιγράψει στην καρτέλα το νέο υλικό που έχει πυκνότητα / 3 Kg m και ιξώδες Kg / m s και πατάμε Change/Create (Εικ. 5.26). Την ίδια διαδικασία ακολουθούμε και για την δημιουργία του υλικού του ρύπου, ο οποίος έχει τις ιδιότητες του νερού. Σε αυτή τη φάση θα πρέπει επίσης να ορίσουμε και το Mixture template στο οποίο συμμετέχουν ο ρύπος και το νερό.

83 83 Εικόνα 5.26 Δημιουργία ρευστού με τις ιδιότητες του νερού και ορισμός Mixture template Ακολούθως ορίζουμε στην επιλογή Phases κάτω από το Problem Setup ως πρωτεύουσα φάση (Primary Phase) τον αέρα (air) και ως δευτερεύουσα φάση (Secondary Phase) το νερό (water) (Εικ. 5.27). Εικόνα 5.27 Ορισμός φάσεων Στο επόμενο στάδιο και εφόσον επιλύουμε την περίπτωση συνεχούς έγχυσης πρέπει να ορίσουμε την παροχή μάζας ρύπου ανά όγκο που εξέρχεται από τη ζώνη του ρύπου και εισέρχεται στη φάση του νερού. Από το Problem Setup πηγαίνουμε στην επιλογή Cell

84 84 Zone Conditions και διαλέγουμε Zone pollutant, Phase water και πατάμε Edit. Από την καρτέλα που ανοίγει τσεκάρουμε την επιλογή Source Terms και μεταβαίνουμε στην καρτέλα Source Terms όπου πατάμε Edit στην επιλογή pol που έχουμε ορίσει. Από την επόμενη καρτέλα που ανοίγει διαλέγουμε τον αριθμό των πηγών ρύπου που υπάρχουν μέσα στη συγκεκριμένη ζώνη και δηλώνουμε την παροχή μάζας ανά όγκο που μας ζητάει (Εικ. 5.28). Εικόνα 5.28 Ορισμός παροχής μάζας ρύπου στην αντίστοιχη ζώνη ρύπου στην περίπτωση συνεχούς έγχυσης Για την περίπτωση στιγμιαίας έγχυσης δεν ακολουθείται η ίδια διαδικασία. Στην επιλογή Cell Zone Conditions του Problem Setup δεν κάνουμε καμία αλλαγή και πηγαίνουμε στην επιλογή Solution Initialization του Solution. Χωρίς να κάνουμε Initialize στη ροή κάνουμε Patch το mass fraction της μάζας του ρύπου που μας ζητάει στην κατάλληλη ζώνη για τη φάση του νερού (Εικ. 5.29).

85 85 Εικόνα 5.29 Ορισμός mass fraction μάζας ρύπου στην αντίστοιχη ζώνη ρύπου στην περίπτωση στιγμιαίας έγχυσης Το επόμενο στάδιο είναι να ορίσουμε τις οριακές συνθήκες της ροής. Κατά τη δημιουργία του αριθμητικού πλέγματος κατασκευάσαμε τις διατομές εισόδου (water inlet, air inlet) και εξόδου (water outlet, air outlet), τον πυθμένα (bottom) και την ελεύθερη επιφάνεια του αέρα (top), οπότε τώρα στο Fluent θα πρέπει να ορίσουμε τον τύπο του ορίου για τις επιφάνειες αυτές. Αρχικά θέτουμε την είσοδο του καναλιού σαν την διατομή όπου εισάγεται η παροχή (water inlet και air inlet) και για αυτό διαλέγουμε από το πεδίο Type την επιλογή Velocity_inlet, όντας στην φάση mixture. Σε κάθε διατομή water inlet και air inlet πατώντας το Edit δίνουμε το μέγεθος της ταχύτητας στην είσοδο ( 0.94 m/ s για το νερό και m/ s για τον αέρα) καθώς επίσης και τις τιμές της τυρβώδους κινητικής ενέργειας ( m / s για το νερό και / m s για τον αέρα αντίστοιχα) και του συντελεστή καταπτώσεως της τυρβώδους κινητικής ενέργειας ( / m s για το νερό και / m s για τον αέρα αντίστοιχα) (Εικ. 5.30). Για τις λεπτομέρειες προσδιορισμού όλων των παραπάνω μεγεθών βλ. Κεφάλαιο 4.1.

86 86 Εικόνα 5.30 Οριακές συνθήκες εισόδου Αλλάζοντας τώρα τη φάση από mixture σε water πατάμε Edit και στη μεν διατομή air inlet στο πεδίο Multiphase θέτουμε το Volume Fraction ίσο με το μηδέν και στη δε διατομή water inlet στο πεδίο Multiphase θέτουμε το Volume Fraction ίσο με τη μονάδα. Με αυτό τον τρόπο ορίζουμε την περιοχή στην οποία εισάγεται νερό και την περιοχή που καταλαμβάνει ο αέρας (Εικ. 5.31). Εικόνα 5.31 Ορισμός κλάσματος φάσεων στη διατομή

87 87 Στη συνέχεια θέτουμε την έξοδο του καναλιού σαν μια διατομή (air outlet, water outlet) Outflow. (Εικ. 5.32). Εικόνα 5.32 Οριακή συνθήκη εξόδου Τώρα όσον αφορά το τοίχωμα στον πυθμένα (bottom) επιλέγουμε Type wall. Στις αντίστοιχες καρτέλες που ανοίγουν πατώντας Edit στο πεδίο Momentum επιλέγουμε Stationary Wall και No Slip για να ισχύει η συνθήκη μη ολίσθησης. Τέλος βάζουμε το ύψος τραχύτητας (roughness height) ίσο με και τον συντελεστή τραχύτητας (roughness constant) ίσο με 0.5 (Εικ. 5.33). Για τις λεπτομέρειες προσδιορισμού όλων των παραπάνω μεγεθών βλ. Κεφάλαιο 4.1. Όσον αφορά την ελεύθερη επιφάνεια του αέρα (top) θέτουμε σαν τύπο την επιλογή Symmetry (Εικ. 5.34).

88 88 Εικόνα 5.33 Οριακή συνθήκη πυθμένα Εικόνα 5.34 Οριακή συνθήκη ελεύθερης επιφάνειας αέρα Πριν εγκαταλείψουμε τις οριακές συνθήκες πηγαίνουμε στο πεδίο Operating Conditions (Εικόνα 5.35) και θέτουμε σαν πίεση αναφοράς (Operating Pressure) Pa και σαν σημείο αναφοράς αυτής της πίεσης το σημείο με συντεταγμένες x 0m και y 5m. Τέλος ενεργοποιούμε την επιλογή Specified Operating Density.

89 89 Εικόνα 5.35 Πίεση αναφοράς Στη συνέχεια ορίζουμε στο πεδίο Reference Values κάτω από το Problem Setup σαν ζώνη αναφοράς την περιοχή του αέρα (Εικ. 5.36). Εικόνα 5.36 Καθορισμός της ζώνης ισχύος των τιμών αναφοράς Αφού ορίσαμε τις συνοριακές συνθήκες του προβλήματος και τη ζώνη αναφοράς θα ασχοληθούμε τώρα με τις μεθόδους επίλυσης. Διαλέγουμε την επιλογή Solution Methods κάτω από το Problem Setup και στο πεδίο Pressure_Velocity Coupling διαλέγουμε από το dropdown list το PISO. Παρομοίως στο πεδίο Gradient επιλέγουμε το Green-Gauss Cell

90 90 Based, στο πεδίο Pressure το PRESTO, στο πεδίο Momentum το QUICK, στο πεδίο Volume Fraction το Modified HRIC, στα πεδία Turbulent Kinetic Energy και Turbulent Dissipation Rate το Quick και στο Water pol το Power Law (Εικ. 5.37). Εικόνα 5.37 Μέθοδοι επίλυσης Στη συνέχεια στο πεδίο Solution Controls ορίζουμε τους συντελεστές υπόχαλάρωσης (Under Relaxation Factors) ίσους με 0.1 για τα μεγέθη Pressure, Momentum, Volume Fraction, Turbulent Kinetic Energy και Turbulent Dissipation Rate (Specific Dissipation Rate) ενώ για τα μεγέθη Density, Body Forces και Turbulent Viscosity τους θέτουμε ίσους με τη μονάδα. Στο πεδίο water pol διαλέγουμε συντελεστή υπο-χαλάρωσης ίσο με 0.3 (Εικ. 5.38). Στη κουμπί Equations μπορούμε να δούμε ποιες εξισώσεις λύνει κάθε φορά για το πρόβλημα ο κώδικας. Για την επίλυση του συγκεκριμένου προβλήματος επιλύθηκε πρώτα η ροή σαν ανεξάρτητο κομμάτι και στη συνέχεια επιλύθηκαν οι περιπτώσεις έγχυσης του ρύπου. Αυτό έγινε επειδή θέλαμε η ροή να είναι ήδη πλήρως ανεπτυγμένη πριν την έγχυση του ρύπου στο κανάλι. Όταν επιλύθηκαν οι περιπτώσεις έγχυσης του ρύπου επιλέγχθηκε στο πεδίο equations μόνο η επίλυση της εξίσωσης που αφορούσε τη μάζα του ρύπου.

91 91 Εικόνα 5.38 Συντελεστές υπό-χαλάρωσης Επιπλέον στο πεδίο Monitors επιλέγοντας Residuals Print, Plot και πατώντας Edit ανοίγει μια καρτέλα στην οποία θέτουμε τα κριτήρια σύγκλισης της λύσης. Θέτουμε σε όλα τα μεγέθη μια ακρίβεια της τάξεως 1e 08 (Εικ. 5.39). Εικόνα 5.39 Κριτήρια σύγκλισης Στη συνέχεια στο πεδίο Solution Initialization ορίζουμε τις αρχικές τιμές για όλα τα μεγέθη θεωρώντας ότι υπάρχει παντού αέρας και έτσι θέτουμε την πίεση (Gauge Pressure) ίση με 0Pa, την ταχύτητα κατά τη διαμήκη έννοια (x Velocity) ίση με 0.94 m/ s, την

92 92 ταχύτητα κατά την κατακόρυφη έννοια (y Velocity) ίση με 0 m/ s, την τυρβώδη κινητική ενέργεια (k) ίση με / m s και τον συντελεστή καταπτώσεως της τυρβώδους κινητικής ενέργειας (ε) ίσο με m / s. Τέλος όσον αφορά το Volume Fraction και το Water pol βάζουμε την τιμή 0 και επιλέγουμε Initialize (Εικ. 5.40). Εικόνα 5.40 Αρχικές συνθήκες σε όλο το πεδίο και στη ζώνη του νερού Ακολούθως για να διαχωρίσουμε και να εισάγουμε τις αρχικές συνθήκες στη ζώνη του νερού επιλέγουμε την εντολή Patch. Στην καρτέλα που ανοίγει επιλέγουμε στην περίπτωση συνεχούς έγχυσης για τον μεν ρύπο σαν Zones to Patch τη ζώνη pollutant και ορίζουμε σαν value το μηδέν, για το δε Volume fraction επιλέγουμε σαν Zones to Patch τις ζώνες pollutant και water και ορίζουμε σαν value τη μονάδα. (Εικ. 5.40). Αυτό που απομένει να κάνουμε για να ξεκινήσει να τρέχει το πρόγραμμα είναι να καθορίσουμε την συχνότητα με την οποία θα αποθηκεύονται οι επαναλήψεις που εκτελούνται, στα αρχεία. Έτσι πηγαίνουμε στην επιλογή Calculation Activities στο Problem Setup και διαλέγουμε να αποθηκεύουμε τα αποτελέσματα μας ανά 1000 επαναλήψεις στην περίπτωση συνεχούς έγχυσης και ανά 100 στην περίπτωση στιγμιαίας απόρριψης (Εικ. 5.41).

93 93 Εικόνα 5.41 Προσδιορισμός της συχνότητας αποθήκευσης των αποτελεσμάτων Επίσης καθορίζουμε τον συνολικό αριθμό επαναλήψεων και ενημέρωσης της κονσόλας παρουσίασης στην επιλογή Run Calculation στο Problem Setup. Για τη συγκεκριμένη προσομοίωση ο συνολικός αριθμός των επαναλήψεων είναι και ο αριθμός ενημέρωσης της κονσόλας είναι 1. Τελικά επιλέγουμε Calculate και το Fluent ξεκινάει να επιλύει τη ροή με τα δεδομένα και τις αρχικές συνθήκες που αναφέρθηκαν παραπάνω (Εικ. 5.42). Εικόνα 5.42 Επιλογή αριθμού επαναλήψεων και ενημέρωσης της κονσόλας

94 94 6. ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζονται τα αποτελέσματα, υπό μορφή διαγραμμάτων, που προέκυψαν από την αριθμητική επίλυση του προβλήματος συγκρινόμενα με την αναλυτική λύση. Στο Σχ.6.1, δίνονται τα προφίλ της διαμήκους ταχύτητας ως προς το βάθος σε διάφορες θέσεις όπου η ροή θεωρείται πλήρως ανεπτυγμένη. Όπως φαίνεται τα προφίλ της ταχύτητας υπακούουν στον λογαριθμικό νόμο. Σχήμα 6.1 Κατανομής της διαμήκους ταχύτητας ως προς το βάθος σύμφωνα με τον λογαριθμικό νόμο σε διάφορες θέσεις. Από τα παραπάνω προφίλ διαμήκους ταχύτητας επιλέγεται αυτό της διατομής x=150m, το οποίο παρουσιάζεται στο Σχ. 6.2, ως αντιπροσωπευτικό σύμφωνα με το οποίο εξάγεται η μέση τιμή της διαμήκους ταχύτητας, η οποία χρησιμοποιείται για τη σύγκριση με την αναλυτική λύση για την περίπτωση συνεχούς εγχύσεως.

95 95 Σχήμα 6.2 Κατανομής της διαμήκους ταχύτητας και της μέσης τιμής αυτής. Στο Σχ. 6.3, φαίνεται η κατανομή του τυρβώδους ιξώδους ως προς το βάθος σε διάφορες διατομές του καναλιού. Σχήμα 6.3 Κατανομή του τυρβώδους ιξώδους ως προς το βάθος σε διάφορες θέσεις Από τα παραπάνω προφίλ τυρβώδους ιξώδους επιλέγεται αυτό της διατομής x=150m, το οποίο παρουσιάζεται στο Σχ. 6.4, ως αντιπροσωπευτικό σύμφωνα με το οποίο

96 96 εξάγεται η μέση τιμή τυρβώδους ιξώδους, η οποία χρησιμοποιείται για τη σύγκριση με την αναλυτική λύση για την περίπτωση συνεχούς εγχύσεως. Σχήμα 6.4 Κατανομή του τυρβώδους ιξώδους και της μέσης τιμής του στη διατομή x=150m, καθώς και η τιμή του θεωρητικού τυρβώδους ιξώδους Διαπιστώνεται ότι η μορφή της κατακόρυφης κατανομής είναι παραβολική και η μέγιστη τιμή του τυρβώδους ιξώδους είναι περίπου t 6.5Kgm s 1 1, περίπου ίση με αυτή που προκύπτει από τη μονοδιάστατη ανάλυση (βλ. κεφάλαιο 4.1). Η μέγιστη τιμή του τυρβώδους ιξώδους ως προς το βάθος εμφανίζονται σε απόσταση ίση με τα 2/3 του βάθους του νερού. Στο Σχ. 6.5 παρουσιάζεται η κατανομή της διατμητικής τάσης στον πυθμένα.

97 97 Σχήμα 6.5 Κατανομή της διατμητικής τάσης στον πυθμένα Η μέση τιμή της διατμητικής τάσης στον πυθμένα που προέκυψε από την υπολογιστική επίλυση είναι ίση με 1.854Pa. Συνεπώς και η τιμή της διατμητικής ταχύτητας w w m μεταβάλλεται και επανυπολογίζεται ίση με: U Σύμφωνα με την νέα s τιμή πλέον θα γίνουν όλοι οι υπολογισμοί.

98 ΣΥΝΕΧΗΣ ΕΓΧΥΣΗ ΑΠΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΗΓΗ ΠΛΗΣΙΟΝ ΤΟΥ ΠΥΘΜΕΝΑ Στο Σχ. 6.6 παρουσιάζεται η μόνιμη κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου σε χρωματική απεικόνιση στην κατάσταση ισορροπίας στο επίπεδο x-y. Σχήμα 6.6 Χρωματική απεικόνιση του κλάσματος μάζας του ρύπου στην κατάσταση ισορροπίας Στο Σχ. 6.7 παρουσιάζεται η μόνιμη κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=85m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση. Σχήμα 6.7 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=85m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση

99 99 Στο Σχ. 6.8 παρουσιάζεται η μόνιμη κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=90m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση. Σχήμα 6.8 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=90m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση Στο Σχ. 6.9 παρουσιάζεται η μόνιμη κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=100m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση. Σχήμα 6.9 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=100m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση

100 100 Στο Σχ παρουσιάζεται η μόνιμη κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=110m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση. Σχήμα 6.10 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=110m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση Στο Σχ παρουσιάζεται η μόνιμη κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=160m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση. Σχήμα 6.11 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=160m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση

101 101 Σύμφωνα με τον Fischer et al. (1979) στην ανάλυση σημειακής πηγής στην όχθη ενός καναλιού, το μήκος ομοιομορφισμού θεωρείται ότι επιτυγχάνεται όταν η διαφορά των τιμών της συγκέντρωσης σε μια διατομή είναι περίπου 5% της μέσης τιμής της συγκέντρωσης σε όλη τη διατομή. Η σχέση που δίνει το μήκος ομοιμορφισμού για σημειακή πηγή η οποία βρίσκεται στην όχθη ενός καναλιού είναι: L Ub (6.1) t όπου U η μέση ταχύτητα υδατορεύματος η οποία δίνεται από την εξ. (4.33), b το μοναδιαίο πλάτος του αγωγού και t ο θεωρητικός μέσος συντελεστής κατακόρυφης τυρβώδους διάχυσης ο οποίος δίνεται από την παρακάτω εξίσωση: 0.067dU (6.2) t Από τον θεωρητικό συντελεστή και για αριθμό Schmidt ίσο με τη μονάδα προέκυψε ο συντελεστής τυρβώδους ιξώδους που απεικονίζεται στο Σχ. (6.4) σύμφωνα με την εξής διαδικασία: t kg t 1 t t t t t t 3.95 ms (6.3) Σύμφωνα με τον θεωρητικό μέσο συντελεστή κατακόρυφης τυρβώδους διάχυσης προκύπτει μήκος ομοιμορφισμού ίσο με: L 71m (6.4) Για την συγκεκριμένη περίπτωση γραμμικής πηγής πλησίον του πυθμένα διαπιστώνεται ότι ο ομοιομορφισμός επιτυγχάνεται στη διατομή x=187m, άρα σε μήκος L 107m από τη ζώνη έγχυσης του ρύπου.

102 ΣΥΝΕΧΗΣ ΕΓΧΥΣΗ ΑΠΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΗΓΗ ΠΛΗΣΙΟΝ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ Στο Σχ παρουσιάζεται η μόνιμη κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου σε χρωματική απεικόνιση στην κατάσταση ισορροπίας στο επίπεδο x-y. Σχήμα 6.12 Χρωματική απεικόνιση του κλάσματος μάζας του ρύπου στην κατάσταση ισορροπίας Στο Σχ παρουσιάζεται η μόνιμη κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=85m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση. Σχήμα 6.13 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=85m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση

103 103 Στο Σχ παρουσιάζεται η μόνιμη κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=90m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση. Σχήμα 6.14 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=90m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση Στο Σχ παρουσιάζεται η μόνιμη κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=100m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση. Σχήμα 6.15 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=100m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση

104 104 Στο Σχ παρουσιάζεται η μόνιμη κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=110m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση. Σχήμα 6.16 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=110m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση Στο Σχ παρουσιάζεται η μόνιμη κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=160m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση. Σχήμα 6.17 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=160m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση

105 105 Για την συγκεκριμένη περίπτωση γραμμικής πηγής πλησίον της ελεύθερης επιφάνειας διαπιστώνεται ότι ο ομοιομορφισμός επιτυγχάνεται στη διατομή x=160m, άρα σε μήκος L 80m από τη ζώνη έγχυσης του ρύπου. 6.3 ΣΥΝΕΧΗΣ ΕΓΧΥΣΗ ΑΠΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΗΓΗ ΣΤΟ ΕΝΔΙΑΜΕΣΟ ΤΟΥ ΒΑΘΟΥΣ Στο Σχ παρουσιάζεται η μόνιμη κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου σε χρωματική απεικόνιση στην κατάσταση ισορροπίας στο επίπεδο x-y. Σχήμα 6.18 Χρωματική απεικόνιση του κλάσματος μάζας του ρύπου στην κατάσταση ισορροπίας Στο Σχ παρουσιάζεται η μόνιμη κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=85m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση.

106 106 Σχήμα 6.19 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=85m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση Στο Σχ παρουσιάζεται η μόνιμη κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=90m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση. Σχήμα 6.20 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=90m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση Στο Σχ παρουσιάζεται η μόνιμη κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=100m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση.

107 107 Σχήμα 6.21 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=100m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση Στο Σχ παρουσιάζεται η μόνιμη κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=110m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση. Σχήμα 6.22 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=110m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση Στο Σχ παρουσιάζεται η μόνιμη κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=160m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση.

108 108 Σχήμα 6.23 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου στην διατομή x=160m συγκρινόμενη με αυτή από την αναλυτική λύση Σύμφωνα με τον Fischer et al. (1979) στην ανάλυση σημειακής πηγής στην μέση ενός καναλιού, το μήκος ομοιομορφισμού θεωρείται ότι επιτυγχάνεται όταν η διαφορά των τιμών της συγκέντρωσης σε μια διατομή είναι περίπου 5% της μέσης τιμής της συγκέντρωσης σε όλη τη διατομή. Η σχέση που δίνει το μήκος ομοιμορφισμού για σημειακή πηγή η οποία βρίσκεται στο μέσο του πλάτους του καναλιού είναι: L Ub (6.5) t όπου U η μέση ταχύτητα υδατορεύματος η οποία δίνεται από την εξ. (4.33), b το μοναδιαίο πλάτος του αγωγού και t ο θεωρητικός μέσος συντελεστής κατακόρυφης τυρβώδους διάχυσης ο οποίος δίνεται από την παρακάτω εξίσωση: 0.067dU (6.6) t Σύμφωνα με τον θεωρητικό μέσο συντελεστή κατακόρυφης τυρβώδους διάχυσης προκύπτει μήκος ομοιομορφισμού ίσο με: L 18m (6.7)

109 109 Για την συγκεκριμένη περίπτωση γραμμικής πηγής στο ενδιάμεσο του βάθους διαπιστώνεται ότι ο ομοιομορφισμός επιτυγχάνεται στη διατομή x=143m, άρα σε μήκος L63mαπό τη ζώνη έγχυσης του ρύπου. 6.4 ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΕΓΧΥΣΗ ΑΠΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΗΓΗ ΣΕ ΟΛΟ ΤΟ ΒΑΘΟΣ Στα Σχ. 6.24, 6.25, 6.26, 6.27, 6.28, 6.29, 6.30 παρουσιάζεται η κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου σε χρωματική απεικόνιση για διάφορες χρονικές στιγμές στο επίπεδο x-y. Σχήμα 6.24 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου τη χρονική στιγμή t=4 sec Σχήμα 6.25 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου τη χρονική στιγμή t=10 sec

110 110 Σχήμα 6.26 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου τη χρονική στιγμή t=20 sec Σχήμα 6.27 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου τη χρονική στιγμή t=30 sec Σχήμα 6.28 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου τη χρονική στιγμή t=40 sec

111 111 Σχήμα 6.29 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου τη χρονική στιγμή t=50 sec Σχήμα 6.30 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου τη χρονική στιγμή t=54 sec Στα Σχ. 6.31, 6.32, 6.33, 6.34 παρουσιάζεται η κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου σε σχέση με το μήκος του καναλιού, για τέσσερα ενδεικτικά βάθη και σε τρεις ενδεικτικές χρονικές στιγμές.

112 112 Σχήμα 6.31 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου σε σχέση με το μήκος του καναλιού και σε βάθος y=0.2m για τις χρονικές στιγμές t=4, 24, 54 sec Σχήμα 6.32 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου σε σχέση με το μήκος του καναλιού και σε βάθος y=0.5m για τις χρονικές στιγμές t=4, 24, 54 sec

113 113 Σχήμα 6.33 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου σε σχέση με το μήκος του καναλιού και σε βάθος y=0.7m για τις χρονικές στιγμές t=4, 24, 54 sec Σχήμα 6.34 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου σε σχέση με το μήκος του καναλιού και σε βάθος y=1m για τις χρονικές στιγμές t=4, 24, 54 sec Στα Σχ. 6.35, 6.36 παρουσιάζεται η κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου σε συνάρτηση με το βάθος του καναλιού, σε δύο ενδεικτικές διατομές και για χρονικές στιγμές στις οποίες υπάρχει κλάσμα μάζας ρύπου στην αντίστοιχη διατομή, δηλαδή δεν έχει διέλθει όλος ο ρύπος από την συγκεκριμένη διατομή.

114 Σχήμα 6.35 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου σε συνάρτηση με το βάθος του καναλιού στη διατομή x=85m για τις χρονικές στιγμές t=4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 sec 114

115 115 Σχήμα 6.36 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου σε συνάρτηση με το βάθος του καναλιού στη διατομή x=115m για τις χρονικές στιγμές t=42, 44, 46, 48, 50, 52, 54 sec 6.5 ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΕΓΧΥΣΗ ΑΠΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΗΓΗ ΣΤΟ ΕΝΔΙΑΜΕΣΟ ΤΟΥ ΒΑΘΟΥΣ Στα Σχ. 6.37, 6.38, 6.39, 6.40, 6.41, 6.42, 6.43 παρουσιάζεται η κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου σε χρωματική απεικόνιση για διάφορες χρονικές στιγμές στο επίπεδο x-y. Σημειώνεται ότι η γραμμική πηγή εκκινεί από βάθος y=0.5m και περατώνεται σε βάθος y=0.75m.

116 116 Σχήμα 6.37 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου τη χρονική στιγμή t=4 sec Σχήμα 6.38 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου τη χρονική στιγμή t=10 sec Σχήμα 6.39 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου τη χρονική στιγμή t=20 sec

117 117 Σχήμα 6.40 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου τη χρονική στιγμή t=30 sec Σχήμα 6.41 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου τη χρονική στιγμή t=40 sec Σχήμα 6.42 Κατανομή του κλάσματος μάζας του ρύπου τη χρονική στιγμή t=50 sec